Ordre oper
- 1. www.madariss.fr
ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻹﻋﺩﺍﺩﻴﺔ : ﺤﻤﺎﻥ ﺍﻟﻔﻁﻭﺍﻜﻲ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ : ﺸﻬـﺒﻲ ﻋﺯﺍﻟﺩﻴﻥ
اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت
ﺗﻌﺮﻳﻒ:
aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن
a ≤ bﺗﻌﻨﻲ b − aﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ) أي 0 ≥ ( b − a
a<bﺗﻌﻨﻲ b − aﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ) أي 0 > ( b- a
ﺧﺎﺻﻴﺎت :
Aو bو cو dأﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
1- • a≤a
• إذا آﺎن a ≤ bو b ≤ aﻓﺈن a = b
2 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﺠﻤﻊ:
إذا آﺎن a ≤ bو c ≤ dﻓﺈن a + c ≤ b + d
a ≤ bﻳﻜﺎﻓﺊ a + c ≤ b + c
3 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﻀﺮب :
إذا آﺎن a ≤ bو 0 ≥ cﻓﺈن ac ≤ bc
إذا آﺎن a ≤ bو 0 ≤ cﻓﺈن ac ≥ bc
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ :إذا آﺎن a ≤ bو ﻓﺈن − a ≥ − b
إذا آﺎن ac ≤ bcو 0> cﻓﺈن a ≤ b
إذا آﺎن ac ≤ bcو 0< cﻓﺈن a ≥ b
إذا آﺎن 0 ≤ a ≤ bو 0 ≤ c ≤ dﻓﺈن ac ≤ bd
4 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﻤﻘﻠﻮب :
1 1
إذا آﺎن 0<a≤bأو 0< a≤bﻓﺈن ≥
a b
5 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﻤﺮﺑﻊ و اﻟﺠﺬر اﻟﻤﺮﺑﻊ :
إذا آﺎن 0 ≤ a ≤ bو ﻓﺈن a ≤ b
إذا آﺎن 0 ≤ a ≤ bو ﻓﺈن a ≤ b
2 2
إذا آﺎن 0≤ a≤bﻓﺈن a ≥ b
2 2
6 – اﻟﻤﺠﺎﻻت ﻓﻲ : IR
Aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ . a ≤ b
} ،[a,b]= { x ∈ IR / a≤x≤bﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﻴﻦ aو . b
} ، ]a,b[= { x ∈ IR / a<x<bﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﻗﻄﻌﺎ ﺑﻴﻦ aو b
www.madariss.fr
- 2. www.madariss.fr
ﻣﻼﺣﻈﺔ : } ، [a ,+∞[ = { x ∈ IR / x≥aﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻷآﺒﺮ ﻣﻦ أو ﺗﺴﺎوي .a
x<a<yﺗﺴﻤﻰ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد a اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ
إذا أردﻧﺎ ﺗﺄﻃﻴﺮ x-yﻧﺆﻃﺮ أوﻻ –y
1 x
. ) 0 ≠ ( yﻧﺆﻃﺮ أوﻻ إذا أردﻧﺎ ﺗﺄﻃﻴﺮ
y y
www.madariss.fr
- 3. www.madariss.fr
ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻹﻋﺩﺍﺩﻴﺔ : ﺤﻤﺎﻥ ﺍﻟﻔﻁﻭﺍﻜﻲ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ : ﺸﻬـﺒﻲ ﻋﺯﺍﻟﺩﻴﻥ
ﻧﺼﻮص اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ
1 ( ﺑﺪون اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺤﺴﺒﺔ ﻗﺎرن
ب - 3 9 − و 2 01 − أ- 3 2 و 2 3
د - 7 3 − 5 و 56 − 5 ج - 01 + 2 و 2 2 + 2
3 1
و هـ -
2 +3 2 −3
2 ( ﻗﺎرن ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺤﺴﺒﺔ
أ - 6−5 3 و 2 4−6
ب - 7− 2 5 و 3 4−7
3 ( ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ 2 3 − 5 2 = Aو 01 21 − 93 = B
أ – ﺑﻴﻦ أن 0≥A
ب – ﻗﺎرن 2 Aو Bﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ Aو B
2
4 ( xو yﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ 4≤ 2≤ xو 3≤ -1≤ y
أﻋﻂ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪدﻳﻦ x+yو x-y
5 ( xو yﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ 4≤ 3≤xو 2-≤-4≤y
x
و 2x2 + y أﻋﻂ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻸﻋﺪاد 2x - 3yو
y
6 ( aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ 0> aو 0>b
a + 3b 4a
≥ ﺑﻴﻦ أن
3b a + 3b
7 ( aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ ]2,1[ ∈ aو ]3−,6 −[ ∈ bﻧﻀﻊ 2A = a 2 − b
أ – أﻃﺮ 2 aو 2 bﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد A
ب – أﻃﺮ a+bو a - bﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد . Aﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟
8 6 4 2 9 7 5 3 1
=B × × × و =A × × × × 8 ( ﻧﻀﻊ
9 7 5 3 01 8 6 4 2
ﻗﺎرن Aو Bﺑﺪون ﺣﺴﺎب اﻟﺠﺬاﺋﻴﻦ
9 ( aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ 0<a<b
أ – ﺑﻴﻦ a< ab <b
www.madariss.fr
- 4. www.madariss.fr
2 4 6 98 1 3 5 99
B= × × × ......... × وA = × × × ......... × ب – ﻧﻀﻊ
3 5 7 99 2 4 6 100
1
A< <B ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ أنA<B ﺑﻴﻦ أن
10
www.madariss.fr
- 5. www.madariss.fr
ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻹﻋﺩﺍﺩﻴﺔ : ﺤﻤﺎﻥ ﺍﻟﻔﻁﻭﺍﻜﻲ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ : ﺸﻬـﺒﻲ ﻋﺯﺍﻟﺩﻴﻥ
ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎرﻳﻦ
1 ( أ – اﻟﻌﺪدان ﻣﻮﺟﺒﺎن ﻧﻘﺎرن ﻣﺮﺑﻌﻴﻬﻤﺎ:
3
<
1
إذن 2 × 9 = ) 2 3(
2
3 × 4 = ) 3 2(
2
2 +3 2 −3 81 = 21 =
2 3≤3 2 إذن 81≤21
2 ( ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺤﺴﺒﺔ
ب – ﻧﻘﺎرن أوﻻ : 3 9 و 2 01
ﺛﻢ ﻧﻀﺮب ﻓﻲ 3 أ – ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ 5 ﺛﻢ
و أﺧﻴﺮا ﻧﻄﺮح 6 ) اﺳﺘﻌﻤﺎل - ( ( )
2
2 × 001 = 2 01
2
3 × 18 = 3 9 ) (
002= 342=
و ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 07,0 ≈ 6 − 5 3
342<002 و ﻣﻨﻪ 3 9 < 2 01
ﺛﻢ ﻧﻀﺮب ﻓﻲ 4 و أﺧﻴﺮا ﻧﻄﺮح 6 ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ 2
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 2 01 − < 3 9 −
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﻘﺎﺑﻞ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ و ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 43,0 ≈ 2 4 − 6
إذن 6 − 5 3 < 2 4 − 6 و 2 2 ج - ﻧﻘﺎرن أوﻻ 01
ب – ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
(2 ×4 = 2 2 )
2
) (
2
01 = 01
8=
60170,0 ≈ 7 − 2 5 و 97170,0 ≈ 3 4 − 7
01 < 2 2 إذن
إذن 3 4 − 7 < 7 − 2 5
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 01 + 2 < 2 2 + 2
2 × 9 = ) 2 3(
2
3 ( أ- ﻟﺪﻳﻨﺎ 5 × 4 = ) 5 2(
2
د – ﻧﻘﺎرن أوﻻ 7 3 و 56
81 = 02 =
إذن 2 3 ≥ 5 2
) ( 56 = 56
2 2
7×9= 7 3 ) (
36 =
و ﻣﻨﻪ 0 ≥ 2 3 − 5 2
56 < 7 3 إذن
أي 0 ≥ A
و (
2 3− 5 2 = A
2 2
) ﻟﺪﻳﻨﺎ 7 3 − < 56 − وﻣﻨﻪ
= B
2
) 01 21−93 ( 2 و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 7 3 − 5 < 56 − 5
81 + 01 21 − 02 = ﻧﺤﺬف أوﻻ اﻟﺠﺬر اﻟﻤﺮﺑﻊ ﻣﻦ اﻟﻤﻘﺎم هـ -
01 21 − 93 = 1 2 +3
= 2 +3 =
01 21 − 83 = 2 −3 2−3
و ﻟﺪﻳﻨﺎ 83>93
و ﻣﻨﻪ 01 21 − 83 > 01 21 − 93 3
=
2 −3 3 ( ) 2 3−3 3=
أي 2 B2 ≥ Aو Aو Bﻣﻮﺟﺒﻴﻦ 2 +3 2−3
إذن . B≥A ﻧﺪرس إﺷﺎرة اﻟﻔﺮق
3≤ -1≤ y و 4≤2≤x 4( 3( − 2 3−3 ( ) )
2 −3 − 2 3−3 3= 2 +3
1 ≤ -3≤ -y 3+4 ≤ 2 -1≤ x+yو إذن 2 4−3 2=
7≤ 1≤ x+y أي
www.madariss.fr
- 6. www.madariss.fr
وﻣﻨﻪ 4 +1 ≤ 2 - 3≤ x – y
أي 5 ≤ -1≤ x – y
3 × 4 = ) 3 2(
2
ﻟﺪﻳﻨﺎ 2 × 61 = ) 2 4(
2
21 = 23 =
إذن 2 4 < 3 2 أي 0 < 2 3 − 3 2
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 2 + 3 < 2 3 − 3 3
7 ( أ - ]2,1[ ∈ aﻳﻌﻨﻲ أن 2≤1≤a و 2- ≤ -4 ≤ y 4≤ 3≤ x 5(
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 2 ≤ 1 ≤ a
2 2 2 ﻟﻨﺆﻃﺮ ) 2x-3yﻧﺄﻃﺮ 2xو ( -3y
4 ≤ 2 (1) 1 ≤ a أي 8 ≤ 6 ≤ 2x
]3−,6 −[ ∈ bﻳﻌﻨﻲ أن 3-≤-6≤b 21≤ 6 ≤ -3y
6≤3≤-b إذن
إذن 21+8 ≤ 6+6 ≤ 2x-3y
أي 02 ≤ 12 ≤ 2x - 3y
6 ≤ ) 3 ≤ (− b
2 2 2
و ﻣﻨﻪ
1 1 x
63 ≤ 29 ≤ b أي − ( ﺛﻢ ) ﻧﺄﻃﺮ ﻟﻨﺆﻃﺮ
y y y
9− ≤ (2) − 36 ≤ − b
2
أي
4≤3≤x
9 − 4 ≤ 1 − 36 ≤ a − b
2 2
ﻣﻦ )1( و )2( : 1 1 1 1 1 1
5-≤ ) -35≤Aأ( أي ≤ −≤ − ≤ ≤ − إذن
4 2 y 2 y 4
2≤1≤a ب-
1 1 1
3-≤-6≤b ×4 ≤ ) − (× 3× ≤ x إذن
3-2≤1-6≤a+b إذن 4 y 2
1-≤-5≤a+b أي 3 x
2≤ −≤ أي
6≤3≤-b وآﺬﻟﻚ 4 y
6+2≤1+3≤a-b إذن x 3
8≤4≤a-b أي − ≤ ≤2− و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
y 4
1-≤-5≤a+b ﻟﺪﻳﻨﺎ
ﻟﻨﺄﻃﺮ ) x 2 + yﻧﺄﻃﺮ 2 xو ( y
2 2
5≤)1≤-(a+b إذن
8≤4≤a-b و ﻟﺪﻳﻨﺎ 2− ≤ − 4 ≤ y 4≤3≤x
أي 8 × 5 ≤ ) 1 × 4 ≤ −(a + b )(a − b 4 ≤ 2 ≤ −y إذن 4≤ 3 ≤x
2 2 2
إذن
04 ≤ ) 24 ≤ −(a 2 − b
4 ≤ ) 2 ≤ (− y
أي 2 2 2
و ﻣﻨﻪ أي 61 ≤ 2 (1) 9 ≤ x
أي 4− ≤ − 40 ≤ a − b
2 2
61 ≤ (2) 4 ≤ y
2
أي
4-≤) -40≤Aب( و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
61 + 61 ≤ 9 + 4 ≤ x 2 + y
2
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺘﺄﻃﻴﺮ )أ( أدق ﻣﻦ اﻟﺘﺄﻃﻴﺮ )ب( وﻣﻦ )1( و )2(
ﻷن دﻗﺔ اﻟﺘﺄﻃﻴﺮ )أ( ﺗﺴﺎوي 03=)53-(-5- أي 23 ≤ 13 ≤ x 2 + y
2
ودﻗﺔ اﻟﺘﺄﻃﻴﺮ )ب( ﺗﺴﺎوي 63=)04-(-4- و 63 < 03
6( 0>aو0>b
1 2
) ﻧﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻤﺘﻔﺎوﺗﺎت ( < 8 ( ﻟﺪﻳﻨﺎ a + 3b 4a
2 3 ≥ ﻧﺒﻴﻦ أن :
3b a + 3b
3 4
< a + 3b 4a
4 5 − ﻧﺪرس إﺷﺎرة اﻟﻔﺮق
3b a + 3b
5 6
< a + 3b
−
4a
=
(a + 3b )2 − 3b × 4a
6 7
7 8 3b a + 3b ) 3b(a + 3b
< a + 9b + 6ab − 12ab
2 2
8 9 =
) 3b(a + 3b
www.madariss.fr
- 7. www.madariss.fr
9 a + 9b − 6ab
2 2
1< =
01 ) 3b(a + 3b
ﻧﻀﺮب اﻟﻤﺘﻔﺎوﺗﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻃﺮﻓﺎ ﺑﻄﺮف
=
2) (a −3b
8 6 4 2
< × × × ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ) 3b(a + 3b
9 7 5 3
ﻟﺪﻳﻨﺎ 0 ≥ ) (a − 3bو 0>)3b(a+3b
2
9 7 5 3 1
× × × × a + 3b 4a
01 8 6 4 2 − إذن 0 ≥
أي A<B 3b a + 3b
a + 3b 4a
≥ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
3b a + 3b
9 ( أ – ﻟﺪﻳﻨﺎ ، 0<a<bإذن : 0<a²<abو ²0<ab<b
< 0 < aو 0 < ab < b و ﻣﻨﻪ ab
a< ab <b إذن :
1 2
< ب – ﻣﺜﻞ 8 ﻟﺪﻳﻨﺎ
2 3
3 4
<
4 5
.<.
.<.
79 89
<
89 99
99
1 <
001
وﺑﻀﺮب اﻟﻤﺘﻔﺎوﺗﺎت ﻃﺮﻓﺎ ﺑﻄﺮف ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
3 1 99 4 2 89
× ........... × × × ........... × × <
4 2 001 5 3 99
أي A<B
1
< Aﻧﺤﺴﺐ أوﻻ A × B ﻟﻜﻲ ﻧﺒﻴﻦ أن : < B
01
3 1 4 2 99 89
=A×B × ....... × × × ......... × × ×
4 2 5 3 001 99
3 2 1 99 89
× × ................ × × × =
4 3 2 001 99
1
=
001
ﻟﺪﻳﻨﺎ 0<A<B
إذن ﺣﺴﺐ أ-
A< AB <B
www.madariss.fr
- 8. www.madariss.fr
1
<A أي <B
001
1
<A أي < B
01
ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻹﻋﺩﺍﺩﻴﺔ : ﺤﻤﺎﻥ ﺍﻟﻔﻁﻭﺍﻜﻲ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ : ﺸﻬـﺒﻲ ﻋﺯﺍﻟﺩﻴﻥ
www.madariss.fr
![www.madariss.fr
ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﺍﻹﻋﺩﺍﺩﻴﺔ : ﺤﻤﺎﻥ ﺍﻟﻔﻁﻭﺍﻜﻲ ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ : ﺸﻬـﺒﻲ ﻋﺯﺍﻟﺩﻴﻥ
اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت
ﺗﻌﺮﻳﻒ:
aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن
a ≤ bﺗﻌﻨﻲ b − aﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ) أي 0 ≥ ( b − a
a<bﺗﻌﻨﻲ b − aﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ) أي 0 > ( b- a
ﺧﺎﺻﻴﺎت :
Aو bو cو dأﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
1- • a≤a
• إذا آﺎن a ≤ bو b ≤ aﻓﺈن a = b
2 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﺠﻤﻊ:
إذا آﺎن a ≤ bو c ≤ dﻓﺈن a + c ≤ b + d
a ≤ bﻳﻜﺎﻓﺊ a + c ≤ b + c
3 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﻀﺮب :
إذا آﺎن a ≤ bو 0 ≥ cﻓﺈن ac ≤ bc
إذا آﺎن a ≤ bو 0 ≤ cﻓﺈن ac ≥ bc
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ :إذا آﺎن a ≤ bو ﻓﺈن − a ≥ − b
إذا آﺎن ac ≤ bcو 0> cﻓﺈن a ≤ b
إذا آﺎن ac ≤ bcو 0< cﻓﺈن a ≥ b
إذا آﺎن 0 ≤ a ≤ bو 0 ≤ c ≤ dﻓﺈن ac ≤ bd
4 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﻤﻘﻠﻮب :
1 1
إذا آﺎن 0<a≤bأو 0< a≤bﻓﺈن ≥
a b
5 – اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ و اﻟﻤﺮﺑﻊ و اﻟﺠﺬر اﻟﻤﺮﺑﻊ :
إذا آﺎن 0 ≤ a ≤ bو ﻓﺈن a ≤ b
إذا آﺎن 0 ≤ a ≤ bو ﻓﺈن a ≤ b
2 2
إذا آﺎن 0≤ a≤bﻓﺈن a ≥ b
2 2
6 – اﻟﻤﺠﺎﻻت ﻓﻲ : IR
Aو bﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺑﺤﻴﺚ . a ≤ b
} ،[a,b]= { x ∈ IR / a≤x≤bﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﻴﻦ aو . b
} ، ]a,b[= { x ∈ IR / a<x<bﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﻗﻄﻌﺎ ﺑﻴﻦ aو b
www.madariss.fr](https://image.slidesharecdn.com/ordreoper-120603145435-phpapp02/85/Ordre-oper-1-320.jpg)
