Skepsis1st_ed_0

1. r:ι,
-
Κώστας ;Ad-. ...Δ.ρόσος
~~Ωf141
rrH
~~®?W~lr~~~ ~~
2V'. tΞ.κτvnωσV'.
neιτpa 2000
-

2. Κώστας Ad-. ..Δ.ρόσος
Τμήμι:Λ Μι:Λ8ημαι:.ικώv
Πι:Λvcnισι:.ήμιο Παι:.pώv
2η Εκη)nωση
Π6-ι:.pι:Λ 2000
rf

3. «Κάθε μι18ημαcικό τ;ι1ξf8ι
στ;ηv ι1φηpημivη γεvικότ;ητ;ι1,
πρέπει vι1 ι1pχίzει κι1ι vι1 τ;είειώvει
στο συγκεκριμένο κι1ι στο ειδικό»
R. Courant
Το χι1pι1κτ;ικό wu Escher, που υπάρχει στο εξώφυίίο, μι1ς δίνει με
8ι:1υμι1στό τρόπο τ;η σχέση tωv ι1φrψημέvωv Μι:18ημι1τ;ικώv, tωv εnι­
στ;ημώv κι1ι wυ npι:ιγμι:1τικού κόσμου.
Οι εnικι:1ίύψεις του επιπέδου (Θεωpίι:1 Oμάδωv-tesselations) nι1pιστ;άvουv
τ;ι:1 ι1φηpημέvι1 Μι18ημι:ιτ;ικά. Μnt1ίvοντ;ι:.ς η σι1ύpι:1 στο χι1pτ;ί, ι:.nό
συγκεκριμένη γίvετ;ι1ι ι1γηpημέvη κι1ι ι:.φού εμnίουτ;ιστεί με τ;ις μι18ημι1τ;ικές
8εωpίες, pγι1ίvει ι1nό w χι:.pτί κι:.ι γίvεtι:ιι ξι:ιvά συγκεκριμένη. Ετ;σι όπως
είvι1ι μι:.8ημι1τ;ικά σοφή, κυριεύει τις φυσικές επιστήμες (το !}ι!}ίίο). τη
Γεωμετ;pίι:ι (τρίγωνο) κι1ι ι:είικά !}pίσκετ;ι:ιι στην κορυφή ωυ δω&κάεδpου,
που κι1τ;6 ων Πίάτ;ωvι:ι συμpοίίzει το σύμnι1v. Εχοντ;ι:ις τ;ηv ψευδι1ίσ8ηση
ότ;ι είvι1ι κυpίι1pχη του σύμnι1ντ;ος, ξεφυσάει με ι:ιυτι:.pέσκειι1, ι:ιί.11ά -�:;είικά
ξι:ιvι:ιnέφτει στη σκίηpή npι1γμι:ιτ;ικότ;ητ;ι1 (ωιγι:ιpι1 κι1ι σnίpτι:ι), γιι1 vι1
ξι:ιvι1pχίσει άί11η μιι:ι περιήγηση, ι:ιn' την οnοίι:ι είnίzει vι1 pγεί σοφώ-�:;εpη.
Ο κύκΆος συvε:χίzcr;αι χωpίς r;ε;}.ε;ιωμό !#
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφιi του συγγραφέα:
© ΚοΣΤΑΣ Ae. ΔΡΟΣΟΣ, 1999, 2η εκτύπωση 2000
({) +3(0.61) 997-387
�cdrossos@math.upatras.gr
.http://www.math.upatras.gr/-cdrossos/

4. Αcpιεpώvε;τ;c�ι
στ;η μνήμη τ:οu Πι::η::.lρc� μου
κι::�ι στ;η μνήμη τ:οu nponι::innou μου Α8ι::�vι::�σίοu Μι::�ίιάσι::�,
τ:οu npώτ:ou nι::�ιδι::�yωyού μου!
Στ;η yuvoίκa μου Θ{κίη
κι::�ι στ::α nοιδιό μου
Θι::1vι::iση κι::11 Νικόίc�

5. ΠΡΟΛ.ΟΓΟΣ
...χι..,,,,,_
71:01)
σ;:0·1δών του Τμf1μ:χτος Λ-Ια.Θημα.τ~χώ,, του
:_ιαθήμα-:ος δεν εξα.,,τλεί-:αι ,3ε,3αίως rπ μ~α
διαcροpετιχών μαθημα-:ιχών γνώσεων, αλλ& χυptως
χ:χι την σ(,λληφη -:ης 01)σίας -:ων
χ:χι τ~ς σzε-:ικές cαc,αη1ο·Λ,πcc κα~
Στην α.--.ε:pαντοσ(ινη -:Ύjς αν:χλυ-:ιχ(; μ:χΟΎjμα-:ιχ(; γνώσης χαι τον χω(ε:u')να
της χ:::ι:τ::αεpμ:::ι:τισμένης μαθημα-:ιχής οc;σί:χς :χν:::ι:ζϊjτrJίιμε. μέσ:::ι: απ:ύ -::η σ,η&ε-

6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΙΙΑΘΗΙΙΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ
:του -:ελιχά Θ::χ ::χ,,:χ:n:-:1Jχ!Ίεί rπ δύο τόμο·;ς:
Τόμος lος: Λ-Ια.Θημ:χτιχές Πεp~'Jγήσεις.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Τόμος 2ος: Το llεpιεχόμενο, ΊΊ 11:::f:ιοΩολογία χαι η Φιλοσοrpία των 1lα­
Οημα-:αών
δί,,ε:-::χι σε: τε:zνιχές :::ο-:ό -:Ύj
Η,c;ο,,cμαcυς (ΓωlJlcω Πpιν χλείσο11με το ,φολογυ<fJ ::ι11-:6 σημείω-
να :τα.p:χτηp·~σουμε τα :χχόλο1J8α:

7. ΠΡΟΛΟΓΟΣ
(ii)
δι:::ι:vγ&ζοvτα•. κ::tι τα λίγ:ι. σf:μεlα, 11:01J
ομοφυί::tς κ::tt της ε,,(;Jσεως ..
:του γvωpίζει.
11 σοcρlα εί,,:.ιι ΊΊ εμr.εφlα :;ι:Jτής -:ης ίΩι:;ι:ς -:ης ;-:p&ξεως του r.pάγμα-:ος
:το,) γνωplσαμε κ::tt
α.λλά μέσ:χ :χ:n:ό την κϊιpι:χ ενέργεια. :χ·;το,~ -::0·1 ίδιου του
να :τείσοvμε τον ε:::ι:vτύ μ::ις
ό-:ι τα ::Ι:χθη:_ια-:ικά δεν :τεpιέχουν αν-:ινομlες και αν-:ιr;.ιά.rπις :_ιέσα. α.r.ό
μ~α τυ;-:ιχή αr.6Ωειξη συνέ1τειας. Το
μ•.ας αυΟεντ1.κi1ς χα•. ξαάΟ:::φης

8. ΠΡΟΛΟΓΟΣ
'J),ιχών μα.κροσκο:τιχών

9. ΠΡΟΛΟΓΟΣ
α;τfJ -::χ δε:σμ& -::o'JΟ - 1; του σταθε:pο(ι, αναλλοίω-:ο'J

10. ~ ΠΡΟΛΟΓΟΣ
ουσία τω,, μac,ηucπc,cωs.
lΌ :3φλίο αχολουί:ιεί 6σο είναι tiυνα-:(;ν την αχόλουί:ιη γε,,ι),:-f1 μέΘοtiο:
(ί) Εννοωλογι.κή Ανάπτυξη. Στη
(ίi) Τεχνι.κή Ανάπτυξη. l.:τη
θα 1ψοωΘείτα.ι.
(ίν) Περίληψη. Είναι r.άν-:ο-:ε να τονί-
γ:ι. είναι

11. ΠΡΟΛΟΓΟΣ νίί
(v) Επιλuση Ασκήσεωv κ::.Η Συμπληρώματα. Κ:iθε ,:::ί•.βλίο θα 11:pέ11:ει να
δlνει οργανωμέ,,ες σε χα-:'Jγοpίες αr;χήσεις μαζί με ·ποδειγ:.1ατιχ:i λυμέ-
-:α r.αρα:::iνω με ιχανοr.οιητ~χό τpόr.ο, -:ό-:ε θα
:τpέ:τει ο 7οt-:Ύjτf1ς με Ωυcf1 του :τρωτο:)ουλία να χ:i,,ει κ.:Ί:-:ι ανάλογο.
-:Ύj σι)ζυγό χαι τ::t :π:α•.δ•.·::Χ μο~, Θα,,:iσΎj χα•.
γι::t -:ην υa.ομονή τ:01J -:Ύj δ•.ϊφχει:::ι: της σ1Jγγp:::ι:rιής το1J
.3~βλίου αυ-:οϊJ, αλλά. και γ~α την :τοιχίλη 1'3οΝ:!εια :του μου r.ροσέr;.ιεpαν.
ΠΑ Τ Γ λ 1999

12. viii ΠΡΟΛΟΓΟΣ
(Excit ±:ωηι tl1c· lntωιluct,ion)
INTRODUCTION
Tl1is lωolc star·tcd ns Lc·c·tun· :Κotcs fω· a fiist yc·<.nωnr-sc ίη Tl1c·Dcνai.-t-
λl;-ιtl1ριη;-ιtiί:<1l ,JοιηΊ1Ρ}';• 1νl1ir:l1 l1.-1.n!)ρρη iηαπρω·,ηed into ιl1ρ ηe,ν _l-!ωgr.-1.n1
or Slιιιl_γ οΓ ί,i1ι~ l·Tω.i1ι~rr1<.Hia, ίλψαΓlrr1ι~rιι, irι ί98:3.
Tl1c· tai·gct of t,l1ic,COUΓC>C' ίc, to giYC'to t,l1c ηc,ν stuιlcHt of nωt,l1cnωtic·s.
η glol1..ιl αηΗ:ΡμtiοΗ tΊπ ωc1tl1eω:-ιtiι:~ nnrl tl1Pir ωι-,t.l10rls. lH ntlrlitioH, οΗ tl1ρ
οηρ hω1(l it tl'iPs to tl1P sι1κ{ρηt fωω ;-ι ter:l1niι·,1l. ιnethodologiί:.-il
aπcJ 11s:,,,cl10lop;ica1μoinl ίπ onicΓ lo racc sυcccss1Ίι1lν l11csυ1)scψ1cnι
e>tuιlίcc,; ηηιl ωι t,l1cotl1c1·lωnιt t.o p;iYC'l1ίω/]ιcΙ η ωίηίrηιιηι of a nιatl1c·rnatic·nl
ι:nltιn·e, iHιlisμι-,n~nωe for t.lιe ι:rention of ;-uι ιψμηψri:-ιte ι:li11H1tι-,, οΗ ,νlιi<·lι η
1n~,+11__rnn+Ί·cιl .·,-· !,_, .ι...l.,,,_,_l.
or iΊΊ<~l1Ί(·ιΊΊaιics TJΊC: iΙιaUΊC:ιnaιic:s a1:1
ί-tS]Jρ(;t.s.
Tl1P Pxpedition inr:e11rion of tl1P αJιη·sρ, ί:Prt;-ιinl}' is not Pxl1<1.nsted1νίιl1 .-i
'·scvirψ; ιop;cl11cr·'· CC'Γlain rηall1cn1aιica1 ρicccs, 1)υι n1ain]:,,,iι is rnaιcΓia1i~c(J
lJY ηηιl gn1sping in μc1·sμcc·tiYC'. tl1c nωt,l1cnωtic·al sulJst.nnc·c
tl1ρsρ μieι:e~ of rηηt]ιι-,11Ηιt.ία, ;-uιιl t]ιρ rPlcιtι-,ιl rρnnιrk~ nnrl
r:οιηη1ρηιs.
Τη ιJ1c ·"il(lcn1cssor l11caria.l,'lical rnaιJ1cnia.lίca1 ϊno·"l('(]p;c an(J ιlic in l11c
ωn±Usion
C>YHtl1ctic·
,na1 J,c·,nat,c·ω snlJstanc·c. YCai·c loolcing , using
intcπc·lntiωιsl1ip of tl1c· nωt,l1cnωtic·al ωnc·cμtc,
All ιl1ρsρ le.-1.(lω1(l tr.-insforω tl1e ''rlr}';• ter:l1niι·,1l
ίπlο a. sγπl11clic nia.l11crηalical γίsιiοrη. Η is cxacιlν l11cπ νJ1c1·c n1aιJ1cnia.lίcs
and 1Jl1iloso1Jl1yηη· unitcd into a "JJCτfcc·t lωoί,lcιtgc'·
111tl1e ιι~t 1,) tlιis lJOok l11-11Ψ ]}ρρη μrinterl into IIl<"ut}'μrelίωίrηισ
erlitions, ιn.-i.inl}· tl1P ser'iι·e of tl1P sωrlents of tl1e υe11.-1.rtωenι of ll.-iιl1P-
nia.lίcs .. υιcr· a1l l11csc cxρcΓicnccs anιi a.Γιc1· rnan:,,, ''j11.ιl1lίcalion a.ιivcnι111·cs'·
tl1c·olιl Xotcs l1aYCliccn r-c,πitt,c·n to fοπη tl1c p1·cscnt, lωolc:
INTRODUCTION ΤΟ MATHEMATICAL THOUGHT

13. ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Vol.1 .1.fαtlι.cπι.αt'ι:ω/ 1υuπιπιs.
Vol.2 Tlι.c G'unfι;rιt, tlιι: .Mι:tlι.ud. αrι.(/ tfH: Γlι'i/uι,uplιμ uj' .Λ!αtlιωιαtίι:ι,,
Ιη t,l1cJJn·sc·nt book (Yol.
intrυίln<;t.io11 t.o Clnψtι-,r 2.
ιccJ1πiφιcs.
,yίt,l1 η cτnsl1
I111-ιrtίlition

15. Πεpιεχόμενα
Πρόλογος.
Ο ΙΣΤΟΡΙΚΉ ΑΝΑΔΡΟ:V!Η
0.1
0.2
0.3
11.4
0.7
11.Η
(UJ l<'t'ωH:ois .'iρ,te.
- λr.ολλώ,,ιος.
.llαθηματυcώ,,.
0.10 Τα Σ(,γzρο,,:χ Τ:fαΓJημ:χτιχ&:.
D.ι;;s<.:ARTJ;;S - Flc:RMAl' - ΓAS<.~AL.
:Κ:cϊΤΟ:" - L:cικνrz.
Ο Ετ-ι:cπ.
() (i.ΙTSS.
7
111
12
13
14
15
16
17
17
18
19
21
() 19°> AIΩ.JA'; ΚΑΙ ()ι ΣΥΙ'ΧΙ--'ΟΓ~:>: ΤΑ>:~.Ι>.. 22
0.11 :.1:χΘΎjμα--;ιχ& χ:χι Υτ:ολογω--;ές. 81
ΣΥ:"ΤΟΙΙΙΙ ΙΣΤΟΓΙΚΙΙ λΙ'i"Λ..lΓΟΙΙΙΙ. :Η
11 ΚΤ.ΣΤΛΣΠ .llETΛ ΤΤΤΝ llF'ΩTTT 13ΤΟΙΙΙΧΛ:"ΤΚΠ LΠ.:"ΛΣΤ..ΣΤΤ. ;}3
Η _'Η:'ι'Ι ~.1--'Η RιΟ.-1ΗΧΑΓΙΚΗ F,ιιAX-'i>.'J'A>:H.
Τ-lΑΘΗΜΑ'lΊΚΑ ΚΑΙ ΥιιυΛΟΙΊl:'l'Ιc:1.:
()ι ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΙΙΙ ΕΚΠΛΙΔ:CΥΣΙΙ.
Β~;3λωypαφί.α του !('" ΚεφαλαLου 47

16. χίί
1 ΣΥΝΟΛΑ
1.1 Ι3ασ~χές Εννοιες.
ΤΑ ΥΤUΛUΠίΩ..: KAi λ:ΤΙΨΑL.ϊη.:.
1.4 Σ::.~νολα.
l.,J 11 ~ν,,οια. -:'Jς 6υναp-:~σεως.
LΧΓ:.ΣΓ.ΤΣ.
Σ'ι Χ-'~Ι-''Ι Η>:~:ι,;.
1.7
!'Ω llr:ΠΓ:ΡΛΣ!Γ:"!Ω ΚΛ! ΤΩ λΠΠF'Ω.
1.8 LU[lsΛηp,,>μ,α χα.ι Ασχi1σεις.
Tu
ΣΥΤ:Π:CΙΕΣ ΤΟΥ AC.
0 .t-'Ο.ΟΣ ΤΟΥ λ(' ΣΤΛ 1lΛΘΤΤ1..ΤΤΚΛ.
1.9 Σϊιγχpονοt Πpοβλημ::ηισμοί".
Ι3ι.;3λι.οη:;αφία του 1ου Κεφαλαίου.
2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.1
2.2
ll;Ul11::Tl'lEl;.
ΣΤΓ'ΟΦΕΣ ΚΛΙ ΠΛΓ.ΛΛΙΙ:ΕΣ 1·1:CΤ.ΦΟΓΕΣ.
lΣΟΜΕΤF'ΤΕΣ Κ.Τ 13.ΣΤΚ. θΕΩF'ΤΤ'ΓΛΤΛ.
Η F:.'ΓΟΙΑ Ι'ΟΥ ΠΙ-'0'>ΓΑ Ι (),ι,;r,:ΙΟΥ.
Η Λ.Η'ΕΗΙ'Α Τ!!Ν ::1.Ι:Π'.>l;XH:.IAl'll;.lΩ.J - 0MA~El;.
Γ:cω·ΙΕΤΓΙΚΕΣ ΕΚΝΟΙΕΣ II:C λΛΓΕΙ3Γ'ΙΚΟΥΣ 0Γ'ΟΥΣ.
01ΙΟΙΟΤΙΙΤΕΣ.
2.1
Τυ Etlllll::ΔU !!~ ~IANYl;MA'IlKUl; XΩI'Ul;.
-,{ΠΟΧΩΓΟΙ. Α:.JΕΞ.Γ'ΤΙΙΣΙΛ. Ι3ΛΣΕΙΣ.
l"F'..M:.ΓTKOT Κ.Τ λΦΤΧΤΚΟΤ .iFΤΛΣΧΤΤ1..ΤΤΣ'ΓΟΤ.
Η Λ.Η'ΕΗΙ'Α Τ!!Ν ΓΙ'Α:.11'ΙlΚΩΙ λ11.ι::.ικuκι1.:.ι::!!Ν
2.4
χα.ι ο Χώρος
Οι ΊΤιι·Α~ιιωι ΑΙ-'ΙΘ.Η)Ι.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Gl
6:J
7U
70
77
92
104
108
110
1211
12U
12--1
131
135
1:35
110
140
147
151
163
1G7
176
179
190
192
194
197
204
211
22:J
225
225

17. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Ο Χω'υ~.
3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΆ
:J.1
ΑΞ!Ω~.Ι Τ Γ! ΤΟ ΣΥΣΤ!η.!Λ..
3.9 Uασυcές 'Jiννοι.ες -:ου λ;-:εφοσ:ιχοl! ΛογισμrΗJ.
01-'Ι-'~ 10.Ι ΣΥΝ~.Χ~:Ι-'~.
Σ'ι .υ:.υυ: ~Y.JAI-' 1Η>:~:ι>:.
ΠΑl'ΑΠ!lΌΙ ΚΑΙ 0ΛUΚΛΗΙ'Ω.1Αl'Α.
~Ι.ΦΟΓΙΚΛ Κ.Ι ΕΦΛΠΤΟ:-1:CΝ~Σ.
0ΛΟΚΛΙΙΡΩJΙ;[ΛΤ..
Αιι~:ΙΙ-'0'/Ι Ικ~:>: Δι.;,r-.1~.Ι-'1>:~.1,;.
llι.;3λι.οη:;αφία του 3°'J Κεφαλαίου.
4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
1.1
4.2
4.3
ΠΙΘΛΙΟΤΙΙΤΛ ΚΛΙ ΕΙΙΒΛΔΟ.
11ΤΘΛ1ΌΤΠΤ. Κ.Τ ΥΠΟ,ΟΓΤΣΙΟΣ ΕJΙ;!ΠΛ--'1Ω'J.
ΠΙΘΑΓΟΊΉΊΆ ΚΑΙ Ί[Α/.Α.
4.4
4.,)
1.G
'±. ι ~εσμεc;μένη Π•.θαvfJτη-:α χ::tι. λνεξ:::ι:ρ-:ησία
~:CΣ:1,,Ι~Υ:·Ι~:ΊΙ ΠΙΘΛ:"ΟΤΙΙΤΛ .
..:::.r:.N.}.P().}.J. ΓF'.JΙ;['ΓΛ Τ..
χίίί
2:32
239
243
24:3
2--!S
249
253
• L.δ7
. 267
273
. 279
280
281
284
28·1
288
29:3
295
:302
:JQG
319
323
:323
325
3:34
:1:16
:343
:JΙ•1
349
:149
352

18. χίν
λ:J::ΞΑ1'1Ήl;1Α.
Α:CΞΛΓΤΙΙΤΛ ΠCΙΙ'Λ:..1.Τλ ΤΥΧΙΙΣ.
4.S
Τ. Π,ΗΘΟΥ'; ΤΙΙ1ΩΝ.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3G:J
:ωg
373
:3s1
ΜλΘΗΜΑΊϊΚΗ EΛlli..l..-1. ,:ιc,.)
4.9 Η Δυωνυμ~κ~ Κ:χτ:χ,,ο:_ι~. :J87
~oκn:rr:.Σ ιη:π>Jουητ. :1κ1
l'O ΤF'ΤΓΩ!Ό ΤΟΥ I-JΛS('.T.. 188
·1.9.] "[QΝΙ~>Α Ι'ΙΑ ΔΥΩΧΥΓ111<.:Η ΚΑΊΑΧ(Η:ΙΗ. :389
I·lu:TEΛA lΊΑ 'lΉ ..:iΥΩ.JΥ:.ΙΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ. 389
Η ΡΩΙΙΛΪΚΙΙ ΚΙ'ΙΙ:ΙΙ. :J89
λ.ΛΛ .:lΟΝΤ!°':.Λ. 189
Β~,3λιοyρ:::υ.ρί.α του 4ου Κεφαλαίου. 391

19. ((Έτσι όλες οι
χίζοuν με ττ; από χει
στιc έΥνοιεc. χαι τελιχά χα­
στις
F:. Καrι.ι
Κεφάλαιο Ο
ΣΥΝΤΟΜΗ
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΆΔΡΟΜΗ
Οι ιστοpιχές
τους χ::tι
τη-::χ, ότι
γένος.
Η ε:μrι:iνιση χαι ανάa.τυξη των μαθημα--:ιχι:,)γ σzε:τί,ζυντα•., ε:ξ:χpτώντ::tι χα•.

20. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
Ο ισ-:οραός χρόνος γ•.α τα μαΟημ::η•.χ:i, συνήΟως δι::tιpε:ίταt ως εξ/1ς:
(ί) Προελλη,,ιχϊ( μαΟημα-:αά (:3000.-..Χ.- 500 :τ.Χ.)
(ii) jiλλψιιχ6: μα~ημα-:ιχ6: (600 ;-:.Χ. ::-ι2r; μ.Χ.)
σ•;,,έχεια !Ία r.εpιγpάΥο·;με συνοr.-:ιχά, τα χϊJpι:χ ;ι:αpαχ-:ηpιr;τιχά. της χά.Θε
0.1 Τα Πpοελληνικά Μαθηματικά.
χ:χι α,,τ[στο~χες
χοι,,ωνίες, αυ-:ές ;-:oJ α,,α1τ-:1Jχθηχ:tν χο,,τ:i σε :τα­
:π:εδι:iδε:ς χ:χι :::ο-:ο-:έλε:σαν :11)-:ό :το,) σ1)νiιΟως α:τοχαλο(,με:
e<Rαροτ.υcό,,,ω,,,, a.ολι-:ισμο(Jς)). Οι 11:ολιτισμοί α'ποί χαp::α-:ηpίζοντ:::ι:ν χ(ψ.α
(1) Ή-:αν σ-:α-:ιχοί :το)·,•.-:ισμοί. Υ:τήpχε x:iJi:01.α
ακίνητες
τά:ξη τ:pαγμ:iτων. μfJ­
χαι r.ερωδ~χ:i ε:τα-
(2) 11εξουσία ή-:αν συγχεν-:ρωμένη στο ιερα-:είο χα~ στο μονάρχη.
(3)
-:ηpίας.

21. ~ 0.1 Τα. Προελληνικά. Μα.θημα.τικά..
'Ολα α1πά: είχαν ως σ1ηέτ:ε•.α, ο λαός να
τοβο'J),ίας του, οι δε γνώσεις, :του
,,ο·/ίζουμε:
(ί)
[25].0')-
(iii) Τ:fέσα σε
μα--;α χαι
με,,ές.
,:;ω;Jνων, έγινε δυνα--;ό να
(ίν)
οcαvοl·γτηsαv δ•Δp1Jγε;:: χαι χα,ασ:κωiσcηχc,v
Οι δι:χδαασίες :11)--;ές κ::tΓJ(;Jς χαι η δ•.α--;/1pησ-Ι1 -;ους ::tτ:αιτο(,σε σ~;,,το,,ισμύ
όρασπ1ρωc;τωv μεταξ'J Ετσι αυ--;ύ
-;ων χοινων•Δν α1JτG')ν εlzε ως
θpησχε•.,~ν οι οa.οίες και α1J--;ές
cvαpμc,vcσμt,,cς με τη δομή
με -;ο

22. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
στηρlζονταν χα~ ::.ω-:ά σ-:ην ίδι:χ :n:εpί-
yp,;σψccη<πυ,.;σ,ο γο.α ΤΓι
μορφές εξισώσεων

23. ~ 0.2 Τα. Ελληνικά. Μα.θημα.τικά..
χ:χι -:ο•; λε:n:-:οϊJ r;ε 60 ΟεϊJτεpα είναι
0.2 Τα Ελληνικά Μαθηματικά.
(1)
σελ.17]. το α:τοχαλεί
κι::φιε:ς
χαι της lΙεσο:τοταμίας -f1ταν r:αpα:τοτ:iμιος
σsατικό χαρακτήρα. ενώ ο ic:λληνιχ(Jς r:ολι-
0::tλάσσιος τ:ολιτωμός χα•. γ•.' :11)-:ό α:τό τη

24. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
(2) Στο χοινωνυ<fJ ε11:l;τεδο, οι αv:::ι:τολυ<έ:: χοιvωvίε;:: i1ταv χα-:& χαvfJv:::ι: σ1J-
(3)
r.pοβλημ:iτω,, του ::.φχαlου
'F.λληνα.
(4)
Γι:χ το Δ.:rjμο δεν 1J:n:6:pzo1Jν <(σω-:~pερJ. Θεοί r.0 1J εr.εμ,3αlνουν σ-:'fί //Jσ'fί -:ων
cρο~λημiτω,,. Ωεν

25. ~ 0.3 Θαλής - Πυθαγόρας - Εύδοξος.
Δήμοc: χαι η χvχλ,'Λιχο-λοyιχή μέ9οδοc:. Η :::ι:μι;ισ~ή--:'f:σ'f: οδηγεί σ--:Υ: ι;ιλοσο­
ψlα και α.r.ό αεί σ--:α ::Ι:χΘΥ::_ια-:ιχά.
0.3 Θαλής - Πυθαγόpας - Ε•5δοξος.
Ο Θα.λής εlνα~ γνωστός ως ο r.ρώ--:ος μα.θημ:χτιχός.
γεωμετpιχu')ν
μία σεφ& αr.ό
Οι :π:pοτάσεις αυ--:ές είναι οι αχόλο~,ΓJες:
• Οι :π:αpά: "-:'f:βάση γωνίες ενός ισοσχελο(ις --:p•.γώνοv είν::tι lσες.
• ~,)υ a.ovέzο1;ν μία a.λεvρά: ίση χ:::ι:ι τ•.ς ;-τροσχείμενες γωνίες ίσες
εlνα~

26. ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
• Κά:θε διά:με-:pος χGχλου χωplζει το χ'Jχλο σε Μο ίσα μέpη
• Κά:θε εγγεγp:::ι:μμέvη σε ημιχ1)χλιο γωνί:::ι: είv:::ι:ι opθi1
Λν-:6 11:01J εντ~πωσιά:ζει a.ερωσ6τε::;ο εlνα•. ύ--;ι. ο•. :τα::;:::ο~:άvω :τ::;οτάσεις είναι
χά.r.οιας α:n:όδειξης π:έ­
ιSμω-:; r,r,μαίJC:( (,τr_,
ο ll1J~,-,γnp:ις (l:i80-,JOO-τr.X_)
ως έ,,::ι.ν
• Τηv Αριθμητική, ή ,ηο1Jς αpιθμο,)ς σε ηpεμί:::ι:>J,
• τη l.Ιοuσική /1 a-:ους αpιΟμο(;ς σε: χ.ί,,ηση»
• τη Γεωμετpία ή «τα μεγέΟη σε ηpε:μί:χ", χαι
• την Αστρονομία /1 " τα μεγέΟη σε: χίνΎjσ°Υj"·
11 r.ιο :τά,,ω -:αξιν6μηση α;-:οοίΩε-:αι στο,,
στ/1 -:ο όνομ:χ ":Ε":(:)αόδω. Το τε:τp:χόδω
οι λόγο~
ενός

27. 0.3 Θαλής - Πυθαγόρας - Εύδοξος.
γι:χ χ&θε ζευγ&pι αχέρα~ων 'ΙΗ χα~ η,
τιι. · Α.. ~ η · Β σ1Jνε::&γετα~ ότι ·C ~'ιι.·D.
μέθοδος της εξάντλη­
ολο,κλ1;ρωccχ,,C λογισμrΗJ. :του σχετtζε-

28. 10 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
την ~σ-:ορtα -:ων ~Ιαθηματιχών -:r;ς Λ?χαίας Ελλ:iδας: ;τρέ;τει να αναφέρουμε
ότ~ ο Αριστο-:έλτ;ς :::χρό-:ρ1Jνε -:οvς μαθητές -:ου V':J. γράyο:J'i -:τ;ν ιστορία -:ων
:::;ηπ:τ;μών. Ji:r;,. ο Jiύ/Ιiημος (350 ;1:.Χ) έγρα{ιε μια ιc-τοpία τω•ι μcιθημαηΥ.ώ'.'
τ.ου έχει όμως χαΟει
Σχήμα 0.1. Jisι:lH!1·: St,υ:s. Κανον•.χ;i llλα-:ωνικ:i rη:εpεi.
Ο llλiτωνας σ;;σχέτιζε τα ::έν-:ε tικ::ινονιχά :τολύεδpα,1 11ωωσμιχά σώμα-:::ι»
με :r, διαλεκτυtiι τετp:iδα, r.ου ;τ::φο:;σι:iζε-:αι στο Σz~μα 0.2, ό..:ου το Δωδε­
χϊ(εδpο, ..:ο~ ή-:αν το γι:χ -:ο Σόμπαv, :1:αpουσιάζεται ως «τ; ;τέμχτη
ουσία» δηλ. η '"""ο•οσα".
0.4 Ευκλείδης - Αρχιμήδης - Απολλώνιος.
Κ::ιτ:i το τέλος του τέταρτου r..X . αιι:ινα; το κέν-:ρο -:r;ς μαΟηματιχής δρασ-::rr
ριότη-:ας με-::ιι;,(::θηχε στην Αλεξάνδρεια, ό:του ο Εuκλ!:(δη,:; (,::;:;ioo π.Χ.)
έγρ:χψε χαι ΜΩαξε. Το φψ~(ψένο βι~λlο του ..ΣτοLχεια>ι :::ίν:χι ίσως το βι;3Ηο
με -:r,μεγαλ'Jτεpη ε:i:φp()f1 στα μ::ι:ύr,μα-:ιχά που έχε~ γραφ-:εl ;-;()τέ. Περιείχε χα~
ταυ-:όχρω,::ι: ταξι.νυμυ'Jσε σ' ένα υpθυλυγιχά δuμημένυ σ'Jστημα, σχεδό" όλες:

29. Τετράεδρο
(φωτιά)
Ζεστό
Κύβος
(Γή)
Υγρό
Εικοσάεδρο
(Νερό)
Κρύο
Οκτάεδρο
(Αέρας)
Ξηρό
Δωδεκάεδρο
( Σύμπαν)
§ 0.4 Εuκλείδης - Αρχιμήδης - Απολλώνιος 11
Σχήμα 0.2. Το 1:0.)μ;ταν (δωδεχάεδpο) ως η ;τεμ;ττουσlα .ων (Γτ1αέpας, φω:ι:i­
νεpό).
τ~ς μαΟημ:1.τιχές yν<,')σεις της ετ.r;χής εχεlνης. Σ:::t. ;τp(;)τ::t βι,3λlα: τ.εpιείχαν, χυ­
pίω;: -:ι;: γεωμε-:?ιχέ;: γνι:')σει;: ,;:o'Jείχαν αναπ-:υχθεί απύ τους Π"Jθαγύρεωυς.
Σ-:ο ,;:έμ,;:το βι,'3λlο των Στοιχείων πεpιέχετα•. τ; θεωρία -:ων αναλογιών του
JiύΛοξου, καθώς επtσης χ::.ι:ι :J..λλα cι;;οτελέσμα-:α του JiύΛοξου ::.ι:λλ:J.. χ::ιι ωυ
Θεα~-:ητου.
Την '.δ•.α περίτ:ου ο χά,;:ω;: νεότε?ος μαθημα-:ιχύς, ο Απολλώνιος
χαf:Ιοι:ιστιχό γ~α την ανά.r.-:·1ξη της Γεωμε-:ρ(αςτης Πέργας, έγρ::ι:/ε ένα
.'3~βλίο τις ,~Κωνικές Τομέςη.
'F.νας :iλλος F:λληνα:; μαΟημ:χτ•.κός ή:::ιν ο Αρχψήδης, σόγr.ρο-
νο;: με τον Συνεισέr,:,1ψε τα μέγιστα σ-:::ι: μαθημ::ιτ•.χά. Τελειοτ:οιεί
τη μέθοδο τη-;: ε:;:Χν-:λησψ;. με τη z?f,στ; της δε υ:τολοyίί,ει, εμβαδά, όγΥ.ο'J;::,
χέντp::ι β:φύτη-:ας rrχετ~χά με χων~χές -:ομές χα έλιχες. r-.Ιεγάλες ε;;ίσης σu­
,;εισψιpές κ!.ι:νει ιττη θεωpί::ι -:ων Απείρων Σεψ:)ν, Τηχανιχής χαι Υlpοδιινα­
μιχf,;: . Ο Λρχ•.μήδης θεωρείτ::ιι ω;: έ να;: ::ιτ:ύ -:o'J;: μεyαλ1)-:ερους μαθr,μα-:ιχοιJ;:
όλων -:ων επσχών.
11σημασία των εργασ~ών του Αpχιμ#)'Τ, χαι του Α;;ολλώνιου, γ~α ;;ολλούς

30. 12 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
((Έvxc πoci χαrαλαβαί­
λίyο '/α απο,σεί με τις
0.5 Η Παpακμή των Ελληνικών Μαθηματικών.
(ί) Τη θεο::οίηση -:0·1 νιχητή :χpχηγο·J χ:χι -:1ι δημιουpγί:χ r;•;γχεν-:pωτιχών χpα.­
-:ων.
(ii)
-:ις σω-:Ύjpιολυγιχές θpη-

31. 0.6 Αραβικά. Μα.θημα.τικά..
Πλά-:ωνα χ:χι γι:χ το :π:pϊηο
τ•.ς χαλλί-:εpες τ:Ύjγές γ•.α τα
13
Πpόχλο
δ6ο σχόλ~α του llpόχλoJ: l'ι:χ -:ον ημαω του
-:ου F,,)χλείδη. Τα σχόλια αυ-::i ατ:ο-:ελο(;,,
μαθηματ•.χά:
0.6 Αpαβικά Μαθηματικά.
αν-:αα-:έ-
μ.Χ.) συνέ~εσε μί:χ σ-:οιχειώδη ;-:pαγμ:χτεία

32. 14 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
0.7 Δυτικά Μαθηματικά.
Τα lΙαθηματικ:i του Δυτ~κού JΙεσαιωνα.
1Ιετ6: το

33. ~ 0.8 Fibonacci - Tartaglia - Cardano. 15
του ο~ηυω(, μεσ:1ίων:1.
Ω.R Fihnn:ιι.ι.i - 'Γ:ιrt.:ιgli:ι - C:ιril:=ιnn.
Ο Leon1-1nlo-:ης Πlζας γνωσ-:ός και ως PίlJOH<H"<"i (γιος -:0·1 Ποηηα:iο) (1180 -
ΩιέΩωσε δυ-:ιχή
το,) T.ίl1cr·

34. 16 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
U.!J F'rancois Viet.e.
Ο Franιυis Victι) ή χα•., ό~ι,>ς εί,,:χι αλλι(;Jς γνωστός το .α-:ιναό του
fJvoμα, Franciscus Vieta (1540-1603), θε:ωpε:ί--;αι ο -:ων μον-:έpvωv
1Ό:vυ6 χα-:& το δέχα-:ο έκτο α~ώνα,

35. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 17
0.10 Τα Σύγχρονα Μαθηματικά.
ιιι- T)~;S('λlU'ES - FΕΙί,J:JλΤ - Γ'λS('λΙ, · Η ΗΙ'ΩIΙ<Η ~ΙΙΟΧΗ.
-:οvς
εισάγει σ-:r,ν λναλ·;τ~κ~ Γεωμετpία. -:ο 16:Jϊ σ-:ο :τα.p:ip-:ημα.
του ~ιβλίου του "Disconrs <ie la MeHιo<le"; με τί-:λο ''La GeornetΓie'".

36. 18 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
h'":.tτ' -:α "'χ:χ-:α
τα•. α:τό ΊΤ:ολλές σ•.C,,στ.,χσc,.χέc
ή-:αν:
(ίί) Η
των ε:μ.--.οραών τ:iξε:ων γι:χ αι!ξΎjσΎj των ,);.ολο-
αvτlληψη γι::t τον κfJσμο κ::tι -:ο ε:vδι:::ι:rιέρον γ•.α την
της χίvηστ;ς χαι της μεταβολής.
Κ:χτά. την Α,,:χγέ,,νΎiσΎi, αλλΥ. χα~ :τολ,~ αργότερα, θεωρούσα,, το ρολόι ως -:ο
Έ-:σ~ από τη vσα,οu,χο,χα

37. 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά..
11.:1.
'-Jicola.ιιs(J 623-1708)
'
.Jnα~;Jes Τ ϊωιtηs Τ
(163-1-17()3) (1662-1ϊ16)
.liωl;ιnslll Uωιί(;!l
(169,J-1726) (ΙϊΟU-1782)
.Jean ΠΙ Daniel ΙΙ
(1746-1807) (17.Jl-1834)
.Jean (;usιaνe
(1811-1863)
(1782-lSG:3)
19
,Jr,uιll
(1710-1790)
Jnι:φJes ΤΤ
(1710-1789)
Σχήμ:ι 0.3. Το ουωγε:νιαχ(; δέν-:pο -:ων l3t-ω1onlli
... () EHLER.
Ο Leonard Euler (1707-liS:)
f,λων ~r.,ν
όλη σχε:δόv τη Y.:XLτο,) Rε:-

38. 20 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
θεωpί:::ι: σvν:::ι:ρ-:i1σε:ων, ενώ με -:ο Λfα:lιαrιίq'ιtc
::pοσ:::Χθε~α να τεθεί η ::Ιηzανυοj rπ σο,3,:ψ~
της ε:;τοχ~ς εκείνης ο οa.οίος π:pοώθησε: -:ην
r.ιθανό-:ητες .
.llαθη-:~ς της ~r:ole
Augnstin-Luis C::ιuchy (1789-
Y.:XL τη

39. 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 21
λλλοι γνωσ--:οί :::ο~:ύ(DοιτrJι πκ Ecolc Γolvtc·,:-lωωuc ή--:αν ο Siιneon Pois-
son (1781-Ί840) χ:χι ο Josepl1°F'ourieι·
.,. Ο (:Aι:ss.
p:iσ--:::ω"Yj --:ων μιγαδ•.κϊ>,,
:::ο-:ύ --:ους Ca:-:;par χα•. η
τ:.λi1 ;-τεpιοδιχύ--:Ύjτ:χ των ελλε•.;-ττυ<ών σ1Ν:φ--:~σεωγ κο1J :χν:χχο•.νG'/::Ιηκε :χκύ --:ον
Ν. Η. Abel (1802-1829) χα.ι Ύi 1J:ο,:αpξη -:ων :_ι1ι-Ε1Jχλεlδειων
οηυ.οσ,eυτ,,κe α.r:6 τους Nikolai Ivanovi(:lι Lol>aclιevski χα~
:χκύφοιτος

40. 22 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
της Eωlc· ΓolYtcc·l1inquc· 11:01Jαvέ11:-:1Jξε -:ηv ΠpυβολιχΥ: Γεωμετpία. ΛΙια σεψ:Χ
αr.ό μαθηματιχο·Jς Gergonne 1 Brianclιon, Clιasles, Plucker 1 Steiner,
Bolzano, Β. ο ,ι1 ν Π?:.ίγ1.1., ot
μοια. :τpο1'3λήμα-:α με :χ·;τ6: -:ο•; G.-ιη~~-
.... (_) lυ"ς ;ΙΩΝΑΣ ΚΑΙ 0Ι ΣΥΓΧΡΩΝΕΣ Τ ΑΣΕΙΣ.
α,,οL)ζ;:(Jς, -:αJτόχpονα δε
με: τον (ia.ιιss χα•. το,,
αιC)να
Ε.
μία
α1π!1 ocασc·c,cco,"'"-

41. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 23
Θεμέλ•.α -:ων ΛΙαΘημ:::ι:τιχών, με έμι;:::ι:σf: σ-:ι::: ,:::ίασιχές έννοιες των :::ι:pιθμG')ν χα•.
του συνεχο,~ς. Το 1S72. η y·Jση τω,, ::pαγματιχών αριθμών
"ι-γ~-Γι r·-ι-·.~/i r~·-·- -, ..', ...,
R.iι~hard Dcdι)kincl
ιων Σ,Jν·..ψ, f/Jt:ων •..(,ιιJ .uν γι:lι:η;l,ιcι::;::; X·..(L Ιj
αριθμών με τ~ς -:ομές του Dι-,(lekinίl, :n:αpέ:1,ε~ναν -:α
της λ,,:iλυσης.
σJ,,εισ'?rψές σ-:α
μ::ηιχοί: Hanιilton, W. R.
Κιιιηιηer, Ε. (1810-1898)
Kroιιecket', L. (1S2:J-1S91).
ϊι.λλη μεγϊ(λη φυσιογνωμί::t στ::t
Ομάδων βpfιχαν στους
τους ά:ξιους σvνεzιστέ:::
Το 1S72 ο KlPin στο εναpκ-:f1pιο μά:θη:_ια του. ε::ικεντpώθηκε σ-:η
της έννο~ας -:ης ομάδ::tς γι::t -:α μαθημα-:ιχά. Ζ.:το μάθημ::t αυ-:(;.
"11'o0Yoαucu.α ':Ου Ερλ:iγκεν (Erlangι)n progran1)11 ο Klcin
σ(;τεpοι μ:1Θημ:1τυωί. του (i;-ι.nss μη-εξαφουμέ,,οJ.
έννο•.α του ενεστω-:ιχοϊι ::tτ:εlpou, ::αοδεzόμενοι μόνον :χ~ηήν του
ατ:εlpο1J5

42. 24 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
1S79 -::η,,
-:Ύjς
.l.Lt:ellli .l uiHLdl,;;
με -::ον χλ:'.iΛο α:.;τtι.
Ί.Τε -::η,, αpχ-11 το,) ::ttών::t έχο~ψε: μια σεφά :::ο-:ό τ:ολ(; :χξιόλογο~,ς μαΟημα­
τυωGς: Cartan, Ε. (1869-191.3). Borel, Ε. (1871-19.36); Lebesgue, Η.
(1875-1941) Καραθεοδωι,ή, Κ. (1873-19.30); Baire, R. (1874-1932). Ba-
naclι, S. (1S92-1945). Haar, Α. (1885-19:J:J), Zerιnelo, Ε. (18il-1956),
R.iesz, F. (1880-1956), Skoleιn, Τ.
Γι:.: το,, Hίll)cr-l (1862-192!:i), -::ο (:Ίασιχό
τ.ετ.ερασμtνες με:Ει6δοvς τη συνέπ:ειχ των ο,ιιnυ,,ωα,>,.
σχε,ιχές υ;-;οσ~μεώσεις στ~ σελ G-·l

43. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 25
Σχήμα 0.4 . .ΙΔ,l1ρ,1·: l.lω1(ls .-in(lC:.-1.llρ,ΓJ'. Αυ,,οα-,αφορc>.iσJστ/1ματα
(ScH r·cΙC1·cncc s_γslcrns). Το το,) G0<1c1χ:χτ:i
χα•. ό-:ι τελ•.χ:i τα μαΓJημ:χτιχ:i δε,, μ:τοpο(ιν ,,::,::π:ε-
μόνο,, των αχpι,Ξ,ολογtΥ.(;Jν το1)ς Ίαρ,αχ-,ηρι.στ•_χι;,,,
συγχλονω-:ιχό-:εpη συνέ:π:εια χαι την lδ•.α -:Ύjν
χpησψ,ποcησc ο Gδίlρ,} γ~α ,,-:1 α:τοδείξει -:ο
στο αχό-
Γω: τr, Θεώρημα μη-πληρότψας το~ Giίιlfl. Ελλτ,νυ::i1

44. 26 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
ssο,cεΛεο<~sτα ωc
::ο~:όδε:ιξης στα
JΙεταμαθηματ~κά, ή Θεωι,ια Απόδε~ξης
:χvτά -::α ίδια τα μαθημ::ηυ<ά:. Στη σ1ηέχε•.α
-:Υjς Θεωplας Μοντέλων. λr.ό
λογικ~ς. μr.οpοl!σε χανεlς να
με: συνετ:εlς συλλογές αξιωμ:iτων
σvμ11:λΥjpωμα-::ιχο(ις τpfJτ:01Jς
εlνα•. η μελέ-::Υj -::Υjς συντακτικής διαδικασ(ας (syntac·tic·
στην οr.οία κά.r.οιες ::pο-::Χσε~ς (:n:ου ονομά.ζον-:αι Θεωp~:1π-:α)
απ:ό συνε;:είς συλλογές αξ~ωμά-:ων σ-:α 1τλαίσια μ~ας ψοpμα­
γλώσσας χα~
λογές :χξιωμ&-::ων.

45. ~ 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 27
ένα
μ,-Εω,λείδεc,ο, γεωμε--:p•.,~ν. μfJvo a.ou --:ώp:::ι:
α.,,τιχεί:1,εvο. τη συνολοtlεωpία χα.ι
.ΣccιιιzfJ
Α.νJΙλrJcιχό - λοyιχ(;
Πuσuτιχ6
Δίτψη χλασ~κ~ λογική
χανείς να βρει στο Κεφ. 3 χαι σ--:ο
δεν χα~ δεν
:ι.π:ό μεpιχ& ~ασιχ&
....luναμιzό
Ολισιιzό - δομιχ(;
Ποιο--:-~χό
Πλειότψη μη-χλ:ι.σιχή λογ~κ~.
Το στα--:ιχϊι, --:ο :;ι:v:::ι:λλοί,ω--:ο χαι σταΟεpϊι είναι επ:•.δεχ--:ιχϊι αν&λ:;σης. ~ο­
σοτυω'J z::φ:::ι:Χ--:Ύjpισμο(ι X::tt χλασιχi1ς λογιχής επ:εξεpγ:::ι:σί:::ι:ς. λvτίθε--:α --:ο δ1J-

46. 28 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
εlνα•. ένα μη χε:νό σ<,,,ολο.
-:(_ι:J Ω χαΟ,ηί~ύΥ:eι.ς,
-:0 1J Ω αγ~χο·;,, σε ::οιο σύνολο.
ή ;:οιες δομιχές σχέσεις ιχανο;:οιουν.
Σ(,μψ,>',:Χ λοι:π:όν με -:ο αξίωμ::t -:ης ε:χτα-:αό-:Ύjτ::tς -:Ύjς Οε:ωpί::tς συνόλων
. ~ Β αν; (Ιχ)[(χ Ε Λ) "'(χ Ε Β)]
ότ:ου «α,,ν,, είναι συν-:ομογρ:χ?ία -:ου aαν χ::tt μόνον ανη. Η ;:::φα:τ:i,,ω
μέθοδος θα να zαp:::ι:Χ-:Ύjpισ-:εί αvαλ~τ;ιχ~ μέθοδος,
αν6:λ1JσΎj του Ω στα σ-:οιχεία -:0 1J, ε::ιr.λέον
:τ.χ ..
λ ς;: 13 {ο} Α. n 1J= λ αν-:ί του λ ς;: 13 {ο} (i.r)[.r ε Α. =? .ι: ε .LJ]
.--.U Χ= Β U Χ τότε .--.= D.
χ.λτ:. (~ες Κεφ.1).

47. 0.10 Τα. Σύγχρονα. Μα.θημα.τικά.. 29

48. 30
Γεωμε-:pια:
(;;-111:ss, Rit>111;-11nι.
Lo!J.'Ltlι",Ί'ki
IEιιk{JYHki. ΕiηΗΤ<'iιι
ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

49. ~ 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές. 31
0.11 Μαθηματικά και Υπολογιστές.
~ ΣΥ."'Ι'ΟJΙ.:JΗ ΤLΤί)Ι'ΙΚΗ ΑλΑ~Ι'01Η.
το 1950

50. 32 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
αv:::ι:11:e;1)σσετα•. η εμτ:οpυ<ή τ:αpαγωγή ~πολογιστώv χα•. e;α1πfJχpovα :::ι:να;-ττ(ισσο­
το1J Fonnnl.-ι

51. ~ 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές. 33
.'"-απυ~'. ΧΟL',ωνα' α' .Lα X'L :1 ετ:'1'ι-α-
χοινωνlες ε:ίναι -:εp:iστια. Γι:χ ν':J.. γίνει
εlναL :χνάγχ'J να γίνεL μία
γοϊJμε:νες jjιομ'Jχανιχές ε1ταναστ:iσε:ις .
.... Η ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ llETA ΤΗΝ
ΠΤΧ)'Τ'U RT(}'IU"'.1"''TT(U f"'Π.1"''.1)T.1>U.
τ:ολ(; χόσμο, τ:έp'::Ι.. α:τό το1)ς 1);.ε:p-ε:ιδαο1)ς,
·J.ΛΛV. χv.ι ο .r 1
αναδρομή σ-:ις :τpοη-
μ:i~α τ:ο~, δι)σχολα

52. 34 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
.,,_ΙΙ .Δ..ΚΥΤΕΡΗ DIOIIHXANIKH ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ:
ΙΙ I'IETADIO:[HXA:'IKH ΕΠΟΧΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ί,γ~α-:p6ς)) έχοJ,, ,,:ι. μειώvο,,τα.ι μέ-
ΧΡ'· γ:ι. ε:ξ,α?:χνισ-:ο(;,, τελείως. Το σι)σ-:ημ:χ να ε:ξ,α?:χνισ-:ε:ί,
τη δε έvcι. ε:pγοστάσιυ με εpγ&-:ες
αν-:ίληψη -:ης :τα.p:χγωγf1ς χα.ι με α::οψασιστ~χές
-:Ύjς χοιvω,,ί:ι.ς, Γ)::ι. ε:ί,,:χι μί:χ γ•.γαντ•.αί:χ ανά-
γκη ε:Jτ•.μύpψωσης του σε υa.ολογισ-:ιχ& σ1Jσ-:i1μ:::ι:τ:ι.. Π&ν-:ως οι τελιχές
ε:n:~:ττώσεις χ:χι ο -:·Jr.oς -:ης χοιvω,,ία.ς r.0 1J θα δι:χ:_ιορψωθεί στην ε::οχή της
φαlνετα•. ;:ε:ρωσότεpο

53. ~ 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές. 35
.._ λlΛΘΙΙλ[.ΤΙΚΛ Κ:Ι ''ϊΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ.
Σ' :ι.π:ύ τους λρz::ιίο1Jς Έλληνες. μέχp•.
χές
::ι,,τιστο~χίες:
Α.--.εφοσ-:αός .ογισμός

54. 36 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
διδ:iσχετα.ι, 1τοως ο ,,έος pΜως -:ου
ά.--.ο:(ης τ:ϊ(νω σ' :11)-:-::Χ -:α ζητήμα-:α α.--.:χιτεί ίσως
Ωσ-:fJσο συvοτ:-:ιχ& γχ εχθέσο'Jμε -:Ύjν
r.ρώ-:Ύj μα.τ~ά :χ:n:ο-:ελοϊιν -:ις χpfιιπις -:0 1J υ:τολογιr;τ~ σ-:η,, εχ:n:αlδευση.
(ί) Ο υ::ολοyιστής ως απλό υπολογιστικό ει,γαλε(ο.
Ο ~πολογιστής είν::tι ψ1Jσυ<fJ γχ :::ι:ν-:ιχα-::::ι:σ-:i1σει -:ο'Jς 11:lναχες λογαpίθ­
c,c•rω,,οωcc,cχω•, α.pιΘ:_ιC:)ν, ολοκληρωμά.των. r;τα.τω-:ιχC:)ν χαpα.χ-:η-
(ίi) Ο υπολογιστής ως εποπτικό μέσο.
Λlε ένα μο-
(iii) Ο υπολογιστής ως μαθηματικό εε:;γασsήριο.
δίνε-:αι η (),)ν::::ηϊι-:Τjτ::t γι::ι: μ::ι:Ο1jμα-:ιχ:i :π:c:φ:iμ::ι:τ::χ
του ~πολογιστή, -:ων παχέrωv λοyισμιχο(ι

55. 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές.
sιnιliυ-ιtion) :του ε:lνα~
____:._:),:/:"'~λ., 1 "''ι-'""""'~
σlα μ:iΟ·φΎj:::-έpε:υνας τ:ου
vομένο1J.
37
Μναμης οa.τυωτ:οίηση::: (Yi-
σ--:ο τ:αpαχ:iτω σχ~μα:
;-:ε:ιp:iμα-:α, υ:το­
.·::χΟ.1μ::χ,ιχο.'
(;3) .λ~α-::.;,:ώνουμε: χ:i~τοωυ::: ισzυρισμοl!ς με β&ση τα Ωε:δομένα μας.
-:α μαΘΎi:.ια-:ιχ& -:ε:lνουν εr:ισ-:η-
χα~ ::χ··τ' σ-:·, 1 · ''""t''""','Ιι''Ι'''Ι ""'~
σ--:ο τ:εlpαμα.
(ίν) Ο υ;:ολοyιστής ως αναλυτική μηχανή.
-:0·1 :τα,,ε::τιστημlο1J.

56. 38 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
ΣΥ'ίΟΠΤΙΚΟΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
• l1AΘHl1ATIKA
1 [474 /ως 1500] 1
Λl-Klω,YaΓisrni, Οωaι· K]ωyyarn
λl-Τιιsi. f·i1>011cια;i. P:-ιι:ioli. Ore-
sωe. _ir:l1ol.-1s(~ns,1.n11s.
Cnnlano
• ΚΟΣλΙΟΣ
Ί.Τόμοι -;ο~, Χαμουpαμτ:ί
:Κομ~ναλισμός χ.λ:τ.

57. ~ 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές.
l17οςΑιώνl
ncscar-lcs. Γ'asca.l, Ya1lis, RatTO·Ό
I3eπωnlli.
.Jol1anπ Rcn1oιιl1i, TJai'ζ!'<ltψ;c, Car·-
πoι, 1:forψ;c, Ta.,'IOt', ΓJc 1:foιvr-c,
Enlc'l".Larn1JCτt.
(;;-ι1ιss, L..ιμl..ια-,, Γοηπer.
λl.Jel, (;;ιlois. σιηι:ll)Ό Pois-
son. Uolz,-ιno. ll<1n1ilton. Ui1-ir:l1-
lcl, Rίcηηπη, Roo1c, Ωc Ί:for·?;an,
Klcin, Dcdc·kinιt, Cnnt,OI, Γcano
Fn-ψ,f', 'ίι-,π,tηι~~- Ροi11ι:cυΡ.
HillJf'Γt., Hπssι-,ll. Ι3ίπf'l. Lel>ι-,sgne,
l<'i'Pί:l1et. ~instein, llω1ss(l(πff. Kα­
Ranacl1, Ko1niop;orν".
(~odc,t,TaΓski, BouΓ­
lxιki. 'Oll Νeηωω1η. Α. Gωtl1en-
,1,,,.,,.,,,:,χ ..,}Ι c,i.cσ,ωcl.oo.
χος Ηος,
Λ,ιυι.v.ιυχp1..1. .ι·..(.
39
Αμεpιχαν•.χ/1 χ:χι Γ αλλιχ~ ετ:ανά­
σ-:αση,
scnu,
νάσταση.
Engcls. Λlill. Ιαa.ωνιχύς εχσvγzpο­
νωμύς.
Η Παγχ. ::όλε:_ως ·ιι 1, 2. (?..)
Qιιinc.

58. 40 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
ΙΙΙΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΙΙΑΘΗΙΙΑΤΙΚ!!Ν ΚΛΑΔΩ'ί
• (Ι) Λογική και Θεμέλια των l'lαθηματικών
Κ::ηηγοpιχ,::Χ Θεμέλι::t -:ων Γ:χΟΎjμα-:ιχu')ν.
- Λ-Ια.Θημ:χτιχf1 Λογική.
- Θεωplα :.Ιον-:έλων χα•. Κ:::ι:Θολιχf, 'λλγε,:::ίp::t
- λξιωματυc/1 Θεωpί::t ~υν6λων.
Τ:Γ/1 Καν-:(ψ.ανές ΣυνολοΟεωpίε:ς.
- llη ~υμβ:.ιτιχ:i .lαθημα-:ιχά (Α:τειροσ-:ιχή Αν:iλυση χα~ λ,,&λυση
-:ου Koolc).
- Λ-1"~ Καλ:i Θεμελ~uψέ,,:χ Σϊινολ:χ.
- llεpιγpαψιχή θεωρία ~υν6λων.
- Θεωplα Λναδpομιχ,~ν Σ1Jναp-:ήσεωv
- Θεωρlα Τό::ων, .λιαωΘη-:ισμός, Θεωρία. Α:τόδειξης.
• (11) Γεvικές Μαθηματικές Δομές
- Θεωρlα Σ1ηόλων χα•. Γενική Τοa.ολογί:χ.
- Λ-Ιεριχώς ~ι:χτετα.γμέ,,:χ Σύνολα χα~ Θεωρία ~ιχ-:1Jωτών.
Θε:ωplα localcs. φιaπla.lcs χ:χι f-μο,,οε:ιδu')ν με υ:π:όλοι:π:α.
- Λλγε)pες -:0 1J Boolc.
- Καθολιχ-!1 'Αλγεβpα χαι λλγ::)pιχή Λογιχή.
Θε:ωplα Κ::ηηγοpι(;Jν.
- Θε:ωplα Τό::ων.
• (111) Άλγε~p,
- Θε:ωplα Σωμά.των.
- Θε:ωplα των Λloιlulcs.

59. 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές.
- Γραμμική 'λλγ(::ίpα
- Α,,τιμεταθε-:ιχή 'Αλγε1'3pα χαι Αλγε1'3pική Γεωμε-:ρία.
- Ομολογ~ακ/1 'λλγε~p:ι...
• (IV) Θεωpια τωv Ομάδων
- Θεωplα Ομάδω,,.
Τσ-;;;σλσyιχές Ομ:ί:δες.
- Ομ&δες και 'Λλγε~pες Lic·.
- Αvαλλοίωτα Λ-Ιέτp:ι...
- λχέpα~η l'εωμε-:ρί:ι.. (lntegr,ιl (]ρ,οωρ,tr)').
• (V) Θεωpία Αpιθμών
Θεωplα ΑpιΟμu')ν.
Α,,:ι..}μ-:ιχή Θεωρία Αp•.Ομϊ>,,.
- Καταvομf1 --:ων 11:pώτων αριθμών.
- .λιοψαν-:ιχές εξιr;ώσε~ς.
- λλγ::)pιχή Θεωplα Αριθμών.
• (VI) Γεωμετpια
Θεμέλ•.α της Γ εωμε--:plας.
- Ε1JΧλεlδειες και μΥj-Ε1JΧλεlδειες Γεωμετρίες
- Πpο,3ολιχή Γεω:_ιε-:plα.
- .λιαψοp~κ/1 ΙΌ:ωμετpία.
- .λιαψrψκές llολλα:τλό-:ητες.
Συμμετpιχοί χ(;Jροι.
- Λλγε~pιχή Γεωμε--:ρία.
• (VII) Αλγεβpική Τοπολογία
- ~υμ:τλέγμα-:α, llολλ:ι..~τλό-:ητες. Ομοτοr:ί:ι.., Ομολογlα.
- Θεωρlα Σ--:αθεpο'J ΣΥjμεlο1J.
41

60. 42 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
- .λιαφοpυυj Τ οπ:ολογία.
• (ΠΧ) Α νάλυπη
Τ:fιγ:χδαή Ανϊ(λ~;ση, ΑχολουΟίε:ς, Σειρές. ΑΟpοωψό-:Ύjτα.
- Θεωρlα r.ροσέγγισης χαι :χνα:ττυγμS:τω,,, λρ:_ιον~κ~ Av6:ls1JσΎj.
Θεωρία ΤελεστC:)γ Τω:ολογικοί ~ιανc;­
Βa~ιικ]ι, Εpγοδιχi1 Θεωpί:::ι:.
• (ΙΧ) Δι.αφοpι.κές, Ολοκληρωτικές, και. Συναρτησιακές Εξtσώσει.ς
- .λιαψορ~χές Εξισώrπις, Ευστ6:Ι'!εια Λ_,~σεω,, χ.λ::.
Εξισώσε•.ς: Ελλειa.τυω'J, Υτ:εp,:::ίολιχο1). Παpα-
Θε:ωplα ~~;,,:χμαοι), Δ,)ν::tμιχ,::Χ Σ,)στήμα-:α χαι Χάος.
- Ολοχληpωτιχές εξισώσε~ς.
Συν,::.φ-:Ύjσι::οcές εξισϊ>σε:ις.
- Ειδικές συναρτήσεις : I3e~~eι χ.λ::.
• (Χ) Υπολογι.στι.κά ]Ηαθηματι.κά και. Πληροφορική
- .L<:ξομοίωση, μέ~οΩο~ βελτιστο;:οίησης. Τ:χχl!-:ητες l.:'Jγχλισ'Jς.
(ii) Θεωρητική Πληpοctοptκή:
* Θεωpί:χ Υ:τολογισμrΗJ.
* Θεωpί:::ι: Λλyοpίθμων.
* λογικός Προγpαμμα.τωμός χα.ι ::Ιηzανωμοί λr.οδεlξεως Θεω­
pημά-:ων.
* Τεz,,ητή Νοημοσίινη Χα~ 'Εμ:π:εφα. Συσ-:i1μα.τα..

