Cyclic code

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN –TIN HỌC

Mã vòng
Bài báo cáo môn lý thuyết thông tin
Nhóm 2

2009

Mã vòng 2009

Nội dung
1. Giới thiệu ................................................................................................................................3
1.1 Định nghĩa mã vòng ...........................................................................................................3
1.2 Định nghĩa đa thức mã .......................................................................................................3
1.3 Bổ đề 1 ..............................................................................................................................4
2. Các tính chất của mã vòng .......................................................................................................5
2.1 Định lý 1 ............................................................................................................................5
2.2 Định lý 2 ............................................................................................................................5
2.3 Định lý 3 ............................................................................................................................6
2.4 Định lý 4 ............................................................................................................................6
2.5 Định lý 5 ............................................................................................................................7
2.6 Định lý 6 ............................................................................................................................8
3. Mã hóa và giải mã mã vòng ................................................................................................... 10
3.1 Ma trận sinh của mã vòng ................................................................................................ 10
3.2 Ma trận sinh dạng hệ thống và dạng chuẩn ....................................................................... 11
3.3 Mã hóa thành từ mã hệ thống ........................................................................................... 12
3.4 Ma trận kiểm tra của mã vòng .......................................................................................... 13
3.5 Tính toán hội chứng và phát hiện lỗi ................................................................................ 15
3.6 Giải mã theo hội chứng .................................................................................................... 17
4. Tổng kết ................................................................................................................................ 21

Tài liệu tham khảo

Toán rời rạc nâng cao-Trần Ngọc Danh-NXB ĐHQG TP HCM-2004

http://www.mth.msu.edu/~jhall/classes/codenotes/Cyclic.pdf

http://cwww.ee.nctu.edu.tw/course/channel_coding/chap4.pdf

http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH324/2008T2/notes11.pdf

2 Lê Đức Bằng – Nguyễn Quốc Cường – Chu Đông Thuyết – Đỗ Trọng Hợp

Mã vòng 2009

1. Giới thiệu
1.1 Định nghĩa mã vòng
Một mã tuyến tính được gọi là mã vòng (cyclic code) nếu và chỉ nếu dịch chuyển của một từ
mã cũng là một từ mã , nghĩa là nếu là một từ mã thì
cũng là một từ mã .

Mã vòng là mã tuyến tính , do đó được xây dựng trên một trường hữu hạn , trong bài này ta
chỉ xét mã vòng trên một trường thông dụng là .

Chú ý : Cách dịch từ mã như trong định nghĩa được gọi là dịch phải . Với một từ mã có chiều
dài n bit thì ta dịch từ mã này i bit , kết quả cũng là một từ mã (theo qui nạp suy ra ) . Và khi ta
dịch theo chiều ngược lại i bit thì kết quả cũng là một từ mã (đồng nghĩa với dịch phải n-i bit ) .

1.2 Định nghĩa đa thức mã
Nếu là một từ mã thì là
một đa thức mã (code polynomial) tương ứng với từ mã .

Vậy chúng ta có một song ánh giữa từ mã và đa thức mã . Do ta xét mã vòng trên trường , nên
mỗi đa thức mã là một đa thức trên trường và có bậc ≤ . Sau này ta sẽ dựa vào các đa
thức mã này để chứng minh các tính chất của mã vòng .

Ví dụ 1

Bảng sau đây trình bày một mã vòng .

Thông báo Từ mã Đa thức

0000 0000000
1000 1101000
0100 0110100
1100 1011100
0010 0011010
1010 1110010
0110 0101110
1110 1000110
0001 0001101
1001 1100101
0101 0111001
1101 1010001
0011 0010111
1011 1111111
0111 0100011
1111 1001011

Mã vòng 2009
Dễ dàng kiểm tra mã trên là một mã tuyến tính có tính chất vòng .

Chú ý : vì tổng 2 từ mã là một từ mã ( tính chất của mã tuyến tính ) nên tổng 2 đa thức mã là một
đa thức mã .

1.3 Bổ đề 1
là từ mã có được do dịch từ mã bit , và là đa thức mã tương ứng của nó .
Ta có

Chứng minh

Ta có

Suy ra

Như vậy

Hay

Có thể hiểu bổ đề này một cách đơn giản qua ví dụ sau

Với từ mã

0 1101000
1 0110100
2 0011010
3 0001101
4 1000110
5 0100011
6 1010001


Mã vòng 2009

Chúng ta thấy tuy nhiên nếu chứa với thì
được thay bằng .

