Mathtest1

Test 1.
Xuwilbar A.
Nägdügäär xäsäg.
1. 1 − (0, 2)4 toony arawtyn biqlägiïn taslalaas xoï²xi guraw
dax´ cifr xäd wä
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
2. |4 − x| + 2|x + 1| = 3x + 2 täg²itgäliïg bod.
A. 0 B. 2 C. {0; 2} D.{0; 2; 4} E. ²iïdgüï
3. a parametriïn ¶mar utgand y = x2
+ax−7 ba y = a
2
x2
−3 paraboluud
²ürgälcäx wä?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
4. p, p + 10, p + 14 toonuud anxny toonuud bol p toog ol.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 7
5. f(x) = 1+3x
5−2x
funkciïn urwuu funkciïg ol.
A. f−1
(x) = 5−2x
1+3x
B. f−1
(x) = 3+2x
5−x
C. f−1
(x) = 3+2x
5x−1
D.f−1
(x) = 5−x
3+2x
E. f−1
(x) = 5x−1
3+2x
6. f(x) = sin x + cos 5
7
x funkciïn xamgiïn baga äeräg üeiïg ol.
A. 14π B. 7π C. 5π D. 2π E. π
7. A(2; −7), B(6; 9) ba C(1; 4) cägüüd däär oroïtoï gurwaljny xündiïn
töwiïg ol.
A. (1; 3) B. (9; 6) C. (6; 9) D. (2; 3)) E. (3; 2)
8. 1
2·9
+ 1
9·16
+ 1
16·23
+ . . . + 1
1997·2004
niïlbäriïg ol.
A. 1001
2004
B. 91
2004
C. 77
2004
D. 143
2004
E. 9
2004
9. Näg toïrogt bagtsan zöw 2n öncögt ba zöw n öncögtüüdiïn tal-
baïnuudyn xar´caag ol.
A. 2 : 1 B. 1 : sin π
n
C. 2 : cos π
n
D. 1 : cos π
n
E. 1 : cos π
2n
1

10. Parallelogrammyn perimetr 42 nägj ba öndrüüd n´ 3:4 xar´caataï
bol taluudyg ol.
A. 10; 11 B. 9; 12 C. 8; 13 D. 7; 14 E. 6; 15
11. arcsin 1
3
+ arccos 1
3
ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. π B. π
3
C. π
2
D. −π
2
E. 2π
12. Sagsand 3 ulaan, 3 nogoon, 3 ²ar alim baïw. Xaranxuïd xoër alim
songon awaxad xoër öör öngiïn alim baïx magadlalyg ol.
A. 1 B. 1
3
C. 1
2
D. 1
4
E. 3
4
13. Nägän surguuliïn arwannägdügäär angiïn suragqdyn ¶g 5 xuw´ n´
"A", 15 xuw´ n´ "B", 30 xuw´ n´ "C", 40 xuw´ n´ "D" ba üldsän 10
xuw´ n´ "F" ünälgäätäï suralcsan n´ mädägdäj baïgaa bol surguul´
xamgiïn bagadaa xädän xüüxädtäï wä?
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100
14. a irmägtäï kubyg bagtaasan ²uluun cilindriïn äzläxüüniïg ol.
A. πa3
2
B. πa3
4
C. πa3
6
D. πa3
12
E. 4πa3
15. lim
x→∞
( 3
√
x2 + 1 − 2
3
√
x2 + 3
√
x2 − 1) x¶zgaaryg bod.
A. 1
3
B. +∞ C. 0 D. 2
3
E. −∞
16. ’algaltyn materialyn 20 xuwiïg A. bag², 30 xuwiïg B. bag²,
50 xuwiïg S. bag² ²algadag. Aldaag anzaaralgüï öngöröx maga-
dlal xargalzan 0.01, 0.005, 0.001 bol songon awsan oµutny aldaa
anzaaragdaxgüï öngöröx magadlalyg ol.
A. 0.001 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.004 E. 0.005
17. x = 1, y = 0 ba y = arctan x muruïnuudaar xa²igdsan dürsiïn
talbaïg ol.
A. 1
4
− ln
√
2 B. π
4
− ln
√
2 C. π
4
− ln 2 D. π
4
E. ln 2
18. sin α + cos α = 6
5
bol sin α cos α ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 11
25
B. 36
25
C. 23
50
D. −11
25
E. 11
50
2

19. y = x3
− ax funkciïn [0; 1] xärqim däärx xamgiïn ix ba xamgiïn
baga utguudyn niïlbäriïg 2-toï täncüü baïlgax a parametriïn
büx utgyg ol.
A. 0; 3 B. 0; 1 C. 1; 3 D. 1; −3 E. −1; 3
20.
x + xy = 3
xy2
+ xy3
= 12
täg²itgälüüdiïn sistemiïg bod.
A. {−3; 2}; {1; 2} B. {−3; 2}; {−1; 2} C. {−3; −2}; {1; 2}
D. {−3; −2}; {1; 2} E. {−3; −2}; {−1; −2}
21. [0; 2] xärqmääs xoër too sanamsargüïgäär songon awaxad ürjwär n´
1-ääs xäträxgüï baïx magadlalyg ol.
A. 1−ln 2
2
B. 1+ln 2
4
C. 1−ln 2
4
D. 1+ln 4
2
E. 1+ln 4
4
22. Zöw tetraädriïn irmägüüdiïn dundjuudyg däs daraalan xärqmüüdäär
xolbowol zöw oktaädriïn irmägüüd garna. Tetraädriïn irmägiïn
urt 2 nägj bol oktaädriïn äzläxüüniïg ol.
A. 1
3
B.
√
2
3
C.
√
3
3
D. 2
3
E.
√
5
3
Xoërdugaar xäsäg.
1. (a) y = x3
−6x2
+9 funkciïn ulamjlal n´ y = [a]x2
−[bc]x baïna.
(b) xmin = [d] n´ minimumyn cäg bolox bögööd funkc ymin = −[ef]
minimum utgataï baïna.
(c) xmax = [g] n´ maksimumyn cäg bolox bögööd funkc ymax = [h]
maksimum utgataï baïna.
2. a8 = 17 ba a12 = 25 baïx arifmetik progressiïn
(a) ¶lgawar n´ d = [a],
(b) äxniï gi²üün n´ a1 = [b],
(c) erönxiï gi²üüniï tom³ëo n´ an = [c] + 2n baïna.
(d) Äxniï [de] gi²üüniï niïlbär n´ 440 bolno.
(e) a58 gi²üüniïg a4 gi²üünd xuwaaxad a[f] = [gh] gi²üün garna.
3. Piramidyn suur´ 3 ba 4 taltaï täg² öncögt ba xajuu irmägüüd
n´ bügd 5 urttaï bol
3

