This document discusses properties of quadratic equations. It provides examples of solving quadratic equations by finding values that satisfy the given conditions, such as having symmetric or reciprocal roots. The key properties covered are the sum and product of roots, discriminant, and conditions for unique, double, or equal roots. Examples given include finding values for variables that satisfy the specified root conditions.

1. ALGEBRA
LA REGLA DE LA COSA
DEMETRIO CCESA RAYME
ECUACIÓN CUADRÁTICA

2. PROPIEDADES DE LAS RAICES:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
Sea:
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
Suma de raíces:
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Producto de raíces:
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales, dobles,
existe solución única:
Discriminante = ∆ = b2 − 4ac
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ó ECUACIÓN CUADRÁTICA

3. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA

4. Solución
1.
A) 4 B) −8 C) 2 D) −4 E) 8
Hallar “m”, si una raíz es – 2.
En la ecuación: x2 + 6x – m = 0
x2 + 6x – m = 0
(– 2)2 + 6 (– 2) – m = 0
4 – 12 – m = 0
– 8 – m = 0
– 8 = m Rpta. B
Reemplazando:

5. Solución
2.
Rpta. B
A) – 1 B) 2 C) 1 D) 4 E) 8
x1 + x2 = − k + 7 = − 9
Calcular k para que la suma de raíces de:
sea igual a − 9.
x2
+ k + 8 x + 8 − x = 0
x2 + k + 8 x + 8 − x = 0
x2 + k + 8 − 1 x + 8 = 0
x2 + k + 7 x + 8 = 0
−k − 7 = − 9
2 = k
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
Raices:

6. Solución
3.
Rpta. D
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
x1 . x2
3 = n
Determinar n tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 6. (n − 2)x2
−5x + 2n = 0
6
2
2



n
n
12
6
2 
 n
n
(n − 2)x2−5x + 2n = 0
12= 4n
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Raices:

7. Solución
4.
Rpta. C
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
x1 . x2
m = 16
Determinar m tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 9.
2x2
+ m − 1 x + m + 2 = 0
2x2 + m − 1 x + m + 1 = −1
9
2
2



m
2x2
+ m − 1 x + m + 1 = −1
18
2 

m
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Raices:

8. A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) 250
5.
Rpta. D
Solución
0
1
)
600
3
(
3 2



 x
m
x
Hallar “m”, si la ecuación:
posee raíces simétricas.
0
3
600
3


m
0
600
3 

m
600
3 
m
200

m
𝑥1 + 𝑥2 = 0 𝑥1 + 𝑥2 =
Raíces simétricas:
0
1
)
600
3
(
3 2



 x
m
x

9. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
6.
Rpta. B
Solución
0
1

b
0

b
0

b
Hallar la mayor solución de la ecuación: x2 + bx + 2b - 49 = 0
si tiene raíces simétricas.
x2 − 49 = 0
(x+7)(x − 7) = 0
7


x
7

x
x2 + bx + 2b - 49 = 0
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:

10. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7.
Rpta. E
Solución
Hallar “k”, si la ecuación: 0
)
9
(
7
)
1
2
( 2




 k
x
x
k
posee raíces recíprocas.
1
1
2
9



k
k
1
2
9 

 k
k
k

10
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1. 𝑥2 =
0
)
9
(
7
)
1
2
( 2




 k
x
x
k

11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8.
Rpta. A
Solución
1
2
4



a
a
2
4 

 a
a
a

1
Dada la ecuación: (a+2)x2 – 10x + 4 – a = 0. Hallar el valor
de “a” si tiene raíces reciprocas.
a
2
2 
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1. 𝑥2 =
(a+2)x2 – 10x + 4 – a = 0

12. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9.
Rpta. C
Solución
1
4

k
4

k
4

x
Determine una raíz entera de la ecuación cuadrática:
kx2 − 17x + 4 = 0 que posee raíces reciprocas.
(x− 4)(4x − 1) = 0
4x2 − 17x + 4 = 0
4
/
1

x
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
kx2 − 17x + 4 = 0

13. Solución
10.
Rpta. A
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
Determinar el valor positivo de k de modo que las dos
raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
(− k)2 − 4 ·1·36 = 0
k2 =144
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:
x2 − kx + 36 = 0

