Mathematics short cut techniques with formulas

Math Shortcut Techniques with Formulas
1

Math Shortcut techniqueS
with ForMulaS
Contents
1. Arithmetic …...................................................... 4
1.1. Divisibility Rules …............................................ 8
1.2. Square Root ….................................................... 17
1.3. Average........….................................................... 21
1.4. Ratio and Proportion............................................ 22
1.5. Percentage(%)...................................................... 24
1.6. Unitary Method.................................................... 30
1.7. Calculation of Interest.......................................... 37
1.8. Profit Loss............................................................ 43
1.9. Measurement and Unit......................................... 55
1.10. Miscellaneous...................................................... 57
2. Algebra.............................................................. 62
2.1. Exponents/Indices............................................... 65
2.2. Logarithms.......................................................... 66
2.3. Simultaneous Linear Equation............................ 67
2.4. Series/ Progression.............................................. 68
3. Geometry.............................................................. 73
3.1. Triangle................................................................ 79
3.2. Quadrilateral......................................................... 85
3.3. Circle.................................................................... 88
3.4. Mensuration.......................................................... 91
3.5. Solid Geometry..................................................... 98
3.6. Trigonometry......................................................... 102
2

3

আ঩নায ই−ফুক ফা রযডারযয Menu Bar এয View অ঩঱নরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অ঩঱নরি
র঳ররক্ট করুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে  )। এফায ফা তে রিক করয
আ঩নায ঩ড়ায ঳ুরফধা অনু঳ারয স্ক্রর স্পীড রিক করয রনন।
আ঩নায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Options ফা View তে রিক করয Go To অ঩঱নরি র঳ররক্ট করুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে
Adobe Reader  এফং Foxit Reader  ), আ঩নায প্ররয়াজনীয় ঩ৃষ্ঠায Page number রি ররখুন
; এফং OK তপ্র঳ করুন ।
1
4

+ Plus / add তমাগ [ Sum / Total তমাগপর]
− Minus / Subtract /Deduct রফরয়াগ [ Difference রফরয়াগপর]
× Times / Into/ dot /of /Multiplyগুন কযা [Product / Multiplicationগুনপর ]
÷, /,
𝒂
𝒃
Division বাগ , Divisible রফবাজয , Remainderবাগর঱ল
a(dividend-বাজয) ÷ b(Divisor-বাজক) = c(Quotient-বাগপর)
± Plus or Minus  তমাগ ফা রফরয়াগ
= Equal / Is Approximately Equal  প্রায় ঳ভান
≠ Is not Equal ঳ভান নয়
< Is Less then  ত াি {5 < 10}
≮ Is not less then  ত াি নয় {২০ ≮ 10}
≤ Is less than or equal to ত াি ঑ ঳ভান {০ ≤ x এখারন Xএক্স এয ভান ঱ূনয এফং ০
তথরক ফড়঑ ঴রে ঩ারয }
> Is greater then ফড় {5> 2}
≯ Is not greater thenফড় নয় {5≯ 20}
≥ Is greater than or equal to ফড় ( এফং/ অথফা) ঳ভান
% Percentage(঱েকযা ফা প্ররে ঱রে ফা তকান রনরিষ্ট ঳ংখযায বগ্াং঱ মায ঴য প্ররেরেরর 100 )
∞ Infinity অ঳ীভ / অনন্ত
∝ Varies as / is Proportional ঳ভানু঩ারেক
⇒ Implies/or  ফা
⇔ If and only if  মরি ঑ তকফর মরি
𝛑 Pi  ঩াই
1,2,3...nফা
[,,]…
Constant ধ্রুফক/রনরিিষ্ট ভান
x,y,z…… Variable চরক / অরনধিারযে ভান
5

2x x + x
𝒙 𝟐
𝟐 𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝒙 𝒏
𝟏
𝒙 𝒏
=
a𝒙 𝟐
+bx+c Expression যার঱ভারা [a , bx,c ঴র ঩ি Term]
0 n±0 =n , n×0 =0 , 0/n =0 , n/o = (anything ÷ 0) = Undefined (অ঳ংজ্ঞারয়ে)
|x| [±x] Absolute Value ঩যভ ভান (রম তকান যার঱য ধনাত্নক ভান)
⎸⎸ এয রবেয Negative ভান থাকরর঑ ো Positive ভান রনরে ঴রফ।
𝒙 Square Root  ফগিভূর , =2, =3
𝒙
𝟑
Cube Root  ঘনভূর , =3, =4
𝒙
𝒏
n Root n ভূর ফা তকান চররকয x উ঩য 1/n ঘাে ফা ঩া঑য়ায
𝒙
𝒚
ফা 𝒙
𝒚 X ÷ y
𝒙
𝒏
𝒊=𝟎
Summation  তমাগ ,X এয ০ তথরক n ঩মিন্ত উ঩ািান ঳ভূর঴য তমাগপর
,*( )+- Bracket ফন্ধনী
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝐬𝐞𝐜 𝐜𝐨𝐭
রররকাণরভরেক তকান ঳ভূর঴য অনু঩াে ।
𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 Logarithmsa রবরিক রগ x (মরি ঴য় ো঴রর n= ঴য়)
[শুধু + ধনাত্নক ঳ংখযায রগারযিভ আর , ০঱ূনয ঑ – ঋনাত্নক ঳ংখযায রগারযিভ নাই]
঳াধাযন রগারযিভ ঴র 10 রবরিক ।
n! ফা∟n Factorial n  n× (n-1) × (n-2)…×1 [ 5!=5×4×3×2×1]
n
pr
Permutation রফনযা঳ [ রবন্ন রবন্ন n ঳ংখযক রজরন঱ ঴রে প্ররেযক ফায ঳ংখযক রজরন঱ রনরয়
n
pr প্রকারয ঳াজারনা মায়,ো঴রর
n
pr= n(n-1) (n-2) (n-3) …..(n-r+1) Ex:-
6
p3=6×5×4 ]
n
cr
Combination ঳ভারফ঱/ তফর তন঑য়া /রনফিাচন ,
n
cr =
( )
6

A=*𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅+ এখারন A একরি ত঳ি , a,b,c,d ঴রে ত঳রিয ঳ি঳য ফা উ঩ািান।
∩ Intersection /capত ি [শুধু কভন /঳াধাযন উ঩ািান গুররা অথিাৎ উবয় ত঳রি তম ঳কর
উ঩ািান আর একই আর ] ⇒ গ঳াগু [A∩B={x:x∈A এফং x∈B}]
∪ Union/cup ঳ংরমাগ [উবয় ত঳রিয ঳ফ উ঩ািান রকন্তু একই উ঩ািান উবয় ত঳রি থাকরর ো একফায
঴রফ]=> র঳াগু (কভন ঑ আনকভন ঳ফ) [A∪B={x:x∈A অথফা x∈B}]
∈ Element of / Belongs to ত঳রিয উ঩ািান / ঳ি঳য [Ex: b∈A]
∉ Is not an Element of/not Belongs to ঳ি঳য নয়
⊂ / ⊆ Subset ofউ঩র঳ি [A ত঳রিয প্ররেযক উ঩ািান/঳ি঳য B এয঑ উ঩ািান/঳ি঳য ঴য়]
⊃/⊇ Superset
∅ Empty Set  পাাঁকা ত঳ি
AB
[Bএয তকান উ঩ািান মরি A তে থারক ো ফাি মারফ , A এয ফাকী উ঩ািান গুররা ফ঳রফ /আয মারি তকান কভন
ঊ঩ািান না থারক ো঴রর A ত঳রিয ঳ফ ভান ফ঳রফ] A-B={x:x∈A এফং x∉B}
A‖ Complementary set঩ূযক ত঳ি [UA=U-A={x∈U : x∉A }
P(A) Power Set  ঳ূচক ত঳ি [Aত঳রি মরি n ঳ংখযক ঳ি঳য থারক েরফ P(A) এয তভাি উ঩ািান
঴রফ 2
n
রি]
N⊂Z⊂Q⊂R N(স্বাবারফক / ধনাত্নক ঩ূনি ঳ংখযা +n), Z(঳কর ঩ূনি ঳ংখযা +n,0,+n)
Q(ভূরি0,+n,প্রকৃ ে ঑ অপ্রকৃ ে বগ্াং঱ ),
R (঳কর ফাস্তফ ঳ংখযা), অভূরি ঳ংখযা (তম ঳ংখযায ফগিভূর ঴য় না) Q‖=R-Q
⟷ Straight line  ঳যররযখা (রকান প্রান্তরফন্দু তনই)
⟶ Ray  যরি (একরি ভার প্রান্তরফন্দু)
− Line Segment  তযখাং঱ (িুরি প্রান্তরফন্দু থারক)
∼ Similar to ঳িৃ঱
≈ Almost Equal toপ্রায় ঳ভান
≅ Is Equivalent to / Congruent  ঳ফি঳ভ
7

∠ Angle  তকান
∟/⊾ Right Angle  ঳ভরকান
∡ Measured Angle ঩রযভা঩কৃ ে তকান
⊥ Perpendicular To  রম্ব
∥ Is Parallel to  ঳ভান্তযার
∴ Therefore / Hence  ঳ুেযাং
∵ Since / Because  তমর঴েু / কাযন
△ Triangle  ররবু জ
⊡ Rectangle/Square  আয়েরের ফা ফগিরের
⨀ Circle ফৃি
঳ংখযারিয একক স্থানীয় (Unit) অঙ্ক ঱ূনয (০) ফা তজাড় ঳ংখযা ঴য়।
3 দ্বাযা রফবাজয ঳ংখযাাঃ ঳ংখযারিয অঙ্কগুররায (Digits) তমাগপর/঳ভরষ্ট 3 দ্বাযা রফবাজয ঴রফ।
Ex:- 318 3+1+8=12 , মা রেন ৩ দ্বাযা রফবাজয।
঳ংখযারিয একক স্থানীয় (Unit) ঑ ি঱ক স্থানীয় (tens) অঙ্ক িুরি দ্বাযা গরিে ঳ংখযা 4 দ্বাযা রফবাজয ঴রফ।
Ex:- 544 , 4 দ্বাযা রফবাজয ঴রফ কাযন এয একক ঑ ি঱ক স্থানীয় অঙ্ক দ্বাযা গরিে ঳ংখযা 44 মা 4 দ্বাযা রফবাজয।
঳ংখযারিয একক স্থানীয় (Unit) অঙ্করি ঱ূনয (০) অথফা 5 ঴রর।
঳ংখযারি  3 ঑ 2 দ্বাযা রফবাজয ঴রফ।
঳ংখযারিয একক (Unit) , ি঱ক (tens) ঑ ঱েক (Hundredth) স্থানীয় অঙ্ক রেনরি দ্বাযা গরিে
঳ংখযা 8 দ্বাযা রফবাজয ঴রফ। Ex:- 77 264 ,এখারন 264 ঳ংখযা 8 দ্বাযা রফবাজয ,োই 77264 ঳ংখযারি 8 দ্বাযা রফবাজয।
঳ংখযারিয অঙ্কগুররায (Digits) তমাগপর/঳ভরষ্ট 9 দ্বাযা রফবাজয ঴রফ।
Ex:- 288 2+8+8=18 , মা 9 দ্বাযা রফবাজয ,োই 288 ঳ংখযারি 9 দ্বাযা রফবাজয।
঳ংখযায একক স্থানীয় (Unit) অঙ্করি ঱ূনয (০) ঴রর ো 2, 5, 10 দ্বাযা রফবাজয।
঳ংখযায ত঱রল ফা ডারন িুরি অঙ্ক (oo ) ঴রর , ো 4, 25, 100 দ্বাযা রফবাজয।
঳ংখযায ত঱রল ফা ডারন রেনরি অঙ্ক (000) ঴রর , ো 8, 125, 1000 দ্বাযা রফবাজয।
1.1
8

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 তভাি ১০রি
1 তথরক 100 ঩মিন্ত
0 ঩া঑য়া মারফ 11 রি
2 তথরক 9 (2,3,4,5,6,7,8,9) ঩া঑য়া মারফ 20 রি
1 ঩া঑য়া মারফ 21 রি
87654321 এয স্থানীয় ভান
8(Crores) 7(Nijut) 6(lacs) 5(Ajut) 4(Thousands) 3(Hundreds) 2(Tens) 1(Units)
4321=4×1000+3×100+2×10+1
9

{ -n….-5,-4,-3,-2,-1, 0, +1,+2,+3,+4,+…..+n}
2 রিরয় রনাঃর঱ল রফবাজয {0, 2, 4, 6, 8,……….2n}
2 রিরয় রনাঃর঱ল রফবাজয নয় {1, 3, 5, 7, 9….(2n+1)}
ভরন যাখুনাঃ
Even × Even= Even , Odd × Odd=Odd , Even × Odd=Even
Even + Even=Even , Odd + Odd=Even , Even × Odd=Odd
Even / Even= Even , Even /Odd=Odd , Odd/Even= Odd
Odd
Odd
=Odd , Odd
Even
=Odd , Even
Even
=Even , Even
Odd
=Even
তম তকান তজাড় (2,4,6….) ঑ রফরজাড়(3,5,7..)঳ংখযা ফর঳রয় উ঩রযয ঳ভীকযণ গুররা মাচায় করয তিখুন।
{ n,n+1,n+2,n+3,……….}
শুধুভার রনজ ঳ংখযা ঑ ১ দ্বাযা রফবাজয
১ তভৌররক ঳ংখযা নয়
২ ঴রে েু দ্রেভ তজাড় তভৌররক ঳ংখযা ( even prime number)
঳কর তভৌররক ঳ংখযাই তফরজাড় ঳ংখযা (Odd Prime number)
 1 তথরক 100 এয ভরধয তভৌররক ঳ংখযা আর 25 রি এ ঳কর তভৌররক ঳ংখযা গুররায তমাগপর  1060
 1 তথরক 200 এয ভরধয তভৌররক ঳ংখযা আর 46 রি
তকান ঳ংখযা তভৌররক রকনা ো মাচায় কযায জনয (঳ংখযারিয একক স্থানীয় অঙ্করি 2 ,3 রিরয় বাগ মায় রকনা তিখরে
঴রফ । অথফা ঳ংখযারিয অঙ্কগুররায ঳ভরষ্ট 3 দ্বাযা বাগ মায় রকনা ,মরি বাগ মায় ো঴রর ঳ংখযারি তভৌররক ঳ংখযা নয়)
10

1 তথরক 100 এয ভরধয তভৌররক ঳ংখযা গুররা ঴রাঃ
এয ভরধয তভৌররক ঳ংখযা ঳ংখযা
1-10 2,3,5,7 4
11-20 11,13,17,19 4
21-30 23,29 2
31-40 31,37 2
41-50 41,43,47 3
51-60 53,59 2
61-70 61,67 2
71-80 71,73,79 3
81-90 83,87 2
91-100 97 1
ভরন যাখায জনয (4422322321)
অথফা এরক উল্টা বারফ তিখুন  (1232232244) ো঴রর ভরন থাকরফ।
তম ঳কর ঳ংখযা ১ ঑ রনজ/র঳ই ঳ংখযা াড়া঑ অনয অংক ঑ ঳ংখযা দ্বাযা বাগ মায় । অথিাৎ তভৌররক ঳ংখযা াড়া
ফাকী ঳ফ ঳ংখযা ।
Fraction (বগ্াং঱)=
(রফ )
(঴য)
( , রফ x মরি ঴য y দ্বাযা রনাঃর঱রল রফবাজয না ঴য় )
রভশ্র বগ্াং঱রক ঳াধাযন বগ্াংর঱ রূ঩ান্তয , রভশ্র বগ্াং঱ =
঩ূণি঳ংখযা ঴য রফ
঴য
Rules of fractions
 + =
 - =
 + = = +
 - = = -
 × =  ÷ = × =
11

=  a × c = b
2
঴য > রফ ( Ex:- , )
঴য < রফ ( Ex:- , )
12

13

১ ২০ ।
১ ১ ৬ ৩৬ ১১ ১২১ ১৬ ২৫৬
২ ৪ ৭ ৪৯ ১২ ১৪৪ ১৭ ২৮৯
৩ ৯ ৮ ৬৪ ১৩ ১৬৯ ১৮ ৩২৪
৪ ১৬ ৯ ৮১ ১৪ ১৯৬ ১৯ ৩৬১
৫ ২৫ ১০ ১০০ ১৫ ২২৫ ২০ ৪০০
। ,
০, ১, ৪, ৫, ৬ ৯। ২, ৩, ৭, ৮ ।
14

঱ূনয-০ , স্বাবারফক ঳ংখযা ফা ঩ূনি঳ংখযা- (0,1,2,3….n ), √(঩ূনিফগি)-√16 , প্রকৃ ে ঑ অপ্রকৃ ে বগ্াং঱ – (মারিযরক a/b আকারয
প্রকা঱ কযা মায় -তমখারন a ঑ b স্বাবারফক ঳ংখযা ) , ঳঳ীভ ি঱রভক ঑ ত঩ৌণর঩ৌরনক মুক্ত ঳ংখযা - ইেযারি ভূরি ঳ংখযা।
তম ঳কর ঳ংখযারক a/b আকারয প্রকা঱ কযা মায় না -তমখারন a ঑ b স্বাবারফক ঳ংখযা ) , ঩ুনিফগি নয় এভন তম তকান
স্বাবারফক ঳ংখযায ফগিভূর (√তভৌররক ) , ( √঩ুনিফগিনয় ) , √঩ুনিঘন নয় , ঳ংখযা নয় , ত঩ৌণর঩ৌরনক রফ঴ীন ফা
রবন্ন রবন্ন আকারয অ঳ীভ ি঱রভক , এ াড়া π , e – ইেযারি অভূরি ঳ংখযা । Ex:- √তভৌররক , , , ,
,
I1, V5, X10, L50, C100, O500, M1000
একই ঳ংখযা ঩া঱া঩ার঱ রেনফায ফর঳। তম তকান ঳ংখযা র঩ রন ফা ফারভ একফায ভার ফ঳রে ঩ারয । কভ
ভারনয তকান ঳ংরকে র঩ রন ফা ফারভ ফ঳ারর ঐ ভানিা রফরয়াগ ঴য়।
Greek Alphabet
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta
Theta Iota Kappa Lambda Mu Nu Xi Omicron
Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Kai Psi
Omega
একরি ঳ংখযা দ্বাযা অ঩য একরি ঳ংখযা রনাঃর঱রল রফবাজয ঴রর , রদ্বেীয় ঳ংখযারিরক প্রথভ ঳ংখযায গুণনীয়ক ফা উৎ঩ািক
ফরর। অথিাৎ একরি ঳ংখযারক মেগুররা ঳ংখযা দ্বাযা বাগ কযা মায় , এয ঳ফ গুররাই ঐ ঳ংখযায গুণনীয়ক ফা উৎ঩ািক।
20 এয তভৌররক উৎ঩ািক গুররা =5×2×2×1
একরি ঳ংখযা দ্বাযা অ঩য একরি ঳ংখযা রনাঃর঱রল রফবাজয ঴রর , প্রথভ ঳ংখযারিরক রদ্বেীয় ঳ংখযারিয গুরনেক ফরর।অথিাে
গুনপর ঴র গুরনেক। ০ ঱ূনয ঴র ঳ফ ঳ংখযায গুরনেক।
Ex:- 35/5=7 , 35/7=5 এখারন 5 ঑ 7 ঴র 35 এয গুণনীয়ক ফা উৎ঩ািক এফং 35 ঴র 7 ঑ 5 এয গুরনেক।
তকান ঳ংখযা িুই ফা েরোরিক প্রিি ঳ংখযায গুণনীয়ক ফা উৎ঩ািক ঴রর, ঐ ঳ংখযারক প্রিি ঳ংখযাগুররায ঳াধাযন
15

