Luận văn - Một số phương trình diophant liên quan đến số cân bằng. Chương này trình bày các khái niệm về số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số tam giác chính phương và một số tính chất của số cân bằng được trình bày trong tài liệu [4].
Luận văn thạc sĩ - Bất đẳng thức với hàm lồi bộ phận và ứng dụng. Trước khi nhắc lại về bất đẳng thức Jensen, chúng tôi nhắc lại về khái niệm tập lồi trong tập số thực R và hàm lồi xác định trên một tập lồi. Đây là những khái niệm rất quan trọng trong giải tích và đặc biệt được sử dụng rất nhiều trong lý thuyết bất đẳng thức.
Luận văn M T So Phương Trình Diophant Liên Quan Đen So Cân Bang.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Tài liệu xin được trên Diễn đàn toán học, mong mọi người có thể tìm những kiến thức hữu ích qua tài liệu này với nhiều công sức của thành viên và thầy cô trên diễn đàn.
Luận văn thạc sĩ - Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi. Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức d(x) chia hết hai đa thức f (x) và g(x) gọi là ước chung của f (x) và g(x). Nếu d(x) là một ước chung chia hết cho mọi ước chung khác của hai đa thức f (x) và g(x) đúng thì ta gọi d(x) là ước chung lớn nhất của f (x) và g(x) .
toán vmf rất hay rất tốt đăng để có điểm lol haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa chắc thế
đừng để ý đoạn dưới này
1..Trăm năm trong cõi người ta,
2..Chữ tài chữ mệnh khéo là ghét nhau.
3..Trải qua một cuộc bể dâu,
4..Những điều trông thấy mà đau đớn lòng.
5.. Lạ gì bỉ sắc tư phong,
6..Trời xanh quen thói má hồng đánh ghen.
7..Cảo thơm lần giở trước đèn,
8..Phong tình có lục còn truyền sử xanh.
9,,Rằng năm Gia Tĩnh triều Minh,
10.. Bốn phương phẳng lặng, hai kinh vững vàng.
11..Có nhà viên ngoại họ Vương,
12..Gia tư nghĩ cũng thường thường bực trung.
13..Một trai con thứ rốt lòng,
14..Vương Quan là chữ, nối dòng nho gia.
15.. Đầu lòng hai ả tố nga,
16. Thúy Kiều là chị, em là Thúy Vân.
17. Mai cốt cách, tuyết tinh thần,
18. Một người một vẻ, mười phân vẹn mười.
19. Vân xem trang trọng khác vời,
20.. Khuôn trăng đầy đặn, nét ngài nở nang.
21.Hoa cười ngọc thốt đoan trang,
22. Mây thua nước tóc, tuyết nhường màu da.
23. Kiều càng sắc sảo, mặn mà,
24. So bề tài, sắc, lại là phần hơn.
25.. Làn thu thủy, nét xuân sơn,
26. Hoa ghen thua thắm, liễu hờn kém xanh.
27. Một, hai nghiêng nước nghiêng thành,
28. Sắc đành đòi một, tài đành họa hai.
29. Thông minh vốn sẵn tư trời,
30.. Pha nghề thi họa, đủ mùi ca ngâm.
31. Cung thương làu bậc ngũ âm,
32. Nghề riêng ăn đứt Hồ cầm một trương.
33. Khúc nhà tay lựa nên chương,
34.Một thiên bạc mệnh, lại càng não nhân.
35.. Phong lưu rất mực hồng quần,
36 Xuân xanh sấp xỉ tới tuần cập kê
37 Êm đềm trướng rủ màn che,
38 Tường đông ong bướm đi về mặc ai.
39 Ngày xuân con én đưa thoi,
40.. Thiều quang chín chục đã ngoài sáu mươi.
41 Cỏ non xanh tận chân trời,
42 Cành lê trắng điểm một vài bông hoa.
43 Thanh minh trong tiết tháng ba,
44 Lễ là tảo mộ, hội là đạp Thanh.
45.. Gần xa nô nức yến anh,
46 Chị em sắm sửa bộ hành chơi xuân.
47 Dập dìu tài tử, giai nhân,
48 Ngựa xe như nước áo quần như nêm.
49 Ngổn ngang gò đống kéo lên,
50.. Thoi vàng vó rắc tro tiền giấy bay.
51 Tà tà bóng ngả về tây,
52 Chị em thơ thẩn dan tay ra về.
53 Bước dần theo ngọn tiểu khê,
54 Lần xem phong cảnh có bề thanh thanh.
55.. Nao nao dòng nước uốn quanh,
56 Dịp cầu nho nhỏ cuối ghềnh bắc ngang.
57 Sè sè nấm đất bên đàng,
58 Dàu dàu ngọn cỏ nửa vàng nửa xanh.
59 Rằng: Sao trong tiết thanh minh,
60.. Mà đây hương khói vắng tanh thế mà?
61 Vương Quan mới dẫn gần xa:
62 Đạm Tiên nàng ấy xưa là ca nhi.
63 Nổi danh tài sắc một thì,
64 Xôn xao ngoài cửa hiếm gì yến anh.
65.. Kiếp hồng nhan có mong manh,
66 Nửa chừng xuân thoắt gãy cành thiên hương.
67 Có người khách ở viễn phương,
68 Xa nghe cũng nức tiếng nàng tìm chơi.
69 Thuyền tình vừa ghé tới nơi,
70.. Thì đà trâm gẫy bình rơi bao giờ.
