Uploaded byssuser96a7452
152 views

ΑΠΙΘΑΝΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ.pdf

Η ανάπτυξη των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής μέσα από την επίλυση διάσημων προβλημάτων !

Embed presentation

Download to read offline
ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΕΛΙΣΣΙΑ 2022 Απίθανες Ιστορίες Πιθανοτήτων και Στατιστικής
Το βιβλίο αυτό αφιερώνεται στους συναδέλφους που είχα την Τύχη να συνεργαστώ στα 38 χρόνια παρουσίας στις σχολικές αίθουσες …
Απίθανες Ιστορίες - Περιεχόμενα Εισαγωγή Στα χρόνια των δεισιδαιμονιών Σελ. 1 Τα τυχερά παιχνίδια Σελ. 3 Ιστορίες για τους : Gerolamo Cardano (1501-1576), Galileo Galilei (1554-1642) , Pierre de Fermat (1608-1665), Blaise Pascal (1623-1662) Απίθανες Ιστορίες : Το lotto της Γένοβας – Το πρόβλημα του Cardano – Το πρόβλημα του Δούκα της Τοσκάνης – Το πρόβλημα του Chevalier de Méré – Το πρόβλημα των πόντων Η εποχή των ασφαλιστηρίων Σελ. 11 Ιστορίες για τον : Christiaan Huygens (1629-1695) Απίθανες Ιστορίες : Το προσδοκώμενο κέρδος στη ρουλέτα – Δίκαιο παιχνίδι με ζάρια - Gambler’s ruin Μια οικογένεια γεμάτο Μαθηματικούς Σελ. 15 Ιστορίες για τους : Jacob Bernoulli (1655-1705), Daniel Bernoulli (1700-1782) Απίθανες Ιστορίες : Το χρυσό θεώρημα - Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης Η Γαλλική σχολή Σελ. 18 Ιστορίες για τους : Abraham de Moivre (1667-1754), Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) , Adrien-Marie Legendre (1752-1833) , Simeon Denis Poisson (1781-1840) , Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) Απίθανες Ιστορίες : Η λοταρία του Βολτέρου - Η μέτρηση της γης – Θανατηφόρα ατυχήματα με άλογα – Ο βομβαρδισμός του Λονδίνου – Η βελόνα του Buffon – ο υπολογισμός του «π»
Η αντιστροφή Σελ. 28 Ιστορίες για τον : Thomas Bayes (1701–1761) Απίθανες Ιστορίες : Ο αλκοολικός ασθενής - Τα spam Μετρήσεις και σφάλματα Σελ. 30 Ιστορίες για τον : Johann Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) Απίθανες Ιστορίες : Η στατιστική στις μετρήσεις - Η εξαφάνιση της Δήμητρας Μια εικόνα χίλιες λέξεις Σελ. 35 Ιστορίες για τους : William Playfair (1759-1823) , Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) , Florence Nightingale (1820–1910) , William Farr (1807-1883) , Charles Joseph Minard (1781-1870) , Charles James Booth (1840-1916) Βίο-στατιστική Σελ. 42 Ιστορίες για τους : Sir Francis Galton (1822-1911) , Karl Pearson (1857-1936) , William Sealy Gosset (1876-1937) Απίθανες Ιστορίες : Η σοφία του πλήθους - Galton board Wir müssen Wissen - Wir werden Wissen Σελ. 47 Ιστορίες για τους : David Hilbert (1862-1943) , Richard von Mises (1883-1953) , William Feller (1906 –1970) Απίθανες Ιστορίες : Το πρόβλημα των γενεθλίων – Stars and Bars Η Ρώσικη σχολή Σελ. 52 Ιστορίες για τους : Pafnuty Lzozich Chebyshev (1821-1894) , Andrey Andreyevich Markov (1856-1922) , Jerzy Neyman (1894-1981) , Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) Απίθανες Ιστορίες : Το πρόβλημα του μετεωρολόγου – Τα διαστήματα εμπιστοσύνης
Ο Θεός δεν παίζει ζάρια Σελ. 57 Ιστορίες για τους : Max Planck (1858-1947) , Werner Karl Heisenberg (1901-1976) , Albert Einstein (1879-1955) Απίθανες Ιστορίες : Η αρχή της απροσδιοριστίας Οι δάσκαλοι του 20ου αιώνα Σελ. 59 Ιστορίες για τους : George Undy Yule ( 1871-1951) , Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956) , Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) , George Waddel Snedecor (1881-1974) , John von Neumann (1903-1957) , Stanisław Marcin Ulam (1909-1984) , Paul Erdos (1913-1996) Απίθανες Ιστορίες : infinite monkey theorem – Έλεγχος παραγωγής - Υπολογισμός του π – Οι αριθμοί Erdős - Το πρόβλημα της Marilyn Σύντομες ιστορίες Σελ. 66 Ιστορίες για τους : Walter Andrew Shewhart (1891–1967) , Ο John Wilder Tukey (1915-2000) , George Horace Gallup (1901–1984) , Nathaniel (Nate) Read Silver (1978- ) Απίθανες παρανοήσεις Σελ. 68 Πιθανές πλάνες Σελ. 70 Απίθανες Ιστορίες : The Gambler's fallacy - The prosecutors fallacy - Base rate fallacy Επίλογος Σελ. 73 Βιβλιογραφία Σελ. 75
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 1 Tα χρόνια των δεισιδαιμονιών … Οι πρώτες αναφορές στην τύχη και το τυχαίο γεγονός, γίνεται σε σχέση με το παιχνίδι των κύβων (ζάρια) και τα αποτελέσματά του. Σε Αιγυπτιακή τοιχογραφία του 1250 π.Χ. παρουσιάζεται μία γυναίκα να ρίχνει ζάρια σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι που λεγόταν “senet”. Σε ένα μελανόμορφο αγγείο παρουσιάζονται οι Αχιλλέας και Αίας να παίζουν κύβους. Το καλύτερο αποτέλεσμα του παιχνιδιού ήταν η «Αφροδίτη» - εξάρες ενώ η χειρότερη ήταν ο «κύων» - άσσοι. Στην Αθηναϊκή πολιτεία η επιλογή των βουλευτών γινόταν με κλήρο, θεωρώντας προφανώς ότι όλοι οι Αθηναίοι πολίτες είναι ικανοί να ασκήσουν τα καθήκοντα αυτά. Το 400 π.Χ. ο Δημόκριτος διατυπώνει την άποψη ότι η τύχη είναι έννοια που πηγάζει από την ανικανότητα των ανθρώπων να κατανοήσουν την φύση των γεγονότων. Ενώ ο Πλάτων στο έργο του Φαίδων αναφέρει « τα επιχειρήματα που βασίζουν τις αποδείξεις τους σε πιθανότητες είναι αλαζονικά, και … αν κανείς δεν προστατεύεται απ’ αυτά, εύκολα μπορεί να εξαπατηθεί και στη γεωμετρία και αλλού». Στη συνέχεια ο Αριστοτέλης διατυπώνει την άποψη ότι υπάρχουν τρεις κατηγορίες γεγονότων. Τα βέβαια που πραγματοποιούνται αναγκαία, τα πιθανά που συμβαίνουν κάποιες φορές και τα μη προβλέψιμα που συμβαίνουν από καθαρή τύχη και καταλήγει στο «τοῦ δ᾿ ἀπὸ τύχης οὐκ ἔστιν ἐπιστήμη δι᾿ ἀποδείξεως» Σε αντίθεση με άλλους κλάδους των μαθηματικών, στην αρχαία Ελλάδα δεν αναπτύχθηκαν οι Πιθανότητες. Ήταν πεποίθηση ότι το τυχαίο γεγονός είναι θέλημα των θεών και δεν εξαρτάται από την βούληση των ανθρώπων. Οπότε δεν μπορούμε να το καθορίσουμε και άρα ούτε και να το μετρήσουμε έστω και ως προσδοκία. Συγχρόνως δεν είχε ακόμα αναπτυχθεί ο κατάλληλος συμβολισμός που είναι αναγκαίος για την ανάπτυξη του όποιου λογισμού. Το 44 π.Χ. ο Ρωμαίος φιλόσοφος, Marcus Tullius Cicero (Κικέρων) στο βιβλίο του, De Divinatione (Σχετικά με τη μαντεία), παρουσιάζει δύο άτομα να μαλώνουν για τον ρόλο των θεών στα τυχερά παιχνίδια λέγοντας « … τίποτε δεν είναι τόσο απρόβλεπτο όσο η ρίψη των ζαριών, κάθε άνθρωπος που παίζει συχνά κάποια στιγμή θα ρίξει εξάρες πιθανόν και δύο και τρεις φορές, αυτό συμβαίνει με παρέμβαση των θεών παρά από καθαρή τύχη …»
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 2 Στη Ρωμαϊκή περίοδο η τύχη λατρεύεται στο πρόσωπο της Fortuna. Είναι γνωστό το επεισόδιο όπου η απόφαση για να διαβεί ο Ιούλιος Καίσαρας το 49 π.Χ. τον ποταμό Ρουβικώνα γίνεται ρίχνοντας ζάρια, αναφωνώντας την περίφημη έκφραση : «Ο κύβος ερρίφθη - alea jacta est » Το 840 μ.Χ. ο μαθηματικός Al Kindy (840 μ.Χ.) χρησιμοποιεί ανάλυση συχνοτήτων για να «σπάσει» μυστικούς κώδικες. Η μέθοδος του βασίζεται στο γεγονός ότι στις περισσότερες γλώσσες κάποια γράμματα ή συνδυασμοί γραμμάτων εμφανίζονται συχνότερα από κάποια άλλα. Με τον υπολογισμό της κατανομής συχνοτήτων των γραμμάτων μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού στα κρυπτογραφημένα κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται. Μια νέα έννοια αυτή της σχετικής συχνότητας κάνει δειλά την εμφάνισή της. Πολύ αργότερα επί Γουλιέλμου του Κατακτητή (1069 μ.Χ.) διενεργείται απογραφή του πληθυσμού, των κατοικιών, των καλλιεργήσιμων εδαφών και βοσκοτόπων. Τα αποτελέσματα καταγράφονται στο χειρόγραφο δημόσιο έγγραφο "Domesday" που θεωρείται η πρώτη συστηματική απογραφή στον Δυτικό κόσμο. Η επόμενη συστηματική καταγραφή στοιχείων είναι η Nuova Cronica ( Νέα χρονικά). Ξεκίνησε να γράφεται από τον τραπεζίτη Giovanni Villani (1280- 1348) και συνεχίστηκε από τον αδελφό του Mateo και τον ανιψιό του. Θεωρείται η πρώτη συστηματική στατιστική καταγραφή δεδομένων στην ιστορία. Εκεί καταγράφονται τα δημόσια κτίρια και οι εκκλησίες της Φλωρεντίας, αλλά και στατιστικές πληροφορίες για τον πληθυσμό, νόμους και διατάγματα, στοιχεία για το εμπόριο της πόλης και την εκπαίδευση. Περιγράφει επίσης καταστροφές και λιμούς, πλημμύρες και πυρκαγιές που συνέβησαν. Σε αυτό γίνεται και αναφορά για την πανδημία του Μαύρου θανάτου του 1348. Βιβλίο αποκρυπτογράφησης του Αλ-Κιντί
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 3 Τα τυχερά παιχνίδια … Στην Γένοβα τον 17ο αιώνα η εκλογή στα κρατικά αξιώματα γινόταν με κλήρωση ανάμεσα των μελών των οικογενειών της πόλης. Συγκεκριμένα η εκλογή των πέντε γερουσιαστών γινόταν με κλήρωση ανάμεσα σε ενενήντα υποψηφίους. Η εκλογή επαναλαμβανόταν κάθε εξάμηνο. Ήταν συνήθεια ανάμεσα στους πολίτες της πόλης να στοιχηματίζουν στην εκλογή των πέντε αντιπροσώπων. Έτσι καθιερώθηκε το λαχείο της Γένοβας που θεωρείται ο πρόδρομος του lotto και των άλλων λαχείων. Η πιθανότητα του ενδεχομένου να πετύχαινε κάποιος και τους πέντε εκλεγέντες από τους ενενήντα με την σειρά που θα έβγαιναν ήταν 1 5.273.912.160 ,ενώ αν στοιχημάτιζαν στο να βρουν τους πέντε γερουσιαστές ανεξαρτήτου σειράς ήταν 1 43.949.268 . Τα στοιχήματα αυτά είχαν μεγάλη απόδοση και στα 150 χρόνια ύπαρξης του λαχείου κανείς δεν κέρδισε σε αυτές τις δύο κατηγορίες. Μέσα σε αυτό το κλίμα τζόγου … εμφανίζεται ο πρώτος σύγχρονος πρωταγωνιστής των Απίθανων Ιστοριών μας και είναι ο … Gerolamo Cardano (1501-1576) που γεννήθηκε στην Παβία και το 1520 σπούδασε στο πανεπιστήμιο της πόλης Φιλοσοφία. Το 1525 αποκτά διδακτορικό δίπλωμα στην Ιατρική και αργότερα καταλαμβάνει την έδρα των Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Μιλάνο. Το πάθος του ήταν ο τζόγος και γι’ αυτό ήταν και πάντα χρεωμένος. Το πάθος του σε συνδυασμό με τις μαθηματικές ικανότητές του τον οδήγησαν στη συγγραφή το 1564 του βιβλίου Lider de ludo aleae (Βιβλίο τυχερών παιχνιδιών) που εκδόθηκε μετά τον θάνατό του, το 1663.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 4 Το βιβλίο αυτό αποτελεί τη πρώτη συστηματική μελέτη της θεωρίας των πιθανοτήτων. Σε αυτό ασχολείται με τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης όπως αυτό της ρίψης δύο ή τριών ζαριών, αναλύοντας ουσιαστικά την έννοια της σχετικής συχνότητας πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου. Αν και στα γραπτά του δεν εμφανίζεται ο όρος πιθανότητα χρησιμοποιεί το κλάσμα με αριθμητή το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου και παρονομαστή το πλήθος όλων των δυνατών εκβάσεων ενός πειράματος τύχης ως ένα μέτρο προσδοκίας πραγματοποίησης του ενδεχομένου. Παρουσίασε τον πολλαπλασιαστικό νόμο στα ανεξάρτητα ενδεχόμενα και κατέγραψε σωστά τον δειγματικό χώρο της ρίψης δύο ή τριών ζαριών χρησιμοποιώντας τον για στοιχήματα που έχουν να κάνουν με την πρόβλεψη μιας συγκεκριμένης τιμής του αθροίσματος των ενδείξεών τους. Ας ασχοληθούμε με ένα από τα προβλήματα που αναφέρει στο Lider de ludo aleae. « Πόσες φορές πρέπει να ρίξουμε ένα (αμερόληπτο) ζάρι ώστε η πιθανότητα να έρθει ένα τουλάχιστον 6 να είναι μεγαλύτερη του 50%» Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα ρίχνοντας μία φορά ένα ζάρι να μην έρθει 6 είναι 5 6 . Τα αποτελέσματα των ν ρίψεων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους άρα θα ισχύει ο πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων. Οπότε η πιθανότητα να μην έρθει καμία φορά 6 ρίχνοντας ένα ζάρι ν φορές είναι ν 5 ( ) 6 . Άρα η πιθανότητα να έρθει μία τουλάχιστον φορά 6 ρίχνοντας ν φορές ένα ζάρι θα είναι ν 5 1 ( ) 6 − . Θέλουμε ν ν 5 1 5 1 1 ( ) ( ) ...ν 3,8017 6 2 6 2 −      , άρα χρειαζόμαστε 4 ρίψεις. Μετά από 100 περίπου χρόνια … προβλήματα σχετικά με τυχερά παιχνίδια συνεχίζουν να απασχολούν και να επιλύονται από μεγάλες προσωπικότητες των μαθηματικών … Βρισκόμαστε στο 1620 και ο Μεγάλος Δούκας της Τοσκάνης είχε αδυναμία στα τυχερά παιχνίδια, τι αδυναμία δηλαδή σωστό πάθος. Ένα από τα αγαπημένα παιχνίδια της αυλής του ήταν να ρίχνει τρία ζάρια και να αθροίζει τις ενδείξεις τους. Όποιος από τους δύο παίχτες έφερνε μεγαλύτερο άθροισμα κέρδιζε. Μία παραλλαγή ήταν να στοιχηματίζουν στα πιθανά αθροίσματα. Σαν μεγάλος παίκτης που ήταν παρατήρησε ότι το άθροισμα 10 εμφανιζόταν συχνότερα από ότι το άθροισμα 9.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 5 Την παρατήρησή του αυτή την ανέφερε στον Μαθηματικό του Πανεπιστημίου της Πίζας, που χρηματοδοτούσε ο οποίος δεν ήταν άλλος παρά ο Galileo Galilei (1554-1642). Αυτός χρησιμοποιώντας τις μαθηματικές ικανότητές του λύνει το πρόβλημα συγγράφοντας και μία μελέτη με τίτλο «Περί μιας ανακάλυψης για τα ζάρια» (Sopra le Scoperte dei Dadi). Στη μελέτη αυτή εξηγεί ότι το να φέρει κανείς 10 ρίχνοντας τρία ζάρια γίνεται με έξι τρόπους τους εξής : 6+3+1 ή 6+2+2 ή 5+4+1 ή 5+3+2 ή 4+4+2 ή 4+3+3. Όμοια και το άθροισμα 9 γίνεται με έξι τρόπους, τους εξής : 6+2+1 ή 5+3+1 ή 5+2+2 ή 4+4+1 ή 4+3+2 ή 3+3+3 . Όμως η έκβαση (6+3+1) , να φέρουμε δηλαδή ένα 6 , ένα 3 και ένα 1 γίνεται με έξι διαφορετικούς τρόπους τους εξής : (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) και (6,3,1). Αντίστοιχα η έκβαση (6+2+2) γίνεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους … (2,2,6) , (2,6,2) και (6,2,2). Αν σκεφτούμε παρόμοια και για τις άλλες τέσσερις περιπτώσεις , καταλήγουμε ότι έχουμε 27 διαφορετικούς τρόπους να φέρουμε ζάρια με άθροισμα των ενδείξεών τους ίσο με 10. Στην περίπτωση όπου θέλουμε άθροισμα 9 θα έχουμε έξι περιπτώσεις για τα αθροίσματα 6+2+1 , 5+3+1 , 4+3+2 , τρεις περιπτώσεις για τα αθροίσματα 5+2+2 και 4+4+1 και μία περίπτωση για το άθροισμα 3+3+3. Άρα συνολικά 25 διαφορετικές περιπτώσεις. Με αυτές τις σκέψεις ο Γαλιλαίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, αν ρίξουμε τρία ζάρια, το άθροισμα 10 είναι 27/25 φορές, δηλαδή περίπου 1,08 φορές πιο πιθανό από το 9. Ουσιαστικά λύνει το πρόβλημα βρίσκοντας σωστά το σύνολο των δυνατών διαφορετικών τρόπων πραγματοποίησης του κάθε ενδεχομένου. Παρόμοια ιστορία είναι και αυτή του ιππότη de Méré … o Ιππότης είχε πολλά να σκεφθεί …, τι ήταν πιο συμφέρον, να στοιχηματίσει, ότι ένας παίκτης θα φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι ή ότι θα φέρει μία τουλάχιστον φορά εξάρες ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια; Ο Chevalier de Méré γνωστό μούτρο όλων των υπόγειων του Παρισιού γνώριζε ότι η πιθανότητα να φέρει 6 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6, ενώ να φέρει κανείς εξάρες ρίχνοντας δύο ζάρια 1/36, οπότε η λογική του έλεγε ότι ,αν κάποιος ρίξει ένα ζάρι 4 φορές, έχει 4/6 πιθανότητες να φέρει ένα τουλάχιστον 6. Ενώ αν ρίξει κάποιος δύο ζάρια 24 φορές, θα έχει 24/36 πιθανότητες να φέρει εξάρες. Άρα ,οι πιθανότητες των δύο περιπτώσεων πρέπει να είναι ίδιες. Η εμπειρία όμως έδειχνε άλλα, η περίπτωση του ενός ζαριού υπερτερούσε από αυτή των δύο ζαριών, που έκανε λάθος;
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 6 Το πρόβλημά του το είπε στον πιο διάσημο Μαθηματικό της Γαλλίας, , που δεν ήταν άλλος από τον Pierre de Fermat (1608-1665). Ο Fermat δεν ήταν κατά επάγγελμα Μαθηματικός στην πραγματικότητα ήταν δικαστικός, όμως ανάμεσα στις δίκες και στις καταδίκες αυτό που τον ξεκούραζε ήταν να ασχολείται με προβλήματα. Συγχρόνως τις όποιες ανακαλύψεις του τις ανακοίνωνε και σε άλλους συναδέλφους του χωρίς πάντα να δίνει τις απαντήσεις, αλλά απλώς να ανακοινώνει το πρόβλημα καθώς επίσης την επιτυχή έκβαση της προσπάθειάς του. Με τον τρόπο αυτό ένας άτυπος δημιουργικός ανταγωνισμός είχε αναπτυχθεί ανάμεσα στην κοινότητα των μαθηματικών. Για το πρόβλημα του Chevalier de Méré ο Fermat το ανακοίνωσε στον Blaise Pascal (1623-1662), και από τις επιστολές που αντάλλαξαν εξελίχθηκε ένα νέος τομέας των σύγχρονών μαθηματικών ο Λογισμός των Πιθανοτήτων. Για το πρόβλημα αυτό πρέπει και πάλι να βρούμε όλους τους δυνατούς τρόπους πραγματοποίησης του κάθε ενδεχομένου καθώς επίσης και όλους τους δυνατούς τρόπους έκβασης του πειράματος τύχης που πραγματοποιούμε. Για την περίπτωση της ρίψης 4 ζαριών … Πόσες δυνατούς συνδυασμούς ενδείξεων έχουμε ; 64 διαφορετικούς τρόπους Από τους οποίους στους 54 τρόπους δεν εμφανίζεται καθόλου το 6 ως ένδειξη, άρα οι τρόποι όπου εμφανίζεται ένα τουλάχιστον 6 θα είναι 64-54 τρόποι. Άρα η πιθανότητα ένας παίκτης να φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι είναι 4 4 4 6 5 0,517747 6 −  Ρίχνοντας 2 ζάρια 24 φορές ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 3624 διαφορετικούς τρόπους, από αυτούς οι 3524 δεν περιέχουν διπλό 6. Άρα η πιθανότητα να φέρουμε μία τουλάχιστον φορά εξάρες ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια είναι 24 24 24 36 35 0,491404 36 −  ο Antoine Gombaud (ο ιππότης de Méré ) έθεσε υπόψιν του Pascal και ένα δεύτερο πρόβλημα. Το πρόβλημα των πόντων. Δύο παίκτες παίζουν (ας πούμε) «ξερή». Νικητής θα είναι εκείνος που θα κερδίσει 5 παιχνίδια. Για να γίνει ενδιαφέρον το παιχνίδι στην αρχή ο κάθε ένας ποντάρει από 10 ευρώ και ο νικητής θα πάρει τα 20 ευρώ. Όμως το παιχνίδι διακόπτεται τη στιγμή όπου ο πρώτος παίκτης (Α) χρειάζεται να κερδίσει 2 ακόμα παιχνίδια και ο δεύτερος (Β) 3. Πως πρέπει να μοιραστούν τα 20 ευρώ; Για την επίλυση του προβλήματος αυτού οι Fermat και Pascal αντήλλαξαν το 1654 επιστολές όπου σε αυτές παρουσίαζαν τις λύσεις τους. Παρακάτω θα τις παρουσιάσουμε χρησιμοποιώντας σύγχρονο συμβολισμό που δεν υπήρχε εκείνη την εποχή.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 7 Καταρχήν και οι δύο κατάλαβαν ότι αυτό που πρέπει να μας απασχολεί είναι η εξέλιξη του παιχνιδιού και όχι οι παρτίδες που ήδη έχουν γίνει. Συγχρόνως και οι δύο συμφώνησαν ότι ο αριθμός παιχνιδιών που πρέπει να γίνουν θα είναι 2+3-1=4. Ο Fermat καταγράφει όλες τις δυνατές εξελίξεις του παιχνιδιού γράφοντας ουσιαστικά τον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης. Έτσι έγραφε σε κατακόρυφες στήλες τον νικητή των επόμενων παιχνιδιών, η όλη παρουσίαση ήταν περίπου όπως παρακάτω … Α Α Α Α Α Α Α Α Β Β Β Β Β Β Β Β Α Α Α Α Β Β Β Β Α Α Α Α Β Β Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Μετά σημείωνε ανάλογα με την εξέλιξη του παιχνιδιού ποιος είναι τελικά ο νικητής ( ας θυμηθούμε ότι ο Α – 1ος παίκτης χρειάζεται να νικήσει σε 2 ακόμα παιχνίδια και ο Β – 2ος παίκτης χρειάζεται να νικήσει 3 ακόμα παιχνίδια) Με την λογική αυτή, θα μετρήσουμε ότι σε 11 παιχνίδια βγαίνει νικητής ο Α και σε 5 ο Β. Άρα τα 20 ευρώ θα πρέπει να μοιραστούν σε μία αναλογία 11:5. Δηλαδή ο Α θα πάρει 11 20 13,75 16  = ευρώ και ο Β θα πάρει 5 20 6,25 16  = ευρώ. Ο Pascal με ενθουσιασμό δέχεται την λύση του Fermat, αλλά σημειώνει ότι η μέθοδος επίλυσης είναι προβληματική αν οι παίκτες είναι περισσότεροι από 2, και ότι δύσκολα μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση όπου χρειάζονται περισσότερα παιχνίδια για να ολοκληρωθεί ο αγώνας. Για να προσεγγίσουμε τις σκέψεις του ας παρατηρήσουμε τον παρακάτω πίνακα … Παρτίδες που νικά ο Α Παρτίδες που νικά ο Β Νικητής παιχνιδιού 0 4 Β 1 3 Β 2 2 Α 3 1 Α 4 0 Α Με πόσους τρόπους είναι νικητής ο Β; Με όσους τρόπους όπου ο Α δεν νικά σε καμιά παρτίδα ή νικά σε μία, δηλαδή … με 1 κ 0 4 4 4 5 0 1 κ =       + = =             
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 8 Αντίστοιχα με πόσους τρόπους είναι νικητής ο Α; Με όσους τρόπους όπου ο Β δεν νικά σε κανένα παιχνίδι ή νικά σε ένα ή δύο, δηλαδή με … 2 κ 0 4 4 4 4 11 0 1 2 κ =         + + = =                  Επειδή ο Pascal είχε ήδη κατασκευάσει το περίφημο τρίγωνό του κατάλαβε την ομοιότητα των παραπάνω με τους συντελεστές της διωνυμικής κατανομής. Για όσους δεν γνωρίζουν το τρίγωνο του Pascal ας μελετήσουν το παρακάτω σχήμα όπου παρουσιάζονται κάποια από τα αναπτύγματα της μορφής ν (α β) + : (α β) + = 0 1 (α β) + = 1 α β  +  1 1 (α β) + = 2 α αβ β  +  +  2 2 1 2 1 (α β) + = 3 α α β αβ β  +  +  +  3 2 2 3 1 3 3 1 (α β) + = 4 α α β α β αβ β  +  +  +  +  4 3 2 2 3 4 1 4 6 4 1 (α β) + = 5 α α β α β α β αβ β  +  +  +  +  +  5 4 3 2 2 3 4 5 1 5 10 10 5 1 Ο Pascal παρατηρώντας τις παραπάνω ισότητες διαπίστωσε ένα μοτίβο που αναπτύσσεται στους συντελεστές ( κόκκινο χρώμα). Ανακάλυψε λοιπόν τον τρόπο που κάθε σειρά σχηματίζεται με τη βοήθεια της προηγούμενης της. Ο κανόνας αυτός είναι απλός … «κάθε αριθμός προκύπτει ως άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από πάνω του στην προηγούμενη γραμμή» Μετά την παρατήρησή του αυτή ήταν σε θέση να γράψει την γενική μορφή του αναπτύγματος ν (α β) + με ν¥ , δηλαδή … ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν (α β) α α β α β ... α β αβ β ν ν ν − − − −             + = + + + + + +             − −             1 2 2 2 2 1 0 1 2 2 1
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 9 Ή χρησιμοποιώντας κατάλληλο συμβολισμό : ν ν ν κ κ κ ν (α β) α β κ − =   + =      0 Όμως πως γίνεται η τυποποίηση του προβλήματος με την βοήθεια του τριγώνου ; Παρατηρείστε το παρακάτω σχήμα … Τρίγωνο Αριθμός παιχνιδιών που υπολείπονται Μπορείτε να βρείτε τον τρόπο ; Για τη λύση που δόθηκε από τους Fermat και Pascal διατυπώθηκε η ένσταση ότι στον δειγματικό χώρο προσμετρούνται παιχνίδια που δεν υπάρχουν. Για παράδειγμα η εξέλιξη Α-Α-Α-Α της λύσης του Fermat δεν υπάρχει αφού ο Α θέλει μόνο δύο παιχνίδια για να κερδίσει. Επομένως ο σωστός δειγματικός χώρος θα είναι … Ω={ΑΑ , ΑΒΑ , ΑΒΒΑ , ΑΒΒΒ , ΒΑΑ , ΒΑΒΑ , ΒΑΒΒ , ΒΒΑΑ , ΒΒΑΒ , ΒΒΒ } Οπότε σε 6 περιπτώσεις κερδίζει ο Α και σε 4 ο Β, άρα το στοίχημα θα πρέπει να μοιραστεί σε μία αναλογία 6:4 και όχι 11:5. 0 1 2 4 5 3 6 7
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 10 Ο Pascal αντικρούοντας τον ισχυρισμό υποστήριξε ότι … «Αν και είναι δυνατό το παιχνίδι να κριθεί σε 2 ή και σε 3 παιχνίδια – όχι κατά ανάγκη 4 – τα επιπλέον παιχνίδια δεν παίζουν κανένα ρόλο στην ανάδειξη του νικητή. Παίζουν όμως ρόλο στην αναγωγή των απλών ενδεχομένων σε ισοπίθανα. » Εννοώντας ότι αν δουλέψουμε με τον δειγματικό χώρο των 10 απλών ενδεχομένων τότε η μοιρασιά των χρημάτων θα πρέπει να γίνει με βάση τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) για τις οποίες θα ισχύουν : 1 1 1 1 1 1 11 Ρ(Α) 4 8 16 8 16 16 16 = + + + + + = και 1 1 1 1 5 Ρ(Β) 16 16 16 8 16 = + + + = , αφού τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου έχουν διαφορετική πιθανότητα. Οπότε και πάλι η μοιρασιά θα γίνει με την αναλογία Ρ(Α) 11 Ρ(Β) 5 = Με το πρόβλημα αυτό είχαν ασχοληθεί και πριν από τους Fermat και Pascal οι : Luca Pacioli (1445- 1517) , Gerolano Cardano (1501-1576) , Niccolo Fontana (Tartaglia) (1499-1557) , Galileo Galilei (1564,1642) και Thomas Cataker (1574-1674), λύνοντας όμως το πρόβλημα λάθος. Η αλληλογραφία Fermat – Pascal με αφορμή ένα δευτεροκλασάτο πρόβλημα έδειξε ότι τα μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό ενός μελλοντικού γεγονότος, στην διαχείριση κινδύνου και τελικά στον ασφαλιστικό κλάδο, που την εποχή εκείνη λόγω του διηπειρωτικού εμπορίου ανθούσε.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 11 Η εποχή των ασφαλιστηρίων … Πρωταγωνιστής στην ιστορία μας ένας Ολλανδός Φυσικός, Αστρονόμος, εφευρέτης και Μαθηματικός. Ο Christiaan Huygens (1629-1695). Θεωρείται ένας από τους ιδρυτές της Μαθηματικής Φυσικής. Το 1657 γράφει το πρώτο βιβλίο για τις πιθανότητες με τίτλο “De ratiociniis in ludo aleae” ( Περί υπολογισμών στα τυχερά παιχνίδια). Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται ο βασικός λογισμός των Πιθανοτήτων καθώς και οι έννοιες , προσδοκώμενη τιμή και δίκαιο στοίχημα. Για παράδειγμα στην ρουλέτα έχουμε 18 υποδοχές μαύρες όπου είναι σημειωμένοι οι περιττοί αριθμοί από το 1 ως το 35 , 18 κόκκινες όπου είναι σημειωμένοι οι άρτιοι αριθμοί από το 2 ως το 36 και 1 πράσινη που αντιστοιχεί στον αριθμό 0 . Αν κάποιος στοιχηματίσει 100 ευρώ στο μαύρο τότε το προσδοκώμενο κέρδος είναι 18 19 100 ( 100) 2,702 37 37  +  − = − , δηλαδή αν αποφασίσεις να παίξεις ρουλέτα περίμενε να χάνεις 2,7 ευρώ σε κάθε παιχνίδι. Δεύτερο παράδειγμα …Ρίχνουμε δύο ζάρια και υπολογίζουμε την διαφορά των δύο ενδείξεων. Αν η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 κερδίζω 10 ευρώ, αν είναι 3 ή 4 ή 5 χάνω 10 ευρώ. Τι λέτε παίζουμε ; Για το συγκεκριμένο παιχνίδι έχουμε ότι .. Τα δυνατά αποτελέσματα από τη ρίψη δύο ζαριών παρουσιάζονται στο διπλανό πίνακα …
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 12 … οπότε αν υπολογίσουμε την διαφορά των δύο ενδείξεων θα καταλήξουμε στον δειγματικό χώρο που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα. Μετρήστε πόσες φορές η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 και πόσες 3 ή 4 ή 5. Τι πιστεύετε; Είναι τελικά δίκαιο ένα τέτοιο στοίχημα; Ας μιλήσουμε όμως πιο διεξοδικά για το βιβλίο του “De ratiociniis in ludo aleae” Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται 14 προτάσεις και στο τέλος δίνονται 5 προβλήματα προς λύση. Το βιβλίο μεταφράστηκε στα Αγγλικά το 1714 με τίτλο «The Value of all Chances in Games of Fortune » Το πιο διάσημο πρόβλημα είναι το 5ο που έχει μείνει γνωστό ως Gambler’s ruin – Πλάνη του τζογαδόρου. Ας το δούμε σε μια πιο απλή εκδοχή του. Δύο παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι. Ο Α παίκτης έχει 1 € και ο Β 2€. Όποιος από τους δύο χάνει δίνει στον νικητή 1 €. Ο παίκτης Α είναι καλύτερος από τον Β, κερδίζει 2 στα 3 παιχνίδια. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος χάσει όλα τα χρήματά του. Ποια η πιθανότητα να κερδίσει ο Α; Ας εξετάσουμε το πρόβλημα γενικότερα και ας υποθέσουμε ότι … ο Α στην αρχή του παιχνιδιού έχει ν € και ο σκοπός του είναι να αποκτήσει ν+μ €, με πιθανότητα να κερδίσει ένα γύρο p οπότε θα έχει ν+1 € και να χάσει q, οπότε θα έχει ν-1 € . Ας συμβολίσουμε με Ρν την πιθανότητα να κερδίσει ο Α ενώ έχει ν €, αντίστοιχα Ρν+1 την πιθανότητα να κερδίσει ο Α όταν έχει ν+1 € κ.ο.κ. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία αναδρομική σχέση ανάμεσα στις πιθανότητες … Ρν , Ρν-1 , Ρν+1 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα … Α « κερδίζει το παιχνίδι ο Α» με Ρ(Α)=Ρν Α1 « κερδίζει το παιχνίδι ο Α ενώ έχει χάσει τον 1ο γύρο » Α2 « κερδίζει το παιχνίδι ο Α ενώ έχει κερδίσει τον 1ο γύρο » Κ « ο Α κερδίζει τον 1ο γύρο» Χ « ο Α χάνει τον 1ο γύρο»
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 13 Ισχύει ότι : ν 1 2 1 2 ν 1 ν 1 P Ρ(Α) Ρ(Α Α ) Ρ(Α ) Ρ(Α ) Ρ(Α Χ) Ρ(Α Κ) Ρ(Α / Χ) Ρ(Χ) Ρ(Α / Κ) Ρ(Κ) Ρ q P p − + = =  = + =  +  = =  +  =  +  Άρα ν ν 1 ν 1 Ρ q Ρ p Ρ − + =  +  με 0 Ρ 0 = ( αφού όταν ο Α έχει 0 € η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι είναι 0) και ν μ Ρ 1 + = ( αφού όταν ο Α έχει ν+μ € κερδίζει με βεβαιότητα το παιχνίδι) Για το παράδειγμά μας ( όπου ο Α έχει 1€ και ο αντίπαλος 2€ και όπου, ο Α κερδίζει ένα παιχνίδι με πιθανότητα 2 3 και χάνει με πιθανότητα 1 3 ) θα έχουμε διαδοχικά … ν ν 1 ν 1 1 2 Ρ Ρ Ρ 3 3 − + =  +  και 0 Ρ 0 = , 3 Ρ 1 = για ν=1 έχουμε 1 0 2 1 2 1 2 2 Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ (1) 3 3 3 = +  = και για ν=2 έχουμε 2 1 3 2 1 1 2 1 2 Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ (2) 3 3 3 3 = +  = + από το (Σ) των (1) και (2) έχουμε τελικά ότι 1 4 Ρ 7 = Στην γενική περίπτωση οι σχέσεις : ν ν 1 ν 1 Ρ q Ρ p Ρ − + =  +  με 0 Ρ 0 = και ν μ Ρ 1 + = δίνουν n ν ν μ q 1 ( ) p Ρ (1) q 1 ( ) p + − = − για q p  και ν ν Ρ (2) ν μ = + για 1 q p 2 = = Ας σταθούμε στον πρώτο τύπο (1) και φανταστείτε ότι βρίσκεστε στο καζίνο. Έχετε κάποια χρήματα “ν” και παίζετε με μικρότερη πιθανότητα από ότι το καζίνο να κερδίσετε ( ειδάλλως δεν θα λεγόταν καζίνο) , δηλαδή 1 q 2  , 1 p 2  και τα χρήματα που έχει στη διάθεσή του το καζίνο πολύ περισσότερα από τα δικά σας. Η πιθανότητα να χρεοκοπήσει το καζίνο από σας είναι μηδαμινή. Ενώ αντίθετα το καζίνο μπορεί να σας καταστρέψει.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 14 Τελειώνοντας την αναφορά μας στον Huygens θα πρέπει να αναφερθούμε στην ενασχόλησή του, μετά από την παρότρυνση του αδελφού του, σχετικά με το προσδόκιμο ζωής και αυτό για να υπολογιστούν τιμές των ασφαλιστηρίων ζωής που είχαν αρχίσει να εμφανίζονται στο Λονδίνο του 17ου αιώνα. Ο Huygens στηρίχθηκε στο βιβλίο Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality του Άγγλου δημογράφου John Graunt (1620 – 1674). Ο John Graunt ως ειδικός επιδημιολόγος κατάρτησε στατιστικούς πίνακες της δημόσιας υγείας του Λονδίνου. Με χρήση απλών μαθηματικών μοντέλων ήταν σε θέση να κάνει εκτιμήσεις σχετικά με το μέγεθος του πληθυσμού του Λονδίνου και της Αγγλίας, τα ποσοστά γεννήσεων, τα ποσοστά θνησιμότητας ανδρών και γυναικών, την άνοδο και εξάπλωση ασθενειών, καταρτίζοντας ουσιαστικά πίνακες θνησιμότητας και δείκτες συσχέτισης ηλικίας και θνησιμότητας. Ο Huygens καταπιάστηκε με τον υπολογισμό του προσδόκιμου ζωής, προσομοιάζοντας το ως ένα τυχερό παιχνίδι και αναζητώντας την προσδοκώμενη τιμή του. Η μελέτη του θεωρείται πρωτοπόρα στην διαχείριση ασφαλιστηρίων κινδύνου και στον υπολογισμό των ασφαλίστρων.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 15 Μια οικογένεια γεμάτο Μαθηματικούς ! «Το να εικάζει κανείς για κάτι, σημαίνει το να υπολογίζει την πιθανότητά του. Συνεπώς η τέχνη του εικάζειν, ή στατιστική τέχνη, ορίζεται ως η τέχνη του όσο το δυνατόν ακριβέστερου υπολογισμού της πιθανότητας των πραγμάτων έτσι ώστε όταν κρίνουμε και ενεργούμε , να μπορούμε πάντοτε να επιλέγουμε ή να ακολουθούμε εκείνα που φαίνονται καλύτερα, περισσότερο ικανοποιητικά , ασφαλέστερα και περισσότερο μελετημένα». Jacob Bernoulli Ο όρος «θεωρία πιθανοτήτων» ως ένας κλάδος των μαθηματικών στον οποίο περιλαμβάνονται τα όσα έχουν δημιουργηθεί από τους Cardano, Fermat, Pascal και Huygens είναι δημιούργημα μιας οικογένειας Ελβετών μαθηματικών, της οικογένειας Bernoulli. Πλέον η λέξη πιθανότητα αποκτά την σημερινή σημασία της ως μία αριθμητική τιμή που εκφράζει ένα μέτρο προσδοκίας πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου που εμφανίζεται στην εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Ο πρώτος Bernoulli με τον οποίο θα ασχοληθούμε είναι ο Jacob Bernoulli (1655-1705).Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας από το 1687 μέχρι τον θάνατό του. Από τους πρώτους γνώστες του Διαφορικού Λογισμού όπως αυτός παρουσιάστηκε από τον Leibniz. Σε συνεργασία με τον αδελφό του Johann Bernoulli συγγράφειτοβιβλίο του διαφορικού λογισμού " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " (1684). Η σχέση μεταξύ των δύο αδελφών μετατράπηκε σύντομα σε ανταγωνιστική μέχρι το 1697 όπου οι δρόμοι τους χωρίζουν. Το βιβλίο του Ars Conjectandi, που δημοσιεύθηκε το 1713, από τον ανιψιό του Nicolaus Bernoulli, μετά τον θάνατό του θεωρείται ένα από τα πιο σημαντικά συγγράμματα θεωρίας πιθανοτήτων. Στο βιβλίο αυτό διατυπώνεται το λεγόμενο «χρυσό θεώρημα» ή «ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών» με τον οποίο αποδεικνύει το προφανές (;) ότι η σχετική συχνότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου πλησιάζει στην εκτιμώμενη πιθανότητα όσο αυξάνουμε τον αριθμό των δοκιμών που πραγματοποιούμε. Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαίωσε με έναν πολύ βαρετό τρόπο στα χρόνια που ακολούθησαν ένας φυλακισμένος … Ο John Edmund Kerrich (1903–1985) ήταν μαθηματικός που κατά την διάρκεια της φυλάκισής του στον β’ παγκόσμιο πόλεμο πέταξε ένα νόμισμα 10.000 φορές και μέτρησε τον αριθμό των κεφαλών που εμφανίστηκαν. Ο αριθμός ήταν 5.067 τιμή που πλησιάζει την ιδεατή του 50%.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 16 Μία διαγραμματική παρουσίαση του νόμου των μεγάλων αριθμών για το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος παρουσιάζεται παρακάτω … Τον Jacob τον προβλημάτισε επίσης το ερώτημα « πως τα αποτελέσματα που παίρνουμε από ένα δείγμα μπορούμε να τα γενικεύσουμε στον πληθυσμό». Γι’ αυτό εισήγαγε την έννοια της a priori (εκ των προτέρων) πιθανότητας που υπολογίζεται πριν την πραγματοποίηση του γεγονότος και της a posteriori ( εκ των υστέρων ) πιθανότητας που υπολογίζεται μετά την πραγματοποίηση του γεγονότος. Ένα από τα αγαπημένα νοητικά πειράματα που έκανε ήταν αυτό της κάλπης που περιέχει ας πούμε 3000 λευκά και 2000 μαύρα σφαιρίδια. Από την κάλπη βγάζουμε , με επανατοποθέτηση, μία σφαίρα και σημειώνουμε το χρώμα της. Το ερώτημα είναι πόσες δοκιμές πρέπει να κάνουμε ώστε η a posteriori πιθανότητα να πάρουμε λευκό σφαιρίδιο να πλησιάζει στην a priori πιθανότητα του 60% ; Ο επόμενος Bernoulli που θα μας απασχολήσει είναι ο Daniel Bernoulli (1700-1782) , ανιψιός του Jacob. Ασχολήθηκε με τη Φυσική , τα Μαθηματικά , τη Στατιστική , τις Πιθανότητες και τα Οικονομικά. Στο βιβλίο του «Specimen theoriae novae de mensura sortis » (Έκθεση μιας νέας θεωρίας για τη μέτρηση του κινδύνου), ασχολείται με το «Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης», ένα κλασικό πρόβλημα πιθανοτήτων που θα παρουσιάσουμε. Σε μια λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό των α € και μπορείς να παίξεις το εξής παιχνίδι. Ρίχνεις ένα νόμισμα και κερδίζεις αν έρθει κορώνα. Το ποσό που κερδίζεις προσδιορίζεται ως εξής. Αν έρθει κορώνα στην 1η ρίψη παίρνεις 1 €, αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην 2η ρίψη παίρνεις 2 €, αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην 3η ρίψη παίρνεις 22 € και γενικά αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην ν ρίψη παίρνεις 2ν-1 €. Ποιο πρέπει να είναι το ποσό α που δίνει ο παίκτης στη λέσχη κατά την είσοδο, ώστε το παιχνίδι να είναι δίκαιο. Δηλαδή το προσδοκώμενο όφελος λέσχης και παίκτη να είναι το ίδιο.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 17 Ας δούμε τη διαδικασία στην εξέλιξή της. Στην πρώτη ρίψη του νομίσματος η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι 1/2 . Επειδή το ποσό που θα πάρει είναι 1 € το προσδοκώμενο όφελος για τον παίκτη είναι το 1/2 του 1 € δηλαδή 50 λεπτά. Στην δεύτερη ρίψη ο παίκτης κερδίζει αν έχει φέρει αρχικά γράμματα και μετά κορώνα. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 1 1 1 2 2 4  = . Επειδή το όφελος θα είναι 2 € το προσδοκώμενο όφελος είναι 1 1 2 4 2  = € δηλαδή και πάλι 50 λεπτά. Όμοια στην τρίτη ρίψη θα έχουμε κέρδος αν στις δύο πρώτες φέρει γράμματα και στην 3η κορώνα. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 1 1 1 1 2 2 2 8   = . Επειδή το όφελος θα είναι 2 2 4 = € , επομένως το προσδοκώμενο όφελος είναι 1 1 4 8 2  = €, δηλαδή και πάλι 50 λεπτά. Τι συμβαίνει στην ν-ιοστή ρίψη; Κέρδος θα έχουμε όταν στις πρώτες ν-1 ρίψεις ο παίκτης έχει φέρει γράμματα και στην ν-ιοστή κορώνα. Με ποια πιθανότητα μπορεί να γίνει αυτό; Οι τρόποι για να φέρουμε γράμματα στις πρώτες ν-1 ρίψεις είναι ν 1 1 ( ) 2 − και η πιθανότητα για να έρθει μετά κορώνα είναι 1 2 , άρα οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να εξελιχθεί το παιχνίδι για να έχουμε κέρδος στην ν-ιοστή ρίψη είναι ν 1 ν ν 1 1 1 1 2 2 2 2 −      = =         . Τότε το ποσό που θα κερδίσει ο παίκτης είναι ν 1 2 − € , οπότε το προσδοκώμενο όφελος είναι ν 1 ν 1 1 2 2 2 −  = € , δηλαδή πάλι 50 λεπτά. Επειδή το παιχνίδι μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον και επειδή η συνολική προσδοκία είναι το άθροισμα των προσδοκιών στο κάθε στάδιο του παιχνιδιού θα έχουμε ότι : η προσδοκία οφέλους του παίκτη από την συμμετοχή του στο παιχνίδι είναι : κ 1 1 2  = = +   . Επειδή θέλουμε να είναι δίκαιο το παιχνίδι, άρα το προσδοκώμενο όφελος παίκτη και λέσχης να είναι το ίδιο, τα λεφτά που πρέπει να πληρώνει στην είσοδο της λέσχης ο παίκτης είναι … ένα άπειρο ποσό χρημάτων !
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 18 Η Γαλλική σχολή … Ο François-Marie Arouet (1694–1778), γνωστός με το όνομά Voltaire γνωρίστηκε το 1728 με τον Γάλλο μαθηματικό Charles Marie de La Condamine ο οποίος του πρότεινε να συμμετέχουν στην λοταρία που διοργάνωνε τότε το Γαλλικό δημόσιο. Η Γαλλική κυβέρνηση στις αρχές του 18ου αιώνα είχε εκδώσει ομόλογα τα οποία στην συνέχεια αναγκάστηκε να τα «κουρέψει» με αποτέλεσμα να θεωρείται από τις αγορές αναξιόπιστη οπότε τα νέα ομόλογα που σκόπευε να εκδώσει δεν είχαν ζήτηση. Για να προσελκύσει επενδυτές το Γαλλικό δημόσιο διοργάνωσε λοταρία στην οποία θα μπορούσαν να συμμετέχουν μόνο κάτοχοι παλαιών τίτλων. Όμως η λοταρία είχε στον σχεδιασμό της ένα μεγάλο λάθος. Το χρηματικό βραβείο που πρόσφερε στον τυχερό υπερκάλυπτε την αξία των λαχνών. Έτσι ο φιλόσοφος και ο φίλος του μαθηματικός αφού αγόρασαν όσα περισσότερα υποβαθμισμένα ομόλογα μπορούσαν, αγόρασαν στην συνέχεια τους περισσότερους λαχνούς της λοταρίας και προφανώς κέρδισαν. Ο καθένας τους κέρδισε περί το 1.000.000 γαλλικά φράγκα !. Εκείνη την εποχή μπορεί τα τυχερά παιχνίδια να ήταν δημοφιλή, ακόμα και ως κρατικές λοταρίες, αλλά τα κριμένα μαθηματικά των πιθανοτήτων ήταν κτήμα μόνο ορισμένων μυημένων της μαθηματικής κοινότητας. Μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών κάνει δυναμικά την εμφάνιση τους στην εξέλιξη του κλάδου αυτού της μαθηματικής επιστήμης. Ξεκινάμε την σύντομη αναφορά μας στην Γαλλική σχολή του 18ου αιώνα με τον Abraham de Moivre (1667-1754). Γνωστός για την συνεισφορά του στους μιγαδικούς και τις πιθανότητες. Το 1667 συγγράφει βιβλίο πιθανοτήτων με τίτλο «The Doctrine of Chances». Το βιβλίο κυκλοφόρησε στα Λατινικά και στα Αγγλικά. Σε μεταγενέστερη έκδοση του βιβλίου (1733) συμπεριέλαβε και την μελέτη του σχετικά με την προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής μέσω μιας καμπύλης που την ονομάζουμε κανονική κατανομή (normal distribution) ή bell curve – λόγω του σχήματός της. Χρησιμοποιώντας μεθόδους του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού κατέληξε στην συνάρτηση 2 2 (x μ) 2σ 1 f(x) e σ 2π − − =  μετη οποία μπορεί πλέον να μελετήσει μία μεταβλητή της οποίας οι τιμές κατανέμονται συμμετρικά γύρω από την μέση τιμή (μ) της σε ένα εύρος περίπου έξι τυπικών αποκλίσεων (σ) .
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 19 Η μορφή της κατανομής είναι …. Τα κουτσομπολιά της εποχής λένε ότι την χρησιμότητα της καμπύλης αυτής την επιβεβαίωσε ο de Moivre σε διάφορους τύπους τυχερών παιχνιδιών. Για να είμαστε δίκαιοι όμως, σε ένα άρθρο με τίτλο "Annuities upon Lives" παρουσιάζει την κανονική κατανομή του ποσοστού θνησιμότητας σε σχέση με την ηλικία ενός ατόμου. Την καμπύλη την χρησιμοποιεί για να υπολογίσει τα έσοδα που παράγονται από της ετήσιες πληρωμές στο πλαίσιο ενός ασφαλιστηρίου σε συνάρτηση με την ηλικία του συμβαλλόμενου. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα της κανονικής κατανομής είναι η συμμετρίας της γύρω από τον αριθμητικό μέσο μ και η ποσόστωση των τιμών της γύρω από αυτόν. Συγκεκριμένα το 68% περίπου των τιμών βρίσκονται στο διάστημα [ σ,σ] − , το 95% περίπου των τιμών βρίσκονται στο διάστημα [ 2σ,2σ] − και το 99,7% στο [ 3σ,3σ] − , όπου σ η τυπική απόκλιση των τιμών της μεταβλητής. Ανάλογα με τις τιμές των βασικών παραμέτρων μ και σ η μορφή της κατανομής είναι διαφορετική αλλά παρόμοια, σαν μία καμπάνα (bell curve). Συγχρόνως με χρήση του τύπου : x μ z σ − = προκύπτει κανονική κατανομή με μέσο μ=0 και τυπική απόκλιση σ=1, που λέγεται τυποποιημένη κανονική κατανομή. Η εύρεση της πιθανότητας ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου μιας μεταβλητής που οι τιμές της κατανέμονται κανονικά γίνεται με ένα απλό αλγόριθμό με την βοήθεια της τυποποιημένης κατανομής. Στο βιβλίο αυτό δεν θα ασχοληθούμε με ασκήσεις τέτοιους είδους αλλά με παραδείγματα θα δούμε πόσο συχνά συναντάμε την κανονική κατανομή στην μελέτη καθημερινών καταστάσεων.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 20 Ας ξεκινήσουμε … Αν μελετήσουμε ένα μεγάλο δείγμα ενός πληθυσμού ως προς το ύψος. Θα παρατηρήσουμε ότι οι τιμές κατανέμονται κανονικά. Ο de Moivre βρέθηκε μπροστά στην κανονική κατανομή όταν μετρούσε τα αποτελέσματα των ρίψεων δύο ζαριών. Έτσι αν ρίξουμε, ας πούμε 1000 φορές δύο ζάρια θα διαπιστώσουμε ότι : η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 2 ή 12 είναι περίπου 0,2%, η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 3 ή 11 είναι περίπου 5% , άθροισμα 4 ή 10 περίπου 8%, άθροισμα 5 ή 9 πιθανότητα είναι περίπου 11% , 6 ή 8 με πιθανότητα 14% και τέλος ενδείξεις με άθροισμα 7 με πιθανότητα 16,6%. Παρατηρείστε το διπλανό διάγραμμα για να δείτε πως εμφανίζεται η κανονική κατανομή. Μελετώντας τις διακυμάνσεις των μετοχών σε ένα χρηματιστήριο, θα διαπιστώσουμε ότι οι αλλαγές στις ημερολογιακές τιμές των δεικτών τιμών και της απόδοσης των μετοχών σχηματίζουν κανονική κατανομή. Η σωστή εύρεση των δεικτών μ και σ οδηγεί τους οικονομικούς αναλυτές σε συμπεράσματα σχετικά με την αναμενόμενη απόδοση και κίνδυνο των μετοχών. Ο πρίγκηπας του παραμυθιού αν γνώριζε λίγο στατιστική θα βοηθιόταν αρκετά στην αναζήτηση της σταχτοπούτας. Οι πωλήσεις γυναικείων παπουτσιών σε συνάρτηση με το μέγεθός είναι μία κανονική κατανομή. Αυτό συμβαίνει διότι τα περισσότερα φυσικά χαρακτηριστικά των ανθρώπων , άρα και το μέγεθος των ποδιών, κατανέμονται κανονικά.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 21 Το φυσιολογικό βάρος γέννησης ενός νεογνού κυμαίνεται από 2,5 έως 3,5 κιλά. Η πλειοψηφία των νεογνών έχει φυσιολογικό βάρος γέννησης, ενώ μόνο ένα μικρό ποσοστό των νεογνών έχει βάρος υψηλότερο ή χαμηλότερο από το φυσιολογικό. Δηλαδή το βάρος γέννησης ακολουθεί την καμπύλη κανονικής κατανομής. Η αρτηριακή πίεση σε έναν ανδρικό πληθυσμό σε σχέση με την ηλικία κατανέμεται κανονικά με μέσο όρο περίπου 80 και τυπική απόκλιση 20. Ο επόμενος μεγάλος στοχαστής των Μαθηματικών είναι ο Pierre-Simon, μαρκήσιος de Laplace (1749-1827). Μηχανικός, Μαθηματικός, Φυσικός, Αστρονόμος, Φιλόσοφος. Το 1812 δημοσιεύει την «Théorie analytique des probabilités» στο οποίο παρουσιάζει μεθόδους και προβλήματα πιθανοτήτων, αναπτύσσοντας παράλληλα στατιστικές μεθόδους και εφαρμογές. Στο βιβλίο του αυτό γράφει … « … η θεωρία πιθανοτήτων είναι η κοινή λογική που έχει αναχθεί σε αριθμητικούς υπολογισμούς …μας βοηθάει να εκτιμήσουμε με ακρίβεια αυτά που ένας κοινός νους αισθάνεται ενστικτωδώς, χωρίς συχνά να μπορεί να τα αιτιολογήσει … Η επιστήμη αυτή που γεννήθηκε από τη μελέτη των τυχερών παιχνιδιών, θα γίνει το πιο σημαντικό πεδίο της ανθρώπινης γνώσης … τα σημαντικότερα ερωτήματα της ζωής είναι ουσιαστικά προβλήματα πιθανοτήτων».
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 22 Δίνει τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, δηλαδή : σε ένα πείραμα τύχης με πεπερασμένο δειγματικό χώρο Ω και ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δίνεται από τον τύπο : πλήθος στοιχείων του Α Ν(Α) Ρ(Α) πλήθος στοιχείων του Ω Ν(Ω) = = Παρουσιάζεται το κεντρικό οριακό θεώρημα. Το θεώρημα αυτό πρωτοπαρουσιάστηκε από τον De Moivre στο «The Doctrine of Chances» χωρίς όμως να κάνει αίσθηση διότι το χρησιμοποίησε για να βρει τον αριθμό των κεφαλών που προκύπτουν από τις πολλαπλές ρίψεις ενός νομίσματος, τετριμμένο θέμα για την εποχή . Ο Laplace στο «Théorie Analytique des Probabilités» το χρησιμοποίησε για να προσεγγίσει την διωνυμική κατανομή με την κανονική κατανομή. Τι λέει όμως το κεντρικό οριακό θεώρημα; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πληθυσμό μεγέθους Ν και τον εξετάζουμε ως προς ένα χαρακτηριστικό του, ως προς το οποίο έχει μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. Τότε αν πάρουμε όλα τα δείγματα του πληθυσμού μεγέθους ν<Ν, η κατανομή των μέσων όλων των δειγμάτων είναι κανονική με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ ν . Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πακέτο 100.000 μετοχών με μέση αξία 3€ και τυπική απόκλιση σ=1€. Αν πάρουμε ένα δείγμα μεγέθους 100 μετοχών τότε δεν γνωρίζουμε πόσο κοντά είναι ο μέσος του δείγματος με τον μέσο του πληθυσμού μ, αλλά γνωρίζουμε ότι η κατανομή των μέσων όλων των δυνατών δειγμάτων μεγέθους 100 θα δώσει μέσο 3€ και τυπική απόκλιση 0,1€. Το θεώρημα αυτό όπως θα δούμε παρακάτω αποτελεί τη βάση της εκτιμητικής στατιστικής. Ο τρίτος μεγάλος της παρέας των Γάλλων Μαθηματικών είναι ο Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Η πιο σημαντική συνεισφορά του στο κομμάτι μαθηματικών που εξετάζουμε είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων «méthode des moindres carrés». Τη μέθοδο αυτή την δημοσίευσε ως παράρτημα το 1806 σε βιβλίο που διαπραγματευόταν τις τροχιές των κομητών. Τι λέει όμως η μέθοδος αυτή;
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 23 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε μία σχέση εξάρτησης ανάμεσα σε δύο μεταβλητές y (εξαρτημένη μεταβλητή ) και x (ανεξάρτητη μεταβλητή) που περιγράφουν ένα φαινόμενο. Το μόνο που γνωρίζουμε είναι μία σειρά από πειραματικές τιμές των μεγεθών. Αποτυπώνουμε τα ζεύγη (x,y) των τιμών αυτών σε σύστημα συντεταγμένων και ο στόχος είναι να προσδιορίσουμε την μορφή της άγνωστης μαθηματικής σχέσης y=f(x) που ταιριάζει καλύτερα στα πειραματικά δεδομένα μας. Από την φύση του νέφους των σημείων (x,y) που έχουμε μπορούμε να εικάσουμε την φύση της μαθηματικής σχέσης. Έτσι μπορεί να είναι … γραμμική του τύπου y ax b = + , εκθετική του τύπου b y ax = , πολυωνυμική του τύπου n o 1 n y a a x ... a x = + + + , λογαριθμική του τύπου y a b lnx = +  . Η εύρεση των άγνωστων συντελεστών γίνεται απαιτώντας το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων (των εκτιμώμενων τιμών μέσω της συνάρτησης που υποθέτουμε ότι ισχύει και των τιμών που έχουμε μέσω των πειραματικών παρατηρήσεων μας) να γίνεται ελάχιστο. Ο Legendre χρησιμοποίησε την μέθοδο στη προσπάθεια του να ορίσει τη νέα μονάδα μήκους. Στην περίοδο της Γαλλικής Επανάστασης ως ένα μέτρο ορίστηκε το 1 40.000.000 της περιφέρειας της γης. Αλλά πόσο είναι η περιφέρεια της γης; Ας σημειώσουμε ότι ήταν γνωστό ότι το σχήμα της γης δεν ήταν σφαιρικό οπότε η μέθοδος μέτρησης κατά Ερατοσθένη δεν ήτο πλέον αποδεκτή. Το 1750 κοντά στην Ρώμη ο μαθηματικός Ruggero Boscovich εκτελεί μία σειρά μετρήσεων του μήκους μεσημβρινών που αντιστοιχούν σε μία μοίρα γεωγραφικού πλάτους. Έτσι αποτυπώνει μια σειρά ζευγών (x,y) - x σε μοίρες γεωγραφικού πλάτους και y το μήκος του αντίστοιχου τόξου κατά μήκος του μεσημβρινού. Για παράδειγμα η μελέτη του Boscovich θα κατέληγε σε ένα σχήμα όπως το διπλανό, όπου …η ευθεία γραμμή αντιπροσωπεύει την προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων για τα μετρούμενα δεδομένα, επιτρέποντας στον μαθηματικό να προβλέψει τα μήκη τόξων σε άλλα γεωγραφικά πλάτη και έτσι να υπολογίσει το σχήμα της Γης.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 24 "Η ζωή είναι καλή μόνο για δύο πράγματα: να κάνεις μαθηματικά και να τα διδάσκεις." S.D.Poisson Ο επόμενος μαθηματικός της παρέας των Γάλλων Μαθηματικών είναι ο Simeon Denis Poisson (1781-1840). Εργάστηκε σε πολλούς τομείς , στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, στον λογισμό των μεταβολών, στην αναλυτική μηχανική, στον ηλεκτρισμό και μαγνητισμό, στη θερμοδυναμική αλλά για τις ανάγκες της εργασίας θα αναφερθούμε στην κατανομή που πήρε το όνομά του. Την κατανομή Poisson. Πρώτη αναφορά της κατανομής γίνεται στο έργο του « Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile »(1837). Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της πιθανότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος που συμβαίνει κατά τη διάρκεια μιας συγκεκριμένης χρονικής περιόδου . Ο τύπος της πιθανότητας κατανομής Poisson είναι: x λ λ P(X x) e x! − = =  όπου λ η μέση πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου που έχουμε εμπειρικά από τις παρατηρήσεις μας Για να χρησιμοποιήσουμε την κατανομή Poisson θα πρέπει : 1. Έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα μέτρησης του αριθμού εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. 2. Τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία και ανεξάρτητα. Αυτόσημαίνει ότι η εμφάνιση ενός συμβάντος δεν επηρεάζει ένα άλλο συμβάν. 3. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι η ίδια σε όλο το χρονικό διάστημα. Παρακάτω θα αναφερθούμε στην εφαρμογή της κατανομής Poisson που έγινε από τον Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868-1931) Ρώσο Οικονομολόγο και Στατιστικολόγο και αναφερόταν στον αριθμό των στρατιωτών του Πρωσικού στρατού που σκοτώθηκαν κατά λάθος από κλωτσιά αλόγου. Από δεδομένα 20 ετών ο Bortkiewicz γνώριζε ότι από 200 περιπτώσεις ατυχημάτων με άλογα υπήρχαν 122 θανατηφόρα ατυχήματα. Δηλαδή από τα δεδομένα είχαμε 122 λ 0,61 200 = = . Θα μπορούσαμε να προβλέψουμε με ασφάλεια την πιθανότητα θανατηφόρων ατυχημάτων x για οποιαδήποτε τιμή του x;