(a) Xajuu irmäg n´ suuriïn xawtgaïtaïgaa α = π
[a]
öncög üüsgänä.
(b) Piramidyn öndör n´ H =
[b]
√
[c]
[d]
baïna.
(c) Äzläxüün n´ V = [ef] [c] baïna.
(d) Suuriïn xawtgaïtaï parallel´ xawtgaïg oroïgoos h =
[b]
√
[c]
3
√
[gh]
zaïd tataxad piramidyn äzläxüüniïg tallan xuwaana.
4. 52 modtoï xözröös taamgaar xoëryg sugalj awaxad
(a) xoër ijil xözör (xoër bool g.m.) baïx magadlal [a]
[bc]
baïna.
(b) näg öngiïn xözrüüd (xoër dörwöljin g.m.) baïx magadlal [de]
[bc]
baïna.
(c) Näg öngiïn xoër xözör sugalsan xün daxiad näg xözör sug-
alaxad tär n´ öört baïgaa xoër xözörtäï ijil öngiïn baïx
magadlal [ff]
[gh]
baïna.
4

Xuwilbar B.
1. (
√
26 − 5)8
toony arawtyn biqlägiïn taslalaas xoï²xi xoër dax´
cifr xäd wä
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 0
2. |2x − 2| + |x| = 3x − 2 täg²itgäliïg bod.
A. 0 B. (−∞; 1) C. {0; 1} D.[1; +∞) E. ²iïdgüï
3. b parametriïn ¶mar utguudad y = x2
+ bx − 3 ba y = 2x2
+ b
paraboluud xoër cägäär ogtlolcox wä?
A. b ∈ {−2; 6} B. b ∈ (−2; 6) C. b ∈ [−2; 6]
D. b ∈ (−∞; −2) ∪ (6; +∞) E. b ∈ (−∞; −2] ∪ [6; +∞)
4. p, 8p2
+ 1 toonuud anxny toonuud bol p toog ol.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
5. f(x) =
√
2 + 5x, (x > 0) funkciïn urwuu funkciïg ol.
A. f−1
(x) = 1√
2+5x
B. f−1
(x) = 5√
x2−2
C. f−1
(x) = x2−2
5
D. f−1
(x) = 5√
2+5x
E. f−1
(x) = 5
x2−2
6. f(x) = tan(
√
3x + 5) funkciïn xamgiïn baga äeräg üeiïg ol.
A.
√
3π B. π√
3
C. 2π√
3
D.
√
3
π
E. π
7. A(0; −9), B(−1; 7) ba C(−2; 5) cägüüd däär oroïtoï gurwaljny xündiïn
töwiïg ol.
A. (1; 2) B. (−1; −1) C. (1; −1) D. (−1; 2) E. (−1; 1)
8. 1
3·7
+ 1
7·11
+ 1
11·15
. . . + 1
599·603
niïlbäriïg ol.
A. 1
603
B. 51
603
C. 200
603
D. 202
603
E. 7
603
9. Näg toïrogt bagtsan zöw 2n öncögt ba zöw n öncögtüüdiïn perimetrüüdiïn
xar´caag ol.
A. 2 : 1 B. 1 : sin π
n
C. 2 : cos π
n
D. 1 : cos π
n
E. 1 : cos π
2n
5

10. Parallelogrammyn talbaï 108m2
ba öndrüüd n´ 3:4 xar´caataï
bol taluudyg ol.
A. 10; 11 B. 9; 12 C. 8; 13 D. 7; 14 E. 6; 15
11. arcsin 2
3
− arccos −2
3
A. π B. π
3
C. π
2
D. −π
2
E. 2π
12. Uutand gurwan ²irxäg ulaan, tawan ²irxäg xar, naïman ²irxäg
nogoon bömbölög baïsan bol taamgaar xoër bömbölög awaxad ijil
öngötäï baïx magadlalyg ol.
A. 41
153
B. 1
51
C. 10
153
D. 28
153
E. 13
153
13. Sudalgaand orolcogqdyn ¶g 35 xuw´ n´ MAXN-yg, 30 xuw´ n´ MoAN-
yg 20 xuw´ n´ gurawdagq xüqnüüdiïg, busad n´ al´ q namyg dämjdäg-
güï gäjää. Sudalgaand xamgiïn bagadaa xädän xün xamragdsan bä?
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100
14. a irmägtäï kubiïg bagtaasan bömbörcgiïn äzläxüüniïg ol.
A.
√
3πa3
2
B.
√
2πa3
4
C.
√
3πa3
6
D.
√
2πa3
12
E. 4πa3
15. lim
x→∞
(
√
x2 + 1 − 3
√
x3 − 1 x¶zgaaryg bod.
A. −∞ B. 1
6
C. 0 D. 5
6
E. +∞
16. Xudaldan awagqiïn songoltoo xiïsän gadna baïdlaaraa ¶lgaagüï
10 gar utasny 6 n´ ²inä, 4 n´ zaswarlaj särgääsän utasnuud µm.
Gar utas näg jiliïn dotor äwdräx magadlal ²inä utasny xuw´d
0.01 ba zaswarlasan utasny xuw´d 0.3 baïna. Xudaldaj awsan utas
jil xürälgüï äwdärsän bol zaswarlasan utas baïx magadlalyg ol.
A. 19
20
B. 20
21
C. 19
22
D. 21
22
E. 19
21
17. x = 0; y = tan x ba y = 1 muruïnuudaar xa²igdsan dürsiïn talbaïg
ol.
A. 1
4
− ln
√
2 B. π
4
− ln
√
2 C. π
4
− ln 2 D. π
4
E. ln 2
18. tan α − cot α = 3 bol tan2
α + cot2
α ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11
6

