1. §Ò KiÓm tra chÊt l−îng §¹i häc, cao ®¼ng LÇn 2
2011 2012
11-
N¨m häc: 2011- 2012
M«n: To¸n – Khèi A-B
Thêi gian: 180 phót (kh«ng kể thời gian ph¸t đề)
------------------------------------------------------
* PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 điểm)
x−2
C©u I: (2 điểm) Cho hµm sè y = (1)
x −1
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( H ) cña hµm sè (1)
b) Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng d m : y = − x + m lu«n c¾t ( H ) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m .
T×m m ®Ó c¸c tiÕp tuyÕn cña ( H ) t¹i A vµ B t¹o víi nhau mét gãc α tháa m·n cos α = 8 .
17
C©u II: (2 điểm)
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 3 x + 2sin 4 x = tan x + 2 3 cos 2 x .
cos x
1 + 2 x − 2 x 2 1 + y = 4 x3 y + 7 x 2

2. Giải hệ phương tr×nh:  (với x, y ∈ ℝ ).
x 2 ( xy + 1) + ( x + 1) = x 2 y + 5 x
2


4
x
C©u III: (1 điểm) TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ dx .
0 x + x2 + 9
C©u IV: (1 điểm) Cho h×nh chãp tø gi¸c S . ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B .
AB = SD = 3a , AD = SB = 4 a (víi a > 0 ). §−êng chÐo AC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBD ) . TÝnh
thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng SA vµ BD .
C©u V: (1 điểm) Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m·n x 2 + y 2 + z 2 = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
x y z
biÓu thøc: P = + + .
( y + z ) ( z + x ) ( x + y )2
2 2
* PhÇn riªng (3 điểm): - ThÝ sinh chỉ được lµm một trong hai phần (phÇn A hoặc phÇn B) -
Phần A. Theo chương tr×nh chuẩn.
C©u VI.A: (2 điểm)
1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy , cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m I (1;1) ; hai ®−êng th¼ng AB vµ CD lÇn l−ît
®i qua c¸c ®iÓm M ( −2;2) vµ N ( 2; −2) . T×m täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng ABCD , biÕt C cã tung ®é ©m.
2. Trong kh«ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mÆt cÇu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z + 5 = 0 , ®−êng th¼ng
x −1 y + 1 z
d: = = vµ ®iÓm M ( 0; −2;0 ) . ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P ) ®i qua M , song song víi d
2 1 −2
vµ tiÕp xóc víi ( S ) .
C©u VII.A: (1 điểm) T×m sè phøc z tháa m·n ( z + 1)2 + z − 1 2 − 10i = z + 3 .
Phần B. Theo chương tr×nh n©ng cao.
C©u VI.B: (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gi¸c ABC cã M ( −1; 2 ) , N  ;  lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB
3 9
 
2 2
vµ CA . T×m täa ®é c¸c ®Ønh cña tam gi¸c ABC , biÕt H ( 2;1) lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC .
2. Trong kh«ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mÆt ph¼ng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 vµ c¸c ®−êng th¼ng
x −1 y − 3 z x −5 y z +5
d1 : = = , d2 : = = . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng
2 −3 2 6 4 −5
d1, d 2 ; song song víi ( P ) vµ c¸ch mÆt ph¼ng ( P ) mét kho¶ng b»ng 2.
C©u VII.B: (1 điểm) T×m m« ®un cña sè phøc z , biÕt r»ng z + ( 4 − 3i ) z = 26 + 6i
2−i
www.MATHVN.com --------------------Hết-------------------- www.MATHVN.com

2. ®¸p ¸n Bµi kiÓm tra chÊt l−îng §¹i häc, cao ®¼ng – LÇn 2
www.MATHVN.com - N¨m häc 2011-2012 - www.MATHVN.com
M«n thi : To¸n – Khèi A
C©u Néi dung §iÓm
PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh
TX§: ℝ {1} .
x −2
Ta cã lim y = lim = −∞ , lim y = +∞ . TiÖm cËn ®øng: x = 1 . 0,25
x →1 +
x →1 x − 1
+
x→1−
x −2
lim y = lim = 1 . TiÖm cËn ngang: y = 1 .
x →±∞ x →±∞ x − 1
Ta cã y ' = 1 > 0 ∀x ≠ 1 . Hµm sè ®ång biÕn trªn (−∞;1) vµ (1; +∞) .
( x − 1)2 0,25
Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.
x −∞ 1 +∞
C©u I.1
(1 ®)
y' + + 0,25
+∞ 1
y
1 −∞
3) §å thÞ: y
+) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0;2), c¾t trôc hoµnh t¹i (2;0). 4
§å thÞ nhËn giao ®iÓm I(1;1) cña hai tiÖm cËn lµm t©m ®èi xøng. 3
2
1 0,25
−2 −1 O 1 2 3 4 x
−1
−2
Ta cã x − 2 = − x + m ⇔  x − mx + m − 2 = 0 (2)
 2
 0,25
x −1 x ≠ 1

