1. 1
Lekc 10
Xiqääliïn sädäw: Wektoryn skal¶r xolimog wektor, dawxar wektor ürjwär
1. Wektoryn skal¶r ürjwär
− ba − xoër wektoryn skal¶r ürjwär (− , − ) gädäg n´ ädgäär wektoruudyn urtuudyg tädgääriïn
→ →
a b → →
a b
xoorondox öncgiïn kosinusaar ürjüülsän ürjwäriïg xälnä.
→−
a
→ → −
a
→
(− b ) = |− | · | b | · cos ϕ
Skal¶r ürjwäriïn qanaruud:
→→ − −
→ −
→
1. (− b ) = |− | · np− b = | b | · np− −
a →
a → →→a
a b
→→
a
− → →
−
2. (− b ) = ( b · − )
a
→→ →
a
−
c →→
a
−
3. − ( b + − ) = (− b ) + (→− )
−→
a c
→ −
a
→ →−
a
→
4. Xäräw − ⊥ b bol ϕ = π tul (− b ) = 0
2
→ →
a
−
5. Xäräw − = b bol (− − ) = (− )2 = |→|2
→→
a a →
a −
a
Koordinataar n´ skal¶r ürjwäriïg ilärxiïlbäl
→→− → → −
(− b ) = |− | · | b | · cos ϕ = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
a a (1)
− = − üed ϕ = 0, cos ϕ = 1 ba
→ →
a b
(− , − ) = →2 = |− |2 = x2 + y1 + z1
→ →
a a −
a →
a 1
2 2
(2)
−
−→
Tuxaïn toxioldold ogtorguïd A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) xoër cägiïn xoorondox zaï d-g AB wek-
toryn urt bolgon awq üzäj bolno.
d= |AB|2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 (3)
− ba → wektoryn xoorondox öncög
→
a
−
b
−− →
(→ b )
a x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
cos ϕ = → = (4)
→ −
|− | · | b |
a x2 2 2
+ y1 + z1 · x2 + y2 + z2
2 2
1 2
− ⊥− baïx toxioldold
→ →
a b
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 (5)
bolj koordinataar ögögdsön xoër wektoryn xarilcan perpendikul¶r baïx nöxcöl üüsnä.
2. Xoër wektoryn wektor ürjwär
− , → xoër wektor awq üz´e. Daraax´ gurwan nöxclöör todorxoïlogdson − wektoryg − , → wek-
→ −
a b →
c → −
a b
toryn wektor ürjwär gädäg.
→c → →
a
−
1. − wektoryn modul´ n´ toon utgaaraa − , b xoëroor baïguulsan parallelogrammyn tal-
baïtaï täncüü
→c → −
a
→
2. − n´ − , b xoër wektoryn xawtgaïd perpendikul¶r baïx

