Ковариационный анализ (главная)

9.1. КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Сравнение средних − один из способов выявления взаимосвязи между переменными −
признаками, характеризующими исследуемую совокупность объектов. Если при
разбиении объектов исследования на подгруппы при помощи категориальной
независимой переменной (категориального предиктора) верна гипотеза о неравенстве
средних некоторой зависимой переменной (отклика) в подгруппах, то это означает, что
существует стохастическая взаимосвязь между зависимой переменной и категориальным
предиктором. Так, например, если установлено, что неверна гипотеза о равенстве средних
показателей физического и интеллектуального развития детей в группах матерей,
куривших и не куривших в период беременности, то это означает, что существует
зависимость между курением матери ребенка в период беременности и его
интеллектуальным и физическим развитием.
Наиболее общий метод сравнения средних − дисперсионный анализ (ANOVA).
Дисперсионный анализ можно определить как параметрический, статистический метод,
предназначенный для оценки влияния различных категориальных предикторов (факторов)
на результат эксперимента, а также для последующего планирования экспериментов.
Поэтому в дисперсионном анализе можно исследовать зависимость количественного
признака – отклика от одного или нескольких факторов и их комбинаций. В терминологии
пакета STATISTICA категориальные предикторы и их комбинации называются эффектами.
Дисперсионный анализ позволяет построить регрессионную модель зависимости отклика
от эффектов.
Регрессионный анализ позволяет исследовать зависимость количественного признака −
отклика от одной, или нескольких независимых количественных предикторов (факторов)
и построить математическую модель зависимости, которая называется уравнением
регрессии.
В отличие от дисперсионного и регрессионного анализа ковариационный анализ
(ANCOVA) − раздел анализа данных, ставящий своей целью исследовать характер
взаимосвязи между зависимой величиной – откликом и набором количественных и
качественных независимых величин – предикторов и построить регрессионную модель,
т.е. он является как бы синтезом регрессионного и дисперсионного анализа. Независимые
количественные переменные, относящиеся к интервальной шкале или к шкале отношений
(метрической), называются ковариатами. Поэтому, в качестве ковариат должна
использоваться непрерывная величина, или дискретная (порядковая) с большим
количеством значений.
Если в дисперсионном анализе оценивается степень случайной изменчивости отклика
со стороны эффектов – категориальных предикторов и их комбинаций, то в
ковариационном анализе оценивается степень изменчивости отклика также и со стороны
непрерывных предикторов, называемых ковариатами. В отношении ковариат делаются
предположения о том, что они наряду с эффектами обуславливают некоторую долю
вариации (изменчивости) зависимой переменной. Если степень изменчивости отклика от
ковариат велика, то мы говорим о статистически значимом воздействии ковариат на
отклик.
Ковариационный анализ в отличие от метода общие регрессионные модели позволяет
оценить статистическую значимость влияния ковариат на отклик при исключении
изменчивости отклика со стороны эффектов, т.е. в предположении, что эффекты
принимают фиксированные значения; и при исключении изменчивости отклика со
стороны ковариаты, т.е. в предположении, что ковариата принимает фиксированное
значение.
В силу изложенных обстоятельств, ковариационный анализ есть смысл проводить, если
предварительно установлено наличие статистически значимой взаимосвязи между
откликом и эффектами – категориальными предикторами и их комбинацией посредством

непараметрической корреляции или дисперсионным анализом. Если значимой
взаимосвязи нет, то для оценки степени воздействия ковариат на отклик достаточно
воспользоваться обычным регрессионным анализом.
Аналогично, при помощи регрессионного или корреляционного анализа целесообразно
установить наличие статистической взаимосвязи между откликом и ковариатами. Если
такой взаимосвязи нет, то для оценки влияния эффектов на отклик достаточно
воспользоваться обычным дисперсионным анализом.
Рассмотрим применение ковариационного анализа на примере из области психиатрии.
В работе [46] анализируется эффективность психофармакотерапии (ФТ), групповой
когнитивно-поведенческой терапии (гКПТ) и комбинированной терапии (гКПТ + ФТ) для
лечения депрессивных расстройств непсихотического уровня в стационаре. Случайным
способом выделены 2 группы: основная – 65 чел и контрольная – 56 чел., всего 121 чел.
Основная группа получала гКПТ + ФТ, контрольная – только ФТ. Показано, что
применение комбинированного лечения оказывается более эффективным в отношении
редукции депрессивной симптоматики, а так же для формирования полной и устойчивой
ремиссии. При этом важной задачей является выявление предикторов эффективности
гКПТ + ФТ в лечении депрессивных расстройств и определение механизма воздействия
этих факторов на результативность лечения. Исследования проводили посредством
ковариационного анализа. Так как в процессе проведения комбинированного лечения 17
пациентов прекратили групповую когнитивно-поведенческую терапию, в анализе
использовали данные 104 чел.
В качестве качественных и количественных предикторов рассматривали социально-
демографические и клинические показатели.
Социально-демографические:
– группа;
– пол;
– социальный статус (работает/не работает);
– семейное положение (есть/нет партнер);
– уровень образования (среднее, среднее специальное, н/з высшее, высшее).
Клинические:
– диагноз по МКБ-10 (текущий);
– нозологический диагноз (текущий);
– длительность заболевания;
– личностные особенности;
– дополнительные актуальные сведения (отягощенный анамнез)
– показатель выраженности тяжести депрессии по шкале депрессии Бека в баллах до
лечения.
В качестве зависимой переменной, то есть критерия эффективности, или отклика,
использовали степень снижения тяжести депрессии за курс гКПТ + ФТ, которую
определяли как разность
dBDI = Pre BDI – Post BDI,
где, Pre BDI и Post BDI – показатели выраженности тяжести депрессии по шкале
депрессии Бека в баллах до и после лечения. В анализируемых данных отклик dBDI
принимал значение от 8 до 31. Положительное значение означает улучшение состояния
больного, отрицательное – ухудшение. Показатель Post BDI варьировался от 2 до 35, а Pre
BDI – от 12 до 46.
Из совокупности перечисленных предикторов посредством корреляции Спирмена и
статистики гамма были выделены переменные, имеющие статистически значимую
взаимосвязь с откликом dBDI (рис.9.1.1, 9.1.2). Это показатели: группа, социальный
статус, нозологический диагноз, длительность заболевания, показатель тяжести депрессии

