Geometrie diferen ială An.1 Sem.2 MI – Info
A   Curbe Plane
B   Curbe in spatiu                          Grila actuala
C  ...
Curba de ecuatie:
E   3                            ( C ) : ρ = a (1 + cos α )                                      F
     ...
Curba definită parametric prin ecua iile:
                                                     x = r cos θ
              ...
Curba stramba a carei reprezentare parametrica este
                                                  x = r ⋅ cos t

H 22...
Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste
A 59
        ……………..…SEGMENT           ...
Ecuatiile:
                                   x = R cos α sin β
                                  
G   2                ...
Elementul de arc pe curba:
                                              x = a cos θ
                                    ...
Eliminând parametrul t între ecua iile curbei:
                                                           x = r cos 2 t
 ...
Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ∈ ( C ) un punct izolat (vezi figura ).




A 20                           ...
Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar M ( x, y, z ) un punct arbitar pe (C). Numarul

                           ...
 p 
        Fie curba    ( C ) y 2 = x3 + px,              3 , 0  un punct singular al curbei. Atunci:
               ...
Fie curba (C) definita implicit de ecua ia: (C): F(x,y) = 0 şi M ( x0 , y0 ) ∈ » un punct singular.
        Atunci:

     ...
Fie curba ( C ) : ρ = a cos nθ , n ∈ » . Notăm S n - lungimea segmentului subnormală polară şi R -
                       ...
Fie curba de ecuatie:
                                          (C):x4+2ax2y−ay3 =0
        Să se stabileasca care dintre ...
Fie curba de ecuatii parametrice:
                                         x = x (t )
                                   ...
Fie curba de ecua ii parametrice:
                                                       1
                              ...
Fie curba de ecua ii:
                                                    x2 + z 2 − 4 = 0
                              ...
Fie curba plana:
                                                     (C) : F(x,y) ≡x3+xy2+xy+y3−2x2−2y2=0
A 88
        At...
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu                 τ    respectiv b versul tangentei
...
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam :

        {τ , n, b} - versorii triedrului lui Fren...
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:

                                                             ...
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:

                                          x = x (t )
       ...
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:

                                   x = x (t )
              ...
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:

                                       x = x (t )
          ...
Fie curba:
                                                                t3 
                                        ...
2         3
       Fie curbura ( C ) : y = x + px, p ∈ » . Să se determine punctele singulare ale curbei


              ...
Fie elicea circulară:
                       ( C ) : x = a cos t , y = a sin t , z = bt
       Să se scrie ecua iile tange...
Fie o curba definita prin coordonatele sale polare:   ρ = ρ (α ) şi un punct regulat M   situat pe curba (vezi
       figu...
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

1,800 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,800
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
34
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Arhiva 2008 Geometrie Diferentiala Completa Alfabetic

  1. 1. Geometrie diferen ială An.1 Sem.2 MI – Info A Curbe Plane B Curbe in spatiu Grila actuala C Suprafete D Prima grila (157 subiecte) E Grila 2007 - Curbe plane - True / False F Grila 2007 - Curbe strimbe - True / False G Grila 2007 - Suprafete - True / False H Grila 2007 - Completion Autor: Cris_43 – Deva Anul I. MI – Informatica, naerpo@xnet.ro Cercul cu centrul în origine şi de raza r scris în coordonate polare are ecua ia A 1 a a. p=r b. x = p cos t , y = p sin t (t ∈ ») Conditia de ...........................ORTOGONALITATE....................... a doua curbe ( γ 1 ) şi (γ 2 ) pe o suprafata r = r ( u, v ) C 25 este: Eduδ u + F ( duδ v + dvδ u ) + Gdvδ u = 0 Curba (C) de ecua ie: ( C ) : x = 1 + t 3 , y = t 2 + t 3 , z = 5t 2 + 2t 2 + 3, t ∈ » este: D 103 c a. situată în planul: x + 8 y − 10 z − 3 = 0 c. situată în planul: 3x + 2 y − z = 0 b. tangenta la planul: 3 x + 2 y + z − 1 = 0 d. tăiată de planul: 3 x + 2 y − z = 0 în două puncte.  x = r cos θ  Curba (C) definită prin ecua iile parametrice:  y = r sin θ este o: D 85  z = kθ  b a. elipsă în spa iu. c. elice conică. b. elice circulară. d. altă curbă din spa iu. Curba a carei ecuatie implicita este: 2 2 2 A 41 (C ) : x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0) se numeste ……………..…ASTROIDA……………..… Curba a carei ecuatie implicita este: 2 2 2 H 197 (C ) : x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0) se numeste .....................ASTROIDA..................... Curba de ecuatie ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) reprezinta A 4 c a. un cerc scris în coordonate b. un lantisor c. o cardioida a polare şi de raza 2 1