2. 2
−
→
3. − -gaas b uruu ärgäx baga ärgältiïg − -iïn tögsgölöös xaraxad cagiïn züüniï xödölgööniï
→a →
c
äsräg qiglältäï xaragdax.
→ − −
c a
→ →
c →−
a
→
Wektor ürjwäriïg − = → × b buµu − = [− b ] gäj tämdäglänä.
Wektor ürjwäriïn qanaruud:
→ −
a
→ − →
→
1. − × b = − b × − a
→ − → → →
− → − →
2. |→| = |− × b | = | b × − | = |− | · | b | · sin ϕ.
−c a a a
−
→
ϕ n´ →, b xoëryn xoorondox öncög.
−
a
−
→ − − →
3. m togtmol too axul (m→) × b = m(→ × b )
−
a a
→ → −
a
− → − → → → −
4. − = 0 , b = 0 kollinear bol − = − × b = 0
c a
→
− − →
a
→
c →−
a
→
5. [→( b + − )] = [− b ] + [− →]. Wektor ürjwärt xaalt zadlax xuul´ xüqintäï.
→−
a c
−
→
Xäräw xoër wektor koordinataaraa → = {X1 , Y1 , Z1 }, b = {X2 , Y2 , Z2 } gäj ögögdwöl
−
a
− = − × − = [(X1 − + Y1 → + Z1 − )(X2 − + Y2 − + Z2 − )]
→ → →
c a b
→
i
−
j
→
k
→
i
→
j
→
k
−→
→− −−
→→ −−
→→ −
→
Gätäl [ i i ] = [ j j ] = [ k k ] = 0 ba mön
−−
→→ →
− →−
−→ −
→ −−
→→ →
− →−
−→ −
→ −−
→→ →
− −−
→→ −
→
[ i j ] = k , [ j i ] = − k , [ j k ] = i , [ k j ] = − i , [ k i ] = j , [ i k ] = − j tul
− = [→ × − ] = (Y1 Z2 − Y2 Z1 )− + (Z1 X2 − Z2 X1 )− + (X1 Y2 − Y1 X2 )→
→
c − →
a b
→
i
→
j
−
k
buµu
→ − −
− → →
i j k
− = (− − ) =
→ →→ Y1 Z1 −
→ Z1 X1 −
→ X1 Y1 −
→
c a b i + j + k = X1 Y1 Z1
Y2 Z2 Z2 X2 X2 Y2
X2 Y2 Z2
→ −→ → Y1 Z1 Z1 X1 X1 Y1 − −
→
Iïnxüü − × b = − =
a c , , tul →, b -äär baïguulsan parallel-
a
Y2 Z2 Z2 X2 X2 Y2
ogrammyn talbaïg S gäj tämdägläwäl
2 2 2
Y1 Z1 Z1 X1 X1 Y1
S = |→| =
−
c + +
Y2 Z2 Z2 X2 X2 Y2
3. Gurwan wektoryn xolimog ürjwär
− , →, − gurwan wektorääs zoxioson [− − ] · − ürjwäriïg, ööröör xälbäl [− − ] wektoryg − -äär
→ − →
a b c →→ →
a b c →→
a b →c
ürjüülsän skal¶r ürjwäriïg ug gurwan wektoryn xolimog ürjwär gäj närlänä.
Xolimog ürjwär absolµt utgaaraa ug gurwan wektoroor baïguulsan parallelopipediïn äzälxüün-
täï täncänä.
−
→
Xärwää − = {X1 , Y1 , Z1 }, b = {X2 , Y2 , Z2 }, → = {X3 , Y3 , Z3 } gäj koordinataar ögögdwöl
→
a −
c
X1 Y1 Z1
→− →
a
→
c →→
a
−
V = S · h = |[− b ]− | = |[− b ]| · |− | · cos ϕ =
→
c X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3
Änd ϕ = →− →
a
→
c → − −
a
→
([− b ], − ) Xäräw − , b , → komplanar baïwal parallelopipediïn äzälxüün tägtäï
c
täncäx ba
X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2 =0
X3 Y3 Z3

3. 3
→− −
→
bolno. Xolimog ürjwäriïg golduu (− b →) gäj tämdäglädäg. Xolimog ürjwäriïn xuw´d
a c
→− →
→ − →−
→
c a − →−
c a
→ →− −
a c
→ →→→
−
a c →→→
c
−
(− b − ) = ( b − →) = (→− b ) = (− → b ) = −( b − − ) = −(− b − )
a c a
Uqir n´ todorxoïlogqiïn mörüüdiïg xoorond n´ täg² udaa solixod tämdäg n´ xäwäärää üldäx
ba sondgoï udaa solixod tämdäg n´ äsrägäär öörqlögddög.
4. Gurwan wektoryn dawxar wektor ürjwär
→−
a
→
[− b ] wektoryg − -äär ürjüülsän wektor ürjwäriïg gurwan wektoryn dawxar wektor ürjwär
→c
− →]− ] gäj tämdäglänä.
→− →
gääd [[ a b c
→− −
→ − →−
→ → −→
→
[[− b ]→] = b (− →) − − ( b − )
a c a c a c
→− →→
Sanamj: Xäräw [[− b ]− ] ürjwär ögögdwöl
a c
− −−
→ →→ −
−
c a
−− →
→
a c →− −
c a
→ →→ −
c a
→ →→ →
−
[→[ b →]] = −[[ b − ]→] = −(( b →)− − (− →) b ) = (− − ) b − ( b − )−
a c a c
→→ →
− →−→→
bolox tul [[− b ]− ] = [− [ b − ]] Ö.x dawxar wektor ürjwärt xäsäglän ürjüüläx xuul´ xüqin
a c a c
tögöldör bi² baïna.
5. Matricyn xuwiïn utga ba xuwiïn wektor
Daraax kwadrat matric bolon täg bi² bagana wektor ögögdsön gäj üz´e.
   
