Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα και αντίστροφα με τη χρήση του Scratch.

1. Επίλυση προβλήματος με
προγραμματισμό (Scratch)
Δημοτικά Σχολεία Γαλάτιστας,
Ζερβοχωρίων, Αρναίας

2. Είδαμε πως μπορούμε με το Scratch να
φτιάξουμε ένα δικό μας παιχνίδι ή
κινούμενο σχέδιο.
Το Scratch όμως έχει (σχεδόν) όλα τα
εργαλεία μιας κανονικής γλώσσας
προγραμματισμού. Όλες οι εφαρμογές, τα
προγράμματα, τα παιχνίδια στους
υπολογιστές ή στις κινητές συσκευές που
χρησιμοποιούμε έχουν δημιουργηθεί με μια
γλώσσα προγραμματισμού*.
Ας δούμε λοιπόν ένα ή δυο παραδείγματα
για το πώς μπορούμε να λύσουμε
μαθηματικά προβλήματα με το Scratch!
*Δημοφιλείς γλώσσες προγραμματισμού είναι οι
Python, Java, Javascript, C, C#, PHP και άλλες. Κάθε
μια έχει τη δική της χρησιμότητα με πλεονεκτήματα
και μειονεκτήματα.

3. Πριν ξεκινήσουμε να λύσουμε ένα
πρόβλημα με το Scratch, πρέπει να
κάνουμε τα παρακάτω ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ:
1. Ξέρω να λύνω το πρόβλημα;
2. Μπορώ να εκφράσω την λύση του
προβλήματος σαν αλγόριθμο*;
3. Μπορώ να υλοποιήσω κάθε βήμα
του αλγόριθμου με τις
εντολές/τουβλάκια του Scratch;
Αν έχω απαντήσει ΝΑΙ και στα τρία,
τότε είμαστε έτοιμοι να μάθουμε στον
υπολογιστή να λύνει το πρόβλημα.
Και θα μας το λύνει ΚΑΘΕ φορά,
γρήγορα και σωστά!
*Αλγόριθμος, θυμόμαστε, σημαίνει την λύση ενός
προβλήματος με συγκεκριμένα βήματα, τα οποία είναι
απλά και κατανοητά!

4. Έχουμε
πρόσφατα δει
κάποια απλά
μαθηματικά
προβλήματα
που τα λύσαμε
με απλά και
συγκεκριμένα
βήματα : την
μετατροπή
ενός αριθμού
από το δυαδικό
στο δεκαδικό
σύστημα και το
αντίστροφο!
Ας θυμηθούμε
τις διαδικασίες
εδώ!
Από το ΔΥΑΔΙΚΟ στο
ΔΕΚΑΔΙΚΟ
Βρίσκω την αξία του κάθε ψηφίου. Ξέρω
ότι οι αξίες στο δυαδικό σύστημα είναι οι
δυνάμεις του 2 (1, 2, 4, 8, 16 κτλ.)
Πολλαπλασιάζω κάθε ψηφίο με την αξία
του.
Προσθέτω τα αποτελέσματα.
Εναλλακτικά, επειδή όταν το ψηφίο είναι
0, το αποτέλεσμα είναι 0, προσθέτω μόνο
Από το ΔΕΚΑΔΙΚΟ στο
ΔΥΑΔΙΚΟ
Διαιρώ τον αριθμό με το 2, βρίσκω το
ακέραιο πηλίκο και κρατάω το υπόλοιπο.
Διαιρώ το πηλίκο με το 2 και κρατάω το
υπόλοιπο. Συνεχίζω την ίδια διαδικασία
μέχρι το πηλίκο να είναι 0.
Τα υπόλοιπα που βρήκα, από το
τελευταίο μέχρι το πρώτο, σχηματίζουν
τον δυαδικό αριθμό που ψάχνω.

