Downloaded 77 times
![Asimptota e pjerrët:
lkxy +=
x
xf
k
x
)(
lim
±∞→
= [ ]kxxfl
x
−=
±∞→
)(lim
=−=
±∞→ x
x
x
k
x
2lim
2
=
−±∞→ xx
x
x 2
lim 2
2
22
2
2
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
−
±∞→
=
−
=
±∞→
x
x 2
1
1
lim 1
1
1
= k=1
=−
−
=
±∞→
]1
2
[lim
2
x
x
x
l
x
=
−
+−
±∞→ 2
2
lim
22
x
xxx
x
=
−±∞→ 2
2
lim
x
x
x
=
−
±∞→
xx
x
x
x
x 2
2
lim 2
1
2
= l=2
lkxy += 2+= x
Pjesëtojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
=0
Pjesëtojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
=0
Është asimptotë e pjerrtë
Paraqitja grafike e asimptotave:](https://image.slidesharecdn.com/ushtrimengamatematikapptas-150630174339-lva1-app6891/85/Matematike-36-320.jpg)
![Njehsoni derivatin e funksionit )57)(32()( 2
−+= xxxf
( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=
′
⋅ Kur kemi shumëzim të dy funksioneve,
derivatin e njehsojmë me anë të kësaj formule
=′ )(xf )32[( +x )32( ′+= x +− )57( 2
x )57( 2
′−x)32( +x
xxx 14)32()57(2 2
++−= xxx 42281014 22
++−= 104242 2
−+= xx
])57( 2
′−x
=0 =0](https://image.slidesharecdn.com/ushtrimengamatematikapptas-150630174339-lva1-app6891/85/Matematike-40-320.jpg)
Matematike
- 1. Ushtrime nga Matematika Asistente: XhevahireTërnava Punuar gjatë 2005 tetor, 2007(rishikim)
- 2. Matricat A = a11 a12a13 …a1n a21 a22 a23 …a2n am1 am2 am3 …amn a23 Tregon rreshtin Tregon kolonën A B X … K J I H G F E D C Y Z Rreshtat e matricës Kolonat e matricës Matrica është një bashkësi e elementeve të renditura në rreshta dhe shtylla (kolona)
- 3. Mbledhja e dymatricave A= 2 -1 3 4 B= -3 -2 3 0 2 -1 3 4 -3 -2 3 0 A + B= = = -1 -3 6 4 + 2+(-3) -1+(-2) 3+3 4+0 Kujdes! –Mund ti mbledhim vetëm matricat e rendit të njëjtë! I mbledhim numrat me ngjyrë të njejtë!
- 4. Zbritja e dymatricave A= 2 -1 3 4 B= -3 -2 3 0 A - B= 2 -1 3 4 - -3 -2 3 0 = 2-(-3) -1-(-2) 3-3 4-0 = 5 1 0 4 = Kujdes! –Mund ti zbresim vetëm matricat e rendit të njëjtë! I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë
- 5. Trego se cilatshumëzime janë të mundshme 1 3 4 1 5 6 * 1 -4 12 2 7 4 3 0 -5 = A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti analizojmë! Nëse elementet e një rreshti nga matrica e parë janë të barabarta me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë! Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në rresht. Numrojmë sa elemente i ka matrica e dytë ne kolonë. Mund ti shumëzojmë ato dy matrica!
- 6. Trego se cilatshumëzime janë të mundshme 1 3 4 1 5 6 * 1 -4 12 2 7 4 = A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti analizojmë! Nëse numri i elementeve të një rreshti nga matrica e parë janë të ndryshëm me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë! Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në rresht. Numrojmë sa elemente i ka matrica e dytë ne kolonë. S’mund ti shumëzojmë ato dy matrica!