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 25 Χρησιμοποιώντας την τιμή λ=0,61, ο Bortkiewicz εφάρμοσε τον τύπο Poisson για να προβλέψει την πιθανότητα αριθμού θανάτου, x , με x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και συγχρόνως υπολόγισε και τον αριθμό των ατυχημάτων αν είχαμε θεωρητικώς 200 συνολικά ατυχήματα. Οι υπολογισμοί παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Ακολούθως παρατήρησε ότι ο εκτιμώμενος αριθμός ατυχημάτων (τρίτη στήλη) με τον αντίστοιχο αριθμό ατυχημάτων που είχε στη διάθεσή του από τις παρατηρήσεις των 20 ετών ( τέταρτη στήλη) που διέθετε συνέπιπταν ! Αυτό που έδειξε είναι ότι ο αριθμός των στρατιωτών που σκοτώθηκαν από κλωτσιά αλόγου ακολουθεί την κατανομή Poisson, οπότε με βάση την κατανομή μπορούν να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για μελλοντικά γεγονότα. Επίσης επειδή τα γεγονότα στη κατανομή είναι τυχαία και ανεξάρτητα θα πρέπει και τα πραγματικά συμβάντα να θεωρηθούν ως τυχαία. Ακολούθως θα μελετήσουμε μία άλλη Απίθανη ιστορία που πραγματοποιείται στο Λονδίνο στα μέσα του 1940 όταν οι Γερμανικοί πύραυλοι σκορπούσαν τον τρόμο στην Βρετανική πρωτεύουσα. Με βάση κάποιες παρατηρήσεις εκείνη την εποχή, ορισμένες περιοχές χτυπήθηκαν πιο συχνά από άλλες. O βρετανικός στρατός ήθελε να επιβεβαιώσει εάν οι στόχοι είχαν επιλεγεί ή ο βομβαρδισμός είχε γίνει τυχαία. Τότε ανέλαβε δράση ο R.D.Clarke στατιστικολόγος. Αφού χώρισε την περιοχή που βομβαρδιζόταν με ένα πλέγμα (grid) 576 τετραγώνων μέτρησε τον συνολικό αριθμό βομβών, που ήταν 538. Εργαζόμενος παρόμοια όπως στο προηγούμενο παράδειγμα υπέθεσε ότι οι πύραυλοι έπεσαν τυχαία και εφάρμοσε για 538 λ 0,934 576 = = την κατανομή Poisson καταλήγοντας σε συμπεράσματα που παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Αριθμοί θανάτων (x) Πιθανότητα Ρ(Χ=x) Αριθμός ατυχημάτων Αριθμός καταγεγραμμένων ατυχημάτων 0 0,5434 108,68 109 1 0,3315 66,3 65 2 0,1011 20,22 22 3 0,0205 4,1 3 4 0,0032 0,64 1 5 0,0004 0,08 0 6 0,0001 0,02 0
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 26 Αυτό που παρατήρησε ο Clark είναι ότι οι συχνότητες χτυπημάτων ακολουθούν την κατανομή Poisson. Οπότε η επιλογή των σημείων βομβαρδισμού έγινε τυχαία και όχι από κάποιο σχεδιασμό. Δίνοντας συγχρόνως και ένα στατιστικό εργαλείο χρήσιμο για τον στρατηγικό σχεδιασμό της βρετανικής αεράμυνας. Κλείνοντας την σύντομη αναφορά μας στην Γαλλική σχολή θα αναφερθούμε σε ένα Μαθηματικό της περιόδου που είναι γνωστός όχι για την έρευνα του στο χώρο των πιθανοτήτων και της στατιστικής αλλά για ένα πρόβλημα που έχει το όνομά του. Πρόκειται για τον Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) και το πρόβλημα είναι το πρόβλημα της βελόνας (Buffon's needle problem - 1777) Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα χαρτί με γραμμές που απέχουν μεταξύ τους ας πούμε μήκος 1cm και μία βελόνα που και αυτή έχει μήκος 1cm . Ρίχνουμε από ένα ύψος την βελόνα. Ποια η πιθανότητα η βελόνα να τέμνει κάποια από τις γραμμές του τετραδίου. (Στη γενίκευσή του το πρόβλημα υποθέτει ότι το μήκος της βελόνας είναι l και η απόσταση των γραμμών d με l<d) Ονομάζουμε d την απόσταση του μέσου της βελόνας από την πλησιέστερη γραμμή και θ τη γωνία με την οποία πέφτει τυχαία η βελόνα με θ [0,π]  . Στο σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος με απλή τριγωνομετρία υπολογίζουμε ότι η (κατακόρυφη) κάθετος πλευρά του είναι ίση με 1 ημθ 2  . Η βελόνα θα τέμνει μία από τις γραμμές αν 1 d ημθ 2  (1) . Πότε θα συμβαίνει αυτό; Αριθμός χτυπημάτων (x) Πιθανότητα Ρ(Χ=χ) Εκτιμώμενος αριθμός τετραγώνων στο πλέγμα με x χτυπήματα Πραγματικός αριθμός τετραγώνων στο πλέγμα με x χτυπήματα 0 0,39298 226,74 229 1 0,36704 211,39 211 2 0,17141 98,54 93 3 0,05337 30,62 35 4 0,01246 7,14 7 Από 5 και πάνω 0,00233 1,57 1
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 27 Σχεδιάζουμε την συνάρτηση 1 y ημθ 2 = με θ [0,π]  . Γραφικά η λύση της (1) εκφράζεται από το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και τον άξονα x’x. Το οποίο είναι π π 0 0 1 1 Ε ημθdθ [ συνθ] 1 2 2 = = − =  και επομένως η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο είναι : Ε 1 2 Ρ 0,6366197 Εμβαδόν ορθογωνίου 0,5 π π = = =   (Το πρόβλημα στην περίπτωση όπου η απόσταση των γραμμών είναι d και το μήκος της βελόνας l η τιμή της πιθανότητας είναι 2 l Ρ d π  =  ) Για το πρόβλημα αυτό πρέπει να τονίσουμε ότι συναντάμε για πρώτη φορά τον δειγματικό χώρο και το ενδεχόμενο του πειράματος τύχης να εκφράζονται γεωμετρικά ως εμβαδά, επίσης παρατηρείστε, πως στον προσδιορισμό της πιθανότητας, υπεισέρχεται η σταθερά «π»! Η εμφάνιση της σταθεράς «π» στο πρόβλημα της βελόνας οδήγησε τον Ιταλό Μαθηματικό Mario Lazzarini το 1901 να εκτελέσει το εξής πείραμα … Σε ένα χαρτί με γραμμές πέταξε 3.550 φορές μία βελόνα που ο λόγος l/d ήταν 3/5 και μέτρησε ότι η βελόνα τέμνει μια γραμμή 1356 φορές. Με τα δεδομένα αυτά κατέληξε στο συμπέρασμα 2 l 1356 2 3 21300 355 Ρ π 3,1415929204 π d 3550 π 5 6780 113  =  =   = =   Αντί της ακριβούς τιμής του «π» που είναι 3,1415926536 Αγαπητοί αναγνώστες δεν έχετε παρά να πειραματιστείτε και εσείς αν έχετε υπομονή για να προσδιορίσετε την σταθερά π …
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 28 Η αντιστροφή … Στη συνέχεια θα ξεκινήσουμε με μία διαπίστωση … «η πιθανότητα να υπάρχουν σύννεφα, δεδομένου ότι βρέχει δεν είναι η ίδια με την πιθανότητα να βρέχει, δεδομένου ότι υπάρχουν σύννεφα » Αν σας μπέρδεψα ας μιλήσουμε πρώτα για τον Thomas Bayes (1701–1761) και το περίφημο θεώρημά του … Ο Thomas Bayes ήταν Άγγλος φιλόσοφος και στατιστικολόγος. Δεν ήταν επαγγελματίας μαθηματικός και το θεώρημα στο οποίο θα αναφερθούμε δεν το δημοσίευσε ποτέ. Το γνωρίσαμε σε ένα πρόβλημα «αντίστροφης πιθανότητας» που παρουσιάστηκε από τον μαθηματικό Richard Price (1723-1791) στην Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου το1763 μετά τον θάνατο του Bayes. Με σύγχρονο συμβολισμό διατυπώνεται ως εξής : Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Α / Β) Ρ(Β) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α')   = =  +  Όπου Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β και Ρ(Α/Β) η πιθανότητα να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α, έχοντας δεδομένο ότι το ενδεχόμενο Β πραγματοποιείται και Ρ(Β/Α) το αντίθετο … Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Το τμήμα στατιστικής επεξεργασίας δεδομένων μιας κλινικής ηπατικών νοσημάτων έχει καταγράψει ότι για τα ενδεχόμενα : Α «ο ασθενής έχει ηπατικό πρόβλημα» και Β «ο ασθενής είναι αλκοολικός» οι πιθανότητες είναι Ρ(Α)=0,1 και Ρ(Β)=0,05 Επίσης μεταξύ των ασθενών με διαπιστωμένα ηπατικά προβλήματα 7 στους 100 ήταν αλκοολικοί, άρα Ρ(Β/Α)=0,07 Το ερώτημα είναι ποια είναι η πιθανότητα ένας αλκοολικός ασθενής να έχει ηπατικά προβλήματα ; Αναζητούμε την πιθανότητα Ρ(Α/Β) με την βοήθεια του θεωρήματος του Bayes έχουμε ότι : Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 0,07 0,1 Ρ(Α / Β) 0,14 Ρ(Β) 0,05   = = =
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 29 Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα που το συναντάμε χωρίς να το ξέρουμε σχεδόν καθημερινά όταν κοιτάμε τα email μας. Τα spam είναι τα ανεπιθύμητα emails. Κάθε υπηρεσία ηλεκτρονικού ταχυδρομείου έχει αναπτύξει λογισμικά εργαλεία με τα οποία φιλτράρουν από τα εισερχόμενα emails τα spam. Το φιλτράρισμα γίνεται εντοπίζοντας λέξεις κλειδιά που λόγω του καταγεγραμμένου ιστορικού μαρτυρούν ότι το email στο οποίο εμφανίζονται οι συγκεκριμένες λέξεις πρόκειται για ανεπιθύμητη αλληλογραφία. Υποθέτουμε ότι μετά από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι στα 3000 μηνύματα που φθάνουν καθημερινά σε ένα mail server τα 2000 είναι spam. Από αυτά τα 250 περιέχουν την λέξη «προσφορά», ενώ από τα 1000 κανονικά email περιέχουν την λέξη «προσφορά» τα 5. Η υπηρεσία έχει αναπτύξει λογισμικό με το οποίο όταν διαπιστωθεί η ύπαρξη της λέξης «προσφορά» το μήνυμα χαρακτηρίζεται ως ανεπιθύμητο. Να βρείτε ποια η πιθανότητα ένα μήνυμα που λαμβάνουμε και περιέχει τη λέξη «προσφορά» είναι πράγματι spam. Ας μελετήσουμε το διπλανό διάγραμμα … Σε αυτό αποτυπώνεται ότι : το ενδεχόμενο S«το email είναι spam» έχει πιθανότητα P(S)=2/3 ενώ το S’«το email δεν είναι spam» έχει πιθανότητα P(S’)=1/3 επίσης το ενδεχόμενο Offer/S«το email περιέχει τη λέξη offer ενώ είναι spam» έχει πιθανότητα P(O/S)=0,125 και το ενδεχόμενο Offer/S’«περιέχει τη λέξη offer ενώ δεν είναι spam» έχει πιθανότητα P(O/S’)=0,005 Αναζητούμε την πιθανότητα Ρ(S/O), σύμφωνα με τον νόμο του Bayes θα ισχύει ότι P(O / S) P(S) P(S / O) P(O)  = , όπου P(O) P(O / S) P(S) P(O / S') P(S') =  +  Σύμφωνα με τα δεδομένα μας έχουμε ότι 2 1 P(O) 0,125 0,005 0,085 3 3 =  +  = και τελικά 2 0,125 3 P(O / S) 0,98 0,085  = = Άρα η πιθανότητα ένα μήνυμα να περιέχει τη λέξη offer ενώ είναι spam είναι 98%.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 30 Μετρήσεις και σφάλματα … Βρισκόμαστε το 413 π.Χ. . Οι Πλαταιές πολιορκούνται από τους Λακεδαιμονίους. Πριν την μεγάλη επίθεση έπρεπε να μετρηθούν τα τείχη της πόλης ώστε να φτιαχτούν κατάλληλες σκάλες για την αναρρίχηση των στρατιωτών. Ο Θουκυδίδης αναφέρει ότι αυτό έγινε από τους επιτιθέμενους μετρώντας τον αριθμό των σειρών από τούβλα που είχαν τα τείχη από διαφορετικούς στρατιώτες. Η επικρατούσα τιμή χρησιμοποιήθηκε ως μέτρο ώστε πολλαπλασιάζοντας το με το ύψος του κάθε τούβλου να είναι δυνατή η εύρεση του ύψους των τειχών. Πολύ αργότερα το 1570 ο αστρονόμος Tycho Brahe (1546-1601) προσπαθεί να εκτιμήσει θέσεις και αποστάσεις αστέρων και πλανητών. Οι μετρήσεις χονδροειδής με τη βοήθεια του τηλεσκοπίου. Όσο και να προσπαθήσει ποτέ δεν καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα. Τι κάνει ; Μετρά και ξαναμετρά και τελικά χρησιμοποιεί τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών για να μειώσει τα πιθανά σφάλμα στις μετρήσεις των αποστάσεων μεταξύ των αστεριών και να φτιάξει τους αστρικούς χάρτες του. Η ιδέα λοιπόν της χρησιμοποίησης στατιστικών μεθόδων για τον υπολογισμό μεγάλων αποστάσεων δεν είναι καινούργια αλλά ο Μαθηματικός στον οποίο θα αναφερθούμε μετέτρεψε την επεξεργασία των παρατηρήσεων καιτην αντιμετώπιση των σφαλμάτων των όποιων μετρήσεων από ένα πρακτικό εργαλείο σε μία συνεπή μαθηματική θεωρία που οι πιθανότητες είναι στο επίκεντρό της. Μιλάμε φυσικά για τον πρίγκιπα των Μαθηματικών - Princeps mathematicorum (κορυφαίος των Μαθηματικών) τον Γερμανό Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Δεν υπάρχει τομέας της μαθηματικής επιστήμης που ο Gauss δεν έχει παράγει αξιόλογο έργο. Στην μελέτη μας αυτή όμως θα σταθούμε σε μία απίθανη ιστορία, αυτή του προσδιορισμού της τροχιάς του πλανήτη Δήμητρα το 1801.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 31 Τότε ήταν που ο Ιταλός αστρονόμος Giuseppe Piazzi (1746-1826) ανακάλυψε τον νάνο πλανήτη (πρόκειται για αστεροειδή) τον οποίο παρακολουθούσε για περισσότερο από ένα μήνα ή 3 περίπου μοίρες στον νυχτερινό ουρανό. Μετά η Δήμητρα εξαφανίστηκε πίσω από τον Ήλιο. Πότε και που θα εμφανιζόταν ξανά; Τα δεδομένα που είχε συλλέξει από τις παρατηρήσεις του αντιστοιχούσαν στο 1% της τροχιάς του πλανήτη. Μαθηματικά εργαλεία που μπορούσαν να υπολογίσουν την εξίσωση της τροχιάς έχοντας γνωστό μόνο το 1% της καμπύλης δεν υπήρχαν. Η Δήμητρα είχε μάλλον χαθεί. Σύμφωνα με τον νόμο του Titius-Bode ( Το όνομα οφείλεται στους Γερμανούς αστρονόμους Johann Daniel Titius και Johann Elert Bode ) η απόσταση α των πλανητών απότον Ήλιο (στο δικό μας Ηλιακό σύστημα) ακολουθεί την σχέση m α 0,4 0,3 2 = +  με m { ,0,1 ,2,3,3,4,5,6,7,8}  − . Όπου α η απόσταση του μεγάλου ημιάξονα μετρούμενη με αστρονομικές μονάδες, δηλαδή την απόσταση Γης και Ήλιου. Όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για τους πλανήτες Ερμή ως και Ουρανό ο νόμος ισχύει αλλά μάλλον από σύμπτωση. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό στο διάστημα μεταξύ Ερμή και Δία θα έπρεπε να υπήρχε ένας 10ος πλανήτης ο οποίος πιθανόν να καταστράφηκε. Στρέφοντας την παρατήρηση στο σημείο αυτό η ύπαρξη της Δήμητρας επιβεβαίωνε την εικασία. Στην πραγματικότητα όμως δεν ήταν παρά ένας μεγάλος αστεροειδής ένας από τους πολλούς αστεροειδείς που υπάρχουν σε εκείνη την γειτονιά του ηλιακού συστήματός μας. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει τα δεδομένα των παρατηρήσεων των 42 ημερών που ήταν ορατή η Δήμητρα ήταν πολύ λίγα. Οι αστρονόμοι της εποχής δεν μπορούσαν να κάνουν τίποτε. Ακόμα και ο μεγάλος Laplace πίστευε ότι το πρόβλημα του εντοπισμού της Δήμητρας ήταν αδύνατο να λυθεί. Τότε στην ιστορία μας υπεισέρχεται ο Gauss … Γνώριζε τα καταγεγραμμένα δεδομένα υπόκεινται σε σφάλματα . Οπότε αναρωτήθηκε ποια θα ήταν η καλύτερη μαθηματική περιγραφή των τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης μεταξύ της αληθινής και παρατηρούμενης θέσης του πλανήτη;
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 32 Ο «νόμος των σφαλμάτων» που αναζητούσε θα ικανοποιούσε τρεις υποθέσεις 1η. Τα μικρά σφάλματα είναι πιο πιθανά από τα μεγάλα. 2η . Η συνάρτηση πιθανότητας σφάλματος θα είναι συμμετρική θεωρώντας ότι η πιθανότητα σφάλματος των μεγεθών χ και -χ θα είναι ίσες. 3η . Αν είχαμε την δυνατότητα να πάρουμε πολλές μετρήσεις του ίδιου μεγέθους ο μέσος όρος των τιμών θα ήταν η πιο πιθανή τιμή. Η τρίτη υπόθεση όπως έχουμε ήδη δει είχε εφαρμοστεί και στο παρελθόν, αλλά τώρα τα δεδομένα ήταν ελάχιστα. Το 1774 ο Laplace χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες υποθέσεις κατέληξε σε δύο εκθετικές συναρτήσεις οι οποίες θα ελαχιστοποιούσαν την απόκλιση των τιμών από την διάμεσο αλλά αποδείχθηκαν και οι δύο λάθος. Ο Gauss κάνοντας χρήσει των διαθέσιμων παρατηρήσεων …. κατέληξε στην μαθηματική σχέση … όπου Δ το μέγεθος του σφάλματος h το μέτρο της ακρίβειας των παρατηρήσεων (πρόκειται για το αντίστροφο της τυπικής απόκλισης), ανακαλύπτοντας την κανονική κατανομή ! Ο 24χρονος Gauss αντιμετώπισε το πρόβλημα της τροχιάς υποθέτοντας την ισχύ των τριών νόμων του Kepler, την κατανομή σφαλμάτων που ανακάλυψε και την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Δουλεύοντας ασταμάτητα υπολόγισε έξι παραμέτρους τροχιάς χρησιμοποιώντας 19 σημεία δεδομένων. Στην προσπάθεια του αυτή εφηύρε και νέες τεχνικές όπως μετασχηματισμούς τριγωνομετρικών σειρών για τον υπολογισμό αριθμητικών προσεγγίσεων της ελλειπτικής τροχιάς. Στο παραπάνω σχήμα συγκρίνονται οι δύο συναρτήσεις του Laplace και του Gauss
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 33 Οι τελικοί υπολογισμοί του επέτρεψαν στους αστρονόμους να βρουν ξανά τον χαμένο πλανήτη. Αργότερα βελτίωσε την μέθοδό του απαιτώντας μόνο τρία σημεία δεδομένων … Την πρώτη την μεσαία και την τελευταία από τις 19 παρατηρήσεις που διέθετε … Το όνομα του Gauss έγινε γνωστό σε όλη την Ευρώπη, ακόμα και ο Laplace συνεχάρη των Gauss λέγοντας … « ο δούκας του Brunswick (αναφερόμενος στον προστάτη και εργοδότη του Gauss) ανακάλυψε περισσότερα για τη χώρα του από έναν πλανήτη, ανακάλυψε ένα υπέρ-γήινο πνεύμα σε ένα ανθρώπινο σώμα» Όμως η ανακάλυψη αυτή είχε και δυσάρεστα αποτελέσματα. Ο Legendre είχε δημοσιεύσει την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το 1805, ενώ ο Gauss επίσημα την αναφέρει για πρώτη φορά το 1809 στην εργασία του «Theoria motus corporum coelestium ik sectionibus conicis solem ambientum»( Θεωρία της κίνησης των ουρανίων σωμάτων που κινούνται γύρω από τον ήλιο σε κωνικές τομές). Τότε ήταν που ισχυρίστηκε ότι την μέθοδο αυτή την γνώριζε και χρησιμοποιούσε από το 1795, θεωρώντας την προφανή και για το λόγο αυτό δεν την δημοσίευσε. Ο ισχυρισμός αυτός του Gauss προκάλεσε την αντίδραση του Legendre κατηγόρησε τον Gauss ότι ιδιοποιείται τις ανακαλύψεις των άλλων. Η διαμάχη των δύο ανδρών κράτησε για χρόνια. η τροχιά της Δήμητρας σε σκίτσο του Gauss
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 34 Για τον Gauss η έρευνα και η εφαρμογή των μαθηματικών στη λύση των προβλημάτων ήταν η ανάσα του, ο τρόπος ζωής του, ο ίδιος λέει χαρακτηριστικά … « Δεν είναι η γνώση, αλλά η πράξη της μάθησης, όχι η κατοχή αλλά η πράξη του να φθάσεις εκεί, που προσφέρει την μεγαλύτερη απόλαυση. Όταν έχω ξεκαθαρίσει και εξαντλήσει ένα θέμα, τότε απομακρύνομαι από αυτό, για να ξαναπάω στο σκοτάδι. Ο άνθρωπος που δεν είναι ποτέ ικανοποιημένος είναι παράξενος, αν έχει ολοκληρώσει μια δομή, τότε δεν είναι για να κατοικήσει σε αυτήν ειρηνικά, αλλά για να ξεκινήσει μία άλλη» Είναι χαρακτηριστικό ότι στα εβδομήντα του ασχολήθηκε με οικονομικά μαθηματικά. Το ταμείο συντάξεων του Πανεπιστημίου του Göttingen ανησυχούσε για τη μελλοντική φερεγγυότητά του. Απευθύνθηκαν στο Gauss ο οποίος δημιούργησε ένα αναλογιστικό μοντέλο εσόδων – εξόδων του συνταξιοδοτικού ταμείου.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 35 Με τις εργασίες των Moivre, Laplace, Legendre και Gauss μία νέα Μαθηματική περιοχή αρχίζει σιγά σιγά να αναπτύσσεται. Οι απαιτήσεις της αστρονομίας αρχικά και της Φυσικής αργότερα οδηγούν τους Μαθηματικούς να αφιερώνουν μεγάλο μέρος του έργου τους στην κατανόηση και την ποσοτική ανάλυση των τυχαίων σφαλμάτων. Οι προσπάθειες αυτές οδήγησαν στην δημιουργία ενός νέου γνωστικού πεδίου, της μαθηματικής στατιστικής, η οποία παρέχει ένα σύνολο εργαλείων για την ερμηνεία των δεδομένων που προκύπτουν από την παρατήρηση και το πείραμα. Η θεωρία των Πιθανοτήτων εξελίσσεται. Γίνεται εργαλείο που αφορά κοινωνικούς επιστήμονες , γιατρούς, οικονομολόγους. Ο στόχος είναι παρατηρώντας δεδομένα που λαμβάνονται από κάποιο δείγμα να είμαστε σε θέση να εξάγουμε συμπεράσματα που θα αφορούν ολόκληρο τον πληθυσμό με τη μικρότερη πιθανότητα σφάλματος. Συγχρόνως τα δεδομένα που συλλέγονται να παρουσιάζονται με τρόπους κατανοητούς και σαφείς. Ραβδογράμματα , ιστογράμματα, χρονοσειρές αρχίζουν να χρησιμοποιούνται και μάλιστα κάποια από αυτά να είναι πραγματικά έργα τέχνης, ας τα απολαύσουμε … Μια εικόνα χίλιες λέξεις … Ο πρωτοπόρος της χρήσης των γραφημάτων στις στατιστικές έρευνες ήταν ο William Playfair (1759-1823) , Σκωτσέζος μηχανικός και οικονομολόγος. Επινόησε διάφορους τύπους γραφημάτων από ραβδογράμματα, πίτες και χρονοσειρές. Τα περισσότερα έργα του περιέχονται στον «Εμπορικό και Πολιτικό Άτλαντα» που δημοσιεύθηκε το 1786. Ας δούμε μερικά από αριστουργήματά του … Χρήση ραβδογράμματος για να παρουσιάσει τις εισαγωγές – εξαγωγές της Σκωτίας από και προς 17 χώρες (1781)
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 36 Σύνθετο διάγραμμα που παρουσιάζει διαχρονικά την εξέλιξη των εξαγωγών και εισαγωγών από την Δανία και Νορβηγία προς την Αγγλία. Ένας ευφάνταστος και πρωτοποριακός τρόπος να παρουσιαστεί το εμπορικό έλλειμμα - πλεόνασμα. Διάγραμμα συσχέτισης τιμών σταριού με εβδομαδιαίο διαθέσιμο εισόδημα … Προσέγγιση «με μία ματιά» όπως λέει ο τίτλος Διάγραμμα που παρουσιάζει το δημόσιο χρέος της Αγγλίας στην εξέλιξή του, από την επανάσταση του 1688 ως το 1784.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 37 Γράφημα του 1824 που παρουσιάζει την σχέση ανάμεσα στις τιμές του ψωμιού και των μετοχών σε εμπόλεμες περιόδους. Το 1833 ιδρύεται η Royal Statistical Society. Μεταξύ των μελών της συναντάμε τους : Richard Jones , Charles Babbage , Adolphe Quetelet , William Whewell , Thomas Malthus, William Farr και William Henry Sykes . Μέλος της και πρώτη γυναίκα πρόεδρός της (1858) ήταν και η Florence Nightingale. Θα μιλήσουμε ιδιαίτερα για τους … Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) Αστρονόμος, Μαθηματικός, Στατιστικολόγος, Κοινωνιολόγος. Από τους πρώτους που εφάρμοσε στατιστικές μεθόδους στην κοινωνική επιστήμη. Ο στόχος του ήταν να κατανοήσει τους στατιστικούς νόμους που διέπουν κοινωνικά φαινόμενα όπως εγκληματικότητα, αυτοκτονίες. Ιδρυτής της λεγόμενης «κοινωνικής Φυσικής». Το βιβλίο του «On Man and the Development of His Faculties, ή Social Physics Essay» (1835) περιγράφει την αντίληψή του για τον «μέσο άνθρωπο» μετρώντας χαρακτηριστικά όπως ύψος, βάρος κ.τ.λ. δείχνοντας ότι ακολουθούν την κανονική κατανομή. Σημαντική η συνεισφορά του και στην εγκληματολογία αφού ήταν από τους πρώτους που με τη χρήση στατιστικής ανάλυσης κατέδειξε την σχέση ανάμεσα στο έγκλημα και κοινωνικών παραγόντων όπως φτώχεια, εκπαίδευση, χρήση αλκοόλ. Η ταξινόμηση των ανθρώπων με βάση τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στο βάρος και το ύψος κατέληξε στον δείκτη μάζας σώματος που υφίσταται μέχρι τις μέρες μας.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 38 Απόσπασμα από το βιβλίο του όπου καταγράφονται μετρήσεις σε Γάλλους και Σκωτσέζους στρατιώτες όπου οι τιμές κατανέμονται κανονικά Η Florence Nightingale (1820–1910). Αποτελεί μία ενδιαφέρουσα παρουσία στον ανδροκρατούμενο κόσμο του 19ου αιώνα. Νοσηλεύτρια και Στατιστικολόγος. Η εργασία της σχετικά με τις αιτίες θανάτου των στρατιωτών κατά τη διάρκεια του Κριμαϊκού πολέμου μείωσε τα ποσοστά θανάτων βελτιώνοντας τις συνθήκες υγιεινής στο πεδίο. Συγγράφοντας το βιβλίο Notes on Nursing (1859) οργάνωσε την νοσηλευτική με κανόνες και πρωτόκολλα εκσυγχρονίζοντας την περίθαλψη στα νοσοκομεία της εποχής. Μέλος της Στατιστικής εταιρείας και πρόεδρός της το 1858 κατόρθωσε χρησιμοποιώντας κυκλικά διαγράμματα να οπτικοποιεί δεδομένα. Διάσημο είναι το λεγόμενο τριαντάφυλλο της Nightingale που παρουσιάζεται παρακάτω … Διάγραμμα των αιτιών της θνησιμότητας στον στρατό της Ανατολής.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 39 Ο William Farr (1807-1883) Άγγλος επιδημιολόγος ιδρυτής της Ιατρικής Στατιστικής. Δημιούργησε ένα σύστημα καταγραφής αιτιών θανάτου (πίνακες ζωής) επιτρέποντας του να συγκρίνει ποσοστά θνησιμότητας διαφορετικών επαγγελμάτων. Όταν το 1849 ξέσπασε στο Λονδίνο επιδημία χολέρας συσχέτισε την ασθένεια με τη μόλυνση από τα ακατέργαστα λύματα. Ιδιαίτερη αναφορά πρέπει να κάνουμε στον Charles Joseph Minard (1781-1870). Γάλλος πολιτικός μηχανικός με μεγάλη συνεισφορά στην αναπαράσταση αριθμητικών δεδομένων σε χάρτες ροής και την παρουσίαση στατιστικών δεδομένων χρησιμοποιώντας διάφορα είδη διαγραμμάτων. Ας παρουσιάσουμε μερικά από τα έργα τέχνης του … Το πιο χαρακτηριστικό δημιούργημά του που παρουσιάζει την προέλαση του Ναπολέοντα προς τη Μόσχα, την απόσταση που διανύθηκε, τον αριθμό των ανδρών που επιβίωναν σε κάθε χιλιόμετρο της πορείας, και τις θερμοκρασίες που αντιμετώπισαν.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 40 Χάρτης της Γαλλίας που παρουσιάζει την συγκέντρωση των βοοειδών σε κυκλικά διαγράμματα ανά περιφέρεια. Χρονοσειρά που παρουσιάζει τη συντήρηση πεζοδρομίων του Παρισιού κατά τη διάρκεια δύο αιώνων.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 41 Τελειώνοντας την σύντομή αναφορά μας στους πρωτοπόρους που χρησιμοποίησαν διαγράμματα για την περιγραφή καταστάσεων και δεδομένων θα αναφερθούμε στον Charles James Booth (1840-1916). Δεν ήταν Μαθηματικός ούτε στατιστικολόγος αλλά κοινωνικός ερευνητής και φιλάνθρωπος. Έμεινε γνωστός για το βιβλίο του Life and Labor of the People in London (1902) όπου τα δεδομένα της έρευνας του τα παρουσιάζει με χάρτες. Η εργασία αυτή αποτελεί το πρώτο δείγμα κοινωνικής χαρτογραφίας. Χρησιμοποιώντας χρώματα αποτύπωσε τις κοινωνικές ανισότητες των περιοχών του Λονδίνου της εποχής. Σε περιοχές φτωχές χρησιμοποίησε σκούρα χρώματα ενώ περιοχές με σχετικά καλές υποδομές ζωγραφίστηκαν με έντονα ευχάριστα χρώματα. Με τους χάρτες αυτούς προσπάθησε να αναδείξει το κοινωνικό πρόβλημα συνοχής που υπήρχε. Το 1/3 περίπου των κατοίκων του Λονδίνου ζούσαν σε συνθήκες ακραίας φτώχιας. Επίσης επιδίωξε να εφαρμοστούν πολιτικές άμβλυνσης των όποιων ανισοτήτων.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 42 Βίο-στατιστική Θα αναφερθούμε σε δύο μεγάλους ερευνητές που ανέπτυξαν τις στατιστικές μεθόδους και τις εφάρμοσαν στις κοινωνικές επιστήμες, πρόκειται για τους … Ο Sir Francis Galton (1822-1911) ήταν στατιστικολόγος, κοινωνιολόγος, ψυχολόγος, ανθρωπολόγος, υπέρμαχος του κοινωνικού δαρβινισμού και της ευγονικής. Στην εργασία μας αυτή θα αναφερθούμε στη συνεισφορά του στη Στατιστική επιστήμη. Βρισκόμαστε στο 1906 και ο Galton παραβρίσκεται σε μία ετήσια κτηνοτροφική έκθεση. Ήταν συνήθεια να γίνεται ένας διαγωνισμός. Αφού στους επισκέπτες παρουσιαζόταν ένα βόδι ακολούθως τους ζητούσαν να μαντέψουν το βάρος του. Εκείνος που η εκτίμησή του ήταν πιο κοντά στην πραγματική τιμή θα κέρδιζε. Περίπου 800 άτομα συμμετείχαν στον διαγωνισμό και έγραψαν την εικασία τους σε 800 αριθμημένες κάρτες. Μετά την ανάδειξη του νικητή ο Galton πήρε τις κάρτες αυτές και τις μελέτησε. Ανακάλυψε κάτι ενδιαφέρον όταν διέταξε όλα τα εκτιμώμενα βάρη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Βρήκε ότι το σωστό βάρος ήταν πολύ κοντά στη μεσαία τιμή. Αυτή η «μέση» εκτίμηση, η διάμεσος δηλαδή των παρατηρήσεων, αντανακλούσε καλύτερα το πραγματικό βάρος του βοδιού. Στην πραγματικότητα η μεσαία παρατήρηση ήταν 1207 λίβρες και το βάρος του βοδιού 1198 λίβρες μία διαφορά 9 λιβρών που αντιστοιχούσε μόλις στο 0,8% του εκτιμώμενου βάρους. Με το γεγονός αυτό κατέληξε στην πεποίθηση ότι μεμονωμένες κρίσεις ενός πλήθους μπορούν να μοντελοποιηθούν ως κατανομή πιθανοτήτων με τη διάμεσο να είναι πολύ κοντά στην πραγματική τιμή της προς εκτίμηση ποσότητας. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως «σοφία του πλήθους» (crowd wisdom).
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 43 Τάξη στο φαινομενικό χάος Βρισκόμαστε στο 1889 … όταν ο Galton έγραφε … «Δεν γνωρίζω σχεδόν τίποτα τόσο ικανό να εντυπωσιάσει τη φαντασία όσο η υπέροχη μορφή της κοσμικής τάξης που εκφράζεται από τον Νόμο της Συχνότητας του Σφάλματος. Βασιλεύει με γαλήνη… μέσα στην πιο άγρια σύγχυση. Όσο πιο μεγάλο είναι το μέγεθος και όσο μεγαλύτερη είναι η φαινομενική αναρχία, τόσο πιο τέλεια είναι η επιρροή του. Είναι ο υπέρτατος νόμος του παράλογου. Κάθε φορά που ένα μεγάλο δείγμα στοιχείων λαμβάνεται, μια ανυποψίαστη και πιο όμορφη μορφή κανονικότητας αποδεικνύεται ότι ήταν λανθάνουσα καθ' όλη τη διάρκεια». Με τα λόγια αυτά εκφράζει την έκπληξη που νιώθει ο καθένας μας όταν περιστρέφοντας το Galton board βλέπεις μπροστά σου έναν σωρό από στοιβαγμένες μπίλιες να μετασχηματίζεται σε μία κανονική διάταξη. Που κρύβεται η αρμονία αυτή; Ποιος είναι ο κανόνας που κρύβεται; Ας παρακολουθήσουμε το διπλανό στιγμιότυπο όπου προσομοιάζεται το Galton board με ένα applet του Virginia University. Τυχαία αφήνονται μπάλες να πέσουν μέσα από ένα πλέγμα εμποδίων σε στήλες. Μετά από λίγο οι μπάλες ενώ πέφτουν ακανόνιστα κατανέμονται ομοιόμορφα γύρω από την μεσαία υποδοχή, σχηματίζοντας ένα ιστόγραμμα που προσομοιάζει την κανονική κατανομή. Ποια τα κρυμμένα μαθηματικά γύρω από αυτό;
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 44 Ας μετρήσουμε με πόσες δυνατές διαδρομές μπορεί μία μπίλια να καταλήξει σε κάποια από τις δώδεκα θέσεις που σημειώνονται; Ας μετρήσουμε τους δυνατούς τρόπους πρώτα στις τρεις πρώτες σειρές. Οι αριθμοί που παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα δίνουν με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να φθάσουμε μέχρι το συγκεκριμένο σημείο. Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία θα καταλήξουμε στο σχήμα : Σας θυμίζει κάτι αυτό το μοτίβο; Πράγματι εμφανίζεται το τρίγωνο του Pascal ! Ουσιαστικά έχουμε μία πειραματική διάταξη με την οποία αποδεικνύουμε ότι η διωνυμική κατανομή (τρίγωνο του Pascal) μπορεί να προσεγγιστεί με τη βοήθεια της κανονικής κατανομής. Κλείνοντας την σύντομη αναφορά μας στον Galton πρέπει να αναφέρουμε ότι ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησε την τυπική απόκλιση ως μέτρο διασποράς των τιμών γύρω από τον αριθμητικό μέσο. Ανακάλυψε την διμεταβλητή κανονική κατανομή και μελέτησε τις ιδιότητές της. Η κατανομή αυτή ουσιαστικά είναι γενίκευση της μονοδιάστατης κανονικής στις τρεις διαστάσεις
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 45 Στο έργο του ”Regression towards mediocrity in hereditary stature” το 1866 , μελέτησε την συσχέτιση μεταξύ του ύψους των παιδιών και το γονιών τους. Παρατήρησε ότι τα ακραία χαρακτηριστικά των γονέων π.χ. ύψος δεν μεταβιβάζονται στους απογόνους, αλλά υποχωρούν προς έναν μέσο όρο. Το φαινόμενο αυτό το ονόμασε παλινδρόμηση προς τον μέσο όρο και την μέθοδο που ακολούθησε ανάλυση παλινδρόμησης. Ο Karl Pearson (1857-1936) ήταν Άγγλος Μαθηματικός ιδρυτής του πρώτου πανεπιστημιακού τμήματος Στατιστικής στο University College του Λονδίνου (1911). Tο έργο του “Mathematical Contributions to the theory of evolution”, (Μαθηματική συμβολή στη Θεωρία της Εξέλιξης) τον καθιέρωσε ως τον ιδρυτή της βιομετρικής σχολής για την κληρονομικότητα. Χρησιμοποίησε ευρέως στην Στατιστική ανάλυση τον συντελεστή συσχέτισης, τον συντελεστή ασυμμετρίας και την γραμμική παλινδρόμηση. Στην εποχή του πολλοί ερευνητές στην προσπάθεια να μελετήσουν βιολογικά δεδομένα συνήθιζαν να υποθέτουν ότι οι παρατηρήσεις τους ακολουθούσαν την κανονική κατανομή ενώ παρουσίαζαν κάποιου είδους ασυμμετρία. Προκειμένου να μοντελοποιήσει τις παρατηρήσεις ανεξάρτητα από το αν είναι κανονικές ή ασύμμετρες, επινόησε την κατανομή Pearson. Αυτή είναι μια οικογένεια συνεχών κατανομών πιθανοτήτων, που σε αυτές περιλαμβάνεται και η κανονική και πολλές ασύμμετρες. Συγχρόνως ανέπτυξε μία μέθοδο στατιστικής ανάλυσης που συνδυάζει της χρήση της κατανομής Pearson με παράλληλη εκτέλεση του χ2 τεστ – ένα τεστ καλής προσαρμογής για να προσδιοριστεί πόσο καλά το μοντέλο που ακολουθείται ταιριάζει στις παρατηρήσεις μας. Συνεργάτης του Pearson ήταν ένας άνθρωπος της πραγματικής οικονομίας. Ένας επιστήμονας που τον ενδιέφερε πρωτίστως η εφαρμογή των γνώσεων του στην παραγωγή. Έτσι στην Απίθανη Ιστορία της εξέλιξης των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής κάνει την εμφάνισή του …
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 46 Ο ζυθοποιός … Το πιο σπουδαίο σε μια μπύρα είναι η γεύση της να είναι σταθερή είτε αυτή την πίνεις στην Αγγλία είτε στην Ελλάδα. Το πρόβλημα της ποιότητας το αντιμετώπισε ο William Sealy Gosset (1876-1937) όταν δούλευε ως υπεύθυνος ποιότητας παραγωγής στο ζυθοποιείο της Guinness. Έπρεπε να επιλέξει τις ποικιλίες κριθαριού που θα έδιναν την καλύτερη απόδοση κρατώντας την γεύση ίδια. Οι γνώσεις του ως Χημικός και Στατιστικός του έδωσαν την θέση του επικεφαλής της παραγωγής της γνωστής ζυθοποιίας. Αλλά οι προκλήσεις που είχε μπροστά του ήταν πολλές. Έμπειρος στατιστικολόγος γνώριζε ότι να εξασφαλίσεις την ίδια μέση τιμή στην ποιότητα χρησιμοποιώντας διαφορετικές ποικιλίες κριθαριού ήταν κάτι που απαιτούσε έρευνα και χρόνο. Συνεργάτης του Pearson γνώριζε από στατιστική ανάλυση, αλλά αντιμετώπιζε ένα βασικό πρόβλημα. Όλες οι τεχνικές που γνώριζε απαιτούσαν ένα μεγάλο πλήθος παρατηρήσεων και δεδομένων. Την πολυτέλεια αυτή δεν την είχε. Έπρεπε λόγω περιορισμένων πόρων να χρησιμοποιήσει μικρό αριθμό δειγμάτων και βασιζόμενος στις τιμές του μέσου και τυπικής απόκλισης των δειγμάτων να εκτιμήσει τις αντίστοιχες τιμές της συνολικής παραγωγής. Το Μάρτιο του 1908 δημοσιεύει στο επιστημονικό περιοδικό Biometrika που εξέδιδε ο Pearson το άρθρο “The probable error of a mean” με το ψευδώνυμο Student. Στο άρθρο αυτό γίνεται λόγος για μία μέθοδο εκτίμησης διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου γνωρίζοντας μέσο και τυπική απόκλιση από μικρό αριθμό δεδομένων. Στο άρθρο αυτό αναφέρεται το λεγόμενο κριτήριο t-student το οποίο ουσιαστικά πρόκειται για μία κατανομή με παρόμοιο σχήμα με την κανονική, συμμετρική με μέσο 0 αλλά με μεγαλύτερη διασπορά. Η χρήση της Στατιστικής σε αγροτικές πειραματικές καλλιέργειες ώστε να καλλιεργηθούν ποικιλίες που να αποδίδουν καλύτερα κρατώντας την ίδια ποιότητα του παραγόμενου τελικού προϊόντος ήταν μία καινοτόμα ιδέα. Μία από τις πρώτες προσπάθειες εφαρμογής των μαθηματικών στην παραγωγική διαδικασία.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 47 Οι Πιθανότητες και η Στατιστική στον 20ο αιώνα Wir müssen Wissen - Wir werden wissen. (Πρέπει να ξέρουμε - Θα ξέρουμε) David Hilbert Βρισκόμαστε στο Διεθνές συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900, εκεί ο Γερμανός Μαθηματικός David Hilbert (1862-1943) λέει … « Ποιος από εμάς δεν θα χαιρόταν να σηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο κρύβεται το μέλλον; Να ατενίσει τις επερχόμενες εξελίξεις της επιστήμης μας και τα μυστικά της ανάπτυξής της στους επόμενους αιώνες; Ποιοι θα είναι οι στόχοι προς τους οποίους θα τείνει το πνεύμα των μελλοντικών γενεών μαθηματικών; Ποιες μέθοδοι, ποια νέα δεδομένα θα αποκαλύψει ο νέος αιώνας στο αχανές και πλούσιο πεδίο της μαθηματικής σκέψης; » και πρότεινε 23 προβλήματα που η λύση τους θα έδινε ώθηση στην εξέλιξη των μαθηματικών στο αιώνα που ερχόταν. Μέσα σε αυτά το 6ο πρόβλημα επιτάσσει την αξιωματική θεώρηση των Πιθανοτήτων. Σύγχρονος του ήταν ο Γερμανός Μαθηματικός Richard von Mises (1883- 1953), αυτός έδωσε τον λεγόμενο στατιστικό ορισμό της πιθανότητας. Διατυπωμένος απλοϊκά θα λέγαμε ότι αν έχουμε τον δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης και Α ένα ενδεχόμενό του. Για παράδειγμα ρίχνω ένα ζάρι , σημειώνω τις ενδείξεις άρα Ω={1,2,3,4,5,6} και ας υποθέσουμε το ενδεχόμενο Α «να έρθει ζυγός αριθμός ως ένδειξη» άρα Α={2,4,6}, τότε … Επαναλαμβάνουμε το πείραμά μας πάρα πολλές φορές … πόσες φορές ; παρά πολλές! Τόσες και άλλες τόσες … ας τις ονομάσουμε ν και σημειώνουμε πόσες φορές έρχεται ζυγή ένδειξη – βρίσκουμε δηλαδή την συχνότητα νΑ του ενδεχομένου Α τότε … Το όριο στο οποίο τείνει η σχετική συχνότητα Α A ν f ν = καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων του πειράματος ολοένα και αυξάνει ορίζεται ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α. Δηλαδή A ν Ρ(Α) lim f →+ = .
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 48 Ενώ ο ορισμός αυτός έρχεται κοντά σε αυτό που όλοι μας καταλαβαίνουμε ως πιθανότητα, παρουσιάζει κάποια προβλήματα. Η διαδικασία που προτείνεται από τον ορισμό στη πράξη καθίσταται αδύνατη να εφαρμοστεί. Τι σημαίνει άπειρη επανάληψη του πειράματος τύχης; Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το ν ώστε να υπάρχει μία καλή προσέγγιση της πιθανότητας; Και ας πούμε ότι το ξεπερνάμε αυτό, όλες οι επαναλήψεις θα γίνονται κάτω από τις ίδιες συνθήκες; Άρα θα περιγράφουν το ίδιο πείραμα τύχης; Πως γνωρίζουμε ότι το όριο αυτό υπάρχει; Πως είμαστε σίγουροι ότι η τιμή αυτή θα είναι η ίδια σε κάθε άπειρη ακολουθία επαναλήψεων του πειράματος τύχης; Ο αντίλογος βρίσκεται στο γεγονός ότι όλα αυτά τα ερωτήματα ξεπερνιούνται διότι εξ αρχής ο Mises το σύστημα του ορισμού του το αναπτύσσει αξιωματικά. Δηλαδή αξιώνει να ισχύουν όσα ως ερωτήματα τέθηκαν. Μετά είναι σε θέση να αναπτύξει τον απαραίτητο λογισμό και θεωρήματα των πιθανοτήτων. Το πρόβλημα της αξιωματικής θεμελίωσης των πιθανοτήτων αντί να λυθεί μάλλον μπλέχτηκε ακόμα περισσότερο. Πολλοί συνάδελφοι του Μαθηματικοί διαφώνησαν με την προσέγγισή του. Άλλοι αργότερα τον δικαίωσαν. Όμως, μία Απίθανη Ιστορία έχει το Mises ως πρωταγωνιστή. Λέγεται ότι είναι ο πρώτος που διατύπωσε το περίφημο πρόβλημα των γενεθλίων ! Τι λέει αυτό; Ας φανταστούμε τον ίδιο να το διατυπώνει για πρώτη φορά σε κάποιο αμφιθέατρο γεμάτο από πρωτοετείς φοιτητές. Τότε αφού τους καλωσόριζε κάποια στιγμή για να τραβήξει την προσοχή τους θα έλεγε … « … βάζω στοίχημα (εκ του ασφαλούς) ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο από σας που γιορτάζετε την ίδια μέρα του χρόνου … » Τέτοια σιγουριά; Πως γίνεται αυτό; Ας ξεκινήσουμε με κάτι πιο απλό. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 5 φίλους. Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο από αυτούς, που να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; Αν την πιθανότητα αυτή δυσκολευόμαστε να τη βρούμε, μήπως μπορούμε να βρούμε τη πιθανότητα κανείς να μην έχει γενέθλια με κάποιον άλλο την ίδια μέρα; Δηλαδή όλοι να γιορτάζουν σε διαφορετικές ημερομηνίες;
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 49 Πόσες είναι οι ιδανικές περιπτώσεις, ώστε να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Ο 1ος μπορεί να έχει γεννηθεί σε μία από τις 365 μέρες του χρόνου. Ο 2ος σε μία από τις 364 υπόλοιπες μέρες. Ο 3ος σε μία από τις 363 υπόλοιπες μέρες του χρόνου. Ο 4ος σε μία από τις 362 και ο 5ος σε μία από τις 361 μέρες Άρα, συνολικά έχουμε 365 364 363 362 361 6302555018760     = ευνοϊκές περιπτώσεις σε σύνολο 5 365 6478348728125 = περιπτώσεων. Άρα, η πιθανότητα είναι 6302555018760 0,972 6478348728125 = Οπότε η πιθανότητα σε πέντε άτομα, δύο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι 1 0,972 0,028 − = , δηλαδή κάτι τέτοιο είναι απίθανο. Τι συμβαίνει όμως, όταν τα άτομα που εξετάζουμε είναι πολλά. Πόσα; … ας πούμε 30, ή 40 ή 50 ή 60 ή … Υπάρχει μήπως ένας αριθμός ατόμων και μετά, που η πιθανότητα του ενδεχομένου «δύο τουλάχιστον άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα» να είναι μεγάλη; Πόση μεγάλη; Πολύ μεγάλη … , ας πούμε 90%. Μάλλον αυτό δεν μπορεί να γίνει, θα σκεφτείτε. Κι’ όμως, ρίξτε μια ματιά στον διπλανό πίνακα, που έχει υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού σε διάφορες τιμές του πλήθους ν των ατόμων που εξετάζουμε. Ο William Feller (1906 –1970) Γεννήθηκε στην Κροατία σπούδασε μαθηματικός στην Γερμανία κοντά στον Hilbert και δίδαξε στην Αμερική αφού έφυγε από την Γερμανία με την άνοδο των Ναζί στην εξουσία. Σημαντική η εργασία του στην Μαθηματική Στατιστική και τις Πιθανότητες. Δίδαξε στο πανεπιστήμιο του Brown και στο Princeton. Το σπουδαιότερο έργο του είναι το «Introduction to Probability Theory and its Applications» (1950). ν Ρ(ν) 10 11,7% 20 41,1% 23 50,7% 30 70,6% 50 97% 57 99% 100 99,9999%
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 50 Στο βιβλίο μας θα παρουσιάσουμε την Απίθανη Ιστορία «αστέρια και ράβδοι». Πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα συνδυαστικής. Αλλά το ενδιαφέρον είναι ο τρόπος επίλυσης όπως παρουσιάζεται από τον Feller στο κλασικό βιβλίο του πιθανοτήτων. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αγοράσουμε 12 αστέρια. Τα αστέρια βγαίνουν σε τέσσερα χρώματα ,κόκκινο, μπλε, κίτρινο και πράσινο. Μπορεί να πάρουμε και τα 12 μπλέ ή να διαλέξουμε διάφορους συνδυασμούς χρωμάτων. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή; Ας δούμε μία περίπτωση Ή μία άλλη … Τις περιπτώσεις αυτές ο Feller μας προτείνει να τις δούμε ως εξής … ****|**|****|** την πρώτη και ******||****|** την δεύτερη Παρατηρείστε ότι στην δεύτερη περίπτωση που δεν υπάρχει αστέρι πράσινου χρώματος απλώς ανάμεσα στα δύο πρώτα διαχωριστικά δεν σημειώνουμε τίποτε. Με τον τρόπο αυτό σημειώνει τα 12 αστεράκια και για τον αριθμό (ν) των χρωμάτων εμφανίζει (ν- 1) διαχωριστές ράβδους. Συγχρόνως ανάγει το πρόβλημα σε κάτι ευκολότερο. Ψάχνει απλά να βρει με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 12 αστέρια και 3 ράβδους σε 15 θέσεις ! Το οποίο είναι 15 15 15! Ν ... 455 3 12 12! 3!     = = = = =          τρόποι Άρα αν έχουμε ν διαφορετικά χρώματα αστεριών και θέλουμε να πάρουμε μ από αυτά, τότε το πλήθος των δυνατών τρόπων που μπορεί να γίνει αυτό είναι μ ν 1 ν 1 + −     −   Το προηγούμενο πρόβλημα λύνει ουσιαστικά και ένα δεύτερο … της θεωρίας αριθμών ! « Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ακεραίων α,β,γ,δ που ικανοποιούν την σχέση α+β+γ+δ=12» Αυτό συμβαίνει διότι ως α,β,γ,δ μπορούμε να θεωρήσουμε το πλήθος των μπλε, πράσινων, κίτρινων και κόκκινων αστεριών που βρήκαμε προηγουμένως. Άρα το ζητούμενο πλήθος είναι 455!
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 51 Ας δούμε και ένα άλλο πρόβλημα … Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αγοράσουμε 12 αστέρια αλλά να υπάρχει ένα τουλάχιστον από κάθε χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; Στην περίπτωση αυτή περιμένουμε συνδυασμούς σαν αυτόν .. Οπότε θα γράφεται ****|**|****|** Επειδή θέλουμε να έχουμε τουλάχιστον ένα αστέρι από κάθε χρώμα οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να γίνει αυτό θα είναι όσοι τρόποι υπάρχουν στα 11 κενά που σχηματίζονται μεταξύ των αστεριών να βάλουμε τις 3 ράβδους άρα με 11 11 11! Ν ... 165 3 8 8! 3!     = = = = =          τρόποι Άρα αν έχουμε ν διαφορετικά χρώματα αστεριών και θέλουμε να πάρουμε μ από αυτά ώστε να έχουμε από όλα τα χρώματα , τότε το πλήθος των δυνατών τρόπων που μπορεί να γίνει αυτό είναι μ 1 ν 1 −     −   Μέχρι τώρα οι Πιθανότητες και η Στατιστική αναπτύσσονται στη Δύση. Ξεκινήσαμε από την Ιταλία, πήγαμε Γαλλία μετά Ελβετία συνεχίσαμε στην Αγγλία και τέλος Γερμανία. Ήρθε ο καιρός να αναφερθούμε και σε μία άλλη μεγάλη σχολή των Ευρωπαϊκών Μαθηματικών, στην …
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 52 Ρώσικη σχολή … Η σχολή αυτή έχει να επιδείξει αρκετούς μαθηματικούς που συνέβαλαν στην εξέλιξη των Πιθανοτήτων. Για τις ανάγκες της σύντομης αναφορά μας στις Απίθανες Ιστορίες θα αναφερθούμε στους Chebyshev , Markov, Neyman (αν και Πολωνός) και τέλος Kolmogorov. Ο Pafnuty Lzozich Chebyshev (1821-1894) θεωρείται ο πατριάρχης των Ρωσικών Μαθηματικών. Η συνεισφορά του στον τομέα των Πιθανοτήτων είναι καθοριστική αφού αυτός διατύπωσε την περίφημη ανισότητα που έχει το όνομα του με βάση την οποία αποδεικνύεται ο ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών. Η ανισότητα είναι η : 2 1 P( X μ kσ) k −   όπου μ η μέση τιμή και σ η τυπική απόκλιση μιας κατανομής παρατηρήσεων και k ένας θετικός ακέραιος. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι σε μια κατανομή έχουμε μ=5 και σ=2 τότε η εφαρμογή του τύπου για k=2 δίνει 1 P( X μ 2σ) 25% 4 −   = Επειδή : Χ μ 2σ Χ 5 4 Χ 9 ή Χ 1 −   −     έχουμε ότι η πιθανότητα να βρούμε στην κατανομή των παρατηρήσεων μας τιμές που απέχουν από την μέση τιμή μ απόσταση ±2σ ( τιμές μεγαλύτερες από 9 ή μικρότερες από 1) είναι μικρότερη του 25% . Αντίστοιχα η πιθανότητα να πάρουμε τιμές τέτοιες ώστε μ 2σ Χ μ 2σ −   + θα είναι μεγαλύτερη του 75%. Ο Andrey Andreyevich Markov (1856-1922) ήταν Ρώσσος μαθηματικός συνεχιστής του έργου του Chebyshev στη θεωρία πιθανοτήτων. Απέδειξε τον ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών , όμως η πιο πρωτοποριακή εργασία του στο τομέα των πιθανοτήτων είναι οι λεγόμενες αλυσίδες Markov. Αυτές είναι ένα στοχαστικό μοντέλο που αναλύει μια διαδοχή πιθανών γεγονότων. Η χαρακτηριστική ιδιότητα του μοντέλου είναι ότι γνωρίζουμε τις πιθανότητες να συμβεί μία διαδικασία σε μία χρονική στιγμή και με βάση αυτής είμαστε σε θέση να προβλέψουμε καταστάσεις στο μέλλον. Η δύναμη του μοντέλου βρίσκεται στη δυνατότητα να παρασταθεί διαγραμματικά η όλη διαδικασία και ότι ο λογισμός που χρησιμοποιούμε χρειάζεται απλές γνώσεις πράξεων μεταξύ πινάκων. ( Θα πρέπει να θυμηθούμε τον πολλαπλασιασμό μεταξύ πινάκων)
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 53 Ο αλγόριθμός εφαρμογής απαιτεί … 1. να σχεδιάσουμε την αλυσίδα Markov και τις πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων που εξετάζουμε 2. να μετατρέψουμε την αλυσίδα σε πίνακα Ρ 3. να γράψουμε τον πίνακα πιθανοτήτων αρχικής κατάστασης S 4. να πολλαπλασιάσουμε τους δύο πίνακες ( S P  ) για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα πραγματοποίησης της επόμενης κατάστασης Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα με τη βοήθεια της επόμενης Απίθανης Ιστορίας … Το ΜΕΤΕΟ NEWS θέλει να κάνει μία πρόβλεψη του καιρού για τις επόμενες δύο εβδομάδες. Την εβδομάδα που διανύουμε ο καιρός είναι ηλιόλουστος και με τη βοήθεια μετεωρολογικών στοιχείων που έχει στη διάθεσή του ο σταθμός γνωρίζει ότι … Α : Η πιθανότητα ο καιρός να παραμείνει «ηλιόλουστος» την επόμενη εβδομάδα είναι 80%, οπότε η πιθανότητα αλλαγής του καιρού από «ηλιόλουστο» σε «συννεφιασμένο» για μια εβδομάδα είναι 20% Β: Η πιθανότητα ο καιρός να παραμείνει «συννεφιασμένος» την επόμενη εβδομάδα είναι 70%, οπότε η πιθανότητα αλλαγής του καιρού από «συννεφιασμένο» σε «ηλιόλουστο» για μια εβδομάδα είναι 30% Ποια η πιθανότητα ο καιρός να παραμείνει ηλιόλουστος στην επόμενη και στην μεθεπόμενη εβδομάδα; Σχηματίζουμε την αλυσίδα Markov με βάση τα δεδομένα Γράφουμε τον πίνακα μετάβασης 0,8 0,2 Ρ 0,3 0,7   =     Γράφουμε τον πίνακα αρχικής κατάστασης S (1 0) = Πολλαπλασιάζουμε τους δύο πίνακες και έχουμε :    =  =     0,8 0,2 S P (1 0) (0,8 0,2) 0,3 0,7 , άρα η πιθανότητα να διατηρηθεί την επόμενη βδομάδα ο καιρός ηλιόλουστος είναι 80% Για να βρούμε την πιθανότητα να παραμείνει ηλιόλουστος και την δεύτερη βδομάδα τότε θεωρούμε ως πίνακα αρχικής κατάστασης τον πίνακα που βρήκαμε προηγουμένως και τον πολλαπλασιάζουμε με τον πίνακα μετάβασης, δηλαδή    =     0,8 0,2 (0,8 0,2) (0,7 0,3) 0,3 0,7 , άρα η πιθανότητα να έχουμε ηλιόλουστο καιρό δύο βδομάδες από τώρα είναι 0,7. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί όσο θέλουμε … Δειγματικός χώρος