19. y = x3
+ ax2
− 1 funkciïn [0; 1] xärqim däärx xamgiïn baga utgyg
[1; 3] xärqim däärx xamgiïn ix utgataï täncüü baïlgax a parametriïn
büx utguudyg ol.
A. a ≤ −13
4
B. a ≤ 13
4
C. a ≥ 13
4
D. a ≥ −13
4
E. −13
4
≤ a ≤ 13
4
20.
x2
− 3xy + 2y2
= 0
x2
+ xy = 2x + y
A. {0; 0}, 3
2
; 3
2
, 5
3
; 5
6
B. 3
2
; 3
2
, 5
3
; 5
6
C. {0; 0}, 2
3
; 3
2
, 5
6
; 5
6
D. 2
3
; 2
3
, 5
6
; 5
6
E. {0; 0}, 3
2
; 3
2
, 1
3
; 1
2
21. [0; 1] xärqmääs xoër cägiïg sanamsargüïgäär songon awaxad xooron-
dox zaï n´ 1
3
-ääs xäträxgüï baïx magadlalyg ol.
A. 1
9
B. 2
9
C. 1
3
D. 4
9
E. 5
9
22. Zöw tetraädriïn irmägüüdiïn dundjuudyg däs daraalan xärqmüüdäär
xolbowol zöw oktaädriïn irmägüüd garna. Tetraädriïn irmägiïn
urt 2 nägj bol oktaädriïn gadarguugiïn talbaïg ol.
A.
√
3
2
B.
√
3 C. 2
√
3 D. 3
√
3 E. 4
√
3
1. (a) y = x5
−5x4
+5x3
+1 funkciïn ulamjlal n´y = [a]x4
−[b]0x3
+
1[c]x2
baïna.
(c) xmax = [g] n´ maksimumyn cäg bolox bögööd funkc ymax = [h]
(a) ¶lgawar n´ d = [a],
(b) äxniï gi²üün n´ a1 = [b],
(c) erönxiï gi²üüniï tom³ëo n´ an = [c]n − [d] baïna.
(d) Äxniï [e] gi²üüniï niïlbär n´ 270 bolno.
(e) a[fg] gi²üüniïg a[h] gi²üünd xuwaaxad 8 garna.
7

(a) Xajuu irmäg n´ suuriïn xawtgaïtaïgaa α = arccos
√
[ab]
[c]
öncög
üüsgänä.
√
[de]
[f]
baïna.
(c) Äzläxüün n´ V = [de] baïna.
√
[de]
2 [g
√
]h
(a) xoër ijil xözör (xoër xatan g.m. ) baïx magadlal [a]
[bc]
baïna.
(b) näg öngiïn (xoër cäcäg g.m.) xözrüüd baïx magadlal [d]
[bc]
baïna.
magadlal [e]
[fg]
baïna.
(d) Nägän ijil xoër xözör sugalsan xün daxiad nägiïg sugalaxad
tär n´ öört baïgaa xoër xözörtäï ijil xözör baïx magadlal
[h]
[fg]
baïna.
8

Xuwilbar C.
1. (5−
√
24)10
toony arawtyn biqlägiïn taslalaas xoï²xi guraw dax´
cifr xäd wä
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
2. x = |x − 3| + |2x + 5| − 8 täg²itgäliïg bod.
A. −5
2
; 3 B. −∞; −5
2
C. −5
2
; 3 D. [3; +∞) E.
−5
2
; 3
3. c parametriïn ¶mar utgand y = cx2
− 2x + 1 parabol y = cx ²ulu-
untaï ²ürgälcäx wä?
A. −2 B. {−2; 2} C. (−2; 2) D. (−∞; −2)∪(2; +∞))
E. ¶mar q utgand ²ürgälcäxgüï
4. p + 3; p + 9; p + 11 toonuud anxny toonuud bol p toog ol.
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 11
5. f(x) = 1+ex
1−ex funkciïn urwuu funkciïg ol.
A. f−1
(x) = ln x B. f−1
(x) = ln x−1
x+1
C. f−1
(x) = ln x+1
x−1
D. f−1
(x) = 1−ex
1+ex E. f−1
(x) = ln(x−1)
ln(x+1)
6. f(x) = 6 cos 3πx
4
funkciïn xamgiïn baga äeräg üeiïg ol.
A. 4
3
B. 8π
3
C. 3π D. 8
3
E. 2π
7. A(5; −2), B(1; 9) ba C(0; −4) cägüüd däär oroïtoï gurwaljny xündiïn
töwiïg ol.
A. (−2; 3) B. (3; 2) C. (2; 2) D. (2; 1) E. (1; −3)
8. 1
4·7
+ 1
7·10
+ . . . + 1
997·1000
niïlbäriïg ol.
A. 49
1000
B. 1
4
C. 249
1000
D. 49
250
E. 249
997
9. Näg toïrogt bagtsan zöw naïman öncögt ba kwadrat xoëryn tal-
baïnuudyn xar´caag ol.
A. 2 : 1 B. 1 :
√
3 C. 2 :
√
3 D. 1 :
√
2 E.
√
2 : 1
9

10. Parallelogrammyn diagonaliudyn kwadratuudyn niïlbär 450 nägj
ba öndrüüd n´ 3:4 xar´caataï bol taluudyg ol.
A. 10; 11 B. 9; 12 C. 8; 13 D. 7; 14 E. 6; 15
11. arccos 1
7
+ arccos −1
7
A. π B. π
3
C. π
2
D. −π
2
E. 2π
12. 10 adilxan xaïrcagny 3 n´ xooson 5-d n´ bäläg, 2-t n´ möngö baïgaa.
Sanamsargüïgäär xoër xaïrcgiïg songon awaxad näg n´ möngötäï,
nögöö n´ bälägtäï baïx magadlalyg ol.
A. 2
45
B. 1
9
C. 2
9
D. 7
45
E. 5
9
13. Näg ödriïn tur² dälgüür orj irsän xümüüsiïn ¶g 8 xuw´ n´ 100
m¶ngan tögrögöös dää² xudaldan awalt xiïsän ba 15 xuw´ n´ 50-100
m¶ngan tögrögiïn, 35 xuw´ n´ 50 m¶ngan tögrögöös baga xudaldan
awalt xiïjää. Üldsän 42 xuw´ n´ xudaldan awalt xiïgäägüï baïna.
Dälgüürt tär ödör xamgiïn bagadaa xädän xün orj irsän bä?
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100
14. Konusyn suuriïn duguï a irmägtäï kubiïn näg talsad bagtsan
bögööd oroï n´ äsräg tals däär n´ or²dog bol konusyn äzläxüüniïg
ol.
A. πa3
2
B. πa3
4
C. πa3
6
D. πa3
12
E. 4πa3
15. lim
x→∞
( 3
√
x3 + 2x2 + x − 3
√
x3 − 5x2 + 7) x¶zgaaryg bod.
A. −∞ B. 3
7
C. 0 D. 7
3
E. +∞
16. Ämnälgiïn qölöö awax magadlal 20-35 nasny ajillagsadyn xuw´d
0.1, 35-50 nasny ajillagsadyn xuw´d 0.2, 50-aas dää² nasny ajil-
lagsadyn xuw´d 0.3 baïna. Baïguullagyn ajillagsadyn 30 xuw´ n´
20-35 nasny, 50 xuw´ n´ 35-50 nasny, 10 xuw´ n´ 50-aas dää² nasny
xümüüs bol ämnälgiïn qölöö awsan ajiltan 50-aas dää² nasny baïx
magadlalyg ol.
A. 1
10
B. 3
16
C. 9
22
D. 21
45
E. 8
21
17. y = sin x, (≤ x ≤ π) ba y = 0 muruïnuudaar xa²igdsan dürsiïn
talbaïg ol.
A. 1 B. π C. π
2
D. 1
2
E.
√
2
10

