ppt

1. 1
KALKULUS I
MUG1A4
Fakultas Teknik Elektro
Telkom University Bandung

2. 2
Integral
• Integral adalah sebuah konsep penjumlahan yang
berkesinambungan
• Integral biasa juga disebut anti turunan, artinya suatu
konsep yang berhubungan dengan proses penemuan
fungsi asal apabila turunannya diketahui

3. 3
Tujuan PEMBELAJARAN
1. Menentukan anti turunan dari suatu fungsi
2. Menentukan integral fungsi pada selang [a,b]
dengan limit jumlah reiman
3. Menghitung integral tentu dengan TDK 1
4. Menghitung turunan integral tentu

4. 4
4
Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) pada interval I bila
Contoh
dan adalah anti turunan dari
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya
berupa suatu bilangan konstan.
Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.
Notasi :
I
x
x
f
x
F 

 )
(
)
(
'
3
3
1
)
( x
x
F 
2
)
( x
x
f 
C
x
x
F 
 3
3
1
)
(
f x dx F x C
( ) ( )
 


5. 5
Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
 



C
r
x
dx
x
r
r
1
.
1
1
 

 C
x
dx
x cos
sin
.
2
, r  -1
 
 C
x
dx
x sin
cos
.
3
 
 C
x
dx
x tan
sec
.
4 2
 

 C
x
dx
x cot
csc
.
5 2

6. 6
6
B. Sifat Kelinieran
C. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,
maka
Contoh : Hitung
Misal u = 2x + 1   sehingga
 
a f x bg x dx a f x dx b g x dx
( ) ( ) ( ) ( )
   


  



 c
x
g
F
c
u
F
du
u
f
dx
x
g
x
g
f ))
(
(
)
(
)
(
)
(
'
))
(
(
 
sin 2 1
x dx


dx
x
g
du )
(
'

2
du dx
 du
dx 2
1

  
 
 du
u
dx
x sin
2
1
1
2
sin
  C
x
C
u 





 1
2
cos
2
1
cos
2
1

7. 7
Notasi Sigma (  )
Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan
...
2
1
1
n
n
i
i a
a
a
a 





k k k k nk
n suku
i
n
    

 ...
 
 

1
 
  
  



n
i
n
i
n
i
i
i
i
i b
l
a
k
lb
a
k
1 1 1
.
1




n
i
n
n
i
1 2
)
1
(
.
2





n
i
n
n
n
i
1
2
6
)
1
2
)(
1
(
.
3







 

n
i
n
n
i
1
2
3
2
)
1
(
.
4
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan
induksi matematika

8. 8
Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
b
x
x
x
a n 



 ...
1
0
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n
selang
dengan titik pembagian
}
,...,
,
,
{ 2
1
0 n
x
b
x
x
x
a
P 


disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
1
1
|,
|
||
|| 






 k
k
k
k
n
k
x
x
x
x
Maks
P
]
,
[ 1 k
k
k x
x
c 

3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1
x 1

k
x k
x
k
x

k
c

9. 9
a b
2
x 1

k
x k
x
k
x

k
c
4. Bentuk jumlah Riemann



n
k
k
k x
c
f
1
)
(
0
||
|| 
P




n
P
k
k
k x
c
f
1
0
||
||
)
(
lim
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann






 




n
k k
x
k
c
f
n
b
a
n
k k
x
k
c
f
P
dx
x
f
1
)
(
lim
1
)
(
0
||
|
lim
)
(
Jika limit ini ada, maka dikatakan f
terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan
ditulis sbg
)
( k
c
f

10. 10
Contoh Hitung  
2
0
2dx
x
Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang
n
x 2


0 2
x
 x

x

x

1
x 2
x 1

i
x i
x 1

n
x
sehingga
0
0 
x
n
x
x 2
1 0 



n
.
x
x 2
2
2 2
0 



n
i
i x
i
x 2
0 



………………………
………………………

11. 11
(ii) Pilih i
i x
c 
(iii) Bentuk jumlah reiman
   
 
 



n
i
n
i
n
n
i
i
i x
c
f
1 1
2
2
2  




n
i
n
n
i
1
4
4
2 
 



n
i
n
i n
i
n 1
1
2
1
4
4
n
n
n
)
n
(
n
n
2
2
4
2
1
4
2









 

(iv) Jika 

n
 
 







