1. ‫استنباطی‬ ‫آمار‬

‫آمار‬
‫توصیفی‬
(
Descriptive statistics
: )
•
‫در‬
‫یک‬
‫مطالعه‬
،
‫ویژگی‬
‫ها‬ ‫داده‬ ‫اساسی‬ ‫های‬
‫میکند‬ ‫خالصه‬ ‫یا‬ ‫توصیف‬ ‫کمی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬
.
•
‫شود‬‫نمی‬ ‫داده‬ ‫تعمیم‬ ‫مشابه‬ ‫جات‬‫دسته‬ ‫به‬ ‫آمده‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫اطالعات‬ ‫و‬ ‫کند‬‫می‬ ‫توصیف‬ ‫را‬ ‫گروه‬ ‫همان‬ ،‫گروه‬ ‫یک‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫اطالعات‬
.

‫استنباطی‬ ‫آمار‬
(
Inferential statistics
: )
•
‫است‬ ‫تصادفی‬ ‫های‬‫نمونه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫مقدارهای‬ ‫براساس‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬ ‫شناخت‬ ، ‫هدف‬
.
•
‫میدهد‬ ‫تعمیم‬ ‫جامعه‬ ‫کل‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫نمونه‬ ‫مطالعه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫نتایج‬
.
•
‫دهد‬‫می‬ ‫ارائه‬ ‫احتماالت‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫نهایی‬ ‫نتایج‬
.
•
‫رویکردهای‬
‫استنباطی‬ ‫آمار‬
:
.A
‫زدن‬ ‫تخمین‬
:
‫آماری‬ ‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫تخمین‬
،
‫باشد‬ ‫محاسبه‬ ‫قابل‬ ‫نیز‬ ‫برآورد‬ ‫دقت‬ ‫که‬ ‫طوری‬ ‫به‬
.
.B
‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
:
‫و‬ ‫گیرد‬‫می‬ ‫قرار‬ ‫بررسی‬ ‫مورد‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫گزاره‬ ‫یک‬
‫برخالف‬
‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫برای‬ ،‫برآوردیابی‬ ‫های‬‫روش‬
‫کند‬‫نمی‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬ ‫مقداری‬
.

2. ‫استنباطی‬ ‫آمار‬

3. ‫نمونه‬ ‫تصادفی‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬

4. ‫فرض‬
‫آماری‬

‫آماری‬ ‫فرض‬
:
‫ادعایی‬ ‫یا‬ ‫حدس‬
‫ی‬ ‫درباره‬
‫یا‬ ‫یک‬ ‫ویژگی‬
‫مورد‬ ‫جمعیت‬ ‫چند‬
‫بررسی‬
‫باشد‬ ‫آزمایش‬ ‫قابل‬ ‫که‬ ‫است‬
.
‫و‬
‫درست‬ ‫است‬ ‫ممکن‬
‫باش‬ ‫نادرست‬ ‫یا‬
‫د‬
.
•
«
‫سیب‬
‫گران‬ ‫نیویورک‬ ‫در‬
‫است‬
»
‫یک‬ ‫این‬ ،
‫حدس‬
‫یا‬
‫گزاره‬
‫است‬
.
‫ح‬ ‫این‬ ‫با‬
، ‫ال‬
‫باشیم‬ ‫داشته‬ ‫آن‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫چیزی‬ ‫که‬ ‫زمانی‬ ‫تا‬ ، ‫نیست‬ ‫آزمایش‬ ‫قابل‬
.
•
‫ب‬
‫کنیم‬ ‫تعریف‬ ‫چنین‬ ‫را‬ ‫قیمت‬ ‫گران‬ ‫اگر‬ ، ‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫ه‬
:
‫هر‬
‫باال‬ ‫قیمتی‬
‫از‬ ‫تر‬
1.75
‫هر‬ ‫برای‬ ‫دالر‬
‫کیلو‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫فرضیه‬ ‫بالفاصله‬ ،
.

5. ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬

‫آزمون‬
‫آماری‬ ‫فرض‬
:
‫این‬ ‫تعیین‬ ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫هدف‬
‫های‬ ‫داده‬ ‫از‬ ‫آمده‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫اطالعات‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫موضوع‬
‫خیر‬ ‫یا‬ ‫است‬ ‫تایید‬ ‫قابل‬ ‫تقریبا‬ ‫آماری‬ ‫فرض‬ ،‫نمونه‬
.
•
‫مورد‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرضیه‬
‫جمعیت‬
‫های‬ ‫داده‬ ‫با‬ ‫اما‬ ، ‫هستند‬
‫نمونه‬
‫می‬ ‫آزمایش‬
‫شوند‬
.

‫فرضیه‬ ‫اثبات‬ ‫و‬ ‫فرضیه‬ ‫آزمون‬ ‫تفاوت‬
:
•
‫نی‬ ‫مطلق‬ ‫دانش‬ ‫به‬ ‫فرضیه‬ ‫یک‬ ‫بودن‬ ‫غلط‬ ‫یا‬ ‫درست‬ ‫اثبات‬ ‫برای‬
‫از‬
‫که‬ ‫ای‬ ‫نتیجه‬ ‫و‬ ‫کنیم‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫جمعیت‬ ‫کل‬ ‫باید‬ ‫یعنی‬ ،‫داریم‬
‫می‬ ‫بدست‬
‫است‬ ‫برقرار‬ ‫شکی‬ ‫هیچ‬ ‫بدون‬ ‫آید‬
.
•
‫آزمون‬
‫است‬ ‫با‬ ‫فرضیه‬ ‫یک‬ ‫بودن‬ ‫محتمل‬ ‫ارزیابی‬ ‫برای‬ ‫فرضیه‬
‫از‬ ‫فاده‬
‫نیست‬ ‫قطعی‬ ‫نتیجه‬ ‫و‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬
.

6. ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫انواع‬

‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫انواع‬
:
•
‫هستند‬ ‫یکدیگر‬ ‫نقیض‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫فرض‬ ‫دو‬ ‫همواره‬ ‫آزمون‬ ‫یک‬ ‫انجام‬ ‫در‬
:
(1
‫صفر‬ ‫فرض‬
(𝐻0)
:
‫شود‬ ‫آزمایش‬ ‫است‬ ‫قرار‬ ‫که‬ ‫آماری‬ ‫فرض‬
.
(2
‫مقابل‬ ‫فرض‬
(𝐻𝑎)
:
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫جایگزین‬
.