Trên trường chúng ta có

Tương tự

hay với .

Như vậy ta có thể viết

2. Các tính chất của mã vòng
Trong phần này ta sẽ chỉ ra một số tính chất của mã vòng .

2.1 Định lý 1
Với một mã vòng , chỉ tồn tại duy nhất một đa thức mã khác 0 có bậc nhỏ nhất . Hay nói
cách khác không tồn tại hai đa thức mã khác 0 , khác nhau và cùng có bậc nhỏ nhất .

Chứng minh :

Giả sử tồn tại hai đa thức mã khác 0 , và cùng có bậc nhỏ nhất là .

Từ đây ta suy ra đa thức có bậc nhỏ hơn , mâu thuẫn . Từ đây suy ra đpcm.

Chúng ta ký hiệu đa thức mã có bậc nhỏ nhất của một mã là như sau :

2.2 Định lý 2
Hệ số tự do của phải bằng 1 .

Chứng minh :

Giả sử , ta suy ra


Mã vòng 2009
Đặt . Vì từ mã tương ứng với là kết quả của dịch trái
1 bit hay dịch phải (n-1) bit từ mã tương ứng với , do đó cũng là một đa thức mã .
Nhưng bậc của là , mâu thuẫn với định nghĩa của . Từ đây suy ra đpcm .

2.3 Định lý 3
Một đa thức trên trường có bậc là đa thức mã nếu và chỉ nếu nó là một
bội số của . Tức là có thể viết

Chứng minh :

Trước hết ta chứng minh nếu và bậc của thì là đa thức
mã . Chúng ta có

Trong đó p là bậc của và . Do với là đa thức mã tương
ứng với từ mã được tạo thành do dịch từ mã bit . Theo tính chất của mã tuyến tính thì
cũng là một từ mã vì là tổ hợp tuyến tính của các từ mã .

Ngược lại , giả sử là một đa thức mã , ta có

Trong đó là đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của . Mặt khác trên trường , ta có
, suy ra

Ta có có bậc bậc của , từ chứng minh phần trước ta suy ra là
một đa thức mã , mặt khác là một đa thức mã . Suy ra là một đa thức mã có bậc nhỏ
hơn bậc của . Do tính chất của , ta suy ra , suy ra đpcm .

Từ định lý này , ta gọi là đa thức sinh (generator polynomial), vì từ có thể sinh ra tất
cả các đa thức mã khác.

2.4 Định lý 4
Đa thức sinh của một mã vòng có bậc

Chứng minh :

Gọi là bậc của đa thức sinh Từ định lý 3 , chúng ta có mỗi đa thức mã là một bội
số của


Mã vòng 2009

Vì vậy có bao nhiêu từ mã thì có bấy nhiêu đa thức . Do bậc của nên bậc của
. Suy ra có hệ số thuộc trường , tức là có đa thức
. Mặt khác số lượng từ mã là ( do là mã tuyến tính ) . Từ đây suy ra

Chứng minh hoàn tất .

Từ định lý này ta có thể biểu diễn đa thức sinh như sau

Trong đó

2.5 Định lý 5
Đa thức sinh của mã vòng là một ước số của .

Chứng minh :

Từ bổ đề 1 ta suy ra

Hay có thể viết

Bây giờ chọn , ta để ý là bậc của bằng ,bậc của . Do đó đa thức ở
vế trái có bậc là , để thỏa đẳng thức thì buộc phải có tức là

Từ đây , do tính chất của trường ta suy ra

Mặt khác do là một đa thức mã nên ta có

Như vậy (đpcm)


Mã vòng 2009

2.6 Định lý 6
Nếu là một đa thức có bậc và là ước số của thì sinh ra mã vòng
, hay nói cách khác là đa thức sinh của một mã vòng nào đó .

Chứng minh :

Với là một đa thức có bậc và là ước của , ta chứng minh sinh ra một
mã vòng .

Xét k đa thức .

Những đa thức có trên bậc lần lượt là

Đặt là tổ hợp tuyến tính của đa thức này với các hệ số

Ta thấy là đa thức có bậc và là bội số của .