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 54 Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος για να λυθεί το πρόβλημα αυτό … ( Η απόδειξη ότι οι δύο τρόποι είναι ισοδύναμοι ξεφεύγει από τον σκοπό του βιβλίου και για αυτό δεν αναφερόμαστε σε αυτό) Επειδή η τελική κατάσταση προκύπτει με δύο μεταβάσεις από την αρχική κατάσταση, βρίσκουμε τον πίνακα Ρ2 ο οποίος είναι ίσος με … 2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.7 0.3 Ρ 0.3 0.7 0.3 0.7 0.45 0.55       =  =             Η πιθανότητα να παραμείνει ηλιόλουστος ο καιρός μετά από δύο εβδομάδες είναι 0.7 ( ο αριθμός της 1ης γραμμής και 1ης στήλης του πίνακα). Αν θέλαμε για παράδειγμα να βρούμε την πιθανότητα από συννεφιασμένος μετά από δύο εβδομάδες να γίνει ηλιόλουστος θα είναι 0.45, δηλαδή ο αριθμός 2ης γραμμής και 1ης στήλης που αντιστοιχεί στην μετάβαση συννεφιασμένος – ηλιόλουστος Αν θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να παραμείνει ηλιόλουστος ο καιρός για τρεις συνεχόμενες εβδομάδες τότε υπολογίζουμε τον πίνακα 3 0.7 0.3 0.8 0.2 0.65 0.35 Ρ 0.45 0.55 0.3 0.7 0.525 0.475       =  =             άρα θα είναι 0.65 ενώ η πιθανότητα από συννεφιασμένος να γίνει ηλιόλουστος σε τρεις εβδομάδες θα είναι 0.525. Με τον τρόπο αυτό ο υπολογισμός των πιθανοτήτων μετατρέπεται σε μία απλή αλγοριθμική διαδικασία, που το μόνο προαπαιτούμενο είναι να γνωρίζουμε πως γίνεται ο πολλαπλασιασμός των πινάκων. Ο Jerzy Neyman (1894-1981) ήταν Πολωνός Μαθηματικός. Δίδαξε στο University College of London και στο University of California, Berkeley. Η αναφορά στις Απίθανες Ιστορίες στο όνομά του γίνεται γιατί είναι ο πρώτος που εισήγαγε στον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων την έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης. Αλλά τι είναι διάστημα εμπιστοσύνης; Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε τους μαθητές του Λυκείου ενός νομού ως προς το ύψος τους. Είναι προφανές ότι θα προσπαθήσουμε να εκτιμήσουμε το μέσο ύψος με τη βοήθεια ενός δείγματος του πληθυσμού. Έστω ότι το δείγμα είναι n=100 άτομα και ότι σε αυτό βρέθηκε μέσος χ 160 = . Αν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι σ 20 = . Ποιος είναι ο μέσος του πληθυσμού; Ο Neyman κατέληξε στον τύπο σ x z n   (1), όπου χ ο μέσος του δείγματος , σ η τυπική απόκλιση του πληθυσμού , n το μέγεθος του δείγματος και z οι τιμές : 1,645 αν θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 90%, 1,96 αν θέλουμε 95% επίπεδο εμπιστοσύνης και 2,58 αν θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 99%. Αν θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% που είναι το σύνηθες σε μια δειγματοληψία τότε ο τύπος (1) δίνει τις τιμές 163,92 και 156,08. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε 100 τυχαία δείγματα μαθητών μεγέθους n στα 95 δείγματα, το μέσο ύψος θα παίρνει τιμή στο διάστημα [156.08,163.92]. Το διάστημα αυτό λέγεται διάστημα εμπιστοσύνης με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 55 Αν πάρουμε δείγμα μεγέθους 400 και θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% τότε το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι [158.04,161.96], άρα η εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού θα είναι καλύτερη. Στο 1ο σχήμα έχουμε 100 δείγματα μεγέθους 3. Παρατηρείστε ότι στα 95 από αυτά ο μέσος του πληθυσμού (true mean) βρίσκεται μέσα σε διάστημα των δειγμάτων με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Στο 2ο σχήμα έχουμε 100 δείγματα μεγέθους 100. Εδώ στα 94 από τα δείγματα ο μέσος του πληθυσμού (true mean) βρίσκεται σε διάστημα των δειγμάτων με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Επειδή όμως το μέγεθος του δείγματος αυξήθηκε η εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού είναι καλύτερη αφού θα γίνει σε μικρότερο διάστημα. Στην περίπτωση όπου η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη, τότε χρησιμοποιούσε το κριτήριο s x t n   , όπου s η τυπική απόκλιση του δείγματος και t οι αντίστοιχες τιμές που προκύπτουν από την κατανομή t-student για να πετύχουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Ήρθε η ώρα να αναφερθούμε στον κορυφαίο Ρώσο Μαθηματικό στον τομέα των Πιθανοτήτων, τον Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Ο οποίος το 1933 καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας δημοσιεύει το βιβλίο του «Foundations of the Theory of Probability» στο οποίο θέτει τις σύγχρονες αξιωματικές βάσεις της θεωρίας των Πιθανοτήτων. Συγχρόνως αποδεικνύει τον νόμο των μεγάλων αριθμών δείχνοντας παράλληλα τη σύγκλιση των συχνοτήτων που ο Mise θεωρούμε αξιωματικά ως δεδομένη. Το 6ο πρόβλημα του Hilbert εν μέρει λύνεται … Ο Kolmogorov θεωρεί … Έστω } ,..., , { 2 1     =  ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Και αξιώνει … Σε κάθε απλό ενδεχόμενο } { i  αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με i Ρ(ω ) έτσι ώστε να ισχύουν : • 1 ) ( 0    i  • 1 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 1 1 =  + +  +  =   =       i i
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 56 Τον αριθμό i Ρ(ω ) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου } { i  . Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου } ,..., , { 2 1 k a a a A = O   ορίζουμε το άθροισμα ) ( ... ) ( ) ( 2 1 k a P a P a P + + + ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου O  ορίζουμε τον αριθμό 0 ) ( =  O P Η θεωρία των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής ανάλυσης αναπτύσσεται στα χρόνια που ακολουθούν ραγδαία. Χρησιμοποιείται στην μοντελοποίηση και τη μαθηματική ανάλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται η τυχαιότητα. Εφαρμόζεται για τη λήψη αποφάσεων στον χώρο των επιστημών υγείας, στην αποτίμηση κινδύνων στον χώρο της οικονομικής επιστήμης και αναλογιστικής. Τα μαθηματικά που χρειάζονται για να παρακολουθήσει κάποιος την εξέλιξη αυτή είναι προφανές ότι δυσκολεύουν … Για τις ανάγκες του βιβλίου θα γίνει αναφορά στα γεγονότα χωρίς να επιμένουμε στομαθηματικό κομμάτι, διανθίζοντας όμως το κείμενό μας με Απίθανες Ιστορίες … όπου είναι αυτό δυνατό.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 57 Ο Θεός δεν παίζει ζάρια … (Albert Einstein) Μία Απίθανη Ιστορία με άρωμα Φυσικής ‘Ήταν το 1900 όταν ο Γερμανός Φυσικός Max Planck (1858-1947) υπέθεσε ότι η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια εκπέμπεται κατά ορισμένα ποσά, που ονομάστηκαν κβάντα. Η υπόθεση αυτή εξηγούσε ικανοποιητικά τις παρατηρούμενες ποσότητες ακτινοβολούμενης ενέργειας από τα θερμά αντικείμενα … Μετά από χρόνια, το 1926 ένας άλλος Γερμανός Φυσικός, ο Werner Heisenberg (1901-1976) διατύπωσε την περίφημη αρχή της απροσδιοριστίας, εξηγώντας … Για να μπορέσουμε να προβλέψουμε τη (μελλοντική) θέση και ταχύτητα ενός σωματιδίου θα πρέπει να μετρήσουμε την τωρινή θέση και ταχύτητά του. Αυτό μπορεί να γίνει φωτίζοντάς το. Κάποια κύματα φωτός θα ανακλαστούν πάνω του και θα το παρατηρήσουμε. Επειδή όμως το φως είναι κύμα το σωματίδιο το παρατηρούμε με ακρίβεια όση το μήκος του κύματος που χρησιμοποιούμε. Αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει να χρησιμοποιήσουμε φως με μικρό μήκος κύματος. Μικραίνοντας όμως το μήκος του κύματος επηρεάζουμε την κινητική του κατάσταση… Οπότε έχουμε το εξής δίλημμα … Όσο πιο μεγάλη είναι η ακρίβεια με τη οποία προσπαθούμε να μετρήσουμε τη θέση του σωματιδίου τόσο πιο μικρή είναι η ακρίβεια με την οποία μπορούμε να μετρήσουμε την ταχύτητά του, και αντίστροφα ! Έτσι σε ένα πείραμα δεν προβλέπεται ένα μοναδικό αποτέλεσμα, αλλά ένα πλήθος διαφορετικών πιθανών αποτελεσμάτων. Αναπόφευκτα εισάγεται στην Φυσική ένα στοιχείοαδυναμίας πρόβλεψης και τυχαιότητας. Με το τυχαίο να μη προκύπτει από άγνοια κάποιων συνθηκών, αλλά ως εγγενή κατάσταση του μικρόκοσμου. Οι παρατηρήσεις μας απλώνονται στο χώρο και τον χρόνο με μια συγκεκριμένη κατανομή πιθανοτήτων. Λες και όλα εξαρτώνται από το ρίξιμο ενός ζαριού …
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 58 O Albert Einstein (1879-1955) ενώ τιμήθηκε με Nobel για την συνδρομή του στην κβαντική θεωρία, δεν δέχθηκε ποτέ ότι η τύχη κυβερνά το σύμπαν. Οι απόψεις του συνοψίζονται στην περίφημη φράση του … « Ο Θεός δεν παίζει ζάρια …» Πολύ αργότερα ο καθηγητής Φυσικής και Χημείας στο Harvard University Eric Heller, χρησιμοποιώντας αλγορίθμους και προγραμματίζοντας κατάλληλα τους υπολογιστές του «ζωγραφίζει» το τυχαίο της κβαντικής Φυσικής … «… το κβαντικό βασίλειο των ηλεκτρονίων, των ατόμων και των μορίων, ο παράξενος, συχνά χαοτικός κβαντικός κόσμος παράγει μορφές, τις οποίες χρησιμοποιώ ως μέσο, δημιουργώντας εικόνες που μεταφέρουν το μυστήριο της κβαντικής φυσικής». Πιθανές θέσεις σωματιδίου
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 59 Οι δάσκαλοι του 20ου αιώνα … George Undy Yule ( 1871-1951) Mαθητής του Pearson και καθηγητής στο Cambridge University . Εφάρμοσε τη συσχέτιση και την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων σε προβλήματα κοινωνικών επιστημών. Από τους πρώτους που εργάστηκαν στην ανάλυση χρονοσειρών. Εισάγοντας τις έννοιες : τάση , κυκλική - εποχική και τυχαία συνιστώσα. Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956) Γάλλος μαθηματικός . Η εργασία του στη θεωρία του μέτρου τον οδήγησε να αναπτύξει τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Ιδρυτής του Paris Institute of Statistics, (1922). Το 1913 διατυπώνει το infinite monkey theorem ! Το θεώρημα λέει … Ένας πίθηκος χτυπά τυχαία πλήκτρα σε μια γραφομηχανή για άπειρο χρονικό διάστημα. Τότε είναι σίγουρο ότι θα πληκτρολογήσει οποιοδήποτε πιθανό πεπερασμένο κείμενο, για παράδειγμα τον Hamlet του Shakespeare. Καταρχήν πρέπει να γνωρίζουμε ότι αν έχουμε δύο ενδεχόμενα που η πραγματοποίηση του ενός δεν εξαρτάται από την πραγματοποίηση του άλλου τότε αυτά λέγονται ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Επίσης αν έχουμε δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α και Β η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν και τα δύο είναι ίση με το γινόμενο των επιμέρους πιθανοτήτων. Δηλαδή ισχύει ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β)  =  Ας σκεφτούμε την πρόταση … « να ζει κανείς ή να μη ζει » αποτελείται από μία συγκεκριμένη ακολουθία 19 γραμμάτων. Ποια η πιθανότητα να πληκτρολογηθεί τυχαία από έναν πίθηκο; Το κάθε πλήκτρο έχει πιθανότητα 1/50 ( όσα είναι τα πλήκτρα σε μία γραφομηχανή) άρα η ακολουθία των 19 αυτών γραμμάτων έχει πιθανότητα : 19 1 0,0000000000000000000000000000000005242 50   =     η πιθανότητα να μη πληκτρολογηθεί η φράση θα είναι 19 1 1 50   −     ,
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 60 επίσης η πιθανότητα να μη πληκτρολογηθεί η φράση σε καμία από ν διαδοχικές πληκτρολογήσεις 19 γραμμάτων είναι ν 19 1 Ρ(ν) 1 50     = −           . Εδώ είναι το παράδοξο … καθώς το ν μεγαλώνει – άπειρος χρόνος – το Ρ(ν) μικραίνει , δηλαδή μικραίνει η πιθανότητα σε κάποια από τις ν πληκτρολογήσεις 19 γραμμάτων να μη εμφανιστεί η φράση « να ζει κανείς ή να μη ζει». Άρα κάποια στιγμή στο μέλλον, δεν ξέρω για ολόκληρο τον Hamlet, αλλά αυτή η διάσημη φράση θα έχει γραφτεί, ακόμα και από έναν πίθηκο! Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) Βρετανός Μαθηματικός, βιολόγος και ακαδημαϊκός. Θεωρείται από τους σημαντικότερους στατιστικολόγους του 20ου αιώνα. Αυτός είναι που πρώτος ανέπτυξε την ανάλυση διασποράς (ANOVA). Το 1918 δημοσιεύει το βιβλίο « The Correlation Between Relatives on the Susposition of Mendelian Heritance ».Εκεί εισάγει τον όρο διακύμανση. Το 1925 δημοσιεύει το «Statistical Methods for Research Workers» ένα από τα σημαντικότερα βιβλία στατιστικής που γράφηκαν ποτέ. Εκεί τυποποιεί τις βασικές αρχές του ελέγχου υποθέσεων. Σημειώνει την τιμή z=1.96 για τον προσδιορισμό επιπέδου εμπιστοσύνης 95%, δίνοντας σε κάποιο σημείο της εργασίας ακριβέστερη τιμή ίση με 1,959964. Τι σημαίνει όμως έλεγχος υπόθεσης ; Ας υποθέσουμε ότι είστε υπεύθυνος παραγωγής ενός προϊόντος. Οι μηχανές του εργοστασίου έχουν ρυθμιστεί ώστε να παράγουν προϊόντα με μέσο πάχος μ=4 χιλιοστά και τυπική απόκλιση σ=0.1 χιλιοστά. Για να διαπιστώσεις αν όλα εξελίσσονται με βάση της προδιαγραφές παίρνεις ένα τυχαίο δείγμα n=50 προϊόντων στο οποίο διαπιστώνεις ότι το μέσο πάχος των προϊόντων είναι x 4.02 = . Το ερώτημα που τίθεται είναι αν η παραγωγή εξελίσσεται ομαλά ή όχι. Tο ερώτημα αυτό ο Fisher το απαντά ελέγχοντας αν ο μέσος 4.02 μπορεί να προέρχεται από ένα πληθυσμό με μέσο 4. Δηλαδή αν το δείγμα μας μπορεί να ανήκει στα δείγματα που εν δυνάμει μπορούμε να πάρουμε από ένα πληθυσμό με μέσο μ=4 και τυπική απόκλιση σ=0.1. Ο έλεγχος γίνεται βρίσκοντας το διάστημα σ σ Δ [ x z ,x z ] n n = − + , με το z να παίρνει την τιμή 1.96 για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και ελέγχοντας αν η τιμή μ ανήκει σε αυτό. Στο παράδειγμά μας το διάστημα είναι Δ=[3.99 , 4.04]. Επειδή 4 Δ  έχουμε ότι η παραγωγή εξελίσσεται ομαλά (αφού δεν υπάρχουν ενδείξεις που να οδηγούν στο συμπέρασμα ότι το μέσο πάχος των παραγόμενων προϊόντων δεν είναι ίσο με 4 χιλιοστά).
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 61 George Waddel Snedecor (1881-1974) Αμερικάνος Μαθηματικός και Στατιστικολόγος. Ίδρυσε το πρώτο τμήμα στατιστικής στις Η.Π.Α. στο Iowa State University. Πρωτοπόρος της σύγχρονης εφαρμοσμένης στατιστικής. Το 1938 συγγράφει το “Statistical Methods” το βιβλίο με της περισσότερες αναφορές στην ιστορία της Στατιστικής. Εκεί αναπτύσσει τεχνικές ανάλυσης διασποράς. Αποδεικνύει ότι ο λόγος των διακυμάνσεων δύο δειγμάτων που προέρχονται από κανονικούς πληθυσμούς ακολουθεί μία ασύμμετρη κατανομή, την οποία ονομάζει κατανομή F προς τιμή του Fisher. Την κατανομή αυτή την χρησιμοποιεί για να επεκτείνει τις βασικές αρχές ελέγχου υποθέσεων για δύο δείγματα. John von Neumann (1903-1957) Ούγγρος μαθηματικός. Θεωρείται ο μαθηματικός που έχει εργαστεί στους περισσότερους τομείς των μαθηματικών. Συναρτησιακή ανάλυση, θεωρία ομάδων, θεωρία μέτρου, τοπολογία, διαφορικές εξισώσεις, αριθμητική ανάλυση, πυρηνική φυσική, κβαντική στατιστική φυσική, θεωρία παιγνίων, γραμμικό προγραμματισμό, οικονομία, μετεωρολογία, στοχαστικά μαθηματικά, εκτιμητική στατιστική, πληροφορική κ.α. Πανεπιστήμονας με προσφορά τόσο στα θεωρητικά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ισόβιος καθηγητής στο Institute for Advanced Study (IAS) στο Princeton του New Jersey. Θεμελιωτής της θεωρίας παιγνίων ως μαθηματικό κλάδο. Απέδειξε το θεώρημα Minimax το 1928, διατυπώνοντας σε παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος στρατηγικές ελαχιστοποίησης απωλειών. Τις στρατηγικές αυτές τις εφάρμοσε σε τομείς όπως όπως αυτής της τεχνικής νοημοσύνης και της θεωρίας αποφάσεων. Υπάρχει μία Απίθανη Ιστορία με πρωταγωνιστή τον Neumann … Βρισκόμαστε στο 1946 και οι Φυσικοί των πυρηνικών όπλων των ΗΠΑ στο Los Alamo ερευνούσαν τη διάχυση των νετρονίων στον πυρήνα ενός πυρηνικού όπλου. Τα προβλήματα που είχαν να απαντήσουν ήταν να προσδιορίσουν τη μέση απόσταση που θα διανύσει ένα νετρόνιο πριν συγκρουστεί με έναν ατομικό πυρήνα, την ενέργεια που ήταν πιθανό να εκπέμψει το νετρόνιο μετά από μια σύγκρουση κ.α. Στα προβλήματα αυτά δεν μπορούσαν να βρουν πειστικές απαντήσεις. Τότε ήταν που ο Stanisław Marcin Ulam (1909-1984) μαθηματικός είχε την ιδέα να χρησιμοποιήσουν επαναλαμβανόμενα τυχαία πειράματα. Ο ίδιος αναφέρει ότι η ιδέα αυτή προήλθε παίζοντας πασιέντσα !
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 62 « κάποια στιγμή έθεσα στον εαυτό μου το ερώτημα ποιες είναι οι πιθανότητες να βγει με επιτυχία μια πασιέντζα Canfield με 52 φύλλα; Αφού ξόδεψα πολύ χρόνο προσπαθώντας να τις υπολογίσω χρησιμοποιώντας κλασικές μεθόδους συνδυαστικής, αναρωτήθηκα … μήπως ήταν πιο εύκολο να παίξω έναν ικανό αριθμό παρτίδων, π.χ. 100 και απλώς να μετρήσω τον αριθμό των επιτυχημένων εκβάσεων; Είχαμε ήδη στην κατοχή μας τους πρώτους γρήγορους υπολογιστές για κάτι τέτοιο. Τότε ήταν που σκέφτηκα ότι τα προβλήματα διάχυσης νετρονίων και τα άλλα ερωτήματα της μαθηματικής φυσικής που περιγράφονται από ορισμένες διαφορικές εξισώσεις θα μπορούσαν να πάρουν μία ισοδύναμη μορφή ως διαδοχή τυχαίων γεγονότων … Την ιδέα αυτή την ανέφερα στον Neumann και αυτός αμέσως κατάλαβε και αρχίσαμε να σχεδιάζουμε τις πρώτες προσομοιώσεις, προγραμματίζοντας τον υπολογιστή ENIAC …» Το έργο αυτό πήρε την συνθηματική ονομασία Monte Carlo. Στην επόμενη δεκαετία η μέθοδος Monte Carlo χρησιμοποιήθηκε στην ανάπτυξη της βόμβας υδρογόνου, αλλά και σε τομείς της Φυσικής και της Επιχειρησιακής Έρευνας. Στα επόμενα χρόνια η τεχνική γίνεται ολοένα και πιο δημοφιλής, η ανάπτυξη της υπολογιστικής δύναμης των υπολογιστών και η δυνατότητα παραγωγής ολοένα και μεγαλύτερου όγκου τυχαίων αριθμών κατανεμημένων κανονικά οδήγησε τον Bradley Efron – Μαθηματικός (πρόεδρος του Ινστιτούτου Μαθηματικής Στατιστικής των ΗΠΑ) το 1979 στην ανάπτυξη της τεχνικής επαναδειγματοληψίας Bootstrap. Με τη μέθοδο αυτή συμβατικές μέθοδοι, υπολογιστικής ολοκλήρωσης και στατιστικής ανάλυσης αντικαθίστανται με προσομοιώσεις υπολογιστών που είναι σε θέση να αναλύουν τεράστιο όγκο δεδομένων σε ελάχιστο χρόνο. Το πλέον απλό και συγχρόνως γνωστό πρόβλημα που επιλύεται με την μέθοδο Monte Carlo είναι αυτό του υπολογισμού του εμβαδού οποιουδήποτε χωρίου. Η ολοκλήρωση αντικαθίσταται με ένα νέφος τυχαίων σημείων που οι συντεταγμένες τους προκύπτουν από πίνακες τυχαίων κανονικά κατανεμημένων αριθμών. Μετά δεν έχουμε παρά να αθροίσουμε τα σημεία που βρίσκονται στην περιοχή που θέλουμε να υπολογίσουμε. Ας δούμε την Απίθανη Ιστορία της προσέγγισης του αριθμού “π” με τη μέθοδο του Monte Carlo. Θεωρούμε τετράγωνο πλευράς 2 και ο εγγεγραμμένος σε αυτό κύκλος ακτίνας r=1. Με τη βοήθεια του λογισμικού GeoGebra προγραμματίζουμε να «πέφτουν» μέσα στο τετράγωνο τυχαία σημεία. Μετράμε πόσα σημεία βρίσκονται μέσα στο τετράγωνο και μέσα στον κύκλο. Σχηματίζουμε τον λόγο αριθμός σημείων μέσα στον κύκλο λ συνολικός αριθμός σημείων = Η υπόθεση που γίνεται είναι ότι ο λόγος αυτός, καθώς ο αριθμός των σημείων ολοένα και αυξάνεται
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 63 γίνεται ίσος με τον λόγο 2 2 Εμβαδόν κύκλου π 1 π Εμβαδόν τετραγώνου 2 4  = = Οπότε ο αριθμός π θα είναι ίσο με π 4 λ =  . Στο αρχικό σχήμα με 461 σημεία μετράμε 372 εσωτερικά σημεία οπότε η εκτιμώμενη τιμή του π είναι 3,2278, στο δεύτερο σχήμα με 904 σημεία μετράμε 710 εσωτερικά και π=3,1416 μια πολύ καλή προσέγγιση, δεν νομίζεται; Paul Erdos (1913-1996) Ούγγρος μαθηματικός, από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Εργάστηκε στα διακριτά μαθηματικά, θεωρία γραφημάτων, θεωρία αριθμών, μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, θεωρία πιθανοτήτων. Το 1938 και για δέκα χρόνια έμεινε ως υπότροφος στο Institute for Advanced Study (IAS) στο Princeton. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα του ήταν ότι ποτέ δεν έμενε πολύ σε ένα μέρος. Ταξίδευε συνεχώς από πολιτεία σε πολιτεία, από πανεπιστήμιο σε πανεπιστήμιο, από χώρα σε χώρα. Ας σημειώσουμε ότι αν και βρισκόμαστεστη μέση του «ψυχρού πολέμου» ο Erdős είχε τη δυνατότητα να ταξιδεύει από Αμερική σε Ευρώπη και από εκεί στην Σοσιαλιστική – εκείνη την εποχή – Ουγγαρία, την πατρίδα του. Δημοσίευσε πάνω από 1500 εργασίες. Πίστευε ότι τα Μαθηματικά είναι μία κοινωνική δραστηριότητα και αυτό το εφάρμοζε συνεργαζόμενος με ένα πλήθος μαθηματικών από όλον τον κόσμο. Διάσημοι είναι οι αριθμοί Erdős που είχαν καθιερωθεί με τον Erdős εν ζωή. Ο ίδιος ο Erdős είχε τον αριθμό 0. Μαθηματικοί που συνεργάστηκαν απευθείας μαζί του και δημοσίευσαν ένα έργο με αυτόν έχουν τον αριθμό 1. Μαθηματικοί που συνεργάστηκαν με μαθηματικούς με αριθμό Erdős 1 και δημοσίευσαν μαζί τους κάτι, έχουν τον αριθμό Erdős 2 κ.ο.κ. Σχετικά με τους αριθμούς Erdős έχει αναπτυχθεί μια ιδιαίτερη στατιστική! Το 90% των ενεργών μαθηματικών παγκοσμίως έχουν αριθμό Erdős μικρότερο από 8 Οι 268.000 μαθηματικοί που υπάρχουν με αριθμό Erdős έχουν διάμεση τιμή 5. Ο διάμεσος αριθμός Erdős των μαθηματικών που είναι κάτοχοι του μεταλλείου Fields ( το αντίστοιχο του βραβείου Nobel για τους Μαθηματικούς) είναι 3. Η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία παρέχει ένα δωρεάν διαδικτυακό εργαλείο για τον προσδιορισμό του αριθμού Erdős κάθε μαθηματικού συγγραφέα που αναφέρεται στον κατάλογο Mathematical Reviews .
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 64 Στην Απίθανη Ιστορία που ακολουθεί πρωταγωνιστεί μία κύρια η Marilyn vos Savant η οποία έχει έναν από τους υψηλότερους καταγεγραμμένους δείκτες νοημοσύνης παγκοσμίως. Η Marilyn έγραφε στη στήλη ενός περιοδικού όπου καλούσε τους αναγνώστες να λύσουν παζλ και να απαντήσουν σε προβλήματα λογικής. Το 1990 στην στήλη της διατύπωσε την εξής ερώτηση. Ας υποθέσουμε ότι είστε σε μία εκπομπή παιχνιδιών και έχεις την δυνατότητα να διαλέξεις μία πόρτα από τις τρεις που υπάρχουν. Σε μία από τις τρεις υπάρχει ένα αυτοκίνητο και στις άλλες δύο από μία κατσίκα. Επιλέγεις ας πούμε την 1η και ο παρουσιαστής – που προφανώς γνωρίζει σε ποια πόρτα βρίσκεται το αυτοκίνητο – ανοίγει την τρίτη πόρτα και εμφανίζεται μία κατσίκα. Μετά σου δίνεται η δυνατότητα ή να κρατήσεις την 1η πόρτα ή να αλλάξεις. Ποια από τις δύο επιλογές που σου δίνονται έχουν την μεγαλύτερη πιθανότητα επιτυχίας; Η Marilyn έδωσε ως απάντηση ότι ο παίκτης πρέπει να αλλάξει διότι τότε έχει πιθανότητα επιτυχίας 2/3 αντί της 1/3 που θα έχει αν επιμείνει στην αρχική επιλογή του. Μετά από αυτό η στήλη κατακλίστηκε από 10.000 περίπου επιστολές που θεωρούσαν την απάντησή της λαθεμένη. Μεταξύ των επιστολών και πολλών μαθηματικών που την καλούσαν να μη ασχολείται με προβλήματα και τομείς των Μαθηματικών που δεν γνωρίζει. Ο Erdős όταν του τέθηκε το πρόβλημα ήταν από εκείνους που θεωρούσαν ότι η πιθανότητα δεν αλλάζει. Πείστηκε περί του αντιθέτου μόνο όταν έτρεξε στον υπολογιστή προσομοίωση που έδειχνε άλλα … Για να δώσουμε μία απάντηση στο πρόβλημα αυτό, ας ξεκινήσουμε την ιστορία από την αρχή. Είχαμε τρεις πόρτες όπου πίσω από μία υπάρχει το δώρο. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Π1 « Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα 1» με Ρ(Π1)=1/3 Π2 « Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα 2» με Ρ(Π2)=1/3 Π3 « Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα 3» με Ρ(Π3)=1/3 Α « Ο παρουσιαστής ανοίγει την 3η πόρτα (και παρουσιάζει μία κατσίκα)». Αυτό που θέλουμε να συγκρίνουμε είναι τις πιθανότητες των ενδεχομένων Π1/Α και Π2/Α. Για να απαντήσουμε θα μας βοηθήσει ο Bayes … Καταρχήν να βρούμε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α/Π1 , Α/Π2 και Α/Π3 Πόσο είναι η πιθανότητα Ρ(Α/Π1) ; Δηλαδή ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου ο παρουσιαστής να ανοίξει την 3η πόρτα ενώ το αυτοκίνητο βρίσκεται στην 1η πόρτα; Προφανώς ο παρουσιαστής μπορεί να επιλέξει μεταξύ 2ης και 3ης πόρτας. Άρα το ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 1/2. Πόσο είναι η πιθανότητα Ρ(Α/Π2); Δηλαδή ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου ο παρουσιαστής να ανοίξει την 3η πόρτα ενώ το αυτοκίνητο είναι πίσω από την 2η πόρτα;. Ας σημειωθεί ότι ήδη εσείς έχετε επιλέξει την 1η πόρτα, άρα η επιλογή είναι μόνο μία πόρτα η 3η οπότε η πιθανότητα είναι 1. 1986 - Erdos και Tao (μετάλλιο Fields 2006) λύνουν από κοινού μία άσκηση !
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 65 Πόσο είναι η πιθανότητα Ρ(Α/Π3) Δηλαδή ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου να ανοίξει την 3η πόρτα τη στιγμή όπου το αυτοκίνητο είναι στην 3η πόρτα; Προφανώς 0 , αφού ο παρουσιαστής δεν πρόκειται να ανοίξει την πόρτα στην οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο! Ας εφαρμόσουμε τον τύπο του Bayes … Ρ(Α / Π1) Ρ(Π1) Ρ(Π1/ Α) Ρ(Α / Π1) Ρ(Π1) Ρ(Α / Π2) Ρ(Π2) Ρ(Α / Π3) Ρ(Π3) 1 1 1 1 2 3 6 1 1 1 1 3 3 1 0 2 3 3 3 6  = =  +  +   = = =  +  +  Ρ(Α / Π2) Ρ(Π2) Ρ(Π2 / Α) Ρ(Α / Π1) Ρ(Π1) Ρ(Α / Π2) Ρ(Π2) Ρ(Α / Π3) Ρ(Π3) 1 1 1 6 2 3 3 1 1 1 1 3 9 3 1 0 2 3 3 3 6  = =  +  +   = = = =  +  +  Πόσο δίκιο έχει η Marilyn … γι’ αυτό και το κομμάτι αυτό των μαθηματικών το έχουν βαφτίσει Στοχαστικά Μαθηματικά. Πριν πεις – βιαστικά – μία απάντηση καλό είναι να το σκεφτείς αρκετά !
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 66 Είναι προφανές ότι στην παρουσίαση που έγινε πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί δεν αναφέρθηκαν. Ένας τομέας όπως οι Πιθανότητες και η Στατιστική χρειάζεται πολλούς μεγάλους και μικρότερους επιστήμονες να τον υπηρετήσουν. Μπορεί η μικρότερη συνεισφορά να είναι η έμπνευση σε κάποιον άλλον για κάτι μεγάλο. Ο στόχος του βιβλίου είναι να δώσει μία συνοπτική ιστορική διαδρομή, αναφέροντας ιστορικά στοιχεία, βιογραφίες, αλλά προπάντων Απίθανες Ιστορίες, πραγματικές ιστορίες που αναφέρονται σε υπαρκτά πρόσωπα. Υπάρχουν μικρές στιγμές της ιστορίας που περιδιαβαίνουμε που έγινε κάτι το μοναδικό, κάτι που βοήθησε την εξέλιξη των Μαθηματικών αλλά και της επιστήμης γενικότερα. Έτσι έρχεται η σειρά να αναφερθούμε στις … Σύντομες ιστορίες … με χρονολογική σειρά Ο Walter Andrew Shewhart (1891–1967) ήταν Αμερικανός φυσικός, μηχανικός και στατιστικολόγος. Εργαζόταν στην Bell Telephone και ο σκοπός του ήταν να βελτιώσει την αξιοπιστία των συστημάτων μετάδοσης των σημάτων. Ήταν 16 Μαΐου 1924, όταν … "Ο Δρ. Σιούχαρτ ετοίμασε ένα μικρό υπόμνημα σε μήκος μόνο περίπου μιας σελίδας. Το ένα τρίτο αυτής της σελίδας αφιερώθηκε σε ένα απλό διάγραμμα που σήμερα το λέμε διάγραμμα ελέγχου. Αυτό το διάγραμμα, και το σύντομο κείμενο που το συνόδευε , καθόρισε όλες τις βασικές αρχές και εκτιμήσεις που εμπλέκονται σε αυτό που γνωρίζουμε σήμερα ως ποιοτικός έλεγχος διαδικασίας». Ο John Wilder Tukey (1915-2000) ήταν Αμερικάνος Μαθηματικός και στατιστικολόγος. Εργαζόμενος για τη ανάπτυξη στατιστικών μεθόδων για υπολογιστές στα εργαστήρια της Bell εφηύρε το όρο “bit” το 1947. Επίσης το 1977 στο βιβλίο του "Exploratory Data Analysis" χρησιμοποιείται για πρώτη φορά το box plot (θηκόγραμμα) στο οποίο εμφανίζονται «γραφικά» το εύρος, ο μέσος, ο διάμεσος και τα τεταρτημόρια μιας κατανομής.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 67 Το 1993 εκδίδεται προς ευρεία χρήση η γλώσσα προγραμματισμού R. H R είναι μια γλώσσα και ένα περιβάλλον για στατιστικούς υπολογιστές και γραφικά. Αρχικά αναπτύχθηκε στα εργαστήρια Bell, από τον John McKinley Chambers και τους συνεργάτες του. Παρέχει μια μεγάλη ποικιλία στατιστικών εφαρμογών, όπως γραμμική και μη γραμμική μοντελοποίηση, στατιστικές δοκιμές, ανάλυση χρονοσειρών, ταξινόμηση, ομαδοποίηση κ.α. Ένα από τα πλεονεκτήματα της R είναι η ευκολία με την οποία μπορούν να παραχθούν καλά σχεδιασμένα γραφικά, μαθηματικά σύμβολα και τύποι. Η επόμενη αναφορά μας είναι διπλή και αναφέρεται σε δύο σημαντικά γεγονότα που απέχουν 76 χρόνια μεταξύ τους … Κατ’ αρχήν βρισκόμαστε στο 1936 και όλοι περιμένουν της εκλογές στις ΗΠΑ. Αντίπαλοι οι Franklin Delano Roosevelt (Δημοκρατικός) και Alf Landon (Ρεπουμπλικάνος). Το περιοδικό Literary Digest προβλέπει νίκη του Landon μετά από δημοσκόπηση που ήταν βασισμένη σε περισσότερα από 2.000.000 ερωτηματολόγια. Όμως ο George Horace Gallup (1901–1984) βασιζόμενος στις απαντήσεις 50.000 ερωτηθέντων προβλέπει σωστά την σαρωτική νίκη του Roosevelt. Δικαίως θεωρείται πρωτοπόρος των τεχνικών δειγματοληπτικής έρευνας για την μέτρηση της κοινής γνώμης. Η επιλογή ενός αντιπροσωπευτικού δείγματος έκανε τη διαφορά. Στο κοντινό 2012 ο Nathaniel (Nate) Read Silver προβλέπει σωστά τον νικητή των προεδρικών εκλογών και στις 50 πολιτείες και στην περιφέρεια της Κολούμπια. Ο Nate ανακηρύσσεται ως ένας από του 100 ανθρώπους με την μεγαλύτερη επιρροή στον κόσμο. Η δειγματοληπτική έρευνα στα καλύτερά της … Αριστερά η πρόβλεψη και δεξιά το αποτέλεσμα
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 68 Απίθανες παρανοήσεις … Η φρενίτιδα του καλοκαιριού ήταν τα διαδοχικά jackpot στο lotto που θα μοίραζαν εκατομμύρια. Ουρές ανθρώπων μπροστά στα ΠΡΟΠΟ της γειτονιάς, χιλιάδες τα χρήματα που παίζονταν. Κι’ όμως μετά από όσα έχουμε ήδη αναφέρει, γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος είναι μόλις 6! 43! 1 0.0000000715 49! 13.983.816  = = , να ’σου και εγώ να περιμένω στην ουρά! Η διαφημιστική αφίσα στη πόρτα του μαγαζιού υποσχόταν αυτοκίνητα, σπίτια, εξωτικά μέρη που θα μπορούσες να αποκτήσεις αν κέρδιζες. Η ανικανότητα μας να συνειδητοποιήσουμε να εκτιμήσουμε αλλά και να συγκρίνουμε πολύ μικρούς ή πολύ μεγάλους αριθμούς στην ψυχολογία λέγεται Αριθμητική Παράλυση . Με βάση τα διαθέσιμα στοιχεία η Ελληνική Στατιστική Εταιρεία έχει υπολογίσει ότι η πιθανότητα να εμπλακεί κάποιος σε αυτοκινητικό δυστύχημα είναι 0,017, η πιθανότητα να χτυπηθεί από κεραυνό είναι 0,0000033, από μετεωρίτη 0,000000004. Άρα η πιθανότητα που έχω να κερδίσω το lotto είναι μικρότερη από το να χτυπηθώ από κεραυνό αλλά μεγαλύτερη από το να χτυπηθώ από μετεωρίτη. Νομίζω ότι βρήκαμε τον επόμενο νικητή του παιχνιδιού. Κι όμως υπάρχουν περιπτώσεις που καταρρίπτονται όλα όσα μάθαμε στις προηγούμενες σελίδες, για παράδειγμα : Τον Ιούνιο του 2002, ο ηλεκτρολόγος, Mike Mac Dermott, κέρδισε 194.501 £ στο lotto της Αγγλίας. Το καταπληκτικό είναι ότι συνέχιζε να παίξει τους ίδιους αριθμούς και μετά από τέσσερεις μήνες ξανακέρδισε άλλες £121.157. Η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος δύο φορές στο lotto παίζοντας τους ίδιους αριθμούς είναι 1 στα 5.400.000.000.000 Ο δασοφύλακας του Εθνικού Πάρκου Shenandoah, Roy Sullivan , κατέχει το Guinness World Records επειδή χτυπήθηκε από κεραυνό περισσότερες φορές από οποιοδήποτε άλλο άτομο. Στην περίοδο μεταξύ 1942 και 1977, χτυπήθηκε από κεραυνό σε 7 ξεχωριστές περιπτώσεις και επέζησε από όλες, αποκτώντας το παρατσούκλι του «Human Lightning Rod» . Σύμφωνα με τις στατιστικές, οι πιθανότητες να χτυπηθείς από κεραυνό επτά φορές είναι 1 στα 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 69 Τον Αύγουστο του 1913, στο καζίνο του Monte-Carlo παρατηρήθηκε ένα περίεργο φαινόμενο. Η μπάλα έπεσε στο μαύρο συνολικά 26 συνεχόμενες φορές. Αν αναλογιστούμε ότι η πιθανότητα η μπάλα να προσγειωθεί στο μαύρο σε ένα μόνο γύρισμα είναι 18/37. Η πιθανότητα να πέσει σε μαύρη τρύπα η μπίλια στη ρουλέτα 26 φορές είναι 1 στις 136.823.184 φορές. Το 2015 ένας ερασιτέχνης παίκτης του γκολφ ο Patrick Wills έβαλε με ένα χτύπημα την μπάλα μέσα στις τρύπες 7,10 και 14. Έχει υπολογιστεί με τα διαθέσιμα στατιστικά στοιχεία του Club ότι: η πιθανότητα να πετύχεις με την πρώτη τρεις τρύπες στο γκολφ είναι 1 στα 1.000.000.000.000 φορές. Τέτοια παραδείγματα υπάρχουν πολλά και μπορείτε να τα αναζητήσετε στο διαδίκτυο. Γιατί όμως συμβαίνουν γεγονότα που ανατρέπουν όσα έχουμε πεισθεί ότι ισχύουν από τις πιθανότητες; Ήταν το 1866 όταν ο Άγγλος Μαθηματικός Augustus De Morgan έγραψε «Ό,τι μπορεί να συμβεί θα συμβεί αν κάνουμε αρκετές δοκιμές». Ουσιαστικά διατύπωσε μία πρόταση που συνηθίζεται να ονομάζεται «νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών» και που πρακτικά το έχουμε ήδη συναντήσει στην Απίθανη Ιστορία του πίθηκα συγγραφέα … "η πιθανότητα να συμβεί ένα απίθανο γεγονός X σε Ν ανεξάρτητες δοκιμές μπορεί να πάρει τιμές κοντά στο 1, ανεξάρτητα από το πόσο μικρή είναι η πιθανότητα του γεγονότος X σε μία μόνο δοκιμή, υπό την προϋπόθεση ότι το N είναι πραγματικά μεγάλο» Είναι ο νόμος αυτός που σε συνδυασμό με την ανθρώπινη «επιλεκτική προκατάληψη μνήμης» μας επιτρέπει να διογκώνουμε το απίθανο και να ελαχιστοποιούμε το πιθανό ως συνηθισμένο και άρα ασήμαντο. Η λειτουργία αυτή είναι που κάνει τους παίκτες των τυχερών παιχνιδιών να αποστασιοποιούνται από τις συνέπειες του τζόγου τους μνημονεύοντας τις νίκες και ξεχνώντας τις ήττες τους. Δεν πρέπει λοιπόν να μας κάνει ιδιαίτερη αίσθηση ότι συμβαίνουν και τα πιο παράξενα πράγματα, αφού μπορούν και να συμβούν. Οι νόμοι των πιθανοτήτων δεν καταρρίπτονται απλώς επιβεβαιώνονται !
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 70 Πιθανές πλάνες … Στην βιβλιογραφία καταγράφονται καταστάσεις όπου η επιφανειακή γνώση των πιθανοτήτων οδηγεί σε λαθεμένα συμπεράσματα. Οι πιο γνωστές από τις καταστάσεις αυτές είναι η πλάνη του κατηγόρου (prosecutor's fallacy) και η πλάνη του βασικού ποσοστού (base rate fallacy) ! Από πλευράς μαθηματικών θα στηριχθούμε στον γνωστό μας νόμο του Bayes Ας δούμε μερικές Απίθανες Ιστορίες … Στο κέντρο του Λονδίνου έχει δηλωθεί μία κλοπή. Σύμφωνα με μαρτυρίες ο δράστης είναι άνδρας ηλικίας από 20 ως 30 ετών, πάνω από 2 μέτρα και κοκκινομάλλης. Με βάσει την περιγραφή συλλαμβάνεται ένας ύποπτος. Στο δικαστήριο δεν παρουσιάζεται κανένα ιατροδικαστικό στοιχείο που μπορούν να ταυτοποιήσουν τον δράστη. Αλλά ο κατήγορος χρησιμοποιεί τις πιθανότητες για να ενοχοποιήσει τον κατηγορούμενο. Συγκεκριμένα ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα να είσαι άνδρας είναι 0,51 ,να έχεις ύψος πάνω από 2 μέτρα είναι 0,025 , να έχεις ηλικία από 20 μέχρι 30 ετών είναι 0,25 και τέλος η πιθανότητα το χρώμα των μαλλιών σου να είναι κόκκινο 0,037. Επειδή οι πιθανότητες αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους η πιθανότητα κάποιος να έχει τα χαρακτηριστικά αυτά είναι 0,0001179. Δηλαδή ένας σε κάθε 10.000 ανθρώπους. Αυτό από μόνο του είναι ένα ικανό επιχείρημα για την ενοχή του κατηγορουμένου! Κι όμως στο ερώτημα πόσος είναι ο πληθυσμός του Λονδίνου και μετά τη προφανή απάντηση 10.000.000 ο δικαστής της έδρας διαπιστώνει ότι τελικά υπάρχουν περί τους 1000 υπόπτους, άρα η πιθανότητας ενοχής είναι 1 στις 1000 περιπτώσεις, ή αντίστροφα η πιθανότητα αθωότητας του κατηγορουμένου ανεβαίνει στο ποσοστό των 99,9% ! Άλλο παράδειγμα … Είμαστε στην Σκωτία μπροστά από ένα κοσμηματοπωλείο. Λίγο πριν είχε γίνει ληστεία και ένας μάρτυρας καταθέτει ότι ο ληστής είχε κόκκινα μαλλιά. Σε κοντινή απόσταση συλλαμβάνεται ένας ύποπτος που κινείται περίεργα που έχει κόκκινα μαλλιά. Με αυτά τα στοιχεία η υπόθεση φθάνει στο δικαστήριο. Ο κατήγορος επικαλείται τα εξής στατιστικά στοιχεία. Στην Σκωτία 6 στους 100 ανθρώπους έχουν κόκκινα μαλλιά και πως ένα άτομο μπορεί να αναγνωρίσει σωστά το χρώμα των μαλλιών ενός ανθρώπου 95 στις 100 φορές. Οπότε κατά 95% είμαστε σίγουροι ότι ο κατηγορούμενος είναι ο δράστης της ληστείας. Σωστά ; - Λάθος !
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 71 Από ένα πληθυσμό επιλέγουμε στη τύχη έναν άνθρωπο. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α« ο ύποπτος έχει κόκκινα μαλλιά» και Β « ο μάρτυρας αναγνωρίζει κόκκινο χρώμα μαλλιών» Ας δούμε διαγραμματικά τις δεδομένες πιθανότητες … Αυτό που θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο ύποπτος να έχει κόκκινα μαλλιά με την προϋπόθεση ότι ο μάρτυρας τον έχει αναγνωρίσει, δηλαδή την Ρ(Α/Β). Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε ότι Ρ(Α)=6% και Ρ(Β/Α)=95% Σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes θα ισχύει ότι : Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 0,95 0,06 Ρ(Α / Β) 0,548 Ρ(Β) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α') 0,95 0,06 0,05 0,94    = = = =  +   +  Άρα μόλις 55% και όχι 95% Τέλος άλλο ένα παράδειγμα με πραγματικά δεδομένα, σχετικά με τα θετικά κρούσματα COVID-19 στην Αγγλία. Υπάρχει ένα τεστ ανίχνευσης του ιού με αποτελεσματικότητα 95%. Επίσης σύμφωνα με τις τελευταίες μετρήσεις 1 στους 150 ανθρώπους έχει COVID. Κάνετε το τεστ και βγαίνει θετικό. Ποια η πιθανότητα να έχετε πραγματικά COVID; Οι περισσότεροι θα πουν … 95% όση και η αξιοπιστία του τεστ. Είναι όμως σωστή η εκτίμηση αυτή; Στο παράδειγμα αυτό θα απαντήσουμε με δύο τρόπους και υπολογιστικά αλλά και με τον νόμο του Bayes. Γνωρίζοντας ότι ο πληθυσμός της Αγγλίας είναι 66.000.000 με βάση τα δεδομένα καταλήγουμε στο διπλανό διάγραμμα Οπότε από εκεί έχουμε ότι η πιθανότητα να έχεις COVID ενώ το τεστ είναι θετικό είναι 418.000 418.000 11 ,3% 418.000 3.278.000 3.696.000 = = +
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 72 Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά ! Επιλέγουμε στην τύχη ένα άτομο το οποίο έχει κάνει το τεστ. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α« έχει COVID-19 », Β« το τεστ βγαίνει θετικό» Αναζητάμε την πιθανότητα το άτομο να έχει COVID ενώ έχει βγει θετικό στο τεστ. Δηλαδή την Ρ(Α/Β) , γνωρίζοντας ότι Ρ(Α)=1/150 και Ρ(Β/Α)=95% Άρα … 1 0,95 Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 150 Ρ(Α / Β) 11 ,3% 1 149 Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α') 0,95 0,05 150 150   = = =  +   +  Το τελευταία μας παράδειγμα πλάνης κατά την εφαρμογή των πιθανοτήτων είναι από την δίκη του Αμερικάνου σταρ του football J. Simpson. Εκεί δικαζόταν ως ύποπτος για την δολοφονία της γυναίκας του, αφού στο παρελθόν είχε επιδείξει ιδιαίτερη βίαιη συμπεριφορά απέναντί της . Η υπεράσπιση επικαλέστηκε τα στατιστικά στοιχεία της πολιτείας όπου σε αυτά παρουσιαζόταν ότι μόνο 1 στις 2500 κακοποιημένες γυναίκες έπεφταν θύματα εντέλει από τους συζύγους τους. Οπότε η πρότερη βίαιη συμπεριφορά δεν θα έπρεπε να ληφθεί υπόψιν των ενόρκων. Η σωστή όμως ανάγνωση των στοιχείων (που φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα) είναι ότι ενώ οι περισσότερες περιπτώσεις συζυγικής κακοποίησης δεν καταλήγουν σε φόνο, οι περισσότερες περιπτώσεις δολοφονίας, όπου υπάρχει ιστορικό συζυγικής κακοποίησης, διαπράχθηκαν από τον σύζυγο.
Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 73 Επίλογος Κάπου εδώ φθάσαμε στο τέλος του ταξιδιού μας. Γνωρίσαμε σπουδαίες προσωπικότητες, Μαθηματικούς, Φυσικούς, Βιολόγους, Στατιστικολόγους. Μελετήσαμε προβλήματα – Απίθανες Ιστορίες - με ιστορική σημασία, αφού η λύση τους οδήγησε την επιστήμη των μαθηματικών να κάνει άλματα. Γνωρίσαμε τα σφάλματα που είναι πιθανόν να κάνουμε αν δεν εφαρμόζουμε σωστά τον λογισμό των πιθανοτήτων. Το μόνο σίγουρο είναι ότι όταν προσπαθείς να απλοποιείς έννοιες αναπόφευκτα κάνεις και λάθη. Ας ελπίσουμε ότι δεν έγιναν πολλά και σημαντικά. Επίσης κάποιες προσωπικότητες δεν παρουσιάστηκαν, κάποιες στιγμές της εξέλιξης της επιστήμης αναφέρθηκαν με διαφορετική σειρά από ότι πραγματικά έγιναν. Τεχνικά θέματα που παρουσιάζουν δυσκολία στη κατανόηση τους δεν αναφέρθηκαν επίτηδες αφού και δεν είμαι σε θέση να τα παρουσιάσω απλά και κατανοητά, αλλά και επειδή παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκολία που υπερβαίνει τον στόχο του βιβλίου που κρατάτε. Προσπάθησα όμως να υπάρχει μία ιστορική συνέπεια και στρωτή παρουσίαση των θεμάτων. Αν αυτό το πέτυχα θα το κρίνεται εσείς, οι αναγνώστες. Δεν γνωρίζω αν μετά την μελέτη του βιβλίου θα μπορείτε να λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα πιθανοτήτων, μάλλον δύσκολο γιατί αυτό χρειάζεται μελέτη και εξάσκηση αλλά όχι Απίθανο … Αν έχουμε Τύχη οι απορίες που θα γεννηθούν από την ανάγνωση του βιβλίου θα αποτελέσουν αφορμή για συστηματική ενασχόληση με τον θαυμαστό κόσμο των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Γιώργος Λαγουδάκος – καλοκαίρι 2022
Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκος σελ. 74
Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκος σελ. 75 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Το χρονικό του χρόνου - Stephen Hawking – εκδόσεις Κάτοπτρο 2. Ιστορία των Επιστημών και της Τεχνολογίας Ο.Ε.Δ.Β 3. Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς – Paul Hoffman – εκδόσεις Λιβάνη 4. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Ο.Ε.Δ.Β. 5. Τα Βήματα του μεθυσμένου – Leonard Mlodinow – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. 6. Πιθανότητες – ασκήσεις – Στρατή Κουνιά – Κώστα Μπαγιάτη – Χρόνη Μωυσιάδη 7. Στατιστική – Μέθοδοι ανάλυσης για Επιχειρηματικές αποφάσεις – Ι. Χαλικιάς – Εκδόσεις Rosili 8. Ιστορία των Μαθηματικών – Victor j. Katz – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. 9. Μαθηματικά πεντάλεπτα – Ehrhard Behrends – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 10.Fifty challenging problems in probability – with solution – Frederick Mosteller – Dover publications N.Y. 11.Πιθανότητες – Δ. Δημητράκου – i-book 12.Διπλωματική εργασία : Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ - M. Κοντογεωργάκου, ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ 13.Διπλωματική εργασία : Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ – A. Τσονακά , ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ 14.A historical survey of the development of classical probability theory – Ozlem Kart – Department of Uppsala University 15. Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική – Χ. Δαμιανού, Ν. Παπαδάτου, Χ. Χαραλαμπίδη – Πανεπιστήμιο Αθηνών – τμήμα Μαθηματικών 16. Instant Mathematics – Paul Parsons , Gail Dixon – Welbeck Publishing Group
Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκος σελ. 76 ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙΑ 1. JACOB BERNOULLI AND HIS WORKS ON PROBABILITY AND LAW OF LARGE NUMBERS: A HISTORICAL SEARCH – Akhil Goswami & Gautam Choudhury - International Journal of Applied Mathematics & Statistical Sciences (IJAMSS) 2. «The Evolution of the Normal Distribution» - SAUL STAHL - Department of Mathematics University of Kansas - MATHEMATICS MAGAZINEVOL. 79, NO. 2, APRIL 2006 3. Poisson Distribution -From Horse Kick History Data to Modern Analytic - A practical guide to Poisson Distribution by real life examples - Bee Guan Teo - Towards Data Science (Tds) 4. ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Τ.: Η γραμμή του χρόνου της Στατιστικής στην Ελλάδα 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής (ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ) 5. Χ. Χαραλαμπίδης : Η γέννηση της θεωρίας των πιθανοτήτων – Cardano ένατι Pascal και Femat 31ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής (ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ) 6. Στρ. Κουνιά : Η έννοια του τυχαίου και της πιθανότητας 31ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής (ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ) 7. Μαθηματική Επιθεώρηση τ.10 – Στρ. Κουνιάς - Ιστορική αναδρομή στις Πιθανότητες 8. Ευκλείδης Γ τ.6 - Θ. Ξένος - Ένας υπολογισμός του π με πιθανότητες 9. 19ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας - Χ.Χαραλαμπίδης – Ιστορική ανασκόπηση των Πιθανοτήτων . 10. Μαθηματική Επιθεώρηση τ.2 - Α. Φιλίππου – Παιχνίδια τύχης, η αρχή και οι εξελίξεις της Πιθανοθεωρίας 11. The Bernoullis and the priding of Probability theory. Looking back after 300 years - Wolfgang Polasek – Resonance - Journal of Science Education August 2000 12. The (short) history of probability theory – Lecture of Anders Persson - UN UPSALA – Bologna - February 2015
Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκος σελ. 77 13.Some laws and problems of classical probability and how Cardano anticipated them – Prakash Gorroochurn – Chance magazine 14.Huygens and the Value of all Chances in Games of Fortune – paper of Nathan Otten – university of Missouri – Kansas City 15.History of Probability – Bob Rosenfeld – Vermont Mathematics Initiative SITES 1. The Man Who Invented Modern Probability Chance encounters in the life of Andrei Kolmogorov. BΥ SLAVA GEROVITCH - AUGUST 12, 2013 https://nautil.us/the-man-who-invented-modern-probability-934/ 2. Gauss, least squares and the missing planet , άρθρο του Milton Lim (2021) https://www.actuaries.digital/2021/03/31/gauss-least-squares-and-the-missing-planet/ 3. Σύντομη ιστορία των πιθανοτήτων του Kees Verduin https://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/stathist.htm 4. Chronology of Probabilistic and Statisticians http://www.math.utep.edu/faculty/mleung/probabilityandstatistics/chronology.htm 5. Eric J. Heller Gallery http://gallery.jalbum.net/en/browse/user/album/1696720 6. Wikipedia – για βιογραφικά στοιχεία. 7. Ανοιχτά μαθήματα ΑΠΘ – Περιήγηση στην Ιστορία της Στατιστικής και Ιστορία της έννοιας της Πιθανότητας – Χ. Μωυσιάδης https://opencourses.auth.gr/ 8. Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του W. Cosset https://www.dib.ie/biography/gosset-william-sealy-student-a3543
Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκος σελ. 78 9. Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του Richard von Mises https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mises/ 10. Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του William Feller https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Feller/ https://www.youtube.com/watch?v=iRnBryQ8RjU https://www.youtube.com/watch?v=PGDaKxFVS9Q 11.Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του Andrei Markov https://towardsdatascience.com/markov-models-and-markov-chains-explained-in-real-life- probabilistic-workout-routine-65e47b5c9a73 https://analyticsindiamag.com/5-real-world-use-cases-of-the-markov-chains/ https://mpaldridge.github.io/math2750/S06-examples.html https://www.projectguru.in/markov-chain-real-world-problems/ 12.Η μέθοδος Monte Carlo https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method https://www.goldsim.com/Web/Introduction/MonteCarlo/ https://machinelearningmastery.com/monte-carlo-sampling-for-probability/ 13.Αριθμητική παράλυση – απίθανες ιστορίες https://www.imperial.ac.uk/be-inspired/magazine/issue-41/improbable-probability/ https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_truly_large_numbers https://imstat.org/2015/02/16/hand-writing-the-improbability-principle/ https://onlinebingo.co.uk/luck/10-unlikely-events 14.Η πλάνη στις πιθανότητες https://en.wikipedia.org/wiki/Prosecutor%27s_fallacy https://tomrocksmaths.com/2021/09/08/the-prosecutors-fallacy/ https://rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/j.1740-9713.2015.00839.x https://idatassist.com/prosecutors-fallacy-what-happened-to-sally-clark/ https://www.capgemini.com/gb-en/2020/10/the-base-rate-fallacy-what-is-it-and-why-does-it- matter/
Γεννήθηκα στις 8 Μαρτίου το 1960 στη Χίο όπου ήταν διορισμένοι καθηγητές οι γονείς μου, Κωνσταντίνος Λαγουδάκος και Ιουλία Παπαϊωάννου αμφότεροι Χημικοί. Το 1965 ήρθαμε στην Αθήνα όπου το 1970 τελείωσα το Δημοτικό στο 108ο Δημοτικό σχολείο στην οδό Θήρας. Την 1η Γυμνασίου την τελείωσα στο Εμπορικό Γυμνάσιο στη Πλατεία Αμερικής και την 2α και 3η Γυμνασίου στο Γυμνάσιο της Κάτω Κλειτορίας στην Αχαΐα . Το 1974 ήρθαμε οικογενειακώς και πάλι στην Αθήνα, όπου και τελείωσα το κβ’ Λύκειο στα Κάτω Πατήσια το 1977. Πέρασα στο Μαθηματικό Θεσσαλονίκης το 1978 και αποφοίτησα το 1983. Το 1984 με βρίσκει και πάλι στην Αθήνα όπου ξεκινώ και εργάζομαι σε διάφορα φροντιστήρια. Το 1985 μέχρι το 1987 παρακολουθώ το μεταπτυχιακό τμήμα περιφερειακής ανάπτυξης της Παντείου. Μετά, στρατιωτικό – Χαϊδάρι και Χίο. Απολύομαι το 1989. Ο γάμος μου με την Αθανασία γίνεται το 1989 και το 1991 γεννιέται η κόρη μου Κωνσταντίνα. Το 1991 προσλαμβάνομαι στα Εκπαιδευτήρια Δούκα πρώτα στο Γυμνάσιο και μετά στο Λύκειο, μέχρι το 2022 όπου συνταξιοδοτήθηκα και νέα όμορφα καινούργια μονοπάτια ανοίγονται μπροστά μου! Σε όλη τη διάρκεια της επαγγελματικής μου πορείας ασχολήθηκα σε διάφορα εκπαιδευτικά project και τη συγγραφή βοηθημάτων καθώς επίσης συμμετείχα σε πλήθος εκπαιδευτικών ημερίδων – συνεδρίων. Ενδεικτικά αναφέρω τη συμμετοχή μου : «Ε-Land : Ένα ολοκληρωμένο εικονικό περιβάλλον υποστήριξης μαθησιακών κοινοτήτων στο διαδίκτυο » (Ι.Π.Ε.Τ , Ι.Π.ΤΗΛ. . Εκπαιδευτήρια Δούκα, Εκδόσεις Πατάκη). «Η τέχνη των Μαθηματικών και τα Μαθηματικά της Τέχνης » Παραγωγή λογισμικού και πρότυπων φύλλων δραστηριοτήτων με διαθεματικό χαρακτήρα (Ι.Τ.Υ.Ε., Εκπαιδευτήρια Δούκα, Compupress Exces , Open University). Ήμουν ιδρυτικό μέλος και μέλος της επιστημονικής επιτροπής του «Μαθηματικού εργαστηρίου Β’ Αθήνας». Στα ενδιαφέροντά μου εντάσσεται η μελέτη της ιστορίας της εξέλιξης των μαθηματικών. Έχω συγγράψει σχετικά πονήματα που μπορείτε να τα αναζητήσετε στην διεύθυνση : https://www.slideshare.net/ssuser9b2765?utm_campaign=profiletracking&utm_ medium=sssite&utm_source=ssslideview . Είμαι ενεργό μέλος της παγκόσμιας κοινότητας του GeoGebra όπου έχω δημιουργήσει πλήθος εφαρμογών που παρουσιάζονται στην διεύθυνση https://www.geogebra.org/u/lagoudakos4. Συμμετείχα ως εισηγητής στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2015) με θέμα «MΑΤΗistory using Geogebra » και στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2017) με θέμα «Math and Art in Athens». Το έργο αυτό διακρίθηκε με το χρυσό βραβείο ως βέλτιστη εκπαιδευτική πρακτική στα Education Leader Awards 2018. Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6977640941 e-mail επικοινωνίας: lagoudakos4@gmail.com

More Related Content

PDF
ENOTHTA  2.  Κατοικία
byteaghet
 
PDF
ορθογραφια ρηματων
byΓιαννόπουλος Γιάννης
 
PDF
Η ιστορία των λογαρίθμων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PPTX
Οι εγκλίσεις
byΓιάννης Φερεντίνος
 
DOC
άρθρο πραγματεία-επιφυλλίδα-επιστολή
bynikosas
 
DOC
ευθυσ πλαγιοσ λογοσ
byNansy Tzg
 
PPT
μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό και δεκαδικού σε κλάσμα
byΓιάννης Φερεντίνος
 
DOCX
Γραμματική για τη Γ΄ και Δ΄ τάξη
byΗλιάδης Ηλίας
 
ENOTHTA  2.  Κατοικία
byteaghet
 
ορθογραφια ρηματων
byΓιαννόπουλος Γιάννης
 
Η ιστορία των λογαρίθμων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Οι εγκλίσεις
byΓιάννης Φερεντίνος
 
άρθρο πραγματεία-επιφυλλίδα-επιστολή
bynikosas
 
ευθυσ πλαγιοσ λογοσ
byNansy Tzg
 
μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό και δεκαδικού σε κλάσμα
byΓιάννης Φερεντίνος
 
Γραμματική για τη Γ΄ και Δ΄ τάξη
byΗλιάδης Ηλίας
 

What's hot

PPTX
Μαθαίνω για τα παραλληλόγραμμα
byolgaporpori
 
DOC
Πώς λύνουμε προβλήματα με ποσά αντιστρόφως ανάλογα
byzarkosdim
 
PPTX
Οι χρόνοι του ρήματος
byΚατερίνα Λάζαρη
 
PDF
Aριθμητική παράσταση
byVasilis Palilis
 
PPTX
4 ΠΡΑΞΕΙΣ
byΚυριακή Σαπουντζάκη
 
PPTX
ενότητα 10
byfotist
 
PPT
ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ: ΠΑΡΑΤΑΚΤΙΚΗ ΣΥΝΔΕΣΗ, ΑΣΥΝΔΕΤΟ ΣΧΗΜΑ
byMATINA GKOUTZIOU
 
PPTX
Η εσωτερική αύξηση σύνθετων ρημάτων με προθέσεις
byΓιάννης Φερεντίνος
 
PPT
μαθήματα αρχαίων ελληνικών
byartemh
 
DOCX
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ
byharitinitrigazi1
 
DOCX
αναλυση μετοχης σε προταση λατινικα
byAlexandra Petkopoulou
 
PPT
Λογιστική Κόστους - Θεωρία
byAlexandros Tsikolatas
 
PPTX
Ο Άγιος Γεώργιος
bypareachristou
 
PPT
Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
byΧουρμούζης Μαργαρίτης
 
PPT
πώς περιγράφουμε ένα κτίριο
bychrisplev
 
DOC
παρακειμενοσ
byΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ
 
PDF
Λατινικά, ενότητα 14
bygina zaza
 
RTF
αντιπολεμικά μηνύματα βασιλης γ1
byzoip
 
PPTX
Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα
byΓιάννης Φερεντίνος
 
PPTX
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
byΓιάννης Φερεντίνος
 
Μαθαίνω για τα παραλληλόγραμμα
byolgaporpori
 
Πώς λύνουμε προβλήματα με ποσά αντιστρόφως ανάλογα
byzarkosdim
 
Οι χρόνοι του ρήματος
byΚατερίνα Λάζαρη
 
Aριθμητική παράσταση
byVasilis Palilis
 
4 ΠΡΑΞΕΙΣ
byΚυριακή Σαπουντζάκη
 
ενότητα 10
byfotist
 
ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ: ΠΑΡΑΤΑΚΤΙΚΗ ΣΥΝΔΕΣΗ, ΑΣΥΝΔΕΤΟ ΣΧΗΜΑ
byMATINA GKOUTZIOU
 
Η εσωτερική αύξηση σύνθετων ρημάτων με προθέσεις
byΓιάννης Φερεντίνος
 
μαθήματα αρχαίων ελληνικών
byartemh
 
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ
byharitinitrigazi1
 
αναλυση μετοχης σε προταση λατινικα
byAlexandra Petkopoulou
 
Λογιστική Κόστους - Θεωρία
byAlexandros Tsikolatas
 
Ο Άγιος Γεώργιος
bypareachristou
 
Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
byΧουρμούζης Μαργαρίτης
 
πώς περιγράφουμε ένα κτίριο
bychrisplev
 
παρακειμενοσ
byΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ
 
Λατινικά, ενότητα 14
bygina zaza
 
αντιπολεμικά μηνύματα βασιλης γ1
byzoip
 
Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα
byΓιάννης Φερεντίνος
 
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος
byΓιάννης Φερεντίνος
 

Similar to ΑΠΙΘΑΝΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ.pdf

PPT
ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
byFrantzeska Tsorteki
 
PDF
Perla talk
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Perla talk
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PPT
ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
ΔΙΠ 50 - Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων στη Στατιστικής - Πιθανοθεωρία - Σημειώσεις
byOnlearn
 
PPT
1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PPT
1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΡΝΑ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PPTX
πιθανοτητες και τυχερα παιχνιδια
byTHEODOROS TSAPAKIDIS
 
PDF
Mainstream-Greek.pdf
byKeryx International
 
PPT
5.3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
Stoicheia pithanotiton-kai-statistikis g-lykeiou-anthr-sp_vivlio-mathiti
byChristos Loizos
 
PDF
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
PDF
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
PPT
Math koinotites-20thc
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PPT
Μια σύντομη ιστορία της Λογικής
byjpapoglou
 
PPTX
Tεύκρος Μιχαηλίδης : «Δημιουργική ανάγνωση ενός βιβλίου μαθηματικής λογοτεχνίας»
byThales and friends
 
PDF
Ομήρου Οδύσσεια και θεωρία παιγνίων. Γνώριζε η Πηνελοπη από στρατηγική;
bystratos goumas
 
PDF
Τα βήματα του μεθυσμένου. Πώς η τυχαιότητα κυβερνά τη ζωή μας..pdf
byalex gr
 
PDF
μαθηματικά τετράδια 1ο τεύχος
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
PPT
Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)
byjpapoglou
 
ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
byFrantzeska Tsorteki
 
Perla talk
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Perla talk
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
ΔΙΠ 50 - Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων στη Στατιστικής - Πιθανοθεωρία - Σημειώσεις
byOnlearn
 
1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΡΝΑ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
πιθανοτητες και τυχερα παιχνιδια
byTHEODOROS TSAPAKIDIS
 
Mainstream-Greek.pdf
byKeryx International
 
5.3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
Stoicheia pithanotiton-kai-statistikis g-lykeiou-anthr-sp_vivlio-mathiti
byChristos Loizos
 
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
Math koinotites-20thc
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Μια σύντομη ιστορία της Λογικής
byjpapoglou
 
Tεύκρος Μιχαηλίδης : «Δημιουργική ανάγνωση ενός βιβλίου μαθηματικής λογοτεχνίας»
byThales and friends
 
Ομήρου Οδύσσεια και θεωρία παιγνίων. Γνώριζε η Πηνελοπη από στρατηγική;
bystratos goumas
 
Τα βήματα του μεθυσμένου. Πώς η τυχαιότητα κυβερνά τη ζωή μας..pdf
byalex gr
 
μαθηματικά τετράδια 1ο τεύχος
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)
byjpapoglou
 

More from ssuser96a7452

PDF
Περί απείρου ....pdf
byssuser96a7452
 
PDF
Τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
Math and Art in Athens.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
SANGAKU.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ.pdf
byssuser96a7452
 
PDF
τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf
byssuser96a7452
 
Περί απείρου ....pdf
byssuser96a7452
 
Τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf.pdf
byssuser96a7452
 
ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ.pdf
byssuser96a7452
 
Math and Art in Athens.pdf
byssuser96a7452
 
ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ.pdf
byssuser96a7452
 
SANGAKU.pdf
byssuser96a7452
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
byssuser96a7452
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ.pdf
byssuser96a7452
 
τα μαθηματικά στα χρόνια της επανάστασης του 21 pdf
byssuser96a7452
 

ΑΠΙΘΑΝΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ.pdf

  • 1.
    ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΕΛΙΣΣΙΑ 2022 ΑπίθανεςΙστορίες Πιθανοτήτων και Στατιστικής
  • 3.
    Το βιβλίο αυτόαφιερώνεται στους συναδέλφους που είχα την Τύχη να συνεργαστώ στα 38 χρόνια παρουσίας στις σχολικές αίθουσες …
  • 5.
    Απίθανες Ιστορίες -Περιεχόμενα Εισαγωγή Στα χρόνια των δεισιδαιμονιών Σελ. 1 Τα τυχερά παιχνίδια Σελ. 3 Ιστορίες για τους : Gerolamo Cardano (1501-1576), Galileo Galilei (1554-1642) , Pierre de Fermat (1608-1665), Blaise Pascal (1623-1662) Απίθανες Ιστορίες : Το lotto της Γένοβας – Το πρόβλημα του Cardano – Το πρόβλημα του Δούκα της Τοσκάνης – Το πρόβλημα του Chevalier de Méré – Το πρόβλημα των πόντων Η εποχή των ασφαλιστηρίων Σελ. 11 Ιστορίες για τον : Christiaan Huygens (1629-1695) Απίθανες Ιστορίες : Το προσδοκώμενο κέρδος στη ρουλέτα – Δίκαιο παιχνίδι με ζάρια - Gambler’s ruin Μια οικογένεια γεμάτο Μαθηματικούς Σελ. 15 Ιστορίες για τους : Jacob Bernoulli (1655-1705), Daniel Bernoulli (1700-1782) Απίθανες Ιστορίες : Το χρυσό θεώρημα - Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης Η Γαλλική σχολή Σελ. 18 Ιστορίες για τους : Abraham de Moivre (1667-1754), Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) , Adrien-Marie Legendre (1752-1833) , Simeon Denis Poisson (1781-1840) , Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) Απίθανες Ιστορίες : Η λοταρία του Βολτέρου - Η μέτρηση της γης – Θανατηφόρα ατυχήματα με άλογα – Ο βομβαρδισμός του Λονδίνου – Η βελόνα του Buffon – ο υπολογισμός του «π»
  • 6.
    Η αντιστροφή Σελ.28 Ιστορίες για τον : Thomas Bayes (1701–1761) Απίθανες Ιστορίες : Ο αλκοολικός ασθενής - Τα spam Μετρήσεις και σφάλματα Σελ. 30 Ιστορίες για τον : Johann Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) Απίθανες Ιστορίες : Η στατιστική στις μετρήσεις - Η εξαφάνιση της Δήμητρας Μια εικόνα χίλιες λέξεις Σελ. 35 Ιστορίες για τους : William Playfair (1759-1823) , Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) , Florence Nightingale (1820–1910) , William Farr (1807-1883) , Charles Joseph Minard (1781-1870) , Charles James Booth (1840-1916) Βίο-στατιστική Σελ. 42 Ιστορίες για τους : Sir Francis Galton (1822-1911) , Karl Pearson (1857-1936) , William Sealy Gosset (1876-1937) Απίθανες Ιστορίες : Η σοφία του πλήθους - Galton board Wir müssen Wissen - Wir werden Wissen Σελ. 47 Ιστορίες για τους : David Hilbert (1862-1943) , Richard von Mises (1883-1953) , William Feller (1906 –1970) Απίθανες Ιστορίες : Το πρόβλημα των γενεθλίων – Stars and Bars Η Ρώσικη σχολή Σελ. 52 Ιστορίες για τους : Pafnuty Lzozich Chebyshev (1821-1894) , Andrey Andreyevich Markov (1856-1922) , Jerzy Neyman (1894-1981) , Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) Απίθανες Ιστορίες : Το πρόβλημα του μετεωρολόγου – Τα διαστήματα εμπιστοσύνης
  • 7.
    Ο Θεός δενπαίζει ζάρια Σελ. 57 Ιστορίες για τους : Max Planck (1858-1947) , Werner Karl Heisenberg (1901-1976) , Albert Einstein (1879-1955) Απίθανες Ιστορίες : Η αρχή της απροσδιοριστίας Οι δάσκαλοι του 20ου αιώνα Σελ. 59 Ιστορίες για τους : George Undy Yule ( 1871-1951) , Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956) , Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) , George Waddel Snedecor (1881-1974) , John von Neumann (1903-1957) , Stanisław Marcin Ulam (1909-1984) , Paul Erdos (1913-1996) Απίθανες Ιστορίες : infinite monkey theorem – Έλεγχος παραγωγής - Υπολογισμός του π – Οι αριθμοί Erdős - Το πρόβλημα της Marilyn Σύντομες ιστορίες Σελ. 66 Ιστορίες για τους : Walter Andrew Shewhart (1891–1967) , Ο John Wilder Tukey (1915-2000) , George Horace Gallup (1901–1984) , Nathaniel (Nate) Read Silver (1978- ) Απίθανες παρανοήσεις Σελ. 68 Πιθανές πλάνες Σελ. 70 Απίθανες Ιστορίες : The Gambler's fallacy - The prosecutors fallacy - Base rate fallacy Επίλογος Σελ. 73 Βιβλιογραφία Σελ. 75
  • 9.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 1 Tα χρόνια των δεισιδαιμονιών … Οι πρώτες αναφορές στην τύχη και το τυχαίο γεγονός, γίνεται σε σχέση με το παιχνίδι των κύβων (ζάρια) και τα αποτελέσματά του. Σε Αιγυπτιακή τοιχογραφία του 1250 π.Χ. παρουσιάζεται μία γυναίκα να ρίχνει ζάρια σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι που λεγόταν “senet”. Σε ένα μελανόμορφο αγγείο παρουσιάζονται οι Αχιλλέας και Αίας να παίζουν κύβους. Το καλύτερο αποτέλεσμα του παιχνιδιού ήταν η «Αφροδίτη» - εξάρες ενώ η χειρότερη ήταν ο «κύων» - άσσοι. Στην Αθηναϊκή πολιτεία η επιλογή των βουλευτών γινόταν με κλήρο, θεωρώντας προφανώς ότι όλοι οι Αθηναίοι πολίτες είναι ικανοί να ασκήσουν τα καθήκοντα αυτά. Το 400 π.Χ. ο Δημόκριτος διατυπώνει την άποψη ότι η τύχη είναι έννοια που πηγάζει από την ανικανότητα των ανθρώπων να κατανοήσουν την φύση των γεγονότων. Ενώ ο Πλάτων στο έργο του Φαίδων αναφέρει « τα επιχειρήματα που βασίζουν τις αποδείξεις τους σε πιθανότητες είναι αλαζονικά, και … αν κανείς δεν προστατεύεται απ’ αυτά, εύκολα μπορεί να εξαπατηθεί και στη γεωμετρία και αλλού». Στη συνέχεια ο Αριστοτέλης διατυπώνει την άποψη ότι υπάρχουν τρεις κατηγορίες γεγονότων. Τα βέβαια που πραγματοποιούνται αναγκαία, τα πιθανά που συμβαίνουν κάποιες φορές και τα μη προβλέψιμα που συμβαίνουν από καθαρή τύχη και καταλήγει στο «τοῦ δ᾿ ἀπὸ τύχης οὐκ ἔστιν ἐπιστήμη δι᾿ ἀποδείξεως» Σε αντίθεση με άλλους κλάδους των μαθηματικών, στην αρχαία Ελλάδα δεν αναπτύχθηκαν οι Πιθανότητες. Ήταν πεποίθηση ότι το τυχαίο γεγονός είναι θέλημα των θεών και δεν εξαρτάται από την βούληση των ανθρώπων. Οπότε δεν μπορούμε να το καθορίσουμε και άρα ούτε και να το μετρήσουμε έστω και ως προσδοκία. Συγχρόνως δεν είχε ακόμα αναπτυχθεί ο κατάλληλος συμβολισμός που είναι αναγκαίος για την ανάπτυξη του όποιου λογισμού. Το 44 π.Χ. ο Ρωμαίος φιλόσοφος, Marcus Tullius Cicero (Κικέρων) στο βιβλίο του, De Divinatione (Σχετικά με τη μαντεία), παρουσιάζει δύο άτομα να μαλώνουν για τον ρόλο των θεών στα τυχερά παιχνίδια λέγοντας « … τίποτε δεν είναι τόσο απρόβλεπτο όσο η ρίψη των ζαριών, κάθε άνθρωπος που παίζει συχνά κάποια στιγμή θα ρίξει εξάρες πιθανόν και δύο και τρεις φορές, αυτό συμβαίνει με παρέμβαση των θεών παρά από καθαρή τύχη …»
  • 10.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 2 Στη Ρωμαϊκή περίοδο η τύχη λατρεύεται στο πρόσωπο της Fortuna. Είναι γνωστό το επεισόδιο όπου η απόφαση για να διαβεί ο Ιούλιος Καίσαρας το 49 π.Χ. τον ποταμό Ρουβικώνα γίνεται ρίχνοντας ζάρια, αναφωνώντας την περίφημη έκφραση : «Ο κύβος ερρίφθη - alea jacta est » Το 840 μ.Χ. ο μαθηματικός Al Kindy (840 μ.Χ.) χρησιμοποιεί ανάλυση συχνοτήτων για να «σπάσει» μυστικούς κώδικες. Η μέθοδος του βασίζεται στο γεγονός ότι στις περισσότερες γλώσσες κάποια γράμματα ή συνδυασμοί γραμμάτων εμφανίζονται συχνότερα από κάποια άλλα. Με τον υπολογισμό της κατανομής συχνοτήτων των γραμμάτων μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού στα κρυπτογραφημένα κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται. Μια νέα έννοια αυτή της σχετικής συχνότητας κάνει δειλά την εμφάνισή της. Πολύ αργότερα επί Γουλιέλμου του Κατακτητή (1069 μ.Χ.) διενεργείται απογραφή του πληθυσμού, των κατοικιών, των καλλιεργήσιμων εδαφών και βοσκοτόπων. Τα αποτελέσματα καταγράφονται στο χειρόγραφο δημόσιο έγγραφο "Domesday" που θεωρείται η πρώτη συστηματική απογραφή στον Δυτικό κόσμο. Η επόμενη συστηματική καταγραφή στοιχείων είναι η Nuova Cronica ( Νέα χρονικά). Ξεκίνησε να γράφεται από τον τραπεζίτη Giovanni Villani (1280- 1348) και συνεχίστηκε από τον αδελφό του Mateo και τον ανιψιό του. Θεωρείται η πρώτη συστηματική στατιστική καταγραφή δεδομένων στην ιστορία. Εκεί καταγράφονται τα δημόσια κτίρια και οι εκκλησίες της Φλωρεντίας, αλλά και στατιστικές πληροφορίες για τον πληθυσμό, νόμους και διατάγματα, στοιχεία για το εμπόριο της πόλης και την εκπαίδευση. Περιγράφει επίσης καταστροφές και λιμούς, πλημμύρες και πυρκαγιές που συνέβησαν. Σε αυτό γίνεται και αναφορά για την πανδημία του Μαύρου θανάτου του 1348. Βιβλίο αποκρυπτογράφησης του Αλ-Κιντί
  • 11.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 3 Τα τυχερά παιχνίδια … Στην Γένοβα τον 17ο αιώνα η εκλογή στα κρατικά αξιώματα γινόταν με κλήρωση ανάμεσα των μελών των οικογενειών της πόλης. Συγκεκριμένα η εκλογή των πέντε γερουσιαστών γινόταν με κλήρωση ανάμεσα σε ενενήντα υποψηφίους. Η εκλογή επαναλαμβανόταν κάθε εξάμηνο. Ήταν συνήθεια ανάμεσα στους πολίτες της πόλης να στοιχηματίζουν στην εκλογή των πέντε αντιπροσώπων. Έτσι καθιερώθηκε το λαχείο της Γένοβας που θεωρείται ο πρόδρομος του lotto και των άλλων λαχείων. Η πιθανότητα του ενδεχομένου να πετύχαινε κάποιος και τους πέντε εκλεγέντες από τους ενενήντα με την σειρά που θα έβγαιναν ήταν 1 5.273.912.160 ,ενώ αν στοιχημάτιζαν στο να βρουν τους πέντε γερουσιαστές ανεξαρτήτου σειράς ήταν 1 43.949.268 . Τα στοιχήματα αυτά είχαν μεγάλη απόδοση και στα 150 χρόνια ύπαρξης του λαχείου κανείς δεν κέρδισε σε αυτές τις δύο κατηγορίες. Μέσα σε αυτό το κλίμα τζόγου … εμφανίζεται ο πρώτος σύγχρονος πρωταγωνιστής των Απίθανων Ιστοριών μας και είναι ο … Gerolamo Cardano (1501-1576) που γεννήθηκε στην Παβία και το 1520 σπούδασε στο πανεπιστήμιο της πόλης Φιλοσοφία. Το 1525 αποκτά διδακτορικό δίπλωμα στην Ιατρική και αργότερα καταλαμβάνει την έδρα των Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Μιλάνο. Το πάθος του ήταν ο τζόγος και γι’ αυτό ήταν και πάντα χρεωμένος. Το πάθος του σε συνδυασμό με τις μαθηματικές ικανότητές του τον οδήγησαν στη συγγραφή το 1564 του βιβλίου Lider de ludo aleae (Βιβλίο τυχερών παιχνιδιών) που εκδόθηκε μετά τον θάνατό του, το 1663.
  • 12.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 4 Το βιβλίο αυτό αποτελεί τη πρώτη συστηματική μελέτη της θεωρίας των πιθανοτήτων. Σε αυτό ασχολείται με τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης όπως αυτό της ρίψης δύο ή τριών ζαριών, αναλύοντας ουσιαστικά την έννοια της σχετικής συχνότητας πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου. Αν και στα γραπτά του δεν εμφανίζεται ο όρος πιθανότητα χρησιμοποιεί το κλάσμα με αριθμητή το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου και παρονομαστή το πλήθος όλων των δυνατών εκβάσεων ενός πειράματος τύχης ως ένα μέτρο προσδοκίας πραγματοποίησης του ενδεχομένου. Παρουσίασε τον πολλαπλασιαστικό νόμο στα ανεξάρτητα ενδεχόμενα και κατέγραψε σωστά τον δειγματικό χώρο της ρίψης δύο ή τριών ζαριών χρησιμοποιώντας τον για στοιχήματα που έχουν να κάνουν με την πρόβλεψη μιας συγκεκριμένης τιμής του αθροίσματος των ενδείξεών τους. Ας ασχοληθούμε με ένα από τα προβλήματα που αναφέρει στο Lider de ludo aleae. « Πόσες φορές πρέπει να ρίξουμε ένα (αμερόληπτο) ζάρι ώστε η πιθανότητα να έρθει ένα τουλάχιστον 6 να είναι μεγαλύτερη του 50%» Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα ρίχνοντας μία φορά ένα ζάρι να μην έρθει 6 είναι 5 6 . Τα αποτελέσματα των ν ρίψεων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους άρα θα ισχύει ο πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων. Οπότε η πιθανότητα να μην έρθει καμία φορά 6 ρίχνοντας ένα ζάρι ν φορές είναι ν 5 ( ) 6 . Άρα η πιθανότητα να έρθει μία τουλάχιστον φορά 6 ρίχνοντας ν φορές ένα ζάρι θα είναι ν 5 1 ( ) 6 − . Θέλουμε ν ν 5 1 5 1 1 ( ) ( ) ...ν 3,8017 6 2 6 2 −      , άρα χρειαζόμαστε 4 ρίψεις. Μετά από 100 περίπου χρόνια … προβλήματα σχετικά με τυχερά παιχνίδια συνεχίζουν να απασχολούν και να επιλύονται από μεγάλες προσωπικότητες των μαθηματικών … Βρισκόμαστε στο 1620 και ο Μεγάλος Δούκας της Τοσκάνης είχε αδυναμία στα τυχερά παιχνίδια, τι αδυναμία δηλαδή σωστό πάθος. Ένα από τα αγαπημένα παιχνίδια της αυλής του ήταν να ρίχνει τρία ζάρια και να αθροίζει τις ενδείξεις τους. Όποιος από τους δύο παίχτες έφερνε μεγαλύτερο άθροισμα κέρδιζε. Μία παραλλαγή ήταν να στοιχηματίζουν στα πιθανά αθροίσματα. Σαν μεγάλος παίκτης που ήταν παρατήρησε ότι το άθροισμα 10 εμφανιζόταν συχνότερα από ότι το άθροισμα 9.
  • 13.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 5 Την παρατήρησή του αυτή την ανέφερε στον Μαθηματικό του Πανεπιστημίου της Πίζας, που χρηματοδοτούσε ο οποίος δεν ήταν άλλος παρά ο Galileo Galilei (1554-1642). Αυτός χρησιμοποιώντας τις μαθηματικές ικανότητές του λύνει το πρόβλημα συγγράφοντας και μία μελέτη με τίτλο «Περί μιας ανακάλυψης για τα ζάρια» (Sopra le Scoperte dei Dadi). Στη μελέτη αυτή εξηγεί ότι το να φέρει κανείς 10 ρίχνοντας τρία ζάρια γίνεται με έξι τρόπους τους εξής : 6+3+1 ή 6+2+2 ή 5+4+1 ή 5+3+2 ή 4+4+2 ή 4+3+3. Όμοια και το άθροισμα 9 γίνεται με έξι τρόπους, τους εξής : 6+2+1 ή 5+3+1 ή 5+2+2 ή 4+4+1 ή 4+3+2 ή 3+3+3 . Όμως η έκβαση (6+3+1) , να φέρουμε δηλαδή ένα 6 , ένα 3 και ένα 1 γίνεται με έξι διαφορετικούς τρόπους τους εξής : (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) και (6,3,1). Αντίστοιχα η έκβαση (6+2+2) γίνεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους … (2,2,6) , (2,6,2) και (6,2,2). Αν σκεφτούμε παρόμοια και για τις άλλες τέσσερις περιπτώσεις , καταλήγουμε ότι έχουμε 27 διαφορετικούς τρόπους να φέρουμε ζάρια με άθροισμα των ενδείξεών τους ίσο με 10. Στην περίπτωση όπου θέλουμε άθροισμα 9 θα έχουμε έξι περιπτώσεις για τα αθροίσματα 6+2+1 , 5+3+1 , 4+3+2 , τρεις περιπτώσεις για τα αθροίσματα 5+2+2 και 4+4+1 και μία περίπτωση για το άθροισμα 3+3+3. Άρα συνολικά 25 διαφορετικές περιπτώσεις. Με αυτές τις σκέψεις ο Γαλιλαίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, αν ρίξουμε τρία ζάρια, το άθροισμα 10 είναι 27/25 φορές, δηλαδή περίπου 1,08 φορές πιο πιθανό από το 9. Ουσιαστικά λύνει το πρόβλημα βρίσκοντας σωστά το σύνολο των δυνατών διαφορετικών τρόπων πραγματοποίησης του κάθε ενδεχομένου. Παρόμοια ιστορία είναι και αυτή του ιππότη de Méré … o Ιππότης είχε πολλά να σκεφθεί …, τι ήταν πιο συμφέρον, να στοιχηματίσει, ότι ένας παίκτης θα φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι ή ότι θα φέρει μία τουλάχιστον φορά εξάρες ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια; Ο Chevalier de Méré γνωστό μούτρο όλων των υπόγειων του Παρισιού γνώριζε ότι η πιθανότητα να φέρει 6 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6, ενώ να φέρει κανείς εξάρες ρίχνοντας δύο ζάρια 1/36, οπότε η λογική του έλεγε ότι ,αν κάποιος ρίξει ένα ζάρι 4 φορές, έχει 4/6 πιθανότητες να φέρει ένα τουλάχιστον 6. Ενώ αν ρίξει κάποιος δύο ζάρια 24 φορές, θα έχει 24/36 πιθανότητες να φέρει εξάρες. Άρα ,οι πιθανότητες των δύο περιπτώσεων πρέπει να είναι ίδιες. Η εμπειρία όμως έδειχνε άλλα, η περίπτωση του ενός ζαριού υπερτερούσε από αυτή των δύο ζαριών, που έκανε λάθος;
  • 14.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 6 Το πρόβλημά του το είπε στον πιο διάσημο Μαθηματικό της Γαλλίας, , που δεν ήταν άλλος από τον Pierre de Fermat (1608-1665). Ο Fermat δεν ήταν κατά επάγγελμα Μαθηματικός στην πραγματικότητα ήταν δικαστικός, όμως ανάμεσα στις δίκες και στις καταδίκες αυτό που τον ξεκούραζε ήταν να ασχολείται με προβλήματα. Συγχρόνως τις όποιες ανακαλύψεις του τις ανακοίνωνε και σε άλλους συναδέλφους του χωρίς πάντα να δίνει τις απαντήσεις, αλλά απλώς να ανακοινώνει το πρόβλημα καθώς επίσης την επιτυχή έκβαση της προσπάθειάς του. Με τον τρόπο αυτό ένας άτυπος δημιουργικός ανταγωνισμός είχε αναπτυχθεί ανάμεσα στην κοινότητα των μαθηματικών. Για το πρόβλημα του Chevalier de Méré ο Fermat το ανακοίνωσε στον Blaise Pascal (1623-1662), και από τις επιστολές που αντάλλαξαν εξελίχθηκε ένα νέος τομέας των σύγχρονών μαθηματικών ο Λογισμός των Πιθανοτήτων. Για το πρόβλημα αυτό πρέπει και πάλι να βρούμε όλους τους δυνατούς τρόπους πραγματοποίησης του κάθε ενδεχομένου καθώς επίσης και όλους τους δυνατούς τρόπους έκβασης του πειράματος τύχης που πραγματοποιούμε. Για την περίπτωση της ρίψης 4 ζαριών … Πόσες δυνατούς συνδυασμούς ενδείξεων έχουμε ; 64 διαφορετικούς τρόπους Από τους οποίους στους 54 τρόπους δεν εμφανίζεται καθόλου το 6 ως ένδειξη, άρα οι τρόποι όπου εμφανίζεται ένα τουλάχιστον 6 θα είναι 64-54 τρόποι. Άρα η πιθανότητα ένας παίκτης να φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι είναι 4 4 4 6 5 0,517747 6 −  Ρίχνοντας 2 ζάρια 24 φορές ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 3624 διαφορετικούς τρόπους, από αυτούς οι 3524 δεν περιέχουν διπλό 6. Άρα η πιθανότητα να φέρουμε μία τουλάχιστον φορά εξάρες ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια είναι 24 24 24 36 35 0,491404 36 −  ο Antoine Gombaud (ο ιππότης de Méré ) έθεσε υπόψιν του Pascal και ένα δεύτερο πρόβλημα. Το πρόβλημα των πόντων. Δύο παίκτες παίζουν (ας πούμε) «ξερή». Νικητής θα είναι εκείνος που θα κερδίσει 5 παιχνίδια. Για να γίνει ενδιαφέρον το παιχνίδι στην αρχή ο κάθε ένας ποντάρει από 10 ευρώ και ο νικητής θα πάρει τα 20 ευρώ. Όμως το παιχνίδι διακόπτεται τη στιγμή όπου ο πρώτος παίκτης (Α) χρειάζεται να κερδίσει 2 ακόμα παιχνίδια και ο δεύτερος (Β) 3. Πως πρέπει να μοιραστούν τα 20 ευρώ; Για την επίλυση του προβλήματος αυτού οι Fermat και Pascal αντήλλαξαν το 1654 επιστολές όπου σε αυτές παρουσίαζαν τις λύσεις τους. Παρακάτω θα τις παρουσιάσουμε χρησιμοποιώντας σύγχρονο συμβολισμό που δεν υπήρχε εκείνη την εποχή.
  • 15.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 7 Καταρχήν και οι δύο κατάλαβαν ότι αυτό που πρέπει να μας απασχολεί είναι η εξέλιξη του παιχνιδιού και όχι οι παρτίδες που ήδη έχουν γίνει. Συγχρόνως και οι δύο συμφώνησαν ότι ο αριθμός παιχνιδιών που πρέπει να γίνουν θα είναι 2+3-1=4. Ο Fermat καταγράφει όλες τις δυνατές εξελίξεις του παιχνιδιού γράφοντας ουσιαστικά τον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης. Έτσι έγραφε σε κατακόρυφες στήλες τον νικητή των επόμενων παιχνιδιών, η όλη παρουσίαση ήταν περίπου όπως παρακάτω … Α Α Α Α Α Α Α Α Β Β Β Β Β Β Β Β Α Α Α Α Β Β Β Β Α Α Α Α Β Β Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Μετά σημείωνε ανάλογα με την εξέλιξη του παιχνιδιού ποιος είναι τελικά ο νικητής ( ας θυμηθούμε ότι ο Α – 1ος παίκτης χρειάζεται να νικήσει σε 2 ακόμα παιχνίδια και ο Β – 2ος παίκτης χρειάζεται να νικήσει 3 ακόμα παιχνίδια) Με την λογική αυτή, θα μετρήσουμε ότι σε 11 παιχνίδια βγαίνει νικητής ο Α και σε 5 ο Β. Άρα τα 20 ευρώ θα πρέπει να μοιραστούν σε μία αναλογία 11:5. Δηλαδή ο Α θα πάρει 11 20 13,75 16  = ευρώ και ο Β θα πάρει 5 20 6,25 16  = ευρώ. Ο Pascal με ενθουσιασμό δέχεται την λύση του Fermat, αλλά σημειώνει ότι η μέθοδος επίλυσης είναι προβληματική αν οι παίκτες είναι περισσότεροι από 2, και ότι δύσκολα μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση όπου χρειάζονται περισσότερα παιχνίδια για να ολοκληρωθεί ο αγώνας. Για να προσεγγίσουμε τις σκέψεις του ας παρατηρήσουμε τον παρακάτω πίνακα … Παρτίδες που νικά ο Α Παρτίδες που νικά ο Β Νικητής παιχνιδιού 0 4 Β 1 3 Β 2 2 Α 3 1 Α 4 0 Α Με πόσους τρόπους είναι νικητής ο Β; Με όσους τρόπους όπου ο Α δεν νικά σε καμιά παρτίδα ή νικά σε μία, δηλαδή … με 1 κ 0 4 4 4 5 0 1 κ =       + = =             
  • 16.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 8 Αντίστοιχα με πόσους τρόπους είναι νικητής ο Α; Με όσους τρόπους όπου ο Β δεν νικά σε κανένα παιχνίδι ή νικά σε ένα ή δύο, δηλαδή με … 2 κ 0 4 4 4 4 11 0 1 2 κ =         + + = =                  Επειδή ο Pascal είχε ήδη κατασκευάσει το περίφημο τρίγωνό του κατάλαβε την ομοιότητα των παραπάνω με τους συντελεστές της διωνυμικής κατανομής. Για όσους δεν γνωρίζουν το τρίγωνο του Pascal ας μελετήσουν το παρακάτω σχήμα όπου παρουσιάζονται κάποια από τα αναπτύγματα της μορφής ν (α β) + : (α β) + = 0 1 (α β) + = 1 α β  +  1 1 (α β) + = 2 α αβ β  +  +  2 2 1 2 1 (α β) + = 3 α α β αβ β  +  +  +  3 2 2 3 1 3 3 1 (α β) + = 4 α α β α β αβ β  +  +  +  +  4 3 2 2 3 4 1 4 6 4 1 (α β) + = 5 α α β α β α β αβ β  +  +  +  +  +  5 4 3 2 2 3 4 5 1 5 10 10 5 1 Ο Pascal παρατηρώντας τις παραπάνω ισότητες διαπίστωσε ένα μοτίβο που αναπτύσσεται στους συντελεστές ( κόκκινο χρώμα). Ανακάλυψε λοιπόν τον τρόπο που κάθε σειρά σχηματίζεται με τη βοήθεια της προηγούμενης της. Ο κανόνας αυτός είναι απλός … «κάθε αριθμός προκύπτει ως άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από πάνω του στην προηγούμενη γραμμή» Μετά την παρατήρησή του αυτή ήταν σε θέση να γράψει την γενική μορφή του αναπτύγματος ν (α β) + με ν¥ , δηλαδή … ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν (α β) α α β α β ... α β αβ β ν ν ν − − − −             + = + + + + + +             − −             1 2 2 2 2 1 0 1 2 2 1
  • 17.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 9 Ή χρησιμοποιώντας κατάλληλο συμβολισμό : ν ν ν κ κ κ ν (α β) α β κ − =   + =      0 Όμως πως γίνεται η τυποποίηση του προβλήματος με την βοήθεια του τριγώνου ; Παρατηρείστε το παρακάτω σχήμα … Τρίγωνο Αριθμός παιχνιδιών που υπολείπονται Μπορείτε να βρείτε τον τρόπο ; Για τη λύση που δόθηκε από τους Fermat και Pascal διατυπώθηκε η ένσταση ότι στον δειγματικό χώρο προσμετρούνται παιχνίδια που δεν υπάρχουν. Για παράδειγμα η εξέλιξη Α-Α-Α-Α της λύσης του Fermat δεν υπάρχει αφού ο Α θέλει μόνο δύο παιχνίδια για να κερδίσει. Επομένως ο σωστός δειγματικός χώρος θα είναι … Ω={ΑΑ , ΑΒΑ , ΑΒΒΑ , ΑΒΒΒ , ΒΑΑ , ΒΑΒΑ , ΒΑΒΒ , ΒΒΑΑ , ΒΒΑΒ , ΒΒΒ } Οπότε σε 6 περιπτώσεις κερδίζει ο Α και σε 4 ο Β, άρα το στοίχημα θα πρέπει να μοιραστεί σε μία αναλογία 6:4 και όχι 11:5. 0 1 2 4 5 3 6 7
  • 18.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 10 Ο Pascal αντικρούοντας τον ισχυρισμό υποστήριξε ότι … «Αν και είναι δυνατό το παιχνίδι να κριθεί σε 2 ή και σε 3 παιχνίδια – όχι κατά ανάγκη 4 – τα επιπλέον παιχνίδια δεν παίζουν κανένα ρόλο στην ανάδειξη του νικητή. Παίζουν όμως ρόλο στην αναγωγή των απλών ενδεχομένων σε ισοπίθανα. » Εννοώντας ότι αν δουλέψουμε με τον δειγματικό χώρο των 10 απλών ενδεχομένων τότε η μοιρασιά των χρημάτων θα πρέπει να γίνει με βάση τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) για τις οποίες θα ισχύουν : 1 1 1 1 1 1 11 Ρ(Α) 4 8 16 8 16 16 16 = + + + + + = και 1 1 1 1 5 Ρ(Β) 16 16 16 8 16 = + + + = , αφού τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου έχουν διαφορετική πιθανότητα. Οπότε και πάλι η μοιρασιά θα γίνει με την αναλογία Ρ(Α) 11 Ρ(Β) 5 = Με το πρόβλημα αυτό είχαν ασχοληθεί και πριν από τους Fermat και Pascal οι : Luca Pacioli (1445- 1517) , Gerolano Cardano (1501-1576) , Niccolo Fontana (Tartaglia) (1499-1557) , Galileo Galilei (1564,1642) και Thomas Cataker (1574-1674), λύνοντας όμως το πρόβλημα λάθος. Η αλληλογραφία Fermat – Pascal με αφορμή ένα δευτεροκλασάτο πρόβλημα έδειξε ότι τα μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό ενός μελλοντικού γεγονότος, στην διαχείριση κινδύνου και τελικά στον ασφαλιστικό κλάδο, που την εποχή εκείνη λόγω του διηπειρωτικού εμπορίου ανθούσε.
  • 19.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 11 Η εποχή των ασφαλιστηρίων … Πρωταγωνιστής στην ιστορία μας ένας Ολλανδός Φυσικός, Αστρονόμος, εφευρέτης και Μαθηματικός. Ο Christiaan Huygens (1629-1695). Θεωρείται ένας από τους ιδρυτές της Μαθηματικής Φυσικής. Το 1657 γράφει το πρώτο βιβλίο για τις πιθανότητες με τίτλο “De ratiociniis in ludo aleae” ( Περί υπολογισμών στα τυχερά παιχνίδια). Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται ο βασικός λογισμός των Πιθανοτήτων καθώς και οι έννοιες , προσδοκώμενη τιμή και δίκαιο στοίχημα. Για παράδειγμα στην ρουλέτα έχουμε 18 υποδοχές μαύρες όπου είναι σημειωμένοι οι περιττοί αριθμοί από το 1 ως το 35 , 18 κόκκινες όπου είναι σημειωμένοι οι άρτιοι αριθμοί από το 2 ως το 36 και 1 πράσινη που αντιστοιχεί στον αριθμό 0 . Αν κάποιος στοιχηματίσει 100 ευρώ στο μαύρο τότε το προσδοκώμενο κέρδος είναι 18 19 100 ( 100) 2,702 37 37  +  − = − , δηλαδή αν αποφασίσεις να παίξεις ρουλέτα περίμενε να χάνεις 2,7 ευρώ σε κάθε παιχνίδι. Δεύτερο παράδειγμα …Ρίχνουμε δύο ζάρια και υπολογίζουμε την διαφορά των δύο ενδείξεων. Αν η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 κερδίζω 10 ευρώ, αν είναι 3 ή 4 ή 5 χάνω 10 ευρώ. Τι λέτε παίζουμε ; Για το συγκεκριμένο παιχνίδι έχουμε ότι .. Τα δυνατά αποτελέσματα από τη ρίψη δύο ζαριών παρουσιάζονται στο διπλανό πίνακα …
  • 20.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 12 … οπότε αν υπολογίσουμε την διαφορά των δύο ενδείξεων θα καταλήξουμε στον δειγματικό χώρο που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα. Μετρήστε πόσες φορές η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 και πόσες 3 ή 4 ή 5. Τι πιστεύετε; Είναι τελικά δίκαιο ένα τέτοιο στοίχημα; Ας μιλήσουμε όμως πιο διεξοδικά για το βιβλίο του “De ratiociniis in ludo aleae” Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται 14 προτάσεις και στο τέλος δίνονται 5 προβλήματα προς λύση. Το βιβλίο μεταφράστηκε στα Αγγλικά το 1714 με τίτλο «The Value of all Chances in Games of Fortune » Το πιο διάσημο πρόβλημα είναι το 5ο που έχει μείνει γνωστό ως Gambler’s ruin – Πλάνη του τζογαδόρου. Ας το δούμε σε μια πιο απλή εκδοχή του. Δύο παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι. Ο Α παίκτης έχει 1 € και ο Β 2€. Όποιος από τους δύο χάνει δίνει στον νικητή 1 €. Ο παίκτης Α είναι καλύτερος από τον Β, κερδίζει 2 στα 3 παιχνίδια. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος χάσει όλα τα χρήματά του. Ποια η πιθανότητα να κερδίσει ο Α; Ας εξετάσουμε το πρόβλημα γενικότερα και ας υποθέσουμε ότι … ο Α στην αρχή του παιχνιδιού έχει ν € και ο σκοπός του είναι να αποκτήσει ν+μ €, με πιθανότητα να κερδίσει ένα γύρο p οπότε θα έχει ν+1 € και να χάσει q, οπότε θα έχει ν-1 € . Ας συμβολίσουμε με Ρν την πιθανότητα να κερδίσει ο Α ενώ έχει ν €, αντίστοιχα Ρν+1 την πιθανότητα να κερδίσει ο Α όταν έχει ν+1 € κ.ο.κ. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία αναδρομική σχέση ανάμεσα στις πιθανότητες … Ρν , Ρν-1 , Ρν+1 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα … Α « κερδίζει το παιχνίδι ο Α» με Ρ(Α)=Ρν Α1 « κερδίζει το παιχνίδι ο Α ενώ έχει χάσει τον 1ο γύρο » Α2 « κερδίζει το παιχνίδι ο Α ενώ έχει κερδίσει τον 1ο γύρο » Κ « ο Α κερδίζει τον 1ο γύρο» Χ « ο Α χάνει τον 1ο γύρο»
  • 21.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 13 Ισχύει ότι : ν 1 2 1 2 ν 1 ν 1 P Ρ(Α) Ρ(Α Α ) Ρ(Α ) Ρ(Α ) Ρ(Α Χ) Ρ(Α Κ) Ρ(Α / Χ) Ρ(Χ) Ρ(Α / Κ) Ρ(Κ) Ρ q P p − + = =  = + =  +  = =  +  =  +  Άρα ν ν 1 ν 1 Ρ q Ρ p Ρ − + =  +  με 0 Ρ 0 = ( αφού όταν ο Α έχει 0 € η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι είναι 0) και ν μ Ρ 1 + = ( αφού όταν ο Α έχει ν+μ € κερδίζει με βεβαιότητα το παιχνίδι) Για το παράδειγμά μας ( όπου ο Α έχει 1€ και ο αντίπαλος 2€ και όπου, ο Α κερδίζει ένα παιχνίδι με πιθανότητα 2 3 και χάνει με πιθανότητα 1 3 ) θα έχουμε διαδοχικά … ν ν 1 ν 1 1 2 Ρ Ρ Ρ 3 3 − + =  +  και 0 Ρ 0 = , 3 Ρ 1 = για ν=1 έχουμε 1 0 2 1 2 1 2 2 Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ (1) 3 3 3 = +  = και για ν=2 έχουμε 2 1 3 2 1 1 2 1 2 Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ (2) 3 3 3 3 = +  = + από το (Σ) των (1) και (2) έχουμε τελικά ότι 1 4 Ρ 7 = Στην γενική περίπτωση οι σχέσεις : ν ν 1 ν 1 Ρ q Ρ p Ρ − + =  +  με 0 Ρ 0 = και ν μ Ρ 1 + = δίνουν n ν ν μ q 1 ( ) p Ρ (1) q 1 ( ) p + − = − για q p  και ν ν Ρ (2) ν μ = + για 1 q p 2 = = Ας σταθούμε στον πρώτο τύπο (1) και φανταστείτε ότι βρίσκεστε στο καζίνο. Έχετε κάποια χρήματα “ν” και παίζετε με μικρότερη πιθανότητα από ότι το καζίνο να κερδίσετε ( ειδάλλως δεν θα λεγόταν καζίνο) , δηλαδή 1 q 2  , 1 p 2  και τα χρήματα που έχει στη διάθεσή του το καζίνο πολύ περισσότερα από τα δικά σας. Η πιθανότητα να χρεοκοπήσει το καζίνο από σας είναι μηδαμινή. Ενώ αντίθετα το καζίνο μπορεί να σας καταστρέψει.
  • 22.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 14 Τελειώνοντας την αναφορά μας στον Huygens θα πρέπει να αναφερθούμε στην ενασχόλησή του, μετά από την παρότρυνση του αδελφού του, σχετικά με το προσδόκιμο ζωής και αυτό για να υπολογιστούν τιμές των ασφαλιστηρίων ζωής που είχαν αρχίσει να εμφανίζονται στο Λονδίνο του 17ου αιώνα. Ο Huygens στηρίχθηκε στο βιβλίο Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality του Άγγλου δημογράφου John Graunt (1620 – 1674). Ο John Graunt ως ειδικός επιδημιολόγος κατάρτησε στατιστικούς πίνακες της δημόσιας υγείας του Λονδίνου. Με χρήση απλών μαθηματικών μοντέλων ήταν σε θέση να κάνει εκτιμήσεις σχετικά με το μέγεθος του πληθυσμού του Λονδίνου και της Αγγλίας, τα ποσοστά γεννήσεων, τα ποσοστά θνησιμότητας ανδρών και γυναικών, την άνοδο και εξάπλωση ασθενειών, καταρτίζοντας ουσιαστικά πίνακες θνησιμότητας και δείκτες συσχέτισης ηλικίας και θνησιμότητας. Ο Huygens καταπιάστηκε με τον υπολογισμό του προσδόκιμου ζωής, προσομοιάζοντας το ως ένα τυχερό παιχνίδι και αναζητώντας την προσδοκώμενη τιμή του. Η μελέτη του θεωρείται πρωτοπόρα στην διαχείριση ασφαλιστηρίων κινδύνου και στον υπολογισμό των ασφαλίστρων.
  • 23.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 15 Μια οικογένεια γεμάτο Μαθηματικούς ! «Το να εικάζει κανείς για κάτι, σημαίνει το να υπολογίζει την πιθανότητά του. Συνεπώς η τέχνη του εικάζειν, ή στατιστική τέχνη, ορίζεται ως η τέχνη του όσο το δυνατόν ακριβέστερου υπολογισμού της πιθανότητας των πραγμάτων έτσι ώστε όταν κρίνουμε και ενεργούμε , να μπορούμε πάντοτε να επιλέγουμε ή να ακολουθούμε εκείνα που φαίνονται καλύτερα, περισσότερο ικανοποιητικά , ασφαλέστερα και περισσότερο μελετημένα». Jacob Bernoulli Ο όρος «θεωρία πιθανοτήτων» ως ένας κλάδος των μαθηματικών στον οποίο περιλαμβάνονται τα όσα έχουν δημιουργηθεί από τους Cardano, Fermat, Pascal και Huygens είναι δημιούργημα μιας οικογένειας Ελβετών μαθηματικών, της οικογένειας Bernoulli. Πλέον η λέξη πιθανότητα αποκτά την σημερινή σημασία της ως μία αριθμητική τιμή που εκφράζει ένα μέτρο προσδοκίας πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου που εμφανίζεται στην εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Ο πρώτος Bernoulli με τον οποίο θα ασχοληθούμε είναι ο Jacob Bernoulli (1655-1705).Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας από το 1687 μέχρι τον θάνατό του. Από τους πρώτους γνώστες του Διαφορικού Λογισμού όπως αυτός παρουσιάστηκε από τον Leibniz. Σε συνεργασία με τον αδελφό του Johann Bernoulli συγγράφειτοβιβλίο του διαφορικού λογισμού " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " (1684). Η σχέση μεταξύ των δύο αδελφών μετατράπηκε σύντομα σε ανταγωνιστική μέχρι το 1697 όπου οι δρόμοι τους χωρίζουν. Το βιβλίο του Ars Conjectandi, που δημοσιεύθηκε το 1713, από τον ανιψιό του Nicolaus Bernoulli, μετά τον θάνατό του θεωρείται ένα από τα πιο σημαντικά συγγράμματα θεωρίας πιθανοτήτων. Στο βιβλίο αυτό διατυπώνεται το λεγόμενο «χρυσό θεώρημα» ή «ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών» με τον οποίο αποδεικνύει το προφανές (;) ότι η σχετική συχνότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου πλησιάζει στην εκτιμώμενη πιθανότητα όσο αυξάνουμε τον αριθμό των δοκιμών που πραγματοποιούμε. Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαίωσε με έναν πολύ βαρετό τρόπο στα χρόνια που ακολούθησαν ένας φυλακισμένος … Ο John Edmund Kerrich (1903–1985) ήταν μαθηματικός που κατά την διάρκεια της φυλάκισής του στον β’ παγκόσμιο πόλεμο πέταξε ένα νόμισμα 10.000 φορές και μέτρησε τον αριθμό των κεφαλών που εμφανίστηκαν. Ο αριθμός ήταν 5.067 τιμή που πλησιάζει την ιδεατή του 50%.
  • 24.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 16 Μία διαγραμματική παρουσίαση του νόμου των μεγάλων αριθμών για το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος παρουσιάζεται παρακάτω … Τον Jacob τον προβλημάτισε επίσης το ερώτημα « πως τα αποτελέσματα που παίρνουμε από ένα δείγμα μπορούμε να τα γενικεύσουμε στον πληθυσμό». Γι’ αυτό εισήγαγε την έννοια της a priori (εκ των προτέρων) πιθανότητας που υπολογίζεται πριν την πραγματοποίηση του γεγονότος και της a posteriori ( εκ των υστέρων ) πιθανότητας που υπολογίζεται μετά την πραγματοποίηση του γεγονότος. Ένα από τα αγαπημένα νοητικά πειράματα που έκανε ήταν αυτό της κάλπης που περιέχει ας πούμε 3000 λευκά και 2000 μαύρα σφαιρίδια. Από την κάλπη βγάζουμε , με επανατοποθέτηση, μία σφαίρα και σημειώνουμε το χρώμα της. Το ερώτημα είναι πόσες δοκιμές πρέπει να κάνουμε ώστε η a posteriori πιθανότητα να πάρουμε λευκό σφαιρίδιο να πλησιάζει στην a priori πιθανότητα του 60% ; Ο επόμενος Bernoulli που θα μας απασχολήσει είναι ο Daniel Bernoulli (1700-1782) , ανιψιός του Jacob. Ασχολήθηκε με τη Φυσική , τα Μαθηματικά , τη Στατιστική , τις Πιθανότητες και τα Οικονομικά. Στο βιβλίο του «Specimen theoriae novae de mensura sortis » (Έκθεση μιας νέας θεωρίας για τη μέτρηση του κινδύνου), ασχολείται με το «Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης», ένα κλασικό πρόβλημα πιθανοτήτων που θα παρουσιάσουμε. Σε μια λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό των α € και μπορείς να παίξεις το εξής παιχνίδι. Ρίχνεις ένα νόμισμα και κερδίζεις αν έρθει κορώνα. Το ποσό που κερδίζεις προσδιορίζεται ως εξής. Αν έρθει κορώνα στην 1η ρίψη παίρνεις 1 €, αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην 2η ρίψη παίρνεις 2 €, αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην 3η ρίψη παίρνεις 22 € και γενικά αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην ν ρίψη παίρνεις 2ν-1 €. Ποιο πρέπει να είναι το ποσό α που δίνει ο παίκτης στη λέσχη κατά την είσοδο, ώστε το παιχνίδι να είναι δίκαιο. Δηλαδή το προσδοκώμενο όφελος λέσχης και παίκτη να είναι το ίδιο.
  • 25.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 17 Ας δούμε τη διαδικασία στην εξέλιξή της. Στην πρώτη ρίψη του νομίσματος η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι 1/2 . Επειδή το ποσό που θα πάρει είναι 1 € το προσδοκώμενο όφελος για τον παίκτη είναι το 1/2 του 1 € δηλαδή 50 λεπτά. Στην δεύτερη ρίψη ο παίκτης κερδίζει αν έχει φέρει αρχικά γράμματα και μετά κορώνα. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 1 1 1 2 2 4  = . Επειδή το όφελος θα είναι 2 € το προσδοκώμενο όφελος είναι 1 1 2 4 2  = € δηλαδή και πάλι 50 λεπτά. Όμοια στην τρίτη ρίψη θα έχουμε κέρδος αν στις δύο πρώτες φέρει γράμματα και στην 3η κορώνα. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 1 1 1 1 2 2 2 8   = . Επειδή το όφελος θα είναι 2 2 4 = € , επομένως το προσδοκώμενο όφελος είναι 1 1 4 8 2  = €, δηλαδή και πάλι 50 λεπτά. Τι συμβαίνει στην ν-ιοστή ρίψη; Κέρδος θα έχουμε όταν στις πρώτες ν-1 ρίψεις ο παίκτης έχει φέρει γράμματα και στην ν-ιοστή κορώνα. Με ποια πιθανότητα μπορεί να γίνει αυτό; Οι τρόποι για να φέρουμε γράμματα στις πρώτες ν-1 ρίψεις είναι ν 1 1 ( ) 2 − και η πιθανότητα για να έρθει μετά κορώνα είναι 1 2 , άρα οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να εξελιχθεί το παιχνίδι για να έχουμε κέρδος στην ν-ιοστή ρίψη είναι ν 1 ν ν 1 1 1 1 2 2 2 2 −      = =         . Τότε το ποσό που θα κερδίσει ο παίκτης είναι ν 1 2 − € , οπότε το προσδοκώμενο όφελος είναι ν 1 ν 1 1 2 2 2 −  = € , δηλαδή πάλι 50 λεπτά. Επειδή το παιχνίδι μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον και επειδή η συνολική προσδοκία είναι το άθροισμα των προσδοκιών στο κάθε στάδιο του παιχνιδιού θα έχουμε ότι : η προσδοκία οφέλους του παίκτη από την συμμετοχή του στο παιχνίδι είναι : κ 1 1 2  = = +   . Επειδή θέλουμε να είναι δίκαιο το παιχνίδι, άρα το προσδοκώμενο όφελος παίκτη και λέσχης να είναι το ίδιο, τα λεφτά που πρέπει να πληρώνει στην είσοδο της λέσχης ο παίκτης είναι … ένα άπειρο ποσό χρημάτων !
  • 26.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 18 Η Γαλλική σχολή … Ο François-Marie Arouet (1694–1778), γνωστός με το όνομά Voltaire γνωρίστηκε το 1728 με τον Γάλλο μαθηματικό Charles Marie de La Condamine ο οποίος του πρότεινε να συμμετέχουν στην λοταρία που διοργάνωνε τότε το Γαλλικό δημόσιο. Η Γαλλική κυβέρνηση στις αρχές του 18ου αιώνα είχε εκδώσει ομόλογα τα οποία στην συνέχεια αναγκάστηκε να τα «κουρέψει» με αποτέλεσμα να θεωρείται από τις αγορές αναξιόπιστη οπότε τα νέα ομόλογα που σκόπευε να εκδώσει δεν είχαν ζήτηση. Για να προσελκύσει επενδυτές το Γαλλικό δημόσιο διοργάνωσε λοταρία στην οποία θα μπορούσαν να συμμετέχουν μόνο κάτοχοι παλαιών τίτλων. Όμως η λοταρία είχε στον σχεδιασμό της ένα μεγάλο λάθος. Το χρηματικό βραβείο που πρόσφερε στον τυχερό υπερκάλυπτε την αξία των λαχνών. Έτσι ο φιλόσοφος και ο φίλος του μαθηματικός αφού αγόρασαν όσα περισσότερα υποβαθμισμένα ομόλογα μπορούσαν, αγόρασαν στην συνέχεια τους περισσότερους λαχνούς της λοταρίας και προφανώς κέρδισαν. Ο καθένας τους κέρδισε περί το 1.000.000 γαλλικά φράγκα !. Εκείνη την εποχή μπορεί τα τυχερά παιχνίδια να ήταν δημοφιλή, ακόμα και ως κρατικές λοταρίες, αλλά τα κριμένα μαθηματικά των πιθανοτήτων ήταν κτήμα μόνο ορισμένων μυημένων της μαθηματικής κοινότητας. Μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών κάνει δυναμικά την εμφάνιση τους στην εξέλιξη του κλάδου αυτού της μαθηματικής επιστήμης. Ξεκινάμε την σύντομη αναφορά μας στην Γαλλική σχολή του 18ου αιώνα με τον Abraham de Moivre (1667-1754). Γνωστός για την συνεισφορά του στους μιγαδικούς και τις πιθανότητες. Το 1667 συγγράφει βιβλίο πιθανοτήτων με τίτλο «The Doctrine of Chances». Το βιβλίο κυκλοφόρησε στα Λατινικά και στα Αγγλικά. Σε μεταγενέστερη έκδοση του βιβλίου (1733) συμπεριέλαβε και την μελέτη του σχετικά με την προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής μέσω μιας καμπύλης που την ονομάζουμε κανονική κατανομή (normal distribution) ή bell curve – λόγω του σχήματός της. Χρησιμοποιώντας μεθόδους του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού κατέληξε στην συνάρτηση 2 2 (x μ) 2σ 1 f(x) e σ 2π − − =  μετη οποία μπορεί πλέον να μελετήσει μία μεταβλητή της οποίας οι τιμές κατανέμονται συμμετρικά γύρω από την μέση τιμή (μ) της σε ένα εύρος περίπου έξι τυπικών αποκλίσεων (σ) .
  • 27.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 19 Η μορφή της κατανομής είναι …. Τα κουτσομπολιά της εποχής λένε ότι την χρησιμότητα της καμπύλης αυτής την επιβεβαίωσε ο de Moivre σε διάφορους τύπους τυχερών παιχνιδιών. Για να είμαστε δίκαιοι όμως, σε ένα άρθρο με τίτλο "Annuities upon Lives" παρουσιάζει την κανονική κατανομή του ποσοστού θνησιμότητας σε σχέση με την ηλικία ενός ατόμου. Την καμπύλη την χρησιμοποιεί για να υπολογίσει τα έσοδα που παράγονται από της ετήσιες πληρωμές στο πλαίσιο ενός ασφαλιστηρίου σε συνάρτηση με την ηλικία του συμβαλλόμενου. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα της κανονικής κατανομής είναι η συμμετρίας της γύρω από τον αριθμητικό μέσο μ και η ποσόστωση των τιμών της γύρω από αυτόν. Συγκεκριμένα το 68% περίπου των τιμών βρίσκονται στο διάστημα [ σ,σ] − , το 95% περίπου των τιμών βρίσκονται στο διάστημα [ 2σ,2σ] − και το 99,7% στο [ 3σ,3σ] − , όπου σ η τυπική απόκλιση των τιμών της μεταβλητής. Ανάλογα με τις τιμές των βασικών παραμέτρων μ και σ η μορφή της κατανομής είναι διαφορετική αλλά παρόμοια, σαν μία καμπάνα (bell curve). Συγχρόνως με χρήση του τύπου : x μ z σ − = προκύπτει κανονική κατανομή με μέσο μ=0 και τυπική απόκλιση σ=1, που λέγεται τυποποιημένη κανονική κατανομή. Η εύρεση της πιθανότητας ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου μιας μεταβλητής που οι τιμές της κατανέμονται κανονικά γίνεται με ένα απλό αλγόριθμό με την βοήθεια της τυποποιημένης κατανομής. Στο βιβλίο αυτό δεν θα ασχοληθούμε με ασκήσεις τέτοιους είδους αλλά με παραδείγματα θα δούμε πόσο συχνά συναντάμε την κανονική κατανομή στην μελέτη καθημερινών καταστάσεων.
  • 28.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 20 Ας ξεκινήσουμε … Αν μελετήσουμε ένα μεγάλο δείγμα ενός πληθυσμού ως προς το ύψος. Θα παρατηρήσουμε ότι οι τιμές κατανέμονται κανονικά. Ο de Moivre βρέθηκε μπροστά στην κανονική κατανομή όταν μετρούσε τα αποτελέσματα των ρίψεων δύο ζαριών. Έτσι αν ρίξουμε, ας πούμε 1000 φορές δύο ζάρια θα διαπιστώσουμε ότι : η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 2 ή 12 είναι περίπου 0,2%, η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 3 ή 11 είναι περίπου 5% , άθροισμα 4 ή 10 περίπου 8%, άθροισμα 5 ή 9 πιθανότητα είναι περίπου 11% , 6 ή 8 με πιθανότητα 14% και τέλος ενδείξεις με άθροισμα 7 με πιθανότητα 16,6%. Παρατηρείστε το διπλανό διάγραμμα για να δείτε πως εμφανίζεται η κανονική κατανομή. Μελετώντας τις διακυμάνσεις των μετοχών σε ένα χρηματιστήριο, θα διαπιστώσουμε ότι οι αλλαγές στις ημερολογιακές τιμές των δεικτών τιμών και της απόδοσης των μετοχών σχηματίζουν κανονική κατανομή. Η σωστή εύρεση των δεικτών μ και σ οδηγεί τους οικονομικούς αναλυτές σε συμπεράσματα σχετικά με την αναμενόμενη απόδοση και κίνδυνο των μετοχών. Ο πρίγκηπας του παραμυθιού αν γνώριζε λίγο στατιστική θα βοηθιόταν αρκετά στην αναζήτηση της σταχτοπούτας. Οι πωλήσεις γυναικείων παπουτσιών σε συνάρτηση με το μέγεθός είναι μία κανονική κατανομή. Αυτό συμβαίνει διότι τα περισσότερα φυσικά χαρακτηριστικά των ανθρώπων , άρα και το μέγεθος των ποδιών, κατανέμονται κανονικά.
  • 29.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 21 Το φυσιολογικό βάρος γέννησης ενός νεογνού κυμαίνεται από 2,5 έως 3,5 κιλά. Η πλειοψηφία των νεογνών έχει φυσιολογικό βάρος γέννησης, ενώ μόνο ένα μικρό ποσοστό των νεογνών έχει βάρος υψηλότερο ή χαμηλότερο από το φυσιολογικό. Δηλαδή το βάρος γέννησης ακολουθεί την καμπύλη κανονικής κατανομής. Η αρτηριακή πίεση σε έναν ανδρικό πληθυσμό σε σχέση με την ηλικία κατανέμεται κανονικά με μέσο όρο περίπου 80 και τυπική απόκλιση 20. Ο επόμενος μεγάλος στοχαστής των Μαθηματικών είναι ο Pierre-Simon, μαρκήσιος de Laplace (1749-1827). Μηχανικός, Μαθηματικός, Φυσικός, Αστρονόμος, Φιλόσοφος. Το 1812 δημοσιεύει την «Théorie analytique des probabilités» στο οποίο παρουσιάζει μεθόδους και προβλήματα πιθανοτήτων, αναπτύσσοντας παράλληλα στατιστικές μεθόδους και εφαρμογές. Στο βιβλίο του αυτό γράφει … « … η θεωρία πιθανοτήτων είναι η κοινή λογική που έχει αναχθεί σε αριθμητικούς υπολογισμούς …μας βοηθάει να εκτιμήσουμε με ακρίβεια αυτά που ένας κοινός νους αισθάνεται ενστικτωδώς, χωρίς συχνά να μπορεί να τα αιτιολογήσει … Η επιστήμη αυτή που γεννήθηκε από τη μελέτη των τυχερών παιχνιδιών, θα γίνει το πιο σημαντικό πεδίο της ανθρώπινης γνώσης … τα σημαντικότερα ερωτήματα της ζωής είναι ουσιαστικά προβλήματα πιθανοτήτων».
  • 30.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 22 Δίνει τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, δηλαδή : σε ένα πείραμα τύχης με πεπερασμένο δειγματικό χώρο Ω και ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δίνεται από τον τύπο : πλήθος στοιχείων του Α Ν(Α) Ρ(Α) πλήθος στοιχείων του Ω Ν(Ω) = = Παρουσιάζεται το κεντρικό οριακό θεώρημα. Το θεώρημα αυτό πρωτοπαρουσιάστηκε από τον De Moivre στο «The Doctrine of Chances» χωρίς όμως να κάνει αίσθηση διότι το χρησιμοποίησε για να βρει τον αριθμό των κεφαλών που προκύπτουν από τις πολλαπλές ρίψεις ενός νομίσματος, τετριμμένο θέμα για την εποχή . Ο Laplace στο «Théorie Analytique des Probabilités» το χρησιμοποίησε για να προσεγγίσει την διωνυμική κατανομή με την κανονική κατανομή. Τι λέει όμως το κεντρικό οριακό θεώρημα; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πληθυσμό μεγέθους Ν και τον εξετάζουμε ως προς ένα χαρακτηριστικό του, ως προς το οποίο έχει μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. Τότε αν πάρουμε όλα τα δείγματα του πληθυσμού μεγέθους ν<Ν, η κατανομή των μέσων όλων των δειγμάτων είναι κανονική με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ ν . Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πακέτο 100.000 μετοχών με μέση αξία 3€ και τυπική απόκλιση σ=1€. Αν πάρουμε ένα δείγμα μεγέθους 100 μετοχών τότε δεν γνωρίζουμε πόσο κοντά είναι ο μέσος του δείγματος με τον μέσο του πληθυσμού μ, αλλά γνωρίζουμε ότι η κατανομή των μέσων όλων των δυνατών δειγμάτων μεγέθους 100 θα δώσει μέσο 3€ και τυπική απόκλιση 0,1€. Το θεώρημα αυτό όπως θα δούμε παρακάτω αποτελεί τη βάση της εκτιμητικής στατιστικής. Ο τρίτος μεγάλος της παρέας των Γάλλων Μαθηματικών είναι ο Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Η πιο σημαντική συνεισφορά του στο κομμάτι μαθηματικών που εξετάζουμε είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων «méthode des moindres carrés». Τη μέθοδο αυτή την δημοσίευσε ως παράρτημα το 1806 σε βιβλίο που διαπραγματευόταν τις τροχιές των κομητών. Τι λέει όμως η μέθοδος αυτή;
  • 31.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 23 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε μία σχέση εξάρτησης ανάμεσα σε δύο μεταβλητές y (εξαρτημένη μεταβλητή ) και x (ανεξάρτητη μεταβλητή) που περιγράφουν ένα φαινόμενο. Το μόνο που γνωρίζουμε είναι μία σειρά από πειραματικές τιμές των μεγεθών. Αποτυπώνουμε τα ζεύγη (x,y) των τιμών αυτών σε σύστημα συντεταγμένων και ο στόχος είναι να προσδιορίσουμε την μορφή της άγνωστης μαθηματικής σχέσης y=f(x) που ταιριάζει καλύτερα στα πειραματικά δεδομένα μας. Από την φύση του νέφους των σημείων (x,y) που έχουμε μπορούμε να εικάσουμε την φύση της μαθηματικής σχέσης. Έτσι μπορεί να είναι … γραμμική του τύπου y ax b = + , εκθετική του τύπου b y ax = , πολυωνυμική του τύπου n o 1 n y a a x ... a x = + + + , λογαριθμική του τύπου y a b lnx = +  . Η εύρεση των άγνωστων συντελεστών γίνεται απαιτώντας το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων (των εκτιμώμενων τιμών μέσω της συνάρτησης που υποθέτουμε ότι ισχύει και των τιμών που έχουμε μέσω των πειραματικών παρατηρήσεων μας) να γίνεται ελάχιστο. Ο Legendre χρησιμοποίησε την μέθοδο στη προσπάθεια του να ορίσει τη νέα μονάδα μήκους. Στην περίοδο της Γαλλικής Επανάστασης ως ένα μέτρο ορίστηκε το 1 40.000.000 της περιφέρειας της γης. Αλλά πόσο είναι η περιφέρεια της γης; Ας σημειώσουμε ότι ήταν γνωστό ότι το σχήμα της γης δεν ήταν σφαιρικό οπότε η μέθοδος μέτρησης κατά Ερατοσθένη δεν ήτο πλέον αποδεκτή. Το 1750 κοντά στην Ρώμη ο μαθηματικός Ruggero Boscovich εκτελεί μία σειρά μετρήσεων του μήκους μεσημβρινών που αντιστοιχούν σε μία μοίρα γεωγραφικού πλάτους. Έτσι αποτυπώνει μια σειρά ζευγών (x,y) - x σε μοίρες γεωγραφικού πλάτους και y το μήκος του αντίστοιχου τόξου κατά μήκος του μεσημβρινού. Για παράδειγμα η μελέτη του Boscovich θα κατέληγε σε ένα σχήμα όπως το διπλανό, όπου …η ευθεία γραμμή αντιπροσωπεύει την προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων για τα μετρούμενα δεδομένα, επιτρέποντας στον μαθηματικό να προβλέψει τα μήκη τόξων σε άλλα γεωγραφικά πλάτη και έτσι να υπολογίσει το σχήμα της Γης.
  • 32.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 24 "Η ζωή είναι καλή μόνο για δύο πράγματα: να κάνεις μαθηματικά και να τα διδάσκεις." S.D.Poisson Ο επόμενος μαθηματικός της παρέας των Γάλλων Μαθηματικών είναι ο Simeon Denis Poisson (1781-1840). Εργάστηκε σε πολλούς τομείς , στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, στον λογισμό των μεταβολών, στην αναλυτική μηχανική, στον ηλεκτρισμό και μαγνητισμό, στη θερμοδυναμική αλλά για τις ανάγκες της εργασίας θα αναφερθούμε στην κατανομή που πήρε το όνομά του. Την κατανομή Poisson. Πρώτη αναφορά της κατανομής γίνεται στο έργο του « Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile »(1837). Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της πιθανότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος που συμβαίνει κατά τη διάρκεια μιας συγκεκριμένης χρονικής περιόδου . Ο τύπος της πιθανότητας κατανομής Poisson είναι: x λ λ P(X x) e x! − = =  όπου λ η μέση πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου που έχουμε εμπειρικά από τις παρατηρήσεις μας Για να χρησιμοποιήσουμε την κατανομή Poisson θα πρέπει : 1. Έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα μέτρησης του αριθμού εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. 2. Τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία και ανεξάρτητα. Αυτόσημαίνει ότι η εμφάνιση ενός συμβάντος δεν επηρεάζει ένα άλλο συμβάν. 3. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι η ίδια σε όλο το χρονικό διάστημα. Παρακάτω θα αναφερθούμε στην εφαρμογή της κατανομής Poisson που έγινε από τον Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868-1931) Ρώσο Οικονομολόγο και Στατιστικολόγο και αναφερόταν στον αριθμό των στρατιωτών του Πρωσικού στρατού που σκοτώθηκαν κατά λάθος από κλωτσιά αλόγου. Από δεδομένα 20 ετών ο Bortkiewicz γνώριζε ότι από 200 περιπτώσεις ατυχημάτων με άλογα υπήρχαν 122 θανατηφόρα ατυχήματα. Δηλαδή από τα δεδομένα είχαμε 122 λ 0,61 200 = = . Θα μπορούσαμε να προβλέψουμε με ασφάλεια την πιθανότητα θανατηφόρων ατυχημάτων x για οποιαδήποτε τιμή του x;