по шкале депрессии Бека в баллах до лечения. Фрагмент файла из первых 25 больных
основной группы приведен на рис.9.1.1.
1
Группа
2
Социальный
статус (раб/не
раб)
3
Нозолог.
диагноз
4
Длительность
заболевания
(качеств.)
5
Pre BDI
6
Post BDI-2
7
dBDI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Основная Работает реакт. деп до 1 мес 22 5 17
Основная Работает деп. невр до 3 лет 19 8 11
Основная Не работ реакт. деп до 1 года 37 10 27
Основная Не работ эндор. дист. 5 и бол 36 8 28
Основная Работает деп. невр до 1 года 32 20 12
Основная Работает моноп. тип 3-5 лет 15 9 6
Основная Не работ деп. невр 3-5 лет 19 7 12
Основная Не работ деп. невр до 3 лет 14 5 9
Основная Не работ деп. невр до 1 года 39 8 31
Основная Не работ деп. невр до 3 лет 32 7 25
Основная Работает деп. невр 5 и бол 21 12 9
Основная Работает реакт. деп до 1 года 16 5 11
Основная Не работ моноп. тип 5 и бол 38 31 7
Основная Не работ деп. невр до 1 года 22 7 15
Основная Работает деп. невр 5 и бол 13 3 10
Рис.9.1.1
Ранговые корреляции Спирмена (Data)
ПД попарно удалены
Отмеченные корреляции значимы на уровне p <
Перем. dBDI
Группа
Социальный статус (раб/не раб)
Нозологический диагноз (текущий)
Длительность заболевания (качеств.)
Pre BDI
Диагноз по МКБ-10 (текущий)
Уровень образования
Семейное положение (есть/нет партнер)
Личностные особенности
Дополнительные актуальные сведения (есть/нет)
Пол
-0,465511
0,169208
-0,260782
-0,183063
0,637909
-0,033644
0,129441
-0,012866
-0,050464
-0,133975
0,043142
Рис.9.1.2

Гамма корреляция (Data)
ПД попарно удалены
Отмеченные корреляции значимы на уровне p <,
Перем. dBDI
Группа
Нозологический диагноз (текущий)
Pre BDI
Диагноз по МКБ-10 (текущий)
Уровень образования
Семейное положение (есть/нет партнер)
Личностные особенности
Дополнительные актуальные сведения (есть/нет)
Пол
-0,564945
0,207772
-0,314010
-0,173279
0,532125
-0,032992
0,121287
-0,015662
-0,047716
-0,177007
0,053429
Рис.9.1.3
Единственная количественная переменная Pre BDI имеет умеренную, близкую к
сильной корреляцию с откликом dBDI (коэффициент Спирмена = 0,637, статистика гамма
= 0,53). Поэтому при проведении ковариационного анализа в качестве ковариаты
использовали именно Pre BDI – показатель тяжести депрессии по шкале Бека до начала
лечения.
Цель исследования – ответить на следующие вопросы:
– какова степень влияния перечисленных социо-демографических и клинических
характеристик на эффективность лечения комбинированной терапией (гКПТ + ФТ);
– будет ли их влияние оставаться значимым с учетом вклада показателя тяжести
депрессии до начала лечения – Pre BDI?
Так как лейтмотивом исследования является сравнительный анализ основной и
контрольной группы относительно эффективности лечения, в качестве одного из
категориальных предикторов рассматривали переменную Группа, принимающую два
значения – основная и контрольная.
Категориальные предикторы – Группа, Социальный статус
Дисперсионный анализ. Для оценки степени и характера взаимосвязи отклика dBDI и
факторов Группа, Социальный статус воспользуемся модулем Дисперсионный анализ.
Для этого в меню Анализ выберем одноименную процедуру. Откроется окно Общий ДА.
При установках соответствующих рис.9.1.4 щелкнем по ОК, далее в диалоге Факторный
ДА (рис.9.1.5) нажмем кнопку Переменные и выделим в качестве зависимой переменной
dBDI, а в качестве категориальных – Группа, Соц.стат (рис.9.1.6). Щелкнем по ОК и,
программа вновь откроет окно стартового диалога (рис.9.1.7).

Рис.9.1.4
Рис.9.1.5
Рис.9.1.6

Рис.9.1.7
Для получения результатов дисперсионного анализа следует щелкнуть по ОК, появится
окно Результаты анализа, на вкладке Итоги (рис.9.1.8) которого расположены кнопки,
позволяющие вывести таблицы с основными результатами дисперсионного анализа.
Рис.9.1.8
Если нажать на кнопку Одномерные результаты, то появится таблица (рис.9.1.9), в
которой приведены результаты дисперсионного анализа для оценки степени и характера
взаимосвязи отклика dBDI и факторов Группа, Социальный статус. Категориальная
переменная Социальный статус принимает два текстовых значения – Работает, Не

работает. Из таблицы видно, что статистически значимы эффекты Группа и Социальный
статус, так как уровни значимости р критерия Фишера меньше, чем 0,05, т.е. на
изменчивость отклика dBDI значимо влияют факторы Группа и Социальный статус,
влияние эффекта Группа*Социальный статус статистически незначимо. Другими словами
факторы Группа, Социальный статус влияют на отклик, но они не взаимодействуют в
своем влиянии на него. Наибольший вклад в уравнение регрессии имеет фактор Группа,
так как статистика SS, равная 1240,31, принимает наибольшее значение.
Одномерный критерий значимости дляdBDI(Data)
Сигма-ограниченная параметризация
Декомпозиция гипотезы
Эффект
SS Степени
свободы
MS F p
Св. член
Группа
Группа*Социальный статус (раб/не раб)
Ошибка
17219,86 1 17219,86305,94900,000000
1240,31 1 1240,31 22,0369 0,000009
317,98 1 317,98 5,6496 0,019362
32,93 1 32,93 0,5850 0,446154
5628,34 100 56,28
Рис.9.1.9
Воздействие факторов на отклик проявляется в различии средних в группах больных.
Для анализа средних значений отклика в подгруппах следует при помощи кнопки Больше
перейти в диалог Результаты анализа (рис.9.1.10), далее на вкладке Апостер. нажать на
кнопку Фишера НЗР, выделяя в поле Эффект эффекты, в соответствии с которыми
программа произведет разбиение больных на подгруппы. Результаты анализа
представлены в таблицах на рис.9.1.11 – 13.
Рис.9.1.10

