задачи для студентов по тв и мс

Задачи на правило сложения и умножения
1.1. Сколько существует различных способов покупки сотового
телефона, если в магазине имеются 10 телефонов марки SAMSUNG, 22
телефона NOKIA, 18 телефонов SONY ERICSSON, 15 телефонов LG?
1.2. В соревнованиях по биатлону принимают участие 5 команд,
соответственно, по 15, 20, 22, 25, 30 чел. Сколько существует различных
вариантов занятия первого места в личном и командном зачете?
1.3. В шахматном кружке занимаются 2 девушки и 7 юношей. Нужно
направить на городские соревнования двух чел. (1 девушку и 1 юношу).
Сколько можно составить различных пар? Сколькими различными
способами из членов этого кружка можно выбрать 1 чел. для участия в
соревновании?
1. 4. Имеются три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколько
возможно вариантов их падения? Решить ту же задачу, если известно, что
один волчок упал на сторону, помеченную цифрой 1, два волчка упали на
сторону, помеченную цифрой 1, по крайней мере, два волчка упали на
сторону, помеченную цифрой 1?
1.5. Сколько различных смешанных пар для игры в теннис можно
образовать из 8 юношей и 6 девушек?
1.6. В рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно последовательно
извлечь 6 звуков: 1) звуки должны быть различными; 2) звуки могут
повторяться?
1.7. В головоломке из точки А к точке В ведут 7 маршрутов, а из
точки В к точке С – 12. Сколько маршрутов, проходящих через В, ведут из А
в С?
1.8. Из 3 спортивных клубов, насчитывающих по 50 фехтовальщиков
каждый, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании.
Сколько существует вариантов этого выбора?
1.9. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одного
достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для
посылки письма?
1.10. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную
буквы из слов «облигация», «вексель»?

1.11. Бросают 3 игральные кости с 6 гранями. Сколько возможно
способов их падения?
1.12. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист
может подняться на гору и спуститься с нее? Решить ту же задачу при
условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.
1.13. В портфеле ценных бумаг имеются 22 акции компании
РОСНЕФТЬ и 18 – компании ЛУКОЙЛ. Сколько существует способов
выбора 1 акции первой компании и 1 акции второй? Если такой выбор уже
сделан, сколькими способами его можно сделать еще раз?
1.14. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два
квадрата – белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных
квадратов?
1.15. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать
по одному слову каждого рода. Сколько существует вариантов такого
выбора?
1.16. У мальчика 16 компьютерных игр, у его приятеля – 8. Сколькими
способами они могут обменять одну игру на другую?
1.17. Из колоды карт (в колоде 36 шт.) вынули две карты, сколько
существует вариантов вынуть карты разной масти?
1.18.Сколько автомашин можно обеспечить 6-значными номерами?
1.19. Номер автоприцепа состоит из 2 букв и 4 цифр. Сколько
различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
1.20. Замок открывается только в том случае, если набран
определенный трехзначный номер, каждая цифра которого выбирается из 5
данных цифр. Попытка состоит в том, что наугад набирают 3 цифры. Угадать
номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько
было сделано неудачных попыток?
Задачи на размещения, сочетания, перестановки без повторения
1.21. В понедельник у школьников 10-го класса должно состояться 5
уроков. Сколько возможно вариантов расписания, если в этот день возможно
проведение уроков по 11 дисциплинам?
1.22. Экспертная комиссия института по проведению экспертизы и
выдачи соответствующего заключения о возможности опубликования

научных работ состоит из председателя, его заместителя и еще 5 чел. –
членов комиссии. Сколькими способами 7 чел., избранных в комиссию,
могут распределить между собой обязанности?
1.23. Команда старшеклассников по сноубордингу из 5 чел. выступает
на соревнованиях, в которых принимают участие еще 20 спортсменов.
Сколько существует вариантов распределения мест (с 1-го по 25-е), занятых
членами этой команды.
1.24. Сколько существует различных семизначных телефонных
номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
1.25. Сколько семибуквенных слов можно образовать из букв слова
«гипотенуза»? Под словом понимается любая комбинация букв без
повторений в слове.
1.26. В соревновании по серфингу участвуют 10 команд. Сколько
существует у этих команд различных возможностей занять первые 3
призовых места?
1.27. Сколькими способами можно обозначить вершины конкретного
треугольника, используя буквы А, В, С, D, Е; четырехугольника, используя
буквы A, B, C, D, E, F?
1.28. В студенческий профсоюзный комитет избрали 9 чел. Из них
надо выбрать председателя, заместителя председателя, председателя
комиссии по воспитательной работе, председателя комиссии по
волонтерскому движению. Сколькими способами это можно сделать?
1.29. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый
флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Решить ту же задачу при
условии, что одна из полос должна быть красной.
1.30. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было
непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков (русского,
английского, французского, немецкого, итальянского) на любой из этих 5
языков? На сколько больше словарей придется издать, если число различных
языков равно 10?
1.31. В классный журнал необходимо вписать фамилии учащихся.
Сколько существует способов составления списка из 30 учеников?
1.32. На полке следует разместить учебники по географии, истории,
алгебре, химии и литературе. Сколько существует вариантов размещения
книг на полке ?

1.33. Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, …, 9, в которых
цифра 0 занимает третье место, цифра 4 – пятое место, цифра 7 – седьмое
место?
1.34. Участники шахматного турнира играют в зале, где имеются 8
столов. Сколькими способами можно расположить шахматистов при
проведении очередного тура? Пары соперников и цвет фигур каждого игрока
однозначно определяются правилами соревнований.
1.35. Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, …, 9, в которых
цифра 6 следует непосредственно за цифрой 9?
1.36. Сколько семизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр,
можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы: 1) последней была 7;
2) число начиналось с 45?
1.37. На собрании должны выступить 5 чел.: А, Б, В, Г и Д. Сколькими
способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не
должен выступать до того, как выступит А? Решить ту же задачу, но А
должен выступить непосредственно перед Б.
1.38. Имеется n точек на плоскости. Сколько отрезков можно
построить, соединяя эти точки попарно?
1.39. На окружности отмечено n точек. Сколько существует
треугольников с вершинами в этих точках?
1.40. Сколько окружностей можно провести через 10 точек на
плоскости, из которых никакие 4 не лежат на одной окружности и никакие 3
не лежат на одной прямой?
1.41. Собрание, на котором присутствуют 30 чел., в том числе 2
женщины, выбирает 4 чел. для работы на избирательном участке. Сколько
существует таких способов, когда в число избранных войдут обе женщины?
1.42. Сколько существует треугольников, вершины которых являются
вершинами данного выпуклого шестиугольника?
1.43. На плоскости проведено n прямых линий, из которых никакие 2
не являются параллельными и никакие 3 не пересекаются в одной точке.
Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

1.44. Садовник должен в течение 3 дней посадить 10 деревьев.
Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет
сажать не менее 1 дерева в день?
1.45. Из отряда солдат в 50 чел. ежедневно назначают в караул 4 чел.
Сколько раз караул может быть составлен различным образом и сколько раз
одному и тому же солдату пришлось бы быть в карауле?
1.46. Из 30 членов спортивного клуба надо составить команду из 4
чел. для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами можно это сделать?
Сколькими способами можно составить команду из 4 чел. для участия в
эстафете 100 м + 200 м + 400 м + 800 м?
1.47. Сколько всего было подарено фотографий, когда в конце
совместного отдыха 5 чел. решили оставить на память друг другу свои
фотокарточки?
1.48. В мотострелковом взводе 4 отделения по 8 солдат. Выбираются 4
солдата для участия в полковых соревнованиях по рукопашному бою.
Сколько существует способов выбора команды, чтобы хотя бы один солдат
был из первого отделения?
1.49. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так,
чтобы никакие две единицы не стояли рядом? При каких условиях задача
разрешима?
1.50. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно
выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом? Тот
же вопрос, если всего книг n, а выбрать нужно k. При каких условиях задача
разрешима?
Задачи на размещения, сочетания, перестановки c повторениями
1.51. Три микроавтобуса должны доставить туристов в 6 отелей.
Сколькими способами можно использовать машины, если количество мест в
каждой из них позволяет сразу перевести всех пассажиров и если 2
микроавтобуса в один и тот же отель не направляются? Сколько вариантов
маршрута возможно, если решено использовать только один автомобиль?
1.52. На складе осталось 5 ноутбуков Apple Mac book, которые следует
распределить по 8 торговым центрам так, что каждый центр получает либо 1
ноутбук, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать? Решить
аналогичную задачу, если число ноутбуков, получаемых каждым центром, не
ограничено.

