1. Научно-исследовательский проект
Свойства криволинейных фигур постоянной ширины
Учеников 9 «А» класса
гимназии МИИТ
Стулова Николая и Климчука Руслана
Научный руководитель —
заведующий кафедрой
естесственно-математических наук
гимназии МИИТ
Митусова Светлана Викторовна
Москва, 2012 г.
2. Оглавление
1. Введение
2. Цели и задачи проекта
3. Основная часть
3.1. Определение криволинейной фигуры постоянной ширины (далее КФПШ)
3.2. Об истории КФПШ
3.3. Свойства КФПШ
3.4. Потенциально полезные свойства треугольника Рёло
4. Применение свойств треугольника Рёло
4.1. Сверло Уаттса
4.2. Ротор в двигателе Вангеля
4.3. Грейферный механизм
5. Практическая часть
5.1. Краткая история исследований
5.2. Устройство колеса
5.3. I прототип
5.4. II прототип
5.5. III прототип и схема его работы
5.6. IV прототип и схема его работы
5.7. V прототип и схема его работы
5.8. Сравнение
6. Заключение
7. Список использованной литературы
8. Приложения
3. 1. Введение
Потребность в исследовании характерных точек и линий треугольника возникла,
как из научного любопытства, так и из чисто практических целей. Если в древние
времена наиболее широко применялся на практике прямоугольный треугольник
Пифагора, то сейчас наибольший интерес вызывают необычные свойства
треугольника Рёло и других фигур постоянной ширины.
2. Цели и задачи проекта
В работе исследовались фигуры постоянной ширины - круг и многоугольники
Рёло. Сегодня все свойства фигур постоянной ширины применены для круга,
однако для других фигур, в частности для треугольника Рёло, применения
практически не найдено. Поэтому было принято решение исследовать свойства
треугольника Рёло и их практическое применение.
«Прежде, чем что-то изучать, следует понять предмет изучения.»
Конфуций
3. Теоретическая часть
3.1. Определение криволиненой фигуры постоянной ширины
Научное определение кривой постоянной ширины: кривой постоянной ширины
называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя
параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно d – «ширине»
кривой. Следовательно, фигурой постоянной ширины называется фигура,
границей которой является кривая постоянной ширины.
Наглядное представление о такой фигуре дает одно из её свойств: она может
вращаться внутри квадрата, постоянно касаясь всех четырех его сторон (рис.1). И
примером такой фигуры без сомнения является круг - наиболее известная фигура
постоянной ширины. Однако, существует ещё несколько фигур постоянной
ширины. Ими являются многоугольники Рело (рис.2).
Фигурами постоянной ширины являются все фигуры, построенные на
правильных n-угольниках путем проведения дуг, радиусом, равным диагонали
между двумя противолежащими вершинами, где n - нечетно (рис.3). Другой
способ построения применим для любого количества пересекающихся прямых. В
таком случае, фигуру постоянной можно получить, проведя произвольным
радиусом дугу в одном секторе пересекающихся прямых и продолжив
получившуюся кривую другим радиусом из другого сектора до замыкания прямой
(рис.4). Хотя до этого момента мы рассматривали криволинейные фигуры
постоянной ширины на плоскости, однако существуют и аналогичные им
пространственные фигуры.
4. 3.2. Об истории криволинейных фигур постоянной ширины
Французский математик Франц Рёло (Reuleaux Franz, 1829–1905) первым изучил
свойство выпуклого криволинейного треугольника, позже названного его именем.
Также любая кривая постоянной ширины, построенная на правильном
многоугольнике, и объёмная фигура постоянной ширины носят имя Рёло.
3.3. Свойства криволинейных фигур постоянной ширины
1) Все криволинейные фигуры постоянной ширины, кроме круга, обладают
подвижным центром (при качении фигуры по плоскости)
2) Длина кривой постоянной ширины d равна πd (Теорема Барбье)
3) Центры вписанной и описанной окружностей совпадают, а сумма их радиусов
равна ширине кривой
4) Среди всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает наименьшей
площадью, а круг — наибольшей
5) С каждой из своих опорных прямых кривая имеет лишь по одной общей точке
6) Расстояние между двумя любыми точками кривой ширины d не может
превышать d
7) Отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к
кривой, перпендикулярен к этим опорным прямым
8) Через любую точку границы кривой проходит по крайней мере одна опорная
прямая
9) Кривую постоянной ширины можно вписать в квадрат или шестиугольник
3.4. Потенциально полезные свойства треугольника Рёло
Особенно выделяется одна из криволинейных фигур постоянной ширины -
треугольника Рёло - а именно два его свойства: наименьшая площадь среди
криволинейных фигур постоянной ширины и его свойство вращаться в квадрате
так, что фигура вращения будет отличаться от квадрата всего на два процента.
Первое утверждение носит название теоремы Бляшке-Лебега, по фамилиям двух
учёных, сформулировавших эту теорему.
Эти свойства треугольника Рёло дают множество потенциальных возможностей
его применения, которые мы и исследовали.
4. Применение свойств треугольника Рёло на практике
Сверло с сечением в форме треугольника Рёло и остриями в его вершинах
позволяет сверлить практически квадратные отверстия. Отличие от квадрата
заключается лишь в немного скругленных углах полученного отверстия.
5. Альтернативный вариант применения треугольника Рёло в технике — это так
называемый грейферный механизм, осуществляющий перемещение плёнки в
кинопроекторах. Например, грейфер кинопроектора «Луч-2» основан на
треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат и закреплен на двойном
параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с
расположенным на ней зубом, который протаскивает пленку на один кадр вниз за
перфорацию и затем возвращается в начальное положение.
