Mathtest3

Test 3.
Xuwilbar A.
Nägdügäär xäsäg.
1. 7
√
3−
√
5√
5−
√
3
tootoï täncüü too al´ n´ wä?
A. 8 −
√
15 B. 7 − 3
√
15 C. 7 − 3
√
5 D. 8 − 3
√
15 E. 8 − 3
√
5
2. a-parametriïn ¶mar utguudad y = ax ²uluun y = x2
+ 3ax − a
parabolyg xoër cägäär ogtlox wä?
A. (−∞; −1) ∪ (1; +∞) B. (−1; 1) C. (−∞; −1) ∪ (0; +∞)
D. (−1; 0) E. (−∞; 0) ∪ (1; +∞)
3. 12354731459
too ¶mar cifräär tögsöx wä?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9
4. f(x) = 2x2
− x ba g(x) = 3x + 2 bol (f ◦ g)(x) = f(g(x)) funkciïg
ol.
A. (f ◦ g)(x) = 9x2
+ 6x + 4 B. (f ◦ g)(x) = 18x2
+ 12x + 4
C. (f ◦ g)(x) = 9x2
+ 6x + 8 D. (f ◦ g)(x) = 18x2
+ 21x + 6
E. (f ◦ g)(x) = 6x2
− 6x + 2
5. ABC gurwaljny ∠A = α; ∠B = β ba AC talyn urt b bol |a − c|
ilärxiïlliïn utgyg ol.
A.
|sin(α+β
2 )|b
cos β
2
B.
|sin(α+β
2 )|b
sin β
2
C.
|cos(α+β
2 )|b
sin β
2
D.
|cos(α+β
2 )|b
cos β
2
E.
|sin(α−β
2 )|b
cos β
2
6. |5 − x| − |x + 7| ≤ 1 täncätgäl bi²iïg bod.
A. [−1, 5; +∞) B. [−1, 5; 5) C. [−7; 5]
D. ∅ E. [−7; −1, 5]
7. a(1; −2; 7) wektortoï ortogonal´ wektor al´ n´ wä?
A. b(3; 5; −1) B. b(−3; 5; 1) C. b(3; 5; 1)
D. b(3; −5; −1) E. b(−3; 5; −1)
1

8.
49a2
− 36b2
7a − 6b + 3
:
36b2
− 84ab + 49a2
49a2 + 18b + 21a − 36b2
−
168ab
7a − 6b
ilärxiïlliïg x¶lbarqil.
A. 7a+6b B. 6b−7a C. −7a−6b D. 7a−6b+3 E. 7a−6b
9. Ijilxän R = 5 nägj radiustaï xoër toïrog xoër cägäär ogtlol-
cono. Ogtlolclyn cägüüdiïn xoorondox zaï d = 6 nägj bol toïr-
guudyn töwüüdiïn xoorondox zaïg ol.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10
10. sin 640
sin 340
− sin 560
cos 1160
A. 0 B. 1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
E. 1
11.
2x2
− 3y2
= 24
2x = 3y
täg²itgälüüdiïn sistemiïg bod.
A. {−6; 4}; {6; −4} B. {−6; −4}; {6; 4}
C. {−3; −2}; {6; 4} D. {3; −2}; {−3; 2}
E. {6; −4}; {3; −2}
12. y = sin x(a−sin x) funkciïn utgyn mujiïg [−1; 1] xärqimd baïlgax
a parametriïn büx utguudyg ol.
A. a ∈ [−2; 2] B. a ∈ [−2; 0] C. a ∈ [0; 2]
D. a ∈ [0; 1] E. a ∈ [−1; 2]
13.
√
x + 2 −
√
2x − 3 = 1 täg²itgäliïg bod.
A. 2; 14 B. −1; 7 C. 3; −8 D. 3; 12 E. 5; 7
14. lim
n→∞
n(
√
n2 + 1 − n) daraallyn x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
2
E. ∞
15. Nägän orny parlament 7 gi²üüntäï bögööd jild 252 xonog xu-
ralddag baïna. Gi²üüd ödör bür baïraa sol´j suux ba büx baïr-
lal duusaxad daraagiïn songuul´ bolno gäwäl änä orond xädän jil
tutamd songuul´ boldog wä?
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25
2

16. A(1; 4), B(7; 9), C(11; −1) baïg. ABC gurwaljny BC talyn
dundjiïg M gäe. A ba M cägüüdiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäl
al´ n´ wä?
A. 3x − 2y + 11 = 0 B. x − 6y + 3 = 0
C. x + 5y − 1 = 0 D. 2x − 7y − 3 = 0 E. y − 4 = 0
17. log√
17 4913 + log 1
3√
23
529 ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
18. Ääj n´ xüügiïnxää arwan nasny törsön ödröör naïman jiliïn xu-
gacaataï tögrögiïn xadgalamj näälgäjää. Änäxüü naïman jiliïn
xugacaand xadgalamjiïn dansand gadnaas ¶marwaa nägän orlogo
zarlagyn güïlgää xiïgdäägüï baïna. Xadgalamjiïn jiliïn xüü
14 xuw´ ba xadgalamjiïn xugacaand öörqlögdöögüï. Xüü arwan
naïman nas xüräxdää arwan sa¶as bagagüï möngö awsan gäwäl ääj
xamgiïn bagadaa xädän tögrögniï xadgalamj näälgäsän baïx wä?
(zuun m¶ngan tögrögiïn nariïwqlaltaïgaar bod.)
A. 4.5 sa¶ B. 4 sa¶ C. 3.5 sa¶ D. 3 sa¶ E. 2.5 sa¶
19. ’uluun duguï cilindriïn xajuu gadarguu n´ s ba bütän gadarguu
n´ S bol öndör n´ ¶mar baïx wä?
A. h = 2π√
S−s
B. h =
√
S−s
2πs
C. h = S√
2π(S−s)
D. h = S√
π(S−s)
E. h = s√
2π(S−s)
20. Xäräw x4
+ y4
+ z4
= 2(x2
y2
+ y2
z2
+ z2
x2
) = 98, xy + yz + xz = 11
bol xyz ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 6 B. 24 C. 12 D. 18 E. 27
21. Dörwön xüüxädtäï aïl näg xüü gurwan oxintoï baïx magadlalyg
ol. Xüü ba oxin töröx magadlal ijil gäj üznä.
A. 1
8
B. 1
4
C. 3
8
D. 1
2
E. 5
8
22. ’oo xa¶x tur²ilt xiïj baïw. 6 nüdtäï talaaraa buuwal tur²ilt
duusax ëstoï. Tur²ilt duusax xürtäl 3-aas olon udaa ²oo xa¶x
magadlalyg ol.
A. 121
216
B. 123
216
C. 125
216
D. 127
216
E. 129
216
3

