1. Moustaouli Mohamed
‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻠﻴﺔ‬
1-‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت‬‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬،‫ﻟﻤﻌﻠﻢ‬‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت‬‫ﻷﺳﺎس‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫أ‬/‫اﻷﺳﺎس‬-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬
‫ﻧﺸﺎط‬‫ﻟﻴ‬‫ﻜﻦ‬OIJK‫اﻷوﺟﻪ‬ ‫رﺑﺎﻋﻲ‬‫و‬M‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬‫اﻟﻔﻀﺎء‬‫و‬P‫اﻟﻤﺴﺘ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ‬‫ﻮى‬( )OIJ‫ﺑﺘﻮاز‬
‫ﻣﻊ‬( )OK‫و‬Q‫ﻣﺴﻘﻂ‬P‫ﻋﻠﻰ‬( )OI‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OJ‫و‬'Q‫ﻣﺴﻘﻂ‬P‫ﻋﻠﻰ‬( )OJ‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OI‫و‬
''Q‫ﻣﺴﻘﻂ‬M‫ﻋﻠﻰ‬( )OK‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OIJ
1-‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫أﻧﺸﺊ‬
2-‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر‬x‫أﻓﺼﻮل‬Q‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( );O I‫و‬y‫أﻓﺼﻮل‬'Q‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( );O J‫و‬z‫أﻓﺼﻮل‬
''Q‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( );O K
‫أآﺘﺐ‬OM‫ﺑﺪﻻﻟﺔ‬x‫و‬y‫و‬OI‫و‬OJ‫و‬OK
------------------------
1-‫اﻟﺸﻜﻞ‬
2-‫ﻧﻜﺘﺐ‬OM‫ﺑﺪﻻﻟﺔ‬x‫و‬y‫و‬OI‫و‬OJ‫و‬OK
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬Q‫ﻣﺴﻘﻂ‬P‫ﻋﻠﻰ‬( )OI‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OJ
‫و‬'Q‫ﻣﺴﻘﻂ‬P‫ﻋﻠﻰ‬( )OJ‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OI
‫وﻣﻨﻪ‬( )'OQPQ‫ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫و‬ ‫اﻷﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﻮازي‬'OP OQ OQ= +
‫ﺣﻴﺚ‬ ‫و‬x‫أﻓﺼﻮل‬Q‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( );O I
‫و‬y‫أﻓﺼﻮل‬'Q‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( );O J
‫ﻓﺎن‬OQ xOI=‫و‬'OQ yOJ=
‫وﻣﻨﻪ‬OP xOI yOJ= +
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬''Q‫ﻣﺴﻘﻂ‬M‫ﻋﻠﻰ‬( )OK‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OIJ
‫و‬P‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ‬( )OIJ‫ﻣﻊ‬ ‫ﺑﺘﻮاز‬( )OK
‫وﻣﻨﻪ‬( )''OPMQ‫ﻣﺘﻮازي‬‫اﻷﺿﻼع‬‫وﻣﻨﻪ‬''OM OP OQ= +
‫أن‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫و‬z‫أﻓﺼﻮل‬''Q‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( );O K‫ﻓﺎن‬''OQ zOK=
‫إذن‬OM xOI yOJ zOK= + +
‫أن‬ ‫ﺑﻤﺎ‬ ‫و‬OIJK‫اﻷوﺟﻪ‬ ‫رﺑﺎﻋﻲ‬‫ﻓﺎن‬I‫و‬J‫و‬K‫و‬O‫ﻣﺴ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫ﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫ﻧﻘﻮل‬‫إن‬‫اﻟﻤﺜﻠﻮث‬( ); ;x y z‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت‬M‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﻟ‬‫ﻠﻤﻌﻠﻢ‬( ); ; ;O OI OJ OK‫ﻧﻜﺘﺐ‬( ); ;M x y z
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫إذا‬‫آﺎﻧﺖ‬i‫و‬j‫و‬k‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬ ‫ﺛﻼث‬O‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬.
‫ﻧﻘﻮل‬‫إن‬‫اﻟﻤﺜﻠﻮث‬( ); ;i j k‫ﻟﻠﻔﻀﺎ‬ ‫أﺳﺎس‬‫اﻟﻤﺮﺑﻮع‬ ‫أن‬ ‫و‬ ،‫ء‬( ); ; ;O i j k‫ﻟﻠﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻌﻠﻢ‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:
‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫أرﺑﻊ‬O‫و‬A‫و‬B‫و‬C‫ﻣﺜﻼ‬ ‫أﺳﺎﺳﺎ‬ ‫ﺗﺤﺪدا‬( ); ;OA OB OC
‫ﻣﺜﻼ‬ ‫ﻟﻠﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎ‬ ‫و‬( ); ; ;O OA OB OC
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ‬( ); ; ;O i j k‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎ‬
‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬M‫ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬‫أﻋﺪاد‬‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬‫وﺣﻴﺪة‬x‫و‬y‫و‬z‫ﺣﻴﺚ‬. . .OM x i y j z k= + +
‫اﻟﻤﺜﻠﻮث‬( ); ;x y z‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬M‫ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬( ); ; ;O i j k‫ﻧﻜﺘﺐ‬( ); ;M x y z
‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬u‫ﺗﻮﺟ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬‫وﺣﻴﺪة‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫أﻋﺪاد‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﺪ‬x‫و‬y‫و‬z‫ﺣﻴﺚ‬. . .u x i y j z k= + +
‫اﻟﻤﺜﻠﻮث‬( ); ;x y z‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬u‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﻟﻸﺳﺎس‬( ); ;i j k‫ﻧﻜﺘﺐ‬( ); ;u x y z