  2. 2. Curba de ecuatie: E 3 ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) F este numita (se numeste) si cicloida. Curba de ecuatie: E 6 ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) T este numita (se numeste) si cardioida. Curba de ecuatie:  ρ = at  B 34 z = 0 reprezinta ......................SPIRALA LUI ARHIMEDE...................... Curba definita de ecuatiile parametrice:  x = a ( t − sin t )  E 2 (C ) :  F  y = a (1 − cos t )  se numeste cisoida. Curba definita de ecuatiile parametrice:  x = a ( t − sin t )  E 4 (C ) :  T  y = a (1 − cos t )  se numeste cicloida. Curba definita parametric de ecuatiile:  x = at cos t ( C ) :  y = at sin t , t ∈ [0, 2π ]  B 2  z = bt  c reprezintă: a. o elipsă în spa iu. c. o elice conica. b. o elice circulara. d. altă curba în spa iu.  x = r cos θ  Curba ( C ) definita prin ecuatiile parametrice:  y = r sin θ este o: B 1  z = kθ  b a. elipsă în spa iu. c. elice conica. b. elice circulara. d. altă curba din spa iu. Curba definită parametric de ecua iile:  x = at cos t ( C ) :  y = at sin t , t ∈ [0, 2π ]  D 88  z = bt  c reprezintă: a. o elipsă în spa iu. c. o elice conică. b. o elice circulară. d. altă curbă în spa iu. 2
  3. 3. Curba definită parametric prin ecua iile:  x = r cos θ ( C )  y = r sin θ  D 136  z = kθ  c reprezinta o: a. spirală logaritmică c. elice circulară b. elice conica d. cerc în spa iu. Curba în spa iu: ( C ) : x = 3 + 2t + 4t 3 , y = 4 + 3t + 2t 3 , z = 2 + 4t + 3t 3 , t ∈ » este situată întrun plan ( P ) de ecua ie: D 102 b a. 10 x + y − 8 z − 27 = 0 c. 10 x − y + 8 z − 27 = 0 b. x + 10 y − 8 z + 27 = 0 d. x − 10 y + 8 z − 27 = 0 Curba lui Viviani, definită implicit de ecua iile:  2 2 2 2 x + y + z − r = 0 (C )  2 2  x + y − rx = 0  admite reprezentarea parametrică:  x = r cos t  x = r sin t cos t D 135   2 b a.  y = r sin t cos t , t ∈ [ 0, 2π ] c.  y = r sin t , t ∈ [ 0, 2π ]  z = r sin t  z = r cos t    x = r cos 2 t  x = r sin 2 t   b.  y = r sin t cos t , t ∈ [ 0, 2π ] d.  y = r sin t cos t , t ∈ [ 0, 2π ]  z = r sin t  z = r sin t   H 198 Curba plana a carei .....................CURBURA.....................constanta este un cerc. A 42 Curba plana a carei ……………..…CURBURA……………..… constanta este un cerc. Curba stramba a carei ecuatie implicita este  x2 + y 2 − r 2 = 0 H 213 (C ) :  z = 0 reprezinta un .....................CERC..................... Curba stramba a carei reprezentare parametrica este  x = at ⋅ cos t ( C ) :  y = at ⋅ sin t  (t ∈ » ) H 216  z = bt  ste o elice .....................CONICA..................... 3
  4. 4. Curba stramba a carei reprezentare parametrica este  x = r ⋅ cos t H 224 ( C ) :  y = r ⋅ sin t  ( t ∈ » ) (C):  z = kt  este o elice ……………CIRCULARA………............. Curba strimba a carei ecuatie implicita este:  x2 + y 2 − r 2 = 0 B 18 (C ) :  z = 0 reprezinta un ......................CERC...................... Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:  x = at cos t B 16 ( C ) :  y = at sin t , ( t ∈ » )   z = bt  este o elice ......................CONICA...................... Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:  x = r cos t B 17 ( C ) :  y = r sin t , ( t ∈ » )   z = kt  este o elice ......................CIRCULARA...................... Curbe de ecuatie implicita  x2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 B 33  z = 0 este un ......................CERC...................... Curbele ( C1 ) şi ( C2 ) admit în punctul M un contact de ordinul n, dacă cele două curbe au (n +1) puncte A 100 ……………..…CONFUNDATE……………..… A 98 Curbele plane a căror curbură este constantă sunt ……………..…CERCURI……………..…. A 91 Curbura cercului de raza 1/2 este ……………..…2……………..… 1 B 32 Curbura unui cerc de raza este egala cu ......................4...................... 4 1 Daca în punctul M (x,y) ∈ (C): F ( x, y ) = 0, F ∈ C ( D ) , D ⊂ »2 2 A 48 ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ < 0, 2 2 atunci M se numeste ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… al curbei. C 38 Dacă normala în punctul curent al unei suprafe e păstrează direc ia fixă, suprafa a este un …....…PLAN……… Determinati punctele singulare ale curbei ( C ) : y 2 − ( x − 2 )( x − 1) = 0 A 14 şi sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare. b a. A ( 0, 2 ) y = x ± 2 b. A ( 0, 2 ) y = ± ( x − 2 ) 4