  • 33.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 25 Χρησιμοποιώντας την τιμή λ=0,61, ο Bortkiewicz εφάρμοσε τον τύπο Poisson για να προβλέψει την πιθανότητα αριθμού θανάτου, x , με x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και συγχρόνως υπολόγισε και τον αριθμό των ατυχημάτων αν είχαμε θεωρητικώς 200 συνολικά ατυχήματα. Οι υπολογισμοί παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Ακολούθως παρατήρησε ότι ο εκτιμώμενος αριθμός ατυχημάτων (τρίτη στήλη) με τον αντίστοιχο αριθμό ατυχημάτων που είχε στη διάθεσή του από τις παρατηρήσεις των 20 ετών ( τέταρτη στήλη) που διέθετε συνέπιπταν ! Αυτό που έδειξε είναι ότι ο αριθμός των στρατιωτών που σκοτώθηκαν από κλωτσιά αλόγου ακολουθεί την κατανομή Poisson, οπότε με βάση την κατανομή μπορούν να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για μελλοντικά γεγονότα. Επίσης επειδή τα γεγονότα στη κατανομή είναι τυχαία και ανεξάρτητα θα πρέπει και τα πραγματικά συμβάντα να θεωρηθούν ως τυχαία. Ακολούθως θα μελετήσουμε μία άλλη Απίθανη ιστορία που πραγματοποιείται στο Λονδίνο στα μέσα του 1940 όταν οι Γερμανικοί πύραυλοι σκορπούσαν τον τρόμο στην Βρετανική πρωτεύουσα. Με βάση κάποιες παρατηρήσεις εκείνη την εποχή, ορισμένες περιοχές χτυπήθηκαν πιο συχνά από άλλες. O βρετανικός στρατός ήθελε να επιβεβαιώσει εάν οι στόχοι είχαν επιλεγεί ή ο βομβαρδισμός είχε γίνει τυχαία. Τότε ανέλαβε δράση ο R.D.Clarke στατιστικολόγος. Αφού χώρισε την περιοχή που βομβαρδιζόταν με ένα πλέγμα (grid) 576 τετραγώνων μέτρησε τον συνολικό αριθμό βομβών, που ήταν 538. Εργαζόμενος παρόμοια όπως στο προηγούμενο παράδειγμα υπέθεσε ότι οι πύραυλοι έπεσαν τυχαία και εφάρμοσε για 538 λ 0,934 576 = = την κατανομή Poisson καταλήγοντας σε συμπεράσματα που παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Αριθμοί θανάτων (x) Πιθανότητα Ρ(Χ=x) Αριθμός ατυχημάτων Αριθμός καταγεγραμμένων ατυχημάτων 0 0,5434 108,68 109 1 0,3315 66,3 65 2 0,1011 20,22 22 3 0,0205 4,1 3 4 0,0032 0,64 1 5 0,0004 0,08 0 6 0,0001 0,02 0
  • 34.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 26 Αυτό που παρατήρησε ο Clark είναι ότι οι συχνότητες χτυπημάτων ακολουθούν την κατανομή Poisson. Οπότε η επιλογή των σημείων βομβαρδισμού έγινε τυχαία και όχι από κάποιο σχεδιασμό. Δίνοντας συγχρόνως και ένα στατιστικό εργαλείο χρήσιμο για τον στρατηγικό σχεδιασμό της βρετανικής αεράμυνας. Κλείνοντας την σύντομη αναφορά μας στην Γαλλική σχολή θα αναφερθούμε σε ένα Μαθηματικό της περιόδου που είναι γνωστός όχι για την έρευνα του στο χώρο των πιθανοτήτων και της στατιστικής αλλά για ένα πρόβλημα που έχει το όνομά του. Πρόκειται για τον Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) και το πρόβλημα είναι το πρόβλημα της βελόνας (Buffon's needle problem - 1777) Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα χαρτί με γραμμές που απέχουν μεταξύ τους ας πούμε μήκος 1cm και μία βελόνα που και αυτή έχει μήκος 1cm . Ρίχνουμε από ένα ύψος την βελόνα. Ποια η πιθανότητα η βελόνα να τέμνει κάποια από τις γραμμές του τετραδίου. (Στη γενίκευσή του το πρόβλημα υποθέτει ότι το μήκος της βελόνας είναι l και η απόσταση των γραμμών d με l<d) Ονομάζουμε d την απόσταση του μέσου της βελόνας από την πλησιέστερη γραμμή και θ τη γωνία με την οποία πέφτει τυχαία η βελόνα με θ [0,π]  . Στο σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος με απλή τριγωνομετρία υπολογίζουμε ότι η (κατακόρυφη) κάθετος πλευρά του είναι ίση με 1 ημθ 2  . Η βελόνα θα τέμνει μία από τις γραμμές αν 1 d ημθ 2  (1) . Πότε θα συμβαίνει αυτό; Αριθμός χτυπημάτων (x) Πιθανότητα Ρ(Χ=χ) Εκτιμώμενος αριθμός τετραγώνων στο πλέγμα με x χτυπήματα Πραγματικός αριθμός τετραγώνων στο πλέγμα με x χτυπήματα 0 0,39298 226,74 229 1 0,36704 211,39 211 2 0,17141 98,54 93 3 0,05337 30,62 35 4 0,01246 7,14 7 Από 5 και πάνω 0,00233 1,57 1
  • 35.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 27 Σχεδιάζουμε την συνάρτηση 1 y ημθ 2 = με θ [0,π]  . Γραφικά η λύση της (1) εκφράζεται από το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και τον άξονα x’x. Το οποίο είναι π π 0 0 1 1 Ε ημθdθ [ συνθ] 1 2 2 = = − =  και επομένως η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο είναι : Ε 1 2 Ρ 0,6366197 Εμβαδόν ορθογωνίου 0,5 π π = = =   (Το πρόβλημα στην περίπτωση όπου η απόσταση των γραμμών είναι d και το μήκος της βελόνας l η τιμή της πιθανότητας είναι 2 l Ρ d π  =  ) Για το πρόβλημα αυτό πρέπει να τονίσουμε ότι συναντάμε για πρώτη φορά τον δειγματικό χώρο και το ενδεχόμενο του πειράματος τύχης να εκφράζονται γεωμετρικά ως εμβαδά, επίσης παρατηρείστε, πως στον προσδιορισμό της πιθανότητας, υπεισέρχεται η σταθερά «π»! Η εμφάνιση της σταθεράς «π» στο πρόβλημα της βελόνας οδήγησε τον Ιταλό Μαθηματικό Mario Lazzarini το 1901 να εκτελέσει το εξής πείραμα … Σε ένα χαρτί με γραμμές πέταξε 3.550 φορές μία βελόνα που ο λόγος l/d ήταν 3/5 και μέτρησε ότι η βελόνα τέμνει μια γραμμή 1356 φορές. Με τα δεδομένα αυτά κατέληξε στο συμπέρασμα 2 l 1356 2 3 21300 355 Ρ π 3,1415929204 π d 3550 π 5 6780 113  =  =   = =   Αντί της ακριβούς τιμής του «π» που είναι 3,1415926536 Αγαπητοί αναγνώστες δεν έχετε παρά να πειραματιστείτε και εσείς αν έχετε υπομονή για να προσδιορίσετε την σταθερά π …
  • 36.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 28 Η αντιστροφή … Στη συνέχεια θα ξεκινήσουμε με μία διαπίστωση … «η πιθανότητα να υπάρχουν σύννεφα, δεδομένου ότι βρέχει δεν είναι η ίδια με την πιθανότητα να βρέχει, δεδομένου ότι υπάρχουν σύννεφα » Αν σας μπέρδεψα ας μιλήσουμε πρώτα για τον Thomas Bayes (1701–1761) και το περίφημο θεώρημά του … Ο Thomas Bayes ήταν Άγγλος φιλόσοφος και στατιστικολόγος. Δεν ήταν επαγγελματίας μαθηματικός και το θεώρημα στο οποίο θα αναφερθούμε δεν το δημοσίευσε ποτέ. Το γνωρίσαμε σε ένα πρόβλημα «αντίστροφης πιθανότητας» που παρουσιάστηκε από τον μαθηματικό Richard Price (1723-1791) στην Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου το1763 μετά τον θάνατο του Bayes. Με σύγχρονο συμβολισμό διατυπώνεται ως εξής : Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Α / Β) Ρ(Β) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α')   = =  +  Όπου Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β και Ρ(Α/Β) η πιθανότητα να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α, έχοντας δεδομένο ότι το ενδεχόμενο Β πραγματοποιείται και Ρ(Β/Α) το αντίθετο … Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Το τμήμα στατιστικής επεξεργασίας δεδομένων μιας κλινικής ηπατικών νοσημάτων έχει καταγράψει ότι για τα ενδεχόμενα : Α «ο ασθενής έχει ηπατικό πρόβλημα» και Β «ο ασθενής είναι αλκοολικός» οι πιθανότητες είναι Ρ(Α)=0,1 και Ρ(Β)=0,05 Επίσης μεταξύ των ασθενών με διαπιστωμένα ηπατικά προβλήματα 7 στους 100 ήταν αλκοολικοί, άρα Ρ(Β/Α)=0,07 Το ερώτημα είναι ποια είναι η πιθανότητα ένας αλκοολικός ασθενής να έχει ηπατικά προβλήματα ; Αναζητούμε την πιθανότητα Ρ(Α/Β) με την βοήθεια του θεωρήματος του Bayes έχουμε ότι : Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 0,07 0,1 Ρ(Α / Β) 0,14 Ρ(Β) 0,05   = = =
  • 37.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 29 Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα που το συναντάμε χωρίς να το ξέρουμε σχεδόν καθημερινά όταν κοιτάμε τα email μας. Τα spam είναι τα ανεπιθύμητα emails. Κάθε υπηρεσία ηλεκτρονικού ταχυδρομείου έχει αναπτύξει λογισμικά εργαλεία με τα οποία φιλτράρουν από τα εισερχόμενα emails τα spam. Το φιλτράρισμα γίνεται εντοπίζοντας λέξεις κλειδιά που λόγω του καταγεγραμμένου ιστορικού μαρτυρούν ότι το email στο οποίο εμφανίζονται οι συγκεκριμένες λέξεις πρόκειται για ανεπιθύμητη αλληλογραφία. Υποθέτουμε ότι μετά από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι στα 3000 μηνύματα που φθάνουν καθημερινά σε ένα mail server τα 2000 είναι spam. Από αυτά τα 250 περιέχουν την λέξη «προσφορά», ενώ από τα 1000 κανονικά email περιέχουν την λέξη «προσφορά» τα 5. Η υπηρεσία έχει αναπτύξει λογισμικό με το οποίο όταν διαπιστωθεί η ύπαρξη της λέξης «προσφορά» το μήνυμα χαρακτηρίζεται ως ανεπιθύμητο. Να βρείτε ποια η πιθανότητα ένα μήνυμα που λαμβάνουμε και περιέχει τη λέξη «προσφορά» είναι πράγματι spam. Ας μελετήσουμε το διπλανό διάγραμμα … Σε αυτό αποτυπώνεται ότι : το ενδεχόμενο S«το email είναι spam» έχει πιθανότητα P(S)=2/3 ενώ το S’«το email δεν είναι spam» έχει πιθανότητα P(S’)=1/3 επίσης το ενδεχόμενο Offer/S«το email περιέχει τη λέξη offer ενώ είναι spam» έχει πιθανότητα P(O/S)=0,125 και το ενδεχόμενο Offer/S’«περιέχει τη λέξη offer ενώ δεν είναι spam» έχει πιθανότητα P(O/S’)=0,005 Αναζητούμε την πιθανότητα Ρ(S/O), σύμφωνα με τον νόμο του Bayes θα ισχύει ότι P(O / S) P(S) P(S / O) P(O)  = , όπου P(O) P(O / S) P(S) P(O / S') P(S') =  +  Σύμφωνα με τα δεδομένα μας έχουμε ότι 2 1 P(O) 0,125 0,005 0,085 3 3 =  +  = και τελικά 2 0,125 3 P(O / S) 0,98 0,085  = = Άρα η πιθανότητα ένα μήνυμα να περιέχει τη λέξη offer ενώ είναι spam είναι 98%.
  • 38.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 30 Μετρήσεις και σφάλματα … Βρισκόμαστε το 413 π.Χ. . Οι Πλαταιές πολιορκούνται από τους Λακεδαιμονίους. Πριν την μεγάλη επίθεση έπρεπε να μετρηθούν τα τείχη της πόλης ώστε να φτιαχτούν κατάλληλες σκάλες για την αναρρίχηση των στρατιωτών. Ο Θουκυδίδης αναφέρει ότι αυτό έγινε από τους επιτιθέμενους μετρώντας τον αριθμό των σειρών από τούβλα που είχαν τα τείχη από διαφορετικούς στρατιώτες. Η επικρατούσα τιμή χρησιμοποιήθηκε ως μέτρο ώστε πολλαπλασιάζοντας το με το ύψος του κάθε τούβλου να είναι δυνατή η εύρεση του ύψους των τειχών. Πολύ αργότερα το 1570 ο αστρονόμος Tycho Brahe (1546-1601) προσπαθεί να εκτιμήσει θέσεις και αποστάσεις αστέρων και πλανητών. Οι μετρήσεις χονδροειδής με τη βοήθεια του τηλεσκοπίου. Όσο και να προσπαθήσει ποτέ δεν καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα. Τι κάνει ; Μετρά και ξαναμετρά και τελικά χρησιμοποιεί τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών για να μειώσει τα πιθανά σφάλμα στις μετρήσεις των αποστάσεων μεταξύ των αστεριών και να φτιάξει τους αστρικούς χάρτες του. Η ιδέα λοιπόν της χρησιμοποίησης στατιστικών μεθόδων για τον υπολογισμό μεγάλων αποστάσεων δεν είναι καινούργια αλλά ο Μαθηματικός στον οποίο θα αναφερθούμε μετέτρεψε την επεξεργασία των παρατηρήσεων καιτην αντιμετώπιση των σφαλμάτων των όποιων μετρήσεων από ένα πρακτικό εργαλείο σε μία συνεπή μαθηματική θεωρία που οι πιθανότητες είναι στο επίκεντρό της. Μιλάμε φυσικά για τον πρίγκιπα των Μαθηματικών - Princeps mathematicorum (κορυφαίος των Μαθηματικών) τον Γερμανό Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Δεν υπάρχει τομέας της μαθηματικής επιστήμης που ο Gauss δεν έχει παράγει αξιόλογο έργο. Στην μελέτη μας αυτή όμως θα σταθούμε σε μία απίθανη ιστορία, αυτή του προσδιορισμού της τροχιάς του πλανήτη Δήμητρα το 1801.
  • 39.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 31 Τότε ήταν που ο Ιταλός αστρονόμος Giuseppe Piazzi (1746-1826) ανακάλυψε τον νάνο πλανήτη (πρόκειται για αστεροειδή) τον οποίο παρακολουθούσε για περισσότερο από ένα μήνα ή 3 περίπου μοίρες στον νυχτερινό ουρανό. Μετά η Δήμητρα εξαφανίστηκε πίσω από τον Ήλιο. Πότε και που θα εμφανιζόταν ξανά; Τα δεδομένα που είχε συλλέξει από τις παρατηρήσεις του αντιστοιχούσαν στο 1% της τροχιάς του πλανήτη. Μαθηματικά εργαλεία που μπορούσαν να υπολογίσουν την εξίσωση της τροχιάς έχοντας γνωστό μόνο το 1% της καμπύλης δεν υπήρχαν. Η Δήμητρα είχε μάλλον χαθεί. Σύμφωνα με τον νόμο του Titius-Bode ( Το όνομα οφείλεται στους Γερμανούς αστρονόμους Johann Daniel Titius και Johann Elert Bode ) η απόσταση α των πλανητών απότον Ήλιο (στο δικό μας Ηλιακό σύστημα) ακολουθεί την σχέση m α 0,4 0,3 2 = +  με m { ,0,1 ,2,3,3,4,5,6,7,8}  − . Όπου α η απόσταση του μεγάλου ημιάξονα μετρούμενη με αστρονομικές μονάδες, δηλαδή την απόσταση Γης και Ήλιου. Όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για τους πλανήτες Ερμή ως και Ουρανό ο νόμος ισχύει αλλά μάλλον από σύμπτωση. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό στο διάστημα μεταξύ Ερμή και Δία θα έπρεπε να υπήρχε ένας 10ος πλανήτης ο οποίος πιθανόν να καταστράφηκε. Στρέφοντας την παρατήρηση στο σημείο αυτό η ύπαρξη της Δήμητρας επιβεβαίωνε την εικασία. Στην πραγματικότητα όμως δεν ήταν παρά ένας μεγάλος αστεροειδής ένας από τους πολλούς αστεροειδείς που υπάρχουν σε εκείνη την γειτονιά του ηλιακού συστήματός μας. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει τα δεδομένα των παρατηρήσεων των 42 ημερών που ήταν ορατή η Δήμητρα ήταν πολύ λίγα. Οι αστρονόμοι της εποχής δεν μπορούσαν να κάνουν τίποτε. Ακόμα και ο μεγάλος Laplace πίστευε ότι το πρόβλημα του εντοπισμού της Δήμητρας ήταν αδύνατο να λυθεί. Τότε στην ιστορία μας υπεισέρχεται ο Gauss … Γνώριζε τα καταγεγραμμένα δεδομένα υπόκεινται σε σφάλματα . Οπότε αναρωτήθηκε ποια θα ήταν η καλύτερη μαθηματική περιγραφή των τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης μεταξύ της αληθινής και παρατηρούμενης θέσης του πλανήτη;
  • 40.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 32 Ο «νόμος των σφαλμάτων» που αναζητούσε θα ικανοποιούσε τρεις υποθέσεις 1η. Τα μικρά σφάλματα είναι πιο πιθανά από τα μεγάλα. 2η . Η συνάρτηση πιθανότητας σφάλματος θα είναι συμμετρική θεωρώντας ότι η πιθανότητα σφάλματος των μεγεθών χ και -χ θα είναι ίσες. 3η . Αν είχαμε την δυνατότητα να πάρουμε πολλές μετρήσεις του ίδιου μεγέθους ο μέσος όρος των τιμών θα ήταν η πιο πιθανή τιμή. Η τρίτη υπόθεση όπως έχουμε ήδη δει είχε εφαρμοστεί και στο παρελθόν, αλλά τώρα τα δεδομένα ήταν ελάχιστα. Το 1774 ο Laplace χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες υποθέσεις κατέληξε σε δύο εκθετικές συναρτήσεις οι οποίες θα ελαχιστοποιούσαν την απόκλιση των τιμών από την διάμεσο αλλά αποδείχθηκαν και οι δύο λάθος. Ο Gauss κάνοντας χρήσει των διαθέσιμων παρατηρήσεων …. κατέληξε στην μαθηματική σχέση … όπου Δ το μέγεθος του σφάλματος h το μέτρο της ακρίβειας των παρατηρήσεων (πρόκειται για το αντίστροφο της τυπικής απόκλισης), ανακαλύπτοντας την κανονική κατανομή ! Ο 24χρονος Gauss αντιμετώπισε το πρόβλημα της τροχιάς υποθέτοντας την ισχύ των τριών νόμων του Kepler, την κατανομή σφαλμάτων που ανακάλυψε και την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Δουλεύοντας ασταμάτητα υπολόγισε έξι παραμέτρους τροχιάς χρησιμοποιώντας 19 σημεία δεδομένων. Στην προσπάθεια του αυτή εφηύρε και νέες τεχνικές όπως μετασχηματισμούς τριγωνομετρικών σειρών για τον υπολογισμό αριθμητικών προσεγγίσεων της ελλειπτικής τροχιάς. Στο παραπάνω σχήμα συγκρίνονται οι δύο συναρτήσεις του Laplace και του Gauss
  • 41.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 33 Οι τελικοί υπολογισμοί του επέτρεψαν στους αστρονόμους να βρουν ξανά τον χαμένο πλανήτη. Αργότερα βελτίωσε την μέθοδό του απαιτώντας μόνο τρία σημεία δεδομένων … Την πρώτη την μεσαία και την τελευταία από τις 19 παρατηρήσεις που διέθετε … Το όνομα του Gauss έγινε γνωστό σε όλη την Ευρώπη, ακόμα και ο Laplace συνεχάρη των Gauss λέγοντας … « ο δούκας του Brunswick (αναφερόμενος στον προστάτη και εργοδότη του Gauss) ανακάλυψε περισσότερα για τη χώρα του από έναν πλανήτη, ανακάλυψε ένα υπέρ-γήινο πνεύμα σε ένα ανθρώπινο σώμα» Όμως η ανακάλυψη αυτή είχε και δυσάρεστα αποτελέσματα. Ο Legendre είχε δημοσιεύσει την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το 1805, ενώ ο Gauss επίσημα την αναφέρει για πρώτη φορά το 1809 στην εργασία του «Theoria motus corporum coelestium ik sectionibus conicis solem ambientum»( Θεωρία της κίνησης των ουρανίων σωμάτων που κινούνται γύρω από τον ήλιο σε κωνικές τομές). Τότε ήταν που ισχυρίστηκε ότι την μέθοδο αυτή την γνώριζε και χρησιμοποιούσε από το 1795, θεωρώντας την προφανή και για το λόγο αυτό δεν την δημοσίευσε. Ο ισχυρισμός αυτός του Gauss προκάλεσε την αντίδραση του Legendre κατηγόρησε τον Gauss ότι ιδιοποιείται τις ανακαλύψεις των άλλων. Η διαμάχη των δύο ανδρών κράτησε για χρόνια. η τροχιά της Δήμητρας σε σκίτσο του Gauss
  • 42.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 34 Για τον Gauss η έρευνα και η εφαρμογή των μαθηματικών στη λύση των προβλημάτων ήταν η ανάσα του, ο τρόπος ζωής του, ο ίδιος λέει χαρακτηριστικά … « Δεν είναι η γνώση, αλλά η πράξη της μάθησης, όχι η κατοχή αλλά η πράξη του να φθάσεις εκεί, που προσφέρει την μεγαλύτερη απόλαυση. Όταν έχω ξεκαθαρίσει και εξαντλήσει ένα θέμα, τότε απομακρύνομαι από αυτό, για να ξαναπάω στο σκοτάδι. Ο άνθρωπος που δεν είναι ποτέ ικανοποιημένος είναι παράξενος, αν έχει ολοκληρώσει μια δομή, τότε δεν είναι για να κατοικήσει σε αυτήν ειρηνικά, αλλά για να ξεκινήσει μία άλλη» Είναι χαρακτηριστικό ότι στα εβδομήντα του ασχολήθηκε με οικονομικά μαθηματικά. Το ταμείο συντάξεων του Πανεπιστημίου του Göttingen ανησυχούσε για τη μελλοντική φερεγγυότητά του. Απευθύνθηκαν στο Gauss ο οποίος δημιούργησε ένα αναλογιστικό μοντέλο εσόδων – εξόδων του συνταξιοδοτικού ταμείου.
  • 43.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 35 Με τις εργασίες των Moivre, Laplace, Legendre και Gauss μία νέα Μαθηματική περιοχή αρχίζει σιγά σιγά να αναπτύσσεται. Οι απαιτήσεις της αστρονομίας αρχικά και της Φυσικής αργότερα οδηγούν τους Μαθηματικούς να αφιερώνουν μεγάλο μέρος του έργου τους στην κατανόηση και την ποσοτική ανάλυση των τυχαίων σφαλμάτων. Οι προσπάθειες αυτές οδήγησαν στην δημιουργία ενός νέου γνωστικού πεδίου, της μαθηματικής στατιστικής, η οποία παρέχει ένα σύνολο εργαλείων για την ερμηνεία των δεδομένων που προκύπτουν από την παρατήρηση και το πείραμα. Η θεωρία των Πιθανοτήτων εξελίσσεται. Γίνεται εργαλείο που αφορά κοινωνικούς επιστήμονες , γιατρούς, οικονομολόγους. Ο στόχος είναι παρατηρώντας δεδομένα που λαμβάνονται από κάποιο δείγμα να είμαστε σε θέση να εξάγουμε συμπεράσματα που θα αφορούν ολόκληρο τον πληθυσμό με τη μικρότερη πιθανότητα σφάλματος. Συγχρόνως τα δεδομένα που συλλέγονται να παρουσιάζονται με τρόπους κατανοητούς και σαφείς. Ραβδογράμματα , ιστογράμματα, χρονοσειρές αρχίζουν να χρησιμοποιούνται και μάλιστα κάποια από αυτά να είναι πραγματικά έργα τέχνης, ας τα απολαύσουμε … Μια εικόνα χίλιες λέξεις … Ο πρωτοπόρος της χρήσης των γραφημάτων στις στατιστικές έρευνες ήταν ο William Playfair (1759-1823) , Σκωτσέζος μηχανικός και οικονομολόγος. Επινόησε διάφορους τύπους γραφημάτων από ραβδογράμματα, πίτες και χρονοσειρές. Τα περισσότερα έργα του περιέχονται στον «Εμπορικό και Πολιτικό Άτλαντα» που δημοσιεύθηκε το 1786. Ας δούμε μερικά από αριστουργήματά του … Χρήση ραβδογράμματος για να παρουσιάσει τις εισαγωγές – εξαγωγές της Σκωτίας από και προς 17 χώρες (1781)
  • 44.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 36 Σύνθετο διάγραμμα που παρουσιάζει διαχρονικά την εξέλιξη των εξαγωγών και εισαγωγών από την Δανία και Νορβηγία προς την Αγγλία. Ένας ευφάνταστος και πρωτοποριακός τρόπος να παρουσιαστεί το εμπορικό έλλειμμα - πλεόνασμα. Διάγραμμα συσχέτισης τιμών σταριού με εβδομαδιαίο διαθέσιμο εισόδημα … Προσέγγιση «με μία ματιά» όπως λέει ο τίτλος Διάγραμμα που παρουσιάζει το δημόσιο χρέος της Αγγλίας στην εξέλιξή του, από την επανάσταση του 1688 ως το 1784.
  • 45.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 37 Γράφημα του 1824 που παρουσιάζει την σχέση ανάμεσα στις τιμές του ψωμιού και των μετοχών σε εμπόλεμες περιόδους. Το 1833 ιδρύεται η Royal Statistical Society. Μεταξύ των μελών της συναντάμε τους : Richard Jones , Charles Babbage , Adolphe Quetelet , William Whewell , Thomas Malthus, William Farr και William Henry Sykes . Μέλος της και πρώτη γυναίκα πρόεδρός της (1858) ήταν και η Florence Nightingale. Θα μιλήσουμε ιδιαίτερα για τους … Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) Αστρονόμος, Μαθηματικός, Στατιστικολόγος, Κοινωνιολόγος. Από τους πρώτους που εφάρμοσε στατιστικές μεθόδους στην κοινωνική επιστήμη. Ο στόχος του ήταν να κατανοήσει τους στατιστικούς νόμους που διέπουν κοινωνικά φαινόμενα όπως εγκληματικότητα, αυτοκτονίες. Ιδρυτής της λεγόμενης «κοινωνικής Φυσικής». Το βιβλίο του «On Man and the Development of His Faculties, ή Social Physics Essay» (1835) περιγράφει την αντίληψή του για τον «μέσο άνθρωπο» μετρώντας χαρακτηριστικά όπως ύψος, βάρος κ.τ.λ. δείχνοντας ότι ακολουθούν την κανονική κατανομή. Σημαντική η συνεισφορά του και στην εγκληματολογία αφού ήταν από τους πρώτους που με τη χρήση στατιστικής ανάλυσης κατέδειξε την σχέση ανάμεσα στο έγκλημα και κοινωνικών παραγόντων όπως φτώχεια, εκπαίδευση, χρήση αλκοόλ. Η ταξινόμηση των ανθρώπων με βάση τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στο βάρος και το ύψος κατέληξε στον δείκτη μάζας σώματος που υφίσταται μέχρι τις μέρες μας.
  • 46.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 38 Απόσπασμα από το βιβλίο του όπου καταγράφονται μετρήσεις σε Γάλλους και Σκωτσέζους στρατιώτες όπου οι τιμές κατανέμονται κανονικά Η Florence Nightingale (1820–1910). Αποτελεί μία ενδιαφέρουσα παρουσία στον ανδροκρατούμενο κόσμο του 19ου αιώνα. Νοσηλεύτρια και Στατιστικολόγος. Η εργασία της σχετικά με τις αιτίες θανάτου των στρατιωτών κατά τη διάρκεια του Κριμαϊκού πολέμου μείωσε τα ποσοστά θανάτων βελτιώνοντας τις συνθήκες υγιεινής στο πεδίο. Συγγράφοντας το βιβλίο Notes on Nursing (1859) οργάνωσε την νοσηλευτική με κανόνες και πρωτόκολλα εκσυγχρονίζοντας την περίθαλψη στα νοσοκομεία της εποχής. Μέλος της Στατιστικής εταιρείας και πρόεδρός της το 1858 κατόρθωσε χρησιμοποιώντας κυκλικά διαγράμματα να οπτικοποιεί δεδομένα. Διάσημο είναι το λεγόμενο τριαντάφυλλο της Nightingale που παρουσιάζεται παρακάτω … Διάγραμμα των αιτιών της θνησιμότητας στον στρατό της Ανατολής.
  • 47.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 39 Ο William Farr (1807-1883) Άγγλος επιδημιολόγος ιδρυτής της Ιατρικής Στατιστικής. Δημιούργησε ένα σύστημα καταγραφής αιτιών θανάτου (πίνακες ζωής) επιτρέποντας του να συγκρίνει ποσοστά θνησιμότητας διαφορετικών επαγγελμάτων. Όταν το 1849 ξέσπασε στο Λονδίνο επιδημία χολέρας συσχέτισε την ασθένεια με τη μόλυνση από τα ακατέργαστα λύματα. Ιδιαίτερη αναφορά πρέπει να κάνουμε στον Charles Joseph Minard (1781-1870). Γάλλος πολιτικός μηχανικός με μεγάλη συνεισφορά στην αναπαράσταση αριθμητικών δεδομένων σε χάρτες ροής και την παρουσίαση στατιστικών δεδομένων χρησιμοποιώντας διάφορα είδη διαγραμμάτων. Ας παρουσιάσουμε μερικά από τα έργα τέχνης του … Το πιο χαρακτηριστικό δημιούργημά του που παρουσιάζει την προέλαση του Ναπολέοντα προς τη Μόσχα, την απόσταση που διανύθηκε, τον αριθμό των ανδρών που επιβίωναν σε κάθε χιλιόμετρο της πορείας, και τις θερμοκρασίες που αντιμετώπισαν.
  • 48.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 40 Χάρτης της Γαλλίας που παρουσιάζει την συγκέντρωση των βοοειδών σε κυκλικά διαγράμματα ανά περιφέρεια. Χρονοσειρά που παρουσιάζει τη συντήρηση πεζοδρομίων του Παρισιού κατά τη διάρκεια δύο αιώνων.
  • 49.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 41 Τελειώνοντας την σύντομή αναφορά μας στους πρωτοπόρους που χρησιμοποίησαν διαγράμματα για την περιγραφή καταστάσεων και δεδομένων θα αναφερθούμε στον Charles James Booth (1840-1916). Δεν ήταν Μαθηματικός ούτε στατιστικολόγος αλλά κοινωνικός ερευνητής και φιλάνθρωπος. Έμεινε γνωστός για το βιβλίο του Life and Labor of the People in London (1902) όπου τα δεδομένα της έρευνας του τα παρουσιάζει με χάρτες. Η εργασία αυτή αποτελεί το πρώτο δείγμα κοινωνικής χαρτογραφίας. Χρησιμοποιώντας χρώματα αποτύπωσε τις κοινωνικές ανισότητες των περιοχών του Λονδίνου της εποχής. Σε περιοχές φτωχές χρησιμοποίησε σκούρα χρώματα ενώ περιοχές με σχετικά καλές υποδομές ζωγραφίστηκαν με έντονα ευχάριστα χρώματα. Με τους χάρτες αυτούς προσπάθησε να αναδείξει το κοινωνικό πρόβλημα συνοχής που υπήρχε. Το 1/3 περίπου των κατοίκων του Λονδίνου ζούσαν σε συνθήκες ακραίας φτώχιας. Επίσης επιδίωξε να εφαρμοστούν πολιτικές άμβλυνσης των όποιων ανισοτήτων.
  • 50.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 42 Βίο-στατιστική Θα αναφερθούμε σε δύο μεγάλους ερευνητές που ανέπτυξαν τις στατιστικές μεθόδους και τις εφάρμοσαν στις κοινωνικές επιστήμες, πρόκειται για τους … Ο Sir Francis Galton (1822-1911) ήταν στατιστικολόγος, κοινωνιολόγος, ψυχολόγος, ανθρωπολόγος, υπέρμαχος του κοινωνικού δαρβινισμού και της ευγονικής. Στην εργασία μας αυτή θα αναφερθούμε στη συνεισφορά του στη Στατιστική επιστήμη. Βρισκόμαστε στο 1906 και ο Galton παραβρίσκεται σε μία ετήσια κτηνοτροφική έκθεση. Ήταν συνήθεια να γίνεται ένας διαγωνισμός. Αφού στους επισκέπτες παρουσιαζόταν ένα βόδι ακολούθως τους ζητούσαν να μαντέψουν το βάρος του. Εκείνος που η εκτίμησή του ήταν πιο κοντά στην πραγματική τιμή θα κέρδιζε. Περίπου 800 άτομα συμμετείχαν στον διαγωνισμό και έγραψαν την εικασία τους σε 800 αριθμημένες κάρτες. Μετά την ανάδειξη του νικητή ο Galton πήρε τις κάρτες αυτές και τις μελέτησε. Ανακάλυψε κάτι ενδιαφέρον όταν διέταξε όλα τα εκτιμώμενα βάρη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Βρήκε ότι το σωστό βάρος ήταν πολύ κοντά στη μεσαία τιμή. Αυτή η «μέση» εκτίμηση, η διάμεσος δηλαδή των παρατηρήσεων, αντανακλούσε καλύτερα το πραγματικό βάρος του βοδιού. Στην πραγματικότητα η μεσαία παρατήρηση ήταν 1207 λίβρες και το βάρος του βοδιού 1198 λίβρες μία διαφορά 9 λιβρών που αντιστοιχούσε μόλις στο 0,8% του εκτιμώμενου βάρους. Με το γεγονός αυτό κατέληξε στην πεποίθηση ότι μεμονωμένες κρίσεις ενός πλήθους μπορούν να μοντελοποιηθούν ως κατανομή πιθανοτήτων με τη διάμεσο να είναι πολύ κοντά στην πραγματική τιμή της προς εκτίμηση ποσότητας. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως «σοφία του πλήθους» (crowd wisdom).
  • 51.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 43 Τάξη στο φαινομενικό χάος Βρισκόμαστε στο 1889 … όταν ο Galton έγραφε … «Δεν γνωρίζω σχεδόν τίποτα τόσο ικανό να εντυπωσιάσει τη φαντασία όσο η υπέροχη μορφή της κοσμικής τάξης που εκφράζεται από τον Νόμο της Συχνότητας του Σφάλματος. Βασιλεύει με γαλήνη… μέσα στην πιο άγρια σύγχυση. Όσο πιο μεγάλο είναι το μέγεθος και όσο μεγαλύτερη είναι η φαινομενική αναρχία, τόσο πιο τέλεια είναι η επιρροή του. Είναι ο υπέρτατος νόμος του παράλογου. Κάθε φορά που ένα μεγάλο δείγμα στοιχείων λαμβάνεται, μια ανυποψίαστη και πιο όμορφη μορφή κανονικότητας αποδεικνύεται ότι ήταν λανθάνουσα καθ' όλη τη διάρκεια». Με τα λόγια αυτά εκφράζει την έκπληξη που νιώθει ο καθένας μας όταν περιστρέφοντας το Galton board βλέπεις μπροστά σου έναν σωρό από στοιβαγμένες μπίλιες να μετασχηματίζεται σε μία κανονική διάταξη. Που κρύβεται η αρμονία αυτή; Ποιος είναι ο κανόνας που κρύβεται; Ας παρακολουθήσουμε το διπλανό στιγμιότυπο όπου προσομοιάζεται το Galton board με ένα applet του Virginia University. Τυχαία αφήνονται μπάλες να πέσουν μέσα από ένα πλέγμα εμποδίων σε στήλες. Μετά από λίγο οι μπάλες ενώ πέφτουν ακανόνιστα κατανέμονται ομοιόμορφα γύρω από την μεσαία υποδοχή, σχηματίζοντας ένα ιστόγραμμα που προσομοιάζει την κανονική κατανομή. Ποια τα κρυμμένα μαθηματικά γύρω από αυτό;
  • 52.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 44 Ας μετρήσουμε με πόσες δυνατές διαδρομές μπορεί μία μπίλια να καταλήξει σε κάποια από τις δώδεκα θέσεις που σημειώνονται; Ας μετρήσουμε τους δυνατούς τρόπους πρώτα στις τρεις πρώτες σειρές. Οι αριθμοί που παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα δίνουν με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να φθάσουμε μέχρι το συγκεκριμένο σημείο. Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία θα καταλήξουμε στο σχήμα : Σας θυμίζει κάτι αυτό το μοτίβο; Πράγματι εμφανίζεται το τρίγωνο του Pascal ! Ουσιαστικά έχουμε μία πειραματική διάταξη με την οποία αποδεικνύουμε ότι η διωνυμική κατανομή (τρίγωνο του Pascal) μπορεί να προσεγγιστεί με τη βοήθεια της κανονικής κατανομής. Κλείνοντας την σύντομη αναφορά μας στον Galton πρέπει να αναφέρουμε ότι ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησε την τυπική απόκλιση ως μέτρο διασποράς των τιμών γύρω από τον αριθμητικό μέσο. Ανακάλυψε την διμεταβλητή κανονική κατανομή και μελέτησε τις ιδιότητές της. Η κατανομή αυτή ουσιαστικά είναι γενίκευση της μονοδιάστατης κανονικής στις τρεις διαστάσεις
  • 53.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 45 Στο έργο του ”Regression towards mediocrity in hereditary stature” το 1866 , μελέτησε την συσχέτιση μεταξύ του ύψους των παιδιών και το γονιών τους. Παρατήρησε ότι τα ακραία χαρακτηριστικά των γονέων π.χ. ύψος δεν μεταβιβάζονται στους απογόνους, αλλά υποχωρούν προς έναν μέσο όρο. Το φαινόμενο αυτό το ονόμασε παλινδρόμηση προς τον μέσο όρο και την μέθοδο που ακολούθησε ανάλυση παλινδρόμησης. Ο Karl Pearson (1857-1936) ήταν Άγγλος Μαθηματικός ιδρυτής του πρώτου πανεπιστημιακού τμήματος Στατιστικής στο University College του Λονδίνου (1911). Tο έργο του “Mathematical Contributions to the theory of evolution”, (Μαθηματική συμβολή στη Θεωρία της Εξέλιξης) τον καθιέρωσε ως τον ιδρυτή της βιομετρικής σχολής για την κληρονομικότητα. Χρησιμοποίησε ευρέως στην Στατιστική ανάλυση τον συντελεστή συσχέτισης, τον συντελεστή ασυμμετρίας και την γραμμική παλινδρόμηση. Στην εποχή του πολλοί ερευνητές στην προσπάθεια να μελετήσουν βιολογικά δεδομένα συνήθιζαν να υποθέτουν ότι οι παρατηρήσεις τους ακολουθούσαν την κανονική κατανομή ενώ παρουσίαζαν κάποιου είδους ασυμμετρία. Προκειμένου να μοντελοποιήσει τις παρατηρήσεις ανεξάρτητα από το αν είναι κανονικές ή ασύμμετρες, επινόησε την κατανομή Pearson. Αυτή είναι μια οικογένεια συνεχών κατανομών πιθανοτήτων, που σε αυτές περιλαμβάνεται και η κανονική και πολλές ασύμμετρες. Συγχρόνως ανέπτυξε μία μέθοδο στατιστικής ανάλυσης που συνδυάζει της χρήση της κατανομής Pearson με παράλληλη εκτέλεση του χ2 τεστ – ένα τεστ καλής προσαρμογής για να προσδιοριστεί πόσο καλά το μοντέλο που ακολουθείται ταιριάζει στις παρατηρήσεις μας. Συνεργάτης του Pearson ήταν ένας άνθρωπος της πραγματικής οικονομίας. Ένας επιστήμονας που τον ενδιέφερε πρωτίστως η εφαρμογή των γνώσεων του στην παραγωγή. Έτσι στην Απίθανη Ιστορία της εξέλιξης των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής κάνει την εμφάνισή του …
  • 54.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 46 Ο ζυθοποιός … Το πιο σπουδαίο σε μια μπύρα είναι η γεύση της να είναι σταθερή είτε αυτή την πίνεις στην Αγγλία είτε στην Ελλάδα. Το πρόβλημα της ποιότητας το αντιμετώπισε ο William Sealy Gosset (1876-1937) όταν δούλευε ως υπεύθυνος ποιότητας παραγωγής στο ζυθοποιείο της Guinness. Έπρεπε να επιλέξει τις ποικιλίες κριθαριού που θα έδιναν την καλύτερη απόδοση κρατώντας την γεύση ίδια. Οι γνώσεις του ως Χημικός και Στατιστικός του έδωσαν την θέση του επικεφαλής της παραγωγής της γνωστής ζυθοποιίας. Αλλά οι προκλήσεις που είχε μπροστά του ήταν πολλές. Έμπειρος στατιστικολόγος γνώριζε ότι να εξασφαλίσεις την ίδια μέση τιμή στην ποιότητα χρησιμοποιώντας διαφορετικές ποικιλίες κριθαριού ήταν κάτι που απαιτούσε έρευνα και χρόνο. Συνεργάτης του Pearson γνώριζε από στατιστική ανάλυση, αλλά αντιμετώπιζε ένα βασικό πρόβλημα. Όλες οι τεχνικές που γνώριζε απαιτούσαν ένα μεγάλο πλήθος παρατηρήσεων και δεδομένων. Την πολυτέλεια αυτή δεν την είχε. Έπρεπε λόγω περιορισμένων πόρων να χρησιμοποιήσει μικρό αριθμό δειγμάτων και βασιζόμενος στις τιμές του μέσου και τυπικής απόκλισης των δειγμάτων να εκτιμήσει τις αντίστοιχες τιμές της συνολικής παραγωγής. Το Μάρτιο του 1908 δημοσιεύει στο επιστημονικό περιοδικό Biometrika που εξέδιδε ο Pearson το άρθρο “The probable error of a mean” με το ψευδώνυμο Student. Στο άρθρο αυτό γίνεται λόγος για μία μέθοδο εκτίμησης διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου γνωρίζοντας μέσο και τυπική απόκλιση από μικρό αριθμό δεδομένων. Στο άρθρο αυτό αναφέρεται το λεγόμενο κριτήριο t-student το οποίο ουσιαστικά πρόκειται για μία κατανομή με παρόμοιο σχήμα με την κανονική, συμμετρική με μέσο 0 αλλά με μεγαλύτερη διασπορά. Η χρήση της Στατιστικής σε αγροτικές πειραματικές καλλιέργειες ώστε να καλλιεργηθούν ποικιλίες που να αποδίδουν καλύτερα κρατώντας την ίδια ποιότητα του παραγόμενου τελικού προϊόντος ήταν μία καινοτόμα ιδέα. Μία από τις πρώτες προσπάθειες εφαρμογής των μαθηματικών στην παραγωγική διαδικασία.
  • 55.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 47 Οι Πιθανότητες και η Στατιστική στον 20ο αιώνα Wir müssen Wissen - Wir werden wissen. (Πρέπει να ξέρουμε - Θα ξέρουμε) David Hilbert Βρισκόμαστε στο Διεθνές συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900, εκεί ο Γερμανός Μαθηματικός David Hilbert (1862-1943) λέει … « Ποιος από εμάς δεν θα χαιρόταν να σηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο κρύβεται το μέλλον; Να ατενίσει τις επερχόμενες εξελίξεις της επιστήμης μας και τα μυστικά της ανάπτυξής της στους επόμενους αιώνες; Ποιοι θα είναι οι στόχοι προς τους οποίους θα τείνει το πνεύμα των μελλοντικών γενεών μαθηματικών; Ποιες μέθοδοι, ποια νέα δεδομένα θα αποκαλύψει ο νέος αιώνας στο αχανές και πλούσιο πεδίο της μαθηματικής σκέψης; » και πρότεινε 23 προβλήματα που η λύση τους θα έδινε ώθηση στην εξέλιξη των μαθηματικών στο αιώνα που ερχόταν. Μέσα σε αυτά το 6ο πρόβλημα επιτάσσει την αξιωματική θεώρηση των Πιθανοτήτων. Σύγχρονος του ήταν ο Γερμανός Μαθηματικός Richard von Mises (1883- 1953), αυτός έδωσε τον λεγόμενο στατιστικό ορισμό της πιθανότητας. Διατυπωμένος απλοϊκά θα λέγαμε ότι αν έχουμε τον δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης και Α ένα ενδεχόμενό του. Για παράδειγμα ρίχνω ένα ζάρι , σημειώνω τις ενδείξεις άρα Ω={1,2,3,4,5,6} και ας υποθέσουμε το ενδεχόμενο Α «να έρθει ζυγός αριθμός ως ένδειξη» άρα Α={2,4,6}, τότε … Επαναλαμβάνουμε το πείραμά μας πάρα πολλές φορές … πόσες φορές ; παρά πολλές! Τόσες και άλλες τόσες … ας τις ονομάσουμε ν και σημειώνουμε πόσες φορές έρχεται ζυγή ένδειξη – βρίσκουμε δηλαδή την συχνότητα νΑ του ενδεχομένου Α τότε … Το όριο στο οποίο τείνει η σχετική συχνότητα Α A ν f ν = καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων του πειράματος ολοένα και αυξάνει ορίζεται ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α. Δηλαδή A ν Ρ(Α) lim f →+ = .
  • 56.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 48 Ενώ ο ορισμός αυτός έρχεται κοντά σε αυτό που όλοι μας καταλαβαίνουμε ως πιθανότητα, παρουσιάζει κάποια προβλήματα. Η διαδικασία που προτείνεται από τον ορισμό στη πράξη καθίσταται αδύνατη να εφαρμοστεί. Τι σημαίνει άπειρη επανάληψη του πειράματος τύχης; Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το ν ώστε να υπάρχει μία καλή προσέγγιση της πιθανότητας; Και ας πούμε ότι το ξεπερνάμε αυτό, όλες οι επαναλήψεις θα γίνονται κάτω από τις ίδιες συνθήκες; Άρα θα περιγράφουν το ίδιο πείραμα τύχης; Πως γνωρίζουμε ότι το όριο αυτό υπάρχει; Πως είμαστε σίγουροι ότι η τιμή αυτή θα είναι η ίδια σε κάθε άπειρη ακολουθία επαναλήψεων του πειράματος τύχης; Ο αντίλογος βρίσκεται στο γεγονός ότι όλα αυτά τα ερωτήματα ξεπερνιούνται διότι εξ αρχής ο Mises το σύστημα του ορισμού του το αναπτύσσει αξιωματικά. Δηλαδή αξιώνει να ισχύουν όσα ως ερωτήματα τέθηκαν. Μετά είναι σε θέση να αναπτύξει τον απαραίτητο λογισμό και θεωρήματα των πιθανοτήτων. Το πρόβλημα της αξιωματικής θεμελίωσης των πιθανοτήτων αντί να λυθεί μάλλον μπλέχτηκε ακόμα περισσότερο. Πολλοί συνάδελφοι του Μαθηματικοί διαφώνησαν με την προσέγγισή του. Άλλοι αργότερα τον δικαίωσαν. Όμως, μία Απίθανη Ιστορία έχει το Mises ως πρωταγωνιστή. Λέγεται ότι είναι ο πρώτος που διατύπωσε το περίφημο πρόβλημα των γενεθλίων ! Τι λέει αυτό; Ας φανταστούμε τον ίδιο να το διατυπώνει για πρώτη φορά σε κάποιο αμφιθέατρο γεμάτο από πρωτοετείς φοιτητές. Τότε αφού τους καλωσόριζε κάποια στιγμή για να τραβήξει την προσοχή τους θα έλεγε … « … βάζω στοίχημα (εκ του ασφαλούς) ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο από σας που γιορτάζετε την ίδια μέρα του χρόνου … » Τέτοια σιγουριά; Πως γίνεται αυτό; Ας ξεκινήσουμε με κάτι πιο απλό. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 5 φίλους. Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο από αυτούς, που να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; Αν την πιθανότητα αυτή δυσκολευόμαστε να τη βρούμε, μήπως μπορούμε να βρούμε τη πιθανότητα κανείς να μην έχει γενέθλια με κάποιον άλλο την ίδια μέρα; Δηλαδή όλοι να γιορτάζουν σε διαφορετικές ημερομηνίες;
  • 57.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 49 Πόσες είναι οι ιδανικές περιπτώσεις, ώστε να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Ο 1ος μπορεί να έχει γεννηθεί σε μία από τις 365 μέρες του χρόνου. Ο 2ος σε μία από τις 364 υπόλοιπες μέρες. Ο 3ος σε μία από τις 363 υπόλοιπες μέρες του χρόνου. Ο 4ος σε μία από τις 362 και ο 5ος σε μία από τις 361 μέρες Άρα, συνολικά έχουμε 365 364 363 362 361 6302555018760     = ευνοϊκές περιπτώσεις σε σύνολο 5 365 6478348728125 = περιπτώσεων. Άρα, η πιθανότητα είναι 6302555018760 0,972 6478348728125 = Οπότε η πιθανότητα σε πέντε άτομα, δύο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι 1 0,972 0,028 − = , δηλαδή κάτι τέτοιο είναι απίθανο. Τι συμβαίνει όμως, όταν τα άτομα που εξετάζουμε είναι πολλά. Πόσα; … ας πούμε 30, ή 40 ή 50 ή 60 ή … Υπάρχει μήπως ένας αριθμός ατόμων και μετά, που η πιθανότητα του ενδεχομένου «δύο τουλάχιστον άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα» να είναι μεγάλη; Πόση μεγάλη; Πολύ μεγάλη … , ας πούμε 90%. Μάλλον αυτό δεν μπορεί να γίνει, θα σκεφτείτε. Κι’ όμως, ρίξτε μια ματιά στον διπλανό πίνακα, που έχει υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού σε διάφορες τιμές του πλήθους ν των ατόμων που εξετάζουμε. Ο William Feller (1906 –1970) Γεννήθηκε στην Κροατία σπούδασε μαθηματικός στην Γερμανία κοντά στον Hilbert και δίδαξε στην Αμερική αφού έφυγε από την Γερμανία με την άνοδο των Ναζί στην εξουσία. Σημαντική η εργασία του στην Μαθηματική Στατιστική και τις Πιθανότητες. Δίδαξε στο πανεπιστήμιο του Brown και στο Princeton. Το σπουδαιότερο έργο του είναι το «Introduction to Probability Theory and its Applications» (1950). ν Ρ(ν) 10 11,7% 20 41,1% 23 50,7% 30 70,6% 50 97% 57 99% 100 99,9999%
  • 58.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 50 Στο βιβλίο μας θα παρουσιάσουμε την Απίθανη Ιστορία «αστέρια και ράβδοι». Πρόκειται για ένα απλό πρόβλημα συνδυαστικής. Αλλά το ενδιαφέρον είναι ο τρόπος επίλυσης όπως παρουσιάζεται από τον Feller στο κλασικό βιβλίο του πιθανοτήτων. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αγοράσουμε 12 αστέρια. Τα αστέρια βγαίνουν σε τέσσερα χρώματα ,κόκκινο, μπλε, κίτρινο και πράσινο. Μπορεί να πάρουμε και τα 12 μπλέ ή να διαλέξουμε διάφορους συνδυασμούς χρωμάτων. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή; Ας δούμε μία περίπτωση Ή μία άλλη … Τις περιπτώσεις αυτές ο Feller μας προτείνει να τις δούμε ως εξής … ****|**|****|** την πρώτη και ******||****|** την δεύτερη Παρατηρείστε ότι στην δεύτερη περίπτωση που δεν υπάρχει αστέρι πράσινου χρώματος απλώς ανάμεσα στα δύο πρώτα διαχωριστικά δεν σημειώνουμε τίποτε. Με τον τρόπο αυτό σημειώνει τα 12 αστεράκια και για τον αριθμό (ν) των χρωμάτων εμφανίζει (ν- 1) διαχωριστές ράβδους. Συγχρόνως ανάγει το πρόβλημα σε κάτι ευκολότερο. Ψάχνει απλά να βρει με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 12 αστέρια και 3 ράβδους σε 15 θέσεις ! Το οποίο είναι 15 15 15! Ν ... 455 3 12 12! 3!     = = = = =          τρόποι Άρα αν έχουμε ν διαφορετικά χρώματα αστεριών και θέλουμε να πάρουμε μ από αυτά, τότε το πλήθος των δυνατών τρόπων που μπορεί να γίνει αυτό είναι μ ν 1 ν 1 + −     −   Το προηγούμενο πρόβλημα λύνει ουσιαστικά και ένα δεύτερο … της θεωρίας αριθμών ! « Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ακεραίων α,β,γ,δ που ικανοποιούν την σχέση α+β+γ+δ=12» Αυτό συμβαίνει διότι ως α,β,γ,δ μπορούμε να θεωρήσουμε το πλήθος των μπλε, πράσινων, κίτρινων και κόκκινων αστεριών που βρήκαμε προηγουμένως. Άρα το ζητούμενο πλήθος είναι 455!
  • 59.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 51 Ας δούμε και ένα άλλο πρόβλημα … Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αγοράσουμε 12 αστέρια αλλά να υπάρχει ένα τουλάχιστον από κάθε χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; Στην περίπτωση αυτή περιμένουμε συνδυασμούς σαν αυτόν .. Οπότε θα γράφεται ****|**|****|** Επειδή θέλουμε να έχουμε τουλάχιστον ένα αστέρι από κάθε χρώμα οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να γίνει αυτό θα είναι όσοι τρόποι υπάρχουν στα 11 κενά που σχηματίζονται μεταξύ των αστεριών να βάλουμε τις 3 ράβδους άρα με 11 11 11! Ν ... 165 3 8 8! 3!     = = = = =          τρόποι Άρα αν έχουμε ν διαφορετικά χρώματα αστεριών και θέλουμε να πάρουμε μ από αυτά ώστε να έχουμε από όλα τα χρώματα , τότε το πλήθος των δυνατών τρόπων που μπορεί να γίνει αυτό είναι μ 1 ν 1 −     −   Μέχρι τώρα οι Πιθανότητες και η Στατιστική αναπτύσσονται στη Δύση. Ξεκινήσαμε από την Ιταλία, πήγαμε Γαλλία μετά Ελβετία συνεχίσαμε στην Αγγλία και τέλος Γερμανία. Ήρθε ο καιρός να αναφερθούμε και σε μία άλλη μεγάλη σχολή των Ευρωπαϊκών Μαθηματικών, στην …
  • 60.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 52 Ρώσικη σχολή … Η σχολή αυτή έχει να επιδείξει αρκετούς μαθηματικούς που συνέβαλαν στην εξέλιξη των Πιθανοτήτων. Για τις ανάγκες της σύντομης αναφορά μας στις Απίθανες Ιστορίες θα αναφερθούμε στους Chebyshev , Markov, Neyman (αν και Πολωνός) και τέλος Kolmogorov. Ο Pafnuty Lzozich Chebyshev (1821-1894) θεωρείται ο πατριάρχης των Ρωσικών Μαθηματικών. Η συνεισφορά του στον τομέα των Πιθανοτήτων είναι καθοριστική αφού αυτός διατύπωσε την περίφημη ανισότητα που έχει το όνομα του με βάση την οποία αποδεικνύεται ο ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών. Η ανισότητα είναι η : 2 1 P( X μ kσ) k −   όπου μ η μέση τιμή και σ η τυπική απόκλιση μιας κατανομής παρατηρήσεων και k ένας θετικός ακέραιος. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι σε μια κατανομή έχουμε μ=5 και σ=2 τότε η εφαρμογή του τύπου για k=2 δίνει 1 P( X μ 2σ) 25% 4 −   = Επειδή : Χ μ 2σ Χ 5 4 Χ 9 ή Χ 1 −   −     έχουμε ότι η πιθανότητα να βρούμε στην κατανομή των παρατηρήσεων μας τιμές που απέχουν από την μέση τιμή μ απόσταση ±2σ ( τιμές μεγαλύτερες από 9 ή μικρότερες από 1) είναι μικρότερη του 25% . Αντίστοιχα η πιθανότητα να πάρουμε τιμές τέτοιες ώστε μ 2σ Χ μ 2σ −   + θα είναι μεγαλύτερη του 75%. Ο Andrey Andreyevich Markov (1856-1922) ήταν Ρώσσος μαθηματικός συνεχιστής του έργου του Chebyshev στη θεωρία πιθανοτήτων. Απέδειξε τον ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών , όμως η πιο πρωτοποριακή εργασία του στο τομέα των πιθανοτήτων είναι οι λεγόμενες αλυσίδες Markov. Αυτές είναι ένα στοχαστικό μοντέλο που αναλύει μια διαδοχή πιθανών γεγονότων. Η χαρακτηριστική ιδιότητα του μοντέλου είναι ότι γνωρίζουμε τις πιθανότητες να συμβεί μία διαδικασία σε μία χρονική στιγμή και με βάση αυτής είμαστε σε θέση να προβλέψουμε καταστάσεις στο μέλλον. Η δύναμη του μοντέλου βρίσκεται στη δυνατότητα να παρασταθεί διαγραμματικά η όλη διαδικασία και ότι ο λογισμός που χρησιμοποιούμε χρειάζεται απλές γνώσεις πράξεων μεταξύ πινάκων. ( Θα πρέπει να θυμηθούμε τον πολλαπλασιασμό μεταξύ πινάκων)
  • 61.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 53 Ο αλγόριθμός εφαρμογής απαιτεί … 1. να σχεδιάσουμε την αλυσίδα Markov και τις πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων που εξετάζουμε 2. να μετατρέψουμε την αλυσίδα σε πίνακα Ρ 3. να γράψουμε τον πίνακα πιθανοτήτων αρχικής κατάστασης S 4. να πολλαπλασιάσουμε τους δύο πίνακες ( S P  ) για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα πραγματοποίησης της επόμενης κατάστασης Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα με τη βοήθεια της επόμενης Απίθανης Ιστορίας … Το ΜΕΤΕΟ NEWS θέλει να κάνει μία πρόβλεψη του καιρού για τις επόμενες δύο εβδομάδες. Την εβδομάδα που διανύουμε ο καιρός είναι ηλιόλουστος και με τη βοήθεια μετεωρολογικών στοιχείων που έχει στη διάθεσή του ο σταθμός γνωρίζει ότι … Α : Η πιθανότητα ο καιρός να παραμείνει «ηλιόλουστος» την επόμενη εβδομάδα είναι 80%, οπότε η πιθανότητα αλλαγής του καιρού από «ηλιόλουστο» σε «συννεφιασμένο» για μια εβδομάδα είναι 20% Β: Η πιθανότητα ο καιρός να παραμείνει «συννεφιασμένος» την επόμενη εβδομάδα είναι 70%, οπότε η πιθανότητα αλλαγής του καιρού από «συννεφιασμένο» σε «ηλιόλουστο» για μια εβδομάδα είναι 30% Ποια η πιθανότητα ο καιρός να παραμείνει ηλιόλουστος στην επόμενη και στην μεθεπόμενη εβδομάδα; Σχηματίζουμε την αλυσίδα Markov με βάση τα δεδομένα Γράφουμε τον πίνακα μετάβασης 0,8 0,2 Ρ 0,3 0,7   =     Γράφουμε τον πίνακα αρχικής κατάστασης S (1 0) = Πολλαπλασιάζουμε τους δύο πίνακες και έχουμε :    =  =     0,8 0,2 S P (1 0) (0,8 0,2) 0,3 0,7 , άρα η πιθανότητα να διατηρηθεί την επόμενη βδομάδα ο καιρός ηλιόλουστος είναι 80% Για να βρούμε την πιθανότητα να παραμείνει ηλιόλουστος και την δεύτερη βδομάδα τότε θεωρούμε ως πίνακα αρχικής κατάστασης τον πίνακα που βρήκαμε προηγουμένως και τον πολλαπλασιάζουμε με τον πίνακα μετάβασης, δηλαδή    =     0,8 0,2 (0,8 0,2) (0,7 0,3) 0,3 0,7 , άρα η πιθανότητα να έχουμε ηλιόλουστο καιρό δύο βδομάδες από τώρα είναι 0,7. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί όσο θέλουμε … Δειγματικός χώρος