Với tất cả bộ , ta có đa thức phân biệt .

Ta kiểm tra 2 điều sau

Với bất kỳ

Ta có

Các hệ số

Với , ta có

Các hệ số

Như vậy đa thức này tạo thành một không gian tuyến tính các đa thức mã với
là cơ sở .Có thể biểu diễn mỗi phần tử của không gian này như sau

Với là đa thức có bậc


Mã vòng 2009

Như vậy ta có một song ánh biến một khối (tương ứng với một đa thức ) thành
một khối (tương ứng với một đa thức ) , tức là sinh ra một mã tuyến tính
. Bây giờ ta chứng minh mã này có tính chất vòng , nghĩa là nếu là một từ mã thì dịch
bit được thì cũng là một từ mã . Điều này tương đương với nếu là một đa thức
mã thì cũng là một đa thức mã . Đầu tiên ta biểu diễn

thì

Theo bổ đề 1 chúng ta có

Hay

Tương đương với

Ta suy ra , nghĩa là

Do là bội của (từ cách đặt ) , và là bội của (từ giả thiết) , ta suy ra
cũng là bội của . Mặt khác bậc của , suy ra

Với là đa thức có bậc . Như vậy cũng là đa thức mã , tức là mã tuyến tính
do sinh ra có tính chất vòng . (đpcm)

Ví dụ 2

Tìm các đa thức sinh cho các mã vòng có độ dài 7 .

Đa thức sinh của một mã vòng có độ dài 7 là ước của . Phân tích đa thức này ra thừa số
chúng ta được


Mã vòng 2009
Có 3 thừa số , như vậy có tất cả đa thức sinh ( là ước của ) , tức là có 8 mã vòng
có độ dài từ mã là 7 tương ứng với 8 đa thức sinh sau đây :

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)

Đa thức sinh sẽ sinh ra mã vòng chính là , còn đa thức sinh sẽ sinh
ra mã vòng chỉ có 1 phần tử là {0000000}.

3. Mã hóa và giải mã mã vòng
3.1 Ma trận sinh của mã vòng
Từ các định lý trên ta có được những điều sau :

Một mã vòng bất kỳ sẽ được sinh từ đa thức sinh của nó , đa thức này là một đa
thức có bậc trên trường . Mỗi từ mã sẽ có một đa thức mã tương ứng và ngược lại ,
tất cả đa thức mã tương ứng với các từ mã của mã vòng này là các đa thức có dạng

Như vậy mỗi từ mã là tổ hợp tuyến tính của các từ mã có các đa thức mã tương ứng
. Và chú ý là các đa thức mã này độc lập tuyến tính ( vì chúng có bậc hoàn
toàn khác nhau ) , do đó ta có thể biểu diễn ma trận sinh (generator matrix) của mã vòng như sau

Nhắc lại là , trong đó

Đôi khi người ta còn gọi ma trận sinh là ma trận sinh mã vòng (cyclic generator matrix) .


Mã vòng 2009
Khi đã có ma trận sinh , thì mã hóa vòng (cyclic encoding) là quá trình mã hóa thông báo
thành từ mã .

Ví dụ 3

Tìm một mã vòng

Từ ví dụ 2 ta thấy có 8 đa thức sinh ứng với 8 mã vòng có độ dài 7 , theo định lý 6 thì đa thức
sinh cho mã vòng phải có bậc là 3 .

Có 2 đa thức sinh cùng có bậc là 3 , mỗi đa thức này sẽ sinh ra một mã vòng .Chúng ta sẽ
chọn một đa thức , chẳng hạn

Từ đây ta suy ra ma trận sinh của mã vòng này là

Thông báo sẽ được mã hóa thành từ mã .

Bộ mã này là bộ mã được trình bày trong ví dụ 1 .

3.2 Ma trận sinh dạng hệ thống và dạng chuẩn
Mã hóa dạng hệ thống (synstematic encoding) sẽ mã hóa thông báo thành từ
mã dạng hệ thống (systematic form) .