61. 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές.
* θεωρί:χ Rάσεων ~εδομένων.
43
..ογι­
(eμi~­
λl'J-
τ ""'i:'''""''""'·':"' -ω" ΓΊ.,,,...,...ώ,, ,ψ,γ;,μ:,,αc,,σ:α,,,,, Γ'Ιf,,,,._,;.,,, τι'"-
λ-Λογψός, Σ·1,,δ1J:χσ-:ικά
,,,. '' , '1.:χτηγοριχr1 .iΙ.ογι.v.η. χ.Λπ..
(ίίί) Εφαpμοσμέvη Πληpοφοpι.κή:
* Λει-:ουργυ(:Υ σJστ/1ματα, ~ομές ~εδομέvω,,. l'λώσσες llpo-
* 1Ιηχα,,ική Λογισμυωύ
* Αν:iλυση l.:Jστημ:iτων. ~ίχτυα και Επ.υωιvω,,ίες, ~;-:ιμεpω-:ιχή
ΠληροψJρική.
* Τεχ,,ητή Νοημοσύνη χα~ Εμπ.εφα Σ·1στ-~ματα .
..ογυc/1 , _ευρωνυc:i δίκ-:Jα και γε-
* Πολ·;μέσα, Ειχονιχή Πpαγ:_ια-:ικό-:ητα, Ε:τιστημον~κ~ Ο:ττυω­
:τοίηση.
• (ΧΙ) Τα l,Ιαθημαsι.κά της Τυχαι.ότηsας, της Ασάφει.ας
και. των Αποψάσεωv
- Π•.θανότη-:ες, Στοχασ-:ιχές ~ι:χδικασlες, ΛΙέτp:χ Πιθανό-:ητας σε
zώρο11ς σ1ηαpτήσεων.

62. 44 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
• (ΧΙΙ) Σuνδuαστικ:i Μαθηματικά
pατάξεις. Λα-:ινιχά
- t;.:Jε:ωplα λlatω1ιts χ:χι Γε:ωμε:-:pιχά ...λιχ-:1Jωτ:i
- Θε:ωplα l'p:χ7ημ:iτων ((ir,φl1 Τl1ΡΟΓ)').
• (ΧΙΙΙ) Μηχανική χc,1_ Θεωpηπκή ΦΙJ(ΗΧ'νj
• (XV) l.Ια.θημα":ικά των Επιστημών
Τ:f:1ΓJημ:χτιχ/1 Οιχονομία, Οι.χο,,ομε-:plα.
Τ:f:11Jημ:χτιχ/1 ιJι~;χολογlα.
- Λ-Ιαθηματιχf1 Πωλογlα χ.λ:n:.
Ορf-Jογr:~νιι::ς Πc1-
τοu 1-Υιl)·,-ι.

63. 0.11 Μαθηματικά. και Υτιολογιστές. 45

64. 46 ΚΕΦ. Ο ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

65. Βιβ)tογpαφ(α
[1]A<;zι-,l, Α., Ff:r-ιnat'.'> Lrι.Ht Τlι.απεπι.: Ulor:k'i'ag tlι,ι· 8ιγτι·t
_ΛJηt_heniπfiωf .Prnf1fp1n. 1-'Png11inBf)f)ks, 1()96. (.!..:λλην
Τ ροχ::tλlα, 1998.)
[2] Artω;-ιnn. 13.. 'lΊιΡ C'arιrPJJf af Ν11:ιπfιΡτ. ΊΊ'ω1sl,1ted 11)'11. U. C:1·iffitl1s.
[3] Col1cn Γ..J., aπ<l R. Hcn:J1.Xoπ-C'anlor·ian Scl T11cor-,".&iεlUιr: Arncr·i-
ωn. Dα·cnι1Jc1· 1967.
[4] DaYis, Η.; Λ RclatiYity
ω·. Γlι.ψι-iο,:. 'oll6, # 11
ίη (Jnantuω :.Ια·]ωηίcs, Ιrιtσ.. !. Tltc'-
867-87-±
[.3]DaYis, Γ.. J. & Ιι Hcτe>lι, Τlιι; Μαtlιαrιαi'iαιl ΕΤpcτίαιc:c. Bi1·lclωuscτ 1981
(Έχει μεταψρασθεί και r;τα. Ελλην~χά.)
[6] D:-ι'ίs, Ρ. .J. & Η. Hι-,rslι, DoN·ar·tεH· Dηχι.πι.: Τlι.ε ·ωor1rl rι.r:ωnJ.ι,rι.g to
Λ1n.th.enι,afic8. f>ι-,ngnin l3oool(s. 1986.
[ϊ] Δερτούζος.
ροφορίας θ'
Τι Μέλει ΓενέσfJαι: ΠJς ο νέος
τη ζωή μχς. Εχδ. ί,_έα z.:,Jvop:t,1,
της πλτ;­
Α~~να.
[8] Uι-,Ylin, Κ .1.Hαt/ιp111rι.tir8: Th.e Ν~:111 Catden. Age. f>ι-,ngnin l3ool<s, 1988.
[9] '-'ψ,κόοουλος, Π, Μεσαίωνας: Ελληνιχός χαι Δcιτιχός, Ε:n:ο:r:τεία. Αθ~να
[10] !Jήμχ: Ι!ένπ
Fvri/,,..,,.,,
[11]Ωa.ιι])cη, .J.ϊV. Τlυ: Ηϊ,ιοr-:υ o..fMrιlhι.!rιta(iι.~8 Frorιt Arι.1-iqιιil:Ι.J {ο
Λ sι.:lαt'ιϊ,ι.: 1ι,t1ιt,ι:οψαpfιμ Gar·]nnιt, 1985.

66. 48 ΚΕΦ. Ο ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[12] EM1inlians. Η. -D., Hcηncs, Η .. Hiπ:1c-lπuc·l1. F .. Kocc·l1cr-,1-1..1Iainzc'l".
Κ .. ~enls:in;l1. ,J.. Pn•:;tι-,l Α., ctn(l Π. ΠernωeΓt.. Ν11πι,/ιπ8. Gr.-ι(lω-ιtρ Τι-,χt.
[11] EY.n1s, c:..11ΗπανάσϊcΥση των Κομπω.'Jτερ. Jiλλ. '1<:Χδοση. l'αλ:.ιίος. 19Sl.
r141 EYe~. Η., Grn1,t MMrι.εnt8 MatlH;rrιαti(;,',, -'ol 1 (I3efore 1650), Yol 2
- (λfte1· 1650), λιηe1·. .ll.-iιl1. Assoι:. 1980.
[1,J] C:r,-ιtt<1n-Cininness, I.,Conψαrιion J_ι)ιιrψ;fοp~Λι:α of th.e lli.c;tory n.nd J->h.ι:-
lωωplι.ιι ο{ Οι.ιό ΛΙα/lι.rηα/-iωl 1/Όl. 1 RoιιllαJgc. Τ,οπιiοη, 199-·1.
σήμερα.
J;λλη11ιχή liημοχρατ{οι χαι η rπ;μασ{οι της
1D85.
l17j K1·a.n1c1·,F,., Τhι.! ΙΤαlυχc αrι.d Uωωlh of Afodcnι. Mrιlhι.!rιta(iι.~8, Γ1·inccloπ
1981.
[18] Ί.Tac TJanc,S. Mrιlhι.!rιta(iι. Ροηιt αrι.d Furu:{ion, S11r-inp;cr·198G.
[19] Τ,cγίs, Α. (! .. lf. Gι-α8.,rrι.αrι.rι.' 8 1844Α·ω,dr)ιrι.ιιrι..ψ;/r)ιrι.! αrι.d 8c:lι.lr!ir:nrι.a­
c:lιιτ' s Dίαlαi'ι:c. Ληrιαl8 υ.f Sc:·iαι.α;, 34 (1977), 108-162.
[20] Tcgωμoπlc. 'JicJ101asΨr;φιαχός Κόσμος. Εχδόσε:ις Κ::ωτα,,ιώ-:Ύj. 199!:i.
[21] Sl1aΓa.1·cνίcl1. Τ. R. Ra8ίc: ITo!-iorι.8 o.f Alψ.!brν. Τη Α. Τ. Kosl1·ίl<iπ. Τ. R.
S]ωfa1·cyic·l1 Enc·yc·]opac·ιlin of ::Intl1cωatic-al Sc·icnu·s, Όl. 11·
Algebra Ι. 19()().
[22]Singlι, Siωo11, Ffτιnat'.'> La8t Τlιωrηη: tlH; f'JH(' IJ'IM'8fto 8ol·uf; tlι.ι· ωοτlιl'.'>
ψ'f'aff'>'i rηat!ι.επι.ιι.t·ίω} μrνlιlι·ιn. ως: Το
1Έ:λευτα{ο Θεώpημα του ΦερμcΥ. Jiχ06σεις Τpαυλ6ς.
[21] Sοηιil1ρ,iωρ,Γ Κ .-inrl Α. R.ogρ,n,on, N11,rn./χ:-r8 ωιΔ irι.fini:ty: Α h.ϊ~toτiral
rιιχ:ο·ιtrιl o.f rnrιlhι.!rιta(iωl r:oriαψt.,. ('an11)1·ίιigc υ πiν. Γ1·css, 1981.
[2··1]SlC·"aΓl, Τ. (!οrιαψt., o.f Modι!rtt Μαlfυ:ηια{iι:8. Γcπgιιίη Rooks, 1981.
[2,J] l.:τpο6ϊχ, Τζ. 1., l,'υ11nπτιχή 1στορ{q των ΜcΥθηματιχc,Jv, JiχΜσε:~ς Ζαχα­
pύa.οvλος, Αθήνα 1982.
[2G] Takωti. (;., Τωο Λppz.iωtίon8 o.f Lo.Ψc· to Mu.tlιαrιai'ic:s. l,Yanaωi &
PΓillt:eton τ:11iΥ. PΓess. 1978.

67. e ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 49
[27] Takωti. (;,; (~uanturn Sc·t Tl1coη Ιη G'unυιt Issυ.o; (Juanf'ιιrrι Sι;f
Τlι,ι·οr-:ιι, Eίlitert lJ). Ε. I3etr,-nnet.ti, Plennrn 1980
~ =Α-~
[291 Yiltlf'Γ, Η. L., Εξέλιξη
Εχδόσε:ις Κου-:σοl!μ;-:ος
ι-ιe<;σαΛοsαο. 199Γι.

68. 50 ΚΕΦ. Ο ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

69. "Ε->:χ μrωpοGσε ισ1.υpισcεί, ότι :v.:χνέ-
νας άλλος χλά1iος των μαθτ,ματιχών Ωεν ±χανε
τόσα πολλά όσα τ, Θεωρία l:ιJνόλων,
Οδύσσεια,
~:v.6μ:,_ E,f_ν~r_ Ιε
Κεφάλαιο 1
ΣΥΝΟΛΑ
1.1 13ασικές Εννοιες.
Στην
Ζ-f1,,ωνα.
~~yν r; -;:.ηγf, γι_::,, τα 77.Υ.pΥ:Οπξα το,_,

70. 52 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
λ
-~------~--------JJ
:χχόμη, ·πάρχο•;,, σ-::χ :_ιαtlημα-:ιχά 0·10
λήΥε:ις γ~α -:ο το στ:ιsικό, sελειωμένο άπεφο
στωτικό άπεφο, χ:χι -:ο εν δυνάμει ή δυναμικό άπεφο. Γι.α
:ι.14
;}.1-±159
8. 1--±5926
Π-± ;}.1-±1592653
8. l-H.392G.3:38
Ο ίΩιο::
ως ένα(

71. ~ 1.1 Βα.σικές Εννοιες. 53
το Ν είν:::ι:ι μι:::ι: --:ελε•.ωμένη μ:::ι:θημ:::ι:τιχi1 υντύ--:Υ:τ:::ι:; κ:::ι:ι εχrιp:iζε•. έν:::ι: σ--:α--:ικύ χα•.
τελειωμένο :i:n:εφο.
τις yενιχεvμένες διαΧιχασίες απχρίΟμr;σης,που

72. a b c
d
e
f
g
54 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1.2 Βασικές Εννοιες από τη Λογική
Σχήμα 1.2.
r.εριέyε~ ονόμ:χτα. f,
,,ε:ι -:'Jζ σχέση γε~-:ονί:χς τω,, ;-:ε:pωχώ,, χαι

73. ~ 1.2 Βασικές Εννοιες α.τιό τη Λογική 55
σ'Jμ~ολα λογιχ,~ν σ1Jνδέσμων. 'Ετσι λοιa.fJν έzοvμε:
• Σύμβολα. στα.θερών yι:χ τις ::εpιοχές: α; b. ι:, d, ι·,. { η
• Σύμβολο σχέσης: 'F,χο~ψε έν':J.. σιJμβολο σzέσης, R :π:ου Ύj δ~λωση
R(.ι,,ιJ) εχψpά:ζει fJτ•., r; πε,οιοχf; χ σuνοpε'Jει με rr;ν π:εpιοχf; /.J.
• Σημεί:χ στίξης: Πα.ρενθέσεις 1 κόμμα., χλ.π. ψ). •())).(<.)).
φ+ ,~ { φD;) 1
• Ατομιχοt προτασιαχοt τύποι -11 :τpοτ':J..σι'::Ι..χοί τ(,.--.οι -:ου β~μ::ηος Ο:
.,. Πο := {Π(,ιrι., 'ιι.) 1 ό::ο'J τιι..rι. Ε {α, lι. (',ιl, ι; .f,g} }.
• Σύνθετοι προτα.σια.χοί τ1Jποι
.,. llpοτασιωωί τl!:τοι :του ΩΎjμιοJpγοl!ν-:αι σ-:ο β~μα 1:
Συνεχίζον-::χς τ:αpόμοια, Οα δu')σουμε Κ':J..t το β~μα της ε.--.:χγωγ-Ι1ς:
.,. Πpοτασιωωί τϊι:τοι :το,) δΎjμιο~;pγοϊιν-:αι σ-:ο β~μα η+ 1:
Π1111 :=Π,,,UΠ,,
Υ.:χι τέλος -:ο σϊ1νολο όλων των :τpοτ::ωι::αών -:'Jτ:ων :π:ου σχε-:ίζον-::χι
με -:ο r:ιο r:6:νω σχ-fμ:χ ΜΩετα~ α:τό.
Π:= U Πιι..
ιι=Ο

74. 56 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
του Π ατ:' -:-r;μ•.α μεp•.& χαι των φ'Jσι-
την ά.λλ1ι. α.,,:χΟρομιχός -:ρό:τος οpισ:_ιο1J εί,,:χι το κοινό
τα, τ:..z.
[.ι, < 5]. [.ι - J,ι + 1 > OJ, [J.ι, + 12 - 18] κ.λτ
Θα χρ-r;σιμο:τοωι)με ε:π:lσης -:ον :τ:::φ::οcά-:ω συμβολισμό:
Προτασ. τJ;:ος
p.ιq
ρiιι
Ρ °*q
Πφιι:,:,ραστική έκφραση
• όχι 1 -11 εlνα•. r(ε~;δές ότ•. μ.
• JJχ:::ι:ι 4
Χpησιμοr.οιο·Jμε -:α

75. 1.2 Βασικές Εννοιες α.τιό τη Λογική 57
1.2.1 Uρισμός. (i) ..λ6ο τl!:τοι
βολυ6: φ Ξ ψ αν,, έ"zουν το,)ς
ισοδ(ιναμοι σ:.;μ-
(ίi) '~νας -:6r:ος ~α λέγε-:αι ό-:ι είναι μ~α ταυsολογία α,,ν στο,, σχε-:ιχό
:τίναχα ΊΊ στήλη χά-:ω αr:ό το,, τl!:το φ είναι όλο μον6:ί'ες.
ε:n:l r:λέον δψελή λογικό σ·J,,δεσμο ως εξτ1ς:
=}-q)Λ(q=}-p)
~ Ξ r~ ανν <=? r~ είν:::ι:ι μι:::ι: -::::ι:vτολογία
1.2.2 Παραδείγματα. 1. Να χατασχευαστεί ο :τίνακας αλΊΊθείας του -:1J-
:του -φ ν q.
Λύση:
1 1 ο
1 Ο ο
Ο 1 1
ο ο 1
εlνα~ λογιχά ισοΟ,Jναμο~.
αν,, (p =}- ιJ).
1
ο
1
1
τους lδω1Jς αλ-r/!οr:ίναχες
(,p ν q) Ξ (Jι =}- q) -!1 χα~
2. Ο αντιθετο-ανsίστpο9ος α;:οδεικsικός κανόνας.
(ρ =} q) Ξ (~q =} ~ρ)
μτωροιJμε ισοΧl,ναμα
Πpάγμα-:ι

76. 58 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1 :i1 ~ 11 ~ 1 :i11
1rψ1111 1111 1
1 1
Αρα :υ;.ιού οι -:1J:r,:o~fJ => rι και ,η -=>,μ έχο•;,, -:ον ίδιο αλ1ι80:τίνακα,
έχο:.ψ.ε ό-:ι (p =}- q) Ξ (,q '* ,p). --11
]. Α;:οδεί.ξεις με τη μέθοδο της εις άτοπον α;:αγωγής.
Δηλαδή
ξουμε
(rJ=;-η)Ξ[(ρΛ,ηJ =>- Λ,r"J].
να αποδε[ξn'Jμε όπ η JΙ σuνεπiγπα:ι
ότι r;]) ι --,ιJ σιJVεπiγετχι μια
11μέθοδος αυ-:-!1 σ:Ύjpίζε-:αι στα :τ::.φαχά-:ω:
,Γ.Ί
λς 1π0Θέσο1ψε ϊηι δεν ισzGει η ,φό-::::ι:σΎj p =>q. έσ-:ω ,(p ==>q)
Αν υ::οθέσουμε :χχόμη ό-:ι, η fJ-=> η αληθής, α,,α:_ιένουμε ότι
άρνηση ,(p =}- q) Θα 1ψέ1τει ,,α μας οΩΎjγήσει σε χ:i1το~α αντt7::.ωη.
,(,p 1/ q) (llαpά:Ωειγμα (1))
,(,p) / (,q) (vfJμoς -:0 11 Dc :.Ιω·gηη)
1' Λ (~q).
'Ητσι αντί να π;11 ,(p =}- q) χα:πi χα11όvα '.Jπnθέω'.Jμε τr;v
-:ότε rΓψr.εpαίνουμε

77. ~ 1.3 Ποσοδείκτες κα.ι Αντιτια.pα.δείγμα.τα.. 59
;;:α.ρ· όλο :n:ou
-:ΊΊς _ c::.-ι.ι Ω., ..:.___1-·- ----
Σχήμα 1.3. F.sclH,r·:naν at](J
χωpάφι:::ι:; (Η :::ι:σ&ιμ:ι:::ι: χα-::i
z:::ι:ρ:::ι:χ-:1jpισμοϊ1ς {ο:ως:

78. 60 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Στ:χ μ:χθημ:::ι:τιχ:i zρησιμοτ:οιο'Jμε Μο 11:οσοδείχ--;ες, τον κ:χθολικό ποσο-
uπαι-~t.ακ' ποσοΛε'κs.ι --··,-.'ι-Λει,, /Ε:
'F.τσι έχο~ψε::
(<γ•.α 6λα τ:χ
χα•. το --:οvλάzιστοv ένα :.ι: --;έ--;οιο G')στε .. >J
,(Ξ3,π σr::-ιαίνε~:
Σ--:Ύj ~p:iξΎj οι ~οσοδεlχτες χpΎjσιμο~οωι)ν--:αι ως ωωλο(,Οως:
Π:::φ:χτηpο(,με: λο•.~ό,, ότ•.:
(V:1:Ε R.)[:Γ εlναι ρφός]
Γι:χ να δε:ίζο~ψε: ι'J--:L η :π:αp:χτ:6:νω '~ε:υδ~ς ::φχε:l γ:ι.
(cxεlνα•. ρητός))
α::οτελεί έ,,Υ. :χ,,τι;::χράδειγμα.

79. 1.3 Ποσοδε:ίκτε:ς κα.ι Αντιτια.pα.δε:ίγμα.τα.. 61
Ί
Ρ =} Γl =} Ρ'.!. =} ... =} Γη =} qn) ~ IJπι,-l {ο}- •• • ω {ο}- Ιj.
(Jτι σ-:~ν
σ~;,,ε:~:1γωγi1, γ•.α ν::t μ~οpο(,με: ';;J.
Ριι =} ΙJ.,,,!.
• Η κατ' ευθε:Lαν απόδε:ι.ξη: ρ '* q.
στο q Υ.ψJ(,
• Η αντι.θε:το-ατtστροφη απόδε:ι.ξη: --,ιι =* ,ρ.
• Η μέθοδος της ει.ς άτοπον απαγωγής: (p Λ --,ΙJ) =? (Τ ι -~τ)
• Α;:όδε:tξη ότι.
ρ=}qνα
σε:λ. 141.
... ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ λΝΤΙΦΑΣΕΙΣ.
χS:τω α::ό :.ιι:χ σ1J­
ταuτολοytα.
ε:ίν:χι ~:χντοι) Ο, τύ-:ε: θα

80. 62
p/q
(p< q)
(pV q)
11ι (qν ι·Ι
]) i (q ι Γ)
,(μ Λ ιι)
,(ρ / q)
q.ιρ
JJ/1.(q /1.r)
fJ 1/ (q
(Jι ι q) / (ρ /1.r)
(j,Vq)<(pV1·)
,μ / ,rι
ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Ασκήσεις. (1) Να εξε-::::ι:σ-:εί 11:ροσεκτυ<ά: το vfJημ.α των a.:::φακά:τω δηλώσεων
(V71)(3.,·)[.,·< 11] χα, (3x)(V71)[x< 71]
εξηγηθεί γι:χτί δε,, lδ~ες.
(2) ="::χ γpαyo·J,, οι αργ~σεις -:ων r.αραχ:iτω δηλώσεων:
(i) V,)[, > :η.
(ii) (3χ)[3., ~ χ2].
(iii) (Vxl(Vz)(371Jlx+ 71~ .,]
(;v) (V11)(3x)[x<;11].
(v) (3χ)[(.,· > 2) Λ (χ·'~ 9)].
μ) (V11)(3x)[x<;11].
(3) _},ιχαωλογείστε -:ους ;-::;ι:pαχ:iτω χα,,(;νες:
p< (V.10)[q(x)]
p < (3x)[q(x)]
μV (V.,·)[,ι(χ)]
11 < (3χ)[,ι(.,)J
(V.10Ju,Vq(x)]
βχ)[μ <q(x)]
(V.1%1V11(x)]
(3χ)[p<,ιί.(]]

81. ~ 1.4 Σύνολα.. 63
(4) :.Ιε τη zρήση αληθοa.ιv:iχωv να δειz-:εί fJτ•.:
,(ρ Λ q) (,p 1/ ,q).
~(p ν q) (~p Λ ~q).
,(,ρ) JJ.
(Jι =? (q =? r)) ((p / q) =? ι·).
((Για χά.Θε ε > ίι. τιο, -:έ-:οιο ώr;τε για χά.Θε τι> ηο να
Τα
τφη .f
- α.1 < ε,1 μ~τοpεί ,,α r;υμ,'3ολιχά ως αχολοl!θως:
(Ίiε > Ο)(ΞJηυ Ε Ν)(Ίiη Ε Ν)[η > ηυ =? lαπ - αl < ε].
αν-:ίστοιχες
Gl)VEX~ζ>J, (("";0 R.
ΕΧ?p:iσε•.ς για -:ις έννοιες: «η συvάp­
ολιχ:i διατεταγμένο)) χ.λ~τ.
Χα γpα?εί μια συ~~τηση ε.--.ί των εισαγωγιχu')ν χε?α­
,:::;,.βλίωv-
(i) Ωc1οrψ;. Η ''Α pωfίlc o.f Αfα/}ι.ωι.αliω/ T,o_qic:.··λ(lιiisoπ -Ycs1c:,,',1970.
(ίί) Goo(Jsιcin, R.T,. ''Dι.!111.!loprru:nl o.f Mαlfu:rrιa{iωl T,o_qir:'.Sρr·iπι,";CΙ' 1971.
(ίίί) Cωs1c,γ J.T. cι Α11, '·ΤΥJι.αl ΛΙα/lι.crηrιlίωl T,o.ΙJi6"' ΟχΓ01χi, 1972.
1.4 Σ•5νολα.
'Ο~τως -f1δη έzο1J:.ιε δηλώσε~. r;τfJχος :.ιας δεν εί,,αι ,,α δοθεl
Θεμελtωση -:ων σJ,,(;λω,,. αλλά με αr:λοϊχ6 τpόr:ο να
σιμα ατ:ο-:ελέσματα χαι
συνήθως r:αpουσ~άζεται με Μο τρ(;~τους.
1. 1Ιε αναγpαy-f1 -:ων σ-:οιzεlων -:0·1 ή εκ-:ασιαχά (exteHsiωωll~·).
τω,, r;τοιχείων του μέσω ιδιοτή-:ων, ·ijεν-:ασιαχά (ίnteH-
l"ια ~ταp:iδειγμα:
Α ~ {2. 1,G,8. 10} (ανηpαφ~)

82. 64 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Α. ={χε Ν: χ
Θα yρr,σιμο~οωϊιμε εναλλα)η•.χ:i αντl του σ~,μ;1ολωμο(, Α = {χ Ε Ω : p(x)}
χαι ":Ο σ~ψ~ολωμfJ .ι = {χ Ε Ω ι ρ(χ)}
Λ~Β
Auli
.ίnΒ
χ
Ρ =, q
11ν q
p.ιq
ιηtιιsΩ.ιιίιc onl.inal 1ιι11nl,αs. as Ιιc caιnc ιο αι!l ιhcιn'

83. ~ 1.4 Σύνολα.. 65
ή εντασιαχ:f1 r:pοσέγγιση στην
6:pχισε με τη Ωουλει:i του
Ft'C)'!;Cχαι χοριηϊ/Jηχε με δεν είχε τόση σχέση όση
της αa.οδίδε--:α•. με --:Υ1 <(γεωμετριχf1)) συνολοθεωρί:::ι: το1J c:nntor·
1.4.2 Ορtσμός. (i) λ ς;; Β <=> F Α ::::;--.ι· F Β].
~ηλ:::ι:δ~ το ..-είναι vποσιJνολο το') R αν χ6:Οε στοιχείο τΟ'J Α. είνχι χχι
στυιχεiο ω,'_; Β.
r·~.-τrtπr;ι:: Α = Η q ( 4 ς;: ιη ι (Η ς;: 4)
(ii) AnJJ ,~ {.r ε Ω, (χε .'1) • (., ε JJJ}
(iii) .4 u 1J ,~ {χ ε Ω , (., ε -4) ν (., ε JJ)}
(τομ-!1 συνόλων)
(ένωση συνόλων)
(iv) A._C:= {.ι· Ε Ω: ,ι: ε Α.} (r;·;μ:n:λ~ρωμα του Α. ως r:ρος -:ο Ω).
(ν) -4-Β,~ εΩ, ελ)Λ(χ~Β))~ΑnΒ' (Ωι:tr;,ιοpά. ή σzε-:ιχό
συμ;;λ/1pωμ:t) Y.:tL
(vi) λΔΒ ,~ (-4-Β) U (Β-..1) (συμμε-:ριχή διαψοpά.).
1.4.3 Πρόταση. Αν
Ω, τότε ισχιJοι)ν οι
πvμβολ{ζει το πιί11ολο όλων των vποπvνόλων τοu
ταvτότητες: Για όλα τα Α. R, C Ε ~?(Ω):
(ί) Α. U .4 = Α. Α. nΑ. = Α. (Αuτο8uναμ{α)
(ίί) Α U 1J = 1JU Α., Α. n 1J = 1Jn -4.(Αντψετα&ετιχότητcΥ)
(iii) (AUJJ)Ul ~AU(lJUJ'). (AΠJJ)nl·~An(lJΠl) {llροσπαψ,­
στιχ,Jτητα)
(iv) Α n (R u η~ (.4 n R) u (Α n η, , u (R n r) ~ (Α u RJ n (Α u Γ)
(Ηπψεpιστιχότφ:α)
1 '''J.-ι·,~-,- ω'ιϊ.ι.ι,.,'c~ τ1;,ω) -,.,-~,,.,- -,,---,. .ι.ιω c,oιj.-.·.~ ~ιι
of ;ι f--ingl~tolι~I~nt irr;ι: ίΙΙ~ tollf'ttioιιf-. tlιαt Ιιι

84. 66 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
(v) ΛΠίΛUΒ)=.1. .lU(.lnB)=Λ {Λπ:υppόφησr;)
(vi) λuω~..ι. λnΩ~Α ΑuΩ~Ω. Αnω~ω.
(vii) λUΧ ~ 11•..nλ' ~ ω; (..')'~ .4; Ω' ~ω.ω' ~ Ω.
ΑΠΟ.}.f;:ΤΞΤΤ: Οι :.οτοδείξεις είναι ε6χολες, ωστόσο ~α (iY).
'F.σ-:ωχΕ AU(Rnη. Τότε: (.rE Α)/(.Ι'Ε (RΠΓ)). ΧΕ Α
τό--;ε ;-τprηανώς (χ Ε Λ U Β) X::tt (χ Ε .1 U Γ) .ι Ε (Λ U Β) Π (.1 U Γ)
λν -:ο J; Ε (Β n Γ) τότε (.ι· Ε Β) και (.ι· Ε ι Ε (Α.. U Β) χα~
χ ε η (-::σι .r ε (Α. U lJ) n (.4 υ 1'). ~ηλαδ/1 δείΞε~ (;τι:
..!u (Π n ΓΙ ς; (..! u ΠΙ n (.. u ΓΙ
Ascωτot,c;,ωc. έσ-:ω .Ι" ε (A.uR) n (A.u ϊ). -:ό-:ε: -:ο .r ε Α U R) χαι χε (Α U ϊ)
χ Ε 1' θα
(Α U RI n
Ε Β) χα•. (:ι· Ε .1) / (:ι· Ε Γ). Εστω Ε Λ) 1 (χ Ε
Α.. -:ότε ,ι: Ε" Α U (Β n Γ) αν δε .ι· '{/- χ Ε" Β χα~
ό-:ι .r ε 13n 1' χαι εr:ομέ,,ως .r ε Α.. U (13 n Ω'Jλαδ-!1 .
U ς Α U (R n Γ). 'Ετσι
..ι u (Π n Γ) ~ (..! u Π) n (..u Γ).
Ομοίως χ::ιι για την
..!n(ΠuΓ)
Α n(RU rJ~ (.4 n RIU (An r).
ότ~ είναι γνωστό ό-:ι αν φ1 (.ι'). ψ::{ι:) χα~ 'p;,.(,ι:) είναι
[•,1(.,·)Λ ψ2(Λ)] V
V[φ1(xl Λ φ,(Γ)]
,~(χε Ω 1
{Λ ε Ω ι ,,, (χ)) n (χε Ω ι ,,,(,) V ,ψ,))
{.,· Ε Ω [ ,1(,(j Λ [ψ,(χ) V ,;;(xl]}
{., ε Ω Ι [, 1 (.,) ν ψ2 (.,;)] ν [ψ1 (.,;) Λ φ,(χ)])
(.4 n RJu (Α n rJ
...ληλαδf1A.Π(lJU1')=(A.ΠlJ)UlA.n1'). --ιι

85. ~ 1.4 Σύνολα..
άλλα •.ποσι)vολα του Ω.
υ;:οσ1Jνόλων. Έ-:σ~ αν Θεωρήσουμε την
τα αr:ο-:ε:λέσματα (βλ. llpό-::ωη ως
.-.ο~, λέγε:-::χι ά.λγεβpα ':ου Boolc χαι η ωωlα
μη-σ-:οιzε:ιαχfJ τpϊηω fJλα τα υ.-.οσ1)νολα -:ov Ω. λς
1.4.5 Παράδειγμα. Εσ-:ω Α.,Β Ε /Υ(Ω). Αν
ώστε: Α. U Χ = 1JU Χ χαι .4 n Χ = JJ n Χ τό-:ε: Α. =
ως
Α.ΠΟ.}.1':ΤΞΤΤ:
Α An(AU ~An(HuX)
(ΛnB)U
(AnB)U(B
nn(A..uλ)
Rn(RUX)~R
67
ιu χ:.:ι:6υί·,•.χι) oVvuλu

86. 68 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Λp:::ι: Λ = Β. Η σ-:οιzειαχi1 αa.fJδε•.ξη β:::ι:σίζε-:αι στ:;ι: Μο ,:::ίήμα-:α:
χ Ε Λ =? χ Ε Β χ::ιι :.ι: Ε Β =? :.ι: Ε Λ. --11
1.4.Β Παράnειyμα. F.σ-:ω ·_R Ε "Υ'(Ω) ν
τ(ι-:ε 1 = R
ΑιιΟΔ~:ΙΞΗ:
λp:χ Α. = Β.
1lJY= RlJX
μ uX) n(.4 ux')
(BUX) Π (Β UX')
1LJY' = RlJY'
Au(XnX')
Αuω~ ...
ΒU(ΧΠΧ')
Β u ω ~ Β.
αν αντt ένωσης ;-::ipουμε -:ομή, δηλ. _4_nλ =
=} Α = R. -11
1.4.7 Παράδειγμα. F.ίναι δ~;,,:;ηό,, γ:ι. δείξουμε ό-:ι δ~)ο σι)νολα ε:ίν::tt tσα, χω-
::tν:::ι:rιοp:i στα σvμ11:εpιψοpά: -:οvς ως a.poς -:Ύjν
Υ.:::ι:ι -:ην τομή
ΓιαfJλcι.-:::::ι: Λ;ΒΕ ..Υ'(Ω) .lUΒ=ΛΠΒ =} .l=B
Λ ~ .ιn (.ίUΒ) ΛΠ(ΛΠΒ)
μ n _.Jn n ~ ..n n.
13-lJΠ(.--I..UlJ) - lJΠ(λΠlJ)
(ΒΠΒ)n.ι~ΛnΒ
Λp:::ι: .1 = Β. -11

87. ~ 1.4 Σύνολα..
1.4.8 Παρά.δεLγμα.
.c;B "" .ίnΒ~Λ
{c} A.UlJ=lJ
q .ίΠΒ' ~ω
Κα•. σ-:η 11:εpίτ:-:ωσΎj αυ-:~ ο σ-:οιχε•.αχfJς οpισμfJς
.. c;Β"" (!χ)[(, ε ..) => ε Β)]
69
α,;τιχαθίσ-:αται με έ,,αν ολισ-:ιχό μη-σ-:οιzε~αχfJ χαpαχτηpισμό. Η α:τόδειξΎj
εί,,:.ιι ε,';χολη.
Στην συνέχει:;,: Οα :χνα?έpουμε μεριχές :::αόμα σ-:ιγμές μη-σ-:οιχε•.αχϊ>,, χ:χ­
~Ύ;.r--r;?ι.σ~ 11:ν
. να δε:ίξου:J.ε -:Τι :J.ε-:,:;,{:J:χτιχ/1
ς Γ =} .1 ς Γ με μη -
δηλαδ/1 ,
αc,;,δε•.κvGυvτχς fJτ•.:
.1 = .1 n Β χαι Β = Β n Γ:::} .1 = .1 n Γ.
2. Αντt γ~α τον εχ-::.ωιαχό χ::.φαχ-:Ύjpισμό -:ης ισ(;τη-:ας συνόλω,,:
Α. = 13 α,,ν ('v'.r)[.rε .4 {c} .r ε lJ], (Αξtωμα Εχ7.ι-:ιχ(;τη-:ας)
μ.--.οροιJμε να έχο,)με -:ο μη-σ-:οιzειαχό χ:::φαχτηpισμό:
Α ~ R '°'(Α c; R) Λ (R c;.η.
ΑσκήσεLς. 'Jα δειχΟοι)ν οι .--.:χραχ:iτω σχέσεις:
ι. _.u(JJ -_.J ~ _.uJJ
2. (-.- JJ) - C ~ (.. - (!J - JJ ~ .. - (JJ u C')
3. Α - (R u C) ~ (Α - R) n (.4 - C')
.. _.- (JJ n (!J ~ (-. - JJ) u (.4 - C)
i. (-.u JJ) - (! ~ (-. - C) u (JJ - (!J

88. 70
Λ n Β - c:~ ΙΛ - c:1n (Β - CΊ
ΛΛΒ=ΒΛ.1
8. (Α Δ R) Δ C' ~ Α Δ R Δ C)
9. ΑΔ@~0ΔΑ~Α
10.ΑΔΑ~@
ιι. _,n(lJΔC)~(_,tnlJ)Δ(AΠC)
ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
12. (λ u 11)' ~ λ' n 11', μ n 11)' ~ Α' u 11'
η. Αν /9(Α..) συμ,3ολίζε~ το δυναμοr;·J,,ολο -:0 1J Α τότε δειχτο,~ν:
(η) λ c;Β =>;;,(λ) c; Υ'(Β)
(,) •;,(λ) ~ Υ(Β) ""Α ~ Β
(<J) :?(Α.) Ε :i'(R) =?" Α Ε R (το αντlσ-:pοφο δεν ισχ(,ει. Α,,τι.--.:φ:Χ­
δειγμα ;)
(,) :Υ'(Α) n Y(R) ~ ,J;>(An RJ
(f) U //J(B) ς;; //!(Α.. U Β) (Α,,τι;:αpάδειγμα :του ,,-:1 μ1ιν ισχύει η
1.5 Η Εννοια της Συναpτήσεως.
Η σ'Jνυlωθεωpη-:ιχή
r.ιο γεν~κ~ έννοια, :του
.,,_ ΣΧΕΣΕΙΣ.
Η σχέσ1ις είναι αr.ό τις βασ~χότε-
δι:1-

89. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως. 71
αvτιχείμεvο; a.ov μa.opεl να εκψpαστεί με "":'Jzρ1:σ'J --:ων ενvο•Δv ,ωGvολω, χα•.
ιδιό-:'Jτα. για -:η,, έ,,νοι:t του δι:tτεταγμέ,,οu
ιηι­
χ:tp:tΧ-:'Jpισ-:ιχΥ:
Ο διάσημος llολω,,(;ς
ένvο•.α του δια--:ε--:αγμένrJ1)
σvvολοθεωpη--:ιχ,~v εvvoιG')v
KnrcJ.t(nn;ki. Κ., :τέτυχε: να
τελείως :tψ1pημένα, και με: --:'J
1.5.1 UρLσμός. 'F:σ--:ω δ(,ο σ1)vολα ... και R και χ Ε .--t,.i.JΕ R, τό--:ε:
(x.y) ,~ {{.,) {x.y))
1.5.2 Πρόταση. (χι :ι;ι) = (;χ2 ..ιf2) χνν η = /.JΙ =//2
ΑΠΟ..l~ΙΞΙΙ:
{x1 ,y2} έτσι
λ,, η= Υ.:tι Ί/1 = :Ψ1. τό-:ε {η}= {,1:2}Y.:tt {'1:i-1/1} =
= (.r'J.,'!/'1.)- --1[]
Ας υ:τολογίσο:.;με: r:pώ-:α την -:ομ1: Y.:tL-:η,, έ,,ωσ'J ενός Ω~ατεταγμέ,,οu
Τ,χουμε:
n(x,11) ~ n{{.,·},{x.y)} ~ {χ)
'F,στω τώρα ό--:ι (.ιΊ. Υ1) = (.1,,:ι;'.!) --:ό--:ε: όμως Οα έχουμε ότι:
δηλαδή,
δηλαδή, :1·1= Υ.αι //Ι = //2 --11
Άσκηση. ~α εξεταστεί σε :τοια :n:εpίr:-:ωσ'J. ο
εί,,:tι έ,,:tς α;-:οΩεχτός ορισμ6ς χαι σε ;-:οια 6χι.
(α.lι) := {α. {o,l;}}
ακόμ:t.
(o.,h.r:) := ((n.,h).r:), (a1.···,0.n-1,n.n) := ((α1.···.α11 _1).α11 ) χαι (α) := α

90. 72 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Έτσι σ(ιμφωνα με τον ορισμό έzουμε:
(α,lι. ('i ((α;b),ι:) = {{(α,lι)} {(α,lι).ι:}} =
{{{ο}, {α, Ι,)). {{{α), {α. Ι,)), r})
lόcδcχό, (α, α, α) ~ {{{α)), ( {{ο}), α )}.
Α:τό τα r:αpα;-::iνω cραlνεται τω,, σJ,,τομογpα-
'F.zοντας ιττη Ωιϊι:()εrΓ~, μc1.ς την έννοια -:ου (ι::ι.τε:τ::;ι_γμένου ζε1~γο1,ς. μ:τοpr/;­
με να ορίσουμε -:Ύjν έννοια -:ov χ:::ι:p-:εσ•.ανο(ι γ•.νομένο'J.
1.5.3 ΟρLσμός. 'F:σ-:ω Α κ::tt R δι)ο σ<,,,ολ':J... Τότε οpίζο~ψε:,
ΛχΒ,~{(α.b) (αε.ί)Λ(bεΒ))
Εκlσης οpίζοvμε
ΛχΒχΓ
AxlJxl·xΔ
Λ1 χ Λ2 χ · · · χ Λ.rι
1.5.4 Παράδειγμα.
(Λ χ Β) χ Γ
((AxiJ)xl)x.:I χαc,
(Λι χ··· χ Λιι Ί) χ .1,,.
ό:του [u,b] συμ,:::ίολί­
Αντω-:οίzως οι σχέ­
των Ωι:.ω--:ημ:iτων. π..χ.
(ii) As Α ~ {α 1 ,α 2 . ·• · ,α,,,} χα•. R ~ {b1,b2 .... ,b,,) οότε,
(ιιrιι,lι1). (0 111.l!rι)
)
1.5.5 Πρόταση. Λν #(Λ) σuμβολ{ζει ων αριΘμύ των στοιχείων τω Λ. ωτε.
#(Λ χ Β) = #(.1) · #(Β) (Πολ/σπχή αpχή απαp{&μησr;ς).

91. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συνα.pτήσε:ως. 73
:χν Γ; = { (α , bι ). (α;. /ι2) · · · (α , lι,,)} i = 1. 2
εί,,:χι -:ο
#μχΒ) #(Γ1 UΓ2 U ··· UΓ,,,)
η+ η + ·· · + rι = ιrι · η
#(..)·#(Β). -il
yινύμενο. δεν έχει υ'Jτε τη σ,'.ψμε:τpιχή. o'J-
Απο..l~ΙΞΙΙ: (lΙε αντι;:αράδειγμα). Έσ-:ω Α = {1}, Β = {1}, Γ = {2}
,όcε 1J χ 1' ,' 1· χ 11 χα, .4 χ 11 ~ {(1,1)} χαc (.4 χ 11) χ 1' ~ {((1.1),2)}
R χ r~ {(Ι.21) χα•. Αχ (R χ r) ~ {(1.(1,2)1) αλλόι. (1, 1) # 1. -il
Στη συνέχε:ι:χ Ο:χ δϊ>σο~ψε: -:ον (ψωμό -:Ύjς έ,,νοι:χς της σzέσης.
1.5. 7 Ορισμός. "Τι:χ διμελής σχέση α~ό το σϊινολο Α στο σ1)νολο R
εlνα•. ένα -:ov .1 χ Β . ...1.Ύjλ::tδi1 R είν::tι
-:ο ..-.σ-:ο D α.,,ν R ς;; Α. χ Β. Γ pάyο·ψε: r;•;,,f1Θως
(ii) Το πεδιο οι,ισμοt) της σχέσης R οpίζε-:::tι ως εξής:
1lon1(R) ,~ {α Ε Α, (ΞJΙ, Ε R)[(α.11) Ε R]}
ωη(Π) ,~ (b Ε Β, (Ξ3α Ε .ί)[(α.b) Ε Π]}
(iii) 11ανsίστρο9η σχέση της Η οplζε:τα~ ως εξής:
π-' ,~((Ι,,ο) ε Β χ .4, (α.Ι,) ε Π)
Γα ε= A)[(rι,b) F Ι{]}
Ωστόσο εδι::Ο Θα ::ιχολο·,fJο,Jμε την χοιν'Υj

92. 74 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
( ίν-) Η ταu-:οτική ή διαγώνιο,:; σχέση επί -:ου Λ οptζετα~ ως εζf1:;:
'itl,1:= {(ιι,ιι) : α Ε Λ } ς; Λ χ ι1
την ταυ-:οτική σχέση εr.l -:01J Α. μ:r~:οpούμε ν::ι: -:y;ν εχypάσουμε και :.1ε -:7:βοήθε~α
του «οέλ-:::ι: -:ου Kroneι:kι-,n δηλ.
{ 1 ~v α = !ι
δ,.1, := l Ο ::,:,; α-/- l)
1.G.8 Παράδειγμα. 'Εσ-:ω Α. - [J - ί(J, 1], τό-:ε ο~ σχέσεις < , > χ::.ι.ι -, έχοvν
τη γεωμετι:ιχfι ::::φάσ:αση του Lχήμα:ος 1.4
,~<Υ >,,
+
χ>Υ
Σχήμα 1.4. Γεωμετpιχ+ι Παράσταση -:ων σχέσεων- <. > χα~=
'Οταν έχο'J!-{Ε μια δ~μελή σχέση ε:ιι:t ενός r.ε:-:ερασμένου συνόλου Χ
{χ 1, x:,i 1 • • • χ-,1 } τό:ε uπάpχε~, ένας (1:ωυδαίος :ρ/ι:ως yp::iηιχής ανα:ταρiσ-:1,η;ς
της σχέσης. Πρv'ι:::ι: τ:αρ~σ:άνουμε τα σημεια του Χ με σημεία :συ ε;ιι:-:έδοΙJ.
Λν μεταξύ των σημείων χ.; Υ.::ιι ισχϊιει η σχέση fl , δηλαδή αν (xi,:ιΛ Ε Π
τό-:ε σχεδι&:ζο·ψε έν::ι: 1'3έλος -:ο χ;. στο Xj . Αν τότε σχεl'>Lάζο·ψε
ένα ~ρόγχο γϊφw α;:ό το ;η ::Ιε τον τρόπο ,::~:υ-:ό χα-::ι:σχε·16:.ζο·ψε ένα προ-
σ:.ινα-:ολισμένο για -:η σχέση R. Αν το γp:Υηημ6:. μας Ωεν έχεL ού-:ε
,:5έλr,, ο(ηε βρόγχους. η ::tντ(στοιχη σχέση λέyε:-:::tι κενή σχέση. "F,τσι :χν
Χ= {χ, , χ2 , χ;~.η} έχουμε:

93. x1 x2
x3
x4
x1 x2
x3
x4

94. R1 R2 R1 R2 R1 R2
76 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1. r:, Ω nρ, ~μ"'ς. ΊΙ..τ. 7 ) ; 1cτ.J σΑfσ ,1 ~σο'-'.Jν:Χ-
μίας :ι.νν ιχανο;-:οιε:ί τις
(ί) Αυτοπαθητι.κή ή ανακλαστική ι.δι.ότητα.
·idA ς;; .Η Ωηλ:ι.Ω~ ('in. Ε Α.)[(α. α) Ε .Η]
(ii) Συμμετι,ι.κή ιδιότητα.
ΙΙ I c;ΙΙ δ"λοδf1 (Ια,b Ε Λ)[(α b) Ε ΙΙ =, (Ι, α) Ε ΙΙ]
(iii) Μεταβατική ιδιότητα.
(Ια,h. c Ε Α)[(α, 11)Ε R • (h.c) Ε R =, (α,c) Ε R]
'F,στω ~ μια σχέση ισοδυναμίας ετ:ί -:ου Α. Τότε για χάΟε ιι Ε .--1.οplζουμε:
Το σGvολο
ισοδ•;,,:χ:_ιί:χς
δηλαδ·~-
Α.
αν α i- lι χαι
[α] ,~ {Γ Ε Α , Γ eoα ).
κλ:iση ισοδυναμίας --;0 11 α; το δε σGvολο των χλά:σε:ων
: ο Ε Α.} λέγε-:αι σύνολο ;:ηλtχο και r;·;μ1'3ολlζεται με Α./ ::::::;,
Α/ "''~ {[α] [α Ε Α}.
επί τοu

95. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συνα.pτήσε:ως.
ε{ναι μια
χαι αv για xifJε
77
Ασκήσεις 1. 'Εστω ο α.χ6λοJΘος εναλλα.χ-:ιχ6ς οpισμ6ς -:oJ οcα·cετο,γμ,;,,c,υ
ζε:ι)γους: (υ, b) := { {11,0}, {lι, 0} }. '-Jα. δειχτεί ό-:ι για. -:ον ορισμό ::.ιυ-:ό
ε:11:lσης:
.:--.Jα. ε:ξετα.στεί εr:ίσης -:ι γίνε:-:αι ορίσοJμε: (n.,h) := { { n.,0}, {iι} }.
(ί) .4 χ (RUC'J ~(Αχ R)U(.4 χ C'J.
(ίί) .4 χ (R n C:)~ μ χ RJ n (Αχ(:).
(ίίί) (.4 χ JJ) Π (Α' χ C') ~ Ιδ χα, (JJ χ Α) n (Ο χ λ') ~ Ιδ
.... ΣΥΧΑΡΤΗΣΕΙΣ.
-:0·1 οι σ1Jναρ-:~σε~ς έ;-:pε;-:ε εχψpά.-
ζον-::.ιι με έ,,::ι.ν τ,_J;-:ο r:.χ. '!/ = Υ.λr:. έ-:σι για. -:ον jinl~1-.
11 - ι; + 1, r < Ο
χ - l, ::.ιν χ> Ο

96. A B
t
s1
s2
78 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
θεωρο(ιν-:αν ΜΙJ συναp-:~σεις χ:χι 6χι μtα. Γι:χ v-:ι φ-::Χ:σουμε στην αντtληψη 6-:ι
σ:Ji:1?-:ηση ε{να•. έν:χς -:ρό::ος συσχέτισης δυο μεηβλr;τών χ χ:χι 11 με κυρίαρχο
χαρcιΥ.τηρι!ίηχό τη μοναθσ:tι-:ητcι τω•; ει;~ό,ω•; y, r.ρέr.ε~ να r.pοχωrήπο:;με
τ.ολ(, σ-:ον ιστοpιχό χρόνο . (Ca.ycJ1.-,,,Ric1ηar111 , Γcano) .
Έυ·,w Μυ σ•JνυλJ. 11Χ:.;ι;ι Β .ύ·ιt; μ~α. ι.1υν<i(ΛΥjΙ1'fJ / με πεδιύ ύp~ι.7μύύ
((lonι(f)) ή σύνολο α9ετηρtας ή αρχή το Α. και πεδtο τtμ<,>ν, ή και
συν-;;:εδίο ορισμοJ (co(l(j)) ή σύνολο άφιξης τέλος, το 1J ε[να•. μ~α
διμελτ1ς σχέσ'/j γι:ι
:χυ-:ό σ-:ο Σχ~μα 1.8:
ο;-:οία Ωεν ετ.ιτρέ:τεται VCJ..
JςΑ χ R χ:1.ι αν
σ:ιγμι6-::υτ.α όr.ως
ε J χα•. (χ1 ,ιη) ε /
Σχήμα 1.8 . 'b ,;:x :.<νη-:(; Ωεν :::ίναι δυν:χτόv να βρίσχε-::χι σε Ωύο διαφορετο.­
χά μέρη -'>ι, ·":.ι -:r;ν ίδια nτ~γμή t ! Η α;-::χ(τφη :χ·Jτfι ορlζε~ -::ψ έννοι1 της
σ:;νj.ρ-:ησης
τό':ε :ιιι = :1.J2.
Σ'Jvf,':Jω:; συμ)ολlζουμε τα :ιαp:υι;άνω με το συμβολισμό, f : .'1--------> Β.
Τντ:Lκά ο ορισμός της σvv:)y;ηση:;: α;ιpiζε-:αL ω:; εξής:
Η J : .Λ ~ Β είναι μια συν:ipτηση 6:vν
(ί) / <;,Λ χ Β .
(ίί) (lfx ε .4)(1/111,11, ε Β) [(,,:, v,),(,;,11,) ε / =>ιι, =ιι,].
Το ::εδίο ;:ιμών τη:; f είvαι -;ο Β, η δε ειχόν1 ,:η:; f οpίζε-:αι ως:
/ ,,,(! ) Ξ ηω(/) ,= (:9ε Β β, ε .4)[y =f(, )]} ς Β.

97. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως. 79
σο,aι.,ωccc,,ηε με dorn(..f) = .1. ΛΞίi::ει
ισοϊJται αναγκαία με -:ο
ορισμό -:ης
,_~ δu,)μt: ,ι"'ώ ι:.:ι; t.ν:.:ι: f:J:?•...(JHrjp'.0 ,ιχύ
ίιl1(·) :.1 Λ
ίrl.4.(α)
Ας Θεωρήσουμε -:ώρα χα~ τη r;•;,,:iρ-:ηση -:0·1 :τεριέχεσtrα~.
ί(-) π
α Γ""""7 i(α) := α
Jl:OU O::tλ:χμβ:i­
έννο•.α -:Ύjς σ'Jν?'.ρ-:ησης
αr.οyεϊJγοντας έ-:σ~ τις δ1Jνα-:ές :n:αρα,,οf1σεις και
1.5.11 Ορισμός. ΛΙια
(A.,G1.B) όr.01J A.,D,G1 εlνα~
Θψ.:ες:
(i) G1 ς; ..! χ Β.
δι:::ι:τεταγμένη -:pι?'.δ:::ι: .f =
:του ιχ:χνο:τοιούν -:ις :::χρ:χχ6:-:ω r;•;,,-
(ίί) (u,b 1) Λ (α. Ιι2 ) Ε (;/ =}- b1 = Ιι2 . ( Ύj Ι εlνα•. συναpτησ•.αχή σzέση.)
της f, το .4. πεΜο ορισμού ή σύνολο αφετηρίας
χ:χι το Β σύνολο ά?tξης ή σuν-::εδίο οpισμού ":ης .f
f
f : Λ ------+ Β 11 Xclι Λ __, Β

98. 80 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
ΛΙε β&ση τον τ:αpαa.:iνω opωμfJ είv:::ι:ι ψαvεpό ;τλέοv fJτ•. ίιl_ i- i χα•. γεvιχ&
f Τ ~ Λ 11 ., ~ f(x)
(ί) Ως μεταβαλλόμενο στο~χε(ο του .1. Θεωpο'Jμε -:ο 11:εδίο οpισμο1) Τ σ:::ι:ν
:τεοίο μεταβολf1ς του μεταβαλλόμενου r;τοιχείο·; / -:0·1 Α.. δηλ. 8έ-:01J:1,ε,
.f ~ (f(t)),a
(ii) Ως ;3αθμοι βαpt)τητας ή συμμετοχής της κάθε κ:χτάστασης α Ε .1.
Η δ·1ϊχf1 έχr;.ιp:χσ1ι -:1ις (*) εί,,:χι η / = (Τα)aεΑ. ό:n:ου:
,; ,~ {t ε 1', J(t) ~ α}

99. 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως. 81
στυιχε(ο,'J α στυ μετχβαλλόμεvο στοιχείο j" Εlνα•. τ:pοφανές α:τfJ -:ον
(Τ,,),<Λ· με Τ,, ,~ {Ι Ε Τ: J(I) ~ α) Α ~ :i'(T)
με
Γ (α 1 ) n J ·(α2 ) ~ 0 α; α1 1'α2 χαι U .ι<(α) ~ Τ.
"·'=1
Η ως μ•.α οιχογένεια δια-
1.5.12 Παρά.δε~γμα. Έσ-:ω .1 το σ'Jνολο των
-:ης ((Περ~ήγησης σ-:α :λΙαtlημα-:ιχϊοJ. ε:n:ομέ,,ως μ~α
την κλασσική σημασία του οpισμοl! ---+ Ω, (;1του
· ··. 10}, -:έ-:οια ώστε σε χ:iΓJε ψ;ιτη-:/1 11 Ε Α. :χν-:.ιστο•.χίζε-::χι
του f'(α) στ•.ς εξε-:άσεις . ..)..υϊχ:i έzοvμε -:Ύj σvν:ip-:ηση·
ι· ιι~.,.,ΙΛ)
6τ:υ1J Γ (ω) είναι -:ο 1J:n:oσGvoλo -:ων rιοι-:Ύjτών :n:01;:n:ήpε βαθμfJ ω Ε Ω στις
εξε-:άσεις.
λlεp~χ:i :ταp:χΩεlγμ:χ-::χ ειΩιχών συναpτ/1σεων εί,,:χι -:.α :χχόλου~α:
Τ. 1 : Ω {Ο, 1}
J4(ω)

100. 82 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
J,4(ω) := J l ανωεΛ
~ Ο :1;,· ω ~ Α.
ΤΛ. λέγε:τ::tt δε:[κτρια ή χαpακτηpιστική συνάρτηση .ο~, ,);.οσυ­
οpίσ:::ψε: :π:ω :π:άνω, τ:αίζε•. δε -:ον ίδιο ρόλο γ•.α το ~,τ:οσϊινολο
,, πο1; τ:αίζο,Jν οι σ1,ντι::ταγμένι::ς
Αν Ι : Α. ----+ Β είναι μ~α συνάρτηση, -:ότε: λ = (/)η χεγf1 σχέση
ως;; (1 υu,,,,,Ι"'Ι '""'" Θ_,_ ''Ι' """ί'"':ζ,,,jι-'-" ,.~,,J""'_;_""'1"'1 ""'"
Ι:1.Δ----+Λ
Αν λ-1- ω Χ:ΧL Β =(/)τότε η : Α. ----+ Β είναι εr.ίσης η κεγ~
,,u.,_:t' ·'/"'/·
1.5.13 Ορισμός. 'F:σ-:ω Ι: Α ----+ R μι::t συνάρτηση. Τό-:ε: η σ~;,,&ρ-:ηση J
ε:11:άγει δυο σ1ηολοσ1ηαpτήσεις ως εξής:
, .Υ(Λ) ~ Ρ(Β)
χ Γ(Χ)Ξj[Χ]
χαc .f'.(X) ,~ {/, ε Β, Ι, ~ f(a) & α ε Χ}.
11 εικόνα μέσω της f ή αr:.λ& εικόνα sης f χα~
με ΠΙ
':;'(R) ~ :i'(A)
Υ Γ(Υ) ΞΓΊΥ]
ύτ.υ,, Γ'(Υ) ,~ Ε Λ (Ξ3b Ε Y)[b ~ f(a)]).
Η σ1Jνάρ-:φη λέγε-:αι αντίστροφη εικόνα μέσω της Ι. Ηα -:η σ1J:_ιβο-
λlζουμε α:τλο,~σ-:εpα. με f- 1 [·].
Σ·Jμr;.ιω,;:χ -:α :τα.p:χ:n:άνω, :ποpο·Jμε να δύο τελεστές δι)ναμης
,y,1>(,) χαι :του Ορούν χα~ ;-::iνω σε χαι ;-::iνω σε συναp-:ήσε~ς
(τέτοιο•. τελεσ-:ές λέγον-:αι συναpτητές), ως εξής:
• Γι:χ σύνολα, ;-:.z.γ~α το λ, '1ί γνωσ-:ή :τp&ξ'fί του Ω·1,,:χ:.1οσ1Jνόλο·1.