- 7. Shumëzimi i dymatricave A= 2 -1 3 4 B= -3 -2 3 0 A * B= 2 -1 3 4 * -3 -2 3 0 = 2*(-3) + (-1)*3 2*(-2) + (-1)*0 3*(-3) + 4*3 3*(-2) + 4*0 = = - 6- 3 - 4- 0 - 9+12 - 6+0 = -9 -4 3 -6 I shumëzojmë numrat me ngjyrë të njëjtë
- 8. Shumëzimi i matricësme një skalar A= 2 -1 3 4 Si skalar le të jetë numri 5 5*A= 2 -1 3 4 =5* = 10 -5 15 20 5*(-1)5*2 5*3 5*4 A* 5= Është njësoj! D.m.th., numri 5 i shumzëzon të gjithë anëtarët e matricës!
- 9. Plotësimi i matricësme anëtarë A= a21=a12= a13= a11= a22= a23= a31=a32= a33= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A= 6 3 0 1 8 -2 -1 10 2 Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me numra hapësirat e zbrazta, të ngjyrosura me të verdhë! Forma e përgjithshme e matricës së rendit të tretë! Shembull:
- 10. Njehsoni katrorin ematricës A= -2 3 0 1 4 2 5 0 -1 2 = -2 3 0 1 4 2 5 0 -1 -2 3 0 1 4 2 5 0 -1 * = = = -2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1) 1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1) 5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1) = 7 6 6 12 19 6 -15 15 1 2
- 11.
- 12. Gjeni të panjohurat! Dukeu nisur nga kushti që dy matricat e mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden të panjohurat x dhe a. x -2 -1 2a = 3 -2 -1 2 Për të qenë matricat e barabarta duhet që numrat me ngjyra të njëjta të jenë të barabartë x=3 2a=2 a=2/2 a=1 2=2 -1=-1
- 13. Definimi i përcaktorëve 2-1 3 5 6 11 A= Matrica s’është katrore. S’ka përcaktor. 2 -1 3 5 6 11 -3 7 1 A= Matrica është katrore. Mund t’ia gjejmë përcaktorin. |A| = 2 -1 3 5 6 11 -3 7 1 = Dmth. Ekziston një numër që e përcakton tërë matricën katrore. |A| Ose detA Janë dy mënyrat e shënimit të përcaktorit/determinantës 2X3 3X3
- 14. Përcaktorët e rendittë dytë |A|= - 2 1 0 - 3 + - = -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6 Ky është numri që e përcakton apo determinon matricën katrore |B|= x a 2 - 3 + - = x*(-3) - 2*a = -3x- 2a
- 15. Përcaktorët e rendittë tretë |A|= = Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të dytë të zgjidhet përcaktori - 2* 0 -1 5 2 a21 Meqë 2+1=3 dmth numër tek atëherë para 2 e kemi – (minus) +(-1)* 1 -1 7 2 +0* 1 -1 7 2 = = a22 a23 -2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5 1 0 -1 2 -1 0 7 5 2
- 16. Metoda e Sarusitdhe e trekëndëshit A= 2 3 0 3 -1 7 0 1 4 2 3 3 -1 0 1 = + -
- 17. x1+ x2- 2x3+x4= 2 3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3 3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0 2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5 -3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6 + x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 5x3 - 6x4 = 6 I/(-3) 3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3 x2 + 7x3 - x4 = -3 -2x1 - 2x2 + 4x3 - 2x4= -4 2x1 - x2+ 5x3 - 3x4 = 5 I/(-2) -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 -3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6I/(-3) 3x1 +3x2 - x3 - 3x4 = 0 5x3 - 6x4 = 6 Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e dytë mu eliminu variabla x1 Ekuacionin e parë e përshkruajmë Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x1 Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e katërtë mu eliminu variabla x1 I II III IV Metoda e Gaussit