Mã hóa dạng chuẩn (standard encoding) sẽ mã hóa thông báo thành từ mã dạng chuẩn
(standard form)

Để mã hóa dạng hệ thống , ta biến đổi ma trận sinh thành ma trận sinh dạng hệ thống (systematic
generator matrix) . Từ cách mã hóa theo dạng hệ thống , ta dễ dàng suy ra ma trận sinh dạng hệ
thống phải có dạng

Ta chú ý là do hàng trong ma trận sinh luôn độc lập tuyến tính (vì nó tương ứng với k đa thức
có bậc từ đến ) nên việc biến đổi này luôn thực hiện được .

Ví dụ với ma trận sinh trong ví dụ 3 , ta sẽ đưa về dạng hệ thống bằng cách biến đổi :


Mã vòng 2009
Ta được

Hoàn toàn tương tự cho trường hợp của mã vòng dạng chuẩn , ta có thể biến đổi ma trận sinh
thành ma trận sinh dạng chuẩn (standard generator matrix) . Tuy nhiên do tính vòng của mã
vòng , ta có thể biến đổi từ ma trận sinh dạng hệ thống sang dạng chuẩn bằng cách dịch vòng
bit . Ma trận sinh dạng chuẩn có dạng sau

Với ma trận sinh dạng hệ thống lúc nãy , ta dịch vòng 4 bit để được ma trận sinh dạng chuẩn

3.3 Mã hóa thành từ mã hệ thống
Cũng giống như các loại mã tuyến tính khác , ta có thể mã hóa một thông báo thành từ mã hệ
thống bằng cách dùng ma trận sinh dạng hệ thống . Với mã vòng chúng ta có thể dùng cách sau
để mã hóa thông báo thành từ mã , trong đó
bit là các bit kiểm tra .

Gọi là đa thức thông báo (message polynomial) tương ứng với thông báo , vì bậc của
, chia cho ta được

Từ đây suy ra

Chú ý là bậc của , do là bội của nên nó là một từ mã .
Và để ý mã tương ứng với đa thức mã này có bit sau chính là bit thông báo . Đó chính là từ
mã dạng hệ thống tương ứng với thông báo .

Do tính chất vòng nên ta có thể tìm từ mã dạng chuẩn tương ứng với thông báo bằng cách dịch
vòng k bit từ mã dạng hệ thống tương ứng với .

Ví dụ 4

Mã vòng 2009
Với mã vòng trong ví dụ 3 , ta sẽ mã hóa thông báo thành từ mã hệ thống .

Đa thức tương ứng với là . Nhân với rồi chia cho
chúng ta được

Như vậy là đa thức mã và từ mã tương ứng là từ mã hệ
thống tương ứng với .

Dịch vòng bit , ta thu được từ mã chuẩn tương ứng với là .

3.4 Ma trận kiểm tra của mã vòng
Ta có thể tìm ma trận kiểm tra của mã vòng theo cách chung cho các loại mã tuyến tính dựa vào
định lý sau

Định lý : Nếu ma trận sinh của mã C(n,k) có dạng chuẩn thì
là ma trận kiểm tra của C . 1

Ví dụ

Với mã vòng có đa thức sinh và ma trận sinh dạng chuẩn

Suy ra ma trận kiểm tra là

Dựa vào tính chất của mã vòng , ta có thể tìm ma trận kiểm tra (parity check matrix) của mã
vòng theo một cách nhanh hơn như sau :

Trước hết , do là ước của nên ta có thể biểu diễn

Chúng ta gọi là đa thức kiểm tra (parity check polynomial) của mã .Để ý có bậc
và được biểu diễn như sau, trong đó

1
Định lý 8.2.8 tr 233 –Toán rời rạc nâng cao-Trần Ngọc Danh-NXB ĐHQG TP.HCM-2004

Mã vòng 2009
Gọi là đa thức mã tương ứng với từ mã ,
chúng ta có thể biểu diễn như sau , trong đó có bậc

Từ đó

Do có bậc nên các hệ số của trong bằng 0 . Ta có
thể tính được các hệ số này bằng cách khai triển các đa thức và , từ đó suy ra
đằng thức sau

Suy ra các tích vector sau bằng 0

Vì thế nếu chúng ta đặt

thì chúng ta suy ra . Từ đây suy ra là ma trận kiểm tra của mã vòng .


