Bom!

1. ESCOLA SECUNDÁRIA GERAL DA AMIZADE
Nome do professor: Delfim Carlos
Data: 09 de Agosto de 2021
Disciplina: Matemática
Classe: 12ª
Grupo: B
Turma: A
Tempo: 90 minutos
Unidade temática: Calculo Diferencial
Tema: Derivadas de funções trigonométricas
Objectivo geral
 Conhecer as derivações das funções trigonométricas;
Objectivos Específicos:
 Lembrar sobre as funções seno, co-seno, tangente, co-
tangente e limites;
 Definir as Derivadas;
 Mostrar os critérios para as Derivadas de funções
trigonométricas;
 Descrever as Derivadas de funções trigonométricas;
 Caracterizar as Derivadas de funções trigonométricas;

2. Tempo Funções
Didácticas
Conteúdos Métodos Actividades Meios
didácticos
Obs.
Professor Alunos
15
minutos
Introdução e
motivação
 Controle de presenças;
 Introduz a matéria e faz questões
introdutórias:
1. Alguém se se lembra sobre as
funções:
a) Seno e Co-seno?
b) Tangente e Co-tangente?
Elaboração
conjunta
 Faz as
chamadas;
 Faz questões
introdutórias
e Introduz a
matéria.
 Respondem
as
chamadas;
 Respondem
as questões
dadas.
Livro de
turma,
caneta,
Quadro,
Giz e
Apagador.
30
minutos
Mediação e
Assimilação
 DERIVADAS DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
 Derivadas;
 Derivadas de funções
trigonométricas:
 Função seno;
Exemplo.
 Função Co-seno.
Exemplo.
Expositivo
explicativo
– dialogado
 Media,
transmite e
explica os
conteúdos;
 Dita
apontamento
s aos alunos.
 Prestam
atenção a
explicação
;
 Apresenta
m dúvidas;
 Passam
apontamen
tos
Giz,
quadro,
apagador,
caderno e
caneta.
O
professo
r deve
escrever
no
quadro
as
palavras
complic
adas.
 Esclarece as  Apresenta

3. 25
minutos
Domínio e
consolidação
 Esclarece as dúvidas;
 Apresento questões e exercícios
de consolidação:
1. Calcule as derivadas trigonométricas
das seguintes funções:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)
d) 𝑓(𝑥) = cos⁡
(2𝑥)⁡
Elaboração
conjunta
dúvidas dos
alunos;
 Faz questões
e dou
exercícios
de
consolidaçã
o;
 Modera e
auxilia as
respostas
dos alunos.
m as
dúvidas;
 Responde
m as
questões e
resolvem
exercícios
de
consolidaç
ão
Quadro,
giz, e
apagador
20
minuto
s
Controle e
avaliação
Trabalho para casa (T.P.C)
2. Calcule derivadas das funções
abaixo:
a) 𝑓(𝑥) = tan(𝑥)
b) 𝑓(𝑥) = cot(𝑥)
c) 𝑓(𝑥) = sec(𝑥)
d) 𝑓(𝑥) = cossec(𝑥)
Trabalho
independen
te
Ditas as
questões do
Trabalho Para
Casa.
Passam as
questões
para os seus
cadernos.
Quadro,
giz,
apagador
, caderno
e caneta.

4. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Derivadas
Na figura acima, sejam 𝑃(𝑥1,𝑦2) e 𝑄(𝑥2,𝑦2) dois pontos distintos de uma curva e s a reta secante que passa por esses pontos.
Considerando o triângulo PMQ formado, tem-se que a inclinação da reta s (ou o coeficiente angular da reta s) é determinada por
𝑚 = tan(𝛼) =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
Suponhamos que mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direcção a P. À proporção que Q se aproxima de P a inclinação da
recta secante s varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante. Esse valor limite mostra a inclinação da recta tangente
à curva no ponto P dado por
𝑚 = lim
𝑄→𝑃
∆𝑦
∆𝑥
= lim
𝑄→𝑃
𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1

5. quando o limite existir. Fazendo 𝑥2 − 𝑥1, pode-se reescrever a expressão anterior na forma
𝑚 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥)− 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
Desse modo, tendo o coeficiente angular e um ponto P de tangência pode-se encontrar a equação da recta tangente nesse ponto P. O
denominador ∆𝑥 é a variação de 𝑥 enquanto o numerador ∆𝑦 é a variação de 𝑦. O quociente ∆𝑦 por ∆𝑥 fornece a taxa de variação.
Derivadas de funções trigonométricas
Função seno
Para mostrar que a função seno possui uma derivada, aplica-se a identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛⁡(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑏,
bem como alguns teoremas.
Exemplo: seja 𝑓 a função seno, assim 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥. Da definição de derivada, temos:
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥)− 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥

6. 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙
(𝑐𝑜𝑠∆𝑥 − 1)
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙
𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = − lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ lim
∆𝑥→0
(1 − 𝑐𝑜𝑠∆𝑥)
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
Sabendo que:
lim
∆𝑥→0
(1−𝑐𝑜𝑠∆𝑥)
∆𝑥
= 0 e lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
= 1, teremos:
𝑓′(𝑥) = − lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 0 + lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 1
𝑓′(𝑥) = −0 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 1
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
Função co-seno
Para descobrirmos a derivada da função co-seno, podemos aplicar a identidade trigonométrica cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙
𝑠𝑒𝑛𝑏. Se 𝑓 for a função co-seno, então:
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
∆𝑥

7. 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
cos𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛∆𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
∆𝑥
−
𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠∆𝑥 − cos(𝑥)
∆𝑥
− lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙
(1 − 𝑐𝑜𝑠∆𝑥)
∆𝑥
− lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 ∙
𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = − lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ lim
∆𝑥→0
(1 − 𝑐𝑜𝑠∆𝑥)
∆𝑥
− lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒 𝑛 𝑥 ∙ lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
Sabendo que:
lim
∆𝑥→0
(1−𝑐𝑜𝑠∆𝑥)
∆𝑥
= 0 e lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛∆𝑥
∆𝑥
= 1, teremos:
𝑓′(𝑥) = − lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 0 − lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒 𝑛 𝑥 ∙ 1
𝑓′(𝑥) = 0 − 𝑠𝑒 𝑛 𝑥 ∙ 1
𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒 𝑛 𝑥

8. Referências
FERREIRA, Manuel Alberto M. & AMARAL, Isabel. Matemática – Formulário. 8ª edição. Edições Silabo, L.da. Lisboa. 1994.
NEVES, Maria Augusta; VIEIRA, Maria Teresa & ALVES, Alfredo Gomes. Matemática/12ºano. Porto Editora.