18. sin α + cos α = 0.5 bol tan α + cot α ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 1 B. 0.75 C. −8
3
D. 3
8
E. −3
4
19. y = sin x(a−cos 2x) funkciïn utgyn mujiïg [-1;1] xärqimd baïlgax
a parametriïn büx utgyg ol.
A. −1 − 3
3√
2
≤ a ≤ 0 B. 1 − 3
3√
2
≤ a ≤ 1 + 3
3√
2
C. a ≤ 3
3√
2
D. 0 ≤ a ≤ 1 + 3
3√
2
E. 1 − 3
3√
2
≤ a ≤ 0
20.
x2
+ y2
= 13
x3
+ y3
= 19
A. {−2; −3}, {−3; −2} B. {−2; 3}, {3; −2} C. {−2; −3}, {3; −2}
D. {−2; 3}, {3; 2} E. {2; 3}, {3; 2}
21. [0, 1] xärqmääs näg too, [1; 2] xärqmääs näg too tus tus songon awaxad
ädgäär toonuudyn niïlbär 2-oos ix baïx magadlalyg ol.
A. 1
5
B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
E. 1
22. Kubyn talsuudyn töwüüd oktaädriïn oroïnuud bolno. Kubyn äzläxüün
ba oktaädriïn äzläxüünüüdiïn xar´caag ol.
A. 1
16
B. 1
8
C. 1
6
D. 1
4
E. 1
2
1. (a) y = 4x3
− 21x2
+ 18x + 7 funkciïn ulamjlal n´ y = 6([a]x2
−
[b]x + [c]) baïna.
minimum utgataï baïx ba
(c) xmax = 1
[g]
n´ maksimumyn cäg bolox bögööd funkc ymax = 13
[h]
2. a5 = −16 ba a13 = −56 baïx arifmetik progressiïn
(a) ¶lgawar n´ d = [ab],
(b) äxniï gi²üün n´ a1 = [c],
(c) erönxiï gi²üüniï tom³ëo n´ an = [d] − [b]n baïna.
11

(d) Äxniï [e] gi²üüniï niïlbäriïn modul´ n´ 77 bolno. a[fg]
gi²üüniïg a[h] gi²üünäär ürjüüläxäd 2106 garna.
(a) Xajuu irmäg n´ suuriïn xawtgaïtaïgaa α =
√
[ab]
[c]
öncög üüs-
gänä.
(b) Piramidyn öndör n´ H = [de]
[f]
baïna.
(c) Äzläxüün n´ V = [g] [de]
[f]
baïna.
(d) Suuriïn xawtgaïtaï parallel´ xawtgaïg oroïgoos h = 1
3
√
[h]
[de]
[f]
4. 52 modtoï xözröös taamgaar gurwan xözör sugalj awaxad tär dotor
n´
(a) xoër ijil xözör (xoër tamga g.m.) baïx magadlal [a]
[bc]
baïna.
(b) gurwan ijil xözör baïx magadlal [b]
[def]
baïna.
(c) xoër ijil öngiïn xözör (xoër bundan g.m.) baïx magadlal [gh]
[bc]
baïna.
12

Xuwilbar D.
1.
√
1001 −
√
1000 toony arawtyn biqlägiïn taslalaas xoï²xi guraw
dax´ cifr xäd wä
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
2. |2x + 1| = |x − 1| + 2 täg²itgäliïg bod.
A. −4 B. −4; 0; 2
3
C. −4; 2
3
D. 0; 2
3
E. −4; 0
3. a parametriïn ¶mar utgand y = ax2
+ 2x + 5 ba y = x2
+ ax
paraboluud xoër erönxiï cägtäï baïx wä?
A. {12−
√
120; 12+
√
120} B. (−∞; 12−
√
120)∪(12+
√
120; +∞)
C. (12 −
√
120; 12 +
√
120) D. [12 −
√
120; 12 +
√
120]
E. (−∞; 12 −
√
120] ∪ [12 +
√
120; +∞)
4. p, 2p + 1, 4p + 1 toonuud anxny toonuud bol p toog ol.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
5. f(x) = ln(x + 3) funkciïn urwuu funkciïg ol.
A. f−1
(x) = ex
B. f−1
(x) = ex+3
C. f−1
(x) = ex
− 3
D. f−1
(x) = ex
+ 3 E. f−1
(x) = 1
ln(x+3)
6. f(x) = sin2
(x − 1) funkciïn xamgiïn baga äeräg üeiïg ol.
A. π
2
B. π C. π − 1 D. π + 1 E. 2π
7. A(1; −6), B(7; 2) ba C(−5; −2) cägüüd däär oroïtoï gurwaljny xündiïn
töwiïg ol.
A. (5; 4) B. (−2; 7) C. (3; 1) D. (1; −2) E. (5; 2)
8. 1
1·2·3
+ 1
2·3·4
+ 1
3·4·5
+ . . . + 1
2008·2009·2010
niïlbäriïg ol.
A. 1005·2009−1
2·2009·2010
B. 1005·2009−1
2009·2010
C. 1001
2·2009·2010
D. 502
2009·1005
E. 2007
2·2009·2010
13

9. Näg toïrogt bagtsan zöw naïman öncögt ba kwadrat xoëryn perimetrüüdiïn
xar´caag ol.
A. 2 : 1 B. 1 : sin π
8
C. 2
√
2 : 1 D.
√
2 : 1 E. 1 : cos π
8
bol taluudyg ol.
A. 10; 11 B. 9; 12 C. 8; 13 D. 7; 14 E. 6; 15
11. arctan(1 +
√
2) − arctan(1 −
√
2) ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. π B. π
3
C. π
2
D. −π
2
E. 2π
12. Sagsand 3 sarnaï, 5 altanzul, 7 caxirmaa cäcäg baïw. sanam-
sargüïgäär songon awsan gurwan cäcgäär xiïsän baglaa nägän tör-
liïn cäcgääs bürdsän baïx magadlalyg ol.
A. 46
455
B. 36
91
C. 45
91
D. 36
455
E. 46
910
13. Sudalgaand orolcson gär bülüüdiïn ¶g 18 xuw´ n´ 25 xurtälx nasand,
25 xuw´ n´ 26-30 nasand, 30 xuw´ n´ 31-35 nasand, üldsän 27 xuw´ n´
35-aas dää² nasandaa gär bül bolson gäjää. Sudalgaand xamgiïn
bagadaa xädän gär bül xamragdsan bä?
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100
14. a irmägtäï kubäd bagtsan cilindriïn äzläxüüniïg ol.
A. πa3
2
B. πa3
4
C. πa3
6
D. πa3
12
E. 4πa3
15. lim
x→∞
(
√
x4 + x2 − 1 −
√
x4 − x2 + 1) x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 1
4
C. 1
2
D. 1 E. +∞
16. 0.9 ba 0.6 magadlaltaïgaar baïg onodog xoër xün bie bieäs xam-
aaralgüï baïg näg näg buudaad ¶g adilxan ür dün üzüüläw. Xoëul
onoson baïx magadlalyg ol.
A. 0.63 B. 0.73 C. 0.83 D. 0.93 E. 0.95
17. y = x2
ba y = x4
muruïnuudaar xa²igdsan dürsiïn talbaïg ol.
A. 1
15
B. 2
15
C. 1
5
D. 4
15
E. 1
3
14

