Дээд математик 3 MT103 бодлого

1. 1
2 0
A
B
C
Бодлого 1.18
a=x2j+xj+xzk
S: z=x2+y2 ; x=0, y=0
z=0  x2+y2=1
f(x,y,z)=x2+x+xz
dS=√1 + (𝑧 𝑥
′ )2 + (𝑧 𝑦
′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑦=√1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
x=0, y=0  dS=dxdy
 ∬ 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 = ∬ ( 𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ (𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥𝑦2
)𝑑𝑥𝑑𝑦ДД𝑆
= √1 − 𝑥2
= ∫ 𝑑𝑥 ∫( 𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥𝑦2) 𝑑𝑦 = ∫(𝑥2
1
0
1
0
√1 − 𝑥2 + 𝑥√1 − 𝑥2 + 𝑥3√1 − 𝑥2 +
1
3
𝑥√(1 − 𝑥2)3
= [−
𝑥
4
√(1 − 𝑥2)3 +
1
5
√(1 − 𝑥2)3 −
1
3
√(1 − 𝑥2)3 −
1
15
√(1 − 𝑥2)5]|0
1
=
1
8
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1 +
1
3
−
1
5
+
1
3
+
1
15
=
𝝅
𝟏𝟔
+
𝟖
𝟏𝟓
;
Бодлого 2.18
а̅( 𝑚) = ( 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑖 + 2𝑧𝑗 + (2𝑧 − 𝑥) 𝑐, 𝑝: 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 6
П = ∬ 𝑑𝑉0
Д
( 𝑚) 𝑑𝑉
𝑚 =
𝜕
𝜕𝑥
( 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) +
𝜕
𝜕𝑦
(2𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧
(27 − 𝑥) = 1 + 2 = 3
П = 3 ∭ 𝑑𝑉
𝐺
= 3∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 3𝑉 =
1
3
𝐺
𝑆𝑐 ∗ ℎ =
1
3
∗
1
2
𝐴𝑂 ∗ 𝑂𝐵 ∗ 𝑂𝐶 =
1
6
∗ 3 ∗ 2 ∗ 6 = 6
П = 3𝑉 − 3 ∗ 6 = 𝟏𝟖
1
1

2. 2
1 √2
Бодлого 3.18
∇𝑓 = 2𝑥𝑖 + 4𝑦𝑗 + 8𝑧𝑘
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥;
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 4𝑥;
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 8𝑥;
эндээс 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 𝟐
+𝟐𝒚 𝟐
+𝟒𝒛 𝟐
Бодлого 4.18
𝑎̅ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘; 𝑏̅ = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 бол 𝑟𝑜𝑡( 𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑎 ?
(𝑎̅ ∗ 𝑏̅) ∗ 𝑎̅ = 𝑎̅ ∗ 𝑎̅ ∗ 𝑏̅ = |𝑎̅|2
𝑏̅ = 𝑥2
𝑖 + 𝑦2
𝑗 + 𝑧2
𝑟𝑜𝑡(𝑎̅ ∗ 𝑏̅) ∗ 𝑎̅=
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2
𝑦2
𝑧2
= 0
Бодлого 5.18
√16 ∗ (
−1
2
+
√3
2
𝑖)
4
= √16 ∗ (𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
+ 𝑖 ∗ 𝑠𝑖𝑛
2𝜋
3
)
4
= √𝟏𝟔
𝒏
(𝒄𝒐𝒔
𝟐𝝅
𝟑 + 𝟐𝝅𝒌
𝟒
+ 𝒊 ∗ 𝒔𝒊𝒏
𝟐𝝅
𝟑 + 𝟐𝝅𝒌
𝟒
)
Бодлого 6.18
1 < | 𝑧 − 1| ≤ 1, 𝐼𝑚𝑧 ≥ 0, 𝑅 𝑒𝑧 < 1

3. 3
Бодлого 7.18
ln(−1 − 𝑖) Алгебр хэлбэрт бич!
−1 − 𝑖 = 𝑧
𝑟 = | 𝑧| = √ 𝑥2 + 𝑦2 = √1 + 1 = √2
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
𝑦
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 =
𝜋
4
 ln(−1 − 𝑖) = 𝑙𝑛√2 + 𝑖 (
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋) =
𝟏
𝟐
𝒍𝒏𝟐 + 𝒊(𝟐𝒌𝝅 +
𝝅
𝟒
)