5. Αλγόριθμος 1:
1. Πάρε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
και πολλαπλασίασέ το με την μονάδα
(20 = 1).
2. Πρόσθεσε το γινόμενο στο
αποτέλεσμα.
3. Πάρε το προτελευταίο ψηφίο του
αριθμού και πολλαπλασίασέ το με την
δυάδα (21 = 2).
4. Πρόσθεσε κι αυτό το γινόμενο στο
αποτέλεσμα.
5. Συνέχισε έτσι μέχρι και το πρώτο
ψηφίο του αριθμού.
Αλγόριθμος 2:
1. Πάρε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
Αν είναι 1, πρόσθεσε την μονάδα (20 =
1) στο αποτέλεσμα.
2. Πάρε το προτελευταίο ψηφίο του
αριθμού. Αν είναι 1, πρόσθεσε την
δυάδα (21 = 2) στο αποτέλεσμα.
3. Συνέχισε έτσι μέχρι και το πρώτο
ψηφίο του αριθμού.
Αφού ξέρω τις λύσεις των προβλημάτων, ας τις γράψω με απλά βήματα :
Αλγόριθμος:
1. Διαίρεσε τον αριθμό με το 2. Βρες το
πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης.
2. Πάρε το προηγούμενο πηλίκο και
διαίρεσέ το με το 2. «Κόλλησε» το νέο
υπόλοιπο μπροστά από το
προηγούμενο.
3. Συνέχισε έτσι μέχρι να βρεις πηλίκο 0.
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
Στο πρόβλημα 1 χρησιμοποιώ τις
δυνάμεις του 2.
Για να θυμηθούμε, οι δυνάμεις ενός
αριθμού είναι πόσες φορές τον
πολλαπλασιάζω με τον εαυτό του.
Το διπλανό πινακάκι μου δείχνει τις
δυνάμεις του 2, από την μηδενική
μέχρι την όγδοη.

6. Αν έχουμε εξοικειωθεί με τις εντολές του
Scratch, θα δούμε ότι τα προηγούμενα
βήματα μπορούμε να τα υλοποιήσουμε
με αυτές. Ας δούμε πως! Το πρώτο βήμα
είναι το πιο δύσκολο, αν το
καταλάβουμε, όλα μετά είναι ευκολότερα!
1. Πάρε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
και πολλαπλασίασέ το με την μονάδα
(20 = 1).
Πως θα πάρουμε το τελευταίο ψηφίο του
αριθμού στο Scratch; Η χρήσιμη εντολή κάτω
(από τους Τελεστές) μας δίνει ένα γράμμα από
μια λέξη ή ένα ψηφίο από έναν αριθμό με βάση
την θέση του!
Πως ξέρουμε όμως ποιο είναι το τελευταίο
ψηφίο; Μπορεί ο αριθμός μας να έχει 5 ή 9
ψηφία! Ευτυχώς, υπάρχει η από κάτω εντολή που
μας λέει πόσα ψηφία έχει ένας αριθμός!
Ξέρω ότι μπορώ να κάνω προσθέσεις,
πολλαπλασιασμούς και να αποθηκεύω πράγματα
σε μεταβλητές. Τι μεταβλητές χρειάζομαι όμως;
1. Τον δυαδικό αριθμό που ψάχνω να βρω. Αφού
αυτόν τον αριθμό τον γράφουμε εμείς, το
Scratch τον αποθηκεύει στην έτοιμη
μεταβλητή απάντηση.
2. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βρω.
3. Την δύναμη που πολλαπλασιάζω σε κάθε
βήμα.
4. Τέλος, παρατηρώ το εξής: σε κάθε βήμα
χρειάζομαι να υπολογίζω την δύναμη 0, μετά
την δύναμη 1, 2, 3 κτλ. Χρειάζομαι λοιπόν και
μια μεταβλητή που θα αποθηκεύει το 0, 1, 2, 3
κτλ. Αυτή την ονομάζω μετρητή. Ο μετρητής
θα μου χρησιμεύσει και σε κάτι άλλο : να
πηγαίνω κάθε φορά στο ψηφίο που θέλω!
Παρατηρώ και κάτι άλλο : πρέπει να υπολογίζω μια δύναμη του 2
σε κάθε βήμα, δηλαδή να κάνω πολλούς πολλαπλασιασμούς που
θα χρειάζονται πολλά τουβλάκια του Scratch. Μπορώ να κάνω
αυτό τον υπολογισμό με 1 τουβλάκι μόνο; Ναι, μπορώ να φτιάξω
μια δική μου εντολή στο Scratch και θα δούμε πως στις επόμενες
διαφάνειες!