Xoërdugaar xäsäg.
1. (a)
mx + y = 1
14x − (5 − m)y = −7
²ugaman täg²itgälüüdiïn sistem n´
m = [a] bol ²iïdgüï baïna.
(b) m = −[b] bol sistem tögsgölgüï olon ²iïdtäï baïx ba
y = [b]x + [c] ²uluuny büx cäg sistemiïn ²iïd bolno.
(c) m = 10 bol sistemiïn ²iïd n´ x = [d]
[e]
; y = −[a]
[e]
baïna.
(d) (x0, y0) sistemiïn ²iïd bögööd x0 = −1 bol m = [f], y0 = [a];
y0 = −[a]
2
bol m = [g], x0 = 1
[h]
baïna.
2. (a) A(−3; −3), B(−1; 4), C(5; 8) ba D(7; −2) cägüüdäd oroïtoï güdgär
dörwön öncögtiïn AC talyn urt |AC| = [abc]; BD talyn
urt |BD| = [ad],
(b) AC ba BD wektoruudyn skal¶r ürjwär (AC, BD) = −[e] xooron-
dox öncgiïn sinus n´ sin γ = [fb]
[c]
√
[abc]
baïna.
(c) Tägäxäär ABCD güdgär dörwön öncögtiïn talbaï n´
SABCD = [agh] µm.
3.
√
2 +
√
3 toog irracional´ too boloxyg xaruul³¶. Äsrägääs n´
racional´ too gäj üz´e.
√
2 +
√
3 = p
q
, p, q ∈ N, (p, q) = 1 baïg.
(a) p2
q2 = (
√
2 +
√
3)2
= [a] + [b] [c] bolno.
(b) p2
q2 = [a] + [b] [c] täncätgäliïg ¶zguuraas qölöölj ämxätgäwäl
p4
q4
− [de]
p2
q2
+ [f] = 0
bolno.
(c) t2
−[de]t+[f] = 0 kwadrat täg²itgäl n´ t = p2
q2 gäsän racional´
²iïdtäï baïx ëstoï. Gätäl änä täg²itgäliïn diskriminant
D = [g] [h] n´ ¶mar q büxäl toony kwadrat bi². Iïmd
√
2 +√
3 too n´ racional´ too bi² µm.
4. [0; 2] xärqmääs sanamsargüïgäär songon awsan x, y xoër too
4

(a) y ≤ x täncätgäl bi²iïg xangaj baïx magadlal P1 = [a]
[b]
,
(b) x2
≤ 4y ≤ 4x täncätgäl bi²iïg xangax magadlal P2 = [c]
[d]
baïna.
(c) [0; 2] xärqmiïn x, y cägüüdäär xuwaagdsan gurwan xäsgäär gur-
waljin baïguulj bolox magadlal P3 = [e]
[f]
, gurwaljin baïgu-
ulj boloxgüï baïx magadlal ¯P3 = [g]
[h]
baïna.
5

Xuwilbar B.
1. 1√
2+
√
3+
√
5
A. 2
√
3−3
√
2+
√
30
12
B. 2
√
3+3
√
2−
√
30
12
C. 3
√
2−2
√
3−
√
30
12
D. 2
√
3+3
√
2+
√
30
12
E. 3
√
3+2
√
2−
√
30
12
2. a-parametriïn ¶mar utguudad y = ax + 1 ²uluun y = ax2
+ 2ax + 1
parabolyg xoër cägäär ogtlox wä?
A. (−∞; +∞) B. (−1; 1) C. (−∞; −1) ∪ (0; +∞)
D. (−1; 0) E. (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
3. 12568614526
A. 1 B. 4 C. 8 D. 0 E. 6
4. f(x) =
√
x2 − 1 ba g(x) =
√
x + 1 bol (g ◦ f)(x) = g(f(x)) funkciïg
ol.
A. (g ◦ f)(x) = 1 +
√
x2 − 1 B. (g ◦ f)(x) = |1 + x| − 1
C. (g ◦ f)(x) =
√
x D. (g ◦ f)(x) = (1 + x)3(x − 1)
E. (g ◦ f)(x) = x+1
x−1
5. ABC gurwaljny ∠A = α; ∠B = β ba AC talyn urt b bol a2
− c2
A. b2 sin(2α+β)
cos β
B. b2 sin(2α+β)
sin β
C. b2 cos(2α+β)
sin β
D. b2 cos(2α+β)
cos β
E. b2 sin(2α−β)
cos β
6. |x − 7| + |x + 3| ≤ 9 täncätgäl bi²iïg bod.
A. [−2, 5; +∞) B. [−3; −2, 5] C. [−3; 6, 5]
D. ∅ E. [∞; 6, 5]
7. a(3; 5; −1) wektortoï ortogonal´ wektor al´ n´ wä?
A. b(2; 1; −1) B. b(−2; 1; 1) C. b(2; 1; 1)
D. b(−2; 1; −1) E. b(−2; 1; −1)
6

8.
25x2
+ 8y + 10x − 16y2
16y2 − 40xy + 25x2
·
25x2
− 16y2
5x − 4y + 2
−
80xy
5x − 4y
ilärxiïlliïg x¶lbarqil.
A. 5x+4y B. 4y−5x C. −5x−4y D. 5x−4y E. 5x−4y+2
9. Ijil radiustaï xoër toïrog xoër cägäär ogtlolcono. Ogtlolclyn
cägüüdiïn xoorondox zaï d = 6 nägj ba toïrgiïn töwüüd xoorondoo
8 nägj zaïd or²ix bol toïrguudyn radiusyg ol.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
10. sin 10
cos 290
+ sin 290
cos 10
A. 0 B. 1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
E. 1
11.
x2
+ y = 7
x + y2
= 7
täg²itgälüüdiïn sistem xädän ²iïdtäï wä?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
12. y = sin x(a − cos 2x) funkciïn utgyn mujiïg [−1; 1] xärqimd baïl-
gax a parametriïn büx utguudyg ol.
A. 1 − 3
3√
2
≤ a ≤ 0 B. 1 − 3
3√
2
≤ a ≤ 1 + 3
3√
2
C. 0 ≤ a ≤ 1 + 3
3√
2
D. 1 − 3
3√
2
< a < 1 + 3
3√
2
E. 0 ≤ a ≤ 1 + 3
3√
2
13.
√
6 − x − x2 = x + 1 täg²itgäliïg bod.
A. −3; 2 B. −1
2
; 5 C. −5
2
; 1 D. −1; 5
2
E. 2
5
; 3
14. lim
n→∞
(
√
n2 + 1 − 3
√
n3 + 1) daraallyn x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
2
E. ∞
15. Cäcägmaa oxin tawan öngiïn cäcäg tar´jää. Tawan öngiïn cäcgää
conxnyxoo tawcan däär ödör bür öör öör baïrlalaar ägnüülän taw´dag
baïna. Büx baïrlalyg güïcääxäd xädän ödör bolox wä?
A. 5 B. 50 C. 100 D. 120 E. 150
7

16. A(−3; 0), B(1; 4), C(5; −2) baïg. ABC gurwaljny BC talyn
al´ n´ wä?
A. 3x − 2y + 11 = 0 B. x − 6y + 3 = 0
C. x + 5y − 1 = 0 D. 2x − 7y − 3 = 0 E. y − 4 = 0
17. 361
log 1
19
2
· log√
11 121 ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1
18. Irgän H. banknaas 15 jiliïn xugacaataï saryn 1 xuwiïn xüütäï
xorin dörwön sa¶ tögrögiïn zääl awqää. Äxniï tawan jild zääliïn
ündsän tölböröös qölöölögdöx bögööd daraax´ arwan jild ünd-
sän tölböröö sar bür täncüü xämjäägäär xuwaaj tölöxöör gärää
xiïgdsän baïna. Irgän N. arwan tawan jiliïn xugacaand gäräägää
zörqixgüïgäär tölböröö xiïnä gäj üzwäl niït xädän tögrög bankind
tölöx wä? (sa¶ tögrögiïn nariïwqlaltaïgaar bod.)
A. 32 sa¶ B. 42 sa¶ C. 52 sa¶ D. 62 sa¶ E. 72 sa¶
19. ’uluun duguï konusyn xajuu gadarguu n´ s ba bütän gadarguu n´
S bol öndör n´ ¶mar baïx wä?
A. h = 2πSs
S−s
B. h = s(2s−S)
2π(S−s)
C. h = 2Ss
2π(S−s)
D. h = S(2s−S)
√
π(S−s)
E. h = 2s−S√
2π(S−s)
20. Xäräw x + y + z = 9, xy + yz + zx = 26 ba x4
+ y4
+ z4
= 353 bol
x2
y2
+ y2
z2
+ z2
x2
A. 240 B. 241 C. 242 D. 243 E. 244
21. Doloon ünää tugallaxad doluul oxin tugal baïx magadlalyg ol.
Ixär tugal töröxgüï ba är ba oxin tugal töröx magadlal ijil
gäj üznä.
A. 1
128
B. 3
128
C. 5
128
D. 7
128
E. 9
128
22. ’oo xa¶x tur²ilt xiïj baïw. 1 nüdtäï talaaraa buuwal tur²ilt
duusax ëstoï. Tur²ilt duusax xürtäl 3-aas cöön udaa ²oo xa¶x
magadlalyg ol.
A. 88
216
B. 89
216
C. 90
216
D. 91
216
E. 92
216
8