1.53. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды
игральных карт (52 карты) по одной карте каждой масти? Решить ту же
задачу при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых,
т. е. двух королей, двух десяток и т. д.
1.54. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в
слове «математика»? В слове «парабола»? В слове «ингредиент»? Под
словом понимается любая упорядоченная последовательность букв без
пробелов.
1.55. Сколько имеется шестизначных чисел, в записи которых цифры 1
и 2 встречаются по два раза, а цифры 3 и 4 – по одному разу?
1.56. Сколько различных семибуквенных слов можно получить,
переставляя буквы слова «колокол»?
1.57. Сколько (m + n)-буквенных слов можно составить из m букв А и n
букв Б?
1.58. Сколько анаграмм можно составить из слова «реестр»?
1.59. У транспортной компании 2 автомобиля МАЗ и 3 автомобиля
MAN. Каждый день в течение 5 дней подряд она выделяет строительному
предприятию по одному грузовому автомобилю. Сколькими способами это
может быть сделано? Решить аналогичную задачу, если имеется:
автомобилей МАЗ и MAN соответственно m и n штук и распределяются они
в течение m + n дней подряд; 2 автомобиля МАЗ, 3 автомобиля MAN и 4
автомобиля КАМАЗ и распределяются они в течение 9 дней подряд.
1.60. Требуется составить план доставки товаров со склада в магазин
автомобилем в течение недели. При этом необходимо, чтобы 3 дня было по 2
рейса в день, 2 дня – по 1 рейсу в день, 2 дня – по 3 рейса в день. Сколькими
способами это можно сделать?
1.61. Коллектив преподавателей юридического факультета из 8
чел. решил написать учебник по гражданскому праву, содержащему 16 глав.
Авторы договорились о том, сколько глав напишет каждый из них: двое
напишут по 3 главы, четверо – по 2 и двое – по 1 главе книги. Сколькими
способами возможно распределение номеров глав между авторами?
1.62. Сколько существует вариантов переставить буквы слова
«опоссум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после буквы «о»?
1.63. Акции Газпрома в количестве 40 штук следует разделить между
тремя брокерскими конторами. Причем нет ограничений количества акций
для брокеров, т.е. кому-то может достаться ноль акций, а кому-то все.

Сколькими способами они могут их разделить? Сколькими способами можно
разделить n предметов между k лицами?
1.64. В вузовской библиотеке необходимо расставить 20 учебников
по высшей математике на книжном стеллаже с 5 полками. Каждая полка
может вместить все 20 книг. Сколько возможно вариантов размещения книг
на полках, если учебники одинаковые; различные.
1.65. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на
пальцы одной руки, исключая большой палец? Решить задачу в
предположении, что кольца одинаковые.
1.66. Сколько различных вариантов браслета можно сделать из 5
одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров (в
браслет входят все 18 камней)?
1.67. Сколько различных десятизначных чисел можно написать,
пользуясь цифрами 1, 2, 3, при условии, что цифра 3 используется в каждом
числе ровно два раза?
1.68. В гастрономе имеются конфеты трех наименований в коробках.
Сколько есть различных вариантов заказать набор из 5 коробок?
1.69. Имеется неограниченное количество монет по 5, 10 и 50 коп.
Определите количество возможных наборов из 20 монет.
1.70. Для несения почетного караула из 10 чел. могут быть приглашены
офицеры пехотных войск, авиации, погранвойск, артиллерии, морфлота и
ракетных войск. Сколько существует комбинаций состава почетного караула?
1.71. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов.
Определите число вариантов приобретения в нем 12 открыток, 8 открыток, 8
различных открыток.
1.72. R шаров следует разместить по k ящикам. Найдите число
возможных вариантов размещения. Считается, что вместимость ящика
достаточна для всех шаров.
1.73. Лифт с 7 пассажирами останавливается на 10 этажах. На каждом
этаже может выйти определенное число пассажиров (от 0 до 7). Сколько
может быть различных способов освобождения лифта? Способы различаются
только числом людей, вышедших на данном этаже.
1.74. Совет директоров инвестиционной компании из 30 чел. голосует
по 5 предложениям. Каково количество комбинаций распределения мест

голосов, если каждый голосует за одно предложение и учитывается, лишь
число голосов, поданных за каждое предложение?
1.75. На фестиваль молодежи прибыли представители пяти частей
света – Австралии, Африки, Европы, Азии, Америки. Возникла
необходимость организовать делегацию из 8 представителей разных стран.
Сколько существует способов образовать делегацию при условии участия в
ней представителей всех частей света?
Задачи на классическое определение вероятности
2.1. В классе 7 школьников не занимаются спортом, двое занимаются
футболом, трое – борьбой, 5 школьниц посещают секции спортивной и
художественной гимнастики, 3 школьника увлекаются восточными
единоборствами, четверо играют в волейбол, а один – в баскетбол. Чему
равна вероятность того, что: а) случайно выбранный школьник увлекается
игровым видом спорта; б) трое случайно выбранных школьников не
увлекаются спортом?
2.2. Монета брошена 3 раза. Найти вероятность того, что «герб»
появится хотя бы 2 раза.
2.3. Игральная кость брошена дважды. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков равна 7, а произведение не более 10?
2.4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
равна шести, а разность не более четырех (5/36).
2.5. Кубик, у которого две противоположные грани окрашены в синий
цвет, а остальные – в красный цвет, распилен на тысячу кубиков
одинакового размера, которые затем перемешаны. Случайным образом
извлекается один кубик. Найти вероятность, что: а) только одна грань
окрашена в красный цвет; б) только одна грань окрашена в синий цвет; в)
только две грани окрашены в красный цвет; г) только две грани окрашены в
синий цвет; д) три грани окрашены; е) две грани окрашены в разные цвета;
ж) грани не окрашены.
2.6. Буквы А, Л, Й, С, У, Ч написаны на отдельных карточках.
Карточки выбираются случайным образом и прикладываются друг к другу.
Какова вероятность того, что а) при выборе трех букв получится слово ЧАЙ;
б) при выборе всех шести букв получится слово СЛУЧАЙ?

2.7. Слово АБЛИГАЦИЯ написано на бумаге и разрезано по буквам на
карточки, которые потом последовательно сложили в ряд. Какова
вероятность, что получится исходное слово?
2.8. В основном составе сборной команде страны по футболу,
состоящей из 11 спортсменов, четверо из одной команды. Какова
вероятность того, что два случайно выбранных футболиста из этой команды?
2.9. На бочонках игры в лото написаны номера от 1 до 99. Из мешочка
наудачу последовательно извлекаются все бочонки. Найти вероятность того,
что бочонки будут извлечены в возрастающем порядке.
2.10. Последние пять цифр телефонного номера оказались стертыми.
Найти вероятность того, что случайно набранными будут нужные номера а)
если они все различны; б) среди них есть повторяющиеся.
2.11. Завуч школы на определенный день недели запланировал в
седьмом классе шесть уроков. Какова вероятность того, что предметы будут
чередоваться в последовательности: русский язык, литература, алгебра,
геометрия, физика, если общее количество предметов равно 12.
2.12. На занятиях по программированию студентам было поручено
написать программу для построения всех буквосочетаний фиксированной
длины из заданного набора букв {А, Р, С, В, Д, Е, О, И, Н, Ф, П, Т, К, Ш, М }.
Найти вероятность того, что а) будет построено слово РЕФИНАНСИРОВАНИЕ,
если в буквосочетании длиною в 16 символов могут встречаться одинаковые
буквы; б) первым будет построено слово «ИПОТЕКА», если в буквосочетании
длиною в семь символов не будет одинаковых букв.
2.13. Для приветствия друг друга хоккейные команды выстроились в
две шеренги случайным образом. Найти вероятность того, что обе команды
выстроились в порядке убывания номеров, если количество игроков в одной
из них 20, а в другой – 25.
2.14. На книжной полке в случайном порядке расставлено 20 книг,
среди которых находятся 6 томов сочинений А.С. Пушкина. Найти
вероятность того, что эти книги расположены в порядке возрастания номеров
томов, но а) не обязательно подряд; б) обязательно подряд.
2.15. В процессе выполнения курсовой работы студентом написана
программа для генерации последовательностей целых случайных чисел от 0
до 9 произвольной длины. Найти вероятность того, что а)
последовательность состоит из одинаковых чисел; б) в последовательности