101. 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως. 83
• Γι::ι: σ:;ν::ι:ρ-:/1σπς. έσ-:ω /1
εξής:
n, οpί,ζοιψc: τις δp:iσπς ε:π:ί, της f ως
(i) ::'''(!) ·~ Ι'ί·) Ξ ΠΙ
(ii) !J'°'(f) :~ f'() Ξι-,[·].
Γ( ·)Ξ 1-1 [·] δεν :τpέ:τει να.
: R -----.. Α .-.ο:; υ:π:άpχε•. α.,, η f
υ.--.:iρzει :τ:iντοτε.
με -:'Jν
1 - 1 χα•.
-:η σ6,,Θεση δl!ο συνα.pτ/1σεων χα.Θώς ε:τί,σης χα.ι τ~ς
'ννσ~ες -:,J,'
1.5.15 Ορtσμός. (i) Έστω f: Α.-----+ Β και g: Β------, C δύο σ1Jναρ-:~σε~ς
με Γω1(!) = doιn(g) = lJ, τότε η σJ,,:iρ-:ηση
c:
g •J(α) :~ g(J(α))
λέγετ::tι σ1)νθεση των συναρτήσεων j" κα.t _q.Είν::tι φεvερfJ fJτ•.:
ψf {(α,c') Ε Αχ C I η(!(α)) ~,}
{(α ,-) Ε Λ χ C' I (ΞJb Ε Β)[ (α.Ι,) Ε f an,l (b,,) Ε η]}
ΧΡ'Jσιμο:τοωϊιμε χαι το ισοΜναμο
σ:;,,::φ-:-f1σεων -:'Jν ;.::φισ-::iνουμε
A--~ 1-~u
'!~/
(/χ Ε Λ)[(ηοl)(χ) ,~ η(f(χ))]

102. A
B
C
g[B]
g[f[A]]
f g
g f
f[A]
x
f(x)
g(f(x))

103. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως.
(iii) Έσ--:ω j": .1 ---+ Β χαι .1 ς Χ. Κά:θε
:τολλές) ;:ο•; χά:νε~ -:ο :n:αpαχά-:ω
f - !]
,j
λ---Η
g
λέγεται επέκταση της f στο Χ.
85
rι (είναι. δυνατόν να
αvτι:_ιε-:αtlετιχό,
Δ·Jο σ:τουδαίες χ:χτηγοpίες σ1Jναρ-:ήσεωv εlvα~ οι αχύλουtlες:
1.5.16 Ορtσμός. Έσ-:ω .f: Α..---+ Β μία συv6:pτηση, -:ότε
(i) Η f λέγετ,:,r_r_ 1 - 1 αν,, γι_y_ y::J:f:Jε Ε Α._
.,-# Υ =>f(x) # f(u)
-~α,,τιf:Ιετο:χν-:ίσ-:pοψα,
!(.,ο) ~ J(y) =} .r ~ Υ-
(ii) Η f Ηα λέγε-::χι επί -~χαι επtσυνάρτηση, ά.νv J[A.]= Β δηλ:χδή &.,,ν γ~α
κάθε ε Β υ::ά.pχει J; ε Α. -:έ-:οιο ώστε = y.
f είναι χ:χι 1 - 1 1-1 και. επί ή αμ9ι.μονοσήμαντη,
χα•. ωοσυνά.ι;:τηση. Πολλές
Κα--:ηγορ•.,~v,
1-1,
ετ:ί:
1-1 Χα•. ε:n:l:

104. 1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3-1-2-3
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3-1-2-3
f
f-1
(a) (b)
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3-1-2-3
(c)
R
R
c
R
R
(d)
R
R
R
R

105. 1.5 Η Εννοια. της Συνα.pτήσε:ως. 87
Το σGvολο των :ι.π:ό -:ο σGvολο •1 στο σ(ιvολο Β Ει:ι. -:ο σvμ-
,3ολίζο1J:1,ε §(Α..,Β) χ:ι.ι με Βλ. δηλαδ·~:
ii'(A. πJ Ξ π4 ,~ υ ι ι, ..ι ~ πJ.
Αξίζει ,,:ι. σημειωθεl ότι αν Α. -1-ω τό-:ε (,}/!.= ~ χα.ι α.·;τό για-:ί δεν
_λ:.-.: ,~ν .. ~Ω:., -·r..::,,._,..ν ,.:
αν Ο = 0 -:ό-:ε: Α. Ω = 1 = χα•.
δι:ι.διχασlες ;-τ:ι.p:ι.γωγi1ς νέων συνόλων-
• 1. Η διαδικασία ή τελε:σ":ής του δυναμοσυνόλου. :?(,)
• 2. Η διαδικασ[α σχηματισμού του και;:":ε:σιανού γινομένου Α. χ R,
δύο αυθαφέτων συνόλων . ι Β, και,
• 3. Η διαδικασία σχηματισμού του εκθετικού συνόλου ΒΑ, δt)ο
συνόλων .--ι D.
Ο αξιωματιχός των φι&5ν αuτών διαδιχασι6)ν. ουσιαστιχά χα9ο­
των Συvόλων.
1.5.18 Ορισμός. Έσ-:ω Α. χ Β -:ο δi_'Jo r;•;νόλωv. Τό-:ε
ορίζο:.ψ.ε τις συναρτήσεις προβολές ως εξής:
A.xlJ Α.
(α; b) Jιι (α. b) := α χα~
: Α. χ R -------. R
(ιι,/J) ;;:2(0,lJ):=lJ

106. π1
-1
(Χ)
x
y
(x,y)
X
Y π2
-1
(Υ)

107. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως. 89
;.ι: Ευ :-τ Χ; Χα•. έτσι .t/ Ε J"(U;rτ Χ;). δηλαδή
αa.οδευ<ν'Jεται Υ.αι Ύj
Γ•.α τ:αpάδειγμα στη
Το a.φ.έzεσθα•. μ;τrηεί
λ~JJ
,/ <::~~--- . _ HY,l
ιχ,ι_:_~:'ιi''
lx,ΓΞi ΞΞΞ::tf?ι +ι1χ,1
"---1~~-~---ί,ς~~>·''
έχουμε Χι n Χ2 ~ νl, έcσ•. Ι[Χι n Χ2] ~ νΙ αλλ& Ι[Χι] n .flX2 ] # Ο. ;ι
1.5.20 Παράδειγμα. 'F:σ-:ω f: Α -----, R μί:.:
(i) 1-' 101~ ω
(ίί) 1-' [Β] ~ .
(iii) 1Ί c::Υ, ce-Ι '[1i] c::Ι '[1,J.
(ίν) / 1 [U,cι 1;] ~ U,cι / 1 [1;].
(ν) 1-1 1nisll"j] ~ n,el 1-ψ,].
(viJ 1-ΊγΊ ~ υ-ψ JJ'
ΑΠΟ.}.f;:ΤΞΤΤ: Οι (ί) χα~ (ίί) εί,,:.:ι -:ελεtως r:pοψανείς. -1[]
(ίίί) 'F:σ-:ω χ Ε f -:ότε πϊφχει y Ε YJ.τέτοω
fJμως lΊ ς Υ2 έχο1Jμε ,t/ Ε Υ2 και εξ' οpισμο1) χ Ε j'- 1
1 '[Υι] C::Ι '[J,]. ;D

108. 90 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
έ:n:ετα~ ότι
Γ1 [11nYJ] ~ Γ1 [ri] nΓ1 [r,'] ~
Ομοίως J[X1 - Χ2];;, J[X1]- .f(X2] καc J[X1 - Χ,] c; f[X,].
1.5.21 Παράδε~γμα. Έσ-:ω f :Α..--------> Β :_ιία r;•;,,-!ιρ-:ηση και Χ ς;; Α.., Υ ς;; Π.
(ί) I[J- 1 [Υ]] ς;; Υ. Το lσον ισχύει ανν Τί f εlνα~ ε::ί.
(ii) f- 1 [f[X]] :2Χ. Το lσον ισχύει ανν Τί f εlνα~ 1-1.
Ασκήσεις. 1. :_fα χ:::ι:τ::ωχευαστο(ιν αν-:ικαρ:::ι:δεlγμα-::::ι:. τ:011 γχ :::ι:τ:οδειχν,)οvν
ότ~ οι ισό-:ητες στ~ς (i) και (ii) εlνα~ δυνα-:όν να μην ιr;χ,~01Jν.

109. ~ 1.5 Η Εννοια. της Συναρτήσεως.
2. (i) λν ..f Ε Β 4 χαι .GΕ c;R χα•. οι .f Υ.:::ι:ι μ εlνα•. 1-1
και εr.ί), -:ό-:ε χα~ η σϊ;νf-Jεr;η g O j" Θ:::ι: εί,,:::ι:ι 1-1 (αν-:ίσ-:οιzα,
91
εa.ί η 1-1
χαι ε:τί).
(ii) Αν η είναι 1-1 -:ό-:ε χα~ η f εlνα~ 1-1 χαι αν η 9 "f ε;:ί -:ό-:ε χα~
η g εί,,:.ιι .lη r;το~χειαχός ορισμός -:ων εννο~ών -:ης αμcρlppι1_;;ης. έvpιψης
χαι ετ:ίpp•.1~ης.
3. (ί) Η Ι: .--i-----+ R είν:::ι:ι 1-1 χαι ετ:ί αν υ:π:άpzε•. .rJ: R-----+ Α, -:έ-:υια ώστε.
Ι C _q= idH Y.Y:L _qο .f = 'ίιl,ι
(ii) :.Ιι:::ι: σ'Jν?φ-:ηση j": Λ ----, Β είναι 1 - 1 :::ι:ν
(iiί) ::Ιια συνάρτηση .f :Α.. ---+ Β εί,,:χι εr.ί αν.
4. λν Ι... ΙΗ εlνα•. οι
(ii) Ι1πΗ=Ι.1·ΙΗ
(iii) Ι,ι, = 1 - Τ.,ι
(ίν) ...tn R = 0 =?" T.-ιuJJ = (ι + r1J
(v) (ιuJJ = Ι.1 + JJJ- Ι,ιπJJ
(vi) l,1 ΔΗ~ (1,4 - ln) 2
.1 χα•. Β -:ϊηε να
5. Λ-Ιε -:η χρ~ση ":O'J συμβολιπ:.ωϊ; nA:= υι f: Α---+ Β} να δειz-:ο·J,,:
(ί) Αν BnC = ω τότε A_flU(~ '""A_fl χ .4.(:όr.01J Α. ,".,Β r;·;μι'3ολlζει ότι 1J:π:ϊφzε~
μεταξ,'; τω,, Α. lJ μία 1 - 1 χαι εr.ί r;J,;:ίρ-:ηπη.
(ii) ) μ.n)(''"" A_flx(:' χαι
(ίίίJ (Α. χ nγ-: "".4.Γ' χ nΓ'
6. Να δcczτci όcc (.f ·ιι) Β ~ f (ιι I Β)

110. 92 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Σχήμα 1.12. Το σύμβολο του α::είρου ~oc», ως μία πεr.ερασ:.ιένη τ,:ι~νtα του
λ'iδl)ίιιs. Ηαρ' 6λο r.ου η -:αινί:χ εlνα~ :::ε:τερασμένr,, το ,ιταξίδι» μπομt να
σ:;νεχίζεται ε:::' ,::Χ;ι;εφο .
1.6 Το Πεπερασμένο και το Άπειρο.
((infinit,ιιnι ,κtu ηοη ιlntuι-.6»
Οι ένvοιε;; -:o•J r.ε:::ερασμένου κα~ του αr.εi_ρου, εlναι θεμελι::αές γι:χ όλα
τα nύγχρονα μ-:χθημα:ικά χαι α7tοτελούν :η μό,;ψη :::ηγ~ :::::φαΜξων χαι δια­
φωνιών. Α;; Οεωρ:f1σουμε τη σεφά του J..cil>t1ίz: 1 - t + ~ + t + f.
Παρατηρούμε ότ•. α:τfJ :fιΙ ::φιστερ~ πλευρά: έχουμε μία ά:τειρη σειρ:i ενώ πό
την :iλλη έναν χαθrηισμένο τ.ραyμα:ιχό cψ.θμό. Το ίδιο συμ~αίνει με χάθε
άρρητο :φ:ιγματικό αpιθ:J.ό. Ο:::ως όμως θεωρούμε νόμψη :ην ,Jπαρξη :ων
r.ραγμ,:χ-:ιχών αριθμών r. χαι ~, έτσι θα θεωρο:;σ:ιμε 6τι εlναι νόμιμη η θεώρηση
ως μί:χς -::ελειωμένης
δ•.αχpίvει δύο -::t)πους το uεν δυv6:μει
ά.r.εφο» χ:ιι το ·~τελειωμένο &:r.εφωι, χαt σχεδόν όλη η :χ;::χ:ιι6-
τη-:::ι μέχFι Υ.:tι -::ον (:;-ιnss Υ.:tι -::ους δι:χισθητtχο1';ς ;-:ίστεJ:ιν σ-::ην εν δυνάμει
έννοια του :>:πείρου χ:χι ;τοτέ σ-::"'ιν στ:χτtχfι-ενεστωτ•.χ/1. Ο;τως έχουμε f,δ"'ι αν:χ­
ψέpει ο σ1Jμβολισμ6:; Nn = {Ο, 1, 2, · ·} !J:τ:οδηλt)νε:ι ε:νεσ-::ω-::ιχό :iπε:φο, ε:ν<il
ο ,((), 1;2, . ,1, θ:χ μ~οροJσε να σ ;μ;3ολt:ει δ'.Jναμ•χο α~ε:ιρο Ομοtα η yρ:ιψη
1 - _1_-'- _1_-'- _1_-'- · · · = -.".'1 έμ:,εσ,. εη?άζει ένα δuνψ.Υ.6 ά,εφο άθροισμα εν<f,- ;3 ",) . 7 '
~,.Δε-., v.:ά(zε~ ε'ιειΓ::ωη:~6
' Θα t1J"ιJ,βολίζου--lε το σJνολο με Ν ενώ -:ο {υ, 1, 2. · ·}με ω f, με Νο

111. ~ 1.6 Το Πετιεpα.σμένο κα.ι το Άπειρο. 93
1 ,, 'Ί, ~ -ι-,·-,.:,.- 1·: · -·---·- '--,---,---· 'Ji-:σι ·1 ···-- __: .. _
,,εξlσωσψ, στην 01Jσί:::ι: εμκεpιέzει χ:::ι:ι -:ηv ι<εvvοιολογιχi1 εξίσωσΎj>J
Elvα•. φαvεpfJ fJτ•. η ΕιεώpΎjσΎj του Ν ως εvεσ-:ωτιχi1:;: :iκεφης ολfJητ:;ι:ς εμr;η-
και -:ο εvεσ-:ωτιχό 6:::ειpο, συvδέον-:::tι χαι χ:::ι:τ::t-

112. 94 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
της χ:.π:iστασης :του ε;-:ιχpα-:rΗJσε σ:α r:ε;-:ε:pασμένα σJνολα.
1.6.1 Ορισμός . ...)..υο σ6νολα λ κ::tι Β Θα λέγον-:αι ισοδt)ναμα ή ισοπληθικά
υ:τά.pχει μlα 1-1 και ε:τί αν-:ισ-:οιzία.
υ;-:οσ,Jνολο -:ου Ν.
Κ:.π:i το,, ίΩιο
ισοδ(,,,:χμο μ'
-:ο σ(ινολο -:ων
Α~
ψαίνε-:αι
1 2 3
! ! 1
2 J 6 211
ένα Jr:οΩ~άσ:ημα (r,rl.) εν6ς Ω~ασ:~μα-:ος (n.,h). ε:ίναι
Γ εναά η συνάρτηση,

113. ~ 1.6 Το Πετιεpα.σμένο κα.ι το Άπειρο. 95
είv:::ι:ι 1-1 κ:::ι:ι εκl. με--:αξ(ι --:ων δι:::ι:στημά:των (α;b) κ:::ι:ι (ι:,ιl). Βλέ:τουμε :τά:-
-:ο όλο, χα.ι -:ο γεγονός :χ·;τό, :n:ου είναι
xαl":!αp:i δ._:"θψ'ψ ηχ~'ι-ι:.:ι:.:ιιτ'., .ι:.:ι .ιςτ:οΧε:μα'ς:n:_.υ,..'-
σκασα.,,. Ωσ--:όσο ο συνέχισε: α.--.τόη--:ος ε:pγασlα του φpοντlζο,,τα.ς
Ο ,:.ι; t-1.LXGψlj[J.:..1. .·J. ,()Vι1.1. 1),ιJχpυν:.ι; ν·J. t-ίν:.ι:ι ύου ,υ δvν:.ι;ιιJν 1.ιυ
1.6.2 Ορισμός.
Υ')r;ικC:)ν
:Κά&ε σ1Jνολο 11:01J εlνα•. ωοδίιv::ψο με το σ(ινολο --:ων
Ν λέγε-:αι αριθμήσιμο απειροσύνολο.
(iί) Σε: χάΙΊε σϊJνολο λ ε::τισυvά.τ:-:ο·ψε: έ,,:χ :τληtlάpιΙΊμο, αιηt (Α.). r:0 1J έμμεσα
οplζε:τα~ α:τό -:ΊΊ πzέπη,
συνόλων
Ji;-:ίσης.
r:,1ni (Α.) = ι:,1ηl (iJ)-{=}Α. r-.., lJ.
;-::iνω r;την
λόγο1)ς μ.--.οpεl κ::ιvείς v::tεωάγει --:Ύj
χα~ τα.υ-:όχpονα μία. αvά.λογη ά.λγε:βpα με
caixl (Α) :::;canJ (R) -{=} ,);.ά:pχει R' ·; R με: car-(J(Α) = caixl (R').
μετοΝ= {1,2.·
lΌ Νυ εlνα~ ο :τpώτος :iτ:εφος τ:ληΘ:ipιΘμος. Το ε:n:όμενο Τ;σιολογιχ(J ε:ρώ-:'Jμα
εί,,:χι:
με:-::χξ,J -:ου Ο κα.ι 1. -:oJ 1 χα~ 2 χ.λ;-: ..
--:ων pΎjτώv Θ:::ι: ή--::::ι:ν
ης τ:ροσδοιι:l~ς τυυ,

114. 96 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
/
Σχήμα 1.13. Το εί,,:.ιι ::.φιΘμήσιμο
λο•.~ό,, -:ο χ:χ-
ΓJ::φ::Χ με -:ο
[Ο,Ι]~{αι α2, ··.α,,···)
είν:::ι:ι α1πfJ
λοι::όν
FΧνα•. όμως γνωστό ότι χάΟε Γ Ε [Ο. με δα:.:δαή
χ= Ο;:1·1:.ι:2 · χ,. 'Ι = με-::::ι:ξ,) -:ων
· · · 9. 'Αpα. μr:οpοl!με ,,-:1. γράφουμε -:ο~ς αpιθμο6ς α1, 02. · · · · με

115. ~ 1.6 Το Πετιεpα.σμένο κα.ι το Άπειρο.
την 11:αpαχ,:;("-;ω διά:ταξη:
αι Ο. a.:JaJη~
Ο.·
Ο, α}α~ΙΙ~
Ο, α{α}~:1
97
u;;
σ--:ο σημειο :;,:~,το
Θεωρο1)με τη
η μεγάΛΥj ιδέα σ--:ον ('anιor·: «-:ο διαγ(;Jνιο
σ--:Υjν τ:ιο τ:&νω διά:ταξη·
συνέχεια ::.ω--:ασΥ.Ε:'Jά:ζο,Jμε -:ον
-::fο{ · · · lJrι -1- γ~α
γι:t 11 = 1.2,3,.
TfJ--:ε Ιι Ε [0.1] και Ιι
υ::οθέσαμε fJτ~ [Ο, 1] =
Ι,,, •~ { ~
Κ:tταλήγουμε λοι:n:όν στο :tχόλου~ο:
·· · brι · fJτ:01J /J1#
μ:n:οpούμε :n:ω σ1JγΥ.:ε:ψψένα να
1.2, · ·. τ:ο'J εlνα•. ά--:rηο, αψο(ι
1]δε,, αpιθ:.ιήσι:.ιο.
1.6.4 Θεώρημα. Το χλειστό διάστημα [Ο, 1] είναι ένα μη-cφι9μf;σψο
pοσι)vολο.

116. P
P'
P'' Q
Q'
Q''K
R
0 1

117. (0.0)
(1,1)
(1,0)
(0,1)
x
y
(x,y)
5 0,3
07
001
6
9
2
004
0 1
x=0,3|07|001|6|...y=0,5|9|2|004|...
z =0,3|5|07|9|001|2|6|004|...

118. 100 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1 β:iζο1Jμε Ο χα•. fJτ:01J Ο β&ζο1Jμε 1. Η Y.ω­
u:-cor;·J,,oλo Π -:0·1 Ν για το ο:-cοίο
c--τc-, /·~i Η C τό-:ε lJ ΕΞ χαι
.-.ο~, βε:β:χίως είναι ά-:ο:-cο, ετ:ομέ,,ως -:ο
λ:-cfJ την αa.6δε•.ξη -:Ύjς τ:pοηγοGμενΎjς τ:pο-:ασης, :-cαίpνοvμε -:ο :::ι:χόλο11θο
r.όρωμα:
1.6.6 Πόρtσμα.
2"'0 = ('.
,.J1U..1.!c:IΞH: Στην
Ν
/, Υ(Ν) ~ [Ο, 1]
εί,,:.ιι 1 - 1. Αpα 2~0 :::; r:.
με: δ,)αδιχ-11
::αολοvθία -:ό-:ε η ανc<.cs,,iσcαοη
μοναδ~χό ·ποσ,~νολο -:0 1J Ν
Π, [Ο, 1]~ Υ(Ν),
Ί.Τετά -:η,, :::ο-:όδειξη ό-:ι.
Νσ < 2~0 •
ό-:ι ι:;-ιηi (.Ν) < ι:;-ιηi (-"Υ'(.Ν)) -:ί~ε-:αι
σzέση
χαι γενικά γ•.α
1.6.7 Θεώρημα. Γιrt χάfiε σ(,νολο .--.έχοuμε·
αι.ηl(Α.) < απrl( ..Υ'(.--.)).
1.
δυαδιχός
1,J

119. a
b
c
P (A)
A
∅
{a}
{b}
{c}
{a,b}
{a,c}
{b,c}
A
f

120. 102 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
α Ε 8 χν α 1.8 :τάλ•. αa.6 -:ον ορισμό του 5 το α Ε _f(u) χ:::ι:ι ε:τειδή Ι(α) = 8.
ότι ο Ε 8.
aε8αννα
χαι ετ:ί. F:.--.ομένως.
το α-::ωω :του οοτ,Υτtιtχ,τue. χα~ στις δ·Jο
,1 - ... :θ~"'Ι .: •• Γ1 f
υ,ιηl(.'1) < υ,ιηl (./(,1))
γι:χ χS:θε σϊινολο Α. ;ι
1Ιετά α.r.ό -::η,, :n:αpα.r.άνω :χ:n:όδειξη γlνετα~ δυνα.τός ο οpισ:_ιός μί:χς :χτέλειω­
της αχολου8ίας α:τό αλέψ-α.pιΘ:_ιο1Jς.
Νο < :/'ο = r;< 2-;i:u < .
• Υπόθεση του συνεχούς:
11:.;,:6θεση -:oJ συνεχrΗJς
,);.υσι)νολο -:ου έzπ
γχ έχο1Jμε μί:::ι:.
2ι<ο = Νι
,,:ι. δια-:1J1τωθεί ως
~ ι_· = ε:τίσης

121. ~ 1.6 Το Πετιεpα.σμένο κα.ι το Άπειρο. 103
• Γεν~κευμένη Υπόθεση του Συνεχο(.iς: Γι::t κά:θε 11:λψ:'φο.θμο t-1:n
Υ.::tι η αχfJλοt./::Ιη,
1.6.8 Θεώρημα.

122. 104 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1.7 Διατακτικοί Αpιθμοί.
χ:::ι:ι μά:λω";:;ι: ιστοpιχ:i
(ί) Τη διαδιχ:::ι:σί:::ι: οτ.cψ.ο:,ηc,ηc. δ•.ακpιτυ<ών-αe;ομ•.χών ον";οτήe;ων, n:.z.ένα
μήλο. Μο μήλα
(ii) Τη διαδιχ:χσί:χ διά:τα.ξης. χα.ι
Κεφ.8).

123. .... . . . . .
1 2 3 4 . . . ω ω+1 .ω2. . . ω2+1 . . .
S
Ω

124. 106 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
λλλ6. το Ν έzει Μυ
(:::;) είν::tt αυ-:ω~:α­
tχc.:•• ..pι~ ,υ
sα,,αο,cαΗ,,υv ως σ'Uνολ:ι. (σ-:η σu-
,ce;·ωelo-tcae,;Jcel (z.l<') μαθημα-:ιχό αν-:ιχεtμε,,ο είναι
·- {Ο} - {(1}
2 ,~ IU{1}~{0}U{{@})~{0,{0)}~{0,1}
2 U {2} ~ {11,1, 2}
ιι+l nU{rι}={O;l,2,···,n}

125. ~ 1.7 Δια.τακτικοί Αριθμοί. 107
,()V 0 1)(.J:,.ίΙ.,tΛ
να κα-::χσχε·Λrπι κανείς
έχουν διαcροpετιχοϊJς διαταχτιχο(;ς
σ:.;μ~ολtσουμε με ω -:ο διαταχτιχ6
r:λη!:J:ipιtJμo. Αν
Πε;:ερα.σμένοι Δια.τακτικοί Αριθμοί.
{Ο)~ {Ο}
2 .~ 1U {1) ~ {ιJ) u {{0)) ~ {0. {ιJ}} ~ {Ο, 1)
2U{2) ~ {0,1.2)
ιι+l nU{rι}={O;l,2,···,n}
Απεφοι Διατακτικοί Αριθμοί
{Ο, 1,2, · .. ·} Ξ Ν
ω+ 1 {Ο. 1,2,, .. ,ω}
ω + 2 {Ο, 1,2, · · · ,ω,ω + 1}
ω2 {Ο.l,2,···,ω,ω+l,ω+2. ··}
ω2 + 1 {Ο, 1,2, · · · ,ω,ω+ 1,ω+ 2, · · ,ω2}
ω:3 {0.1,2,···,ω,ω+l, ··.ω2.ω2+1 ···}
και -:ελιχ6:
(,J:J+(,J+ 1,- ω2 + ω2 ? · ω' ..ωω,.

126. ω2 = ω3 =
ω = ω+2 =1= 2=

127. ~ 1.7 Δια.τακτικοί Αριθμοί. 109
τ:οσύ--:'Jτα; zαpαχ--:ηpίζον--:αι με μία έννοια δvναμιχο1) α;τείpοv Πpύχειτα•. χα­
Θαpά γ~α
tοeοοχcτ,,,.σω,,, τϊ1 ς
α•,αλυcαο,,-οτοcιcccαο,, χαι του :Χ:1,εσα δοσμέ,,0·1 ,ω,cσcαα--οο,,α,,υ,
γpαμμοJ τμημ:.πος. ·.ι...:τσι liιαιπ&r;πχά, r; έννοια: ϊω πληθcφι!iμοι, παρωσιά-
(0. !) (1, !)
[SJ(0,0) (1. 11)
Σχήμα. 1.19. Y;i::ipzo1;ν Μο θεωρήσεις γ•.α τη pίζα το~; 2.
χανείς ,,α εργαστεί στα
[:H-.ijενG,
της μη-
των το,) Rυυ1t~ χαι τrις Θ1::ωpίας Τr)Jτων, r)Jτου
μαθ'Jμα--:ιχο;τοίηση των ;ταpαJτάνω αa.λοϊχών δια--:'1JτG')σεων

128. 110 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
ηοτ:ονlων)) = ηοτ:οθε:ωpητυcών
:n:ou!Ία έχουμε -::η,, ε:υχαφία να ΙΊίξουμε
24]).
χα•. διαψύ­
αργότεpα.
ε:δώ χαι -::ις έννοιες -::ων ολαά
.v.:.ι;ι ,ων ΟV[J.Ι,·..(γών '),ιυυvνϊιλων
1.8 Συμπληpώματα και Ασκήσεις.
μων.
στο σ1)νολο τ(,)', φυσ•.χϊ>,, χαι
να γενιχε:υτο(ιν χαι στη τ:εpί.-.τωση
1.8.1 Ορισμός. Έσ-::ω α = c·ant(Λ) X::tt b =
ως
(ί) ο+ lι := σιηl(ΑUΒ), με Α.ΠΒ = 1/J
(ii) α · h := ι·;ιΓd (-4.χ 1J)
(ίίί) 11.1-.:=uinl(A.. 13)

129. 1.8 Συμτιληρώμα.τα. κα.ι Ασκήσεις. 111
Οι ,φάξεις της .τpfJσθεση::: χ:::ι:ι το1J .τολλα.τλασιασμο'J; είν::tι αντιμεταθετι­
κές και προσεταφιστικές. Η εχθε-:ιχ~ .:ράξη έχει -:ις αχόλουΘες ιδιότη-:ες:
1.8.2 Θεiψημα. (8Ιιπiίdι"Τ-1Jι"Τ'Ι18f~;irι)
Αν r:rtr·d(A):::;ωnl(R) χαι ω!'d(R):::; ωηl(Α) τότε ω!'d(Α) = r:rtr·d(R).
1.8.3 Πρόταση. Νχ δειχτεί όπ το πpοηyu,,),υενu fJαJpημα είναι ωuδ.'Jναμu με
την αχόλοιJ'/r; πρόταση·
Α.ΠΟ.}.1':ΤΞΤΤ:
Αντίστροφα:
-:ων Sί:lπδrler-l3t-ω1stein χα~ Α. ς;: 1J ς;: (,'
ό-:ι Β ,.....,Λ χ:ιι α.τό -:Ύj μεταβα-:ιχ~ ιδιό-:Ύjτα της
-![!
Εσ-:ω r)τι 1i (") χ:::ι:ι Α, R αυΟαίpε-:α σι)νολ:::ι: με .--'ι ·"' R1, γι:::ι: χ:iτ:οιο
Βι ς;: Β χα•. ev Λι γ•.α χϊαοιο Λι ς;: .ι Πρέa.ει v:::ι: δείξοvμε ό-:ι .1 ,.....,

130. A B
A1
A2 B1
112 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Σχήμα 1.20 . Θεώρημα -:ων Sιl'1r(j(i~r--Ι3e1·nHt,~ίn.
13. ΠρS:yματι α:τύ την υ:τό8εσf; :.1ας ·πάρχο·1ν σ·1ν:ι:p-:i1σει::; 1 - 1 και ε:τί,
f .4 -------..1J1 χαιg 1J----+ Α1.
Οpίζο:;με το Α.2 := 9(R1), :ipα, ::ιφοιJ Rι ς R, έχο~,με: Α2 ς Α1 ω(ρι/έ­
στερα Α2 ς: Α ι ς Α.
Λν ορίσουμε τώp::ι: συνϊψ-:φr; Jι. : ι1 ----+ Λ2 ό:του lι(α) := (.ι; <>f)(a) =
.ιι(!(α)) τότε /ι.(Α) = =.ιι(Β1 ) = Α2, :iρα η }ι, είναι ε~τt και επειδή οι
g και f είναι 1 - 1 έχουμε χαι η h εί'.iαι 1 - l. Αρ:χ Α. ,...., Α2 . ·~-:nι :ελιχά
έχοψε Α1 ς Α 1 ς Α με Α2"' Α . Ατ.ό την(*) έχουμε ό-:ι Α ι .....,Α xcn ατ.ό
την πόθεση ό-:ι Β ,..., ι1 1 άρα Λ ...., Β. ;ι
Άσκηση.
(ί) Α ν τα σrJνrJλΧ Α χαι R είναι το r:ολι) αpιΟμήσψΧ. τ6rε χαι το χαpτεσιαν6
γινύμενu Λ χ Β ε{ψη το πολύ αpιθμήσψο.
(ii ) Λ v τα Λ 1 ,Λ2 ,_Λ.,, ε{ναι το πολύ αpιθμήσιμα, τότε χχι το χαpτεσια-
νό γινόμενο Α, Χ Α2 Χ · · · χ .411 είναι το ποΜι αρι θμ ήσιμο, (το πολ1
rιpι~μήσψο rπ;μrχίvει πεπεpαπμiνο ή σpιθμήσψο).
ΑnοΔεΙΞΙΙ: (ί) Αν Α = ~ +ι Β = ~ :ό-::ε Αχ 13 = ~1 χαι εr.ομένω::; :ο Α χ 13
είναι ;.ε;ιεpασμένο. Ε,σ-;ω -;ι:φα ότι Α =f0 χαι Η #~-
Επειδ/1 η: Λ και D είναι αρι0μ/1σιμa;;:, Jι:iρχουν 1 - 1 χα~ επt συνcφτψ1εις:,
/ Ν ----. Α χαι g : Ν - fl . Αρα μ~opo•J:.Lε να yp:Χ:tουμε ετ.ίσr,ς Α =
{rι.i}iE.'I Υ.:ιι JJ = {hΛ.iε:, . 'Α.pα μ~οpοUμε να γράψουμε ε:τίι1ης Α χ 1J =

131. 1.8 Συμτιληρώμα.τα. κα.ι Ασκήσεις.
Jitνα~ r:λέον Τt.νεpός ο τρ(ηως οpισμο6 μtας σJ,,:iρ-:ησης 1 - 1 Y.:tt ε::τί,
Γcα
.ι χ
lι: Ν-----+ ΑχΒ
(ii) Η (ii) α:τοδε:ιχνύεται όμοια με -:ψ, (i) και ε::ταγωγ-~ σ-:ο τι. --11
.... Το λΞΙΩλΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.
113

132. 114 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
pίας μη θεωριών. :n:ou -:ο ρόλο
._,ν .-ιc: Θ·- ~---.~λΘ"~,-~ ,.,...;,-·- ο._,ν,_:.,""~,-~ ..., "Ι.ν ----~-, ~' ·---ν-, ----
τ:pο-:ϊωεις.
OlfjV
οr.οί:χ
"[:f,.α συνάpτησΎj ε:n:•.λογής
είν:::ι:ι εξ· ορωμοG μί:::ι: α.ντιστο•.zία:
ϊ(-) _____, u./"
Α ,μ)ε..!
fJτ•. για να έχε•. μί:::ι: οιχογένε•.α σ1ηάpτηση ε;τιλογής, θα ,φέa.ει
Ε μη κενό σ,~νολο.
οιχογένε~α = (Α.ί)ίεΙ συνόλων. -:6-:ε η συν:ipτηση
μοp7/1:
,ι), Ι UA,
iEI
rψ) εΑ.i
ΠΑ; {(n;)iεl i Ε ..!;. i Ε 1) ~
~ {f Ε (U.ί;J' i .f(i) ~ Ε .; i ΕΙ}
iε:J
της ~r.ιλογής δια-:1J1τώνετα.ι ως αχολrΗJΘως:
Αξίωμα της Επιλογής (AC).
Κά&ε οιχοyέvεια μη-χεν(,)v σcJvόλω11 έχει σuνάpϊηση επιλοyrjς.

133. y1
yi
A1
Ai
f
g

134. 116 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
(i1:) =} (1:): Η συνϊφ-:φ'Υj J : Χ --------,.Υ,
lU 1) Χ .v.:.ι;ι
(' = Ε : 1/ Ε
(lν) v..:.ί:pzιοι tν:ι.
Αν -:ώρα ορίσο1J:1,ε τη σ1Jνάp-:ΎjΟΎj
g: γ
1·
q ι
ι
'(--.f~y
το ζη-:οϊJ:1nο. --10
αcροl! η 1J7cαpξη της συνάρτησης g στην ουσία είναι
του συν6λοJ ε:;:.ιλογ-f1ς ('. --11
l.:τη σJ,,έχεια Θα Οιατυ:τώσο:.ψ.ε την
ρε:-:ιχϊ( zρi1σιμε:ς :τpοτ:iσε:ις. Πpu')-::x όμως
του Α(~ με χά;-:οιες εξαι-
F.να μει;:ικά. διατεταγμένο σύνολο
611:01J Χ i- (ι) είναι ένα μΥj-Υ.ενύ
σχέση διατάξεως ε:τί του Χ, δΎjλαδf1 :
(Vx εΧ)[.,· <:
(Χ, ::ς) εlνα•. ένα
X::tt :c;εlνα•. μ•.α
(Ι'v!Δl)
(Ι'v!Δ2) (Vx ε X)(V:,1ε X)(Vz ε Χ)[(, <:11)Λ (y <: => <:z)]
(Ι'v!Δ3) (Vx Ε X)(V:q Ε Χ)[(., <:11)Λ (.q<:.,)=,(χ~ 11)]
λv 6λα τα δηλαδή αν για χ&Θε :.ι. .1JΕ Χ
διατεταγμένο σύνολο.
::οω-:ελεl ένα μ.δ.σ.,
(ii) Αν Χ cj=-0 -:ό-:ε: το (Ή.χ.:::;) ε:ί,,:.:ι ένα μ.δ.σ. ό.--.ο~, η σχέσΥj :::;ορίζε:-::>:ι ως
.f <:iJ"' (Vx Ε X)[.f(x) <:g(.,·)]. .f,il Ε Η".

135. ~ 1.8 Συμτιληρώμα.τα. κα.ι Ασκήσεις.
1.8.8 Ορισμός. (i) Ev::t
ή πρώτο στοιχείο
(ii) Το
Ωε,, ::pοr,γεί-:αι του .rυ δηλαδf1 αν:
(,ΞJ.r F λ)[.r:::;
117
F λ)[.ι; s; .Τ() ==?".r =
.λυϊΧά. -:ο F λ λέγεται μέγιστο (ή τελευταίο) στοιχείο του (λ, :::;)
αν (χο Ε Χ) Λ (VxΕ Χ)[<(:::; Γυ].
Το αν δεν ·πάρχει ,ι: Ε Χ -:έ-:οιο
ώσ-:ε :::;χ Υ.:tι .ι; #
(iii) 1α
χ/1
(V.rΕ λ)[.rυ:::; .ι; ==?".ι; = .ru].
-:ο 0 είν:tt το
ού-:ε ελάχιπτ::t. ο·Jτε μέγιστα αλλά. 01~-:ε

136. 118 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
Σχήμα 1.22. Το μ.δ.σ. (.Υ((Ι.2 :JJ).<;)
Σ-:α :ταp:χδεlγμ:χτα. -:0·1 Σz'fί:_ι. 1.2:1
αλλ&
/ί~2• :i• •4
1/
Σχήμα 1.23. ::Ιερ~χά. δια-:αγμένα σύνολα.
1.8.10 Ορισμός. 'Jiσ:ω .--.ς;; Χ ό;-:οJ (Χ,::;) είναι ένα μ.δ.σ. Ενα
.Ι"ο Ε Χ λέγετ::tt άνω. κάτω) ψι;::iγμα -:ο~, συνόλου .--1.αν Ε
:ς χσ].
1:0 Ε
(VJ;Ε A.)[J;_::;η1] / (V.ι· Ε Α)(V:ιι Ε Χ)[χ :ς :ιι-=} .1'(1_::;:ιι].
'Ομοι:::ι: ορίζεται Υ.:::ι:ι -:ο ίηfίmιιηι ~ μέγιστο κ:iτω φράγμα.

137. ~ 1.8 Συμτιληρώμα.τα. κα.ι Ασκήσεις. 119
1.8.11 Παοά.δεLη.ια. (i) Έστω
εlνα~ ~ιψ{.4,'π} ~ Α. U Β και
-:ϊηε για χ&θε .l. Β Ε 31 (Χ)
= Α n Β. (Να Οε~χ-:οϊιν).
Γενιχ:i ::t', = (A.1J1c1·, Αι Ε ~Υ''(.Υ) εί,,:χι μί::t οιχοyέ,,ει:χ 1);.οσυν6λων
-:ov Χ, -:ό-:ε:
suμ(Λ1 : t Ε Τ) = sιψΓ/ = UΛι χα~
t~T
inf( A.t : t Ε '1') = inf .ι/ = ΓJ A.t
tεΤ
(ίi) '~στω τώp:1 -:ο μ.Ο.σ. (JR:x~) τότε γι:1 χ:iΘε f.g Ε Rλ έχουμε:
s,φ{f,g)(x) ~ (! V g)(.r) ~ n,sx{f(.c),g(.c)}
inf{f. g)(.r) ~ (! Λ g)(.r) ~ ωin{f(.r), g(.r))
Ομοι:1 κ::tt γ•.α οιχογένε•.ες ( fι )1c·1· fι Ε R.". ι Ε Τ.
1.8.12 ΟρLσμός. F.να μ.δ.σ. (Χ,~) λέγε-:αι καλώς δLατεταγμένο ::t',χ:iΓJε
u.--.οσ,)νολο .1 ς Χ έzει τ:pC)-:o δηλαδή 1π:ipχει το inf Λ χ:::ι:ι inf Λ Ε
Χ. Ε-:σ~ το inf Α
1.8.13 Θεώρημα. Οι αχόλουΟες p:ροτiσεις είναι ισοδ•)νχμες
(i) Αί!
(ii) sου Ζοηι). Α.11 Χ
τοc!λάχιστυ11 ένα μεyισπχύ στυιχε{ο.
μ.δ.π. τέτοιο ώστε χiθε
(iii) (Θεώρημα καλής δLά.ταξης). Δοθέντος ενύς
λοι.) Χ ι.)πάpχει μια διμελής σχέση
χαλώς το Χ.
lΊα την α:τόδειξ'J του Θεωp/1ματος αυτο,'; ~λ. :τ.χ. [16, §,J.2, pμ.179-181].

138. 120 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
.._ ~Υ:"ΕΠCΙCΣ ΤΟ'{ Α('.
Το θα~pημα δι:iταξης είναι ω:ουδαίο γιαe;ί μας
:_ιέl'!οδο α::όδε~ξης
χpειά:ζε";:;ι:ι Y.:iJi:o•.α μοpψή e;o1J λ('
(ί) Κάθε διαvυσμ:::ι:τιχίJς χG'ψος έzει μ•.α ~:iση
(ii) Για χάΟε: ζε:υγάpt συνόλων Χ χ:.:ι ·γ 11canJ (Χ):::; caixl (Υ) ~ C'a!'(] (Υ):::;
αιηl(Χ)
(iii) Γ•.α χ&θε αa.εφοσ(ινολο .ι Λ χ Λ ~ Λ.
(ίν) Η ένωση αpιθμi1σιμων σ1Jνόλων είv:::ι:ι αpιθμi1σιμο σ'Jvολο
(ν)
Ί._tΎ.:fι·
(vi)
στο λ(' με Υ.:iJτο•.ες ι;ιλοσοψ•.χο-μαθημαe;υ<ές
.,,_0 ΡΟΛΟΣ ΤΟ'{ Α._(; ΣΤΑ lIAΘHJ-IATIKA~
μc

139. 1.8 Συμτιληρώμα.τα. κα.ι Ασκήσεις.
ooασc,ocoτηccc ό:τως ;;..χ. αυ-:~
!'._ •- _, ..:"{(~ν: ,-'-•ν:-, '"'
εξε-:ϊωει το αξlωμα ::ο~:ό μί:χ
Η
ιδέ:::ι:.
121
ως σϊιμψυτη
α:τείpων σ-:οι-

140. 122 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
1 Απά.r;.ιεια και μεταβολf1 =>----,ΑC. ι
δηλαδ~ ό::0·1 υ:τά.pχουν ασαψ~ χ:χι μετα,3αλλό:1,ενα αντ~χείμενα δεν ισχύει

141. ~ 1.8 Συμτιληρώμα.τα. κα.ι Ασκήσεις.
με -:ον ο:τοίο η
,1,- 6-)Hr,,,,,c--
Χ·...(λ:.ί υpιομ:t νυ
Η. χα-:ασχε,:J:χσε
το λ(:.
σμα-::χ.
123

142. 124 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
r:ου ;-:ε:p~γp:Υηετα.ι στην ε;-:(;μενη 1ταp:iγpαψο.
1.9 Σύγχpονοι Πpοβληματισμοί'.
-::ου
ίίί)ι;;.ος ΙΞ-r..,φϊιοω.,ως μ::ί:λω .·J. ,ο:, Οι:λωΓ)ηωη.ιυ;), ο R1ηu11·c:1
αλλ& χ::ιι οι οτ:αδοl το1J έχαναν σχληpές ΕR•.θέσε:ις ε:v:::ι:ν--::ίοv της χαΕιολυ<fJτη--:::::ι:ς

143. ~ 1.9 Σύγχρονοι Προβληματισμοί~. 125
της
~ 1.- ν:" '·..-..,-.,./1.ο..:.'Ι ·- • ..c. • ,~r."-τ-~:...c." ~,·
σχετα•. στο γεγονός ότι η Υ.λiιΟει':J.. μιας :π:pότασης εξαpτά--:αι Υ.:π:ό την χα--:ϊω--:αση
γνι;'JΟΙjζ οιriν υ1.υί:.ι; ,:..ίpιοχύμ:1.1.οιt. Έιοι μ:l-..( 1.pύ.·..(Ofj μ.'ιυptί ν:.ι; tίν·..(ι ψc.:,)δr'(,
r;. :χpχιχό r;τά.διο γνC:)σης χ:χι αληΘf1ς σ' έ,,:χ με-::χγε,,έσ-:εpο.
(iii) JΙέθοδος εξ:χναγκασμού και μοντέλ:χ με τιμές σε μι:χ άλγεβρα
Boole.

144. 126 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
,,όλου:
_.11τουλια,,ο(; ασ:.υ?ο,Jς συνι'ιλοJ Y.:tL ;-:oJ -:ελιχά μ;-:οpε~ ισοΜ.ιναμα να εχ7p:tσ-:ε:ί
ως ~,Jσανος.
του pε:1Jσ-:o·J.

145. ~ 1.9 Σύγχρονοι Προβληματισμοί~. 127
(v) Πιθα.νοθεωρητικοl χώροι κα.ι α.σα.φ~ σ1Jνολα..
Ανεξάρ-:ητα. α::ό -:ις εξελίξε~ς,
ότ~ η έννο~α -:oJ συνόλου.
Στην συνέχε•.α Γ)::ι. σ1)vοφlσουμε -:ο ιστοpιχό της εισα.γωγi1ς των νέων εν­
νοιών συνfJλωv-
• T.cr-aν 15),('ar-laπ (19 18,-Η)): Θεωρία Θvσάνων ή Δραγμάτων {Sfiω.f
• Gωtlιcnιticc·k, Gin1uιt (1957 χα•. με-:ά): Τόποι τυυ c;r-υtfιι;rιd·iα:k.
• λ. Π.oliinson (1961): Λfη-σuμβατιχή ανάλυση.
• Col1cn Γ'.
Soloπιy,
Μf:Οοδος του εξχνχγχασμι)Ι) (Fοr6rι._ιι rιtι.!l!ωd) Scoll.
Μοντέλα τοι., Boolf;.
• Lcnν,Ψre (1964). Lcnnere-Tiernρ)· (1969): Στοιχειώδης Αεωpία Τόπων.
• K1·i1Jlcc(1965):Μοντέλα τω KΓipkι:.

146. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΚΑΝΤΟΡΙΑΝΗ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ
& ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
ΜΗ-ΚΑΝΤΟΡΙΑΝΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ποιοτικό άλμα
ποιοτικό άλμα

147. ΛΟΓΙΚΗ
(σημαίνον)
ΟΛΙΣΤΙΚΟ -
ΔΟΜΙΚΟ
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ -
ΣΤΟΙΧΕΙΑΚΟ
W E
N
S
Tα Μαθηματικά ως
Πεμπτουσία
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
(σημαινόμενον)

148. 130 ΚΕΦ. 1 ΣΥΝΟΛΑ
σ,,u,aλ1cοω'"α,,.χοi η.;611:0•. ;του α;-τοe;ελο,)ν χα•.
γενική γνωσεολογί:χ:
cοαγυ,,cώγs,ο, ".: 1•• Α .~:,~"ψ "
κ::tt τ•.ς μαΓJημ::η•.χές δομές

149. Βιβ)tογpαφ(α
[1]13.-ιnYi~e .. Τ., 1-uHlEt<·lιenH!n(l)·, ,Τ., Τlι,ι· Liar·. Oxfont lTniY. Ρη·~~- 19S7.
[2] A<:zel, Ρ., Νοη-ωι·ll Fο·ιίrι.rlιΛ 8ι;t.9. C:SLI Leι:tnre ~ote~. .'ol.14. CSLI
1-'11hliί:.-1tions, St.-i.nfoni, (~;ιl., 1988.
[:l] I3ell.. Τ. L.. Γrοω c1l1solnte to Ιοι:cιl ωc1tl1eω1-1tiι:~. 8yrιt!ιι;.<,ι~ 69, 409-26
(!9S6)
[4] Uell. ,J. L., 'J'opoHe8ωιΔ Loral 8~,t Th.eori~;H:Αη Jrιirod11.ctiorι. Oxfoni
Ί:"ηί:. Γ'r·css. 1988.
[5] UiΓkl1off, Ci.. Lαttire 'lΊιΡΜΎ, A.IS (!ollorι- 1-'nl11.YolXXV, 1Γd erlition.
19G7
[G] Rrνok, Τ. G.. Pin-ilcru:.%: Arωlhι.!I' Α.ψα~/ o.f Topoi. Γl1.Ω. T11csis. Αιιsι.
:Κηtiωι. ΓηiΥ. 1974
[7] Cίcsic1ski. Κ., 8cl Τlιωη; .fοΙ' lhι.! TΓor·k-iri,q Afa/}ι.ωι.alir:ian. Carη)1·i<l?;c,
1997.
[8] ηυι Dnlω. D. and ::Ionrna, λ. F., S'c:t.,·and Ιηtαιηι.f'iοrι. Λrι 0,ιιt/ίrιc~ o.f
tlu~DαH;loμrrιι;rι.t, Groningen 1972.
[9] ηυι Dnlω. D.; Docts. Η. c:.,.ηηιl ιlc S,Y<.nt Η., 8c:tc1:
αrιιl Αrιμl·ίαl, Ρeιψιrηοη 197S.
[10] D1-ιnlJe11, .J.V., Georgι-, Cηηtίπ ωΗl tlιe
Scicntffic Aπicτican., Yol.248. # 6,
[11]Ωcν1ίπ. Κ., T,09ir:rι.rid Jrifonrι.αliorι.. Oxfo1xlΓηίν. Γr-css, Η191.
l12j UeYlin, Κ, Th.e Joy of Set.~. S1)inge1· 1991.

150. 132 ΚΕΦ. 1 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[13] Κ. λθ. Υ.:::ι:ι Σι::tψαpίχ:::ι:::. Π.; Βασιχr; Λ 1pηpr;μένη Λviλυσr;, Π:iτp:::ι:
:ιrι έχδοr;η 1997.
[14] Gοοιlωω1. Ν., Tl1e k11rπving ωc1tl1eω1-1tiι:iω1. Hyntlι.o,ι·. (i() (1984) 21-:JS.
[15] G-οοιlηωη, :_f, ::Ioιlcωizing t,l1c1Jl1iloso1Jl1yofnωt,l1cnωtic·s. c1:ι;rιtfιαιι;. 88
(ΙΨΗ) 21-:!S.
[Hi] Hωnilton, Α. G., Nιι,rrιlHT!J,. 8ι;f8. αrι.rl A:t:orrι8. C:-unlπίίlge τ:ηiΥ. Press
1982.
[17j H.-ιllet. λl .. ()αrιtrπ·ιΔη 8ι;f 1Ίι,ι·οr-:ιι αrι.rl tfH; Liιrι,ι,tαtiorι.8 oj'
198.J.
[18] llersl1, Υ ~Vlωt .Λ1at/a;·ωa.tir8, Rωlly ? Oxfonl 1997.
Oxfonl
[19] lle·itt, Ε. , Tl1e rδle of (!onψ;H:tness in An,ιl},sis, Α.·ωfΤ. .Ma.th,..Morιtlιly
67 (197υ), 499-576.
[20] llrh;-ϊ:ek, Κ . .-inrl ,Jeί:11. Τ., lntπιd1ιrtion to 8Pt Th.,vry, 11,υα~l Uel<l<er
1978.
[21] .Jccli. Τ., Sι!l Τfιωη;, Aca.ιicn1ic Pr-css Η178.
[22] .Jol1nstont fl., Note8 011, Logir a:rιd 8Pt 'l'fa;oτy. (~ωnlπi(lgρ 1987.
[21] .Jnsι, /. ,-ιηιi ,"ρρsρ, .1., lJiHωiι~;Ting Modr:-rrι. Set l'h.ωτy. 11: 8~,t-
Tlι.ωn!lir: Tool., fol' Rυr:171 Afa/}ι.ι!rrι.αlir:ian. Α.Ί.Τ.S. 19D7.
[24] Kor:l<, λ., LPί:ontnriPr. _μ_ .-in(l λli!(J(ρlsen. (!. ,J., Sοιηρ Τ(ψοs Tl1P(JΓPtir·
οΓ Fiπίlcncss, 8ψ-irί,ψ!r Τ,α~/. /1/olcH-iri Αfα/}ι.. # 445, 20Ω-283
[25] KunC'H,Κ, S'c:tΤfιωη;. Not,l1-Holland, 1980.
[2G]T.arn1)cl<,.J., Tl1c inflιιcπcc οΓ Hc1·a.cliιυs οπ Ί.To(]Ct'n "TaιJ1crnalics. Τπ: .J.
λgac,c,i anιl R. S. C:olιcn (cιlc,) Scίαιf'ific: p}ι.·ι1υs}ι.υpfιμ tυdαμ. Rciιtcl (1981).
μμ. 111-114.
[27] L<ιYint S., Undr:-r8ta:rιdϊιιg t/ιp Iιιfirι.itP. ll;-ι1·y;1rd ιnin!rsίt)' _l-!n!ss,199.J.
[28] L,ην,ΨrΡ, 1''. .V.. Adjointness in fonn(l<Hions. lJialertiω. 23,(1969), 281-
2D6.

151. e ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 133
[29] Ln>YYCl"C'.F. Υ ι~unnt,ific1·s ηηιl Sl1c·nycs. Ιη: Λ(:tαι dϊι C/urιιπαι Ιrιtαrι.
ιlεΗ Mrι.tlι.8. Νία-, 1970. μμ. :)29-:J:J4.
[:!Ο] Lcnν,Ψre, F. '. cιnrt Sι:111-uωel, S. Η., Corι.aμt11.al Μαtlι.επι.rι.t·ι,ι·8: Α P.ι.r·Hf
lntτod11rtiorι to Oαt~;g01'1:e8.
με,,η έχΩοση: Unff;-ιlo, .l. Υ
ι;ηi'. f>rρss 1997. χαι ::poηγrHJ­
'orksl1op (1991).
[31] Μαθηματιχή .l!JπιθεΔρr;ση. K.ll.E. 1978.
[32] .llonn,ι, Α. !'. Tl1P r:οηα-φt of !Ίιηι·ιίοη in ιl1ρ 19ι.11 .-inrl2οι.J1 C!nιnriPs.
in Γar-licυ1ar- νiιJ1 Rcgaixl ιο l11cJ)ίscιtssions )c.γccπ Raί1·c. Ro1·c1.aπc]
Λη:lι·iυι; _fινrrι Ηίc1tuπι υ.f α;αι:t Sι:·iαι.cc. .'ol. 9, # l, (1972).
- 84
Σrιuει(Jσειc στrι ΣuνολυfJεω.οία. Εχδ Νεψέλη
έκδο~η SτπiHgf'Γ '~rl.-ιg). '
[:4] l"ι-,lsoll, Ε .. Νοη.<,frι.ηΔαηJ Αrι.rι.l;ψ,ϊ,, Ι3ι1'3λlο σε εξέλιξ'fί . .λιαΙΊέσιμο αr.ό -:ον
ισ-:(;: http://www. math. princeton. edu/fielson/index. html.
[:,)] Π..ιsiο·1-1. Η., Irι.tτor1'ιJ.(:f'iorι to Μοιlεηι MatlH;rrιati!;.<,, ~ortl1 Hollnn(l 197:ι
[:Η)] Πηl1ίη .. Τ. Ε .. Γi11ίt.e Sι-,t.s, Μαt!ι.επι.rι.t'ίr;Η Magaz'i'rι,ι·, 197:).
[37] Πυc·kcτ; Π... Irι,fin·it:ΙJ arιd tlι.c .11!·irιd: Tlι.c Sι:·iαι.cι; αrιd Γlι:ι1υsυplι:υ u.fIrιfi­
n,ι,tι;. I3i1·kl1tίn~e1-. 19S2.
[:Js]Πn<·ker. Ιϊ., M'i'rι.rl Tool.,: TJu; Μrι.tlι.ιγιι.αf'ir:Η of Ιιι.fοηrι.rι.t'ίοη, PP11gnin
Uooks 1987.
[:9] Πntl1ing. D., Sorne Defi11ίt.ίo11s in t.l1ρ αηΗ:eμt of fn11ι:tio11 fi:ωn .Τ.
lJρrnonlli to .1. Uoιn·lxiki, '1Ίι.r: .Λ1αtlι.. 111.tr:tι "ol. 6, # 4. 1984.
[-±0]Sr:ott, lJ., Α μroof of thf' in(lt-φendenι·ρ of thf' C:ontinnnω ll)'ρotl1esis,
Αfα/}ι.. 8:ιμ,Ι.r:trι8 Τ!ι.cοΓ:ιJ. Ό1 1. # 2, 1967.
[,·11]Ycl1cnia.π, n., Ηοιυ /ο Ρrο111.ό ΤΙ.. Car111)1·i<l?;cΊ:"ηί.-. Γ'r·css (199'1).
[-±2].'ilenkin, _. Υ.-1., lrι 8ωπ1ι of lnfirι.it1;. Uil(hii.nser 1995.
Ελληνυ<ά:: Λvχ(ηr&5vτας το ~1πειpο. Εχδύσεις ΚΛΤΟΠΤΓΟ.
[-±3]ΥομCηlω Γ., Λfαtfιαrιαtίι.:ι, tfιι.: Λltarιatίuc Sι;f Τlιω·ι·μ. Β. G TωlJncr-,
Lι-,iμzίg 1979.

152. 134 ΚΕΦ. 1 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[--±4]ΥομCηlω, Γctr-, Tl1c 1Jl1iloso1Jl1ia1lfonnιlations of nltcπ1atiYc sct t,l1cωτ.
Irι.t. ] Gf;rι.εταl 8y8ffγnH, 20 (1991). 11;1-126.

153. ((Τις μέpες α'Jτές ο iyyελος της Τοπο­
λογίας χαι ο ιJιάβολος
Αλ yεβσας, μάχονται yια
Οενός σ•ηχεχριμένου
Ffr:πnrι:rιrι. ΠΊ::ι;l
Κεφάλαιο 2
ΑΠΟ ΤΗ ΓΕΩwΙΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ
ΆΛΓΕΒΡΑ:
Μια Εισαγωγή στη Γεωμετρία
Μετασχηματισμών.
2.1 Γεωμετpία και Συνθετική Σκέψη.
ocα,coα·ruαπ•;tJω,c -::η β:χσιχή Θεωρία των Γεωμετpι-
_,1ecαο•π,,,α,•,σu,ω•, ή εtνα~ Ωι:χ7οpε:-::ιχ& γ,,ωσ-::-!1 . -::η l'εωμετpία της
α~ό Μο σΥ.ΟJτ•.ές: --:Ύj συνθετ~κή χ:χι την αναλυτική.

154. 136 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
τ:pοΟ:τοθέ-:ε:ι γνώσει;:: Λv:iλυσης, 'λ).:yε,:::ίpα::: χ::ιι (-)εωρί:::ι:;:: Κ::ιτηγοpιG')ν α:τεvθ'J-
6.
Στpοr;.ιές ως :n:poς σ-:αtlεpό κέντρο χ:χι -:ρ~γω,,0:1,ε-:ρlα.
χαι εξισC:)σεις για
c,c,~λτ,μd<·cωv (χα:-::.ωχε:λς.
:χναλ·;τ~κ~ μελέτη γεωμε­
:του :τpοηγουμένως λ'Jσ:tμε
Αν::tλλοίωτ::t στο•.χεία, ιδιοτιμές χα•. ιδωαν(,σμ:χτ::t.
8. Ί.ΤετασχΎjμα-:ισμu')ν με -:η χρ~σΎj μ•.γ::tδιχu')ν ,:;ψ.Ομών - Α,,τι-

155. Ευκλείδεια
Γεωμετρία
Γεωμετρία
Riemann
Γεωμετρίες
Cartan
γενίκευση
γενίκευση
γενίκευση γενίκευση
Γεωμετρίες
Klein

156. 138 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
χα--;:::ι:σχε:vή, 1;;τf) χλlμαχ:::ι:. (χ--;ίpια
Αχολουtlώντας το,, [:l'7,σελ .
.ης 'ν,,οιας τ, 1ς Ο/'1'.,ς, ε:τΟ/Ε"·'ς χα.""
(ί) Η .--.pu')--;η εlνα•. :χ~ηή τ:ου εισi1γ::.:γε σ--;η,, ουσlα ο F. Κ1cίπ. χαι δ•.ασυνδέε:ι
--;ην έννο•.α ":Ύjς ομ:iδας με: αυ--;~ της Γεωμετρίας, χ:::ι:ι με: την οa.οία Θα
ασχολr/!ούμε σ-:Ύj συνέχεια.

157. ~ 2.1 Γεωμετρία. κα.ι Συνθετική Σκέψη 139
το
-:η σ1)νΓJε:-:ιχ~ χα•. σχέ:(η. στόχο :::ω-:ό
ε:ξέλιξΎj χα•. χυpίως οι -:pό:τοι ε:ξε:•.χόνισης των
Ο τελ~χός στόχος, !Ία r.pέr.ε:~ :::J.,,τα ,,α είναι
της l'ε:ωμε:-:pίας, :του Θα σJ,,Θέ-:ε:~ -:ο
δοσμένο γε:ωμε-:p•.χό.

158. 140 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.2 Συνθετική Γεωμετρία Μετασχηματισμών
Σ-:Ύj σ1)νέzεια Οα δu')σουμε
γεωμετpίας με-:ασzημ:::ι:τισμών,
έσ-:ω !,' χy_ι_ ένα
ιχ:χνο:τοωι)ν -:α γνωστά :χξι(;Jμα-::χ:
Αξίωμα 1. ~ι)ο δι::tφοpε:τιχ,::Χ σΎjμεlα χαΟοpίζο,)ν μί::t χ:χι μόνο μία ε:~;ΓJε:ί:χ.
Αξίωμα 2. l.:ε χάθε εJΘεία τουλάχιστο Ωl!ο σημεία. Υ:τάρzουν -:οJ-
)/.ι.χω-:ο τρία μs-σ,;•,c•1Ιlε•.αχ> σημεία.
Αξίωμα 3. (F.υ;,cλεlδεω αξίωμ::t τ(,)', ""'""'''"·'''''!·Α:τό ένα σημείο Ρ α-:ός
ε1Jθείας z ua.:ipzει μlα χαι μ6νο μία 11:01J διέρzεται απ:ύ το Γ χα•.
δε,, -:έμ,,ει την ε.
Το σ'Jνολο των σημείων X::tt ε1Jθε·.,~ν τ:01J •.χανωωω(ιν -::α a.ιο :τά:νω αξ·.,~μα-:α Θα
τα ονομά.ζο·;με αφινtκό ή ομο;:αpαλληλικό επί;:εδο. Το Ευκλείδειο εr.ί:n:εδο
εί,,:.ιι μι:t ειΟιχή ε,,(;ς :.υ?tνιχο'J ε:τι;-:έΩου. Ωστόσο στη
λέμε: ε.--.ίτ:εδο ι::'. Οα ετ:ιμένrJ1)με στον :χ~;στηpό
ένα εa.ίτ:εδο a.ov ιχανοτ:οιεί το Λξίωμ:χ -:ων ,,,,οΛ,,ψ.ws.
Θ:χ το Ε·1κλείδεω ε:n:l:τεδο.
-!1 δεν -:έμ,,ον-::χι ο,,ομ&ζοντα.ι ;-::χp:iλληλε:ς.