71 Buồng không lạnh ngắt như tờ,
72 Dấu xe ngựa đã rêu lờ mờ xanh.
73 Khóc than khôn xiết sự tình,
74 Khéo vô duyên ấy là mình với ta.
75.. Đã không duyên trước chăng mà,
76 Thì chi chút ước gọi là duyên sau.
77 Sắm xanh nếp tử xe trâu
78 Vùi nông
Luận văn thạc sĩ toán học - Hệ số tự do của đa thức cực tiểu của cos 2np. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức cực tiểu Yn (x) của cos 2np trong các chương sau. Nội dung chính của chương bao gồm định nghĩa, một số tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev và đa thức chia đường tròn. Một phần của chương này được dành để nhắc lại khái niệm về mở rộng trường, số đại số, từ đó trình bày định nghĩa về đa thức cực tiểu Yn (x) của cos 2np . Các kết quả chính của chương được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3, 4].
Luận văn thạc sĩ - Một số lớp phương trình hàm trong số học. Trong mục này, ta giải các bài toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học đơn giản của đối số sang phép tính đối với các giá trị hàm tương ứng. Ta sẽ giải quyết các bài toán trên lớp hàm xác định trên tập số nguyên dương.
Luận văn thạc sĩ - Bất đẳng thức với hàm lồi bộ phận và ứng dụng. Trước khi nhắc lại về bất đẳng thức Jensen, chúng tôi nhắc lại về khái niệm tập lồi trong tập số thực R và hàm lồi xác định trên một tập lồi. Đây là những khái niệm rất quan trọng trong giải tích và đặc biệt được sử dụng rất nhiều trong lý thuyết bất đẳng thức.
Luận văn M T So Phương Trình Diophant Liên Quan Đen So Cân Bang.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Tài liệu xin được trên Diễn đàn toán học, mong mọi người có thể tìm những kiến thức hữu ích qua tài liệu này với nhiều công sức của thành viên và thầy cô trên diễn đàn.
Luận văn thạc sĩ - Đa thức trong các bài toán thi học sinh giỏi. Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức d(x) chia hết hai đa thức f (x) và g(x) gọi là ước chung của f (x) và g(x). Nếu d(x) là một ước chung chia hết cho mọi ước chung khác của hai đa thức f (x) và g(x) đúng thì ta gọi d(x) là ước chung lớn nhất của f (x) và g(x) .
toán vmf rất hay rất tốt đăng để có điểm lol haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa chắc thế
đừng để ý đoạn dưới này
1..Trăm năm trong cõi người ta,
2..Chữ tài chữ mệnh khéo là ghét nhau.
3..Trải qua một cuộc bể dâu,
4..Những điều trông thấy mà đau đớn lòng.
5.. Lạ gì bỉ sắc tư phong,
6..Trời xanh quen thói má hồng đánh ghen.
7..Cảo thơm lần giở trước đèn,
8..Phong tình có lục còn truyền sử xanh.
9,,Rằng năm Gia Tĩnh triều Minh,
10.. Bốn phương phẳng lặng, hai kinh vững vàng.
11..Có nhà viên ngoại họ Vương,
12..Gia tư nghĩ cũng thường thường bực trung.
13..Một trai con thứ rốt lòng,
14..Vương Quan là chữ, nối dòng nho gia.
15.. Đầu lòng hai ả tố nga,
16. Thúy Kiều là chị, em là Thúy Vân.
17. Mai cốt cách, tuyết tinh thần,
18. Một người một vẻ, mười phân vẹn mười.
19. Vân xem trang trọng khác vời,
20.. Khuôn trăng đầy đặn, nét ngài nở nang.
21.Hoa cười ngọc thốt đoan trang,
22. Mây thua nước tóc, tuyết nhường màu da.
23. Kiều càng sắc sảo, mặn mà,
24. So bề tài, sắc, lại là phần hơn.
25.. Làn thu thủy, nét xuân sơn,
26. Hoa ghen thua thắm, liễu hờn kém xanh.
27. Một, hai nghiêng nước nghiêng thành,
28. Sắc đành đòi một, tài đành họa hai.
29. Thông minh vốn sẵn tư trời,
30.. Pha nghề thi họa, đủ mùi ca ngâm.
31. Cung thương làu bậc ngũ âm,
32. Nghề riêng ăn đứt Hồ cầm một trương.
33. Khúc nhà tay lựa nên chương,
34.Một thiên bạc mệnh, lại càng não nhân.
35.. Phong lưu rất mực hồng quần,
36 Xuân xanh sấp xỉ tới tuần cập kê
37 Êm đềm trướng rủ màn che,
38 Tường đông ong bướm đi về mặc ai.
39 Ngày xuân con én đưa thoi,
40.. Thiều quang chín chục đã ngoài sáu mươi.
41 Cỏ non xanh tận chân trời,
42 Cành lê trắng điểm một vài bông hoa.
43 Thanh minh trong tiết tháng ba,
44 Lễ là tảo mộ, hội là đạp Thanh.
45.. Gần xa nô nức yến anh,
46 Chị em sắm sửa bộ hành chơi xuân.
47 Dập dìu tài tử, giai nhân,
48 Ngựa xe như nước áo quần như nêm.
49 Ngổn ngang gò đống kéo lên,
50.. Thoi vàng vó rắc tro tiền giấy bay.
51 Tà tà bóng ngả về tây,
52 Chị em thơ thẩn dan tay ra về.
53 Bước dần theo ngọn tiểu khê,
54 Lần xem phong cảnh có bề thanh thanh.
55.. Nao nao dòng nước uốn quanh,
56 Dịp cầu nho nhỏ cuối ghềnh bắc ngang.
57 Sè sè nấm đất bên đàng,
58 Dàu dàu ngọn cỏ nửa vàng nửa xanh.
59 Rằng: Sao trong tiết thanh minh,
60.. Mà đây hương khói vắng tanh thế mà?
61 Vương Quan mới dẫn gần xa:
62 Đạm Tiên nàng ấy xưa là ca nhi.
63 Nổi danh tài sắc một thì,
64 Xôn xao ngoài cửa hiếm gì yến anh.
65.. Kiếp hồng nhan có mong manh,
66 Nửa chừng xuân thoắt gãy cành thiên hương.
67 Có người khách ở viễn phương,
68 Xa nghe cũng nức tiếng nàng tìm chơi.
69 Thuyền tình vừa ghé tới nơi,
70.. Thì đà trâm gẫy bình rơi bao giờ.
71 Buồng không lạnh ngắt như tờ,
72 Dấu xe ngựa đã rêu lờ mờ xanh.
73 Khóc than khôn xiết sự tình,
74 Khéo vô duyên ấy là mình với ta.
75.. Đã không duyên trước chăng mà,
76 Thì chi chút ước gọi là duyên sau.
77 Sắm xanh nếp tử xe trâu
78 Vùi nông
Luận văn thạc sĩ toán học - Hệ số tự do của đa thức cực tiểu của cos 2np. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức cực tiểu Yn (x) của cos 2np trong các chương sau. Nội dung chính của chương bao gồm định nghĩa, một số tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev và đa thức chia đường tròn. Một phần của chương này được dành để nhắc lại khái niệm về mở rộng trường, số đại số, từ đó trình bày định nghĩa về đa thức cực tiểu Yn (x) của cos 2np . Các kết quả chính của chương được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3, 4].
Luận văn thạc sĩ - Một số lớp phương trình hàm trong số học. Trong mục này, ta giải các bài toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học đơn giản của đối số sang phép tính đối với các giá trị hàm tương ứng. Ta sẽ giải quyết các bài toán trên lớp hàm xác định trên tập số nguyên dương.
Luận văn thạc sĩ toán học - Một số lớp phương trình diophantine. Phương trình Diophantine là một trong những chủ đề sâu sắc và rất rộng của Lý thuyết số. Mục đích của chương này là nghiên cứu về phương trình Diophantine bậc nhất hai và nhiều ẩn. Như một minh họa cho lý thuyết, các ví dụ là các bài toán trích từ các đề thi sẽ được trình bày.
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, tìm giáo viên dạy bồi dưỡng toán lớp 6, 7, 8, 9, ôn luyện thi vào chuyên, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
Luận văn M T So Dạng Toán Ve Dãy So Sinh B I Các Hàm So Sơ Cap.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn. Để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức hoán vị và một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn ở Chương 2, trong chương này, chúng tôi trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữu hạn, một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạn và đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên.
Luận văn Các so to h p Và m t so ứng dụng trong thong kê.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Luận văn Phương Pháp Lư Ng Giác Giải Phương Trình Đa Thức Và M T So Dạng Toán.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Luận văn Phương trình diophantine dạng X2 − dy2 = ±4.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Luận văn thạc sĩ - Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực. Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức.
Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải Toán. Các khái niệm ở đây được xét trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Thuật ngữ "barycentric" được nhiều tác giả dịch là "tâm tỷ cự" hoặc "khối tâm",. . . Thực ra sử dụng các từ này chỉ đúng nghĩa một phần bởi "barycentric" chỉ liên quan đến đoạn thẳng và các khái niệm quen thuộc trong cơ học. Đến nay "barycentric" đã được toán học hóa dựa vào khái niệm không gian véc tơ thì các cách Việt hóa như trên có những hạn chế nhất định. Trong luận văn này chúng tôi vẫn sử dụng chữ "tâm tỷ cự" do tính chất lịch sử của khái niệm và phù hợp với các tài liệu hiện hành (xem [1]). Các ký hiệu cũng được tham khảo và vận dụng vào việc trình bày cho thuận tiện nhất.
Luận văn V N Dụng Chuői Đieu Hòa Vào Giải M T So Bài Toán Dành Cho Hoc Sinh Giỏi.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Một số bài toán về dãy số, cho các bạn có thể tham khảo làm đề tài nghiên cứu
Luận văn Bat Đang Thức V I Hàm Loi B Ph N Và Ứng Dụng.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến lòng trung thành của nhân viên tại khách sạn Sài Gòn Morin Huế. - Hệ thống hóa trên trên cơ sở phân tích các nhân tố ảnh hưởng đến lòng trung thành của nhân viên đề đề xuất các giải pháp nâng cao lòng trung thành của nhân viên khách sạn SÀI GÒN MORIN HUẾ.