িুই ফা েরোরিক প্রিি ঳ংখযায ঳াধাযন গুণনীয়ক ফা উৎ঩ািক শুধু ১ ঴রর, ঐ ঳ংখযাগুররা ঩যস্পয
঳঴রভৌররক।
- প্রিি ঳ংখযা গুররায কভন ঑ আনকভন উৎ঩ািক গুররায গুনপর।
প্রিি ঳ংখযা গুররায শুধু কভন উৎ঩ািক গুররায গুনপর।
ফৃ঴িয ঳ংখযারক েু দ্রেয ঳ংখযা দ্বাযা বাগ কযা ঴য়। অথিাৎ এখারন ফৃ঴িয ঳ংখযারি ঴র বাজয এফং েু দ্রেয ঳ংখযারি ঴র
বাজক। বাগ প্ররিয়ায তম বাগর঱ল থারক ো দ্বাযা প্রথভ বাজকরক বাগ কযা ঴য়। এখন তম বাগর঱ল থারক ো দ্বাযা
প্রথভ বাগর঱ল অথিাৎ রদ্বেীয় বাজকরক আফায বাগ কযা ঴য়। এবারফ বাগ কযরে কযরে তম ঩মিারয় বাগর঱ল ঱ূনয ঴য় ঐ
঩মিারয়য বাজকরি অথিাৎ ত঱ল বাজকরি প্রিি ঳ংখযাদ্বরয়য গ.঳া.গু।
16

2304 এয ফগিভূর (Square Root )
রননিয় কযাঃ
74 28 ঳ংখযারি ররখুন।
1) ডানরিক তথরক িুইরি অঙ্ক রনরয় তজাড়া ফাাঁধুন। প্যরেযক তজাড়ায উ঩য তযখা রচহ্ন রিন।
2) বারগয ঳ভয় তমভন খাড়া িাগ তি঑য়া ঴য় , ডান঩ার঱ েদ্রু঩ একরি খাড়া িাগ রিন।
3) প্রথভ তজাড়ারি 74 ।ো঴রর এয ঩ূফিফেিী ফগি ঳ংখযা 64 , মায ফগিভূর = 8 :
4) এই ফগিভূর 8 খাড়া িারগয ডান঩ার঱ ররখুন ।এখন 74 এয রিক রনরচ 64 ররখুন ।
5) 74 তথরক 64 রফরয়াগ করুন।এখন রফরয়াগপর 10 ঑ এয ডারন ঩যফেিী তজাড়া 28 ফ঳ান। 1028 এয ফাভ রিরক
খাড়ািাগ (বারগয রচহ্ন ) রিন।
6) বাগপররয ঘরযয ঳ংখযা 8 এয রদ্বগুণ 8×2 = 16 রনরচয খাড়া িারগয (এক অঙ্ক ফ঳ারনায ভে স্থান তযরখ ) োয
ফাভ঩ার঱ ফ঳ান ।
7) এখন এভন একরি এক অরঙ্কয ঳ংখযা খুরজ তফয করুন মারক 16 এয ঩া঱া ঩ার঱ ফর঳রয় প্রাপ্ত ঳ংখযারক ঐ অরঙ্কয
দ্বাযা গুন কযরর 1028 এয ঳ভান ফা অনুর্ধ্ি 1028 ঩া঑য়া মারফ।
8) এরেরর 6 ঴রফ 16 6 × 6 =996 । মরি 7 ফ঳ারনা ঴য় অথিাৎ ( 16 7 × 7 = 1169) ো঴রর প্রাপ্ত ভান 1028
এয েুরনায় তফর঱ ঴রয় মায় োই ই঴া গ্র঴ন তমাগয নয়।
9) এখন 1028 তথরক 996 রফরয়াগ করয রফরয়াগপর 32 ঩া঑য়া তগর। যাকে 86×2 = 172 দ্বাযা বাগ কযা ঳ম্ভফ
নয়। োই প্রিি যার঱রি ঩ূনিফগি নয়।কাযন এয বাগর঱ল 32 যরয়র ।
10)মরি বাগর঱ল না থাকে, ো঴রর বাগপররয স্থারন ঩া঑য়া 86 ই ঴রো প্রিি ঳ংখযায ফগিভূর।
11)এখন এই 74 28 ঳ংখযারি তথরক বাগর঱ল 32 রফরয়াগ কযা ঴য় ো঴রর 7396 ঳ংখযারি ঩া঑য়া মারফ । মা ঩ূনিফগি
঴রফ। মায ফগিভূর ঴রফ 86।
1.2
17

facebook /gmail/skype: - http://tanbircox.blogspot.com
~~ ~~C<1J ~~08 l£1~ <r~ Rcfu ~ :
(~) ~~08 ~~~ ~ :
(~) S"l~M<tS c~ ~<ruT~~ ~~t <m 1
~c~J<fS ~~~ ~~ ~~ ~ :
(~) ~~ ~ ~ ~Vft'1f cvt'8ID ~'
~9fWt ~9f l£1~ ~ Vft'1f ~ :
(8) ~$f ~~tffl ~~ I l£1~ '>f4'<1~ <f~~~ ~~'
~ <f~ ~ <fi 8 ; ~ Vftt~ ~9fWt 8 ~ I
l£1~ ~~ l£1~ ~ ~ ~~ ~ :
(Q-) l£1~ ~~ c~ ~~ f<frnt'1f m:
(~) f<frnt~ q l£1~ ~ 9f~<l~ ~~t o8 ~ 1
'o8 l£1~ <rl~Mc<tS ~ Vft'1f (~~ ~) ~:
( q) 5t~ <rc<tJ~ ~ ~~~ 8 l£1~ N~ct 8 x ~ <rt b-
Mc15~ ~ vm:~ ~9fWt ~ 1 b- lfl<r~ ~
Vftt~ ~~ l£1~ ~ <1)9 1~~ ~ ~ ~ :
(b-) l£1~ l£1~ l£1~ ~c~~ ~~~ ~ ~ m ~ b- l£1~
~9fWt <IPJC~ ~~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ct <ruT
'o8 l£1~ ~ <rt ~~ 'o8 9fi'8ID <rrn 1
l£1 C1f"Cl!i b- ~ I b- ~~~ 5t~'8
8 l£1~ ~9fWt ~ I
(~) '5t~<JSC<t1~ ~ 9fi'8ID C~ 8b- I l£1~ ~c;fu <f~ I
-J~~o8 = 8lr
~: 'S'R~ "li~IC<JJ ~~ ~cfu ~ ~ -:;:r~~
'5R ~ C~ ~ en~ f?iuJ CX'I<l 5lC~'?l ~ ~
~ ~~ ~ ~~~f~ '>f'iJ <tS'?lC!5 ~ I
tanbir.cox Website (J):-
~~ o8
~~ o8 8b-
~~
b-b-~
~0
18

 BODMAS
[{(Braket)}]of /এয  Division(÷)  Multiplication (×) Addition (+)  Subtraction(-)
঳ংখযারি =x , প্রশ্নভরে x-a =b-x => x=
Formula:--঳ংখযারি =
১ভ ঳ংখযা ২য় ঳ংখযা
২
1008 ঳ংখযারিয উৎ঩ািক গুররা ঴র = 2×2×2×2×3×3×7=24×32×71
∴ বাজক ঳ংখযা = (4+1)(2+1)(1+1)=30
Formula:-- x ঳ংখযারিয উৎ঩ািক =am
×bn
×cl
∴ বাজক ঳ংখযা =(m+1)(n+1)(l+1)
21008
2504
2252
2126
363
321
7
19

n
Let the Numbers =x and (x+1)
According to the Question, ⇒ (x+1)
2
– x
2
= n
∴ x
ত াি ঳ংখযা = ফরগিয অন্তয ১
২
, ফড় ঳ংখযা = ত াি ঳ংখযা + ১
রনরণিয় ঳ংখযা =রি঑য়া ( a , b , c ঑ d) ঳ংখযাগুররা র.঳া.গু ― মা তমাগ কযরে ফরা ঴রফ ।
রনরণিয় েু দ্রেভ ঳ংখযা =রি঑য়া ( a , b , c ঑ d) ঳ংখযাগুররা র.঳া.গু + মা রফরয়াগ কযরে ফরা ঴রফ ।
রনরণিয় েু দ্রেভ ঳ংখযা = তি঑য়া ( a , b , c ঑ d) ঳ংখযাগুররা র.঳া.গু + মা অফর঱ষ্ট/ বাগর঱ল থারক
঳ংখযাগুররায গুণপর = ঳ংখযাগুররায র.঳া.গু × ঳ংখযাগুররায গ.঳া.গু
঳ংখযাগুররায র.঳া.গু = অনু঩ােদ্বরয়য গুণপর × ঳ংখযাগুররায গ.঳া.গু
প্রিি বগ্াং঱গুররায র.঳া.গু =
রফগুররায র ঳া গু
঴যগুরয গ ঳া গু
প্রিি বগ্াং঱গুররায গ.঳া.গু =
রফগুররায গ ঳া গু
঴যগুরয র ঳া গু
20

-
঳াভরনয চাকা র঩ রনয চাকায তচরয় ১ ফায তফর঱ তঘারয ত঳রেরর অরেিান্ত িূযত্ব ঴রফ ঩রযরধ িুরিয র঳াগু এয
঳ভান ।
(a) 2 ঑ (b) 3 এয র঳াগু = 6
1 ফায তফর঱ ঘুযরর অরেিান্ত িূযত্ব = 6 রভিায
10 ―‖ ―‖ ―‖ ―‖ =(6×10) রভিায
অরেিান্ত িূযত্ব = ঩রযরধ িুরিয র.঳া.গু × তফর঱ ঘুযায ঳ংখযা
⇛ গড় =
একজােীয় করে঩য় যার঱য ঳ভরষ্ট
যার঱য ঳ংখযা
⇛ তশ্রণী রফনযা঳কৃ ে উ঩ারিয গড়াঃ =
তশ্রণীয ভধযরফন্দু ঑ ঘিন঳ংখযাগুররায গুনপররয ঳ভরষ্ট
ঘিন঳ংখযাগুররায ঳ভরষ্ট
-
M ঳ংখযক ঳ংখযায গড় A ঴রর, M ঳ংখযক ঳ংখযায তমাগপর = M × A [∵ A =
তমাগপর
]
N ঳ংখযক ঳ংখযায গড় B ঴রর, N ঳ংখযক ঳ংখযায তমাগপর = N × B
∴ তভাি ঳ংখযা = M + N
∴ তভাি তমাগপর = AM +BN
঳ফগুররা ঳ংখযায গড় =
1.3
21

Varies as / is Proportional ঳ভানু঩ারেক িুরি যার঱য রফরবন্ন উ঩ািারনয আনু঩াে মরি ঳ফ ঳ভয় ঳ভান ঴য় অথিাৎ
তম তকান একরি যার঱য ভান ফৃরি ত঩রর োয ঳ারথ ঳ম্পৃক্ত অনয একরি যার঱য ভান ঑ মরি একরি রনরিিষ্ট ঴ারয ফৃরি ফা
হ্রা঳ ঩ায় েখন োরক এরক অ঩রযয ঳ভানু঩ারেক ফরা ঴য়।
তমভনাঃ- ধ্রুফ যার঱( , , , ) ঴য় ো঴রর ∝
঳ভানু঩ারেয তেরর , প্রথভ যার঱াঃ রদ্বেীয় যার঱ = েৃেীয় যার঱াঃ চেু থি যার঱
∴ ⇛ প্রথভ যার঱ × চেু থি যার঱ = রদ্বেীয় যার঱ × চেু থি যার঱
অথিাৎ , প্রান্তীয় যার঱দ্বরয়য গুণপর = ভধয যার঱দ্বরয়য গুণপর
 ঳ভানু঩ারেয ভারেয যার঱ িুরিা একই ঴রর োরক িরভক ঳ভানু঩াে ফরর। মরি a, b, c িরভক ঳ভানু঩ারেক ঴য় ,
a:b =b:c ⇛ ∴ ⇛
প্রথরভ অনু঩াে গুররায তমাগপর রননিয় অথিাৎ a+b+c
 তকাণ রনরিিষ্ট অনু঩ারেয বাগ = তভাি ভান S এয (×)
ঐ রনরিিষ্ট অনু঩ারেয ভান
অনু঩াে গুররায তমাগপর
⇛ a অনু঩ারেয বাগ ফা ঩রযভাণ = S ×
⇒a:b = x:y = (x×l): (y×l) = xl : yl
⇒ b:c =l:m = (l×y): (m×y)= yl : my
∴ a:b:c = xl : yl : my
Formula:--ফাহুগুররায অনু঩ারেয ঳ভরষ্ট = a + b + c
তম তকান ফাহুয দিঘিয = n এয
ফা ফা তম তকান একরি ফাহুয অনু঩াে
( ) অনু঩ারেয ঳ভরষ্ট
1.4
22

Formula:-
Required Amount: = × Required ratio
⇛ Water = × 3 =6
Formula:--
অনু঩াে গুররায ঳ভরষ্ট = 7 + 3 = 10
30 ররিায রভশ্ররন এর঳ড ঩রযভাণ = 30 এয
( এর঳রডয অনু঩াে)
( অনু঩ারেয ঳ভরষ্ট)
= 21 ররিায
30 ররিায রভশ্ররন ঩ারনয ঩রযভাণ = 30 এয
( ঩ারনয অনু঩াে)
( অনু঩ারেয ঳ভরষ্ট)
= 9 ররিায
অথফা , ঩ারনয ঩রযভাণ = রভশ্ররনয ঩রযভাণ – এর঳রডয ঩রযভাণ
3 : 7 অনু঩ারেয জনযাঃ
ধরয x ররিায ঩ারন রভ঱ারর এর঳ড ঑ ঩ারনয অনু঩াে 3 : 7 ঴রফ।
∴ 21 : (9 + x) = 3 : 7
 x = 40
7 : 5 অনু঩ারেয জনযাঃ রফকল্প রনয়ভ
10 অনু঩ারেয ঳ভেু রয = 30 ররিায
∴ ‘’ ‘’ 0/ 0 3 ররিায
∴ ঩ূরফিয অনু঩ারেয ঳ারথ ২ অনু঩াে ঩ারন রভ঱ারর = 7 : (3+2) = 7 :5 অনু঩াে ঴রফ।
∵ 1 অনু঩ারেয ঳ভেু রয = 3 ররিায
২ ‘’ ‘’ 6 ররিায
23

প্ররে ঱রে ফা তকান রনরিষ্ট ঳ংখযায বগ্াং঱ মায ঴য প্ররেরেরর 100। অথিাৎ তকান ঳ংখযা প্ররে ঱রেয (100)
কে অং঱ ো ফুোরনা ঴য়।
∴ x % =
N (90) তকান ঳ংখযায P % (75% )
⇛
⇛
Formula:-- Let the Number be = x
∴ X × P% = N
⇛ X × 75% = 90
What Percentage % is R(90) of N(120)?
N × X% =R
⇒ 120 × x% =90
রফরবন্ন দ্রফয রফলয়ক :
 ঱েকযা ভূরয ফৃরিয তেরর প্রিি ভুররযয ঳ারথ 100 তমাগ কযরে ঴রফ ।
 ঱েকযা ভূরয হ্রার঳য তেরর প্রিি ভুররয 100 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ ।
঩রণযয ভূরয ফৃরি ঘিরর ঑ খযচ ফৃরি না ঩াফায তেরর । ঩ুফিভূরয ঑ ফেিভান ভূরয তফয কযরে ঴রফ । এফং ফেিভান
ভূররয প্রাপ্ত ঱েকযা ,঩ূফি ভূরয 100 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ।
঩রণযয ভুরয করভ তগরর ফযফ঴ায ফৃরি কযায তেরর , ঩ুফিভূরয ঑ ফেিভান ভূরয তফয কযরে ঴রফ । এফং ফেিভান ভুররয
প্রাপ্ত ঱েকযা , ঩ূফি ভূরয 100 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ।
-
25% ফৃরি ঩া঑য়ায ফেিভান ভূরয = (100 + 25 )িাকা = 125 িাকা ।
ফেিভান ভূরয 125 িাকা ঴রর ঩ূফিভূরয = 100 িাকা
∴ ,, 100 ,, ,, ,, = িাকা = 80 িাকা
∴ দ্ররফযয ফযফ঴ায ফা খযচ কভারে ঴রফ = ( 00 80)% =20%
1.5
24