159. ε1
ε2
ε1
ε2
(a) (b)
∞
∞
∞
P
ε
ε
ε
P

160. O P P'

161. O
A
B B'
A'
C
C'
§ 2.2 Συvθετιχή Γεωμετpία. Μετα.σχημα.τισμών 143
Σχήμα 2.5. Μετασχr;μα-;ισμός τοl) Δ(Α R(ι') στο Δ(Α' R'C' ).
(:,) Αν r ιf. Ε, τό-;ε -;ο Ρ' = Μ( Ρ) εi.να•. το σημείο αείνο του ε;ιι,-έδου,
,-ov χ:iνε•. -:ην εvθεί:χ ε μεσοχάθεω -;ου εvθ6γpαμμου -:μf,μα-:ος
ΡΡ' .
(ii) Ομοlως, :χν () Ε ιf, τό-;ε ο με-::χσχημ::ιησμ6::;: Μ : ιf -> {: θα λέγετα•.
συμμετρία ως προς κέντρο το Ο ( ή μισf, σ-:ροφf, ) βλ. Σχήμα 2.ϊ αν-
(α) Αν Ρ = Ο , -:6τε Μ(Ρ) = Ρ, δηλαδ·ή -:ο Ο εί1;:χι ,,-τ:χθερό f, -;ι.v:χλ-
λοtωτο σημείο του μεταπχr;μα-:ισμού χ:χι
([}) Λν Γ f:.Ο, τύ-;ε -;ο () εlνα•. το μέσο του ΡΓ', 6τ.υυ Ρ' =Μ(Γ) .
Σvμ;Jολ•.χ:i Ο:χ γράφουμε αvτι Μ, ff 0 . R:~:ίσης, αξίζει να σημειωΟεί ό-;ι
r, συμμετρί::ι ως τ:pος -;ο Ο. τ::ω-;ί~ε-;αι με ένα μετασχΎjμα-:ισμϊι στporprjς
κατ,i 180". :χπ:' όπ:ου χ::.ι.ι τ; ισοδ·Jν:χ~.1τ; ονο~.1ασlα: :.1ε-:ασχημ::.ι.τ~σμός μισής
σ-;ροφf,;:;.
2.2.4 Οpιπμός. t-Λι.α ι.σομετpια είναι ένας μετααχΥjμα-:ισμ(Jς .Μ :του δ~α-:ηι:εί
τ~ς α~οσ-;:iσε•,::;: των σημείων, δΎjλ::ιΟi1 αν Λ' = Μ(Λ) χ::ιι Β' = Μ(Β), -;ότε
IADI= ΙΑ'DΊ
:!.:!.5 Θει.'ψημα.. Οι μεrασχημαrιι1μη/ συμμεrplας είναι ισομεrρiες.

162. P
P'
A
B
C
A'
B'
C'
(ε)
A
B
C
O
A'
B'
C'

163. A
B
PP'
ε
Β'

164. O''=Sε1(Ο')
O'=Sε1(Ο)
B
O
(ε1)
O'=Sε2(Ο)
B
O
(ε2)
B
O
(ε2)(ε1)
3η
λύση2η
λύση1η
λύση

165. (ε)
(κ)
Β
Β'
P
AA'

166. θ>0
θ<0
Ο
Ο
Α
Α'
Α
Α'
Α
(κ)
Χ
Υ
Χ'
Υ'
(ε)
ε'=RA,60(ε)

167. B
A
Γ=RA,60(B)
(ε1)
(ε2)
(ε3)
(ε'2)
2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 149
ισό:τλε:υpο. Ομοlως Χα•. με --:Ύj δε:1)τε:pΎj λGση. Πϊηε: 1JΊ1:άpχε:•. μι:::ι: λίιση Χα•.
:τότε χ:::ι::_ιί:::ι:;
2. (α) .λοΙΊέν-:ων
στεί έ,,:ι..
βλ. ~Χf1μα 2.14.
-:plγω,,ο, r:ου να έχει μι:ι.. :ωpυψf. σε χάθε ευr:ιεlα
(;3-)Το ίδιο :τpό;3λημα, με τη
Αt)ση.
(α) F.:τιλέγο~ψε: ένα :ι..~,ΓJ:ι..ίpε:--:ο σ"Υjμεlο ..-ε.--.ί --:ης
Σχήμα 2.14.
(;3) Η λύση είναι :ι..νάλογη της (α) και ανάλογα με τη ΙΊέση τω,, κϊJΧλων
έχουμε 0.2 ή 4 λGσεις.

168. A
B Γ
Z
E
Δ
Ο1
Ο2
Ο3
Ο'3
120o
120o
120o
120o

169. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 151
,,c;---+[' Ει::t λέγε:-:::tι πα.ράλ-
~, " . . /', ' '
οι~ο πcφαΛΛΤJΛες ε.'J'πιες, τοτε η
Ξ 1 χαι ::2 είναι μια παpάλληλη μεταφοpά. Av
τόπ
μεταφοpά τοu σημε(ο,'J •1
σ,'_;μμετpιών ως π,οος τr;ν Ξι
2λ ωοδ,'Jναμεί με τη σc!ν-
ΑΠΟ..l~ΙΞΙΙ:
του .--.1λ", έτσι
του Α..--.1 και η
-il
2.2.12 Παράδειγμα. Να χα.τασκευασ-:εl ε:1J8ϊ1γpα.μ:.ω τμf1μα. ΧΥ,
με Ωοf:Jέ,, λlJ ώσ-:ε Χ Ε χα.ι γ Ε χ1 , όr:ου %1, χ1 Ωύο
2.17.
τον χι)χλο %;ολισΟαlνοντας το,,
χαι Χ2 χαι τ::t 11:pfJτ1πά: -:οvς
Πότε: έzο1J:1,ε :.ιί:χ και ::ότε: καμlα λύση:
χ:χτά: .--R. Τα σ"Υjμεlα
δίνουν -:ις ζητο(ιμε:νε:ς
... ΙΣCηΙΕΤΓΙΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ C-:-)ΕΩΓΗΙΙΑΤΑ.
2.2.13 Θεiψημα. Οι στροφές χαι οι παράλληλες μεταφορές ιπομε-
τρίες.

170. λ
A'A A''
A'=S ε1(Α')
ε1
ε2
ε2
A''=S (Α')
(κ1) (κ1') (κ2)
Y'
Y
X'
A B
X

171. B
B'
A
A'
θ
θ
Ο
~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 153
Σχήμα 2.18.
Παράλληλες l.Ιεταφορές. λν A.D ε:lνα~ ένα χα~ ΚΛ -:ο
cροοα,.,ατ,Ψc,μέ•,ο -:μ~μα της ολtσθησης, -:(;τε το ~ταpα.λλr/ό-
= ΚΛ. χα•. RR' = ΚΑ, &:ρα ....R= A.1 R1 -11.
ισομε:-:ρίε:ς έ"zουν οριστεί ως 1-1 χα.ι ε::π:l uccαοcιτ,:,ατ•.,ο:,ο•.
δοv 11:01J δι::ηηpο(ιν τις :::αοστάσε:ις zαf>αχ,ηp< ζο,,c,,
ό~τως: απειχο11ίζοcJν σε εcJfJείες ypαμμές.
ϊων yω11ιώ11, ϊην πcφαλληλ[α χαι τη χαfJετότητα των εufJειώ11
τ'τσ-σ /σ-:,
λ.Ρ=Α.'Q. JJ13=QlJ1 Y.:.tιλlJ=λ1 131

172. O O'
A A'
B B'
M

173. A
P'
P''
A
ΓΒ
P

174. A
B
A'
B'
B1
Γ Γ1
Γ'
ε1
ε2

175. A A'
B B'
Γ Γ'
ε
2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών
(β) Τα. Δ( 4.RΓ) κ·:.tί,
Παίρνουμε μια
Σχήμα 2.22.
157
Το 11:ω τ:ϊ(νω β-:::ω•.χό θει~pημα αλλΥ. χαι το γεγονός ό--;ι όλο•. οι βασιχοl
σ•->•δοοωμ,ο•,ς μιας,
τptG')ν αν:::ι:χλΥ.σεων. μτ:οpο(ιμε ν:::ι: ~pο'Jμε fJλες τις δ~;να--;ές μοprιές ισομε--;ριών:

176. 158 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
(ί) ::Ιι:::ι: ::tν:iχλαση ως 11:po:::--;Ύjν εvθεί:::ι: ε.
(ii) ~'Jo αναχλά:σεις Υ.:::ι:ι οι ά:ξονες ε1 Κ::tt Ξ~ να είναι τ:.αpάλληλο•..
(iii) Δ(,ο :χνακλάσε:ις κ::tt οι άξο,,ε:ς ΞΊ χα•. να μη,, είν::tt :τ:::φ:iλλr/οι.
(ίν) Τpε•.ς :1,,::οcλϊωεις κ::tt όλοι οι --:pεις ,::Χξονε:ς γ:ι. είν::tt ;.::φ::Χλληλοι.
(v) Τρεις :χνακλάσε:ις κ::tt όλοι οι :iξονες δ•.έpχον--:αι ::ο~:ό -:ο ίδιο σΎjμεlο.
(vi) Τρεις α,,:;ι:χλάσεις χαι οι άξονες ,,:;ι: μην εtναι Μωι :τ::.φ:iλληλοι ή να Ωιέp-
γι,:1
2.2.20 Θεώρημα. 'Rστω ι)τι οι
SΈ2 ,.5'Ξ 1 = Ro.20
ει::ίσr;ς 5,~1°S',-1 = Ro,-2(j
ΑΠΟ..l~ΙΞΙΙ:
μισή στροφή ή χεντpιχ-11 συμμετρία,
-il
μια α:viχλα-
(ii) Α v οι ε•JΟείες διέρχοντχι απ:ιJ το ίδιο
fJε{ε:ς) τότε r;S',-:3u8c1 ".)'c1 είναι μια ανάχλασr;
ΑΠΟ..l~ΙΞΙΙ:
(ί) 'Εστω ε1Jθεία Ξ·1

177. O
P
P'
P''
ε2
ε1
ω
θ ω
φ
φ
dd
ε1 ε2
ε4 ε3

178. O
ε3
ε4
ε2
ε1
θ
θ
160
(ii)
ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Σχήμα 2.25.
Ξc3 °5,~2 uS',- 1 είν:::ι:ι μι:::ι: :::ι:ν:iχλαση. Το
των ΤpLών Ανακλάσεων, ισχύουν
Ωε χα.ι τα αντtσ:pοφα -:ων (i) χα~ (i·i). --11
με:-:::ωχημ::ηωμο(,, τ:ου γι:χ τ:pοφανείς λόγο~,ς
ι;::iς ~ ολισθαlνουσα ανάκλαση (!'ζ1ί(]C
μεταφοράς ϊη::tν
για Υ.:i~ε: fl Ε
μεταφο-
έτσι ώσ-:ε:

179. ε
Α Β
P2
P2'
P1
P1'

180. A
B C
ε2
ε1
ε3
Ν
Μ
Α'
B'
B*
u

181. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 163
2.2.25 Οc~ισ~.ι6:::. ΛΙια
ριττή) αν Έ:ίν;ι -:; γι,,ό:1,ενο
όr.01J /.,ΕΝ
χαι, γνήσια κίνηση
ΛΓ= .. 0SΊcι
.... 1Ι CXXOIA ΤΟ'{ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟλΙΣ:[()'{.
ισοΩυναμlας ε::τί του 2' ;-:ου ε::τ:iγε-:αι
χ:iΓJε: δ Ε o'L!/ :C::::;τ -:ου σ~;,,ό­
διε:Gθυvση μι::tς ε:1Jθε:lας
:τ::tpΥ.λληλε:ς
οpίζε~ χαι μ~α σχέση ωοδυναμίας ε::τί του

182. 164 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Εχτ6::: :ι.π:ύ -:ην έννοι:::ι: της διε'JΘvνσf::: Ει::t θέλαμε γχ
του Ο ως :τpος την ::
με: μ•.α κλειστή ημιευθεtα ~ -::ι.:n:λϊι. ημιευθεtα. Το
χοpυ,t•ι/ ·ιΊ αpχ;ί, ϊ1 δε: ε:ί./Jε:ία φορέας. 'ΙCστω τώ~:ι η
Χ;;::; Υ Χ, Υ Ε ε χα~ τα. Χ, Υ βpίσχο,,τα.ι ::pος το ίδιο μέρος του Ο
χλiσεις
pιτ-:C:)ν χα.ι αρ-:ίων ισομετpιών. ιπο:1,ε-:ρlα χα.Θοpίζε-::χι :χ:n:ό -:pί:χ
μη-συνευΗεcα:ο> σημεlα χα.ι -:ις ειχόνες τους είναι ::.φχετό να Θεωp~σουμε -:ο

183. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 165
Σχ'fιμα 2.28. jisί:l1~1·: 1lοvτέλο μ'J-1':υχλειhειας lΈ:ωμετpίας. (1-'oinr:,1.r~)
2.2.27 Ορισμός. 'Jiσ:ω Χ1 , Χ1 ε f,'y. Θ:.t
(διο προσανατολισμό αν 'J μοναδ•.χ:i
στέλνει το Χι σ--:ο Χ2 είν:tι :ipnα, δ•.αι;ορε--:ιχά
αντίθετο ;:ροσανατολισμό.
ότ:ου Χ0 αυΟαίρε--:ο σ--:οιzείο --:ο~, !.,'j'.
~ {I(X 0 );.f Ε ,Γ)
2.2.28 Ορισμός. 'F:σ--:ω Χ0 έ,,:t αυΟαίρε--:ο σ--:οιχειο --:ου !.,'j'. .-.ο~, O:.tτο ονομά-
ζοvμε β:iση αναφοράς. Τό--:ε ένα στοιzείο ΧΕ Θα λέγε--:αι ό--:ι θετι-
κό προσανατολισμό (:tν--:ίστοιχ:t, αρνητικό προσανατολισμό) αν Ε /:/
(:tν--:ίστοιχ:t Χε
Αν :tν--:ί το,) Χ0 ο.--.οιοδ/1τ:ο--:ε &.λλο σ--:οιιείο του
,.Cf, --:ό--:ε το σημείο ""''σ",αcc,Λcσ'οο',

184. E H

185. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 167
.._ Η λΛΓΕΙ3ΡΛ ΤΩ:' λlΕΤΛΣΧΙΙλl..ΤΙΣΙ.Η!:' - 0ΛΙΛ.lΕΣ.
(iii)
Ro.l:! · Ro,-(j = -ί ~ S · /3,.= ί
ό;του i είναι ο --:α1ποτυ<ό:;: με:τασχΎjμα--:ισμός. 'Ετσι οδηγο'Jμ:::ι:σ--:ε: σ--:ο
-:ε:λε:1Jταίο ερώτημα:

186. 168 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
6λο.
(6:ρτια ισ.) · (:ipτιJΙ ισ.) =
ισ.) · ισ.) =
ισ.) · ισ.) =
ιπ.)
ισ.)
Υ;-τ:ipχε•.
;:ο•; έγι,,ε να
_:_- ··--·····'--ε-··· ως
ισ.) · (περι:-,·~ ισ.) = (περιcπj ισ.)
δηλαδ/1 ωωλουθο,';ν τους νόμοJς του ;:ολλα;:λασι::.ωμrΗJ -:ων γ,,ωστώ,, σ'Jμεtων
"+,_,,-:ης 6:λγ(:1pας.

187. 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 169
2.2.29 Ορισμός. Έσ--:ω G ένα μη-χε:vfJ σGvολο χα•.,
μια εσωτεpικ1ι ::pαςη. Τότε --:ο Οιαταγμέ,,ο ζε,~γος (G. *) λέγε--:αι ομάδα
(ί) Προσεταφιστική Ιδιότητα: Για κά:θε: J."••1J,z Ε G.
Χ*ι1J* =(X*.1J)*Z
(ii) Ύπαρξη ουδετέρου στοιχεlου: Υr:6:pχε:ι ένα σ-:οιχεtο Ρ Ε C -:έ-:οιο
u')σ--:ε:
= χ * (' = χ για χά:Θε: χ Ε (;
(iii) Ύ:::χpξη αντιστρόφου στοιχεlοu: Για κά:θε: χ Ε (;, πϊφχε:ι ένα σ--:οι­
χε:ίο ,1·- 1 ε G τέτοω u')σ--:ε:
τ6τε: η
ομάδα.

188. 170 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.2.30 Παοαδε(η.ιατ:χ. (1) Οι αχέpαωι με -:Ύjν τ:pύσθεση ::η:οτελοGv
ομ&δ; (Ζ, -+
(2) ('ίl.1.1,,+) οι 6:pτωι :χχέp:χιοι με -:1ιν r.ρόσθεση.
(3) (Q·;+) οι pητοl με την :τp:iξΎj της τ:pύσθεσης.
(4) - {OJ,·) οι pητοi. ο•. διάφορο•. του μΥjδεvfJς με την 11:p:iζη του τ:.οΛλ:χ-
:τλασιασμο·J.
(5) (IR.+). (R - {Ο};·). Ομοlως με το1Jς τ:pαγμα-:ιχο,)ς.
ό-:ι :::ι:ρχετές α:τ6 τις ουωγέvειες μετασχΎjμα-:ι-
η ... ,,~ =--'--·-..-· t: 'Γ'--,.:.,..,,._,._ >JΙ:,W-'fiί'-""'' ί,~) LΛJ ,W
πέ8ου 8ηλα8!; μποισχημcπιπμώ11:
1-1
: 6' --------> 6'
μια ομάδα με ττ;v πpάξr; της σUνfiεσr;ς (ήτοι., yιvo-
(ii) Έστω .Υ το σ!Jνολο όλων των ισομετpιών. η (.Υ, ·) είvαι μια ομάιJα.
(iii) Το σUνολο όλων των μεταφο,σώv .'Υ χαι των σφοφι,)ν
ομά()q (._?U>i?.·)
σχr;μrπίζοcJν
(ίν)
Α.ΠΟ.}.1':ΤΞΤΤ:
μ7, ·) χαι οι στpοφές ως πpος στrχθε,οό χέντpο (/i'o.
r.άν-:ο-:ε. λr.ομέ,,ει ~ :n:pοσπα.φιστ~­
Ε ./t τό-:ε:

189. M2
E E
EE
M1
M3
M2 M1M3 (M2 M1) M2
E E
EE
M1
M3
M3 M2
M3 M2) M1(

190. 172
(vi) Εί,,:.ιι ψανεp(;. --11
ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
η σι)yfJεστ; ιJUo στ,σο­
. Ησ.r,~ - Ηο,ΓJι--τGJ
2.2.32 ΠόρLσμα. Οι γνήσιες χινήσεις ./ 1 (άρτιες ισομετpίες) αποτελο•)ν
λiω-1.r:ΙΞΗ; Η :.ι.'ιύδt-ι~ι1
το-:ε = ,;6:pα. Ξ,
υ ιυ γι,γυνιJ;, ι) ι•. CJ.ν .'3, μω ·J.νlJ..v.λ:.:ι:υιι
Ji;-:ίσης Υ.:ί~ε γνήσ~α κίνηση είναι χtνηση, δηλαδ/1 ισομε-:pία Y.:tL έτσι η ;-:pοσε-
ταψ.σ-:ιιοj ιδι6τη-::χ
::t',Υ =
Τέλος η
Λl1.~Η2 ε
J'o γ•.νι'Jμενο δ(ιο γνήσ•.ων χιν~σεων είναι
Ύj αν-:ίσ-:pοι;η μ•.ας γνήσ•.ας κίνησης είναι γνήσια
σημε~ώσει
μι:χ σzέση
Χ γιατί Χ = 'i(X) χα~
'""(; Χ εr:ίσης γιατt
Λf Ε G, -:ό-:ε: κ::tt Χ = Λ1 1 ("Υ) χα•. 1 Ε (i.
ιδι6τη-::::ι: ισzGει για-:ί αν ·γ = ΛΙ1 (Χ) χα•. Ζ = .ΛΙ2(Υ),

191. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 173
2.2.34 Ορισμός. Η ισοδ'Jναμlας 11:01J χ:::ι:Θορlζεται α:τfJ έν:::ι: σf:μεlο
Χ ε ι<: -:α1Jτίζεται με το
GX ~ {Μ(Χ) IM ε G}
χαι ονομ:iζε-:αι G-τpοχιά του Χ ε f,'.
των σ--:pοφ,~ν ως :τpος έν:::ι:
Ο χύχλος J":01J δ~έpχε-:α.ι α:τfJ το
μι:.:ι: xl,.lo fj ιοuδιη1.1.μί1.1.ς,, ,ι) ιt­
ομάδα μετασχηματισμι.>ν.
f χα.ι p:τ είναι μεταjjα-:ιχές. 11 ομάδα _yτ ι'ιμως έχει μια
Για χϊ(Οε δ~)ο σΎjμεlα Χ. Υ ,);.&:pχει ένα χαι μόνο ένα στοιzείο Λf ε
"7+ με Υ = Λf(Χ). Τέτο•.ες ομάδες ονομ&ζοντ:::ι:ι απλά μετα;,ατικές (sinιply
transitive).
Ε;:ειδή (; εtναι μια ομάδα, η cΞc ε[ναι μια σχέση ισοδυναμ[ας. Κ:iΓJε
ιδι6--:Ύjτ:::ι: --:ώρα, .--.ovσzετlζετα•. χ:::ι:ι τ:εpιγρ,:Χι;ε--:αι α.--.6 τη G, είναι
:n:ου αναψέpε-:α.ι r;ε ισοδ,~ναμα σχf1μα.τα και δ~α-:ηpείτα.ι μέσα. α.:n:fJ α.·π&.
θεώρημα ή ιδιότηsα σχεsικά με γεωμετρικά σχήμαsα, πρέπει να
αληθεύει για όλα τα G-ισοδύναμα σχήμαsα.

192. 174 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.2.36 Ορισμός. Έσ-:ω ((;;*)μια
(;. Α,, (Η.*) εί,,αι ομά.δα τό-:ε α1π~
χ:::ι:ι Η ένα υ.η χενύ ~ποσGvολο το1J
υ;:οομάδ~ ~ης (G, *).
Κ&θε ομά:δ:::ι: είναι έ":σ•.
τελεί-:αι αr.ό τη μονάδα -:ο•; α:n:ο-:ελεl 1_ιια υ:τοομ:iδα.
λέγον-:αι χαι τετριμμένες υποομάδες.
2.2.37 Θεώρημα. Έστω (G, *) μια ομάδα Αν Η ς;;: (;.
uποομά8α αν:
(ί) Για χά.Θε .Ι', :ι; Ε Η. χ* :ι; Ε Η και
(ii) Για χάΟε χ Ε Η. Γ I Ε Η.
το σGvολο 11:01J α:το­
:χ·;τές ·ποομ6:δες
(Η. είνοιι μια
l'α (i), (ii) συνοΥίζον-::.ιι στην ακόλουθη ισοδ6,,αμη σJ,,~~χη:
2.2.38 Θεώρημα. Λν Η ε{ναι
xHJ;-l είναι μια uποομάιJα της
υπ:υομiδχ της(;, τύτε yιχ χά&ε: .ι Ε (;.
ισομοpφιχή της Η.
λ11u..1.1c:ΙΞΗ: Έσ-:ω Ύj συvά:pτηση. /: c;----+ c;.τ:011 ορίζεται ως:
f(/,) ~
11 f είναι ένας ισομοpψισμός -:ης G' σ-:ον ε:tJτό -:ης. δηλαδ/1 ισχl!ει:
:= {.1:iι.ι:- 1 ί i1 Ε 11} ε:Lναι μ~α
ότ•. = J(J/) συνετ:,::Χγε:τ::tt Τι= fι'.
1 = J:!ι'χ 1 =? fι = χ 1J:fu

193. T
M
M
M T M-1
Σ1 Σ2
Σ2'Σ1'
Σ2 = Τ (Σ1)
Σ1' = M (Σ1)
Σ2' = Μ ( Σ2 )
§ 2.2 Συνθετιχή Γεωμετpία. Μετα.σχημα.τισμών 175
Η ομάδ:χ :ι;Ηχ-1 λέyετα•. συζυγής ,;ης Η. Μια υ:τοομάδα Ν λέγε:αι χ:χνονιχή
:χ-..; Ν =!ι:Νχ-1 γι:-~ χάθε ,ι: Ε G. Γι:χ μια κ:χ-..;ονική ω:οομάδ:χ έ;(ΟJμε:
Ν:ι: =:ι;Ν
2.2.39 Πρόταση. Η ιJποομ6:δα των μεταφοpt:Ίν § είναι χανονιχή υποομάδα
τω~ι ,,fF ΧrΧ! .9'"+.
ΑnοΔ Ρ.ΙΞΗ: .Ηια Τ εtνα~ έ-..;:::t γινόμενο δ6ο αν:.tκλ6:σεων ως ;;:pος
τ:αράλληλες ε:;Οείες. Ύj ;τ::.:φ:::tλληλί:::t δι::ι.τηρείτ:::tt α:τό τις ισομε--::ρίε:; Μ, :iρα
Μ ΤΜ-1 cίv~, μ·.·:t μ:::::::υ;σp± γ·.α χάθc Δvηση ΛΙ ε ..Υ χα•. γL::t Χ±θc Τ Ε .'Υ.
Οι χ:χνον~χές !Jr.οομ6:Οες είναι σ::ο:Jδ:χίες γtα τη γεωμετρία. Η γεωμε::ρική
τους (Jημ:χ(Jί:Χ είναι η αχ(;λοljθη: Ίi.σ-:ω γι:χ :::χράΩειγμα ό:ι Ξνα γεωμετι;ιχ<'Ί
σχήμα Σι μετ:χσχημα:l~ε:αι στο Σ2 με ένα με:::χσχημ:χτ~σμό Τ ε Η, όποl) Η
εί-..;::,:ι χ::,:νονtχiι uποομάδ::ι: της .Jf. Αν τώρ:χ .:11Ε &':
( ~ - -~:
1 . ' /
j Ι ι
j ί )
~ ~"- _..,,.
Σχήμα 2.31. l'εωμε:pαή ερμηνεία ::ων κανονικών υποομάδων.
τόcε Σ~ ~ ;'vJ(Σ2) ~ Μ( Τ(Σ, ) ~ Μ ·Τ(Σ,) ~ !,Ι Τ Μ(Σ; )
Αν το Η εfνα~ κανο,;ιχή υ::οο:1άδα :ό-:ε ;ι/Τ,ιf-1 Ε Η. -11
' 1-~τσι χα-:αλήγουμε ό:ι: η γεωμετριχ+ι ιδιότη:α r:ου συνδέε::::ι:ι με: :ις χανο­
':(Χές ποομά:δε;- ε['::ι,:
Αν ένα γεωμετpιχ6 σχήμα ε(ναι ειχ6να μέσω εν6ς στοιχε(ου χανονιχής ι,ποο­
μάι~ας jJ 1 τιίτι· 'Ι ιr'ίιι'πητα αυτή (rου να ~:ίναι ι1ηλαl'i,J ~·ιχr)vα στοιχ~"ίου 'j ' Ε 11)
r.αpαμένει αναλλοίωτη χiτω από τους μεrασχηματισμοUς της ομi()ας .Υ. '1:-:σ•.

194. 176
ΛΙ(Σ2)
ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
x:i11:o'.O'Jάλλο'J Σ1 . η ειχ6να το1J
Ε .Υ, εξ::.οωλο·1Θεί να είναι r.αράλληλη
.... ΓΈΩ:ΙΕΤΓΙΚΕΣ ΕΝΝΩΙΕΣ :.ΙΕ λ.ΛΓΕΒΓ'ΙΚΟ'{Σ UΓ'ΟΥΣ.
2.2.40 Θεiψημα. (i) Ί;στω JJ {vοι σημείο χαι ( μω1 εuθεία τότε.
ΡΕ 1 {c} (ΙΙp8ι)2 ~ 1
(ii) Έστω f:.'.ιrι Μυ ε:,·_;Θε{ε:ς τύτε.
(ί) Γ Ε I ο, 5,(Γ) ~ Γ. Hp #
ισοδ,~ναμο με -:η σχέση.
λvτύ όμως μ:τrηεί να ::η:οδειzτεί 6τ•. είναι
(ii) Σε :_ιια αξο,,ιχ~
εtνα~ ο άξο,,ας
'F.τσι. f__l·rnαν
Hc ~ 81Hc8 1. Hr # 81
(Η,,5ι/ ~ ι. Η,,81 # ι -iα
ο~ μόνες
χα~ όλες οι
χανείς ϊηι,
χαι αναλλοίω-:ες ε·1Θείες
:τρος αυ-:(;ν εJΘείες.
ε 1-τιι. Χ:ΧL f -1-'111,9 81' -1-Ξrri έzο1J:1,ε
ΊΊ σχέση 8ιrι8(8rrι = μ:τοpεί να γpα'μ:ί χαι ως,

195. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 177
μιυu:
νήσεις των ισομεφιι,Jν. Πιο r;•;γχεχpψένα έχουμε την αχόλουf:Jη αν-:ισ-:οιzία.:
Σημεlο:
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
'Γ
Σ,)μπ,ωσr; : Γ' Ε f
1{ αf-Jετό'cψ:α : f 1-·rn
Α.ν,:Χχλαση: Ρ' = 8p(r)
ΑΛΓΕΙJΡΑ
:-ι,
Hp
Έzοvμε αχfJμα:
(1) ( ιrι. η εί,,:χι σ1)ντpέzουσες ευΟείες {c} (5'p8τιι.5Ίι} = i
(2) Η f εί,,:χι μεσοχ:iΓJε-:ος του .--R {c} .S'p"F-l13 ,'./εH.1 = 'i
(3) Το Λ1 εί,,:χι μέσον -:oJ λl..Ι {c} 11,υllDllMll.4. = ·ί
μα.ς τις τ:ιο ;τ:iνω •.σοδυν:χμίες μa.ορο1)με να δια-:'1Ί1:G')σουμε -:ις :χχόλοvθες
(ί) Γι:χ χάθε Hf-', Ηρ υa.:iρzει Ξf:.' τέτοια ώσ-:ε
(ii)
των 1'3::ι.r;ιχG')ν αντω-:οιχ~G')ν ό-:ι. για
r:ου -:α 1τεpιέχει. Ομοίως έχουμε:
nι ε1_,f:Jείες -::α1πίζο,,τyι Πμοίως

196. 178 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
(iν) ~':ν
Οι ;-:αpα:τ&,,ω ιδιόπ1-:ες εχ7p:iζουν γεωμε-:pυcές σχέσεις με
Ασκήσεις.
(1) lJ.,1_llnllrll::,_ = i αν -:α λ. 13,1 . .J.εtνα~ χοpυψές 1ταpαλλr/ογp&μμου.
(2) (llnllo) 11(lloll,J,y 1 = i αν -:ο σ'Jμεtο Ο διαφεί το λLΙ εξωτεpιχ& σε λόγο
η: ιrι.
(3) 11n5pllnll.48pll.4 ~ i rιι .,n.
(4) (iln8pll.4) 2 ~ ; ,, f _UJJ
(5) llollrllollnlloll.4. = ·ί αν το Ο εtνα~ το σημείο -:ομής των Ω~αμέσων
coc Δ(λΒΓ)

197. ~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 179
... ΟχωrσΤΙΙΤ:CΣ.
ισομε-:,;ίες,
ομοιότη-::χς.
συμμετρίας
λιΩος ο μετασχ"Υjμα-:ισμός της
'1.'1.Λ1 Γρ·~μ..-''ς. ~·],Ν "μω"Α~~r~ με "έ"-ρr· ~~ ~1:i-;r, n S,N! λ6γο . =Ι ο
εί,,:ιι έ,,::ι.ς μετασχημα-:ισμός,
Dο.λ: ~ [' /1 Ρ f--, Dcμ(Γ) = Γ'
τέτοως ώσ-:ε:
(ί) Τα σημεία Ο, r, Ρ' εlνα•. συνευ0ειω6: χαι.
(ίί) ΟΡ' = λΟΡ, ότ:ου ΟΡ -:ο :π:pοσ::ι.να-:ολισμένο ε,)Ο(,γραμμο -:μ~μα.
Ρ, Ρ' ,3pίσχον-:αι ::ρος το ίδω
με-:::ι.ξ,J των 1-' χ::ι.ι 1-''. :ταΛ~
συστολή ή σμtκpυνση. ενϊ> ::ι.ν
λέγε-:αι διαστολή ή μεγέθυνση. ΛΙια ομοιοθεσί:χ
Εί,,::ι.ι φανερό ό-:ι μια ομοιοΓJεσlα με λόγο -1 εlνα•. -:ο ίδιο με μια μισ/1
και Ρ Ε Τό-:ε ο λόγος -:Ύjς
σ-:ψ, ευθεία f( Ο. Ρ) -:ο ομόλογο 1-''του
Do,-1 = Ηο, Do.1 =,;
Για τις ομοιοθεσίες έχο'Jμε τις αχό).,ο,Jθες ιδιϊηη-:ες:
(1) Κ&Θe ευθείες. Οι εJΘείες
της :χ:π:ει:χ:ονί~ονται σ-:ον εαυ-
χ&θε :π:01J διέρzετ:χι αa.fJ -:ο Ο, :χa.ειχονίζετ:χι

198. O
B
A
Γ
Β'
Γ'
Α'
Ο
Α'
Β'
Γ'
Α
Β
Γ
λ > 1 -1 < λ < 0
O
A
A'
B
B'
P P'
'

199. A
B Γ
Δ Ε
ΖΗ
Δ' Ε'
Η' Ζ'

200. ε1
Α1
Α
Ο1
A12
O'
O1
O
ε

201. Α1
Α
Ο1
A12
O2
O

202. Α
Α
Ο1
O2
Α12

203. 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 185
:Κα χ::ηασχε1Jασ--:εl έν:ι. --:ρίγωνο οι Ί1:λε1ψέ::: το1J oa.oίo1J ν:ι. δ•.έp-
α:τό -:ρί:ι. r.ρωαθορωμένα σημεία και δια:φο,Jν-:αι :χ:n:ό α1J-
πε λ6γους λ,11,υ.
:1. .lα δειz-:εί 6-:ι δl!ο ομοιοθεσίες α,,τιμετατlθεν-:αι -::ι. χεν-:c:ι. -:ου:: συ-
μ;-:ίr:-:οJ,,.
4. '1<:σ-:ω λ. 1J δl!ο
Τ,'/
Δ(ΛΒΓ).
:Κα χ::ηασχε1Jασ--:εl
ΛΒ ΧΥ.•. λΓ XY.L --:ο
χαι το σημεlο 1· να χ~νεί-:αι σ· ένα χ,Jχλο C'.
(σ γ1:ι.,ψετp1;ι,r: -6τrσr;) τι,_1,, :.ι:έ,πp(,,ν β,Ύpσυι:: ~(,,ν
οι a.λεvpές
ης γωνlας
ΒΓ = α; η διά:μεσος αa.l"J --:ο Β
ΑΓ Χ:ΧL Dλ έzο1Jν λόγο 1 : λ
Αν Dο 1 ,λ1 Ξ D1, Dο2 ,λ1 Ξ D2 εlνα~ δύο ομοιοθεσlες ,,:χ
D11J2(1J2D1)- 1 = D1Π2D1 1
U2 1 είναι ;-::iν-:οτε μια
ότ~
'.1' ένα r:pοσα,,:ι.τολωμένο δι:iστημα
8. 'F.σ--:ω Π1 Ξ Ποι.λι χαι Π2 Ξ Πο2 .λ~ δι)ο ομοωΟεσίες. 'Jα χα--:ασχευ:ι.­
σ--:εl το χέντpο της ομοιοθεσlας Dι D2Dι -l
2.2.46 ΟpLσμός. Κά:Οε .--.ε:τεpασμένο γινόμε,,ο ισομετptών χαι ομοωΟεσιϊ>,,
ονομ&ζετα•. ομοιότητα.

204. ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ
ΑΡΤΙΕΣ
(δύο ανακλάσεις)
ΠΕΡΙΤΤΕΣ
(μία ή τρείς ανακλάσεις)
Μεταφορές Στροφές Ανακλάσεις
Ανακλάσεις
μεταφοράς

205. X
X'
Z
ΔΑ
ΓΒ
Χ''
m
'
''
~ 2.2 Συνθετική Γεωμετρία. Μετα.σχημα.τισμών 187
ότ~:
Αν
του Γ σ-::η
RA.,-4;, ·
-J,"{J. 11
Σχήμα 2.39. Για το Παpά.δειγμα 2.2.4S
= GΑ,Ί · Π 4.-15(Χ)
εJCίσης
του r:pοβλ-f1ματος αψ~νε-:αι ως &σΥ..ηση.
έχουν το,, ίδιο ;-:pοσανατο-

206. O
A
B
B'
Γ Γ'
Α'
Β1
Γ1

207. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΟΜΟΠΑΡΑΛΛΗΛΛΙΚΟΙ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΙΣΟΜΕΤΡΙΩΝ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

208. 190 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Αν R 1 κ::ι.ι. R2 εtναt Ο,:ιο σ-:ρσψές, ν:~. δει.χ-:εί. ό-:ι -:α κέντρα σ-:ροφf,ς -:ων
R 1, Η1Ηι κ:::ιι π;1 R1 εiνα~ συνευθειαχά.
8. ' Ι<:σ-:ω διJο χ6:Οετες ευΟεlες J::Υ.::ι.ι t' ;;:ο~ -:έμνονται σω JJ. Να f1ρεύεί ο
γεωμε-:ρ'.ΧfJ;: τύ..:ο:; -:ων χέν-:ρων όλων των ..:ο~ α,;:εικον[ζουν
-:η,., f σ-:ηι /!1• Χα γενιχευ-:εί η άσχηση σ-:r;ν JΙ:ου οι f..t ' δεν
εtνα~ κ-:iθετε::.
Σχήμα 2.42. F:scl1c1·:(!i1·clcΤ.ίrηi ι 111:Ι.fοντέλο ·Υ;τεpβολιχ-t1ς μη-F.υχλεiδειας
Γεωμε-:ρ'.ας (Γοiηα.ηC')
2.3 Αναλυτική Γεωμετpία Μετασχηματισμών.
Σ-:Ί; σ"Jνθετ•.χή :χνά:::τυξη της γεωμετρ(ας, f-Ιεω;ο•J;.tε σν,;ήθως τις ::.φχαές έ'.:­
,;οιες ~ιη;μεiοl!, «ευθε[ω, χαι (,ε:τί;:εδ<>u ως στοιχεία :n:ου τα π~λλ::ι.μβiνοuμε
ολω-:αά χαι iμεσ::ι, χωρίς Οr;λ::ιδi1 αναγχαί.:,; αναψυpά σ-::::ι: τ.υ:; τ:χ ::ιr.αρ-
τlζουν, θεωροϊιν-:αι δηλαδή οι αρχικέ;: αljτές έ"νυιε:ς ως υι λlθυι γι:,: -:υ

209. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 191
fJλωv των γε:ωμε:τpιχών αvτυ<ε:ιμέvωv. Γ•.α τ:αpάδε:ιγμα ο Εvχλε:ί­
-:ο·;ς αχfJλουtlους ((7cαpά.ξε:vους,) οpισμο·Jς:
ε:ί,,:.ιι αυ-:(; r:ου δεν έχει
χαι ε:~,ΓJε:ί:χ ε:ί,,:χι ιf,,::,: μfρως
Elvα~ ίσως εδώ -:ο χα-:άλληλο μέρος γ~α να σχολιάσουμε: τη ((δtαωtlη-:ιχά δο­
σμένη)) .L<.:ί-

210. O E A

211. 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 193
Εκl της [' rηίζοvμε :ώρα δ'Jο ,φ&ξεις:
+, ι χι~ ι ιι (Α.Β)-λ+Β ,~ TRT,(O) ~ TR(A)
έτσι. Τ-1-11 = ΤιιΤ-1 χα•.,
έτσι. DA-R = DR · D4. Κ:ίσης οpίζοψιε:
..-·Ο= Ο· R := Ο γ•.α χϊ(Οε Α., R Ει
Η ε1Jθεία t μαζί τ•.ς Μο τ:pάξεις .:ov ορίσαμε ηο:ελεl ένα στρεβλό (skew)
σώμα (field).
(ί) 11f είναι μια αν-:ιμε-:αθετιχ-!1 ομ&Ωα ως .-:pος (+)) με ουοέ-:εpο στο~χείο -:ο
ο.
(ίi) 11( - {Ο} είναι αr:.λ:i μια ομάδα ως 1ψος
(iii) Ισz6ουv οι ετ:ιμεpιστ•.χές ιδιfJτη:ες:
(.-1+ Β) · C ~ Α · C + Β · C
4-(R+C')~A-R+A-('
Γενικά ό-::χν σ-:1ιν ιδιfJτη-::χ (ίi) έχουμε χ:χι αvτψεταθετιχό-:1ιτα της ο:_ιάδας.
έννοια του σώματος.
ό:ι το (f, +. σϊψ:.: ,Ξ,λ. :ο [20, σελ.
πoci δεν μεταφοpές, αντψετα-
ενώ η ανα­
ατ:ο:ελεί
Γ•.α

212. 194 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
.._ Το LΠΙΠ:C...10 ΩΣ ~Ι..:''{ΣJ.J:ΤΙΚΟΣ ΧΙ!ΡΟΣ.
h.,u~
χαι στην οJσία -::ι. .1χα.ι 'Γ,, -:α.Jτtζοντα.ι.
Έσ-:ω -:,~ρα Μο
r.αρ&.λληλες μεταψορές.
κλάση ωοδυνα­
,,,
J ..ιfε U χαι Tz,Ί.v, οι αντίστο•.zες
-:η r;•J,,θε-:η μεταψορά.

213. →
x
→
y
→ →
x+y
~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 195
,:::ίλέa.οvμε ύ--:ι αψο1) η 7 είναι
εί,,αι lση
Γχυ-----..τ:
(Χ.17) f-+ Ζ Ξ .r+ 17:= J,,-1 (Γr · Υ:σ)
::Ιε το,, :1,ε-:αyέρε-:αι σ-:ο σϊJ-
,.~.>_r.f .r.
Σχήμα. 2.44. ΠpύσΓJεση δι::t,,~;σμϊ(--:ων.

214. 196
χαι αν ζ Ε Η.
Ο χαι
είναι το
ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Dο,ξ : Ι-' ______,f,' /1.ι: f----+ ξ ·Χ:= Do,~(x)
Την ;-ταp:::ο~:άvω σ'Ν:'φ-:ΎjσΎj Θα μa.ορο1)σαμε: γχ την εχφpάσουμε χαι ως τ:.ολλα-
r.λ:χσι:χσμό Οι:χνϊJσμα-:ος :rφ::ι.γμα-:ιχό αpιΙΊμό:
(-) · (_), R χ,:·~ f: /1 (ξ,χ) -( ·.r,~ Πο.,(.r)
(ί) λ. (,' + .iJ)~ λi' + λ.il
(ii) (λ+μ) ·Γ= λ?+μΓ
(iii) λ(μi) ~ (λμ)i

215. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών.
διανvσμ&-:ων χαι ΕR•.:τλέον
ε
οpίσε~ -:ις 71:p:iζε:ις σ-:ο ε;-:ίr:εδο.
χώρος. θα χpησιμοr:οιο'Jμε: ε::τίσης το συμ,'3ολισμό
• ΥΠΟΧ~JΡΟΤ . ..:'"'F.;:;._.PTTT~T_.. Β_.~F.Π
197
Ενας υa.6χωpος -:ov διαν1Jσμα-:ιχο1) χ,~ρο1J ι; εlνα•. χ&θε μΥj-Υ.Ενύ υ:τοσ'Jνολο U
του ι': τέτοω ώσ-:ε::
Vλ,μ ε ?.flε υ =}-λΧ+μflε υ.
υπόχωpος που παράγεται από το 8 .
11τομ/1 σ-:ον ορισμό εlνα~ μΥj-Υ.ε:νή γιατl Jr:6:pχε:ι τουλ:iχω-:ον ένας 1J1τόχω-
pος a.o~, -:ο S'. ο lδως ο
Το [S'] ο ελάχιστος υ::όχωι,ος που περιέχει το την έννοια
ύτ~ Η' ε:ί,,:χι έ,,:χς ά.λλος υ:τύzωρος :του :n:εριέχει -:ο 5 τότε ς;; ΥΓ.
2.3.4 Πρόταση.
ο ΕΝ} (,)
~Τ±τοr.ες ;τpάσξεις τις ονομάζο·.;μ.ε ι:ξωτεpαές πpάξι:ις. :Ι,.α :::ξωπριχi1
μ;ωpεί να 13:::ωpηθεί οιχογένεια :ωνομελ(:)ν εσωcφιχι~'ν -::pά!;εων l'ιά
) υ ,(! =, -r

216. 198 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Κάl1ε στοιχείο Σ
κ=l
λtyεται yραμμιχός συνδ,'_;ασμός των
2.3.5 Πόρισμα. Ο uπόχωρος ποι, πcφάyεται α:πό
απ:ιJ [7] = {λi' Ι λ ε ΊΕ} r; οποία είναι μια ει)Uεία ίUJ'J
ο.
-:0 11 -:ϊηε το σ(ινολο
Μνποιι
τr;ν αpχή
2.3.6 Ορισμός. Έσ-:ω U, γ δGο
υ+γ := {7+.ι7Ι 1ε U χ.αι:iJΕ ι"}
έzο1J:1,ε :n:εpισσό-:ερους ·πόχωpο·1ς.
άθροισμα των U χαι 1· Ομοίως
Για χ6:8ε λ μ Ε Η. χα.ι για χ6:8ε
:iφ:χ έχουμε την αχόλο,)Οη :π:pόταση,
2.3.7 Πρόταση. Αν U χαι 1' είναι •Jπόχωpοι τι)τε χαι το U + ι· είνχι γρχμ­
μιχός uπόχω,οος.
Εa.ίσης έzουμε -:Ύjν,
2.3.8 Πρόταση. Λν [- 1· uπόχω1?οι τω τότε τυ
είναι ο ελάχιστος uπόχω,σος ποu πεpιέχει χαι τον r;:
u+J.'~[uuη
ΑΠΟ..l~ΙΞΙΙ: ΚS:θε -:0 1J [Γ + ,.
-:oJ ι ,,υ αcροl! .ι: + σ =
[- + ς [υ u η. Γι.α -:Ύjν :1,,τ[στpοφη σχέσΎj έ),:ο,)με ό-:ι: υ ς υ
ι," ς U + ι," Χα•. έτσι
UU' c;;U+
[Uu l·-]εί,,:.ιιο
;.ο:; ;.φ•.έzπ το
-il
JτOU
έzοιψc:ϊι-:ι
-:ο (·'Uι-' χα~
·η ς ι~ τι-.

217. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 199
2.3.9 Θεώρημα. Λν U χαι γ είναι uπόχω(JΟt τότε οι αχόλο,'_;Θεc πpοτάσειc
είναι ισοιJUναμες.
(i) υ n 1 ~ {Ο}
(ίί) Εάfiε διάνυσμα Ζ ΕΞ ί/ + iτ
:!= .r+ σ με ι; ε υ χαι
μονrtδιχό τpόπο με μοpφf;
ΑιιΟΔ~:ΙΞΗ: 'F,στω Ζ ε U + i-· με Ζ = xl. + = .ι'2 + :ν1 χα•.
η
ΕΞΓ

218. →
b
→
a
→
c
P
B
A

219. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 201
(ii) Θα r.ρέr.ε~ να πoYC>''!JCσccc
ένα σ1Jνολο
σ--:Ύjν 01Jσlα λέει ϊηι το μηδενιχ6 διά:νvσμα
γpα.μ:_ιιχόc: συνδυασμό:: -:ων Γ χα.ι Ί7.
1. T:t .1χα~ rJείναι γp:tμμυc:i εξ:tp-:ημένα.
2. '{7cάpzε~ . Ε JR:με fj = ..1.
4. T:t .1χα~ rJαv/1xoJ,, στην ίδια διανυσμ:tτιχ-!1 ευθεία.
~ια,/ισμα--::t .-.ο~, δε,, εί,,:tι
ξά:pτητα. Η ά:ρνηση --:ων ;-τιο
ισοδ·J,,:t:_ιο1Jς χ:tpαχτηρωμούς:
εξ:tp--:ημένα ονομά:~ον--:α•. γpαμμικά. ανε­
z:::φαχτηρωμών μας δίνει τους αχόλο1Jθο1Jς
1 Τ:::ι: i! χα•. .ι7 είν:::ι:ι γp:::ι:μμ•.χά: αvεξϊφ--:Ύjτ:::ι:
των J χαι .ι7 μόνον με --:ον
. =μ =0.
οι δι:tν1Jσμα-:ιΧές
rΙι ..αt'· ';-τ' '·u tφ~σ/σ' 1 ενιχε"·σντα~ 1 tα I ενιχσ1' • "ιαν1Jσμα .ιχσ1 ' • ι.';σ' ·ς χα~
γι:t α.r.ο διανύσμ:tτα..
ιl .v.:::ι:ι ()ύο '.Lστω
ύτ•. χϊ(Οε δ•.ϊ(νυσμα } Ε (;.

220. 202 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Ετ:ίσf:::. κά:θε: διάν1Jσμα Π Ε
.ου υ
συντεταγμένες -:ου Ζ ως 1ψος -:η [j:iσ'J
2.3.15 Σχόλια.
ενός δι.ανυσματι.κού χώε:;ου U ε:ίναι έ,,α γpαμ­
το1) U τέτοω u')σ-:ε [R]= U.
έχε:ι ως α;;.:iν-:ηση: Αν [8] = U -:(;τε
τΟΙ) U.
Λ f1μμα-:ος του
μια -:ο~;λάχιστο,,

221. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 203
(ii) :.111:οpεί χ:::ι:νεlς να :::ι:τ:οδείξει fJτ•. fJλες οι ,:::ίάσεις ενfJς δι:::ι:ν'Jσμα-:ιχο1) χG'ψου
διάσταση 2 ΧΥ.t μια δι:;ι:,,'J-
Λ1J-:fJ μa.οpο'Jμε ν:::ι: -:ο
(3,4)
Σχήμα 2.46. llαp&Ωε~γμ:;ι: :;ι:νεξαpτfι-:ων διανυσμ:iτω,,.
Συνθεsικά: Τα
ε~,ΓJείες, άρα είναι
Αvαλυτικ:i: Θ:::ι: a.pέa.ει.
17χα~ Uαγfρωυν σε διαψοpετιχές διανυσματυcές
λι7+μi]=ϊi (*)
,,:;ι: σJ,,ε:τά.γε-:αι ό-:ι , = μ. = Ο. Πpάγμα-:ι. η (*) είναι ισοΩύναμη με -:ο
:1.+μ.=Ο
-1λ+:3μ.= Ο
λ=μ = ο

222. 204 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Εlνα•. δ1Jνα-:6ν να ::η:οδείξει χαvεί::: 6τ•. χά:Θε δι:::ι:ν'Jσμα-:ιχός Χ'~pος κάνω στους
r.oαν•,c,cc,,o•ac αρ~Ημούς Η, δ~άσ-:ασης τι. ισόμοpyος με το διανυσμ:χτιχό
.... ΓΓΑΙΙΙΙΙΚΟΙ ΚΑΙ λΦΙΝΙΚΟΙ
( 0ΙΙΟΠΑΓΑΛΛΗΛΙΚΟΙ ) :.IΕΤΑΣΧΗ:ΙΑΤΙΣΙΙΩΙ.
λlε-::i αr:6 τη Θεώρηση του ε;-:ιr:έδου 1,' ως δια,,Jσμ,:ι-:ιχrΗJ χώρου, είναι Τ;σιχ6
2.~.lti ϋρι.σμός. ΙΙια σ'Jν:ip-:ηση Τ: ι·----+ ίΓ Θ:ι. λέγεται ηχ.ι:μμι.κή απει.­
κόνι.ση ή αντι.στοιχLα
γι:t χάθε Χ, rJΕ ι,' χαι γ~α κάθε λ Ε Αν -'"= ι f: τότε η Τ λέγεται γpαμμι.κός
τελεστής.
Τ(λ, + μ.iJ) ~ λΤ(η + μTUJ)
για χ&:Οε 7, :iJΕ ι- χα•. για χϊ(Οε λ, μ Ε Η ~ω τ:ϊ(νω σzέση yε,,ιχεϊιε-:αι
σε 11:ετ:εp::ωμέvα αθpοίσμα-:α:
T(Lλ,,c;) ~
1
είναι
6-:ι
Τ είναι Μο

223. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 205
ίδι:.ι. Γι:.ι
με -:ον lδω -:ρό::ο. αr.ο-:έλεσμα. (λ :n:ω :::iνω
sα,,αηcρa,πcς ε:1Jχολα μr.οpοίιν να r..:Ί:pουν χα~ μια τε:zνυcή α,,αλυ-:ιχή
σ-:ο ε:n:ιτεδο και Τ [' -----+ μι:::ι: γpαμμ•.κή α;τει-
δι:i,,·;σ:_ια -:ο•; ι': εlνα~ γpαμμιχός r;•;,,δ1Jασμ6ς
= .11ϊϊ + .λ21ϊ:2
=λ1:2t:ί+λ:2:2ζ~
:::ι:τ:ό την &λλη μερ,.& :::ι:ν 7 ε= [' με i! = χ I coj+
(2.1)
ε= τύ--:ε
2 χ 2-π~νακ:ι ή 2 χ 2 Μήτρα του Τ :n:ouαν-:ιστοιχε:ί

224. 206 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
την ονομ:iζουμε εr.ίσης 2 χ 1-πίνακα ή ;:[νακα στήλης ως
ως 11 γpαμμυc/1 :.οτειχό,,ιση 1
:1,,::ο~:αp:iστ::ωη ΛΓ1. δι:i,,~;σμα :χνα:τ:::φ:iσ-:::ωΎj Ί-Γχ, στο
γ;r;:_ια T(i!) Ξ :ι7:1,ε ανα.r.αρ6:πτα.r;η ( ηλιΊ +~2~ 12
+.Ι:;>Λ';>:2
,Ξ,ολίζουμε συμ:ταγu')ς με αν:::ο-:αpαστασι:::α~ μr;pι(fι ως
(2.31
ή χαι.
(2.-1)
η ;:ιο σύντομα
Λ1r · .r [J (2.ί,)
-;011 Τ ε:τί -;011 7, είν:::ι:ι ισοΜναμη με τη δpά:ση -;011 11:lναχ:::ι:
εχψρ6:ζεται ως r.ρος -:η,, rη-β:iση -::0·1 ΥΓ ως εξής:
όr.01J η στήλη (αij-
ί
>11
:t:21
ΛΤ1· = .
α,~ι ι
::t12
:Χ22
α,,,2
( J111, αu, ... , ct1nπ ), :του αν-::ιστοι-
... , α,,1j) α,;τιστο~χεί σ-:ο δι:iν1Jσμα Τ('11')). Για χά.Θε

225. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 207
σzέση·
ΛfrΛl.r = ΛJ_17 όποu 17= T(i!) χαι
~ .iJ=Τ(Χ) =
ι7~ Τ(χ)
Do,2 1-' ---+ Ι:' /1 t f---> 2Χ
( 2 ο)
Ο 2
χα,,ε:ίς να α7cοδείξε:ι ότ~ όλοι οι
συν0ετυ6:. είvα•.
(2 G)
ατ:ε•.χο,,ίσε:ις χαι ε::π:ομένως αvα.--.::φ::Χσ-:αση με :π:lνα-
χες. έχοι)με ό-:ι:
· !, ~ !, ..,:,~. ι-'""~ 1ι-~rr"'"'~ ~,-~.,.,:,."'ι ~, Λl(Ο) = Ο
,Ξ,λ. [ι, σε:λ. 21:3].

226. (1,1)
(2,2)
(0,2)
(0,1)
(1,0) (2,0)

227. x
y
P(x,y)
P'(x',y')
θ
(0,0)
~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών.
Σχήμα 2.48. Σ-:ροψή.
or Λ1+:Ψ~
IOPIωsφ r~ + IOPIsi11φ ι.:Ξ,
ΙΟΓΊ ωsφϊ:i. + ιοr1 lsinrpι.°;1
ΟΡ' x 1P].+y'P2
IOP1 lωs(Θ + φ) ϊj + IOP'Ie>in(Θ + rp)ι.~
IOP'I(ι:osf:i("()~φ - si11f:i~inφ) ϊϊ
+IΟΤ'Ί (sinOco:=:rp+ ωsOsinφ) ι.°;2
(,nυsf:i - ysίnf:i) τιι.r~ + (,1:si11θ + 'ff('O~f:i)()
= ,nυsf:i - :ι;~inf:i }
·υ' = .rsiπ θ +_ψ:οsθ
το ο-ποtο μ;-:οpεt να εχψpαστεί με μορφή -π~νάχων:
209

228. x
y
P(x,y)
θ
(0,0)
θ
θ
y'
x'

229. 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 211
Ro(FΞ"i) = (ί:α,'7,sίηθ) xctι Rο(ι:1.) = (-sίηθ,ιυsθ)
'Α 1 (Η ( ~) R ( ~)) ( ωs!J -sin!J 1~ pα, i. Πο = n f'l,· c,_ι:'2,, = sίηθ ί:οs':1 /.
Συνοψίζον-:ας, ι'J-:ι το (1::ωιχι'J γεγο,,r'Jς εlν::tt ι'J-:ι γ•.α Οοσμt,,ες
στους τ.εccεροcσμ,cμυος δι:1νvσμα-:ιχο1)ς γ X::ttπ·, ua.:ipzει μ•.α
-1 Χ::tL ε:n:l ------, η·
-:οJς αν::tr:αpαστάσεων με r:ίναχες. ~ηλαδ/1
έzουμε:
/
ι 11:.Ω 11'2'2
Τ ~ Λlτ ~ αa,1
n.ml
και για -:ις αντlσ-:οιχες δp:iσε~ς:
1. Αν
ί
αιι
021
fj~T(i')- •
n.ml
012
022
άp::tγε δ•.αΟέτει -:ο
::tr:εαονίσεων,

230. 212 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Π,~ς αvταv::αλ:iται η δομi1 -:ov Ηωη(1'"; Π') στο σ(ινολο -:ων rrιxn 11:•.νά­
χω,, Λf,,1 χιι(Η), -:ων α,,α:n:αpαr;τά.r;εt)ν -:0 1J::;;
2.3.19 Ορυ,μός. 'J.::σ-:ω 5,'.1.'ε llωπ(l-. ιι--) :;,::..,λ ε -:6-:ε:
(i) Ξ + '1': ι-- -------'ιι: ι{Ι .rf---> (Ξ + 1')(η :- Ξ(.r) + 'l'(X).
(ii) λ8, 1· ~ fJ // , - (λ5)(.ί') ,~ λ8(i).
,η γcα
Α::; δοϊψε -:ο π:pώτο.
(5 + Τ)(λχ + μΓί)
::ι.τ:ευι:r':ιvιση Υ.:::ι:ι εa.ομέvως 8 + Τ Ε Ηοηι(ι . ΤΓ)
και με
λ(Ξ+Τ) ~ λS+λΤ
Π,άγμαη. [λ(5 + Τ)](Γ)
Α.(•. (λΞ + λΤ)(7) -
1οω,. ίλ(S + 1 )](.,')

231. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 213
στοιzε:ίο γι:::ι: -:ην :::ι:11:ε:ιχrJνιση Ο,
ι·.
(-Τ)(.ι:) :- -(1'(.r))
Το σ'Jvολο llo·ω(i-'. ιι:), με τις πω πάνω πράξεις εί11αι
ι· --~τ~-~ι·
(8, T)(i') •~ 8(T(c))
τ6-:ε -:ο _y·(ι··) α::οχ-:άε~ r.εpισσότεp1ι δομή :τέpα α::ό α1Jτ-~ -:0 1J Οι:::ι:'ι'1σ:1.α-:ικο~.'J
χώρου.
2.3.21 Θεiψημα. 1Ίχ χiθε o,.,,,,π,.c,c..xi,χώpo 1,·, το σ.'Jστημα (2'(l'}+,n)
είναι έvχς δαχτC"λως με μοviδχ.
(ί) Η δομή (<L"'(1·').+)είναι μια χβελιαvή ομάlια ως πpος την π.ρόσΟεση.
(ίί) 11nομή (2'(ι-'), n). ι!vχ μονοειΜς. nηλαlιή
προς την οποία πληρεί τr;v προσεταιριστιχή χαι vπάpχει
ένα 1 με:
πpόσΟεσης rr+"χαι το•J γινομένοv " 0 " πληpο.'Jv την επψε-

232. 214 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
λ11U..1.Ιc:ΙΞΗ:
εί,,:χι μια γpα.μ:_ιιχrj
α;τειχονlσεωv
Πpά.γμα-:ι.
(Τ•5)(λ, + μι7)
Το Θα~pημα 2.3.21 :::οταvτάει ιχαvοτ:οιητιχ:i στο τ:pCY:o 1:;ρ,~-:rμ:::ι: Λς έλθο'J-
Για να
ε:n:l της
(!)
(2)
(3)
,χ(η
Τ :-Γ1
M,,(IR).
Λln(JR) έτσι ώστε να υcανοr:οιο6γ::.ιι
= (αi.ι), ΛΙ1 = (bi,i)-αν::tφοpιχ&: με: τη ,Ξ,άση
, τύ-:ε,
χc1ι T(fΞj) = j ~ 1.2 ..
τον τ:ίναχ:χ ΛΙ.~· 1 Ί- αpχεί γχ ~πολογίσοvμε τη δpά:ση του 8 + Τ
'Ezo1J:1,ε:
'.L>:σ~ η j-σ:~λη του 1τlναχ:χ r:ου α,,:χ:n:αpιστά -:ον 8 +'.1'είναι ΊΊ
+lι,,,;), j = 1,2,.

233. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 215
'λpα,
1 Λfπ = (λου) := λ(aίj) = λΛ!τ 1
Τέλος να βρο,~με τον r.ίναχα ανα:ταpS:σ-:ασr;ς της σύνθεσης 5°Τ, υ:τολογί-
ζο:.;με: r.pώ-:α,
~ Σ b,,Ξ(ϊί)
, 1
Έ-:σ•., -:ο σ-:οιzε:ίο το1J 11:lναχ:::ι: :του αν:::ι:τ:αpω-:& την 8uT ε:ίν:::ι:ι -:ο
F:.--.ομένως αν Οέλουμε ν::t
σοvμε -:ο γ•.νύμενο των
(
(111 1112
α2Ί α22
Λ1.sΛ1τ ~ ,
U·rιl U·rι2
.. +Ο.11/Ιιι.l
+ α2rιbιιΊ(
α11b11 + U1'!b:21 +
u21Ι1Ί1 + α22b2 +
α,,,1b1Ί + U·rι2b2ι + ... + α,,,rιlι,,,1
Msor = Λ{ς· ΛΙ1· O::tτ:pέ.--.ε:ι να οpί­
τ:ιο τ:&νω, δΎjλ:::ι:δi(
ai,,)(Ι,11 b12
α211 b2Ί /122
α.;,ιι b,=,Ί b;,2
α.11/1111 + U1'!b211 + · · · + U111ΙΙη.11)
α21bι,,. + α22b2·rι + ... + α2,,,b,,,,.
α,,,1bι,,, + U·rι2b2·rι + ... + a,,,rιb,,,,.
χ:1ι του 1τολλ:1r.λ:1σι:1σμοl!

234. 216 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.3.22 Ορισμός. 'Jiσ:ω 1' Ε llωn( l--,ιι-ι μι:t γpαμμιχ~ α;-:ε:ιχόνωη, τό-:ε:
(ί) 11εικόνα της Τ. συμβολυ(:Υ l1n('.l'). οpίζε-:αι με το συνηθισμένο τpόr.ο:
lm.(T) ,~ {,ϊ.i) , .i Ε '}
(ii) Ο πυι,ήvας -:ης Τ, σ'Jμβολιχ:i Ιϊσ(Τ); οpίζε:τ::tι ως:
(iii) 11 δι:iσταση του
ξη (rank) της Τ,
(nnllity) της Τ,
Κυ(Τ) ,~ {,' Ε 1·, Τ(χ) ~ Ο}
_;_:ιι.ll(Τ) := dίπιΚ(τ(Τ)
λέγεται βαθμός ή τά­
λέγε-:αι μηδενικότητα
τ~ς οr.οίε:ς δε:
-::ι. [4. 27. [j:JJ.
2.3.23 Θεiψημα. (i) 11 ειχόvοι lηι('.1')
Π.')ρήνας r( (:Γ(Τ) είναι ')πόχωρος τιJ') i,·
έ11ας υπόχωpος τοι, Η· ενώ ο
(ίi) Α.11 ι,' χαι ι~
SylυcH{rT
πεπεροισμέvης διάστοισης η)τε. ισχ{ει ο νόμος τοu
ιlίιrιΤ" = ιliΤιιΚcΙ(Τ) + ιliΤιιΙrrι(Τ) δηλαδή:
ιlίιrι1'" = ..Yall(T) + Παιιlϊ(Τ)
Έστω. dίπι(γ) = πι χαι dίπι(ΤΓ) = rι χαι έστω
xcrι Αiτ ο πίνrαrtς (f.~.... , ι;~,) τοu
(ί) Η Τ είναι 1-1
(ii) Κeψ) ~ {Ο}
τοv Η'. Τότε οι είναι ισο8•)ναμες:

235. ~ 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών.
(ίν) yρα_uμιχή απειχόνιση Τ': ι,ι·---+ ι-' η!τοια (,)στε:
11 χπειχόνιση Τ' λέγεται ανsίστρο9η της Τ.
(ν) Υπάpyει n χ nι πί11αχας Λl:Γ' ,uε:
Ο πίvχχχς ΛΙ1 ·ι λέγεται δεξιά. αντ[σsροφος τοι, Λl_
(νί) Τα yραμμο8ιχv.'Jσματα τοι, Λlτ γραμμιχά α11εξάρτητα.
217
2.3.25 Θεiψημα. Με τον [810σι,μβολισμό τω προηγο(uεvοι, θεωρήμχτος οι
αχόλουΟες προτάσεις είναι ισοδ•)vχμες
(ί) Η Τ είναι
(ίί) Υπiρχει γ,ωμμιχή απειχόvιση Τ' ιν ---+ l·- με 1 -'.1''= li·i·
(ίίί) Υπάρχει σ'.Jviρτηση Τ' ι.γ ---+ ι: με JΌ'.1'' = liΓ
(ίν) Υπάρχει έ11ας η χ nι πίvχχχς Λ11 ,,, με Λ11 ,Λlτ = .111. Ο πίvχχχς Λ11 ,,
λέyετχι αριστεpά. αντίστροφος τοι, Λ[
(ν) 'Γχ στηλοliια11ι',σματχ τοu ΛlΤ είναι yραμμιχά ανεξάρτητα.
2.3.26 Θεώρημα. Αν ι/.ίτιιΥ = ιΙι:πιΤΓ
-;ο Θε:&φημα 2.:3.25είνα•. δυϊχϊ(, γε:­
;τλαlσ•.α
χα~ ό--;:χν
η Τ είναι 1-1 xv η Τ είvχι

236. 218 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
6τ:ο'J aέv:ι. δι:iν'Jσμα -:o'J ι". Οι αa.ειχοvίσεις :::ι:vτές είν::t•. οι ::U-fι•.νυ<ές
(11oμocc,cΛΙ..ψ.c::<eςJ αa.cαov' σCLς
2.::J.27 Ορισμός. Έ.ΓΓt, ι · ΥΎι ΤΓ δ(,ο δ•πν1_Jσμc1ηχοf zι;πι Κ&θε σ(,νθεση
Φ:~Τ,,·Η
Ή
!Γ
6τ:01J Η Ε Ηωη(1·, 1Γ) είv:::ι:ι μι::t γp:::ι:μμυ<ή :::οτειχfJνισΎj χαι Τα μια τ:αpάλληλη
ε:n:l του Η', Ηα λέγετα~ αφtνική απεικόνtση με γραμμικό μέρος
την χα.ι μεsαι:,:,ορά T,i..
Πα.p:χτηpούμε ότ~ :n:pά.γμα-:ι.
Φ(ΙΪ) ~ Τ,(Η(ΙΪ)) ~ Τ,(ΙΪ) ~ ii.
= 1;1 °JJ εlνα~
δ~)ο Η.
λς 1J1τοθέσουμε ότ~ υτ:άpχοJ,, Ωύο
με:
! = Ta0 H = Tr/H 1
Λλλά: τfJτε
Φ(Ο) ~ ,7
= hάρα ~α 1ψέ1τει :τά,,τοτε 5 = h
Αλλϊι. τό-:ε κ::tt το γρ:χμμ•.χό μέρος εί,,:χι μοναδ•.χό. αψ/;
ό-:ι χ&θε αφινιχ~ :::οτειχfJνισΎj
Ί.Ί, cτ-: ,,,.,, Ί.Ί ,,,.,, c--r.

237. 2.3 Αναλυτική Γεωμετρία. Μετασχηματισμών. 219
Η
+
~ nc;+ 111 (oCi)+ 111 (111 (.i')) ~ (1;,; + 111(oCi)•(il2•111))(i)
ο~ :υ;.ιινιχές :χ:n:ειχονίσε~ς Φ = Ta"H
τω,, α:τειχονtσεω,, αυ-:ών εί,,:χι εl!χολο ,,:χ δειz-:εί ό-:ι
τω,, αφινικών μετασχηματισμών, :το,) O::tτη
κ:χι μάλισ-::χ η 'J:n:οομά:δ:χ -:ων με-:αι;ορ,~ν είν:χι κανον•.κή στην
l.:τη συνέχει::t δίνουμε μεp~χ:i ;-:::tpαΩείγμα-:::t ·~ηι,,ιχών μετασzημ::tτισμών.
lΙe:τασχηματLσμός
Τ:ιυτο-::~χός Ι
Αξοv~χf, συμμεψί:ι
!ετ::ιψηά α*ίJ
Λvάχλ::ιση με-::αφοpάς
Γp:ψμLχό μέρος Αναλλοtωτα σημe:Lα
Ταυτο-::~χός με-::ασχημ:ιτισμός ()λ:ι cα
5,,. 6;του f 1 από αpχf1 Ο Τα σημεία cψ /:
llo.u !Ό σημείο Α
ι··α,Ηο-::ιχός με-::ασχημ::ιτισμός h:::ιvέν::ι σημείο
διέpχε-::αι -::ο Ο Κ,:ιvέν:;ι σημείο
λν οι γpαμμιχές αa.ειχοvίσεις αcεcχυvιc,,υv συvδvασμο'Jς δι::t-
σ1Jνδυασμούς, οι
,αouκevcc,cxou, συvδυαο""'"'' Οι::tνυσμά-:ων,
τϊι-:ε:
Φ[λα + (1- λ)b] ~ λΦ(J) + (1 - λ)Φ(b).

238. 220
Γε:ναά
έzουμε:
ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
(Τ,0 Ή)(λi1+ (1 -λ)b ~ Τ,iλΉ(,7) + (1 -λ)Ή(b)l
~ ( + λll(ii) + (1- λ)ll(h)
= λΦ(r7) + (1 - λ)Φ([)
:ι;ι =αιι:ι·1 +α12:ι·2+ ... + +(Ί
:Ψ1. = 021 XJ + + ... + + (Ί
:ιJrι = ... + +r:1
Λ11; = .Λ1π.ΛΙ,, + Λl,
= Φ(y) -:ότε: γι::t το γp:ψμιχό μέρος Ή
i:'-Ή(?).
2.3.28 Παραδεtγματα. (i) Διάτμηση (slιeaι·) ;:αpάλληλη με τον χ -
άξονα ή παράλληλη με τον μ-άξονα.
δι:χσ-:ολ~
με -:ον
Γ'=.(+1,-:ιJ
:ι/ = .ιι
Εν,~ η διά:τμηση .J.y;τ::ιp:iλληλη με -:ον _y-6.ξονα έzει εξισώσεις
:ι·'=.ι
y' = h:τ+ y
'F.σ-:ω για :π:αp:iδε:ιγμ::t η δι:iτμηση -111με .--.ί,,::οcα
(
• j 11')
ΛΙΔ11 = -2 1

239. (1,1)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
-1
-2 (1,-2)
x
y
2.3 Ανα.λuτιχή Γεωμετρία. Μ ετα.σχημα.τισμώv . 221
J;τό -:η μuρφή του πί,ναχ:χ ~λέτ.υΙJμε ότι -:ο διάνυσμ:χ (l, Ο) ι-t (1. - 2)
κ::tι :ο (Ο, 1) ι-t (Ο, 1). Έτιτι :ο μοναδια{ο :ε:pάγωνο α:τειχονίζε:α~ ως
εξής:
Σχήμα 2.50. λlε-::ισχηματωμός -:-oJ μον:ιΩι:ιίου :ε:ραγώνο"J.
1Έ:λαά μι,:χ δι iτμr;ση Δ;, χα6οpίζεται αν yνωρίζουμε: το! άξο να f_, δηλαδή
την ωΟεία rco•J αναλλοίωτη ως rcρος τr; Δι , χα0(δς χ,:χι την
ειχ6vα r1 = ενύς σημείω r ι1. t .
' F:σ-:ω Α ένα ::ίλλο αυΟαίpε-:ο σημείο τοl) ετ.ιτ:έδου. F;ν(:)νr;ψε -:ο Ρ με
-:ο ι, και έστω 8 -:ο rη1μεtο τομf1;: της t"(Λ, Ρ) με -:Υjν t. Ενώνο:>με -:ο Ρ'
με :ο S χαι αr.ό το Α ψέpο(ψε παράλλr,Χο :-:ρος την ΡΡ' , r, :ομf, με :r,ν
t( P'S) μας οίνεt την ειχόνα του Α.. Α.υ:ή είναι η πυνΘε:ιχ1Ί πεpιγραφf,
-:ης (Μ:τμησης Δp. Αν
Δι : :.1:1 = :ι:+~:y
1./= yt
:ότε οι σljν--;ε-:αγμένες .ου ΡΡ' είναt χ' -;τ =
:ο:; ΟιαΨ)σμα:ος ::ω:01) εtνα•. lkll1ιl - Ετσι
= Ο. Το μέ:ρο
Γ μεταιpέpε:αι
οptζόνηα σε ατ.fJσ::χσr, αν1λογr, με την α.:fJσ:ασr, του σημεtοj Ρ ατ.ό
:ον :ι:-άξονα. Αν ky > ()τότε η με:αyοpά γίνεται :-:ρος τη θε:ιχή yop::ί
-:ο:; Ο;ι; δι::ι:ψ;ρε-:ιχά r, χίνφr, yίνετ:χι :τρο::; την ::,:pνη-:ιχf, φοpά.
(ίί) 'Εστω ,1 = (~ ~) μια διαστολf. χαι ως r.poς -:ον :ι:-&::;ον,:χ δηλαδή
( 1,0 ) ι-t ( 2,0 ) χα•. ( Ο, 1) ι-t ( Ο, 1) χαι Β μια στροψf. Υ.::tτά gοσ

240. 222 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
ωι, :τ:ι,υ;, -:η,, ·J.ΡΧίΊ των ,:.ιξϊ'ινων. μ.-:: a:~vu:x-.ι 1J
(Ο
,1
(1,0) - (0.1) χαc (0,1) - (-1,0). Ο μεcχσzημοccωμος
έχει :τίναχα ( ~ ~l)Αυ-:6 ψαίνε-:αι χαι χωρίς να r.ολλα;-:λ::.ωι:iσοJ-
με οο;ς οί•,χχες RA. ( 1 Ο) c1, (2,0) ~ (~ ~) (i) ~ ω
jpα ( 1,0) f-----; (0,2) όμο•.α (0,1) f-----; (~ 1
1)- Rλέτ:ουμε ::οcόμ:1 ό-:ι
ΛΒ = (~
-2 (Ο -1 , .. ,
() ) -/: , 2 Ο ) = Β.1 Υ.:χι
(iii) Να υ:τολοyιστε:ί ο τ:ίνακ::tς το,) σϊινΟε:το1) :,ετχσ,•sμcιcισμο,;
(ίν)
μα-:ίζε•. το :ι·,y-ε:11:l:τ:εδο
με :ιJ - Χ ΧαL
:ταp:iγοντα
Ι 11 1
Λύση. Ο r.ίναχας ΛΙ5t = (~ C)·αψοϊJ (1,0) f----+ (0,1)
( Ο, 1) f----+ ( 1, Ο). Ο 1τlναχας -:"Ιjς Ω~ασ:ολ-f1ς εlνα~ .J. = ( ti ~) αcροl!
(1,0) - (1,0) χχc (0,1) - (0,2). Ίiτσc.
(1 0)(111) (ο 1)ΔΛΙ5t = Ο 2 1 Ο = 2 Ο
Έτσι ο σ'Jνθε-:ος με-::::ι:σzημ::ηωμ6ς έχε•. την :::ι:χύλο1JΘΎj δp:iση·
J/=
η { είναι
Γ(χ,!f)
:τpο(:Ίολής
'Λ.p:::ι: ο 11:lναχ:::ι:ς το1J με-:ασzημ:::ι:τισμο'J εlνα•. ο ( τ~ι ;; )
(v) Έσ-:ω ο μοναδιαlος χ'Jχλος
C'~{(χιι)I +ιι2 ~1)

241. 2.4 Ιδιοτιμές κα.ι Ιδιοα.νύσμα.τα.. 223
(-)έλουμε να δο'Jμε το το1J με--:ασzηματισμο'J το1J C' ατ:ό μ•.α
Εvα α1Jθαlpετο σημείο (χ; .ιι) Ε
α:τειχονlζεται στο (.1:1, v') με
= .r χαι v'= 2.ι: + y
να Θεωρηθεί ως η
(vi) 'F.σ--:ω Ρ = {(x.y) 1 n + ~ = 1, .Ι".y ε Ή} μια έλλει:/η. Τα (:'ιpεΟεί ο
, ,,r : , " , (Ι Ο
μετασχΎjμα--:ισμος της r, μεσω μιας υι:χσ--:ολης με :τιv:::αα: , 0 3).
"Λ.pα Ύj έλλει·/η nειχοvίζε--:α•. σ--:ηv
'Ap:x η "Fα.--.εαοvίζεται στο,, χ(ιχλο
2.4 Ιδιοτιμές και Ιδιοαν•5σματα.
λς θεωp·~σουμε έ,,-:1 με-::χσχημ:χτωμό -:0·1 εr.ι:n:έδο·1.
με ;-:ί,,:χχα αναr.αpάστασης ως r.poς :n:.χ. -:Ύj βάση {ι: 1 . ι::2},
, ,~ ( "11 012 )
· u21 α22
-:ο :iξονα -:ων .r αφήνει -:ον :iξονα αυτό,,
δεν
χαι αν Ύj γωνία στpοψής
μη---:ε--:pιμέvο,)ς αναλλοlω--:υ:;ς :;τ:6zωpο,)ς, εχ--:6ς
της μορι;i1ς lϊ · ιe; k αχέpαιος.

242. 224 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Γpάφον-::ας -::χ a.:::φα;-τά:νω με εξ•.σG')σει::: έzοvμε:
'iJ= ΛΧ
Έστω τώp:χ ο ·πόχωpο::. := {:ι7 λ Ε Θ:χ λέμε ότι ο 1J:r,:όzω?ος
::.ω-:ός είναι Τ-αναλλοίωτος, -:ο ό-:ι ένα ιδιοδιάνυσμα, -:ο
', :""' ,Λ,,,.,..,μ"] -r, !1τοu Α. :χνν το rJπτην (·,) είναι τ:.αpάλληλο με -:ο
δι:i,,~;σμα }. δηλ.
.ι7= λ:i, yιιt. Λ :::
ΑΧ= λ.1 Α.5:'
(011-λ)η+ α12.1·2
Ο.21 sΙΊ + (022 - λ) Χ2
έzει μ•.α μη-μΥjδενιχ/1 )/;ση ανν η οpίζο~;σ:χ
ιι.11 -λ ιι.12 1 =0
11:.Ω Ιl.12-λ

243. ~ 2.5 Οι Μιγα.δικοί Αριθμοί κα.ι ο Χώρος 225
Ε•.δυ<ά: αν λ1. λ2 ,λι- είναι ο•. oco:<εx;oc;,,ve, τ•.μέ::: --:0 1J Τ χα•. Ει, Ε-;,.. Ε%·
ο~ r.ροβολές του ι · :τ&:,,ω στους ιδιόzωρους τότε έzο1J:1.ε::
Η .Δϊ} λέγεται και της μο-
α:τό τον Τ. l"ια σzε:-:ιχά θέμ:πα, π..χ.
!:;:3.2], δε:ς ε:π.lσης το π.ω ε:ισαγωγιχό [5].
2.5 Η ((αληθής μεταφυσική» των Μιγαδικών Αpιθμών
και του Χώρου
.... ΟΙ ΙIΙΓΑ..",.ΙΚΩΙ ΛΓ'ΙΘΙΙΟΙ
δε:ν ε:ίναι μια :τλήρης δια;-:pαγμ:iτε:Jση -:ων μι-
(ί) 11 μετα,'3α-:ιχή ψ'ωη -:ης αμψισβ-!1τησης, και τέλος.
(ίί) 11'?:iσΊΊ -:ΊΊς αυσ-:'Jpής ε:ωαγωγής Υ.:tι α;-:οδοz/1ς της έννοιας.

244. 226 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
.ι· + η = Ο. ο · χ = Ο, - ο= Ο. α ~ Ο

245. ~ 2.5 Οι Μιγα.δικοί Αριθμοί κα.ι ο Χώρος 227
::ιι,τό Ιiε δ•.ατηpείτ::ι•. στις στοι-

246. 228 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
δαχ-:,Jλιοc:
πεpψlλτpο
Ο ψαν-:ασ:ιχός 6:ξονας
είν::tt δαχτ(,χλως
+l)
δαχ-:,Jλιοc: IR[x]
μεγιστυ<fJ •.δεώδες (χ2 + 1)
Ο Τtν-::.ω-:ιχι'ις 6:ξονας
εί,,:χισϊψ:χ
α+Ιι (ασ+bn,αι+bι, ... ,α.rι+brι,···)
1 .= (1, Ο. Ο ... ,) (μ'JΩενυωμελ~ς r:pάξη)

247. 2.5 Οι Μιγα.δικοί Αριθμοί κα.ι ο Χώρος 229
λ;τfJ το Θε:ώpημ:::ι: του Υτ:ολοίτ:01J. για χ:iθε: τ:ολvώνvμο j" Ε R.[:x]1JΊ1:άpχο1Jν
r.ολ·1ώ,,·;μ:χ g, Γ Ε 1%.[J;]έ-:σ~ ώστε.
π,·) ~ _g(x)·(χ'+)+ ,ϊ,·) με (c~(Γ) < 2
:iΘpοισμα ·ι·(.r) + 8(.r) (α + ιι) + (h+ ι:).r [ωοιi(χ1 + 1)]
γινόμενο · 8(χ) (αιι) + (αι· + bιι)χ + bι·α2 [ωοd(:ι·2 + 1)]
(αυ) + (αι: + Ιιυ).ι; + Ιιι{r2 + 1) - 61· [ωοd(χ1 + 1)]
(au-b't 1) + (αυ +bυ.)χ [rηοιi(.1·'! + 1)]
είνα.ι οι συνr/:Jωμένε:ς r.ράξεις των μιγαδιχών
L.·J. l) 01:,.
+ 1) - 1 = -1 [rnort(J:2+ 1)]
Σ-:ο δαχτ(,λιο Ή.[χ], -:ο Jτολι;(;Jνυμο + 1 ε:lνα•. αv:iγωγο χαι Rαp:iγε:ι -:ο χι)pω
τ:pC)-:o ιδα~δε:ς
λr.ό
ρίω,,
Τ Ξ (χ2 + !) ,~{/(χ)· (.Γ2 + ) 1 / Ε R[x]}
για κάθε σώμα. F ο δ:χχ-:1Jλιος είναι
δαχτl!λιος. Υ.:tι έτσι χάθε r.pώ-:o στο
με :tJτο-:έλεσμ:t -:ο R[x]/T ,,:t είν::tι σ&ψα, το
είναι
-:ων

248. 230 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.5.1 Ορισμός. Οι μιγαδυωί αpιθμοί. a.ov θ:ι. -:ov:::σψ~ολlζο1Jμε με
Η χ Η.. ορίζον-:α~ ως η δο:_ιή.
όr.01J.
·,+)
(.r1.Y1)+(.r2.Y2) := (.r1+.r2.y1+Y1)
(χι .:ι;ι) · (χ2; ω) := (χιχ2 - .ιι1.ιJ2;:ΓJ.1J2 + :ι;ι:τ2)
:.1at(2.JR):=[(a l~:a,b.c:.ιlεRtJ
l " α )
Οplζουμε -:η,, r.αpω6τω αντ~σ:οιχlα,
Λ1: C----+ Λ-Ιηt(2.Η) // (' = a+-ilι f---, ( ~;- ~[ι)
l'ό-:ε έχουμε:
ΛΙ(αι:+α'/) = α..Μ(ι:)+α'ΛΙ(ι:1 ). ΛΙ(ι:-/) = Λf(ι·):;;_ΛJ(/). α,α' Ε R.; ι:,ι:1 Ε
όr.01J .Λf(r:) ,-.,,.M(r/) εί,,:χι ο :n:ολλ:χ:n:λασ~ασμός :τινά.κων. Αν -:ώρα ορίσουμε -:ο
με -:ις 1φ:iξε:ις -:ης .--.ρόσΟε:σΎjς χα•. -:ο~, τ:ολλ:::ο-:λ:χσι::ωμοι) :π:•.νάχων,
Ύj R-γp:::ι:μμυ<ή συvά:pτηση.
Λf ~ C /1, ~ υ + ί/, - ( ; ~h )
·'·,·· ' cς ··:··ργ···'ς -· :·'·-· ·,. μe Λl(i) - 1 · ( 11 -!
- 1 Ο )
X:iL {' -
( , 1
-Ρ = Ξ '; J= Λf(1). Η εωαγωγή των μιγ:.:δαών :::φιΓJμu')ν με 2χ2 :π:lναχε:ς

249. 2.5 Οι Μιγα.δικοί Αριθμοί κα.ι ο Χώρος 231
χαι ο 11:ολλ:::ι:τ:λ:::ι:σι:::ι:σμύς,
αλλΥ. χα~ λόγω
γι,>,,ία 11:pος την βλ. χα•. σελ.
Βε,3αίως r; σr;μασία --:0 1J = -1 σημαίνει ύτ•. αν μια εκl -...λέον
r;τpor;x~ χα--:ά :_ιί:χ οpΘΤ1 γωνί:χ !Ία βpεθο·Jμε αχp~βώς στο -1. Γενικά έχουμε:
( α -b)~ (" ο.) (ο -ι) (ι, ο) ee .1,_b α. _Ο ιι_ + 1 Ο Ο lι α+ι
1 . . . .n.,Ε J{ Jε~να~ έ,,:χ r;'(;,,ολο ιπόμrψ'(Ο με τους ;-:pαγ-
ολ&
IIΣ2I (ω,[Η1 + Η2] + isin[H1+Η,]).
δηλαδ·~ ο ,:1 σ-:pάyηχε χα--:ά γω,,ία. θ2 --:ο δε :_ιέ--:pο --:0 1J ::ολλα::λα.σιάστηχε με
ανα::::φΥ.σ--:::ωΎj --:ων
σr;ηίp:::ι.ς, μέσω της
•,..(νι;ι,.:χίΛ~υ .·,..(Ofj .ων μιγ·,..(δ••.ιιϊ>ν μ:Ξ. 2 Χ 2 .,,;.νί.tΧιΞ.c,
ΕιεώpΎjμα, για --:ην :::ι.τ:ύδειξη --:ovο-...οίου βλ. --:ο [19].

250. 232 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
2.5.2 Θεώρημα. (i) Για χiΘε: χντιστ(Jεπτό 2 χ 2
αντιστοιχία,
είνχι ένας μονομορφισμι)ς π.ρχyματιχr5ν αλ yεβμ()V.
1Γ r;
(ίi) Κάθε R.-γ,ωμμιχός ομομοpφισμός g : ----+ Mat(2. R) g i- Ο εί11αι της
μορφής
ιιι- 0 ΧΩΙ'Οl.:.
Θα --:ελε•.u')σουμε
1.

251. 2.5 Οι Μιγα.δικοί Αριθμοί κα.ι ο Χώρος 233

252. 234 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
ε.τί των
της έννοιας του
είναι αχρψ(,)ς οι nιαφορετιχές μιχροσχοπιχές !Jεάσεις του τρισδιάστcπο'J χώ­
ρω.
• Η έννο~α, ::.ο:όλ·;τος-τοr.ιχός :::χpα-:ηpητής
• Η έννοια -:0 1J (<σΎjμεlο1J>J χα•. του σzε-:ιχο1) σvνθ~μα-:ος fJτ•.. σΎjμεlα
έχο•;,, δομψ•.
• Οι έννοιες των α::όλυ-:ων-Καν-:ορ~αvώ,, χα.ι -:ων τοr.ιχών - ::Ιη Καντοpια­
νών μαθηματυcώ,,.

253. 2.5 Οι Μιγα.δικοί Αριθμοί κα.ι ο Χώρος 235

254. 236 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
μ"Jϊ-ΟLχp•.--::ιχο--::η--::ας των
για μ•.α τέτοια

255. 2.5 Οι Μιγαδικοί Αριθμοί κα:ι ο Χώρος 237
Σχήμα. 2.51. E1,;ιl1~r: Cιι11iι· Sμηι:~ Divi.-;ίon: Πολ1Jε:τί::εδος -:;::ισδι:iσ-:::ιτο::;
χώρος.
Αχρ~βώ::; σ-:ο σημείο αυ-::6, :.;,:εωέρχετα~ η μελέ-::η χαι ΊΊ
τψων Λ ογαών (fa.rη·-va.1ιιcιi 1o.e;ics). Δ:;στυχ,;)ς χύκλων
των {{::tναγνωρισμένων λογυωλfJγων» η αν-::ίληφ'J ό:ι
αχόμα :χνα:ττυη.ιένες σε σημείο :του να είναι ατ:οδεχ:ές. Είν:χι ανάγκη λο'.:tόν
ν:χ :χναyέρουμε χά;:οια ;,:ρόσς>ατα .3~βλία ;:0 :1 θ:χ χά,;0:1,; έναν ::ιμερ6λr,π-::ο ανα­
γνώστη να αλλiξει γνώμη. ϊι:χ :-::χpάδειγμα :χρκεί ν:χ αναψερθο6,; τα :χχόλοuθα
,:j1.βλιcι·
• Hfιjck: f 1'vfι:ιo.rπo.Oι.errιalit8 of Aιzzy f,ogic, K1ιn'r.r· Aca.ιi. ruω. , Ωο1·­
ιlηχJιt, 1998
• Ci?;noli, R ., ΠΟιιaνίaπο, Τ. , λlιιndici , n., A[.qcbιnir: Foωidatiorιs ο/
Marιy- γaliιcd Rωsuπιirι_r;. KlιnYcr Λcad. Γuω.. Tr-cnιts in Logic~Vol. 7,
Doπlreι:ιιt. 1999.
• Gott·alιι, S., Μωηι-1/αl1ιαl Logic : Αrι !11.fnxl·ιH:f-iorι. -irιto Τ}ιωηι αnd
.4pι>liωtion8 1-lετάφραση και ε:τέχ:ασr, ατ:6 :χν:ίστοιχο l"~pμαν~κό βι­
βλί(J. θ:χ εμφαν~σ-::εt ίσως μέσα στQ 2000.
Πέρα α;ιό τα ανωτέρω υπάρχουν υπό ~pοε-::οιμασtα χαι :iλλα βι,:jλί~: έv:χ εχ -:ων
οτ.οίων είναι τu:

256. 238 ΚΕΦ. 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
Di :Κola Λ .. Dωssos. C:. Λ and Hol1lc·U.. flu,:·ι:(luat(Δ Λfυrι.υίds αrι.(/ Τfια:·ι
Aμrιl'ir:αtiorι.;, to Noιι.-ClaH.'>'ir:αl Lrψir'i.
'1':χ
γιχής,
Λο-

257. Βιβ)tογpαφ(α
[1] Artin. Ε .. Gαπrι.εtr·'ir: A.lφ·lJnJ. lnten;<·ienα-,. (HJ;ΠJ
[2]Artin. :λ1.. Αlψ;/πα. Prenti<'f' Hnll. Ιηι:. 1991.
l8JBnnc·lωff, Τ., and -Υ'cπηcτ .. J. L·ι:ηαπ Λlψ:br-α TlttΌuηlι c;ωrrιc:tπι
Sμringer. (198:l).
[--1]Ι3lοωη, D.:t-I., Linω,r· A.lφ·lJnJ. αrι.rl Gαηrι,ι·trΎ. C;-unlπίίlge. (1979)
[.3]Bnυ1ficld, .Τ. R. ηηιt Bcll; Η. "' Mu.tΓic:cc, αηd tlι.cίr- Λpplίc:ai'iurι.ι,.
1Ι1-ιπ11ίllηη. 1970.
[6]Ι3πιιω11-ην, .Τ. L. <"utίl ~ettlf'ton, -:".C. Tlιe 1ωtιη·ρ ο l1ernisμl1ι-,rί(; sμeι:i1-ιl-
iz;-ιtion in ω;-ιη. Th.e 1Jelω11io-rαf a:rι.d Πrαirι. 8riP11.αH, 4, ω-91 (1981).
[7] Urωvn, R., CΓωnHjonn.a.tirαl (~'ωπιΡt-ry. Ciinn R Co. (197:3)
[8]Ι3ιη·tοη, D. Μ., Al1Htπu:t αrιιl L-i'nι·ar· Αlψ;/πrι.. λrtίlison -Vι-,sle)·. (1971)
[9]I3nrtίlen, F'., Τlι,ι· Frι.Η(;·ι,rι.rι.t·ίοη of GπηφΗ, Ccιrn]πi(}gρ lTniY. Press, (1972)
[10] αωψιct, G., c;ωrrιc:tπι α Λ!υίlcτrι S'cttίrι_r;. Houglιtωι Λliffiin. (19G9)
[11] α1U1·c·]ιland, Γ. S.. Νπιrνplι:ι1υsυplι,:ι;: Tu·ιuar-d α Urι)fϊαl uj' tltc'
Minιl-Bn1.in, ΜΙΤ (1986).
[12]Cox. D .. Littlf' .. Τ. 1-ιnrt Ο' Sltf'i-1.D., Ιιlαι.l.'>, 1"ar·iι;tiι;.<,, Αη
lntτod11rtiorι. to (:o,,nιn,tot,onol Alψ/J-rair Cωιn.r:t1Ύ arι.d ()o,nn::,tot,,:c
Al_ψ!brν 2'"1F,ιiiιioπ, Hcic1c11)cη:ζ. 19Ω7.
[J:3]Coxclc1·. Η. S. Γ., Τrι.ΙωrΖ.ιtι.~1-iοrι. /.ο Gωrιtι.!/ry Yi1cy (19G])
[Η] Coxclc1· Η. S. Ί.Τ., anιi (i1·ciι/.cr-, S.TJ. Gcotnι:/:ry Rι!υi8ί/ι.!d. A."T.S (1ΩG7)

258. 240 ΚΕΦ. 2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[15] C:oxfΌnl. Λ. F .. anιl Γsislcin, Ζ.Γ.
μn;ar;Jι.. HiYer Γon-,st., Ill. L:-ιiιllo,Y I3rυs.
- Λ Τrωι.ι,_fuπrι.α{ι:υrι Λp-
[16] UiendonnP ..J. Lirι.ω-r Αlψ/ηη n.nd GPonι.et-ry. Il0ngl1ton-λliffiin. (1969)
[17] σ:α Λίιχεια..
[18] Dωssoc, ('. Λ. c;ognition. :.Iatl1ωiatiai ηηιt Syntl1ctic·
νιχό Σεμινάpιο Μαf-J/χι,Jν τόμ. 13 (l!:!S7), 107-lf)l Πανiμω
Γε-
[19] L-lιJJinllcιns, ΙΙ. -D., IIenn~s. ΙΙ., IIi1zιcJJ11n:ll, Γ., Kuιcι:llt:'1, I,f.. Μcιiω;ιc1.
Κ., .:--Je11ki1Tl1,..J. _l-!n!stelλ., ,-ιηιi R.. R.eιnωerι, N1ιnι.h~or8. Cr,κn;-ιte Τeχι
in Γa.U1crηalιcs, lJUO.
Γ,~/"l ,-, ____ 1 1 r •
L"-IJL'c!lU, υ., Λiι Ιιί-iιύίlιίι;iιυι~. Yc1ll6U1t]1. (1971)
[21] G_______ι ___σ· r-.:I.Τ .. ΕΨ:lυ!αιτι
11gs11J.
[22] ncs.enJ,eω,ec. 11. '., PlarH; (~'r:rnnPtry a:rιd lt.~ Gr'D1ψ8 llol(l;-ιn - U<1)'.
[23] Hnln1. Linng-sl1in G'uπιplα; .1Yurrι.bιτs f'1 Gωrrιι;fη;. Tlιc Λlnt,11. Λssoc·. of
Αrωυίσι. 1994.
[24] Η.-ιlωο~. Ρ.. F'i'rι,ι,ff; D'i'rrι.εntiorι.rι.l l/α;tor· Ξτιαα;Η. D. .';-ιη ~οst.ηιη(ι 19,)8.
[2,J] ll<1Γt.sl1on1P, Η..., C'om1Jn.nion to b1ιrlid: Α. r01n·M;
F:-ιιιΙid ·.,Elcnrι)nts n.nd il.~ rιtodr:nι. dι!8ι.~ι!rι.rlarι.{.c;.
Lcct,nr-c :Κotcs, .υl.9, 1997.
[2G]Hnusncr-, :ΧΙ.. Λ Ί/αtur- S'pαc:c Λpprυαι.:fι tu Gωπι.cf'ι·μ Γr-cnt,icc - Hnll
(Jg65)
[27] lloffωc1n, Κ. ω1(l Knnzt 1-l.. Linea:r Αlgεhπι. _l-!n!nt.iι·e llc1ll. 1971.
[28] .Jcp;cr·, T:f.,Tιnru,}orrrιn.{ion Uωrnclη;. Α11cπ R "Cinvin. (HJGΙ)
[29].Jolinson, n. Μ., TJ1c Γω1)1cη1 orTπνaTia.πcc ornirηcπsioπ ίη ιJ1c Gr-0γt,]1
of 1-Iorleπi Toμolog.'-·, P.-ιr-t. 1. Αη;Jι.·ί·υf; frπ S,i;,torΎ of E:t:αr:t 8r;/fγια;.<,,
20(2), 1979, 97 188.
[:30].Jυr1t~b. Ό <.ΗΙ(] 1-fυ~ιυνίι:ί, Η., R.ι:γίι•ν οΓ Νυυιυnιrrιυι,<.Ηiη: Gα.HrΙt~L,Γ', R:,-,
λ. Conncs . .Νut·iι:αι, λ:.ΙS, YOl. 44, #7, 792-799.

259. e ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 241
[31] Klc·in; F.. Εlι;rrιι;rιtαπ; Λfαtfιαrιαtίι:ι, ..fινrrι αrι ΛdυαrΗ:αl c1tu.ndpu·ι:nt Gι'­
οrιιΔτy. DοΥΡΓ. (19:l!:J)
[32] Kor:l<, Α., 8ynth.etic Diff~;rerι.tial (~'r:rnnPtry L·λlS Leι·ιnre _Jotes. σ-1.n1-
1)1·iιi_g:c Γηίν. Pr-css. ('an11)1·ίιi_g:c. 1981.
:λ1., (;;-ιloi:;" Dη-,ωη: Gronμ Tl1eoσ ωΗl Diffen•11t:ic1lΕηω-ιtiοηs.
U,ιsel. 199:3.
[:3··1]T.arn1)cl<,.J.. Tl1c ίπ!lιιcηcc οΓ Hc1·a.cliιυs οπ rηoc]cl'l1 rηa.l11cn1aιics. Τη:
.J. Λμ;μ;ηsi ηηιl n..S. (Όl1cn (Ειt.) Sc·iωtific· μl1iloc,oμl1χ toιlay. Π,e·ίιlcl
11gs1J.111-114.
[:3,J]T,av:cr-c,F. Υ.. QuaπlίΓίcn: anιi S11caνcs. Τη: Aclcs clιι coπp;r·Cs Τπιcr-π.
ιlcc, :.Intl1.,:_IJc·c·1970. tωnc 1. G-nutl1icI-'ϊllnr·s, (1971) Γnr·ic,. 329-334.
[:Η)] Lcnν,Ψre, F'. Υ. cιnrt Sι:11.-ιηηρ}, Η., Conr·fψt'ιι.rι.l Λfrι.tJuγnafi(;.<,: Α jir·8t
intπιd1ιrtion to rαt~;g01'ie8 (~ωnlπi(lge UniY. 1-'iH,s, σ-1.n1lπidge, 1997.
[:37]Ί.Tac T..aπc. S., (}a{r:gor·ic8.for· lhι.! TΓor·kiri,q Λia/lι.crrωlic:ian, 2ω:l E<Ji-
t,ion Gωιtuatc Tc·xt Η Λlnt,l1cnωti<·s. .υl. 5, Spingc1·-.'cτlng. HciιlcHJCτg
199S,1971.
[:38]Ί.Tacnarηar·a, Τ.. 311(]Rc,'CS,G.
rι.·ι:tίuη. Oxfonl ΓηiΥ. Γn·ss,
Τlι.ι! Τ,09iω/ Po·ιtridaliori., o.f (}og-
[:9]11.υtin, c;. Ε., Τlι,ι· Frnι.rιιlat·ωn o.f Gι·orιu;fτy arι.rl tlι,ι· ηοrι.-ΒιΜ·l-iιlεαη
J->lαrι.ε. S1πinger. (197[;)
[-±0]Λlintin. (~. Ε. Τrωι.ι,_fωπιαi'iοrι. (;ωπΗ:tπ;: Λrι ·irι.trΨlaι:tίun tu 8:ι;rrιrrιι:tπι.
S1πingcτ. (1982)
[-±1].llo(lenoY, 1-'.S., Pτohl~;m.., irι. CωmΔτy. .l11.H.1-'nl1lishers, .llosαJ', 1981.
[,·12]Kaιioπa1 (!οιιπsίl οΓ Tca.cl1c1·sοΓ T:fall1cn1aιics Uωrnclη; iri Οι.ιό Mrιlhι.'­
rrιat-iι:s G'υ.rΤiπιl·ιιπι. 3Gtlι Yc·,nlωolc. Η.('.Τ.λ1. (197:3)
[-±1].liknlin, .'. ' .. ;-ιnd Sh,1f;-ι1·eyir:l1, 1..Η... CωmΔτiΡ8 ωι.d (~'1υ1ψ8. .llετ:i­
ι_ψ:ωη :1τ:ό τη Γωσιχ~. έχδοση (1983) Spl'ingcI.
[44]Pertoe, D., Α. ω·ιι,r·8ε oj (~απrι.εtr-:ιι jor· ('ollι;go, αrιιl /Ιrι,ι,υι:r-8·1,t11;.<,_ (:;-un-
!πirlge. (1970)
[-±5]Γcιtoc, D. G'·ir·clu,::Λ Λfαtfιαrιαtίωl i,'-ic:ιu. DoYCI",1979.

260. 242 ΚΕΦ. 2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[--±G]Γοίηαιη Η ΛΠα
-:S:r;.ιp:xσ'fί -:0 1J Lrι.
1997. (ΛΙε-
[47] Poinaιrf, 8f'if;rι.a αιι,ιl Ηyμοtlι,ο;·ι,:,. DoYf'Γ, 1958.
[--±8]rιc·ίιι :χι. Unduψadυ.atc: G'uπιπιutα{ι:υc: ΛΙ,ιιc/ιηι..c:ωnlπiιtgc ΓηiΥ. ΓΓC'C>C,
C:-unlπίίlp;e, (1995)
[49] G., S)·ntl1etiι: re.-ιso11ing cιnrt Y<πi:-ιl.Jlρ sρts. Ι11: LcnνYere Γ. Υ. nnrl
S. (~(ls) C'αt~;g01'1:e8 irι. Crιntirι.1111111 f'lιψ;ir8. L.l.ll # 445, (1986)
Sρingcr--'c1·la.g.
[50] S,1.to, 11. Algr;bπιir 'l'apology: Αη lnt1ιiti:11r; ApJJroαrlι. Tr.-1nsl,nions of
Ί.Taιlicrnaιica.l T:foπop;r·aρl1s, vol.183 ΑΓS 19Ω9.
l!J1j Sl1aφc. R. Υ., DiJTcn!rι./-ial Gωrιtι.!/ry· (!rιr'/αrι.'8 (iι.Φ.ι!Γαlίzα{iοη o.f
Klι;·irι's Εr1αrι.ψ:η Ρ·ιν,φι1.rrι. S1.πingcr-, 1997.
[!J:2]Sclnvc1xllΓcψ;cr·, Η., Gωrιtι.!lηι of Corrι.J)lcx IT-urnbr:Γ8. T)oγcr·, 1979.
[!Π] Slnιtψ;, (:., T,irι.caΓ Α/.ψ!bηι αrul ί/8 AJ)pliωliorι..c;. :3r-(Jc<l. Hai·coιιr-l Rr·ac'c
.Jon1n0Yi<·l1.1988. (ΛΙεταφpασμένο σ-::::ι: Ελληνυ<ά: :::ι:π:ύ τ•.ς Παν/χές Εκδ6-
σεις Κpή-:ης.)
[54] Toπct.ti. R .. Γlι.·ι1υsυJ)lι,:ι; uj' Gcurrιι;fη; .frσrrι Rίαrιαηrι tu Γu·irιαπrS D. Rci-
rlel Pnl1li~l1ίng Cοηψηη)Ό Donln•<·lιt, 1984.
[5,)] Η. cιnrt Sz.-ιl)(), S.. Α ·uα;tor· ΑrφηΗΜ'lι, to ΒιΜ·l-iιlεαrι Gαηrι.ι·trΎ.
~:α:tοΓι, ι,pαreι, ωιΔ Affine GPonι.et-ry.
l1Ό/:;2 Trirι.cr· pινdιιc:l. F)uι.)idωrι. Gωrιtι.!lηι αrι.d Tr·i,ι;orι.orrι.r!lη;. T:facMil-
lan. (1971.1973)
[!JG]Υί1·s/lψ. Τ., R1·ca.Hl11-01ψ;l1s ίπ l11cΓs.γclioloκν or 1cal'l1irψ; at](J lca.cliίπ!'ζ
Ιη: Spacι; arιd (;ι_:urrιc:trH: Γαpcπ, j'r-urrι α ·ι·u,"Cu.r·clι ωu·ι-kslιup
(Erl). Coloωlnι~, Οl1ίο, EHIC;/S::IEλC, 1976.

261. Α YTOJJ
ο χοσμος ο μιχpος, ο
Οδ. 1'.'Λ Yl'Jfl,' (;1ξων 1'.'στl)
Κεφάλαιο 3
ΤΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΆ ΚΑΙ Ο
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ:
Μια Εισαγωγή στα
Διαλεκτικά Μαθηματικά.
3.1 Εισαγωγή
Σ-:όχος -:ου χεψαλαίοJ αJτοι εlνα~
μας ε:ξηγ/1σεις. Θα ωωλουθοι'ψε -:η,, 6::τοψη -:ου 1--'.-ιηl

262. 244 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ

263. O B
M
A

264. 246 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
εuΘε:{αc:: τοu μη Λρχψήδε:ωu μιοοσχοπ:ιχο(ι χαι τυυ Λpχψήδε:ωυ μχοοσχο­
πιχοι).
!! ν-"- 1 - 1 .'1 - •• ,: ._,. L~1ι,ζ_., ·ψ,
σο():::φότε:pΎj ~ροσ~:iΓJε:ι:χ ,,,τιχsc:ίσασης

265. ~ 3.1 Εισα.γωγή 247
το ~Ωεώδες)) σχετ~ζοντα~ ;-:p.:Ί:γμ:.πι με ιδεώδεις ::.φιtJμοϊJς, r:ου :::pίσχον-:αι
ίσως σε ένα &λλο ((ε;-:ίr:εδο c,ο,γμχτυωτcc,τα,,,,,
Ας
'cιllis, I3nrnJ l"ι-,,yto11 χαι Leil>11ίz, σ-:01Jς ωωlο1Jς οyείλεται η ανακάλ·1ψη
του α~τεφοστιχο6 λογισμrΗJ. λυτό ;-:oJ συν/1θως εlνα~ γ,,ωσ-:(; ως ((μεσαιωνικό
αμάλγαμα", α~το-:ελεl-:ο ;,cϊφι.α:
(ί) λ~τύ -:α ;-:pοβλήμ::ηα με -:α οτ:οία ::ωχολεl-:ο ο λρzιμ!ιδης
(ίi) Αr:ό -:ην ανά;-:τυξη σοβαρών υ:τολογιστιχών -:εχναών χαι αανο-:ήτω,, χα.ι,
(iii) Α,-ό -:η-, ελει)Οεpη χαι διαισΓJητ•.χ/1 χρήση το,) ά;-:ειpου και -:ων ,ηειροσ-:(;Jν.

266. 248 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3.2 Επιχεφήματα για τη μη-Ύπαρξη των Απεφοστών.
<(α:τειpοσ-:όJ) = ---~-
,.::τειt"'r- _ :1t"'ιΓJ.' _··
Γr_α -::π1_,,: Υ:n:εφους cλ,;HY;;iH,_,,,.,_,,
εί,,:.ιι αΟ,Jνα-::η. 1α
τό-::ε
έτσι; 2χ = 2:ι· +dx κ::tι εκυμένως θα ~ηλ:::ι:δ~ το μηδέν εlνα•. -:ο
της έννοιας το'.J πpαyματιχοι5
:α:ειpο­
α,ο·ιn,nσ,,οuε σε
ποu είvαι

267. ~ 3.3 Ενδείξεις για. την Ύτια.pξη των Ατιειpοστών. 249
3.3 Ενδείξεις για την Ύπαρξη των Απειροστών.
F:χτόc: α~ό το
χαι σωσ--:~
τηc χεp:χτοειδο(;ς yωνίαc, τ:ου δί,,ε:ι
των α~ε:φοσ--:ών, 1πά:pχο1;ν χαι χά:τ:οι:χ
έχουμε:,
χαι αυ-:(; ;;:χ,;6λο ~του lillln-oo (;}η 2 + 5) = +:χ, χαι lillln-oo (4η:; + 7) = +oc
l'ι:χ,,:χ
χ&θε: :ποχλε:ίνουσ::t ::ιχολο,Jθί::t. ::ιν&λογα με: --:ην
μ~τοpε~ :;.ω:"ο(:~ε:. 3 tΛt'ο-'ετ:.χ' ' ..εc-'::;:,._
1 1
-;;----,() Χ:ΧL ~----,(),
1
ωσ-:όσο -f---+
n1
r:oJ -:ε:tνει -:ο
+7. F,:ττ-σμένι.,,ι::

268. 250
pοσ-:ιχο1)
ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
Σχήμα 3.2. Ε~<·lιι-,r: Η έv,,οια του ορίου.
Το γεγο,,ός, ;;..z.,ό-:ι δε,, εί-
αr.οΩοχ-!1 :του θα χανείς, σΥjμαίνει
ο,ραοc,σω:χο; τpό:π:ος εlνα•. δ•.δαχτιχ:i :π:•.ό ε::π:•.-:~;χ/1ς.
-:ου γp·::Χ?ον-:ος. ο «σωστός τpότ:ος διδασχ:χλίας» -:ο~, α:τε:ι­
στηplζετα•. σε μι::t χα-:&λληλΥj δ•.αλεχτιχή σ'Jνθεση
των δ,~ο τpόr.ων:
:n:ou σ-:Υjν 01Jσία είναι ο αν,ο:λ•ο;ccχί,c-σcοcyω,χόc
με το ::.φιστερ6 ημωψαίριο -:oJ [6.
με τα :.οτεφοστ:i. 1του είναι ο ολιστιχ(;ς-δομιχ6ς τpό;:ος (αν-:ί­
με: -:ο δεξί ημισrt::tίpω -:ου εγχεη:iλου).
F:ξ :iλλου :11)-:ός είναι χαι ο ?~Jσιολογιχός τpότ:ος με -:ον ωωlο ο εγχέφαλος
αντιλαμβ&νετα•. -:ον κόσμο.
3.4 Το Διαλεκτικό Σχήμα: Σταθερό-Μεταβαλλόμενο.
11εισ::tγωγ/1 της δ•.αλε:χτυ-c/1ς στα
fγινι:: α;;.r'ι τον F. Υ' Τ,,1ΥΥ(Οη'.
Συνόλων
ριώ,, (βλ.

269. 3.4 Το Διαλεκτικό Σχήμα.: Στα.θεpό-Μετα.βαλλόμενο. 251
(ί) Ζ.:ταθεpές χα~ στατυcές οντό-::'Jτεζ ενάντ~α σε με-::α~αλλόμε,,ες χαι δυναμι-
(ii) Ποι:rοηyj Χ:ΥΙ Jf:ΊΙ ολι.π-;-ι-
χά: χαp::α-::ηpιστιχά:.

270. 252 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
σ:tουδα~ό-:ερ(i μέ?υς τους είν:χι ο :χ:rtειροστιχό:;- λογισμός, δεν είν:χι οl)σι:χσ-:ιχi
τt:τοτε άλλο :::χpά η εψαpμογf, της δι:χλεχ-::ιχf,ς στ•.ς μ:χθτ;:.ια-:ιχές σχέσε~ςο.
Αξiζει :χ;~όμη να αν:ιηipουμε την ά::ο:}η ~:ω-:ο•j του [δωυ -:ο~ ιi~hni7., βλ
το [17, ρ.397],
,ιθ:.χ 1ιpέ-1ιt:ι ..:.ίν, :.,; νv.. μην ξt:χν:.ί:μι=.: ύ·.ι υι μυ-φέ,; ,ιuυιJ·ιη-,ι=.:ς.,
α.χόμα κ,:ι•. αν λτ;?θο·Jν με τη λαϊκή τους έννοια, δεν σε χαμι:i ::ερt:ττω-
ση σ-:::χθερέ::; χαι οριστικές . ,1 ~:ωμένως μι:ι r.οσό-:τ;τα ό;:ως η rlx ε[ναι χ:iτι
με-::.ι;3:χλλ{ιμενο , χ:iτι ,cου εξαpτά-:αι και μ.::-:αβ:iλλεται με το ,ίχpfινο)).
Σχήμα 3 .3. F:cslH;r-:T.ίl)cr·alion . Α::ό -:ο σ-:::χΟεpό Καντοpιανό σ-:ο με-:αβ::ι.λ­
λόμενο μrrKαvτopιαvfJ
Στόχος -::0·1 χεy:χλ:χίου α1JτοV εtναι να διχ:χιώσο·;με -::ην &.r.oyη ό-:ι, ::pάγ­
μ:χτι ο αr.εφοστχός λογ~σμός είν:χι ακpι;3ώς η εφαρμογ+ι -:η:; διαλατιχή:; χαt
ιδιαt-;ερα -:ου νόμου -:η:; Cψ;ηση:; -;η:; άρνησης στις μαΟημα-:ιχέ:; σχέσεις.

271. ~ 3.5 Η Άρνηση της Άρνησης 253
3.5 Η Άρνηση της Άρνησης. (ΑΑ)
ξο,,οθι,ωρήσοψε τη
με: μι:::ι: δι:::ι:λε:χ-:ιχ~
της ά.ε:;νησης. '1<:σ-:ω ό-:ι μας Μνε:-
- 1. -~·, Υ.';
,,ο~,ς pη-:ο(ιςη. JΤ:.χ. σε: διωφιτό χρόνο, δ-r/::tδ-11 αν
ιων •.(;ιυλυι)Ο•.ιi'Jν μrj ,ί;Jν,
ως
λέγετ:::ι:ι α.κυλυvθ[οι ";"fJU
ι;vσιχός rισ Ε Ν. -:έ-:οιος

272. 254 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
ώστε:
δηλαδ/1 ι q,, - Qm ι~ ο.
3.5.2 Ορισμός. 'Jiσ:ω f, g ε l'ό-:ε,
J g ανν J-gE'~1
3.5.3 Πρόταση. Η είναι μια σχέση ισοδιJVαμίας τΟ') συνόλοι)
χαι ετ:ε•.δή d.rι + -------.Ο έχο1Jμε τελιχ:i (α,,,) (cc,,).
3.5.4 Ορισμός. Οpί~Ο'Jμε τtψα το R ως -:ο αχόι,,ο,JΟο σ'Jνολο τ:ηλlχο· 1R:=
•c;
το δε σύνολο '6;1
(1",i+c<n) C:

273. Μη συγκλίνουσα
συγκλίνουσα
σταθερή ακολουθία
[{q}]
[{cn}]
{cn}
{q}

274. 256 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
άπε~-
-:() ~,
εν,~ η ::αολοvθία αvτ•.;τpfJσωa.ος
(ΙΙ) Δεύτερη εφαρμογή της άι,νησης της άρvησης.
Η
;-:pώ-:ης
~οσοδεlχτες τ:ου αν::tφέρον-::χι σε
-:ης στα&εpό-:ητας των στοιzείων -:ov R μας ~ποχpεώvει ξανά, να

275. 3.6 Η Διά.στια.ση των Ατόμων του R.. 257
το σGvολο των μετ::(::ίαλλfJμεvωv τ:pαγμα-:ιχ,~v σε διαχριτfJ zρfJvo,
:-{flf: ~R}
Το σ<,,,ολο μ.--.οpοι)με να -:ο διαμερίσουμε ως :::αολο(/Jως:
Jlζ_N ='CU,.c/U6''.
Urι;,::; /.ι.rι Y.VV Urι = b11• Τι= 1,2..
χα.ι Υ.'ιεξέλεγχτη
:τ:.t.p:iδειγμ:.t., -::ι.ν
{
1 ανΗ='2Α:-1
απ := Ο αν η = 21,, {
Ο αν Η= '2k - l
Y.Y.L hn := 1 αν η= 2Α· ,. ~ 1. 2..
::οιος
:του Θ-::ι. μας οδηγ~σε~ στον ορισμό της ζη-:ο,Jμενης
ισοδ~;,,-::ι.μί-::ι.ς.
3.6 Η Διάσπαση των Ατόμων του Η.

276. 258 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
(1) Tr;v ταχ•)τr;τα σ'Jγχλισr;ς των χχολοι)Uιr5ν χ:χι
(2) Την ασυμπτωτιχrj συμπεριφορά ή τiξr; μεγέύοι)ς των αχολουύυJv.
δοϊψε: .--.pu')-::xέ,,::ι. .--.::φ::Χδειγμα: Η ::οωλουΟί:χ
. Η χα.τ6:λληλη έννοια ;:ο•; ενπω:1π:ώνε~
τον τ:pοβλημ:::ι:τισμ6 -:ης σ1)γχλισης, δlνετα•. μέσα α;-~:6 την έννοι:::ι:
του ασυμπτωτικοι) παράγοντα σύyκλtσης. Έστω μια r;·1γχλlνο1Jσα σ-:ο ο
αχολοJΘία (απ)- l'ό-:ε αν :.;,:6:pχει το 6ρω:
(ί) λν ο p 1πά:pχει, τύ-:ε,
(ii) λν Iρ 1<1 χα~ k εlνα~ ο
ε < 1. τότε Ι α - α11 Η 1<ε

277. ~ 3.6 Η Διά.στια.ση των Ατόμων του R..
Λναψηιχά με
r.01J μr.ορεί να
ο .. .(~).
(,1,Jω
01Jτε την -:ελικ~
'λρα ο~ ((ουρές)) :του
(7 ).(f,,)
(τ;!;;). (τ;;~;,;)
της χαθοpίζοJ,, τ~ς δ,Jο ~ασιχές μας
στο να Οεωpi1σο1)με -:Ύjν χλ:iσΎj
:= { Τς Ν I Ν - Τ είναι :τε:π:εpασμένο}
fJλων -:ων ,ωυρών>J -:ov Ν, Υ.αι να εξετάζουμε -:η
r.άνω σ-:ις (,οιψέςJ• Τ ε . A:τfJ -:ψ, r.αρα:::iνω
αχολοJΘίες ~του -:αυτίζο,,ται :τά,,ω σε μια 1' ε
[Οιν := {(:,ιπ) Ε I Cln= 0 γι:t Υ..:ίθε η> ηυ ΕΝ}
~[:;ι Θέμα,α ,αχ,',,;η,;ας σύγκλιση~ και σχετιΥ.iι Θέμα,α /λ [Η. σελ. -1G9]
259
(·~ 1
•J . .l}
:π:αpιστα-

278. 260 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3.6.1 ΟρLσμός. Δ(,ο :::αολο~;ΓJίες f = (αi) χαι 9 =
Lσοδύvαμες αν 1JΊ1:άpχε•. Τ Ε
δηλαδή
(Ξ3Τ Ε §)(ι'·ιη Ε Τ)[α,,1 = /Jrιι]·
εκl -:0 1J
αχόλο·1Θη :τpόταπη.
3.6.2 Πρόταση. Η χλάση ιχανοποιεί τις τυχρχχiτω ιδιότητες:
(ί) Ν Ε χαι ω ι:i_
(ii) Α. Ε § χαι Α. ς;; Β =;- Β Ε
(iii) λ,1J Ε ::::;-AΠlJ Ε
λllU..1.Jc:IΞH: (ί) Είν:::ι:ι r;ηνε:pύ, αςJΟ6 0 = Ν - Ν χ:::ι:ι το 1/Jείναι τ:ε:τερασμένο.
Ν -1/J= Ν είναι :n:άντο-:ε --1[]
Α. Ε Αλλά
Y.:XL &:pα
= N-(.1nB) χ:::ι:ιΝ-.1. Ν-Β είναι:τε11:εp:::ι:σμέν:::ι:
, έzο1J:1,ε ε:τίσης ότι χαι -:ο Ν - (λ n D) εί,,αι :τε:n:εpασμέ,,ο
-il
3.6.3 Πρόταση. Η σχέση :=:c; ( Ο,οισμύς 3.6.1) είναι μιχ σχέση ισοδ,'_;ναμ{χς.
ατ:οδείξουμε
Α_ = {'Ιi, Ε

279. ~ 3.6 Η Διά.στια.ση των Ατόμων του R.. 261
(ί) (λ -:α.·;τολογίες είναι ::&ν-:οτε αλr;θεlς, ενώ ο~ αντ~y&σε~ς r.άν-:οτε ψευδείς.
(ii) χα.ι μ => rι -:ό-:ε και η rι εί,,α.ι αλη8f1ς.
η -:ίr.ο-:α. &λλο α.r.ό το γνωστό λογικό
χα,,(;νr::ι. συμ:τεpασμο,';, ιnorlns l)onens.
(iii) Τέλος η Μο ;φο-:&σε~ς p χα~ q ε:ί,,:.ιι αλη~εlς
τους εί,,:χι αληΟής. Για -:ο λόγο αυ-:ό ένα φιλτpο λέ­
γετα.ι στα ::λα.ίσια της λογ•.χής χα.ι (<J~:αpα.γωγιχfJ 11 α.τ:αγωγιχfJ σ(ισ-:Ύjμα))
(tleιlιH·ti-ve ~)·~teω).