18. sin α − cos α = 0, 5 bol tan2
α − cot2
α ilärxiïlliïn utgyg ol.
A.
√
7
4
B.
√
7
9
C. −16
√
7
9
D. 16
√
7
9
E. 16
9
19. y = x2
+ ax − 1 funkciïn [0; 1] xärqim däärx xamgiïn baga utga ba
[1; 2] xärqim däärx xamgiïn ix utguudyn ¶lgawryn moduliïg 1-täï
täncüü baïlgax a parametriïn büx utguudyg ol.
A. −2; −4 B. 2; 4 C. −1; −5 D. 1; 5 E. −2; 5∞
20.
10
x+2
+ 9
y−1
= 5
1
x−1
= 2
y
A. x = 3, y = 4; x = −3, y = −4 B. x = 6, y = −5; x = −6, y = 5
C. x = 3, y = 4; x = −3
5
, y = −4
5
D. x = 3, y = 4; x = −3
5
, y = −16
5
E. x = 5, y = 4; x = −3
5
, y = −4
5
21. [0; 1] xärqmääs xoër too sanamsargüïgäär songon awaxad niïlbär n´
1-ääs xäträxgüï baïx magadlalyg ol.
A. 1
2
B. 1
3
C. 2
3
D. 1
4
E. 3
4
22. Zöw oktaädriïn talsuudyn töwüüd kubyn oroïnuud bolno. Kubyn
äzläxüüniïg ol.
A. a3
3
√
3
B. a3
3
C. 8a3
27
D. 4a3
9
E. 3a3
8
√
2
1. (a) y = x4
− 8x2
+ 12 funkciïn ulamjlal n´ y = [a]x3
− [bc]x
baïna.
(b) xmin = ±[d] n´ minimumyn cäg bolox bögööd funkc ymin = −[e]
(c) xmax = [f] n´ maksimumyn cäg bolox bögööd funkc ymax = [gh]
(a) ¶lgawar n´ d = [a]
[b]
,
(c) erönxiï gi²üüniï tom³ëo n´ an = 1[d]+n
[b]
baïna.
15

(d) Äxniï [e] gi²üüniï niïlbär n´ a[fgh] gi²üüntäï täncüü.
(a) Xajuu irmäg n´ suuriïn xawtgaïtaïgaa α = arccos 1
2
[ab]
[c]
öncög
üüsgänä.
√
[de]
2
baïna.
(c) Äzläxüün n´ V =
[fg]
√
[de]
[h]
baïna.
√
[de]
3
√
[b]4
4. 52 modtoï xözröös taamgaar gurwan xözör sugalj awaxad
(a) gurwuul ijil öngiïn xözör (gurwan cäcäg g.m.) baïx magadlal
[aa]
[bcd]
baïna.
(b) gurwuul öör öör öngiïn xözrüüd baïx magadlal [d]
[ef]
baïna.
(c) xoër n´ ijil guraw dax´ n´ öör öngiïn xözör baïx magadlal
[2gh]
[bcd]
baïna.
16

Xuwilbar E.
1.
√
9, 1 toony arawtyn biqlägiïn taslalaas xoï²xi äxniï cifr xäd
wä
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
2. |2x − 3| − |x + 1| = 5x − 10 täg²itgäliïg bod.
A. 2
3
B. −2
3
C. 7
3
D. 4 E. ²iïdgüï
3. c parametriïn ¶mar utgand y = cx2
+ 2cx − 6 parabol y = x + c
²uluuntaï xoër cägäär ogtlolcox wä?
A. B. C. D. E.
4. p anxny too bögööd 13p + 1 n´ kub bol p toog ol.
A. B. C. D. E.
5. f(x) = 5 − 4x3
funkciïn urwuu funkciïg ol.
A. f−1
(x) = 1
5−4x3 B. f−1
(x) = 1√
5−4x3 C. f−1
(x) = 5+x
4
D. f−1
(x) = 3 5+x
4
E. f−1
(x) = 3 5−x
4
6. f(x) = tan(3x + 5) funkciïn xamgiïn baga äeräg üeiïg ol.
A. 3π B. 2π C. π D. π
2
E. π
3
7. A(5; 2), B(4; −3) ba C(−3; 7) cägüüd däär oroïtoï gurwaljny xündiïn
töwiïg ol.
A. (−2; 5) B. (2
3
; 5
3
) C. (2; 2) D. (1; −7) E. (7; −2)
8. 3
1·4
+ 5
4·9
+ 7
9·16
+ . . . + 209
10816·11025
niïlbäriïg ol.
A. 10815
10816
B. 208
11025
C. 11023
11025
D. 11024
11025
E. 10081
10816
9. Näg toïrogt bagtsan zöw zurgaan öncögt ba zöw gurwaljin xoëryn
talbaïnuudyn xar´caag ol.
A. 2 : 1 B.
√
3 : 1 C. 2 :
√
3 D. 1 :
√
2 E.
√
3 :
√
2
17