Formula:-
঳ুর ⇛
কভ ফা ফৃরি
মরি দ্ররফযয ভূরয ফৃরি ঩ায় ো঴রর
ফৃরি
ফৃরি
[ ফাড়ারনা % = ]
মরি দ্ররফযয ভূরয হ্রা঳ ঩ায় ফা করভ মায় ো঴রর
কভ
কভ
[কভারনা % = ]]
তকান দ্ররফযয িাভ ফা ফযফ঴ায ফৃরিরক (Increase ) ⇒ +
তকান দ্ররফযয িাভ ফা ফযফ঴ায হ্রা঳ ফা কভান (Decrease ) ⇒ −
এই ধযরনয তকান অংরক , উ঩রযয তম তকান একরি ভান % তি঑য়া থাকরর উিয ঴রফ অ঩য ভানরিয %
তমভন উ঩রযয অংরক িাভ 25% ফৃরি ত঩রয়র , োই এয উিয ঴রফ ঱েকযা ২০% হ্রা঳ ।
এই একই অংরক মরি িাভ 25% ফৃরি না ঴রয় ২০% হ্রা঳ ঴ে , ো঴রর এয উিয ঴ে 25% ফৃরি ।
Formula:-
% Change = × 100%
Result + → Increase
Result − → Decrease
⇛ ফৃরিয ঱েকযা ঴ায =
0 − 0
0
× 100% =100% [এখারন উিয ধনাত্নক োই ফৃরি ত঩রয়র ]
25

Formula:-- 5% ফৃরিরে , 100 + 5 =105
঩ূফিভূরয 100 িাকা ঴রর ফেিভান ভূরয = 105 িাকা
∴ ,, 1000 ,, ,, ,, = িাকা = 1050 িাকা
5 তকরজ দ্ররফযয ফেিভান িাভ = 1050 – 1000 = 50 িাকা
∴ 1 ,, ,, ,, = 50/5 = 10 িাকা
Formula:-
ফৃরি ফা হ্রা঳ ঩ূরফিয ভুররযয িাকা
দ্ররফযয ঩রযভাণ
∴ = 10 িাকা
Solution: দিঘি = 100x ঑ প্রস্থ = 100y
∴ তেরপর = দিঘি × প্রস্থ = 10000 xy
20% দিঘি ফৃরিরে ঩রযফরেিে দিঘি = (100+20)x =120x
10% প্রস্থ হ্রার঳ ঩রযফরেিে প্রস্থ = (100-10) = 90y
∴ ঩রযফরেিে তেরপর = 120x ×90y = 10800xy
তেরপর ফৃরি = 10800xy – 10000xy = 800xy
঩ুফি তেরপর 10000xy ঳ার঩রে ফৃরি ত঩রয়র = 800xy
,, ,, 100 ,, ,, ,, = =8% তেরপর ফৃরি ত঩রয়র
Formula:-
x ⟹ First Value ( প্রথভ ভান ) মা একরি রনরিষ্ট % এ ফৃরি ফা হ্রা঳ ঩ারফ ।
y ⟹ Second Value ( রদ্বেীয় ভান ) মা একরি রনরিষ্ট % এ ফৃরি ফা হ্রা঳ ঩ারফ ।
মরি উক্ত ভান ঳ভূ঴ ,
ফৃরি ত঩রর / ফাড়রর (Increase) এয রচহ্ন ঴রফ ⟹ +
হ্রা঳ ত঩রর / কভরর (Decrease) এয রচহ্ন ঴রফ ⟹ −
এফং উিয(Answer) এয রচহ্ন মরি + ঴য় , ো঴রর ঱েকযা ফৃরি ঩ারফ
এফং উিয(Answer) এয রচহ্ন মরি − ঴য় , ো঴রর ঱েকযা হ্রা঳ ঩ারফ
26

Formula:--
এখারন উবয় ভানই ফৃরি ত঩রয়র োই এরিয রচহ্ন ঴রফ +
঱েকযা ফৃরিাঃ C% = (+5) + (+5) +
( ) ( )
Formula:--
তমর঴েু ফগিরেররয দিঘিয ঑ প্রস্থ ঳ভান ,
োই F = S = −10
এখারন উবয় ভানই হ্রা঳ ত঩রয়র োই এরিয রচহ্ন ঴রফ −
঱েকযা হ্রা঳াঃ C% = (−10) + (−10) +
( ) ( )
Formula:-- তমর঴েু একই ফৃরিয ঳ফ ফযা঳াধি ঳ভান , োই উবয় ভান ঳ভান ঴রফাঃ
োই F = S = ± 5
এখারন উবয় ভানই হ্রা঳ ত঩রর রচহ্ন ঴রফ − , এফং ফৃরি ত঩রর রচহ্ন ঴রফ +
঱েকযা ফৃরিাঃ C% = (+5) + (+5) +
( ) ( )
তমর঴েু প্রথরভ িাভ তফরড়র র F= + 25%
রদ্বেীয়রে িাভ করভর S =− 5%
঱েকযা ঩রযফেিনাঃ C% = (+25) + (−5) +
( ) ( )
঱েকযা ঩রযফেিনাঃ C% = (-20) + (+20) +
( ) ( )
27

঱েকযা ঩রযফেিনাঃ C% = (+20) + (+20) +
( ) ( )
঱েকযা ঩রযফেিনাঃ C% = (+10) + (+20) +
( ) ( )
Formula:- Mix % =
Formula:- - Rest (n) = 100x – (f% + s% + t% )x
Formula:- -pass = n × x% × (a/b)
ধরয , যাজীরফয আয় = 100 িাকা
এফং োনফীরযয আয় = (100+25 ) ফা 125 িাকা
োনফীরযয আয় 125 িাকা ঴রর যাজীরফয আয় =100 িাকা
∴ ,, ,, 100 ,, ,, ,, ,, ফা 80 িাকা
∴ যাজীরফয আয় কভ = (100 – 80 ) = 20 িাকা
28

প্রথভ তেরর,
রভশ্রন 100 তকরজ ঴রর ফাররয ঩রযভান =25 তকরজ
∴ ,, 64 ,, ,, ,, ,, = তকরজ
অেএফ , ঩াথরযয ঩রযভাণ = (64−16) ফা 48 তকরজ
঩রযফরেিে রভশ্ররন ,
঩াথয 40 তকরজ ঴রর রভশ্রন ঴রফ = 100 তকরজ
∴ ,, 48 ,, ,, ,, ,, = ফা 120 তকরজ
নেু ন রভশ্ররন ফাররয ঩রযভাণ = (120−48) ফা 72 তকরজ
অেএফ , ফারর তভ঱ারে ঴রফ= (72 −16) ফা 56রকরজ
শুধুভার রনরিিষ্ট রফ঱য়গুররে কৃ েকারমিয তেরর , উবয় রফলরয় কৃ েকারমিয ঳ংখযা ফাি রিরে ঴রফ।
এক ফা উবয় রফলরয় কৃ েকারমিয তেরর , শুধুভার রনরিিষ্ট রফলয়গুররায কৃ েকারমিয ঳ংখযায ঳ারথ উবয় রফলরয়
কৃ েকারমিয ঳ংখযা তমাগ কযরে ঴রফ।
Formula:--
শুধু ইংরযজীরে তপর করয = (100 – 70 − 10)% = 20%
শুধু ফাংরায় তপর করয = (100 – 80 − 10)% = 10%
তভাি তপর করয = (20 + 10 + 10)% = 40%
উবয় রফলরয় ঩া঳ করয = (100 − 40)% = 60%
উবয় রফলরয় 60 জন ঩া঳ করয , মখন ঩রযোথিীয ঳ংখযা = 100 জন
,, ,, 360 ,, ,, ,, ,, ,, ,, = জন
29

শুধু ইংরযজীরে ঩া঳ করয = (60 –40)% = 20%
শুধু ফাংরায় ঩া঳ করয = (70 – 40)% = 30%
তভাি ঩া঳ করয = (40 + 30 + 20)% = 90%
উবয় রফলরয় তপর করয = (100 − 90)% = 10%
[1 নংরয়য উিযাঃ উবয় রফলরয় ঱েকযা 10% তপর করয ]
঩যীোথিী 100 জন ঴রর উবয় রফলরয় তপর করয = 10 জন
∴ ,, 200 ,, ,, ,, ,, ,, ,, = জন
এক জােীয় করয়করি রজরনর঳য িাভ, ঑জন, দিঘিয তি঑য়া থাকরর োরক রজরনর঳য ঳ংখযা রিরয় বাগ কযরর, ১রি রজরনর঳য
িাভ, ঑জন, দিঘিয ঩া঑য়া মায়।
একরিয িাভ তফয করয ঳ভ঳যায ঳ভাধান কযায ঩িরেরক ঐরকক রনয়ভ ফরা ঴য়।
ঐরকক রনয়রভ তম যার঱রি তফয কযরে ঴রফ ত঳ যার঱রি অফ঱যই অঙ্ক ঳াজারনায ঳ভয় প্রথভ
রাইরনয ত঱রলয রিরক (ডানরিরক) যাখরে ঴রফ।
অথিাৎ তম রজরনর঱য ভান তি঑য়া আর ো ফাভ রিরক এফং মা চা঑য়া ঴রে ো ডানরিরক ররখা ঴য়।
ফারভয তি঑য়া ভারনয জনয  ডারনয ভারনয ঩রযভাণ [মরি ফারড় ো঴রর গুন ঴রফ , মরি করভ ো঴রর বাগ ঴রফ]
মাযা কাজ করয োরিয প্ররেযরকয কাজ কযায েভো ঳ভান ঴রর।
কারজয ঩রযভাণ একই থাকরর এফং কাজরি ঳ম্পন্ন কযায তরারকয ঳ংখযা করভ তগরর  কাজরি ত঱ল কযায ঳ভয় তফরড়
মারফ। এরেরর গুন কযরে ঴য় ।
আফায তরারকয ঳ংখযা ফারড়রয় রিরর  কজরি ত঱ল কযায ঳ভয় কভ রারগ ।  এরেরর বাগ কযরে ঴য়।
∴ কারজয ঩রযভাণ অ঩রযফরেিে তযরখাঃ
X তরারকয ঳ংখযা ফা কাজ ঳ম্পািনকাযী = Y কারজয ঳ভয়
1 ―‖ ―‖ = (X × Y) [∵ তরারকয ঳ংখযা কভরর ,কারজয ঳ভয় ফাড়রফ]
Z ―‖ ―‖ =
( )
[∵ তরারকয ঳ংখযা ফাড়রর ,কারজয ঳ভয় কভরফ]
কারজয ঩রযভাণ একই থাকরর এফং কাজরি ঳ম্পন্ন কযায তরারকয ঳ংখযা তফরড়
1.6
30

1 1 2
অথফা ,
Formula:- M1× D1 = M2 × D2
1)⇛ M2 =
2)⇛ D2 =
Solution :
100 জন তরাক চরর তগরর ফারক থারক =(500− 100) = 400 জন
5 রিন ঩রয ,
500 জন তরারকয খািয ভজুি থারক = (20 − 5) ফা 15 রিরনয
1 ,, ,, ,, ,, ,, = (15 × 500) রিরনয
400 ,, ,, ,, ,, ,, =
( )
00
রিরনয
[∵ জন তরারকয খািয ভজুি 500 জন তরারকয তচরয় তফর঱ থাকরফ , োই ২য় ধার঩ গুন কযা ঴রয়র ।
আফায ৩য় ধার঩ তরাক ঳ংখযা তফরড় মা঑য়ায় খািয ভজুরিয ঩রযভাণ঑ করভ মারফ , োই এখারন বাগ কযা ঴রয়র । ]
Formula:--
X ⇒ m রিরন করয = 1 অং঱ কাজ
∴ 1 ,, ,, = অং঱ কাজ
∴ Y → 1 রিরন করয = অং঱ কাজ
X ঑ Y একরর 1 রিরন কাজ করয = ( + ) = অং঱ কাজ
োযা একরর অং঱ কাজ করয = 1 রিরন
∴ ,, ঳ম্পূনি ফা 1 ,, ,, ,, = রিরন ।
Formula:-
একরর ঳ম্পূনি ফা ঳ভস্ত কারজয ঳ভয় T = ফা
উবরয়য রিরনয গুণপর
উবরয়য রিরনয তমাগপর
31

Formula:- একরর ঳ম্পূনি ফা ঳ভস্ত রদ্বেীয় জরনয কারজয ঳ভয় T = ফা
প্রথভ একরর
প্রথভ − একরর
Formula:-
একরর ঳ম্পূনি ফা ঳ভস্ত কারজয ঳ভয় T =
Formula:-
঩ূনি ঴঑য়ায ঳ভয় T =
Formula:-
঩ূনি ঴঑য়ায ঳ভয় T = [এখারন ফড় ভানরি ঴রে ত াি ভানরি রফরয়াগ কযরে ঴রফ। ]
⇛
Solution—
X ⇒ 20 রিরন করয = 1 অং঱ কাজ
∴ X → 1 রিরন করয = অং঱ কাজ
Y → 1 রিরন করয = অং঱ কাজ
Z→ 1 রিরন করয = অং঱ কাজ
X , Y ঑ Z একরর 1 রিরন কাজ করয = ( ) = অং঱ কাজ
োযা একরর অং঱ কাজ করয 1 রিরন
∴ ,, ঳ম্পূনি ফা 1 ,, ,, ,, = 8 রিরন ।
32

Formula:--
একরর 1 রিরন কাজ করয = 1/8 অং঱ কাজ
∴ ,, 6 ,, ,, ,, = 6/8 ফা ¾ অং঱ কাজ
ফাকী কারজয ঩রযভাণ = (1 – ¾ ) অং঱ কাজ = ¼ অং঱ কাজ
∴ X ঳ম্পূনি ফা 1 অং঱ কাজ করয = 20 রিরন
ফাকী ¼ ,, ,, ,, = (20 × ¼) =20/4 = 5 রিরন
Formula:--
∴ X → 1 রিরন করয = 1/ 20 অং঱ কাজ
5 ,, ,, =
0
ফা ¼ অং঱ কাজ
∵ X অফর঱ষ্ট 5 রিরন ত঱ল করয ¼ অং঱ কাজ
X , Y ঑ Z একরর ফাকী রিরন কাজ করয = (1 – ¼ ) = অং঱ কাজ
X , Y ঑ Z একরর 1/8 অং঱ কাজ করয = 1 রিরন
∴ ,, ঳ম্পূনি ফা 1 ,, ,, ,, = 8 রিরন
⇒ ,, ¾ ,, ,, ,, = রিরন = 6 রিরন
∴ তভাি কাজ = X , Y ঑ Z একরর রিন + X এয অফর঱ষ্ট 5 রিন
= 6 + 5 = 11 রিন
33

1 1 1 2
2 2
Formula:--
3 জন ঩ুরুল 20 রিরন করয = 1 অং঱ ফা ঳ভস্ত কাজ
⇒ 3 ,, ,, 1 ,, ,, =
0
অং঱ কাজ
⇒ 1 ,, ,, 1 ,, ,, =
0
অং঱ কাজ
⇒ 4 ,, ,, 1 ,, ,, =
0
অং঱ কাজ = অং঱ কাজ
[এখারন েৃেীয় ধার঩ বাগ কযা ঴রয়র , কাযন তরাক঳ংখযা কভরর কারজয ঩রযভাণ কভ ঴রফ।
⇒ চেুথি ধার঩ গুন কযা ঴রয়র , কাযন তরারকয ঳ংখযা ফাড়রর কারজয ঩রযভাণ তফর঱ ঴য়। ]
আফায,
5 জন ভর঴রা 20 রিরন করয = 1 অং঱ ফা ঳ভস্ত কাজ
⇒ 1 ,, ,, 1 ,, ,, =
0
অং঱ কাজ
⇒ 10 ,, ,, 1 ,, ,, =
0
0
অং঱ কাজ =
0
অং঱ কাজ
4 জন ঩ুরুল ঑ 10 ভর঴রা,
1 রিরন করয = ( +
0
) অং঱ কাজ = অং঱ কাজ
⇒ অং঱ কাজ করয = 1 রিরন
∴ 1 ফা ঳ভস্ত ,, ,, ,, = 6 রিরন।
Formula :
কাজরি ঳ম্পূনি কযরে ঳ভয় T2 =
( ) ( )
34

Formula:-
তভাি ঳ভয় T =
( )
× t
এখারন U = Up উ঩রয উিা , D = Down রনরচ নাভা
⇛ T =
( ) ( )
× 1= 77Min

Formula:--঩ারনয উ঩রযয অং঱(ভান তি঑য়া ঩রযভাণ ) n = 1 – ( )
তকান রক ুয গরেরফগ =
অরেিান্ত িূযত্ব
঳ভয়
অরেিান্ত িূযত্ব = গরেরফগ × ঳ভয়
তরারেয অনুকূ রর তনৌকায কামিকযী গরেরফগ = তনৌকায প্রকৃ ে গরেরফগ + তরারেয গরেরফগ
তরারেয প্ররেকূ রর তনৌকায কামিকযী গরেরফগ = তনৌকায প্রকৃ ে গরেরফগ − তরারেয গরেরফগ
ধরয , িুইরি তেরনয গরেরফগ মথািরভ U ঑ V ঴য়। [মরি U > V ঴য়]
মখন িুরি গারড় ফা তেন ঩যস্পয রফ঩যীে রিরক চরর , েখন োরিয আর঩রেক তফগ োরিয গরেরফরগয ঳ভরষ্টয ঳ভান।
∴ আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = U +V
মখন িুরি গারড় ফা তেন একই রিরক চরর , েখন োরিয আর঩রেক তফগ োরিয গরেরফরগয রফরয়াগপররয ঳ভান। ∴
আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = U – V
একরি র঳গনযার ত঩াস্ট / খুাঁিী / রস্থয িাাঁড়ারনা তরাকরক অরেিভ কযরে X একক দিঘিয রফর঱ষ্ট একরি তেরনয T ঳ভয়
রাগররাঃ
∴ তেনরি T ঳ভরয় অেিভ করয X একক িূযত্ব
,, 1 ,, ,, ,, = একক িূযত্ব
⇛ তেরনয গরেরফগ =
35

p
Lt
∴ তেনরি T ঳ভরয় অেিভ করয =( Lp + Lt) একক িূযত্ব
,, 1 ,, ,, ,, =
( )
একক িূযত্ব
⇛ তেরনয গরেরফগ =
( )
Formula:-- তেনরি ,
1 ঘন্টায় ফা (60 × 60) ত঳রকরে মায় = 45 রকরভাঃ = (45 × 1000)রভিায
∴ 60 ,, ,, =
0 0
ফা 750 রভিায
প্রকৃ ে঩রে তেনরি 60 ত঳রকরে ,
তভাি অরেিভ করয = তেনরিয দিঘি + প্ল্যািপযরভয দিঘি
⇒ 750 = তেনরিয দিঘি + 100
∴ তেনরিয দিঘিয = 650 রভিায
Formula:- তেরনয গরেরফগ =
( )
⇛ 45 × =
( )
[∵ T C nver S eed in km/hr to m/sec multiply speed by ]
⇛ =650
x
অরেিান্ত ঳ভয় T =
তেন িুইরি ঩যস্পয রফ঩যীে রিরক চরর , োই আর঩রেক তফগ (Relative Speed) =
তেন িুইরি একই রিরক চরর , োই আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = −
⇛ T =
( )
= 11 Second [1 km/hr = meter/second ]
36

