Matematika Diskrit
www.itts.ac.id
Pusat Teknologi Nasional Berkelas Dunia
Materi :
1. Logika
2. Kombinatorik
Disusun oleh : Achmad Hidayat - 1002210036

Matematika Diskrit 2
Logika
Logika matematika adalah cara berpikir atau bisa dikatakan sebagai
landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan dari suatu
keadaan atau kondisi tertentu.
Dengan mempelajari materi ini, kita bakal bisa berpikir dengan lebih kritis
dan rasional sehingga nantinya keputusan yang diambil lebih objektif.
Selanjutnya, kita bahas lebih detail mengenai topik-topik dalam materi ini
yang mencakup pernyataan, ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi lengkap dengan tabel kebenaran, simbol, dan contoh logika
matematika dari setiap topik tersebut.

Matematika Diskrit 3
Logika
Pernyataan
Terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan
pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya, sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum
bisa dipastikan nilai kebenarannya.
Contoh :
8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Matematika Diskrit 4
Logika
Ingkaran/Negasi (~)
Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan
semula. Berikut adalah simbol dan tabel kebenaran ingkaran/negasi.
Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.
Contoh:
p : Semua murid lulus ujian
~p : Ada murid yang tidak lulus ujian
p ~p
B S
S B

Matematika Diskrit 5
Logika
Konjungsi (∧)
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan
majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah simbol dan tabel kebenaran
konjungsi.
Budi sudah makan belajar dan makan.
Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua
pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.
p q p∧q
B B B
B S S
S B S
S S S
Dari tabel di samping ini dapat disimpulkan bahwa dalam
konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika
kedua pernyataan (p dan q) benar.
Contoh:

Matematika Diskrit 6
Logika
Disjungsi (V)
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan
majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi dan dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut ini simbol dan tabel kebenaran
disjungsi.
Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa.
Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang
terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau
Jawa bernilai benar.
p q pvq
B B B
B S B
S B B
S S S
Dari tabel disamping ini dapat disimpulkan bahwa dalam
konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua
pernyataan (p dan q) salah.
Contoh :

Matematika Diskrit 7
Logika
Implikasi (⟹)
Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi
logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut:
Contoh:
Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah
Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun
dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya.
p q p⇒q
B B B
B S S
S B B
S S S
p ⟹ q
dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah simbol dan tabel
kebenaran disjungsi.
Disini dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan
bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun
akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Matematika Diskrit 8
Logika
Biimplikasi
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga
membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”.
Berikut adalah simbol dan tabel kebenaran biimplikasi:
Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja.
Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebaliknya, jika
ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat
gaji.
p q p⇔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep
biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya
(pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama
benar, atau sama-sama salah.
Contoh:

Matematika Diskrit 9
Logika
Contoh soal 1:
Negasi dari penyataan: “Jika semua siswa SMA mematuhi
disiplin maka Roy siswa teladan” adalah…
Pembahasan:
p = semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah
q= Roy siswa teladan
maka
~ (p -q) = (~ p v q) = (p^~q)
Atau:
Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan
siswa teladan.

Matematika Diskrit 10
Logika
Contoh Soal
Diketahui 2 premis berikut:
Premis 1 : Jika Rudi membawa payung, maka Rudi tidak kehujanan
Premis 2 : Rudi kehujanan
Kesimpulan dari 2 premis tersebut adalah ….
Pembahasan
Premis 1 : p ⇒q
Premis 2 : ~q
Dengan modus tollens, maka ∴ = ~p
Jadi, kesimpulannya adalah Rudi tidak membawa payung.

Matematika Diskrit 11
Kombinatorika
Apa itu Kombinatorika?
Salah satu cabang ilmu matematika tentang objek khusus adalah
kombinatorika. Aspek yang berkaitan dengan kombinatorika adalah
penentuan objek berdasarkan kriteria tertentu, perhitungan objek
berdasarkan kriteria tertentu, penentuan objek “terbesar”,
“terkecil” atau “optimal”, serta penentuan struktur suatu objek.
Kombinatorika sendiri tergolong ke dalam rumpun “Diskrit” dalam
matematika. Kombinatorika ditemukan pada materi peluang. Jika
peluang merupakan suatu cara untuk mempelajari kemungkinan
terjadinya suatu peristiwa tertentu, maka kombinatorika
dikhususkan pada cara penyusunan sekumpulan objek tertentu.

Matematika Diskrit 12
Kombinatorika
Contoh Soal 1
Lina diharuskan mengerjakan 8 soal dari 18 soal yang tersedia. Ketentuan dalam pengerjaan soal ini adalah soal nomor 1
sampai 5 merupakan soal yang wajib dikerjakan. Tentukan berapa banyak pilihan soal yang dapat dipilih!
Pembahasan:
Dari soal diketahui ada 18 soal, wajib mengerjakan 8 soal, sedangkan ada syarat bahwa soal no. 1-5 wajib dikerjakan,
maka Lina tinggal memilih 3 soal lain selain soal no. 1-5.
Pemilihan 3 soal tersebut jika di bolak-balik urutannya akan sama
saja. Misalkan Lina memilih soal nomor 10, 13, 15, maka akan sama
saja ketika Lina memilih tiga soal dengan urutan 13, 10, 15. Hal ini
berarti kita harus memperhatikan urutan pemilihan soal. Sehingga
kita akan menggunakan prinsip kombinasi dan diperoleh,
Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dipilih oleh Lina adalah 286 macam.

Matematika Diskrit 13
Kombinatorika
Contoh Soal 2
Tanggal 24 Februari adalah ulang tahun Hani. Pada hari itu Hani merayakan ulang tahun di sebuah tempat makan, namun
hanya dapat mengundang 10 dari 15 orang temannya karena keterbatasan tempat yang tersedia. Di antara 15 orang
tersebut ada 5 orang sahabatnya yaitu Husein, Listy, Cepi, Dinar, dan Edwin. Hani memutuskan harus mengundang Cepi
dan Listy. Dinar sudah pasti tidak bisa memenuhi undangan karena sedang keluar kota, sedangkan Edwin sedang isolasi
mandiri karena terpapar Covid-19. Tentukan banyak cara yang dipunyai Hani untuk mengundang teman-temannya!
Pembahasan:
Pada soal diketahui bahwa total ada 15 orang dan ada 2 orang yang sudah terpilih yaitu Cepi
dan Listy, sehingga tersisa 13 orang. Dari 13 orang yang tersisa, ada dua orang yang tidak
dapat hadir yaitu Dinar dan Edwin maka tersisa 11 pilihan teman.
Selanjutnya, kita akan mengundang 8 orang dari 11 orang yang tersisa (8 diperoleh dari 10-2,
karena ada 2 orang yang sudah pasti diundang). Sehingga diperoleh,
Jadi, ada 165 cara yang dipunyai Hani untuk mengundang teman-temannya.

Terima Kasih
www.itts.ac.id ittstangsel @ittstangsel Institut Teknologi Tangerang Selatan