Использование треугольника Рёло в автомобилестроении до настоящего момента
сводилось к его использованию в качестве ротора в двигателе Ванкеля. Одна из
немногих современных коммерческих машин, построенных на базе такого
двигателя, это модель Mazda RX-8. Отличие такого двигателя заключается в том,
что он совершает три полных рабочих цикла за один оборот.
Существует ещё одно применение треугольника Рёло в технике - в качестве
катка или колеса - которое мы и будем исследовать.
Из истории нам известно, что до изобретения колеса люди перемещали тяжелые
предметы с помощью катков, которые подкладывались под перемещаемый объект,
который перемещали, прикладывая силу в нужном направлении. Чтобы избежать
потери энергии при таких действиях, сечение катка должно было представлять из
себя фигуру постоянной ширины. Чаще всего использовался круг, однако
треугольник Рёло поведет себя ничуть не хуже, и, напротив, обеспечит экономию
материала. Но мы пошли дальше.
5. Практическая часть
5.1. Краткая история исследований
Считается, что использование треугольника Рёло как колеса невозможно, потому
что его центр движется по трохоидной траектории (рис.5). Чтобы доказать
возможность создания транспортного средства с колесами-треугольниками Рёло,
было решено создать «тележку», которая демонстрировала бы принцип работы
такого транспортного средства на практике.
5.2. Устройство колеса
Колесо состоит из трех треугольников: двух больших, исполняющих роль колеса,
и одного маленького, прикрепленного к большим и вращающегося в квадрате. Он
нужен для того, чтобы колеса вращались (рис.6). Однако, когда был собран
прототип, мы столкнулись с той же проблемой, что и исследователи до нас, а
именно с колебанием оси.
6. В процессе подготовки проекта была выдвинута идея о создании привода,
который смог бы двигать «тележку», компенсируя колебания осей. Эта идея и
легла в основу практической части проекта.
5.3. I прототип
Первый прототип не имеет в своей конструкции каких-либо элементов, которые
бы помогали приводной оси двигаться синхронно с осью колеса (рис.7). Он
должен показать, что двигаться при такой конструкции «тележка» не может.
5.4. II прототип
Второй прототип, который вы видите перед собой имеет в своей основе простую,
но гениальную идею: ось, соединяющая колеса, располагается в центре
окружности, описываемой центром малого треугольника. (рис.8) Такая
конструкция компенсирует трохоидное движение центра треугольника в нем
самом, не передавая колебания дальше. Единственный минус такой системы на
примере «тележки» в некоторой непрочности конструкции. Однако, при большом
обёме производства это упущение можно будет устранить.
5.5. III прототип и схема его работы
Третий прототип «тележки» мы оснастили простым механизмом, физически
компенсирующим колебания оси. Механический привод этой тележки был выгнут
в средней своей части (рис.9). Таким образом, при вращении ручки привода
передача описывала окружность малого радиуса. Плюсы такого решения
заключались в исключительной простоте его изготовления и использования.
Однако были и минусы: на практике изготовить ось привода таким способом,
чтобы она идеально компенсировала траекторию ведущей оси, оказалось сложно в
данном масштабе. Поэтому был разработан четвертый прототип.
5.6. IV прототип
Четвертый прототип было решено оснастить кулачковым механизмом,
основанным опять же на свойствах треугольника Рёло (рис.10). Аналогичный
механизм мы рассматривали, когда рассказывали про кинопроектор «Луч-2». В
теории, такой механизм должен был обеспечить идеальное совпадение траекторий
двух осей.
7. 5.7. V прототип и схема его работы
В пятом прототипе мы реализовали идею круглой передачи (рис.11). При таком
устройстве привода «тележка» сможет преодолевать препятствия, непроходимые
для обычного круглого колеса. Ещё один плюс данного решения состоит в его
универсальности: ведь такие колеса можно поставить на обычный автомобиль .
5.8. Сравнение
Несмотря на необычный внешний вид, треугольное колесо имеет ряд
преимуществ перед круглым.
Преимущества
1. Меньшая площадь поверхности – экономия материала, уменьшение веса
2. Треугольная форма - улучшенная проходимость
3. Низкий уровень вибраций
4. Необычный внешний вид
Недостатки
1. Необходимость переоборудования заводов
2. Сложная конструкция
6. Заключение
Проанализировав свойства треугольника Рёло в качестве колеса, был обозначен
главный потребитель – отрасль тяжелого машиностроения. Такие колёса
помогают решить основные проблемы этой отрасли: высокая затрачиваемость
ресурсов , изнашиваемость деталей и низкая скорость. В зависимости от
масштабов производства, выгода в использовании исходного материала может
покрыть расходы на модернизацию завода. Также необычные колёса будут иметь
применение при создании велосипедов. Они способствуют уменьшению веса
велосипедов.
8. 7. Список использованной литературы
1) http://physics.nad.ru — «Физика в анимациях»
2) Яглом И., Болтянский В. — «Фигуры постоянной ширины // Выпуклые
фигуры» — М. — Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90 - 105. — 343 с. — («Библиотека
математического кружка», выпуск 4)
3) Радемахер Г., Тёплиц О. — «Кривые постоянной ширины // Числа и фигуры.
Опыты математического мышления / Пер. с нем. В. И. Контовта» — М.:
Физматгиз, 1962. — С. 195 - 211. — 263 с. — («Библиотека математического
кружка», выпуск 10)
4) http://www.etudes.ru/ — «Математические этюды»