Formula:-
অরেিান্ত ঳ভয় T =
এখারন ফযরক্তরিয দিঘিয = 0 রভিায
⇛ T =
0 0
( − )
= 9 Second [1 km/hr = meter/second ]
Formula:-
⇛ T = −
∴ T =
0
0 − 0
আ঳র ফা ভূরধন (Principal / Capital / Sum )[রফরনরয়াগ  Invested]
঳ুি / ভুনাপা / ( Interest / Extra money for Interest) [ভূরধরনয জনয প্ররে ফ য তম অরেরযক্ত িাকা ঩ায় ]
঳ভয় / ফ য [ফারলিক  Per-annum ]
঳ুরিয ঴ায (Rate of Interest) [তকান রনরিিষ্ট িাকায অথিাৎ ভূরধরনয উ঩য তকান রনরিিষ্ট ঳ভরয়য জনয তম ঳ুধ তি঑য়া ঴য়।
঳াধাযণে , 100 িাকায উ঩য 1 ফ রযয জনয তম ঳ুধ ধযা ঴য় ো ঴রে ফারলিক ঱েকযা ঳ুরধয ঴ায]
঳ুিা঳র/঳ুি-ভূর/঳ফৃরিভূর (Amount/ Interest-principal/Increased Principal)
঳ুিা঳র = ঳ুি + আ঳র
∴ P িাকায় t ফ রযয ঳ুি = p × t িাকায় 1 ফ রযয ঳ুি
1.7
37

প্ররেযক ফ রযয জনয ঳ুি তি঑য়া ঴য় রকন্তু ো আ঳ররয ঳ারথ তমাগ কযা ঴য় না। অথিাৎ প্ররেযক ফ য আ঳র
একই থারক।
∵ ঱েকযা ফারলিক ঳ুরিয ঴ায r ঴রর,
100 িাকায় 1 ফ রযয ঳ুি r িাকা
∴1 ―‖ 1 ‘’ ‘’
∴P ―‖ 1 ―‖ ―‖
∴P ―‖ t ফা n ―‖ ―‖
∴঳ুি I = ⇛
∴ I = npr [r = r% = r/100]
[ভরন যাখুনাঃ ঳ুি ঴রে আ঳র ঴ারযয ঳ভয় ]
 ঳ুিা঳র A = আ঳র P + ঳ুি I
 A = P + nPr = P (1 + nr)
 P = [r = r% = r/100]
 P =
[ভরন যাখুনাঃ আ ঳ুিা঳রর ১০০ গুন , বারগ, ঴ারযয ঳ভয় ১০০ তমাগ ]
38

প্ররেযক ফ য আ঳ররয ঳ারথ ঳ুধ তমাগ কযা ঴য় ।োই প্ররেযক ফ য আ঳র ফৃরি ঩ায়।
প্রাযরম্ভক ভূরধন ফা আ঳র P এফং ঱েকযা ফারলিক ঳ুরিয ঴ায r
n ফ যারন্ত চিফৃরি ঳ফৃরি ভূল্ধন C = p ( )
 চিফৃরি = চিফৃরি ভূল্ধন (C) ― প্রাযরম্ভক ভূরধন (P)
= P ( ) ― P
চিফৃরি ঳ফৃরি ভূল্ধন = আ঳র × (
঳ুরিয ঴ায
) ঳ভয়
঳ুিা঳র = আ঳র (
঳ুরিয ঴ায
২০০
) ঳ভয়
Solution-
700 িাকায় 5 ফ রযয ঳ুি = 105 িাকা
∴ 100 ,, 1 ,, ,, = িাকা
Formula:-
∴঳ুি I =
⇛ 105 =
∴ r =
ধরয , ভূরধন X িাকা
∴ 5 ফ রয ঳ুি-ভূর = 2X িাকা
঳ুি = ঳ুি-ভূর − ভূরধন = 2X – X = X িাকা
X িাকায় 5 ফ রযয ঳ুি = X িাকা
∴ 100 ,, 1 ,, ,, = িাকা = 20 িাকা = 20%
39

Formula:-
঳ুরিয ঴ায ( ) =
প্রিি গুন ফা মে গুন
঳ভয় ফা ফ য
⇛ = ∴⇒ r 0
1 2
Formula:--
100 িাকা ভূরধন ঴রর 1 ফ রয আয় ফারড় = (10 – 8 ) িাকা = 2 িাকা
∴ 100 ,, ,,, ,, 5 ,, ,, ,, = (5 × 2 ) িাকা = 10 িাকা
আয় 10 িাকা ফারড় ভূরধন = 100 িাকা
∴ ,, 200 ,, ,, ,, =
00 00
0
িাকা
Formula:- ঳ুি I =
⇛ 200 = ∴ p =2000 িাকা
Formula:--
5% ঴ায ঳ুরি, 100 িাকায় 10 ফ রযয ঳ুি = ( 5 × 10)িাকা = 50 িাকা
∴ 100 িাকা 10 ফ রয ঳ুরি আ঳রর ঴য় = ( 100 + 50 ) িাকা = 150 িাকা
঳ুিা঳র 150 িাকা ঴রর আ঳র = 100 িাকা
∴ ,, 5000 ,, ,, ,, =
00 000
0
িাকা
Formula:-
আ঳র P =
( )
⇛ P =
( )
40

)
Formula:--
300 িাকায় 4 ফ রযয ঳ুি = 1200 িাকায় 1 ফ রযয ঳ুি
500 িাকায় 5 ফ রযয ঳ুি = 2500 িাকায় 1 ফ রযয ঳ুি
∴ (1200 + 2500 ) = 3700 িাকায় 1 ফ রযয তভাি ঳ুি
3700 িাকায় িাকায় 1 ফ রযয ঳ুি 148 িাকা
∴ 100 ,, ,, 1 ,, ,, =
00
00
িাকা
ধরয উবয় তেরর ঳ুরিয ঴ায = x % = x/100
প্রথভ তেরর, ঳ুি I1 =
00
00
রদ্বেীয় তেরর, ঳ুি I2 =
00
00
প্রশ্নভরে, I1 + I2 =148
⇒
00
00
+
00
00
= 148
⇒ x = 4%
Formula:-
I =
( )
⇛ r =
∴ r =
00
( 00 ) ( 00 )
= 4%
41

আ঳র + 5 ফ রযয ঳ুি = 500 িাকা
আ঳র + 5 ফ রযয ঳ুি = 460 িাকা
―――――――――――――― [রফরয়াগ করয ]
∴ 2 ফ রযয ঳ুি = 40 িাকা
1 ~ ~ = = 20িাকা
3 ~ ~ = 20×3 = 60 িাকা
∴আ঳র = (460―60)িাকা = 400 িাকা
400 িাকায় 1 ফ রযয ঳ুি 20 িাকা
1 ~ 1 ~ ~ 20/400
100 ~ 1 ~ ~
20
400
00
Formula:-
চিফৃরি ঳ফৃরি ভূল্ধন C = p ( )
⇛ চিফৃরি ঳ফৃরি ভূল্ধন C = 600 ( )
C = 726
42

তকান রজরন঱ রকনরে ফা দেরয কযরে তম ফযয় ঴য়।িয়ভূরয (Cost Price ) CP :-
তকান রজরন঳ রফিয় কযরর/রফচরর তম িাভ ঩া঑য়া মায়।রফিয়ভূরয (Selling Price )SP:-
রাব (Profit) = রফিয়ভূরয (SP) - িয়ভূরয (CP)রাব/ভুনাপা (Profit /Gain) P:-
েরে(loss) = িয়ভূরয (CP) - রফিয়ভূরয (SP)েরে/ তরাক঳ান (Loss)L:-
েুরনা কযায জনয রাব ফা েরে ,঱েকযা ঴ারয প্রকা঱ কযা ঴য়।আনু঳ারিক খযচ উরেখ না থাকরর িয়ভূরযরকই রফরনরয়াগ ফরর
গনয কযা ঴য়।
রাব-েরেয ঱েকযা র঴঳াফ ঳ফ঳ভয় িয়ভূররযয ফা রফরনরয়ারগয উ঩য কযা ঴য়। অথিাৎ রাব ফা েরে িয়ভূররযয উ঩য র঴঳াফ কযা
঴য় । রাব ফা েরে তক ঳াধাযণে রফরনরয়ারগয ফা িয়ভূররযয ঱েকযা রূর঩ প্রকা঱ কযা ঴য় ।
X % রাব ফা েরে ফররর  রাব ফা েরে রফরনরয়াগ ফা িয়ভূররযয x % ফুেরে ঴রফ। অথিাৎ
১০০ িাকা রফরনরয়ারগয রাব ফা েরে x িাকা ।
C িাকা রফরনরয়ারগ x % রাব ফা েরে ঴রর,
তভাি রাব ফা েরে = িাকা ।
∴ X % রারব c িাকা রফরনরয়াগকৃ ে রজরনর঳য রফিয়ভূরয = ( C + ) িাকা ।
∴ X % েরেরে C িাকা রফরনরয়াগকৃ ে রজরনর঳য রফিয়ভূরয = ( C − ) িাকা ।
C িাকা রফরনরয়ারগ তভাি P িাকা রাব ফা েরে ঴রর ,
তভাি রাব ফা েরে = িাকা।
Furmula: এরেরর রফিয় ঳ংখযা িরয়য ঳ংখযা তথরক 1 কভ ঴রে ঴রফ।
রাব(Profit %) =
00
(রফিয় ঳ংখযা )
⇛ Profit % =
00
%
1.8
43

Furmula: এরেরর রফিয় ঳ংখযা িরয়য ঳ংখযা তথরক 1 তফর঱ ঴রে ঴রফ।
েরে (Loss %) =
(রফিয় ঳ংখযা )
⇛ loss % =
00
0
Furmula:
িয়(n) , রফিয়(n+1) ঑ িয়(n+2) এয ভরধয িরভক ঳ংখযা থাকরফ,
িাকায় িুই ধযরনয রবন্ন রবন্ন রজরন঱ রকনরফ, রকন্তু ঳ফগুররা একরি রনরিিষ্ট িারভ রফিয় কযরফ?
∴ েরে (loss) =
( িাকায় মেরি রফরি ঴য় , / -)
⇛ loss % =
00
( 0)
Formula:- রফিয় ঳ংখযা =n , First Value=F%, Second Value=S%
রজরনর঳য ঳ংখযা = n × [রাব ঴রর রচহ্ন + ,েরে ঴রর রচহ্ন − ]
⇛ রজরনর঳য ঳ংখযা = 12 ×
Formula:- রজরনর঳য ঳ংখযা = ×
( )
( )
⇛ রজরনর঳য ঳ংখযাাঃ = × 00
00 0
44

Solution ∴ দ্রফযরিয িয়ভূরয = (150 + 20 )িাকা =170 িাকা
িয়ভূরয 170 িাকায় েরে ঴য় = 20 িাকা
∴ ,, 100 ,, ,, ,, =
0 00
0
Formula:- িয়ভূরয = রফিয়ভূরয + েরে [∵েরে = িয়ভূরয − রফিয়ভূরয]
রাব ফা েরেয ঱েকযা ঴ায =
রাব ফা েরে
িয়ভূরয
⇛ Cost = 150 +20 =170 ⇛ % =
0 00
0
⇛ কে
Formula:- িয়ভূরয =
রফিয়ভূরয
রাব
⇛ Cost =
00 00
00 0
Formula:- িয়ভূরয =
রফিয়ভূরয( )
েরে ( )
⇛ Cost =
00 00
00 − 0
Solution: ∵ রারব রফরি কযা ঴রর 100 ঳ারথ তমাগ কযরে ঴রফ , এফং েরেরে রফরি কযা ঴রর 100 তথরক রফরয়াগ কযরে ঴রফ ।
P% রারব,
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = (100 + P ) িাকা
∴ ,, n ,, ,, ,, =
( 00 )
00
িাকা
L% েরেরে,
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = (100 - L ) িাকা
∴
( 00 )
00
,, ,, ,, =
( 00 − )
00
×
( 00 )
00
[এখারন P% রারবয রফিয়ভূরয ভান , L% েরেয িয়ভূররয ফ঳রফ। কাযন তিো p% রারব তকনা দ্রফয েৃেীয় এক ফযারক্তয কার 5%(L%)
েরেরে রফিয় করযর ।]
45

Formula:--
15% রারব,
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = (100 +15 ) িাকা =115 িাকা
∴ ,, 280 ,, ,, ,, = িাকা = 322 িাকা
∵ ধামি ভূররযয 8% করভ঱ন তিয় অথিাৎ েরেরে,
রফিয়ভূরয (100 - 8 )ফা 92 িাকা ঴রর ধামি ভূরয ফা িয়ভূরয = 100 িাকা
∴ ,, 322 ,, ,, ,, ,, = িাকা = 350 িাকা
Formula : প্রকৃ ে িয় ঳ংখযা (নষ্ট ফারি) = 30 − 30 এয 20% =24
রাব (Profit) =(
প্রকৃ ে িয় ঳ংখযা
রফিয় ঴ায
রফিয়ভূরয ) − িয়ভূরয
⇛ Profit = ( 0) −
Formula:-
িয়ভূরয = কভা R% ফা ( ) ×
তভাি িাকা
কভ ফা তফর঱ ঩া঑য়া ঳ংখযা
× মেগুররা রকনরে ঴রফ
⇛ Cost=
00
0
0
46

Solution ঱েিাঃ প্ররশ্ন ২রি ঱েকযা ফা % থাকরে ঴রফ
10% েরেরে রফিয় ভূরয = (100 − 10) িাকা = 90 িাকা
20% রারব রফিয় ভূরয = (100 + 20 ) িাকা = 120 িাকা
তফর঱ রফিয় ভূরয (120 −90) িাকা = 30 িাকা
তফর঱ রফিয়ভূরয 30 িাকা ঴য় মখন িয়ভূরয 100 িাকা
∴ ,, ,, 40 ,, ,, ,, ,, িাকা
Formula:-
িয়ভূরয =
উবয় ঱েকযায ঩াথিকয
রফকল্পাঃ
রফিয়ভূরয 40 িাকা তফর঱ ঴রর 10% েরে঩ূযণ ঴রয়঑ 20% রাব ঴ে,
∴ 10% + 20% =40
⇒ 15% = 40
⇒ 1% =
0
⇒ 100% =
0 00
Formula:-
িয়ভূরয =
িাভ কভ ফা ফৃরি
প্রথভ রদ্বেীয়
⇛ িয়ভূরয =
00
0 0
47

Solution: ঱েিাঃ প্ররশ্ন 3 রি ঱েকযা ফা % থাকরফ
20% করভ িয়ভূরয = (100 − 20) িাকা = 80 িাকা
40% রারব রফিয় ভূরয = (100 + 40 ) িাকা = 140 িাকা
40% রারবাঃ
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = 140 িাকা
∴ ,, 80 ,, ,, ,,
0 0
00
িাকা = 112 িাকা
10%েরেরে , রফিয়ভূরয = (100 – 10 ) =90 িাকা
িুই রফিয়ভূররযয ভরধয ঩াথিকয = (112 -90) িাকা = 22িাকা
∴ রফিয়ভূরয 22 িাকা তফর঱ ঴রর িয়ভূরয = 100 িাকা
,, 50 ,, ,, ,, =
00 0
Formula:
10% েরেরে রফিয় ভূরয, Sells1 = (100 − 10) িাকা = 90 িাকা
িয়ভূরয 20% কভ ঴রর = (100 − 20 ) িাকা = 80 িাকা ঴রফ ,
এরেরর রাব ফা profit ঴রফ , 80 × 40% =32
∴ রফিয়ভূরয ,Sells2 = নেুন িয়ভূরয + রাব = 80 + 32 = 112
∴ িয়ভূরয =
তফর঱ ফা কভ িাভ
⎸ ⎸
[এখারন ⎸⎸ রচহ্ন ভারন ঴র Absolute Value ফা ঩যভ ভান অথিাৎ এয রবেয Negative ভান থাকরর঑ Positive ভান
রনরফন]
⇛ Cost =
00 0
⎸ − ⎸
48

Solution:
5 রিয িয়ভূরয = 4 িাকা
∴ 1 ,, ,, = িাকা
আফায ,
4 রিয িয়ভূরয = 5 িাকা
∴ 1 ,, ,, = িাকা
প্ররেরিরে রাব = রফিয়ভূরয- িয়ভূরয = − =
0
িাকা
[∵ রাব ফা েরেয ঱েকযা র঴঳াফ িয়ভূররযয উ঩য র঴঳াফ কযা ঴য় । ]
প্ররেরিয িয়ভূরয িাকায় রাব ঴য় =
0
িাকা
∴ ,, ,, 100 ,, ,, ,, =
Formula
49

অথফা
Solution:
X রি আরভয িয়ভূরয = 1 িাকা
∴ 1 ,, ,, = িাকা
আফায
Y রি আরভয রফিয়ভূরয = 1 িাকা
∴ 1 ,, ,, = িাকা
প্ররেরি আরভ রাব = রফিয়ভূরয – িয়ভূরয = − িাকা
∴ প্ররেরিয িয়ভূরয িাকায় রাব ঴য় =
−
িাকা
,, ,, 100 ,, ,, ,, = ( − ) 00
িাকা
Formula
঱েকযা রাব =
( )
=
( − ) 00
Solution:
দ্রফযরিয িয়ভূরয = (380+20) 400
িয়ভূরয 400 িাকায় েরে ঴য় =20 িাকা
∴ ,, 100 ,, ,, ,,
Solution:
10% েরেরে রফিয় ভূরয = (100-10) ফা 90 িাকা
5% রারব রফিয়ভূরয = (100+5) ফা 105 িাকা
∴ রফিয় ভূররযয ঩াথিকয = (105− 90) ফা 15 িাকা
রফিয়ভূরয 15 িাকা তফর঱ ঴য় মখন িয়ভূরয 100 িাকা
∴ ,, 45 ,, ,, ,, ,, ফা 300 িাকা
50