280. 262 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
(α,,)
ισοδ1Jναμlας όλων -:ων
του 1;0.:-:po1Jχα•. ταξιvομείτ:::ι:ι
:n:ου έχουν τΎi συγχεχpι-
.ο..:·•1·- ,.·-· "'Ι'
Ε Ν ! -::r_,nτ, έχεr_ την ιδι(,τη-::α p} = ~
το-:ε χα.ι το ~Ω~6-:ητα JΙ.
Η •.δ•.ό-:ητα
~ ...Ί,_~,}(-Ί ~",
ότ•., αν η (1111) έzει την ιδιότη-:α
λ = {'ιι. ε Ν 1 -:ο αrι έχει την ~δ~ό-:ητα μ} ε
χαι -:ο σ<,,,ολο δειχτϊ>,,.
R = {η Ε -:ο ιιιι, έχε:ι -:Ύjν ιδιότη-::χ q}
f)/(f.
-:ΎjV
μ. -:α1π{ηροvα
Το ψίλτpο ._7χαι η σχέση ισοδJ,,:.ιμί:;ι:ς 1του σJ,,ε:τ:iγε-:αι, χα-:ασχε:.;::iστηχ:;ι:ν
Ο ο'Jτε :ι.π:ό -:η τιμή 1 χα•. ετ:ομένως
για r.αρ6:δειγμα οι ά.pτιο~ αγ~χ:χν στο
με 1 χα.ι η g ίσ'J με Ο.
(ίi) Jiστω
Αν ε::n:•.Ουμοϊ1με γ:ι.
J(n) ~ { _:
αν rι a.ε:p•:-:τ6ς
τι 6:pτως
γ:ι. μa.ορο1)με να οτ.,,φ,θυGμε
(1 > Ο) V (1 ~ Ο) V l.f < Ο)
Y.:YL της
αγfρr.ουν
οϊ1-:ε: :::ο-:ό
.r;δεν είναι
-~-:αν ίση
(:1.2)

281. Eναλλάσουσα ακολουθία
συγκλίνουσα
σταθερή ακολουθία [{q}]
[{cn}]
{cn}
{q}RN
[j]
*
R

282. 264 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3.6. 7 Πρόταση. Λ ν είναι ένα υπ:εpψίλ rpu τυυ Ν χαι •1= Λ1 u Λ:2 u
... UArι ΑΕ για χάποιο ·ι: = 1, 2,
'{L:X χ:f.~Ξ i = 1, 2..
τ:ου ε:ίναι ,::Χ-:ο:π:ο :χφοϊι
η σχέση ισοδ1Jναμlας r.0 1J οpίζε:-::χι ως ::pος
Εσ-:ω.
(ο.,,) (hn) {nENln.n=hπ}E (Η)
• f :;:::;;Ο αν οι r.ε:pι-:-:οί αχf(ΧΟ1Jν σ-:ο ο:τότε 9
• f :;:::;;1 αν οι ά.pτιο~ ανήκουν σ-:ο οr.ό-::ε g Ο.
Εa.ίσης cι.ν ποθέσοvμε: ό-:ι οι άpτωι ανήκουν στο .Υ:ι11, -:ό-:ε: για -:ο (ii) (Π::t­
p:iδε:~γμ:χ :Hi.5) έχουμε.
λογιχ& στον
f - l χ:χι έ-:σ~ f < Ο.
λUνει όλα τα πρn­
πpοbJ,(ψα;c,σ,cωuς yια τη τιχχUτr;τa:
3.6.8 Ορισμός. (i) Εστω j' = (α.rι) ..r;= (b11) Ε -:fJτε:.
ι f ::::;j g :iνν {n ΕΝ I O.n = 611} Ε ,_?ΛΙ
(-)ε:ωρ,~ν-:ας τις ::tχολοvθίε:ς (α.rι) χαι (b11) ως μετο,>ο;ΛΛ<ψε·,ους
χο,Jς αpι~μοl!ς σε διωφιτό χρό,,ο Ν. η 1τω
ζει δϊιο μεοα,;ο;Μ,,με•,ο;;ς τ.οcιvα•;οι,((;c,c.

283. ~ 3.6 Η Διά.στια.ση των Ατόμων του R.. 265
(ii) Το σ1)νολο --:ων μη-συμβατ~κών αι,~θμών οplζετα•. ως εξΥ::::
Αν δε συμβολίζο·;με με [αrι] την χλ6:ση ισοδ1Jναμlας της (011) τότε:
• [a,,]~ [Ι,,,] {η Ε Ν 1 = lJrι} Ε
• [οrι] + [lJrι] = [οrι +/Jrι]·
• [α,,] · [b,,]~[ο,,· Ι,,,].
• [υ] είναι το 01Jδέ-:εpο στο~χεLο -:1ις ::pόσliεσ1ις.
• [1]είναι το
Αν τώp::t [1111] i= [u]δηΛαδή -::ι.ν {η Ε JJΙ 1111 t- u} Ε
:= { αrι 1 ::t',Ο.11 # Ο
Ο αν = Ο
[-αη] είναι
[,n] ~ [1] αψο•J {n ε Ν I α,, · ~ 1) ~ {n ε Ν 1
είν::tt εϊιχολο να δειz--:εl ότι δε,, εξ-::ι.p--:(;J,,τ::tt α.--.ό τ•.ς
ανc•.a,οσ<,Jcοος (ο,,), (1,,,).
Εlνα•. ε1)χολο να δείξει κανείς ϊηι η δομή
σώ:_ια, βλ. Θεώp1ι:_ια ;).7.1.
S::)είναι ένα διαταγμένο
"":Ίf.'J.ι"c,ς
αλλ& σε ~τω

284. 266 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
r.αp6:δειγμα -:ο α:n:εφοr;τό :n:ou:n:ροέpyεται α::ό την αχολουΙΊία χ.λ:τ.
μεγ&λο
χ.λr..
1 αν rι Ε Γ{~k := {:3/ϊ l lϊ = 0,1,2 .. }
Ο αν η Ε Ν:31,-1 (:Ι.5)
τελε-

285. ~ 3.7 Η Δομή του
Τα σωιχε{οι έχων
οι 8ομές συyχροτοUvτοιι σε
267
3.7 Η Δομή των μη-Συμβατικών Πpαyματικών Αριθ­
μών και οι Σχετικές Γεωμετρικές Παραστάσεις
λlε: τω,, ιΩιοτfι-:ων του
Οεώpημ:1.
ε:ίναι σχε:-:ιχ& ε:ϊηωλο ,,:1:11τ0Ωε:ίξει Υ.::tνεtς
3.7.1 Θεώρημα. Το είναι ένα διοιταyμέvο σ(:5μα.
λ1ω..1.Ιc:ΙΞΗ: Γι:::ι: a.:::ι:ρ&δε:ιγμα Ύj ε:a.ιμε:pω--:ιχή ιδιϊηη--:α α;-τοδε:ιχvGε:-:αι ως ε:ξf1ς
Εστω [αrι], [lJrι], [r:rι] Ε 1'Η, τότε.
[α.,,] · ([b,,J+ [,,]) [α.,,] · ([b,,+ ,·,,])
[orι·UJrι+r;rι)]
[(α,, · b,,)+ (α,, · ,,,)]
[απ]· [h,,]+ [απ] · [,,,,]. -il

286. 268 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
ομομοpφ,~μός ποι., δια­
ισομοpφιχά
= /(.~)-:ό-:ε [r,Γ... .] =
'>. ----- - -' -- - -- j_C __ -
OLU:. Ι 1 f-'e,~ LL(, ,cf-'•J.S.):,L(, ,,;,..ι~
i(,·J + ψ) ~ 1,.,·....Ι + Ι.s •.s... .Ι ~ 1,·+ .s.,. +.s•. .Ι ~ ψ + .s)•
...] < [8, 8 ... .] ισχύει για χ6:Ι'ιε Η ΕΝ
-:ότε: -:ο ω δεν είναι
= {rι Ε Ν I Γ = ιι }
δηλαδf1 r.ε::φ:ισμένο και έ--:σι Α tf_ ~Δ..pα
{Η Ε Ν I τι > r} ε /Υυ για χS:θε Γ Ε Jlζ_ χαι έτσι
lΌ ω λέγεται ά;:ε:φα μεγάλος το δε
... ] είν::tt έν':J.. α.;:ε:φοστό .-.ο~, ε.-.ίσης δε,, :1γf1χε•. στο -11
3.7.3 Ορισμός. 1α χ&θε ·J' = [rn] Ε
της τιμής ως ωωλο(,Οως:
ορίζουμε τη σJ,,:ly-:ηση της απόλυ-
1·1, ~Ί,+ ιι ,~1,1~11
3. 7.4 Πρόταση. Για χάfJε Γ = [Γ-rι] Ε έχο,'.ψε:
11,,,11
ΙΨ{ _;;αν Γ > Ο
αν r = Ο
αν Γ < Ο
{
[rΊ1] αν {η Ε
Ο αν { η Ε
-1,,,1>> {ΗΕΝ
{[,,,] [,·.,,]>ο
1,·,,1~ο
~·[,1i]< Ο
11,,,11~1,1
>0}ε]Λ1
~ Ο) Ε
< 11}ε
(:J.6)

287. ~ 3.7 Η Δομή του 269
3. 7.5 Ορισμός. Εσ--:ω Ε ~JR--:ό--:ε:
(ί) lΌ .ι· λέγε--:αι πε;:φασμένο (finHe) ή περιορισμένο (lirnHe(l) 12 α,,ν
Ι .r η γ~α χ.:Ί::τοιο η ΕΝ, άπειρος ή απεριόριστος δε αν,, Ι χ Ι> η γ~α
11Ε
(ίί) Το .Ι' λέγε--::.:ι απειροστό (σ~ψ(1ολ•.χ:i .Ι' :c::::Ο) αν για χϊ(Οε η Ε IΓ 1<~
(ίίί) Το .r είναι
(~--:ο εξ-Ι1ς Οα
Elvα~ ;:?οy:.:νές ό-:ι χά.Θε ::ε:τε?ασμένος υccpcoαnατcxo,
αr:ό ένα νέ9ος α;:ειροστών, ό:τως ο
χο,)ς χα•. --:α1πίσουμε όλο'Jς fJσo'Jς
,:ι--'σχσν,..(L σ,σ '~ισ ,.'.,σ .. τ' ,C ._y_'r'νσ',,'C
ιι) ανν .r - y Ο.
κο1Jς. Ε-:σι ψ'Jσιολιογικά οδηγο1J:.ιασ:ε σ-:ον :n:αpακά-:ω Ο?ισμό:
3. 7.6 Ορισμός. (ί) Για χάΟε .Ι" Ε Ή. οpίζο,)με τη μονά.δα του .Ι" ως εξ-Ι1ς:
ιrι(χ) := { .i.JΕ I χ y} (το νέ9ος απειροστών γύρω απ' το .Ι")
(ίί) lΊα χάθε .r Ε ορίζουμε το γαλαξία του ως:
ση
Το
Για
G'(x) = {y Ε I χ - '!J εί,,:.:ι ;:ε:τεpασμένο}
το C(.ι:) είναι -:ο σ,Jvολο όλων (;σων α;:έχουν r:ε;:εpασμένη α:τόστα-
• πι(α) = «το σι)νολο όλων τω,, ά.--.ειρα χο,,τ:i στο:,:,,
• ·rn(O) = ((το σ1Jνολο -:ων :.:~τεφοστώ,,,1 ~του Θ:.: -:ο σ:.ψ}ολtζουμε ε:τίσης
και με ο, (ο μαpό).
Ε::ίσης. ε:;:::;; Ο, δηλ:.:Ο~ αν ε ε πι(Ο), -:ότε το σ,Jνολο,
G (~) ~ {~
ε ε
1 .,· Ε (;(Ο)}
υ~τεp~τpαγμα-:αοl, ;:ο~ α;:έχουν r:ε:τεpασμένη
μεγΥ.λσ 'J:π:ε~:π:ρ:1.γμα--:ιχό ~

288. 270 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3. 7. 7 Θεώρημα. (i) Ο yαλαΕίαr: ω,'_; μr;δενόc c;(O) Ξ Ο ε{ναι ωc σcJνολο.
χλειστό ως πpος τις πράξεις, της πpόσ'/εσης, rη,α(.σεστ;ς χαι πολλαπλα-
(ίi) 11.uovilioι τοu μη8εΥός ηι(Ο) Ξ ο είναι χλειστή ως προς τις πράξεις της
(;3) ε Ε 1n(O) χαι Ιι Ε Ω(Ο) =? ε · h Ε ηι(U)
ΑΠΟ....'>~ΤΞΠ: (i) ic:στω Ιι, r Ε ι-.-;'(Ο). Τό-:ε 1J1τάρzουν Ι', ς Ι:Ξ -:έτοια ώστε.
1Ιι Ι< Γ χ:.:ι 1(:Ι< .s. 'Αpα,
llι+r:I < Γ+8
llι-r.·ι < Γ+-~
ι ιι · r ι < ϊ · 8
F>:σ•., l1+r:,l1-r: χ:χι lι·r· c:ι.Υf1χουν σ-:ο (.'(Ο). -1[]
(ii) α: Εσ-:ω ε. δ ~ Ο. 'Ap::tIε 1<-fu-,1δ 1<~ γι:>: χ:iΓJε: Γ Ε χαι ε::τομένως,
1ε ± δ 1<Γ. γι::t χά:θε Γ Ε R+ χα•. ε:11:ομένως ε ± δ Ε rrι(O). --ID
(ii) ;3: Εσ-:ω ε ;:;::,Ο χαι b Ε c;(O)
ώστε, ι rι Ι< t. Αλλ&. για χά.θε '('Ε ιt+.
ι ιι. ε Ι< t . Τ = ϊ γ~α χάθε ϊ Ε JR:-' δηλ:ιΩή
() έzο1J:1,ε
ο. -il
3. 7.8 Σχόλtο. Το :τιο :τ&.,,ω Θεώρημα :_ιας λέει ό-:ι:
• Το G(O) εlνα~ ένας ·ποδαχτύλιος του
f Ε R -:έ-:οιο
lεl<f-~Δ..ρα
• Το 'ΙΙΙ,(0) εlνα~ ιδεC:)δες -:0 1J G(O). Είναι δ·1,;:χτό,, να ότ~ είναι
(11ωχiω,ιl) ιδεώδες του G(O). Τότε όμως έzο1J:1,ε χα~
ή νέφος.
χS:θε .ι· ι= Η.
πράyμcπι

289. ~ 3.7 Η Δομή του 271
Γ - c; Ε JR.'Λpα Τ - .:ι = Ο, αrιοG το Ο εlνα•. το μαναδιχfJ ατ:εφοστfJ του JR.Ετσι
(ίi) Υπαρξη: Jiστω .4 =
Γ Ε Ή. με: .Ι" < Γ, έ-:σι το
το1J IR.
::.ο:εφοστfJ. ό-:ι δεν είναι, -:ότε 1J7i:6:pzε~ r Ε Η.- με
χ - α >Ο.τότε α. + ι· < .ι:, ;-:oJείναι 6:-:ο:το. r:ηo'J α. = s1ψΑ.. Αν .ι; - α. < Ο
τό-:ε :τ:iλ•. έzο~ψε: χ< α-Γ, .-.ο~, ετ:ίσΎjς ::t',τtφϊωχε:ι με -:η,, ε:Ίc•.λογή το,) 11. 'Αpα
J: - α,::::; Ο ii χ -cc:::u. --!!
Το
ψαηι,σκο"c<ή εικόνα των r.pαγ:_ια-:ικC:)ν)). με το
ψccψ,σxc,ccαc" -:ων 7cp::tγμα-:αών,).
3.7.10 Ορtσμός. Ορίζο1J:_ιε -:η συνάρτηση του συμβατικοι) μέρους ως
ωωλο'JΘω:::
sι(·) ,Ο~ R // .ι-sl(x)
όr.ου -:ο sι(χ) εlνα~ ο μοναΩυc:i οpωμένος r Ε τέτοως ώστε .r ·ι·. 11 τ~μή
της σ1)ν:ipτησης sl(x) σ1)[..(5ολίζε-:αι χ:χι ως 0.ι· χα•. λέγε:-::χι -:ο συμβατικό μέ­
ρος του χ.
Ετr;ι χά.Θε χ Ε Ο Ξ G(O) έχει μ~α :_ιονα:Ωιχf1 ανά.λυση.
όr.01J Τ" = st(,ι:) Ε Η χα~ ε Ε '111.(0)Ξ L-1.
3.7.11 Θεiψημα. 11 πuνάρτηπη Ht Ο--------" R έχει τις αχόλοuθες 181ότητες:
(ί) Η .c;lείvχι
(ii) .,ι(., ± v) ~ .,ι(.,) ± .,t(v).
(ίiί) Ht(.r· y) = 8t(.r)· Ht(y).

290. 272
(ίν) st(J.)ιιl = .,:t(x)!st(ιι) άν st(-u) i:- Ο.
(v) Λν χ :c;// τύτε st(x):::::;st(.y).
(vi) 8l(Γ) = Γ yια χάΟε Γ Ε
(vii) Αν y = /χ τότε H{(JJ)= v~·
ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
(ί) F,στω ·Ι' Ε R.
αp•.θμ6ς στο
ε Ε πι(Ο), ·!'+ ε είν::tt ένας μον::tδιχ:i οpωμένος
--ίίί
st.(.1)±st{y) ;ο.:,.ι +.ιι
st(.ι·±:ι;);;::; J;+ΊΙ
λ;~:6 -:ις (*) χα•. (**) έzουμε ό-:ι
st(:ι· ± .1J)::;::;st(x) ± st{ιι),
(Η)
εa.ειδ~ 6μως st(x ± .1J),st(x),st(.ιι) Ε JR.έχο1Jμε ό-:ι st(x ± .1J)= e>t(x)±
st(u). -~α
(iii) Α::οδε~χ,/ιετα.ι όμοια. με -:1ιν (ii).
(ίν) stϊΙ") = sι (1;·:ν) =
(v) λ,, .ι; :::::;'!/ τό-:ε χ =
stϊΙ")+ε:::; +ο
για χά:θε Γ Ε
st(x) <; st(y).
(vi) Προφανές --1[]
(νίί) λν n:.z.Χ > ()Χα•. :ιJ =
λr;γω της (iY). :Δ._pα
Σ·1γf1Θως
λοι.Λ:1οl!με μ~α
~ χ χαc st(.,) ~ st(y'J ~ [st(y)]2
-il

291. ~ 3.7 Η Δομή του 273
ΒΗ:ΙΑ 2: Σ-:η συνέχεια εχτελο,~με -:ις :τp:iξε~ς :n:ου r.εpιέzou,, τη σ1J­
ν:ipτηση του συμβατιχο6 μέpοJς. χα~
uπ._v1.1-1. .:,: Ί"ι:λος :::χτ:::λο,~μ::: -:ις :τρ&ξ:::~ς μ:::-:αξύ -:ων συμβ:πιχών :τpαγ­
ματ•.κϊ>,,.
r.ράξεις:
5 (1Π' + 8Π2 - 5Π)' .
ι 4Η;'·-7Η2 +'2Η ο:το(, Η Οετ•.χός ά.--.ε:ιρος
:Η3 + 8Η1 - 5Η :1+ sH- 1 - 5Η-1
(:= 4Η?,_ϊΗ2 +'2Η 4-?Η-1 +2Η-2
Αλλϊι. τα Η 1. Η 2 , ε:ίναι ατ:εφοστά, έ-:σ•.,
( :J+s11-1 -r,11-')
st((:) st 1 - ϊΗ-1 + 2Η-'.!
sι,(:3)+8sl(Ή 1 )-οsι(Ή 2 ) :J+0-0
sιϊ1)-7sι(Ή-1 )+2sι(Ή-') 1-0+0 1·
α:τό τη δJ,,ατότη-:α
γυμνού οφθαλμού" χαι -:Ύjν
α;cιΛαμρ,,νυ;.1αστε -:ις α:τεφοσ-:ιχές λε:τ:-:ομέpε:ιε:ς
α"'ιΛαμ.ο,,·vοcησcc -:η δομ·~ του
το μεγασχο:n:~χό. Για -:ον α:τό­
:τεpιοpισμοί

292. 274 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
μέσ:::ι: αa.6 μι::.φοσχόa.ι:;ι: χαι τηλεσΥ.611:•.α ο οpίζοντ:::ι:;:: μ:τοpεί γχ διεv-
!!
ι:.:ι: O'J(J:ρ·..( ,ιχ,.( ,ων 1.t:.. t-p1.1.-
σ:_ιέvω,, υ;:ερ;φαγμ:χτιχC:)ν, χά.νον-:ας -:ελεlως α:τό το r.εδίο -:η,, α:τει-
1 ια να ~α
χόσμοι, JRΚ::tt σ'Jνδέο-
Ε-:σ~ γ~α :τα.pά.δειγμα.. ο~
'-.-,-,':.;..., 'Ι ,-"'',~'- -~,·
δοι)με όμως τ:pώ-:α μεpιχ:i τ:αpαδε:ίγμα-:α με:γε(Υ,,,σεων κ::tt σμαpίνσε:ων:
ΘεωpοGμε -:η σ1ηάpτηση,
Ι,α+ !] 2. με:τ::t-
το Δ ,,κοόc.υ,ασ,.ασ, ""
-:ότε:
Είν:::ι:ι 11:pοψαvές
:iκεφα μεγ:iλη

293. Ra0
0 1-1
a a+δα-δ
§ 3.7 Η Δομή του *IR 275
δ, γ1)?ω α;-;6 τ<.ι u Ε R.:;-;?έ;-;ει "α εσ-;ιάσοψε το μιΥ.?ΟΙJΥ.r)π~ο .Uιι,δ σ-;ο ιι., δηλαδή
έχουμε τη συ"άρ-:φr, :
,Uα,δ : rrι(α) --. R /1:ι: ι---- [.Ια,δ(:ι:) =Ht.(; α].
-:ο σημείο εσ-:(::ωης α ε R, αr.ε~χοiίζετ.:ιι σ-:ο
μηΜν .u u
τ:ου Υ?ά9ε-::η ω::; χ = α + τδ,
α + δ στη :1ον,:ί:δ::ι. του ::ι.Jτεφοστιχο·J 6:ξονα
rησης .,;l στον ορι σμό rης μι~,δ , είναι για ν:Χ
;ι; Ε ιιι(α)
τΕR.ε'1ώ -:ο
απεφι;(ττιχές λεπτομέρειες 1Jψηλ6τεpης riξης απ() χυτrjν το•J δ . Τα:.;τ6χpQ­
να λεΙ:τuμέρειες χcψηJ.ύτεpr;ς τ&ξη, βpίσχυνται εχτύι; πεδtο:) 6pαση,. Γ•.α
r.αράδειγμα -:ο σημείο α + δ-2 Ε π~(ο) α.r.ε~κονίζε-:αι σ-:ο,
ι1+!JΖ - ι1
st [--δ -J = st[δl = ο
ΔηλαΙΗ1 -:ο a+ δ μ:χ::; δε y::ι:Lνε-::χι χα~ συμ::ίr.-:ει με -;ο ~.1r,οέν του
μιχροσχο:τίου μ:χ::;. έχουμε -;τ, γεωμετρι.χή :τ::ι.ρ:iσ-::χσr, -;0 ·1 Σχήμ,:ι-;ος
3.6: Ο άξονας του μιχpοσχο;:ίου είναι ~αθμολογτ,μένος με ~ά.ση το δ, γι-
Σχήμα 3.6. Το v. ε R στο μαpοσχό..:ιο συμτ:ίπ-;ε•. με το Ο -;τ,ς δ~αβ:iΟμ•.σης
του μιχροσχο:τίου.
::ω-:6 χα.τά χ-:ι..ν6να :::tντί του = .,., θα. γpά.φουμε α +Γι',, δηλαδή -:Jjν
τ:ραγμα-;ιχ~ Οέση -;ου σ-:ο *ΊR.
f,.:f~α άλλη γεωμε-:pιχή παράσταση [27] για -;ο σ6νολο -:ων :τετ:ερασμένω"
στοιχείων G'(O)Ξ Ο θυμίζε~ r:ερισσfιτερeι την r.·~.φάσταση των μιγαΩιχών αρ•.θ­
μ,;>ν, ~λ. -;ο Σ;ι:fιμα 3. 'ι ~λλά χαι -:α σχόλι~ σ-:r,ν σελίδ:ι 228, Xef.ι Οlνε:αι με
,3άση την :αόλουθr, συνάρτηση:
β U(O) - R2 /1 χ~ (,·, δ)

294. m(0)
δ
(r, δ)
r s
s+m(0) = m(s)
0 R

295. 0-δ δ a+δa-δ
άπειροι αρνητικοί άπειροι θετικοί
0 a
a
Πεπερασμένοι

296. 278 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
Σχήμα 3.9. Το ω:εp;.ραγμα-:αό y~i?ημ::.t -:0 1J ημ~χυχλίοv.
Υ
Σχήμα 3.10. Tr; υ:τe:p:τp::f.γμ::.tτtχό γράψr,μα της /( :1;) = ,?;.
e
Σχt1μα :J.11. Το υτ:ερψαγμ:r::αό Υ?iψ1μ-:.: τη<; :ι.ι - st(1:). ΙΙ συ·vCφτηση
11=i>t(x) , ::ι:λλ•.{)ς εμψανlζετα~ μιχpοσχοπ•.χ&: (εσω-:εpιχ::i) χα~ :ι:λλιώς μ::ι:κpο­
σχο;:ιχά: (εξω-:εpιχ:i). Τ(::οιες συνcφτήσεις θα -:ν:; ονομ:5:.ζοJμε εξω":εpιχές .

297. ~ 3.8 Το Σύστημα. (R, ~u,*) 279
3.8 Το Σύστημα (R, *)
οvτύ--:Ύjτες :του αvαψέpοv--:αι σ--:ο σε μα-
l 'Α~{[,,,,]ε'~Ι{ηεΝΙα,,εΑ}ε:,ΛΙ} (3.7)
Ετr;ι κάθε αχολο1J8ία λ 11 υ:τοr;•;,,όλω,, -:ο•; Η, ορlζει ένα υ:τοσύvολο [λrι]
του R., ως ακολούθως:
1 [ο,,] Ε [Α,,] i;; {11ΕΝ 1 "" Ε .4,,}Ε (3.8)
Τα 1;:τοσ'Jvολα a.ov :ταίρvον--:αι με τον τρύτ:ο αvτύ λέγονται εσωτερικά
··---•', ..,.". ..--.)
.llε όμοιο -:pό:το χάθε αχολουθlα συναρ-:ήσεωv fn IR ------, οpίζε~ μ~α
εσωτερική συνάpτηση, [!11] : ως εξής:
1 [/,,]([χ,,])•~ [J,,(x,,)] 1
χαι 'Ομοω•. ορισμοί δί,,ον--::χι χαι γ•.α σ~;,,:χρ--:iι-
3.8.1 Παράδειγμα. (i) Εστω .J." :=
δ~ασ-:'fί:_ιά-:ων του Η. χ:χι ο =
ς JR, rι Ε Ν μια αχολο11Θία
Ε Τότε -:ο
(ii) Εστω α = [α11 ], χ= [χ.rι] Ε Τ ϊηε η σvv?φ--:ηση
εlvα•. εσω--:εριχi1 εξ ορωμοG.
(iii) F.σ--:ω Α = [Α 11 ] ς
ορlζουμε.
Το νέο α:;τ() ολc,,cωcpωμα, ιχανο:τοιc:ί ϊιλc:ς --:ις σ,)vηΟισμέvc:ς •.διr)τη--:c:ς, :π:ου
χαρακτηρίζουν --:α ολοχΛ1;pωμαc,.

298. 280 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
ΛΙε fJμοιο τpϊηω μκοpοGμε να εωάγοvμε για έν:ι. εσω--;εpιχfJ ποσ,)νολο --;'Υ:ν
έννο~α του ·πεpr.ε::ερασμένου συνόλο1J.
3.8.2 Ορι.σμός. F.σ-:ω το ε:σω-:εpιχό ιηωσ(ινολο .--= Το Α O::tλέγετα•.
υπεpπεpασμένο ανν {11ΕΝ! Λ.,. είναι 11:ετ:εp::ωμέvο Ε
Ο εσωsε:ρι.κός πληθάριθμος του .--..οpίζε-:αι ως εξ-!1ς:
ca,xl (Α) ,~ [ca,·,J(Α)]
3.8.3 Παράδειγμα. Εσ-:ω Η Ε *Ν ένας 6:::εφος υ:τεpακέpαιος. Τό-:ε -:ο σϊJ­
,,ολο.
Τ.. ·-10_1__2_ ~11
• 11 • ι V• 11' 11' •• • 11 '• J
είν:::ι:ι ,;ccε,ccε,ασμέ,,υ.
ΠpS:γματ~. = [Η11 ]. τότε ΤΗ= [Τι~] ό:n:ου
1 2
Τ,, ,~{Ο.Η,,' Η,,
'λpα.
. 11,,- 1.1}
Η,,
πu·,Ι(Τπ) ~ [c«nl(T,,}] ~[Η,,+!]~ [Η,,]+[!]~ Η+!.
Η :ταp:χ:n:άνω διαωΙΊη-:ιχά δια-:ω,:ωμέν'fί αρχή. ωχ·Jει λοιr.όν για όλες -:ις ypαγ­
χληpονομεt 6λε:ς τ~ς
ε:ννοο,)με
μrηr;ιή:
• (f.ι:) [.r Ε Α. ===? ... ] 1του ~α σJ,,τομογpαcρεί-:α~ ως (ix Ε Α.)[ ..] χα~
• (Ξ3χ) [χ Ε Λ ] a.ov θα σ1;ν--;ομογρα1μ:ίτ::tι (Ξ1χ Ε Λ)[.. .].

299. ~ 3.8 Το Σύστημα. (R, ~u,*) 281
.llε 6μοω τρ(ηω μεταcρέpον-::.ιι χα~ τα &λλα αξιώμα-:α του l"ια ~ταp:iδειγ-
Ρ = (V.ι: fΞ Ή)('dU fΞ ΙR)(Ί:17 fΞ [.r< 1j ==,-.Τ +: < U+ ,.,]
τ6-:ε σ-:ο ~R. ισχ,';ει η :τρ(;ταση:
Ε ~JlJi.)(V:ι; Ε Ε ~ JίJi.) [.1·< ==;,-,ι: + Ζ < 1/+
Εlνα~ δ·;,,ατό,, να έχουμε και :n:ροτάσεις α,,ώτεpης -:άξης ό:n:ως:
Γ ~ (ΙΛ Ε !Y(R))(IB Ε ,Y(RJ) [Λ U Β ~ Β U Λ],
Τό--:ε σ--:ο ισχ(ιε•. η.
'Γ ~ (ΙΛ ε '.'P(R))(IB Ε '.Y(RJ) .ίUΈ ~ Έ u'.l]
.... ΑΞΙΩ.'ΙΑ'Ι'λ ΓΙΑ '1'0 ΣΥLΊΉt1λ (ΊΕ, *)
Αξlωμα 1 : Το R εlνα•. ένα :τλήpες δ•.α--:ε:--:αγμένο σC:ψα.
ΑξLωμα 2 : Το "J[Ji.είναι έ,,α μη-Αpχιμf1δειο διατεταγ:_ιένο σC:ψα, τ:01J αr.ο-:ελεί
μ~α γνήσ~α ε~τέχ-:αση -:ου R.. ....ληλαΟή.
οι) Το είναι ένα δια--:αγμένο σC:ψ::ι:

300. 282 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
;3) Το εlνα•. μΥj ΛpχιμΥ:δεω, δηλαδή δεν •.σz6ει το
(VJ.·Ε "R.)(Ξ3η ΕΝ) < rιl]
y) ΤΊα x&.fjf: :Γ Ε
Αξlωμα 3: (Αρχή της :.,Ιεταctοράς) Ο* - μετ::ωχημα-:ισμύς
λlε
οpίζε-::χι ως εξής:
χα~ τελυ6.
Ι)ηλΓιΑή ,η';'
>ο Ξ >,(.',)
1'"1Ξ.1(S)
5
Ιί,U:Υ'(,i,)
ι;,u:Υ"(ι;,J
ηSJ ,~ Uι;,.
ιι=Ο
Ενα μΥj συμβα-:ιχό μο'ιτέλο για την ι·(S') α.--.οτελείται α~ό -:::χ αχόλουΟα σ-:οι­
χεlα:
(ί) :λ1ια υ::ερδομf1 1-·ΤΞ) ε:τί μ~ας μη-συμβα-:ιχής ε::έχτασης "Ξ -:0·1 Ξ χ:χι

301. ~ 3.8 Το Σύστημα. (R, ~u,*)
Αρχή Επέκτασης: Το 8 εlνα•. ένα γνi1σιο 1JJωσGνολο του ~8 Υ.αι
(V.,ε 5)["., ~ .,]
Αρχή Μεταφοράς: ΛΙια
με-:αr;.ιοp& της ισz1Jει στη
283
υ,μa,,,.,ψομ, Θε-:ιχο6ς r:ε;-:εpα­
υψ.;υ,.,,υ•,μ, Οε-:αοι:Jς ά.--.ε:ιρους
(ί) Τα ακ6λο1Jθα είναι ηεφοστά·
-ε, *'f'"jj,i,ε + (ι ε - δ, ε. δ, /J. ε, fi
(ii) Τα αχ6λο1J8α είναι r:ε;-:ερασμένα αλλά χαι α:τειροσ-:&:
-h. t,~,Ιι+ ε.Ιι · r:, JTι.h+ r
(iii) Τα αχ6λοJΘα εί,,αι ά;-:ειροι αpιΘμοl:
-Ή,!.~-!!_, Ή+ ε, Ή+ Ιι, Ή· b, Ή· Τ(. ·/f{ Ή+ Κ
ε ε ε
(iv) Τα ακ6λο1Jθα να είναι. εί-:ε ηεφοστά εί-:ε 11:ετ:ερασμένο•. αλλ&
6χι εί-:ε &:n:εφοι:
f,f.H·ε.H-K

302. 284 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3.9 Βασικές Έννοιες του Απεφοστικού Λογισμού.
~ 0Ι'Ιλ Ι<ΑΙ ΣΥ_υ;χ~:ιλ.
με
όρους
rι π ~ι_α_r_r;θητ(χά. ανα.μέvεr. :J<Υ.Jείς. τn rιπ
:iτ:εφα χο,,τ:i σ--;ο ι
συγκλίνει στο f, a• μ,'3ολα6: !iω α;; =
α.11 ~ δηλαδ/1 -::ι.νν sι( α.11) = ι
3.9.2 Παράδε~γμα. (i) Εστω = Η - ,/;
1, -:ότε.
Η2 l
απ= 11 - Η+ l 1 :.υ?ο,'; Η Ο. 6:pα nl!_:~n.n = 1.
(ii) Λν α,, := 2;,_- 11
1 -:6τε.
2Η-Ι
Α:τό τα
::tν:iγετα•. σε
UJJ = .J_ jj :C::::-2. :iφ:;,: }i.:,~α 11 = -2
ότ•. ο ,);.ολογισμός
6μως ο Ορισμός
3.9.3 Πρόταση. Οι αχόλουΟες p:ροτiσεις είναι ισοδ•)vχμες
(α) (Vε Ε :ιR:_)(ΞJπu Ε Ν)('ν'η ΕΝ) [η~ nu *1 απ - n. l< ε]
(β) (VΗε"Ν-Ν)[αΉ ;,].
,1..11U.J.J::';1.::..H:
την (α) έχουμε
:::::;,(β) : Εσ-:ω 6τ•. η (α) είν::tι α.ληθής σ--;ο
η α.κόλο·1Θη :τpότα.πη.
('v'ε Ε )(Ξ3rισ Ε ~N)(Vrι Ε ΑΝ)[rι ~ ηο =>1α.rι - α 1<ε]

303. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 285
Εa.ιλέγον--:ας το ε ;:;::,Ο χ::ιι Η Ε ~w- Ν. έzο,Jμε ϊηι,
1 αι-ι - a 1 ::;::; ο δηλαδή al-!:=:c;a
(β) -=>(α): Εσ--:ω Η ε 1'.rJ- Ν και aq;;::; α. λυ-:ό όμω:: σημα.ίνει ό-:ι χ&.Θε
ε > 11η.
ψ(ε, ~Ν) Ξ (Ξ3Ηο Ε *Ν)(Ίf.11. Ε ~Ν)[Η ~ τιο -=>1 - ο 1<ε]
με ό--:ι:
φ(ε,Ν) Ξ (Ξ3ηο Ε N)('v'11Ε Ν)[rι ~ no-=>Iα.rι - α 1<ε]
3.9.4 ττ-' 'τα.σ,J.
)~~. Ο.11 = f.1 Χ:;((
ηε,,,;cαε:οαc,,ς. --:ϊηε. UH ;c::ot1 χα•. αΗ :=:c;
α.r.ό το ο:τοίο έχο·;με 1Ί :;:::;; Ε Η., έχο·;με ότ~ 11 = --11
3.9.5 Πρόταση. Λν ,μη.;,; Urι = α .)i~:.;.,,.Ιι,,, = Ιι τύτε.
(ii) }!::1~(οrι ·IJrι) =
(iii) 11)~~. ~ = Jι.Ιι11 -=fO,lι -=fΟ
Απο~~ΙΞΙΙ: Εύχολα. :χ:n:οδεικν,~ον--:α~ όλες ο~ Ας δούμε τη δε,~-:ερη
}~!:.;}α11 • 611) = f α,,ν γ~α κάθε θετ~χό αceφο,,κi:οαω 11 έχο:.;με,
Αλλά e>t(aH· lιΗ) = st(αH) · st.(ΙιΗ) = αb. 'λρα έzοvμε το ζη--:ο'Jμενο. --11
Εί,,:χι εύχολο δει χα.,,εί:: ότ~ α.κολο·Jθία.
Ιι Ε ;-:oJ α:τοτελεί ψράγμα του
(31, ε R)(Vn ε N)[Ia,, 1<Ι,].

304. 286 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
(Vo ε Ν)!! α,. !< b].
ταση:
Ε "N)[I Ι< 6].
(ΞJ!J C
Η
ό-:ι η (αrι) εί,,αι ψpαγμέ,,η.
3.9.6 Ορισμός. ΛΙια ::αολοvθία
::.ο:εφοαχέραω Η> Ο. απ Ε
Θ:ι. λέγεται rιραyμένη. ανν για κά:Θε
3.9.7 Πρόταση. Αν Τ) rαολοuθία (n.n)nEH: σuγχλίvει, τότε
την
3.9.8 Ορισμός. 1lια αχολουθtα (n.n)nεH θα λέγεται ακολουθία του Ca11cl1y
α,,ν γι:t χ&θε ζευγ:ipι Θε-:ιχών α:τειροαχεpαίω,, 11 χα.ι Κ, απ ακ.
λl1τοpεί χανεtς να αr:οΩείξει ότ~:
3.9.9 Θεiψημα. Κάθε rαολοuθία του C'αiι,rlιy σuγχλίvει.
3.9.10 Παραδεtγματα. (1) λν ο Ε J[Ji._, -:ότε
Η ε ~w- Ν. τύ-:ε
sl(af,J (sι(u))st( i J
(1.0=1
= 1. Πράγματι, αν

305. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 287
z'ln= 1.
τι= (l+ιlπ)ιι > γι:χ κάtlεη ε Ν.
Ετrrι Υ.ΙJ Η Ε
Ο< ιljr < -- ~ Ο.
Η-1
(3) Εσcω J(n) ,~
n.,, > Ο. Τότε.
+ ak-1rιk-l + ... + αο
με.
f(,11,)= (1 + f--J.11 )rι. Η_::; 'ΙΙ,ο.
'λp:χ α::ό το Δ~ωνυμ~χό Θεώp'fί:_ια έχουμε:
"Λ.p:χ.
π-Jr~1.
..+r-ξ
f(π) > n(n- Ι) ... (η -k) &k-Ί
. (k+ 1)1 "
&'+1 (k+JJΙJ(n)
ιι < n(rι-1) ... (n-h:)·
η> +!}.
για F-Tε Ν,
(Α· + l)!f(ll) :::c; Ο :ipα χα•. ΘΗ :=:c;Ο
11(11- 1)... (11- η
κ:χι ε;τομένως ιJ[ΗΤ ;:;::,1.

306. 288 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
.._ ~Υ:"Ε.ΧCΙΣ ~ΥΝ:ΡΤΙΙΣΕΙΣ.
Η έννο•.α το1J oplo'J για
.rJ --------> 1%..γενιχεύετα~,
όr:ου Α. ς;;
::αολοvθίες. δΎjλαδi1 για
χαΟώς το χ
α σvνε;τά:γε-:αι
Αξίζει να σr;με•.ωθεί fJτ•. το
γι:χ .Ι" ~ α. αλλϊι. χ i=α. Η
στην (ι;τα~ξϊ1
f(:.ι:) εζα?τά:τα•. μόνον α;τfJ τις τιμές της fϊχ).
δεν οpίζε-:αι.
της τιμi1ς /(11)δεν
φορές τυ }_i11~j'(J.)
3.9.12 Παράδειγμα. (i) 'J"::tιηωλογιστεί -:ο lin1
Χ--+2:, J; -
γι:χ -:α όρια των
χ - 25
(χ -2o)(VX + sJ VX+ s
1/2.J+:) 10
i- Ο δεν υ:π:άpχε•..
(
χ ) st(x) { 1
st. Γ,l ~~~ -1
αν χ> Ο
αν .Ι" < Ο
3.9.13 Θεώρημα. Ηστω ι)τι vπάpχουν τα }~~Ι(χ) χχι J~~π(.r) τότε:
(ί) J~1(rf(.r)) = r J~Ί J(.ι:). ι' = στα&ερά.
(ii) };ί_!::;, (/(χ) ±.ιι(χ)) = J,~~.f(.r)± J~;/ι(χ)

307. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 289
(v) Λv μr~~ .f(x) > Ο. τότε χiΘε: η ΕΝ,
liω
ΑιιοΔ~:ιΞΗ: Θα
6.λλες.
τις (iii) κ::tt ("). 'Ομοια α.--.οδε,.χ,/ιοντ::tt κ::tt ο•.
)"!;,ΙJ(.,)ιι(,)) st (!(, )g(.,·)) ~
~t (f(,ι:)) ~t (g(.ι·)) = }~fι .f(J;) }~fι g(x)
Εκlσης,
lίω
Ο οpισ:_ιός -:ώρα της συνέzε~ας σ1Jναρ-:ήσεων :::χίpνε~ -:ην :χναμε,,όμενη μopr;x~:
3.9.14 Ορισμός. Εσ--:ω .f: Λ -----t Β μι:χ σ1nάρτηση, Λ,Β ς JR. Θα λέμε fJτ•.
η .f εί,,:χι συνεχής στο ο Ε Α.. :χνν
(ί) Η f οpίζετα.ι στο ο Ε Α..
(ίί) λν χ a -:ότε .f(J;);;::;J(o). δηλαδ·~ :χν χ a -:οτε.
st[f(x)] ~ f[st(.,')].

308. 290 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3.9.15 Παρά.δε:~γμα. (i) Η
Πpάγμα-:ι; έστω χ = l +
+ 3Γ - 1 είναι σ~;,,ε:zi1ς στο χ= 1.
ό;του δ Ε πι(Ο). τfJτε:
/(.,)
siπ(11 + δ)
siπ(11) - siπ(11 + δ)
1(1 + δ) ~
(! + δ) 2 + 3(1 + δ) - 1 ~
δ2 -t-.3δ---t-3~3=f'(l)
για χά.Θε: χ Ε Η..
ι; = n. + δ. ΟΕ 1η(Ο). τό-:ε:,
sίπ(υ)cοs(δ) + cos(u)siπ(δ)
sίπ(υ)(Ι - cos(δ)) + siπ(δ)cos(u)
Αλλ:i sin(δ) ~ Ο χαι 1 - cos(δ) ~ Ο, άp::t sin(a) sίπ(υ + δ).
Οι σχέσεις sίη(δ) ;;::;Ο και ωs(δ)
J~icos(x) :::ο-:οδειχνι)ον-::χι με τη zρi1ση των σχέσει,>,,:
Ο< χ<-~ => Ο< sin(;x) < χ Υ.:::ι:ι Ο< 1 - ωs(χ) < χ
βλ. χ:.:ι Σχ/μ:.: 3.12. F.--;σι γ•.α χ:iΓJε: δ Ε ηι(Ο), η..(5. -:p•.γ. OR.-- ::ς
χυχλιχο'J ΟΛΓ :c;ε:μβ.τpιγ. ΟΓΔ ή ωs(δ):::; si~{δ) :c;
για O<J;<
sι(cos(δ)):::; sι ::; 1 χα•. ε:~ε:ιδ/1 sl(cos(δ)) = 1 έ),:ο,)με ετ:ίσΎjς ότ•.
st. = 1. δηλ:ιδ·~ liω .sin~x) = 1
,. n J

309. A
Δ
ΓΒ
x
O

310. 292
Λν τώp:::ι:. χ ;:;::,α,
κάθε ε Ε ιt+.
ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
1<
(Ξ3δ Ε ΊR-) [1χ - "1<δ c}I/(χ) - /(α) 1<ε]
τfJτε η
"'fί11) =>
3.9.17 Ορισμός. 11
συνεχής επt του G :;ι:νν η
γι:::ι: χ:iθε χ με e>t(x)Ε G.
: C--------,R., 6:του G' ανοιχτό Ω~&σ-:ημ:;ι: είναι
συνεχ-Ι1ς σε χϊ(Οε .r Ε G. Τσοδι)ναμα, :1,,ν
f (,t(.,)) ~ ,t (f(.r))
L-:η συνέzε~α Θ:ι. δώσουμε ένα χά;-:ως ~Ω~6μοpcρο ;-::;ι:pάΩειγμα συναp-:~σεως.
3.9.18 Παράδειγμα. F.σ-:ω η σ1)ν:iφτηση,
{ ο
/(χ)~ l
l'ό-:ε (ί) 11f είναι
(ii) Η/ είνα•.
'{ΣΗ:
αν ο .r είναι άρρητος
Ε
για κάθε
γ•.α χάΟε
:τα.,,το-:ε άp-
τότε r q. 6μως
(;τι α ::::;j .r .
.--ν Ο ΙΙ
- _)_
-π
Λpχεl

311. 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 293
αcεφυ,,χε:,α•.c,ς. Πp&γμ:::ι:τι αν ο Η είναι
,::Χ-:ο:π:ο, α?ο<, 11 Ε
c.:..υμένω~; }"(ιι.) =
2) /(., 1,~ it:1
3) f(x) + ,11
4) f(x)
5) f(..-J,~ ν7+Ί
6) /(.,) ,~ ;'/:_~
.,,_ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ 0ΛΟΚΛΗΡΩ:ΙΑΤΑ.
;:ε:τεpασμένος, αψοϊJ ο ο
τ:ι-α 1 ,'·'.Lχ.' _ "ο·· ε:'ν-'L
ο Ή είν::tt ::αειpο:::ι:χέpαως χα•.
εy:χ:n:-:ό:.ιενης μιας
:n:άνω σ:'Jν οτ:οί:1
χ::,:,,είς. χp:χτϊ>-
3.9.20 Ορισμός. 1<:σ:ω f Α. ----+ 1J μια συν&p-:φ'J. Η κλίση της f στο
r: Ε -4.,ορίζεται ως εξής:
3.9.21 Ορισμός. 1<:σ-:ω f : .4 --------,R μια σJ,,::Χρ-:ηση. 11 ;::ιpάγωγος J' της
j' είν:::ι:ι μια σ1Jν&p-:'JD'J,
J',A ~ /1.,·-.!'(χ)~
οτ:ο-:εδή:τοτε υa.:iρzει η κλίση

312. f
y
x
f(c)
c
c c+Δx
φ
f(ψ+Δx) - f(c) = Δy

313. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 295
,-·,1<s(Λγ)- Ι
= 1 χα.ι ---,~; ~ Ε nι(Ο).
3.9.23 Θεώρημα. Αν r;.f είναι Χιαγοpίσιμr; στο r:. τότε η .f είναι σιJVεχής
Το :1,,τ[στροφο του ΓJε:ωρΊjμα-:ος δεν ισy(,ει.
3.9.24 Παρά.δε:~γμα. Η σ1)ν:iφτηση .f(x) := Ιχl είν::tt σ~;,,ε:zi1ς σ-:ο Ο, -::ι.λλά δε:ν
ε:ί,,-::ι.ι διαφοplσψη, Υ.ψJ,),
.._ ~ΙΛΦΟΡΙΚΛ ΚΛΙ LΦ:ΠΤΟλ[ΕΝ:CΣ.
Εστω .f μια δι:::υιοpίσιμη στο Υ. συνά:pτηση.
τον -:(ιτ:ο:
τ:ου έχουμε
αν Δχ > Ο
αν ....lJ;< Ο .
l(α + Δr) - Ι(α) ~ Ι(α) + /'(α)(χ + .::χ - α) - J(x) ~ Ι'(α).::χ
Ε-:σ•. η με:-:-::ι.~ολή :πότο α σ-:ο α + ....lx,έχε•. ως σ'Jνέa.ε:ι-::ι.:
• με:ταβολi1 -:ov // ε:;τί της f": D:ι; = .f(α + Δχ) - .f(α)

314. f
y
x
f(c)
c
c c+Δx
φ
f(ψ+Δx) - f(c) = Δy
dy
Δy
l

315. f
y
x
( x0 , f(x0)= y0 )
x0
0 1
φ
f(ψ+Δx) - f(c) = Δy
dy
Δy
l
ε
Δx
η=dy
ξ=Δx=dx
η=dy
ξ=Δx=dx
1

316. 298 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
Η εξίσωση της εγ::ι:11:-:ομέvη::: στο (χ11, :ιι11) εlνα•.:
f(,ι:) = Υο + J'(J:o)(.ι· - J:o)
Αν ο~ συντεταγμένε::: -:oJ μιχpοσχο;-:ίου εί,,:.ιι οι ξ Ξ rl.r= ..1.ι: Y.:.tL Ξ dμ -:6-:ε
ε1)Οει:1 η(ξ) = Η τψή
Ετσι
+ ,,t(ε)
Ε11:ειδή η Ι εlνα•. a.:::ι:ραγωγίσιμΥj στο :xn.
3.9.26 Παρα.δε[γματα. (1) Α,, .i.J= Γ~ -:ότε.
_j,.ιι
+ο.r(Δχ) 2 + (Δχ) 3 -
ό;του,
ε = :1.1·..lx+ (....lJ;)2Ε '111.(Ο).
(2) Αν y = 2):r -:ό-:ε,
~ 2Δr
Δ:ι; = 2νχ+..lχ -,,/χ= Jx+Tr+ yX
1
(3) 'Ομοια :.tν ΊΙ = ;: -:ό-:ε
Δι· ....l.ι·
- χ(χ + -1Γ), ιl:ιι = -~
χαι ετ:ομέ,,ω:::
1
Δy dy+l~-

317. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 299
Οι κανfJνες :ταpαγωγίσεως τ:αίpνο~;ν μια ιδιαί--:εpα nλ1: μυpψή σ--:α :τλαlσ•.α της
Θεωρlας των α::ειpοσ--:C:)ν.
3.9.27 Θεώρημα. Εστω f χαι 9 σ'Jνοφπjσεις της
χαι (' μια σταfJε,σi. Τότε yια τιμή όπου
(ί)
(ίί)
(ίν)
(v) Εστω y=J{:ι;)=lι.(:ι) χαι :r:=g{t) Με την υπόfiεσr; ότι 'Jπά,σχοι.,ν οι J' χαι
g' έχn'Jμε:
dq
,ιι
(vίί) Αν nι f χαι
τότε
ι, ι/ ~ J'(g(t))g'(t) (Κανόνας της αλυσlδας)
(οι σuνcφτήσεις y =
J'(.ι·) = ___!__Οηλ"'Οή -,dι.y,.
.1/(:ν) . ιls(jdy
Απο~~ΙΞΙΙ: Θα α::οδεlξουμε ενδειχ--:ιχ6: μεpικο~.'Jς χανό,,ες. Οι υ::όλο~:τοι α:το­
δε:ιχν,';οντα~ όμο~α.
(ί) Εσ-:ω lι = j" + 9 χ:χι έστω Δ.ι· -::fΟ
Δh. ~ Ι,(., + Δr) - h.(x)
Δh
[!(., + Δ,) +g(., + Δr)] - [!(.,) + g(x)]
[f(T + Δχ) - J(.,-J]+ [.q(x+ Δ.,-J - .'J(.<')]
Δf +Δg
Δf +Δg Δf Δg
~=Δχ+Δχ

318. 300
sl (~) ~ sl (~:) + sl (~)
ιllι df ιlπ
-=-+-
ιlΓ ιlΓ dx
ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
Oψ,•,(Ofj,
(ν) θ::t δεlξουμε τ:pώ--:α ότ•.,
Δlι
χαι ετ:ομένως.
_j.Jι
Δχ
'λp:χ.
lι(ι· + Δι:) -J,,(x) = -- 1--_ - __2__
, ' , η(χ+...1Γ) .ΙJ(Χ)
1 ( 1 1 ) 1 [Π(Γ) - π(.,· + Δχ)]
Τχ η(χ + Δχ) - η(χ) = Τχ η(χ).r;(:.ι: + Δ:ι·) .
st(~)Δ.r
[ Δg 1 ]
st-:3.:;:g(.c)g(x + Δr)
( ΔΙ,) 1
-sι L st.(g(.,))st.(g(., + Δχ))
λόγω του ότ~ η 9 είναι :n:αpα.γωγίσψη είναι και r;•;,,εχ·~ς και ε::ο:_ιένως.
st.(g(., + Δ.,)) ~ g(st.(., + Δ.,)).
Εr;ηpμόζυvτας τG'ψ::t την (iii)
--:Υjν ι ως
α;:(;Οε~ξη γίνετα~ ως
χ:χι Δι #-ο. !1! ε

319. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 301
~v11Uα"ccC0'1'γε -::ι::: αvτlσ-::οιzε::: τ:pοσαυξήσει::: Δμ Υ.αι Δχ. τη zpήση
Πpοσα·Jξησης:
Δ:ι; = .f'(χ)Δχ + εΔχ ε ~ Ο
Το Δχ είναι α:π:εφοστό και α1)-::ό .--.ροκ(,;.τει .--.:iλt ατ:ό -::ο
εωαω,,σοοuε στη σvv:ip-::Y1σY1 χ= ι.ι(t).
-::η (*) με το έχουμε:
st (~) = f'ϊι·)st (t) + st(ε)st
Ιι 1 (t) = J1(.r)91(t) = f 1(g(t))g1(t)
3.9.28 Σχόλιο.
αλJσίδα::: α~τόppοια. cοΛΛαcΛασησμοο
(i) Οταv -::ο t είναι η ανεξ:ipτη-::Ύj με-::αβλη-::~. -::ϊηε η εξlσωση
rlΊJ
dt
εlνα•. τετριμμένη α?ο<, -::α ατ:λο:π:οωι)ν-::αι.
11)
(ii) Οτα,, όμως υ~ολογίζο~ψε την τ:αpάγωγο 1;;με τη με-::αβλη-::~ χ
ιl.ι·
ως αvεξϊφ-::Ύjττ1 μετα,:5λΎjτf1 και -::η,, di με -::Ύj με-::α(1λη-::f1 ι ως ανεξ:iφτη-::Ύj
-::ότε -::α ΟϊJο
(Yii) ΑψJ6 y = f(.ι:) χαι χ= g(y). τότε α~τό -:ον χανόνα της αλJσίδας έχουμε:
dy ιi.ι;
-;f; Jy = -:i;;= l άρα,

320. 302
pοιπ~χο1';
σ-:α [2:3,31.
ιl.ιι
~ dχ/ιl.ιι
3.9.29 Παpcifi.:ιγιια. Rπ-:ω '!J= [siτ1:r +
ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
rlι __ l
J ~J;J = η'ιtJJ
---11
cs,.,cn•oa,,,,τxc -:ον αναγνώστη
Θα τε:λε:ιϊ>-
την -:ου y. Αν ιι = sin.ι; +
Ηfλοιψe: να ,,:τολογί­
Υ.:ΥL y = ·111/ 2 α-;:.(; -:ον
-:'Jζ έχ~··τ.
l rln
2/udx
Αλλά υ. = ·ι, +·ιι,, όr.01J υ = ~iη,ι: και Η' = vir+1 :ipα,
rl.ιι d·ι· rl.ιι· 2
- = -+- = -cΌsx+--­
rl..r dx rl..r J4x + 1
'λpα ~ = fμ ιι-±~+l -
.,,_ 0λΟΚλΗΡΩ:[ΑΤΑ.
Το r.ρόβλημ:χ του ολc,κλcc,,ωηκο·,
Δ, r.ου r.εpιχλείετα.ι
φων ει)Οε:ιϊ>,, χ = = Ιι χα•.
με:,
των χα-:αχόpJ­
το σψβολίζο~ψε:

321. Gf
E
a b
x
y
ER
a b
c
d
y
x

322. a=x0 x1 x2 xn-1 xn=b
s
x
s1
s2
sn-1
sn

323. 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού.
Έτσι
Έ-:σ~ ο~ τιμές .~(.ι·k)- /;;=Ο, 1. ...Η δεν :ταίζουν
'F,στω σ1)ν:::φτi1σεις i =
καθορίζονται αντίστο•.zα ατ:ό τ•.ς δι::ι:μεpίσεις
..11 = {.ι·υ =
...12 = {χ~=α.χ;,.
= !1} χα~ τ~μ.ι::ς { Ul, . - Υη j
= Ιι } χα•. τιμές {.ιι;, .
δηλαδ/1 έσ-:ω,
"Ομοι:χ.
305
Π (χ;_ 1, x;.J.Ε'Jχολ::ι: μa.opεl κανείς να α:τοδείξει το αχfJ-
λoutlo
3.9.32 Θεώρημα. Έστω cιι,82 δuο χλιμαχωτές συνα,οτf;σε:ις
χαι (Ί, (."2 δι.)ο σταfiεpές
(iii) 1.&.s1(x)dx = 1.'.s1(x)dx + 1&81(x)ιls1". (· Ε (11,/1).
ωα [α, b]

324. a a+δ
a x b
bx+δx b-δx-δ
Ολιστική θέαση του [α,β]
"δια γυμνού οφθαλμού"
Τοπική αναλυτική θέαση
του *[α,β], με μικροσκόπια.
306
Γb , , ,
(ίν) j 8 1 μμιχ =
L -:Ύj συνεχεί,α fJ:x
χαι -:Ύjς
8ι (:.ι:)dχ ι: Ε
~ .. ΠF'TPO~'T'TKF''>' , Τ ~ Τ IF'PT'>'F'T~
ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
(χvχλλυ{ωω στις μεταφupές)
Έστω [α, lι] ς;; 1%.και 1'[α, lι] η χα.,,ονιχή ε:n:έχ-::χσ1ι -:0 1J [α, lι]. :λ1:τοpούμε χωρίς
Σχήμ:ι 3.19. Ολισ-:ιχή Y.:tL -:o:n:υc/1 θέαση -:oJ [α, Ιι].
Δπ = {χυ, r1 .... ,.rπ} (;1του := a+HJ. Α: = 0,1 .... ,11
δηλ .
...111 = {α.α+Ο.α+2δ, ... α+(Ή- ])δ = lι-8.α+ ΗΟ = b}.
χα•. Af:~[11.Ιι] -------+
Η
Σ f(,,Jδ
k=l

325. a a+δ
a = x0 k b = xH
bxk+δxk b-δxk-δ
f
y
x
xk
xk xk+δ
f(ψ+Δx) - f(c) = Δy
l
Δx=dx
1
f(xk)
a b
(ύψος)(βάση) = f(xk) dx

326. 308 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
3.9.33 Θεώρημα. Έστω _f : [α. Ιι] __, IRμιχ σuνάpτηση χαι dx ένα
'/ετιχό rχπειpοστό, το άπειpο άfipοισμα
,,
Σt(x)dx
είναι ένχς πεπεpασμέvος ι.,πε,οπ,ω:yματιχός αpιθμός
-:ο [11,lι]
-,- <
b
-,-(b - α) < L f(χ)ιl:τ < ,-(b- α)
είναι :τε1τεp:.ωμέ,,ος υ;-:ε:p;-:pαγματιχός για. χ:iΘε
Θε-:ιχό
σμ6,
3.9.34 Ορισμός . .
r:/(χ)ιlχ := st
F:.--.ίσης.
:= Ο χα~
::Ι:n:οpεί δειχτεί ότ~ το J~'I(x)rJJ; είναι α,,εξ6:pτη-:ο του α:τειpοστού > Ο.
3.9.35 Σχόλtο. Στο συμ,3ολισμό ότ~ -:ο
Λ.τ:ό -:ο

327. ~ 3.9 Βασικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 309
(ί)
(ii) fi < {, _r Ε [n,h]
(ίίί)
(ίν) ι:Ε R..
Παίpvον";:;ι:ς τώp:::ι: τα σ1ψβα";ιχ& μέρη χαι των δυο μελ,~ν των τ:ιο τ:6:νω σzέσεωv
έzο1ψε·
.." .,,.. ,._...._~.-··· ...,J,.J,,JU '7'-'Wt'fiμι..,., .Έστω [u,bJ -----,
τήσεις
(ίίί) (J;)ι!.ι·. r.·ε (a. /J).
j·b
(ίν) .fι (x)dx ~ .fι(x)dx bER.
Ρ(Γ) := 1"'J(t)ιl[, r: σταΟερϊr.