  5. 5. Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste A 59 ……………..…SEGMENT TANGENTA……………..… Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) este: G 8 X −x Y −y Z−z T = = p q −1 unde p = z ′ si q = z ′ x y Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) este: G 9 X −x Y −y Z−z F = = p q 1 unde p = z ′ si q = z ′ . x y Ecuatia planului normal la sfera: ( S ) : x2 + y 2 + z3 = R2 G 4 T in punctul M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( S ) este xx0 + yy0 + zz0 = 0 . Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) G 6 este: F p ( X − x ) + q (Y − y ) + ( Z − z ) = 0 unde p = z′ si q = z′ x y Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) G 7 este: T p ( X − x ) + q (Y − y ) − ( Z − z ) = 0 unde p = z′ si q = z′ x y Ecuatia planului tangent la sfera: ( S ) : x2 + y 2 + z3 = R2 G 5 F in punctul M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( S ) este xx0 + yy0 + zz0 = R 2 . Ecuatiile:  x = R cos α sin β  G 1  y = R sin α sin β (α ∈ [0, π ) , β ∈ [0, 2π ]) T  z = R cos β  constituie o reprezentare parametrica a unei sfere. 5
  6. 6. Ecuatiile:  x = R cos α sin β  G 2  y = R sin α sin β (α ∈ [0, π ) , β ∈ [0, π ]) F  z = R cos β  constituie o reprezentare parametrica a unei semi-sfere. Ecua ia tangentei la curba  x = et cos t A 53 (C ) :    y = e sin t t  în punctul A(1,0).este ……………..…X - y - 1 = 0……………..… Ecua ia: (Y − y ) Fy′ + ( X − x ) Fx′ = 0 A 52 reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… la o curba regulata F ( x, y ) = 0 , dusa printr-un punct ( x, y ) al curbei. Elementul de arc al curbei circulare:  x = a ⋅ cos θ ( C ) :  y = a ⋅ sin θ  (θ ∈ [0, 2π ]) F 1  z = kθ F  este ds = 2π a 2 + k 2 Elementul de arc al curbei circulare:  x = a ⋅ cos θ ( C ) :  y = a ⋅ sin θ  (θ ∈ [0, 2π ]) F 2  z = kθ T  este ds = 2π a 2 + k 2 dθ Elementul de arc al curbei: ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) E 10 este: T α ds = 2a cos dα 2 Elementul de arc al curbei: ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) E 9 este: F 2 α ds = 2a cos dα . 2 6
  7. 7. Elementul de arc pe curba:  x = a cos θ ( C ) :  y = a sin θ , t ∈ [0, 2π ]   z = kθ D 141  c este: a. ds = a 2 − k 2 dθ c. ds = a 2 + k 2 dθ 1 b. ds = a 1 + k 2 dθ d. ds = 1 + k 2 dθ a Elementul de arc pe elicea conică:  x = at cos t ( C )  y = at sin t   z = bt  D 139 este: d a. ds = a 2t 2 + b 2 dt c. ds = a + b 2t 2 dt b2 b. ds = t 2 + dt d. ds = a 2 + t 2 + b 2 dt a2 Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie: E 12 ( C ) : y = chx T este: ds = chx . Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie: E 11 ( C ) : y = chx F este: ds = shx . Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba: x = t +1  ( C )  y = t 2 + t + 2 obtinem ecuatiile implicite ale curbei:  z = −t 2 + 2  D 143 b  x + ( z − 1)2 − 2 = 0   x 2 + 2 ( z − 1) − y = 0 a. ( C )  c. (C )   x − y − z − 3 = 0  x − y − z = 0   z + 2 ( x − 1)2 − 2 = 0   x + ( y − 1)2 − 2 z = 0  b. ( C) d. ( C) x − y − z + 3 = 0  x − y − z + 3 = 0  7
  8. 8. Eliminând parametrul t între ecua iile curbei:  x = r cos 2 t  ( C ) :  y = r sin cos t  z = r sin t  să se scrie ecua iile curbei (C) sub formă implicită. D 84 b x + y − z − r = 0  2 2 2 2  2 2  x + y − ry = 0 a.  2 2 2 c.  2 2  x + y + z − rx = 0   x + y − rz = 0   x2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0   2 2 2  x + y + z − rx = 0 b.  2 2 d.  2 2 2  x + y − rx = 0   x + y + z − rz = 0  Eliminând parametrul ϕ între ecua iile parametrice ale curbei:  x = 2a sin 2 ϕ (C )   sin 3 ϕ (cisoida lui Diocles)  y = 2a  cos ϕ D 21 se ob ine ecua ia curbei sub formă implicită: b a. y ( x 2 + y 2 ) − 2ax 2 = 0 c. x ( x2 + y 2 ) + a2 ( x2 − y 2 ) = 0 b. x ( x 2 + y 2 ) + 2ay 2 = 0 d. x ( x 2 + y 2 ) − 2ay 2 = 0 C 32 Elipsoidul este o suprafata ……………………..…REGULATA………….. Fie ( S ) datã de ecua ia explicitã: ( S ) : z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D ⊂ » 2 C 21 Coeficientii lui ………....GAUSS...................... se scriu sub forma: E = 1 + p 2 , F = pq, G = 1 + q 2 Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ∈ ( C ) a.i prin M trec două ramuri ce admit tangente distincte în acest punct (vezi figura ). A 19 a Atunci: 2 2 2 a. ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ > 0 2 2 b. ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ = 0 2 2 c. ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ < 0 2 2 8
  9. 9. Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ∈ ( C ) un punct izolat (vezi figura ). A 20 a Atunci: 2 2 2 a. ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ < 0 2 2 b. ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ = 0 2 2 c. ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′ > 0 2 2 Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana şi M ( x, y ) un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie: A 82 ( X − x ) Fy′ − (Y − y ) Fx′ = 0 se numeste ……………..…NORMALA……………..… la curba dusa prin punctul M 3 Fie ( S ) ⊂ » o suprafata reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbe coordonate este dat de relatia: C 29 F cos α = . EG Condtia de ortogonalitate a curbelor este …………..…F = 0…………... Fie ( C ) un arc de curbă plana, iar 1 def ε = lim , R ∆x → 0 ∆s unde ε are semnificatia din figura alaturata A 90 ε Atunci, reprezinta ……………..…ABATEREA UNITARA……………..… ∆s Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar M ( x, y, z ) un punct arbitar pe (C). Numarul r ′ × r ′′ B 39 3 r′ defineste ............................CURBURA......................... curbei 9