1. (a)
2x + (p − 1)y = 3
(p + 1)x + 4y = −3
p = [a] bol ²iïdgüï baïna.
(b) p = −[a] bol sistem tögsgölgüï olon ²iïdtäï baïx ba
y = − 1
[b]
x − [a]
[c]
²uluuny büx cäg sistemiïn ²iïd bolno.
(c) p = 5 bol sistemiïn ²iïd n´ x = −[d]
[e]
; y = [d]
[e]
baïna.
(d) (x0, y0) sistemiïn ganc ²iïd bögööd x0 = −1 bol p = [f],
y0 = [g] baïna. Xarin y0 = −1 bol x0 = [h] baïna.
2. (a) A(−2; 0), B(−1; 5), C(7; 3) ba D(4; −1) cägüüdäd oroïtoï güdgär
dörwön öncögtiïn AC talyn urt |AC| = [a] [bc]; BD talyn
urt |BD| = [de],
(b) AC ba BD wektoruudyn skal¶r ürjwär (AC, BD) = [fg] xooron-
dox öncgiïn sinus n´ sin γ = [h]
√
[dec]
baïna.
SABCD = 2 · [h] µm.
3.
√
2 +
√
√
2 +
√
5 = p
q
, p, q ∈ N, (p, q) = 1 baïg.
(a) p2
q2 = (
√
2 +
√
3)2
= [a] + 2 [bc] bolno.
(b) p2
q2 = [a] + 2 [bc] täncätgäliïg ¶zguuraas qölöölj ämxätgäwäl
p4
− [de]p2
q2
+ [f]q4
= 0
bolno.
(c) t2
−[de]t+[f] = 0 kwadrat täg²itgäl n´ t = p2
q2 gäsän racional´
²iïdtäï baïx ëstoï. Gätäl änä täg²itgäliïn diskriminant
D = [ghc] n´ ¶mar q büxäl toony kwadrat bi². Iïmd
√
2 +
√
5
too n´ racional´ too bi² µm.
[b]
,
9

(b) x2
[d]
baïna.
[f]
, gurwaljin baïgu-
[h]
baïna.
10

Xuwilbar C.
1. 7
1+ 3√
5+ 3√
25
A.
√
5−1
4
B.
3√
5+1
2
C.
√
5+1
4
D.
√
5−1
2
E.
3√
5−1
4
2. a-parametriïn ¶mar utguudad y = ax ²uluun y = ax2
+ 3x − a
paraboltoï erönxiï cäggüï baïx wä?
A. (−∞; −3) ∪ (1; +∞) B. (−3; 1) C. (−∞; −1) ∪ (0; +∞)
D. (−1; 3) E. ∅
3. 158961458
A. 1 B. 4 C. 8 D. 0 E. 6
4. f(x) = 1
x−1
ba g(x) = x−1
x+1
bol (f ◦ g)(x) = f(g(x)) funkciïg ol.
A. (f ◦ g)(x) = x+1
x−1
B. (f ◦ g)(x) = 2
x+1
C. (f ◦ g)(x) = − 2
x−1
D. (f ◦ g)(x) = −x+1
2
E. (f ◦ g)(x) = x+1
2
5. ABC gurwaljny ∠A = α; ∠B = β ba AC talyn urt b bol a + c
A.
sin(α+β
2 )b
cos β
2
B.
sin(α+β
2 )b
sin β
2
C.
cos(α+β
2 )b
sin β
2
D.
cos(α+β
2 )b
cos β
2
E.
sin(α−β
2 )b
cos β
2
6. |x − 1| − |x − 4| ≥ 6 täncätgäl bi²iïg bod.
A. [5, 5; +∞) B. [1; 5, 5) C. [−∞; 5, 5]
D. ∅ E. [4; 5, 5]
7. a(11; 5; −8) wektortoï ortogonal´ wektor al´ n´ wä?
A. b(3; 5; −1) B. b(−3; 5; 1) C. b(3; 5; 1)
D. b(3; −5; −1) E. b(−3; 5; −1)
11

8.
1
6x + 2
+
x − 1
27x3 + 1
:
1 − 3x
9x2 − 3x + 1
·
6x + 2
x + 1
ilärxiïlliïg x¶barqil.
A. 3x − 1 B. 3x + 1 C. 1 − 3x D. (3x − 1)−1
E. (1 − 3x)−1
9. 5 nägj radiustaï xoër toïrgiïn töwüüdiïn xoorondox zaï 8 nägj
bol toïrguudyn ogtlolclyn cägüüdiïn xoorondox zaïg ol.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9
10. cos 80
cos 370
− cos 820
cos 530
A. 0 B. 1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
E. 1
11.
(x2
− y2
)x = 6y
2(x + y) = 3y(x2
− xy)
A. {−2; 1}; {2; −1} B. {−2; −1}; {2; 1}
C. {−3; −2}; {3; 2} D. {3; −2}; {−3; 2}
E. ²iïdgüï
12. y = cos x(a+cos x) funkciïn utgyn mujiïg [−9; 2] xärqimd baïlgax
a parametriïn büx utguudyg ol.
A. a ∈ [−2; 2] B. a ∈ [−2; 0] C. a ∈ [0; 2]
D. a = 0 E. a ∈ {−2; 0; 2}
13.
√
x2 − 5 =
√
x + 1 täg²itgäliïg bod.
A. −2 B. −2; 3 C. 3 D. −
√
5; 3 E. −1;
√
5
14. lim
n→∞
(
√
n + 1 −
√
n) daraallyn x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
2
E. ∞
15. Nägän baïrny or²in suugqid bügd awtoma²intaï. Awtoma²inu-
udaa orcnyxoo üüdänd ödör bür öör baïrlalaar ägnüülän tawixad
100 jil boloxod näg q baïrlal dawtagdaxgüï gäwäl änä baïr xam-
giïn bagadaa xädän or²in suugqtaï wä?
A. 8 B. 80 C. 800 D. 8000 E. 80000
12

16. A(−2; −1), B(2; 7), C(8; −5) baïg. ABC gurwaljny BC talyn
al´ n´ wä?
A. 3x − 2y + 11 = 0 B. x − 6y + 3 = 0
C. x + 5y − 1 = 0 D. 2x − 7y − 3 = 0 E. y − 4 = 0
17. 1000lg 3√
10
− log 4√
5
1
625
A. 9 B. 6 C. 3 D. −6 E. −9
18. Oµutan B. näg sa¶ tögrögiïn xämjäätäï, saryn 2.5 xuwiïn xüütäï,
10 saryn xugacaataï surgaltyn tölböriïn zääl awqää. Zääliïg sar
bür täncüü xuwaaj tölnö gäwäl xädän tögrög xüü tölöx wä? (arwan
m¶ngan tögrögiïn nariïwqlaltaïgaar bod.)
A. 1,1 sa¶ B. 1,12 sa¶ C. 1,14 sa¶ D. 1,16 sa¶ E. 1,18 sa¶
19. Duguï cilindriïn xajuu gadarguu n´ s ba bütän gadarguu n´ S
bol äzläxüün n´ ¶mar baïx wä?
A. V = S S−s
8π
B. V = s S−s
8π
C. V = s S−s
4π
D. V = S S−s
π
E. V = s S−s
2π
20. Xäräw x2
+y2
+z2
= xy +yz +zx = 12 bol x3
+y3
+z3
ilärxiïlliïn
utgyg ol.
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 E. 30
21. Tawan ünää tugallaxad ¶daj näg oxin tugal töröx magadlalyg ol.
Ixär tugal töröxgüï ba är ba oxin tugal töröx magadlal ijil
gäj üznä.
A. 5
128
B. 93
128
C. 97
128
D. 123
128
E. 127
128
22. Zoos xa¶x tur²ilt xiïj baïw. Süldäärää buuwal tur²ilt duusna.
Tur²ilt duusax xürtäl dörwöös olon udaa zoos xa¶x magadlalyg
ol.
A. 15
16
B. 9
16
C. 5
16
D. 3
16
E. 1
16
13