2. Moustaouli Mohamed
‫ب‬/‫إﺣ‬‫ﺪ‬‫اﺛﻴﺎت‬u v+‫و‬uλ‫و‬AB‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫و‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;u x y z‫و‬( )'; '; 'v x y z‫ا‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬‫ﻟﻤﻨﺴﻮب‬‫إﻟﻰ‬‫اﻷﺳﺎس‬( ); ;i j k‫و‬λ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬
*u v=‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫وﻓﻘﻂ‬ ‫إذا‬'x x=‫و‬'y y=‫و‬'z z=
*( )'; '; 'u v x x y y z z+ + + +
*( ); ;u x y zλ λ λ λ
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;A A AA x y z‫و‬( ); ;B B BB x y z‫ﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬( ); ; ;O i j k‫و‬I
‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬[ ]AB
*‫إﺣﺪا‬ ‫ﻣﺜﻠﻮث‬‫ﺛﻴﺎت‬AB‫هﻮ‬( ); ;B A B A B Bx x y y z z− − −
*‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت‬ ‫ﻣﺜﻠﻮث‬I‫هﻮ‬; ;
2 2 2
A B A B A Bx x y y z z+ + + 
 
 
2-‫ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫ﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻲ‬ ‫اﻟﺸﺮط‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;u a b c‫و‬( )'; '; 'v a b c‫ﻣﺘ‬‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫أ‬/‫أﻧﻪ‬ ‫ﺑﻴﻦ‬‫إذا‬‫آﺎن‬u‫و‬v‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬‫ﻓﺎن‬' ' 0ab a b− =‫و‬' ' 0bc b c− =‫و‬' ' 0ac a c− =
‫ب‬/‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫أﻧﻪ‬ ‫ﺑﻴﻦ‬' ' 0ab a b− =‫و‬' ' 0bc b c− =‫و‬' ' 0ac a c− =‫ﻓﺎن‬u‫و‬v‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘ‬‫ﺎ‬‫ن‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;u a b c‫و‬( )'; '; 'v a b c‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
*‫ﺗﻜﻮن‬u‫و‬v‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
'
0
'
a a
b b
=‫و‬
'
0
'
b b
c c
=‫و‬
'
0
'
a a
c c
=
*‫ﺗﻜﻮن‬u‫و‬v‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬
'
0
'
a a
b b
≠‫و‬ ‫أ‬
'
0
'
b b
c c
≠‫أو‬
'
0
'
a a
c c
≠
‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬
'
'
b b
c c
‫و‬
'
'
a a
c c
‫و‬
'
'
a a
b b
‫ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺪدات‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬u‫و‬v
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﻨﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺪدات‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫أن‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ‬
1
'
'
'
'
'
a a
b b
d b b
c c
c c
 