  10. 10. Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar M ( x, y, z ) un punct arbitar pe (C). Numarul ( r′ × r′′) ⋅ r′′′ B 40 2 r ′ × r ′′ defineste ……………….....TORSIUNEA...................... curbei Fie ( C ) : r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j + ( 4t ) k , o curba definita prin ecuatia sa vectorială şi  π M o  t =  un punct pe aceasta curbă. Atunci ecua iile tangentei si planului normal sunt respectiv:  4 X − 2 Y − 2 Z −π a. = = si 2 X − 2Y + 4 Z − 4π = 0 2 − 2 4 D 151 X − 2 Y − 2 Z −π b b. = = si − 2 X + 2Y + 4 Z − 4π = 0 − 2 2 4 X − 2 Y − 2 Z −π c. = = si X + Y + 2 Z − 2π = 0 1 1 2 π Z− X − 3 Y −1 4 si d. = = 2 X − 2Y + 4 Z − 2π = 0 2 − 2 4 Fie AB un segment de lungime AB=k (const), care se deplasează sprijinindu-se cu capătul A pe axa OX şi cu capătul B pe axa OY . Să se afle înfăşurătoarea familiei de drepte AB . 2 2 2 x D 73 a. y = ach c. x3 + y3 = k 3 a a 3 3 3  x = a cos 2 t  b. x2 + y2 = k 2 d.  3 , t ∈»  y = a sin t   x = ρ cos θ Fie arcul de curba: ( C ) :  ρ > 0, θ ∈ [ 0, π ] E 1  y = ρ sin θ T Atunci elementul de arc pe curba este: ds = ρ ′2 + ρ 2 . Fie arcul de curbă regulat, definit parametric de ecuatiile: x = x (t ) , y = y (t ) A 51 Atunci derivatele de ordinul intai x ( t ) , y ( t ) calculate intr-un punct arbitrar al curbei reprezinta t t ……………..…PARAMETRII DIRECTORI……………..… ai tangentei Fie conica: ( C ) : F ( x, y ) ≡ a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 A 89 Atunci, un punct M ( x, y ) ∈ ( C ) este un punct singular doar daca conica este ……………..…DEGENERATA……………..… 10
  11. 11.  p  Fie curba ( C ) y 2 = x3 + px,  3 , 0  un punct singular al curbei. Atunci: p ∈ » şi fie A   b D 47   a. A este punct de întoarcere pentru p < 0 c. A este punct dublu pentru p < 0 b. A este nod pentru p > 0 d. A este punct izolat pentru orice p > 0. Fie curba ( C ) de ecua ii parametrice:  x = a cos θ ( C ) :  y = a sin θ   z = bθ  Atunci versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru θ =0 sunt: aj − bk bj + ak D 147 a. τ ( A) = , n ( A) = i , b = c 2 2 a +b a 2 + b2 aj + bk −bj + aj b. τ ( A) = i , n ( A) = , b= a 2 + b2 a 2 + b2 aj + bk −bj + ak c. τ ( A) = , n ( A) = , b = −i a 2 + b2 a 2 + b2 ai − bj aj + bj d. τ ( A) = , n ( A) = , b = −i 2 2 a +b a 2 + b2 Fie curba ( C ) definită implicit de ecua ia: ( C ) : F ( x, y ) = 0 şi M ( x0 , y0 ) ∈ » un punct singular. Atunci: 2 a. M este nod dacă ( Fxy ) − Fxx Fyy < 0 în M ′′ ′′ ′′ D 49 2 b b. M nu un punct izolat dacă ( Fxy ) − Fxx Fyy = 0 în M ′′ ′′ ′′ c. Prin M trec două ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct 2 ( ) − ( F ′′ ) ( F ′′ ) = 0 în M ′′ dacă Fxy xx yy d. Toate variantele de mai sus sunt adevărate Fie curba ( C ) definită în coordonate polare de ecua ie: ( C ) ρ = ρ (θ ) – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Să se scrie ecua iile tangentei (t ) şi normalei (n) la curba ( C ) în punctul curent ρ tgθ 2 ρ ′ ⋅ tgθ a. (t ) : Y − y = ( X − x) c. (t ) : Y − y = ( X − x) ρ ′ − ρ tgθ ρ ′ − tgθ D 15 ρ tgθ − ρ ′ tgθ − ρ ′ b ( n) : Y − y = ( X − x) ( n) : Y − y = ′ ( X − x) ρ tgθ 2 ρ tgθ ρ ′tgθ + ρ b. (t ) : Y − y = ′ ( X − x) d. ( t ) : Y − y = ρ ′tgθ ( X − x ) ρ − ρ tgθ ρ tgθ − ρ ′ 1 ( n) : Y − y = ′ ( X − x) ( n) : Y − y = ( X − x) ρ tgθ + ρ ρ ′tgθ 11
  12. 12. Fie curba (C) definita implicit de ecua ia: (C): F(x,y) = 0 şi M ( x0 , y0 ) ∈ » un punct singular. Atunci: 2 a. M este nod daca ( Fxy ) − Fxx Fyy < 0 în M ′′ ′′ ′′ A 29 2 b b. M nu un punct izolat daca ( Fxy ) − Fxx Fyy = 0 în M ′′ ′′ ′′ c. Prin M trec doua ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct 2 daca ( Fxy ) − ( Fxx ) ( Fyy ) = 0 în M ′′ ′′ ′′ d. Toate variantele de mai sus sunt adevarate Fie curba (C) definita în coordonate polare de ecuatie: (C) ρ = ρ (θ ). Notam V - unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci: A 24 c 1 1 ρ ρ′ a. tgV = b. tgV = c. tgV = d. tgV = ρ ρ′ ρ′ ρ Fie curba ( C ) : x = t cos ( a ln t ) , y = t sin ( a ln t ) , z = bt , atunci binormala ( Bn ) într-un punct ( x, y, z ) ∈ ( C ) are ecua iile: X − t cos ( a ln t ) Y − t sin ( a ln t ) Z − bt ( Bn ) : = = , unde: A B C ab a. A=  a sin ( a ln t ) + cos ( a ln t )  t   ab B=  a cos ( a ln t ) − a sin ( a ln t )  t   a C = (1 + a 2 ) t ab b. A=  a sin ( a ln t ) − cos ( a ln t )  t   ab B=  a cos ( a ln t ) + a sin ( a ln t )  D 118 t   b a C = (1 + a 2 ) t ab c. A=  a cos ( a ln t ) − a sin ( a ln t )  t   ab B=  cos ( a ln t ) + a sin ( a ln t )  t   ab C = (1 + a 2 ) t ab d. A= sin ( a ln t ) + t cos ( a ln t )  t   ab B= t cos ( a ln t ) − sin ( a ln t )  t   ab C = (1 + a 2 ) t 12