все числа различные; в) в последовательности все числа нечетные, если
последовательности состоят из шести равновозможных символов?
2.16. В автосалоне покупателям предлагают автомобили Toyota
четырех моделей: Camry, Avensis, Auris, Corolla. Предприятию необходимо
закупить 10 автомобилей. Найти вероятность того, что будет приобретено
четыре Camry, три автомобиля Avensis, два автомобиля Auris и один
автомобиль Corolla.
2.17. Найти вероятность того, что из 10 книг серии «Азбука-классика»,
расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся
рядом.
2.18. Слово ФУНКЦИЯ написано на бумаге и разрезано по буквам на
карточки, которые потом последовательно сложили в ряд. Какова
вероятность, что а) порядок следования гласных букв не изменится; б)
порядок следования согласных букв не изменится?
2.19. Сейф имеет цифровой замок, состоящий из 8 дисков. Найти
вероятность того, что случайно набранная комбинация окажется нужной.
2.20. Из 25 пронумерованных фотографий лиц подозреваемых в
совершении противозаконных действий, для проведения
криминалистической экспертизы следует выбрать 5 фотографий. Найти
вероятность того, что будут выбраны фотографии с номерами нацело
делящимися на 5.
2.21. Из 25 отличников факультета прикладной математики, из которых
15 девушек и 10 юношей, случайным образом отбираются 4 студента для
участия в зарубежной летней математической школе. Какова вероятность
того, что все отобранные – девушки, юноши, три юноши и одна девушка?
2.22. В экзаменационном билете содержится два вопроса, случайным
образом взятые из 100 вопросов, рассмотренных в курсе. Студент не знает
ответ на 10 вопросов курса. С какой вероятностью он найдет в билете
известные вопросы? С какой вероятностью оба вопроса в билете ему
неизвестны? С какой вероятностью только один вопрос в билете неизвестен?
2.23. Вы играете в игру и загадываете слово из трех букв. Ваш
противник должен угадать загаданное слово. Вы сообщаете дополнительную
информацию и говорите, что слово состоит из двух согласных: В и К и одной
гласной: А или Е, причем гласная стоит в середине слова. Располагая этой
информацией, противник случайным образом называет буквы. С какой
вероятностью он угадает загаданное слово ВЕК без единой ошибки? С какой

вероятностью противник сделает одну ошибку? С какой вероятностью
противник сделает две ошибки?
2.24. На шахматной доске стоит черная ладья, игрок ставит случайным
образом на любую свободную клетку белую ладью. С какой вероятностью
белая ладья не будет под боем, с какой вероятностью белая ладья окажется
под боем?
2.25. На шахматной доске стоит черный король, игрок случайным
образом выбирает поле и ставит на него белую ладью. С какой вероятностью,
ладья будет поставлена на поле, где стоит король? С какой вероятностью
король окажется под боем?
Задачи на статистическое определение вероятности
2.26. На 100000 материнских плат для ноутбуков TOSHIBA в среднем
приходится 5 c дефектами. Найти вероятность того, что купленный ноутбук
окажется с дефектом.
2.27. На 1000 выданных кредитов в среднем за год приходится 850
погашенных в срок; 100 кредитов погашенных с задержкой платежа и 50 –
невозвращенных. В 2011 г. было выдано 54680 кредитов. Найти вероятности
событий, означающих, что кредит погашен в срок, погашен с задержкой
платежа, кредит не возвращен; примерное количество непогашенных
кредитов, выданных в 2011 г.
2.28. Выборочный контроль качества новых автомобилей показал, что
на 1000 автомобилей приходится примерно 5 автомобилей с повреждениями
кузова при транспортировке, а заводские дефекты содержат приблизительно
25 автомобилей. Заводские дефекты по основным системам автомобиля
распределены следующим образом: 0,25 – двигателя; 0,3 – трансмиссии; 0,17
– рулевого управления; 0,08 – тормозной системы и 0,2 – системы подвески:
а) найти вероятность того, что будет приобретен автомобиль без дефектов;
б) определить, сколько автомобилей на 1000 поступивших будут иметь
неисправную систему подвески.
2.29. Инвестиционная компания решила приобрести акции двух ком-
паний, надежности которых оцениваются экспертами соответственно на
уровне 95% и 87%. Чему равна вероятность того, что а) обе компании в
течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство; в)
обанкротятся обе компании?
2.30. Аналитики компании, занимающейся производством спортивной
обуви, полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой
компании, дающей право на 5%-ю скидку, с 80%-й вероятностью обратятся
за покупкой спортивной обуви в ее магазины. Исследования показали, что

примерно каждый второй обладатель пластиковой карточки, оказавшись в
магазине, приобретает необходимый ему товар. Какова вероятность того, что
обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет
необходимый ему товар в ее магазинах?
Задачи на геометрическое определение вероятности
2.31. На отрезок [–10; 5] числовой прямой случайным образом
бросается точка. Какова вероятность события, что точка попадет на
отрицательную часть отрезка. Предполагается, что вероятность попадания
точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его
расположения.
2.32. На отрезок длиной 12 см помещен отрезок длиной 4 см. Найти
вероятность того, что точка случайным образом брошенная на больший
отрезок попадет и на меньший. Предполагается, что вероятность попадания
точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его
расположения.
2.33. Разрыв стального троса для подвески кабелей произошел в
случайной точке. Найти вероятность того, что длина меньшего из отрезков
троса больше четверти исходной длины троса. Предполагается, что
вероятность попадания точки разрыва на отрезок троса пропорциональна его
длине и не зависит от места расположения.
2.34. На участке АВ железнодорожной ветки протяженностью 20 км
произошла авария. Чему равна вероятность того, что место аварии удалено от
пункта А меньше, чем на 6 км?; б) больше чем на 10 км? Предполагается, что
вероятность расположения места аварии на участке железнодорожной ветки
пропорциональна длине участка и не зависит от его расположения.
2.35. Одним из этапов классической программы обучения прыжкам с
парашютом является умение приходить в квадрат со стороной 5 м. Какова
вероятность того, что парашютист приземлится в точку, которая окажется от
ближайшей к ней стороны квадрата на расстоянии не более, чем 2 м.
Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру
пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.
2.36. Равносторонний треугольник вписан в круг. Найти вероятность
того, что произвольно выбранная точка будет принадлежать обеим фигурам.
2.37. В равносторонний треугольник вписан круг. Найти вероятность
того, что произвольно выбранная точка будет принадлежать обеим фигурам.

2.38. На плоскость с нанесенной на нее квадратной сеткой,
многократно случайным образом бросалась монета достоинством 5 р. с
диаметром 2,5 см. В 36% случаев монета не пересекала линии сетки. Оценить
размер сетки.
2.39. На отрезке [–3, 3] наудачу взяты два числа. Какова вероятность
того, что сумма этих чисел не меньше единицы?
2.40. Случайным образом выбраны два отрицательных числа X и Y,
каждое из которых больше чем – 2 и Y меньше чем Х. Найти вероятность
того, что разность Y – Х также меньше –1.
2.41. Случайным образом выбраны два положительных числа X и Y,
каждое из которых меньше 1 и Y меньше чем Х. Найти вероятность того, что
их сумма также меньше 1.
2.42. Точка М случайным образом бросается в квадрат
 .:),( аухух  Найти вероятность того, что квадрат с центром в точке М и
сторонами длиной b, b < a, параллельными осям координат, целиком
содержится в квадрате.
2.43. Чтобы развлечься на летнем пляже, можно прокатиться на
скутере или на «банане». Время подхода скутера 20 мин, а «банана» 25 мин.
Какова вероятность, что в ближайшие 5 мин удастся прокатиться.
2.44. В момент времени от 11.30 до 12.00 на вокзал должны прибыть
два поезда. Первый стоит 15 мин, второй – 10 мин. Определить вероятность
того, что поезда встретятся на вокзале.
2.45. Два бывших сокурсника работают в различных фирмах, но в
промежутке времени между 13 и 14 ч. обедают в одном кафе. Длительность
обеда 1/2 ч. Найти вероятность того, что они случайно встретятся, если
наудачу выбирают момент своего прихода.
2.46. Два частных самолета должны приземлиться на одном и том же
аэродроме. Время прилета обоих самолетов независимо и равновозможно в
течение получаса. Определить вероятность того, что одному из самолетов
придется ждать освобождения полосы, если время приземления первого – 10
мин, а второго – 16 мин.

