Dokumen tersebut menjelaskan berbagai alat peraga yang dapat digunakan untuk membantu pembelajaran limit deret geometri di SMA. Alat-alat peraga tersebut meliputi limit deret setengah, sepertiga, dan seperempat yang digunakan untuk mewakili deret-deret tersebut dalam bentuk keping-keping pecahan. Alat peraga lainnya digunakan untuk menurunkan rumus limit deret geometri secara umum dengan menggunakan keping-

1. 1
BERBAGAI ALAT PERAGA
UNTUK PEMBELAJARAN LIMIT DERET GEOMETRI DI SMA
Oleh: Tim Unit Media Alat Peraga Matematika
Jenjang/Kelas/Semester : SMA/XII/2
Aspek : Aljabar
Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep baris dan deret dalam
pemecahan masalah
Kompetensi Dasar : 4.1. Menentukan suku ke- n barisan dan jumlah n
suku deret aritmetika dan geometri
Alat peraga berikut dimanfaatkan sebagai motivasi pada permulaan pembelajaran
yaitu sebelum memasuki materi limit deret geometri.
1. Alat peraga Limit Deret Setengah
2. Alat peraga Limit Deret Sepertiga
3. Alat peraga Limit Deret Seperempat
Tiga macam alat peraga tersebut di atas digunakan untuk memperagakan deret
setengah, sepertiga, dan seperempat yang direpresentasikan dalam bentuk keping-
keping pecahan.
Pemanfaatannya dalam pembelajaran antara lain dapat dilakukan dengan peragaan
oleh guru yaitu siswa diminta mengamati peragaan kemudian dibimbing untuk
menyimpulkan hasil dari limit deret setengah, sepertiga, dan seperempat. Setelah
melalui peragaan, selanjutnya guru menjelaskan pembuktiannya secara deduktif.
Alternatif lainnya adalah dengan penyelidikan oleh siswa yaitu siswa
menggunakan alat peraga tersebut untuk “menemukan” hasil dari limit deret
setengah, sepertiga, dan seperempat. Dalam hal ini, guru memberikan instruksi
dan beberapa pertanyaan untuk membimbing siswa menemukan hasil yang
dimaksud.
Alternatif pemanfaatan dalam pembelajaran dapat dikembangkan lebih lanjut oleh
guru dengan berpedoman pada petunjuk penggunaan alat peraga limit deret
sebagai berikut.

2. 2
1. Nama Alat Peraga : LIMIT DERET SETENGAH
Kegunaan : Untuk menunjukkan limit deret geometri dengan rasio
2
1
.
Gambar :
Peraga limit deret setengah terdiri atas sebuah papan bingkai dan enam keping
pecahan yang terdiri atas keping
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
dan
64
1
.
Alternatif pemanfaatan dalam pembelajaran dengan peragaan :
1. Ambil semua keping maka akan terlihat bingkai persegi berwarna putih.
Tunjukkan kepada siswa bahwa kotak putih pada bingkai menunjukkan
sebuah persegi satuan.
2. Keping-keping dimasukkan ke bingkai satu per satu dengan cara :
Masukkan keping
2
1
(tulisan
2
1
tidak
terlihat). Tanyakan kepada siswa “berapa
nilai keping ini?”. Jawaban yang diharapkan
adalah “
2
1
”. Tanyakan kepada siswa
”mengapa
2
1
?” (karena banyaknya keping
ada dua bagian yang sama). Setelah itu
balikkan keping tersebut sehingga tulisan
2
1
terlihat.

3. 3
Masukkan keping
4
1
(tulisan
4
1
tidak terlihat). Tanyakan kepada siswa
“berapa nilai keping ini?”. Jawaban yang diharapkan adalah “
4
1
”. Setelah
itu balikkan keping tersebut sehingga tulisan
4
1
terlihat. Tanyakan kepada
siswa ”mengapa nilai keping tersebut
4
1
?” (karena banyaknya keping ada
empat bagian yang sama).
Demikian seterusnya hingga keping
64
1
terpasang seperti terlihat pada
gambar.
3. Lewat peragaan di atas mudah dipahami bahwa jika pengisian dengan keping-
keping yang semakin kecil (mengikuti pola sebelumnya), maka jumlah
keping-keping tersebut mendekati 1 dan tidak mungkin melebihi 1.
Kita dapat menuliskan sebagai berikut :
1
16
1
8
1
4
1
2
1

atau
1
2
1
2
1
2
1
2
1
432

atau
1
2
1
1n
n
Pembuktian :
Salah satu cara untuk membuktikan secara deduktif adalah :
Misalkan
16
1
8
1
4
1
2
1
S akibatnya
16
1
8
1
4
1
2
1
S .
Dengan menggunakan metode eliminasi diperoleh :
16
1
8
1
4
1
2
1
S
16
1
8
1
4
1
2
1
S
2
1
2
1
S
1S
Sehingga 1
16
1
8
1
4
1
2
1


4. 4
LIMIT DERET SEPERTIGA
1
3
1
9
1
27
1
81
LIMIT DERET SEPERTIGA
1
3
2. Nama Alat Peraga : LIMIT DERET SEPERTIGA
Kegunaan : Untuk menunjukkan limit deret geometri dengan rasio
3
1
.
Gambar :
Peraga limit deret sepertiga terdiri dari sebuah papan bingkai dan 5 keping
berpasangan yang menunjukkan
81
1
,
27
1
,
9
1
,
3
1
dan
243
1
.
Alternatif pemanfaatan dalam pembelajaran dengan penyelidikan :
1. Peraga limit deret diberikan pada siswa dalam keadaan keping telah diambil
dari bingkai. Beritahukan pada siswa bahwa bingkai persegi berwarna putih
menunjukkan sebuah persegi satuan.
2. Siswa diminta untuk memasukkan keping ke bingkai satu per satu dengan
cara:
Masukkan keping
3
1
(warna merah dan ada tulisan
3
1
) kemudian
masukkan keping
3
1
pasangannya. Pahami bahwa keping-keping tersebut
memang sepertiga, untuk menunjukkannya mintalah siswa mengimpitkan
kedua keping tersebut dan ternyata memang sama saling menutupi.