Solution:
20% রারব রফিয়ভূরয = (100+20) ফা 120 িাকা
10% করভ িয়ভূরয = (100-10) ফা 90 িাকা
20% রারব,
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = 120 িাকা
∴ ,, 90 ,, ,, ,, =
( )
=108 িাকা
% ফা েরেরে, রফিয়ভূরয = (100− ) ফা িাকা
রফিয়ভূরযদ্বরয়য ভরধয ঩াথিকয = (100 − ) ফা
রফিয়ভূরয
31
2
িাকা তফর঱ ঴য় মখন িয়ভূরয =100িাকা
∴ ,, 31 ,, ,, ,, ,, = 200
Solution:
x % েরেরে , রফিয়ভূরয = 00 −
রফিয়ভূরয ( 00 − ) িাকা ঴রর িয়ভূরয = 100 িাকা
∴ ,, n ,, ,, ,, =
y % রারব , রফিয়ভূরয = 00
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = ( 00 ) িাকা
∴ ,, ,, ,, ,,=
( )
( )
∴ রফিয় ভূরয = n ×
( )
( )
51

Solution:
36 িাকায় িয় করয =12 রি করা
100 ,, ,, ,, ফা রি করা
20% রারব ,
িয়ভূরয 100 িাকা ঴রর রফিয়ভূরয = (100 + 20) ফা 120 িাকা
20% রাব কযরে ঴রর ,
রি করায রফিয়ভূরয = 120 িাকা
20 ,, ,, ,,
Solution:
15% রারবাঃ 1200 + 1200 এয 15% (1200 ×
15
100
)
 1200+180 = 1380
আফায
5% েরেরোঃ 1380 – 1380 এয 5%
 1380 – 69 = 1311 িাকা ।
Solution:
5 িাকায় রকরন = 2রি কভরা
∴ 100 ,, ,, = ফা 40
40% রাব কযরে ঴রর,
100 িাকায় কভরা রফিয় কযরে ঴রফ (100+40) ফা 140 িাকায়
140 িাকায় রফিয় কযরে ঴রফ =40রি কভরা
∴ 35 ,, ,, ,, ,, = ফা 10 রি কভরা
52

Solution:
12 আ =20 িাকা
∴ 1 ,, ,, ,, = ফা
5
3
িাকা
∴ 1 রি আভড়া রফিয় কযরর রাব = রফিয়ভূরয – িয়ভূরয
= 2 −
5
3
=
1
3
িাকা
িয়ভূরয
5
3
িাকায় রাব =
1
3
িাকা
∴ ,, 100 ,, ,, ফা 20 িাকা
[∵ রাব ফা েরে ঳ফ঳ভয় িয়ভূররযয উ঩য র঴঳াফ কযা ঴য়]
Solution:
3 রি আরভয িয়ভূরয = 1 িাকা
∴ 1 ,, ,, ,, = িাকা
আফায
2 রি আরভয রফিয়ভূরয = 1 িাকা
∴ 1 ,, ,, ,, =
2
িাকা
∴ 1 রি আভ রফিয় কযরর রাব = রফিয়ভূরয – িয়ভূরয
=
1
2
−
1
3
=
1
6
িাকা
[∵ রাব ফা েরে ঳ফ঳ভয় িয়ভূররযয উ঩য র঴঳াফ কযা ঴য়]
িয়ভূরয
1
3
িাকায় রাব =
1
6
িাকা
∴ ,, 100 ,, ,, ফা 50 িাকা
53

Solution:
ধরয, 5 রি আরভয িয়ভূরয = x িাকা
∴ 1 ,, ,, ,, = িাকা
আফায
4 রি আরভয রফিয়ভূরয = x িাকা
∴ 1 ,, ,, ,, = িাকা
∴ 1 রি আভ রফিয় কযরর রাব = রফিয়ভূরয – িয়ভূরয
= − = িাকা
িয়ভূরয িাকায় রাব = িাকা
∴ ,, 100 ,, ,, ফা 25 িাকা
54

1 Lac = 10
5
1 Million = 10
6
= 10 lac
1 Crore =10
7
=10 million
1 Billion = 10
9
(USA) =10
12
(Eu)
1 Trillion = 10
12
(USA) = 10
18
(Eu)
1 kilogram= 2.2 (lbs) pounds
1 Seer = .93 kg
1 mound = 40 seer = 37.2 kg
1 quintal = 100 kg
1 ton = 1000 kg
S.I International Systems of Units 1960 ঳ারর চারু ঴য় ।
CGS Centimeter . Gram .Second
M.K.S Meter . Kilogram . Second
F.P.S Foot .Pound .Second
12 Inch = 1 foot , 3 foot = 1 Yard , 1760 Yard = 1 mile
Relationship
Distance Area Volume
1 Inch = 2.54 Centimeter 1 Inchs2= 6.45 cm
2
1 liter = 1000 Cubic Centimeter
1 Meter = 39.37 Inch 1 Hectare = 10000 meter
2
1 Cubic meter = 1000 liters
1 mile = 1.61 kilometer 1 Katha = 720 feet
2
1 Cubic foot = 28.31 liters
1 Nautical Mile = 1.853km 1 Acre = 4047 meter
2
1 gallon = 3.78 liters(us) = 4.54 liters(uk)
1 km2 = 247 Acres 1 Cubic Centimeter= 1 gram
 1 m_t_r = 100 C_ntim_t_r = 39.37 In]h‖s = 3.28 `__t = 1.0936 Y[r^s = 0.00062 mil_s
 1 kilogram = 1000 grams = 2.2 pounds = 35.27 Ounces = 0.157 Stone(uk)
 1 meter
2
= 10.76 feet
2
=1550 Inchs
2
= 10000 centimeter
2
 1 Square kilometer = .3861 mile2
= 100 hectares = 247 acres
 1 mile
2
= 2.589 kilometers
2
= 259 hectare = 640 acres
 1 Celsius = 33.8 Fahrenheit = 274.15 kelvin
1.9
55

Want more Updates
Metric relationships
Length Area Volume Capacity
I em
10mm
10 em
100 mm
Im
100 em
1 em
1cmB
10 em
1cm
I em~
1000 mm3
10cmB
100 em!
IOOOO mm2
1m
tanbir.cox
11m
1000 em3
I 000000 mm3
I m3
1000000 em'
Website (J):-
10 em
I mL
One 1 em cube (cubic
·Centimetre) has a
capacicy of 1 millilitre.
IL
One 10 em cube
(1000 cm3) has a
capacity of 1 lirre.
Ikl
One cuhic metre ha~ a
capacity of 1 kilolitre.
These 5 drums each
hold 1 kilolirre.
56

∴ F ∪ S F + S – ( F ∩ S)
এখারন F ∪ S = তভাি ঳ংখযা ফা উ঩ািান ।
F ∩ S = কভন ভান ফা উবয় উ঩ািারনয ভরধয ঳াধাযন ভান
⇛ 30 = 20 + 15 – (F ∩ S ) ⇒ (F ∩ S )
 ঘরড়রে 1 তথরক 12 ঩মিন্ত িাগারঙ্কে থারক।
12 ঘণ্টায জনয তকারনয ঩রযভাণ = π ফা 3600
∴ ,, ,, ,, ,, = 0
N ঘণ্টায ফযফধারনয জনয তকারনয ঩রযভাণ = n × 0
 ঘন্টায কাাঁিায গরে 1 ঘরযয জনয 0 এফং প্ররে রভরনরিয জনয ফা ( )
H ঑ M এয ভধযফেিী তকাণ =
( রভরনি) ( ঘন্টা)
∴ H∠M = অথফা [উিরয (−) রচহ্ন থাকরর ো ফাি রিরে ঴রফ]
⇛ তকাণ তকারনয ভান 0 এয তফর঱ /উ঩রয ঴রর ো 0 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ।
Examples: ⇒
( ) ( )
=
⇒
( ) ( )
= [∵ > 0 ]
∴ θ = 0 −
⇒
( ) ( )
= 0
1.10
57

:
( ) প্রথরভই
।
( ) ( x ) ।
x ।
( ) ।
( ) ।
(ঙ) x ।
ন্ন ।
:
, A= q × n
, q = n =
(
, , W = q x n
, q = ,
n = x =
w = n x
, d = v t.
, v = t=
, Q(t) = Q0 ± q t
, Q0= ।
q = ।
t= অরেিান্ত ।
Q(t) = t ( ‖+‖ ――’
)।
P = b r
, b =
r = বগ্াং঱ = = S%
P= = b S%
58

59

Numerical prefixes
Prefix M ~eaning Ex,ample
mono l monorail
hi 2 bicycle, binary
.
3 trieye]e, trjangletrJ
tetra. 4 tetrahedron, tetrapack
quad 4 quadri]ateral quads
.
5penta) qutn pentagon
hexa 6 hexagon
hepta, septi 7 heptagon
octa 8 octagon
nona, non 9 nonagon
deca 10 decagon decahedron
undeca 1l undecagon
dodeca 12 dodecagon, dodecahedron
.
20 icosahedronlCOSa
hect 100 hectare
kilo 1000 kilogramn
n1ega l 000 000 tnegalicre) megawatt
.
l000 n1~Uion gigabyteg•ga
tanbir.cox (J):-
60

61

আ঩নায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Menu Bar এয View অ঩঱নরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অ঩঱নরি র঳ররক্ট
করুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে  Ctrl + Shift + H )। এফায ↑ up Arrow ফা ↓ down Arrow তে রিক করয আ঩নায ঩ড়ায ঳ুরফধা
অনু঳ারয স্ক্রর স্পীড রিক করয রনন।
 ( )( ) ( )
 ( ) −−−−−(x)
⇛ ( ) −
⇛ . / . / −
 ( − ) − −−−−−(y)
⇛ ( − )
⇛ . / . − /
 ( ) ( − ) ( ) [ ∵ (x) +(y)]
⇛
( ) ( )
 ( ) − ( − ) [ ∵ (x) − (y)]
⇛( ) ( − )
⇛( − ) ( ) − ⇛
( ) ( )
2
62

 ( )
⇛ ( ) − ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 ( )( )( ) ( ) ( )
( )
⇛ ( ) − ( )
( − ) − −
⇛ − ( − ) ( − )
 − ( )( − − − )
⇛ − ( ) *( − ) ( − ) ( − ) +
 ( − ) ( − ) ( − ) ( − )( − )( − )
 − ( )( − )
 ( )( − )
 − ( − )( )
63

 যার঱রিরক উৎ঩াদন রফরেলণ কযরে ঴রর , ধ্রফ যার঱ q ঳ংখ্যারিরক এভন দুইরি উৎ঩াদরক (a ও b
)প্রকা঱ কযরে ঴রফ মায ঳ভরি ফা তমাগপর x এয ঳঴গ q (q= a+b) এয ঳ভান। এফং গুণপর ধ্রফ যার঱ r
(r=a×b)এয ঳ভান।
⇛ ( ) ( )( )
1) q>0, r>0 ঴রর ( )( )
2) q<0, r>0 ঴রর ( − )( − )
3) q>0, r<0 ঴রর a ও b এয ভরধয ফড়রি + ও ত ািরি – ঴রফ।
 ( ) ( )( )
 ( ) ( )
( )( )( )
 ( ) ( )( ) ঴রর এয ভুরদ্বয় ঴রফ x = -a , x = -b ।

 এয ভূরদ্বয় α ও β ঴রর,⇒ α + β − এফং α × β =
∴ ঳ভীকযণ − (α β ) αβ
 ঳ভীকযরণয এয ভূরদ্বয়
√ 2 4
2
 যার঱রক (x-m) যার঱ দ্বাযা বাগ কয?
এখ্ারন (x-m) তক এভন একরি যার঱ দ্বাযা গুন কযরে ঴রফ মারে গুণপররয প্রথভ যার঱ এফং
বাজ্য( ) এয প্রথভ যার঱য( ) ঳ভান ঴য় । এখ্ন তম যার঱ দ্বাযা গুন কযা ঴রয়র ত঳রি বাগপরর
ফ঳রফ । এফং গুণপর বাজ্য এয রনরে ফর঳রয় রফরয়াগ কযরে ঴রফ। এবারফ ঩মযায়ক্ররভ বাগ করয তমরে ঴রফ ।
64

 a× × × × … (n ঳ংখ্যক a এয গুণপর )
 ( ) 
 √  √
 √ ( √ )  √  √  √
 ( )
 ( )
 . /

 ফা ( )
 মরদ ঴য় ⇒ ∴ √
 মরদ ঴য় ∴ x =y  মরদ ঴য় ∴
2.1
65

 তক “ a রবরিক রগ n”঩ড়া ঴য়।
 শুধু ধনাত্নক ঳ংখ্যায রগারযদভ আর । ঱ূনয ও ঋনাত্নক ঳ংখ্যায রগারযদভ তনই।
 ঳াধাযণ রগারযদরভয রবরি 10 ধযা ঴য়। তফাঝারে তক তফাঝায়।
 ঴রর x =
⇛ x = ঴রর
  

 

⇛ ×
⇛ × ×
 ×


 ( )
 . / −
 √


2.2
66

অজ্ঞাে যার঱ ঳ভূর঴য ভান দ্বাযা একারধক মুগ঩ৎ র঳ধ হ ঴রর ,঳ভীকযণ ঳ভূ঴রক একরস ঳঴ ঳ভীকযণ ফরর।
এই ধযরণয অংক ঩যীক্ষায় MCQ র঴঳ারফ আ঳রর , ঳াভাধারনয তক্ষরস MCQ এয োযরি Answer Choice এ x ও y
এয োযরজ্াড়া ভান তদওয়া থাকরফ। এখ্ন প্ররেযক তজ্াড়া ভান অথযাৎ x ও y এয ভান প্ররে তদওয়া দুরি ঳ভীকযরণয
তম তকান একরিরে(রম ঳ভীকযণরি অর঩ক্ষাকৃ ে ঳঴জ্) ফ঳ান। এফং তদখ্ুন তকান ভারনয জ্নয ঳ভীকযণরি ঱ূনয ঴য়। তম
ভারনয জ্নয ঳ভীকযণরি ঱ূনয ঴রফ ত঳ই ভানরি অ঩য ঳ভীকযরণও ফর঳রয় তদখ্ুন ঱ূনয ঴য় রকনা , মরদ তকাণ ভারনয জ্নয
উবয় ঳ভীকযণ ঱ূনয ঴য় ো঴রর ঳রিক উিয ঴রফ ত঳রি।
2.3
67

ক্ররভক ঳ভান্তয ধাযাাঃ 1(First Term) ……………………n(Last Term)
এই ধাযায় ঳াধাযণ অন্তয (Common Difference) =Second term – first Term = 1
 ঩দ঳ংখ্যা (Number of Terms) =
ত঱ল ঩দ প্রথভ ঩দ
঳াধাযণ অন্তয
+ 1
 ঳ভরি (Sum of the Series) =
× ঩দ঳ংখ্যা =
( )
 গড় (Avarage of the Series) =
=
a + (a+d) + (a+2d) ( d) …………………………… n
এখ্ারন ধাযারিয ,
প্রথভ ঩দ = a
঳াধাযণ অন্তয d = রদ্বেীয় ঩দ – প্রথভ ঩দ
঩দ ঳ংখ্যা = n
∴ ধাযায েভ n ঩দ (র঱ল ঩দ) (n− )d
⇛ n =
ত঱ল ঩দ
−
ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরি = * (n− )d+
… … … …
এখ্ারন গুরনািয ধাযারিয,
প্রথভ ঩দ = a
঳াধাযণ অনু঩াে r =
রদ্বেীয় ঩দ
প্রথভ ঩দ
঩দ ঳ংখ্যা = n
ধাযায n েভ ঩দ = ×
2.4
68



 r >0 ফা 1 অথযাৎ অনু঩াে r ধনাত্নক ঩ূনয ঳ংখ্যা ঴রর,
ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরি ×
 r < 0 ফা 1 অথযাৎ অনু঩াে r ঋনাত্নক ফা বগ্াং঱ (.1 -.9 )঳ংখ্যা ঴রর,
ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরি ×
 মখ্ন -1<r<1 ঴রর , এফং n→ ঴রর
ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরি
ধাযায তমাগপর ফা ঳ভরি =
ধাযারে ঩রদয ঳ংখ্যা = n
ধাযায n েভ ঩দ = ত঱ল ঩দ
 1 ……………… n
⇛ =
( )
 1 5 7 ………………
( − )
েভ ঩দ
ত঱ল ঩দ
⇛ = (঩দ঳ংখ্যা) =
 … … … … …
⇛ = × n(n-1)(2n+1)
 ( ) … … … … … … …
⇛ = −
 … … … … … … … … …
⇛ =
( )
= *
( )
+
69

 1, 4, 9, 16……………. ⇒ 5,∵ 5 ]
1 , 9 , 25, 49, 81 ………… ⇒ ,∵ 5 7 9 রফরজ্াড় ঳ংখ্যা ]
 9 36 81 144 …….. ⇒ 5,∵ ( ) ( ) ]
 81, 27, …. 3, 1 ⇒ 9 ,∵ ]
 1, 2, 3, 5, 8 , 13 , 21 , 34……. ⇒ 55[∵ তম তকাণ ঩দ = োয ঩ুরফযয দুরি ঩রদয ঳ভরি ]
 8, 11, 17, 29, 53,….. ⇒ 101 [∵8, 8+(11-8),11+(17-11), …]
 1, 3, 6, 10, 15, 21,…. ⇒ 28 [∵ 1,(1+2),(3+3),(6+4), (10+5)]
 2, 8, 18, 32,…… ⇒ 50 [∵ 2,(2+6),(8+6+4),(18+6+4+4), (32+6+4+4+4)]
 2, 4, 8, 14, 22, 32…. ⇒44 [∵ 2,(2+2),(4+2+2),(8+2+2+2), (14+2+2+2+2)]
 0, 5, 12, 21, 32….. ⇒ 45 [∵ 0,(0+5),(5+5+2),(12+5+2+2), (21+5+2+2+2)]
 13, 17, 25, 41,….. ⇒ 73 [∵ 13,(13+22
),(17+23
),(25+24
), (41+25
)]
 5, 7, 11, 19,….. ⇒ 5 [∵ 5,(5+21)(7+22
),(11+23
),(19+24
)]
 8 … ⇒ [∵ 4,(4+21)(6+22
),(10+23
),(18+24
)]
 3, 6, 4, 9, 5, 12, 6,…. ⇒ 5 ,∵ t1:t3:t5:t7 ⇒ 5 | t2:t4:t6:t8 ⇒ 9 5-
 8 9 … ⇒ 7 ,∵ (t1 +4),(t2+8)(t3+4)(t4+8)]
 7 5 5 8 …… ⇒ 9
,∵ t3:t5:t7 ⇒ ( 7-2),(27-4),(27-6),(27-8)| t4:t6:t8 ⇒ (5 ) (5 ) (5 9)-
70