Задачи на сложение вероятностей несовместных и совместных событий
3.1. Чему равна вероятность извлечения из колоды карты пиковой дамы
или короля любой масти?
3.2. Из колоды в 52 карты случайным образом извлекается одна карта.
Чему равна вероятность, что будет выбран туз не масти трефа или карта
масти черва.
3.3. При социологическом исследовании группы студентов, состоящей
из 300 чел., оказалось, что 140 студентов получали стипендию на первом
курсе, 140 – на втором и 200 на третьем. Кроме того, было выявлено, что 60
студентов получали стипендию как на первом, так и на втором, 80 – на
первом и третьем и 100 – на втором и третьем. И только 40 студентов
получали ее все три курса. Из группы случайно выбирается студент.
Определить вероятность того, что он получал стипендию: а) на двух курсах;
б) более чем на одном курсе.
3.4. Из вазы, в которой стоят 9 пионов красного цвета, 7 белого и 5
бордового, убирают два цветка. Какова вероятность, что они оба одного
цвета?
3.5. Вероятность сдать каждый из двух экзаменов сессии на «отлично»
для студента равна соответственно 0,9 и 0,6. Найти вероятность того, что
студент сдал на «отлично» какой-либо из экзаменов.
3.6. На столе лежат 6 проектов двухэтажных и 8 проектов одноэтажных
коттеджей. Для ознакомления застройщику случайным образом предлагают 5
проектов. Найти вероятность того, что количество проектов двухэтажных и
одноэтажных коттеджей различается не менее, чем на два.
3.7. Для ремонта электрооборудования автомобиля автоэлектрику
потребовались 2 предохранителя. В коробке 5 предохранителей с коричневой
цветовой маркировкой (7,5 А) и 7 – красной (10 А). Случайным образом
берут 2 предохранителя. Какова вероятность, что оба предохранителя
окажутся с коричневой маркировкой, если осуществляется выбор: а) без
возвращения, б) с возвращением.
3.8. Среди школьников города выявлено, что примерно 60% всех
школьников активно занимаются спортом, 40% занимаются в различных
музыкальных кружках и 20% занимаются и спортом, и в музыкальных
кружках. Найти вероятности, что случайно выбранный школьник: а)
занимается хотя бы одним видом деятельности; б) занимается только одним
видом деятельности?

3.9. Брошена игральная кость: а) какова вероятность выпадения
«двойки» или нечетного числа; б) какова вероятность выпадения «четверки»
или четного числа?
3.10. Вероятность того, что после переохлаждения заболит горло, равна
0,65; будет насморк – 0,95; вероятность того что будет и то и другое – 0,75.
Какова вероятность того, что заболит горло или появится насморк?
Задачи на условную вероятность и независимость событий
3.11. Игральную кость подбрасываем один раз. Пусть событие А
означает, что выпало нечетное число очков, событие В – выпало число очков
большее двух. Вычислить вероятность наступления: а) события А при условии
наступления события В; б) события В при условии наступления события А.
3.12. Из полной колоды случайным образом вынимается карта. Найти
вероятность того, что вытащили туза, если: а) вынутая карта масти треф; б)
вынутая карта не масти треф.
3.13. Из полной колоды случайным образом вынимаются одна за
другой две карты. Найти вероятности того, что обе карты – короли, если
вытащили карты красной масти.
3.14. Подбрасываем игральную кость. Предположим, что событие А
выпало четное число, событие В – число, кратное 3. Найти вероятность того,
что выпадет четное число, если выпало число, кратное 3, т.е. P(В/А).
3.15. На соревнованиях по теннису вероятность выигрыша в каждом
сете равна 0,5. Известно, что спортсменка играет в третьем сете, причем как
минимум один сет она выиграла. С какой вероятностью можно утверждать,
что она выиграла в двух сетах?
3.16. Проводится олимпиада среди студентов по истории.
Подготовлено 12 вопросов. Вопросы достаются произвольно. Среди них 3 по
новой истории, 2 по древней и 7 по истории России. Студенту достается три
вопроса. Какова вероятность того, что: а) первые два вопроса будут по
истории России, а третий по древней; б) достанутся вопросы по разным
темам.
3.17. Трое военнослужащих внутренних войск после прохождения
курса начальной военной подготовки стреляют по мишени. Вероятность
попадания первого – 0,8 , для второго – 0,9 и третьего – 0,6. С какой
вероятностью в мишени будет: а) ровно три пробоины; б) только две
пробоины; в) ни одной пробоины.

3.18. Инспектор ГИББД проверяет документы водителя на перевозимый
груз. Вероятность того, что документы в порядке, равна 0,9. Найти
вероятность того, что из двух проверенных только у одного документы не в
порядке.
3.19. Из поступивших в магазин продуктов питания менеджер отбирает
продукцию высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятый продукт
окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех
проверенных продуктов только два продукта высшего сорта.
3.20. Из колоды в 36 карт вытаскивается карта черной масти. Из
оставшихся 35 карт случайным образом выбираются 9 карт, причем
оказывается, что все они одного цвета. С какой вероятностью можно
утверждать, что они красной масти?
3.21. Среди 100 студентов 1-го курса есть 5 отличников. Зачетки лежат
в деканате. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные зачетки
окажутся зачетками отличников.
3.22. На озеленении территории университета работают 7 женщин и 3
мужчины. Наудачу отобраны 3 чел. Найти вероятность того, что все
отобранные окажутся женщинами.
3.23. В портмоне случайным образом уложено 10 купюр, среди
которых 6 достоинством в 50 руб., остальные 100 руб. Последовательно
извлекается четыре купюры. Найти вероятность того, что все извлеченные
купюры окажутся достоинством в 50 руб.
3.24. В сервисный центр для ремонта доставили коробку с 10
автомобильными видеорегистраторами, среди которых 6 циклического
режима записи и 4 непрерывного. Наудачу извлекают последовательно по
одному 3 видеорегистратора. Найти вероятность того, что все 3 регистратора
циклического режима, если: а) выбор производится без возвращения; б)
взятый регистратор после осмотра, возвращается обратно.
3.25. Для поражения воздушной цели произведен запуск двух ракет
земля–воздух. Найти вероятность того, что: а) цель будет поражена; б) не
будет поражена, если вероятность поражения цели одной ракетой равна 0,96.
3.26. Вероятность сдать каждый из трех экзаменов сессии на «отлично»
для студента равны соответственно 0,8; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того,
что студент сдал на «отлично»: а) все три экзамена; б) два экзамена; в) ни
одного экзамена.

3.27. В столе 12 дефектных и 5 годных микросхем. Извлекаются
наудачу 2 микросхемы и, если надо ремонтируются и возвращаются в стол.
После этого вновь наудачу извлекаются 2 микросхемы. Определить
вероятность того, что а) обе микросхемы дефектные; б) одна микросхема
дефектная; в) обе микросхемы годные.
3.28. В двух коробках находится соответственно m1 и m2 белых и n1 и
n2 красных шара одного размера. Из каждой коробки наудачу извлекается
один шар, а затем из этих шаров наудачу берется один. Определить
вероятность того, что этот шар а) белый; б) красный.
3.29. Только один из семи ключей подходит к замку: а) найти
вероятность того, что замок откроется со второго раза. Обобщим условие
задачи и предположим, что только один из n ключей подходит к данной
двери: б) найти вероятность того, что для открывания двери придется
опробовать ровно k (k ≤ n) ключей.
3.30. В коробке имеется два шара – белый и черный. Производятся
извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится черный шар,
причем при извлечении белого шара в урну возвращается этот шар и
добавляются еще два белых шара. Определить вероятность того, что при
первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен.
3.31. Игра между А и В ведется на следующих условиях: в результате
первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью
0,3; если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с
вероятностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает
второй ход, который может привести его к выигрышу с вероятностью 0,4.
Определить вероятности выигрыша для А и В.
3.32. Игрок А поочередно играет с игроками В и С, имея вероятность
выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого
проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком.
Определить вероятности выигрыша В и С.
3.33. Найти вероятность того, что дни рождения 12 чел. придутся на
разные месяцы года.
3.34. Найти вероятность того, что дни рождения 6 чел. придутся на
разные месяцы года.
3.35. Вы чертите на листе бумаги квадрат 10 на 10 клеток, размещаете
корабль величиной в одну клетку. Ваш противник случайным образом
называет клетку, в которой кораблик. Если он угадывает, то корабль

