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量子オートマトンの計算能力
- 1. On the Power of Quantum Finite State Automata の紹介 2018/12/17 @量子コンピューターについて語ろうLT大会＆懇親会 *https://pdfs.semanticscholar.org/40a4/b75e75e44efc6f891ef5d785d461c554a318.pdf
- 4. 4 抽象機械の具体例 実際のコンピュータ 有限オートマトン メモリ RAM 現在の状態のみ 入力 キーボード・マウス・ネットワークなど 文字列 出力 モニター・スピーカー・ネットワークなど 現在の状態が受理状態であるか プロセッサ 任意のプログラムを実行できるCPUコア 入力文字に応じて状態を変更する ハードコーディングされた規則 ・オートマトン：最もシンプルな計算モデル - 現在の状態のみ ・プッシュダウンオートマトン：外部ストレージとしてスタック - スタックの先頭を読み書きに利用可能（pop / push） ・チューリングマシン：外部ストレージとしてテープ - テープの任意の箇所を読み書きに利用可能
- 6. 6 今回の発表のキモ① ・古典コンピュータ ＜ 量子コンピュータ ・量子オートマトンはオートマトンの量子版 ⇒ オートマトン ＜ 量子オートマトンも成立？？？ 古典計算機 ⇒ 量子計算機 古典チューリングマシン ⇒ 量子チューリングマシン 古典オートマトン ⇒ 量子オートマトン プチ・量子コンピュータ プチ・古典コンピュータ 正規言語を認識可能 古典有限オートマトン （正規言語を認識） 量子オートマトン？？？
- 8. 8 最も基本的なオートマトン 決定性有限オートマトン（DFA）は以下の5つで特徴づけられる - Q は状態と呼ばれる有限集合 - Σ は入力アルファベットと呼ばれる有限集合 - δ は遷移関数 - q0 は開始状態 - F は受理状態の集合 s1s0 1 1 0 0 1 s0 s0 s1 s1 s1 s0 遷移関数 δ 入力文字列：0001 は受理状態に至る 例 有限オートマトンM 0
- 9. 9 オートマトンの種類 ・様々な形式のオートマトンが存在するが全て計算能力は同等 - 決定性有限オートマトン（DFA） - 非決定性有限オートマトン（NFA、GNFA） - 確立有限オートマトン（PFA） - 一方向決定有限オートマトン（1-DFA）←今回量子化して扱う - 双方向決定有限オートマトン（2-DFA）←今回量子化して扱う 状態 ¢ a a a b b b $ 開始記号¢ 終端記号$ テープヘッド テープヘッドはテープ上を”走査”する ・２DFA：テープヘッドは入力テープに対して左右に移動 ・１DFA:テープヘッドは入力テープに対して一方向に移動 q0, q1, q2..
- 10. 10 今回の発表のキモ② 古典有限オートマトン （正規言語） 1-QFA 2-QFA ・古典有限オートマトンは正規言語のみ認識可能 ・2-QFAは正規言語と一部の非正規言語Lも認識可能 ・1-QFAは一部の正規言語を認識不能 ・非正規言語L={ ambm | m>=1} 例: ‘ab’ ‘aabb’ ‘aaabbb’ ・プッシュダウンオートマトン： ⇒スタックを利用して文字の出現回数を“記録”できる ・チューリングマシン：Lを認識可能 ⇒テープを利用して文字の出現回数を”記録”できる ・古典有限オートマトン： ⇒文字の出現回数を“記録”できない 時間の都合上省略 （背理法で証明） 以降はこちらの話題
- 11. 11 オートマトンの量子化① ■状態の遷移 ・状態遷移行列 を用いて への状態遷移は以下の表に表される ・ はユニタリ行列 d : Q ´ S´ Q ´{-1,0,1}ÞC d(q,a,q ',D) =a ■遷移関数の量子化 ・状態qで入力aを読んだとき状態q’でテープヘッドをDに遷移する確率がα ・Dはテープヘッドの移動方向（左、停止、右） V x ( q,k )= d(q,x (k ),q ',D ) q ',k +D q ',D å qは状態、kはテープ位置 最初はq=q0, k=0から開始 y ®y' V V
- 12. 12 オートマトンの量子化② ■観測 ・状態の観測を状態遷移する度に実施 O = Eacc Å Enon Å Erej Eacc = span{ q :q Î Qacc } Erej = span{ q :q Î Qrec } Enon = span{ q :q Î Qnon } y y' Î Ei ・ を測定すると （線型部分空間への射影）に収束 ⇒ 入力を受理 ⇒ 入力を非受理 オートマトンを停止 ⇒ 次の状態に遷移 ⇒ Oは線型部分空間の和空間
- 13. ■線形部分空間への射影の例 13 オートマトンの量子化③ x = - 1 2 0 + 1 2 1 + 1 2 2 O = E1Å E 2 E1 = span{ 0 } E2 = span{1 , 2 } 観測量 0 ・確率1/4でE2に所属し、状態は に収束 1 2 1 + 1 2 2 ・確率1/2でE1に所属し、状態は に収束 で観測した場合： ・部分空間への射影などで基底ベクトルに収縮するとは限らない ・測定後も重ね合わせ状態を維持が可能
- 14. 14 Q ={q0 ,q1 ,q2 ,q3 }È{rj ,k }ÈS j Qacc ={SN } Qrec ={S j |1£ j £ N } 2QFAの場合の要点① ・以下を計算する
- 15. 15 2QFAの場合の要点② ¢ a a a 〜 b b $ ①開始記号から 終端記号まで右 ②終端記号まで移動したら 重ね合わせ状態に状態遷移 ③各重ね合わせ状態 は開始記号まで左 ④開始記号まで戻ったら重ね合わせ 状態が打ち消し合うように状態遷移 ・全頁に沿って計算すると以下となる ・ambm (m>=1)の形式の場合の計算結果 〜 ・ ambm (m>=1)の形式の場合のみ非受理状態が打ち消し合う⇒測定すると確率1で受理状態 ・上記以外の場合⇒受理状態となる確率は1/N 1 N exp( 2pi N jl ) l =1 N å j =1 N å Sl ,0 = SN ,0
- 17. No.1 「0からコンピュータを作ってみた」 ・NANDゲートでCPU〜VM〜コンパイラまで作成しました ・「ゆるゆるIT勉強会 feat.Reedex Vol.4」 の発表資料 ・https://www.slideshare.net/YuuOkano/0-119311314 No.2 「0からコンピュータを作ってみた」 ・NANDゲートでCPU〜VM〜コンパイラまで作成しました ・「ゆるゆるIT勉強会 feat.Reedex Vol.4」 の発表資料 ・https://www.slideshare.net/YuuOkano/0-119311314 17 過去の発表資料