0, 9, 17, 24…35, 39, 42 ….⇒
 5 8 … ⇒
1, 3, 6 9 5 … ⇒ 8
 7 … ⇒
 7 5 … ⇒
 7 9 … 5 ⇒
 … 9 ⇒
 7 8 5 5 9…… ⇒ 7
 … ⇒
 7 5 9 7 … ⇒ 5
15, 13, 12, 11, 9, 9.. ⇒
 7 8 8 ⇒ 7
 8 5 8 … ⇒ 9
 9 7 5 8 … ⇒
 9 5 7 … ⇒ 99
 5 ⇒ 7
 5 7 … ⇒ 7
 5 8 7 … ⇒ 8
 9 7 … 5 5 ⇒ 8
21, 18, 9 7 … ⇒
 8 5 5 9 … ⇒
 5 … ⇒ 9
 7 7 5 ⇒ 5
 5 9 5 …⇒ 5
 5 … ⇒ 7
 7 8 8 8 … ⇒ 8
3, 7, 28, 32, 8, 12, 48, … ⇒5
71

72

আ঩নায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Menu Bar এয View অ঩঱নরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অ঩঱নরি র঳ররক্ট
করুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে  Ctrl + Shift + H )। এফায ↑ up Arrow ফা ↓ down Arrow তে রিক করয আ঩নায ঩ড়ায ঳ুরফধা
অনু঳ারয স্ক্রর স্পীড রিক করয রনন।
Straight line  ঳যররযখা (রকান প্রান্তরফন্দু তনই)
Ray  যরি (একরি ভাত্র প্রান্তরফন্দু)
Line Segment  তযখাাং঱ (দুরি প্রান্তরফন্দু থারক)
Similar to ঳দৃ঱
Almost Equal toপ্রায় ঳ভান
Is Equivalent to / Congruent  ঳ফব঳ভ
Angle  তকান
Right Angle  ঳ভরকান
Measured Angle ঩রযভা঩কৃ ে তকান
Perpendicular To  রম্ব
Is Parallel to  ঳ভান্তযার
Therefore / Hence  ঳ুেযাাং
Since / Because  তমর঴েু / কাযন
Triangle  রত্রবু জ
Rectangle/Square  আয়েরেত্র ফা ফগবরেত্র
Circle ফৃত্ত
3
73

 Euclid’s (ইউরিড): রফখযাে গ্রস্থ ‘ Elements’ মা 13 খরে ঳ভাপ্ত, রিষ্ট঩ূফব 300 অরে যরিে ।
মায তকান প্রান্তরফন্দু তনই
মায একরি ভাত্র প্রান্তরফন্দু
মায দুরি প্রান্তরফন্দু থারক
এরদয তকান ঳াধাযন রফন্দু তনই ফা এযা এরক অ঩যরক তেদ কযরে ঩ারয না।অথবাৎ ঳ভান্তযার তযখা কখন঑ রভররে ঴রফ
না।দুই ফা েরোরধক ঳যররযখা একরি ঳যররযখায উ঩য রম্ব ঴রর , োযা ঩যস্পয ঳ভান্তযার।
74

Want more Updates  http://facebook.com/tanbir.ebooks
angle of depression
(of an object)
angle of elevation
An angle formed between the horizontal line
and the line of sight to an object below.
An angle formed between the horizontal line
and the line ofsight to an object above.
+---------.---,.-------,r.,r-- ------. horizontaI
line
D object
The angle of depression is a0
• The angle of elevation is b0
•
Angles are measured in degrees (0
), minutes
(') and seconds (").
b
acute right obtuse
angle angle angle
0° <a< goo b =goo goo< c < 180°
d~
(~t I
......
----straight reflex revolution
angle angle
d =180° 180° < e < 360° f =360°
75

মরদ তকান েরর দুইরি তকারনয একই ঱ীলব রফন্দু ঴য় এফাং তকানদ্বয় ঳াধাযন ফাহুয রফ঩যীে ঩ার঱ অফস্থান করয।
∠AOD = রফপ্রেী঩ ∠ COD
এফাং ∠ AOC = রফপ্রেী঩ ∠ BOD
∠θ = 180∘
∠ADB = ∠ADC = ∠θ = 90∘
মরদ একই তযখায উ঩য অফরস্থে দুইরি ঳রির঴ে তকান ঩যস্পয ঳ভান ঴য় , েরফ তকান দুইরিয প্ররেযকরি ঳ভরকাণ।
অথবাৎ ঳ভরকাণ ঴রে ঳যর তকারনয অরধবক ।
঳ভরকারণয ফাহু দুইরি ঩যস্পরযয উ঩য রম্ব। ∴ ∠θ = 90∘
76

এক ঳ভরকাণ তথরক তোি তকানরক ।0∘ < ∠AOC < 90∘
এক ঳ভরকান তথরক ফড় রকন্তু দুই ঳ভরকান তথরক তোি। 90∘ < ∠AOD < 180∘
দুই ঳ভরকান তথরক ফড় রকন্তু িায ঳ভরকাণ তথরক তোি।180∘ < ∠AOB < 360∘
∠ AOB = 360 − ∠X
77

দুইরি তকারনয ঳ভরষ্ট এক ঳ভরকাণ ফা 90 ঴রর , একরি অ঩যরিয ঩ূযক তকান।
দুইরি তকারনয ঳ভরষ্ট এক ঳যর তকান ফা 180 ঴রর , একরি অ঩যরিয ঳ম্পূযক তকান।এখারন ∠DEF ঳ম্পূযক তকান
঴র ∠ACB।
AB || CD ঴রর EF তেদক (Transversal) ঴রর , ∠ AGF = একান্তয ∠ DHE
এফাং ∠DGF = একান্তয ∠CHE
78

AB || CD ঴রর EF তেদক (Transversal) ঴রর ,
∠ AGF =অনুরূ঩ ∠ CHF এফাং ∠DGF = একান্তয ∠DHF
রেনরি তযখাাং঱ দ্বাযা আফদ্ধ তেরত্রয ঳ীভারযখারক রত্রবুজ ফরা ঴য়।
এখারন ∆ ABC একরি রত্রবু জ, এয ∠BAC =∠B , ∠ABC = ∠B , ∠ACB = ∠C তকান।
এফাং AB= c , BC = a ঑ AC = b ফাহু।
3.1
79

রত্রবু রজয একরি ফাহুরক ফরধবে কযরর তম তকান উৎ঩ি ঴য় োরক ফর঴িঃস্থ তকান ফরর ।
এখারন ∠ACD = ফর঴িঃস্থ তকান এফাং ∠ACB = অন্তিঃস্থ তকান
 দুইরি রত্রবু রজয ঳ফব঳ভোিঃ
∴ দুইরি রত্রবু জ ঳ফব঳ভ ঴রফ মরদ
⇒ একরিয দুই ফাহু মথাক্ররভ অ঩যরিয দুই ফাহুয ঳ভান ঴য় এফাং ফাহু দুইরিয অন্তবু বক্ত তকাণদ্বয় ঩যস্পয ঳ভান ঴য়।
⇒ একরিয রেন ফাহু অপ্ররিয রেন ফাহু ঳ভান ঴য়।
⇒ একরিয দুই তকান ঑ একরি ফাহু মথাক্ররভ অ঩যরিয দুই তকান ঑ অনুরূ঩ ফাহুয ঳ভান ঴য়।
⇒ োযা উবয়ই ঳ভরকাণী রত্রবু জ ঴য় , োরদয অরেবু জদ্বয় ঳ভান ঴য় ঑ একরি ফাহু অ঩যরিয অনুরূ঩ ফাহুয ঳ভান
঳ভান ঴য়।
 রত্রবু রজয বূ রভয রফ঩যীে রদরকয রফন্দুয নাভ ঱ীলবরফন্দু।
 রত্রবু রজয রেন তকারনয ঳ভরষ্ট দুই ঳ভরকাণ ফা 180।
 রত্রবু রজয রেনরি Vertex এ রেনরি ফর঴িঃস্থ তকারনয(Exterior angel) ঳ভরষ্ট 360
0
। যা ত্রিভু জের অন্তস্থ ক ান
঳ভূর঴য ঳ভরষ্টয রদ্বগুন।
 রত্রবু রজয ফৃ঴ত্তভ ফাহুয রফ঩যীে তকান ফৃ঴ত্তভ। ফা ফৃ঴ত্তভ তকারনয রফ঩যীে ফাহু঑ ফৃ঴ত্তভ।
 রত্রবু রজয একরি তকান অ঩য একরি তকান অর঩ো ফৃ঴ত্তয ঴রর , ফৃ঴ত্তয তকারনয রফ঩যীে ফাহু েু দ্রেয তকারনয
রফ঩যীে ফাহু অর঩ো ফৃ঴ত্তয ঴রফ।
রত্রবু রজয দুইরি ফাহু ঳ভান ঴রর োরদয রফ঩যীে তকাণদ্বয় ঳ভান এফাং দুইরি তকান ঳ভান ঴রর োরদয রফ঩যীে ফাহুদ্বয়
঳ভান।
 রত্রবু রজয তম তকান দুই ফাহুয ঳ভরষ্ট রত্রবু রজয েৃেীয় ফাহু অর঩ো ফৃ঴ত্তয।
 রত্রবু রজয তম তকান দুই ফাহুয অন্তয রত্রবু রজয েৃেীয় ফাহু অর঩ো েু দ্রেয।
 তকান ঳ভরকাণী রত্রবু রজয অরেবু জ (঳ভরকারণয রফ঩যীে ফাহু ) অনয তম তকান ফাহু অর঩ো ফৃ঴ত্তয ।
80

 রত্রবু রজয তমরকান ফাহুরক ফরধবে কযরর উৎ঩ি ফর঴িঃস্থ তকান , রত্রবু রজয অন্তিঃস্থ তকারনয রফ঩যীে তকাণদ্বরয়য ঳ভরষ্টয
঳ভান।
 রত্রবু রজয প্ররেযক ফাহুরক উবয় রদরক ফরধবে কযরর তম েয়রি ফর঴িঃস্থ তকান উৎ঩ি ঴য় , োরদয ঳ভরষ্টয আি
঳ভরকান।
রত্রবু রজয দুই ফাহুয ভধযরফন্দুয ঳াংরমাগ তযখাাং঱ রত্রবুরজয েৃেীয় ফাহুয ঳ভান্তযার ঑ দদঘবয োয অরধবক।
 তকান রত্রবু রজয ঱ীলব রফন্দু তথরক বূ রভয ভধযরফন্দুয ঳াংরমাজক ঳যর তযখারক ভধযভা ফরর।রেবু রজয রেনরি ভধযভা ঴য় ।
এগুররা ঳ভরফন্দু । এই ভধযভাত্রয় ঩যস্পযরক 2:1 এ রফবক্ত করয।
 রত্রবু রজয ভধযভা রেনরিয ঳ভরষ্ট োয ঩রয঳ীভা(রেন ফাহুয ঳ভরষ্ট) অর঩ো েু দ্রেয।
 রত্রবু রজয তম তকান ভধযভা রত্রবূ জরক ঳ভান দুরি তেরত্র রফবক্ত করয ।
 দুইরি রত্রবু জ ঳দৃ঱ ঴রর োরদয অনুরূ঩ ফাহুগুররায অনু঩াে ঳ভান এফাং রফরপ্রেক্ররভ দুইরি রত্রবু রজয ফাহুগুররা
঳ভানু঩ারেক ঴রর রত্রবু জদ্বয় ঳দৃ঱রকানী এফাং অনুরূ঩ ফাহুয রফ঩যীে তকানগুররা ঩যস্পয ঳ভান।
 দুইরি রত্রবু রজয একরি তকান অ঩যরিয এক তকারনয ঳ভান ঑ ঳ভান ঳ভান তকান ঳াংরগ্ন ফাহুগুররা ঳ভানু঩ারেক ঴রর
রত্রবু জদ্বয় ঳দৃ঱ ঴রফ।
 দুইরি ঳দৃ঱ রত্রবু জ তেরত্রয তেত্রপরদ্বরয়য োরদয তমরকান দুই অনুরূ঩ ফাহুয ফরগবয অনু঩ারেয ঳ভান।
 একই বূ রভয উ঩য এফাং একই ঳ভান্তযার তযখাদ্বরয়য ভরধয অফরস্থে ঳কর রত্রবু জ তেরত্রয তেত্রপর ঳ভান।
 একরি রত্রবু জ ঑ একরি ঳াভান্তরযক ফা আয়ে একই বু রভয উ঩য এফাং একই ঳ভান্তযার তযখাদ্বরয়য ভরধয অফরস্থে
঴রর রত্রবু জ তেরত্রয তেত্রপর ঳াভান্তরযক তেত্র ফা অয়েরেরত্রয তেত্রপররয অরধবক।
 তকান ঳ভরকাণী রত্রবু রজয অরেবু রজয উ঩য অরিে ফগবরেরত্রয তেত্রপর অপ্র ফাহুদ্বরয়য উ঩য অরিে ফগবরেত্রদ্বরয়য
তেত্রপররয ঳ভরষ্টয ঳ভান।
অন্তিঃরকন্দ্র (In-Centre): রত্রবু রজয তকানত্ররয়য ঳ভরদ্বখেক গুররায ঳ভরফন্দু।(মা রত্রবু রজয অন্তররবরখে ফৃরত্তয তকন্দ্র)
঩রযরকন্দ্র(Circumcentre): রত্রবু রজয ফাহুত্ররয়য রম্ব঳ভরদ্বখন্ডকত্রয় ঳ভরফন্দু। (মা রত্রবু রজয ঩রযরররখে ফৃরত্তয তকন্দ্র)
বযরকন্দ্র(Centroid): রত্রবু রজয তকান একরি ঱ীলবরফন্দু এফাং োয রফ঩যীে ফাহুয ভধযরফন্দুয ঳াংরমাজক ঳যররযখারক
ভধযভা ফরর। রত্রবু রজয ভধযভাত্রয় ঳ভরফন্দু। অথবাৎ বযরকন্দ্র ঴র তকান রত্রবু রজয রেনফাহুয ঳ভরদ্বখেক গুররায তেদরফন্দু।
রম্বরফন্দু(Orthocentre) : রত্রবু রজয ঱ীলবত্রয় ঴রে রফ঩যীে ফাহুয উ঩য অরিে রম্বত্রয় ঳ভরফন্দু।
81

∆ABC এ ∠A , ∠B ঑ ∠c < 90∘
∆ABC এ ∠A ঑ ∠C < 90∘ এফাং ∠B = স্থূররকাণ(90
0
< θ < 1800)
82

∆ABC এ ∠B = এক ঳ভরকান = 900
এফাং ∠A + ∠C = 900
∴ ∠A =θ ঴রর ∠C = 900
– θ
 তকান রত্রবু রজয একরি তকান মরদ অ঩য দুইরি তকারনয ঳ভান ঴য় , েরফ রত্রবু জরি ঳ভরকানী।
 ঳ভরকাণী রত্রবু রজয ঳ভরকাণ রবি অনয দুইরি তকান ঴রফ ঳ূেরকান।
 ঳ভরকাণী রত্রবু রজয ঳ূেরকাণ দুরি ঩যস্পরযয ঩ূযক তকান।
 তকান রত্রবু রজয তম তকান একরি তকান ঳ভরকাণ ফা 900
঴রর ।
∴ অরেবু জ = বূ রভ + রম্ব
⇛ = +
 তম তকান ঳ভরকাণী রত্রবু রজয ফাহুগুররায অনু঩াে 3:4:5 , 5:12:13 , 8:15:17 , 7:24:25 ,ফা এরদয তম তকান
Multiple ফা গুনক ঴রে ঩ারয।
[∵ = + , ⇛ 5 = 4 + 3 , ⇛ 25 = 25 এই ঳ূরত্র উবয় ঩ার঱য ফ঳ারনা ভান ঳ভান ঴রর ,
ত঳ই অনু঩াে গুররা ঳ভরকাণী রত্রবু রজয ফাহুয অনু঩াে ঴রফ । ]
83

∆ABC এ AB ≠ BC ≠ CA
∆ABC এ AB = AC≠ BC ফা b = c এফাং ∠B = ∠C
 তকান রত্রবু রজয বূ রভয প্রান্তরফন্দুদ্বয় তথরক রফ঩যীে ফাহুয উ঩য অরিে ভধযভাদ্বয় ফা রম্বদ্বয় মরদ ঳ভান ঴য় , েরফ
রত্রবু জরি ঳ভরদ্বফাহু।
 তকান রত্রবু রজয র঱যিঃরকারনয ঳ভরদ্বখেক মরদ বূ রভয উ঩য রম্ব ঴য় , েরফ রত্রবু জরি ঳ভরদ্বফাহু।
∆ABC এ AB = BC = AC ফা a= b = c এফাং ∠A = ∠B = ∠C =600