bol taluudyg ol.
A. 10; 11 B. 9; 12 C. 8; 13 D. 7; 14 E. 6; 15
11. arctan 2 + arctan 1
2
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π
2
E. π
12. ’inäär baïguulax gäj baïgaa oxidyn xamtlagt xoër duuqin, xoër
büjigqin, näg xögjimqin xärägtäï. ’alguulaxaar irsän oxidyn
10 n´ duuldag, 9 n´ büjiglädäg, 5 n´ xögjim toglodog baïna. Oxin
bür näg l töröld ²alguulax bol sanamsargüïgäär songon awsan
tawan oxinoor xamtlag baïguulj bolox magadlalyg ol.
A. 2023
10626
B. 2025
10626
C. 1013
5313
D. 2027
10626
E. 1014
5313
13. Nägän baïguullagyn ajiltnuudyn 24 xuw´ n´ 25 xürtälx nasny, 36
xuw´ n´ 26-35 nasny, 30 xuw´ n´ 36-50 nasny, 10 xuw´ n´ 50-aas dää²
nasny xümüüs bol tär baïguullaga xamgiïn bagadaa xädän xüntäï
wä?
A. 20 B. 25 C. 40 D. 50 E. 100
14. a irmägtäï kubäd bagtsan bömbörcgiïn gadarguugiïn talbaïg ol.
A. πa2
4
B. 2πa2
3
C. πa2
2
D. πa2
E. 4πa2
15. lim
x→∞
( 3
√
x3 + x + 1 − 3
√
x3 − x + 1) x¶zgaaryg bod.
A. 0 B. 1
3
C. 2
3
D. 1
6
E. ∞
16. Goëlyn daa²inzny 20, 30 ba 50 xuwiïg I,II ba III oëdolqin oë-
dog. Zaxialagqiïn sanaand niïcäxgüï baïx magadlal xargalzan
0.1, 0.08, 0.05 baïna. Songon awsan zaxialagq gomdol gargax maga-
dlalyg ol.
A. 0.029 B. 0.039 C. 0.049 D. 0.059 E. 0.069
17. y = ex
; y = ex ba x = 0 muruïnuudaar xa²igdsan dürsiïn talbaïg
ol.
A. e B. e
2
C. e
2
− 1 D. e
2
+ 1 E. 1
18

18. tan α + cot α = 2 bol cos α sin α ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 1 −
√
5 B. 1 +
√
5 C. −1 −
√
5 D. −1 +
√
5 E.
√
5
19. y = x2
−ax+1 funkciïn [0; 1] xärqim däärx xamgiïn ix ba xamgiïn
baga utguudyn ¶lgawryg 2-toï täncüü baïlgax a parametriïn büx
utguudyg ol.
A. −2; 2 B. −2; 1 −
√
5 C. −2; 1 −
√
5; 1 +
√
5
D. 1 −
√
5; 1 +
√
5 E. −2; 2; 1 −
√
5; 1 +
√
5
20.
x2
y
+ y2
x
= 12
1
x
+ 1
y
= 1
3
A. (5; 5), −2+2
√
7
2
; −2−2
√
5
2
, −3−3
√
5
2
; −3+3
√
5
2
B. (5; 5), −1+3
√
5
2
; −1−3
√
5
2
, −1−3
√
5
2
; −1+3
√
5
2
C. (6; 6), −1+3
√
5
2
; −1−3
√
5
2
, −2−2
√
7
2
; −2+2
√
7
2
D. (6; 6), −3+3
√
5
2
; −3−3
√
5
2
, −3−3
√
5
2
; −3+3
√
5
2
E. (5; 6), −1+3
√
5
2
; −2−3
√
5
2
, −1−3
√
7
2
; −3+2
√
5
2
21. [−1; 1] xärqmääs xoër too sanamsargüïgäär songon awaxad niïlbär
n´ moduliaraa 1-ääs xäträxgüï baïx magadlalyg ol.
A. 1
6
B. 1
5
C. 1
4
D. 1
3
E. 1
2
22. Zöw oktaädriïn irmäg a bol gadarguugiïn talbaï bolon äzläxüüniïg
n´ ol.
A.
√
2a3
3
, 2
√
3a2
B. a3
√
3
, 2
√
3a2
C.
√
2a3
3
, 2
√
5a2
D. a3
√
3
, 3
√
3a2
E.
√
2a3
3
, 3
√
3a2
1. (a) y = x4
− 4x3
+ 6x2
− 4x + 5 funkciïn ulamjlal n´ y = [a]x3
−
[bc]x2
+ [bc]x − [a] baïna.
(b) xmin = [d] n´ minimumyn cäg bolox bögööd funkciïn minimum
utga n´ ymin = −[e] baïna.
19

(c) Änä funkc [0; 2] xärqim däärx xamgiïn ix utgaa x1 = [f] ba
x2 = [g] cägüüd däär awax bögööd funkciïn xamgiïn ix utga
n´ yXIU = [h] baïna.
(a) ¶lgawar n´ d = [a]
[b]
,
(c) erönxiï gi²üüniï tom³ëo n´ an = [d]+[e]n
[b]
baïna.
(d) Äxniï [ff] gi²üüniï niïlbär n´ 3531 bolno.
(e) a[g] = [dd] gi²üüniïg a[h] gi²üünäär ürjüüläxäd 627 bolno.
(a) Xajuu irmäg n´ suuriïn xawtgaïtaïgaa α = arccos [a]
[b]
öncög
üüsgänä.
(b) Piramidyn öndör n´ H = [c] [d] baïna.
(c) Äzläxüün n´ V = [ef] [d] baïna.
(d) Suuriïn xawtgaïtaï parallel´ xawtgaïg oroïgoos h = 2
[g]
[h]
√
3
4. 40 modtoï xözröös taamgaar gurwan xözör sugalj awaxad
(a) gurwan ijil xözör (gurwan noën g.m.) baïx magadlal [1]
[abc]
baïna.
(b) nägän ijil öngiïn xözör (gurwan gil g.m.) baïx magadlal [de]
[abc]
baïna.
(c) gurwan öör öngiïn xözör baïx magadlal [f]
[gh]
baïna.
20