считается уничтоженным. С какой вероятность корабль будет уничтожен при
первом выстреле, втором выстреле, при третьем выстреле.
3.36. Вы чертите на листе бумаги квадрат 10 на 10 клеток, размещаете
корабль величиной в три клетки. Ваш противник случайным образом
называет клетку, в которой находится часть корабля. Если он угадывает, то
корабль считается уничтоженным. С какой вероятность корабль будет
уничтожен при первом выстреле, при втором выстреле, при третьем
выстреле.
Задачи на формулу полной вероятности
3.37. В специализированной школе два класса с гуманитарным и
математическим уклоном. Как правило, большая часть учеников склонна к
гуманитарным наукам, поэтому они составляют 60%. Вероятности, что
выпускники школы продолжат образование на экономическом факультете
для гуманитариев 0,6, а для математиков – 0,9. Найти вероятность, что
произвольно взятый выпускник школы поступит на экономический
факультет.
3.38. В компьютерном классе имеется шесть компьютеров с
процессорами Intel и четыре Amd. Вероятность того, что за время
выполнения некоторого расчета произойдет сбой на процессоре Intel, равна
0,95; для процессора Amd эта вероятность равна 0,99. Студент производит
расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до
окончания расчета машина не выйдет из строя.
3.39. В операции по освобождению заложников участвуют 2 группы
бойцов: 4 бойца с винтовкой ОП21, 3 бойца с винтовкой АКМ47.
Предположим, что вероятность поражения цели при выстреле из винтовки
ОП21, равна 0,99; для винтовки АКМ47 эта вероятность равна 0,8. Найти
вероятность того, что преступник будет поражен, если выстрел будет
произведен одним бойцом какой-либо группы.
3.40. В гарантийной мастерской мобильных телефонов находится 24
телефона Nokia n8, 40 телефонов Samsung galaxy s и 36 телефонов Apple
iphone 4. Вероятность того, что телефон Nokia n8 уже готов, равна 0,9; для
телефонов Samsung galaxy s и Apple iphone 4 эти вероятности соответственно
равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченный наудачу телефон
окажется отремонтированным.
3.41. Аналитики банка заметили, что как правило, за кредитом
обращается 50% представителей строительной отрасли, 30% –
представителей торговли и 20% – общественного питания. Вероятности
возврата кредитов заемщиками первых двух отраслей соответственно

составляют 0,95, 0,80. Какова вероятность возврата кредита заемщиком из
общественного питания, если в среднем 85% заемщиков возвращают кредит
в срок.
3.42. Группа студентов, состоящая из 25 чел., писала зачетную
контрольную работу по теории вероятностей. Работа содержала две задачи.
Студент получал зачет, если решена правильно, хотя бы одна задача. Первую
задачу решили правильно 50%, вторую – 70%, а обе – 40% студентов группы.
С какой вероятностью можно утверждать, что студент правильно решил
первую задачу, если известно, что он получил зачет.
3.43. В сборочный цех производства пластиковых окон поступают
сваренные поливинилхлорид (ПВХ) профили с трех автоматических линий.
Производительности этих линий относятся как 5:3:2. Вероятность брака для
первой линии составляет 0,0001; для второй – 0,0002; для третьей – 0,0003.
Найти вероятность того, что наугад взятый сваренный профиль бракованный.
3.44. В бригаде скорой помощи 8 врачей и 2 врача-интерна.
Вероятность поставить ошибочный диагноз соответственно равна 0,05 и 0,2.
Какова вероятность, что будет поставлен неверный диагноз?
3.45. На приемное устройство сотового оператора с вероятностью 0,9
поступает полезный сигнал с помехой, а с вероятностью 0,1 – только помеха.
Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8
регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то
регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Какова вероятность
того, что приемник показал наличие сигнала?
3.46. В каждой из двух коробок содержится 6 черных и 4 белых шара.
Из первой коробки наудачу извлечен один шар и переложен во вторую.
Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из второй коробки
после перекладывания, окажется черным.
Задачи на формулу Байеса
3.47. После второго курса студенты трех групп объединяются в один
поток. Процент неуспевающих студентов по группам 1, 2, 3 распределен так:
2%, 7%, 10%. Размер первой группы в 3 раза больше размера второй, а
третьей – в 2 раза меньше, чем второй. Выяснить: а) каков процент
неуспевающих будет на потоке?; б) каковы доли неуспевающих каждой
группы среди неуспевающих на потоке.
3.48. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе мимо поста
ДПС, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе,
как 4:5. Вероятность того, что будет остановлена для проверки грузовая

машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. На посту
остановили машину. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
3.49. Две девушки набирают компьютерный текст одинакового
размера (по количеству знаков). Вероятность того, что первая девушка
допустит ошибку, равна 0,05; для второй – эта вероятность равна 0,1. При
сверке текста была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что
ошиблась первая девушка.
3.50. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% берут
государственные органы, 30% – другие банки, остальные – физические лица.
Вероятности невозвращения кредитов соответственно таковы: 0,01; 0,05 и
0,2. Начальнику кредитного отдела доложили о невозвращении кредита.
Найти вероятность того, что данный кредит не возвращен банком.
3.51. После окончания бакалавриата в магистратуру поступают в
среднем 70% девушек и 30% юношей. Вероятность поступления девушек –
0,8, юношей – 0,9. Студент поступил в магистратуру. Какова вероятность
того, что это девушка?
3.52. Еженедельно, в гипермаркет поступает продукция с двух
перепелиных ферм. С первой фермы – 2000 десятков яиц и 3000 десятков яиц
– со второй. Известно, что в среднем первая ферма дает 0,1% боя, а вторая –
0,2%. На проверку выбирается один десяток. Какова вероятность того, что а)
он содержит бой; б) что вероятнее, этот десяток яиц с первой или со второй
фермы?
3.53. Современная телеграфная азбука, известная как код Морзе
(морзянка) представляет собою систему кодировки символов короткими
(точка) и длинными (тире) посылами. При использовании классического
ключа Морзе начинающим радистом искажаются в среднем 2/5 точка и 1/3
тире. Известно, что среди передаваемых сигналов точка и тире встречаются
в соотношении 5:3. Определить вероятность того, что приняли искаженный
сигнал, если отправили тире.
3.54. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% – местные, 30% –
по СНГ и 10% – дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний
50% путешествуют по делам, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на
международных – 90%. Из прибывших пассажиров выбирается один. Чему
равна вероятность, что он прибыл из СНГ по делам.
3.55. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на
работу. В 1-м списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке
оказалось 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов

случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из
претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что
эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из
первого списка была извлечена фамилия женщины.
3.56. Предположим, что одна монета из 1000 имеет герб с обеих
сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается 10
раз, причем при всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова
вероятность, что была выбрана монета с двумя гербами.
3.57. По каналу связи может быть передана одна из трех
последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС. Известно, что вероятности
каждой из последовательностей равны соответственно 0,3; 0,4; 0,3. В
результате шумов буква принимается правильно с вероятностью 0,6;
вероятности приема переданной буквы за две другие равны 0,2 и 0,2.
Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти
вероятность того, что передано АААА, если принято АВСА.
3.58. Три школьника решали олимпиадную задачу по математике,
причем двое ее решили. Предварительный анализ результатов выступления
школьников на олимпиадах показал, что вероятности успешного решения
задачи распределены следующим образом: 0,6; 0,5; 0,4. Найти вероятность
того, что задача решена третьим школьником.
Задачи на формулу Бернулли
4.1. Игральную кость бросают 4 раза. Какова вероятность, что
шестерка выпадет: а) три раза; б) менее двух раз; в) ни разу; г) хотя бы один
раз?
4.2. Карту вынимают из колоды 3 раза с возвращением. Какова
вероятность, что масть «черви» выпадет: а) 2 раза; б) менее двух раз; в) ни
разу г) хотя бы один раз?
4.3. Снайпер винтовкой АКМ47 поражает мишень с вероятностью 0,8.
Сделано 2 выстрела. Какова вероятность, что мишень поражена: а) одним
выстрелом; б) двумя выстрелами; в) ни разу?
4.4. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что орел выпадет:
а) 2 раза; б) пять раз; в) ни разу?
4.5. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что орел
выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

4.6. Два друга Саша и Петя одинаково играют в шашки. Что вероятнее
для них – выиграть две партии из четырех или четыре из восьми?
4.7. Вероятность победить у Саши в компьютерной игре 0,9, а у Пети –
0,85. У кого выше вероятность выиграть, у Саши 5 игр из 8, или у Пети 4 из 7?
4.8. Какова вероятность того, что дни рождения 4 чел. из случайно
выбранных 6 людей приходится на 2 определенных месяца года?
4.9. Петя катается на велосипеде. Известно, что проколоть шину в
парке можно с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что после 10
поездок шины будут проколоты всего 2 раза.
4.10. Мобильная зенитно-ракетная система среднего радиуса действия
С-300ПМУ способна поражать самолеты, крылатые ракеты, баллистические
ракеты. Расчетная вероятность поражения баллистических ракет равна 0,9.
Что вероятнее: сбить пять из шести баллистических ракет или шесть из
семи?
4.11. Правильная монета бросается 10 раз. Какое событие более
вероятно:
а) 5 раз выпадет герб или 4 раза выпадет герб;
б) 4 раза выпадет герб или 3 раза выпадет герб;
в) ровно 4 раза выпадет герб или герб выпадет меньше четырех раз?
Указание: воспользуйтесь таблицей примера 4.1.
Задачи на формулу Пуассона
4.12. Вероятность набора абонентом телефонного номера с ошибкой
равна 0,002. Определить вероятность того, что среди 500 набранных
телефонных номеров а) 2 набраны с ошибкой; б) не более 2 телефонных
номеров были набраны с ошибкой.
4.13. Вероятность выпуска листа стекла повышенной хрупкости (брак)
равна 0,002. Листы укладываются в ящики по 100 штук. Найти вероятность
того, что: а) в ящике не окажется бракованных листов; б) число бракованных
листов окажется не более 3.
4.14. Магазин получил 1000 стеклянных бутылок минеральной воды.
Вероятность того, что при перевозке бутылка будет разбита, равна 0,003.
Найти вероятность того, что при перевозке будут разбиты: а) ровно две
бутылки; б) не более двух бутылок; в) не менее двух бутылок; г) хотя бы
одна бутылка.