1. (a)
mx + y = 1
14x − (5 − m)y = −7
[e]
; y = −[a]
[e]
baïna.
y0 = −[a]
2
bol m = [g], x0 = 1
[h]
baïna.
urt |BD| = [ad],
[c]
√
[abc]
baïna.
SABCD = [gh] µm.
3.
√
2 +
√
√
2 +
√
3 = p
q
, p, q ∈ N, (p, q) = 1 baïg.
(a) p2
q2 = (
√
2 +
√
3)2
= [ab] + 2 [c] bolno.
(b) p2
q2 = [ab] + 2 [c] täncätgäliïg ¶zguuraas qölöölj ämxätgäwäl
p4
− 2 · [ab]p2
q2
+ [def]q4
= 0
bolno.
(c) t2
− 2 · [ab]t + [def] = 0 kwadrat täg²itgäl n´ t = p2
q2 gäsän
racional´ ²iïdtäï baïx ëstoï. Gätäl änä täg²itgäliïn diskrim-
inant D = [gh] n´ ¶mar q büxäl toony kwadrat bi². Iïmd√
2 +
√
[b]
,
14

(b) x2
[d]
baïna.
[f]
, gurwaljin baïgu-
[h]
baïna.
15

Xuwilbar D.
1. 1
1+ 4√
5
A.
4√
125+ 4√
5−
√
5−1
2
B.
4√
125+ 4√
5−
√
5−1
4
C.
4√
125− 4√
5+
√
5−1
4
D.
4√
125− 4√
5+
√
5−1
2
E.
4√
125+ 4√
5+
√
5+1
8
2. a-parametriïn ¶mar utguudad y = ax − 7 ²uluun y = ax2
+ 3ax − 2
paraboltoï ganc erönxiï cägtäï baïx wä?
A. (−∞; 0) ∪ (5; +∞) B. {0; 5} C. (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
D. (0; 5) E. (−1; 1)
3. 12358712453
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9
4. f(x) = 1
x
ba g(x) = x3
+ 2x bol (g ◦ f)(x) = g(f(x)) funkciïg ol.
A. (g ◦ f)(x) = x3−2x
x3 B. (g ◦ f)(x) = 1
x3+2x
C. (g ◦ f)(x) = x2−2
2
D. (g ◦ f)(x) = x3−2
x2 E. (g ◦ f)(x) = x2+2
x3
5. ABC gurwaljny ∠A = α; ∠B = β ba AC talyn urt b bol a+c
a−c
A. tan α − β
2
cot β
2
B. cot α + β
2
cot β
2
C. tan α + β
2
tan β
2
D. tan α + β
2
cot β
2
E. cot α + β
2
cot β
2
6. |x − 1| − |x − 3| ≤ 5 täncätgäl bi²iïg bod.
A. [4, 5; +∞) B. [1; 3) C. [3; 4, 5]
D. ∅ E. (−∞; +∞)
7. a(13; −2; −3) wektortoï ortogonal´ wektor al´ n´ wä?
A. b(2; 1; −8) B. b(−2; 1; 8) C. b(2; −1; 8)
D. b(−2; −1; −8) E. b(−2; 1; −8)
16

8.
1
3z − 2
+
6z − 4
27z3 − 8
:
1
9z2 + 6z + 4
−
2
8 − 27z3
A. 9z2
− 16 B. 3z + 4 C. 4 − 3z D. 3z − 4 E. 1
9. O1 ba O2 cägüüdäd töwtäï nägj radiustaï xoër toïrog xoër cägäär
ogtlolcox bögööd töwüüdiïnx n´ xoorondox zaï
√
3 nägj baïg. Ogt-
lolclyn cägüüdiïn nägiïg A gäj tämdägläwäl ∠AO1O2 öncgiïg ol.
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π
2
E. 2π
3
10. cos 890
cos 10
− sin 10
sin 890
A. 0 B. 1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
E. 1
11.
x2
− xy + y2
= 3
2x2
− xy − y2
= 5
täg²itgälüüdiïn sistem xädän ²iïdtäï wä?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
12. y = sin 5x(1+a sin 5x) funkciïn utgyn mujiïg [0; 1] xärqimd baïl-
A. a ∈ [−0, 5; 0, 5] B. a ∈ [−0, 5; 0] C. a ∈ [0; 0, 5]
D. a = 0 E. a ∈ {−0, 5; 0, 5}
13.
√
2x + 3 −
√
x − 1 =
√
3x − 8 täg²itgäliïg bod.
A. −4 B. 7
2
C. −3
2
; 4 D. −4; 8
3
E. −4; 7
2
14. lim
t→∞
√
n+2−
√
n−1√
3n+4−
√
3n−1
daraallyn x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 3
5
C.
√
3
5
D. 5√
3
E. ∞
15. Näg angiïnxan jild 160 ödör xiqäällädäg bögööd ödör bür 8 xiqääl
ordog baïna. Xiqääl bür däär öör baïrlalaar suuxad 4 jiliïn
dotor büx bolomjit baïrlal duusna. Xäräw xüüxdiïn too odoo
baïgaagaasaa nägäär ilüü bol büx bolomjit baïrlalyg duusgaxad
30 jil q xürälcäxgüï. Änä angi xädän xüüxädtäï wä?
A. 7 B. 17 C. 27 D. 37 E. 47
17

16. A(1; 0), B(5; 4), C(7; −6) baïg. ABC gurwaljny BC talyn
al´ n´ wä?
A. 3x − 2y + 11 = 0 B. x − 6y + 3 = 0
C. x + 5y − 1 = 0 D. 2x − 7y − 3 = 0 E. y − 4 = 0
17. − log1
5
125 + 7log√
7 49
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9
18. Irgän A. xoër sa¶ tawan zuun m¶ngan tögrögiïn xämjäätäï, saryn
2,2 xuwiïn xüütäï, 12 saryn xugacaataï calingiïn zääl awqää.
Zääliïg sar bür täncüü xämjäätäïgäär xuwaaj tölnö gäwäl niït
xädän tögrög tölöx wä? (arwan m¶ngan tögrögiïn nariïwqlaltaï-
gaar bod.)
A. 2,64 sa¶ B. 2,69 sa¶ C. 2,7 sa¶ D. 2,73 sa¶ E. 2,86 sa¶
19. ’uluun duguï konusyn xajuu gadarguu n´ s ba bütän gadarguu n´
S bol äzläxüün n´ ¶mar baïx wä?
A. V = 1
3π
S(S + s)(2s − S)qquad B. V = 1
3
√
π
S(S + s)(2s − S)
C. V = 1
3π
S(S − s)(2s − S)
D. V = 1
3
√
π
S(S − s)(2s − S) E. V = 1
3
2πSs(S − s)
20. Xäräw x+y+z = 1 ba x3
+y3
+z3
= 1
9
bol xy+yz+zx ilärxiïlliïn
utgyg ol.
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
5
E. 1
6
21. Taamgaar songoj awsan aïl dörwön xüüxädtäï bol xoër xüü xoër
oxintoï baïx magadlalyg ol. Xüü ba oxin töröx magadlal ijil
gäj üznä.
A. 1
8
B. 1
4
C. 3
8
D. 1
2
E. 5
8
22. ’oo xa¶x tur²ilt xiïj baïw. Täg² nüdtäï talaaraa buuwal
tur²ilt duusax ëstoï. Tur²ilt duusax xürtäl 3-aas olon udaa
²oo xa¶x magadlalyg ol.
A. 7
8
B. 5
8
C. 3
8
D. 1
8
E. 1
4
18