‫مهم‬ ‫نکات‬
:
•
‫ح‬ ‫آن‬ ‫برخالف‬ ‫قویا‬ ‫ها‬ ‫داده‬ ‫آنکه‬ ‫مگر‬ ، ‫کند‬ ‫می‬ ‫پیروی‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫فرضی‬ ‫جمعیت‬ ‫یک‬ ‫ما‬ ‫جمعیت‬ ‫یعنی‬ ‫است‬ ‫صحیح‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫کنند‬ ‫کم‬
.
•
‫میکنیم‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫ما‬ ‫باشند‬ ‫غیرمحتمل‬ ‫و‬ ‫بعید‬ ‫کامال‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تحت‬ ‫ها‬ ‫داده‬ ‫اگر‬
.
‫پ‬ ‫آن‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫جایگزین‬ ‫فرضیه‬ ‫یک‬ ، ‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬
‫می‬ ‫ذیرفته‬
‫شود‬
.
•
‫ی‬ ‫بپذیریم‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫ایا‬ ‫که‬ ‫بگیریم‬ ‫تصمیم‬ ‫انکه‬ ‫برای‬ ،‫صریحی‬ ‫قواعد‬ ‫ی‬ ‫مجموعه‬ ‫گرفتن‬ ‫کار‬ ‫به‬ ‫از‬ ‫عبارتست‬ ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬
‫نف‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫ا‬
‫ع‬
‫کنیم‬ ‫رد‬ ‫مقابل‬ ‫فرض‬
.
•
‫در‬
‫جمعیت‬ ‫کل‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫نه‬ ، ‫است‬ ‫نمونه‬ ‫اطالعات‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫تصمیم‬ ‫زیرا‬ ‫است‬ ‫نشده‬ ‫اثبات‬ ‫آن‬ ‫جایگزین‬ ‫یا‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫موردی‬ ‫هیچ‬
.
‫میتوان‬ ‫اما‬
‫با‬
‫درجه‬
‫اعالم‬ ‫اطمینان‬
‫کرد‬
‫وجود‬ ‫فرضیه‬ ‫بودن‬ ‫درست‬ ‫بر‬ ‫مبنی‬ ‫شواهدی‬ ‫که‬
‫دارد‬
.

7. ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫انواع‬

8. ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫مراحل‬
‫مرحله‬
1
:
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تعیین‬
(𝐻0)
‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬
(𝐻𝑎)
‫مرحله‬
4
:
‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬ ‫تعیین‬
‫مرحله‬
3
:
‫داری‬ ‫معنی‬ ‫سطح‬ ‫تعیین‬
𝛼
‫مرحله‬
2
:
‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬
‫مرحله‬
5
:
‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫تعیین‬
‫مرحله‬
6
:
‫تعیین‬
P-Value

9. ‫فرضیه‬ ‫انواع‬

‫مرحله‬
1
:
‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تعیین‬
:
•
‫فرضیه‬
‫پژوهش‬ ‫های‬ ‫پرسش‬ ‫یا‬ ‫مسأله‬ ‫به‬ ‫فرضی‬ ‫پاسخی‬
‫است‬
.
•
‫بر‬
‫شوند‬ ‫می‬ ‫بیان‬ ‫خبری‬ ‫ی‬ ‫جمله‬ ‫قالب‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرضیه‬ ،‫شود‬ ‫می‬ ‫مطرح‬ ، ‫پرسشی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫باید‬ ‫همواره‬ ‫که‬ ‫تحقیق‬ ‫ی‬ ‫مسئله‬ ‫خالف‬
.
•
‫حقیقت‬ ‫در‬ ‫فرضیه‬
"
‫رابطه‬
"
‫کند‬ ‫می‬ ‫بیان‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫متغیر‬ ‫بین‬
.
‫مثال‬ ‫تعریف‬ ‫فرضیه‬ ‫انواع‬
‫پسر‬ ‫و‬ ‫دختر‬ ‫آموزان‬ ‫دانش‬ ‫هوشی‬ ‫بهره‬ ‫میزان‬
‫است‬ ‫متفاوت‬
•
‫فرضیه‬
‫می‬ ‫گزارش‬ ‫و‬ ‫بیان‬ ‫پژوهش‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫ای‬
‫شود‬
•
‫دهند‬ ‫نشان‬ ‫و‬ ‫پردازد‬ ‫مي‬ ‫متغیرها‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ ‫توصیف‬ ‫به‬ ‫كه‬ ‫است‬ ‫ای‬ ‫جمله‬
‫ه‬
‫است‬ ‫پژوهش‬ ‫نتایج‬ ‫از‬ ‫پژوهشگر‬ ‫انتظارات‬
.
‫پژوهشی‬ ‫فرض‬
𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵 •
‫فرضیه‬
‫می‬ ‫قرار‬ ‫آزمون‬ ‫مورد‬ ‫پژوهش‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫ای‬
‫گیرد‬
•
‫با‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫پژوهشی‬ ‫فرض‬ ‫رسمی‬ ‫ساختار‬
‫نمادهاي‬ ‫از‬ ‫استفاده‬
‫آماري‬
(
‫مانن‬
‫د‬
:
µ
،
𝜎
‫و‬
)...
‫و‬ ‫شود‬ ‫مي‬ ‫نوشته‬
‫استفا‬ ‫پژوهشی‬ ‫فرضیه‬ ‫علمی‬ ‫آزمایش‬ ‫برای‬
‫می‬ ‫ده‬
‫شود‬
.
‫آماری‬ ‫فرض‬

10. ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫انواع‬

‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫انواع‬
:
.A
‫صفر‬ ‫فرضیه‬
:
، ‫نیست‬ ‫درست‬ ‫محقق‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫این‬
‫می‬ ‫ادعا‬
‫وجو‬ ‫داري‬ ‫معنی‬ ‫اختالف‬ ‫یا‬ ‫ارتباط‬ ‫آزمایش‬ ‫مورد‬ ‫متغیرهاي‬ ‫میان‬ ‫کند‬
‫د‬
‫ندارد‬
.
•
‫نکته‬
:
‫معنادار‬
‫آماری‬
(
statistically significant
: )
‫احتمال‬ ‫گاه‬ ‫هر‬
‫عب‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫باشد‬ ‫بوده‬ ‫اندک‬ ‫بسیار‬ ‫تصادفی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اتفاقی‬ ‫وقوع‬
‫دیگر‬ ‫ارت‬
‫لحاظ‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ،‫است‬‫بوده‬ ‫شانس‬ ‫از‬ ‫غیر‬ ‫دلیلی‬ ‫دارای‬ ‫زیاد‬ ‫احتمال‬ ‫به‬
‫گویند‬ ‫معنادار‬ ‫آماری‬
.
.B
‫جایگزین‬ ‫فرضیه‬
:
‫محقق‬ ‫شده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫تفاوت‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫این‬
‫درست‬
‫است‬ ‫متغیرها‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ ‫وجود‬ ‫از‬ ‫حاکی‬ ‫و‬ ‫است‬
.
•
‫دربرگیرند‬ ‫باید‬ ‫همواره‬ ‫یعنی‬ ‫باشد‬ ‫پذیر‬ ‫آزمون‬ ‫باید‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫تساوی‬ ‫ی‬ ‫ه‬
‫باشد‬
.
•
‫محقق‬ ‫هدف‬
،
‫آن‬ ‫اثبات‬ ‫نه‬ ‫است‬ ‫فرض‬ ‫كردن‬ ‫آزمایش‬ ‫و‬ ‫آزمون‬
.

11. ‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
𝐻0
‫اطال‬ ‫وسیله‬ ‫به‬ ‫داریم‬ ‫قصد‬ ‫که‬ ‫ادعایی‬ ‫نفی‬
‫عات‬
‫کنیم‬ ‫تایید‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫نمونه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬
.
‫ر‬ ‫ما‬ ‫هدف‬
‫د‬
‫است‬ ‫آن‬
.
‫داده‬ ‫در‬ ‫روندی‬ ‫یا‬ ‫الگو‬ ‫هیچ‬ ‫که‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫بیان‬
‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫ها‬
(
‫ها‬ ‫گروه‬ ‫بین‬ ‫تفاوتی‬ ‫هیچ‬ ‫مثال‬
‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫ای‬ ‫رابطه‬ ‫هیچ‬ ‫یا‬ ، ‫ندارد‬ ‫وجود‬
‫ندارد‬ ‫وجود‬
.)
= ‫یا‬ ≤ ‫یا‬ ≥
𝐻𝑎
‫اطالع‬ ‫وسیله‬ ‫به‬ ‫داریم‬ ‫قصد‬ ‫که‬ ‫ادعایی‬ ‫خود‬
‫ات‬
‫کنیم‬ ‫تایید‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫نمونه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬
.
‫مشخص‬ ‫روند‬ ‫یا‬ ‫الگو‬ ‫یک‬ ‫که‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫بیان‬
‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫ها‬ ‫داده‬ ‫در‬
(
‫گروه‬ ‫بین‬ ‫تفاوت‬ ‫مثال‬
‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ ‫یا‬ ، ‫ها‬
.)
≠ ‫یا‬ < ‫یا‬ >

12. ‫فرضیه‬ ‫گیری‬ ‫جهت‬
•
‫فرضیه‬
‫آزمون‬ ‫قابل‬
‫به‬
‫د‬ ‫متغیر‬ ‫چند‬ ‫یا‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
‫جامعه‬ ‫ر‬
‫پردازد‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫مورد‬
.
•
‫از‬
‫تنظیم‬ ‫هنگام‬ ‫که‬ ‫مواردی‬ ‫جمله‬
‫فرضیه‬
‫جهت‬ ، ‫گرفت‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫باید‬
‫آن‬ ‫گیری‬
‫است‬
.
•
‫دار‬ ‫جهت‬ ‫فرضیه‬
:
‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫به‬
‫جهت‬
‫پردازد‬ ‫می‬ ‫روابط‬
.
•
‫فرضیه‬
‫جهت‬ ‫بدون‬
:
‫ب‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫جهت‬ ‫اما‬ ‫پردازد‬ ‫می‬ ‫رابطه‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫به‬
‫یان‬
‫نمی‬
‫کند‬
•
ً‫ا‬‫عمدت‬
‫منطق‬ ‫دالیل‬ ‫که‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫فرضیه‬ ‫نوع‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫زمانی‬
،‫علمی‬ ،‫ی‬
‫با‬ ‫نداشته‬ ‫فرضیه‬ ‫یک‬ ‫کردن‬ ‫دار‬ ‫جهت‬ ‫برای‬ ‫کافی‬ ‫تجربی‬ ‫و‬ ‫نظری‬
‫شیم‬
.

13. ‫جامعه‬ ‫میانگین‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬

14. ‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
.A
‫ث‬ ‫مقدار‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
‫ابت‬
:
•
‫که‬ ‫است‬ ‫آن‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫جمعیت‬ ‫میانگین‬
(
𝜇
)
‫ثابت‬ ‫مقدار‬ ‫برابر‬
(
𝜇0
)
‫است‬
.
•
‫شود‬ ‫ثابت‬ ‫آن‬ ‫خالف‬ ‫آنکه‬ ‫مگر‬ ‫است‬ ‫درست‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
.
•
‫نمونه‬ ‫میانگین‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫جمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫با‬ ‫را‬
(
‫فرض‬ ‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫مقدار‬
‫صفر‬
)
‫میکند‬ ‫مقایسه‬
.
•
‫از‬
𝑋
‫برای‬
‫استنتاج‬
𝜇
‫استفاده‬
‫میکنیم‬
.

15. ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬

‫مثال‬
:
•
‫پژوهشی‬ ‫فرض‬
:
‫کارخانه‬ ‫تولیدی‬ ‫های‬ ‫کیک‬ ‫وزن‬
A
‫برابر‬
50
‫گرم‬
‫است‬
.
•
𝐻0 :𝜇 = 50
𝐻𝑎 :𝜇 ≠ 50

‫مثال‬
:
•
‫پژوهشی‬ ‫فرض‬
:
‫حداقل‬ ‫اداره‬ ‫یک‬ ‫کارمندان‬ ‫حقوق‬ ‫میانگین‬
5
‫میلیون‬
‫است‬ ‫تومان‬
.
•
𝐻0 :𝜇 = 5
𝐻𝑎 :𝜇 > 5

16. ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
.B
‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
:
•
‫فرض‬
‫جمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫آن‬ ‫صفر‬
‫است‬ ‫برابر‬ ‫ها‬
(
𝜇1 = 𝜇2
)
.
•
‫شود‬ ‫ثابت‬ ‫آن‬ ‫خالف‬ ‫آنکه‬ ‫مگر‬ ‫است‬ ‫درست‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
.
•
‫دو‬
، ‫میشود‬ ‫انتخاب‬ ‫تصادف‬ ‫به‬ ‫مستقل‬ ‫ی‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫نمونه‬
‫مقایس‬ ‫از‬
‫ه‬
‫برای‬ ‫ها‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬
‫مورد‬ ‫در‬ ‫گیری‬ ‫نتیجه‬
‫می‬ ‫استفاده‬ ‫ها‬ ‫جمعیت‬
‫كنیم‬
.
•
‫نمونه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫تفاوت‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫میانگی‬ ‫تفاوت‬ ‫با‬ ‫را‬
‫دو‬ ‫ن‬
‫جامعه‬
(
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫مقدار‬
)
‫میکند‬ ‫مقایسه‬
.
•
‫از‬
𝑋1 − 𝑋2
‫برای‬
‫استنتاج‬
𝜇1 − 𝜇2
‫میکنیم‬ ‫استفاده‬
.

17. ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
‫میانگین‬
‫دو‬
‫جامعه‬
‫مستقل‬

‫مثال‬
:
•
‫پژوهشی‬ ‫فرض‬
:
‫شرکت‬
A
‫شرکت‬ ‫و‬
B
‫یک‬ ‫تحویل‬ ‫زمان‬ ‫متوسط‬ ‫در‬
، ‫پیتزا‬
‫ندارند‬ ‫یکسانی‬ ‫عملکرد‬
.
•
𝐻0 : 𝜇A = 𝜇𝐵
𝐻𝑎 : 𝜇A ≠ 𝜇𝐵
->
𝐻0 : 𝜇A − 𝜇𝐵 = 0
𝐻𝑎 : 𝜇A − 𝜇𝐵 ≠ 0

‫مثال‬
:
•
‫فرض‬
‫پژوهشی‬
:
‫بهتر‬ ‫مردان‬ ‫یابی‬ ‫جهت‬
‫زنان‬ ‫از‬
‫است‬
.
•
𝐻0 :𝜇‫مردان‬ = 𝜇‫زنان‬
𝐻𝑎: 𝜇‫مردان‬ > 𝜇‫زنان‬
->
𝐻0 : 𝜇‫مردان‬ − 𝜇‫زنان‬ = 0
𝐻𝑎 : 𝜇‫مردان‬ − 𝜇‫زنان‬ > 0

18. ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
‫جامعه‬
‫وابسته‬
.C
‫وابسته‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
:
•
‫هستند‬ ‫جفت‬ ‫ها‬ ‫جمعیت‬
‫؛‬
‫یعنی‬
‫یک‬ ‫در‬ ‫داده‬ ‫نقطه‬ ‫هر‬ ‫آن‬ ‫در‬
‫جمعیت‬
‫به‬
‫در‬ ‫داده‬ ‫نقطه‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫فرد‬ ‫به‬ ‫منحصر‬ ‫طور‬
‫جمعیت‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫جفت‬ ‫دوم‬
.
•
‫مقایسه‬ ‫برای‬
‫میانگین‬
‫یک‬
‫جمعیت‬
‫دوره‬ ‫در‬
‫زمانی‬ ‫های‬
‫استف‬ ‫مختلف‬
‫می‬ ‫اده‬
‫شود‬
.
(
‫فرآیند‬ ‫یک‬ ‫اتوماسیون‬ ‫از‬ ‫بعد‬ ‫و‬ ‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬
)
•
‫آزمون‬ ‫پیش‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫روش‬ ‫این‬
(
Before test
)
‫آزمون‬ ‫پس‬ ‫و‬
(
After test
)
‫میشناسند‬ ‫نیز‬
.

19. ‫وابسته‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
•
‫فرض‬
‫است‬ ‫نکرده‬ ‫تغییر‬ ‫جمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫آن‬ ‫صفر‬
(
𝜇after = 𝜇before
)
.
•
‫گرفت‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬ ‫از‬ ‫خاصی‬ ‫نوع‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫میتوان‬
.
•
‫این‬ ‫از‬
n
‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫تفاوت‬
‫در‬
‫استفاده‬ ‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
‫میشود‬
.
• Di = X1i − X2i
• D = i=1
n
Di
n
= X1 − X2 = X1 − X2
•
‫میانگین‬
‫نمونه‬ ‫های‬ ‫تفاوت‬
‫ها‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫میانگین‬ ‫با‬ ‫را‬
‫ک‬ ‫های‬ ‫تفاوت‬
‫ل‬
‫جمعیت‬
(
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫مقدار‬
)
‫میکند‬ ‫مقایسه‬
.
•
‫از‬
D
‫استنتاج‬ ‫برای‬
𝜇after − 𝜇before
‫میکنیم‬ ‫استفاده‬
.

20. ‫در‬ ‫ها‬ ‫فرض‬
‫میانگین‬ ‫آزمون‬
‫دو‬
‫جامعه‬
‫وابسته‬

‫مثال‬
:
•
‫پژوهشی‬ ‫فرض‬
:
‫در‬ ‫افراد‬ ‫به‬ ‫تواند‬ ‫می‬ ‫غذایی‬ ‫رژیم‬ ‫مشاوره‬ ‫دوره‬ ‫یک‬
‫کند‬ ‫کمک‬ ‫وزن‬ ‫کاهش‬
.
•
𝐻0 : 𝜇after = 𝜇before
𝐻𝑎: 𝜇after < 𝜇before
−>
𝐻0 : 𝜇after − 𝜇before = 0
𝐻𝑎 : 𝜇after − 𝜇before < 0
• 𝜇D = 𝜇after − 𝜇before ->
𝐻0 : 𝜇D = 0
𝐻𝑎: 𝜇D < 0

‫مثال‬
:
•
‫پژوهشی‬ ‫فرض‬
:
‫مصرف‬
‫افزایش‬ ‫را‬ ‫خون‬ ‫کلسترول‬ ‫فود‬ ‫فست‬
‫د‬ ‫می‬
‫هد‬
.
•
𝐻0 : 𝜇after = 𝜇before
𝐻𝑎: 𝜇after > 𝜇before
−>
𝐻0 : 𝜇after − 𝜇before = 0
𝐻𝑎 : 𝜇after − 𝜇before > 0
• 𝜇D = 𝜇after − 𝜇before −>
𝐻0 : 𝜇D = 0
𝐻𝑎: 𝜇D > 0
•
D
‫ک‬ ‫ها‬ ‫جفت‬ ‫تفاوت‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫یادآوری‬ ‫شما‬ ‫به‬ ‫فقط‬ ‫زیرنویس‬ ‫در‬
‫می‬ ‫ار‬
‫کنید‬
.

21. ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
‫برداری‬

‫مرحله‬
2
:
‫توزیع‬ ‫تعیین‬
‫برداری‬ ‫نمونه‬
•
‫نمونه‬ ‫تکرار‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫آماره‬ ‫احتمالی‬ ‫توزیع‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
‫گیری‬
‫اندازه‬ ‫به‬ ‫هایی‬ ‫نمونه‬ ‫با‬ ، ‫جامعه‬ ‫از‬
n
‫میشود‬ ‫حاصل‬
.
•
‫نمونه‬ ‫توزیع‬
‫متاثر‬ ‫برداری‬
‫ا‬ ‫نمونه‬ ‫حجم‬ ‫همچنین‬ ‫و‬ ‫جمعیت‬ ‫توزیع‬ ‫از‬
‫ست‬
.

22. ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
‫جامعه‬

‫فرض‬ ‫آزمون‬
‫ث‬ ‫مقدار‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬
‫ابت‬
:
•
‫نمونه‬ ‫میانگین‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫جمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫با‬ ‫را‬
(
‫مورد‬ ‫مقدار‬
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫انتظار‬
)
‫میکند‬ ‫مقایسه‬
.
• μX = μ
• Var(X) = Var(
1
n i=1
n
Xi) =
1
n2 i=1
n
Var(Xi) =
nσ2
n2 =
σ2
n
• σX = Var(X) =
σ
n
•
‫توجه‬
:
𝜎
‫است‬ ‫جامعه‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬
.

23. ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
‫میانگین‬ ‫تفاوت‬
‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬

‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
:
•
‫انتخاب‬ ‫تصادف‬ ‫به‬ ‫مستقل‬ ‫ی‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫نمونه‬ ‫دو‬
‫میشود‬
.
•
‫تفاوت‬
‫دو‬ ‫میانگین‬
‫نمونه‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫ج‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫تفاوت‬ ‫با‬ ‫را‬
‫امعه‬
(
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫مقدار‬
)
‫مقایسه‬
‫میکند‬
.
• μX1−X2
= E(X1 − X2) = μ1 − μ2
• σX1−X2
2
= σX1
2
+ σX2
2
− 2Cov(X1, X2) =
σ1
2
n1
+
σ2
2
n2
• σX1−X2
=
σ1
2
n1
+
σ2
2
n2

24. ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
‫میانگین‬ ‫تفاوت‬
‫وابسته‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬

‫وابسته‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
:
•
‫هر‬
‫داده‬ ‫نقطه‬
‫از‬
‫یک‬
‫جمعیت‬
‫در‬ ‫داده‬ ‫نقطه‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫فرد‬ ‫به‬ ‫منحصر‬ ‫طور‬ ‫به‬
‫جمعیت‬
‫دوم‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫جفت‬
.
•
‫تفاوت‬ ‫میانگین‬
‫ها‬ ‫نمونه‬ ‫های‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫با‬ ‫را‬
‫تفاوت‬ ‫میانگین‬
‫کل‬ ‫های‬
‫ج‬
‫معیت‬
(
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫مقدار‬
)
‫میکند‬ ‫مقایسه‬
.
• Di = X1i − X2i
• D = i=1
n
Di
n
= X1 − X2 = X1 − X2
• μX1−X2
= μ1 − μ2
• σX1−X2
2
= σD
2
= Var(
1
n i=1
n
Di) =
1
n2 i=1
n
Var(Di) =
nσD
2
n2 =
σD
2
n
• σX1−X2
=
σD
n

25. ‫توزیع‬ ‫اهمیت‬
‫نمونه‬
‫برداری‬
•
‫است‬ ‫درست‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫که‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫فرض‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
.
•
‫ما‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫با‬ ‫ما‬ ‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫آیا‬ ‫اینکه‬ ‫ارزیابی‬ ‫برای‬
‫سازگار‬
‫مقدار‬ ‫میتوانیم‬ ، ‫است‬
‫و‬ ‫داده‬ ‫نمونه‬ ‫دهنده‬ ‫نشان‬ ، ‫آماره‬ ‫عددی‬
‫توزیع‬
‫برداری‬ ‫نمونه‬
‫مقایسه‬ ‫یکدیگر‬ ‫با‬ ‫را‬ ، ‫جمعیت‬ ‫نمایانگر‬ ،
‫ک‬
‫نیم‬
.
•
‫مطابق‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫انتظارات‬ ‫با‬ ً‫ال‬‫کام‬ ‫نمونه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫اطالعات‬ ‫اگر‬
‫ت‬
‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫نمونه‬ ‫آماره‬ ، ‫باشد‬ ‫داشته‬
.
•
‫دلیل‬ ‫به‬ ‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫تفاوت‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫مطابقت‬ ‫ایده‬ ‫این‬ ‫با‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫شانس‬
‫است‬
.
•
‫میانگین‬ ‫به‬ ‫نزدیک‬ ‫های‬ ‫داده‬
‫توزیع‬
‫ف‬ ‫تحت‬ ‫بیشتری‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ،
‫رض‬
‫صفر‬
‫دارند‬
.
، ‫دیگر‬ ‫طرف‬ ‫از‬
‫از‬ ‫دورتر‬ ‫فاصله‬ ‫در‬ ‫واقع‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫برای‬
‫است‬ ‫کمتر‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تحت‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ‫میانگین‬
.

26. ‫سطح‬
‫معناداری‬
𝛼
•
‫سطح‬
‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫گر‬ ‫تحلیل‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫خطایی‬ ‫مقدار‬ ‫داری‬ ‫معنی‬
‫است‬ ‫آن‬ ‫تحمل‬ ‫به‬ ‫حاضر‬
.
•
‫از‬ ، ‫معمول‬ ‫طور‬ ‫به‬
.05
=
α
‫شود‬ ‫می‬ ‫استفاده‬
(
‫است‬ ‫ممکن‬ ‫گاهی‬ ‫اگرچه‬
‫مانند‬ ‫سطوح‬ ‫سایر‬ ‫از‬
α = 0/01
‫شود‬ ‫استفاده‬
.)
‫که‬ ‫است‬ ‫معنی‬ ‫بدان‬ ‫این‬
‫مایلیم‬ ‫ما‬
5
‫می‬ ‫را‬ ‫واقعیت‬ ‫این‬ ‫یعنی‬ ، ‫کنیم‬ ‫تحمل‬ ‫را‬ ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫از‬ ٪
‫هر‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫پذیریم‬
20
‫نمونه‬
1
‫حتی‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ، ‫مورد‬
‫باشد‬ ‫درست‬ ‫اگر‬
.

‫مرحله‬
3
:
‫داری‬ ‫معنی‬ ‫سطح‬ ‫تعیین‬
𝛼
•
‫درباره‬ ‫تصمیم‬ ‫اتخاذ‬ ‫هنگام‬
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫عدم‬ ‫یا‬ ‫رد‬
‫نوع‬ ‫دو‬ ‫است‬ ‫ممکن‬
‫آید‬ ‫پیش‬ ‫خطا‬
:
.A
‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬
:
‫است‬ ‫درست‬ ‫که‬ ‫حالی‬ ‫در‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫کردن‬ ‫رد‬
.
.B
‫نوع‬ ‫خطای‬
‫دوم‬
:
‫رد‬
‫نکردن‬
‫که‬ ‫حالی‬ ‫در‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫نادرست‬
‫است‬
.
• α = P(‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫کردن‬ ‫|رد‬ ‫باشد‬ ‫درست‬ ‫صفر‬ ‫)فرض‬
• 𝛽 = P(‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫نکردن‬ ‫رد‬ | ‫باشد‬ ‫نادرست‬ ‫صفر‬ ‫)فرض‬
•
‫هر‬
‫چه‬
α
‫احتمال‬ ،‫شود‬ ‫بزرگتر‬
‫اینکه‬
𝐻0
‫را‬
‫عبارت‬ ‫به‬ ‫یا‬ ‫کنیم‬ ‫رد‬ ‫غلط‬ ‫به‬
‫یابد‬ ‫می‬ ‫افزایش‬ ،‫شویم‬ ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫مرتکب‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬ ،‫دیگر‬
.

27. ‫آماری‬ ‫توان‬

‫توان‬
‫یک‬ ‫آماری‬
‫آزمون‬
:
.A
‫فرض‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫درستی‬ ‫گیری‬‫نتیجه‬ ‫به‬ ‫منجر‬ ‫تست‬ ‫آن‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬
‫یه‬
‫شود‬‫می‬ ‫صفر‬
.
.B
‫واق‬ ‫در‬ ‫فرضیه‬ ‫وقتی‬ ‫کند‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫آن‬ ‫احتمال‬
‫غلط‬ ‫ع‬
‫است‬
.
.C
‫میکند‬ ‫مشخص‬ ‫را‬ ‫دو‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫از‬ ‫اجتناب‬ ‫احتمال‬
.
• P(‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫کردن‬ ‫رد‬ | ‫باشد‬ ‫نادرست‬ ‫صفر‬ ‫)فرض‬ =
• 1 − P(‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫نکردن‬ ‫رد‬ | ‫باشد‬ ‫نادرست‬ ‫صفر‬ ‫)فرض‬ =
• 1 − 𝛽

28. ‫توان‬ ‫بر‬ ‫موثر‬ ‫عوامل‬
‫آماری‬

‫دارند‬ ‫تاثیر‬ ‫آزمون‬ ‫توان‬ ‫بر‬ ‫زیر‬ ‫عوامل‬
:
•
𝛼
•
‫اندازه‬
‫نمونه‬
•
‫اثر‬ ‫اندازه‬
•
‫هرچه‬ ‫مرکزی‬ ‫حد‬ ‫قضیه‬ ‫طبق‬
‫پراکند‬ ، ‫شود‬ ‫می‬ ‫بزرگتر‬ ‫نمونه‬ ‫اندازه‬
‫گی‬
‫نزدیکت‬ ‫جمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫به‬ ‫توزیع‬ ‫میانگین‬ ‫و‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫کوچکتر‬
‫ر‬
‫است‬
.