Xariu ba zaawar.
1. f(x) =
√
x gäe. f(1) = 1 baïx n´ oïlgomjtoï. Tüünqlän f (x) = 1
2
√
x
ba f (1) = 1
2
baïna. Iïmd
f(x0 + x) ≈ f(x0) + f (x0) x
gädgääs
1 − (0, 5)5 ≈ 1 −
1
2
·
1
32
= 0, 984375.
Tägäxäär zöw xariult 4.
2. Xäräw x ∈ (−∞; −1) bol manaï täg²itgäl 6x = 0 täg²itgäld
²iljinä. 0 /∈ (−∞; −1) uqraas änä zawsart täg²itgäl ²iïdgüï.
Xäräw x ∈ [−1; 4) bol täg²itgäl 2x = 4 täg²itgäld ²iljix bögööd
änä täg²itgäliïn ²iïd x = 2 n´ awq üzäj baïgaa zawsart orox
uqraas anxny täg²itgäliïn ²iïd bolno.
Xäräw x ∈ [4; +∞) bol täg²itgäl −2 = 2 gäsän ilärxiïläld ²iljinä.
Änä n´ täg²itgäl awq üzäj baïgaa zawsart ²iïdgüïg xaruulj
baïna.
Iïmd täg²itgäl zöwxön x = 2 gäsän ²iïdtäï.
3. Bodlogo 1 − a
2
x2
+ ax − 4 = 0 täg²itgäl a parametriïn ¶mar
utgand ganc ²iïdtäï wä gäsän bodlogotoï än qacuu µm. Änäxüü
kwadrat täg²itgäliïn diskriminant n´ D = a2
= 16(1 − a
1
) =
(a − 4)2
bolox ba zöwxön a = 4 üed l tägtäï täncüü baïna.
4. p = 4 n´ anxny too bi² ba p = 2 bol p + 10 = 12 ba p + 14 = 16
toonuud anxny toonuud bi². Tüünqlän p = 5 bol p+10 = 15, p = 7
bol p + 14 = 21 toonuud anxny toonuud bi² µm. Xarin P = 3
bol p + 10 = 13, p + 14 = 17 toonuud n´ anxny toonuud uqraas B
xariult zöw µm.
5. y = 1+3x
5−2x
täg²itgäliïg x xuw´sagqiïnx n´ xuw´d bodwol x = 5y−1
2y+3
bolno. Änd x ba y xuw´sagqdyn üürgiïg soliwol y = 5x−1
2x+3
bolno.
6. y = sin x, y = cos x funkcüüd adilxan 2πk, k = 1, 2, 3, . . . gäsän
äeräg üeüüdtäï bilää. T > 0 too y = cos 5
7
funkciïn üe boloxyn
tuld 5
7
T = 2πl baïx l ∈ N too oldox xärägtäï. Iïm l toonuudaas
21

xamgiïn baga n´ l = 5 baïx n´ ilärxiï. Iïmd T = 14
5
πl = 14π n´
ögögdsön funkciïn xamgiïn baga äeräg üe bolno.
7. A1(x1, y1) ba A2(x2, y2) ba A3(x3, y3) cägüüdiïn xündiïn töw n´ A x1+x2+x3
3
; y1+y2+y3
3
cäg däär baïna. Iïmd ögögdsön cägüüdiïn xündiïn töw n´ 2+6+1
3
; −7+9+4
3
=
(3; 2) cäg däär baïna.
8.
1
2 · 9
+
1
9 · 16
+
1
16 · 23
+ . . . +
1
1997 · 2004
=
=
1
2
−
1
9
+
1
9
−
1
16
+
1
16
−
1
23
+ . . . +
1
1997
−
1
2004
=
1
2
−
1
2004
=
1001
2004
9. R radiustaï toïrogt bagtsan zöw n öncögt n´ tus bür n´
s =
R2
2
sin
2π
n
talbaïtaï n toony adilxan gurwaljnuudaas togtono. Iïmd R ra-
diustaï toïrogt bagtsan zöw n öncögtiïn talbaï n´
Sn =
R2
n
2
sin
2π
n
ba mön änä toïrogt bagtsan zöw 2n öncögtiïn xuw´d
S2n = R2
n sin
π
n
bolno. Tägäxäär
S2n : Sn =
2 sin π
n
sin 2π
n
=
1
cos π
n
.
10. Parallelogrammyn taluudyg a, b tär tald buusan öndrüüdiïg ha, hb
gäwäl parallelogrammyn talbaï n´ S = aha = bhb baïna. Ändääs
a : b = hb : ha gäj garax ba öndrüüd 3 : 4 xar´caataï bol xargalzax
taluudn´ 4 : 3 xar´caataï baïna. Perimetr n´ 42 gäj ögsön uqraas
2 b + 4
3
b = 42 täg²itgälääs b = 9 gäj garax ba a = 4
3
9 = 12 baïna.
11.
sin arcsin
1
3
+ arccos
1
3
=
22

= sin arcsin
1
3
cos arccos
1
3
+ sin arccos
1
3
cos arcsin
1
3
=
=
1
3
1
3
+ 1 −
1
9
1 −
1
9
= 1
Iïmd arcsin 1
3
+ arccos 1
3
= π
2
.
12. Esön alimnaas xoër alim songoj awax büx bolomjiïn too n´
C2
9 = 9!
7!2!
= 36. Songoj awsan xoër alim ijil öngötäï baïx üzägdäl
A-iïn ilräx bolomjiïn too 3C2
3 = 9. Iïmd songoj awsan xoër
alim öör öör öngiïn baïx üzägdliïn magadlal n´
p(Ac
) = 1 − p(A) = 1 −
9
36
=
3
4
.
13. Niït suragqdyn 5 xuw´ n´ m gäe. m n´ äeräg büxäl too baïx ës-
toï. 15, 30, 40, 10 toonuud bügd 5-d xuwaagdax uqraas m = 1 baïj
bolox bögööd surguul´ xamgiïn bagadaa 20 arwannägdügäär angiïn
xüüxdüüdtäï baïj bolno.
14. a taltaï kwadratyg bagtaasan tul cilindriïn suuriïn radius n´
R = a√
2
, cilindriïn öndör h = a. Iïmd cilindriïn äzläxüün
V = Sh = πR2
h = πa3
2
.
15.
lim
x→∞
(
3
√
x2 + 1 − 2
3
√
x2 +
3
√
x2 − 1) =
= lim
x→∞
(
3
√
x2 + 1 −
3
√
x2) − lim
x→∞
(
3
√
x2 −
3
√
x2 − 1) =
= lim
x→∞
1
( 3
√
x2 + 1)2 + 3
x2(x2 + 1) + (
3
√
x2)2
−
− lim
x→∞
1
(
3
√
x2)2 + 3
x2(x2 − 1) + ( 3
√
x2 − 1)2
= 0.
16. A- oµutny aldaa anzaaragdax, X1 - oµutny materialyg A bag²
²algasan baïx, X2 - oµutny materialyg B bag² ²algasan baïx,
X3 - oµutny materialyg C bag² ²algasan baïx, üzägdlüüdiïg tus
tus tämdägläe. Bütän magadlalyn tom³ëogoor
p(A) =
3
i=1
p(Xi)p(A|Xi) = 0.01 · 0.2 + 0.005 · 0.3 + 0.001 · 0.5 = 0.004.
23

