Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

الجبر الدوال الحقيقية

  • Login to see the comments

الجبر الدوال الحقيقية

  1. 1. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬    http://thanawy.fi5.us/vb/             
  2. 2. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﺱ– ١‬ ‫ﻣﺜﻼً : ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺱ– ٢‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ :‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻫﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ﺱ – ٢ = ٠‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً :‬ ‫∴ﺱ=٢‬ ‫١‬ ‫•‬ ‫ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻮﺿﺢ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺎ :‬ ‫∴ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺡ – } ٢ {‬ ‫•‬ ‫٢‬ ‫ﺱ– ١‬ ‫٧‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫٣‬ ‫ﺣﻴﺚ : ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = } ٢ ، ٣ ، ٥ ، ٦ {‬ ‫، ﻭﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺭ ) ﺱ ( =‬ ‫٤‬ ‫•‬ ‫ﺱ٢ + ٥ ﺱ – ٦‬ ‫•‬ ‫٥‬ ‫، ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = } ١ ، ٧ ، ٤ ، ٥ ، ٩ {‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ‬ ‫٥‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫٦‬ ‫، ﺍﻟﻤﺪﻯ = } ٧ ، ٥ ، ٩ {‬ ‫ﺱ +٥ﺱ– ٦=٠‬ ‫٢‬ ‫٩‬ ‫•‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ :‬ ‫∴)ﺱ+٦()ﺱ– ١(=٠‬ ‫ﺩ ) ٢ ( = ٧ ، ﺩ ) ٣ ( = ٧ ، ﺩ ) ٥ ( = ٥ ، ﺩ ) ٦ ( = ٩ ، ﺩ ) ٤ ( = ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫∴ ﺱ = – ٦ ﺃ، ﺱ = ١‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫∴ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺭ ) ﺱ ( = ﺡ – } - ٦ ، ١ {‬ ‫) ١ ( ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ = ﺡ ) ﺣﻴﺚ ﺡ = ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ (‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪: ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ = ٠ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺣﻞ ) ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﻛﻤﻴﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ (‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻻ ﺗﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎﻟﻤﻘﺎﻡ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻫﻮ ﺡ .‬ ‫ﻣﺜﻼً : ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺡ :‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ :‬ ‫، ﺩ٢)ﺱ(=٥‬ ‫ﺩ١)ﺱ(=٣ﺱ– ١‬ ‫ﺱ–١‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﺱ– ١‬ ‫ﺱ٢ + ٢ ﺱ + ٤‬ ‫، ﺩ٤)ﺱ(=‬ ‫ﺩ ٣ ) ﺱ ( = ٤ ﺱ٢ – ٣ ﺱ + ١‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ :‬ ‫٢‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ﺱ٢ + ٢ ﺱ + ٤ = ٠ ﺣﻴﺚ ﺍ = ١ ، ﺏ = ٢ ، ﺟـ = ٤‬ ‫) ٢ ( ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ = ﺡ – } ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ {‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ – ٤ ﺍ ﺟـ = ) ٢ (٢ – ٤ × ١ × ٤ = – ٢١ ) ﻛﻤﻴﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ (‬ ‫‪: ( ١ ) ‬‬ ‫ﺇ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ = ﺡ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻘﺎﻣﻬﺎ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫‪: ( ٢ ) ‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﻢ ﺱ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ = ﺻﻔﺮ‬
  3. 3. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫) ٣ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﺪﺍﻟﺔ :‬ ‫ﺱ– ٣‬ ‫، ﺭ)ﺱ(=‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﺱ+١‬ ‫ﺃﻭﻻً : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﺒﺴﻂ :‬ ‫ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﺘﻴﻦ . ﺃﻛﺘﺐ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻭﻋﻴﻦ ﻣﺠﺎﻝ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ :‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻣﺎﺗﺤﺖ ﺍﻟﺠﺬﺭ ≤ ﺻﻔﺮ‬ ‫)ﺍ()ﺩ– ﺭ()ﺱ(‬ ‫ﺩ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎً : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠـﺬﺭ ﺑﺎﻟﻤﻘـﺎﻡ :‬ ‫)ﺏ() ﺭ ()ﺱ(‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﺠﺬﺭ < ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺭ‬ ‫)ﺝ() ﺩ ()ﺱ(‬ ‫ﻣﺜﻼً : ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ] ٢ /ﺱ /+ /٦/‬ ‫ﻧﻀﻊ ٢ ﺱ – ٦ ≤ ٠‬ ‫)ﺍ(ﻡ١=ﺡ– }-١{ ، ﻡ٢=ﺡ– }٣{‬ ‫ﻭﻣﻨﻬﺎ ٢ ﺱ ≤ ٦‬ ‫ﻡ١ﻁ ﻡ٢=ﺡ– }-١،٣{‬ ‫∴ﺱ≤٣‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫–‬ ‫)ﺩ– ﺭ()ﺱ(=‬ ‫∴ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ] ٣ ، ∞ ]‬ ‫ﺱ– ٣‬ ‫ﺱ+١‬ ‫ﺱ)ﺱ– ٣(– ﺱ)ﺱ+١(‬ ‫ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻓﻰ ﻣﻘﺎﻡ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = [ ٣ ، ∞ ]‬ ‫=‬ ‫]ﺱ /– /٢/‬ ‫)ﺱ+١()ﺱ– ٣(‬ ‫ﻭﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺕ ) ﺱ ( =‬ ‫– ٤ﺱ‬ ‫]٣ – / ﺱ/‬ ‫=‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺒﺴﻂ = ﻡ ١ = ] ٢ ، ∞ ]‬ ‫ﺱ٢– ٢ﺱ– ٣‬ ‫ﻭﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ = ﻡ ٢ = [ - ∞ ، ٣ ] ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺕ ﻫﻮ‬ ‫) ﺏ ( ﻻﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻘﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﺭ ) ﺱ ( ﻓﻜﺄﻧﻨﺎ ﻧﻀﺮﺏ × ﻣﻘﻠﻮﺑﻬﺎ ﻓﻴﺼﺒﺢ ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻡ١∩ﻡ٢=]٢،٣]‬ ‫ﺹ)ﺭ(=}٠{‬ ‫‪‬ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻰ ﻻ ﻳﻨﻈﺮ ﻟﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ . ‪ ‬‬ ‫ﻡ١ﻁ ﻡ٢ – ﺹ)ﺭ(=ﺡ– }-١،٠،٣{‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺱ– ٣‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺩ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩ ١ ﺩﺍﻟﺔ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻡ ١ ، ﺩ ٢ ﺩﺍﻟﺔ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻡ ٢ ﻓﺈﻥ :‬ ‫=‬ ‫÷‬ ‫) ﺭ ()ﺱ(=‬ ‫ﺱ+١‬ ‫ﺱ– ٣‬ ‫ﺱ+١‬ ‫) ١ ( ) ﺩ ١ ± ﺩ ٢ ( ) ﺱ ( = ﺩ ١ ) ﺱ ( ± ﺩ ٢ ) ﺱ ( ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ = ﻡ ١ ﻁ ﻡ ٢‬ ‫)ﺝ(ﻡ١ﻁ ﻡ٢– ﺹ)ﺩ(=ﺡ– }-١،٠،٣{‬ ‫٢‬ ‫) ٢ ( ) ﺩ ١ . ﺩ ٢ ( ) ﺱ ( = ﺩ ١ ) ﺱ ( × ﺩ ٢ ) ﺱ ( ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ = ﻡ ١ ﻁ ﻡ‬ ‫ﺱ+١‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺭ‬ ‫)٣()ﺩ١÷ﺩ٢()ﺱ(=ﺩ١)ﺱ(÷ﺩ٢)ﺱ(‬ ‫=‬ ‫÷‬ ‫) ﺩ ()ﺱ(=‬ ‫ﺱ– ٣‬ ‫ﺱ+١‬ ‫ﺱ– ٣‬ ‫.‬ ‫٢‬ ‫ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ = ﻡ ١ ﻁ ﻡ ٢ – ﺹ ) ﺩ ٢ ( ﺣﻴﺚ ﺹ ) ﺩ ٢ ( ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺩ‬
  4. 4. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺃﺑﺤﺚ ﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﺃﻣﺎﻣﻚ ﻣﺒﻴﻨﺎً ﺍﻟﻤﺪﻯ :‬ ‫ﻳﻘﺼﺪ ﺑﺈﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻭﺍﻟﻤﺪﻯ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً‬ ‫)٣(‬ ‫)٢(‬ ‫)١(‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ) ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ( ‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ) ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ (‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ١ ( : ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ٢ [‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] - ٢ ، ٠ [ ، ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ٣ [ ، ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ ] ٣ ، ٥ [‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻭﺍﻟﻤﺪﻯ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﺃﻣﺎﻣﻚ :‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٢ ( : ﺍﻟﻤﺪﻯ = ]– ٥ ، ∞ ]‬ ‫)٣(‬ ‫)٢(‬ ‫)١(‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ١ [ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] – ١ ، ∞ ]‬ ‫٣‬ ‫ﺷﻜﻞ )٣( : ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] - ٥ ، ١ [‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] – ٣ ، ٠ ] ، ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ٣ ] ، ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ ] ٣ ، ٥ ]‬ ‫) ١ ( ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = [ – ٢ ، ٥ [ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ٢ [‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ٢ ( ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = [ – ٢ ، ٤ [ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] - ٢ ، ٢ [‬ ‫ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً‬ ‫ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺟﺒﺮﻳﺎً‬ ‫ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫) ٣ ( ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = ﺡ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ‬ ‫ﺩ)–ﺱ(=ﺩ)ﺱ(‬ ‫ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ‬ ‫ﺩ)–ﺱ(=–ﺩ)ﺱ(‬ ‫ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﻳﻘﺼﺪ ﺑﺎﻃﺮﺍﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ :‬ ‫) ٣ ( ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫) ٢ ( ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫) ١ ( ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺒﺤﺚ :‬ ‫) ١ ( ﻧﻮﺟﺪ ﺩ ) – ﺱ ( ﻭﺫﻟﻚ ﻳﺘﻢ ﺑﺎﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﻛﻞ ) ﺱ ( ﺑـ ) – ﺱ ( ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ‬ ‫) ٢ ( ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﻭﻧﻔﻜﻬﺎ‬ ‫) ١ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻠﻤﺎ ﺍﺗﺠﻬﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﺼﻌﺪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫) ٣ ( ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻭﻧﺤﻜﻢ ﻋﻠﻰ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﻤﺒﻴﻦ‬ ‫) ٢ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻠﻤﺎ ﺍﺗﺠﻬﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﻬﺒﻂ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫) ٣ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ .‬
  5. 5. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺃﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫١‬ ‫)١(ﺩ)ﺱ(=)ﺱ+ ﺱ (٢+)ﺱ– ﺱ (‬ ‫ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻯ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻰ‬ ‫١‬ ‫=– ﺱ‬ ‫)– ﺱ(‬ ‫،‬ ‫=ﺱ‬ ‫)١()–ﺱ(‬ ‫٥‬ ‫) ٢ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ) ﺱ – ﺱ ( ) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = | ٣ – ﺱ| + ٥‬ ‫) ٢ ( ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ) – ﺱ ( ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﺎﻣﻠﺔ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻓﻰ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫٢‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ – ٢| +|ﺱ + ٢|‬ ‫) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢|ﺱ| – ﺱ‬ ‫ﺃﻯ : ﺟﺎ ) – ﺱ ( = – ﺟﺎ ﺱ ، ﻇﺎ ) – ﺱ ( = – ﻇﺎ ﺱ ، ﺟﺘﺎ ) – ﺱ ( = ﺟﺘﺎ ﺱ‬ ‫٢‬ ‫١‬ ‫١‬ ‫) ٣ ( |– ﺱ| = |ﺱ|‬ ‫)١(ﺩ)–ﺱ(=)–ﺱ– ﺱ(٢+)–ﺱ+ ﺱ (‬ ‫١ ٢‬ ‫١‬ ‫=)ﺱ+ ﺱ (٢+)ﺱ– ﺱ( =ﺩ)ﺱ(‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺃﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫) ٢ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٤ ﺟﺎ ﺱ‬ ‫) ١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ – ٣‬ ‫٥‬ ‫١‬ ‫) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ + ﻇﺎ٢ ﺱ ) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٣ + ﺟﺘﺎ ﺱ‬ ‫)٢(ﺩ)–ﺱ(=)–ﺱ()–ﺱ+ ﺱ (‬ ‫٣‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺟﺎ ﺱ‬ ‫١‬ ‫٥‬ ‫=–ﺱ×–)ﺱ– ﺱ ( =ﺩ)ﺱ(‬ ‫) ١ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ) – ﺱ (٢ – ٣ = ﺱ٢ – ٣ = ﺩ ) ﺱ (‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫) ٣ ( ﺩ ) - ﺱ ( = |٣ + ﺱ | + ٥‬ ‫) ٢ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ٤ ﺟﺎ ) – ﺱ ( = – ٤ ﺟﺎ ﺱ = – ﺩ ) ﺱ (‬ ‫٢‬ ‫) ٤ ( ﺩ ) - ﺱ ( = ٢| - ﺱ| – ) - ﺱ (‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫٢‬ ‫= ٢|ﺱ| – ﺱ = ﺩ ) ﺱ ( ∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫) ٣ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ) – ﺱ (٢ + ﻇﺎ٢ ) – ﺱ ( = ﺱ٢ + ﻇﺎ ﺱ = ﺩ ) ﺱ (‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) - ﺱ ( = | - ﺱ – ٢|+| - ﺱ + ٢|‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫=|ﺱ + ٢|+|ﺱ – ٢| = ﺩ ) ﺱ (‬ ‫) ٤ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ) – ﺱ (٣ + ﺟﺘﺎ ) – ﺱ ( = – ﺱ٣ + ﺟﺘﺎ ﺱ‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫= – ) ﺱ٣ – ﺟﺘﺎ ﺱ (‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ﺟﺎ ) – ﺱ (٣ = – ﺟﺎ ﺱ٣ = – ﺩ ) ﺱ (‬ ‫ﺩ)ﺱ(+ﺩ)– ﺱ(=٠‬ ‫∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﺗﺒﻘﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬
  6. 6. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٨ (‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٧ (‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺩﻭﺍﻝ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ :‬ ‫ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫‪‬‬ ‫) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ + ٥‬ ‫)٢(ﺩ)ﺱ(=٢ﺱ+٣‬ ‫ﺱ‬ ‫١‬ ‫ﺱ٢ + ﺱ‬ ‫ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺩﻭﺍﻝ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ :‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ+‬ ‫ﺱ‬ ‫)٤(ﺩ)ﺱ(=‬ ‫ﺱ+٢‬ ‫٣‬ ‫]ﺱ /– /٢/‬ ‫) ٧ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ]ﺱ / – / ٢/‬ ‫)٦(ﺩ)ﺱ(=‬ ‫]ﺱ /+/ ٢/‬ ‫ﺃﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :‬ ‫‪‬‬ ‫) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٣ + ﺱ‬ ‫) ٩ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ + ١‬ ‫‪: ‬‬ ‫) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ ﺟﺘﺎ ﺱ‬ ‫) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ ﺟﺎ ﺱ‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻟﻴﺴﺖ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻼ ﻫﻰ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻭﻻ ﻫﻰ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬ ‫}‬ ‫، ﺱ<٠‬ ‫ﺱ+٢‬ ‫٦‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ .‬ ‫، ﺱ>٠‬ ‫ﺱ– ٢‬ ‫) ٣١ ( ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫) ٤١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ٤ – ﺱ ( ٣ – ) ٤ + ﺱ ( ٣‬ ‫‪  (  )‬‬ ‫) ٥١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ٣ – ﺱ ( ٣ + ) ٣ + ﺱ ( ٣‬ ‫) ١ ( ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﺃﻡ ﻏﻴﺮ ﺫﻟﻚ :‬ ‫) ٦١ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ + ٣ ، ﺭ ) ﺱ ( = ﺱ – ٢ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺘﺎﻥ ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻭﻋﻴﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ :‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٢ (‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ١ (‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٣ (‬ ‫)ﺍ()ﺩ+ﺭ()ﺱ(‬ ‫)ﺏ()ﺩ– ﺭ()ﺱ(‬ ‫)ﺝ()ﺩ٠ﺭ()ﺱ(‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٦ (‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٥ (‬ ‫ﺷﻜﻞ ) ٤ (‬ ‫ﺭ‬ ‫)ﺩ() ﺩ ()ﺱ(‬
  7. 7. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺩ ) ﺱ ( = ﺍ ﺱ + ﺏ ﻟﻜﻞ ﺱ ، ﺍ ، ﺏ ∋ ﺡ‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻫﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺗﻤﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺑﺨﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻴﻠﻪ ﺍ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺩ ) ﺱ ( = ﺝ ﻟﻜﻞ ﺱ ، ﺝ ∋ ﺡ‬ ‫) ٠ ، ﺏ ( ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍ < ٠ ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍ > ٠‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺑﺨﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ، ﻣﺪﺍﻫﺎ = } ﺝ { ، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ .‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٣ ﺱ – ٢ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ = ﺡ‬ ‫ﻭﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﻣﺪﺍﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺃﻭ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ .‬ ‫‪ ‬‬ ‫، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – ٣ ﺱ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ = ﺡ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٢ ﺱ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ = ﺡ ﻭﻓﺮﺩﻳﺔ .‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺳﻔﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‬ ‫، ﺱ∋]-٤،-٢[‬ ‫ﺱ+٤‬ ‫، ﺱ∋[–٢،٢[‬ ‫، ﺱ∋[٢،٤[‬ ‫٤– ﺱ‬ ‫٢‬ ‫}‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ) ﺱ ( = ٣ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ = } ٣ {‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = ] - ٤ ، ٤ [ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ٢ [‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] - ٤ ، - ٢ [ ،‬ ‫ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ [ – ٢ ، ٢ [ ، ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ ٢ ، ٤ [ .‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫، ﺱ>٠‬ ‫-٢ ، ﺱ<٠‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ : ﺩ ) ﺱ ( = }‬ ‫٩– ﺱ‬ ‫٢‬ ‫،ﺱﻵ ٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺇﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ = } - ٢ ، ٢ {‬ ‫٣– ﺱ‬ ‫ﻭﻋﻴﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ .‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ [ - ∞ ، ٠ [ ﻭﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ [ ٠ ، ∞ ]‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ .‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = ﺡ – } ٣ {‬ ‫)٣– ﺱ()٣+ﺱ(‬ ‫‪ ‬‬ ‫=٣+ﺱ‬ ‫ﺩ)ﺱ(=‬ ‫)٣– ﺱ(‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ = ﺡ – } ٦ {‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬
  8. 8. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  (  )‬‬ ‫‪ : ‬ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻌﺪﺩ . ﺃﻯ ﺃﻥ : |ﺱ| ≤ ٠‬ ‫ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺃﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﺪﻯ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً : |٣| = ٣ ، | - ٣| = ٣ ، |٠| = ٠‬ ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻃﺮﺍﺩﻫﺎ ﻭﺑﻴﻦ ﻧﻮﻋﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :‬ ‫‪ :‬ﻫﻮ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﻣﺎ ﺑﺪﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﺴﺎﻭﻳﺎً ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬ ‫)٢(ﺩ)ﺱ(=٠‬ ‫)١(ﺩ)ﺱ(=٤‬ ‫‪ ‬‬ ‫)٤(ﺩ)ﺱ(=٢ﺱ– ١‬ ‫)٣(ﺩ)ﺱ(=ﺱ‬ ‫) ١ ( ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ، ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺑﻨﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺗﻪ (‬ ‫)٦(ﺩ)ﺱ(=– ﺱ‬ ‫)٥(ﺩ)ﺱ(=٢– ﺱ‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫) ٢ ( ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻫﻮ‬ ‫–٣ ،ﺱ>٢‬ ‫) ٣ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻔﺘﺢ ﻷﺳﻔﻞ .‬ ‫) ٤ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻔﺘﺢ ﻷﻋﻠﻰ .‬ ‫،ﺱ=٠‬ ‫،ﺱ<٢‬ ‫٣‬ ‫٠‬ ‫}‬ ‫)٧(ﺩ)ﺱ(=‬ ‫) ٥ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ = ٠ ﻓﺎﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺑﻮﺟﻪ ﻋﺎﻡ‬ ‫، ﺱ≤٠‬ ‫٢‬ ‫) ٦ ( ﻣﺤﻮﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ) ﻭﻳﺘﻐﻴﺮ ﺗﺒﻌﺎً ﻟﻠﺴﺆﺍﻝ (‬ ‫، ﺱ>٠‬ ‫-١‬ ‫) ٨ ( ﺩ ) ﺱ ( =}‬ ‫– ٢ ،– ٥≥ ﺱ≥-٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ| ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﻧﻮﻋﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﺱ ،– ٢>ﺱ>٢‬ ‫، ٢≥ ﺱ≥٥‬ ‫٢‬ ‫}‬ ‫)٩(ﺩ)ﺱ(=‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻔﺘﺢ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، ٠ (‬ ‫ﺱ+ ١ ،ﺱ>١‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻗﺒﻞ ﻭﺑﻌﺪ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ : ) – ١ ، ١ ( ، ) ١ ، ١ (‬ ‫ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] ٠ ، ∞ ] ، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ ]‬ ‫،١>ﺱ>٣‬ ‫٢‬ ‫٥– ﺱ ،ﺱ<٣‬ ‫}‬ ‫) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫، ﺱ≤٠‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٠ ،∞ ] ، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫، ﺱ>٠‬ ‫-ﺱ‬ ‫) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( = }‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ )٢( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = – |ﺱ| ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ‬ ‫،ﺱ∋]-٥،-١]‬ ‫٢– ﺱ‬ ‫ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﻧﻮﻋﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ .‬ ‫،ﺱ∋]-١،٤[‬ ‫ﺱ+٤‬ ‫}‬ ‫) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ = [ - ∞ ، ٠ [‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ [ - ∞ ، ٠ ] ﻭﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬
  9. 9. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) – ٢ ، ١ (‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺇﺿﺎﻓﻴﺘﻴﻦ : ) ٠ ، – ١ ( ، ) – ٣ ، ٠ (‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻤﺴﻄﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻭﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = [ - ∞ ، ١ [‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ )٣( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ – ١ | ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ٢ ] ، ﻭﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] – ٢ ، ∞ ]‬ ‫ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ .‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ .‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = – ٢‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ١ ، ٠ (‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﺪﻗﺔ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ) ٠ ، ١ ( ، ) ٢ ، ١ (‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٦ ( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٢|ﺱ| – ١‬ ‫ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] – ∞ ، ١ ] ، ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ١ ، ∞ ]‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، - ١ (‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ١‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺇﺿﺎﻓﻴﺘﻴﻦ : ) ١ ، ١ ( ، ) – ١ ، ١ (‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] - ١ ، ∞ ]‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = | ٢ ﺱ + ٣| – ٢‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ ] ، ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ .‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ : ﺱ = ٠‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) – ٥,١ ، – ٢ (‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﺪﻗﺔ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ) ٠ ، ١ ( ، ) – ٢ ، – ١ (‬ ‫ﻟﻮ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻣﺮﺍﻳﺔ‬ ‫ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] - ٢ ، ∞ ]‬ ‫ﺗﺒﻘﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ٥,١ ]‬ ‫ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] – ٥,١، ∞ ]‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = – ٥,١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٥ ( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ١ – |ﺱ + ٢|‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ‬
  10. 10. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  (  )‬‬ ‫‪ : ‬ﻫﻮ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﻣﺎ ﺑﺪﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﺴﺎﻭﻳﺎً ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬ ‫ﺃﺭﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻰ ﻣﻨﻔﺼﻞ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺇﺳﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﺪﻯ‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﻣﻨﻬﺎ ﺱ = ٣‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺻﻔﺮ |٢ ﺱ – ٦| ﻧﻀﻊ ٢ ﺱ – ٦ = ٠‬ ‫ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ :‬ ‫∴ ﺻﻔﺮ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻫﻮ ) ٣ ( ﻭﻫﻮ ﻳﻔﻴﺪﻧﺎ ﻓﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺑﺴﻬﻮﻟﺔ .‬ ‫) ١ ( ﺩ ) ﺱ ( = |– ٢|‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻧﺄﺧﺬ ﻣﺎ ﺑﺪﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺑﻨﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺍﺗﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ≤ ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ( ، ﻭﻧﺄﺧﺬﻩ ﺑﻌﻜﺲ‬ ‫) ٢ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ| – ١‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺍﺗﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ (‬ ‫) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢|ﺱ|‬ ‫‪: ‬‬ ‫) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = – ٢|ﺱ + ٢|‬ ‫)١( ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺩﺍﺋﻤﺎً ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻭ ﺻﻔﺮ ، ﺃﻯ ﺃﻥ |ﺱ| = |– ﺱ| ≤ ٠‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ + ١|‬ ‫٢‬ ‫)٢( |ﺱ٢|=|ﺱ|٢ = ﺱ‬ ‫) ٦ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ| + ١‬ ‫)٣( ]ﺱ٢ =|ﺱ|‬ ‫) ٧ ( ﺩ ) ﺱ ( = | ﺱ + ١| + ٢‬ ‫ﻓﻤﺜﻼً : ] ﺱ٢ : – :٦ :ﺱ: :+ :٩: = ] ) ﺱ: – :٣ :(٢: = |ﺱ – ٣|‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫) ٨ ( ﺩ ) ﺱ ( = |– ﺱ|‬ ‫)٤( |ﺍ – ﺱ|=|ﺱ – ﺍ| ﻭﻳﺠﺐ ﺍﻟﺘﻌﺪﻳﻞ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﺑﺎﻟﺤﻞ‬ ‫) ٩ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – |ﺱ|‬ ‫)٥( |ﺱ × ﺹ| =|ﺱ|×|ﺹ|‬ ‫) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – |ﺱ – ٣|‬ ‫)٦( ﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻳﻔﻀﻞ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻠﻴﻬﺎ ﺩﺍﺧﻞ ﻗﻮﺱ .‬ ‫) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ – |٢ ﺱ + ٣|‬ ‫) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ + |٢ﺱ – ٣|‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( :ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ٥ +|ﺱ – ٣| = ٠‬ ‫) ٣١ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ – ١ |+ ﺱ‬ ‫ﺱ>٣‬ ‫ﺱ≤٣‬ ‫) ٤١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ + ﺱ – |ﺱ + ١ |‬ ‫٥– )ﺱ– ٣(=٠‬ ‫٥+ﺱ– ٣=٠‬ ‫) ٥١ ( ﺩ ) ﺱ ( = | ﺱ + ١ | + ٢ |ﺱ + ١ |‬ ‫٥– ﺱ+٣=٠‬ ‫ﺱ+٢=٠‬ ‫٨– ﺱ=٠‬ ‫ﺱ = – ٢ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ٣‬ ‫ﺱ = ٨ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ٣‬ ‫∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ∅‬
  11. 11. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫٢‬ ‫∴ ﺱ =٩‬ ‫ﺣﻞ ﺁﺧﺮ :‬ ‫∴ ﺱ = ٣ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻈﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ | ﺱ – ٣ | = – ٥‬ ‫، ﺱ = – ٣ ﻣﺮﻓﻮﺽ‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺃﻯ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﻻﺑﺪ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒﺎً ، ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﻼ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ٣ {‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |٢ ﺱ – ٧| = ٣‬ ‫|٢ﺱ–٥|‬ ‫٧ﺱ+٤‬ ‫=‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٥ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ :‬ ‫ﺱ > ٥,٣‬ ‫ﺱ ≤ ٥,٣‬ ‫٢‬ ‫٥‬ ‫– )٢ﺱ– ٧(=٣‬ ‫٢ﺱ– ٧=٣‬ ‫ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ : ٥ | ٢ ﺱ – ٥ | = ٢ ) ٧ ﺱ – ٤ (‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮﺏ × ٠١‬ ‫–٢ﺱ+٧=٣‬ ‫∴ ٢ﺱ=٣+٧‬ ‫= ٥,٢‬ ‫%٢؛‬ ‫ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ =‬ ‫∴ – ٢ﺱ=–٤‬ ‫∴ ٢ ﺱ = ٠١‬ ‫ﺱ > ٥,٢‬ ‫ﺱ ≤ ٥,٢‬ ‫∴ ﺱ = ٢ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫∴ ﺱ=٥‬ ‫–٥)٢ﺱ– ٥(=٢)٧ﺱ+٤(‬ ‫٥)٢ﺱ– ٥(=٢)٧ﺱ+٤(‬ ‫∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ٢ ، ٥ {‬ ‫– ٠١ ﺱ + ٥٢ = ٤١ ﺱ + ٨‬ ‫٠١ ﺱ – ٥٢ = ٤١ ﺱ + ٨‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : | ٢ ﺱ – ٥| – ٣ ﺱ = ٢‬ ‫– ٤٢ ﺱ = – ٧١‬ ‫– ٤ ﺱ = ٣٣‬ ‫ﺱ > ٥,٢‬ ‫ﺱ ≤ ٥,٢‬ ‫ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫&؛٤!٢؛‬ ‫ﺇ ﺱ=‬ ‫ﺇ ﺱ = – ٥٢,٨ ﻣﺮﻓﻮﺽ‬ ‫–٢ﺱ+٥– ٣ﺱ=٢‬ ‫٢ﺱ– ٥– ٣ﺱ=٢‬ ‫{‬ ‫&؛٤!٢؛‬ ‫ﺇ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = }‬ ‫–٥ﺱ=٢– ٥‬ ‫–ﺱ=٢+٥‬ ‫ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫= ٦,٠‬ ‫#٥؛‬ ‫ﺱ=‬ ‫ﺱ = – ٧ ﻣﺮﻓﻮﺽ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٦ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ] ﺱ٢ :+ :٢ :ﺱ: :+: ١: = ٥‬ ‫∴ ﺱ ∋ } ٦,٠ {‬ ‫]ﺱ٢ :+ :٢ :ﺱ: +: ١ : = ٥ ﺉ ] ) ﺱ: +: ١ :(:٢ = ٥ ﺉ |ﺱ + ١|= ٥‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |ﺱ|٢ – ٣ ﺱ|ﺱ|= - ٨١‬ ‫ﺱﺁ– ١‬ ‫ﺱﲨ – ١‬ ‫ﺱ>٠‬ ‫ﺱ≤ ٠‬ ‫– )ﺱ+١(=٥‬ ‫ﺱ+١=٥‬ ‫ﺱ٢ – ٣ ﺱ ) – ﺱ ( = – ٨١‬ ‫ﺱ٢ – ٣ ﺱ × ﺱ = – ٨١‬ ‫ﺱ = – ٦ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫ﺱ = ٤ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬ ‫ﺱ٢ + ٣ ﺱ٢ = – ٨١‬ ‫ﺱ٢ – ٣ ﺱ٢ = – ٨١‬ ‫ﺇ ﺱﻱ }– ٦ ، ٤ {‬ ‫ﻣﺮﻓﻮﺽ‬ ‫٤ ﺱ٢ = – ٨١‬ ‫- ٢ ﺱ٢ = – ٨١‬
  12. 12. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﺍﻷﻳﻤﻦ = |٢ ) – ٢ ( + ١| – ) – ٢ ( = | – ٣|+ ٢ = ٣ + ٢ = ٥ = ﺍﻷﻳﺴﺮ‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٤‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺍﻷﻳﻤﻦ = |٢ ) ٤ ( + ١| – ٤ = |٩| – ٤ = ٩ – ٤ = ٥ = ﺍﻷﻳﺴﺮ‬ ‫)١( ﻧﺠﻌﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﻃﺮﻑ ﻟﻮﺣﺪﻩ‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺍﻵﺗﻴﺘﻴﻦ :‬ ‫)٢( ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ ﻭﻟﺘﻜﻦ ﺩ ١ ) ﺱ ( ) ﺑﺪﻗﺔ ﻣﺘﻨﺎﻫﻴﺔ (‬ ‫) ٢ (|ﺱ – ٢|=|ﺱ|‬ ‫) ١ (|ﺱ – ٢|+|٢ ﺱ – ٧|= ﺱ‬ ‫)٣( ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ ﻭﻟﺘﻜﻦ ﺩ ٢ ) ﺱ ( ) ﺑﺪﻗﺔ ﻣﺘﻨﺎﻫﻴﺔ (‬ ‫)٤( ﻧﺤﺴﺐ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺩ ١ ) ﺱ ( ∩ ﺩ ٢ ) ﺱ ( ﻭﻧﻜﺘﺐ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫) ٢ ( ﺩ ١ ) ﺱ ( =|ﺱ – ٢|‬ ‫) ١ ( ﺩ ١ ) ﺱ ( =|ﺱ – ٢|‬ ‫، ﺩ ٢ ) ﺱ ( =|ﺱ|‬ ‫ﺩ ٢ ) ﺱ ( = ﺱ – | ٢ ﺱ – ٧|‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |ﺱ – ٢| = ١ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً‬ ‫ﻭﺣﻘﻖ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺟﺒﺮﻳﺎً .‬ ‫ﺩ١)ﺱ(= ﺱ– ٢ ، ﺩ٢)ﺱ(=١‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ١ ، ٣ {‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ :‬ ‫ﺃﻭﻻً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ١ : ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = |١ – ٢| = |– ١| = ١ = ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٣ : ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = |٣ – ٢| =|١| = ١ = ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ .‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ :‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ :‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ١ {‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ٥,٢ ، ٥,٤ {‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |٢ ﺱ + ١| – ﺱ = ٥‬ ‫ﻭﺣﻘﻖ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺟﺒﺮﻳﺎً .‬ ‫‪ ‬‬ ‫| ٢ ﺱ + ١| = ﺱ + ٥‬ ‫ﻋﺰﻳﺰﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ : ﺩ ١ ) ﺱ ( =|٢ ﺱ + ١| ، ﺩ ٢ ) ﺱ ( = ﺱ + ٥‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻭﻫﻰ ﺟﻌﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﺛﻢ ﺭﺳﻤﻬﺎ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } – ٢ ، ٤ {‬ ‫ﻭﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ :‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ .‬ ‫ﻭﻟﻜﻨﻰ ﺃﻧﺼﺢ ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﺳﺎﺑﻘﺎً ﻷﻧﻬﺎ ﺗﺼﻠﺢ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ .‬ ‫ﺃﻭﻻً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = – ٢‬
  13. 13. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ٢ ( |٢ ﺱ + ٣ | ≥ ٥‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺃ، – ) ٢ ﺱ + ٣ ( ﲪ ٥‬ ‫٢ﺱ+٣ ﲪ٥‬ ‫) ١ ( ﻻ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ‬ ‫٢ﺱ+٣ﲨ– ٥‬ ‫٢ﺱﲪ ٥– ٣‬ ‫) ٢ ( ﻧﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ) ﻓﻬﻮ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻣﺮﺓ ﻭﺳﺎﻟﺒﺎً ﻣﺮﺓ ﺃﺧﺮﻯ ( .‬ ‫٢ﺱﲨ– ٥– ٣‬ ‫٢ﺱﲪ٢‬ ‫) ٣ ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ) > ( ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ :‬ ‫٢ﺱﲨ– ٨‬ ‫ﺱﲪ١‬ ‫ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﺇﻣﺎ ﻣﻐﻠﻘﺔ ﺃﻭ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ .‬ ‫ﺱﲨ– ٤‬ ‫) ٤ ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ) < ( ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ :‬ ‫ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ : ﺡ – ﻓﺘﺮﺓ ﻣﻌﻜﻮﺳﺔ‬ ‫ﺇ ﺱﻱ ]– ٤،١[‬ ‫) ٥ ( ﻳﺠﺐ ﺟﻌﻞ ﺱ ) ﺍﻟﺘﻰ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ( ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﻜﻼﻡ ﻗﺒﻞ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ :‬ ‫) ٣ ( |٣ ﺱ – ٤ | < ٥‬ ‫ﻣﺜﻼً : |٣ – ﺱ| ﺗﺼﺒﺢ |ﺱ – ٣|‬ ‫– )٣ﺱ– ٤(<٥‬ ‫ﺃ،‬ ‫٣ﺱ– ٤ <٥‬ ‫) ٦ ( ﺗﺬﻛﺮ ﺃﻥ : ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ) ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ( ﻃﺮﻓﻰ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ × ) ﺃﻭ ÷ ( ﻛﻤﻴﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺄﻧﻨﺎ ﻧﻌﻜﺲ‬ ‫٣ﺱ– ٤ >– ٥‬ ‫٣ﺱ< ٥+٤‬ ‫ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ .‬ ‫٣ﺱ>– ١‬ ‫٣ﺱ<٩‬ ‫!٣؛‬ ‫ﺱ>–‬ ‫ﺱ<٣‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫) ٢ ( |٢ ﺱ + ٣| ≥ ٥‬ ‫) ١ ( |ﺱ – ٥| > ٢‬ ‫،٣[‬ ‫!٣؛‬ ‫∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ﺡ – ] –‬ ‫) ٤ ( |ﺱ + ٧| ≤ ٠‬ ‫) ٣ ( |٣ ﺱ – ٤ | < ٥‬ ‫) ٤ ( |ﺱ + ٧| ≤ ٠‬ ‫– )ﺱ+٧(ﲨ٠‬ ‫ﺃ،‬ ‫ﺱ+٧ﲨ٠‬ ‫) ١ ( |ﺱ – ٥| > ٢‬ ‫ﺱ+٧ﲪ٠‬ ‫ﺱﲨ– ٧‬ ‫ﺃ، – ) ﺱ – ٥ ( > ٢‬ ‫ﺱ– ٥ >٢‬ ‫ﺱﲪ– ٧‬ ‫ﺱ– ٥<– ٢‬ ‫ﺱ>٢+٥‬ ‫ﺇ ﺱﻱﺡ‬ ‫ﺱ<– ٢+٥‬ ‫ﺱ>٧‬ ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :‬ ‫ﺱ<٣‬ ‫ﻋﺰﻳﺰﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ |ﺱ + ٧| < ٠ ﻭﻻﺣﻆ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﻭﺑﻴﻦ‬ ‫ﺇ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = [ ٣ ، ٧ ]‬ ‫ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ .‬
  14. 14. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪  (  )‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٢١ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫) ٢ ( |٥ – ٣ ﺱ| ≤ ٢‬ ‫) ١ ( ﺱ٢ – ٨ ﺱ + ٦١ > ٣‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫‪‬‬ ‫) ٣ ( |٢ ﺱ – ٣|< ٩ – |٦ – ٤ ﺱ|‬ ‫|٢ ﺱ – ٣| = ٥١‬ ‫)١(‬ ‫|ﺱ + ١|٢ – ٢|ﺱ + ١| + ١ = ٠‬ ‫)٢(‬ ‫| ٢ ﺱ – ٥| = ٨ – ٣ ﺱ‬ ‫)٣(‬ ‫) ١ ( ]ﺱ٢ – :٨: :ﺱ: :+: :٦١: > ٣ ﺉ ] ) ﺱ : – : :٤ (:٢: > ٣ ﺉ |ﺱ – ٤| > ٣‬ ‫:‬ ‫| ٢ ﺱ + ٣| – ﺱ = ٠‬ ‫)٤(‬ ‫– )ﺱ– ٤(>٣‬ ‫ﺱ– ٤>٣‬ ‫| ٢ ﺱ – ٧| – ﺱ + ٥ = ٠‬ ‫)٥(‬ ‫ﺱ– ٤<– ٣‬ ‫ﺱ>٣+٤‬ ‫|٣ ﺱ – ١|+ ٤ ﺱ – ٣١ = ٠‬ ‫)٦(‬ ‫ﺱ<١‬ ‫ﺱ>٧‬ ‫| ٢ ﺱ + ٣| – ٥ = ٠‬ ‫)٧(‬ ‫ﺇ ﺱﻱ[١،٧]‬ ‫|ﺱ|+ ﺱ٢ = ٢‬ ‫)٨(‬ ‫ﺉ |٣ ﺱ – ٥ | ﲨ ٢‬ ‫) ٢ ( | ٥ – ٣ ﺱ| ≤ ٢‬ ‫ﺱ |ﺱ| – ٥ |ﺱ|+ ٦ = ٠‬ ‫)٩(‬ ‫ﺃ، – ) ٣ ﺱ – ٥ ( ﲨ ٢‬ ‫٣ﺱ– ٥ﲨ٢‬ ‫٥ + |ﺱ – ٢| = ٠‬ ‫) ٠١ (‬ ‫٣ﺱ– ٥ﲪ– ٢‬ ‫٣ﺱﲨ٢+٥‬ ‫) ١١ ( | – ٢ ﺱ| – | – ٨| = ٠‬ ‫٣ﺱﲪ٣‬ ‫٣ﺱﲨ٧‬ ‫) ٢١ ( |٧ – ٢ ﺱ| – ٣ = ٠‬ ‫ﺱﲪ١‬ ‫&٣؛‬ ‫ﺱﲨ‬ ‫] ٩ – :٦: :ﺱ: +: :ﺱ: : = ٢‬ ‫٢‬ ‫:‬ ‫) ٣١ (‬ ‫]‬ ‫&٣؛‬ ‫ﺇ ﺱﻱﺡ – [١،‬ ‫) ٤١ ( ٢|ﺱ – ٣| – ٥ = | ٣ – ﺱ|‬ ‫) ٣ ( |٢ ﺱ – ٣|< ٩ – |٦ – ٤ ﺱ| ﺉ |٢ ﺱ – ٣|< ٩ – |٤ ﺱ – ٦|‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺛﻢ ﺣﻘﻖ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺟﺒﺮﻳﺎً :‬ ‫‪‬‬ ‫|٢ ﺱ – ٣|< ٩ – ٢|٢ ﺱ – ٣|‬ ‫) ٥١ ( |ﺱ + ٢| – ٣ = ٠‬ ‫ﺉ ٣| ٢ ﺱ – ٣| < ٩‬ ‫ﺉ |٢ ﺱ – ٣|+ ٢|٢ ﺱ – ٣| < ٩‬ ‫) ٦١ ( |٣ – ﺱ| = ﺱ – ٥‬ ‫) ٧١ ( |ﺱ + ٢| = ٢ ﺱ‬ ‫ﺉ | ٢ ﺱ – ٣| < ٣‬ ‫) ٨١ ( |ﺱ – ١| = |ﺱ + ٤|‬ ‫ﻋﺰﻳﺰﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ ﻭﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻫﻮ ﺡ – ] ٠ ، ٣ [‬ ‫) ٩١ ( |ﺱ + ٢| = ٠‬
  15. 15. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫)‪ (‬‬ ‫) ٠٢ ( |ﺱ – ٢| + ١ = ٠‬ ‫٢‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ :‬ ‫‪‬‬ ‫ﺩ)ﺱ(=)ﺱ– ﺍ( +ﺏ‬ ‫) ١٢ ( |ﺱ – ٣| < ٨‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ١ ( ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ ، ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ ﺑﺈﺷﺎﺭﺗﻪ (‬ ‫) ٢٢ ( |ﺱ – ٢| ≥ ١‬ ‫) ٣٢ ( |٢ ﺱ – ٧| ≤ ٣‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫) ٢ ( ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ :‬ ‫) ٤٢ ( |٢ ﺱ – ٥| > ٣‬ ‫) ٣ ( ﻳﻔﺘﺢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﻋﻠﻰ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﻳﻔﺘﺢ ﻷﺳﻔﻞ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ .‬ ‫) ٥٢ ( |٤ – ٢ ﺱ| < ٠‬ ‫) ٤ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ = ﺻﻔﺮﺍً ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ .‬ ‫) ٦٢ ( |٤ + ٢ ﺱ| > ٠‬ ‫) ٥ ( ﻣﺤﻮﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ﺻﻔﺮ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ‬ ‫) ٧٢ ( ٣ |٢ ﺱ – ٣| – ٢ |٣ – ٢ ﺱ| ﲪ ٧‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ‬ ‫) ٨٢ ( | ٢ ﺱ – ٧| ﲪ ﺱ + ١‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، ٠ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫] ٤ ﺱ٢: +: :٢١: :ﺱ: +: :٩: > ٥‬ ‫) ٩٢ (‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ [ ، ﻭﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫٣‬ ‫ﲨ١‬ ‫) ٠٣ (‬ ‫ﺍﻟﻨﻮﻉ : ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫|٤ – ﺱ|‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ٠‬ ‫٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ + ٢ (‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) - ٢ ، ٠ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ∞ ]‬ ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ٢ [‬ ‫ﻟﻜﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻷﻩ‬ ‫ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٣ ، ∞ ] - ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = – ٢‬ ‫٢‬ ‫ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ﺑﺈﺯﺍﺣﺔ ﻗﺪﺭﻫﺎ ٢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎﻩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ .‬
  16. 16. ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫٢‬ ‫‪  (  )‬‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – ﺱ‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، ٢ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] – ∞ ، ٢ ]‬ ‫ﺃﺭﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ ﻭﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ :‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ [ ، ﻭﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] ٠ ،∞ ]‬ ‫) ١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ – ١‬ ‫٢‬ ‫ﺍﻟﻨﻮﻉ : ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫)٢(ﺩ)ﺱ(=١– ﺱ‬ ‫٢‬ ‫ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻧﺘﺞ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﺑﺈﺯﺍﺣﺔ ﻗﺪﺭﻫﺎ ٢ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ‬ ‫)٣(ﺩ)ﺱ(=– ﺱ‬ ‫ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ – ١ (٢‬ ‫) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ – ٢ (٢ + ١‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ – ٢ ( ٢ – ٣‬ ‫) ٦ ( ﺩ ) ﺱ ( = – ) ﺱ – ١ (٢‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٢ ، - ٣ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] – ٣ ، ∞ ]‬ ‫) ٧ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ – ) ﺱ – ١ (٢‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٢ [ ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٢ ، ∞ ]‬ ‫ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫) ٨ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ٢ – ﺱ (٢‬ ‫ﻧﺘﺞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺇﺯﺍﺣﺔ ﻗﺪﺭﻫﺎ ﻭﺣﺪﺗﻴﻦ ﻓﻰ‬ ‫١‬ ‫)٩(ﺩ)ﺱ(=ﺱ)ﺱ– ﺱ (‬ ‫ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﺛﻼﺙ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .‬ ‫) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٤ ) ٢ – ١ (٢‬ ‫٢‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ٢‬ ‫،– ٥≥ ﺱ≥– ٢‬ ‫– ٢‬ ‫ﻣﺜﺎﻝ ) ٥ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ : ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – ) ﺱ – ١ ( ٢ ﻭﺃﻛﻤﻞ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎﺗﻚ‬ ‫،– ٢>ﺱ>٢‬ ‫، ٢≥ ﺱ≥٥‬ ‫٢‬ ‫ﺱ‬ ‫٢‬ ‫}‬ ‫) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ١ ، ٢ ( ، ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = [ – ∞ ، ٢ [‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ [ – ∞ ، ١ [‬ ‫،ﺱ∋]– ٥،– ١]‬ ‫٢– ﺱ‬ ‫،ﺱ∋]– ١،٤[‬ ‫ﺱ٢ + ٤‬ ‫}‬ ‫) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( =‬ ‫ﻭﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ ] ١ ، ∞ ]‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ١‬

×