 = ←  
 
 
2
'
'
'
'
'
a a
a a
d b b
c c
c c
 
 = ←  
 
 
3
'
'
'
'
'
a a
a a
d b b
b b
c c
 
 = ←  
 
 
3-‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎ‬‫ت‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;u a b c‫و‬( )'; '; 'v a b c‫و‬( )"; "; "w a b c‫أﺳﺎس‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬( ); ;i j k
1-‫أن‬ ‫ﻧﻔﺘﺮض‬u‫و‬v‫و‬w‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬.
‫أ‬/‫ﻳﻮﺟ‬ ‫أﻧﻪ‬ ‫ﺑﻴﻦ‬‫زوج‬ ‫ﺪ‬( );x y‫ﻣﻦ‬2
‫ﺣﻴﺚ‬
' "
' "
' "
a x a y a
b x b y b
c x c y c
= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅
 = ⋅ + ⋅
‫ب‬/‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬
' '' ' '' ' ''
0
' '' ' '' ' ''
b b a a a a
c c c c b b
b ca − + =
2-‫اﻟﺴﺆال‬ ‫ﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫أآﺘﺐ‬1.‫ﻟﻨﻘﺒﻠﻬﺎ‬
‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬ ‫هﻞ‬( )1;2;3u‫و‬( )2;0;1v‫و‬( )3;1;3w‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬.

3. Moustaouli Mohamed
‫أ‬-‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫ﻣﺤﺪدة‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;u a b c‫و‬( )'; '; 'v a b c‫و‬( )"; "; "w a b c‫أﺳﺎس‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬( ); ;i j k
‫اﻟﻌﺪد‬
' '' ' '' ' ''
' '' ' '' ' ''
b b a a a a
c c c c
cb
b
a
b
− +‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬ ‫ﻣﺤﺪدة‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬u‫و‬v‫و‬w‫ﻟﻪ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ‬( )det ; ;u v w
‫ﺑـ‬ ‫أو‬
' "
' "
' "
a a a
b b b
c c c
‫ﻧﻜﺘﺐ‬( )
' "
' '' ' '' ' ''
det ; ; ' "
' '' ' '' ' ''
' "
a a
b b a a a a
u v w b b
c c c c
c
b
ba
b
c
b
a
c c
= = − +
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
1d‫و‬2d‫و‬3d‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺪدات‬v‫و‬w
( ) 1 2 3
' "
det ; ; ' "
' "
a a
u v w b b d d d
c c
bb a
c
a
c= = − +
‫ب‬-‫ﻣﺒﺮهﻨ‬‫ﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;u a b c‫و‬( )'; '; 'v a b c‫و‬( )"; "; "w a b c‫أﺳﺎس‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬( ); ;i j k
‫ﺗﻜﻮن‬u‫و‬v‫و‬w‫إذا‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬( )det ; ; 0u v w ≠
‫ﺗﻜﻮن‬u‫و‬v‫و‬w‫إذا‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬( )det ; ; 0u v w =
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ‬‫ﻓﻀﺎء‬‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬( ); ; ;O i j k‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ،‫اﻟﻨﻘﻂ‬( )2;2;4A‫و‬( )2;1;3B‫و‬( )1; 1;0C −
‫و‬( )1;2;1D −‫اﻟﻤﺘﻬﺠﺎت‬ ‫و‬( )1; 2;1u −‫و‬( )1; 3; 2v −‫و‬( )1;1;4w −
1-‫اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ‬ ‫أدرس‬u‫و‬v
2-‫اﺳﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫أدرس‬u‫و‬v‫و‬w
3-‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﺳﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫أدرس‬A‫و‬B‫و‬C‫و‬D
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬3V‫ﻣﻤﻨﻈﻢ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫أﺳﺎس‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺴﻮب‬( ); ;i j k‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ،( ); 2;1u m m−
‫و‬( )2 1; 2; 2 3v m m+ − +‫ﺣﻴﺚ‬m‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮ‬
1-‫آﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﻬﻤﺎ‬ ‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬m‫ﻣﻦ‬:u‫و‬v‫ﻏﻴﺮ‬‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
2-‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )1; 2;1w −،‫ﺑﻴ‬‫أن‬ ‫ﻦ‬u‫و‬v‫و‬w‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
4-‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬ ‫ﺗﻤﺘﻴﻞ‬-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬
‫أ‬-‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻞ‬
‫ﻓﻲ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬( ); ; ;O i j k.‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( )D‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬( )0 0 0; ;A x y z
‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( ); ;u α β λ
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;M x y z‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬
( )M D∈‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬/t AM t u∃ ∈ = ⋅
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬
0
0
0
x x t
y y t t
z z t
α
β
λ
= +

= + ∈
 = +

4. Moustaouli Mohamed
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬‫إﻟﻰ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬( ); ; ;O i j k.‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )0 0 0; ;A x y z‫و‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( ); ;u α β λ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬
‫اﻟﻨﻈﻤﺔ‬
0
0
0
x x t
y y t t
z z t
α
β
λ
= +

= + ∈
 = +
‫ﺗﺴﻤ‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﻰ‬( )D‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )0 0 0; ;A x y z
‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( ); ;u α β λ
‫ﻣﺜﺎل‬
1 2
5 3
2
x t
y t t
z t
= − −

= + ∈
 = − +
‫ﺗﻤﺜﻴﻞ‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬( )D‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )1;5; 2A −‫ب‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( )2;3;1u −
‫ب‬-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬
‫ﻟﻴﻜﻦ‬( )D‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺎرا‬( )0 0 0; ;A x y z‫و‬( ); ;u a b c‫ﻟﻪ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;M x y z‫ا‬ ‫ﻣﻦ‬‫ﻟﻔﻀﺎء‬
( )M D∈‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬AM‫و‬u‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺘﻴﻦ‬
‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺪد‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬AM‫و‬u‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬( ) ( )0 0 0b x x a y y− − − =‫و‬( ) ( )0 0 0c x x a z z− − − =‫و‬( ) ( )0 0 0c y y b z z− − − =
‫اﻷﻋﺪاد‬a‫و‬b‫و‬c‫ﻟ‬‫ﻴ‬‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫ﺟﻤﻴﻌﻬﺎ‬ ‫ﺴﺖ‬
‫أن‬ ‫ﻟﻨﻔﺮض‬0a ≠‫و‬0b ≠‫و‬0c ≠
( )M D∈‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬0 0 0x x y y z z
a b c
− − −
= =
‫ﻣﺜﻼ‬ ‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ‬ ‫أﺣﺪهﻤﺎ‬ ‫أن‬ ‫ﻟﻨﻔﺮض‬0a =‫و‬0b ≠‫و‬0c ≠
( )M D∈‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬0 0y y z z
b c
− −
=‫و‬0 0x x− =
‫ﻣﺜﻼ‬ ‫ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ‬ ‫ﻣﻨﻬﻤﺎ‬ ‫اﺛﻨﻴﻦ‬ ‫أن‬ ‫ﻟﻨﻔﺮض‬0a =‫و‬0b =‫و‬0c ≠
( )M D∈‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬0 0y y− =‫و‬0 0x x− =
‫ﻣﺮهﻨﺔ‬
‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬( ); ; ;O i j k
‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫آﺎن‬ ‫إذا‬( )D‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺎرا‬( )0 0 0; ;A x y z‫و‬( ); ;u a b c‫اﻟﻨﻈﻤﺔ‬ ‫ﻓﺎن‬ ‫ﻟﻪ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬:
0 0 0x x y y z z
a b c
− − −
= =‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﻴﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬ ‫ﻧﻈﻤﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬( )D‫آﺎن‬ ‫إذا‬0a ≠‫و‬0b ≠
‫و‬0c ≠‫إ‬ ‫أﻣﺎ‬‫أﻳﻀﺎ‬ ‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ‬ ‫ﻳﻜﻮن‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ‬ ‫اﻟﺒﺴﻂ‬ ‫ﻓﺎن‬ ‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫آﺎن‬ ‫ذا‬.
‫أﻣﺜﻠﺔ‬
*‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬( )D‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )1;5; 2A −‫ب‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( )2;3;1u −
1 5
2
2 3
x y
z
− −
= = +
−
‫دﻳﻜﺎرﺗﻴ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬‫ﺎن‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬( )D
*‫اﻟﻤ‬‫ﺴﺘﻘﻴﻢ‬( )'D‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )1; 2;2B −‫ب‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( )' 3;0;2u −
1 2
3 2
x z− −
=
−
‫و‬2 0y + =‫دﻳﻜﺎرﺗﻴ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴ‬ ‫ﺎن‬‫ﻢ‬( )'D
*‫اﻟﻤ‬‫ﺴﺘﻘﻴﻢ‬( )''D‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )3;2; 5C −‫ب‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( )'' 3;0;0u −
2 0y − =‫و‬5 0z + =‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬( )''D

5. Moustaouli Mohamed
5-‫ﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬ ‫ﺗﻤﺘﻴﻞ‬-‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬
‫أ‬/‫ﺗﻤﺘﻴﻞ‬‫ﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬
‫ﻓﻲ‬‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬‫إﻟﻰ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬( ); ; ;O i j k.‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( )P‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )0 0 0; ;A x y z
‫اﻟﻤ‬ ‫و‬‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫ﻮﺟﻪ‬( ); ;u α β λ‫و‬( )' '; '; 'u α β λ
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ;M x y z‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬
( )M P∈‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬( ) 2
; ' / ' 't t AM t u t u∃ ∈ = ⋅ + ⋅
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬( )
0
2
0
0
' '
' ' ; '
' '
x x t t
y y t t t t
z z t t
α α
β β
λ λ
= + +

= + + ∈
 = + +
‫ﺗﻌﺮ‬‫ﻳﻒ‬
‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬‫إﻟﻰ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬( ); ; ;O i j k.‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )0 0 0; ;A x y z‫و‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( ); ;u α β λ
‫و‬( )' '; '; 'u α β λ‫ﻣﺘﺠﻬ‬‫ﺘﻴﻦ‬‫ﻣﻨﻌﺪﻣ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫ﺘﻴﻦ‬
‫اﻟﻨﻈﻤﺔ‬( )
0
2
0
0
' '
' ' ; '
' '
x x t t
y y t t t t
z z t t
α α
β β
λ λ
= + +