Ta cã ∆ = m2 − 4m + 8 = ( m − 2 )2 + 4 > 0∀m vµ x = 1 kh«ng tháa m·n (2) nªn d m lu«n c¾t ( H )
0,25
t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m .
Khi ®ã theo Viete ta cã  x A + xB = m ⇔ ( A ) ( B )
 x −1 + x −1 = m − 2
 
x .x = m − 2
 A B ( x A − 1)( xB − 1) = −1

TiÕp tuyÕn cña ( H ) t¹i A vµ B cã hÖ sè gãc lÇn l−ît lµ k A = y ' ( x A ) = 1
( x A − 1)2
C©u I.2 2
vµ kB = y ' ( xB ) = 1 . Suy ra 1 1  1  0,25
(1 ®) k A .k B = . =  =1
( xB − 1) 2
( x A − 1) ( xB − 1) 2 2
 ( x A − 1)( xB − 1) 
Ta cã vect¬ ph¸p tuyÕn cña c¸c tiÕp tuyÕn lÇn l−ît lµ nA = ( k A ; −1) vµ nB = ( k B ; −1) .
§Ó gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn lµ α tháa m·n cos α = 8 th× k A .k B + 1
=
8
17 2
kA + 1. 2
kB +1 17
⇔ kA + kB = ⇔  1 + 1  = 17 ⇔ ( A ) ( B )  = 17
 x − 1 2 + x −1 2 
⇔ ( )( )
k A + 1 kB + 1 =
2 2 17 17
 
4 4  ( xA −1) ( xB −1)  4 ( xA −1)2 ( xB −1)2
2 2
4
 
0,25
( xA −1) + ( xB −1)  − 2 ( xA −1)( xB −1) 17
2
17 3
= ⇔ [ m − 2] + 2 = ⇔ m−2 = ± ⇔m= 7 ∨ m = 1
2
⇔ 
( xA −1)2 ( xB −1)2 4 4 2 2 2
π
C©u II.1 §iÒu kiÖn cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 + mπ ( m ∈ℤ ) (*). Khi ®ã
0,25
(1 ®)
(1) ⇔ sin3x + 2sin4x = sin x + 2 3cos x cos2x ⇔ ( sin3x − sin x) − 2 3cos x cos2x + 2sin4x = 0
⇔ 2cos2x sin x − 2 3cos x cos2x + 4sin2x cos2x = 0 ⇔ 2cos2x sin x − 3cos x + 2sin2x = 0 ( ) 0,25

3. cos 2 x = 0 www.MATHVN.com
⇔
sin x − 3 cos x + 2sin 2 x = 0
TH1: cos 2 x = 0 ⇔ x = π + k π ( k ∈ℤ ) (tháa m·n (*)) 0,25
4 2
TH2: sin x − 3 cos x + 2sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 3 cos x − 1 sin x ⇔ sin 2 x = sin  π − x 
 
2 2 3  
 π  π 2π
 2 x = 3 − x + k 2π x = 9 + k 3 (tháa m·n (*))
⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) 0,25
 2 x = π − π + x + k 2π  x = 2π + k 2π