5. 5
Setelah itu secara berurut seperti di atas masukkan keping
81
1
,
27
1
,
9
1
dan
243
1
.
3. Tanyakan kepada siswa ”jika pengisian dilanjutkan dengan keping-keping
yang semakin kecil secara terus menerus (mengikuti pola sebelumnya), maka
berapakah jumlah keping-keping merah dan kuning?” Jawaban yang
LIMIT DERET SEPERTIGA
1
3
1
9
1
27
LIMIT DERET SEPERTIGA
1
3
1
9
1
27
1
81
LIMIT DERET SEPERTIGA
1
3
1
9
1
27

6. 6
diharapkan adalah ”1”. Minta siswa memperhatikan bahwa keping warna
merah dan kuning bentuknya identik dan menempati luasan yang sama.
4. Tanyakan kepada siswa ”Berdasarkan pengamatan tersebut, berapakah hasil
dari ?
81
1
27
1
9
1
3
1
 ”. Jika siswa menemui kesulitan, mintalah
siswa untuk memperhatikan susunan keping yang berwarna merah. Jawaban
yang diharapkan adalah
2
1
81
1
27
1
9
1
3
1

atau
2
1
3
1
1n
n
Pembuktian :
Salah satu cara untuk membuktikan secara deduktif adalah :
Misalkan
243
1
81
1
27
1
9
1
3
1
S akibatnya
243
3
81
3
27
3
9
3
3
3
3 S =
81
1
27
1
9
1
3
1
1 
Dengan menggunakan metode eliminasi diperoleh :
S3
81
1
27
1
9
1
3
1
1 
S =
243
1
81
1
27
1
9
1
3
1

12S
2
1
S
Jadi
243
1
81
1
27
1
9
1
3
1
 =
2
1

7. 7
3. Nama Alat Peraga : LIMIT DERET SEPEREMPAT
Kegunaan : Untuk menunjukkan limit deret geometri dengan rasio
4
1
.
Gambar :
Peraga limit deret seperempat terdiri dari sebuah papan bingkai dan 3 kelompok
keping komponennya masing-masing 4 buah keping yang menandakan pecahan
64
1
,
16
1
,
4
1
dan
256
1
.
4
1
16
1
64
1
256
1
Penggunaan :
1. Pasang keping pertama dari salah satu kelompok warna dan pahami (dengan
cara tanya jawab, diskusi, eksplorasi dan semacamnya) bahwa keping pertama

8. 8
ini menunjukkan
4
1
, karena banyaknya keping ada empat bagian yang sama
maka nilai dari setiap bagiannya adalah
4
1
.
2. Secara sama seperti di atas, lakukan untuk memahami bahwa keping
berikutnya adalah
16
1
,
64
1
, dan
256
1
:
3. Setelah itu ambil semua keping dan susun kembali menjadi bentuk:
4. Dengan peragaan di atas dapat dipahami dengan melihat pola dan susunan
keping-kepingnya (lihat salah satu warna) bahwa:
Kita dapat menuliskan sebagai berikut :
3
1
256
1
64
1
16
1
4
1


9. 9
Setelah menggunakan alat peraga motivasi diawal pembelajaran, memasuki materi
limit deret geometri dapat menggunakan alat peraga berikut.
Nama Alat Peraga : LIMIT DERET GEOMETRI
Kegunaan : Untuk menurunkan rumus deret geometri dengan
rasio r, untuk 0 < r < 1.
Gambar :
Alat peraga terdiri dari bingkai, empat
keping trapesium yang sebangun (warna
merah dan hijau) dan satu keping
berbentuk segitiga (warna kuning).
Penggunaan :
Letakkan keping-keping trapesium ke dalam bingkainya.
1 r r2
r3
1
1 – r
r r2
r3 r4

10. 10
Jika keping-keping trapezium sebangun tersebut diteruskan, maka akan mengisi
segitiga dengan sisisiku 1 dan (1 + r + r2
+ r3
+ … ). Perhatikan bahwa segitiga
ini sebangun dengan segitiga kuning yang mempunyai sisisiku (1 – r) dan 1.
Akibatnya
1
1
1
1
32
r
rrr 
1)
sehingga diperoleh rumus deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio r
untuk 0 < r < 1 yaitu :
r
rrr
1
1
1 32
 2)
Untuk mendapatkan rumus barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r
untuk 0 < r < 1, kalikan kedua ruas pada Persamaan 2) dengan a.
r
a
ararara
1
32

Berbagai alat peraga untuk pembelajaran limit deret geometri ini berfungsi membantu
siswa untuk berpikir dengan menggunakan objek konkrit. Dengan demikian,
diharapkan konsep deret geometri akan lebih mudah dipahami.