7. Για να φτιάξω μια δική
μου εντολή, πάω στην
τελευταία κατηγορία
Οι Εντολές μου και
επιλέγω Δημιουργία
Εντολής.
Αρχικά γράφω ένα όνομα για την εντολή μου (ΣΤΡΙΦΟΓΥΡΙΣΕ) και μετά μπορώ
να προσθέσω αν θέλω τα παρακάτω:
1. Είσοδο δεδομένων (αριθμός ή κείμενο): κάτι που θα πάρει η εντολή σαν
μεταβλητή για να κάνει κάτι με αυτό. (όπως η εντολή Κινήσου τόσα
βήματα)
2. Είσοδο δεδομένων (λογική): εδώ μπορούμε να βάλουμε μια σύγκριση
σχήματος ρόμβου, ή οτιδήποτε έχει αποτέλεσμα true ή false. Μπορούμε να
το χρησιμοποιήσουμε μέσα σε ένα Εάν στην εντολή μας.
3. Ετικέτα : η ετικέτα είναι κάτι που γράφουμε για να διαβάζεται πιο ωραία η
εντολή μας και να καταλαβαίνουμε καλύτερα τι κάνει.
Όταν έχω φτιάξει μια λειτουργία στο
Scratch που χρειάζεται να την
χρησιμοποιήσω σε πολλά μέρη, ίσως με
λίγο διαφορετικό τρόπο κάθε φορά, τότε
μπορώ να φτιάξω μια δικιά μου εντολή,
ένα τουβλάκι που θα εκτελεί αυτή την
λειτουργία!

8. Βλέπουμε παραπάνω πως λειτουργεί η δικιά μας εντολή. Κάτω από τον ορισμό κολλάμε την
λειτουργία που φτιάξαμε, και χρησιμοποιούμε τις εισόδους από την δημιουργία της εντολής σαν
μεταβλητές (τις τραβάμε από τον ορισμό και τις τοποθετούμε εκεί που θέλουμε).
Η εντολή μας βρίσκεται πλέον έτοιμη σαν τουβλάκι. Όταν την χρησιμοποιούμε βάζουμε στα κενά
πλαίσια αυτά που χρειαζόμαστε κάθε φορά, όπως και τις άλλες εντολές του Scratch. Μπορούμε
δηλαδή να γράψουμε δικές μας τιμές ή να βάλουμε άλλες μεταβλητές!

9. Η διπλανή εντολή υπολογίζει
την δύναμη του 2 που
χρειαζόμαστε κάθε φορά,
ανάλογα με την είσοδο ψηφίο.
Η δύναμη του 2 αποθηκεύεται
στην μεταβλητή δύναμη. Πως
γίνεται ο υπολογισμός;
Βλέπουμε πως πρώτα
ορίζουμε την δύναμη σε 1.
Μετά την πολλαπλασιάζουμε
με το 2, όσες φορές είναι το
ψηφίο, με ένα επανάλαβε!
Άρα όταν το ψηφίο είναι 0, δε
κάνουμε καμιά επανάληψη και
η δύναμη μένει 1 (20 = 1). Με
μια επανάληψη, κάνουμε ένα
πολλαπλασιασμό με το 2 και η
δύναμη είναι 2 (21 = 2).
Έτσι υπολογίζουμε όποια
δύναμη του 2 θέλουμε με ένα
τουβλάκι μόνο!

10. Είμαστε τώρα έτοιμοι να υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο στο
Scratch. Παρακάτω βλέπουμε με ποια τουβλάκια βρίσκουμε
το ψηφίο σε κάθε βήμα και πολλαπλασιάζουμε με την
κατάλληλη δύναμη του 2.
Είπαμε ότι πρέπει να
πάρουμε τα ψηφία του
δυαδικού αριθμού από το
τελευταίο προς το πρώτο,
και σε αυτό θα μας
βοηθήσει η μεταβλητή
μετρητής. Πως ακριβώς;
Είναι πολύ απλό. Ο
μετρητής αυξάνεται από το
0 μέχρι το μήκος του
αριθμού μας (τον αριθμό
των ψηφίων του). Άρα σε
κάθε βήμα αν αφαιρώ τον
μετρητή από το μήκος, θα
έχω τον αριθμό που θέλω!
Δίπλα είναι ένα παράδειγμα
μετρητής μήκος - μετρητής ψηφίο Δύναμη του 2 Γινόμενο
0 6-0 = 6 0 20 = 1 0 x 1 = 0
1 6-1 = 5 0 21 = 2 0 x 2 = 0
2 6-2 = 4 1 22 = 4 1 x 4 = 4
3 6-3 = 3 1 23 = 8 1 x 8 = 8
4 6-4 = 2 0 24 = 16 0 x 16 = 0
5 6-5 = 1 1 25 = 32 1 x 32 = 32
= 44
Στην μεταβλητή απάντηση αποθηκεύεται
ο δυαδικός αριθμός μας και με την εντολή
μήκος ξέρω πόσα ψηφία έχει (6 στο δικό
μας παράδειγμα!)

