Informe 4, Física 3 Uniajc.

1. PROPAGACIÓN DE ONDAS ARMONICAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA TENSA
Natalia Álzate, Daniel Lopez, Andrés Silva, Sebastián De la pava
Departamento de Ciencias Básicas, Institución Universitaria Antonio José Camacho
13 de octubre de 2019
Resumen. Se estudió experimentalmente la densidad lineal de una cuerda. Produciendo vibraciones (Oscilaciones) en una cuerda con voltaje y tensión constante,
se obtuvo que a diferencia del tipo más común de densidad de masa, la densidad lineal es una relación de la masa de un objeto y la longitud en lugar de la masa y el
volumen del objeto, tomando como un valor base la densidad de una cuerda especifica con 2,19 m de longitud y 0,72g de masa es 3.3 ∗ 10−4
𝐾𝑔/𝑚 .Se utilizaron
dos métodos diferentes para calcular la densidad lineal.
Palabras clave: Densidad lineal, Oscilaciones, Masa, Métodos.
INTRODUCCIÓN
Franz Melde (11 de marzo de 1832 - 17 de marzo de 1901) fue un físico alemán,
profesor en la universidad de Marburgo, conocido por un experimento que
realizó sobre las ondas estacionarias, que lleva su nombre y por el que le fue
otorgada una medalla de plata en la Exposición Mundial de Chicago de 1893. El
experimento de Melde se utiliza para determinar el patrón de las ondas
estacionarias, medir la velocidad de una onda y mostrar el fenómeno de la
interferencia de ondas mecánicas. [1]
Llamamos onda estacionaria a un caso particular de interferencia que se produce
cuando se superponen dos ondas de la misma dirección, amplitud y frecuencia,
pero sentido contrario. En una onda estacionaria los distintos puntos que la
conforman oscilan en torno a su posición de equilibrio a medida que transcurre
el tiempo, pero el patrón de la onda no se mueve, de ahí su nombre.
Matemáticamente lo que tenemos es que una onda presenta la forma:
𝛷 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) (1)
La formación de ondas estacionarias en una cuerda se debe a la suma
(combinación lineal) de infinitos modos de vibración, llamados modos
normales, los cuales tienen una frecuencia de vibración dada por la siguiente
expresión (para un modo n):
𝑓
𝑛 =
𝑛𝑣
2𝐿
(2)
Donde v es la velocidad de propagación, normalmente dada por
𝑣 = √
𝑇
𝜇
(3)
para una cuerda de densidad 𝜇 y tensión 𝑇, siendo 𝜇:
𝜇 =
𝑚
𝑥
(4)
La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda
de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación de los nodos (vista
anteriormente), que representa la distancia máxima posible entre dos nodos de
una longitud dada. Ésta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda
vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos.
La siguiente posibilidad en la ecuación, el caso n = 2, se llama segundo
armónico, y presenta un nodo intermedio. [2]
𝑠𝑖 𝑥 = 𝐿 𝑦 𝜆 = 𝜆𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐿
= 𝑛.
𝜆𝑛
2
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐿 𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎
Despejamos 𝜆𝑛:
𝜆𝑛 =
2𝐿
𝑛
(5)
Remplazando a L y n nos queda:
𝜆 = √
𝐹
𝜇
T (6)
El propósito del presente laboratorio es producir vibraciones en una cuerda tensa
para estudiar el fenómeno de ondas estacionarias determinando
experimentalmente la densidad lineal de una cuerda.
PROCEDIMIENTO
Para estudiar las ondas estacionarias de una cuerda se utilizó un soporte
universal y un oscilador variable, ambos de la marca Pasco®. Se utilizo el
oscilador variable para producir un tren de ondas senoidales a una cuerda de
longitud L; en donde estas se reflejaban en el extremo opuesto produciendo
ondas estacionarias siempre y cuando la tensión, la frecuencia y la longitud de
la cuerda tuvieran valores apropiados. (Fig. 1). Las frecuencias de cada ensayo
fueron tomados y visualizadas con la pantalla del amplificador de potencia el
cual permitió medir hasta milésimas de Hz (0.001 Hz) y las longitudes de onda
se midieron con un flexómetro cuya escala más pequeña era de milímetros
(0.001 m).
Cada vez que se variaba la frecuencia, la cuerda notamos que existe una relación
inversa entre la frecuencia y longitud de onda, de manera que si aumenta la
frecuencia disminuye la longitud de onda. Este procedimiento se realizó seis
veces para diferentes frecuencias con el fin de encontrar los 6 primeros
armónicos, los datos obtenidos se encuentran registrados en la tabla 1.