В подгруппах Основная и Контрольная средние отклика dBDI (16,25 и 9,35) отличаются
статистически значимо, так как уровень значимости р = 0,000015 по критерию НЗР
(наименьшей значимой разности) меньше, чем 0,05 (рис.9.1.11).
НЗР крит.; перем.dBDI(Data)
Вероятности для апостер. критериев
Ошибка: Межгр. MS = 59,472, cc = 100,00
N ячейки
Группа {1}
16,250
{2}
9,3571
1
2
Основная 0,000015
Контрольная0,000015
Рис.9.1.11
В подгруппах Работает и Не работает средние отличаются статистически значимо,
так как уровень значимости р по критерию НЗР меньше, чем 0,05 (рис.9.1.12). Из данных
таблицы следует, что лечение комбинированным методом эффективнее для не
работающих больных – среднее значение разности показателя тяжести депрессии по
шкале Бека до и после лечения, равное 14,468, статистически значимо больше, чем тот же
показатель – 10,947 в группе работающих больных.
N ячейки
Социальный
раб)
{1}
10,947
{2}
14,468
1
2
Работает 0,019119
Не работ 0,019119
Рис.9.1.12
Из рис.9.1.13 видно, что статистически значимо отличие средних (14,115; 18,773)
для подгрупп {1, 2} (Основная, Работает; Основная, Не работает). В подгруппах {3, 4}
(Контрольная, Работает; Контрольная, Не работает) статистически значимого отличия
средних (8,29; 10,68) нет. Это означает, что для основной группы, где применялась
комбинированная терапия, результаты лечения зависят от социального статуса – работает,
или не работает больной. В контрольной группе, где применялось только ФТ, результаты
лечения не зависят от социального статуса.
N ячейки
Группа Социальный
раб)
{1}
14,115
{2}
18,773
{3}
8,2903
{4}
10,680
1
2
3
4
Основная Работает 0,0345380,0043290,105242
Основная Не работ 0,034538 0,0000020,000365
Контрольная Работает0,0043290,000002 0,238839
Контрольная Не работ 0,1052420,0003650,238839
Рис.9.1.13
Вернемся в диалог на рис.9.1.8 и нажмем на кнопку Коэффициенты. В
соответствии с параметрами, приведенными в столбце Парам. таблицы на рис.9.1.14
составим уравнение регрессии для оценки среднего значения отклика для произвольной
подгруппы больных эффекта Группа*Социальный статус.

dBDI = 12,964 + 3,479Группа(Основная) – 1,762Социальный статус(Работает) –
0,566Группа*Социальный статус(1)
Оценки параметров (Data)
Эффект
Уровень
Эффект
Столбец dBDI
Парам.
dBDI
Стд.ош.
dBDI
t
dBDI
p
-95,0
Дов.п
Св. член
Группа
1 12,964610,74119917,491400,000000 11,4
Основная 2 3,47945 0,741199 4,69435 0,000009 2,0
Работает 3 -1,76176 0,741199 -2,37690 0,019362 -3,2
1 4 -0,56692 0,741199 -0,76486 0,446154 -2,0
Рис.9.1.14
Коэффициент при эффекте Группа*Социальный статус статистически незначим (р
критерия Стьюдента (t-критерия) > 0,5), поэтому из модели его в принципе можно
исключить. При помощи построенного уравнения можно оценить среднее значение
отклика для произвольной подгруппы больных эффекта Группа*Социальный статус.
Для того, чтобы определить, как закодированы категориальные переменные в общей
линейной модели, воспользуемся таблицей Метки столбцов на рис.9.1.15, для появления
которой надо воспользоваться кнопкой Члены плана. Для кодирования категориальных
предикторов в модуле использована сигма-ограниченная параметризация. При такой
параметризации каждый эффект (фактор) представляется в виде совокупности
одноименных двухуровневых эффектов. Например, так как переменная Соц.стат. имеет
два уровня, то она и представляется с двумя уровнями: Работает, Не работает.
Переменная Группа также представлена двумя уровнями: Основная, Контрольная. При
этом уровню 1 присваивается числовое значение 1, а уровню 2 – числовое значение 0.
Метки столбцов (Таблица псих)
Метки столбцов матрицы плана X
Метка
Столбец перемен. Уровень
перемен.
сравн.с
уровнем
перемен. Уровень
перемен.
сравн.с
уровнем
Св. член
Группа
Соц стат
Группа*Соц стат
1
2 Группа Основная Контрольная
3 Соц стат Работает Не работ
4 Группа Основная Контрольная Соц стат Работает Не работ
Рис.9.1.15
Например, если рассматривается предиктор Соц.стат., то альтернативным значениям
предиктора Работает, Не работает будут присвоены соответственно значения 1 и 0,
которые будут представлять количественные различия между группами наблюдений
(больных) Работает, Не работает. Альтернативным значениям предиктора Группа
будут присвоены значения 1 и 0, которые будут представлять количественные различия
между группами наблюдений (больных) Основная, Контрольная.
Значения, обозначающие членство в одной из двух групп, выбираются с учетом
облегчения последующей интерпретации регрессионного коэффициента,
соответствующего этому предиктору. Поэтому, если регрессионный коэффициент для
этой переменной является положительным, то группа, закодированная с помощью
значения 1, будет иметь большее предсказанное значение отклика. Если получен
отрицательный регрессионный коэффициент, то группа, закодированная значением 1,
будет иметь меньшее предсказанное значение отклика.
Значения сложных эффектов Группа*Соц.стат. также кодируются числами 1 и 0,
которые являются результатами умножения соответствующих числовых значений