11. Αφού βρήκα το γινόμενο του κάθε ψηφίου με την αντίστοιχη δύναμη του 2, τώρα πρέπει να
αλλάζω τον μετρητή επαναληπτικά και αυτά τα γινόμενα να τα προσθέτω στο αποτέλεσμα!
Η τελική υλοποίηση φαίνεται παρακάτω:
Παρατηρώ τα εξής:
1. Πρέπει να ορίσω
μετρητή και
αποτέλεσμα σε 0.
2. Χρησιμοποιώ
επανάλαβε ώσπου και
τελειώνω την
επανάληψη όταν ο
μετρητής γίνει ίσος με
το μήκος.
3. Προσθέτω το γινόμενο
στο αποτέλεσμα σε
κάθε επανάληψη.
4. Φυσικά, αλλάζω τον
μετρητή κατά 1 κάθε
φορά.
5. Ανακοινώνω το
αποτέλεσμα με μια
εντολή πες.
Αν σας μπερδεύει η γραμμή όπου ορίζουμε το αποτέλεσμα σε μια πρόσθεση που έχει μέσα το
αποτέλεσμα, φανταστείτε ότι η μεταβλητή είναι ένα συρτάρι. Σε κάθε πρόσθεση το ανοίγουμε και
βάζουμε κάτι καινούργιο μέσα.

12. Αυτό που κάναμε ήταν ο Αλγόριθμος 1. Στον Αλγόριθμο 2 τα πράγματα είναι παρόμοια και
μάλλον λίγο ευκολότερα!
Στον Αλγόριθμο 2 αν θυμάστε αντί να
κάνουμε πολλαπλασιασμό,
προσθέτουμε την δύναμη μόνο αν το
ψηφίο είναι 1. Χρησιμοποιούμε μια
εντολή Εάν για αυτή την δουλειά!
Όλη αυτή η λειτουργία (όπως κάθε λειτουργία στο Scratch – ονομάζουμε κάθε τέτοιο κομμάτι Σενάριο) ξεκινάει από ένα Συμβάν.
Εμείς διαλέγουμε ποιο θα είναι αυτό το συμβάν, ανάλογα πως θέλουμε να ξεκινάει η εφαρμογή μας. Μπορεί να γίνεται με την πράσινη
σημαία, μπορεί να πατάμε κάποιο αντικείμενο, να στέλνουμε ένα μήνυμα κτλ.
Αλγόριθμος 2:
1. Πάρε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού. Αν
είναι 1, πρόσθεσε την μονάδα (20 = 1)
στο αποτέλεσμα.
2. Πάρε το προτελευταίο ψηφίο του
αριθμού. Αν είναι 1, πρόσθεσε την δυάδα
(21 = 2) στο αποτέλεσμα.
3. Συνέχισε έτσι μέχρι και το πρώτο ψηφίο
του αριθμού.

13. Με αυτά που μάθαμε, δεν θα δυσκολευτούμε να καταλάβουμε την υλοποίηση του αλγόριθμου
του Προβλήματος 2! Παρακάτω βλέπουμε όλη την λειτουργία :
Στο Πρόβλημα 2 αν
θυμόμαστε, μετατρέπουμε
έναν αριθμό από το δεκαδικό
στο δυαδικό σύστημα,
δηλαδή το αντίστροφο από
το Πρόβλημα 1!
Εδώ πρέπει να προσέξουμε τα εξής:
1. Χρησιμοποιούμε την εντολή Ένωσε με το αποτέλεσμα δεύτερο! Έτσι, κάθε
καινούργιο υπόλοιπο μπαίνει από μπροστά, όπως θέλουμε.
2. Στους Τελεστές βρίσκουμε χρήσιμες μαθηματικές λειτουργίες όπως το ακέραιο
υπόλοιπο μιας διαίρεσης και την στρογγυλοποίηση προς τα κάτω (που
χρειαζόμαστε για να πάρουμε το πηλίκο χωρίς δεκαδικά ψηφία!).
Αλγόριθμος:
1. Διαίρεσε τον αριθμό με το 2.
Βρες το πηλίκο και το
υπόλοιπο της διαίρεσης.
2. Πάρε το προηγούμενο πηλίκο
και διαίρεσέ το με το 2.
«Κόλλησε» το νέο υπόλοιπο
μπροστά από το
προηγούμενο.
3. Συνέχισε έτσι μέχρι να βρεις
πηλίκο 0.