Fig. 1. Diagrama montaje experimental [4]. Consta de: 1-Oscilador variable, 2- Cuerda,
3-Soporte universal, 4- Amplificador de potencia, 5 – masa (Tensión)
Masa= 200 𝑔 ->
0.2 𝐾𝑔
Tensión= 𝑚. 𝑔 ->
1.96 𝑁
Longitud cuerda=
2.18 𝑚
Masa
cuerda=7.2 ∗
10−4
𝐾𝑔
Densidad lineal µ=
3.3 ∗ 10−4
𝐾𝑔/𝑚
RESULTADOS
Utilizando la ecuación (6) y la ecuación básica para determinar periodo (𝑇 =
1/𝑓), además de usar los valores dichos anteriormente se calcula el valor de la
densidad lineal de la cuerda para cada valor de la frecuencia y armónicos,
además de su respectivo periodo, completando de este modo la tabla 1.
4
2
3
1
5

2. Tabla 1. Datos experimentales tomados de frecuencia, periodo y longitud de onda, con
el cálculo de densidad lineal.
Promediando, el valor de la densidad lineal obtenido mediante este método es
𝜇 = 266.56 𝐾𝑔/𝑚
Este resultado difiere del valor calculado de la densidad lineal de la cuerda sin
tensión, con una diferencia porcentual de 61.2 %, teniendo en cuenta la relación
de tensión generada por la masa en el sistema
Otro método para obtener el valor de la densidad lineal es graficar la longitud de
onda como función del periodo. La ecuación (2) muestra que la relación entre la
longitud de la cuerda y la frecuencia de la onda es inversa al doble de la longitud
de la cuerda, esto significa que una gráfica de la longitud de onda en función del
periodo debería ser lineal deberá ser lineal, como se muestra en la Fig. 2 al
graficar los datos de la tabla 1.
Fig. 2. Longitud de onda como función de la cuerda.
La pendiente y la correlación obtenidos de esta linealización son
𝑚 = 76,026 ± 0.0297
𝑚
𝑠2 ; 𝑟2
= 0.9999 (3)
Comparando con la ecuación (2), se obtiene mediante este método un valor de
la gravedad de
μ= 152.052 ± 0.04 𝑚/𝑠2
Este resultado difiere del valor calculado de la densidad lineal para la cuerda sin
tensión, con una diferencia porcentual del 32.24%
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
La frecuencia tiene una relación inversa con el concepto de longitud de onda
(Tabla 1), a mayor frecuencia menor longitud de onda y viceversa. La frecuencia
f es igual a la velocidad de la onda, dividido por la longitud de onda 𝜆 (𝑓 =
𝑣
𝜆
).
Teóricamente se puede ver que cuando la frecuencia permanece constante y la
tensión de la cuerda aumenta y disminuye el número de armónicos, por lo que
podemos describir que hay una relación inversa entre la tensión y el cuadrado de
la cantidad de armónicos, cuando se mantiene la frecuencia constante. Así que
si la tensión aumenta la cantidad de armónicos disminuye, en cambio sí
disminuye aumentara la cantidad de armónicos, pero en el caso de esta
experimentación la fuerza de tensión de mantuvo constate con el valor de la masa
añadida al final de la cuerda de 200g, siendo así una tensión constate de 1,96 N;
La velocidad de propagación de la onda no depende de la frecuencia sino de la
tensión en este caso, de esta manera cuando la tensión aumenta hay un cambio
de velocidad, de tal manera al tener una tensión constante ya nombrada, nuestra
velocidad se mantendrá constante para cualquier valor de frecuencia y 𝜆,
entonces 𝑣 = 77.04 𝑚
𝑠
⁄ , existe una relación entre la frecuencia y el número
de armónicos que es directamente proporcional ya que 𝑓
𝑛 = 𝑛𝑓1, de esto se
puede afirmar 2 cosas, 1ero, la frecuencia fundamental es un múltiplo entero
positivo de modo normal y 2do a medida que aumenta el numero de armónicos
la frecuencia también lo hará, por lo que cabe resaltar que si la frecuencia
aumenta la longitud de onda disminuirá.
No se trata de una onda propiamente dicha, pues no aparece un término que
contenga una dependencia espacial y temporal, sino que estas dependencias
aparecen separadas.