Nghiên cứu về phát triển hệ thống kênh phân phối sản phẩm của các doanh nghiệp ngành công nghệ thông tin. Kênh phân phối là tập hợp các cá nhân hay công ty tự gánh vác hay giúp đỡ chuyển giao cho một ai đó quyền sở hữu đối với một hang hóa cụ thể hay một dịch vụ trên con đường từ nhà sản xuất đến người tiêu dung theo Philip Kotler
More Related Content
Similar to Luận văn - Một số phương trình diophant liên quan đến số cân bằng.doc
Luận văn thạc sĩ toán học - Một số lớp phương trình diophantine. Phương trình Diophantine là một trong những chủ đề sâu sắc và rất rộng của Lý thuyết số. Mục đích của chương này là nghiên cứu về phương trình Diophantine bậc nhất hai và nhiều ẩn. Như một minh họa cho lý thuyết, các ví dụ là các bài toán trích từ các đề thi sẽ được trình bày.
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, tìm giáo viên dạy bồi dưỡng toán lớp 6, 7, 8, 9, ôn luyện thi vào chuyên, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
Luận văn M T So Dạng Toán Ve Dãy So Sinh B I Các Hàm So Sơ Cap.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn. Để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức hoán vị và một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn ở Chương 2, trong chương này, chúng tôi trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữu hạn, một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạn và đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên.
Luận văn Các so to h p Và m t so ứng dụng trong thong kê.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Luận văn Phương Pháp Lư Ng Giác Giải Phương Trình Đa Thức Và M T So Dạng Toán.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Luận văn Phương trình diophantine dạng X2 − dy2 = ±4.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Luận văn thạc sĩ - Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực. Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức.
Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải Toán. Các khái niệm ở đây được xét trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Thuật ngữ "barycentric" được nhiều tác giả dịch là "tâm tỷ cự" hoặc "khối tâm",. . . Thực ra sử dụng các từ này chỉ đúng nghĩa một phần bởi "barycentric" chỉ liên quan đến đoạn thẳng và các khái niệm quen thuộc trong cơ học. Đến nay "barycentric" đã được toán học hóa dựa vào khái niệm không gian véc tơ thì các cách Việt hóa như trên có những hạn chế nhất định. Trong luận văn này chúng tôi vẫn sử dụng chữ "tâm tỷ cự" do tính chất lịch sử của khái niệm và phù hợp với các tài liệu hiện hành (xem [1]). Các ký hiệu cũng được tham khảo và vận dụng vào việc trình bày cho thuận tiện nhất.
Luận văn V N Dụng Chuői Đieu Hòa Vào Giải M T So Bài Toán Dành Cho Hoc Sinh Giỏi.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Một số bài toán về dãy số, cho các bạn có thể tham khảo làm đề tài nghiên cứu
Luận văn Bat Đang Thức V I Hàm Loi B Ph N Và Ứng Dụng.docx,các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu và luận văn ,bài mẫu điểm cao tại teamluanvan.com
Phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến lòng trung thành của nhân viên tại khách sạn Sài Gòn Morin Huế. - Hệ thống hóa trên trên cơ sở phân tích các nhân tố ảnh hưởng đến lòng trung thành của nhân viên đề đề xuất các giải pháp nâng cao lòng trung thành của nhân viên khách sạn SÀI GÒN MORIN HUẾ.
Nghiên cứu về phát triển hệ thống kênh phân phối sản phẩm của các doanh nghiệp ngành công nghệ thông tin. Kênh phân phối là tập hợp các cá nhân hay công ty tự gánh vác hay giúp đỡ chuyển giao cho một ai đó quyền sở hữu đối với một hang hóa cụ thể hay một dịch vụ trên con đường từ nhà sản xuất đến người tiêu dung theo Philip Kotler
CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ THƯƠNG HIỆU. Theo định nghĩa của Hội Marketing Hoa Kỳ: Thương hiệu là một cái tên, một từ ngữ, một dấu hiệu, một biểu tượng, một hình vẽ, hay tổng hợp tất cả các yếu tố kể trên nhằm xác định một sản phẩm hay một dịch vụ của một (hay một nhóm) người bán và phân biệt các sản phẩm (dịch vụ) đó với các đối thủ cạnh tranh [1].
Cơ sở lý luận của việc nâng cao chất lượng phục vụ tại bộ phận đón tiếp của khách sạn. Trong khu vực đón tiếp, bộ phận đón tiếp đóng vai trò đặc biệt quan trọng, nó được ví như bộ mặt của khách sạn , đại diện cho khách sạn trong các mối quan hệ đối ngoại với khách hàng, với các nhà cung cấp khách, với các tổ chức cung ứng vá các đối tác khác. Và hơn thế nữa, trong quá trình phụcvụ khách lưu trú trong khách sạn thì bộ phận lễ tân lại đóng vai trò như là một chiếc cầu nối giữa khách sạn và khách, nối giữa các bộ phận riêng biệt khác lại với nhau, tạo nên một sự thống nhất, ăn khớp trong sự hoạt động của khách sạn.