 3 
 3
VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ x = π + k π , x = π + k 2π , x = 2π + k 2π ( k ∈ℤ )
4 2 9 3 3
Tõ pt (2) ta cã x 2 ( xy + 1) + ( x − 1)2 − x ( xy + 1) = 0 ⇔ x ( xy + 1)( x − 1) + ( x − 1) = 0
2
x = 1 0,25
⇔ ( x − 1)  x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ 
 
 x y + 2x −1 = 0
2
Víi x = 1 thay vµo (1) ta ®−îc 3 − 2 1 + y = 4 y + 7 ⇔ 2 1 + y  2 1 + y + 1 = 0 ⇔ y = −1
  0,25
Do ®ã ( x; y ) = (1; −1) .
Víi x 2 y + 2 x − 1 = 0 ⇔ y = 1 − 2 x (Do x = 0 kh«ng tháa m·n hÖ pt)
2
C©u II.2 x
(1 ®)
thay vµo (1) ta ®−îc 1 + 2 x − 2 x 2 1 + 1 − 2 x = 4 x3  1 − 2 x  + 7 x 2
 2  0,25
2
x  x 
x −1 x −1  x −1 
2
x −1
⇔ 1 + 2 x − 2 x2 = 4 x (1 − 2 x ) + 7 x2 ⇔ ( x −1)2 − 2x2 =0⇔  −2 =0
x x  x  x
x −1  x −1  1− x 1− x  1
⇔  x − 2  = 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = ±2 ⇔ x ∈ 1; −1; 3  .
x    
0,25
Do ®ã ( x; y ) ∈ (1; −1) ; ( −1;3) ;  1 ;3   . VËy hÖ pt cã 3 nghiÖm
  


1 
( x; y ) ∈ (1; −1) ; ( −1;3) ;  ;3  

  3    3 
( ) 1
4
x 1
4 4 4 
I =∫
9∫
dx = x x 2 + 9 − x dx =  ∫ x x 2 + 9dx − ∫ x 2dx  0,25
0 x + x2 + 9 0
9 0
 0 

( )
4
TÝnh I = x x2 + 9dx . §Æt t = x2 + 9 ⇒dt = x x
1 ∫ dx . ⇒ x x2 + 9dx = x2 + 9 dx = t 2dt 0,25
C©u III 0 x +9
2
x +92
(1 ®) 5
§æi cËn: Ta cã x = 0 ⇒ t = 3; x = 4 ⇒ t = 5 . Do ®ã I = t 2 dt = 1 t 3 5 = 98
1 ∫ 0,25
3
3 3 3
4
TÝnh I = x 2dx = 1 x3 4 = 64 . VËy I = 1 [ I − I ] = 1  98 − 64  = 34
2 ∫ 1 2   0,25
3 0 3 9 9 3 3 27
0
V× AC ⊥ ( SBD ) nªn ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) . Trong
S
mp ( SBD ) kÎ SH ⊥ BD t¹i H . Khi ®ã
 SH ⊥ BD
 ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) nªn SH lµ ®−êng cao cña 4a
 SH ⊥ AC
C©u IV 3a C
h×nh chãp S . ABCD . B 0,25
(1 ®) F K
V× ∆ABD vu«ng t¹i A nªn BD = AB 2 + AD 2 = 5a . 3a
( )
H
V× SB 2 + SD 2 = ( 4a )2 + 3a 2 = ( 5a )2 = BD 2 nªn D
4a A
E
∆SBD vu«ng t¹i S . Do ®ã SH = SB.SD = 4a.3a = 12a .
BD 5a 5
V× AC ⊥( SBD) nªn AC ⊥ BD. Gäi K = AC ∩BD. Trong ∆ABD ta cã AK = AB.AD = 12a .
BD 5
Trong ∆ABC vu«ng t¹i B ta cã AK . AC = AB 2 ⇒ AC = AB = 15a . 0,25
2
AK 4