4.15. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки, а 3% носят
контактные линзы. Какова вероятность того, что из 200 студентов, сидящих в
аудитории: а) не менее 5 носят очки б) 5 носят контактные линзы?
4.16. Компания по установке и техническому обслуживанию
платежных терминалов обслуживает 1000 торговых точек. Предоставляются
услуги постоянного on-line мониторинга, устранения сбоев посредством
удаленных перезагрузок, замены чековой ленты, выезд к терминалу при
необходимости. Вероятность одной удаленной перезагрузки терминала в
течение дня равна 0,005. Найти вероятность того, что в течение одного дня
будет произведено 7 перезагрузок.
4.17. Вероятность потерять кредитную карту в течение месяца для
случайно выбранного вкладчика составляет 0,001. Банк выдал кредитные
карты 3 000 клиентам. Найти: а) вероятность того, что за предстоящий месяц
будет утеряна ровно одна кредитная карта; б) вероятность того, что за
предстоящий месяц будет утеряна хотя бы одна кредитная карта.
4.18. На факультете 500 студентов. Вероятность того, что день
рождения случайно выбранного студента приходится на определённый день
года, составляет 1/365. Найти вероятность того, что один чел. из
присутствующих родился 1 января.
4.19. Вероятность того, что кредитная карта окажется действующей
после 2000 обращений в банкомат, равна 0,1. Какова вероятность того, что из
пяти карт не менее трех останутся действующими после 2000 обращений?
4.20. В10 000 квартир нового микрорайона входные металлические
двери оборудованы магнитными замками. Вероятность выхода из строя
одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за
месяц откажут 3 замка.
4.21. В среднем за неделю риэлторской конторе удается заключить 8
сделок сдачи жилья в наем. Какова вероятность совершения двух сделок в
течение дня?
4.22. В подразделение Госавтоинспекции в среднем в течение дня
обращается 9 чел. для постановки на учет нового легкового автомобиля,
приобретенного в кредит. Какова вероятность того, что в течение дня будет
зарегистрировано более 10 автомобилей?
4.23. Как вы думаете в условиях примера 4.11, вероятность того, что в
группе из 18 студентов не будет ни одного совпадения дней рождения
больше 1/2, меньше 1/2 или равна 1/2?

Задачи на дискретные распределения
5.1. Подбрасывается игральная кость. Составить закон распределения
выпавших очков.
5.2. Подбрасывается монета. Составить закон распределения
выпадения герба и цифры.
5.3. Из полной колоды карт случайно с возвращением вытаскивается
карта: а) составить закон распределения появления королей; б) чему равна
вероятность вытащить 4 туза при четырех извлечениях?
5.4. По итогам ЕГЭ выпускник школы с равной вероятностью может
поступить в 5 вузов. Составить закон распределения поступления в вузы.
5.5. Из 20 газет, лежащих в холе гостиницы, вчерашними являются 4.
Наудачу извлекаются 4 газеты: а) составить ряд распределения числа
вчерашних газет среди отобранных; б) найти вероятность того, что число
вчерашних газет будет не более трех.
5.6. В группе из 16 чел., 12 поддерживают лидера партии на выборах.
Из этой группы наудачу отбирают троих: а) составить ряд распределения
числа людей в выборке, поддерживающих лидера; б) найти вероятность того,
что число людей, поддерживающих лидера, не менее двух.
5.7. В автосалоне из 10 автомобилей 8 новых, остальные с пробегом.
Наудачу отобраны два автомобиля. Составить закон распределения числа
новых автомобилей среди отобранных.
5.8. Для поездок в командировку отобраны наладчики, среди которых 3
мужчины и 4 женщины. Не желая оказывать кому-либо предпочтения,
решили выбрать двух наладчиков случайным образом для первой работы.
Составить ряд распределения числа женщин в выборке.
5.9. В магазине имеется 12 автомобилей определенной марки. Среди
них – 5 черного цвета, 5 – серого и 2 – белого. Представители фирмы
обратились в магазин с предложением о продаже им трех автомобилей этой
марки, любого цвета: а) составить ряд распределения числа проданных
автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались
случайно; б) определить вероятность того, что среди проданных фирме
автомобилей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля черного цвета?
5.10. Для проведения первичной экспертизы материалов
диссертационного исследования осуществляется ее рецензирование тремя
независимыми рецензентами. Вероятность отрицательной оценки степени

готовности диссертации рецензентами примерно одинакова и равна 0,1.
Составить закон распределения возможного числа отрицательных рецензий
на представленную диссертацию.
5.11. Известно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают
пользоваться сотовым оператором TELE2. Случайно отобраны 4 чел.
Составьте ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих
пользоваться сотовым оператором TELE2.
5.12. В городе 8 туристических фирм, у которых за последнее время
риск банкротства в течение года увеличился до 30%. Составьте ряд
распределения числа турфирм, которые могут обанкротиться в течение
следующего года.
5.13. Авиационная компания рассматривает проект по обслуживанию
служебных перелетов. Услугами данной компании готово воспользоваться
40% фирм. Компания приобрела 7 турбовинтовых самолетов. Составьте ряд
распределения самолетов, которые могут быть заняты.
5.14. Написать биномиальный закон распределения дискретной
случайной величины m – числа появлений «герба» при двух бросаниях
монеты.
5.15. Студент сдаёт четыре экзамена в летнюю сессию. Вероятность
успешно сдать каждый экзамен равна 0,8: а) составить ряд распределения
успешно сданных экзаменов; б) чему равна вероятность того, что его
отчислят при условии не сдачи трех и более экзаменов.
5.16. Известно, что в среднем 5% студентов стремятся сдать сессию
досрочно. Какова вероятность того, что из 200 студентов факультета m
студентов сдадут сессию досрочно, если m = 0, 1, 2, 3.
5.17. Как правило, среди 20 газонокосилок одна попадается
неисправная. Случайным образом отобраны 2 газонокосилки. Построить
пуассоновский и биномиальный законы распределения количества
неисправных газонокосилок среди отобранных.
5.18. Вероятность потерять кредитную карту в течение месяца для
случайно выбранного вкладчика составляет 0,003. Банк выдал кредитные
карты 1000 клиентам. Составить ряд распределения вероятностей того, что за
предстоящий месяц будут утеряны m = 0, 1, 2, 3, 4 кредитных карт.
5.19. Известно, что примерно на 10000 банок консервов приходится 5
нарушений герметичности. Построить ряд распределения вероятностей того,

что в партии из 20000 банок нарушение герметичности произойдет не более
чем в 5 случаях.
5.20. Вероятность сбоя банкомата при приеме коммунальных платежей
равна 0,000025. Построить ряд распределения вероятностей того, что из
10000 обслуженных клиентов сбой произойдет в m = 0, 1, 2, 3, 4 случаях.
5.21. Обрыв телефонной связи произошел на одном из пяти участков.
Последовательно проверяются все участки. Составить закон распределения
обследованных участков, если вероятность обрыва связи одинакова для всех
звеньев.
5.22. Боец спецподразделения по предотвращению террористических
актов на тренировке по стрельбе стреляет по мишени до первого попадания,
но производит не более четырех выстрелов. Построить закон распределения
числа произведенных выстрелов, если вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,9.
5.23. При игре в городки остался 1 городок, а у игрока осталось 5 бит.
Найти закон распределения числа использованных бит, если вероятность
выбить городок при каждом броске равна 0,8.
5.24. Вероятность того, что мастерская примет на ремонт сломавшийся
у школьника сотовый телефон равна 0,4. Составить закон распределения
количества мастерских, которые посетит школьник, если таких мастерских в
городе 8.
5.25. В барабане револьвера 7 гнезд. В одно гнездо заложен патрон, а
остальные пустые. Барабан приводится во вращение и против ствола
случайным образом оказывается патрон либо пустое гнездо. После этого
нажимается на спусковой крючок нужное число раз, пока не произойдет
выстрел по испытательному стенду. Найти закон распределения количества
возможных нажатий на спусковой крючок.
Задачи на непрерывные распределения
5.26. Во время грозы на участке между 30-м и 70-м километрами
телефонной линии произошёл обрыв провода. Считая, что обрыв одинаково
возможен в любой точке, найти вероятность того, что обрыв расположен
между 40-м и 45-м километрами.
5.27. На 400-километровом участке газопровода между
компрессорными станциями A и B происходит утечка газа, которая