29. ‫آماری‬ ‫توان‬ ‫بر‬ ‫موثر‬ ‫عوامل‬

30. 
‫مرحله‬
4
:
‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬ ‫تعیین‬
•
‫برای‬
‫آیا‬ ‫که‬ ‫شود‬ ‫مشخص‬ ‫اینکه‬
‫فرض‬ ‫با‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬
‫صفر‬
‫سازگ‬
‫ار‬
‫است‬
‫شود‬ ‫گرفته‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫مالکی‬ ‫باید‬ ‫نه‬ ‫یا‬
.

‫اول‬ ‫سوال‬
:
•
‫آیا‬
‫آماره‬ ‫ی‬ ‫اندازه‬
‫ی‬
‫نمونه‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫میتواند‬
‫برای‬ ‫معیاری‬
‫رد‬
‫رد‬ ‫عدم‬ ‫یا‬
‫صفر‬ ‫فرض‬
‫باشد‬
‫؟‬

31. 
‫دوم‬ ‫سوال‬
:
•
‫آیا‬
‫آماره‬ ‫ی‬ ‫فاصله‬
‫نمونه‬ ‫ی‬
(
‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫نتیجه‬
)
‫جمعیت‬ ‫پارامتر‬ ‫از‬
(
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تحت‬
)
‫میتواند‬
‫ب‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫عدم‬ ‫یا‬ ‫رد‬ ‫برای‬ ‫کاملی‬ ‫معیار‬
‫اشد؟‬

32. ‫میدهد؟‬ ‫نشان‬ ‫را‬ ‫تفاوت‬ ‫بیشترین‬ ‫یک‬ ‫کدام‬

33. ‫آماری‬ ‫آزمون‬
•
‫ی‬ ‫کرد‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫توان‬‫می‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫براساس‬ ‫آیا‬ ‫که‬ ‫شود‬ ‫مشخص‬ ‫تا‬ ‫میشود‬ ‫استفاده‬ ‫آماری‬ ‫آزمونهای‬ ‫از‬ ‫فرضیه‬ ‫آزمون‬ ‫در‬
‫نه‬ ‫ا‬
.
•
‫محاسبه‬ ‫با‬ ‫آماری‬ ‫های‬ ‫آزمون‬
«
‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬
»
‫و‬
«
‫بحرانی‬ ‫ی‬ ‫ناحیه‬
»
‫فرض‬ ‫رد‬ ‫عدم‬ ‫یا‬ ‫کردن‬ ‫رد‬ ‫برای‬ ‫معیاری‬ ، ‫آنها‬ ‫مقایسه‬ ‫سپس‬ ‫و‬
‫میکنند‬ ‫ارائه‬ ‫صفر‬
.
•
‫میکنند‬ ‫فرض‬ ‫درست‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫آماری‬ ‫های‬ ‫آزمون‬
.
‫پ‬ ‫مقادیر‬ ‫محدوده‬ ‫از‬ ‫خارج‬ ‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫آیا‬ ‫که‬ ‫کنند‬ ‫می‬ ‫تعیین‬ ‫سپس‬
‫یش‬
‫نه‬ ‫یا‬ ‫است‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫توسط‬ ‫شده‬ ‫بینی‬
.

34. ‫آزمون‬ ‫آماره‬

‫آزمون‬ ‫آماره‬
(
Test Statistic
)
:
•
«
‫آزمون‬ ‫آماره‬
»
‫ارزشی‬
‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫عددی‬
‫شود‬
.
•
‫شود‬‫می‬ ‫بیان‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫یک‬ ‫حسب‬ ‫بر‬ ً‫ال‬‫معمو‬ ‫آماری‬ ‫آزمون‬ ‫هر‬
.
•
‫آزمون‬ ‫آماره‬
=
.A
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫قبول‬ ‫با‬ ‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ − ‫نمونه‬ ‫آماره‬
‫نمونه‬ ‫آماره‬ ‫استاندارد‬ ‫خطای‬
.B
‫اثر‬ ‫یا‬ ‫رابطه‬ ‫اندازه‬
‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫خطای‬
•
‫باشد‬ ‫زیاد‬ ‫خطا‬ ‫به‬ ‫اثر‬ ‫نسبت‬ ‫است‬ ‫مطلوب‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫برای‬
.

35. ‫آماره‬
‫آزمون‬
•
‫آماره‬
‫رود‬ ‫می‬ ‫انتظار‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫در‬ ‫آنچه‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫آزمون‬
‫کند‬ ‫می‬ ‫مقایسه‬
.
.a
‫صفر‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬
:
‫اگر‬
‫انتظار‬ ‫با‬ ً‫ال‬‫کام‬ ‫نمونه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫اطالعات‬
‫ات‬
‫اس‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ، ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫مطابقت‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫ت‬
.
.b
‫کوچک‬ ‫اندازه‬ ‫با‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬
:
‫اندازه‬
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫برای‬ ‫کوچک‬
‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫در‬ ‫آنچه‬ ‫با‬ ‫نمونه‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫اطالعات‬ ‫که‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬
‫است‬ ‫متفاوت‬ ‫حدودی‬ ‫تا‬ ، ‫رود‬ ‫می‬ ‫انتظار‬
.
.c
‫بزرگ‬ ‫اندازه‬ ‫با‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬
:
‫اندازه‬
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫برای‬ ‫بزرگ‬
‫فرض‬ ‫صحت‬ ‫که‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫ارائه‬ ‫را‬ ‫نتایجی‬ ، ‫نمونه‬ ‫که‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬
‫رسد‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫به‬ ‫بعید‬ ‫صفر‬
.
• zc =
x − μX
σX
=
x − μ0
σ
n
•
‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬
(
‫توزیع‬
‫آماره‬
‫نمونه‬
:)
•
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫توزیع‬
:

36. ‫آماری‬ ‫آزمون‬ ‫انواع‬

‫آماری‬ ‫آزمون‬ ‫انوع‬
:
.A
‫پارامتریک‬ ‫های‬ ‫آزمون‬
:
‫است‬ ‫الزم‬ ‫هایي‬ ‫فرض‬ ‫پیش‬
.B
‫غیرپارامتریک‬ ‫های‬ ‫آزمون‬
:
‫فرض‬ ‫پیش‬ ‫بدون‬ ‫آزمونهاي‬

‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫برای‬ ‫پارامتریک‬ ‫های‬ ‫آزمون‬
:
•
‫آزمون‬ ‫از‬ ، ‫باشد‬ ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫یا‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫اگر‬
𝑍
‫آزمون‬ ‫یا‬
t
‫شود‬ ‫می‬ ‫استفاده‬
.
•
‫باشد‬ ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫بیش‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫اگر‬
‫از‬ ،
‫آزمون‬
f
‫شود‬ ‫می‬ ‫استفاده‬
.
•
‫هر‬
«
‫آماری‬ ‫آزمون‬
»
‫توام‬
‫یک‬ ‫با‬
«
‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬
»
‫است‬ ‫خاص‬
.
•
‫کار‬ ً‫ا‬‫اساس‬ ‫و‬ ‫ندارند‬ ‫یکدیگر‬ ‫با‬ ‫چندانی‬ ‫تفاوت‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫سه‬ ‫این‬
‫یکسانی‬
‫مختلف‬ ‫شرایط‬ ‫در‬ ‫فقط‬ ، ‫دهند‬ ‫می‬ ‫انجام‬ ‫را‬
.
‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬ ‫آماری‬ ‫آزمون‬
z − score z − test
t − statistic t − test
f − statistic ANOVA

38. ‫توزیع‬
t ‫توزیع‬
z

39. 
ANOVA
:
•
‫هرنوع‬
‫است‬ ‫آماری‬ ‫آزمون‬
‫تحت‬ ،‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬
،‫صفر‬ ‫فرض‬
‫دارای‬
‫توزیع‬
f
‫باشد‬
.
•
‫از‬ ‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫چند‬ ‫بین‬ ‫میانگین‬ ‫مقایسه‬ ‫منظور‬ ‫به‬
‫آزمون‬
‫و‬ ‫تحلیل‬
‫اریانس‬
‫شود‬‫می‬ ‫استفاده‬
.

40. ‫آماره‬ ‫محاسبه‬
‫آزمون‬
‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
‫جمعیت‬
:
‫میانگین‬
‫مقایسه‬ ‫جمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫نمونه‬
‫میکند‬
.
• μX = μ0
• σX =
σ
n
• z =
x−μ0
σ
n
• t =
x−μ0
S
n
, S = i=1
n
(xi−x)2
n−1
, df = n-1

41. ‫آماره‬ ‫محاسبه‬
‫آزمون‬
(a
‫باشد‬ ‫مشخص‬ ‫معیارها‬ ‫انحراف‬
(b
‫یا‬ ‫باشند‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫داری‬ ‫ها‬ ‫جمعیت‬
𝑛1,𝑛2 ≥ 30
‫باشد‬
• z =
𝑥1 − 𝑥2 −(𝜇1−𝜇2 )
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
(a
‫باشند‬ ‫برابر‬ ‫اما‬ ‫نامشخص‬ ‫معیارها‬ ‫انحراف‬
:
• t =
𝑥1 − 𝑥2 −(𝜇1−𝜇2 )
𝑆𝑝
2
𝑛1
+
𝑆𝑝
2
𝑛2
, 𝑆𝑝
2
=
𝑆1
2 𝑛1−1 −𝑆2
2(𝑛2−1)
𝑛1+𝑛2−2
• df = 𝑛1 + 𝑛2 − 2
(a
‫باشند‬ ‫نابرابر‬ ‫و‬ ‫نامشخص‬ ‫معیارها‬ ‫انحراف‬
:
• t =
𝑥1 − 𝑥2 −(𝜇1−𝜇2 )
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
df =
(
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
)2
1
𝑛1−1
(
𝑆1
2
𝑛1
)2+
1
𝑛2−1
(
𝑆2
2
𝑛2
)2
•
‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
‫مستقل‬
:
•
‫تفاوت‬
‫نمونه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬
‫را‬
‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫تفاوت‬ ‫با‬
‫مقایسه‬
‫م‬
‫یکند‬
.

42. ‫آماره‬ ‫محاسبه‬
‫آزمون‬
•
‫وابسته‬ ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
:
•
‫میانگین‬
‫تفاوت‬
‫نمونه‬
‫ها‬
‫با‬ ‫را‬
‫جمعیت‬ ‫کل‬ ‫تفاوت‬ ‫میانگین‬
‫مقایس‬
‫میکند‬ ‫ه‬
.
• Di = X1i − X2i
• D = i=1
n
Di
n
• SD = i=1
n (Di−D)2
n
• t =
D−μD
SD
n
df = n-1

43. ‫ناحیه‬
‫بحرانی‬

‫مرحله‬
5
:
‫ناحیه‬ ‫تعیین‬
‫بحرانی‬
•
‫هر‬
‫چه‬
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬
،
‫چه‬
‫جهت‬ ‫در‬ ‫چه‬ ‫و‬ ‫مثبت‬ ‫جهت‬ ‫در‬
‫منفی‬
،
‫بزرگتر‬
‫خو‬ ‫وجود‬ ‫به‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫برای‬ ‫بیشتری‬ ‫احتمال‬ ‫باشد‬
‫آمد‬ ‫اهد‬
‫و‬
‫چه‬ ‫هر‬
‫به‬
‫فر‬ ‫پذیرش‬ ‫برای‬ ‫بیشتری‬ ‫احتمال‬ ‫باشد‬ ‫نزدیکتر‬ ‫صفر‬
‫صفر‬ ‫ض‬
‫داشت‬ ‫خواهد‬ ‫وجود‬
.
(
‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫داری‬‫معنی‬ ‫تفاوت‬ ‫یعنی‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
).
•
‫تا‬ ‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬
‫باشد‬ ‫دار‬ ‫معنی‬ ‫آماری‬ ‫نظر‬ ‫از‬ ‫تا‬ ‫باشد‬ ‫باید‬ ‫اندازه‬ ‫چه‬
.
•
‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
(
Critical Region
)
:
،‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫توزیع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬
‫یک‬
«
‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
»
‫شود‬‫می‬ ‫ساخته‬
.
‫برای‬ ‫رد‬ ‫ناحیه‬
𝐻0
‫مقادیر‬ ‫شامل‬
‫م‬ ‫نظر‬ ‫به‬ ‫بعید‬ ،‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫صحت‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫آزمون‬ ‫ی‬ ‫آماره‬
‫ی‬
‫رسد‬
.
•
‫در‬ ، ‫نمونه‬ ‫از‬ ‫شده‬ ‫محاسبه‬ ، ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬ ‫که‬ ‫هنگامی‬
‫رد‬ ‫ناحیه‬
‫ص‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫زیرا‬ ‫کنید‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫شما‬ ، ‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬
‫حیح‬
‫است‬ ‫بعید‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬ ‫این‬ ، ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫بودن‬
.

44. ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫تعیین‬
•
‫ناحیه‬
‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫ساختار‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫آزمون‬ ‫یک‬ ‫رد‬
(
𝐻1
)
‫میگردد‬ ‫تعیین‬
.
•
‫مقدار‬
‫معناداری‬ ‫سطح‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫بحرانی‬
𝛼
‫آماری‬ ‫آزمون‬ ‫جدول‬ ‫و‬
‫میشود‬ ‫تعیین‬ ‫مربوطه‬
.

45. ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫محاسبه‬

46. P-Value
•
P-Value
:
•
‫عبارت‬
‫باشد‬ ‫درست‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫اگر‬ ‫آنکه‬ ‫احتمال‬ ‫از‬ ‫است‬
(
‫یعنی‬
µ0
=
µ
)
‫تواند‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫ناحیه‬ ‫جهت‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ،
‫تر‬ ‫غیرمعمول‬
‫مقداری‬ ‫از‬
‫است‬ ‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫واقعا‬ ‫که‬ ‫باشد‬
.
•
‫این‬
‫مشاهده‬ ‫تفاوت‬ ‫یک‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫احتمال‬
‫به‬ ‫شده‬
‫طور‬
‫اث‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫تصادفی‬
‫ر‬
‫شانس‬
‫خاصی‬ ‫دلیل‬ ‫به‬ ‫نه‬ ‫و‬ ‫باشد‬ ‫افتاده‬ ‫اتفاق‬
.
•
‫مقدار‬ ، ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫انتخاب‬ ‫را‬ ‫آلفا‬ ‫مقدار‬ ‫که‬ ‫حالی‬ ‫در‬
p
‫محاسبه‬ ‫مقدار‬ ‫یک‬
‫است‬ ‫شده‬
.

‫مرحله‬
6
:
‫تعیین‬
P-Value
•
𝛼
‫ک‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫شما‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫احتمال‬ ‫این‬ ، ‫معناداری‬ ‫سطح‬ ،
‫نید‬
‫است‬ ‫درست‬ ‫واقع‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫حالی‬ ‫در‬
.
•
‫معناداری‬ ‫سطح‬ ‫از‬ ‫سوال‬ ‫یک‬ ‫بررسی‬ ‫هنگام‬ ‫مختلف‬ ‫محققان‬ ‫که‬ ‫آنجا‬ ‫از‬
‫در‬ ‫خواننده‬ ‫یک‬ ‫اوقات‬ ‫گاهی‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ، ‫کنند‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫متفاوتی‬
‫مقایسه‬
‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫مشکل‬ ‫مختلف‬ ‫آزمون‬ ‫دو‬ ‫نتایج‬
.
‫مقادیر‬
P
‫این‬ ‫برای‬ ‫حلی‬ ‫راه‬
‫دهند‬ ‫می‬ ‫ارائه‬ ‫مسئله‬
.

47. P-Value
•
‫قاعده‬
‫بر‬ ‫مبتنی‬ ‫تصمیم‬
P-Value
‫است‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬
:
.A
‫اگر‬
P-Value ≥ α
‫گزینه‬ ‫باشد‬
𝐻0
‫بگیرید‬ ‫نتیجه‬ ‫را‬
:
‫مقدار‬
p
‫و‬ ‫است‬ ‫داده‬ ‫رخ‬ ‫اتفاقی‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫نتیجه‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫این‬ ‫بر‬ ‫داللت‬ ‫بزرگ‬
‫هیچ‬
‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫در‬ ‫تردید‬ ‫برای‬ ‫دلیلی‬
.
.B
‫اگر‬
P-Value ≤α
‫گزینه‬ ‫باشد‬
𝐻1
‫نتیجه‬ ‫را‬
‫بگیرید‬
:
‫مقدار‬
p
‫اتفاق‬ ‫تصادفی‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫نتیجه‬ ‫که‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫کوچک‬
‫گیرد‬ ‫می‬ ‫بر‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫خاصی‬ ‫علت‬ ‫عوض‬ ‫در‬ ‫و‬ ، ‫باشد‬ ‫نیفتاده‬
.

48. P-Value
•
P-Value
:
‫به‬
‫نگه‬ ‫را‬ ‫مقداری‬ ‫هیچ‬ ‫خود‬ ‫خودی‬
‫دارد‬ ‫نمی‬
!!!
•
‫وقتی‬
‫ای‬ ‫نمونه‬
‫می‬ ‫انتخاب‬ ‫جمعیت‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫تصادفی‬ ‫طور‬ ‫به‬
‫شود‬
،
‫سمت‬ ‫در‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬
‫قرمز‬ ‫نقطه‬ ‫راست‬
‫به‬ ‫را‬ ‫بگیرد‬ ‫قرار‬
‫می‬ ‫ما‬
‫گو‬
‫ید‬
.
•
𝛼
:
‫که‬ ‫حالی‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫رد‬ ‫را‬ ‫صفر‬ ‫فرضیه‬ ‫شما‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫احتمال‬ ‫این‬
‫در‬
‫است‬ ‫درست‬ ‫واقع‬
.
•
‫از‬ ‫نمونه‬ ‫نمره‬ ‫آوردن‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫احتمال‬ ‫اگر‬
𝛼
، ‫باشد‬ ‫کمتر‬
‫معناداری‬ ‫تفاوت‬
‫دارد‬ ‫جمعیت‬ ‫با‬
.
‫را‬ ‫آن‬ ‫حتی‬
‫جدید‬ ‫نمونه‬ ‫توزیعهای‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫به‬ ‫متعلق‬
‫می‬
‫دانیم‬
.

49. P-Value

𝛼 > P-Value
:
‫ن‬
‫نمونه‬ ‫از‬ ‫آمده‬ ‫بدست‬ ‫تایج‬
، ‫هستند‬ ‫بعید‬ ‫بسیار‬
‫و‬
‫از‬
‫تع‬ ‫دیگر‬ ‫های‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫زیادی‬ ‫احتمال‬ ‫رو‬ ‫این‬
‫لق‬
‫باشد‬ ‫داشته‬
•
‫کم‬ ‫بسیار‬ ‫تصادفی‬ ‫بسیار‬ ‫نتیجه‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬
‫است‬
.

𝛼 < P-Value
:
‫یک‬ ‫فقط‬ ‫نمونه‬ ‫نتایج‬
‫احتمال‬ ‫با‬ ‫رویداد‬
، ‫کم‬
‫در‬
‫ت‬
‫وزیع‬
‫آید‬ ‫می‬ ‫بدست‬ ‫شانس‬ ‫توسط‬ ‫زیاد‬ ‫احتمال‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫جمعیت‬
.
•
‫از‬ ‫بخشی‬ ‫زیاد‬ ‫احتمال‬ ‫به‬ ‫آمده‬ ‫بدست‬ ‫نتایج‬
‫است‬ ‫جمعیت‬ ‫توزیع‬ ‫همان‬
‫تا‬
‫باشد‬ ‫دیگر‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫بخشی‬ ‫اینکه‬
.