Документ рассматривает помехоустойчивое кодирование, включая циклические коды, сверточные коды и коды Рида-Соломона. Он описывает конструкции циклических кодов через полиномиальные представления и операции над ними, а также методы обнаружения и исправления ошибок. Документ также обсуждает особенности сверточных кодов и алгоритм декодирования Витерби.

1. ЛЕКЦИЯ 14

2. Помехоустойчивое кодирование (продолжение) Циклические коды Сверточные коды Коды Рида-Соломона

3. Циклические коды Циклическими кодами называют специальную группу кодов, для построения которых могут быть использованы циклические свойства квадратных матриц, а также коды, которые описываются неприводимыми, образующими (порождающими) многочленами (полиномами). Циклические коды относятся к систематическим ( n , k )-кодам, в которых контрольные r и информационные k разряды расположены на строго определенных местах ( n = k + r ).

4. Полиномиальное представление кодовой комбинации P ( x ) = a n x n + a n -1 x n -1 + a n -2 x n -2 + …+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 x, где a n , a n -1 , a n -2 , … , a 2 , a 1 , a 0 – значения разрядов кодовой комбинации с номерами n, n–1, n–2, …, 2, 1, 0. Например, P ( x ) = x 5 + x 3 + x 2 + 1 – полиномиальное представление кодовой комбинации 101101 .

5. Построение циклических кодов Кодовые комбинации при построении циклических кодов рассматриваются как многочлены. Действия над ними производятся также, как в обычной алгебре, с заменой сложения и вычитания операцией сложения по модулю 2. Циклический ( n,k ) - код получают следующим образом: заданный многочлен h ( х ) умножается на одночлен х n - k , полученный многочлен делится на образующий многочлен g ( х ), полученный остаток суммируется с произведением h ( х ) х n - k .

6. Построение циклических кодов Для построения циклических кодов так же, как и в случае кодов Хэмминга, можно использовать образующую (порождающую) матрицу G k  n : R k  ( n – k ) – матрица остатков r i от деления полинома x 2( n – k )– i – 1 на образующий многочлен g ( x ) для всех строк с номерами i = 1, 2, …, k .

7. Обнаружение и исправление ошибок Для обнаружения ошибок можно использовать проверочную матрицу так же как и в случае кодов Хэмминга

8. Неприводимые полиномы x +1 x 2 + x +1 x 3 + x +1 x 3 +x 2 +1 x 4 + x +1 x 4 + x 3 +1 x 4 + x 3 + x 2 + x +1 x 5 + x 2 +1 x 5 + x 3 +1 x 5 + x 3 + x 4 + x +1 x 5 + x 4 + x 2 + x +1 x 5 + x 4 + x 3 + x +1 x 5 + x 4 + x 3 + x 2 +1 x 6 + x +1 x 6 + x 3 +1 x 6 + x 5 +1 x 7 + x +1 x 7 + x 3 +1 x 7 + x 3 + x 2 + x +1 …

9. Сверточные коды и коды Рида-Соломона Сверточные коды – это коды, исправляющие ошибки, которые используют непрерывную, или последовательную, обработку информации короткими блоками. Символы на выходе сверточного кодера зависят как от информационных символов на входе, так и от предыдущих обработанных символов, т.е. сверточный кодер представляет собой автомат с памятью. Наиболее распространенным методом декодирования является алгоритм Витерби. Коды Рида-Соломона являются q -ичными кодами, где q > 2. Структура кодов Рида-Соломона и алгоритм декодирования описывается с помощью спектральных методов.

10. Вопросы Циклические коды Полиномиальное представление циклических кодов Операции над циклическими кодами Систематические циклические коды Полиномиальное представление циклических кодов Порождающая матрица Проверочная матрица Обнаружение и исправление ошибок Сверточные коды Коды Рида-Соломона