328. F(x)
f
c x
Gf
aξ-x

329. 0
0
ε δ
ε Δx
ε ¼ δ
Δx

330. f(xk)
A
B
Γ
xk xk+Δx
a b
y
xxk
312 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
Β(ο,Ιι) =.ι:f(x),ιc.
b - a
Α ·· ·ν i,:·-···C'--·_ J u Ε ηυ r.,.τ .,,· ·ας .:·--φος 1--·---'·ς """Ρ'"Πς " "" Δ·r - Η
χαι εστω η α:τεφοσ-::ιχf, Οι:χ:_ιέριση,
,;Γrι = l) } ~.1ε ,ι:k =a+k Δ,ι:, o::;;k<n .
Για την α::λοr.οίηση της :χJτόδειξης θ:χ r.αραλε(:τουμε -;:χ ά.στρ:χ. '0-::χν ~..ιε-::αβ:Χλ-
Σχήμα 3.24. Η α:τεφοσ-;ιχi, με-:~1ολή του 1ψβαδο1).
λουμε το ;ι;k κατά Δ:ι: έχουμε μ•.·:( μετ:::t)ολf, σ-:u εμ)αδ6 χά::ω α::ό την χαμτ.ιJλη
j Χ:tTf.
ΔΒ ύψος χ ~άση + εμ;3αδόνΔ(Α.ΒΓ)
/(J;k)Δι: + ~ΔyΔι:.
'Αρα ΔR ::::::Δχ J(χι.c)Δχ χα•. ετ:ομένως /(χι.) ::::::Δχ ~~. 'Ετσt γι:χ χά.Ο~ ..:ραy­
μ:χτιχό (; ε R έχο•Jμε:
f(x, ,) - " < ~ < /( ,,,) +,,

331. ~ 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 313
ΛΕιpοίζον-::::ι:ς έzουμε:
- (:]· -1Γ < R(α. Ιι) <
Π:::ι:ίpνον-::::ι:ς τ:::ι: συμ,:::ία-:ιχά μέρη έzουμε:
-('1(f;ι: s;B(a./J) _:::;
- r·(b- ΙΙ) s; R(α. Ιι) s;
13(a,h)~
13(;,,/;)~
L-:'J συνεzεlα Θ:ι. δώσουμε δJο εφαρμογές.
Δχ y'(Δχ) 2 +(Δ_y) 2
δηλαδ/1
+r·] ·Δχ
+(;](]Χ
+r·(b- ΙΙ) γ•.α χ,::ΧΟε r: Ε
:::ι:rιοG είν::tι λεlα. σ1ψa.ίτ:-:ει
η :1,ε-:αβολ-~ σ-:ο :_ι~;.ως της

332. f(x)
x x+Δx
a b
y
xx
Δy
Δx
Δs

333. a x
ρ(x)
x x+dx
c

334. 316 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
p(,) ~
Α:τό το Θεώρημα -:ου Ar:εtpou λθpοίσμ:.πος χα.ι α;;.(; τη σzέση έχουμε:
Γενιχ:i λ εί,,:χι ενδεχόμενο και το μ.(rJJ;) συμ,3ολίζε~ το μ·~χος του
rl..rτότε:
Ρ(..!) ~ .ι ,ο(, )μ(,Ι.,·)
Η τ:1JΧν6τη-::::ι: p(;x) γι:::ι: γχ ψαvερ,~νε:ι a.vχνό-:Ύjτα μ:iζας J~:1.θανό-:Ύjτας Θα
:τpέ:τει.
ρ(χ) με J(.r)
X::tt την ονομ:iζο~ψε:
3.9.41 Σχόλtο. Γι::t ;,cά.--.οιο,, .-.ο~, Γ)::ι. ~Οελε ν'::Ι..
μη-σ1ψβα-:ιχ,~ν μ:::ι:ΘΎjμα-:ιχ,~ν. κρίνεται σχό:τιμο να
στη
(ί) Στοι χεtώδη:
(α) Κ:χντοpι.αvή Προσέγγιση Robinson: [3:3,39 40, 51; 29]
(;3) :'lη-Καντοpι.ανή Πpοσσέγγιση: [-±8.::-ι2, -±11
(ί) Προχωρημένα:
(α) Κ:χντοpι.αvή Προσέγγιση Robinson: [1, :31,34; 35, 49; 15, 38]

335. 3.9 Βα.σικές Έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. 317
(;3) :.,Ιη-Κα.ντοpια.vή Πpοσσέyyιση: [18; 44, -±5.3GJ

336. 318 ΚΕΦ. 3 ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ

337. Βιβ)tογpαφ(α
[1] AllH!YerioS.. ,Τ. Ε. Fenst.cιιl. Η. Η. Krυl1n c111tlΤ. Linrtst.nnn. NonHtanιlrι.nl
Λ1Pfhnrfς 8tηr/ιπ_ςfic Α.ηπf,ψί.ς ηnrl Mπt_hPrι,nfirη/ Ρ/ιψi,:.ς_ λr·c1(Ί_ι->ωir·
Γ1·css, 1986.
[2] Αναr:ολιτάνος, .λ. Α., .Δ'ιπαyωyή ΠΠί Φιλοσοφία ϊων Μοιθηματιχών. Jiχ­
δόσεις "!~εφέλΥj. ΑΟ~να, 1985.
[3] Αξελός, Κ. Ο Ηpάχλειτος χαι η Φιλοσοφία, F.ξάvτας, ΑΟΙ1vα, 197··1.
[Ι] Ra1lar-(l.n. a.ω:l Κ. H1·1)acck,Sιanιiaixl Γοιιηιiaιiοπs Γοr- noπsιa.ω:lani anal-
T/1.c 1οuπιαl οΙ 8:ι;rrιlιol·ic: Lo_qίc: 57 (1992). 741-7--±8.
[5]Raωn, "Τ. Τhι.! Or·iγiri., oj lhι.! Trι)triilι!.c;-irrω/ Arιal;ψ,i8. 1969, no:cr-:1987.
[G]Rcl1, .J.T.. a.ω:l "T."Taclωγcr·, Α ω·υr·8ι" Mαlfu:rrιa/.iωl ιογiι.~. Τ01·ιΙ1 Hol-
lanιl. 1977
[7] .J. Τ .. Rοο/ωrι.- 1/Όlιιcd Morlι.!l8 and Trι.dιψcridι!rι.cτ Ρωιφ 81.!/Τhι.'-
οπι- cdit,ion). Cla1."cnιlωι Γr-css, Oxfω·d, 1985.
[8] Bcll .Τ. L. Fωηι nbc,olutc to Locnl :.Intlιcωatic·c,_ 8:ι;rιtfια;ι 69 (1986).
409-26.
[9] Bcll .Τ. L. Infinitcsinωlc,. 8ψιtlιυ:;c. 75 (1988) 28.3-315.
[10] Bcll .Τ. L. λ ΓΙiωcτ of Infinit.c·sinωl λnalYsis. lun1πiιlgc· 1998.
[11] Blitz. D. Εrrιαgαιt Eυul-u.f'iorι: (J-u.al·ι:tatίuc ,Touclty αrιd tlιι; Lι:υι:l.,· uf
Hωlity, .L<:1-'lSTl~λl~. "ol. 19, ΚlΗΨΓ Ar:,1,(l._l-!ηω. υω·dη!ι:ht, 1992.
[12] C. TJu; HiHtor-:ιι o.ftlι.ε Cαlα;Ζ.ιί.'> αrι.rl ·itHCοrια;μt-ιω.l Dε·uεloμrrH;rι.t,
UniY. 1-'ΓPSS 1919. υο'Ρl', 19,)9.

338. 320 ΚΕΦ. 3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[13] C:. C. C:l@ψ; and Η .. Τ. Kc·islcr-: Λfυdc:l tfιωΓυ. Νω·t]ι Hollanιl.3nl Ειl
(ΙΨJΙΙ).
[14] Cοηπιηt. Η. cιnrt Η. Ιωιl1ίω,. Ηί7ω.f ϊ, Μαtlι,ι·ιnαt·ι,r·8 ! Oxfonl τ:11iΥ. Pre~~-
1978.
[1,)1 Cntlcιnrt, :Κ .. Τ., :Κωιstnnrl.-ιnl rnensnn-, tlιeory 1-uHlits ;-ψμlίαιtiοηs. B111l.
Larιdorι. .Math,. 8rιc., 15 (1981)
[16] U:-ιn)en, ,J. '. ω1(l Α. R.o)inson, Αhταlω·ιπ RοfιϊιιΗοrι.: 'lΊιΡ Oreαtiarι rιf
ITorι..,lαrulaι·d Α Ρι.!1'8οrυι/ and Λia/lι.crnrιlic:al Οdψ;8ι!:ιι 1D95.
[17] U;-1xis,11. ApρliPd NarM;fa:rιdω·d Arιn.lyHϊ~. Vile:γ, 1977.
[18] Uiener 1''. ;-ιnd 11. Uiener (~(ls), NonHtrι.daτd Αrι.αlψ,iΗ ϊιι .PrnrtirP.
S11r-inp;cr·,lTπίγcr·silcxl 199!:i.
[19] Uiener, .ί:'. ;-ιnd Ε.. lJ. Stω)<Hl. S)'llt,,κιiι·,ιl ωeιiιοιis in infinitesiιn,-ιi ωι.-~l-
Τη 'J. ('υιla.ω:l: I1otM'i{andrιr·d Arι.αlΙJ8i8 αrι.d Apρlic:a{iorι..~,ρ. 2!:)8-
282. Cωnlπiιlgc UniYcτsity ΓΓC'SS; 1988.
[20] Dωssos; C. Λ., Founιlations of Fuzzy Scts. λ nonstanιlanl <.η.ψωηc·]ι.
Fu.zzy 8εt.'i rι.ηΔ 8:ψ4ι·ιrι,:,, Yol. 37, μ. 2S7-:!07. 1990.
[21] Dωssos; C:.Λ. ηηιl c;. Λlar-knkis, Boolcan JJOYCTS ηηιl stoc·lιastic· sμac·cs
Mαtlι,ι·ιnat·ι,r·a 8lo·uaω,. Yol. 44. 1-19. 1994.
[22] Δpόr;ος Α. Κώσ-::χς, Εισαyωyf; στα απεφοστi χαι την Απεφοστιχf; Πι­
θcηότητα. 116:-:pα. 1988.
[2:J] Δpόr;ος Α. Κώστας, Στοιχείrt Θεωp{ας Μοντέλων Ν Απειpοστιχής Αvά­
λuσης. 116:-:pα. 1995.
[24] Engels, !', Αντι-Ντ{pιvγχ. .L<:χδ. Αναγνωσ-:ίδ'J, 1963.
[2:J] Eιi'<lnis, c:. 11.. .JΓ., ;-ιnd C. 11. Es,ν.-1nl, '1'/α; lli8toriω.l DΡ1!Ρlορ·ιω;ηf of
llι.c Cαlc:·ιt/υ.c;. SJ1J"ίngcr·, 19}1.
[26] c:olιihl.-1.tt, 1-l.,Lr:rt11:re8 01),th.e llΙJJ)PΓJ"f'(J,l.,. S1πinp;e1·, 1998.
[27] Haιcl1cr·, ϊϊ. C'a1cιιiιιs a1ι,";c11J"a. Αrιtι.!Ι'. Moriιίilv, 89 (1982). 36:2-
370.
[28] HcaιJ1, Τ. TJ.Α Μαrι.ιω/ o.f Grι.!ιόh: Μrιlhι.!rιια(iι.~8. T)oγcr·, 1963.

339. e ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 321
[29] Hcne>on.C. Υ. Foundnt,ions of :Κonstandnnl ΛHnlysίs. Ιη: L. λr-l<cπιl
:Κ. Cnt.lcllltl. C. Υ.-ιηl Henson Non.'>trι.n(lanl Α.rιαly;,·ι,:,: Τ!ιωτy αrιιl
.ψ,,ι,cαt,;;η.,. kΊ"""'!r 'Τ ΔΤ() Sei·ie~.C. 1997.
[30] Hcnil1. R. Η!Jιαt Is .Λ!αtlιωιαf'iι:.,· Rαι.//μ?. Oxfonl ΓηiΥ. Γn·ss 1997
[:31]H1.t1xl,Α. anιi Ρ. T.oc]), Αrι. Τrι.ΙωrΖ.ιtι.~1-iοrι. /ο ITorι..,lαrulaι·d Rωl Αrυιl:ψ;ϊ,.
λcndω1ic· Γn·ss 1985.
[32j .Jer:l1, Τ. Uoole,ιn-';-ιlne({ .llo(lels.ln ,J. υοωιld .lonl< ,-ιηιi Η. Uonnet.
(Fls) RΌrulbook ο.( Rοο/ωrι. Al_ψbra8. C11.27.lΨ·1197-1211.
[:J:J]Keislι-,r, Η .. Τ. Εlεπι.εntαrΎ Cαlα;Ζ.ιt.'>. PΓintlle. 'el>ι-,r S<·lnnωt. 1976.
[34] KcislcI, Η .. J., Foυ.rιdat'ι:orιs o.f Irι:fϊrιίtcc1·irrιal G'alπtl'lιs. Γr-inιllc'. Yc1JCT&
r, ' . ' .,,,_,.::~αηηωr. 1;-:110.
[:3:J]Kcic:!cr-, Η .. J.. TJ1c !1j1CtTC3.1 Ίίπc. Τπ: Γ'. Πn!ic!1(αl.) ;qα;f
Gαι.σal·ι:zu.f'iurιc, uI tfH: Rαιlc1, αrιd Τlιωπ:cc, uI G'urι.tirι'ltα; Kln,YCI"Λα1ιl
Ρηω. 1994.
[:3G]Kιιsr-acv, Α. a.ω:l S. S. Kιιlalclω:Jι.c, ITorι..,lαrulaι·d ΛΙι.!/1ωd8 o.f Aruιl:ΙJ8("i.
KlιnYCI 199-±.
[:37]T.arn1)cl<,.J. Tlic ίπ!lιιcηcc or Hcr·ac1iιιιs οπ n10(Jc1·nΓa.l11crηaιivs. Τπ: .J.
.rφ.ssi 311(] R. S. ('0J1cπ (F,ιis) Sr:ir:nlUιr: Ρlι.ίlωωplι.ΙJ Today. Rci<lcl, Η181.
111-l!J.
[:38]T,arHJc1·s,Ω. a.ω:l TJ.Ro!'ζ)c';C, Αrι. Trι./:rodω).ion /ο ΙΤοrι..~Ιαιι.dαΓrl Rωl Anal-
:ιJSΙf1. Λα1ιlcωi<· ΓΓce>e>. Xc,.- Yω·lc. 1985.
[39] 1'., Αη inYit;-ιtion to nonstω1(l<1ni ;-ιn;ιl)·sis. ln, _.. .J. (~nt-
/1/orι.c;lrωΔard Αrυι/ψ;iΗ αrι.d ί/8 App/iωl-iorι..~, Ca.rηl)1·i<l?;c lΤπίγ.
8f'ιιdαι.t Tcxtc1;YOl. 10, JJ.1-105, 1988.
[-±0]Lηχρω[111ηj. .V. Α. L. .Ί1<1.t is non-st<1nd,1nl ω1<1l)·sis. Α.πιατ. Math ..
Afonlhl:ΙJ. 80 (197:3), 38-67.
[-±1].llρntzρnίotis, υ. Th:rα; γiΡ1118 C'orι.rPτrι.irι.g Corι.timι.ity and Iιιfirι.itPsi­
rιtal8: ITorι.-S/.andrιr·d Arι.alψi.c;, Topo8 ΠtαJΙ'Υ, and Trι./.'ιιiliorii.,rn. ΓΊ1.Ω
'llω,is, Ucμ,ntωcnt, of l'11ilosoJJl1y, ηηιl Sc·iωtihc λictlωιt, 'l11c·
Lo11rlo11Sι:l10ol of Εαη101ηiι:~ nnrl Sι:ίρηι:Ρ. 1986.
[-±2]ΛΙηιlιtχ, Γ.; Natυ.nιi'isrrι.. OxfΌnl lTni, Γ1·css. 1997.

340. 322 ΚΕΦ. 3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[--±3]:Κclsωι, Ε, lntcηωl Sct Tlιcor·χ, η nC'Y a1ψωac·l1 to nonstandnnl nnnlYsic,
Πυ.llι·t-ι.rι. of tlι.ι· Α.. Μ. 8., 'Ol. 83. 11. 6, 19ϊ7.
[44] l"ι-,lsoH, Ε., Ra1I1.ιϊ11ly Εlι·ιrι,ι·ηtrι.τy PrνlιalHl'if:ιι Τ!ιωτy. Prίnι:eton ιJniY.
1-'lH>S. 19S7
[4,)1 l"ι-,lsoll, Ε .. Νοη.<,frι.ηΔαηJ Αrι.rι.l;ψ,ϊ,, Ι3ι,'3λlο rπ εξέλιξη. ~ι:χθέσψο :χ:n:ό:
www.math. princeton. edu/-nelson/ index. html.
[-±6] Κ λ sl1ρ.-1f-tl1PorPtiί: fonnd,1.tion f(π nonsι,-n1rl,1Γd ,1n,-ιl:γsis. Αn.-
Ριιη: rωΔ AJ)pl-iι.!d T,oqίc:. 85, 69-86.
[..Π] 1-'Γesιeι λ. _onsι.-1nrl,1Γd An<Ιl)'Sis. lη 11.-υ. n1ωngh,111s ι-,t .-111.N11111he1'8.
S11r-inp;cr·(iΤΓ # 12:3,1990.
[,·18jRo1)c1·ι, Α. Ι1οη-5Ίαrυlαι·d Arι.αlΙJ8i8. Yilc:,,', 1988.
[J9] Stω)<Hl Κ ,-ιηιi ,j . .1. il<Ι)'Ori, jιo1ιrι.datirιn8 rιf lrι.finit~;Hι:ωaί 8tariω.Mir
Αrυιl:ψ;ϊ,, 'Jor·ln-Ho1la.ω:l 1D80.
[!JO]Sιιl1ί:aπ. Κ. Α. Tl1c lca.cliίπ!'ζ or
st.nnιtnnl a1ψωac·l1. Λπι.ι:τ. Λfatfι.
(ι1cιιlιιs, ιιsίrψ; ιJic ηοπ­
:370-37.3
[!:i1]Ta.11,n. TJookirψ; a.ι p;r·aρl1s ιΙ1ωιψ;J1 inflniιcsin1nl n1ioνscoμcs, ··iπ<lr),·s
ηηιl t.c·lcscoμcc,. TfH: Λfatfι. Gazc:tfc;. 64 (1980). 22--±8.
[52] ΥομCηlω, Γ 1,ωιοs,ψΗ«·ω foundnt,ions of nltcπ1atiY<' sc·t t,l1cωτ. Int.
11;1-126.

341. ((Η ψUσr; να χp(ιβεται.11
Ηpάχλε:ιως
Κεφάλα ο 4
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
J!Ιια Ενορατική Εισαγωγή.
4.1 Εισαγωγή
ΩιΩαχ-:ιχών μεθό­
-:Ύjς Π•.Οαvότη-:ας.
(ί) Στην :χνϊο:τυξη μ•.ας ισzυpής χαι αυΟε,,τιχ-Ι1ς τ:ιΟανο-:ιχής δ•.αίσΟφΎjς. συ-
σzε-:ίζον-::χς -:ηv έννοι:χ με 6.λλες fJτ:ως
της :_ιάζας χ:χι του
στο ~ταλι(;.
χ-:ίζε-:αι

342. 324 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
r.ιθανο,~.
Λ,1,1 Π~ρ-Gλ~•γμ~. ΤΖ~·--'· -"j
είναι 1/2. Ποιές α:τό -:ις
r.ιΘανό-:ητα εμ(μi,ιισης. 6-:αν Θεωpοl!με ότ~ έχουμε
τ:αιδι:i.
(ί) ΛΚΚΛΚΛ
(ίί) ΑΑΑΑΤ(Α
<(Χrηίτσι)).
4.1.2 Παράδειγμα. llε τις ίδιες :τpοGr.οθέσεις ό;-:ως σ-:ο
r.οια αr.6 -:ις χα-:ωτέpω -:ιμές δίδει την r.ιΘανό-:ητα σε έξη
(ίί)~ (iii) &:λλη.
46 μαΙΊη-:ές :χ:n:άντησαν την (ί) . 1 -:1ι σωrπ~ (ii) χ:χι 18 -:η,, (iii).
με 6
λοι:n:όν -:ης ΩιΩασχ:tλίας τω,, μαθηματυcώ,, είναι να μεταδώσει χ:i­
έννο•.ες χαι α:τοτελέσμα-:::ι. ανα:τ:φαγάγον-:ας -:α,πόχpονα
σ· ::tυ. ', μ" χαι ". 1μ~o'Jr 1/ ντ"ς ,1,ι:χν
έννοιες χαι :::σ:ο-:ελέσμ:::ηα. Η τ:ίσ-:η
το•.α δ•.αίσθηση, zτίζεται τ:&νω στην αpy/1: Οι

343. ~ 4.2 Τυχα.ία. Πειρά.μα.τα.. 325
r;τοιχε:ιώδο1Jς Πιθανότη-:ας, αλλά
Θε:μελ~ωδών εννο~C:)ν της :n:~θανότη-:ας, και οίνον-:ας
της -:ύ'J χεt,χtλeι.lύ'J ,:.,:1JτύG, σίγύ;ψv: δεν ε~νv:•. v:νώ-
τεpο αr.ό -:α α,,τ[στο~χα ~Δ..λγεβρας χαι Γεωμετρίας ;:ο•; :n:.χ.
r;το Λ.l!χε:ιο. Ωπτόr;ο ;:ερ~έχε:ι, με: ένα συνί:ιε:τ~χό-ενοpατυω -:ptι:το. χα~
,Ξ,αΟιές μαΟηματ•.χές έννο•.ες.
4.2 Τυχαία Πειράματα.
fJμως να ανταναχλών-:αι στην έννοια ιΟLfJτη-:ες, ::ov δεν εi.να•. χοινές
,α,,αx·cnpi.(oc,v χά:τοια συγχεχpι:_ιένα α:τ'α1Jτά..
εί11αι να εισάyοuμε πς έννοιες της llιθαvόπ;τας με

344. Πείραμα και παρατήρηση Αξιώματα και θεωρήματα
μαθηματική
αφαίρεση
Ερμηνεία θεωρητικών
συμπερασμάτων
εμπειρικά φαινόμενα
πραγμ. κόσμου
μαθηματικό μοντέλο
εμπειρ. φαινομένου
πειραματικά
δεδομένα
θεωρητικά
δεδομένα
τροποποίηση
μαθηματικά
συμπεράσματα

345. § 4.2 Τuχαία Πειριiμα.τα.. 327
Σχήμ:χ 4.2. :.Ιr;yανή ::ινάρριφr;::; νομ..σμ&:των
Για ;τ~:φ:iδε•.yμα, α::; υποΟέσουμε ότt :χναpρl;ττουμε ένα νόμισμ1.. Τότε ο
Οειγμ:χτ~κό; χώpος Ω μτ.οpεί να δlδετα~ α;τό:
(ί) Ω = {1{, 1'} αν θεωρούμε 6τι -::χ δ~,;::ιτ::i α;-::οτελέσμα-:α εtvα~ τα «Υ.ε9::ιλή»,
συμβολ. Κ χ:χι «yp:iμμα-:α", συμβολ. r.
(ii) Ω = {Κ,Γ, ()} αν Θεωρο,Jμε 6-:ι το να σταθεί όρθιο το νόμισμ:χ είν:χι ένα
δυνα-:fι ::ι,cο-:έλεσμ::ι.
(iii) Ω = {Κ,Γ, (),Χ} f:!εωpο'J:..ιε 6τ•. -:ο ν:χ χ::.ι.Θεί -:ο νόμισμα. εlνα~ ένα
δυνα-:fι ::ι,cο-:έλεσμ::ι.
Πρέτ.ε~ -:ώpα να παρατηpήσο1,με ό-:ι οι :τεpιπ-:,~σεις (i), (ii), (iii) :τ::t{ όλο
ϊ.Ο'J σχετίζονηι με την ίδια διαδικασία •<ιδεα-:ο•J :-:ειραμα-:ισμούο, :χνάρpιψr;::;
δηλαδή ενός vομ{ιη..ια-:ος, ;τpέ;τει να θεωpούντα•. Ω•.αψιpε-:~κ:i τυχ:χί::t :τεφ:iμα-:::ι.
Για-:ί ό:-:ω::; ε(:-:αμε δε μας ενδ•.α?έρει αν σ-:ρi.βο~;με ένα νόμωμα χ. λπ. :χλλά
τ.όσα δυνα-:-:Χ απο-:ελέσμ:χτα παlpνουμε. Το ηr;μεlο αυ-:ύ θα γίνει -::αόμ::ι π•.ο
χαθαpό στην σ•Jνέχει:χ.
Κάθε δυνα-:ό ενός ιδε:χτοϊ; -:υχαtου ,cεφ:iμ::ιτος (,cου μ:τοpεί
δηλαδiι να ε;ταναληφΟεί α.--.ό τις ίδιες συνΟήχε::;, χαι τ:ου δεν μπορούμε
να ;τρο~λέψουμε το απο-:έλεσμ:i -:ου) λέγε-:αι δειγματοσr;μείο χαι r; ολότη-::χ
όλων -:wν δ~ν:χτών Οειγματοσημείων λέγε-:αι δει yμχτιχός χώ,ους
Ετσι για το ((-:'Jχαlο r.εlραμα), της αν&.~ρι:}ης ε,;ός νομίσμ:χτος ο δειγμα­
τ~χός χώρος ε(,;::1.ι ο Ω = {Κ) '} (J;ι:συ -:ο Κ συμβολίζει «Χε(?αλfιι), χαι -:ο} '
σ~μ~ολtζει ,;γρ:Χμμω,.
Στην συνέχεια θα χάνουμε δύο ;3ασιχές r.αρα-:τ;ρ~σεις:
(ί) Ή ψJσr, -:ων Οε•.γματυσημείων Οεν ΙJ;τεισέρχε-:αι στη Οεωρlα μας. Τι::t ;τ:χ­
pά:δειγμα -:α ε:μπεφιχ:i τυχαία :-:ει?άμα-:α:

346. 328
(ii)
(α) Λv:.;ρι·/η εvfJ;:: vομίσμα";rκ Ω = {Κ,Γ}.
(;3) 1'έv,,ηση ενός :τα.ιδιοl! Ω = {λ, 1{}
ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
(γ) Α:n:ό :του :τεpιέχει μ:1:'Jpες χα~ άσ::pες σψαίpες ε:τιλέγο·;με
μια, Ω =
Τ(;τε ο Ωε~γματιχ(;ς χώρος Ω του :n:εφ:iμ:.πος εί,,:.ιι ο,
Ω ~ {(Κ, τη, (κ, η, (r, τη, (r, r))
Ω' ~ { (2Κ, ΟΓ), (lK, ΙΓ), (ΙΙΚ. 2Γ))
ό:του n:.z.(2Κ. οη σημαlνει 2 χεr;ηλές Κ::tt Ο

347. 1
2
n1
2
1
2
3

348. K
Kc
Ω
330 ΚΕΦ. 4 ΠΙ ΘΑΝΟΤΗΤΑ
5!= {Κ, Γ}, χ::ιι η αν:Χρp~(ίη ενός ζαρωι) είv::tι •.σοδύναμη με μια ροuλέ:-:ι
με α;,. δυνα::i ::ι.r.ο-:ελέσμ::.ι.τα.
(3) Γεωμε,;pιχά. ;:εφάμα:tα τύχης. Τ::ι γεωμε:pιχά τ.ε•.ράμ::ιτ::ι -:ϊιχτ,;: είναι
εξ::ιφετιχ:i χα:ϊι.λληλα, σ:ο να μας χα:αδείzνουν :ην ιδε:χτή 91ση -:wν
:,1χαtων r.εφαμά.των ;:ιθανοθεωρt::ις . Er.t ::λέον σ·1νοέουν τr,ν π~θα-
νό:'tjτα με -:η διευχολύνον-:ας {::σι -:τ,ν χα-:::.ι.ν6τ,ση -:ης (71Jσης
-:ης π•.Οανότη-:αc.
(α) Ι!:σ-:ω AlJ έ,;::.ι. ευθύγρ:η.ψο :μήμα μ/1>::οJς f.:. .L;r.ιλέyουμε -:ώρα :υ-
.4 ιι
ΛιJ
χ::ιία. ένα σr;:J.εlo Μ του .4..Β. Τ::ι δυνατ6ι: α:τοτελέι:1:.ιατα είν::η όλα
:α σrιμεlα του Α.11, 6:ρα ο Βε~yμ::ιτα6:.:; χώρος έχε~ HjV ιnχύ του
συνεχοι)ς.
(;3) Εσ:ω Ω ένα ωωσύνολο του R2 (ορθογώνιο κϊJΧλος, χλ:τ. )
ο
Σχήμα 4.5. Σ:;νεχής δειyμ::ηόχωρος.
Κτιλέyοvμε: στην τ6χη ένα σr;μεl.ο ω -:ov Ω. Και εδώ ο Ω έχει -:r;ν
ωχϊι του σ1Jνεχο·Jς.
4 .2. 2 Οριπμός. (i) 0-::χν :ο Ω είναι "ε:τερασμ±νο f1αριθμησίμως :i:π:ειρο -:/ιτε
χ:iΟε υ;.οσJνολr; Α ~ Ω λέyε-::χι ενδεχόμενο ή γεγονός, δηλαδή :χν s..-/
συμβολίζει -:r;Iχλάσ"Ιj 6λων -;ωΙ ενδεχσμένων -;()τε σ-:ην ;:εpίπ-:ωσ"Ιj :ιvτή
έχοvμε: vf =/3"(Ω).

349. ~ 4.2 Τυχα.ία. Πειρά.μα.τα..
(ii)
331
εlνα~ γνήσω
81.1..ιιοpιυpιο ,υ6μιο οιο .ιυ/·/ι
ε,~χολα ,,-:1 υ:το­
σcc,cyεcώόοcς l εωμε-:p~ας.
(ίίί) Θ:χ λέμε ότι ένα ενδεχύμενu ..-iέχει πραγματuπuι.ηθεί. αν το :χ:n:ο-:έλε­
σμα. ω Ε Ω -:ου -:υχαlου r:εφάμα.τος ανήκει στο ενδεχόμενο Α.. δηλαΩή
αν. ω Ε ....
ενδει.(ψε'ιιο όcι κανένα δε~γ- χεν6 σ1',νολο
μ:ι-:οσημείu
1
του !:δεν ;-;p~~γμ~cοrωιεί-::αι 1
,= αδυν:ι-::ο Ε'ιιδεχο:πνο ,
1βέβαιο ενδεχόμενο I σιJνολο αν:χφοp-:ί.ς
Συμβολτ.σμός
Ω
ω Ε::Ω
λ'
··· ΠΑ.rι
1"

350. 332 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
χα•. μας
Α. {το ά.Θpοισμα -:ων ενδείξεων εlνα~ ίσο με 6}
R = {χα•. -:::χ δ~)ο ζάρια δείχνουν -:ις ίδιες ε:νδε:ίξε:ις}
= {τουλάχιστον :_ιι:χ έ,,δε~ξη, εί,,:χι διαφετ~ με το 2}
(Ι.Ι)
(2 1)
(:1.1)
(4,1)
(5. !)
(G.l)
Το σϊινολο τω,, γεγονότων
Ειδιχά έχουμε:
λ {(.i.1).(U).(:1.:),(2,4).(1.5))
R {(Ι. 1).(2,2),(3,:JJ,(1, 1).(5),(G,GI}
C {(1, 2), (1.4), (Ι,6), (2, 1), (2 2) (2,:).
(2. Ι). (2. 5). (2, G),(3, 2), (:3,Ι). (Ι. 1), ( 1,2),
(4. :J).(4. 4). (4 5) (4, G),(5, 2). (5. 4) (.i, G),
(6,1),(6,2),(6.3)(6,4), (6,,,), (6,6)} ;ι
λvαppί11:-:ο'Jμε δGο νομlσμ::ηα. :_fα καθοpισ-:εί το Ω χα•. το
Λύση.
11 {ΚΚΚΓ,ΓΚ.ΓΓ}
Ετσι.
Υ'(Ω) ~ {Ιδ. {ΚΚ}, {Kl'}, {1 Κ}, {JΊ}. {ΚΚ, KJ'}, {ΚΚ. J'Κ}.
{ΚΚΓΓ) {ΚΓΓΚ), {ΚΓ,ΓΓ). (ΓΚΓΓ) {ΚΚ.ΚΓ.ΓΚ)
{κr, rκ. Γr). {ΓΤ(, rr, ΚΚ}, {ΓΓ. ΚΚ. Kr}, 11)
γp::ιηο, η bcoceτc,yμsvη
p•.σ-:ιχά του -:vχαίοv ;-τεφ:iμα-:ος.

351. 4.2 Τυχα.ία. Πειρά.μα.τα.. 333
λvαppί11:--:ο'Jμε ένα
δειγ:1π-:ιχός χώρος
Λύση.
να 11:άpουμε χεφαλi1 Κ Να ~pεθεί ο
Ω-{(Κ),(1Ί(),(1ΤΚ).(1ΊΊ'Κ),(1'1'1Ί"Κ) .... ,(1Τ ... ,l'K), .. }
.,.,.n ~r,,,.,,,.......~.,,,,,,,μ~,
χαι σ· α1)--:~ν την ~εpί11:--:ωση έχο,)με ό--:ι
1. .λ1)0 διs;<εχ,,•.μιο•,cς σφαlpες, τοτ:οΟετο(ινται τυχαία σε τέσσερα χουτιά.
]'~:ι. ο :;:;cιγ Jα--:ιχ '" 1.-' t'o. --:ο'· τ:c~-' 'ιJ::πο".
Λύση.
δεG--:εpη σ--:ο xovτl .1f·
1 - _ 1 '"> 'J ,1
Ι J, - I.L.c), 1
,ψ,;) "1 υcyv.~ι,v. --:σ~οΓJε--:εί--:::.:ι σ--:σ Λ<Λ,τί Τ ΧΥ., η
έzουμε χαι εδώ = ..Υ'(Ω).
4.2.4 Ασκήσεις. γ•.α
;).
είναι cΛαcτωμα,αα
Λ = <(Το,Jλά:χισ--:ον ένα α11:ό τα 4 αv--:ιχείμενα 11:01Jελέγχθησαν είναι ελατ­
-:ω:.ια-:ιχό,).
Κα
(i)
να εμψ:ιν~σ:rΗJν δ6ο εξ&p~α στη σειρά . .lα
το,) 11:εφά:μ::ηος.
Τα
(i) .λύο α,;τιχεί:.ιεvα ανασ,~pοvτα~ -:·Jzαία χωρίς εr.ανά1Ίεσ1ι.
(ii) .λ,)ο α,,τιχείμεvα α,,:;ω(φον--:αι τ1)χ:χία με ετ:ανάΟεσΎj.
(iii) Ανασύρουμε αν-:ι:χείμενα χωρίς ε;,:,:Τ,6:Θεσ'Ι, μέχp, ·Γ,α,τ,Ο"."ε
έ,,:ι ελα-:-:ωμα-:ιχό.

352. 334 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
(iv) Λνασ(ιpο~ψε αvτυ<είμενα με ετ:ανάθεσf: μέzρι να αv::ωGpουμε ένα
ει·,α-:-:ω 1 _ια-:ιχο.
4.3 Πιθανότητα.
χληpώσο'Jμε την έvνοι:::ι: -:ov
ωοοτcιρlί,ιcτοι αr.ό :n:ολλο·Jς. :1,ε-:αξ,~ των ο::οίω,, χα~
Ι!ιtisνι,θειορη,cχi, Cnerlenlω, εtνα~ αυ-:-!1 1του
η .--.ιΓJ:χνό-:ητα, έχε•.
νόμοvς ~ο,) s,,cι,ανι.ί,ο•,τ,ι
Το μ(-::ρο -:ης -:Jχαι(;τη-:ας ;-:oJ έzε~ το
1);:ό(1:1ΓJρο χ::tt σχε:-:ίζε:-::χι :iμεσ::t με: τη

353. ~ 4.3 Πιθα.νοτητα.
συχνότητα.. λ::
ν(λ) οι yορές :n:ou
335
Εστω
σ11 (λ) λέγε-::χι σχετtκή συχνότητα. του Α. Ηα1οατcρο,,,,c ό-:ι :χν
το -:1Jχαlο :τείp:χ:_ια τι r;.ιοpές, ό::0·1 το τι είναι
σ;ι:ετυc/1 συχνό-:ητα στα.Θφο;:οιείτα.ι γ,'ψω ::ι.:n:ό χ&:τοια συ;'Y.EJ<ec<_,ess
τ:αpάδειγμα, ::ι.ν,::.φpί.--.-:ον-:ας ένα. νόμισμα, .--.::ι.ρα-:ηρ-f/Jηχαν -:α
28 0,:)6
ίΟΟ O,,Jί
200 lOG 0,58
1000 498 0.498
10000 J981 0.498
F:-:σ•. Οα μτ:οpοϊισαμε να τ:οι)με ότ•. η :τιΟα.,,ότη-:α να φέpο1)με χε?α.λ~ τεί,,ει .--.ρος
το Ο. 5.
Εί,,:χι ε,~χολο ,,:χ δει κανείς ό-:ι η σχετιχf1 σ1Jχνότη-::χ έχει -:ις :n:αpα.κ&-:ω
ιδιό-:ητες:
(ί) Ο_::; σrι(λ) _::;1 χα~ σ11 (Ω) = 1.
(ii) Αν.-- n R = 0 -:ότε σ11 (Α U R) = σ11 (Α) + σ11 (R).
Ωε~γμα.τυcό χώρο.
,.
-:oJ Α. . ιχανο;:οιεί ε;:ίσης -:ις ιδιό-:ητες

354. 1
2
3

355. 1/2 0
M

356. K
Kc
Ω
338 ΚΕΦ. 4 ΠΙ ΘΑΝΟΤΗΤΑ
ο
Σχήμ::ι 4.8. Πλ6:χα τ.ληεί::ι::;:
ί,Ι Υ i,:J:?';ι:,ηρήuυ"Jμι:: ·,ην ί(jf; ΙΧ,ηύν:,;ι ύν. { ,. '(;() fi; μισ1.ι () ', {)V ΧiJΧλυ, δt:ν
μ::οpο•Jμε ,;:χ συμ::e:pά:νουμε -:ι θα γίνε~ με -:η,; 11Ίϊ . Α:π:6 την :iλλr, !Jεpιά,
εξετ::ί:ζον:::ις καλύτ:::pα το -:'.Jχαίο αυ:ό ψιινόμενο, μ:τορεl κανείς να Ωε•.
ό-:ι σ-:ο τέλος της ο ;,c1)χλος δέχ-:ηχε:, σε: σχέση με :ο ορΟογώνω,
;τε?ί.που -:ύσε:::;:
με -:ο ορθογώνιο.
-:::;χαίο ;::είραμα.
όση εtνα•. η :.ιναλογlα -:ου εμβαδω) -:ου σε σχέση
εδώ r, τ.-:ώσfί χ:iθε σ-:αγόν::ις ::ιr.ο-:ελεί χαι ένα
τα :ταρ::ι:π:άνω έχουμε ι'ι-::ι, σε η 1c:ώσεις σταγόνων
υ11 (Κ) ::ο,: εμβ::ι3fι του χύχλου
υ11 (Ω) - εμβ::ι1V, του ορθογωνίοJ ·
Λ::;: .::εράσουμε -:ώρα σε έν::ι ιδεα-:ό -:υχαlο .:είpαμα: Λντί γι-:χ πλiχ::ι :r; ::;πλα-::εί:ι::;:
έχσυμε ένα γεωμετριχ6 σχ~μα , :ο σχήμα :ου ορθογωνtο1J .:.χ. , και αντί γ•.α
στ::ιγόνες ~ροχ+ι::; έχουμε μια ,'3ροχi, αr.ό γεωμετρυ::t σΥjμεtα. l.:το ιΟεα:ό αυ:ό
τ.εψcιμα εtναι ?α,;ε:pό ότ•. η πtΟανότη-:α έν::.t γεωμε-:pαό σημεl() ,;::,:χ-::;τ.f,σεt -;()ν
χι)::<λο δίδεται α;:[) τον -;(Jπυ:
Τ'(Κ) = εμβ(Κ) = ,. · <μ3(Κ) όcου ,.· = - 1-
εμ,3(Ω) ' · . φβ (ΩJ
Αν για Ω ciρουμε το [Ο, 1] χ [Ο, Ι ] ,= {(x,y) 1 Ε [Ο, 1] c; :ι<} cό'°
γι::.t χ:iΟε υποσ1)νολο Α ς Ω. γ•.α το ο..:οίο είναt δυν::.tτόν ν::.t υ.--.ολογιmεί -:ο
εμβ::.ιδόν του, έχουμε ό-:ι:
Ρ(Α) =εμβ(Α)
Λτ.ό τα τ.αρα;::ivω συνάγε:::.ιι ότt: Για χάθε ~Μσύνολο το,') Ω := [01 1] χ [Ο, 1]
με ~κ:1λώ:; οp:σμένη έννο:α εμ/3:1δο'.)». μποpο'.)με να fiέτοuμε ως π:9α~16τψά
αυτ6 ro ίι~ιο το εμβα86 τοu.
'Ρ.-τσι: χ:iΟε υ;.r;σ1ίνυλυ : τυυ υ;.utου το εμβ-::χδϊι ε[ναι καλώς υρωμένu, εtν-::χι
ένα ενδεχόμενο ή γεγονός. 'Λρα. ορθογώνια, :ε:pάγωνα, τρίγωνα, χ6χλαι,

357. ~ 4.3 Πιθα.νοτητα. 339
J,(
Ω

358. 340 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
ο ~πολογισμός το1J εμβαδο(ι των γίvε-::::ι:ι με μεθόδο1Jς
(ί) ψβ( ..) :>Ο. cμ,3(Ω) < +σc
(ii) Λν Λ n Β = (ι) -:ϊηε εμβ(Λ U Β) = εμ,:::ί(.1) +εμ,:::ί(Β)
:ipα Y.:tL η ;-:ιθαν6-:ητα. Θα ;-:pέ;-:ει ε:τίσης να έχει τις ιΩι(nη-:ες:
(ί) Ρ( ..) ;>ΙΙ, Ρ(Ω) ~1
(ίί) λ, .. n13~ 0 τόπ Ρ(λ U 13) ~ Ρ(λ) + Ρ(13)
(..!)
-:όσο ;-:ε:pωσότεpο
το εμβ:::ι:δό -:ov •ι Ετσι
Ρ( ..1 U λ, U ... U .4,, U ... ) ~ Ρ(..1) +Ρ(..,) + ... + Ρ(λ,) +. (..2)

359. A
Ω
§ 4.3 Πιθα.νοτητα: 341
•ΧFησιμοπο•.tΝ:α-:;; λοιr.όν ως οδηγό το προηγο1μενο γεωμετpιχό ":;χαlο r.ε{ρα­
μ::ι :χα:αλήξ:ιμε με (?~σιολογιχ6 :p6:ιο σ:α yνωσ-::i Αξιώμ,::ι:::ι :ο~ Koln1op;oroν
γι:χ -:r,ν τ.ιΟανό:η-::χ, δηλαδ/1 σ-::χ (i) Χ::>:ι (ίί)' .
4.3.1 Παρατηρήσεtς. (i) Η ιδιότη-:α (ίί) λέγε:-:αι rφοσθετtκή ιδιότητα της
:τιθανότφ::ις χα.ι η, (ii)'] σ-προσθετιχή .
Αξ{ζει ν::ι σημε:ιωΟεl ε:δώ, ότι υπάρχε•. μ•.α πεpίτ:-:ωσ"Υj τυχ:χίου ψιινομέ­
νου σ-:ην Κβ::ι:ν-:rη..ι"Υjχανυ~i1 (ι;~::ι:ινόμενα μιχροσ:χοa.ιχο1) ε::τιa.έδου) όa.ο~ η
:φοσθετtκή ιlSιό-:r,τ::ι (ρίνε-:::ι:ι να μην ισχ•.Jεϊ3 : Εστω Ξ :..ιι::ι: r.r,γf, μονο­
ενεργειαχών ηλε:χτρονίων, χ::ιι {liι) ένα lSιάφραyμα με Ο~ο ο:τΞς Α. χαι U
χ::ιι Uω έν::ι δε:1Jτε:pο διάφραγμα. Αν :χλεlσουμε -:Ύjν ο;τ/1 R τό-:ε ένα Ύjλε­
χτρόνω θ::ι χ-:υπήσει ένα σr;μεtο -:ου δ•.α9p&γμ::ι:το:; (02) που ανήχει σ:ο
υποσόνοίω Μ, :..ιε :ιιf:Ι::ι.νότη-:α ΡΑ (Μ). Ομοια PR(M) είναι η r.ιθανό-:r;τα
να 9θάσει -:ο ηλεχτρCJνω σε ένα σημείο -:ο~ Μ, με την ο:ιf; Α. χλεισ-:ή.
λν χ::ιι οι δ1)0 οπές εlνα•. ανουπές -:ό-:ε έχει βpεΟε:ί '-ε:ιpαμα-:ιχϊ( ό-:ι,
Ίσω:; το ;τω πάνω ;τε:ίp:χμα να υa.οδε•.χν:Jει
Κβ::ιν-:ομr;χανιΥ.ή
χ.λ:τ.
3 ι··ενυ6: ::ι:φού συνδέσαμε τη ΙJιθcινόs:φcι με τι; μ,;ίζα, s:U:ίεs:ω s:o εpι~τr,μcι Ιl ως συ-.δUs:ω
r, "Πιθανό:rι:αη με τr,'ν Κβαν:ιχi; μάζα χαι :rι σχέσr; μάζας χαι :αχ1J:rι:ας στη σχετικότr,τα;
Γενι.κ:i εlν::.ιι ::.ι'νάϊΧΤ) να ":ονιn-"::;;ί ιη η χλασσ~χi; r.ι.θ::.ινότητα εlν::.ιι {να μ{τpο μά(α, για
ιιμ.ακpιι11χιιπιχ':1. 11ώμ.αrα " 'Οτ::.ι'ν αλλάζr)·,;οι,,1ε ε::i":Ιε00 :-.ραyμα":ικότητ::.ις, τότε είν:η /'.ι,ν::.ιτόν
και r, έ'ν'νΟΙ::ι της ;ιωα,16:rι:ας "α :ιλλάζtι, Τ'ο &ι::ιλtχη:..:ό σχήμα ..στ::.ι:ΟεFό με~αβ::.ιλλ6μενο~
(βλ. χ:η Κεy. 3) σs:ι.;; ::θ::.ι:νότr;τε;; οδηγεί σ-:ο &υν,ψιχό τμ~μcι τr;ς Θεωρίας Π•.θ::ι:νοτ~των,
γνωστό ως « Στοχαστυ:ές Δι:χΟικcισίε;; f, Λvελιξε~».

360. B
A
A'
B'
δ2
δ1
Μ
A B
M

361. B
A
Ω

362. 344 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
(u,b)
-----------
Σχήμα 4.13. ΥκολογισμίJς το1J εμβ:::ι:δο1) -::o'Jχωplo'J Λ
λχολο1Jθο(ιμε
οpθογώ,,ιο. έσ-:ω -:ο
τυχαίων αριθμών, 1ταp:iγουμε η
!ι, :=
54 46 :ι~ 26 ω .
και 8έλο1J:1,ε δύο δεχαδιχ:i ·/ηψί:χ. -:ο-:ε εzο1J:1,ε = 0.54, y1 = 0.46.
0.12. V2 =
'F.σ-:ω α.--.ό -:ις η, :το,) έ.--.ε:σαν μέσα
στο zωpίο γνωpίζο1Jμε ό-:ι
δηλ:χδή εμβ(.l)::;::; εμβ(Ω) · νη(Α.)
λr.ό τον ;::χpα:τ&.,,ω τ1~:το μ::οpοϊJ:1,ε να :n:prπγγίζο1J:1,ε με ό:n:ο~α
το εμ,'3αδό -:ου χωpίοJ Α. r:ηo'J -:ο (ψιο του εμβ(Ω). v,,,;;·i) = (ιι,
χαθG')ς -:ο η τείνει σ-:ο :iκειpο; σvγχλlνει - α:τfJ το vfJμo -:ων μεγάλων
στο εμ,3αδό -:0 1J .--..
.,,_ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ lIAZA.
-:η -:ης
Η .,,;,Οι;ιν(J,11.·..ι.<J,,ω(, ίι'(;ιι
εμβ:::ι:δό χαι -:ον όγχο τ:ο'J σvν:::ι:ν-::iμε σ-:ην

363. 4.3 Πιθα.νοτητα. 345
.L<.:-:σι σ-:ψ, :τεpί~τ-:ωση α.υ-:~
με: -:ον όγχ.ο r:ου εξετ:iσα.με l.:τη
με: ένα
::::Ο χα~ πι(.-!.)::::; ·rη(Ω) - r:<
Αν -:&φα ....1,Α.2, ... ...11, .. εlνα•. ξένα. μεταξ(, -:ο~,ς ~,τ:οσώμα.τα το,) Ω τό-:ε:
"'(ΩΛ,,) ~ '~,η(Λ,,)

364. 346 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
... Το ΤΥΧΛ ΙΟ nΕJΡΛ:'νΙΛ ΤΙΙ~ l-'Ωλ-ΙΛΪΚΙΙΣ L( ΡΙΙΝΙΙΣ .
.Σ}:r,ν σ~νέχω:~ θα θεωρήσουμε ένα ::ολύ θεαμ::χτο-:6 εμτ:εφ~χf) μο1,,τέλο μ:ί~ας
για δυωνυμι:v.:ί ::ε1.pάμα-:α (r.εφ6:ματα με δύο Ο•Jνα-::i :zπο-:ελέσματα) . Σ-:r;ν
Σχήμα 4.14. Ρωμαϊκή χρ·~vη.
χρόνου. Αν j;ιοΟέι:ωυμε ό-:ι οι Χ(>1):τε::; είί:>:L συμμε-:ριχές, τότε ατ.ό -:r;ν πρ(;)τη
κούπα και α:τό Υ.:ίθε εΥ.pο~ 1 εχρέει 1/ 2 μονiδα (Ηρους αν:ί μονάδα ηόνσυ
χ .ο.χ . Γεννιέτα :χ:1έσως το εpώ-:r,μα : Με ποια έννοια το παραπάνω είναι ένα
,uχαίη πείpαμα χαι πηu βpfσχεrαι η ϊvχαι6rητα;
Το νερό α::οτελείτα•. α;τό μεγ:iλο αριΟμό μορ(ων. Το τυχαίο πεί.ραμ:χ: ~ρί-
σχετα~ αχριβ<~ς σ-:η του χάθε μuploυ. Δεν μr.οpούμε να εlμ::ω-:ε
,3έ~αωι αν χά:τοω μόριο, θ::ι :τ&:ει :τρο::; -:η μω: 11 την 6:λλη εκροή.
μορίων θεωρο~με. τόσο ;:ερωσότερο :ιαF::t.Πι-
ομαλ6-::ητας: μιιη μάζα θα εχpμύσε~ αr.fι
την :iλλr, (συμμε-::ριχή J·Τ.--.ορο:}με λο~:ιόν
ν::ι. :ιοόμε, ότι. ;.ραχτ~χ:i ά:ιειρο::; ::ι.pιθμός μορίων, δΎjλαδή ε:ια-
να.λαμ,_3:iνο:1με -::ο -::·1χαίο r.pακτικ::ι α:ιειpες ψορες, η μ6:ζ:::ι r.ου εκρέε~
αr.6 Υ.:iθε αρο/1 ε(,;:χι μιπ/1 -::ης ,:ιρχιχής, δr;λ:χδή 1/2 χ:χι Μνει 1ψαΥ.τιΥ.:i -::ην
τ.ιθανό-::Ύjτα ένα συγχεκpψένο μόριο να ;τεpά:σει ·:ι:ιό -::η μια ~ -::ην '1.λλr, εκροή!!~
Εtν:::η ,:λέο•, ξα:iθαρο 6,ι ,ο -:vχαtο ~εί.pαμα. ,:ου αν-:,σ-:ο,χεt σε χάθε σ'J­
γχ::::φιμέvο μόριο1 ε~ναt tποδ(;vαμο με την αν&:ρρι:}η ενός vομίπματος Χα~ y:::-
νιχά με το τυχαίυ ;τείpαμα με δϊιυ Ουν:ιτά απυ-::ελέσμ:::ι:τ::ι:. Στη συνέχει:;,. υι Μυ
χοι)πε:; αv-::ισ-::υιχο•)ν με την αv&:ppι}f) δύο νομ•.σμ&:των Υ..ο.Υ..

365. ~ 4.3 Πιθα.νοτητα. 347
4.3.2 Παρα.τήι,ηση. Λv χάθε χο'Jτ:α είzε 3, 4, ή · 1: rι ε:χpοέ::: -:ϊηε Θα
είχαμε -::χ λεγόμε,,:χ ::ολυωνυμιχS: ::εφάμα-:α
.,. ΙΙ ΥλΙΚΗ ΡΑΙ3.Δ.ΟΣ.
::1.'·' /Ων'Άα.
Τό-:ε είναι
μ1:χος(α; b) · p
(&-ο)· p
rΙιη p(x)rJJ;
{ (1. = .... J;Ή = lι}

366. 348 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
T~i
r ι ι
GΣχήμα 4.15. Σ-:οιχειώδης :_ιάζα χα-::i μια αr.ε:φοστ~κ~ μετα-:ό:τωη: rΙιη
p(J;)ιl.ι·
!·b
πι=. n ρ(χ)ιl:ι
-:ο /J, ό:του Η ένας
μάζα -:ης pάβΩου 1του
μεγάλος ψ1Jσιχός
αr.6 τον -:1J7co:
το ε:μβαΜ χ:iτω απ:ό -:η συνάρτηση Y.:tL μεταξ,'; α χαι h.
/(χ)=~. ρ(χ), -:ό-:ε:: ~ι
χαι η J(x) ε:ίναι αχρι~ϊ>ς -:ο .--.ι!J:χνοΟε:ωpΎjτtχό αν&λογο -:ης :π:uχ,,ότη-::χς μ:iζας
Χ·...η γι· :.ιvιύ ιην uvuμ:.ί~u'Jμt: ·J.ν .ίο ,uιχ·J. πωt'νότΥj"';;'Ιλ rηθαvότητας.

367. ~ 4.4 Χώροι Πιθανότητας και Τυχαία Πειρά.ματα.
4.4 Χώροι Πιθανότητας και Τυχαία Πεφάματα.
(i) Τ'(Ω)= 1.
σ-:n:pοσθε-:ιχό-:ητα. της r.ιθανό-:ητα.ς
4.5 Ένα Μοντέλο Εμβαδο1J για τη Λ,jση
Προβλημάτων Πιθανότητας. [1]
4.5.1 Πρόβλημα. Ενας ,);.όδιχος, ε:n:ειδ/1 δε,, χαcοο(JώUτ,χc
pως η ενοzή του, σvμrιωνi1θηχε να :n:εp:iσε•. ηύ -:ο
349

368. ω
A ∈ A
P
Ω
(I)
(II)
(I)
(II)
είσοδος
A
κελί
B
A

369. 9-8
9-9
10-7 10-7 10-7
10-8 10-8
10-9

370. 352 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
4.6 Γεωμετρικές Πιθανότητες.
χ+(α-χ)
.r + ~
(α. - χ)+~
~ιοα,,ότητες, συνδέο~;,,
αλλ6. χα•. με -:ηv
χ Μ
> Ϊ }> α-.r
> .r
-:ις τ:ιΟανό-:-r;τε:: με -:-r;ν σ-:οι­
Λς δο,)με με:pυ<ά: συγκεχpιμένα
Β
Ποι:::ι: είνα•. τ:ιθανύ-
ισχύει :r~:άν-:ο-:ε
Λp:::ι:: <χ<~- Εa.ομέvως Yj ζη-:ο'Jμενη Ί1:1.θαv6τη-:α fJ δlδετα•. ακύ:
4.6.2 Πρόβλημα. Έσ-:ω
Λ1Δ1 +ΜΔ1 + Λ1L1 = :.,

371. ~ 4.6 Γεωμετpικές Πιθανότητες. 353
Γ
Α Ζ Ζ1
[J
Σχήμα 4.19. 1Ιε Σ·1,,8ε-:ιχή Γεω:1,ε-:ρlα
το 111ωσGvολο εχείνο του Ω. -:χ σημείχ το~; οτ:οίοv δίδοvv τpίχ μi1χη :του α:το­
τελο,~v :n:λειψές -:pιγώvου. Θέλο·;με δηλαδή,
'..ό·Ι·Ζ' < ·.'.·.ΙΔ•' +·,·ό·Ι·Ε·' }ΛΙΔ' < J."IZ1 + ΛJΕ1
:ΊfF' < :ΓΖ' + :ΊfΔ'
Ι3λέ:τουμε λοι:n:όv ό-:ι ο~ ε•;,,οϊχές :n:εpιr.-:ώσε~ς, εί,,χι όλα -:α εσωτεpιχ6: ση­
μεί:t -:ου
2Τι' Λύση. (:.Ιε χvχλυ-:ιχή Γεωμε-:ρlα):
χαι //
Ε-:σ~
Δ(01Jλ).
ΚΝ = y
ο <. χ <. .1J <. b.
σημείο του τpιγC:)νου
Ό:τως χα.ι σ-:ην r.pοηγοϊψενη λ,';ση έχουμε για -:ις :τλευpές του

372. 354 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
"(ιh) .4(1,,/,J
Π(ΙΙ,δ)
1 /1 /1
1 :ΙJ=.(7
1y=~
/ 1
1 / (χ,μ)
1 / 1
1/ 1Ζ(ΙΙ, &Jr
υ= * 1)(~ι,J 1
1 Υ 1
1 /1 1
Σχήμα 4.20. ::Ιε λναλ·;τ~κ~ Γεωμετρία
τριγώνου .r. y - .r, h - y.
h /ι h
:.ι: ..1J-J:. Ιι-:ι; είν:::ι:ι a.λεvpές τpιγώνο'J ,ΙJ-Χ < 2' .1J-X < 2· 1-,ΙJ < 2
δηλαδ/1 , χ<
~= ~
-:oV Χα•.
Ρ ~ cμ,3χΜ(Δ(ΕΖ-1)) ~ ! -il
εμ,3αδό(Δ(ΟΗΑ)) ·1
4.6.3 Πρόβλημα. (ΣUνδεση, Λλ yεβ,οχς. Γεωμετ,οίας χαι Πι&ανότητας). Πο•.α
εί,,αι r, r.ιθανό-:r,τα. r, εξίσωση,
+ 2yax - (b - 1) ~ Ο

373. a+b=1
1
10
§ 4.6 Γrωμετριχές Πιθα.vότητες. 355
ν':1. μr;ν έχει τ:ραyμα-:ιχές ρίζες αν τα α Y.':1.l lι είναι συν-;ε-;αyμένες (ιι., lι) , ενός
τυχ':1.ία ε:τιλεγέν-;ος σημείου, -:OJ -;ε-;':1.?-:ημό?'.Ο'J
a1+!/ < 1, α>Ο, lι> Ο.
Λύση. Η εξίσωση 8::χ έχει μιγαδικές λύσεις αν η Οι::χχpίνουσα, Δ
Σχήμ:ι 4 .21 .
(2i/a )'2 +4(lι - 1) είν':1.ι αρνη-:ιχή, δηλ. Δ < Ο ή ::~ν u +b < ι. Ε-:σι το γραμ­
μοσκιασμένο η.1ήμ::χ αr.ο-:ελεί τις ευνοϊκές τ:ερι::τώσεις, -;ο δε τεταρτημόριο τ•.ς
δ'..i'i::tτές. Ε::ο:-dνως, γ~·:t τη ζητούμεvη ::ιθ1νό-:ητα έχουμε:
εμ;1αδό(-;pιγώνου) &
μ = = - = - --11
εμβαδό(-:ε-:αρ-:τ,μορ~j) !π ;,;
4.6.4 Ασκήσεις. 1) Ετ:ιλέγουμε τυχ:χί::ι Μυ ::~pιθμο,); :πό το (Ο, 1) Ποο.α
εtνα•. η :τιθ::ι,;ότητα το άθροισμα τους vα είναι :.1εγ::χλύ-:εpο -:o'..i 1, ενώ -;ο
άθροισμ::χ τω,; τετp::χγώνων τους να είναι μιχρό-:ερο του 1. (A ll. 1- !)-
2) ~ : έν':1. τ:ανηγ1)ρι, ;τ:άρχει -:ο τ:αιγνίδι, ό:.ο'..i ένας παtχτης ρtχνει ένα νόμι­
σμ::ι σε μ~α υp,~όν-:~:< ε:τιφάνει::ι, ;ωu χαλ'Jτ:-:ε-:::ι, με σχεδ~:<σμέ'.Ι::t. -:ε-:ρά:­
γων1, ::λευp:iς ιι. Αν -;ο νόμισμα ()εν κόψει χαμ~ά yp:ι:ψή, :χλλά β?ίσκε-
' . ' ' , , , '-; :.η (ιt,υκ,,ηρω-: ικα σ-; υ .: σω-:t:p~κu κ::t.r.υιυυ τ~τp::t.γωνυu τuτ.:: υ πα~χτ rις
κερδ[ζει. Αν r είναι η :t.χ-:ίνα του νομίσμ::χτος, με τι r.ρέr.ει να ωο,J-:αι

374. 356 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
το τ:αιγvίδι, θέλει χάθε 11:αlz-:Ύj:: να έχε•.
για χεpδlσει:
3) ~,)ο σημεί:::ι: .1 X::tt Β ετ:ιλέγοvτα•.
εlνα~ η :τιΙΊα,,ότη-:α -:ο Α. να ε:τιλεγεί σ-:ο Ο αr.ό ότ~ το D.
·1) Οι συν-:ε:λε:σ-:ές α κ::tt lι της δευ-:ε:pοβϊ(Ομιας εξίσωσΎjς
+lι=Ο
ε;-:ιλέγον-:αι -:υχαlα αr.6 -:ο διάστημα
p•.ζες -:ης εξίσωσης να ε:Lναι τ:pαγμα-:ιχές:
(i) μιχpό-:ερο α:τό t;--.
(ii) μεγαλ6τεpο αr.6 τα
(iii) ενός χ(ιχλο~, με: δ•.ϊψε-:pο ίση με:
(iv) μεγαλ,J-:ερο α:n:ό το! -:0 1J εμ1'3αδο·J του χ1Jχλο1J -:ης :n:εpί;:τωσης (iii).
4. 7 Δεσμευμένη Πιθανότητα και Ανεξαpτησία .
.,,_ ΔΕΣ:ΙΕΥ:[ΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ.
4.7.1 Παράδειγμα.
Λόση. Ο δε:ιγμ::η•.χός χϊψος για την ::t',:ipp•.ι~η -:ων τριών νομισμ:iτων είναι ο:
!l = {Kkl.. Ιυυ. Kl 'Κ. Kl Ί .1 Kl.. l Λ.1 ',1 Ί Λ.,1 Ί Ί Ί
Το γεγονϊις ϊιτ•.
έλθει χεψαλ~.
01.,,pο11,οp1ρη, ϊιτ•. -:ο :τpί;ηο νr)μισμα
στον Ω~, 11:01J ;-τεpιέzει

375. ~ 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία.. 357
il' ~ { ΚΚΚΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ)
μfJνο μι:::ι: ένδε•.ξη με --;pεις χεφαλές
ότ•. Ρ12-, είν::tt η νέα .--.ιΓJ:χνό--;ητ::t :π:ου σχε:--;ίζε:--;:χι με: το νέο δε•.γ-
Ω*. να σημειωθεί ϊηι η μiι-δευσμε'Jμένη ;-τιθανfJτη--;α το1J
ίσr; με: Ρ(ΚΚΚ) = !- -11
Λν --;ώρα
του ..-,χ&:τω α:π:ό --;ις χ:χι-
,,ο(φγ•.ες --;ο μόνο μέρος του Α. :π:ου
μ:π:οpεί να zτ1πηθεί α.--.fJ γεωμετpιχ& σr,μεlα είναι --;ο
.ίnΒ

376. A
Ac
Ω Ω
AB
A ∩ B

377. ~ 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία.. 359
(ii)
,11:-.οι.,ομι.,vμ.ι.,νrj·:-.
-:ης Ρ.
Ετr;ι το δεσμευμένο τυχα.ίο :τείpα.:_ια :n:αpιστ6:νετα.ι με την -:ριά.δα.:
(Ω,,d,PR), D ε
Αξlζει v':J..σημειϊ>σει χ:χνεlς ότι,
είν:::ι:ι
P(D) > Ο,
είναι
Επαναληπτικές Δεσμευμένες Πιθανότη":ες. "Εστω -:ρί:χ ενδεχόμε,,:χ
με Γ(Λ n Β) > Ο -:ϊηε χαι Γ(C:) > Ο (γι:::ι:τί ;) χ:::ι:ι
Γ'(Α I R I C'J ~
Γ(Α.c'ΒΠC)
P,,(.,!nD) _____l_'(_('l_
}-'(~(11) f}7:~1i(
Γ(Λ n Β n CΊ ~ (4 1 C')
Ρ(DΠΓ) Ρ, lJΠ ',
P(AIRΙC')~P(AΙRnC:), με P(RnC')>D

378. 360 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
.._ .._j,_L<;N..ll-'U..H.-1 .l-'Λ.11lΛ'l'Λ.
Ω Ωσ χ Ωο χ Ωο, Ωο = {Κ.Γ}
{ ΚΚΚ, KKl', ΗΤΚ, KlT, lΊΊ .1ΊΊ{.1Ί(l , lΊ(Κ}
1. Ετσι.
γ:ι. -:ο .--.:χp:χσ--:-Ι1σο~ψε:
Οι .--.ιΓJ:χ,,ότητες γ•.α
11:pέ11:ε:ι vcι. :χθpοίζον--:αι σ--;ο
Ρ(Κ) + P(J') ~ 1. Ρ(Κ IKJ+ P(J' 1Κ) ~ 1. Ρ(Κ 11')+ P(J' 11')~ 1
χα•. f'(Κ) · Τ'(Κ I Κ) · f'(K I ΚΚ) + Τ'(Κ) · f'(K I Κ) · Τ'(Γ I ΚΚ) +
+Ρ(Κ). P(l l K). Ρ(Κ I KJ) + Ρ(Κ). P(J' 1 Κ). P(J' I KJ') +
+Τ'(Γ) · f'(K I Γ) · f'(K I ΓΚ) + Τ'(Γ) · Γ(Κ I Γ) · Γ(Γ I ΓΚ) +
+Ρ(Γ) · Ρ(Γ I Γ) · Ρ(Κ I ΓΓ) + Ρ(Γ) · Ρ(Γ I Γ) · Ρ(Γ I ΓΓ) ~ 1
σ--:ο Σzήμα -·1.2;3έ),:ο,)με:: Ρ(ΚΚΚ) = Ρ(Τ( 1 ΤΠ()Ρ(Ι( 1 Κ)Ρ(Τ).
χ::ιι για τους :iλλο1Jς χλ:iδο1Jς.