  13. 13. Fie curba ( C ) : ρ = a cos nθ , n ∈ » . Notăm S n - lungimea segmentului subnormală polară şi R - n n raza de curbură. Atunci: D 45 a R a. S n = ( n + 1) R b. Sn = c. Sn = n2 R d. Sn = R n n +1 Fie curba ( C ) a carei ecuatie vectoriala este ( C ) : r = r ( t ) , t ∈ I . Notam: . .. ... r , r , r - derivatele de ordinul intai, doi, respectiv trei ale vectorului r ( t ) , 1 1 , - curbura respectiv torsiunea curbei. R T F 18 Atunci: F  . .. ...  . .. r,r,r  r× r 1   1 = = R . .. 2 T . 3 r× r r Fie curba de ecuatie implicita: ( C ) : F ( x, y ) = 0 şi M ( a, b ) ∈ ( C ) un punct care satisface conditiile:  F ( a, b ) = 0 A 38  t   Fx ( a, b ) = 0  t  Fy ( a, b ) = 0  Atunci, M se numeste ……………..…PUNCT SINGULAR……………..…al curbei ( C ) Fie curba de ecuatie implicita: ( C ) : F ( x, y ) = 0 si M ( a, b ) ∈ ( C ) un punct care satisface conditiile:  F ( a, b ) = 0 H 212   Fx ( a, b ) = 0   Fy ( a, b ) = 0 Atunci, M se numeste .....................PUNCT SINGULAR..................... al curbei ( C ) . Fie curba de ecuatie: F ( x, y ) = 0 şi M un punct pentru care 2 ( F ′′ ) xy − Fx′′ Fy′′2 > 0, 2 A 13 Atunci b a. M este un punct izolat c. M este un punct regulat b. prin M trec doua ramuri ce admit tangente distincte în acest punct d. M este un punct de intoarcere Fie curba de ecuatie: A 71 (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0 Atunci A ( 2, 0 ) este un punctul singular de tip ……………..…NOD……………..… 13
  14. 14. Fie curba de ecuatie: (C):x4+2ax2y−ay3 =0 Să se stabileasca care dintre afirmatiile de mai jos este adevarata: A 21 e a. Originea este singurul punct regulat d. Originea este un punct dublu b. A ( 2, 0 ) este un punct singular al curbei e. Originea este un punct triplu c. Toate punctele curbei sunt regulate Fie curba de ecuatii parametrice: x = x (t )  (C ) :  ( t ∈ (α , β ) )  y = y (t )  A 35 şi M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie: xt ( X − x ) + y t (Y − y ) = 0 reprezinta ……………..…NORMALA……………..… în punctul curent la curba data Fie curba de ecuatii parametrice: x = x (t )  (C ) :  ( t ∈ (α , β ) )  y = y (t )  A 36 şi M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie: X −x Y −y = t xt y reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… în punctul curent la curba data. Fie curba de ecuatii parametrice: x = x (t )  (C ) :  ( t ∈ (α , β ) )  y = y (t )  A 37 şi M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie: ? X −x Y −y = t − xt y reprezinta ……………..………………..…în punctul curent la curba data. Fie curba de ecuatii parametrice:  x = x (t )  (C )  ( t ∈ (α , β ) )  y = y (t )  H 202 si M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta: x′ ( X − x ) + y ′ ( Y − y ) = 0 este ecuatia .....................NORMALEI..................... in punctul curent la curba data. 14
  15. 15. Fie curba de ecuatii parametrice: x = x (t )  (C ) :  ( t ∈ (α , β ) )  y = y (t )  H 215 si M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta: X −x Y −y = x′ y′ este ecuatia .....................TANGENTEI.....................in punctul curent la curba data. Fie curba de ecua ie: x ( C ) : y = ach , a ≠ 0 (lăn işorul) a 1 Notăm: - curbura curbei şi S n - segmentul normală corespunzătoare unui punct arbitrar pe curbă. D 62 R c Atunci: 1 1 1 2 a. = Sn b. = 2Sn c. Sn = const d. Sn = R R R R Fie curba de ecua ie: ( C ) : ρ = aeka , (spirala logaritmică) 1 Notăm: - curbura curbei şi S n - segmentul normală corespunzător unui punct arbitrar pe curbă. D 63 R c Atunci: 1 1 1 2 a. = Sn b. = 2Sn c. Sn = const d. Sn = R R R R Fie curba de ecua ii parametrică: x = t +1  (C )  y = t 2 + t + 2 z = 2 − t2  D 144 c atunci ecua ia planului osculator într-un punct arbitrar situat pe curba ( C ) este: a. ( 2 − t ) x + y − tz − 2 = 0 c. x− y− z +3= 0 b. tx + ( t − 1) y − z + 2t = 0 d. 2 x − y + z − 3t = 0 15
  16. 16. Fie curba de ecua ii parametrice:  1  x= t  1 (C )  y = 2 ( )   t z = t2   Atunci: D 148 a. ( C ) este o curba plană d 1 2t 2 + 1 b. curbura curbei este = R ( 3t 4 + 24t 5 + 1)3/2 1 4 + 5t 2 c. torsiunea curbei este = T ( 3t 4 + 24t 5 + 1)2 d. Td 2 = constant, unde d este distanta de la originea axelor de coordonate la planul osculator într-un punct M ( t ) ∈ ( C ) Fie curba de ecua ii parametrice:  x = t cos ( a ln t )  ( C )  y = t sin ( a ln t )  z = bt  Atunci binormala in punctul curent are ecuatia: X − t sin ( a ln t ) Y − t cos ( a ln t ) Z − bt a. = = ab ab a  t (1 + a t ) 2  ab sin ( a ln t ) − ab cos ( a ln t )     a cos ( a ln t ) − cos ( a ln t )   D 146 t t b X − t cos ( a ln t ) Y − t sin ( a ln t ) Z − bt b. = =  a cos ( a ln t ) + a sin ( a ln t )  t (1 + a ) ab ab 2  ab sin ( a ln t ) − cos ( a ln t )      t t X − at ln t Y − a ln t Z − bt c. = = 2 2 ab  abt sin ( a ln t ) − abt cos ( a ln t )  ab  abt cos ( a ln t ) − abt sin ( a ln t )  ( a + t )     X + t sin ( a ln t ) Y + t cos ( a ln t ) Z + bt d. = = ab ab a  ab sin ( a ln t ) + ab cos ( a ln t )  t    ab cos ( a ln t ) + ab sin ( a ln t )  t   t (1 + a 2 ) Fie curba de ecua ii parametrice: 1+ t 1 t (C ) : x = , y= 2 , z= , t ∈ » {±1} 1− t 1− t 1+ t şi planul (P) de ecua ie: ( P ) : x2 − 4 y + 2 z + 3 = 0 D 89 atunci: b  1  a. curba în eapă planul în punctul A  1, − , −3  c. curba este con inută în plan.  2  b. planul este tangent la curbă în punctul M (1,0, −2) d. tangenta la curbă în punctul curent are direc ia normală a planului. 16