  • 62.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 54 Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος για να λυθεί το πρόβλημα αυτό … ( Η απόδειξη ότι οι δύο τρόποι είναι ισοδύναμοι ξεφεύγει από τον σκοπό του βιβλίου και για αυτό δεν αναφερόμαστε σε αυτό) Επειδή η τελική κατάσταση προκύπτει με δύο μεταβάσεις από την αρχική κατάσταση, βρίσκουμε τον πίνακα Ρ2 ο οποίος είναι ίσος με … 2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.7 0.3 Ρ 0.3 0.7 0.3 0.7 0.45 0.55       =  =             Η πιθανότητα να παραμείνει ηλιόλουστος ο καιρός μετά από δύο εβδομάδες είναι 0.7 ( ο αριθμός της 1ης γραμμής και 1ης στήλης του πίνακα). Αν θέλαμε για παράδειγμα να βρούμε την πιθανότητα από συννεφιασμένος μετά από δύο εβδομάδες να γίνει ηλιόλουστος θα είναι 0.45, δηλαδή ο αριθμός 2ης γραμμής και 1ης στήλης που αντιστοιχεί στην μετάβαση συννεφιασμένος – ηλιόλουστος Αν θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να παραμείνει ηλιόλουστος ο καιρός για τρεις συνεχόμενες εβδομάδες τότε υπολογίζουμε τον πίνακα 3 0.7 0.3 0.8 0.2 0.65 0.35 Ρ 0.45 0.55 0.3 0.7 0.525 0.475       =  =             άρα θα είναι 0.65 ενώ η πιθανότητα από συννεφιασμένος να γίνει ηλιόλουστος σε τρεις εβδομάδες θα είναι 0.525. Με τον τρόπο αυτό ο υπολογισμός των πιθανοτήτων μετατρέπεται σε μία απλή αλγοριθμική διαδικασία, που το μόνο προαπαιτούμενο είναι να γνωρίζουμε πως γίνεται ο πολλαπλασιασμός των πινάκων. Ο Jerzy Neyman (1894-1981) ήταν Πολωνός Μαθηματικός. Δίδαξε στο University College of London και στο University of California, Berkeley. Η αναφορά στις Απίθανες Ιστορίες στο όνομά του γίνεται γιατί είναι ο πρώτος που εισήγαγε στον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων την έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης. Αλλά τι είναι διάστημα εμπιστοσύνης; Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε τους μαθητές του Λυκείου ενός νομού ως προς το ύψος τους. Είναι προφανές ότι θα προσπαθήσουμε να εκτιμήσουμε το μέσο ύψος με τη βοήθεια ενός δείγματος του πληθυσμού. Έστω ότι το δείγμα είναι n=100 άτομα και ότι σε αυτό βρέθηκε μέσος χ 160 = . Αν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι σ 20 = . Ποιος είναι ο μέσος του πληθυσμού; Ο Neyman κατέληξε στον τύπο σ x z n   (1), όπου χ ο μέσος του δείγματος , σ η τυπική απόκλιση του πληθυσμού , n το μέγεθος του δείγματος και z οι τιμές : 1,645 αν θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 90%, 1,96 αν θέλουμε 95% επίπεδο εμπιστοσύνης και 2,58 αν θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 99%. Αν θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% που είναι το σύνηθες σε μια δειγματοληψία τότε ο τύπος (1) δίνει τις τιμές 163,92 και 156,08. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε 100 τυχαία δείγματα μαθητών μεγέθους n στα 95 δείγματα, το μέσο ύψος θα παίρνει τιμή στο διάστημα [156.08,163.92]. Το διάστημα αυτό λέγεται διάστημα εμπιστοσύνης με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%.
  • 63.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 55 Αν πάρουμε δείγμα μεγέθους 400 και θέλουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% τότε το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι [158.04,161.96], άρα η εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού θα είναι καλύτερη. Στο 1ο σχήμα έχουμε 100 δείγματα μεγέθους 3. Παρατηρείστε ότι στα 95 από αυτά ο μέσος του πληθυσμού (true mean) βρίσκεται μέσα σε διάστημα των δειγμάτων με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Στο 2ο σχήμα έχουμε 100 δείγματα μεγέθους 100. Εδώ στα 94 από τα δείγματα ο μέσος του πληθυσμού (true mean) βρίσκεται σε διάστημα των δειγμάτων με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Επειδή όμως το μέγεθος του δείγματος αυξήθηκε η εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού είναι καλύτερη αφού θα γίνει σε μικρότερο διάστημα. Στην περίπτωση όπου η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη, τότε χρησιμοποιούσε το κριτήριο s x t n   , όπου s η τυπική απόκλιση του δείγματος και t οι αντίστοιχες τιμές που προκύπτουν από την κατανομή t-student για να πετύχουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Ήρθε η ώρα να αναφερθούμε στον κορυφαίο Ρώσο Μαθηματικό στον τομέα των Πιθανοτήτων, τον Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Ο οποίος το 1933 καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μόσχας δημοσιεύει το βιβλίο του «Foundations of the Theory of Probability» στο οποίο θέτει τις σύγχρονες αξιωματικές βάσεις της θεωρίας των Πιθανοτήτων. Συγχρόνως αποδεικνύει τον νόμο των μεγάλων αριθμών δείχνοντας παράλληλα τη σύγκλιση των συχνοτήτων που ο Mise θεωρούμε αξιωματικά ως δεδομένη. Το 6ο πρόβλημα του Hilbert εν μέρει λύνεται … Ο Kolmogorov θεωρεί … Έστω } ,..., , { 2 1     =  ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Και αξιώνει … Σε κάθε απλό ενδεχόμενο } { i  αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με i Ρ(ω ) έτσι ώστε να ισχύουν : • 1 ) ( 0    i  • 1 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 1 1 =  + +  +  =   =       i i
  • 64.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 56 Τον αριθμό i Ρ(ω ) ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου } { i  . Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου } ,..., , { 2 1 k a a a A = O   ορίζουμε το άθροισμα ) ( ... ) ( ) ( 2 1 k a P a P a P + + + ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου O  ορίζουμε τον αριθμό 0 ) ( =  O P Η θεωρία των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής ανάλυσης αναπτύσσεται στα χρόνια που ακολουθούν ραγδαία. Χρησιμοποιείται στην μοντελοποίηση και τη μαθηματική ανάλυση φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται η τυχαιότητα. Εφαρμόζεται για τη λήψη αποφάσεων στον χώρο των επιστημών υγείας, στην αποτίμηση κινδύνων στον χώρο της οικονομικής επιστήμης και αναλογιστικής. Τα μαθηματικά που χρειάζονται για να παρακολουθήσει κάποιος την εξέλιξη αυτή είναι προφανές ότι δυσκολεύουν … Για τις ανάγκες του βιβλίου θα γίνει αναφορά στα γεγονότα χωρίς να επιμένουμε στομαθηματικό κομμάτι, διανθίζοντας όμως το κείμενό μας με Απίθανες Ιστορίες … όπου είναι αυτό δυνατό.
  • 65.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 57 Ο Θεός δεν παίζει ζάρια … (Albert Einstein) Μία Απίθανη Ιστορία με άρωμα Φυσικής ‘Ήταν το 1900 όταν ο Γερμανός Φυσικός Max Planck (1858-1947) υπέθεσε ότι η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια εκπέμπεται κατά ορισμένα ποσά, που ονομάστηκαν κβάντα. Η υπόθεση αυτή εξηγούσε ικανοποιητικά τις παρατηρούμενες ποσότητες ακτινοβολούμενης ενέργειας από τα θερμά αντικείμενα … Μετά από χρόνια, το 1926 ένας άλλος Γερμανός Φυσικός, ο Werner Heisenberg (1901-1976) διατύπωσε την περίφημη αρχή της απροσδιοριστίας, εξηγώντας … Για να μπορέσουμε να προβλέψουμε τη (μελλοντική) θέση και ταχύτητα ενός σωματιδίου θα πρέπει να μετρήσουμε την τωρινή θέση και ταχύτητά του. Αυτό μπορεί να γίνει φωτίζοντάς το. Κάποια κύματα φωτός θα ανακλαστούν πάνω του και θα το παρατηρήσουμε. Επειδή όμως το φως είναι κύμα το σωματίδιο το παρατηρούμε με ακρίβεια όση το μήκος του κύματος που χρησιμοποιούμε. Αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει να χρησιμοποιήσουμε φως με μικρό μήκος κύματος. Μικραίνοντας όμως το μήκος του κύματος επηρεάζουμε την κινητική του κατάσταση… Οπότε έχουμε το εξής δίλημμα … Όσο πιο μεγάλη είναι η ακρίβεια με τη οποία προσπαθούμε να μετρήσουμε τη θέση του σωματιδίου τόσο πιο μικρή είναι η ακρίβεια με την οποία μπορούμε να μετρήσουμε την ταχύτητά του, και αντίστροφα ! Έτσι σε ένα πείραμα δεν προβλέπεται ένα μοναδικό αποτέλεσμα, αλλά ένα πλήθος διαφορετικών πιθανών αποτελεσμάτων. Αναπόφευκτα εισάγεται στην Φυσική ένα στοιχείοαδυναμίας πρόβλεψης και τυχαιότητας. Με το τυχαίο να μη προκύπτει από άγνοια κάποιων συνθηκών, αλλά ως εγγενή κατάσταση του μικρόκοσμου. Οι παρατηρήσεις μας απλώνονται στο χώρο και τον χρόνο με μια συγκεκριμένη κατανομή πιθανοτήτων. Λες και όλα εξαρτώνται από το ρίξιμο ενός ζαριού …
  • 66.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 58 O Albert Einstein (1879-1955) ενώ τιμήθηκε με Nobel για την συνδρομή του στην κβαντική θεωρία, δεν δέχθηκε ποτέ ότι η τύχη κυβερνά το σύμπαν. Οι απόψεις του συνοψίζονται στην περίφημη φράση του … « Ο Θεός δεν παίζει ζάρια …» Πολύ αργότερα ο καθηγητής Φυσικής και Χημείας στο Harvard University Eric Heller, χρησιμοποιώντας αλγορίθμους και προγραμματίζοντας κατάλληλα τους υπολογιστές του «ζωγραφίζει» το τυχαίο της κβαντικής Φυσικής … «… το κβαντικό βασίλειο των ηλεκτρονίων, των ατόμων και των μορίων, ο παράξενος, συχνά χαοτικός κβαντικός κόσμος παράγει μορφές, τις οποίες χρησιμοποιώ ως μέσο, δημιουργώντας εικόνες που μεταφέρουν το μυστήριο της κβαντικής φυσικής». Πιθανές θέσεις σωματιδίου
  • 67.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 59 Οι δάσκαλοι του 20ου αιώνα … George Undy Yule ( 1871-1951) Mαθητής του Pearson και καθηγητής στο Cambridge University . Εφάρμοσε τη συσχέτιση και την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων σε προβλήματα κοινωνικών επιστημών. Από τους πρώτους που εργάστηκαν στην ανάλυση χρονοσειρών. Εισάγοντας τις έννοιες : τάση , κυκλική - εποχική και τυχαία συνιστώσα. Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956) Γάλλος μαθηματικός . Η εργασία του στη θεωρία του μέτρου τον οδήγησε να αναπτύξει τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Ιδρυτής του Paris Institute of Statistics, (1922). Το 1913 διατυπώνει το infinite monkey theorem ! Το θεώρημα λέει … Ένας πίθηκος χτυπά τυχαία πλήκτρα σε μια γραφομηχανή για άπειρο χρονικό διάστημα. Τότε είναι σίγουρο ότι θα πληκτρολογήσει οποιοδήποτε πιθανό πεπερασμένο κείμενο, για παράδειγμα τον Hamlet του Shakespeare. Καταρχήν πρέπει να γνωρίζουμε ότι αν έχουμε δύο ενδεχόμενα που η πραγματοποίηση του ενός δεν εξαρτάται από την πραγματοποίηση του άλλου τότε αυτά λέγονται ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Επίσης αν έχουμε δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α και Β η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν και τα δύο είναι ίση με το γινόμενο των επιμέρους πιθανοτήτων. Δηλαδή ισχύει ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β)  =  Ας σκεφτούμε την πρόταση … « να ζει κανείς ή να μη ζει » αποτελείται από μία συγκεκριμένη ακολουθία 19 γραμμάτων. Ποια η πιθανότητα να πληκτρολογηθεί τυχαία από έναν πίθηκο; Το κάθε πλήκτρο έχει πιθανότητα 1/50 ( όσα είναι τα πλήκτρα σε μία γραφομηχανή) άρα η ακολουθία των 19 αυτών γραμμάτων έχει πιθανότητα : 19 1 0,0000000000000000000000000000000005242 50   =     η πιθανότητα να μη πληκτρολογηθεί η φράση θα είναι 19 1 1 50   −     ,
  • 68.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 60 επίσης η πιθανότητα να μη πληκτρολογηθεί η φράση σε καμία από ν διαδοχικές πληκτρολογήσεις 19 γραμμάτων είναι ν 19 1 Ρ(ν) 1 50     = −           . Εδώ είναι το παράδοξο … καθώς το ν μεγαλώνει – άπειρος χρόνος – το Ρ(ν) μικραίνει , δηλαδή μικραίνει η πιθανότητα σε κάποια από τις ν πληκτρολογήσεις 19 γραμμάτων να μη εμφανιστεί η φράση « να ζει κανείς ή να μη ζει». Άρα κάποια στιγμή στο μέλλον, δεν ξέρω για ολόκληρο τον Hamlet, αλλά αυτή η διάσημη φράση θα έχει γραφτεί, ακόμα και από έναν πίθηκο! Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) Βρετανός Μαθηματικός, βιολόγος και ακαδημαϊκός. Θεωρείται από τους σημαντικότερους στατιστικολόγους του 20ου αιώνα. Αυτός είναι που πρώτος ανέπτυξε την ανάλυση διασποράς (ANOVA). Το 1918 δημοσιεύει το βιβλίο « The Correlation Between Relatives on the Susposition of Mendelian Heritance ».Εκεί εισάγει τον όρο διακύμανση. Το 1925 δημοσιεύει το «Statistical Methods for Research Workers» ένα από τα σημαντικότερα βιβλία στατιστικής που γράφηκαν ποτέ. Εκεί τυποποιεί τις βασικές αρχές του ελέγχου υποθέσεων. Σημειώνει την τιμή z=1.96 για τον προσδιορισμό επιπέδου εμπιστοσύνης 95%, δίνοντας σε κάποιο σημείο της εργασίας ακριβέστερη τιμή ίση με 1,959964. Τι σημαίνει όμως έλεγχος υπόθεσης ; Ας υποθέσουμε ότι είστε υπεύθυνος παραγωγής ενός προϊόντος. Οι μηχανές του εργοστασίου έχουν ρυθμιστεί ώστε να παράγουν προϊόντα με μέσο πάχος μ=4 χιλιοστά και τυπική απόκλιση σ=0.1 χιλιοστά. Για να διαπιστώσεις αν όλα εξελίσσονται με βάση της προδιαγραφές παίρνεις ένα τυχαίο δείγμα n=50 προϊόντων στο οποίο διαπιστώνεις ότι το μέσο πάχος των προϊόντων είναι x 4.02 = . Το ερώτημα που τίθεται είναι αν η παραγωγή εξελίσσεται ομαλά ή όχι. Tο ερώτημα αυτό ο Fisher το απαντά ελέγχοντας αν ο μέσος 4.02 μπορεί να προέρχεται από ένα πληθυσμό με μέσο 4. Δηλαδή αν το δείγμα μας μπορεί να ανήκει στα δείγματα που εν δυνάμει μπορούμε να πάρουμε από ένα πληθυσμό με μέσο μ=4 και τυπική απόκλιση σ=0.1. Ο έλεγχος γίνεται βρίσκοντας το διάστημα σ σ Δ [ x z ,x z ] n n = − + , με το z να παίρνει την τιμή 1.96 για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και ελέγχοντας αν η τιμή μ ανήκει σε αυτό. Στο παράδειγμά μας το διάστημα είναι Δ=[3.99 , 4.04]. Επειδή 4 Δ  έχουμε ότι η παραγωγή εξελίσσεται ομαλά (αφού δεν υπάρχουν ενδείξεις που να οδηγούν στο συμπέρασμα ότι το μέσο πάχος των παραγόμενων προϊόντων δεν είναι ίσο με 4 χιλιοστά).
  • 69.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 61 George Waddel Snedecor (1881-1974) Αμερικάνος Μαθηματικός και Στατιστικολόγος. Ίδρυσε το πρώτο τμήμα στατιστικής στις Η.Π.Α. στο Iowa State University. Πρωτοπόρος της σύγχρονης εφαρμοσμένης στατιστικής. Το 1938 συγγράφει το “Statistical Methods” το βιβλίο με της περισσότερες αναφορές στην ιστορία της Στατιστικής. Εκεί αναπτύσσει τεχνικές ανάλυσης διασποράς. Αποδεικνύει ότι ο λόγος των διακυμάνσεων δύο δειγμάτων που προέρχονται από κανονικούς πληθυσμούς ακολουθεί μία ασύμμετρη κατανομή, την οποία ονομάζει κατανομή F προς τιμή του Fisher. Την κατανομή αυτή την χρησιμοποιεί για να επεκτείνει τις βασικές αρχές ελέγχου υποθέσεων για δύο δείγματα. John von Neumann (1903-1957) Ούγγρος μαθηματικός. Θεωρείται ο μαθηματικός που έχει εργαστεί στους περισσότερους τομείς των μαθηματικών. Συναρτησιακή ανάλυση, θεωρία ομάδων, θεωρία μέτρου, τοπολογία, διαφορικές εξισώσεις, αριθμητική ανάλυση, πυρηνική φυσική, κβαντική στατιστική φυσική, θεωρία παιγνίων, γραμμικό προγραμματισμό, οικονομία, μετεωρολογία, στοχαστικά μαθηματικά, εκτιμητική στατιστική, πληροφορική κ.α. Πανεπιστήμονας με προσφορά τόσο στα θεωρητικά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ισόβιος καθηγητής στο Institute for Advanced Study (IAS) στο Princeton του New Jersey. Θεμελιωτής της θεωρίας παιγνίων ως μαθηματικό κλάδο. Απέδειξε το θεώρημα Minimax το 1928, διατυπώνοντας σε παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος στρατηγικές ελαχιστοποίησης απωλειών. Τις στρατηγικές αυτές τις εφάρμοσε σε τομείς όπως όπως αυτής της τεχνικής νοημοσύνης και της θεωρίας αποφάσεων. Υπάρχει μία Απίθανη Ιστορία με πρωταγωνιστή τον Neumann … Βρισκόμαστε στο 1946 και οι Φυσικοί των πυρηνικών όπλων των ΗΠΑ στο Los Alamo ερευνούσαν τη διάχυση των νετρονίων στον πυρήνα ενός πυρηνικού όπλου. Τα προβλήματα που είχαν να απαντήσουν ήταν να προσδιορίσουν τη μέση απόσταση που θα διανύσει ένα νετρόνιο πριν συγκρουστεί με έναν ατομικό πυρήνα, την ενέργεια που ήταν πιθανό να εκπέμψει το νετρόνιο μετά από μια σύγκρουση κ.α. Στα προβλήματα αυτά δεν μπορούσαν να βρουν πειστικές απαντήσεις. Τότε ήταν που ο Stanisław Marcin Ulam (1909-1984) μαθηματικός είχε την ιδέα να χρησιμοποιήσουν επαναλαμβανόμενα τυχαία πειράματα. Ο ίδιος αναφέρει ότι η ιδέα αυτή προήλθε παίζοντας πασιέντσα !
  • 70.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 62 « κάποια στιγμή έθεσα στον εαυτό μου το ερώτημα ποιες είναι οι πιθανότητες να βγει με επιτυχία μια πασιέντζα Canfield με 52 φύλλα; Αφού ξόδεψα πολύ χρόνο προσπαθώντας να τις υπολογίσω χρησιμοποιώντας κλασικές μεθόδους συνδυαστικής, αναρωτήθηκα … μήπως ήταν πιο εύκολο να παίξω έναν ικανό αριθμό παρτίδων, π.χ. 100 και απλώς να μετρήσω τον αριθμό των επιτυχημένων εκβάσεων; Είχαμε ήδη στην κατοχή μας τους πρώτους γρήγορους υπολογιστές για κάτι τέτοιο. Τότε ήταν που σκέφτηκα ότι τα προβλήματα διάχυσης νετρονίων και τα άλλα ερωτήματα της μαθηματικής φυσικής που περιγράφονται από ορισμένες διαφορικές εξισώσεις θα μπορούσαν να πάρουν μία ισοδύναμη μορφή ως διαδοχή τυχαίων γεγονότων … Την ιδέα αυτή την ανέφερα στον Neumann και αυτός αμέσως κατάλαβε και αρχίσαμε να σχεδιάζουμε τις πρώτες προσομοιώσεις, προγραμματίζοντας τον υπολογιστή ENIAC …» Το έργο αυτό πήρε την συνθηματική ονομασία Monte Carlo. Στην επόμενη δεκαετία η μέθοδος Monte Carlo χρησιμοποιήθηκε στην ανάπτυξη της βόμβας υδρογόνου, αλλά και σε τομείς της Φυσικής και της Επιχειρησιακής Έρευνας. Στα επόμενα χρόνια η τεχνική γίνεται ολοένα και πιο δημοφιλής, η ανάπτυξη της υπολογιστικής δύναμης των υπολογιστών και η δυνατότητα παραγωγής ολοένα και μεγαλύτερου όγκου τυχαίων αριθμών κατανεμημένων κανονικά οδήγησε τον Bradley Efron – Μαθηματικός (πρόεδρος του Ινστιτούτου Μαθηματικής Στατιστικής των ΗΠΑ) το 1979 στην ανάπτυξη της τεχνικής επαναδειγματοληψίας Bootstrap. Με τη μέθοδο αυτή συμβατικές μέθοδοι, υπολογιστικής ολοκλήρωσης και στατιστικής ανάλυσης αντικαθίστανται με προσομοιώσεις υπολογιστών που είναι σε θέση να αναλύουν τεράστιο όγκο δεδομένων σε ελάχιστο χρόνο. Το πλέον απλό και συγχρόνως γνωστό πρόβλημα που επιλύεται με την μέθοδο Monte Carlo είναι αυτό του υπολογισμού του εμβαδού οποιουδήποτε χωρίου. Η ολοκλήρωση αντικαθίσταται με ένα νέφος τυχαίων σημείων που οι συντεταγμένες τους προκύπτουν από πίνακες τυχαίων κανονικά κατανεμημένων αριθμών. Μετά δεν έχουμε παρά να αθροίσουμε τα σημεία που βρίσκονται στην περιοχή που θέλουμε να υπολογίσουμε. Ας δούμε την Απίθανη Ιστορία της προσέγγισης του αριθμού “π” με τη μέθοδο του Monte Carlo. Θεωρούμε τετράγωνο πλευράς 2 και ο εγγεγραμμένος σε αυτό κύκλος ακτίνας r=1. Με τη βοήθεια του λογισμικού GeoGebra προγραμματίζουμε να «πέφτουν» μέσα στο τετράγωνο τυχαία σημεία. Μετράμε πόσα σημεία βρίσκονται μέσα στο τετράγωνο και μέσα στον κύκλο. Σχηματίζουμε τον λόγο αριθμός σημείων μέσα στον κύκλο λ συνολικός αριθμός σημείων = Η υπόθεση που γίνεται είναι ότι ο λόγος αυτός, καθώς ο αριθμός των σημείων ολοένα και αυξάνεται
  • 71.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 63 γίνεται ίσος με τον λόγο 2 2 Εμβαδόν κύκλου π 1 π Εμβαδόν τετραγώνου 2 4  = = Οπότε ο αριθμός π θα είναι ίσο με π 4 λ =  . Στο αρχικό σχήμα με 461 σημεία μετράμε 372 εσωτερικά σημεία οπότε η εκτιμώμενη τιμή του π είναι 3,2278, στο δεύτερο σχήμα με 904 σημεία μετράμε 710 εσωτερικά και π=3,1416 μια πολύ καλή προσέγγιση, δεν νομίζεται; Paul Erdos (1913-1996) Ούγγρος μαθηματικός, από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Εργάστηκε στα διακριτά μαθηματικά, θεωρία γραφημάτων, θεωρία αριθμών, μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, θεωρία πιθανοτήτων. Το 1938 και για δέκα χρόνια έμεινε ως υπότροφος στο Institute for Advanced Study (IAS) στο Princeton. Το χαρακτηριστικό γνώρισμα του ήταν ότι ποτέ δεν έμενε πολύ σε ένα μέρος. Ταξίδευε συνεχώς από πολιτεία σε πολιτεία, από πανεπιστήμιο σε πανεπιστήμιο, από χώρα σε χώρα. Ας σημειώσουμε ότι αν και βρισκόμαστεστη μέση του «ψυχρού πολέμου» ο Erdős είχε τη δυνατότητα να ταξιδεύει από Αμερική σε Ευρώπη και από εκεί στην Σοσιαλιστική – εκείνη την εποχή – Ουγγαρία, την πατρίδα του. Δημοσίευσε πάνω από 1500 εργασίες. Πίστευε ότι τα Μαθηματικά είναι μία κοινωνική δραστηριότητα και αυτό το εφάρμοζε συνεργαζόμενος με ένα πλήθος μαθηματικών από όλον τον κόσμο. Διάσημοι είναι οι αριθμοί Erdős που είχαν καθιερωθεί με τον Erdős εν ζωή. Ο ίδιος ο Erdős είχε τον αριθμό 0. Μαθηματικοί που συνεργάστηκαν απευθείας μαζί του και δημοσίευσαν ένα έργο με αυτόν έχουν τον αριθμό 1. Μαθηματικοί που συνεργάστηκαν με μαθηματικούς με αριθμό Erdős 1 και δημοσίευσαν μαζί τους κάτι, έχουν τον αριθμό Erdős 2 κ.ο.κ. Σχετικά με τους αριθμούς Erdős έχει αναπτυχθεί μια ιδιαίτερη στατιστική! Το 90% των ενεργών μαθηματικών παγκοσμίως έχουν αριθμό Erdős μικρότερο από 8 Οι 268.000 μαθηματικοί που υπάρχουν με αριθμό Erdős έχουν διάμεση τιμή 5. Ο διάμεσος αριθμός Erdős των μαθηματικών που είναι κάτοχοι του μεταλλείου Fields ( το αντίστοιχο του βραβείου Nobel για τους Μαθηματικούς) είναι 3. Η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία παρέχει ένα δωρεάν διαδικτυακό εργαλείο για τον προσδιορισμό του αριθμού Erdős κάθε μαθηματικού συγγραφέα που αναφέρεται στον κατάλογο Mathematical Reviews .
  • 72.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 64 Στην Απίθανη Ιστορία που ακολουθεί πρωταγωνιστεί μία κύρια η Marilyn vos Savant η οποία έχει έναν από τους υψηλότερους καταγεγραμμένους δείκτες νοημοσύνης παγκοσμίως. Η Marilyn έγραφε στη στήλη ενός περιοδικού όπου καλούσε τους αναγνώστες να λύσουν παζλ και να απαντήσουν σε προβλήματα λογικής. Το 1990 στην στήλη της διατύπωσε την εξής ερώτηση. Ας υποθέσουμε ότι είστε σε μία εκπομπή παιχνιδιών και έχεις την δυνατότητα να διαλέξεις μία πόρτα από τις τρεις που υπάρχουν. Σε μία από τις τρεις υπάρχει ένα αυτοκίνητο και στις άλλες δύο από μία κατσίκα. Επιλέγεις ας πούμε την 1η και ο παρουσιαστής – που προφανώς γνωρίζει σε ποια πόρτα βρίσκεται το αυτοκίνητο – ανοίγει την τρίτη πόρτα και εμφανίζεται μία κατσίκα. Μετά σου δίνεται η δυνατότητα ή να κρατήσεις την 1η πόρτα ή να αλλάξεις. Ποια από τις δύο επιλογές που σου δίνονται έχουν την μεγαλύτερη πιθανότητα επιτυχίας; Η Marilyn έδωσε ως απάντηση ότι ο παίκτης πρέπει να αλλάξει διότι τότε έχει πιθανότητα επιτυχίας 2/3 αντί της 1/3 που θα έχει αν επιμείνει στην αρχική επιλογή του. Μετά από αυτό η στήλη κατακλίστηκε από 10.000 περίπου επιστολές που θεωρούσαν την απάντησή της λαθεμένη. Μεταξύ των επιστολών και πολλών μαθηματικών που την καλούσαν να μη ασχολείται με προβλήματα και τομείς των Μαθηματικών που δεν γνωρίζει. Ο Erdős όταν του τέθηκε το πρόβλημα ήταν από εκείνους που θεωρούσαν ότι η πιθανότητα δεν αλλάζει. Πείστηκε περί του αντιθέτου μόνο όταν έτρεξε στον υπολογιστή προσομοίωση που έδειχνε άλλα … Για να δώσουμε μία απάντηση στο πρόβλημα αυτό, ας ξεκινήσουμε την ιστορία από την αρχή. Είχαμε τρεις πόρτες όπου πίσω από μία υπάρχει το δώρο. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Π1 « Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα 1» με Ρ(Π1)=1/3 Π2 « Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα 2» με Ρ(Π2)=1/3 Π3 « Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα 3» με Ρ(Π3)=1/3 Α « Ο παρουσιαστής ανοίγει την 3η πόρτα (και παρουσιάζει μία κατσίκα)». Αυτό που θέλουμε να συγκρίνουμε είναι τις πιθανότητες των ενδεχομένων Π1/Α και Π2/Α. Για να απαντήσουμε θα μας βοηθήσει ο Bayes … Καταρχήν να βρούμε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α/Π1 , Α/Π2 και Α/Π3 Πόσο είναι η πιθανότητα Ρ(Α/Π1) ; Δηλαδή ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου ο παρουσιαστής να ανοίξει την 3η πόρτα ενώ το αυτοκίνητο βρίσκεται στην 1η πόρτα; Προφανώς ο παρουσιαστής μπορεί να επιλέξει μεταξύ 2ης και 3ης πόρτας. Άρα το ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 1/2. Πόσο είναι η πιθανότητα Ρ(Α/Π2); Δηλαδή ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου ο παρουσιαστής να ανοίξει την 3η πόρτα ενώ το αυτοκίνητο είναι πίσω από την 2η πόρτα;. Ας σημειωθεί ότι ήδη εσείς έχετε επιλέξει την 1η πόρτα, άρα η επιλογή είναι μόνο μία πόρτα η 3η οπότε η πιθανότητα είναι 1. 1986 - Erdos και Tao (μετάλλιο Fields 2006) λύνουν από κοινού μία άσκηση !
  • 73.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 65 Πόσο είναι η πιθανότητα Ρ(Α/Π3) Δηλαδή ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου να ανοίξει την 3η πόρτα τη στιγμή όπου το αυτοκίνητο είναι στην 3η πόρτα; Προφανώς 0 , αφού ο παρουσιαστής δεν πρόκειται να ανοίξει την πόρτα στην οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο! Ας εφαρμόσουμε τον τύπο του Bayes … Ρ(Α / Π1) Ρ(Π1) Ρ(Π1/ Α) Ρ(Α / Π1) Ρ(Π1) Ρ(Α / Π2) Ρ(Π2) Ρ(Α / Π3) Ρ(Π3) 1 1 1 1 2 3 6 1 1 1 1 3 3 1 0 2 3 3 3 6  = =  +  +   = = =  +  +  Ρ(Α / Π2) Ρ(Π2) Ρ(Π2 / Α) Ρ(Α / Π1) Ρ(Π1) Ρ(Α / Π2) Ρ(Π2) Ρ(Α / Π3) Ρ(Π3) 1 1 1 6 2 3 3 1 1 1 1 3 9 3 1 0 2 3 3 3 6  = =  +  +   = = = =  +  +  Πόσο δίκιο έχει η Marilyn … γι’ αυτό και το κομμάτι αυτό των μαθηματικών το έχουν βαφτίσει Στοχαστικά Μαθηματικά. Πριν πεις – βιαστικά – μία απάντηση καλό είναι να το σκεφτείς αρκετά !
  • 74.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 66 Είναι προφανές ότι στην παρουσίαση που έγινε πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί δεν αναφέρθηκαν. Ένας τομέας όπως οι Πιθανότητες και η Στατιστική χρειάζεται πολλούς μεγάλους και μικρότερους επιστήμονες να τον υπηρετήσουν. Μπορεί η μικρότερη συνεισφορά να είναι η έμπνευση σε κάποιον άλλον για κάτι μεγάλο. Ο στόχος του βιβλίου είναι να δώσει μία συνοπτική ιστορική διαδρομή, αναφέροντας ιστορικά στοιχεία, βιογραφίες, αλλά προπάντων Απίθανες Ιστορίες, πραγματικές ιστορίες που αναφέρονται σε υπαρκτά πρόσωπα. Υπάρχουν μικρές στιγμές της ιστορίας που περιδιαβαίνουμε που έγινε κάτι το μοναδικό, κάτι που βοήθησε την εξέλιξη των Μαθηματικών αλλά και της επιστήμης γενικότερα. Έτσι έρχεται η σειρά να αναφερθούμε στις … Σύντομες ιστορίες … με χρονολογική σειρά Ο Walter Andrew Shewhart (1891–1967) ήταν Αμερικανός φυσικός, μηχανικός και στατιστικολόγος. Εργαζόταν στην Bell Telephone και ο σκοπός του ήταν να βελτιώσει την αξιοπιστία των συστημάτων μετάδοσης των σημάτων. Ήταν 16 Μαΐου 1924, όταν … "Ο Δρ. Σιούχαρτ ετοίμασε ένα μικρό υπόμνημα σε μήκος μόνο περίπου μιας σελίδας. Το ένα τρίτο αυτής της σελίδας αφιερώθηκε σε ένα απλό διάγραμμα που σήμερα το λέμε διάγραμμα ελέγχου. Αυτό το διάγραμμα, και το σύντομο κείμενο που το συνόδευε , καθόρισε όλες τις βασικές αρχές και εκτιμήσεις που εμπλέκονται σε αυτό που γνωρίζουμε σήμερα ως ποιοτικός έλεγχος διαδικασίας». Ο John Wilder Tukey (1915-2000) ήταν Αμερικάνος Μαθηματικός και στατιστικολόγος. Εργαζόμενος για τη ανάπτυξη στατιστικών μεθόδων για υπολογιστές στα εργαστήρια της Bell εφηύρε το όρο “bit” το 1947. Επίσης το 1977 στο βιβλίο του "Exploratory Data Analysis" χρησιμοποιείται για πρώτη φορά το box plot (θηκόγραμμα) στο οποίο εμφανίζονται «γραφικά» το εύρος, ο μέσος, ο διάμεσος και τα τεταρτημόρια μιας κατανομής.
  • 75.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 67 Το 1993 εκδίδεται προς ευρεία χρήση η γλώσσα προγραμματισμού R. H R είναι μια γλώσσα και ένα περιβάλλον για στατιστικούς υπολογιστές και γραφικά. Αρχικά αναπτύχθηκε στα εργαστήρια Bell, από τον John McKinley Chambers και τους συνεργάτες του. Παρέχει μια μεγάλη ποικιλία στατιστικών εφαρμογών, όπως γραμμική και μη γραμμική μοντελοποίηση, στατιστικές δοκιμές, ανάλυση χρονοσειρών, ταξινόμηση, ομαδοποίηση κ.α. Ένα από τα πλεονεκτήματα της R είναι η ευκολία με την οποία μπορούν να παραχθούν καλά σχεδιασμένα γραφικά, μαθηματικά σύμβολα και τύποι. Η επόμενη αναφορά μας είναι διπλή και αναφέρεται σε δύο σημαντικά γεγονότα που απέχουν 76 χρόνια μεταξύ τους … Κατ’ αρχήν βρισκόμαστε στο 1936 και όλοι περιμένουν της εκλογές στις ΗΠΑ. Αντίπαλοι οι Franklin Delano Roosevelt (Δημοκρατικός) και Alf Landon (Ρεπουμπλικάνος). Το περιοδικό Literary Digest προβλέπει νίκη του Landon μετά από δημοσκόπηση που ήταν βασισμένη σε περισσότερα από 2.000.000 ερωτηματολόγια. Όμως ο George Horace Gallup (1901–1984) βασιζόμενος στις απαντήσεις 50.000 ερωτηθέντων προβλέπει σωστά την σαρωτική νίκη του Roosevelt. Δικαίως θεωρείται πρωτοπόρος των τεχνικών δειγματοληπτικής έρευνας για την μέτρηση της κοινής γνώμης. Η επιλογή ενός αντιπροσωπευτικού δείγματος έκανε τη διαφορά. Στο κοντινό 2012 ο Nathaniel (Nate) Read Silver προβλέπει σωστά τον νικητή των προεδρικών εκλογών και στις 50 πολιτείες και στην περιφέρεια της Κολούμπια. Ο Nate ανακηρύσσεται ως ένας από του 100 ανθρώπους με την μεγαλύτερη επιρροή στον κόσμο. Η δειγματοληπτική έρευνα στα καλύτερά της … Αριστερά η πρόβλεψη και δεξιά το αποτέλεσμα
  • 76.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 68 Απίθανες παρανοήσεις … Η φρενίτιδα του καλοκαιριού ήταν τα διαδοχικά jackpot στο lotto που θα μοίραζαν εκατομμύρια. Ουρές ανθρώπων μπροστά στα ΠΡΟΠΟ της γειτονιάς, χιλιάδες τα χρήματα που παίζονταν. Κι’ όμως μετά από όσα έχουμε ήδη αναφέρει, γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος είναι μόλις 6! 43! 1 0.0000000715 49! 13.983.816  = = , να ’σου και εγώ να περιμένω στην ουρά! Η διαφημιστική αφίσα στη πόρτα του μαγαζιού υποσχόταν αυτοκίνητα, σπίτια, εξωτικά μέρη που θα μπορούσες να αποκτήσεις αν κέρδιζες. Η ανικανότητα μας να συνειδητοποιήσουμε να εκτιμήσουμε αλλά και να συγκρίνουμε πολύ μικρούς ή πολύ μεγάλους αριθμούς στην ψυχολογία λέγεται Αριθμητική Παράλυση . Με βάση τα διαθέσιμα στοιχεία η Ελληνική Στατιστική Εταιρεία έχει υπολογίσει ότι η πιθανότητα να εμπλακεί κάποιος σε αυτοκινητικό δυστύχημα είναι 0,017, η πιθανότητα να χτυπηθεί από κεραυνό είναι 0,0000033, από μετεωρίτη 0,000000004. Άρα η πιθανότητα που έχω να κερδίσω το lotto είναι μικρότερη από το να χτυπηθώ από κεραυνό αλλά μεγαλύτερη από το να χτυπηθώ από μετεωρίτη. Νομίζω ότι βρήκαμε τον επόμενο νικητή του παιχνιδιού. Κι όμως υπάρχουν περιπτώσεις που καταρρίπτονται όλα όσα μάθαμε στις προηγούμενες σελίδες, για παράδειγμα : Τον Ιούνιο του 2002, ο ηλεκτρολόγος, Mike Mac Dermott, κέρδισε 194.501 £ στο lotto της Αγγλίας. Το καταπληκτικό είναι ότι συνέχιζε να παίξει τους ίδιους αριθμούς και μετά από τέσσερεις μήνες ξανακέρδισε άλλες £121.157. Η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος δύο φορές στο lotto παίζοντας τους ίδιους αριθμούς είναι 1 στα 5.400.000.000.000 Ο δασοφύλακας του Εθνικού Πάρκου Shenandoah, Roy Sullivan , κατέχει το Guinness World Records επειδή χτυπήθηκε από κεραυνό περισσότερες φορές από οποιοδήποτε άλλο άτομο. Στην περίοδο μεταξύ 1942 και 1977, χτυπήθηκε από κεραυνό σε 7 ξεχωριστές περιπτώσεις και επέζησε από όλες, αποκτώντας το παρατσούκλι του «Human Lightning Rod» . Σύμφωνα με τις στατιστικές, οι πιθανότητες να χτυπηθείς από κεραυνό επτά φορές είναι 1 στα 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000
  • 77.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 69 Τον Αύγουστο του 1913, στο καζίνο του Monte-Carlo παρατηρήθηκε ένα περίεργο φαινόμενο. Η μπάλα έπεσε στο μαύρο συνολικά 26 συνεχόμενες φορές. Αν αναλογιστούμε ότι η πιθανότητα η μπάλα να προσγειωθεί στο μαύρο σε ένα μόνο γύρισμα είναι 18/37. Η πιθανότητα να πέσει σε μαύρη τρύπα η μπίλια στη ρουλέτα 26 φορές είναι 1 στις 136.823.184 φορές. Το 2015 ένας ερασιτέχνης παίκτης του γκολφ ο Patrick Wills έβαλε με ένα χτύπημα την μπάλα μέσα στις τρύπες 7,10 και 14. Έχει υπολογιστεί με τα διαθέσιμα στατιστικά στοιχεία του Club ότι: η πιθανότητα να πετύχεις με την πρώτη τρεις τρύπες στο γκολφ είναι 1 στα 1.000.000.000.000 φορές. Τέτοια παραδείγματα υπάρχουν πολλά και μπορείτε να τα αναζητήσετε στο διαδίκτυο. Γιατί όμως συμβαίνουν γεγονότα που ανατρέπουν όσα έχουμε πεισθεί ότι ισχύουν από τις πιθανότητες; Ήταν το 1866 όταν ο Άγγλος Μαθηματικός Augustus De Morgan έγραψε «Ό,τι μπορεί να συμβεί θα συμβεί αν κάνουμε αρκετές δοκιμές». Ουσιαστικά διατύπωσε μία πρόταση που συνηθίζεται να ονομάζεται «νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών» και που πρακτικά το έχουμε ήδη συναντήσει στην Απίθανη Ιστορία του πίθηκα συγγραφέα … "η πιθανότητα να συμβεί ένα απίθανο γεγονός X σε Ν ανεξάρτητες δοκιμές μπορεί να πάρει τιμές κοντά στο 1, ανεξάρτητα από το πόσο μικρή είναι η πιθανότητα του γεγονότος X σε μία μόνο δοκιμή, υπό την προϋπόθεση ότι το N είναι πραγματικά μεγάλο» Είναι ο νόμος αυτός που σε συνδυασμό με την ανθρώπινη «επιλεκτική προκατάληψη μνήμης» μας επιτρέπει να διογκώνουμε το απίθανο και να ελαχιστοποιούμε το πιθανό ως συνηθισμένο και άρα ασήμαντο. Η λειτουργία αυτή είναι που κάνει τους παίκτες των τυχερών παιχνιδιών να αποστασιοποιούνται από τις συνέπειες του τζόγου τους μνημονεύοντας τις νίκες και ξεχνώντας τις ήττες τους. Δεν πρέπει λοιπόν να μας κάνει ιδιαίτερη αίσθηση ότι συμβαίνουν και τα πιο παράξενα πράγματα, αφού μπορούν και να συμβούν. Οι νόμοι των πιθανοτήτων δεν καταρρίπτονται απλώς επιβεβαιώνονται !
  • 78.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 70 Πιθανές πλάνες … Στην βιβλιογραφία καταγράφονται καταστάσεις όπου η επιφανειακή γνώση των πιθανοτήτων οδηγεί σε λαθεμένα συμπεράσματα. Οι πιο γνωστές από τις καταστάσεις αυτές είναι η πλάνη του κατηγόρου (prosecutor's fallacy) και η πλάνη του βασικού ποσοστού (base rate fallacy) ! Από πλευράς μαθηματικών θα στηριχθούμε στον γνωστό μας νόμο του Bayes Ας δούμε μερικές Απίθανες Ιστορίες … Στο κέντρο του Λονδίνου έχει δηλωθεί μία κλοπή. Σύμφωνα με μαρτυρίες ο δράστης είναι άνδρας ηλικίας από 20 ως 30 ετών, πάνω από 2 μέτρα και κοκκινομάλλης. Με βάσει την περιγραφή συλλαμβάνεται ένας ύποπτος. Στο δικαστήριο δεν παρουσιάζεται κανένα ιατροδικαστικό στοιχείο που μπορούν να ταυτοποιήσουν τον δράστη. Αλλά ο κατήγορος χρησιμοποιεί τις πιθανότητες για να ενοχοποιήσει τον κατηγορούμενο. Συγκεκριμένα ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα να είσαι άνδρας είναι 0,51 ,να έχεις ύψος πάνω από 2 μέτρα είναι 0,025 , να έχεις ηλικία από 20 μέχρι 30 ετών είναι 0,25 και τέλος η πιθανότητα το χρώμα των μαλλιών σου να είναι κόκκινο 0,037. Επειδή οι πιθανότητες αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους η πιθανότητα κάποιος να έχει τα χαρακτηριστικά αυτά είναι 0,0001179. Δηλαδή ένας σε κάθε 10.000 ανθρώπους. Αυτό από μόνο του είναι ένα ικανό επιχείρημα για την ενοχή του κατηγορουμένου! Κι όμως στο ερώτημα πόσος είναι ο πληθυσμός του Λονδίνου και μετά τη προφανή απάντηση 10.000.000 ο δικαστής της έδρας διαπιστώνει ότι τελικά υπάρχουν περί τους 1000 υπόπτους, άρα η πιθανότητας ενοχής είναι 1 στις 1000 περιπτώσεις, ή αντίστροφα η πιθανότητα αθωότητας του κατηγορουμένου ανεβαίνει στο ποσοστό των 99,9% ! Άλλο παράδειγμα … Είμαστε στην Σκωτία μπροστά από ένα κοσμηματοπωλείο. Λίγο πριν είχε γίνει ληστεία και ένας μάρτυρας καταθέτει ότι ο ληστής είχε κόκκινα μαλλιά. Σε κοντινή απόσταση συλλαμβάνεται ένας ύποπτος που κινείται περίεργα που έχει κόκκινα μαλλιά. Με αυτά τα στοιχεία η υπόθεση φθάνει στο δικαστήριο. Ο κατήγορος επικαλείται τα εξής στατιστικά στοιχεία. Στην Σκωτία 6 στους 100 ανθρώπους έχουν κόκκινα μαλλιά και πως ένα άτομο μπορεί να αναγνωρίσει σωστά το χρώμα των μαλλιών ενός ανθρώπου 95 στις 100 φορές. Οπότε κατά 95% είμαστε σίγουροι ότι ο κατηγορούμενος είναι ο δράστης της ληστείας. Σωστά ; - Λάθος !
  • 79.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 71 Από ένα πληθυσμό επιλέγουμε στη τύχη έναν άνθρωπο. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α« ο ύποπτος έχει κόκκινα μαλλιά» και Β « ο μάρτυρας αναγνωρίζει κόκκινο χρώμα μαλλιών» Ας δούμε διαγραμματικά τις δεδομένες πιθανότητες … Αυτό που θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο ύποπτος να έχει κόκκινα μαλλιά με την προϋπόθεση ότι ο μάρτυρας τον έχει αναγνωρίσει, δηλαδή την Ρ(Α/Β). Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε ότι Ρ(Α)=6% και Ρ(Β/Α)=95% Σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes θα ισχύει ότι : Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 0,95 0,06 Ρ(Α / Β) 0,548 Ρ(Β) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α') 0,95 0,06 0,05 0,94    = = = =  +   +  Άρα μόλις 55% και όχι 95% Τέλος άλλο ένα παράδειγμα με πραγματικά δεδομένα, σχετικά με τα θετικά κρούσματα COVID-19 στην Αγγλία. Υπάρχει ένα τεστ ανίχνευσης του ιού με αποτελεσματικότητα 95%. Επίσης σύμφωνα με τις τελευταίες μετρήσεις 1 στους 150 ανθρώπους έχει COVID. Κάνετε το τεστ και βγαίνει θετικό. Ποια η πιθανότητα να έχετε πραγματικά COVID; Οι περισσότεροι θα πουν … 95% όση και η αξιοπιστία του τεστ. Είναι όμως σωστή η εκτίμηση αυτή; Στο παράδειγμα αυτό θα απαντήσουμε με δύο τρόπους και υπολογιστικά αλλά και με τον νόμο του Bayes. Γνωρίζοντας ότι ο πληθυσμός της Αγγλίας είναι 66.000.000 με βάση τα δεδομένα καταλήγουμε στο διπλανό διάγραμμα Οπότε από εκεί έχουμε ότι η πιθανότητα να έχεις COVID ενώ το τεστ είναι θετικό είναι 418.000 418.000 11 ,3% 418.000 3.278.000 3.696.000 = = +
  • 80.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 72 Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά ! Επιλέγουμε στην τύχη ένα άτομο το οποίο έχει κάνει το τεστ. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α« έχει COVID-19 », Β« το τεστ βγαίνει θετικό» Αναζητάμε την πιθανότητα το άτομο να έχει COVID ενώ έχει βγει θετικό στο τεστ. Δηλαδή την Ρ(Α/Β) , γνωρίζοντας ότι Ρ(Α)=1/150 και Ρ(Β/Α)=95% Άρα … 1 0,95 Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 150 Ρ(Α / Β) 11 ,3% 1 149 Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α') 0,95 0,05 150 150   = = =  +   +  Το τελευταία μας παράδειγμα πλάνης κατά την εφαρμογή των πιθανοτήτων είναι από την δίκη του Αμερικάνου σταρ του football J. Simpson. Εκεί δικαζόταν ως ύποπτος για την δολοφονία της γυναίκας του, αφού στο παρελθόν είχε επιδείξει ιδιαίτερη βίαιη συμπεριφορά απέναντί της . Η υπεράσπιση επικαλέστηκε τα στατιστικά στοιχεία της πολιτείας όπου σε αυτά παρουσιαζόταν ότι μόνο 1 στις 2500 κακοποιημένες γυναίκες έπεφταν θύματα εντέλει από τους συζύγους τους. Οπότε η πρότερη βίαιη συμπεριφορά δεν θα έπρεπε να ληφθεί υπόψιν των ενόρκων. Η σωστή όμως ανάγνωση των στοιχείων (που φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα) είναι ότι ενώ οι περισσότερες περιπτώσεις συζυγικής κακοποίησης δεν καταλήγουν σε φόνο, οι περισσότερες περιπτώσεις δολοφονίας, όπου υπάρχει ιστορικό συζυγικής κακοποίησης, διαπράχθηκαν από τον σύζυγο.
  • 81.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣσελ. 73 Επίλογος Κάπου εδώ φθάσαμε στο τέλος του ταξιδιού μας. Γνωρίσαμε σπουδαίες προσωπικότητες, Μαθηματικούς, Φυσικούς, Βιολόγους, Στατιστικολόγους. Μελετήσαμε προβλήματα – Απίθανες Ιστορίες - με ιστορική σημασία, αφού η λύση τους οδήγησε την επιστήμη των μαθηματικών να κάνει άλματα. Γνωρίσαμε τα σφάλματα που είναι πιθανόν να κάνουμε αν δεν εφαρμόζουμε σωστά τον λογισμό των πιθανοτήτων. Το μόνο σίγουρο είναι ότι όταν προσπαθείς να απλοποιείς έννοιες αναπόφευκτα κάνεις και λάθη. Ας ελπίσουμε ότι δεν έγιναν πολλά και σημαντικά. Επίσης κάποιες προσωπικότητες δεν παρουσιάστηκαν, κάποιες στιγμές της εξέλιξης της επιστήμης αναφέρθηκαν με διαφορετική σειρά από ότι πραγματικά έγιναν. Τεχνικά θέματα που παρουσιάζουν δυσκολία στη κατανόηση τους δεν αναφέρθηκαν επίτηδες αφού και δεν είμαι σε θέση να τα παρουσιάσω απλά και κατανοητά, αλλά και επειδή παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκολία που υπερβαίνει τον στόχο του βιβλίου που κρατάτε. Προσπάθησα όμως να υπάρχει μία ιστορική συνέπεια και στρωτή παρουσίαση των θεμάτων. Αν αυτό το πέτυχα θα το κρίνεται εσείς, οι αναγνώστες. Δεν γνωρίζω αν μετά την μελέτη του βιβλίου θα μπορείτε να λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα πιθανοτήτων, μάλλον δύσκολο γιατί αυτό χρειάζεται μελέτη και εξάσκηση αλλά όχι Απίθανο … Αν έχουμε Τύχη οι απορίες που θα γεννηθούν από την ανάγνωση του βιβλίου θα αποτελέσουν αφορμή για συστηματική ενασχόληση με τον θαυμαστό κόσμο των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Γιώργος Λαγουδάκος – καλοκαίρι 2022
  • 82.
  • 83.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκοςσελ. 75 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Το χρονικό του χρόνου - Stephen Hawking – εκδόσεις Κάτοπτρο 2. Ιστορία των Επιστημών και της Τεχνολογίας Ο.Ε.Δ.Β 3. Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς – Paul Hoffman – εκδόσεις Λιβάνη 4. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Ο.Ε.Δ.Β. 5. Τα Βήματα του μεθυσμένου – Leonard Mlodinow – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. 6. Πιθανότητες – ασκήσεις – Στρατή Κουνιά – Κώστα Μπαγιάτη – Χρόνη Μωυσιάδη 7. Στατιστική – Μέθοδοι ανάλυσης για Επιχειρηματικές αποφάσεις – Ι. Χαλικιάς – Εκδόσεις Rosili 8. Ιστορία των Μαθηματικών – Victor j. Katz – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. 9. Μαθηματικά πεντάλεπτα – Ehrhard Behrends – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 10.Fifty challenging problems in probability – with solution – Frederick Mosteller – Dover publications N.Y. 11.Πιθανότητες – Δ. Δημητράκου – i-book 12.Διπλωματική εργασία : Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ - M. Κοντογεωργάκου, ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ 13.Διπλωματική εργασία : Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ – A. Τσονακά , ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ 14.A historical survey of the development of classical probability theory – Ozlem Kart – Department of Uppsala University 15. Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική – Χ. Δαμιανού, Ν. Παπαδάτου, Χ. Χαραλαμπίδη – Πανεπιστήμιο Αθηνών – τμήμα Μαθηματικών 16. Instant Mathematics – Paul Parsons , Gail Dixon – Welbeck Publishing Group
  • 84.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκοςσελ. 76 ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙΑ 1. JACOB BERNOULLI AND HIS WORKS ON PROBABILITY AND LAW OF LARGE NUMBERS: A HISTORICAL SEARCH – Akhil Goswami & Gautam Choudhury - International Journal of Applied Mathematics & Statistical Sciences (IJAMSS) 2. «The Evolution of the Normal Distribution» - SAUL STAHL - Department of Mathematics University of Kansas - MATHEMATICS MAGAZINEVOL. 79, NO. 2, APRIL 2006 3. Poisson Distribution -From Horse Kick History Data to Modern Analytic - A practical guide to Poisson Distribution by real life examples - Bee Guan Teo - Towards Data Science (Tds) 4. ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Τ.: Η γραμμή του χρόνου της Στατιστικής στην Ελλάδα 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής (ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ) 5. Χ. Χαραλαμπίδης : Η γέννηση της θεωρίας των πιθανοτήτων – Cardano ένατι Pascal και Femat 31ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής (ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ) 6. Στρ. Κουνιά : Η έννοια του τυχαίου και της πιθανότητας 31ο Πανελλήνιο Συνέδριο Στατιστικής (ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ) 7. Μαθηματική Επιθεώρηση τ.10 – Στρ. Κουνιάς - Ιστορική αναδρομή στις Πιθανότητες 8. Ευκλείδης Γ τ.6 - Θ. Ξένος - Ένας υπολογισμός του π με πιθανότητες 9. 19ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας - Χ.Χαραλαμπίδης – Ιστορική ανασκόπηση των Πιθανοτήτων . 10. Μαθηματική Επιθεώρηση τ.2 - Α. Φιλίππου – Παιχνίδια τύχης, η αρχή και οι εξελίξεις της Πιθανοθεωρίας 11. The Bernoullis and the priding of Probability theory. Looking back after 300 years - Wolfgang Polasek – Resonance - Journal of Science Education August 2000 12. The (short) history of probability theory – Lecture of Anders Persson - UN UPSALA – Bologna - February 2015
  • 85.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκοςσελ. 77 13.Some laws and problems of classical probability and how Cardano anticipated them – Prakash Gorroochurn – Chance magazine 14.Huygens and the Value of all Chances in Games of Fortune – paper of Nathan Otten – university of Missouri – Kansas City 15.History of Probability – Bob Rosenfeld – Vermont Mathematics Initiative SITES 1. The Man Who Invented Modern Probability Chance encounters in the life of Andrei Kolmogorov. BΥ SLAVA GEROVITCH - AUGUST 12, 2013 https://nautil.us/the-man-who-invented-modern-probability-934/ 2. Gauss, least squares and the missing planet , άρθρο του Milton Lim (2021) https://www.actuaries.digital/2021/03/31/gauss-least-squares-and-the-missing-planet/ 3. Σύντομη ιστορία των πιθανοτήτων του Kees Verduin https://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/stathist.htm 4. Chronology of Probabilistic and Statisticians http://www.math.utep.edu/faculty/mleung/probabilityandstatistics/chronology.htm 5. Eric J. Heller Gallery http://gallery.jalbum.net/en/browse/user/album/1696720 6. Wikipedia – για βιογραφικά στοιχεία. 7. Ανοιχτά μαθήματα ΑΠΘ – Περιήγηση στην Ιστορία της Στατιστικής και Ιστορία της έννοιας της Πιθανότητας – Χ. Μωυσιάδης https://opencourses.auth.gr/ 8. Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του W. Cosset https://www.dib.ie/biography/gosset-william-sealy-student-a3543
  • 86.
    Απίθανες Ιστορίες Γ. Λαγουδάκοςσελ. 78 9. Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του Richard von Mises https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mises/ 10. Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του William Feller https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Feller/ https://www.youtube.com/watch?v=iRnBryQ8RjU https://www.youtube.com/watch?v=PGDaKxFVS9Q 11.Στοιχεία για τη ζωή και το έργο του Andrei Markov https://towardsdatascience.com/markov-models-and-markov-chains-explained-in-real-life- probabilistic-workout-routine-65e47b5c9a73 https://analyticsindiamag.com/5-real-world-use-cases-of-the-markov-chains/ https://mpaldridge.github.io/math2750/S06-examples.html https://www.projectguru.in/markov-chain-real-world-problems/ 12.Η μέθοδος Monte Carlo https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method https://www.goldsim.com/Web/Introduction/MonteCarlo/ https://machinelearningmastery.com/monte-carlo-sampling-for-probability/ 13.Αριθμητική παράλυση – απίθανες ιστορίες https://www.imperial.ac.uk/be-inspired/magazine/issue-41/improbable-probability/ https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_truly_large_numbers https://imstat.org/2015/02/16/hand-writing-the-improbability-principle/ https://onlinebingo.co.uk/luck/10-unlikely-events 14.Η πλάνη στις πιθανότητες https://en.wikipedia.org/wiki/Prosecutor%27s_fallacy https://tomrocksmaths.com/2021/09/08/the-prosecutors-fallacy/ https://rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/j.1740-9713.2015.00839.x https://idatassist.com/prosecutors-fallacy-what-happened-to-sally-clark/ https://www.capgemini.com/gb-en/2020/10/the-base-rate-fallacy-what-is-it-and-why-does-it- matter/
  • 87.
    Γεννήθηκα στις 8Μαρτίου το 1960 στη Χίο όπου ήταν διορισμένοι καθηγητές οι γονείς μου, Κωνσταντίνος Λαγουδάκος και Ιουλία Παπαϊωάννου αμφότεροι Χημικοί. Το 1965 ήρθαμε στην Αθήνα όπου το 1970 τελείωσα το Δημοτικό στο 108ο Δημοτικό σχολείο στην οδό Θήρας. Την 1η Γυμνασίου την τελείωσα στο Εμπορικό Γυμνάσιο στη Πλατεία Αμερικής και την 2α και 3η Γυμνασίου στο Γυμνάσιο της Κάτω Κλειτορίας στην Αχαΐα . Το 1974 ήρθαμε οικογενειακώς και πάλι στην Αθήνα, όπου και τελείωσα το κβ’ Λύκειο στα Κάτω Πατήσια το 1977. Πέρασα στο Μαθηματικό Θεσσαλονίκης το 1978 και αποφοίτησα το 1983. Το 1984 με βρίσκει και πάλι στην Αθήνα όπου ξεκινώ και εργάζομαι σε διάφορα φροντιστήρια. Το 1985 μέχρι το 1987 παρακολουθώ το μεταπτυχιακό τμήμα περιφερειακής ανάπτυξης της Παντείου. Μετά, στρατιωτικό – Χαϊδάρι και Χίο. Απολύομαι το 1989. Ο γάμος μου με την Αθανασία γίνεται το 1989 και το 1991 γεννιέται η κόρη μου Κωνσταντίνα. Το 1991 προσλαμβάνομαι στα Εκπαιδευτήρια Δούκα πρώτα στο Γυμνάσιο και μετά στο Λύκειο, μέχρι το 2022 όπου συνταξιοδοτήθηκα και νέα όμορφα καινούργια μονοπάτια ανοίγονται μπροστά μου! Σε όλη τη διάρκεια της επαγγελματικής μου πορείας ασχολήθηκα σε διάφορα εκπαιδευτικά project και τη συγγραφή βοηθημάτων καθώς επίσης συμμετείχα σε πλήθος εκπαιδευτικών ημερίδων – συνεδρίων. Ενδεικτικά αναφέρω τη συμμετοχή μου : «Ε-Land : Ένα ολοκληρωμένο εικονικό περιβάλλον υποστήριξης μαθησιακών κοινοτήτων στο διαδίκτυο » (Ι.Π.Ε.Τ , Ι.Π.ΤΗΛ. . Εκπαιδευτήρια Δούκα, Εκδόσεις Πατάκη). «Η τέχνη των Μαθηματικών και τα Μαθηματικά της Τέχνης » Παραγωγή λογισμικού και πρότυπων φύλλων δραστηριοτήτων με διαθεματικό χαρακτήρα (Ι.Τ.Υ.Ε., Εκπαιδευτήρια Δούκα, Compupress Exces , Open University). Ήμουν ιδρυτικό μέλος και μέλος της επιστημονικής επιτροπής του «Μαθηματικού εργαστηρίου Β’ Αθήνας». Στα ενδιαφέροντά μου εντάσσεται η μελέτη της ιστορίας της εξέλιξης των μαθηματικών. Έχω συγγράψει σχετικά πονήματα που μπορείτε να τα αναζητήσετε στην διεύθυνση : https://www.slideshare.net/ssuser9b2765?utm_campaign=profiletracking&utm_ medium=sssite&utm_source=ssslideview . Είμαι ενεργό μέλος της παγκόσμιας κοινότητας του GeoGebra όπου έχω δημιουργήσει πλήθος εφαρμογών που παρουσιάζονται στην διεύθυνση https://www.geogebra.org/u/lagoudakos4. Συμμετείχα ως εισηγητής στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2015) με θέμα «MΑΤΗistory using Geogebra » και στο GeoGebra Global Gathering (Linz 2017) με θέμα «Math and Art in Athens». Το έργο αυτό διακρίθηκε με το χρυσό βραβείο ως βέλτιστη εκπαιδευτική πρακτική στα Education Leader Awards 2018. Τηλέφωνο επικοινωνίας : 6977640941 e-mail επικοινωνίας: lagoudakos4@gmail.com