- 18. 3x2 +21x3 -3x4 = -9II/ 3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 30x3 - 8x4 = -8 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3 3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0 2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 5x3 - 6x4 = 6 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8 Ekuacionin e parë e përshkruajmëEkuacionin e dytë e përshkruajmë Ekuacionin e dytë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ta mbledhim me ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x2 Ekuacionin e katërtë nuk ka fare variabël x2 prandaj veç e përshkruajmë 5x3 - 6x4 = 6
- 19. x1+ x2- 2x3+x4= 2 3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3 3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0 2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 5x3 - 6x4 = 6 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8 5x3 - 6x4 = 6 Ekuacionin e parë e përshkruajmëEkuacionin e dytë e përshkruajmëEkuacionin e tretë e përshkruajmë Ekuacionin e tretë ose të katërtë e shumëzojmë me një numër në mënyrë që kur ti mbledhim në mes vete mu eliminu variabla x3 30x3 - 8x4 = -8 -30x3 +36x4 = 36IV/(- 6) 28x4 = 28x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8 28x4 = 28
- 20. x1+ x2- 2x3+x4= 2 3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3 3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0 2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 -3x2 +9x3 - 5x4 = 1 5x3 - 6x4 = 6 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8 5x3 - 6x4 = 6 x1+ x2- 2x3+ x4= 2 x2 +7x3 - x4 = -3 30x3 -8x4 = -8 28x4 = 28 28x4 = 28IV x4 = 28/28 = 1 x4 = 1 III 30x3 -8x4 = -8 30x3 = -8 + 8x4 30x3 = -8 + 8*1 30x3 = -8 + 8 30x3 = 0 x3 = 0/30=0 II x2 = -3 -7x3 + x4 x2 = -3 -7*0 + 1 x2 = -2 I x1= 2 - x2 + 2x3 - x4 x1= 2 –(-2)+ 2*0 - 1 x1= 2 +2 - 1 x1= 3 x3 = 0 I II III IV Fillojmë prej ekuacionit të IV
- 21. Sistemet homogjene Të zgjidhetsistemi homogjen x + 2y + z = 0 3x - 5y + 3z = 0 2x + 7y – z = 0 Meqë të gjitha kufizat e lira të sistemit (dmth, pjesa pas barazimit) janë të barabarta me 0 (zero), për këtë arsye sistemi quhet homogjen! Rasti kur D ≠ 0 D= 1 2 1 3 -5 3 2 7 -1 1 2 3 -5 2 7 = + - 5+12+21+10-21+6= 33 D = 33 ≠ 0Meqë Sistemi ka vetëm zgjidhje triviale x=0, y=0 dhe z=0.
- 22. Rasti kur D= 0 3x + y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0 4x + 3y + 5z = 0 D= 3 1 2 1 2 3 4 3 5 3 1 1 2 4 3 = + - 30+12+6-16-27-5=0 D = 0Meqë Sistemi ka edhe zgjidhje tjera përveç zgjidhjes triviale x=0, y=0 dhe z=0. x + 2y = - 3z 3x + y = - 2z D= 3 1 1 2 = 5 Dx= -2z 1 -3z 2 = -z Dy= 3 -2z 1 -3z = -7z X= Dx D -z 5 = Y= Dy D -7z 5 = E gjejmë determinanten e sistemit dhe e shqyrtojmë se me sa është baraz!
- 23. Ekuacionet matricore Të zgjidhetekuacioni matricor, dmth të gjendet matrica X: 2X+5E = 3A A= 3 2 0 0 1 -2 1 4 -1 E= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2X = 3A - 5E = 3* 3 2 0 0 1 -2 2 4 -1 - 5* 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 9 4 0 0 3 -6 6 12 -3 - 5 0 0 0 5 0 0 0 5 = 4 4 0 0 -2 -6 6 12 -8 = I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë nga të dy matricat. 2X = 4 4 0 0 -2 -6 6 12 -8 Duhet ta gjejmë veç matricën X sa është. X = 4 4 0 0 -2 -6 6 12 -8 = 4/2 4/2 0/2 0/2 -2/2 -6/2 6/2 12/2 -8/2 = 2 2 0 0 -1 -3 3 6 -4 1 2
- 24. Të zgjidhet ekuacionimatricor x² -2 2 1 -1 1 4 2 1 = 2 x² -2 2 1 -1 1 4 2 1 = x² -2 1 -1 4 2 2 Përcaktorin e zgjedhim duke përdorur metodën e Sarusit ( duke i shtuar dy kolonat e para - x² - 8 + 4 + 8- 2x²+ 2 = 2 -3x²+ 6 = 2 -3x² = 2 - 6 - 3x² = - 3 x² = 1 x = ±√ 1 x = ± 1 Katrori kur të del në anën tjetër të barazimit bëhet rrënjë katrore!
