Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

1. Modul
Ke:
02
Fakultas :
Teknik
Program Studi:
Teknik Sipil
Kalkulus 1
Rio Firmansyah, S.T.,
M.Pd.

2. Definisi Pertidaksamaaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan
yang memuat tanda mutlak dan variabelnya berada
di dalam tanda mutlak. Berikut ini beberapa bentuk
pertidaksamaan nilai mutlak.
a. | − 1| < 2
𝑥
b. | − 3| > 4
𝑥
c. |2 + 5| ≤ 6
𝑥
d. |3 − 1| ≥ 3
𝑥

3. Untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan nilai mutlak, kita
akan membahas konsep nilai mutlak dalam bentuk
pertidaksamaan terlebih dahulu. Perhatikan bentuk
pertidaksamaan | | < 3. Karena bentuk persamaan | | = 3
𝑥 𝑥
menyatakan jarak antara titik dengan nol adalah 3 satuan,
𝑥
maka bentuk | | < 3 dapat diartikan sebagai jarak titik dan
𝑥 𝑥
nol adalah kurang dari 3. Dalam hal ini, kita akan mencari nilai
titik yang memenuhi.
𝑥 Perhatikan garis bilangan berikut.
Titik-titik yang berjarak kurang dari 3 satuan dari titik nol adalah
titik-titik yang berada pada daerah yang diarsir, yaitu pada
selang −3 < < 3. Jadi, himpunan penyelesaiannnya dinyatakan
𝑥
dengan { |−3 < < 3, }.
𝑥 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅

4. Penyelesaian pertidaksamaan nilai
mutlak adalah bilangan-bilangan
pengganti dari variabel yang membuat
pertidaksamaan menjadi pernyataan
bernilai benar. Penjelasan tersebut
merupakan kasus khusus dalam
menyelesaikan persamaan nilai mutlak.
Hal ini dapat dituliskan dalam bentuk
umum.

5. Bentuk | ( )| ≤ | ( )| ≥ dengan > 0
𝑓 𝑥 𝑝 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 𝑥 𝑝 𝑝
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak | − 2| < 4
𝑥
Penyelesaian
Salah satu caranya dengan menggunakan definisi nilai mutlak sebagai
jarak.
| − 2| < 4 dapat diartikan sebagai jarak bilangan dari 2 kurang dari 4.
𝑥 𝑥
Bilangan yang memenuhi | − 2| < 4 terletak pada interval −2 < < 6.
𝑥 𝑥 𝑥
a. |𝑓(𝑥)| < 𝑝 ⇔ −𝑝 < 𝑓(𝑥) < 𝑝 dengan 𝑝 > 0
b. |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑝 ⇔ −𝑝 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑝 dengan 𝑝 > 0
c. |𝑓(𝑥)| > 𝑝 ⇔ 𝑓(𝑥) < −𝑝 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓(𝑥) > 𝑝
dengan 𝑝 > 0
d. |𝑓(𝑥)| ≥ 𝑝 ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ −𝑝 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓(𝑥) ≥ 𝑝 dengan
𝑝 > 0

6. Menggunakan garis bilangan di atas tampak bilangan-
bilangan yang berjarak kurang dari atau sama dengan 4
satuan dari 2 terletak pada interval −2 < < 6. Pada | −
𝑥 𝑥
2| < 4, bulatan pda bilangan −2 dan 6 kosong karena −2
dan 6 tidak termasuk penyelesaian.
Jadi, penyelesaian | − 2| < 4 adalah −2 < < 6
𝑥 𝑥

7. Bentuk | ( )| ≤ | ( )| | ( )| ≥ | ( )|
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
Cara yang digunakan untuk menyelesaikan adalah menguadratkan kedua
ruas pertidaksamaan.
Contoh. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |
2 + 3| ≤ | + 4|
𝑥 𝑥
Penyelesaian
|2 + 3| ≤ | + 4|
𝑥 𝑥
|2 + 3|
𝑥 2
≤ | + 4|
𝑥 2
(2 + 3)
𝑥 2
≤ ( + 4)
𝑥 2
(2 + 3)
𝑥 2
− ( + 4)
𝑥 2
≤ 0
((2 + 3) + ( + 4))((2 + 3) − ( + 4)) ≤ 0
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(3 + 7)( − 1) ≤ 0
𝑥 𝑥

8. Pembuat nol
(3 + 7) = 0 ( − 1) = 0
𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥
Garis bilangan
Uji = 0
𝑥
(3.0 + 7) (0 − 1) = (7)(−1) = −7 < 0 atau negatif
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |2𝑥
+ 3| ≤ | + 4| adalah
𝑥

9. Bentuk | ( )| ≤ ( ) | ( )| ≥ ( )
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
Contoh. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan |2 − 3| ≥ − 1
𝑥 𝑥
Penyelesaian
|2 − 3| ≥ − 1
𝑥 𝑥 atau 2 − 3 ≥ − 1
𝑥 𝑥
2 − 3 ≤ −( − 1)
𝑥 𝑥 2 − ≥ −1 + 3
𝑥 𝑥
2 − 3 ≤ − + 1
𝑥 𝑥 ≥ 2
𝑥
2 + ≤ 1 + 3
𝑥 𝑥
3 ≤ 4
𝑥
≤
𝑥 4/3
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan diatas sebagai berikut:
a. |𝑓(𝑥)| < 𝑔(𝑥) ⇔ −𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)
b. |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) ⇔ −𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
c. |𝑓(𝑥)| > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) < −𝑔(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓(𝑥)
> 𝑔(𝑥)
d. |𝑓(𝑥)| ≥ 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ −𝑔(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓(𝑥) ≥
𝑔(𝑥)

10. Bentuk | ( )| + | ( )| ≤ atau | ( )| + | ( )| ≥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ
Contoh. Tentukan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan |2 +
𝑥 𝑥
1| ≥ 5 − |2 |
𝑥
Penyelesaian

11. Gabungan dari ketiga kasus diatas diperoleh
Jadi, bilangan real x yang memenuhi adalah

12. Pertidaksamaan nilai mutlak yang diubah ke dalam
bentuk persamaan kuadrat
Contoh. Jika |2 − 3|
𝑥 2
− |2 − 3| ≥ 20,
𝑥
tentukan nilai yang memenuhi
𝑥
Penyelesaian
Misalkan = |2 − 3| maka pertidaksamaan
𝑝 𝑥
menjadi 𝑝2
− ≥ 20
𝑝
𝑝2
− − 20 ≥ 0
𝑝
( + 4)( − 5) ≥ 0
𝑝 𝑝
Pembuat nol:
𝑝 + 4 = 0 atau − 5 = 0 = −4 atau = 5
𝑝 𝑝 𝑝

13. Nilai yang memenuhi adalah ≤ −4 atau ≥ 5
𝑝 𝑝 𝑝
|2 − 3| ≤ −4 atau |2 − 3| ≥ 5
𝑥 𝑥
Untuk |2 − 3| ≤ −4 tidak ada nilai yang memenuhi
𝑥 𝑥
Untuk |2 − 3| ≥ 5
𝑥
2 − 3 ≤ −5 atau 2 − 3 ≥ 5
𝑥 𝑥
2 ≤ −5 + 3atau 2 ≥ 5 + 3
𝑥 𝑥
2 ≤ −2 atau 2 ≥ 8
𝑥 𝑥
≤ −
𝑥 1 atau ≥ 4
𝑥
Jadi, nilai yang memenuhi adalah ≤ −1 atau ≥ 4
𝑥 𝑥 𝑥