одинаково возможна в любой точке газопровода. Найти вероятность того, что
утечка расположена не далее 20 км от A или B.
5.28. На отрезке [–4, 8] наудачу взято число. Какова вероятность того,
что: а) это число попадет в диапазон от 5 до 6; б) число будет меньше нуля.
5.29. Вероятность попадания случайной величины, распределенной по
равномерному закону на (–5, 15) в часть интервала (8; ), равна 1/10. Найти
правую границу интервала .
5.30. Обвал одинаково возможен в любой точке на горной дороге от
30-го км до 90-го км. Вероятность того, что обвал произойдет в интервале от
конца или начала дороги равен 1/5. Найти эти интервалы.
5.31 Все значения равномерно распределённой случайной величины
расположены на отрезке [12; 28]. Найти вероятности её попадания: а) на
отрезок [24; 28]; б) в интервал (13; 15).
5.32. Ёмкость цистерны для хранения бензина на автозаправочной
станции равна 50 т. Найти вероятности событий, состоящих в том, что при
случайной проверке в цистерне будет обнаружено: а) менее 5 т бензина; б)
более 20 т бензина; в) хотя бы 1 т бензина.
5.33. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания
округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
5.34. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная
величина, подчиняющаяся равномерному закону в интервале от 0 до 60 с.
Найти плотность и функцию распределения этой случайной величины.
Определить вероятность того, что время ожидания ответа не превысит 45 с.
5.35. Место дежурства передвижного поста № 2 ДПС – случайная
величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале
от 997-го км до 1447-го км. Найти плотность и функцию распределения этой
случайной величины. Определить вероятность того, что нарушение
зафиксируют на интервале от 1200-го км до 1300-го км.
5.36. Написать плотность и функцию распределения показательного
закона, если параметр  = 3.
5.37. Найти параметр  показательного распределения: а) заданного
плотностью






 
0,3
0,0
)( 3
xe
x
xp x
;
б) заданного функцией распределения





 
0,1
0,0
)( 8,0
xe
x
xF x
.
5.38. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону с =2. Найти вероятность того, что в результате
испытания X попадает в интервал (0,1; 0,5).
5.39. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону, заданному плотностью распределения





 
0,03,0
0,0
)( 03,0
xe
x
xp x
.
Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в
интервал (2, 3).
5.40. Как правило, педсовет длится один час. На этот раз за час он не
закончился. Какова вероятность того, что он закончится в ближайшие 15
мин, если предположить, что длительность педсовета распределена по
показательному закону с =1.
5.41. Установлено, что время ремонта микроволновой печи является
случайной величиной, распределенной по показательному закону.
Определить вероятность того, что на ремонт поступившей в мастерскую печи
потребуется менее 20 дней, если  = 1/20.
5.42. Время, необходимое для оформления кредита в банке, является
случайной величиной, распределённой по показательному закону с
параметром  = 0,5 договора/ч. Найти вероятность того, что оформление
кредита займёт менее 6 ч.
5.43. Время ожидания в очереди имеет показательный закон
распределения с параметром  = 3. Какова вероятность того, что покупатель
потратит на покупку не менее 10 и не более 15 мин?
5.44. Длительность исполнения заказа в ателье по пошиву брюк имеет
показательный закон распределения с параметром  = 1/5. Какова
вероятность того, что сданный вами в ателье заказ выполнят не ранее чем
через 4 суток.

5.45. Известно, что 97% смартфонов выходит из строя после 10 000 ч
работы. Какова вероятность, что смартфон выйдет из строя в интервале
времени от 8000 до 9000 ч, полагая, что время безотказной работы имеет
показательный закон распределения с  = 3.
5.46. Написать плотность вероятности нормально распределенной
случайной величины X с параметрами  = 3 и а = 2.
5.47. Показания высотомера является нормально распределенной
случайной величиной, с параметрами  = 15 м и а = 0 м. Какова вероятность
того, что самолет уклонится от расчетной высоты не более чем на 19,5 м?
5.48. Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда – Бине
распределены приблизительно по нормальному закону с a = 100 и σ = 16.
Найти долю людей, у которых коэффициент интеллекта окажется: а) меньше
60; б) меньше 75; в) меньше 95; г) больше 100; д) больше 120; е) в пределах
от 80 до 120.
5.49. При сортировке случайные значения веса зерна распределены
нормально с параметрами a = 2 г и σ = 0,4 г. Нормальные всходы дают зерна,
вес которых более 1,80 г. Определить процент семян, которые дадут
нормальные всходы.
5.50. Случайные отклонения диаметра детали от номинала,
выпускаемой цехом, распределены нормально с параметрами a = 20 мм и σ =
0,06 мм. Определить вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали
имеет размеры от 19 до 22 мм.
5.51. Известно, что вес клубня картофеля подчиняется нормальному
закону с параметрами a = 125 г и σ = 15 г. Определить вероятность того, что
вес наудачу взятого клубня будет: а) не менее 200 г; б) не более 130 г; в) от
98 до 146 г.
5.52. Случайная величина X  N(a = 2; σ = 3) . Найти вероятности:
а) P{X > 1}; б) P{−2 < X < 2}; в) P{X < 2}. Записать «правило трёх сигм» для
этой случайной величины.
5.53. Предполагается, что рост призывников в Южный военный округ
будет иметь нормальное распределение с параметрами а = 173 и σ = 6 см.
Найти долю летнего обмундирования 3-го (170–176) и 4-го роста (176–182),
которую следует приготовить к началу осеннего призыва.
5.54. Вес поступивших в продажу плодов манго соответствует
нормальному закону распределения с параметром а, равным 0,54 кг.

Подсчитали, что 5% имеют массу, меньшую 0,5 кг. Каков процент плодов,
масса которых: менее 0,47 кг; от 0,5 до 0,55 кг; более 0,55 кг?
5.55. Методами генной инженерии на опытном участке удалось
вырастить новый сорт сахарной кукурузы. После сбора урожая выяснилось,
что длина початков имеет нормальное распределение с параметром а,
равным 25 см. Початки длиною от 10 до 15 см составляли примерно 9% от
общего количества. Найти вероятность того, что длина произвольно взятого
початка попадет в интервал: а) (35, 40); б) (30, 35).
Задачи на числовые характеристики случайных величин
6.1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X
mi 0 1 2 3
рi 0,064 0,288 0,432 0,216
Найти: а) математическое ожидание МХ; б) дисперсию DХ; в)
среднеквадратическое отклонение σх.
6.2. Случайная величина Х задана законом распределения
mi 10 15 25
рi 10/28 p 3/28
Найти: а) значение вероятности для второй случайной величины;
б) математическое ожидание МХ; в) дисперсию DХ.
6.3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х
mi 20 21 22 23
рi 0,1 0,3 0,2 p
Найти: а) значение вероятности для четвертой случайной величины; б)
математическое ожидание МХ; в) дисперсию DХ.
6.4. Задан закон распределения дискретных случайных величин Х и Y
mi 110 120 130 140 150
рi
x 0,15 0,20 0,35 0,1 0,2
рi
y 0,1 0,15 0,3 0,05 0,4
Сравнить: а) математические ожидания МХ и МY и б) стандартные
отклонения x и y.

6.5. Случайная величина Х задана законом распределения
mi 0 3 x
рi 0,2 0,4 p
Найти третье значение случайной величины и его вероятность, если
известно, что ее математическое ожидание равно 4.
6.6. Распределение дискретной случайной величины X содержит
неизвестные значения х1 и х2 (х1 < x2)
mi х1 х2
рi 0,4 0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: MX = 3,6;
DX = 0,24. Требуется определить значения х1 и х2.
6.7. Случайная величина X с вероятностью 1/5 принимает значения 7; 9;
10; 11 и 13; а случайная величина Y также с вероятностью 1/5 принимает
значения 22; 24; 25; 26; 28. Найти DX и DY , проверить, выполняется ли
равенство DY = DX.
6.8. Спортсмены рыболовы решили завершить тренировку, поймав еще
одного карпа, или сделав не более пяти забросов снасти. Рыбалка была
достаточно успешной и друзья посчитали, что в среднем 10 забросов снасти
увенчались одной пойманной рыбой. Построить ряд распределения числа
забросов снасти. Найти математическое ожидание, дисперсию.
6.9. На некотором участке дороги 60% водителей соблюдают
предусмотренный скоростной режим. Составить закон распределения числа
водителей, соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти
проехавших. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной
величины.
6.10. Начинающий биатлонист производит 3 выстрела по мишени.
Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое
попадание ему засчитывается 10 очков. Построить закон распределения
числа выбитых очков, найти математическое ожидание и дисперсию.
6.11. Примерно 10% студентов страдают навязчивым желанием
подключиться к Интернету, или болезненной неспособностью вовремя
отключиться от него. Составить закон распределения числа Интернет-
зависимых студентов из трех наудачу выбранных, найти математическое
ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.

