1. ‫וקטורים‬
‫נתונות הנקודות )5.7− ,0 ,01( ,)5.2− ,0 ,0( ,)5.5− ,01 ,1( המוכלות במישור ‪.π‬‬
‫א. מצאו את ההצגה הפרמטרית של המישור ‪.π‬‬
‫ב. מצאו את ההצגה הכללית של מישור ‪ π‬העובר דרך שלושת הנקודות.‬
‫ג. האם המישור ‪ π‬עובר בראשית הצירים?‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

2. ‫וקטורים‬
‫א. ע"מ למצוא את ההצגה הפרמטרית של משוואת המישור נמצא את וקטורי הכיוון של‬
‫המישור:‬
‫)3− ,01 ,1( = )5.2− ,0 ,0( − )5.5− ,01 ,1( = ‪u‬‬
‫)5− ,0 ,01( = )5.2− ,0 ,0( − )5.7− ,0 ,01( = ‪v‬‬
‫−‬‫→‬
‫הוקטור )01− ,0 ,0(‪ OA‬יוצא מראשית הצירים ומסתיים בנקודה על המישור ולכן ההצגה‬
‫הפרמטרית של המישור היא:‬
‫)5− ,0 ,01(‪π : (0, 0, −2.5) + s(1, 10, −3) + t‬‬
‫ב. נמצא את ההצגה הכללית של המישור ע"י מכפלה וקטורית 1. המכפלה הוקטורית‬
‫מחשבת את הוקטור המאונך לשני וקטורים נתונים, מצאנו שני וקטורי כיוון הפורשים את‬
‫המישור. וקטור המאונך לשני וקטורים הוא וקטור הנורמל, וקטור הנורמל מייצג את וקטור‬
‫המקדמים במשוואת המישור ולכן מכפלה וקטורית של שני וקטורי כיוון נותנת את וקטור‬
‫הנורמל של המישור.‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫05− = )0 · )3−(( − ))5−( · 01( = ‪a‬‬
‫‪‬‬
‫52− = ])01 · )3−(( − ))5−( · 1([− = ‪1 10 −3 = b‬‬
‫5− 0 01‬
‫‪‬‬
‫001− = )01 · 01( − )0 · 1( = ‪c‬‬
‫‪‬‬
‫משוואת המישור מהצורה הכללית 0 = ‪ .π : −50x − 25y − 100y + D‬נמצא את האיבר‬
‫החופשי ‪ D‬ע"ׁי הצבת הנקודה )5.2− ,0 ,0( המקיימת את משוואת המישור:‬
‫052− = ‪−50 · 0 − 25 · 0 − 100 · (−2.5) + D = 0 → D‬‬
‫ולכן 0 = 052 − ‪ ,π : −50x − 25y − 100y‬לאחר צמצום נקבל‬
‫0 = 01 + ‪.π : 2x + y + 4z‬‬
‫ג. ראשית הצירים היא הנקודה )0 ,0 ,0(‪ ,O‬נציב נקודה זו במשוואת המישור ונקבל‬
‫0 = 01 + 0 · 4 + 0 + 0 · 2 ולכן המישור לא עובר בראשית הצירים. דרך נוספת שהיינו‬
‫יכולים לעשות זאת היא ע"י פתרון המערכת )לפי ההצגה הפרמטרית של המישור(:‬
‫‪‬‬
‫‪0 = s + 10 · t‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 = 0 + 10 · s‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 = −2.5 − 3 · s − 5 · t‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לראות ישירות שלא מתקיים ‪ t‬ו־ ‪ s‬שפותרים את המערכת ולכן הנקודה לא נמצאת‬
‫במישור.‬
‫1יש לציין שאם משתמשים בשיטה של מכפלה וקטורית ע"מ למצוא את משוואת המישור חייבים לציין זאת‬
‫בבחינה ולהסביר למה, בדומה להסבר שמובא להלן. השימוש במכפלה וקטורית פשוט הרבה יותר מאשר פתירת‬
‫משוואות אלגבריות עם נעלמים, שיטה זו מהירה יותר ופשוטה הרבה יותר עם פחות סיכוי לטעות.‬
‫דבר נוסף שיש לציין, מבחינה פורמלית הפתרון של הדטרמיננטה מעט שונה מהפתרון המוצג כאן, אך ע"מ להקל‬
‫על התלמידים לא נרחיב על כך. הסבר מפורט ניתן למצוא בשיעורים העוסקים בוקטורים.‬
‫2‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