Download to read offline
Презентация стр 13-17
- 1. • 1.2. Асимптотическаяустойчивость нулевого решения • Для начала, не вдаваясь в глубину вопроса, приведем три определения из теории устойчивости. • Определение 1.6а. Если все решения cp(t) линейного дифференциального уравнения (1.1) ограничены на промежутке *0,+°о )5 то решение x(t) = 0 будем называть устойчивым. • Определение 1.6Ь. Решение х(7) = 0 будем называть неустойчивым, если оно не является устойчивым. • Таким образом, если нулевое решение неустойчиво, то для некоторого решения (р(t) уравнения (1.1): lim <p(t)=°°. • t —> +оо • Определение 1.6с. Если для любого решения • t-^+oО • то нулевое решение называется асимптотически устойчивым.
- 2. • Лемма 1.1.Для любого алгебраического многочлена Ts (t) степени s • = 0. • lim • если Re λ < 0 (здесь Re λ обозначает вещественную часть комплексного числа λ ). • Доказательство леммы элементарно и основано на использовании правила Лопиталя. Проделайте его самостоятельно. • Из леммы 1.1 к структуры общего решения уравнения (1.1) вытекает следующая
- 3. • Теорема 1.1.(Об асимптотической устойчивости.) Если все корни Я- характеристического уравнения (1.3) находятся в левой • полуплоскости комплексного переменного: Re Яг- < 0 (/ = 1,я ), то для любого решения x(t) дифференциального уравнения (1.1) выполняется соотношение • lim x(t)= 0, • то есть нулевое решение асимптотически устойчиво. • Замечание. Выше отмечалось, что нулевое решение уравнения (1.1) отвечает рабочему режиму технического устройства, который необходимо должен быть устойчивым в том смысле, что все другие режимы должны стремиться к нему с возрастанием времени. С точки зрения дифференциальных уравнений это означает, что решение x(t) = 0 должно быть асимптотически устойчивым. При этом все решения уравнения (1.1), отличные от нулевого и стремящиеся к нему, как раз будут отвечать переходным процессам в работе устройства. В силу этого обстоятельства задача об исследовании нулевого решения на устойчивость является одной из важнейших для современной техники.
- 4. • В связис анализом на устойчивость тривиального решения x(t) = 0 дифференциального уравнения (1.1) возникает следующая алгебраическая задача: найти условия, накладываемые на коэффициенты уравнения at, при которых все корни λ^Я^ —>Яп • • алгебраического уравнения (1.3) находятся в левой полуплоскости комплексного переменного. • Впервые эта задача была поставлена в 1868 г. создателем теории электромагнетизма Дж. Максвеллом. В ее решении на разных этапах принимали участие выдающиеся математики и инженеры, среди которых: Ш.Эрмит, И.А. Вышнеградский, Э. Раус, А. Гурвиц, А.В. Михайлов. Этой задаче будет посвящен следующий параграф.
- 5. • 1.3. Критерииустойчивости • Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение п - го порядка: • а0хМ + ахх^ +... + апх = 0 (1.7) • и его тривиальное решение • x(t) = О. (1.8) • Обозначим через Р(Я) = а0Лп + ахХг~х + ... + ап характеристический • полином уравнения (1.7). Тогда характеристическое уравнение запишется в виде • Р(А) = 0. (1.9)
- 6. • Определение 1.7.Полином Р(Л) называется устойчивым, qели все корни характеристического уравнения (1.9) находятся в левой полуплоскости комплексных чисел. Устойчивые полиномы также называют гурвицевыми. • В настоящем параграфе приводятся формулировки некоторых простейших критериев устойчивости полиномов *9,37,48+. Эти критерии дают возможность по коэффициентам многочлена (без вычисления корней) устанавливать, устойчив он или нет. И тем самым выносить суждение об устойчивости решения x{t) - 0. • Заметим, что в случаях полиномов первой и второй степени ответ прост: все коэффициенты алгебраического уравнения долэюны быть • • положительны. Однако для полиномов выше второй степени требование положительности коэффициентов не носит достаточный характер, а лишь необходимый. Это утверждение известно в литературе, как теорема Стодолы по имени словацкого инженера - одного из основателей теории регулирования турбин. Сформулируем и докажем это простое утверждение. • Теорема 1.2 (Стодолы). Если многочлен Р(Л) с вещественными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты ai (i = 0,1,..., п) положительны. • Доказательство. Пусть Лк (к = 1,2,...,т)- вещественные отрицательные корни уравнения Р{Л) = 0, juk± ivk (к = 1,2,...,/) - комплексные с отрицательными вещественными частями. Ясно, что т + 21 = п- общему количеству корней. Разложим многочлен Р(Л) на множители
- 8. • А. КритерийГурвица • Приводимый ниже критерий относится к алгебраическим. Для его формулировки введем в рассмотрение пхп-матрицу (матрицу Гурвица), составленную определенным образом из коэффициентов полинома Р(Л):
- 9. • Для запоминанияпринципа формирования этой матрицы полезно обратить внимание, что на главной ее диагонали стоят коэффициенты , а2 v? • Направо от главной диагонали в каждой строке • выписываются коэффициенты с меньшими индексами по их убыванию. Налево - с большими индексами по их возрастанию. Вместо недостающих коэффициентов пишутся нули. • Теорема 1.3. Полином Р(Л) устойчив тогда и только тогда, когда главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны: • Cl Gq аз • A i=ai> О, • До = • > 0, и.т.д. • щ dQ О >0, A3 = аз а2 а • а4 аз • С доказательством этого утверждения можно познакомиться по книге *48+.
- 10. • Пример 1.3.Применим сформулированный критерий для получения условий устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения третьего порядка:
- 11. • Составим характеристическийполином • Р(Л) = Л3 +аЛ2 + /ЗЛ+у • и матрицу Гурвица, как это указано выше, заметив при этом, что • а0 = 1, ах- а, а2 = /?, а3 = у:
- 12. • Вычислим ееглавные диагональные миноры • А{ - а, А2 = (х/З - у, А3 = уА2. • Отсюда, и из критерия Гурвица следует, что все корни характеристического полинома Р(Л) будут находиться в левой полуплоскости комплексных чисел, если будут выполнены условия: