Metoda figurativă aritmetică studiază operațiile și proprietățile numerelor, fiind esențială în teoria numerelor, rezolvarea problemelor contribuind în mod semnificativ la dezvoltarea abilităților de gândire și aplicarea cunoștințelor în practică. Metodele de rezolvare a problemelor sunt variate și includ atât metode fundamentale, cât și metode speciale utilizând reprezentări grafice pentru a clarifica relațiile dintre datele problemei. Exemplele prezentate ilustrează cum pot fi aplicate aceste metode pentru a rezolva probleme aritmetice de complexitate diferită.

1. Metoda figurativa
Aritmetica este acea ramura a matematicii care
studiaza operatiile si proprietatile numerelor . Ea contine
teoria numerelor intregi , a numerelor rationale , irationale
precum si diferite extinderi ale notiunilor de numar , se
refera la probleme de divizibilitate , teoria numerelor prime
rezolvarea ecuatiilor in numere intregi etc.Continuarea
aritmetica pe un plan superior este teoria numerelor ,
uncapitol important in matematicile moderne .
Odata cu insusirea cunostintelor teoretice de aritmetica ,
se scot in evidenta , din ce in ce mai mult , aplicatiile ei .
Mijlocul cel mai potrivit pentru formarea priceperilor de a
aplica cunostintele teoretice de aritmetica in calcule cu
caracter practic , il constituie rezolvarea unui numar mare
de probleme variate . Rezolvarea de probleme ocupa un loc
foarte importantin invatarea aritmeticii ;in rezolvarea
problemelor se gaseste bine conturat scopul care se
urmareste prin studiul aritmeticii . Intr-adevar prin
rezolvarea problemelor se pot clarifica multe chestiuni
teoretice , ca de exemplu : schimbarea rezultatelor
operatiilor in cazul modificarii termenilor componenti ,
calcularea unor fractii dintr-un numar , schimbarea valorii
unei fractii ordinare in cazul in care se mareste sau se
micsoreaza numaratorul sau numitorul ei de un numar de
ori , distributivitatea in cazul inmultirii sau impartirii etc.
Totodata rezolvarea problemelor contibuie in mare
masura la dezvoltarea atentiei , gandirii , imaginatiei si a
spiritului de observatie , Prin rezolvarea de probleme se
formeaza deprinderile de a execua cu usurinta calculele de

2. aritmetica si de a aplica cunostintele de aritmetica in
pactica .
In matematica , ca si in celelalte stiinte , nu exista chei
universale , motiv pentr care prin « metode de rezolvare a
problemelor »nu se poate intelege prezenta unui retetar
absolut , care sa asigure solutionarea tuturor problemelor de
matematica pe bazau unor formule cunoscute sau algoritmi
prestabiliti . Tehnica rezolvarii problemelor de aritmetica
nu se poate obtine decat printr-o munca sustinuta , bine
organizata ; nu trebuie neglijata o latura principala a
acestei munci si anume dezvoltarea capacitatii de
generalizare a elevului . Deseori , incepatorii in studiu
aritmeticii nu se preocupa sa descopere intr-o problema . in
structura ei interioara , particularitatea esentiala care o
apropie de un grup de probleme ce se rezolva depa aceeasi
schema . De multe ori elevii vad in fiecare problema
propusa o problema noua care nu ar avea nici o legatura cu
cele rezolvate anterior .
Metodele aritmetice se clsifica in doua categorii :
metode fundamentale:-analitice
-sintetice
metode speciale:-figurativa (grafica)
- comparatia
- ipotezelor(falsei ipoteze)
- mersului invers (retrograda )
Metoda figurativa
Este metoda care pentru reprezentarea marimilor din
problema si a relatiilor dintre ele folosim:
-elemente grafice(puncte , linii , ovale , etc)

3. -litere si combinatii de litere
-desene , scheme
Avantajele pe care le prezinta metoda figurativa o situeaza
pe primul loc in ceea ce priveste utilizarea ei . Astfel :
-are un caracter general , aplicandu-se la orice caregorii
de probleme in care se preteaza figurarea
-are un caracter intuitiv , intelegerea relatiilor dintre
datele problemei facandu-se pe baza imaginilor vizuale ,
uneori intervenind actiunea directa , miscarea si
transpunerea acesteia pe plan mental.
-prin dimensiunile elementelor figurative si prin
proportiile dintre ele se creaza variate modalitati de
stabilire a relatiilor cantitative dintre valorile marimilor.
- una dintre problemele de baza ale metodei grafice este
problema dublului raport.
Poarta aceasta denumire datorita faptului ca ea contine
in partea initiala un raport intre doua marimi si in partea
finala un alt raport intre aceleasi marimi.
In rezolvarea acestui tip de probleme se impune
respectarea urmatoarelor cerinte :
-cele doua marimi datorita raportului pot fi impartite in
grupe care vor fi simbolizate de diverse litere.
-pentru legatura raportului initial si cel final este bine sa
existe o etapa intermediara pe care sa o numim etapa
transformarilor.
-acest tip de problema se rezolva prin simpla vizualizare a
datelor existente daca putem observa miscarile elementelor
constitutive intre etapa intiala si cea finala

4. Pentru aceasta grupele fixate in etapa initiala trebuie sa
fie intr-un numar suficient incat sa observam si schimbarile
si elemtele ce asigura continuitatea .
Daca cele trei etape sunt corect simbolizate putem
determina numarul de grupe care ne asigura rezolvarea
problemei .
Exemplul 1 :
Intr-o clasa sunt de patru ori mai multi baieti decat
fete.La un moment dat , o echipa formata din patru baieti si
patru fete participa la un concurs si se constata ca acum
raman in clasa de sapte ori mai multi baieti decat fete. Cati
baieti si cate fete sunt in acea clasa ?
Rezolvare :
Din enuntul problemei , deducem ca la inceput erau de
patru ori mai multi baieti . Etapa initiala o reprezentam
astfel :
B B B B B B
BFB BFB BFB BFB BFB BFB
B B B B B B
Deocamdata nu stim cate grupe sunt . Examinand enuntul
problemei , in etapa transformarilor , pleaca patru baieti si
patru fete . Presupunem ca din primele grupe pleaca cate un
baiat si cate o fata . Asa ca facem madificarile necesare si
raman :
B B B B B B
B B B B B B B B BFB BFB
B B
Adica patru grupe de cate trei baieti si nu stiu cate grupe
de cate o fata si patru baieti .

5. Din enuntul problemei aflam ca dupa plecarea celor patru
baieti si patru fete , raman de sapte ori mai multi baieti
decat fete . Asadar in etapa finala , asez in jurul fiecarei fete
ramase sapte baieti ;patru baieti sunt deja mai , mai pun trei
baieti la fiecare din primele patru grupe . Daca ar mai fi si a
cincea fata (patru baieti in jurul ei),n-as mai avea de unde
sa iau trei baieti . Inseamna ca in desenul 2(etapa
intermediara) existau numai patru grupe complete , iar in
desenul 1(etapa initiala ) existau opt grupe complete, adica
8 fete si 32 de baieti.
Verificarea solutiei :
Daca erau 8 fete si 32 de baieti se observa ca numarul
baietilor este de patru ori mai mare pentru ca 32 :8=4 .
Daca pleaca patru fete si patru baieti inseamna ca raman
patru fete (8-4=4)si douazeci si opt de baieti pentru ca :
32-4=28.
Se observa ca acum numarul baietilor e de sapte ori mai
mare decat al fetelor pentru ca : 28 :4 = 7
R : 8 fete
32 baieti
Exemplul 2 :
Daca se aseaza cate cinci elevi pe o banca de gimnastica ,
raman doua banci libere, daca se aseaza cate patru raman
doisprezece elevi in picioare.
Cati elevi si cate banci sunt ?
Solutie :
Cum gandim ?
Notam cu literele « e » si respectiv « b » din etapa
initiala . Avem :
eeeee eeeee …….. eeeee b b
eeeee eeeee …….. eeeee eeeeee

6. eeeeee
Distribuim cei doisprezece elevi ramasi in picioare in a
doua situatie , cate unu langa cei patru elevi din fiecare
banca si vor completa doisprezece banci cu cate cinci elevi.
Deci avem : 12x1, adica 12 banci .
In cele doua banci ramase libere in prima situatie ar fi stat
:2x5 adica 10 elevi care au ocupat 10 banci , asezandu-se
cate 5 .
Daca, in total sunt 12 + 10=22 banci
22x4+12=100 elevi
Verificarea solutiei :
Doar numarul bancilor este 22 si se aseaza cate 4 elevi ,
rezulta ca numarul elevilor de pe banci este :22x4 adica 88.
Se observa ca numarul elevilor ramasi in picioare este
12 , pentru ca 100-88=12.
R : 22 banci
100 elevi
Exemplul 3
Suma de 4 numere naturale este 144. Al doilea numar
este cu 10 mai mare decat primul de 2 ori mai mic decat al
treilea si de 3 ori mai mic decat al patrulea numar.
Sa se determine cele 4 numere.
Solutie
Interpretam enuntul problemei printr-o schema grafica.
Reprezentam printr-un segment 1 numarul.Obtinem
figura :

7. 144
Din figura, rezulta ca 144-(10+20+30)=144-60=84 ; 84
reprezinta 7 parti egale fiecare cu 1 numar. Inseamna ca o
parte este 84 :7, adica 12 ;deci primul numar este 12 iar ai
doilea 22 pentru ca 12 +10=22 .
Daca al 2-lea numar este de doua ori nai mic decat al 3-
lea ,rezulta ca acesta este :22x2=24 , iar al 4-lea numar
este :22x3,adica 66 sau :12x3+(10+10+10)=36+30=66 sau :
144-(12+22+44)=144-78=66
Verificarea solutiei :
12+22+44+66=144 ;144 e suma celor 4 numere
22-10=10;cu 10 > decat al 2-lea numar ,decat primul numar
44:22=2;de doua ori < decat al 2 –lea numar,decat al 3-lea
numar
66:22=3;de 3 ori < decat al 2-lea numar ,decat al 4-lea
numar
R : 12 ;22 ;44 ;66
Probleme propuse :
1.Intr-o fructiera sunt de 3 ori mai multe prune in
fructiera decat mere.La masa sunt 4 persoane si fiecare ia
cate un mar si o pruna.Raman in fructira de 4 ori mai multe
prune decat mere .
Cate prune si cate mere erau ?

8. 2.Intr-o clasa ,daca se aseaza cate 2 elevi intr-o banca
,raman 9 elevi in picioare , daca se aseaza cate 3 in banca
raman 7 banci libere si una ocupata cu un singur elev
Cate banci si cati elevi sunt ?