  17. 17. Fie curba de ecua ii:  x2 + z 2 − 4 = 0 (C ) :   2 2 x + y − 4 = 0  atunci, ecua ia tangentei ( t ) şi ecua ia planului normal ( Pn ) în punctul M 0 ( ) 3,1,1 sunt respectiv: X − 3 Y −1 Z −1 a. (t ) : = = , ( n ) : 3 X + 3Y − Z − 1 = 0 3 3 1 D 111 d X − 3 Y −1 Z −1 b. ( t ) : = = , ( n ) : 3 X + Y − 3Z − 1 = 0 3 1 3 X − 3 Y −1 Z −1 c. (t ) : = = , ( n ) : X + 3Y + 3Z − 3 = 0 1 3 3 X − 3 Y −1 Z −1 d. (t ) : = = , ( n ) : X − 3Y − 3Z + 3 = 0 −1 3 3 Fie curba ( C ) definită în coordonate polare de ecua ie: ( C ) ρ = ρ (θ ) – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Notăm V - unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci D 14 c 1 1 ρ ρ′ a. tgV = b. tgV = c. tgV = d. tgV = ρ ρ′ ρ′ ρ Fie curba în spa iu: ( C ) : r ( t ) = 2ti + t 2 j + ( ln t ) k , t > 0 Să se calculeze versorul tangentei δ , în punctul P ( 2,1, 0 ) şi ecua ia tangentei la curbă în acest punct. 2 2 1 X − 2 Y −1 Z a. δ = i+ j + k si (T ) : = = 3 3 3 2 2 1 D 132 a X − 2 Y −1 Z b. δ = 2i + 2 j + k si (T ) : = = 2 2 1 1 X − 2 Y −1 Z c. δ = i + j + k si (T ) : = = 2 2 1 2 2 2 1 X − 2 Y −1 Z d. δ = i + j − k si (T ) : = = 3 3 3 2 2 −1 Fie curba plana reprezentata cartezian de ecua ia ( C ) : F ( x, y ) = 0, ( x, y ) ∈ D ⊂ » 2 1 unde F ∈ C ( D ) . În acest caz, solutiile sistemului  F ( x, y ) = 0 A 12  a  Fx′ ( x, y ) = 0  ′  Fy ( x, y ) = 0 se numesc puncte a. singulare b. regulate c. izolate 17
  18. 18. Fie curba plana: (C) : F(x,y) ≡x3+xy2+xy+y3−2x2−2y2=0 A 88 Atunci, punctul originea este un ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… pentru curba data. Fie curba plana: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0 A 86 Atunci, punctul A ( 2, 0 ) este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data. Fie curba plana: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0 A 87 Atunci, punctul A ( 2, 0 ) este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data. 3 2 2 3 2 2 Fie curba plană ( C ) : F ( x, y ) ≡ x + xy + yx + y − 2 x − 2 y = 0 Să se stabilească punctele singulare ale curbei. D 54 d a. O(0,0), punct izolat. c. B(−1,−1) , punct singular de tip nod. b. A(1,1) , punct dublu. d. altă variantă. r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul τ = se numeste versorul F 10 r F binormalei la curba in punctul curent pe curba. . r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul τ = . se numeste versorul F 11 r T tangentei la curba in punctul curent pe curba. r ×r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul b = se numeste H 225 r ×r versorul .....................BINORMALEI..................... la curba in punctul curent pe curba. r ×r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul b = se numeste F 12 r ×r F versorul tangentei la curba in punctul curent. r ×r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul b = se numeste F 13 r ×r T versorul binormalei la curba in punctul curent. r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul τ = se numeste versorul H 214 r .....................TANGENTEI..................... la curba in punctul curent. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei F 14 F respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul canonic la curba in punctul curent pe curba. 18
  19. 19. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei F 15 T respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul normalei principale la curba in punctul curent pe curba. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv n versorii tangentei respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. F 16 Atunci T dτ 1 = n ds R Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versorii tangentei respectiv al binormalei la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci F 17 F dτ 1 = b ds R Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei H 206 respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul .....................NORMALEI PRINCIPALE..................... la curba in punctul curent pe curba. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv n versorii tangentei respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci H 222 dτ 1 − n= .....................0..................... ds R Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu b respectiv n versorii binormalei respectiv al tangentei la curba in punctul curent si cu T raza de torsiune in punctul curent. Atunci H 223 db 1 − n= .....................0..................... ds T Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam: {τ , n, b} - versorii triedrului lui Frenet H 217 R , T - razele de curbura respectiv de torsiune corespunzatoare. Atunci: dn 1 1 − τ+ b= .....................0..................... ds R T r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul: τ = se numeste versorul B 23 r ..........................DIRECTOR AL TANGENTEI...................... la curba în punctul curent. r ×r Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul: b = se numeste B 24 r ×r versorul ......................DIRECTOR AL BINORMALEI...................... la curba în punctul curent pe curba. 19