Cơ sở lý luận về phát triển thị trƣờng khách inbound dưới góc độ marketing của doanh nghiệp lữ hành. Định nghĩa của nhà kinh tế ngƣời Anh - Olgilvi: “Để trở thành khách du lịch cần có hai điều kiện sau: thứ nhất phải xa nhà một thời gian dưới một năm; thứ hai là phải dùng những khoản tiền kiếm được ở nơi khác”.
Cơ sở lý luận về thị trường và sử dụng marketing nhằm mở rộng thị trường của doanh nghiệp. Hoạt động mở rộng thị trường là một trong những tác động Marketing nhằm mở rộng phạm vi thị trường cũng như phạm vi hoạt động kinh doanh của doanh nghiệp. Mở rộng thị trường giữ một vai trò quan trọng đối với việc thiết lập và mở rộng hệ thống sản xuất hàng hóa, kinh doanh và quản lý kinh tế với mục tiêu lợi nhuận và duy trì ưu thế cạnh tranh. Thị trường đảm bảo cho sản xuất phát triển liên tục với quy mô ngày càng mở rộng và đảm bảo hàng hóa luôn phù hợp với thị hiêu của người tiêu dùng, nó thúc đẩy nhu cầu, gợi mở nhu cầu đưa đến cho người tiêu dùng những sản phẩm có chất lượng cao, văn minh, hiện đại.
Tính toán thiết kế chế tạo và vận hành thử nghiệm hệ thống cấp đông I-Q-F thẳng. Những người ăn nhiều cá được cho là có nguy cơ mắc bệnh tim thấp hơn người không ăn. Lợi ích này thường được liên kết với cá có dầu, do hàm lượng axit béo omega-3 cao. Tuy nhiên, việc ăn cá nạc cũng có thể liên quan đến việc giảm cholesterol- nguy co gây bệnh tim.
Tính toán, thiết kế máy sấy bơm nhiệt sấy thanh long cắt lát với năng suất 200kg mẻ. Để đáp ứng cho những vấn đề này, mục đích chính là nghiên cứu, tính toán, thiết kế mô hình máy sấy lạnh tận dụng một phần nhiệt thải ra của dàn nóng để nung nóng tác nhân sấy (TNS).
Nghiên cứu nhiệt phân gỗ nhằm nâng cao chất lượng sản phẩm than hoa. Mục đích nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu quá trình nhiệt phân gỗ; xác định ảnh hưởng của các yếu tố nhiệt độ bao gồm: nhiệt độ thực hiện quá trình nhiệt phân, thời gian nhiệt phân và tốc độ gia nhiệt tới tỷ lệ và các đặc tính của than hoa sau khi nhiệt phân nhằm mục đích cuối cùng là nâng cao chất lượng sản phẩm than hoa.
Hoàn thiện quy trình sản xuất thanh long sấy bằng phương pháp sấy đối lưu. Nghiên cứu sản phẩm thanh long sấy từ nguồn nguyên liệu thanh long Long An để có được hương vị đặc trưng, có giá trị cảm quan và dinh dưỡng cao, có thể sử dụng trong một khoảng thời gian cho phép. Để đáp ứng mục tiêu đề ra, đề tài sẽ tiến hành thí nghiệm theo những nội dung như sau:
Nghiên cứu ứng dụng hệ điều khiển dự báo để điều khiển mức nước bao hơi của nhà máy nhiệt điện. Phƣơng pháp điều khiển dự báo dựa trên mô hình của hệ thống thật để dự báo trƣớc các đáp ứng ở tƣơng lai, trên cơ sở đó, một thuật toán tối ƣu hoá hàm mục tiêu sẽ đƣợc sử dụng để tính toán chuỗi tín hiệu điều khiển sao cho sai lệch giữa đáp ứng dự báo và đáp ứng tham chiếu của mô hình là nhỏ nhất.
ĐỒ ÁN - BÁO CÁO MÔ HÌNH KHO LẠNH DÀN TRẢI. Kho lạnh là một phòng hay kho chứa được thiết kế, lắp đặt với hệ thống làm mát, làm lạnh hay cấp đông để bảo quản, lưu trữ hàng hóa lâu và giữ được chất lượng tốt nhất.
ĐỒ ÁN - Tính toán thiết kế máy sấy khoai lang năng suất 100 kg mẻ. Ở Việt Nam, khoai lang là cây lƣơng thực truyền thống đứng thứ ba sau lúa, ngô và đứng thứ hai về giá trị kinh tế sau khoai tây. Khoai lang đƣợc trồng ở khắp mọi nơi trên cả nƣớc từ Đồng bằng đến Miền núi, Duyên hải Miền Trung và vùng Đồng bằng Sông Cửu long. Năm 2004, diện tích khoai lang đạt 203,6 nghìn ha và sản lƣợng là 1535,7 nghìn tấn . Đặc biệt tổng diện tích trồng khoai lang ở vùng ĐBSCL liên tục tăng trong những năm gần đây, từ 9.900 ha năm 2000 lên 14.000 ha năm 2007 với sản lƣợng đạt 285,5 ngàn tấn. Năng suất khoai lang ở ĐBSCL thuộc loại cao nhất nƣớc nhƣng cũng chỉ đạt 20,3 tấn/ha. So với tiềm năng về đất đai và khí hậu thời tiết thì năng suất còn rất thấp [16].