1. (a)
mx + y = 1
14x − (5 − m)y = −7
[e]
; y = −[a]
[e]
baïna.
y0 = −[a]
2
bol m = [g], x0 = 1
[h]
baïna.
urt |BD| = [ad],
[c]
√
[abc]
baïna.
SABCD = [gh] µm.
3.
√
2 +
√
√
2 +
√
3 = p
q
, p, q ∈ N, (p, q) = 1 baïg.
(a) p2
q2 = (
√
2 +
√
3)2
= [ab] + 2 [c] bolno.
(b) p2
p4
− 2 · [ab]p2
q2
+ [def]q4
= 0
bolno.
(c) t2
q2 gäsän
2 +
√
[b]
,
19

(b) x2
[d]
baïna.
[f]
, gurwaljin baïgu-
[h]
baïna.
20

Xuwilbar E.
1. 7−
√
5
3+
√
5
A. 13+2
√
5
4
B. 13−2
√
5
4
C. 13−2
√
5
2
D. 13−
√
5
2
E. 13+
√
5
2
2. a-parametriïn ¶mar utguudad y = ax ²uluun y = ax2
+(3+a)x+1
paraboltoï ganc erönxiï cägtäï baïx wä?
A. 9
4
B. (−3
2
; 3
2
) C. (−∞; −3
2
) ∪ (3
2
; +∞)
D. {−9
4
; 9
4
} E. (−∞; −9
4
) ∪ (9
4
; +∞)
3. 125478412453867
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8
4. f(x) =
√
1 − x ba g(x) = 1
x2 bol (f ◦ g)(x) = f(g(x)) funkciïg ol.
A. (f ◦ g)(x) = 1
x2
√
x − 1 B. (f ◦ g)(x) = 1
|x|
√
x2 − 1
C. (f ◦ g)(x) = 1
1−
√
x2−1
D. (f ◦ g)(x) = 1
1−x
E. (f ◦ g)(x) = 1
x
√
x2 − 1
5. ABC gurwaljny ∠A = α; ∠B = β ba AC talyn urt b bol a+c
b
A.
sin(α+β
2 )
cos β
2
B.
sin(α+β
2 )
sin β
2
C.
cos(α+β
2 )
sin β
2
D.
cos(α+β
2 )
cos β
2
E.
sin(α−β
2 )
cos β
2
6. |x − 3| + |x + 2| < 11 täncätgäl bi²iïg bod.
A. (−5; +∞) B. (−5; 3) C. [−5; 3]
D. ∅ E. (−∞; +∞)
7. a(21; −1; −7) wektortoï ortogonal´ wektor al´ n´ wä?
A. b(1; 7; −2) B. b(−1; 7; 2) C. b(1; 7; 2)
D. b(1; −7; −2) E. b(−1; −7; −2)
21

8.
4t
t + 2
−
t3
− 8
t3 + 8
·
4t2
− 8t + 16
t2 − 4
:
16
t + 2
A. t2
− 4 B. −1 C. t + 2 D. −(t + 2)−1
E. (t + 2)−1
9. O1 ba O2 cägüüdäd töwtäï nägj radiustaï xoër toïrog xoër cägäär
ogtlolcox bögööd ogtlolclyn cägüüdiïn xoorondox zaï
√
3 nägj
baïg. Ogtlolclyn cägüüdiïg A ba B gäj tämdägläwäl ∠BAO1
öncgiïg ol.
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π
2
E. 2π
3
10. sin 130
cos 170
+ sin 170
cos 130
A. 0 B. 1
2
C.
√
2
2
D.
√
3
2
E. 1
11.
x2
+ y2
= 34
x + y + xy = 23
A. {−3; 5}; {5; −3} B. {−5; −3}; {5; 3}
C. {−5; −3}; {3; 5} D. {5; −3}; {3; 5}
E. {5; 3}; {3; 5}
12. y = cos 2x(a+cos 2x) funkciïn utgyn mujiïg [−1; 1] xärqimd baïl-
A. a ∈ [−2; 2] B. a ∈ [−2; 0] C. a ∈ [0; 2]
D. a = 0 E. a ∈ {−2; 2}]
13.
√
x2 + x − 3 = 3x − 1 täg²itgäliïg bod.
A. −1 −
√
13 B. −1 +
√
13 C. 1
3
D. −1 −
√
13; −1 +
√
13 E. ²iïdgüï
14. lim
n→∞
3√
3n3+1√
2n2−1
daraallyn x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 3 9
8
C. 3
2
D. 6 9
8
E. ∞
22

15. Näg aïlyn xüüxdüüd öglöö bür ²irää toïrq suugaad caïgaa uudag
baïna. Öglöö bür öör öör baïrlalaar suuxad näg jiliïn dotor
baïrlal dawtagdaxgüï bolowq xoër jiliïn tur² ödör bür öör öör
baïrlalaar suux bolomjgüï bol tär aïl xädän xüüxädtäï wä?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
16. A(−5; −2), B(−3; 5), C(1; 3) baïg. ABC gurwaljny BC talyn
al´ n´ wä?
A. 3x − 2y + 11 = 0 B. x − 6y + 3 = 0
C. x + 5y − 1 = 0 D. 2x − 7y − 3 = 0 E. y − 4 = 0
17. log1
9
3
√
729 · log√
2
1
64
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18
18. Irgän T. dörwön sa¶ tögrögiïn ünätäï ma²inyg saryn 1.5 xuwiïn
xüütäï, 36 saryn xugacaataï lizingiïn zääläär xudaldan awqää.
Äxniï jild zääliïn ündsän tölböröös qölöölögdöx bögööd üldsän
xugacaand ündsän zäälää sar bür täncüü xuwaaj tölnö. Irgän T.
zääl bolon xüüg n´ awsan ma²inaaraa üïlqilgää ärxälj olno gäj
toocson ba jiliïn 300 xonogt n´ ajillana gäj toocson bol zäälää
xüütäï n´ bürän tölöxiïn tuld xamgiïn bagadaa ödört dundjaar
xädän tögrögiïn cäwär a²ig olox ²aardlagataï wä? (m¶ngan tö-
grögiïn nariïwqlaltaïgaar bod.)
A. 6 m¶nga B. 8 m¶nga C. 10 m¶nga D. 12 m¶nga E. 14
m¶nga
19. Duguï cilindrt bömbörcög bagtaxyn tuld xajuu gadarguu s ba
bütän gadarguu S xoër n´ ¶mar xar´caand baïx xärägtäï wä?
A. S : s = 2 : 1 B. S : s = 3 : 2 C. S : s = 6 : 1
D. S : s =
√
3 :
√
2 E. S : s =
√
2 : 1
20. Xäräw x+y +z = 1 ba x3
+y3
+z3
= 1
9
bol x2
+y2
+z2
ilärxiïlliïn
utgyg ol.
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
5
E. 1
6
23

21. Tawan xüüxädtäï aïl ganc oxintoï baïx magadlalyg ol. Xüü ba
oxin töröx magadlal ijil gäj üznä.
A. 1
32
B. 1
16
C. 3
32
D. 1
8
E. 5
32
22. ’oo xa¶x tur²ilt xiïj baïw. Sondgoï nüdtäï talaaraa buuwal
tur²ilt duusax ëstoï. Tur²ilt duusax xürtäl 3-aas cöön udaa
²oo xa¶x magadlalyg ol.
A. 7
8
B. 5
8
C. 1
4
D. 3
8
E. 1
8
24