= + + ∈
 = + +
‫ﻟﻠﻤﺴﺘ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬‫ﻮى‬( )P‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬
( )0 0 0; ;A x y z‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( ); ;u α β λ‫و‬( )' '; '; 'u α β λ
‫ب‬-‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ‬( )P‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬( )0 0 0; ;A x y z‫و‬‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫ﻣﻮﺟﻪ‬( ); ;u α β λ‫و‬( )' '; '; 'u α β λ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
; , det ; ; 0
'
; , ' 0
'
M x y z P AM u v
x x
M x y z P y y
z z
α α
β β
λ λ
∈ ⇔ =
−
∈ ⇔ − =
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
' ' '
; , 0
' ' '
M x y z P x x y y z z
β β α α α α
λ λ λ λ β β
∈ ⇔ − − − + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0; , 0M x y z P a x x b y y c z z∈ ⇔ − + − + − =
‫ﺑﻮﺿﻊ‬3 2 1; ;c d b d a d= = − =‫ﺣﻴﺚ‬1d‫و‬2d‫و‬3d‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺪدات‬
‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬( ); ;u α β λ‫و‬( )' '; '; 'u α β λ
‫ﻧﻀﻊ‬( )0 0 0d ax by cz= − + +
( ) 0M P ax by cz d∈ ⇔ + + + =
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫اﻟﻔﻀ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫ﺎء‬( ); ; ;O i j k
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬( )P‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )0 0 0; ;A x y z‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫واﻟﻤﻮﺟﻪ‬( ); ;u α β λ‫و‬( )' '; '; 'u α β λ
‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬0ax by cz d+ + + =‫ﺣﻴﺚ‬( ) ( ); ; 0;0;0a b c ≠
‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬( ); ,M x y z‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬0ax by cz d+ + + =‫ﺣﻴﺚ‬( ) ( ); ; 0;0;0a b c ≠،
‫ﻣﺴﺘﻮى‬
0ax by cz d+ + + =‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬( )P
‫ﻣﺜﺎل‬
‫اﻟ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬‫ﻤﺴﺘﻮى‬( )P‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬( )1; 1;0A −‫ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( )0;3;2u‫و‬( )2; 1,0v − −
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻧﺤﺪد‬( )P

6. Moustaouli Mohamed
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( ); ,M x y z‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﻦ‬
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
; , det ; ; 0
1 0 2
; , 1 3 1 0
2 0
; , 2 1 4 1 6 0
; , 2 4 6 2 0
M x y z P AM u v
x
M x y z P y
z
M x y z P x y z
M x y z P x y z
∈ ⇔ =
− −
∈ ⇔ + − =
∈ ⇔ − + + + =
∈ ⇔ + + + =
2 4 6 2 0x y z+ + + =‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬( )P
6-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫اﻷوﺿﺎع‬
‫أ‬-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫اﻷوﺿﺎع‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ‬( ) ( );D D A u=‫و‬( ) ( );D B v∆ =‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬
‫آﺎن‬ ‫إذا‬u‫و‬v‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬( )A∈ ∆‫أو‬( )B D∈‫ﻓﺎن‬( ) ( )D = ∆
‫آﺎن‬ ‫إذا‬u‫و‬v‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬( )A∉ ∆‫ﻓﺎن‬( )D‫و‬( )∆‫ﻗﻄﻌﺎ‬ ‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬
‫آﺎن‬ ‫إذا‬u‫و‬v‫ﻏﻴﺮ‬‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬( )det ; ; 0AB u v =‫ﻓﺎن‬( )D‫و‬( )∆‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬
‫آﺎن‬ ‫إذا‬u‫و‬v‫ﻏﻴﺮ‬‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬( )det ; ; 0AB u v ≠‫ﻓﺎن‬( )D‫و‬( )∆‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬
‫ب‬-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫اﻷوﺿﺎع‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
( ) ( ); ;P P A u v=‫و‬( ) ( ); '; 'Q P B u v=
-‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )'P‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬u‫و‬v‫و‬'u‫و‬'v‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫أي‬( )det ; ; ' 0u v u =‫و‬( )det ; ; ' 0u v v =
-‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )'P‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬u‫و‬v‫و‬'u‫و‬'v‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬
‫أي‬( )det ; ; ' 0u v u ≠‫و‬ ‫أ‬( )det ; ; ' 0u v v ≠
‫ﺧﺎﺻﻴ‬‫ﺎت‬
( ): 0P ax by cz d+ + + =‫ﺣﻴﺚ‬( ) ( ); ; 0;0;0a b c ≠
( ): ' ' ' ' 0P a x b y c z d+ + + =‫ﺣﻴﺚ‬( ) ( )'; '; ' 0;0;0a b c ≠
*‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )'P‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫وﻓﻘﻂ‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ‬' ' 0ab a b− ≠‫أ‬‫و‬' ' 0bc b c− ≠‫أ‬‫و‬' ' 0ac a c− ≠
*‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )'P‫ﻗﻄﻌﺎ‬ ‫ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬‫إذا‬‫وﻓﻘﻂ‬‫إذا‬‫ﻣﻨﻌﺪم‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫وﺟﺪ‬t‫ﺣﻴﺚ‬
' ; ' ; 'c tc b tb a ta= = =‫و‬'d td≠
*‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )'P‫إذا‬ ‫ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ‬‫وﻓﻘﻂ‬‫إذا‬‫ﻣﻨﻌﺪم‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫وﺟﺪ‬t‫ﺣﻴﺚ‬
' ; ' ; 'c tc b tb a ta= = =‫و‬'d td=
‫ج‬-‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫و‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫اﻷوﺿﺎع‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
( ) ( ); ;P P A u v=‫و‬( ) ( ); 'D D B u=
-‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )D‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬‫إذا‬‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬‫إذا‬‫آﺎﻧﺖ‬u‫و‬v‫و‬'u‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬‫أي‬( )det ; ; ' 0u v u =
-‫ﻳﻜﻮن‬( )P‫و‬( )D‫ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬‫إذا‬‫ﻓﻘﻂ‬ ‫و‬‫إذا‬‫آﺎﻧﺖ‬u‫و‬v‫و‬'u‫ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬‫أي‬( )det ; ; ' 0u v u ≠
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
( ) ( ); ;P P A u v=‫و‬( ) ( ); 'D D B u=‫ﺣﻴﺚ‬( )P‫و‬( )D‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬
-‫آﺎن‬ ‫إذا‬( )B P∈‫ﻓﺎن‬( ) ( )D P∈