- 26. Në qoftë sef(x)= 2x - 3 4 + x të njehsohet f(-2), f(0) dhe f(3). f(-2)= 2(-2) - 3 4 + (-2) = - 4 - 3 4 - 2 = -7 2 f(0)= 2*0 - 3 4 + 0 = 0 - 3 4 + 0 = -3 4 f(3)= 2*3 - 3 4 + 3 = 6 - 3 4 + 3 = 3 7 Zgjidhje: 2x - 3 4 + x f(x)= Ku kemi x zëvendësojmë -2 Ku kemi x zëvendësojmë 0 Ku kemi x zëvendësojmë 3
- 27. Funksionet Te paraqitet grafikishtfunksionit linear: f(x)= 2x+3 Si ta gjej grafikun e këtij funksioni se? E kam një ide!Së pari e bëjmë paraqitjen tabelare x - 2 -1 0 1 2 y f(-2)= 2(-2) +3 = -4+3= -1 f(x)= 2x+3 -1 Ku kemi x zëvendësojmë -2 Ku kemi x zëvendësojmë -1 f(-1)= 2(-1) +3 = -2+3= 1 1 Vlerat e x-it i marrim të çfarëdoshme! f(0)= 2(0) +3 = 0+3= 33 Ku kemi x zëvendësojmë 0 f(1)= 2 *1 +3 = 2+3= 55 Ku kemi x zëvendësojmë 1 f(2)= 2*2 +3 = 4+3= 77 Ku kemi x zëvendësojmë 2 Ehh, tash e bëjmë paraqitjen grafike
- 28. Funksionet Te paraqitet grafikishtfunksioni: f(x)= 2x+3 Ehh, tash e bëjmë paraqitjen grafike x - 2 -1 0 1 2 y -1 1 3 5 7 f(x)= 2x+3 I bashkojmë pikat e gjetura në tabelë dhe lakorja qe i lidhë ato pika është grafiku i funksionit Funksioni linear e ka grafikun drejtëz!
- 29. Të konstruktohet grafikui funksionit kuadratik: Vëmendje! Së pari i gjejmë zerot e funksionit kuadratik e pastaj edhe pikën e kulmit. Zgjidhje: Zerot e funksion-it janë pikat ku lakorja e prek boshtin x. I gjejmë me anë të formulës x1/2 x = -b 2a Me anë të kësaj e gjejmë pikën e kulmit të funksionit! = -(-3) 2*1 = 3 2 Tash e gjejmë sa është vlera e funksionit në x=3/2 Prej nga e formojmë tabelën: x 2 1 3/2 y 0 0 -1/4 Janë zerot e funksionit! Është kulmi i lakores Tash e vizatojmë lakoren e funksionit kuadratik e cila është parabolë 0232 =+− xx a acbb x 2 42 2/1 −±− = 12 214)3()3( 2 2/1 ⋅ ⋅⋅−−±−− =x 2 13 2 13 2 893 2/1 ± = ± = −± =x 2 2 4 2 13 2/1 == + =x 1 2 2 2 13 2/1 == − =x 2 2 3 3 2 3 )( 2 + − =xf 4 1 4 8189 2 2 9 4 9 )( −= +− =+−=xf 23)( 2 +−= xxxf
- 30. x 2 13/2 y 0 0 -1/4 Ja se si duket grafiku i funksionit kuadratik 3/2 -1/4 “Kulmi” i parabolës Vlerat nga tabela i paraqesim me radhë në sistem koordinativ! 23)( 2 +−= xxxf
- 31. Diçka për funksioninkuadratik… • Kur a>0 funksioni ka formën: • Kur a<0 funksioni ka formën: • Kur x1 dhe x2 janë vlera reale atëherë funksioni ka zero (d.m.th. grafiku e prekë boshtin x) • Kur x1 dhe x2 janë vlera komplekse, funksioni s’ka zero (d.m.th. grafiku se prekë boshtin x) • Kur x1 dhe x2 janë të barabarta atëherë grafiku e prek boshtin x në një pikë dhe poashtu ka kulm në po atë pikë! Grafiku i funksionit kuadratik gjithmonë është parabolë