1. (a)
mx + y = 1
14x − (5 − m)y = −7
[e]
; y = −[a]
[e]
baïna.
y0 = −[a]
2
bol m = [g], x0 = 1
[h]
baïna.
urt |BD| = [ad],
[c]
√
[abc]
baïna.
SABCD = [gh] µm.
3.
√
2 +
√
√
2 +
√
3 = p
q
, p, q ∈ N, (p, q) = 1 baïg.
(a) p2
q2 = (
√
2 +
√
3)2
= [ab] + 2 [c] bolno.
(b) p2
p4
− 2 · [ab]p2
q2
+ [def]q4
= 0
bolno.
(c) t2
q2 gäsän
2 +
√
[b]
,
25

(b) x2
[d]
baïna.
[f]
, gurwaljin baïgu-
[h]
baïna.
26

Xariu ba zaawar.
1. Iïm törliïn ilärxiïlliïg x¶lbarqlaxyn tuld xuwaariïn ilärx-
iïlliïn xosmog gäj närlägddäg ilärxiïlläär xürtwär ba xuwaar-
iïg nägän zäräg ürjüülnä. Manaï ilärxiïlliïn toxioldold xuwaar-
iïn ilärxiïläl kwadrat ¶zguurtaï ba xoër nämägdäxüünääs togtox
uqraas kwadratuudyn ¶lgawryn tom³ëog a²iglaj bolj baïna.
7
√
3 −
√
5
√
5 −
√
3
=
7
√
3 −
√
5
√
5 −
√
3
·
√
5 +
√
3
√
5 +
√
3
=
16 − 6
√
15
2
= 8 − 3
√
15.
2. Bodlogo n´ x2
+ 3ax − a = ax täg²itgäl a parametriïn ¶mar
utguudad xoër ²iïdtäï baïx wä gäsän bodlogotoï än qacuu µm.
x2
+ 2ax − a = 0 kwadrat täg²itgäliïn diskriminant n´ D =
4a(a+1) bolno. Täg²itgäl xoër ²iïdtäï baïxyn tuld D > 0 baïx
ëstoï bilää. Iïmd a ∈ (−∞; 1) ∪ (0; +∞) buµu C xariult zöw µm.
3. 1235473 too n´ 3 cifräär tögssön too µm. 3 cifräär tögssön
toony zärgüüd n´ zöwxön 3, 9, 7, 1 cifräär tögsönö. 1459 too n´ 4-t
xuwaaxad 3 üldägdäl ögdög too uqraas 12354731459
too n´ 7 cifräär
tögsönö.
4. f(x) = 2x2
− x ba g(x) = 3x + 2 bol (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x +
2)2
− (3x + 2) = 18x2
+ 21x + 6.
5. ABC gurwaljny AB talyg c, BC talyg a gäe. Änä gurwaljny
xuw´d sinusyn teoremyg biqwäl
c
sin(α + β)
=
b
sin β
=
a
sin α
bolno. Ändääs a = sin α
sin β
b, c = sin(α+β)
sin β
b gäj oldono. –lgawryg n´
bodwol
c − a =
sin(α + β) − sin α
sin β
b =
2 sin β
2
cos α + β
2
2 sin β
2
cos β
2
b =
cos α + β
2
cos β
2
b.
bolno.
27

6. x < −7 bol täncätgäl bi² n´ 12 ≤ 1 xälbärtäï bolox bögööd änä
n´ (−∞; −7) zawsart täncätgäl bi² ²iïdgüïg xaruulj baïna.
−7 ≤ x < 5 bol täncätgäl bi² n´ 2x ≥ −3 täncätgäl bi²täï än
qacuu baïna. Änä täncätgäl bi²iïg [−7; 5) zawsart bodwol −1, 5leqx <
5 gäsän ²iïd garna.
[5; +∞) zawsart täncätgäl bi² n´ −12 ≤ 1 gäsän ünän täncätgäl
bi²täï än qacuu bolox ögööd änä n´ ug zawsryn büx cäg täncätgäl
bi²iïg xangaxyg xaruulj baïgaa µm. Iïnxüü bidniï awq üzsän
täncätgäl bi²iïn büx ²iïd n´ [−1, 5; +∞) zawsryn büx cägüüd µm.
7. a(xa, ya, za) ba b(xb, yb, zb) wektoruud ortogonal´ baïx zaïl²güï bögööd
xürälcäätäï nöxcöl bol tädgääriïn skal¶r ürjwär täg baïx ¶wdal
bilää. Ö.x.
a⊥b ⇔ xaxb + yayb + zazb = 0.
Iïmd 3 · 1 + 5 · (−2) + 1 · 7 = 0 uqraas b(3; 5; 1) wektor n´ ögögdsön
wektortoï ortogonal´ µm.
8. Änäxüü ilärxiïlliïg x¶lbarqlaxad kwadratuudyn ¶lgawryn bolon
niïlbär, ¶lgawryn kwadratyn tom³ëonuudyg mäddäg baïx xärägtäï.
49a2
− 36b2
7a − 6b + 3
:
36b2
− 84ab + 49a2
49a2 + 18b + 21a − 36b2
−
168ab
7a − 6b
=
=
(7a − 6b)(7a + 6b)
7a − 6b + 3
·
(7a − 6b + 3)(7a + 6b)
(7a − 6b)2
−
168ab
7a − 6b
=
=
(7a + 6b)2
7a − 6b
−
168ab
7a − 6b
=
36b2
+ 84ab + 49a2
− 168ab
7a − 6b
= 7a − 6b.
9. Toïrguudyn töwüüdiïg O1, O2, toïrguudyn ogtlolclyn cägüüdiïg
A, B, tüünqlän O1O2 ba AB xärqmüüdiïn ogtlolclyn cägiïg D
gäe. AB⊥O1O2 bögööd O1O2 ba AB xärqmüüd n´ D cägäär xa-
gaslan xuwaagdana gädäg n´ ilärxiï xaragdana. Iïmd, tuxaïlbal,
O1AD gurwaljin n´ täg² öncögt gurwaljin bolox ba |O1A| = 5
(toïrgiïn radius), |AD| = 3 tul Pifagoryn teorem ësoor |O1D| =
|O1a|2 + |AD|2 = 4 bolno. Iïmd toïrguudyn töwüüdiïn xooron-
dox zaï n´ |O1O2| = 2|O1D| = 8.
28