17. Ögögdsön muruïnuudaar xa²igdsan dürsiïn talbaï n´
S =
1
0
arctan xdx =
π
4
−
1
2
1
0
d(1 + x2
)
1 + x2
=
π
4
− ln
√
2.
18.
sin x cos x =
1
2
(sin x + cos x)2
− 1 =
1
2
6
5
2
− 1 =
11
50
.
19. f(x) = x3
− ax funkciïg [0, 1] xärqim däär ²injil´e. Ulamjlal
n´ f (x) = 3x2
− a baïna. Xäräw a ≤ 0 bol ∀x ∈ R : f (x) ≥ 0 uqraas
f funkc n´ todorxoïlogdox muj däärää ösöx funkc baïna. Iïmd
[0; 1] xärqim däär xamgiïn ix utgaa x = 1 cäg däär, xamgiïn baga
utgaa x = 0 cäg däär awna. [0; 1] xärqim däär f funkciïn xamgiïn
ix ba xamgiïn baga utguudyn ¶lgawar n´ f(1) − f(0) = 1 − a baïna.
Änä ilärxiïläl n´ a = −1 üed 2-toï täncüü.
a > 0 bol f funkc (−∞; − a
3
) ∪ ( a
3
; +∞) zawsart ösöx bögööd
(− a
3
; a
3
) zawsart buurna. Xäräw a ≥ 3 bol f funkc [0; 1] xärqim
däär buurax funkc baïx tul xamgiïn baga utgaa x = 1 cäg däär,
xamgiïn ix utgaa x = 0 cäg däär awax ba f(0) − f(a) = a − 1 = 2
baïxyn tuld a = 3 baïx ëstoï.
Odoo 0 < a < 3 toxioldlyg awq üz´e. Änä toxioldold f funkc
n´ xamgiïn baga utgaa x = a
3
cäg däär awax bögööd funkciïn
xamgiïn baga utga n´ f a
3
= −2
3
a a
3
baïna. Xamgiïn ix utga
n´ 1 < a < 3 bol f(0) = 0, 0 < a ≤ 1 bol f(1) = 1 − a baïna. Al´ q
toxioldold n´ xamgiïn ix ba xamgiïn baga utguudyn niïlbär n´
2-toï täncüü baïj qadaxgüï µm.
20.
x + xy = 3
xy2
+ xy3
= 12
⇔
x(1 + y) = 3
xy2
(1 + y) = 12
⇔
x(y + 1) = 3
y2
= 4
Iïmd xäräw y = −2 bol x = −3, y = 2 bol x = 1 baïna.
21. Songoj awsan xoër toony ürjwär nägääs xäträxgüï baïx üzägdliïn
(A) magadlal n´ [0; 2]×[0; 2] kwadrat dotor y = 1
x
funkciïn garfik-
iïn dor or²ix xäsgiïn talbaïg (s) niït kwadrat mujiïn talbaïd
24

(S) xar´cuulsan xar´caataï täncüü baïna.
S = 22
= 4, s = 1 +
2
1
2
dx
x
= 1 + ln 4
uqir p(A) = 1+ln 4
4
baïna.
22. a irmägtäï zöw tätraädriïn äzläxüün n´ V = a3
6
√
2
uqir 2 irmägtäï
zöw tetraädriïn äzläxüün n´ V = 2
√
2
3
baïna. Tetraädriïn ir-
mägüüdiïn dundjuudyg xärqmäär xolboxod üüsäx oktaädriïn gadna
tus bür 1 irmägtäï 4 ²irxäg zöw tetraädr üldäx bögööd tädgääriïn
niït äzläxüün
√
2
3
baïna. Iïmd oktaädriïn äzläxüün n´ 2
√
2
3
−
√
2
3
=√
2
3
baïna. Ööröör ²uud oktaädriïn äzläxüüniïg bodoj bolno.
1. y = x3
− 6x2
+ 9 funkciïn ulamjlal n´ y = 3x2
− 12x baïna.
Ulamjlal n´ x1 = 0 ba x2 = 4 cägüüd däär tägtäï täncänä. (−∞; 0)∪
(4; +∞) zawsart ulamjlal äeräg utgataï baïx uqraas funkc ösnö.
Xarin (0; 4) zawsart ulamjlal sörög utgataï uqir funkc buurna.
Iïmd xmin = 4 n´ minimumyn cäg bolox bögööd änä cäg däär funkciïn
utgyg bodwol funkciïn minimum utga n´ ymin = −23 bolno. xmax =
0 n´ maksimumyn cäg bolox bögööd ymax = 9 maksimum utgataï
baïna.
2. a8 = 17 ba a12 = 25 baïx arifmetik progressiïn ¶lgawar n´ d =
a12−a8
4
= 2, äxniï gi²üün n´ a1 = a8 − 7d = 3, erönxiï gi²üüniï
tom³ëo n´ an = a1 + (n − 1)d = 1 + 2n baïna. Äxniï n gi²üüniï
niïlbär n´ Sn = n(n + 2) bolox bögööd 440 n´ äxniï 20 gi²üüniï
niïlbär µm. a58 = 117 ba a4 = 9, xoorond n´ xuwaaxad a6 = 13
gi²üün garna.
3. Piramidyn suur´ a ba b taltaï täg² öncögt ba xajuu irmägüüd
n´ bügd c urttaï bol
(a) Piramidyn oroï ba suuriïn täg² ögcögtiïn diagonaliïg daïru-
ulan züswäl c xajuu taltaï
√
a2 + b2 suur´taï adil xajuut
25

gurwaljin üüsnä. Ändääs xajuu irmäg n´ suuriïn xawtgaï-
taïgaa α = arccos
√
a2+b2
2c
öncög üüsgänä gädäg n´ xaragdana.
Iïmd xäräw a = 3, b = 4 ba c = 5 bol α = π
3
gäj garna.
(b) Mönxüü züsältäd üüssän gurwaljnaas piramidyn öndör n´
H =
√
4C2−a2−b2
2
bolox n´ xaragdana. Manaï bodlogyn toxi-
oldold H = 5
√
3
2
baïna.
(c) Iïmd piramidyn äzläxüün n´ V = 10
√
3 baïna.
(d) Suuriïn xawtgaïtaï parallel´ xawtgaïg piramidyn oroïgoos
h zaïd tataxad piramidyg xoër xäsägt xuwaax bögööd xawtgaïn
däär üüsäx piramidyn äzläxüün n´ v = abh3
3H2 baïna. Änä n´
tom piramidyn äzläxüüniï tal baïxyn tuld h = H
3√
2
baïx ës-
toï. Iïmd piramidyn oroïgoos h = 5
√
3
3√
16
zaïtaï suuriïn xawt-
gaïtaï parallel´ xawtgaï n´ piramidyn äzläxüüniïg tallan
xuwaana.
(a) xoër ijil xözör baïx magadlal
13C2
4
C2
52
= 3
51
baïna.
(b) näg öngiïn xözrüüd baïx magadlal
4C2
13
C2
52
= 12
51
baïna.
magadlal
C1
11
C1
50
= [11]
[50]
baïna.
26

Mathtest1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

More from Б. Нямгэрэл

More from Б. Нямгэрэл (10)

Mathtest1