Mã vòng 2009
Ví dụ 5

Cho mã vòng có đa thức sinh là . Từ đây suy ra

Và chúng ta có ma trận kiểm tra của mã này như sau

3.5 Tính toán hội chứng và phát hiện lỗi
Giả sử là đa thức được gửi đi , còn là đa thức nhận được , chúng ta có thể viết

Với là đa thức tương ứng với lỗi xảy ra .

Đa thức hội chứng (syndrome polynomial) được định nghĩa bởi .
Với là đa thức sinh của mã vòng và có bậc , do đó bậc của , và sẽ
tương ứng với 1 từ nhị phân có độ dài .

Do là đa thức mã nên

Như vậy

Hay

Như vậy đa thức hội chứng chỉ phụ thuộc vào lỗi .

Để tìm đa thức hội chứng , đầu tiên ta định nghĩa ma trận như sau : là ma trận kích thước
, trong đó cột thứ , ký hiệu là chính là từ có độ dài tương ứng với
. Ta có thể nhận thấy chính là ma trận kiểm tra (parity check matrix ) 2
của mã vì với là một đa thức mã , ta có

Bây giờ , nếu là từ nhận được thì

2
Các ma trận kiểm tra H trong 3.4 và 3.5 đều có thể dùng để kiểm tra từ mã và tính toán hội chứng, ma trận kiểm tra
khác nhau sẽ cho ra hội chứng s khác nhau với cùng một lỗi, với mã vòng người ta thường dùng ma trận H trong 3.5
để tính hội chứng vì nó tương đương với cách tính bằng đa thức –vốn được dùng nhiều trong thiết kế mạch

Mã vòng 2009

Như vậy nếu và chỉ nếu là đa thức mã . Hơn nữa , nếu thì tương ứng
với đa thức .

Ví dụ 6

Với mã vòng sinh bởi đa thức . Như vậy , chúng ta tìm
như sau

Như vậy


Mã vòng 2009
Với từ nhận được , tương ứng với . Ta có

và .

3.6 Giải mã theo hội chứng
Trước tiên ta giới thiệu một số định nghĩa và định lý.

Định nghĩa 3

(i) Với 2 từ và . Khoảng cách giữa và là số vị trí
khác nhau của x và y ( nghĩa là số các sao cho ), ký hiệu .
(ii) Cho mã có ít nhất 2 từ , khoảng cách của được định nghĩa là

(iii) Trọng lượng của , ký hiệu , là số bit khác 0 của . Nói cách khác
với 0 là từ zero .
(iv) Qui tắc giải mã thích hợp tối đa : trong một kênh liên lạc với các từ trong mã
được truyền đi và là một từ nhận được thì được giải mã thành với là từ
mã thỏa
nhận /truyền ) = nhận /truyền )
(v) Cho là số nguyên dương và là một mã , ta nói hiệu chỉnh được lỗi nếu
được truyền đi và là từ nhận được sao cho thì được giải
mã thành theo qui tắc thích hợp tối đa .

Định lý 4

Mã hiệu chỉnh được lỗi nếu và chỉ nếu , nghĩa là nếu mã có khoảng
cách thì hiệu chỉnh đúng lỗi , ký hiệu [.] để chỉ phần nguyên .

Định lý sau đây sẽ giúp tính toán các hội chứng nhanh hơn

Định lý 7

Với là đa thức nhận được , hội chứng của , nghĩa là

là đa thức hội chứng của , nghĩa là

3
ĐN 8.1.6, 8.1.10, 8.2.3, 8.1.5, 8.1.13 Toán rời rạc nâng cao-Trần Ngọc Danh-NXB ĐHQG TP.HCM
4
ĐL 8.1.14 Toán rời rạc nâng cao –Trần Ngọc Danh-NXB ĐHQG TP.HCM

Mã vòng 2009
Ta có

Chứng minh

Với là dịch vòng 1 bit của ,

Như vậy

Để giải mã mã vòng , ta có thể tạo một bảng giải mã chuẩn (standard decoding array – SDA) ,
sau đó với một chuỗi nhận được , ta tính hội chứng của nó và sửa lỗi theo SDA.

Ví dụ 7

Với mã vòng có đa thức sinh là , mã này có khoảng cách nhỏ nhất
, do đó có thể hiệu chỉnh 1 đúng 1 lỗi . Tức là nếu lỗi xảy ra có trọng lượng bằng 1 thì
mã này có thể sửa được , nếu lỗi xảy ra tại nhiều hơn 1 bit thì không thể sửa được .