  20. 20. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam : {τ , n, b} - versorii triedrului lui Frenet B 27 R,T - razele de curbura şi respectiv de torsiune corespunzaroare. Atunci: dn 1 1 − τ + b = ......................0...................... ds R T Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei B 25 respectiv al binormalei la curba în punctul curent.Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul ..................DIRECTOR AL NORMALEI PRINCIPALE...................... la curba în punctul curent pe curba. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu b respectiv n versorii binormalei respectiv ai tangentei la curba în punctul curent şi cu T raza de torsiune în punctul curent. Atunci: B 28 db 1 − n = ......................0...................... ds T Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I .Notam cu τ respectiv n versorii tangentei respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci: B 26 dτ 1 − n = ......................0...................... ds R Fie curba regulata definita parametric de ecuatiile x = x ( t ) , y = ( t ) t ∈ » . Atunci dreapta de ecuatie: X −x Y −y = A 9 − y′ x′ b dusa printr-un punct arbitrar ( x, y ) al curbei reprezinta a. tangenta la curba b. normala la curba Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) , t ∈ I  B 19 z = z (t ) Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) definita prin: X −x Y −y Z−z = t = t xt y z este ecua ia ......................TANGENTA...................... la curba data. 20
  21. 21. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) , t ∈ I  B 20 z = z (t ) Atunci ecua ia: xt ( X − x ) + y t (Y − y ) + z t ( Z − z ) = 0 reprezinta planul ......................NORMAL...................... la curba intr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) . Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) , t ∈ I  z = z (t ) B 21 Atunci ecua ia: X −x Y −y Z−z xt yt zt =0 x tt y tt z tt reprezinta planul ......................OSCULATOR...................... la curba intr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) . Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) , t ∈ I  z = z (t ) B 22 Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) definita prin ecuatiile: X −x Y −y Z−z yt zt zt xt xt yt = = , unde A = tt , B = tt , C = tt A B C y z tt z x tt x y tt este ......................BI.NORMALA...................... la curba data. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  z = z (t ) H 220 Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin ecuatia: X −x Y −y Z−z y′ z′ z ′ x′ x′ y′ = = , unde A = , B= , C= A B C y′′ z ′′ z ′′ x′′ x′′ y′′ este .....................BINORMALA..................... la curba data. 21
  22. 22. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  H 227 z = z (t ) Atunci ecuatia: x′ ( X − x ) + y ′ ( Y − y ) + z ′ ( Z − z ) = 0 reprezinta planul ........................NORMAL........................ la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) . Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  F 8 z = z (t ) T Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin: X −x Y −y Z−z y′ z′ z ′ x′ x′ y′ = = unde A = , B= , C= A B C y′′ z ′′ z ′′ x′′ x′′ y′′ este ecuatia normalei principale la curba data. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I F 5  T z = z (t ) Atunci ecuatia planului normal la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) este: x′ ( X − x ) + y ′ ( Y − y ) + z ′ ( Z − z ) = 0 Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  F 3 z = z (t ) F Atunci ecuatia normalei la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) este: X −x Y −y Z−z = = x′ y′ z′ Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I F  z = z (t ) 4 T Atunci ecuatia tangentei la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) este: X −x Y −y Z−z = = . x′ y′ z′ 22
  23. 23. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  F 9  z = z (t ) T Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin: X −x Y −y Z−z y′ z′ z ′ x′ x′ y′ = = unde A = , B= , C= A B C y′′ z ′′ z ′′ x′′ x′′ y′′ este ecuatia binormalei la curba data. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I   z = z (t ) H 218 Atunci ecuatia: X −x Y −y Z−z x′ y′ z′ = 0 x′′ y′′ z ′′ reprezinta planul .....................OSCULATOR..................... la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) . Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  z = z (t ) F 7 Atunci ecuatia: T X −x Y −y Z−z x′ y′ z′ = 0 x′′ y′′ z ′′ reprezinta planul osculator la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) . Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  z = z (t ) H 226 Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin: X −x Y −y Z−z = = x′ y′ z′ este ecuatia .....................TANGENTEI..................... la curba data. 23
  24. 24. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:  x = x (t )  (C ) :  y = y (t ) t ∈ I  z = z (t ) F 6 Atunci ecuatia: F X −x Y −y Z−z x′ y′ z′ = 0 x′′ y′′ z ′′ reprezinta planul normal la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) . 2 Fie curba ( C ) : y = 1 + e şi M un punct arbitrar situat pe curbă. Notăm R , raza de curbură, St şi S n x lungimile segmentelor subtangentă, respectiv subnormală corespunzătoare punctului M . Atunci D 44 a St S  a. R= b. R = St − S n c. R= t  d. R = St + S n Sn  Sn  Fie curba(C) , definita de ecuatiile parametrice  x = et cos t A 62 (C ) :    y = e sin t t  şi M (0) punctul fixat pe curba.Atunci segmentul subtangenta este PN = ……………..…0……………..… Fie curba:  2 2 2 2 x + y + z − r = 0 (C ) :  2 2  x + y − rx = 0  atunci ecua iile parametrice ale curbei date sunt:  x = r cos 2 t  x = r sin t cos t D 83   2 a a.  y = r sin cos t , t ∈ [ 0, 2π ] c.  y = r cos t , t ∈ [ 0, 2π ]  z = r sin t  z = r sin t    x = r sin 2 t  b.  y = r sin cos t , t ∈ [ 0, 2π ] d. alt raspuns  z = r cos t  Fie curba:   t3  x = 4 t +  (C )    3  2 2  y = (1 + t )  D 9 c 5 Se ştie că raza de curbură este dată de rela ia R = 4 y . Dacă S n este segmentul de normală al curbei, 4 atunci: 1 a. R = Sn b. R = 2Sn c. R = 4Sn d. Sn = R 24