14. Solución
11.
Rpta. E
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
(− 2k)2 − 4 ·1·(8k− 15) = 0
4(k2 − 8k +15) = 0
Hallar “k” si la ecuación: x2 − 15 − k 2x − 8 = 0
Tiene raíces iguales.
x2 − 15 − k 2x − 8 = 0 x2
− 15 − 2kx + 8k = 0
x2 − 2kx + 8k − 15 = 0
4k2 − 32k +60 = 0
(k − 3)(k − 5) = 0
k =3 k =5
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:

15. Solución
12.
Rpta. C
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
(− 2m)2 − 4 ·(m+3)·4 = 0
m = − 2
m = 6
Halle el mayor valor de “m” para que la ecuación:
m + 3 x2 − 2mx + 4 = 0, tenga una única solución.
4m2 − 16m − 48 = 0
4(m2 − 4m − 12) = 0
(m − 6)(m + 2) = 0
m + 3 x2 − 2mx + 4 = 0
∆= b2 − 4ac = 0
Solución única:

16. Solución
13.
Rpta. D
A) 44 B) 33 C) 22 D) 11 E) 88
(− 8)2 − 4 ·1·n = 20
Para que valor de n el discriminante de la ecuación:
es igual a 20. x2 − 8x + n = 0
x2 − 8x + n = 0
∆= b2 − 4ac = 20
64− 4n = 20
44 = 4n
11 = n

17. Solución
14.
Rpta. B
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
0
1
5
2 2


 x
x
Siendo Las raíces de:
b
a
E
1
1


Hallar:
"
"
"
" b
a 
ab
b
a
E


b
a
E
1
1


2
5

 b
a
2
1
. 
b
a
5



ab
b
a
E
0
1
5
2 2


 x
x

18. Solución
15.
Rpta. A
A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12
Siendo Las raíces de:
a
b
b
a
E 

Hallar:
"
"
"
" b
a 
3
2
)
6
(




 b
a
2
1
. 
b
a
0
1
6
2 2


 x
x
ab
b
a 2
2


 2 2 2
a b a b 2ab
   
16
2
2



ab
b
a
E
( 3)2 = a2 +b2 + 2(1/2)
a2 +b2 = 9 − 1 = 8
a
b
b
a
E 

0
1
6
2 2


 x
x

19. MISCELANEA

20. Solución
1.
Rpta. D
A) 4/3 B) 7/4 C) 1/2 D) 4/7 E) 3/7
Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de las raíces
es 2. Indicar el valor que adopta “a”.
x2 – 5ax + 3a = 0
(2)2 – 5a(2) + 3a = 0
4 – 10a + 3a = 0
4 – 7a = 0
4/7 = a
Reemplazando:

21. Solución
2.
A) 26/9 B) 52/9 C) 6 D) 52/3 E) 26/3
Si a y b son las raíces de la ecuación : 3x2 + 2x − 4 = 0
Calcule el valor de: (a − b)2
3
2


 b
a
3
4
.


b
a
   
2 2
a b a b 4ab
   
(− 2/3)2 − (a − b)2 = 4(− 4/3)
52/9= (a − b)2
4/9 − (a − b)2 = − 16/3)
4/9 + 16/3 = (a − b)2
Rpta. B
LEGENDRE
Raíces a y b
3x2 + 2x − 4 = 0

22. Solución
3.
Rpta. D
A) 10 B) 20 C) −20 D) −15 E) 15
Si a y b son las raíces de la ecuación: x2 + mx + 36 = 0
Tal que (1/a) + (1/b) = 5/12 Calcular el valor de: “m”


b
a
1
1
ab
b
a 
36
m


12
5

180
12 
 m
a+b =
−𝑚
1
= − m a. b =
36
1
= 36
36
m

Raices:
ab
b
a 
12
5

x2 + mx + 36 = 0
Igualando
15
12
180




m

23. Solución
4.
Rpta. D
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3
2
6




 b
a
2
3
. 
b
a
( a+ b)2 = a2 +b2 +2ab
( − 3)2= a2 +b2 +2(3/2)
a2 +b2 = 9 − 3
a2 +b2 = 6
Sea el conjunto solución de la ecuación: (x2 /3) + x = − 1/2
es CS = {a ; b}. Indique el valor numérico de “a2 + b2”
2x2 + 6x + 3 = 0
Multiplicando MCM=6 BINOMIO
Raíces:

24. Solución
5.
Rpta. D
A) 14/3 B) 17/4 C) 17/2 D) 35/8 E) 35/4
Si la ecuación: Kx2
+ 2K + 1 x + K = 0 , tiene raíces iguales,
hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación:
4K + 3 y2
+ 3Ky − 4K2
+ 9 = 0
Kx2
+ 2K + 1 x + K = 0
(2k+ 1)2 − 4 ·K·K = 0
4k2 +4k +1 − 4k2 = 0 k=− 1/4
4K + 3 y2 + 3Ky − 4K2 + 9 = 0
x1 . x2 =
−4𝐾2+9
4𝑘+3 x1 . x2 =
−4
1
16
+ 9
4 −
1
4
+ 3
=
35
4
2
= 35/8
b2 − 4ac = 0

25. Solución
6.
Rpta. D
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Para que valor de “k”,
las raíces de la ecuación: 1
k
1
k
2
x
5
x
3
x2





Son simétricas
1
k
1
k
2
x
5
x
3
x2





(k+1)(x2 + 3x)= (k − 1)(5x+2)
(k+1)x2 + (3k+3)x= (5k− 5)x+(2k− 2)
(k+1)x2 + (− 2k+8)x + 2− 2k = 0
0
1
)
8
2
(





k
k
0
8
2 

k
4

k
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:

26. A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
7.
Rpta. E
Solución
1
2
4



a
a
2
4 

 a
a 1

a
Dada la ecuación: (a+2)x2 −10x + 4 − a = 0. Hallar la
mayor raíz si tiene raíces reciprocas.
3x2 − 10x + 3 = 0
(x− 3)(3x − 1) = 0
3

x
3
/
1

x
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1. 𝑥2 =
(a+2)x2 −10x + 4 − a = 0
Reemplazando:

27. Solución
8.
A) 11 B) 12 C) 13 D) 16 E) 26
b
b
b
a 




1
)
(
30
1
30
. 

b
a
   
2 2
a b a b 4ab
   
(b)2 − ( 7 )2 = 4(30)
b = 13 Rpta. C
LEGENDRE
Sabiendo que las raíces de la ecuación en “x” : x2
−bx + 30 = 0,
son positivas y la diferencia entre ellas es 7, halle el valor de “b”.
7

b
a
b2 − 49 = 120
b2 = 169
x2
−bx + 30 = 0

28. Solución
9.
Rpta. A
A) – 1 B) 2 C) 1 D) –2 E) 3
En la ecuación: x2 – (m + n)x + 2m + 2 = 0 tiene por
raíces a x1 = 2 y x2 = 3 Hallar: “m – n”
m + n = x1 + x2 = 5
x1 . x2 = 2m + 2
x1 + x2 = m + n
2m + 2 = x1 . x2 = 6
m + n = 5
2m + 2 = 6
m = 2
n = 3
m – n = – 1
x2 – (m + n)x + 2m + 2 = 0

29. Solución
10. En la siguiente ecuación:
hallar la Suma de raíces.
Rpta. D
A) 2 B) – 2 C) 4 D) – 4 E) 3
x(x + 2) + 5 = 3(2 – x) + x – 4
x(x + 2) + 5 = 3(2 – x) + x – 4
x2 + 2x + 5 = 6 – 3x + x – 4
x2 + 4x + 3 = 0
Suma de raíces = – 4

30. Solución
11.
Rpta. B
A) −1/3 B) 1/3 C) 1/2 D) − 1/2 E) 3/2
Siendo Las raíces de:
n
m
E
1
1


Hallar:
"
"
"
" n
m 
mn
n
m 

n
m
E
1
1


2
)
1
(


 n
m
2
3
. 
n
m
3
/
1



mn
n
m
E
0
3
2 2


 x
x
0
3
2 2


 x
x
2
1


31. Solución
12.
Rpta. B
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
(k− 2)2 − 4 ·9·1 = 0
(k− 2)2 =36
Hallar el mayor valor de “k” para que la ecuación:
9x2 + (k− 2)x + 1 = 0 admita solución única.
k = − 4
k = 8
9x2 + (k− 2)x + 1 = 0
∆= b2 − 4ac = 0
Solución única:
k− 2 = 6
k− 2 = − 6

32. Solución
13.
Rpta. C
A) 4 B) 11/4 C) − 9/4 D) − 11/4 E) 9
Sea la ecuación: 2x2 +3x +5 =0, de raíces a ; b Hallar “a2 +b2”
2
3


 b
a
2
5
. 
b
a
( a+ b)2 = a2 +b2 +2ab
( − 3/2)2 = a2 +b2 + 2(5/2)
a2 +b2 =(9/4)− 5
a2 +b2 = − 11/4
2x2 +3x +5 =0
BINOMIO