4. 2
Suy ra diÖn tÝch ®¸y ABCD lµ S 1 1 15a 75a www.MATHVN.com
ABCD = AC .BD = . .5a =
2 2 4 8
2 3
VËy thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD lµ VS . ABCD = 1 .S ABCD .SH = 1 . 75a .12a = 15a .
3 3 8 5 2
* Qua A kÎ ®−êng th¼ng d song song víi BD , qua H kÎ ®−êng th¼ng song song víi AC
c¾t d t¹i E . V× AC ⊥ BD nªn h×nh b×nh hµnh HKAE lµ h×nh ch÷ nhËt. Do ®ã AE ⊥ HE .
MÆt kh¸c AE ⊥ SH nªn AE ⊥ ( SHE ) . Trong ( SHE ) kÎ HF ⊥ SE t¹i F . Suy ra 0,25
HF ⊥ ( SAE ) vµ do ®ã d ( H , ( SAE ) ) = HF
V× BD // ( SAE ) nªn d( BD, SA) = d( BD,(SAE)) = d( H,(SAE)) = HF . Trong ∆SHE vu«ng t¹i H
2
ta cã 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = 2 5  ⇒ HF = 6a 2 . VËy d ( H ,( SAE ) ) = 6a 2 0,25
2 2 2 2 2  
HF SH HE 12a SH 5 AK  
5
Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã ( y + z )2 ≤ 12 + 12 y 2 + z 2 = 2 1 − x 2 ( )( ) ( )
(§¼ng thøc x¶y ra khi y = z ). Do ®ã x
≥
x (1) 0,25
( y + z) 2
(
2 1− x 2
)
MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho 3 sè d−¬ng 2 x 2 , 1 − x 2 , 1 − x 2 ta ®−îc
2
(2
) (
2 2x + 1 − x + 1 − x
2
) (2)
( ) ( )
2 2 1 3 3 x 3 3 2
= ≥ 3 2 x 2 1 − x2 ⇔ x 1 − x2 ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
( ) ( )
x
3 3 3 3 x 1− x 2 2 2 1− x 2 4 0,25
C©u V
(1 ®) (§¼ng thøc x¶y ra khi 2 x 2 = 1 − x 2 ⇔ x = 3 ).
3
Tõ (1) ,(2) suy ra x
≥
3 3 2 T−¬ng tù y
≥
3 3 2 vµ z
≥
3 3 2
z (5)
x (3) y (4) 0,25
( y + z) 2 4 ( z + x) 2 4 ( x + y) 2
4
Tõ (3), (4), (5) suy ra P = x
( y + z) 2
+
( z + x)
y
2
+
z
( x + y) 2
≥
3 3 2
4
(
x + y2 + z2 =
3 3
4
)
0,25
§¼ng thøc x¶y ra khi x = y = z = 3 . VËy min P = 3 3 khi x = y = z = 3 .
3 4 3
PhÇn A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn
Gäi M ' ®èi xøng víi M qua I . Ta cã M ' ( 4;0 ) thuéc ®t
A B M
x = 4+t 0,25
CD . §t CD ®i qua N , M ' nªn nã cã pt lµ 
 .
I y = t
C©u Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I trªn CD, suy ra H ( 4 + h; h ) ,
VI.A.1 IH = ( h + 3; h − 1) . V× IH ⊥ CD nªn 0,25
(1 ®) M' D H N C
IH .NM ' = 0 ⇔ h = −1 . VËy H ( 3; −1) vµ IH = 2 2 .
V× C thuéc CD nªn C ( 4 + c; c ) . Tõ HC = IH = 2 2 suy ra c = 1 ( lo¹i ) vµ c = −3 (tm) 0,25
Víi c = −3 suy ra C (1; −3) , D ( 5;1) , A (1;5 ) , B ( −3;1) 0,25
d ®i qua A(1; −1;0) vµ cã vt chØ ph−¬ng u = ( 2;1; −2) . ( S ) cã t©m I (1;2; −3) vµ b¸n kÝnh R = 3 .
C©u
VI.A.2 Gäi vect¬ ph¸p tuyÕn cña ( P ) lµ n = ( a; b; c ) víi a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 0,25
(1 ®)
V× ( P ) // d nªn n.u = 0 ⇔ 2a + b − 2c = 0 ⇔ b = 2c − 2a (*)
V× ( P ) ®i qua M ( 0; −2;0 ) nªn ph−¬ng tr×nh cña ( P ) lµ ax + b ( y + 2 ) + cz = 0
V× ( P ) tiÕp xóc víi ( S ) nªn d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ a + 4b − 3c = 3 (**) 0,25
a +b +c
2 2 2
 a − 2c = 0
Thay (*) vµo (**) ta ®−îc 4a 2 + 2ac − 20c 2 = 0 ⇔ 2 ( a − 2c )( 2a + 5c ) = 0 ⇔  .
 2a + 5c = 0
0,25
TH1: a − 2c = 0 vµ b = 2 ( c − a ) ta chän c = 1 suy ra a = 2, b = −2 .