  25. 25. Fie curba:   t3   x = 4t +  (C ) :    3 t ∈ »  2 2 D 8  y = (1 + t )  c Notăm R - raza de curbură în punctul curent pe curbă. Atunci: 2 3 5 4 a. R = 4y 3 b. R = 4y 2 c. R = 4y 4 d. R = 4y 5 Fie curba: 2 ( C ) : F ( x, y ) ≡ y 2 − ( x − a ) ( x − b ) = 0, a, b ≠ 0 Să se studieze punctele singulare ale curbei. D 51 a. B ( 0, b ) , este nod pentru curba ( C ) dacă a < b . b b. A ( a, 0 ) , este nod pentru curba ( C ) dacă a > b . c. A ( a, 0 ) , este punct izolat pentru a > b . d. B ( 0, b ) , este punct izolat pentru a < b . Fie curbele  x = x (t )  ( C1 ) :  ; ( C2 ) : F ( x , y ) = 0 .  y = y (t )  A 103 Dacă ϕ ( t ) = ϕ ′ ( t ) = ... = ϕ ( n ) ( t ) = 0; ϕ ( n +1) ( t ) ≠ 0, atunci cele două curbe au în punctul M ( t ) un ......................CONTACT...................... de ordinul n x2 Fie curbele ( C1 ) : y = e , ( C2 ) : y = 1 + x + x . Să se calculeze curburile K1 şi K 2 corespunzătoare 2 lui ( C1 ) şi respectiv ( C2 ) în punctul comun A. D 5 c 1 1 a. A (1, 0 ) , K1 = K 2 = c. A (1, 0 ) , K1 = K 2 = 3 2 2 2 1 2 1 1 b. A (1,1) , K1 = , K2 = 3 d. A ( −1, 0 ) , K1 = , K2 = 3 2 3 3 2 2 Fie curbele plane ( C1 ) şi ( C2 ) . Se spune ca cele două curbe au un contact într-un punct M ce apar ine A 101 ambelor curbe dacă cele două curbe date admit în M aceeasi ......................TANGENTA...................... Fie curbele  x = x (t )  ( C1 ) :  ; ( C2 ) : F ( x , y ) = 0 . A 102  y = y (t )  Dacă cele două curbe au în punctul M 0 ( t0 ) un contact de ordinul n, atunci t0 este rădăcină multiplă de ordinul ......................n+1...................... 25
  26. 26. 2 3 Fie curbura ( C ) : y = x + px, p ∈ » . Să se determine punctele singulare ale curbei  p   p   p  p a. A ,0, B − ,0 c. A  0,  , B  0, −  D 46  3   3   3   3  b          p   p   p  p b. A − , 0  , B  − − , 0   d. A  0, −  , B  0, − −   3    3     3    3  2 2 2 Fie ( C ) : ( x − α ) + ( y − β ) = r ecua ia cercului osculator la curba de ecua ie carteziană: ( C ) : y = f ( x ) . atunci:    y′2 (1 + y′2 ) α = x − y (1 + y ) ′2 ′2  y ′2 α = x + α = x−  y′′  y′′  x′y′′ − x′′y′ D 69    b  y′2 (1 + y′2 )   y′2 (1 + y′2 )   y ′2 a.  β = y − b. β = y + c. β = x +  y′′  y′′  x′y′′ − x′′y′     ( 1 + y ′2 )  3 (1 + y′2 ) 2  ( x′2 + y ′2 ) 2 3 r = r = r =  y′′   y′′  ( x′y′′ − x′′y′)  d. alta varianta Fie elicea circulara: ( C ) : r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j + ( ) 5t k B 35 ( ) Sa se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba ( C ) unde A şi B corespund bijectiv valorilor t = 0 şi respectiv t =1. l AB = ......................3...................... Fie elicea circulară: ( C ) : r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j + ( ) 5t k ( ) Să se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba ( C ) unde A şi B corespund bijectiv valorilor D 92 t = 0 şi respectiv t =1. c a. l AB = 5 c. l AB = 3 ( ) ( ) b. l =4 d. l AB = 2 5 ( AB ) ( ) 26
  27. 27. Fie elicea circulară: ( C ) : x = a cos t , y = a sin t , z = bt Să se scrie ecua iile tangentei la curba ( C ) în punctul curent. D 97 a X − a cos t Y − a sin t Z − bt X − a cos t Y − a sin t Z − bt a. ( t ) : = = c. (t ) : = = a sin t a cos t b a cos t a sin t b X + a cos t Y + a sin t Z + bt X + a cos t Y + a sin t Z + bt b. ( t ) : = = d. (t ) : = = a sin t a cos t 0 a cos t a sin t b Fie familia de curbe (n +1) − parametrice: (C a1 ...an+1 ) : F ( x, y; a , a ,..., a ) = 0 1 2 n +1 A 99 Curba (γ ) se zice ……………..…OSCULATOARE……………..… la o curbă din familia Ca1 ...an+1 ( ) într-un punct M al acestei curbe, dacă cele două curbe au în M un contact de ordinul n. Fie o curba data ( C ) şi M un punct pe curba a.i. prin acest punct trec în figura alaturata. A 70 Atunci M este punct de ……………..…INTOARCERE……………..… Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ρ = ρ (α ) şi un punct regulat M situat pe curba (vezi A 11 c figura). Atunci: segmentul tangenta polara este ρ + ρ ′2 a. ON = ρ ′ b. TN = c. MN = ρ 2 + ρ ′2 ρ′ 27
  28. 28. Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ρ = ρ (α ) şi un punct regulat M situat pe curba (vezi figura). A 32 c Atunci: segmentul tangentă polară este ρ + ρ ′2 a. ON = ρ ′ b. TN = c. MN = ρ 2 + ρ ′2 ρ′ Fie o curba plana ( C ) şi M ∈ ( C ) un punct regulat (vezi fig.) A 18 a Atunci: a. n = − sin α i + cos α j c. τ = cos α i − sin α j b. τ = sin α i + cos α j d. n = sin α i + cos α j Fie o curba regulata de ecuatie: y = f ( x ) , x ∈ » şi M ( x, y ) un punct pe curba (vezi figura) Atunci: A 10 y a. XT = x − ; a y′ y b. PN = x ; y′ c. X N = yy′ 28

×