84

রত্রবু রজয ভধযভাত্রয় ফা রম্বত্রয় মরদ ঳ভান ঴য় , েরফ রত্রবু জরি ঳ভফাহু।
 ঳ভফাহু রত্রবু রজয ভধযভাগুররা ফাহুয ভধযরফন্দুরে উক্ত ফাহুয উ঩য রম্ব।
 ঳ভফাহু রত্রবু রজয ফাহুগুররায ভধযরফন্দু তমাগ কযরর তম রত্রবু জরি ঩া঑য়া মায় ,ো঑ ঳ভফাহু।
 ঳ভফাহু রত্রবু রজয ফাহুগুররায ভধযরফন্দু তমাগপররয (ভধযভা ত্রয়) তেদ রফন্দু ঑ তকারনয ঳ভরদ্বখেক ত্ররয়য তমাগপররয
তেদ রফন্দু ঳ফ঳ভয় একই ঴রফ ।
িাযরি ঳যররযখা ফা ফাহু দ্বাযা ঳ীভাফদ্ধ তেত্ররক িেুবু বজ ফরর।
 িেুবু বজ িায অন্তিঃস্থ তকারনয ঳ভরষ্ট 4 ঳ভরকাণ ফা 360
0
। ∠A +∠B +∠C + ∠D = 360
0
 িেুবু বরজয কনবদ্বরয়য ঳ভরষ্ট োয ঩রয঳ীভা অর঩ো েু দ্রেয।
঳াভান্তরযরকয রফ঩যীে ফাহুদ্বয় ঩যস্পয ঳ভান ঑ ঳ভান্তযার ।
 ঳াভান্তরযরকয রফ঩যীে তকানগুররা ঩যস্পয ঳ভান।
 ঳াভান্তরযরকয তম তকান দুইরি ক্ররভক ফা ঳রির঴ে তকান ঩যস্পরযয ঳ম্পূযক ।
 ঳াভান্তরযরকয কনবদ্বয় অ঳ভান । এযা ঩যস্পযরক ঳ভরদ্বখরন্ডে করয।
3.2
85

 অয়েরেরত্রয রফ঩যীে ফাহুদ্বয় ঩যস্পয ঳ভান ঑ ঳ভান্তযার ।
 অয়েরেরত্রয তকানগুররা ঩যস্পয ঳ভান।এফাং প্ররেযকরি তকান ঳ভরকাণ ।
 অয়েরেরত্রয কনবদ্বয় ঳ভান । এযা ঩যস্পযরক ঳ভরদ্বখরন্ডে করয।
 ফগবরেরত্রয প্ররেযক ফা ঳কর ফাহু ঩যস্পয ঳ভান ঑ ঳ভান্তযার ।
 ফগবরেরত্রয তকানগুররা ঩যস্পয ঳ভান।এফাং প্ররেযকরি তকান ঳ভরকাণ ।
 ফগবরেরত্রয কনবদ্বয় ঳ভান । এযা ঩যস্পযরক ঳ভরদ্বখরন্ডে করয।



 যম্বর঳য প্ররেযক ফা ঳কর ফাহু ঩যস্পয ঳ভান ঑
঳ভান্তযার ।
 যম্বর঳য রফ঩যীে তকানগুররা ঩যস্পয ঳ভান।রকন্তু
একরি তকান঑ ঳ভরকাণ নয়।
 যম্বর঳য কনবদ্বয় অ঳ভান । এযা ঩যস্পযরক
঳ভরদ্বখরন্ডে করয।
86

 ট্রার঩রজয়ারভয তকফরভাত্র দুইরি ফাহু ঳ভান্তযার , রকন্তু ঳ভান্তযার ফাহুদ্বয় ঳ভান নয় ।
঳ুলভ ফহুবু রজয ফাহুয ঳াংখযা n ঴রর
঳ুলভ ফহুবু রজয অন্তিঃ তকানগুররায (Interior Angles) ঳ভরষ্ট n θ = ( 2n − 4) ×900 = n −2 ×1800
 ঳ুলভ ফহুবু রজয প্ররেযকরি অন্তিঃ তকারনয ঩রযভাণ θ = × 180 )0
 ঳ুলভ ফহুবু রজয ফর঴িঃস্থ তকান গুররায ঳ভরষ্ট, nθ = 3600
 ঳ুলভ ফহুবু রজয প্ররেযকরি ফর঴িঃস্থ তকারনয ঩রযভাণ = ( )0
Area of Hexagon
A = 2.6 s
2
[where s is the length of one side]
Area of Octagon
A = 4.83s
2
[where s is the length of one side]
87

তকান ঳ভেরর একরি রফন্দুরক তকন্দ্র করয ঳ভান দুযত্ব ফজায় তযরখ অ঩য একরি রফন্দু োয িাযরদরক একফায ঘুরয এরর
তম অফদ্ধ তগারীয় তযখা ঳ৃরষ্ট ঴য় োরক ফৃত্ত ফরর ।
অথবাৎ তকান রনরদবষ্ট রফন্দু তথরক ঳ভদুযরত্ব আফরেবে তগারাকায অফদ্ধ ঳ভেরীয় তেত্ররক ফৃত্ত ফরর।
 একই ঳যর তযখায় অফরস্থে নয় এভন রেনরি রফন্দুয ভরধয রদরয় তকফর একরি ফৃত্ত আঁকা মারফ।
 একই ঳যররযখায় অফরস্থে এভন রেনরি রফন্দুয ভধয রদরয় তকান ফৃত্ত আঁকা মারফ না।
 দুইরি রনরদবষ্ট রফন্দু রদরয় রেনরি ফৃত্ত আঁকা মায়।
 ফৃরত্তয ঩রযরধস্থ তম তকান দুই রফন্দুয ঳াংরমাজক ঳যররযখারক জযা ফরর।
 ফৃরত্তয তকন্দ্র তেদকাযী ফা ফৃরত্ত তকন্দ্র রদরয় অরেক্রভ করয ফা গভন করয এরূ঩ জযা ফা তযখারক ফযা঳ ফরর।ফৃরত্তয
ফযা঳ই ফৃ঴ত্তভ জযা।
 ফৃরত্তয দুরি জযা ঩যস্পযরক ঳ভরদ্বখরন্ডে কযরর তেদরফন্দুরি ঴রফ ফৃরত্তয তকন্দ্র।
 তকান ফৃরত্তয রেনরি ঳ভান ঳ভান জযা একই রফন্দুরে তেদ কযরর ঐ রফন্দুরি ফৃরত্তয তকরন্দ্র অফরস্থে ঴রফ।
 তকান ফৃরত্তয দুইরি ঳ভান ঳ভান জযা একরি রফন্দুরে তেদ কযরর ঐ রফন্দুরি প্ররেযক জযা তক দুরি অাংর঱ রফবক্ত করয ,
এই জযা দুরিয ফৃ঴ত্তভ খরন্ডোাং঱ ঩যস্পয ঳ভান ঴রফ । একইবারফ েু দ্রেভ খরন্ডোং঱ ঑ ঳ভান ঴রফ।
 ফৃরত্তয তম তকান জযা এয রম্বরদ্বখন্ডক তকন্দ্রগাভী।
 ফৃরত্তয ফযা঳ রবি তকান জযা এয ভধযরফন্দু ঑ তকরন্দ্রয ঳াংরমাজক তযখাাং঱ ঐ জযা এয উ঩য রম্ব।
 ফৃরত্তয তকন্দ্র ঴রে তকান জযা এয উ঩য অরিে রম্ব ঐ জযারক ঳ভরদ্বখরন্ডে করয।
 ফৃরত্তয তকন্দ্র তথরক ঳ভদূযফেবী ঳কর জযা ঩যস্পয ঳ভান।
 ফৃরত্তয ঳ভান ঳ভান জযা তকন্দ্র তথরক ঳ভদূযফেবী ।
 ফৃরত্তয দুরি জযা এয ভরধয তকরন্দ্রয রনকিেয জযা-রি অ঩য জযা অর঩ো ফৃ঴ত্তয।
3.3
88

িা঩ ফা ফৃত্তিা঩(Arc): ঩রযরধয তম তকান অাং঱রফর঱লরক িা঩ ফা ফৃত্তিা঩ ফরর।এখারন ̂ ঑ ̂ দুরি িা঩।
ফৃত্তিার঩য ফৃ঴ত্তভ অাং঱রক ফরা ঴য় অরধিা঩। এফাং ফৃত্তিার঩য েু দ্রেভ অাং঱রক ফরা ঴য় উ঩িা঩।
তকন্দ্রস্থ তকান (Central Angles): ফৃরত্তয দুইরি ফযা঳াধব কেৃক ফৃরত্তয তকরন্দ্র ঳ৃষ্ট তকানরক তকন্দ্রস্থ তকান ফরর।অথফা
ফৃরত্তয ঩রযরধয উ঩য দুইরি রবি রবি রফন্দু তথরক তকরন্দ্রয ঳ারথ ঳াংরমাজক তযখা দ্বাযা তম তকান উৎ঩ি ঴য়।
ফৃরত্তয দুরি জযা এয দুই প্রান্ত ঩রযরধয উ঩য দুইরি রবি
রফন্দুরে এফাং অপ্র প্রান্ত একরি রনরদবষ্ট রফন্দুরে রভররে ঴রর ঩রযরধয উ঩রয তম তকান উৎ঩ি ঴য়, োরক ঩রযরধস্থ ফা ফৃত্তস্থ
তকান ফরর।
ফৃরত্তয তকান িা঩ দ্বায উৎ঩ি তকন্দ্রস্থ তকান ঐ ফৃত্তিার঩য ঳ভানু঩ারেক।
তম তকান দুইরি ফৃরত্তয স্ব- স্ব ঩রযরধ ঑ ফযার঳য অনু঩াে ঳ভান।
তমরকারনা দুইরি ঩রযরধয দদঘবয ঑ ফযর঳য দদরঘবযয অনু঩াে একই।
 অধবফৃত্তস্থ তকান এক ঳ভরকান।অথবাৎ অরধবক ফৃত্তিার঩য উ঩য অফরস্থে প্ররেরি ফৃত্তস্থ তকান এক ঳ভরকান।
 তকান ফৃরত্তয অরধিার঩(ফৃত্তিার঩য ফৃ঴ত্তভ অাং঱) অন্তরররখে তকান ফা ফৃত্তস্থ তকান  ঳ূেরকান ঴রফ ।
 তকান ফৃরত্তয উ঩িার঩(ফৃত্তিার঩য েু দ্রেভ অাং঱) অন্তরররখে তকান ফা ফৃত্তস্থ তকান  স্থূররকান ঴রফ ।
 ফৃরত্তয একই িার঩য উ঩য দোয়ভান ফৃত্তস্থ তকানগুররা ঩যস্পয ঳ভান।
 ফৃরত্তয একই িার঩য উ঩য দোয়ভান ফৃত্তস্থ তকান তকন্দ্রস্থ তকারনয অরধবক।
∴ 1 ঩রযরধস্থ ফা ফৃত্তস্থ তকান = × তকন্দ্রস্থ তকান
89

⇛ তকন্দ্রস্থ তকান = 2 × ঩রযরধস্থ ফা ফৃত্তস্থ তকান
তকান ঳যররযখায ফৃরত্তয ঩রযরধয উ঩য স্প঱ব করয মা঑য়ায ঳ভয় ঩রযরধয তম রফন্দুরে তেদ করয , ত঳ই রফন্দু রদরয়
গভনকাযী তযখারিরক ঐ ফৃত্তরিয একরি স্প঱বক ফরা ঴য়।
ফৃরত্তয তকান রফন্দুরে একরি স্প঱বক আঁকা মায়।
 একরি ফৃত্ত ঑ একরি ঳যররযখায ঳ফবারধক দুরি তেদরফন্দু থাকরে ঩ারয।
 ফৃরত্তয স্প঱ব রফন্দুরে স্প঱বরকয উ঩য অাংরকে রম্ব তকন্দ্রগাভী।
 ফৃরত্তয তম তকান রফন্দুরে অরিে স্প঱বক স্প঱বরফন্দুগাভী ফযা঳ারধবয উ঩য রম্ব। অথবাৎ ফৃরত্তয তকন্দ্র ঑ স্প঱বক রফন্দুয
঳াংরমাগ তযখা স্প঱বক তযখায উ঩য রম্ব ঴য়।
 দুইরি ফৃত্ত ঩যস্পয স্প঱ব কযরর , োরদয তকন্দ্রদ্বয় ঑ স্প঱ব রফন্দু ঳ভরযখা ঴রফ।
 দুইরি ফৃত্ত ঩যস্পযরক ফর঴িঃস্থবারফ স্প঱ব কযরর ,োরদয তকন্দ্রদ্বরয়য দূযত্ব ফৃত্তদ্বরয়য ফযা঳ারধবয ঳ভরষ্টয ঳ভান ।
 ফৃরত্তয ফর঴িঃস্থ তকান রফন্দু তথরক ফৃরত্তয শুধুভাত্র দুরি স্প঱বক িানা মায়, এফাং ঐ রফন্দু তথরক স্প঱ব রফন্দুদ্বরয়য দূযত্ব
঳ভান ঴য়।
 দুইরি ফৃত্ত ঩যস্পযরক অন্তিঃস্থবারফ স্প঱ব কযরর ,োরদয তকন্দ্রদ্বরয়য দূযত্ব ফৃত্তদ্বরয়য ফযা঳ারধবয অন্তরযয ফা
রফরয়াগপররয ঳ভান ।
দুইরি ঩যস্পয তেদী ফৃরত্ত দুইরি ঳াধাযণ স্প঱বক আঁকা মায়।
 ফৃরত্ত অন্তররবরখে ঳াভান্তরযক একরি আয়েরেত্র ।
 ফৃরত্ত অন্তররবরখে িেুবু বরজয তম তকান দুইরি রফ঩যীে তকারনয ঳ভরষ্ট দুই ঳ভরকাণ।
ফৃত্তস্থ ট্রার঩রজয়ারভয রেমবক ফাহুদ্বয় ঩যস্পয ঳ভান ।
90

তকান আয়েরেরত্রয দদঘব = a একক ঑ প্রস্থ = b একক ঴রর,
 আয়েরেরত্রয তেরত্রপর A = দদঘব × প্রস্থ = a × b ফগব একক
 আয়েরেরত্রয ঩রয঳ীভা S = 2 × (দদঘব + প্রস্থ) = 2(a + b) একক
 আয়েরেরত্রয কণব d = √ + একক
তকান ফগবরেরত্রয দদঘব = প্রস্থ = a একক
 ফগবরেরত্রয তেরত্রপর A = দদঘব × দদঘব = a × a ফগব একক = ফগব একক
 ফগবরেরত্রয তেরত্রপর A= × করনবয = × ফগব একক [∵ = 2 = 2 × তেত্রপর ]
 ফগবরেরত্রয ঩রয঳ীভা S = 2(a + a) একক = 4 a একক
 ফগবরেরত্রয কণব d = √ + একক = √2 × a একক
3.4
91

 ঳ভান্তরযকরেরত্রয বূ রভ =a ঑ উচ্চো h তদ঑য়া থাকররিঃ
⇛঳াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = বূ রভ × উচ্চো = a × h ফগব একক
 ঳ভান্তরযকরেরত্রয দুইরি ঳রির঴ে ফাহু a , b একক ঑ োরদয অন্তবু বক্ত তকান θ তদ঑য়া থাকররিঃ
⇛঳াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = a × b × n ফগব একক
 ঳াভান্তরযকরেরত্রয একরি করনবয দদঘবয d এফাং রফ঩যীে র঱লবরফন্দু তথরক করণবয উ঩য রম্ব দূযত্ব X তদ঑য়া থাকররিঃ
⇛঳াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর= করনবয দদঘবয(AC) × র঱লবরফন্দু ঑ করণবয রম্ব দূযত্ব(CG) = d× X ফগব একক
 ঳াভান্তরযকরেরত্রয কনবদ্বয় d1 ঑ d2 ঴রর, এফাং উ঴ারদয ভধযফেবী তকান θ ঴ররিঃ
⇛঳াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = × × ×
 ঳ভান্তরযকরেরত্রয দুইরি ঳রির঴ে ফাহু a , b একক ঑ োরদয তম তকান একরি কণব d তদ঑য়া থাকররিঃ এই কণব
঳াভান্তরযকরেত্ররক দুইরি ঳ভান রত্রবু জ তেরত্র রফবক্ত করয।
⇛঳াভান্তরযকরেরত্রয তেত্রপর = 2 × রত্রবু জ তেত্রপর(মা বূ রভ , প্রস্থ ঑ কণব দ্বাযা গরিে) ফগব একক
[∵ এখারন এই রত্রবু রজয রেন ফাহুয ভান তদ঑য়া আরে , োই এই ঳াভান্তরযকরেরত্রয কনব দ্বাযা গরিে রত্রবু জ তেরত্রয
তেরত্রপর = √ − − − ⇒ S = অধব঩রয঳ীভা= ½ × রত্রবু রজয ঩রয঳ীভা ]
 ঳াভান্তরযকরেরত্রয ঩রয঳ীভা = 2 × (দদঘব + প্রস্থ) একক
 ঳াভান্তরযকরেরত্রয একরি কণব BD = d1 তদ঑য়া থাকররিঃ
⇛঳াভান্তরযকরেরত্রয অ঩য কণব AC(d2) = √ + = √ + + [∵ উচ্চো CF =DE]
[DE এয ভানিঃ ⇛ ½ × AB × DE = রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর √ − − − ]
[BF এয ভানিঃ ⇛ BF = √ − ফা ]
92

তকান যম্বর঳য দদঘব = প্রস্থ = a একক এফাং একরি কণব AC= d1 ঑ অ঩য কণব BD= d2 ঴ররিঃ
 যম্বর঳য তেরত্রপর A = ( × কণবদ্বরয়য গুণপর ) ফগব একক =
×
ফগব একক
 ফগবরেরত্রয ঩রয঳ীভা S = 4 × ফাহুয দদঘবয
ট্রার঩রজয়াভরেরত্রয ঳ভান্তযার দুরি ফাহু AB =a ঑ DC = b এফাং োরদয ভধযফেবী রম্ব দূযত্ব ফা উচ্চো CE = h তদ঑য়া
থাকররিঃ
⇛ ট্রার঩রজয়াভরেরত্রয তেত্রপর = × ঳ভান্তযার ফাহুদ্বরয়য তমাগপর × ফাহুদ্বরয়য ভধযফেবী রম্ব দূযত্ব ফা উচ্চো
∴ ট্রার঩রজয়াভরেরত্রয তেত্রপর = × (AB + CD ) × CE = ×(a +b) ×h ফগব একক
 ট্রার঩রজয়াভরেরত্রয ঩রয঳ীভা = ট্রার঩রজয়ারভয িায ফাহুয তমাগপর
93