6.12. У игрока в боулинг вероятность выбить страйк (сбить одним
броском шара все 10 кеглей) равна 0,3. Найти закон распределения,
математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение числа
выбитых страйков при трех бросках.
6.13. В приемное время врача-стоматолога посещает в среднем 6 чел. в
час. Составить таблицу вероятностей для числа пациентов 0, 1, 2, 3,
посетивших психиатра в течение часа в предположении, что количество
посетивших стоматолога больных имеет пуассоновское распределение и
найти их математическое ожидание.
6.14. В среднем левши составляют 1% всего населения. Сколько в
среднем нужно опросить людей, чтобы набрать десятерых левшей в
предположении, что количество левшей имеет пуассоновское распределение?
6.15. Из-за сбоя в оборудовании оказалось, что в партии 2%
автомобилей имеют скрытый дефект. Определить, сколько автомобилей
должен в среднем осмотреть представитель службы качества, чтобы найти
один автомобиль с дефектом, если количество дефектных автомобилей в
партии имеет пуассоновское распределение.
6.16. Маркетинговые исследования аналитиков компании показали, что
40% горожан предпочитают приобретать продукты в магазинах розничной
сети «Магнит». Случайно выбраны 4 чел. Составьте ряд распределения
случайной величины Х − числа людей в выборке, предпочитающих услуги
данной сети магазинов. Найдите математическое ожидание, дисперсию и
стандартное отклонение Х. Чему равна вероятность того, что среди 4
случайно отобранных чел. не будет ни одного, предпочитающего «Магнит»;
окажется хотя бы 1 чел. предпочитающий «Магнит»; будет не больше 3 чел.,
предпочитающих «Магнит»?
6.17. Среднее число клиентов, приходящих утром в банк в 10-
минутный интервал, равно 1. Прибытие клиентов происходит случайно и
независимо друг от друга, а их количество подчиняется распределению
Пуассона. Составьте ряд распределения для числа клиентов от 1 до 8,
прибывающих утром в течение 10 мин. Найдите математическое ожидание,
дисперсию случайной величины и стандартное отклонение.
6.18. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу
извлекаются 4 билета. Составьте ряд распределения числа выигрышных
билетов среди отобранных, найдите их математическое ожидание и
дисперсию. Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов
окажется: не меньше трех выигрышных билетов; не больше одного
выигрышного билета.

6.19. Сделано 2 вклада – 10000 р. в компанию А и 15000 р. в компанию
В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью
0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью
0,15. Составить закон распределения случайной величины Х – общей суммы
прибыли (убытка), полученной от 2 компаний через год.
6.20. Нефтяная компания получила финансирование для проведения 10
разработок залежей нефти. Вероятность успешной разработки 0,01.
Нефтяные разработки осуществляются независимо друг от друга. Найти
математическое ожидание и дисперсию числа успешных разработок.
6.21. Распределение дискретной случайной величины Х задано
формулой Р(Х = k) = c/2к
, k = 0,1,2,… Найти c, Р(Х ≤ 3).
6.22. Вероятность того, что студент сдаст семестровые экзамены по
алгебре, математическому анализу, физике равны соответственно 0,6; 0,7;
0,9. Составить закон распределения Х – числа семестровых экзаменов,
которые сдаст студент.
6.23. Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность
выигрыша по одному билету равна 0,6. Составить закон распределения числа
выигрышей, найти математическое ожидание и дисперсию.
6.24. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной
функцией распределения р(x)









6,0
.60
00
)( 2
x
x,cx
x,
xр
Найти: а) значение параметра с; б) интегральную функцию
распределения F(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной
величины.
6.25. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной
функцией распределения р(x)









2,0
.20
00
)( 3
x
x,cx
x,
xр

Найти: а) значение параметра с; б) интегральную функцию
распределения F(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной
величины.
6.26. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной
функцией распределения F(x)









61
.622
20
)(
x,
x),c(x
x,
xF
Найти: а) значение параметра с; б) дифференциальную функцию
распределения р(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной
величины; г) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал
(–1; 3).









61
.622
20
)(
x,
x),c(x
x,
xF
(0; 2).
функцией распределения F(x):









61
.63)3(
30
)(
x,
x,xc
x,
xF
(0; 5).










81
.83
30
)(
x,
xcx,
x,
xF
(0; 5).
6.30. Время, необходимое для оформления страхового договора ОСАГО,
является случайной величиной, распределённой по показательному закону со
средним значением 10/3 мин. Найти вероятность того, что оформление
договора займёт менее 7 мин.
6.31. Среднее время ожидания трамвая равно 3,5 мин. Известно, что
время ожидания имеет равномерный закон распределения. Минимальное
время ожидания равно 0. Найти вероятность того, что пассажир будет
ожидать трамвай от двух до пяти минут.
6.32. Случайная величина X распределена по экспоненциальному
закону и имеет среднее значение, равное 1/2. Определить вероятности P{X >
1}, P{X < 2}, P{X > −1}, P{X = 3} и дисперсию этой случайной величины.
6.33. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке
[0;100]. Найти вероятности P{X > 10}, P{40 < X < 90}, а также
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
6.34. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1,4), задана
квадратичной функцией распределения F(x) = ax2
+bx+c, имеющей максимум
при x = 4. Найти параметры а, в, с и вычислить вероятность попадания Х в
интервал (2, 3).
6.35. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид












x,
xk,
x),k(х
x,
xр
10
10
011
10
)(
Найти k, МХ, Р(-0,5< Х<0,5), F(х).

Задачи на неравенство Маркова и Чебышева
7.1. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день.
При помощи неравенства Маркова оцените вероятность того, что в
произвольный день в отделении банка будет обслужено не более 200
клиентов, более 150 клиентов.
7.2. Среднее изменение курса акции компании в течении одних
биржевых торгов составляет 0,3%. При помощи неравенства Маркова
оцените вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более
чем на 3%.
7.3. В среднем 10% работоспособного населения региона
безработные. В соответствии с неравенством Чебышева оцените вероятность
того, что уровень среди обследованных 10000 работоспособных жителей
города будет в пределах от 9 до 11%. Решите задачу при помощи
интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Сравните ответы.
7.4. Среднее число просмотров в день видеоролика на You Tube
составило 50000. При помощи неравенства Маркова оцените вероятность
того, что число просмотров в день не превосходит 120000.
7.5. Средняя масса банана равна 100 г. При помощи неравенства
Маркова оцените вероятность того, что наудачу взятый банан имеет массу не
более 300 г.
7.6. Вероятность того, что акции, переданные на депозит будут
истребованы равна 0,08. В соответствии с неравенством Чебышева оцените
вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои
акции. Решите задачу при помощи интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Сравните ответы.
7.7. Вероятность произрастания зерна равна 0,96. В соответствии с
неравенством Чебышева оцените вероятность, что число не проращенных
зерен из 2000 находится в границах от 60 до 100. Решите задачу при помощи
интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Сравните ответы.
7.8. Можно ли с вероятностью большей, чем 0,97 утверждать, что при
1000 подбрасываниях монеты количество выпадений герба будет заключено
в пределах от 400 до 600. Решите задачу при помощи неравенства Чебышева
и посредством интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Сравните ответы.
7.9. В соответствии с Цифровым вещанием стандарта DVT-24
охвачено 96% населения. Опросили 2000 чел. В соответствии с неравенством

Чебышева оцените вероятность того, что количество населения
неохваченного цифровым вещанием, находится в пределах от 60 до 100.
Решите задачу при помощи интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Сравните ответы.
7.10. Игральную кость бросили 4200 раз. Оцените вероятность того,
что три очка выпало больше 650 раз и меньше 750 раз. Решите задачу при
помощи неравенства Чебышева и посредством интегральной теоремы
Муавра-Лапласа. Сравните ответы.

задачи для студентов по тв и мс

More Related Content

Similar to задачи для студентов по тв и мс

More from Alexan Khalafyan

задачи для студентов по тв и мс