Đồ án tốt nghiệp - Sấy bã mía, 9 điểm. Mục đích của quá trình này là phá hủy cấu trúc sơ xợi của cellulose, hemicellulose… và tăng hàm lượng proteine trong thức ăn cho gia súc. Hiện nay, bên Nhật làm cái này với qui mô công nghiệp rồi, họ còn sang Việt Nam để định mua bã mía của mình
Hoàn thiện quy trình sản xuất thanh long sấy bằng phương pháp sấy đối lưu. Nghiên cứu sản phẩm thanh long sấy từ nguồn nguyên liệu thanh long Long An để có được hương vị đặc trưng, có giá trị cảm quan và dinh dưỡng cao, có thể sử dụng trong một khoảng thời gian cho phép. Để đáp ứng mục tiêu đề ra, đề tài sẽ tiến hành thí nghiệm theo những nội dung như sau:
ĐỒ ÁN - Điều khiển lưu lượng không khí trong phòng sạch thông qua biến tần. Nhiệm vụ chủ yếu là ngăn ngừa không cho không khí, hạt bụi, chất nhiễm trùng; từ phòng, khu vực dơ hơn sang phòng, khu vực sạch hơn. Nguyên tắc di chuyển căn bản của không khí là từ nơi có áp suất cao tới nơi có áp suất thấp. Như vậy, phòng có cấp độ sạch hơn thì có áp cao hơn và ngược lại. Để kiểm soát áp suất phòng thì thường có đồng hồ đo áp suất, khi áp phòng vượt quá sẽ tự động tràn ra ngoài thông qua cửa gió xì. Thường thì những phòng nào có yêu cầu cao mới gắn miệng gió xì.
ĐỒ ÁN - Tính toán thiết bị sấy nấm kểu sấy hầm, năng suất nhập liệu 650kgmẻ. Nấm được phân loại riêng so với thực vật và động vật được gọi giới nấm. Đặc điểm phân loại quan trọng phân chia nó thành giới riêng có rất nhiều nguyên nhân. Nấm chưa cấu trúc mô, nấm có thể là đơn bào hoặc đa bào, không có chất diệp lục, chất dự trữ trong nấm không phải là tinh bột và glycogen như thực vật, động vật. Nấm sinh sản bằng bào tử hoặc sinh sản sinh dưỡng (sợi nấm hay tơ nấm). Nấm là sinh vật hoại sinh chúng hấp thụ dinh dưỡng từ các thực vật hoặc động vật chết, một số ký sinh.
Thiết kế nhà máy sản xuất bia năng suất 91,8 triệu lít sản phẩm năm. Bia không cồn là loại bia có nồng độ cồn không quá 0,5% theo tiêu chuẩn của Châu Âu và Mỹ [12]. Được sản xuất từ các nguyên liệu dùng để sản xuất bia thông thường như malt, houblon và các nguyên liệu khác, bia không cồn là đồ uống bổ dưỡng, có lợi cho sức khỏe người tiêu dùng và góp phần hạn chế một số tiêu cực của việc lạm dụng đồ uống có cồn.
Tính toán thiết kế hệ thống sấy thùng quay sấy cà phê nhân theo năng suất nhập liệu 300kgh. Vật liệu ẩm trong kỹ thuật sấy phải là các vật có khả năng chứa nước hoặc hơi nước trong quá trình hình thành hoặc gia công bản thân các vật liệu như các loại nông sản (lúa, ngô, đậu, v.v…), giấy, vải sợi, gỗ, các loại huyền phù hoặc các lớp sơn trên bề mặt các chi tiết kim loại, v.v… (Tính toán và thiết kế hệ thống sấy, Trần Văn Phú)
Thiết kế hệ thống sấy thùng quay sấy bắp với năng suất 800 kgh. Hạt ngô thuộc loại quả dĩnh gồm 4 bộ phân chính: vỏ hạt, lớp alơron, phôi và nội nhũ. Phía dưới hạt có gốc hạt gắn liền với lõi ngô. Vỏ hạt bao bọc xung quanh, màu sắc vỏ hạt tùy thuộc vào từng giống, nằm sau lớp vỏ hạt là lớp aleron bao bọc lấy nội nhũ và phôi. Nội nhũ là thành phần chính 70-78% trọng lượng hạt, thành phần chủ yếu là tinh bột, ngoài ra còn có protein, lipid, vitamin, khoáng và enzyme để nuôi phôi phát triển. Phôi ngô lớn (chiếm 8 -15%) nên cần chú trọng bảo quản.
More from Dịch vụ viết thuê đề tài trọn gói ☎☎☎ Liên hệ ZALO/TELE: 0973.287.149 👍👍 (20)
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp 6 trường chuyên. Đăng ký mua tài liệu Toán 5 vui lòng liên hệ: 0948.228.325 (Zalo - Cô Trang Toán IQ).
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartBiz
Cách Hệ thống MES giúp tối ưu Quản lý Sản xuất trong ngành May mặc như thế nào?