10. Ämxätgäliïn tom³ëonuudyg a²iglawal
sin 560
= sin(900
−340
) = cos 340
; cos 1160
= cos(1800
−640
) = − cos 640
baïna. Odoo ¶lgawryn kosinusyn tom³ëog xärägläe. Tägwäl
sin 640
sin 340
− sin 560
cos 1160
= sin 640
sin 340
+ cos 340
cos 640
=
= cos(640
− 340
) = cos 300
=
√
3
2
.
11. Xoërdugaar täg²itgälääs y xuw´sagqiïg olbol y = 2x
3
bolno. Nägdügäär
täg²itgäld tawibal nägdügäär täg²itgäl n´ 2x2
− 4x2
3
= 24 xäl-
bärtäï bolno. Ändääs x2
= 36 gäj garax ba x = −6 bol y = −4,
x = 6 bol y = 4 baïna.
12. y = sin x(a − sin x), x ∈ (−∞; +∞) funkciïn utgyn muj n´ f(t) =
at − t2
, t ∈ [−1; 1] funkciïn utgyn mujtaï adil baïna. f funkc n´
a
2
; a2
4
cäg däär oroïtoï doo²oo xarsan parabol µm.
Xäräw a ≤ −2 bol f funkc [−1; 1] xärqim däär buurax bögööd änä
toxioldold f[−1; 1] = [f(1); f(−1)] = [a − 1; −a − 1] baïna. Iïmd
f[−1; 1] ⊂ [−1; 1] baïxyn tuld a−1 ≥ −1; −a−1 ≤ 1 a ≤ −2 täncät-
gäl bi²üüd zäräg bielj baïx ëstoï. Ädgäär täncätgäl bi²üüdiïg
zäräg xangax a darametriïn uiga oldoxgüï gädgiïg ²uud xarj
bolno.
−2 < a ≤ 0 bol [−1; 1] xärqim däär f funkc xamgiïn ix utgaa x = a
2
cäg däär (oroïn cäg däärää), xamgiïn baga utgaa x = 1 cäg däär
awna. Änä toxioldold f[−1; 1] = a − 1; a2
4
⊂ [−1; 1] aguulagdlyn
xarćaa n´ a = 0 üed l bieläx bolomjtoï.
0 < a ≤ 2 bol [−1; 1] xärqim däär f funkc xamgiïn ix utgaa x = a
2
cäg däär (oroïn cäg däärää), xamgiïn baga utgaa x = −1 cäg däär
awna. Änä toxioldold f[−1; 1] = −a − 1; a2
4
⊂ [−1; 1] aguulagdlyn
xarćaa bieläxiïn tuld −a − 1 ≥ −1; a2
4
≤ ba 0 < a ≤ 2 täncät-
gäl bi²üüd zäräg bielj baïx ëstoï. Ädgäär täncätgäl bi²üüd n´
0 < a ≤ 2 baïx büx a-uudyn xuw´d bielnä.
Äcäst n´ a > 2 toxioldlyg awq üzé. Änä toxioldold f funkc
[−1; 1] xärqim däär ösöx bögööd f[−1; 1] = [f(−1); f(1)] = [−a −
1; a − 1] baïna. a > 2 uqir f[−1; 1] ⊂ [−1; 1] baïx bolomjgüï µm.
29

Iïmd zöwxön a ∈ [0; 2] üed l y = sin x(a − sin x) funkciïn utgyn
muj n´ [−1; 1] xärqim dotor baïna.
13. Täg²itgäl utgataï baïxyn tuld kwadrat ¶zguur dor baïgaa ilärx-
iïläl bür sörög bi² utgataï baïx ëstoï. Tägäxäär manaï täg²it-
gäl n´ 3
2
; +∞ zawsart todorxoïlogdono. Täg²itgäliïn xoër talyg
kwadrat zärägt däw²üülsniï daraa täg²itgäl n´
3x − 2 = 2 (x + 2)(2x − 3)
täg²itgäld ²iljinä. Änäxüü täg²itgäliïg mön kwadrat zärägt
däw²üüläxäd x2
−16x+28 = 0 täg²itgäl garna. Süülqiïn täg²it-
gäl n´ 2 ba 14 gäsän ²iïdüüdtäï bögööd tus bür manaï täg²it-
gäliïn todorxoïlogdox zawsart orox uqir ²iïd bolno.
14.
√
n2 + 1−n ilärxiïläl n´ n toonuudyn ma² ix utgand tägääs ma²
baga ¶lgarna. Iïmd bidniï bodox ëstoï x¶zgaar 0 · ∞ xälbäriïn
todorxoïgüï baïdald baïna. Iïm törliïn x¶zgaaryg bodoxod xos-
mog gäj närlägdäx ilärxiïlläär n´ nägän zäräg ürjüülj xuwaaj
ögöx texnikiïg örgön xäräglädäg µm. Üüniï daraa x¶zgaar n´ ∞
∞
xälbäriïn todorxoïgüï baïdald ²iljinä. Xürtwär ba xuwaar´t
baïgaa n-iïn xamgiïn ix zärgüüd n´ ijil 1 baïgaa uqir xürtwär
ba xuwaariïg n-d xuwaaj ögöx zamaar x¶zgaaryg bodox todorxoï
baïdald ²iljüülnä.
lim
n→∞
n(
√
n2 + 1 − n) = lim
n→∞
n(
√
n2 + 1 − n)(
√
n2 + 1 + n)
(
√
n2 + 1 + n)
=
= lim
n→∞
n
(
√
n2 + 1 + n)
= lim
n→∞
1
( 1 + 1
n2 + 1)
=
1
2
.
15. 7 xün 7 baïrlald suux büx bolomjiïn too n´ 7! = 5040 baïna.
5040 : 252 = 20 uqir änä uls xorin jil tutamd songuul´ xiïdäg
baïna.
16. B(xb; yb) ba C(xc; yc) cägüüdiïg xolboson xärqmiïn dundaj cäg n´
M =
xb + xc
2
;
yb + yc
2
30

baïdag bilää. Iïmd manaï bodlogyn xuw´d ögögdsön gurwaljny
BC talyn dundaj n´ M(9; 4) cäg baïna. Ögögdsön A(xa; ya) ba
M(xm, ym) cägüüdiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäl n´
x − xa
xm − xa
=
y − ya
ym − ya
baïna. Tägäxäär A(1; 4) ba M(9; 4) cägüüdiïg daïrsan ²uluun n´
x−1
9−1
= y−4
4−4
buµu y − 4 = 0 µm.
17. Änä bodlogyn xuw´d logarifm funkciïn daraax qanaruudyg mäd-
däg baïx ²aardlagataï µm. Üünd:
(a) ∀a > 0, a = 1, b > 0ba∀n ∈ R : loga bn
= n loga b,
(b) ∀a > 0, a = 1, b > 0ba∀0 = m ∈ R : logam b = 1
m
loga b.
Tägäxäär
log√
17 4913 + log 1
3√
23
529 = log 17
1
2
173
+ log 23− 1
3
232
= 0.
18. Anx S0 tögrögiïn xadgalamj näälgäsän, jiliïn xüü n´ q ba n-r
jiliïn äcsiïn (xüü bodsony daraa) xadgalamjiïn üldägdäl Sn
gäj tus tus tämdägläwäl Sn = S0(1 + q)n−1
baïna.
Manaï bodlogyn xuw´d q = 0.14, n = 8 bögööd S8 ≥ 107
baïx S0-
iïn utgyg olox ëstoï. Tägäxäär S0 ≥ 10
1.14
7
µm. 8, 77 < 10
1.14
<
8, 78 boloxyg x¶lbar toocoogoor xarj bolno. Ändääs 3, 99 · 106
<
10
1.14
7
< 4, 02 · 106
bolox ba xamgiïn bagadaa oïrolcoogoor 4 sa¶
tögrögiïn xadgalamj näälgäxäd 8 jiliïn daraa 10 sa¶as bagagüï
boltloo össön baïx n´ ää. Nariïwqilbal ¶g 10 sa¶ 9 m¶nga 75 tögrög
bolno gädgiïg toony ma²iny tuslamjtaïgaar xarj bolno.
19. ’uluun duguï cilindriïn suuriïn talbaïg σ gäwäl σ = S−s
2
baïna.
σ talbaïtaï duguïn radius n´ R = σ
π
= S−s
2π
. Ändääs suuriïn
duguïn irmäg bolox toïrgiïn urt n´ l = 2πR = 2π(S − s) baïx
n´ xaragdana. Tüünqlän ²uluun duguï cilindriïn öndriïg h gäj
tämdägläwäl xajuu gadarguugiïn talbaï n´ s = lh = h 2π(S − s)
baïna. Tägäxäär öndör n´ h = s√
2π(S−s)
bolno.
31

