El treball implementa a l’aula, i analitza, un enfocament didàctic innovador per a l’ensenyament de la geometria analítica al primer curs de Batxillerat. El plantejament didàctic del treball consisteix en una seqüència que s’inicia amb activitats contextualitzades que indueixen la matematització en els alumnes, en l’entorn del programari GeoGebra, i que es completa amb una posterior formalització dels continguts. És un plantejament “de baix a dalt”, ja que, a diferència de la metodologia tradicional, no comença amb la presentació formal i perfectament estructurada dels continguts per passar a continuació als exercicis d’aplicació, sinó que la formalització arriba després que la matematització induïda per les activitats contextualitzades hagi preparat el terreny per a la fixació formal dels continguts. Les anàlisis de la matematització i de les valoracions subjectives de l’alumnat permeten constatar que, en comparació amb una metodologia tradicional, millora el rendiment en la matematització, alhora que augmenta l’autoconsciència, la motivació i la implicació dels alumnes en el procés d’aprenentatge. El treball complet (fonamentació teòrica, implementació, anàlisi i conclusions) ha quedat recollit en la tesi doctoral “Geometria analítica a Batxillerat: un enfocament didàctic contextualitzat i amb eines TIC”, llegida el 27/11/2009 al departament de Didàctica de la Matemàtica de la UAB.

1. Plataforma de matematització en un entorn GeoGebra dins d’un plantejament didàctic “de baix a dalt” per a la geometria analítica del primer curs de Batxillerat Joaquim Costa Llobet Institut Rocagrossa Lloret de Mar Amb un ús de les TIC totalment integrat (no afegit ni superposat) en el procés d’ensenyament i aprenentatge Nota: per a una correcta visualització d’aquesta presentació, cal que la lletra “calibri” figuri a la llista dels tipus de lletra

2. Punt de partida Eugenio Filloy (1998) Didáctica e historia de la geometria euclidiana “ ... es posible que para algún estudiante una presentación formal, lógicamente estructurada y altamente eficiente , en el sentido que rápidamente llega a ciertos resultados, sea no sólo la presentación adecuada, sino la necesaria; pero, francamente, tal estudiante será una « rara avis » , en todos los niveles del sistema educativo …” “ ... sabemos que los primeros resortes que hemos de accionar en el aprendizaje de las Matemáticas, son los de la motivación , hecho que, por una parte implica que el material presentado tenga la virtud de echar mano de todo aquello que « estimule » el aprendizaje, sin coacción alguna…” Inconvenients d’una presentació formal dels continguts La importància de la motivació

3. De baix a dalt Forçat Induït Seqüència que s’inicia amb activitats contextualitzades que indueixen la matematització en els alumnes, en l’entorn del programari interactiu GeoGebra, i que es completa amb una posterior formalització dels continguts. Plantejament “de baix a dalt” Plataforma de matematització Baix Situacions contextualitzades Activitats d’aplicació Formalització Dalt

4. Matematització Realistic Mathematics Education (RME) Treffers (1978-1987) Van den Heuvel-Panhuizen (2000) “ Els estudiants, en comptes de ser simples receptors d’una matemàtica que ja se’ls dóna feta i acabada, són participants actius en el procés educatiu.” Realistic Mathematics Education (RME) Matematització Horitzontal (MH) Matematització Vertical (MV) Formular i visualitzar Transferir del món “real” cap a un problema matemàtic Representar amb una fórmula Generalitzar

5. Fase de matematització induïda en un entorn GeoGebra Fase de formalització subministrada pel professor Innovador o tradicional? Psicològic Actiu Heurístic Inductiu Tradicional Expositiu Dogmàtic Deductiu Segons la classificació de Peralta (1995) Innovador + Tradicional

6. Estructura dels blocs d’activitats Reestructuració de la unitat didàctica Activitats Punt mitjà i punts alineats Producte d’un nombre per un vector Suma de vectors Combinació lineal i dependència Equació vectorial de la recta Equació contínua Equació implícita Equacions paramètriques Equació explícita Bloc I d’activitats: les equacions de la recta Activitats Treball fet per una força constant sobre un objecte que es desplaça en una trajectòria rectilínia Projecció d’un vector sobre un altre Producte escalar de dos vectors Angle entre dos vectors Perpendicularitat Bloc II d’activitats: el producte escalar

7. Conjunt d’activitats amb GeoGebra Reestructuració de la unitat didàctica 1 2 3 4 6 Desplaçament d Força F component útil de la força 5 7 8

8. Disseny de les activitats Reestructuració de la unitat didàctica Plantejament de la situació Preguntes sobre la matematització Preguntes sobre la valoració subjectiva

9. Tipus de dades Anàlisi Qüestionari de valoració subjectiva final Respostes escrites obertes sobre les estratègies de resolució Prova escrita convencional Matematització objectiva Valoració subjectiva Un fitxer de GeoGebra per a cada alumne i cada activitat Respostes escrites dels alumnes en cada una de les activitats de matematització

10. Tabulació de dades Exemple: Activitat 6 Anàlisi Dades de la matematització objectiva dels alumnes Dades de les valoracions subjectives dels alumnes

11. Anàlisi: categories de matematització Anàlisi Resolució amb GeoGebra MHG Expressió escrita algebraica MHE Generalització MV Matematitzadors complets (7 alumnes de 19) 0,91 0,84 0,78 Poden contemplar les situacions en els seus aspectes matemàtics concrets i també poden elevar-se fins a la generalització. Matematitzadors Horitzontals (7 alumnes de 19) 0,91 0,84 0,59 Es mouen amb comoditat dins de situacions concretes, però els costa el moviment cap a les generalitzacions Matematitzadors Tecnològics (3 alumnes de 19) 0,88 0,60 0,49 Es mouen amb comoditat en un entorn visual, “manipulatiu” i interactiu, però no són capaços de reflectir-ho amb desimboltura per escrit Matematitzadors febles (2 alumnes de 19) 0,53 0,50 0,54 Obtenen resultats molt discrets en tots els tipus de matematització

12. Valoracions subjectives dels alumnes Comportament molt més uniforme que en la matematització: tant els alumnes que obtenen alts rendiments com els que no, emeten valoracions subjectives molt semblants Anàlisi Millor que la classe tradicional Plantejar Trobar Avançar Generalitzar

13. Avantatges d’un plantejament “de baix a dalt” contextualitzat en l’entorn del programari Geogebra Motivació Els alumnes mostren una alta motivació a les activitats. En un plantejament tradicional, la motivació sol ser un problema. Implicació activa Els alumnes matematitzen, reflexionen i comprenen activament. En un plantejament tradicional, sovint es limiten a ser receptors passius: els casos d’alumnes actius i participatius solen ser minoritaris. Matematització assolida Millor rendiment en contextualització Millor valoració per part dels alumnes que un plantejament tradicional El rendiment mesurat segons els resultats correctes obtinguts és clarament més alt en contextualització que en una resolució escrita convencional La gran majoria d’alumnes assoleix amb resultats alts la matematització. En un plantejament tradicional, alguns alumnes (en condicions favorables, la majoria, però de vegades una minoria) aprenen a resoldre exercicis i problemes estandarditzats, però no hi ha cap garantia que realitzin un treball autònom de reflexió i comprensió. Activitat rere activitat, les valoracions dels alumnes són majoritàriament positives Conclusions

14. [email_address] Tesi doctoral completa www.tesisenxarxa.net/TDX-0324110-114650/ Documentació sobre la investigació Comunicació per al Seminari GeoGebra (CosmoCaixa, nov. 2009) http://acgeogebra.cat/matcosmo/comunicacions/costa/jcosta.pdf