Según lo planteado teóricamente en la introducción la energía no se puede
propagar por la cuerda. Esto es debido a que aquellos puntos para los cuales
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) = 0 van a estar siempre quietos (nodos), ya que no presenta ninguna
otra dependencia. [3] Evidentemente la energía no podrá rebasar estos puntos
para propagarse al otro lado. Por tanto, esta construcción no es una onda normal,
no es una onda “viajera”; precisamente por esto se la denomina onda estacionaria
Un punto cualquiera de la cuerda se limitará moverse de forma armónica en el
tiempo, debido al termino cos(𝑤𝑡) con una amplitud 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥), En nuestro
caso tenemos nodos en las posiciones en las cuales 𝑘𝑥 = 𝑛𝜋.
La densidad lineal de la cuerda con una masa de 7.2 ∗ 10−4
𝑘𝑔 y una longitud
de 2,18 m es de 3.3 ∗ 10−4
𝐾𝑔/𝑚, mientras que cuando tiene una tensión de
1,96 𝑁 se obtiene una densidad lineal por método de realización por promedio
de
𝜇 = 266.56 𝐾𝑔/𝑚, mientras que por análisis grafico de μ= 152.052 𝐾𝑔/𝑚,
teniendo un aumento significativo teniendo en cuenta la tensión a la que fue
sometida la cuerda, los errores encontrados teniendo en cuenta los coeficientes
de relación entre la densidad lineal de la cuerda como un valor teórico y/o real,
fueron de 61,2 % para la forma de promedio y 32,4 % para el método gráfico,
dando a simple vista una mayor asertividad por el método gráfico.
Para disminuir aún más los errores sistemáticos, aleatorios y de escala, se puede
utilizar una cuerda de color diferente a blanco, para si evitar confusiones con el
entorne y ambiente del laboratorio.
CONCLUSIONES
Mediante el procedimiento utilizado para estudiar la densidad lineal de una
cuerda con una masa y longitud establecidas, bajo una tensión se pudo analizar
que, en una onda estacionaria, su perturbación es perpendicular a su dirección
de propagación, además que la relación de la velocidad de propagación de la
onda es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda
(ecu. 3), a lo cual el armónico simple está presente cuando la onda armónica se
desplaza a lo largo de una cuerda tensa, el movimiento de un punto de la cuerda.
Si una onda armónica se propaga a lo largo de una cuerda, la relación entre la
longitud de onda y el periodo depende de las mismas (Fig. 2), pero
principalmente cabe destacar que a lo largo de una cuerda tensa se propagan
ondas armónicas. A mayor longitud de onda la frecuencia de las oscilaciones es
menor, siendo estas inversamente proporcional.
El resultado obtenido es bueno, anqué puede ser algo confuso por los grandes
valores que se dan de densidad lineal sobre una cuerda a sufrir la fuerza de una
tensión, siendo esto evidente al comparar los valores promediado de densidad y
graficados con el valor teórico y real de la densidad lineal, teniendo estos una
diferencia demasiado grandes pero a base de un coeficiente obvio, siendo estos
en promedio 266.56 𝐾𝑔/𝑚, graficado 152.052 𝐾𝑔/𝑚 y teórico-real 3.3 ∗
10−4
𝐾𝑔/𝑚, con porcentajes de error del 61,2 % y 32,24%
A pesar de los factores que pueden influir como son el tiempo de reacción del
experimentalista o la capacidad visual del mismo.
REFERENCIAS
[1] Edukativos, «Experimento de Melde,» 22 Abril 2016. [En línea].
Available: https://www.edukativos.com/apuntes/archives/7833.
[2] X. Pardell, «SISTEMAS DE ALIMENTACION ININTERRUMPIDA,»
Apuntes de elctromedicina, 24 Agosto 2019. [En línea]. Available:
https://www.pardell.es/sai-s.html. [Último acceso: 12 Octubre 2019].
[3] I. Martín, «Ondas estacionarias: Propagación en direcciones opuestas,» de
Física General, Burgos, UVA, 2003, pp. 99-101.
[4] C. Ospina, Ondas estacionarias en una cuerda.
1 17.67 0.057 4.36 3.57
2 35.34 0.028 2.18 28.56
3 53.13 0.019 1.45 97.077
4 70.7 0.014 1.09 228.601
5 88.54 0,011 0.87 449.37
6 106.9 0,009 0.72 792.18
# Antinodos [± 0.001 Hz] T(s) [± 0.001 s] [± 0.001 m] (kg/m) Calculada
y = 76,026x + 0,0297
R² = 0,9999
0
1
2
3
4
5
0 0,02 0,04 0,06
LONGITUD
DE
ONDA
PERIODO