7. Moustaouli Mohamed
-‫آﺎن‬ ‫إذا‬( )B P∉‫ﻓﺎن‬( )D‫ﻳﻮازي‬( )P‫ﻗﻄﻌﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫ﻓﻀﺎء‬( ); ; ;O i j k‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( )2;1;2A‫و‬( )1;0;2B‫و‬( )1;2;2C.
‫ﻟﻴﻜﻦ‬( )D‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬A‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫و‬( )1;0;2u‫و‬( )P‫ا‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬‫ﻟﺬي‬‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬
‫اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬2 3 0x y z+ − + =
1-‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﺣﺪد‬( )D
2-‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺘﻴﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬ ‫ﺣﺪد‬( )D
3-‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫أن‬ ‫ﺗﺄآﺪ‬A‫و‬B‫و‬C‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﺪد‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬( )ABC
4-‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﺑﺎرﻣﺘﺮﻳﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻼ‬ ‫ﺣﺪد‬( )P
5-‫ﺗﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﺣﺪد‬( )D‫و‬( )P
6-‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( )'P‫اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮف‬2 1 0x y z+ − + =
‫أ‬-‫أن‬ ‫ﺗﺄآﺪ‬( )P‫و‬( )'P‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬
‫ب‬-‫ﺣﺪد‬‫ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳ‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻞ‬‫ﺎ‬‫ﻟ‬‫ﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬( )∆‫ﺗﻘﺎﻃﻊ‬( )P‫و‬( )'P‫ﻟـ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫إﻋﻄﺎء‬ ‫ﻣﻊ‬( )∆
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ‬‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫ﻓﻀﺎء‬( ); ; ;O i j k‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬:
( )
( )
: 2 4 2 0
: 2 4 3 0
mP x y mz
P x y z
+ + − =
+ − − =
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫و‬( )
1
: 1
2
x t
D y t t
z t
= +

= − ∈
 =
‫ﺣﻴﺚ‬m‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬
‫ﻗﻴﻢ‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫أدرس‬m‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻲ‬ ‫اﻟﻮﺿﻊ‬( )mP‫و‬( )P
‫ﻗﻴﻢ‬ ‫ﺣﺴﺐ‬ ‫أدرس‬m‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﻲ‬ ‫اﻟﻮﺿﻊ‬( )mP‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫و‬( )D