Ngành may mặc, với đặc thù luôn thay đổi theo xu hướng thị trường và đòi hỏi cao về chất lượng, đang ngày càng cần những giải pháp công nghệ tiên tiến để duy trì sự cạnh tranh. Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào mà những thương hiệu hàng đầu có thể sản xuất hàng triệu sản phẩm với độ chính xác gần như tuyệt đối và thời gian giao hàng nhanh chóng? Bí mật nằm ở hệ thống Quản lý Sản xuất (MES - Manufacturing Execution System).
Hãy cùng khám phá cách hệ thống MES đang cách mạng hóa ngành may mặc và mang lại những lợi ích vượt trội như thế nào.
Luận văn - Một số phương trình diophant liên quan đến số cân bằng.doc
1. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN
QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên -
2. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN
QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGÔ VĂN ĐỊNH
Thái Nguyên -
3. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Mục lục
Lời cảm ơn iii
Mở đầu 1
Chương 1 . Một số tính chất của số cân bằng 3
1.1 Khái niệm về số cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Khái niệm số tam giác chính phương . . . . . . . . . . 4
1.3 Khái niệm số đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Một số dãy liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli . . . . . . . . . 13
Chương 2 . Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân
bằng 24
2.1 Nghiệm nguyên dương của phương trình Pell . . . . . 25
2.2 Nghiệm nguyên dương của một số phương trình Diophant 26
2.3 Lũy thừa trong dãy các số cân bằng và các số Lucas
cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Lũy thừa trong tích các số hạng của các số cân bằng . . 45
i
4. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
2.5 Lũy thừa trong tích của các số Lucas cân bằng . . . . . 49
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
ii
5. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học -
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn
Định, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn
Định, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn
để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ
cấp, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018
Tác giả
Nguyễn Thị Hồng Thương
iii
6. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Mở đầu
Một số tự nhiên n được gọi là số cân bằng với hệ số cân
bằng r nếu nó là nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 + + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + + (n + r):
Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và nghiên cứu đầu tiên bởi
Behera và Panda. Sau đó, rất nhiều tính chất đẹp của số cân
bằng được tìm thấy (xem [1]). Năm 2012, Keskin và Karaatli [4]
đã tìm ra một số tính chất mới của số cân bằng, số tam giác
chính phương. Bên cạnh việc nghiên cứu các tính chất của số
cân bằng, nhiều nhà toán học cũng đã nghiên cứu việc sử dụng
các số cân bằng để giải một số dạng phương trình Diophant.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số
tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương và
một số kết quả về việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas
cân bằng trong việc giải phương trình Diophant.
Cấu trúc của luận văn
Luận văn được trình bày thành 2 chương:
1
7. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chương 1. Một số tính chất mới của số cân bằng. Mục đích
của Chương này là giới thiệu sơ lược về số cân bằng, số tam giác
chính phương và trình bày lại kết quả của Keskin và Karaatli [4].
Chương 2. Một số phương trình Diophant liên quan đến số
cân bằng. Mục đích của Chương này là trình bày lại một số kết
quả về phương trình Diophant có liên quan đến số cân bằng.
Tài liệu tham khảo chính của chương này là [2, 3].
2
8. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chương 1
Một số tính chất của số cân bằng
Chương này trình bày các khái niệm về số cân bằng, số đối
cân bằng, số tam giác, số tam giác chính phương và một số
tính chất của số cân bằng được trình bày trong tài liệu [4].
1.1 Khái niệm về số cân bằng
Định nghĩa 1.1.1. Số nguyên dương n được gọi là số cân bằng nếu
1 + 2 + + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + + (n + r) (1.1)
với một số nguyên dương r nào đó. Ở đây r được gọi là hệ số
cân bằng ứng với số cân bằng n.
Ví dụ 1.1.2. Các số 6; 35 và 204 là các số cân bằng với các hệ
số cân bằng lần lượt là 2; 14 và 84.
Mệnh đề 1.1.3. Nếu n là một số cân bằng với hệ số cân bằng tương
ứng là r thì
n2
=
(n + r)(n + r + 1)
(1.2)
2
và do đó p
r =
(2n + 1) + 8n2
+ 1
(1.3)
2
3
9. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chứng minh. Từ (1.1), ta có
1 + 2 + + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + + (n + r)
) (n 1)n = rn + r(r + 1)
22
) n2
n = 2rn + r2
+ r ( )
) 2n2
= n2
+ 2rn + r2
+ n + r
) 2n2
= (n + r)2
+ n + r
) 2n2
= (n + r)(n + r + 1)
) n2 =
(n + r)(n + r + 1)
2
Thêm nữa, từ (*) suy ra
r2
+ (2n + 1)r n2
+ n = 0:
Ta có = 8n2
+ 1 > 0 , suy ra
(2n + 1)
p
r =
8n2
+ 1
:
2
Vì r nguyên dương nên
(2n + 1) +
p
r =
8n2
+ 1
:
2
Mệnh đề được chứng minh.
1.2 Khái niệm số tam giác chính phương
Định nghĩa 1.2.1. Số tam giác là số có dạng 1+2+ +n với n 2
Z+
.
10. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
4
11. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Nhận xét 1.2.2. Dễ thấy số N là số tam giác nếu N có thể viết dưới
n(n + 1)
dạng N = .