20. Ögögdsön ësoor (x2
+y2
+z2
)2
= x4
+y4
+z4
+2(x2
y2
+y2
z2
+z2
x2
) =
196 bolno. Iïmd x2
+ y2
+ z2
= 14. Tüünqlän (x + y + z)2
=
x2
+ y2
+ z2
+ 2(xy + yz + xz) = 14 + 2 · 11 = 36. Ädgäärääs bolon
112
= (xy + yz + xz)2
= x2
y2
+ y2
z2
+ z2
x2
+ 2(x + y + z)xyz gädgääs
xyz = (121 − 49) : (2 · 6) = 6 gäj mördön garna. Iïmd A xariult
zöw µm.
21. Tur²ilt bürd A üzägdäl ilräx magadlal adilxan p baïg. Tägwäl
tur²iltyg n ≥ 1 udaa ¶wuulaxad A üzägdäl 0 ≤ m ≤ n udaa ilräx
magadlal n´ Pn(m) = Cm
n pm
(1 − p)n−m
baïna. Manaï bodlogyn
xuw´d A n´ xüü töröx üzägdäl gäwäl n = 4, m = 1 ba p = 0, 5 baïna.
Iïmd P4(1) = C1
4 (0, 5)1
(1 − 0, 5)3
= 0, 25 buµu 1
4
µm.
22. ’oo xa¶x bürd 6 nüdtäï talaaraa buux magadlal togtmol p = 1
6
baïna. Tur²ilt äxniï udaa ²oog xa¶sny daraa duusax magadlal
P(1) = 1
6
. Äxniï udaa 6 nüdtäï talaaraa buuxgüï baïx magadlal
1 − p = 5
6
ba xoër dax´ xa¶ltaar 6 nüdtäï talaaraa buux magad-
lal n´ P(2) = 5
6
· 1
6
= 5
36
. Tüünqlän äxniï xoër xa¶lt amjilt-
güï bolsny daraa guraw dax´ xa¶ltaar 6 nüdtäï talaaraa buux
magadlal P(3) = 5
6
2
· 1
6
= 25
216
. Tur²iltad gurwaas dää² xa¶lt
xiïx üzägdliïg A gäwäl A üzägdäl n´ tur²ilt 1,2,3 dax´ udaagiïn
xa¶ltaar duusax üzägdlüüdiïn niïlbäriïn äsräg üzägdäl bolno.
Tägäxäär
P(A) = 1 − (P(1) + P(2) + P(3)) =
125
216
.
Änd sanuulaxad ¶marwaa näg A üzägdäl näg udaagiïn tur²iltaar
ilräx magadlal n´ togtmol p baïgaad tur²iltyg A üzägdäl ilräx
xürtäl ürgäljlüülnä gäwäl ¶g n-r tur²iltand A üzägdäl ilräx
magadlal n´
P(n) = (1 − p)n−1
p
gäsän xuulind zaxiragddag µm.
32

1.
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
xoër ül mädägdäxtäï xoër ²ugaman täg²itgäliïn sistemiïg bod-
wol
x =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a12a21
; y =
b1a21 − b2a11
a11a22 − a12a21
(∗)
bolno.
∆ = a11a22 − a12a21
gäj tämdägläe. (’ugaman täg²itgälüüdiïn sistemiïn todorx-
oïlogq gädäg.) Ändääs xäräw ∆ = 0 bol (∗) ilärxiïllüüd todor-
xoï toon utgataï baïx n´ xaragdana. Änä n´ sistem ganc ²iïdtäï
baïgaag xaruulna. Ööröör xälbäl a11x+a12y = b1 ba a21x+a22y = b2
täg²itgälüüdtäï ²uluunuud xawtgaïd näg cägäär ogtlolcox bögööd
ogtlolclyn cägiïn koordinatuud n´ (∗) täg²itgälüüdäär ilärx-
iïlägdänä gäsän üg µm.
Xäräw ∆ = 0 bol sistem näg bol ²iïdgüï (a11x + a12y = b1 ba
a21x + a22y = b2 täg²itgälüüdtäï ²uluunuud parallel´) äswäl
tögsgölgüï olon ²iïdtäï (a11x + a12y = b1 ba a21x + a22y = b2
täg²itgälüüdtäï ²uluunuud dawxcana).
mx + y = 1
14x − (5 − m)y = −7
²ugaman täg²itgälüüdiïn sistemiïg awq üzwäl
∆ = m2
− 5m − 14
baïna. Xäräw m = −2 ba m = 7 bol ganc ²iïdtäï baïna.
m = 7 bol sistem
7x + y = 1
14x + 2y = −7
bolno. 7x+y = 1 ba 14x+2y = −7 täg²itgälüüdäär todorxoïlogdox
²uluunuud n´ dawxcaxgüï. Iïmd sistem ²iïdgüï µm.
33

m = −2 bol sistem
−2x + y = 1
14x − 7y = −7
bolox ba −2x + y = 1, 14x − 7y = −7 täg²itgälüüd n´ nägän ijil
²uluunyg todorxoïlox uqraas sistem tögsgölgüï olon ²iïdtäï
baïna. Änä toxioldold sistemiïn büx ²iïdüüd n´ y = 2x + 1
²uluuny büx cäg bolno.
Busad toxioldold ∆ = 0 baïx ba sistem
x0 =
m + 2
a2 − 5m − 14
, y0 =
−7(m + 2)
a2 − 5m − 14
gäsän cor ganc ²iïdtäï baïna.
Tuxaïlbal m = 10 bol ∆ = 36 = 0 bögööd
10x + y = 1
14x + 15y = −7
sistemiïn ²iïd n´ x = 1
3
; y = −7
3
baïna.
Tüünqlän x0 = −1 bol y0 = 7, m = 6; y0 = −7
2
bol x0 = 1
2
, m = 9
baïxyg x¶lbar toocoolj bolno.
2. Xawtgaï däärx täg² öncögt koordinatyn sistemd aliwaa P1(x1; y1)
ba P2(x2; y2) cägüüdiïg xolboson xärqmiïn urtyg
|P1P2| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
tom³ëogoor toocoolj boldog bilää.
Iïmd A(−3; −3) ba C(5; 8) cägüüdiïg xolboson xärqmiïn urt n´
|AC| = (5 − (−3))2 + (8 − (−3))2 =
√
185,
B(−1; 4), ba D(7; −2) cägüüdiïg xolboson xärqmiïn urt n´
|BD| = (7 − (−1))2 + (−2 − 4)2 = 10
baïna.
−→
AC(8; 11) ba
−−→
BD(8; −6) wektoruudyn skal¶r ürjwär
(
−→
AC,
−−→
BD) = 8 · 8 + 11 · (−6) = −2.
34

Iïmd, xäräw
−→
AC(8; 11) ba
−−→
BD(8; −6) wektoruudyn xoorondox öncgiïg
γ gäwäl, kosinus n´
cos γ =
(
−→
AC,
−−→
BD)
|AC||BD|
=
−2
10
√
185
,
sinus n´
sin γ = 1 − cos2 γ =
68
5
√
185
baïna.
Tägäxäär ABCD güdgär dörwön öncögtiïn talbaï n´
SABCD = |AC||BD| sin γ = 10 ·
√
185 ·
68
5
√
185
= 136
µm.
3.
√
2 +
√
√
2 +
√
3 = p
q
, p, q ∈ N, (p, q) = 1 baïg.
Kwadrat zärägt däw²üülbäl
p2
q2
= (
√
2 +
√
3)2
= 5 + 2
√
6
bolno. p2
q2 = 5 + 2
√
6 gädgääs p2
q2 − 5 = 2
√
6 gäj garax ba xoër talyg
kwadrat zärägt däw²üülääd ämxätgäwäl
p4
q4
− 10
p2
q2
+ 1 = 0
bolno.
t =
p2
q2
gäj tämdägläe. Tägäxäär näg talaas
t2
− 10t + 1 = 0
kwadrat täg²itgäl n´
t =
p2
q2
gäsän racional´ ²iïdtäï baïx ëstoï. Nögöö talaas änä täg²it-
gäliïn diskriminant D = 96 n´ ¶mar q büxäl toony kwadrat bi²
µm.
√
2 +
√
3 toog racional´ too gäj üzsän n´ buruu baïna. Iïmd√
2 +
√
35

[b]
,
(b) x2
[d]
baïna.
[f]
, gurwaljin baïgu-
[h]
baïna.
36

Mathtest3

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Mathtest3