379. 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία..
1{
,1'(Kll~ /
1{ 1/ 1
/1~ 1
P(Kv lr(Γ ι κΝ
/ 1
Γ
Γ
Γ(Κ I ΚΚ)
J{ : (J{ J{ J{)
(ΚΚΓ)
J{ : (ΚΓΚ)
Γ: (ΚΓΓ)
(ΓΚΚ)
<~Ι Ι(Γ(Κ 1 / -----.. r,
Ρ(Ι') /
(rκη
Γ~ J{ : (ΓΓΤ()
Γ, (ΓΓΓ)
Σχήμα. 4.23 . ...)..ε;νδpοδιά:γpαμμ:::ι: τpιών στ::tδίων
361
ξ:;ι:ναε;-:ιλέγουμε μι:;ι: σ'?:.tίp:.t. llι:;ι: είναι η r:ι~ανό-:'Jτα
,,::ι .--.ά:ρουμε
Λόση. F,τσt,
Γ(Κ) Γ(Κ I ΚΙ· Γ(ΚI + Γ(Κ 1.11· Γί.11 ~ ~ · i+ ~ · :~
Γ(ΚΚ) + Γ(.Κ). "il

380. 1/2
Γ
Κ1/2
Γ
Κ1/2
1/2
1/2
Γ
Κ1/2
1/2
Γ
Κ1/2
1/2
Γ
Κ1/2
Α B C A

381. 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία.. 363
1-'(οΑναχεμοίσε~) = 1-'(Α.=Κ)ή(λ=1Ό1J=1'.C=Γλ=Κ)f1
ή (Λ ~Γ,Β ~ Γ.c: ~Γ,Λ ~Γ,Β ~ Γ.c: ~ Γ Λ~ Κ)~·
.... Α:"ΈΞΑΡΤΗΣΙΑ.
τ:,::.φα-:.Ύjpοι)με ό-:.ι αν
1 1 1 1
-2+24+27+11+ 1- ~ 7
λ;-:(; -:.α r:αpα;-:&,,ω
= η..(5(R), τό-:.ε για γ:ι.
Ρ(.- 1 D) ~ Ρ(.-) xoc P(D I λ) ~ P(D)
τ:pέτ:ε•. :1,,::,:λογί:χ το,) εμ(1::tδο(; -:.ου ..-σε σzέση με -:.ον Ω ν::t είν::t•. lδ•.α με -:.Ύjν
το1J εμβ:χδο1) το1J Λ n Β σε σχέση με το Β δΎjλ:χδf1 θα 11:pέτ:ε•.:
εμ;J(ΛnΒ)
εμ,3(Β)
εκειο/1 εμβ(Ω) = l. η(*) στην οJσί:1 μας λέει ό-:.ι:
Ρ(Α.. n 1J)
Ι'(Λ)~~~Γ(ΛIΒ)

382. A
B

383. 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία.. 365
-:ον υ;-:ολογισμό -:ης :τιθα,,(;τη-:ας.
F:.--.ομένως ισχ(,ει:
Ρ(λΠlJ)
Ρ(λ n13)~ J(F(.4), F(lJ))
Ρ(λ) ~ εμ,3(.,) ~ α
Ρ(Β) ~ ψβ(Β) ~ Ι,
rμ n R) ~ εμ!JίΑ n R) ~ α .
Γ(. n Β) ~ Γ(.) Γ(Β)
.4.χαι R είναι ::ι:νεξ:iφτη-:α. Rλέ:π:οιψε εδώ 6-:ι ....Π R -=f0
ανεξ:ip-:ητα. Στην :π:p::ι:γμα-:ιχϊι-:Ύjτ::ι: ::ι:ν Λ Π Β = (ι) -:ϊηε

384. 366 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
γι:::ι: να είν::tι ::tνεξάpτη-::::ι: τα Λ χαι Β θ:ι. :τρέ:τει ε:τειδi1 Γ(.l n Β) = Γ(0) = Ο να
έχουμε:
4.7.10 Παρατήρηση. Είναι y:χνεpό α:τό -:ον ;:ιο :τ&.,,ω
[0.1] χ [Ο, 1]. όcc 1'
Ρ(ϊ) = η..(Ηϊ) = Ο χωρίς
Λύση.
P(AiR) --t- P(RiA) = r'(.--i) --t- P(R)
άρα Ρ(.4) + Ρ(13) ~ 1
Ε::ειδ~ -:α ενδεzόμε,;:χ είναι :;ι:,,εξάpτη-::χ, Θ::χ έχουμε:
Ρ(λ n D) ~ Ρ(λ) · P(D)
Γ(Λ) · Γ(Β) ~ t:ipα
Α. χαι R είν:Ύt ανε-
+ Γ(ΒIΛ) ~ !. Κα
(4.3)
(44)
είναι y:χνεpό ό-:ι οι :χpιθμοl Ρ(.--.) χ:χι P(D) είναι
6 2
-χ+~=():::}η=~
F:.--.ε:ιδ~ Ρ( Α.) < Ρ( R). έzουμε ότι:
1-'(λ) = iκαι fl(13) = ~
4. 7.12 Παράδειγμα. Δ(,ο ?ίλοι τ:pόχε:ιτ::tt ν'::Ι.. σ1)ν::t',τηΟο(ιν σε χ&.τ:οιο συγχε:­
μέpος, μεταξίι 12 το
;-:ο'..' Ι":!α Ι":!α
::t'ι ο ά.λλος δε:ν
έΎας ετc•.λέγε, τ;)z::ιίv: -:ϊ1 στι yμ:ιΊ
μεσημέρι μέzρ~ lμ.μ.

385. ~ 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία.. 367
Λύση. Λ:::
είναι
λ ~ { (c ιι) ε IJ IΙχ - ιιl <; ~}
'.L>:σ~ το σ'Jμεlο (.r,μ) ~ταpιστάνει μια ευνοϊχ/1 :τερίπ:ωση
(1) '!J;::::;J Χ:ΧL '!J ::;:i δηλ:χδ~ :ι; ::;.ι· + {
(2) .,·<; !Ι .ι· - 11::; :i δηλ:χδ~ :ι; ~ .ι· - 1
v=.r-iχα~ v=x+i
Α..1 = ι :ι;~.ι·
.-2 = {(X,JJ) l .i.J::;Χ χα•. :Ι.J<Γ-~}- J
[j
..-1U ..-2.
~τ~Θανότη-::t εlνα~
τη χρ~σ'J στοιχει(;Jδου:::
του ενδεχομένου λ =
ει::αολα βρίσκει χανείς ότ•.
εμβ(Λ) ~ ~-
Ασκήσεις.
1 λv Λ χα•. Β είναι Μο αvεξϊφ-:'Jτ:Χ ενδεχόμενα με Γ(Λ) = Ρι χα•. Γ(Β) =
fJ2 -:ό-:ε να δειχ-:εl ότι:
/!Ο= (l-ρ1)(l-ρ2)
ό:του /Jo εlνα~ 'J :τιΙΊα,,ότη-:α μην εμψανω-:εl χα,,έvα α:τύ -::χ Α. 11 D.
2. .lα υ;-:ολογισ-:06,, οι ~τ~Θανότη-:ες 1-'(λ) χαι 1-'(lJ) αν:
(i) Α. χα~ lJ είναι α,,εξάpτη-::t ενδεχόμενα
(ii) Η τ:ιθανύ-:'Jτ:χ της τ:χυ-:ύzpον'J::: εμι;:iνισ'J::: -:ων Λ χαι Β είν:χι {

386. 368 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
(iii) Η a.ιθ::ι:νό-:Υ:τ::t γχ μην εμψαvιστεί Υ..::ι:νέvcι. εvδεz6μεvο εlνα•.
Εί,,:.ιι οι 1-'(Α.) χα~ 1-'(13)μοναΩυcά Υ.:t~οpωμένες:
:ι Εί,,:χι αλ~θε~α ότι αν Ρ(λ n Β) = Ρ(λ) · Ρ(Β) χα~ Ρ(Γ) > Ο -:ό-:ε θα
έzο·ψc ΧΟC Ρ(λ n 1311) ~ P(λll'J . 1-'(1311}
lIa.opεl ένα εvδεz6μενο να είναι ::ι:νεξά:pτη-:ο α;~:6 -:ον εα1τ;6 -:ryJ·
P(.--i) = {- P(.--iu Ι3) = i χα~ P(D) = μ. τό-:ε:
(i) Να βpεljε:ί-:ο p ::t',τ::t .--.χα•. R εί,,:χι ξέν::t με-:αξϊι -:ους (ασυμβι,:Jαστα).
(ii) :Κα .:::ίpεθεl το p αν -:α Λ χ::ιι Β εlνα•. ::ι:νεξ:.;τη-:α.
(iii) Χ::ι: ~pεθεί -:ο fJ cι.v η εμψάvιση -:0 1J .1 σvvε;τά:γε-:αι -:ηv εμrιά:vιση το1J
V.
(i) Λv .1 ς Β ς Ω χ::ι:ι Γ(Λ) > Ο; τό-:ε να βρεθεί η Γ(Βl.1).
(ii) Ια δeczcεί 6cc P(AliJ) <; 1 - ;·~ι.
(iii) 'Εστω Γ(.llB) = Γ(.llB''). :_f::ι: δειχ-:εί ϊηι -;::ι: Λ Υ.::ι:ι Β εlνα•. ανε­
ξά.pτη-:α.
:Κα δι::η~πωθο'Jv 11:pώτα οι Υ.:::ι:τά:λλrjλες συvθi1χες .
.lα δειχ-:εl (;τι 'J.V _4_n 1J= ω, -;:(;τε J-'(A_):::::;JJ(lJC).
8. Δ.,~ο ζ6:pια α,,α,pίccτο,.,,αc.
10
ενδείξεων να
εtνα~ 5.
θέντων.
11. Αν λ. lJ χα.ι 1 εtνα~
Ρ( ...) < 1 χα•. P(R) < ί.
εν6ς τα ζ:ipια.
η ένδειξη ,,α. είναι
εtνα~ :iρτως α.pιΘμ6ς.
με λ U lJ U 1· = Ω χα~

387. 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία..
4.7.13 Οι,~σμός. 'Εστω Λ.Β.Γ --:plα ενδεzύμενα. Θα λέμε:
(i) 'Οτ•. είναι αvεξάρτητα κατ:i ζε(.iγη αν
369
F(λnD) ~ Ρ(λ)-Ρ(D). F( ..nC) ~ Ρ(..!) F(C). F(DnC) ~
P(lJ) · P(C).
(ii) '0--:ι είναι :χνεξάι,τητ:χ αν
Ρ(λ r1I3r1 (7) = Ρ(Α) · Ρ(Β)
12. Αν λ χαι 13 εί,,:.ιι δ,Jο ανεξ:ip-:ητα ε,,Ωεχ(;μενα. να Ωε~χτεί ό-:ι:
ίί) ....Lκαι nc· εr.ίσ1ις ανεξ:ip-:ητα.
(ii) Τ'( ...LJR) = 1- Γ{Α'') · Γ(R").
13. 'F.σ--:ω για δ•.ευχύλυνση ο σ1)μ_Ξ,ολισμύς ...ΤΤ R να σr;μαίνε•. ότ•. τα Α χα•.
Β εlνα•. ανεξ:ip--:ητα γε'(ονϊη~.· Τύ--:~ να δειzτοGν ή ν~ δοθο(ιν αντιa.αpα­
/)είγ:.ι.α-:::χ γι.:χ -::ι.ς r:αpα,ι:Υ:τω δηλ(,rπr.ς
(i) .JJB & ΛJJΓ=,.JIBUΓ
(ii) Α UR & . UΓ R n Γ ~ 0 =, 4 il R U Γ
(iii) λUD :v DUΓ ,c..UDΓ=,ΓU..UD.
.... Α:ΈΞΑΡΤΗΤΑ ΠΕΙΡΑ:ΙΑΤΑ ΤΥΧΗΣ.
4.7.14 Π~ρά.δε~γμ~.
μ:::ι:τα --:'JχΎjς. Λς τα
,,-:1 συνδ·Jά.r;ο·;με δύο ε:n:l
-:6z1ις. 1lεpαά ,,,,!είγμχτο
--:ις έ,,νοιες.
i'ιδη ,<pηοιμu1.υιiΊοιΞ,ι. οιι!J.'ιηpί.:ί, υ(1νΟ1:, ω 1.iΞ:'.[ΑΧ­
γ•.α να μa.οpέσουμε να 11:αpαχολοvθήσουμε --:ο

388. 370 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
χοτασο:εοαί,ο,τα•.. Έσ-:ω -:ο ηλό 11:είpαμ:::ι: τGzη::: της :::ι:νϊφptψf:::
Ω1={Κ,Γ} Ρ1(Κ)=μ, Ρ1(Γ)=μ, μ+η=lχαι
01 ~ Ρ(ΙΙ) ~ {~.{Κ}. {Γ), Ω1 )
'Οταv :::ι:ναppίa.τοvμε -:ο vfJμισμα Μο ςJΟpές, χά-:ω α;τfJ τ•.ς lδ•.ες συvθήχες, εlδαμε
ότ~:
Ω2 ~ Ω1 χ Ω1 ~ {(Κ,Κ), (Κ. 1'). (1 .Κ), (1'.1')}
γι:χ -:ις ::ιΘ:χνό-:'fίτες έχουμε:
Ρ,2Κ, Κ) := Τ(Κ). J(K) = Γ2
Ρ,(Τ(, r) :~ Τ'1(Τ() · Τ'1(ΓJ ~ Ρ · '1
Γ2(Γ. Κ) ,~ Γι (Γ) · Γι (Κ) ~
Ρ2(Γ, Γ) ,~ Ρ1 (Γ) · Ρ1 (Γ) ~
'Οτα,, αν::.φpί1τ-:ουμε τρεις ψοpές -:ο ,,(;μισμα έχουμε:
Ω:; = Ω1 χ Ω1 χ Ω1 =
{(ΚΚΚ), (ΚΚΓ), (ΚΓΚ), (ΚΓΓ). (ΓΚΚ). (ΓΚΓ). (ΓΓΚ). (ΓΓΓ)}
γι:χ δε -:ις r.ιθανό-:'fίτες έχουμε όμοια, π..χ.
Κ:.π:i το,, lΩω
λή1~ε:ων του
.ι = (<λΕVΧές σt;χtίpες τΟΙ) j
Τ."Ί - "··""--····,-.~-ςa·!p-~ ---· :
ί = l. 2
, = 1. 2

389. ~ 4.7 Δεσμευμένη Πιθα.νότητα. κα.ι Ανεξαρτησία..
τύ--:ε έzοvμε:
4.7.l(ί Π~ρά.δε~γμ~. 'Ανι;ιι:,μί1.
pές. :.Ιε τη χρήση της έννο•.ας των
371
δοχείο
'λpα:
(ii) 'Jα ~αp:χσ--::χΟοι)ν κατάλληλα --::χ
- i - --~:Jς~- ..:~~-τ r~ --"j .. -11
D = ((εμr;.ια.,,ίζε-:α.ι και r.εpι-:-:ός στην 9ψJ
χα.ι να
ΛιJση.
(ί) = Ω,;. : 'Ι: = 1,2 ..... 10
~ηλαΩή Ωω = Ω1 χ Ω1 χ ... Ω1
(ii) Α. = Ω1 χ Ω1 χ Ω1 χ {6} χ Ω1 χ ... χ Ω1
Εlνα~ ψανεpό ό-:ι στο ενΩεχόμενο, δε :_ιας
Για τις :π:•.θανύτη--:ες έzοvμε:
στην :n:ρώ­
του Ω1 =
τpό:π:ο (:Ίpί-
l'ω(λ) ~ l'(Ω) · l'(Ω) · l'(Ω) · 1'({6}) · l'(Ω) .... l'(ΙJ) ~ i·l'(Ω) ~ t;
1'ω(1J) ~ l'(IJ) · l'(ΙJ) · 1'({2,Η}) · l'(IJ) ... l'({U.,,}) · l'(IJJ ~ ~ · 2

390. 372 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
4. 7.17 Παοάδε~η.ια. (Σuνεγής:: πεp(πτωσr, ). Έσ-:ω -:ο -:1Jzαlας
ε:n:~χογfις ε~ός . . .J: του"rl; = 'ιο.1J. Ειvαι y,,ωσ-:ό
,,;-:ο1-ι'σ-:τ1/:t ς;; [0,1]. η -:ο ε;c~λεγέν σημείο .. ,_ ·-··i--~·"·"
[u,b], δί,,ε:-::χι το μήκος-:ο~, [α.Ιι].
Αν
Γ1 (χ Ε [α, Ιι]) = f:.' ([α, b]) = b - α. f:.' Ξ (<μ~χοςη.
δοχιμές το,) ίδωυ ~ε:φ:iμα-:ος -;/;zης. Τ6-:ε ο
a.εφ&μα-:ος είνα•.:
11,~10,11χ [0,1]
Ρ,( ..1 χ_.,) ~ Ρ1(λ1) -
= ι[111,b1]
~ (bι - α1)-
= εμβαδά -:0·1 λ 1 χ (δηλαδή ,36:ση ε:n:ί ·Jψος).
Είνα•. ε/Jχολο να δει Υ.:::ι:νείς ϊηι ο χανfJνας χ Λ2) = Γ1 (.11)·Γ1 (.12) είναι
ισοδ·J,,α:_ιος με την ανεξαp-:ησία των cvocyoμc,•ωv.
--1.1 χ f χαι f χ Α. 2 -:ο~, Ω2 = [Ο, 1]χ [Ο, 1].
(Ίψ Y.:tL llαpάδειγμα J.7.9). llp&γμ:.πι:
Γ2(.Ι1 χ 111)~ Γ1 (Λι) · Γ1 (111)~ Γι (.1)
Γ2(Ι!ι χ.,)~ Γ1 (111)-Γι (Λ2) ~ Γ2(.Ι2)
έzουμε ::οcόμη ότι:
'Αpα η σχέση

391. ~ 4.8 Τυχα.ίες Μετα.βλητές.
Ασκήσεις.
1. Ας υ;-:ο~έσουμε ότ~ ssoωotccoc,ie
Οανότη-:ε:ς τ(,)',
;τ[ν::αα:
.lα
2 Λ..ς θεωρήσουμε
α.--.ό χ:iΓJε:
;του τp:::ι)ήzτηχ:::ι:ν να
(i) 1 λεω<ή χα•. 2 μα,)pες
(ii) Το:Λάχιστο,, 2 μα6pε:ς χαι
(iii) Πφ.σσύτεpες μα,)pες :::ι::π:ύ ύ-:ι λε1Jχές.
4.8 Τυχαίες Μεταβλητές.
373
χαι ό-:ι οι ;-:ι­
-:ον :π:αp:::α,::Χ-:ω
(1.11
Οι κύριο~ λόγοι γ~α την ε:ισαγωγ~ της έννο~ας της τυχαίας :_ιε-:αβλη-:f1ς είναι
οι :π:αpαχ&-:ω:
Η εχ-:έλε:ση χ:iΓJε:

392. X(⋅)
KK
KΓ
ΓΚ
ΓΓ
2
1
0
⊆ R

393. ~ 4.8 Τυχα.ίες Μετα.βλητές. 375
4.8.5 Παρά.δε~γμα. Λς
ψοpές ε,,ός αμεpόλ1ι:n:-:ο'J
το τυz:::ι:ίο ;-τείp:::ι:μα της :::ι:vά:ppι·/ης Μο
έχουμε:
ιι~ (1,2.1,4,.i.6} χ {1.2,:1,4,5,6)
Γ[{i.))] ~ ~, i.) ~ 1.2 :3,4,5.G.
Ορίζουμε τG'ψ:::ι: μια τυz:::ι:ία μετα,:::ίλΥjτή :n:άvω στο Ω, ως εξ~ς:
X(i._j) = 'f!ιαχ{i,)}. (ί,.ί) Ε Ω
Η τ.μ. Χ :n:αlpvει -:ις -:ιμές Ω' = είναι να
::ά:νω r;το Ω1 :_ιια Δηλαδ·~
,,α οpίr;ουμε χα-:& έ,,α
Γλ({Ι)), Γχ ({2}) ..... Γχ({G})

394. 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1,1) (2,1)
(1,6)
(2,5)
(3,4)
(4,3)
(5,2)
(6,1)
(2,6)
(3,5)
(4,4)
(5,3)
(6,2)
(1,5)
(2,4)
(3,3)
(4,2)
(5,1)
(3,6)
(4,5)
(5,4)
(6,3)
(4,6)
(5,5)
(6,4)
(5,6)
(6,5)
(6,5)
(1,4)
(2,3)
(3,2)
(4,1)
(1,3)
(1,2) (2,2)
(3,1)
376 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
1 1 1 1
--~--~--·--~--~--,
1 1 1 1
--~--~--·--~--·--,
Σχήμα 4.28. Ρίψ'fί δύο ζαρ~C:)ν.
11::.φ:.πηpοϊψε ότ~:
-"1 ~ {ω Ε ΙJI Χ(ω) ~ 1} ~
_,, ~ {ω Ε ΙJI Χ(ω) ~ 2} ~
Α;;~{ωεΙΙΙ Χ(ω)~3}~
Λι ~ {ω Ε 111Χ(ω) ~4) ~
λ5 ~ {ω ε 111Χ(ω) ~ 5} ~
Α 6 ~{ωεΙΙΙ Χ(ω)~G}~
'.L>:σ~ ορίζο:.ψ.ε::
Ρ,((1)) ,~ Ρ[Χ ~ !] ~
l'x({2}) ,~ Ι'[Χ ~ 2] ~
Γχ({3}) ·= Γ[Χ = 3] =
Ρ,((η) ~Ρ[Χ~4]~
1---({5}):= 1-'[Χ = 5] =
Ι'χ({G}) ,~ Τ'[Χ ~ G]~

395. ω1
ω2
ω3
ω34
1
2
3
4
5
6
X(⋅)
ω36
P PX
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
3/36
5/36
7/36
9/36
11/36

396. ω
A ∈ A
P
Ω
B∈B
R
X(·)
PX
Τυχαίο πείραμα (Ω,A, P) Τυχαίο πείραμα (R,B, PX)
Πιθανότητα του Β: PX(B):=P(A)

397. ~ 4.8 Τυχα.ίες Μετα.βλητές. 379
Χ(·,·) :(/----+R. // (χ,.ιι) f------c>Χ(χ,.ιι) :=.ι
Τό-:ε να υ::ολογισ-:ο·J,,:
(ί) Γχ
(;; ίJ IΓ <" 11Hj L ι;~ _:::2J
(ί) llα.pα-:ηpο6με 1τρώτα (;τι: Γα σημεία του κ6κλοJ r ::oJ αν-:ιστοιχίζον-:αι.
δ•.·::Χ -:ης Χ, στο κλειστό διάστημα
χόμενου .--1.
!-εlνα•. όλα. τα σημεία -:ο~, ενδε-
λ;-τrψένει να βpο"ηJ.ε την Πιθανύ-:Ύjτα Γ(Λ1 ). ΛλλΥ.
Γ(Λ,)~
1Ιε μεθόδο1Jς -:ης στο~χειώδο·;ς γεωμετρίας, 1'3pίσχουμε ότι:
Αpα P(4 1)~ 1:;~i+~ iτπc Ρχ ([-~ ~]) ~ ~ + Δ2 2 3 π
Γ [χ<; i]~ Γ(Λ,)
για-:ί όλα τα σημεία ω = (χ,μ) του .1;1δίvovv Χ(ω) > !-Λλλ::Χ.

398. 0-1 1
60o
C
1
-1
-1 -1/2 0 1/2 1
A1
A2
B1:=[-1/2, 1], B2:=[1/2, 1]
R
A
Ac
0
1
Ac

399. 4.8 Τυχα.ίε:ς Με:τα.βλητές. 381
Έτσι
Γ,, ({Ι}Ι ~ ΓUI χα•. Γ, ,({Ο})~ Γ(.ί') ~ 1-Γ(.ί)
και αν Ρ(Α.) = μ χα~ P(A.c) = rι -:ό-:ε::
P[l4=l]=ρ P[J4 =Ο]= rι
Δε:ν r.ρέr.ε:~ να ξεχνάμε: ό-:ι:
~ ΤΥΧΑΙΕΣ ::lΕΤΑΙΗΗΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣ!,ΙΕΧΟΥ Π.ΗθΟΥΣ ΤΙ!,ΙΩΝ.
D {.ι:1,.Τ1,-
A.i {ωεΩIΧ(ω)=η}. '1:=1.2,
Τό-:ε: -:α σ,~νολα Α. 1 ,Α.2 ..... Α.rι αr.ο-:ε:λο·J,, μlα διαμέpισ'fί -:0·1 Ω. Σ-:ο
μα. 4.Ί:3 ~τε:r.ερασμένου
τψών. ότι:
ΣυνήΟως Γ)α. .--.α.pισ-::iνουμε μlα τ.μ., ό~ι,>ς '1ί ~αpα.~τάνω. χα•. με: τον ~ταpαχϊ(-:ω
τ:ίναχα:
χ ΙΙ·Ψ+++·Ι
Οα λέγο,,ται, η κατανομή πιθανότητας της τ.μ.
χ.
Λ,J.Ι.,11 Π,....ρ,Ι;Λ""'γμ"". Η'"~'
χόχχινε:ς. Κ:ιλέγο1J:.ιε: τυχα.ία
,r " ,
ναrπση . .ι:,σ-:ω Λ. ri -:.μ. ~του στ~ς

400. A3
P
Ω
R
X(·)
PX
Τυχαίο πείραμα (Ω, A, P):
Τυχαίο πείραμα (R, B, PX):
x1
x2
x3
xn
A2
A1
An
Εμφάνιση του Α3
Εμφάνιση του {x3}

401. x1
x2
p1 p2
μ=Ε(X)

402. xk+1
xn
pk+1 pn
x1
x2
p1 p2
μ=Ε(X)
pk
xk

403. ~ 4.8 Τυχα.ίες Μετα.βλητές.
(ί) λν αχ::χιb είν::tι σ--:αθεpές χα•. Χ μί::χ --:.μ. τfJτε·
Ε[αΧ + b]~ αΕ[Χ] + b
(ii) ;Ι .. v- ..... ν ε1· ... 1'.'. -:·. _; __ _
Χ(Κ) ~ Κ, Κ = 1,2.3,J,,J,6
.:--Jα 1J1τολογιστεί ΊΊ μαΘημ::tτιχ-!1 ελ:τίδα της Χ.
Λύση.
χαι ας
του ζ::χpιο·J.
3,,J.
(ί) Χ::χ ~πολογιστεί --:οι: έτσι ,~σ--:ε το :τ::tιγνίδι να είν::χι δίχαιο.
385
το αχό-
(ίί) Λν ι· = 4 χ•.λιά:pιχα, τ:όσο εlνα•. το αν::χμενόμενο κέρδος του χαζlνο1J;
~δΎj 1J1ωλογίσει ϊηι το ,,,,μ,,,cψcνο
11:α•.γνίδι. Ε:τομένως αν ι: =
4.8.15 Παρα.τήι;:ηση.
λέμε
φοpϊ>,,. Ύj αναλογία (ολ•.χό εωόδημα διά
a.::χίz--:η είναι

404. 386 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
4.8.16 Παράδειγμα. Εσ-:ω Χ Ξ Ι-1 η δεlκτpια -:.μ. στο Παράδειγμα 4.8.10
Τό-:ε να ,3pε8εl η
Α,''"""ί· 11--:'- λ Ξ
ελ:τίδα ΕΧ.
Γ[Ι_. = 1]= fJ χαι Γ[Ι., =Ο]= q
Αpα σϊ;μφωνα με -:ον ορισμό:
ΕΙ,1 ~Ο· Γ[Ι,1 ~Ο]+ J. Γ[Ι.ι ~ !] ~ Γ[Ι 1 ~ !] ~ p Ξ Γ(Λ)
δηλ. έχουμε ;-::iν-:οτε lϊlA = 1-'(Α).
4.8.17 Ορισμός. λ,, g(X) είναι μlα σJ,,:iy-:ηση -:ης -:.μ. Χ, τό-:ε
με-:αβολές: (.ιΊ - μ), (χ2 - μ) .... , (.ιΊ1 - μ)
;:ιf:iανότψες : f_y(η ), Jχ (J;,1). .... f χ (;ι:rι)
το δε :iθpοωμα
αr.ο-:ελεί ένα μπο0λcτ6,"'" τω,, -:ι:_ιC:)ν -:ης Χ
μία χα.ινο,'ψγια τ.μ. (Χ - με

405. ~ 4.9 Η Δυωνυμική Κα.τα.νομή.
χαι άρα η αvαμενύμεν'f: ολιΥ..i1 μεταβ)·.ητύ--:Υ:τα θα δίδεται αa.6:
1-"(Χ) = Ε[(Χ - μ)2] =
r:ου α:τοτελεί χα.ι τον οpωμο -:ης
διασ1τοp:i ι-'(Χ) αντω-:οιχεί με τη
σημείων.
για ένα
γ(χ) = (:J,;) - 01 t + (:).5 - 2)1 (} + (:J.5 - :1)1t+
+(:J,5 - 4)1+ (:J.5 - 5)1 fI+ (:J,;)- 6)1 t = 2, 92
4.8.19 Παράδειγμα. 1α τη δείχ-:p~α -:.μ. lλ, έχουμε:
"ίΤ.1) -p)'·P[T.1~0]+(1-p)'·P[T.1~1]
. q + q2μ ~ pq(p + q) ~ Ρ. q ~ Γ(Λ)Ιl - Γ(.ί)I
γιατί fJ +q = 1
387
οτ~ η
4.8.20 Παρατήρηση. 111τοσότη-:α +/η:τ} λέγεται τυ;:ική α;:όκλιση.
4.9 Η Δυωνυμική Κατανομή.
.... ...).οκΙΜΕΣ BER:""ΩτJLLI.
Θα λέμε ότ~ μία αχολοJΘία 1τεφαμ:iτω,, -:1Jχης α:τοτελεί μια αχολουΘία Ωοχιμών
Rcnωιιlli ανν
(ί) Κάθε δοΥ..ψi1 έzει Μο δ~nα--:& ατ:ο--:ελέσματα: ε:τι--:1Jχlα (Ε) Υ..αι ατ:ο--:vχία
(..).
(ίί) Για χ&θε δοχ•.μή, η
(iii) Οι δοχιμές είναι α,,εξάpτη-:ες.
εa.ιτ~;zίας Γ(Ε) είναι Υ: ίδια χα•. θα τη
Ε-:σ~ Υ: :τιΙΊα,,ότη-:α α:τοτυχίας Ρ(Α.) =

406. 388 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
.._ Το ΤΡΙΠ!:"Ο ΤΟΥ Y:S('ΛL.
(ί) Ο r.pώ-:ος χα~ ο -:ελευ-:αίος αpιθμ(;ς χάθε γραμμής εί,,:.ιι 1.
(ίi) Κάθε μιας σεφάς,
pετ•.κ:i μ.--.οροι)με να :π:άρο,)με μι::t σειp:i. -::ι.ν
.ι-z.
η
χα-:ανομ/J,
κ::tι χ:iτω :ι.π:ύ αυ-:~. την ίδια σεφ&, μεταθεμέvη μι::t σεφά τ:pος -:α δεξι:i
και τις :n:pοπ8έ-:01J:1,ε:
1 2 1
1 2 1
1 3 3 1
(iii) Το ά.Θροισμα -:ων σ-:οιzεlων χάθε rπφάς εί,,αι 2n .
-:ο 6:θpοισ:_ια των σ-:οιzεlων της
η r.ιθανό-:η-:α. 'ι':1 έzο1J:1,ε
Y.:YL l.:χήμα 4.16.

407. 4.9 Η Δυωνυμική Κα.τα.νομή. 389
l"ια την Xc, '""13(5.1}
κ.λr..
l"ενιχά έχουμε:
1 ,- 11ο11 Ι 2 1
1,ηθο,, 11ω1 ! 1
1Χ,• 11Ο l1 12 13 1415 1
ι ,ηθ,,. ιι b ι f, ι ~ ι ~ ι f, ι b ι
Αν Χ'"" R(ιι;p) τότε J_(χ)= χ= Ο, 1,2 ..
Αυ--:ό ?::,:ί,,ε:--::χι χ:χι :χ:π:ό το Σχ-fμ:χ 1.:37.αν λ:::(5ουμε ~,τ:ό1~η μας χ:1ι --:Ύjν αvεξαp­
τησlα των δοχιμών .
.... 4.9.1 llΩ:""ΤΕΛΑ ΓΙΑ ΤΗ ....).ΥΩΝΥΙΙΙΚΗ ΚΑΤΑΝΩΙΙΗ .
..,. ΙΙ ΡΩλΙΑΪΚΗ ΚΡΗΝΗ: Ενα. μοντέλο μάζας για τη Δυωvυμική Κα.τανομή.
λς ,,,,α,n,co·,αc
.... ΑΛΛλ "'ΓΟΝΤΕΛλ.
Ομο•.α μοντέλα με: -:ο ;.:χpα~:iνω. αλλ:i :r.::xτ:i --:ην &~οψ'Ι το,) σ:;γγpαψέα, λ•.γϊι­
τεpο .--.ε--:vχΎjμέvα, εlνα•. χα•. τα ~αpαχά--:ω:

408. 390 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ
Τ χ δ(ιο τ:αpαa.:iνω τ:εφάμ::ηα χ:::ι:ι το
r;χοντα~ :n:εpίr.01J σ-:ην ίδια. σχέση με -:η
της
4.9.1 Παραδε:tγματα. 1) ::Ιε την
ό~ι,>ς ε/ιχολ::t μ~οpε:ί
(βλ. χ:χι Παράδειγμα 4.1.2).
'ιop:i να είναι μεγ::ιλ(ι-:ε:pη
-:ου
4.
Λύση. Εσ-:ω Ει, = ,αα.ίρ,,ο·;με 6 σ-:ην /.,pίr}η•1, τό-:ε
Ρ(Ε) Ρ (Uί~,Ek) ~ Ι - Ρ(,οΕ)) ~ 1 - Ρ (nt~,Ef)
l -11f'= 1J->(lϊf.) λ6γω :.ινεξ::.φτησίας -:ων ι,:~., Α: = 1,2.
1-ω"
1 - - > - =} rι >(.i)" :1
Αpα η= 8. ;ι
(-j - 4 -
Γ(-3) = Ο, ιτ:-(-2) =
~ Ο. Γ(+2) ~ ι Γ(+3) ~
~ 7.GO
Γ'(-1) = Ο, Γ'(Ο) =
Γ(Η) ~ n;

409. ~ 4.9 Η Δυωνυμική Κα.τα.νομή. 391
Ασκήσεις.
4.40.
ω ccανόc"ceς. 1-'(..), 1-'(11).1-'(J'). 1-'(Δ).
(i) Να r;.ιΘ&σο1J:1,ε σ-:ο Β
(ii) Τα φυS:σο~ψε: σ-:ο R μέσω του ....
3.
σ-:οι)ν.
u,~,λco,γpc,φca,<, Σχόλι.ο. 1α -:'Jν ε;,,νοιολογιχή α,,&~τ-:υξ'J -:'J:::;έννο~α της
και το [5]. Γι.α -:ις δωυνδέσε•.ς -:'Jς :π:•.Οανόητ:χς με: -:ον
χ:χι -:ις βλ Γ•.α τη διδ:χχ-:ιχ~ τ:λε:1ψ,:Χ
::ιΘ:χνό-:ητα:::; βλ. -:α, 9, 16]. γι:χ μια ~ταpαr.έpα -:εχνιχή
,'3λ. (με σεφά Ωυσχολtας) τα: [2, 6, 3, 10, 11, 4, 12]

410. 1η
Δοκιμή
2η
Δοκιμή
3η
Δοκιμή
4η
Δοκιμή
5η
Δοκιμή
6η
Δοκιμή
7η
Δοκιμή
8η
Δοκιμή
0 επιτυχίες
1 επιτυχία
2 επιτυχίες
3 επιτυχίες
4 επιτυχίες
5 επιτυχίες
6 επιτυχίες
7 επιτυχίες
8 επιτυχίες
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
8
7
7
8
8
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
1
7
2
8
3
6
0
7
0
8
0
8
1
7
1
8
2
5
1
6
2
7
3
8
4
4
1
5
2
6
3
7
4
8
5
3
1
4
2
5
3
6
4
7
5
8
6
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
1η
Δοκιμή
2η
Δοκιμή
3η
Δοκιμή
4η
Δοκιμή
5η
Δοκιμή
6η
Δοκιμή
7η
Δοκιμή
8η
Δοκιμή
0 επιτυχίες
1 επιτυχία
2 επιτυχίες
3 επιτυχίες
4 επιτυχίες
5 επιτυχίες
6 επιτυχίες
7 επιτυχίες
1
1
1
1
1 3
1
1
1
1 1
2 1
1
1
1
1
1
3
1 4 6 4
5 10 10 5
6 15 20 15 6
7 21
35 35 21 7
8 28 56 70
56 28 8

411. 0
1
k
n
A0
A1
Ak
An
(AAA . . . A)
(AA...AAE)
(AA...AEA)
. . .
(EA...AAA)
(EE...EAA...A)
. . .
(AA...AEE...E)
k n-k
n-k k
(EE . . . E)
P
PX
X(⋅)
(1-p)n
p(1-p)n-1
pk
(1-p)n-k
pn
(1-p)n
=
n
0
(1-p)n
np(1-p)n-1
=
n
1
p (1-p)n
γιατί #(Α1)=n
pk
(1-p)n-k
+pk
(1-p)n-k
+...pk
(1-p)n-k
= pk
(1-p)n-k
γιατί #(Αk)= n
k
n
k
pn
= n
n
pn
c
v
1η
Δοκιμή
2η
Δοκιμή
3η
Δοκιμή
0 επιτυχίες
1 επιτυχία
2 επιτυχίες

412. Ήρθε κε-
φαλή ;
κινήσου δεξιά μια μονάδα
κινήσου αριστερά μια
μονάδα
κινήθηκες 4
φορές ;
ΤΕΛΟΣ
στρίψε
ένα νομισμα
Άρχισε
απο
το 0
ΝΑΙ
ΟΧΙ
ΝΑΙ
ΟΧΙ
A
B
C
D
E
ΑΡΧΗ

413. 1 3 Β
Α2
ΑΡΧΗ
O
A
B
Γ

414. 396 ΚΕΦ. 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

415. Βιβ)tογpαφ(α
[1] Arrn~trυ11g, R. D. Αη rι.ηχι. rrιorlf;l frπ 8ol-υing rπo/H1,lιil'ity μηιlιlι·ιrι,:,. Ιη:
[14]. r;ελ. lΊ'J-142
[2] U,nι.-1ι·l1<1rr)<i. C. Κ ω1(l l-l. Α .. .Johnson. 8tαti8ticαl C'orιrPJJt., arι.d MPth.-
od8. 'ilP}'· _.Υ. 1977.
[:}] Eisρn Κ ω1(l c:.EisPn . .f->J'O/Jn.bilityωιΔ it., Apρliratiorι..,. Qn.-1nt1nn f>nl1-
lίsl1cr-s, Tnc. Χ."Υ. 197::i.
[Ι] Fc•Jlc1·,"Ό, Αrι. Trι.{rodω:{ion lo Pινbrιbili{:ΙJ Thωry n.nd Tt.~App/iωl-iorι.8:
γu/. Ι 3nl Eιlition. Yilcy 1968.
[5] FisJ1i)cin, F:., ΤrιΙυ-ilίΙ'Ι.ό Sουrι.~ιό8 of Pινbrιbili8/-iι.~ Τlι.ίrι.f:irι._ι; iri (':h-ildr-cri
DonlΓcc·l1t. Holland: D. Rciιtcl. 1975.
[G]Hoιlgc·s, .J.anιl Ε. Lclnnωnι. Ε/αrιαιts u/Hrιίtc Γrυ/ια/ιίl'itμ. HolιlC'Il-Dny.
1965.
[7] ΣUμπαν. EχδfJ­
Hoμkin~ ιJniY.
[8] .llosιPllPi-, 1<'.. Jι'ifty ClωllPngirι.g .f->J'O/Jlr:·ω8 ϊπ 1-'τobα/Jility. H'ith.S0l11tion8.
Ωο,C'Γ 1987 (Or·iginal A(lιiisoπ-.!cs1c:,,', 1962).
[9] .llosιPllPi-, 1''., Υ. Kπιsk.-il, R.. Link, R. f>iρtρi-s, .-1nrl c:. R.ising
(Fls).SΊαli8/-iι.~8 by R:1.:n.rnρlι.!. Aιi(lison-Ycs1c,Y. 1973.
[10] :ΚosnUI., Bu,"iι· Γrϊ.!lια[,ίl-ίtμ """'""'"'"'· Υ. Β. Snundcr-s. 1977.
[11] ΓΓcίlfcr·, Γ. at](Jn. Sclnιrη. Τηlινdιιc:lίοrι /ο Apρlicd Pωbαb-ilily. Acω:lcrηίc
Γr-css, 1973.

416. 398 ΚΕΦ. 4 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[12] Γο'Jσσας, Γ. Θεωρία Πιθανοτήτων. Εχδύσει::: ΖΥ:τη, Θεσσ:ι.λοvίχ.η 1992.
[13] SzClccly,G., Γαηι.duΤυ:: Γ·ινbα/ηΙit:ΙJ Tlι.cut'/} αrιd .Matlι.cπι.af'iωl 8tat'ι:ι,­
t·ίr;H. λk:-ιrterni.-ιi Κί.-ι(l1 I3nrtcιμe~t. 19S6.
[14] Slιult.c· Λ. Γ. ηηιt .J. Ιι Ταιr:fιίrι.r; 8tatίc1f'io1 αrι.(/ Γ·ινbα/ηΙit:ΙJ.
Τ.S.λ. 1981.
[1,)] T}uωr .. Τ., F. ::Io~tρller. Υ. Krnsloιl. Ιϊ. Link, Ιϊ. Piet.eπ,. ;-uιrl G. ηωηg.
8tn.tϊ,tirH: Α C11idPtrι Un/;:rι.a111rι. llol(len-lJ,1,y·, 1972.
[Hij '1'110ηψsοΗ, 11.. 1-'ηJ/χι./1·ίlif:ιι αrιι1 HtαtiHf'ir:8 . .l:l.-ιt.l1ρωc1ti<:~ λlet.l10rls
1-'ωjer:t, lικί,111.-1 UniY.: Adrlison- Yesle:γ, 1976.
[17] Τ<11<-ιsοΥ, L-., l'h.~,lι."ard i:.~1J11ildnn Pτohαhili:ty. llir 1-'11hlisl1en.;,llossαπv.
1988.

417. Ευρετήριο
Al1c1,Τ. Η., 22
,r';',-,1, ,. 17
λι:zel Ρ., 127
λiί{Pll. 31
Al-Kl10va.r·i~π1i, 13
ΛllJcycr-io ct nll. 24--±,319
Λιc;οι. 32
Η. υ. 349, 397
Αηη1aηπ, 17
Λ1τaωωt.η, i:3
λ1·ti11. Ε.. 2:)9
Anin, 11., 239
n
Rair-c, 2--1
Ballanl ηηιt H1·1Jnccl<, :317.319
Ι3ηη;-ιι:l1. 24
I3nn<·lωff. Τ .. 2:)9
13,-ιrοη, λl .. 24.J, 319
RarTOν, Τ., 17, 217
Ι3ηηνίsι-,, .τ ..1:η
U,-ιtt;H:l1<11η·,-ι .-inrl ..Johnson. :.HJ7
Rcll, Η. .. 239
Bcll, .J L . 244 250. 265, 319
Rcl1 311(] Ί.Tacl10νc1·. :319
I3ernonlli. 19. 77
, 2--±4.319
Ι3lοωη. D.::I. . 2:)9
Uol)<-ii, 21
Rο1ι.aπο. 22
Roo1c. 23, 7-·1
Bor·cl. 24
Rr-aJ11ηa.p;υμla, 13
Bnυ1ficld, .J.rι. 239
Ι3rίωΗ:lωη. 22
Urook, Τ. c:.,131
RΓΟ·Ί1, R.. 23Ω
Βuιtιlω, F., 138. 239
I3nηji, .J.. 16
Unnon, υ. 11., 239
Unsh, '". 31
C
138, 2:37
σ-1.ηtω>, C. 23. 93, 94
Caηωι. 20
C1-u."tω1. Η. 24
σ-1..ηι·l~:γ, 20
R., 17. 2-1!:;

418. 400
anιl KcislcI, 320
22
(Ί~οφιcl, (i., 23Ω
αρsiρl~ki, Κ.. 1:η
ιΧΗΗ)L, Π
(!οl1ρη, 25, 12,J, 24.J
('0J1cπ 311(]Hcr·sl1, 27
c:oxctCl",Η. s. :χι. 239
σ,χ. u..219
('οχΓ01χJ, Α. F., 2··10
(λc·ωωι<ι. 22
αιtli-uHl. Ν .. τ.. :ιω
D
Dcιvi~. ::Ι.. :ιω
U.-1nl1Pnω1(l R.oωnson . 318
naιt11cπ. J. Υ.. 9 I.J:31
ιic S·"aΓl, Η., J:31
Dc·ιlclcinιι Π.., 23, 74
rlι-,l Ρeπο. S<·iμio. 15
l)ρs(:.-irtf's. 1-l..17, 247
Dicnc'l" ηηιl DicHCI, 244 :320
Dίι-,111!1· ωΗl Stω)<·ιη. :120
Uiri<'l1leι, 74
nocls. Η. 1:31
Dωssos, C. 240, 2G.3,283. 320
Dίι-,nrto11n? ,Τ., 240
Ε
El>lJinlωns et ;-ιll, 17, 48. 2:10. 2.JO
Jiα,lρ !-:l;:H't·l1niφ1e, 20
F:(l·"a!'(]Sa.ω:l F,svatxl. :320
ENIAr. :η
F .. 2.31, 320
bt<OHe<nen<IY. ,J.. 1:Jl
En!er, 19. 74
Ε,ν.-ιω, G., 240
Pellf'Γ, Υ .. :)28. :ΗΠ
Ρeπω-ιt, 17. 247. 351
}'ί)οη,ιαi. l[J
FisJ1Jx,in, Κ. 391, :397
FΟΠΤΠλ:S:. 32
Poω·ie1·, .Τ. 21, 74
Fr·aπcίscιιs Yicιa, 1G
Preι:l1f't, 24
1-'rep/ 24, 74
G
c:.-ilois, 22
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
c:.-inl;-ιno, Ciωl.-1.n10, 10
Gaιιss. 21, 22
Gcτgonnc, 22
Gίπιηrt, 120
C:ne({enko, U..'., 314
Goo(]tnan, 'J"., 120.1:32
Gn:ιttan-(;uίrnιcss, 1
Grotlιι-,nrlif'<"k. Α., 29, ;)(), lΣι
C:iΊdel, ω
Gr·assrηaπn, 22
λ!. .)., 240
Gn,cgc·nl,c·inHT Η. ., 1:38,240
Η
Ηωη·. 24
[[;1111. 1,.-S 2:}Ο 240
Ha1lcl, Γ .. 132

419. ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Halnωs, Γ.. 240
Hnrtsl10rnf'. 1:16. 240
11<>,ιηilt.""· 1. Γ! .. ·γ-ι_ 1111. 132
Haπϊcl, 7··1
Hanl·, 74
Hnrtsl10rnρ. Η .. 220
ll,1,tr:llPl', '. :3:!l)
ll,1.nsιiorff, 24
Haυsιιcr·. Γ .. 2··10
Hcatlι, Τ. L .. :320
llPnson, (~. .V.. :}21
Hc,·sl,. R .. 1:32. 21•1. :321
IIc·-,,1,ίt.t. Κ, 110. 132
HillJf'Γt-. D .. 2:ι 24
.-inri LPinn,ιnn. ;397
Κ .. 2--10
Hollcr-itlι. 31
H1·1J;_'ί(·c·k. Κ.. 132
Hnnl ωΗl Loι-,lJ. 242.:)21
lln:γgρns, 19
l.!J ..1.. ;)1
.J,ιακfί, 23
.Jccl1, Τ .. 9!:i,132,321
.!.. 2411
D. .!.. 2411
.Jol1nstonP, 1-'.. 132
.Joncs, Υ .. 2-·10
.Jusl. ' ., 1:32
κ
Knnt,, 2.31
Kι-,isle1-. Η .. Τ .. 244. :121. 276
Kc1Jlcr-.. J.. 17. 247
Κlωπ<-ιω, Οω1-11·, 14
E.!ein. !<'.2:3. 137, 241
Kock, Α., 110.J:32. 1:3::Ί. 2--11
Κι·ίμιι:. 125
Κηηιι-,<;keι-. 2:1, 9:)
KHllllllPl', :!:.
ΚηηΡη, Κ., 132
Κιιηι.c. R.. 2--10
Kun1t.o,yski. Κ. 71
Κηsπιε,,Υ ctn(l Knt:-ιtPlnrlze. 244.
121
Τ,
L,1g1,-1.nge.20. 74
T.arn1)cl<.. J.. 130,211,250, :321
Lnnιlau
r;·Jμ1'3ολα, 269. :Hl
Lω1(lers .-in(l H.ogge , 321
T.aμ1acc. 20
Τ,aγίπc. S., 132
401
Ln>YYCl"C'.F. ϊV., 28. 130, 132, 10.3
121. lΣι. 128. 241
L,nν,Ψre & Tien1ey 30. 126
T,av:cr-canιi Scl1anιιcl, 110
24
G. 17. 18, :ω. 247. 252
LPιυntnrif'r f>., 110,132
T.conar-(]Oτης Πίζ::tς, 15
Lcn1Y. 125
LiP. 2:)
Li11rlstnJω. Τ .. 242, 281, :J21
LitιlP, ,J., 239
T.o1)ac11c:ski,21
Lnxeωl.nn};. V. Α. L. , :)21
1'.. 109. 132
22

420. 402
Μ
:.Iac·Lanc, S., 137. 2--Η
::Ι:-ιι:Η.-ιω.-ιπι. L. 241
λl;i_rlO..:,,.fl.. 24-±,121
(~.. 265
::I:πti11. G. Ε., 241
λΙ:-u."χ χ:χι E11gι-,ls, 251
:lρnger, Κ.. 127
Γcnι~cπίolis, n .. 2-·Η. 321
:.Iikkc·lscn.('. .Τ.. 110,i:32
::lo(leno'. Ρ. S.. 2:ω. 241
Πl0!~11S l)OΠP1l<; 2fil
Γοπη1a, Α. F., 77. 131
::Ια,ωΥi<·i. Η .. 240
λlosttΔler. ρt ,111,397
Γoslc1lcr·. F .. 3D7
ΓοΠ)'!;C. 20
:.Ιωιηa, Λ. F .. 74.129
Ν
:_f;-ιsίr nl Din .-ιl-Τω,ί, 14
'Jcgrυρonιc, :37
:_fclson.Ε., 51. .34,12G 133. 24--±,
2.s:ι :i22
.:--Jρttlρton, .l. (~. 219
'-Jcvloπ. J., 17.18, 217
:_fic'lωlns of C:uSC'. 17, 247
:_fiknlin.Υ. Υ.. 241
:_fiknlin-Sl1cιfc1n-,yi<·l1, 1:18
Josal. !.. 397
ο
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Ρ
Γac·ioli. Luαι. 15
Ε., :η7, :122
Γascalίπc, 31
Γωr1u. 74
Pertoι-,, D .. 241
1-'lηι·kρι-. 22
Γoincar·C. 2--1.93
Γoisson. 21
Pon<·Plet. 21
μ]ΨSt,PI ,' :122
R,
R..-1sioγ;-ι. 11., 131
Rci(l. "Τ.. 212
Γ!.('ΥC, 22
Πeη-,s c;..22. 241. 242
R.iPlll.-Jllll, 2:3.74
R.iesz, 24
Ro1)c1'., 2··1'1. 322
Π.ουiηsωι, 29. .34,126, 149
17
,J. !<:.• 109, l:)3
Rυcl<cr·. R.. 110, 133
Π.ntlιing; D., 77. i:33
s
S(·lιaiιu('1, S. Η., 133. 241
Sι:lnιorr. C.P.. :J:J5
Sr:lnνeize1· & Skl;-1x.. 127
Sr:lnνenltfep;e1-. 11., 242
Sωtt. D., 103. i:33
Sωtt-SoloYH)", :ω. 12,), 126
Sh;-1f;i.ΓιeYir·l1. 1.1--1.. 2R_1:1R 241
Sl1aφc. R. Υ.. 137, 2,12

421. ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Slnιltc anιl Sηη:ιΓt. 398
~irnnlntion. :J4:J
ς;,-.g,. ς __17
Skla.1·.122
~:ilωlι·ω. 24
SoloYH}',rι..12:1
~Oll(illPilllPΓ. 17
Sι.-inrlι, 22
Sιcinc1·. 22
St.ol{CS.2:3
St.nιng. G., 242
Sιro:γ;-,n-13;-,.;:o(l, 322
Sιηιiι. n., :3,1G
SnlliY<ω, Κ. λ .. 249, 322
Sz.-ιlJO. S.. 242
bzPi<ely (;., :398
Τ
l'.-!ll1ll' Pt ;-ιll. ;}!)8
Takcιιli, G.. ·18
μοντέλα, 27, -·18
Xic·cυlo. lG
T.-ιll. 2i6.:J22
1'.-1r<1SOY. L., 191, 398
ΤΙ1οηψsοη, T:f.,3D8
Toπctti. Π , 2--±2
u
lTc,iskin Ζ.Γ., 240
V
ΥaΙι Dnlω, D. 110, 131
ιηglω11, Η .. 242
Ycl1cn1an. n.. 13;3
Yiclc. F .. 1G
ΥΟη :.Iiscs. 335
Υοη :"eηηηιη11. :η
ΥομCηlω, Γ., 54. 110, 126, 244,
2s:1.:ω
w
Y:-ιllis .. Τ., 17. 247
.-'f!PSP. .1.. 1:12
"'cίc1Ί:;ιr-ass, 23
,,τ,».,,.,,.._ .τ. ·)'Η:Ι
-Y'csscl.21
Yiles. λ .. 17
.Vin;zιψ, 1. , 242
Ζ
Z.-ideh, 127
Zcr·rηc1o, 2-·ί
ZF. .3:3
Ζη~Ρ. :η
!ΕΛΛΗΝΙΚΟ!
Α
αΜνα--:ο ενδεz6μενο, 331
άtlpοισμ:χ δι:χν1Jσμα-:ιχG')ν
197
306
403
253, 2:)5.
286
αναμενόμε,,η
λνc1τ:ολι.τC/.νος
187
λ 319

422. 404
ΛΞελfJ::. Κ. 249, 319
-:o'J rϊοlωο;ο~υΥ. 341
:iτ:εφος, 2GD
&1.t:ψ1.1. χυνι&; Ο')ϊ)ψ•.,ιχ,.(
..'lx.
:ir:εφη ;ωντ~νό-:ητα. :2(:i!J
αr:εφοστό, 269
μcχpοc;χο,cα, 27:J
::.ο:οδειχτιχό:: χαvό,,:χ::.
::U-fι•.νυ<ή α;-τειχόνωη, 217
Β
201
,:::ίαθμίJς. 215
:JOG
:ηο
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Γ
γαλαξίας, 269
Τ r'_:.,fηl'"'"'
γpα:_ιμ~χά. εξαp-:ημένα δ~αν,~σματα.
Δ
δέ/ .α το,) Krυπccl<cr·. 71
δ•.ανυσμ:::ηυ{fl ευΟεία, ι :π.ι
δ•.α-:ε-::;ι:γμένο ζε'Jγος, 71
196
1:ω.

423. ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Ε
γω,,ιώ,,. 244
7Ω, 215
ειχόνα μέσω -;ης .f 82
ελε·Jθερο ΟιS:ν1Jσμα. 19:1
125
l.:J,,(;λω,,.
ενέλιξΎj.
Ευκλείδης, 10
εJ,,οϊχές
Η
283
Ήpωv:::ι:::. 18
Θ
Θ::tλής,
Θέωνας, 1:J
Θεώpr:μα των
160
Θεωp~μα-;:::ι: των
405
Ανακλάσεων.
Lii,,cenl1eίω-Sls:olι-,ω, 24
κ
82

424. 406 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
ο
Μ
οΛcσ,,•,vουσα ::tνάχλαση, 160
:)9 ομάδ::t. 167, 1G9
ομάδ::t
302.
811
μη-Καντοpιανά _,υαs•-,ηχα, 128
μη-Καντοριαν:i
μη-σ1ψβα-:ιχ& μαθημ::ηυ<ά: 12--±,127
π
Πά:τr.ος, 1:1
του Ζψ,ωνα, 24:)
,ων
Ranacl1-Tar·!Ψi, 121
:τε11:εp:::ι:σμένο. 269
:τεpιοpισμέ,,ο, 269
ομο~6-:ητα, 187
λογιχές, 120
Πλ:iτω,,:χς. 10
:τοσοδεlχτες. (i()
Π,Οανc/Jεωp~·.ι:,
:τιΙΊα.,,ότητα, :J:)4
172

425. ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
του Ei·larψ:cn, 2:3. 137
'"t"'""- '_",:'""["'":, '" ννι:ι:, Ι t'-,-,-"
-:μήμα, Η2
αν-:ίΟε-:ος,
θε:τυ<fJς. 165
Ρ
Ρο,~σσας. Γ., :ωs
flωμ::.ϊίχ-!1 xpf1vη, 389
π
Πά.r.:τος. η
Σ
lGί
2.J,J
σχέση
ισοδvν:::ι:μί:::ι:ς.
σ,~νολο
σJνολο 76
407
315
σl!νθεση -:ων συναp-:ήσε:ων f χαι
9, 8:3
Τ
-:&:ξΎj. 215
-:α·;τολογία, (Η
ή Ω~αγώ,,ιος σχέση, 74
198 μετ::ωιrιμα-:ισμός, 167
-:ε:λεπ:ές Μναμης, 82

426. 408
τελειωμένο :iκεφο 52
Τελευ-:αίο ΘεC:ψημα του Γι-,πηηt.
17
Υ
Υ;-::.πία, 13
26
υ;-:(;χωpος Ω~ανυσματυω,'; χώpοJ.
196
φ
φοpέ:.:ς. 163
ψp:ημένη ακολο1Jθlα, 28G
χ
Χ,cστ,·,δοολίi". Π. 134
;J4g
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