2
0
2 2
2
2 n
n
lim
dx
x

12. 12
Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]
maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah
yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x
antara garis x = a dan x = b
Sifat integral tentu
 
p f x qg x dx p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
  
  
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx f x dx f x dx
a
c
a
b
b
c
( ) ( ) ( )
  
 

13. 13
f x dx
a
a
( ) 
 0  
f x dx f x dx
a
b
b
a
 
  ( )
3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka


a
a
dx
x
f 0
)
(
5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )
 


2
0
Contoh Hitung




3
3
2
4
7 dx
x
x
x
Jawab
7
)
(
)
(
)
( 2
4






 x
x
x
x
f )
(
7
2
4
x
f
x
x
x 




 f(x) ganjil
0
7
3
3
2
4





dx
x
x
x

14. 14
Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
Contoh Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x  du = 2 dx. Maka
Sehingga
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )
 

 
sin 2
2
x dx



    1
cos
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
sin
2
/
2







 





x
dx
x
 
 x
dx
x 2
cos
2
1
2
sin

15. 15
Contoh hitung
 
5
1
|
2
| dx
x
Jawab :











2
2
2
2
2
x
,
)
x
(
x
,
x
|
x
|
)
x
(
f
   
   





5
1
2
1
5
2
2
2
2 dx
x
dx
x
dx
|
x
|
5
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2 x
x
x
x 


 
= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
= ½+9/2 = 5

16. 16
TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)
• Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],
maka
Secara umum
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
x
u
x
u
f
dt
t
f
D
x
u
a
x 









)
(
)
( x
f
dt
t
f
D
x
a
x 









)
(
'
))
(
(
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
)
(
x
u
x
u
f
x
v
x
v
f
dt
t
f
D
x
v
x
u
x 











17. 17
 

2
4
3
1
)
(
x
dt
t
x
G
 

x
dt
t
x
G
1
3
1
)
(
.
Contoh Hitung G’(x) dari
a. b.
Jawab
a. 3
1
)
( t
t
f 
 3
1
)
(
' x
x
G 

b. 3
1
)
( t
t
f 

2
)
( x
x
u 
)
(
)
(
1
)
(
' 2
3
2
x
Dx
x
x
G 

6
1
2 x
x 


18. 18
Soal Latihan
A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila
5
10
3
)
( 2


 x
x
x
f
)
6
7
20
(
)
( 5
7
2


 x
x
x
x
f
f x
x x
( )  
1 6
3 7
f x
x x
x
( ) 
 
2 3 1
3 2
2
f x x
( ) 
3
4
1.
2.
3.
4.
5.

19. 19
 
x x dx
2 3
4 2


   
x x x dx
2 2
3 2 2 3
  

3 3 7
2
x x dx


 
5 1 5 3 2
2 3
x x x dx
  

3
2 5
2
y
y
dy


  
cos sin
4
2 2 2
x x dx


Selesaikan integral tak tentu berikut
6.
7.
8.
9.
10.
11.

20. 20
B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx
( )
0
5

f x
x x
x x
( )
,
,

  
  



2 0 2
6 2 5
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,

 
 
  





0 1
1 1 3
4 3 5
1.
2.
3. f(x) = |x -1|
3
1
3
4
2
)
( x
x
x
f 

4.

21. 21
Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut
3 1
2 3
1
0
x x dx



8 7 2 2
3
3
t t dt



x
x x
dx
2
3
1
3 1
3



sin cos
/
2
0
2
3 3
x x dx




2
0
sin dx
x
dx
x
x
 

8
0
8
6
2
5.
6.
7.
8.
9.
10.

22. 22
Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari
)
(
' x
G
G x
t
dt
x
( ) 


1
1
2
1
G x
t
dt
x
x
( ) 


1
1
2
2
G x t dt
x
( ) sin
 

 2
2
1
2


x
ds
s
x
G

)
2
tan(
)
(
dt
t
x
G
x
 

3
0
3
1
1
)
(
11.
12.
13.
14.
15.

23. 23
16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dt
t
t
x
f
x
 


0
2
1
1
)
(
Jika f kontinu pada tentukan f(4).
 


2
0
)
1
(cos
)
(
dan
]
,
0
[
x
x
x
dt
t
f 
17.
dt
t
x
x
 



2
4
2
2
3
1
f(x)
dan
]
,
4
[ )
2
(
'
f
Jika f kontinu pada , tentukan
.
18.
Hitung
 

x
x
dt
t
t
x 0
4
2
3
0 1
6
1
lim
19.

24. 24
Terima
Kasih