предикторов Группа, Соц.стат. Так, для эффекта Группа*Соц.стат возможны следующие
4 комбинации Основная*Работает, Основная*Не работает, Контрольная*Работает,
Контрольная* Не работает, которые будут закодированы как 1·1 =1, 1·0 = 0, 0·1 = 0, 0·0
= 0. При этом, сумма кодов каждого простого и сложного эффекта равна 1.
В качестве примера оценим среднее значение отклика для подгруппы Основная*Не
работает:
dBDI = 12,964 + 3,479·1 – 1,762·0 – 0,566·0 = 16,443 ≈ 16 (баллов)
Обратите внимание, что вычисленная по уравнению оценка среднего 16,443
достаточно близка к среднему значению 18,773, приведенному в таблице на рис.9.1.13.
Мы получили достаточно точную оценку, хотя в целом модель неадекватная, так как
коэффициент детерминации (рис.9.1.16) принимает малое, близкое к 0 значение (R2
=
0,217) и описывает всего 21% изменчивости отклика. Для получения таблицы со
значениями R и R2
следует воспользоваться кнопкой Общая R модели.
SS модели и SS остатков (Data)
Зависим.
перемен.
Множест.
R
Множест.
R2
Скоррект
R2
SS
Модель
ст.св.
Модель
MS
Модель
SS
Остаток
F p
dBDI 0,466494 0,217617 0,1941451565,502 3 521,83395628,3459,2715340,000018
Рис.9.1.16
Регрессионный анализ. Следующим этапом исследования, необходимо оценить
степень влияния ковариаты на отклик. Для этого при помощи модуля Множественный
регрессионный анализ построим регрессионное уравнение. Выберем в меню Анализ
процедуру Множественный регрессионный анализ, щелкнем по кнопке Переменные в
стартовом диалоге (рис.9.1.17) и высветим имена зависимой и независимой переменных
(рис.9.1.18).
Рис.9.1.17

Рис.9.1.18
В стартовом диалоге щелкнем по ОК, появится окно результатов анализа Результаты
множественной регрессии (рис.9.1.19).
Рис.9.1.19

Если нажать на кнопку Итоговая таблица регрессии, то программа построит таблицу, в
которой в столбце В отображены параметры (коэффициенты) уравнения регрессии
(рис.9.1.20).
Итоги регрессии для зависимой переменной:dBDI(Data)
R= ,71892371 R2= ,51685131 Скорректир. R2= ,51211455
F(1,102)=109,12 p<,00000 Станд. ошибка оценки: 5,8374
N=104
БЕТА Стд.Ош.
БЕТА
B Стд.Ош.
B
t(102) p-уров.
Св.член
Pre BDI
-2,351551,536087 -1,53087 0,128897
0,7189240,068824 0,650660,06228910,445820,000000
Рис.9.1.20
Построено достаточно адекватное линейное уравнение (R2
= 0,52). Несмотря на то, что
свободный член статистически незначим, уравнение статистически значимо, так как
уровень значимости р критерия Фишера меньше, чем 0,00000. Уравнение имеет вид:
dBDI = – 2,35 + 0,65Pre BDI.
Посредством данного уравнения по значениям предиктора Pre BDI можно
прогнозировать значение отклика dBDI для произвольного больного. При этом, чем выше
показатель выраженности тяжести депрессии по шкале депрессии Бека в баллах до
лечения, тем выше степень снижения тяжести депрессии за курс комбинированного
лечения гКПТ + ФТ (рис.9.1.21), т.е. результаты комбинированного лечения выше у
больных изначально находящихся в более тяжелом состоянии.
Диаграмма рассеяния для dBDI и Pre BDI - 1
Data 99v*121c
dBDI = -2,3516+0,6507*x
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Pre BDI - 1
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
dBDI
Рис.9.1.21
Таким образом, посредством дисперсионного и регрессионного анализа показано
статистически значимое воздействие факторов и ковариаты на отклик, построены
математические модели выявленных взаимосвязей. Полученные результаты делают
целесообразным применение модуля Ковариационный анализ для оценки степени влияния
ковариаты Pre BDI на воздействие факторов Социальный статус и Группа на отклик
dBDI.
Ковариационный анализ. Для проведения ковариационного анализа следует в меню
Анализ выбрать процедуру Общие линейные модели (рис.9.1.22).

Рис.9.1.22
В появившемся диалоге выбрать модуль Ковариационный анализ (рис.9.1.23).

Рис.9.1.23
Далее в стартовом диалоге модуля (рис.9.1.24) надо нажать на кнопку переменные,
выделить зависимую переменную, категориальные и непрерывные предикторы в
соответствии с рис.9.1.25. Если после осуществленных манипуляций щелкнуть по ОК, то
появится окно GLM Результаты (рис.9.1.26). Схема проведения последующего анализа
полностью идентична ранее описанному дисперсионному анализу, поэтому нет
необходимости в подробном изложении.
Рис.9.1.24
Рис.9.1.25

Рис.9.1.26
Итоги ковариационного анализа представлены в таблице Одномерные критерии на
рис.9.1.27. Как видно из таблицы в модели статистически значимы ковариата Pre BDI и
эффект Группа. Наибольший вклад в регрессионную модель имеет ковариата Pre BDI, так
как статистика SS, равная 2506,54 принимает наибольшее значение; далее идет эффект
Группа (SS = 336,0). Эффекты Социальный статус, Группа* Социальный статус в
ковариационной модели статистически незначимы, так как р значительно больше, чем
0,05.
Одномерные критерии значимости дляdBDI(Data)
Эффект
SS Степени
Свободы
MS F p
Св.член
Pre BDI
Группа
Ошиб.
4,439 1 4,439 0,14076 0,708325
2506,542 1 2506,54279,488600,000000
336,000 1 336,000 10,655400,001507
11,680 1 11,680 0,37041 0,544173
30,458 1 30,458 0,96591 0,328098
3121,802 99 31,533
Рис.9.1.27
В таблице на рис.9.1.28 отображены параметры модели, в соответствии с которыми
уравнение регрессии имеет вид:

dBDI = – 0,607 + 0,581Pre BDI + 1,901Группа(Основная) – 0,351Социальный
статус(Работает) – 0,545 Группа*Социальный статус(1)
Эффект
Уровень
Эффект
Столбец dBDI
Парам.
dBDI
Ст.Ош.
dBDI
t
dBDI
p
Св. член
Pre BDI - 1
Группа
1 -0,6079031,620269 -0,3751860,708325
2 0,5818700,065264 8,9156380,000000
Основная 3 1,9009630,582356 3,2642600,001507
Работает 4 -0,3511180,576912 -0,6086160,544173
1 5 -0,5452590,554797 -0,9828080,328098
Рис.9.1.28
В целом, построенная модель взаимосвязи отклика с предикторами достаточно
адекватная, так коэффициент множественной корреляции R = 0,75 и близок к 1, а R2
= 0,
56 больше, чем 0,5 и описывает более 56% изменчивости отклика (рис.9.1.29).
Зависим.
Перемен.
Множест.
R
Множест.
R2
Скоррект
R2
SS
Модель
сс
Модель
MS
Модель
SS
Остаток
F p
dBDI 0,752360 0,566045 0,5485124072,044 4 1018,0113121,80232,283620,00
Рис.9.1.29
По данному уравнению воспользовавшись принципами сигма-ограниченной
параметризации и таблицей Метки столбцов можно для произвольного больного
прогнозировать значение dBDI, если известны значения предикторов (рис.9.1.30).
Предикторы Социальный статус и Группа*Социальный статус из модели можно
исключить. В качестве примера оценим значение отклика для больного Т. (№ 3) из
основной группы, который не работает, если тяжесть состояния по шкале Бека до лечения
оценивалась в 37 баллов:
Метки для столбцов матрицы плана X
Метка
Столбец Перемен. Уровень
Перемен.
от
Уровень
Перемен. Уровень
Перемен.
от
Уровень
Св. член
Pre BDI
Группа
Соц стат
Группа*Соц стат
1
2 Pre BDI
4 Соц стат Работает Не работ
5 Группа Основная Контрольная Соц стат Работает Не работ
Рис.9.1.30
dBDI = – 0,607 + 0,581·37 + 1,901·1 – 0,351·0 – 0,545·0 = 22,791 ≈ 23
Это означает, что прогнозируемая тяжесть состояния больного по шкале Бека после
лечения комбинированной терапией составит 37 – 23 = 14 (баллов). Реальное значение
тяжести состояния по шкале Бека для больного Т. после лечения составило 10 баллов.
Ошибка в прогнозе равна 14 – 10 = 4 балла (40%). Столь высокую ошибку легко
объяснить тем, что, по-видимому, в построенной модели учитываются не все факторы,
влияющие на эффективность лечения. Для построения более точной модели следует
воспользоваться методом Общие линейные модели, позволяющим использовать большее
количество категориальных и количественных предикторов для прогнозирования значений
отклика.

Как общий итог, справедливым будет утверждение, что на варьирование отклика dBDI
статистически значимое влияние оказывают ковариата Pre BDI и фактор Группа, при этом
влияние ковариаты (SS =2506,5) почти в 8 раз сильнее влияния фактора Группа (SS =
336,0). После введения ковариаты в модель взаимосвязи отклика с качественными
предикторами статистика SS для фактора Группа уменьшилась со значения 1240,3 до
336,0, т.е. вклад фактора в регрессионную модель уменьшился почти в 4 раза. Но,
несмотря на доминирующее воздействие ковариаты на отклик, воздействие фактора
Группа на отклик сохранило статистическую значимость. Несколько иная картина с
фактором Социальный статус. После введения ковариаты Pre BDI – оценки тяжести
состояния больного по шкале Бека до лечения в регрессионную модель, фактор не
сохранил статистическую значимость (р = 0,54). Это означает, что ковариата оказывает
достаточно сильное влияние на взаимосвязь фактора Социальный статус и отклика dBDI,
значительно уменьшая степень воздействия социального статуса на результат лечения,
делая его статистически незначимым.
Другими словами, эффективность лечения больных в большей степени зависит от
тяжести их состояния до лечения, чем метод лечения и социальный статус, но при этом с
учетом состояния больного до лечения влияние комбинированного лечения (гКПТ + ФТ)
на результат излечения больных статистически значимо, а влияние социального статуса
становится статистически незначимым!
Категориальные предикторы – Группа, Нозологический диагноз
Дисперсионный анализ. В таблице на рис.9.1.31 приведены результаты
дисперсионного анализа для оценки степени и характера взаимосвязи отклика и факторов
Группа, Нозологический диагноз. Категориальная переменная Нозологический диагноз
принимает четыре текстовых значения: реактивная депрессия, депрессивный невроз,
эндогенная депрессия монополярный тип, эндореактивная дистимия.
Одномерные результаты для каждой ЗП (Data)
Эффект
Степени
свободы
dBDI
SS
dBDI
MS
dBDI
F
dBDI
p
Св. член
Группа
Нозолог. диагноз
Группа*Нозолог. диагноз
Ошибка
Всего
1 7235,8927235,892156,75400,000000
1 517,453 517,453 11,2098 0,001163
3 435,925 145,308 3,1479 0,028584
3 1230,096 410,032 8,8827 0,000030
96 4431,438 46,161
103 7193,846
Рис.9.1.31
Из таблицы видно, что статистически значимы эффекты Группа, Нозологический
диагноз, Группа*Нозологический диагноз, т.е. на изменчивость отклика dBDI значимо
влияют эффекты Группа, Нозологический диагноз, Группа*Нозологический диагноз.
Другими словами факторы Группа, Нозолог. диагноз влияют на отклик, но они также
взаимодействуют в своем влиянии на него. Наибольший вклад в изменчивость отклика
имеет эффект Группа*Нозологический диагноз, так как статистика SS, равная 1230,096
принимает наибольшее значение, далее идет эффект Группа с SS = 517,45 и
Нозологический диагноз с SS = 435,9.
Воздействие факторов на отклик проявляется в различии средних отклика dBDI в
группах больных. В трех подгруппах реактивная депрессия, депрессивный невроз;
реактивная депрессия, эндогенная депрессия монополярный тип; реактивная депрессия,