5. Pt cña ( P ) lµ 2 x − 2 y + z − 4 = 0 . V× ( P ) ®i qua A nªn d ⊂ ( P ) (kh«ng tháa m·n).
TH2: 2a + 5c = 0 vµ b = 2 ( c − a ) ta chän a = 5; c = −2 suy ra b = −14 .
Pt cña ( P ) lµ 5 x − 14 y − 2 z − 28 = 0 . V× A ∉ ( P ) nªn d // ( P ) (tháa m·n) 0,25
VËy ph−¬ng tr×nh cña ( P ) lµ 5 x − 14 y − 2 z − 28 = 0 .
Gäi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Ta cã ( z + 1)2 + z − 1 2 + 10i = z + 3
0,25
⇔ ( a + 1) + 2 ( a + 1) bi − b2 + ( a − 1) + b2 + 10i = a − bi + 3
2 2
VII.A ( )
⇔ 2a 2 − a − 1 + ( 2ab + 3b + 10 ) i = 0 0,25
(1 ®)  2a 2 − a − 1 = 0

⇔ www.MATHVN.com 0,25
 2ab + 3b + 10 = 0

 1 
⇔ ( a; b ) = (1, − 2 ) hoÆc ( a; b ) =  − , − 5  . VËy z = 1 − 2i hoÆc z = − − 5i .
1
0,25
 2  2
PhÇn B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao
Ta cã MN =  ;  , suy ra vect¬ chØ ph−¬ng cña AH lµ u = (1; −1) .
5 5
A  
2 2
0,25
x = 2 + t
M N Pt tham sè cña AH lµ  .
 y = 1− t
H
C©u V× A ∈ AH nªn A ( 2 + a;1 − a ) . Suy ra B ( −4 − a;3 + a ) ,
VI.B.1 B C
0,25
(1 ®) C (1 − a;8 + a ) . HB = ( −6 − a; 2 + a ) , AC = ( −1 − 2a;7 + 2a ) .
V× BH ⊥ AC nªn HB. AC = 0 ⇔ ( −6 − a )( −1 − 2a ) + ( 2 + a )( 7 + 2a ) = 0
0,25
⇔ a 2 + 6a + 5 = 0 ⇔ a = −1 hoÆc a = −5
Víi a = −1 ta ®−îc A(1;2) , B ( −3;2) , C ( 2;7) . Víi a = −5 ta ®−îc A( −3;6) , B (1; −2) , C ( 6;3) . 0,25
Mp(P) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = (1; −2; 2 ) . Gäi giao ®iÓm cña ∆ víi d1 , d 2 lÇn l−ît lµ A vµ B.
0,25
Ta cã A(1+ 2a;3 − 3a;2a) , B ( 5 + 6b;4b; −5 − 5b) . ⇒ AB = ( 4 − 2a + 6b; −3 + 3a + 4b; −5 − 2a − 5b ) .
V× ∆ // ( P ) nªn AB.n = 0 ⇔ a + b = 0 (1) 0,25
C©u
VI.B.2 V× 2 = d ( ∆;( P) ) = d ( A;( P) ) nªn −6 + 12a = 2 ⇔ 2a − 1 = 1 ⇔  a = 0
 0,25
(1 ®) 3 a = 1
Víi a = 0 ta ®−îc b = 0 ⇒ AB = ( 4; −3; −5 ) . Pt ∆ lµ: x −1 y − 3 z
= =
4 −3 −5
0,25
Víi a = 1 th× b = −1 ⇒ AB = ( −4; −4; −2 ) . Pt ∆ lµ: x − 3 = y = z − 2 .
2 2 1
Gäi z = a +bi ( a,b∈ℝ) . Ta cã z
+ ( 4 − 3i) z = 26 + 6i ⇔( 2 +i)( a +bi) + 5( 4 −3i)( a −bi) = 5( 26 + 6i) 0,25
2 −i
C©u ⇔ ( 22a −16b) + ( −14a −18b) i = 130 + 30i 0,25
VII.B
 22a − 16b = 130 a = 3 .
(1 ®) ⇔ ⇔ 0,25
 −14a − 18b = 30 b = −4
VËy z = 3 − 4i ⇒ z = 5 0,25
Chó ý: NÕu thÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c, ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a !
TÜnh Gia, ngµy 28 th¸ng 02 n¨m 2012
Lª Thanh B×nh
www.MATHVN.com