1. BÀI GIẢNG SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC
Bài giảng ở Lớp Dạy Thêm LTDH…
Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một kĩ thuật thường sử dụng để xử lí các bài toán về bất
đẳng thức và bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong đó các biểu thức và giả thiết của bài toán đều là
những biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng cấp.
Trước hết xin nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp:
Biểu thức
được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc
Nếu biểu thức
(
) nếu
là biểu thức đẳng cấp bậc 0 thì với phép đặt
,
ta có:
là biểu thức
biến, tức là ta đã làm giảm đi
số biến. Đặt biệt với biểu thức đẳng cấp bậc 0 hai biến thì ta có thể chuyển về biểu thức một biến. Do đó để
tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát hàm số.
Sau đây là các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai số thực
thay đổi và thỏa mãn
của biểu thức:
(Đề thi ĐH Khối B – 2009 ).
Lời giải.
* Nếu
.
* Nếu
thì đặt :
ta có:
Xét hàm số
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
, ta có :

2. ,
Lập bảng biến thiên ta được:
Vậy:
đạt được khi
Và
đạt được khi
Ví dụ 2. Cho
.
là hai số thực thay đổi và thỏa mãn
giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
. Tìm giá trị lớn nhất và
.
Lời giải.
Đặt
, từ giả thiết bài toán ta có:
.
Do
Khi đó:
Xét hàm số
Suy ra
có
đạt được khi

3. đạt được khi
.
Ví dụ 3. Cho hai số thực
thỏa
nhất của biểu thức
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
.
Lời giải.
Đặt
, khi đó từ giả thiết bài toán ta suy ra :
Vì
.
Ta có:
Xét hàm số
, ta có:
Vì
Dẫn tới
. Từ đó ta tìm được:
đạt được khi

4. đạt được khi
Ví dụ 4. Cho các số thực dương
thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải. Đặt
Khi đó
nghiệm
trở thành
, vì
hay
Xét hàm số
có
Suy ra
Vậy
tồn tại nên bất phương trình này phải có
.
đạt được khi
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
.
thoả
(*), ta luôn có:
(ĐH Khối A – 2009 ).
Lời giải.
Đặt
.
Khi đó gải thiết bài toán trở thành:
đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(*) và bất
(1).
Vì (*) và (1) là những biểu thức đối xứng đối với $a,b$ nên ta nghĩ tới cách đặt $S=a+b;P=ab$
Mỗi quan hệ giữa $S$ và $P$ là

5. .
Khi đó :
Nên
luôn đúng do
.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Ví dụ 6. Cho các số thực
. Tìm giá rị nhỏ nhất của biểu thức
(ĐH Khối A – 2011 ).
Lời giải. Đặt
Xét hàm số
Xét
Nên
là hàm đồng biến trên
. Khi đó:

6. Do đó:
Ta có:
Từ đó suy ra:
hay
Đẳng thức xảy ra khi
, mà
Vậy
.
Ví dụ 7. Cho
thỏa
lớn nhất của biểu thức:
và
.
Lời giải. Đặt
Từ giả thiết ta có:
Do
Khi đó:
Xét hàm số
với
, có :
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị

7. Suy ra
, đạt được khi
, đạt được khi
.
Cuối cùng chúng tôi đưa ra một số bài tập để bạn đọc luyện tập.
Bài 1. Cho
. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Bài 2. Cho các số thực
thỏa
.
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
Bài 3. Cho
là hai số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện
biểu thức:
Bài 4. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
thỏa
. Chứng minh rằng :
.
Bài 5. Cho các số thực
thỏa
. Chứng minh rằng
.
Bài 6. Cho các số thực dương
của biểu thức:
thỏa
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
.
Bài 7. Cho các số thực dương
thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 8. Cho các số thực dương
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
thỏa
và
.
. Tìm giá trị lớn