эндореактивная дистимия средние отличаются статистически значимо, так как уровень
значимости р критерия НЗР меньше, чем 0,05 (рис.9.1.32).
N ячейки
Нозолог.
диагноз
{1}
16,778
{2}
12,139
{3}
8,7500
{4}
9,6667
1
2
3
4
реакт. деп 0,0110630,0065290,028753
деп. невр 0,011063 0,1839260,393943
моноп. тип0,0065290,183926 0,803259
эндор. дист. 0,0287530,3939430,803259
Рис.9.1.32
В подгруппах депрессивный невроз, монополярный тип; депрессивный невроз,
эндореактивная дистимия; эндогенная депрессия монополярный тип, эндореактивная
дистимия отличие средних не является статистически значимым. При этом значение
отклика, а значит, и эффективность лечения убывают в последовательности реактивная
депрессия (16,778), депрессивный невроз (12,139), эндореактивная дистимия (9,666),
эндогенная депрессия монополярный тип (8,75).
Из таблицы на рис.9.1.33 видно, что статистически значимо отличие средних в
подгруппах {1,3},{1,4},{1,6},{1,8},{2,3},{2,4}, {2,6},{2,8}, {3,4}, {3,5}, {4,6}, {4,7}, {4,8},
{5,6}, {5,8}, {6,8}, {7,8}, так как уровни значимости р критерия НЗР меньше, чем 0,05.
N ячейки
Группа Нозолог.
диагноз
{1}
15,833
{2}
16,933
{3}
6,5000
{4}
28,000
{5}
18,667
{6}
8,7143
{7}
11,000
{8}
,50000
1
2
3
4
5
6
7
8
Основная реакт. деп 0,64 0,02 0,02 0,41 0,00 0,22 0,00
Основная деп. невр 0,64 0,00 0,03 0,57 0,00 0,10 0,00
Основная моноп. тип 0,02 0,00 0,00 0,01 0,53 0,35 0,21
Основная эндор. дист. 0,02 0,03 0,00 0,10 0,00 0,00 0,00
Контрольная реакт. деп 0,41 0,57 0,01 0,10 0,00 0,08 0,00
Контрольная деп. невр 0,00 0,00 0,53 0,00 0,00 0,52 0,02
Контрольная моноп. тип 0,22 0,10 0,35 0,00 0,08 0,52 0,03
Контрольнаяэндор. дист. 0,00 0,00 0,21 0,00 0,00 0,02 0,03
Рис.9.1.33
По коэффициентам, приведенным в столбце Парам. таблицы на рис.9.1.34 составим
уравнение регрессии для оценки среднего значения отклика dBDI для произвольной
подгруппы больных эффекта Группа* Нозологический диагноз:
dBDI = 13,268 + 3,548Группа(Основная) + 3,981Нозолог.диагноз(реакт.деп) –
0,444Нозолог.диагноз(деп.невр) – 4,518Нозолог.диагноз(моноп.тип) –
4,964Группа*Нозолог.диагноз(1) + 0,561Группа*Нозолог.диагноз(2) –
5,798Группа*Нозолог.диагноз(3)

Эффект
Уровень
Эффект
Столбец dBDI
Парам.
dBDI
Стд.ош.
dBDI
t
dBDI
p
Св. член
Группа
1 13,268451,05976812,520140,000000
Основная 2 3,54821 1,059768 3,34810 0,001163
реакт. деп 3 3,98155 1,601760 2,48573 0,014657
деп. невр 4 -0,44464 1,205334 -0,36890 0,713018
моноп. тип 5 -4,51845 2,002039 -2,25693 0,026280
1 6 -4,96488 1,601760 -3,09964 0,002543
2 7 0,56131 1,205334 0,46569 0,642494
3 8 -5,79821 2,002039 -2,89615 0,004678
Рис.9.1.34
Параметры при переменных Нозолог.диагноз(деп.невр), Группа*Нозолог.диагноз(2) из
модели можно исключить, так как соответствующие им уровни значимости р критерия
Стьюдента значительно больше, чем 0,05.
Для кодирования значений категориальных предикторов Группа, Ноз.диаг. и значений
эффектов Группа*Ноз. диаг. воспользуемся таблицей Метки столбцов на рис.9.1.35.
Значения Основная, реакт.деп, деп.невр., моноп.тип кодируются как 1; значения
Контрольная, эндор.дист. кодируются как 0. Если переменная Ноз.диаг. не принимает ни
одно из значений упомянутых в соответствующей ей строке, то кодируется как 0.
Метки столбцов матрицы плана X
Метка
Столбец перемен. Уровень
перемен.
сравн.с
уровнем
перемен. Уровень
перемен.
сравн.с
уровнем
Св. член
Группа
Ноз. диаг.
Ноз. диаг.
Ноз. диаг.
Группа*Ноз. диаг.
1
3 Ноз. диаг. реакт. деп эндор. дист.
4 Ноз. диаг. деп. невр эндор. дист.
5 Ноз. диаг. моноп. тип эндор. дист.
6 Группа Основная КонтрольнаяНоз. диаг. реакт. деп эндор. дист.
7 Группа Основная КонтрольнаяНоз. диаг. деп. невр эндор. дист.
8 Группа Основная КонтрольнаяНоз. диаг. моноп. типэндор. дист.
Рис.9.1.35
Значения сложных эффектов Группа*Ноз.диаг. в строке 6, 7 и 8 также кодируются
числами 1 и 0, которые являются результатами умножения соответствующих числовых
значений предикторов Группа, Соц.стат. Так, для Группа*Ноз.диаг. в строке 6 возможны
следующие 4 комбинации Основная*реакт.деп., Основная*эндор.дист.,
Контрольная*реакт.деп., Контрольная *эндор.дист., которые будут закодированы как
1·1 =1, 1·0 = 0, 0·1 = 0, 0·0 = 0.
Для Группа*Ноз.диаг. в строке 7 возможны следующие 4 комбинации
Основная*деп.невр, Основная*эндор.дист., Контрольная*деп.невр, Контрольная
*эндор.дист., которые будут закодированы как 1·1 =1, 1·0 = 0, 0·1 = 0, 0·0 = 0.
Для Группа*Ноз.диаг. в строке 8 возможны следующие 4 комбинации
Основная*моноп.тип, Основная*эндор.дист., Контрольная*моноп.тип, Контрольная
*эндор.дист., которые будут закодированы как 1·1 =1, 1·0 = 0, 0·1 = 0, 0·0 = 0.
Сумма кодов каждого простого и сложного эффекта равна 1.
В соответствии с построенным уравнением регрессии и кодировкой значений
предикторов вычислим оценку среднего значения отклика основной группы с
нозологическим диагнозом реактивная депрессия:

dBDI = 13,268 + 3,548 + 3,981·1 – 0,444·0 – 4,518·0 – 4,964·1 + 0,561·0 – 5,798·0 =
15,833 ≈ 16 (баллов)
Несмотря на то, что построенное уравнение регрессии не является достаточно адекватным
– коэффициент детерминации R2
меньше чем 0,5 и описывает всего 38% изменчивости
отклика (рис.9.1.36), получена точная оценка среднего dBDI, совпадающая со значением
среднего (15,833) в таблице на рис.9.1.33.
Dependent
перемен.
Множест.
R
Множест.
R2
Скоррект
R2
SS
Модель
ст.св.
Модель
MS
Модель
SS
Остаток
ст.св.
Остаток
dBDI 0,619674 0,383996 0,3390792762,408 7 394,62974431,438 96
Рис.9.1.36
Ковариационный анализ. Итоги ковариационного анализа представлены в таблице на
рис.9.1.37. В модели статистически значимы ковариата Pre BDI и все эффекты: Группа,
Нозолог.диагноз, Группа*Нозолог.диагноз. Наибольший вклад в регрессионную модель
имеет ковариата Pre BDI, так как статистика SS, равная 2581,157 принимает наибольшее
значение; далее идут эффекты: Группа*Нозолог.диагноз (SS = 795,773), Нозолог.диагноз
(SS = 293,783), Группа (SS = 221,173).
Одномерные результаты для каждой Зав. Пер. (Data)
Эффект
Степени
Свободы
dBDI
SS
dBDI
MS
dBDI
F
dBDI
p
Св. член
Pre BDI
Группа
Ошибка
Всего
1 71,631 71,631 3,6778 0,058145
1 2581,1572581,157132,5258 0,000000
1 221,173 221,173 11,3558 0,001088
3 293,783 97,928 5,0280 0,002809
3 795,773 265,258 13,6193 0,000000
95 1850,281 19,477
103 7193,846
Рис.9.1.37
В таблице на рис.9.1.38 отображены параметры модели, в соответствии с которыми
уравнение регрессии имеет вид:
dBDI = – 3,017 + 0,624Pre BDI + 2,346Группа(Основная) +
3,211Нозолог.диагноз(реакт.деп) + 2,074Нозолог.диагноз(деп.невр) –
2,584Нозолог.диагноз(моноп.тип) – 1,474Группа*Нозолог.диагноз(1) –
0,652Группа*Нозолог.диагноз(2) – 6,78Группа*Нозолог.диагноз(3)

Эффект
Уровень
Эффект
Столбец dBDI
Парам.
dBDI
Ст.Ош.
dBDI
t
dBDI
p
-95,00%
Дов.Пр.
Св. член
Pre BDI
Группа
1 -3,01714 1,573261 -1,91776 0,058145 -6,14046
2 0,62400 0,05420411,511980,000000 0,51639
Основная 3 2,34628 0,696258 3,36984 0,001088 0,96403
реакт. деп 4 3,21121 1,042591 3,08003 0,002707 1,14140
деп. невр 5 2,07438 0,812941 2,55169 0,012316 0,46048
моноп. тип 6 -2,58480 1,311250 -1,97125 0,051605 -5,18796
1 7 -1,47495 1,083708 -1,36102 0,176726 -3,62638
2 8 -0,65251 0,790006 -0,82596 0,410896 -2,22088
3 9 -6,78027 1,303243 -5,20261 0,000001 -9,36753
Рис.9.1.38
В целом, построенная модель взаимосвязи отклика с предикторами достаточно
адекватная, так коэффициент множественной корреляции R = 0,86 и близок к 1, а R2
= 0,
74 значительно больше, чем 0,5 и описывает почти 75% изменчивости отклика
(рис.9.1.39).
Зависим.
Перемен.
Множеств
R
Множеств
R2
Скоррект
R2
SS
Модель
сс
Модель
MS
Модель
SS
Остаток
сс
Остаток
dBDI 0,861857 0,742797 0,7211375343,565 8 667,94561850,281 95
Рис.9.1.39
В качестве примера оценим значение отклика для больного Ц. под номером 4 из
основной группы, с текущим нозологическим диагнозом реактивная депрессия, если
тяжесть состояния по шкале Бека до лечения оценивалась в 37 баллов:
dBDI = – 3,017 + 0,624·37 + 2,346·1 + 3,211·1 + 2,074·0 – 2,584·0
– 1,474·1 – 0,652·0 – 6,78·0 = 24,154 ≈ 24 (балла)
Это означает, что прогнозируемая тяжесть состояния по шкале Бека больного после
лечения комбинированной терапией составит 37 – 24 = 13 (баллов). Реальное значение
тяжести состояния по шкале Бека для больного Ц. после лечения составила 10 баллов.
Ошибка в прогнозе равна 13 – 10 = 3 балл (30%). Как видно ошибка прогноза достаточно
большая, что имеет простое объяснение – в модели не учитываются все факторы,
влияющие на эффективность лечения. Для построения более точной модели следует
воспользоваться методом Общие линейные модели, позволяющим использовать большее
количество категориальных и количественных предикторов для прогнозирования значений
отклика.
Таки образом ковариационный анализ показал, что на варьирование отклика dBDI
статистически значимое влияние оказывают ковариата Pre BDI и эффекты
Группа*Нозолог.диагноз, Нозолог.диагноз, Группа. После введения ковариаты Pre BDI в
модель взаимосвязи предикторов и отклика, структура воздействия эффектов на отклик
значительно изменилась. Так, если по результатам дисперсионного анализа предикторы
можно было упорядочить по степени воздействия на отклик в следующей
последовательности: Группа*Нозолог.диагноз, Группа, Нозолог.диагноз, то после введения
ковариаты последовательность имеет уже несколько иной вид: Группа*Нозолог.диагноз,
Нозолог.диагноз, Группа. Но при этом, несмотря на достаточно сильное влияние ковариаты
на взаимосвязь предикторов и критерия эффективности лечения, все анализируемые
предикторы, в том числе и фактор Группа сохраняют свою статистическую значимость.

Категориальные предикторы – Группа, Длительность заболевания
Дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ Дисперсионный анализ по факторам
Группа и Длительность заболевания оказался невозможным, так как есть подгруппы, в
которых число больных равно 0 (рис.9.1.40). Поэтому, для выявления структуры
воздействия качественного предиктора Длительность заболевания следует провести
однофакторный дисперсионный анализ и ковариационный анализ без фактора Группа.
Категориальная переменная Длительность заболевания принимает 5 значений: до 1 мес.,
до 1 года, до 3 лет, 3 – 5 лет, 5 и более.
Итоговая таблица частот (Data)
Частоты выделенных ячеек > 10
(Маргинальные суммы не отмечены)
Условие исключения: v4=2
Группа Длительность
(качеств.)
до 1 мес
(качеств.)
до 1 года
(качеств.)
до 3 лет
(качеств.)
3-5 лет
(качеств.)
5 и бол
Всего
по стр.
Основная 4 22 12 2 8 48
Контрольная 0 28 10 4 14 56
Всего 4 50 22 6 22 104
Рис.9.1.40
Так как уровень значимости р критерия F(Фишера) незначительно больше, чем 0,05
(рис.9.1.41), по-видимому, есть подгруппы в которых средние отличаются статистически
значимо, т.е . отклик dBDI и фактор взаимосвязаны.
Дисперсионный анализ (Data)
Отмечены эффекты,значимые на уров. p < ,05000
Переменная
Сум.квад
эффект
Ст.св.
эффект
Ср.квад.
эффект
Сред.кв.
ошибки
Ст.св.
ошибки
Ср.квад.
ошибки
F p
dBDI 583,8765 4 145,9691 6609,970 99 66,767372,1862340,075996
Рис.9.1.41
Ранее мы выяснили, что взаимосвязь между предиктором и откликом слабая (рис.9.1.3),
но статистически значимая. Воздействие фактора Длительность заболевания на отклик
проявляется в различии средних отклика dBDI в группах больных (рис.9.1.42). Средние
dBDI статистически значимо отличаются в подгруппах до 1 года (13), 3 – 5 лет (7,33); до 1
года (13), 5 и более (9,27).
Крит. НЗР; перем.:dBDI(Data)
Отмечены разности, значимые на уровне p < ,05000
{1}
M=11,500
{2}
M=14,400
{3}
M=13,182
{4}
M=7,3333
{5}
M=9,2727
до 1 мес {1}
до 1 года {2}
до 3 лет {3}
3-5 лет {4}
5 и бол {5}
0,496189 0,705750 0,431432 0,617153
0,496189 0,561407 0,048053 0,015931
0,705750 0,561407 0,123360 0,115774
0,431432 0,048053 0,123360 0,607466
0,617153 0,015931 0,115774 0,607466
Рис.9.1.42

Ковариационный анализ. Итоги ковариационного анализа представлены в таблице на
рис.9.1.43. В модели статистически значимы ковариата Pre BDI и эффект Длительность
заболевания. Наибольший вклад в регрессионную модель имеет ковариата Pre BDI, так
как статистика SS, равная 3523,466 принимает наибольшее значение, более чем в 9 раз
превышающее SS Длительность заболевания (389,194).
Одномерные критерии значимости дляdBDI(Data)
Эффект
SS Степени
Свободы
MS F p
Св.член
Pre BDI
Ошиб.
88,203 1 88,203 2,8005 0,097422
3523,466 1 3523,466111,87410,000000
389,194 4 97,299 3,0893 0,019268
3086,503 98 31,495
Рис.9.1.43
Несмотря на значительное доминирование ковариаты Pre BDI, воздействие эффекта
Длительность заболевания на отклик dBDI сохраняет свою статистическую значимость.
Как общий итог проведенных исследований справедлив вывод о том, что наибольшее
статистически значимое влияние на изменчивость критерия эффективности лечения dBDI
– разность между тяжестью состояния больного по шкале Бека до и после лечения, имеет
ковариата Pre BDI, оценивающая состояние больного до лечения. Но при этом, если не
учитывать влияние ковариаты на критерий dBDI, категориальные предикторы Группа,
Социальный статус, Нозологический диагноз, Длительность заболевания имеют
существенное статистически значимое влияние на изменчивость критерия dBDI. Если
учитывать влияние ковариаты на критерий dBDI, то степень воздействия всех
перечисленных предикторов на критерий эффективности dBDI значительно ослабевает,
оставаясь статистически значимым.
Таким образом, эффективность лечения больных зависит от таких факторов как
социальный статус, нозологический диагноз, длительность заболевания. Исследование
совместного влияния этих факторов и фактора группа на критерий эффективности лечения
установило, что эффективность лечения в основной группе статистически значимо выше,
чем в контрольной группе. При этом в основной экспериментальной группе применяли
комбинированное лечение, включающее групповую когнитивно-поведенческую терапию и
психофармакотерапию (гКПТ + ФТ), в контрольной – только психофармакотерапию (ФТ).

Ковариационный анализ (главная)

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Ковариационный анализ (главная)

Similar to Ковариационный анализ (главная) (20)

More from Alexan Khalafyan

More from Alexan Khalafyan (10)

Ковариационный анализ (главная)