রত্রবু রজয বূ রভ BC= a ঑ উচ্চো AD = h তদ঑য়া থাকররিঃ
⇛ রত্রবূ জেরত্রয তেত্রপর = × বূ রভ(BC) × উচ্চো(AD) = × a × h ফগব একক
 রত্রবু রজ একরি তকান এক ঳ভরকাণ ঴রর, রত্রবুরজয ঳ভরকাণ ঳াংরগ্ন ফাহুয দুরিয একরিরক বূ রভ ঑ অ঩যরিরক রম্ব ফা
উচ্চো ধযা ঴ররিঃ
⇛ ঳ভরকাণী রত্রবূ জেরত্রয তেত্রপর = × ঳ভরকাণ ঳াংরগ্ন ফাহুদ্বরয়য গুণপর = × বূ রভ(a) × রম্ব(b)
 রত্রবু রজয তম তকান দুরি ফাহু ঑ োরদয অন্তবু বক্ত তকান তদ঑য়া থাকররিঃ
⇛ রত্রবূ জেরত্রয তেত্রপর = a b n ∠ = b c n∠ = c a n ∠
 রফলভফাহু রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ফাহু BC=a , AB =c ঑ AC=b তদ঑য়া থাকররিঃ
রত্রবু রজয ঩রয঳ীভা(2S) = রেন ফাহুয দদরঘবযয তমাগপর = a+b+c
∴ রত্রবু রজয অধব঩রয঳ীভা S =
঩রয঳ীভা
=
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর = √ − − −
 দুরি ফাহু / ফাহু ঳াংরগ্ন তকানগুররা / দুরি ভধযভা ⇒ ঳ভান ঴রর রত্রবু রি ঳ভরদ্বফাহু রত্রবু জ।
এই ঳ভরদ্বফাহু রত্রবু রজয অ঳ভান ফাহু = b ঑ ঳ভান ঳ভান দুরি ফাহু উবয়ই = a ঴ররিঃ
⇛ ঳ভরদ্বফাহু রত্রবু জরেরত্রয তেত্রপর = × √ 4 −
 রেনরি ফাহু / রেনরি তকান(প্ররেযকরি তকান= 60∘
) / ভাধযভাত্রয় ⇒ ঩যস্পয ঳ভান ঴রর রত্রবু জরি ঳ভফাহু রত্রবুজ।
এই ঳ভফাহু রত্রবু রজয প্ররেযক ফাহুয দদঘবয = a ঴ররিঃ
⇛ ঳ভফাহু রত্রবু জরেরত্রয তেত্রপর =
√
× ফগব একক
⇛঳ভফাহু রত্রবু রজয ঩রয঳ীভািঃ = 3 × a
94

⇛঳ভফাহু রত্রবু রজয উচ্চো ফা ভধযভায দদঘয =
√
× ফাহুয দদঘয =
√
× [ফাহুয দদঘয = ]
 রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ভধযভা ফা ভধযভাত্রয় l , m ঑ n তদ঑য়া থাকররিঃ ∴ S =
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর = × √ − − −
 অন্তফৃরত্ত অফরস্থে রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ফাহু a , b ঑ c ঴রর ;এফাং অন্তফৃরত্তয ফৃরত্তয ফযা঳াধব =R ঴ররিঃ
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর A = × + + ×
 ঩রযফৃরত্ত অফরস্থে রত্রবু জ ∆ABC এয রেনরি ফাহু a , b ঑ c ঴রর ;এফাং ঩রযফৃরত্তয ফৃরত্তয ফযা঳াধব =R ঴ররিঃ
⇛ রত্রবু জ তেরত্রয তেরত্রপর A =
তকান ঳ভেরর একরি রফন্দুরক তকন্দ্র করয ঳ভান দুযত্ব ফজায় তযরখ অ঩য একরি রফন্দু োয িাযরদরক একফায ঘুরয এরর
তম অফদ্ধ তগারীয় তযখা ঳ৃরষ্ট ঴য় োরক ফৃত্ত ফরর ।
 ফৃরত্তয ঩রযরধ ঑ ফযার঳য অনু঩াে ঳ফবদা একই অথবাৎ একরি ধ্রুফ ঳াংখযা , মারক π দ্বাযা রিরিে কযা ঴য়। π একরি
অভূরদ ঳াংখযা। এয ভান π = =3.1416(প্রায়)।
আফায π তযরড়য়ান = 180∘
রডগ্রী।
1∘
= তযরড়য়ান
 ফৃরত্তয ঩ূনব ফক্ররযখায দদঘবযরক ঩রযরধ ফরর।
঩রযরধয তম তকান অাং঱রক ফৃরত্তয িা঩ (S) ফরর।
ফৃরত্তয ঩রযরধয তম তকান দুই রফন্দু ঑ তকরন্দ্রয ঳াংরমাজক ঳যর তযখারক ফযা঳(d) ফরর।
95

ফৃরত্তয তকন্দ্র তথরক ঩রযরধ ঩মবন্ত দূযত্বরক ফৃরত্তয ফযা঳াধব (r) ফরর।
⇛ ফৃরত্তয ফযা঳ = 2 × ফযা঳াধব = 2r ∴ π =
঩রযরধ
ফযা঳
⇛ ফৃরত্তয ঩রযরধ = π × ফযা঳ = π × 2 r = 2 π r
 r ফযা঳াধব রফর঱ষ্ট তকান ফৃরত্তয তকান িা঩ S মরদ ফৃরত্তয তকরন্দ্র θ∘
তকান উৎ঩ি করযিঃ
⇛ ফৃরত্তয 360∘
তকান জনয িার঩য দদঘবয = 2 π r একক
,, θ∘
,, ,, ,, ,, =
∘ ×
=
∘
একক
∴ θ∘
তকারনয জনয িার঩য দদঘবয S =
∘
× π একক
 r ফযা঳ারধবয তকান ফৃরত্ত S দদরঘবযয তকান িা঩ তকরন্দ্র θ তযরডয়ান তকান ধাযন কযরর,
S = r × θ [∵ 1∘
= তযরড়য়ান ফা π এয তযরড়য়ান ভান 180∘
]
 তকান ফৃরত্তয ফয঳াধব = r একক ,঴ররিঃ ো দ্বাযা ঳ীভাফদ্ধ ফৃত্তরেরত্রয তেত্রপর =π ফগব একক
r ফযা঳ারধবয তকান ফৃরত্ত S দদরঘবযয তকান িা঩ তকরন্দ্র θ∘
তকান ধাযন কযরর,
∴ θ∘
তকান দ্বাযা উৎ঩ি ফৃত্তকরায তেত্রপর =
∘
∘ × π ফগব একক
96

তকান উ঩ফৃরত্তয ফড় ফয঳াধব OA= r1 ঑ তোি ফয঳াধব OB = r2 ঴রর ,
উ঩ফৃরত্তয তেত্রপর = π × ফড় ফয঳াধব × তোি ফয঳াধব = π × r1 × r2 ফগব তেত্র
উ঩ফৃরত্তয ঩রয঳ীভা = 2 π × √ একক
97

এখারন দদঘবয =a , প্রস্থ =b ঑ উচ্চো = c। এবং নন দৈর্ঘনয =d ঴ররিঃ
আয়োকায ঘনফস্তুয ঳ভগ্রেররয তেত্রপর(Area of the Whole Surface)= েয়রি ঩ৃরেয তেত্রপররয ঳ভরষ্ট
⇛ ঳ভগ্রেররয তেত্রপর = 2 (ab +bc +ca) ফগব একক
 আয়োকায ঘনফস্তুয আয়েন (Volume) = দদঘবয × প্রস্থ × উচ্চো = a b c ঘন একক
 আয়োকায ঘনফস্তুরিয কনব, d = √ + + একক
দদঘবয = প্রস্থ = উচ্চো = a ঑ কনব =d ঴ররিঃ
 ঘনরকয ঳ভগ্রেররয তেত্রপর(Area of the Whole Surface)= েয়রি ঩ৃরেয তেত্রপররয ঳ভরষ্ট
⇛ ঳ভগ্রেররয তেত্রপর = 6 × ফগব একক
 ঘনরকয আয়েন(Volume) = দদঘবয = ঘন একক
 ঘনরকয কনব, d = √3 × a একক
3.5
98

঳ভফৃত্তবু রভক (Right Circular) তকান তকাণরকয বূ রভয ফযা঳াধব BC = r একক , উচ্চো AB= h একক এফাং রেমবক
উচ্চো ফা ত঴রান উিরে AC = l একক ।
∴ l =√ + [∵ ∆ এ = + ]
 তকাণরকয ফক্রেররয তেত্রপর = × বূ রভয ঩রযরধ(2πr) × ত঴রান উিরে(l)
⇛ তকাণরকয ফক্রেররয তেত্রপর = πrl ফগব একক = πr√ + ফগব একক
 তকাণরকয ঳ভগ্র েররয (Whole Surface) তেত্রপর = ফক্রেররয তেত্রপর(π l) + বূ রভয তেত্রপর π )
⇛ তকাণরকয ঳ভগ্রেররয তেত্রপর = π r (l +r) ফগব একক
 তকাণরকয আয়েন(Volume): = × বূ রভয তেত্রপর π ) × উচ্চো (h)
⇛ তকাণরকয আয়েন = π h ঘন একক
99

঳ভফৃত্তবূ রভক(Right Circular) র঳ররন্ডারযয বূ রভয ফযা঳াধব OB =r একক এফাং উচ্চো OC =h একক
 তফররনয ফক্র঩ৃরেয তেত্রপর = বূ রভয ঩রযরধ (2πr) × উচ্চো (h)
⇛ তফররনয ফক্র঩ৃরেয তেত্রপর = 2π h ফগব একক
তফররনয ঳ভগ্র঩ৃরেয তেত্রপর = ফক্র঩ৃরেয তেত্রপর (2πrh) + দুই প্ররন্তয ফৃরন্তয তেত্রপর (2×π )
⇛ তফররনয ঳ভগ্র঩ৃরেয (Whole Surface) তেত্রপর = 2πr(h+r) ফগব একক
 তফররনয আয়েন = বূ রভয তেত্রপর (π ) × উচ্চো(h) = π h ঘন একক
100

তকান তগাররকয ফযা঳াধব = r একক
 তগাররকয ঩ৃরেয তেত্রপর = π × ফযা঳ 2 =4π ফগব একক
 তগাররকয আয়েন = π ঘন একক
101

 ঳ভরকাণী রত্রবু রজয ঳ভরকাণ রবি অনয দুইরি তকাণ ঴রফ ঳ূেরকান । এই তকাণ দুইরিয ঳ভরষ্ট এক ঳ভরকাণ [∠MOP
θ + ∠OPM 90-θ = 900 ∠PMO] । এই তকাণ দ্বয় ঩যস্পরযয ঩ূযক তকাণ।
 ঳ভরকাণী রত্রবু রজয ঳ূেরকান দ্বরয়য ভরধয তম তকারনয ভান তদ঑য়া থাকরফ োয রফ঩যীে ফাহুরক রম্ব ধরয র঴঳াফ
কযরে ঴রফ।
 ঳ভরকাণী রত্রবু রজয তেরত্রিঃ (আরেবূ জ) = রম্ব + (বূ রভ)
 তকান রত্রবূ রজয ফাহুগুররায অনু঩াে (3:4:5), (5:12:13), (7:24:25) ঑ (8:15:17) ঴রর রত্রবু জরি একরি ঳ভরকাণী
রত্রবু জ ঴রফ। কাযন( 5 = 4 + 3 ) উবয় ঩রেয ভান ঳ভান ঴য়।
∠θ ঳ূেরকারণয রত্ররকাণরভরেক অনু঩ােিঃ
 n =
রম্ব
অরেবূ জ
[঳া র অরে] ⇛  =
অরেবূ জ
রম্ব
 =
বূ রভ
অরেবূ জ
[ক বূ অরে] ⇛  =
অরেবূ জ
বূ রভ
 =
রম্ব
বূ রভ
[রি র বূ ] ⇛ =
বূ রভ
রম্ব
3.6
102

 n = ⇛  =
 = ⇛  =
 = ⇛  =
 n = ⇛  =
 n n
 n + = 1
⇛ n = 1 −
⇛ = 1 − n
 − = 1
⇛ = 1 +
⇛ = − 1
 − = 1
⇛ = 1 +
⇛ = 1 −
103

তকাণ ∠θ
sin 0 1
2
1
√2
√3
2
1
cos 1 √3
2
1
√2
1
2
0
tan( ) 0 1
√3
1 √3 ∞
cot( ) ∞ √3 1 1
√3
0
sec( ) 1 2
√3
√2 2 ∞
Cosec ( ) ∞ 2 √2 2
√3
1
0, 1, 2, 3, 4, ঳াংখযা গুররায প্ররেযকরক 4 দ্বাযা বাগ করয বাগপরগুররা ফগবভূর কযরর , , , ,
তকানগুররায n এয অনু঩ারেয ভান ঩া঑য়া মায়। অথবাৎ n 0 n 30 n 45 n 60 n 90 অনু঩াে
গুররায ভান মথাক্ররভ ঳াংখযা গুররায ফগবভূর 0,
√
√
1 ।
আফায sin এয অনু঩ােগুররায ভান উল্টাক্ররভ ঳ারজরয় ররখরর cos এয অনু঩ােগুররায ভান ঩া঑য়া মায়। sin অনু঩াে
ভান গুররারক ঑ cos এয অনু঩াে ভান দ্বাযা বাগ কযরর tan এয অনু঩াে ভান ঩া঑য়া মায়।
 −1 ≤ n ≤+1
 −1 ≤ ≤+1
 θ ঑ θ এয ভান ≥1 অথফা ≤ -1
 nθ ঑ θ এয ভারনয তকান ঳ীভা রনধবাযন কযা মায় না ।
104

⇛ sin / cos / tan {n × 90 ফা )± θ} তকারনয অনু঩ারেয ভানিঃ
{n × 90 ফা ± θ} তকারনয রত্ররকাণরভরেক অনু঩ােিঃ
 প্রদত্ত তকাণরক এরূ঩ দুইরি অাংর঱ বাগ কযরে ঴রফ মায একরি অাং঱ ঳ূেরকান (θ<90 ), এফাং
অ঩য অাং঱ 90 ফা ফা এক ঳ভরকারণয n গুরণেক ।ধরয প্রদত্ত তকাণরক ( n × 90 ± θ ) আকারয প্রকা঱ কযা ঴র।
[ n (রজাড় ঳াংখযা ) × 90 ± θ] অথবাৎ n এয ভান তজাড় ঳াংখযা ঴ররিঃ রত্ররকাণরভরেক অনু঩াে গুররায ঩রযফেবন ঴রফ না ।
 [ n ( রফরজাড় ঳াংখযা ) × 90 ± θ] অথবাৎ n এয ভান রফরজাড় ঳াংখযা ঴ররিঃ রত্ররকাণরভরেক অনু঩াে গুররায
঩রযফেবন ঴রফ । তমভনিঃ
⇛ Sin থাকরর ো ঩রযফরেবে ঴রয় cos ঴রফ , আফায ⇛ cos থাকরর sin ঴রফ
⇛ tan থাকরর ো ঩রযফরেবে ঴রয় cot ঴রফ , আফায ⇛ cot থাকরর tan ঴রফ
⇛ sec থাকরর ো ঩রযফরেবে ঴রয় cosec ঴রফ , আফায ⇛ cosec থাকরর sec ঴রফ
 ঩রযফরেবে অনু঩ারেয রিি রননবয়িঃ
প্রথরভ n এয এক একরকয জনয একরি িেুববাগ র঴঳াফ করয , এরি িক ফা ঘরড়য কাঁিায রফ঩যীে রদরক গননা করয
তমরে ঴রফ। এবারফ n এয ভান অনু঳ারয িেুববাগ র঴঳াফ কযায ঩য , ± θ এয ভান র঴঳াফ কযরে ঴রফ। মরদ +θ থারক
ো঴রর n এয প্রাপ্ত িেুববারগয ঩যফেবী িেুববাগ র঴঳াফ কযরে ঴রফ। মরদ − θ থারক ো঴রর n এয প্রাপ্ত িেুববাগই র঴঳াফ
কযরে ঴রফ। এখন n এয গণনা তথরক প্রাপ্ত িেুববাগ মরদ ,
প্রথভ িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রর ঳কর অনু঩ারেয ভান ধনাত্নক ঴রফ।
রদ্বেীয় িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রর sin ঑ cosec অনু঩ারেয ভান ধনাত্নক ঴রফ। ফারক ঳ফ অনু঩ারেয ভান ঋনাত্নক।
েৃেীয় িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রর tan ঑ cot অনু঩ারেয ভান ধনাত্নক ঴রফ। ফারক ঳ফ অনু঩ারেয ভান ঋনাত্নক।
রদ্বেীয় িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রর cos ঑ sec অনু঩ারেয ভান ধনাত্নক ঴রফ। ফারক ঳ফ অনু঩ারেয ভান ঋনাত্নক।
 এখন প্রাপ্ত তকারনয ভান মরদ ঋনাত্নক ঴য় ো঴রর রনরিয রনয়ভ আনু঳ারয ঩রযফরেবে ঴রফিঃ
− = − n − = − = − n
− = − − = − = −
105

Pllan·e shapes D~ iagram Area Perimeter
drcle
-
square
a
:rectangle
h
b
kite
trapcz.1um
parallelogram
:rhombus
a
·uiangle
tanbir.cox
L
a
Website (J):-
A 1
= 1tr
A =.ab
A;::; .ah
"1
A=~bh
2
C = 21tr =red
P = 2 (n b)
P - 2 (o +b)
106

Solids Diagram Volume Surface area
/ /
a
cube V = a3 S =6a2
/ / a
a
/ / h
cuboid
/ / w V = lwh S =2(1w + hi + hw)
l
pyramid 1
S = area of base + 4
V =-base x x Area of63·
cylinder @ h V = 1trJ.h
S = 2 x 1tr2
+ 21trh
= 21tr (r + h)
cone V = -
1
1tr2
h
3·.-
!./

4
sphere ( r/ V = -1tr3
S = 41tr2
/ ) 3·
~
r? = a2 + fJ
Pythagoras theorem
a a =Vcl +lr
b =v c? -Jr
b C=Vcl+ lr
107

Mathematics short cut techniques with formulas

More Related Content

Viewers also liked

Similar to Mathematics short cut techniques with formulas

More from MD Kutubuddin Sardar

Mathematics short cut techniques with formulas