a11 a12 ... a1n x1
 a21 a22 ... a2n   x 
A=  ...
;
 X= 2 
 ... 
... ... ...
an1 an2 ... ann xn
Todorxoïlolt: Xäräw AX = λX(1) nöxcöl bielj baïwal X wektoryg A matricyn xuwiïn
wektor, proporcionaliïn koäfficient λ-g xuwiïn utga gänä.
Teorem: Xäräw A matric ül böxöx bol tüüniï xuwiïn utguud tägääs ¶lgaataï baïna.
Matricyn xuwiïn utga, xuwiïn 
 wektoryg ol³ë.
a11 − λ a12 ... a1n
 a21 a22 − λ ... a2n 
  = 0 üüniïg matricyn xarakteristik täg²itgäl gänä.
 ... ... ... ... 
an1 an2 ... ann − λ
Ug täg²itgäliïn züün gar tal n´ λ-iïn xuw´d n zärgiïn olon gi²üünt bolox ba tüüniïg A
matricyn xarakteristik olon gi²üünt gänä. Xarakteristik olon gi²üüntiïn ¶zguuruudyg
olbol tädgäär n´ xuwiïn utguud bolox ba tädgääriïg

 (a11 − λ)x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0


a21 x1 + (a22 − λ)x2 + ... + a2n xn = 0
sistemd orluulj xuwiïn wektoruudyn koordinatuudyg

 ... ... ... ... ...

an1 x1 + an2 x2 + ... + (ann − λ)xn = 0
olno.  
2 −2 1
Ji²ää n´:  −1 1 0  matricyn xuwiïn utga ba xuwiïn wektoryg ol³ë.
2 4 −1
2 − λ −2 1
|A − λE| = −1 1 − λ 0 = 0 ⇒ (λ − 1)(λ − 3)(λ + 2) = 0 buµu λ1 = 1; λ2 = 3; λ3 = −2
2 4 −1 − λ
baïna.
Äxlääd λ1 = 1 xuwiïn utgad xargalzax xuwiïn wektoryg olbol:

4. 4

 x1 − 2x2 + x3 = 0
x1 = 0
−x1 = 0 ⇒ ⇒ x3 = 2x2 ⇒ X = (0; x2 ; 2x2 )T = x2 · (0, 1, 2)T
 −2x2 + x3 = 0
2x1 + 4x2 − 2x3 = 0
λ1 = 3 xuwiïn utgad xargalzax xuwiïn wektoryg olbol:

 −x1 − 2x2 + x3 = 0
x3 = 0
−x1 − 2x2 = 0 ⇒ ⇒ x1 = −2x2 ⇒ X = (−2x2 ; x2 ; 0)T = x2 · (−2, 1, 0)T
 x1 + 2x2 = 0
2x1 + 4x2 − 4x3 = 0
λ1 = −2 xuwiïn utgad xargalzax xuwiïn wektoryg olbol:

 4x1 − 2x2 + x3 = 0
x1 = 3x2
−x1 + 3x2 = 0 ⇒ ⇒ X = (3x2 ; x2 ; −10x2 )T = x2 · (3, 1, −10)T
 10x2 + x3 = 0
2x1 + 4x2 + x3 = 0
− 1 = (0, 1, 2)T ;
→
x − 2 = (−2, 1, 0)T ;
→
x − 3 = (3, 1, −10)T
→
x
6. Ariljaany ²ugaman zagwar
Ji²ää n´: s1 , s2 , s3 gäsän gurwan ulsyn xudaldaany bütciïn matric n´:
 
1/3 1/4 1/2
A =  1/3 1/2 1/2 
1/3 1/4 0
xälbärtäï baïw. Xudaldaag täncwärtäï baïlgax uls ornuudyn ündäsniï orlogyg ol. (aij n´ sj
oron si orny baraa tawaaryg xudaldan awaxad zarcuulax ündäsniï orlogyn xuw´. A matricyn
duryn baganyn älementüüdiïn niïlbär 1-täï täncüü baïna.)  
   
1/3 1/4 1/2 x1 0
Bodolt: (A − E)X = 0 buµu  1/3 1/2 1/2  ·  x2  =  0  sistemiïg Gaussyn argaar
1/3 1/4 0 x3 0
bodoj λ = 1 utgand xargalzax xuwiïn wektor x-iïg olbol:
x1 = 2 c; x2 = 2c; x3 = c bolox ba tär n´ x = ( 3 c, 2c, c) bolno.
3
2
Garsan ür dün n´ ündäsniï orlogyn wektor x1 = 3 c; x2 = 2c; x3 = c ö.x uls ornuudyn
2
ündäsniï orlogyn xar´caa 3/2:2:1 buµu 3:4:2 baïxad gurwan orny xudaldaa täncwärjiltändää
xürnä gädgiïg xaruulna.