- 32. Të gjendet zonae përkufizimit të funksionit: Zgjidhje: Duhet ti gjejmë vlerat e x-it për të cilat vlera, emruesi i thysës bëhet zero! Pra, 0 1 2 3-1-2 x=0 Për x=0 funksioni s’ka kuptim! Prej nga; zona e përkufizimit të funksionit është: - ∞ + ∞ Dmth pika 0 nuk përfshihet! x x xf 2 3 )( − = )0,(−∞∈x ∪ ),0( +∞ 02 =x 0 2 0 ==x
- 34. Të njehsohet limitii funksionit )573(lim 2 2 +− → xx x Zgjidhje: )573(lim 2 2 +− → xx x Ku kemi x zëvendësojmë 2 52723 2 +•−•= 351412 =+−= Pra, 3 është limiti i funksionit në pikën x=2 Të njehsohet limiti i funksionit 2 57 lim 2 3 1 + +− → x xx x Zgjidhje: 2 57 lim 2 3 1 + +− → x xx x 21 5171 2 3 + +⋅− = 3 1− = Ku kemi x zëvendësojmë 1 Pra, -1/3 është limiti i funksionit në pikën x=1
- 35. Të gjenden asimptotate funksionit: 2 )( 2 − = x x xf Zgjidhje: Asimptota horizonatale: Lxf x = ±∞→ )(lim = −±∞→ 2 lim 2 x x x = − ±∞→ xx x x x x 2 lim 2 = − ±∞→ x x x 2 1 lim ∞= ∞ = − ∞ 101 Meqë limiti është ∞, kjo do të thotë se funksioni nuk ka asimptotë horizontale! Asimptota vertikale: ±∞= → )(lim 0 xf xx = −→ 2 lim 2 0 x x xx = −→ 2 lim 2 2 x x x ∞== − 0 4 22 22 Meqë limiti është ∞, kjo do të thotë se funksioni ka asimptotë vertikale në pikën x=2 L është numër! Pjestojmë me fuqinë më të madhe të x-it në emërues X0 është pika ku funksioni s’është i përkufizuar! Ku kemi x zëvendësojmë 2 =0
- 36. Asimptota e pjerrët: lkxy+= x xf k x )( lim ±∞→ = [ ]kxxfl x −= ±∞→ )(lim =−= ±∞→ x x x k x 2lim 2 = −±∞→ xx x x 2 lim 2 2 22 2 2 2 2 lim x x x x x x x − ±∞→ = − = ±∞→ x x 2 1 1 lim 1 1 1 = k=1 =− − = ±∞→ ]1 2 [lim 2 x x x l x = − +− ±∞→ 2 2 lim 22 x xxx x = −±∞→ 2 2 lim x x x = − ±∞→ xx x x x x 2 2 lim 2 1 2 = l=2 lkxy += 2+= x Pjesëtojmë me fuqinë më të madhe të x-it në emërues =0 Pjesëtojmë me fuqinë më të madhe të x-it në emërues =0 Është asimptotë e pjerrtë Paraqitja grafike e asimptotave:
- 37. Njehsoni asimptotat egrafikut të funksionit: 4 1 )( − = x xf Asimptota horizonatale: Asimptota vertikale: Lxf x = ±∞→ )(lim ±∞= → )(lim 0 xf xx = −±∞→ 4 1 lim xx = − = − ±∞→±∞→ xx x x x x x xx 4 1 lim 4 1 lim 0 1 0 4 1 1 lim == − ±∞→ x x x 0x 0x është pika ku funksioni s’është i përkufizuar Konkretisht: 40 =x 040 =−x 4 1 lim 4 −→ xx ∞== − = 0 1 44 1 d.m.th., y=0 është asimptotë horizontale Pra, vërtetuam se drejtëza x=4 është asimptotë vertikale Asimptota e pjerrët: Nuk ka asimptotë të pjerrët meqë ka asimptotë horizontale!