Như vậy những lỗi có thể sửa được của mã này là và các dịch vòng của nó .

Với


Mã vòng 2009
Với mã trên ta được bảng sau

Nếu đa thức ta nhận được là , thì hội chứng của nó là

Dựa vào SDA

được tìm ra như trên là từ mã thích hợp tối đa của .

Ta có thể lợi dụng tính chất của mã vòng đề xây dựng một thuật toán giải mã nhanh hơn mà
không cần phải tạo SDA .

Đầu tiên ta có , do đó ⇔ bậc nhỏ hơn bậc g .

Mặt khác ta có

Giả sử tồn tại sao cho có bậc nhỏ hơn bậc của , khi đó


Mã vòng 2009
Nếu mã hiệu chỉnh được lỗi , thì ta chỉ có thể sửa được những lỗi có trọng lượng nhỏ hơn hoặc
bằng , có nghĩa điều kiện để sửa lỗi là , hay

Từ những phân tích trên ta có một thuật toán để giải mã mã vòng như sau

1. Tính đa thức hội chứng , với là đa thức nhận được
2. Với mỗi , tính ( là hội chứng của dịch vòng thứ
của ) , lặp lại cho đến khi tìm được một có trọng lượng của , khi đó đa
thức lỗi thích hợp nhất là .

Chú ý là trong thuật toán trên , với một lỗi , ta giả sử tồn tại sao cho
có bậc nhỏ hơn . Rất có khả năng có một lỗi có trọng lượng nhỏ
hơn nhưng không thỏa tính chất này , đây là những lỗi có thể sửa được ( bằng SDA chẳng hạn)
nhưng không sửa được bằng thuật toán này , do đó đây là thuật toán không chính xác , nhưng
điểm mạnh của thuật toán này , ta có thể thiết kế các mạch giải mã rất dễ dàng và tốc độ thực thi
nhanh (do chủ yếu sử dụng các phép dịch bit) .

Ví dụ 8

Cho mã vòng có đa thức sinh , mã này có khoảng cách , do
đó hiệu chỉnh được 1 lỗi ( . Giả sử đa thức nhận được là , ta tính được
hội chứng của nó là

, vậy , suy ra

Như vậy là từ mã thích hợp tối đa của .

Ví dụ 9

Cho mã vòng có đa thức sinh là . Mã này có ,
như vậy mã này hiệu chỉnh lỗi . Tức là những lỗi có trọng lượng nhỏ hơn hoặc
bằng 2 đều có thể sửa được . Giải mã với từ nhận được . Đa thức
tương ứng là .


Mã vòng 2009
Tính đa thức hội chứng

, vậy , suy ra

Như vậy

4. Tổng kết
Mã vòng là một loại mã tuyến tính đặc biệt , nhờ tính chất vòng của nó , việc sinh ra một mã
vòng , mã hóa , kiểm tra , giải mã đều được thực hiện dễ dàng , đặc biệt là việc thiết kế các mạch
mã hóa và giải mã cũng rất dễ, do đó nó là loại mã rất quan trọng trong lý thuyết thông tin.

Trong bài này , mã vòng được xây dựng trên một trường cụ thể là , tuy nhiên những gì ta xét
trong bài cũng hoàn toàn đúng cho mã vòng tổng quát được xây dựng trên trường , thậm chí
các phép chứng minh cũng hoàn toàn tương tự như vậy , chỉ có một ít khác biệt về dấu của các
đa thức trong một số khái niệm và chứng minh.

Có nhiều loại mã vòng đặc biệt được sử dụng rộng rãi trong thực tế, mỗi loại có tính chất và cách
xây dựng riêng . Và bài báo cáo này không tìm hiểu một loại mã cụ thể mà chỉ giới thiệu các tính
chất chung của mã vòng , cách xây dựng những mã vòng thông thường , cùng với cách mã hóa,
kiểm tra , và giải mã chúng. Đây là nền tảng để tìm hiểu những loại mã được sử dụng nhiều như
mã CRC , mã BHC , mã Reed-Solomon…

Hết !


Cyclic code

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Cyclic code

Similar to Cyclic code (11)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Cyclic code