- 38. Asimptota horizontale: S’ka! Asimptotavertikale: x=2 Asimptota e pjerrtë: y=x-2 x=2 x - 2 -1 0 1 2 y = x -2 -4 -3 -2 -1 0 y=x-2
- 39. Njehsoni derivatin efunksionit 3257)( 23 −+−= xxxxf =′ )(xf =−+⋅−⋅ −−− 322537 111213 xxx =′−+− )3257( 23 xxx =−+− 021021 2 xx Gjithmonë fuqinë për 1 e zbresim! Derivati shënohet me presje (‘) 21021 2 +− xx X në fuqinë 0 është =1 Derivati i çdo numri është 0 =0
- 40. Njehsoni derivatin efunksionit )57)(32()( 2 −+= xxxf ( ) vuvuvu ′⋅+⋅′= ′ ⋅ Kur kemi shumëzim të dy funksioneve, derivatin e njehsojmë me anë të kësaj formule =′ )(xf )32[( +x )32( ′+= x +− )57( 2 x )57( 2 ′−x)32( +x xxx 14)32()57(2 2 ++−= xxx 42281014 22 ++−= 104242 2 −+= xx ])57( 2 ′−x =0 =0
- 41. 2 v vuvu v u ′⋅−⋅′ = ′ Njehsoni derivatine funksionit 43 32 )( + − = x x xf ( ) = + ′+−−+ ′ − 2 )42( )43)(32()43(32 x xxxx= ′ + − =′ 43 32 )( x x xf = + −−+ 2 )42( 3)32()43(2 x xx = + +−+ 2 )42( 9686 x xx 2 )42( 17 +x =0 =0
- 42. Të gjenden intervalete monotonisë së funksionit x x y 12 + = Së pari gjejmë derivatin e parë ′ + =′ x x y 12 ( ) ( ) ′⋅+−⋅ ′ + = 2 22 11 x xxxx 2 2 12 x xxx −−⋅ = 2 22 12 x xx −− = 2 2 1 x x − = Gjejmë zerot e derivatit të parë 0=′y 0 1 2 2 = − x x 012 =−x 12 =x 1±=x u’ v u v’- v² =0 =1 Kur vetëm A=0!0= B A
- 43. Formojmë tabelën mezero të f’(x) dhe pika ku s’është i përkufizuar funksioni x f’(x) f(x) + 4 3 4 14 )2( 1)2( )2( 2 2 += − = − −− =−′f - -3 1 3 4 1 4 41 4 1 1 4 1 ) 2 1 ( 1) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 2 −= − = − = − = − =′f 3 1 3 4 1 4 41 4 1 1 4 1 ) 2 1 ( 1) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 2 −= − = − = − = − −− =−′f 4 3 4 14 )2( 1)2( )2( 2 2 += − = − =′f + E shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë! 0)( >′ xf 0)( =′ xf 0)( <′ xf 2 1 2 1 11 1 1)1( )1( 2 −= − = − + = − +− =−f 2 1 2 1 11 1 11 )1( 2 == + = + =f -2 2 Funksioni s’është i përkufizuar për x=0 -2ështënëmes(-∞,-1) -1/2ështënëmes (-1,0) 1/2 ështënëmes (0,1) 2 ështënëmes (1,+∞) (-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) Funksioni është rritës Funksioni është zvogëlues Funksioni është konstant 0 0 x= -1 është zero e f’(x)x=1 është zero e f’(x)
- 44. Pikat ekstreme tëfunksionit x (-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) f’(x) + 0 - - 0 + f(x) -2 2 Janë pikat ekstreme të funksionit!Max (-1, -2) Min (1, 2) Le ti paraqesim grafikisht! Max Min x=0 dhe y=x janë asimptota!
- 45.