Định nghĩa 1.2.3. Số N là số tam giác chính phương nếu nó vừa có
thể viết dưới dạng N = m2 vừa có thể viết dưới dạng N =
n(n + 1)
, 2
tức là nghiệm nguyên của phương trình
m2 =
n(n + 1)
:
2
Nhận xét 1.2.4. 1. Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và
chỉ nếu n2 là số tam giác. Do đó n là số cân bằng nếu và
chỉ nếu n2 là số tam giác chính phương.
2. Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 1
là số chính phương.
1.3 Khái niệm số đối cân bằng
Định nghĩa 1.3.1. Số nguyên dương n được gọi là số đối cân
bằng nếu 1 + 2 + + n = (n + 1) + (n + 2) + + (n + r) (1.4)
với một số nguyên dương r nào đó. Ở đây r được gọi là hệ số
đối cân bằng ứng với số đối cân bằng n.
Ví dụ 1.3.2. Các số 2; 14 và 84 là các số cân bằng với các hệ
số đối cân bằng lần lượt là 1; 6 và 35.
Mệnh đề 1.3.3. Nếu n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng
5
12. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
tương ứng là r thì
n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1)
2
và do đó
p
r =
(2n + 1) + 8n2
+ 8n + 1
2
Chứng minh. Từ (1.4), ta có
1 + 2 + + n = (n + 1) + (n + 2)
+ + (n + r)
) n(n + 1) = rn + r(r + 1)
22
) n(n + 1) = 2rn + r2
+ r ( )
) 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2
+ r
) 2n(n + 1) = (n + r)2
+ n + r
) n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) 2
Thêm nữa, từ (*) suy ra
r2
+ (2n + 1)r n2
n = 0:
Ta có = 8n2
+ 8n + 1 > 0 , suy ra
(2n + 1)
p
:
r =
8n2
+ 8n + 1
2
Vì r nguyên dương nên
(2n + 1) +
p
8n2
+ 8n + 1
r = :
2
Mệnh đề được chứng minh.
(1.5)
(1.6)
13. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
6
14. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Định nghĩa 1.3.4. Một số được gọi là số pronic nếu nó có thể
viết dưới dạng n(n + 1) với n là số nguyên dương nào đó.
Nhận xét 1.3.5. 1. Số nguyên dương n là số đối cân bằng nếu
và chỉ nếu n(n + 1) là số tam giác. Do đó, n là số đối cân
bằng nếu và chỉ nếu n(n + 1) là số tam giác pronic.
2. Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2
+
8n + 1 là số chính phương.
1.4 Một số dãy liên quan
Trong mục này, chúng tôi trình bày lại khái niệm về dãy
Fibonaci (Un) và dãy Lucas (Vn).
Định nghĩa 1.4.1. Cho k và t là hai số tự nhiên khác không. Dãy số
Fibonaci được định nghĩa như sau:
U0 = 0; U1 = 1; Un+1 = kUn + tUn 1; 8n > 1:
Dãy số Lucas được định nghĩa như sau:
V0 = 2; V1 = k; Vn+1 = kVn + tVn 1; 8n > 1:
Các số Fibonaci và số Lucas với chỉ số âm được định nghĩa bởi:
U
n
V
n
8n > 1: (1.7)
U n = ; V n = ;
( t)n
( t)n
Trong trường hợp k = t = 1 thì (Un) và (Vn) lần lượt được gọi là
dãy Fibonaci và dãy Lucas cổ điển và được ký hiệu là (Fn) và (Ln).
7
15. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Các số đầu tiên của dãy (Fn) là 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; :::. Các số
đầu tiên của dãy (Ln) là 2; 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; :::.
Trong trường hợp k = 2; t = 1 thì (Un) và (Vn) lần lượt được
gọi là dãy Pell và dãy Pell-Lucas và được ký hiệu là (Pn) và
(Qn). Như vậy, ta có
P0 = 0; P1 = 1; Pn+1 = 2Pn + Pn 1; 8n > 1
và
Q0 = 2; Q1 = 2; Qn+1 = 2Qn + Qn 1; 8n > 1:
Một vài số đầu tiên của dãy (Pn) là 0; 1; 2; 5; 12; 29; 70; 169; 408; 985; :::.
Một vài số đầu tiên của dãy (Qn) là 2; 2; 6; 14; 34; 82; 198; 478; 1154; :::.
Trong trường hợp k = 6; t = 1 ta sẽ ký hiệu lại (Un) và (Vn) lần
lượt bởi các (un) và (vn). Khi đó
u0 = 0; u1 = 1; un+1 = 6un un 1; 8n > 1
và
v0 = 2; v1 = 6; vn+1 = 6vn vn 1; 8n > 1:
Một vài số đầu tiên của dãy (un) là 0; 1; 6; 35; 204; :::. Một vài số đầu
tiên của dãy (vn) là 2; 6; 34; 198; 1154; :::.
Hơn nữa, từ (1.7) ta thấy rằng
u n = un; v n = vn; 8n > 1:
8
16. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
1.5 Một số tính chất
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số tính chất của các dãy
(Pn); (Qn), (un) và (vn). Các tính chất này sẽ hữu ích trong phần
chứng minh các tính chất mới của dãy (yn) với yn =
vn
4
2
.
Định lý 1.5.1. Cho và là các nghiệm của phương trình đặc trưng
x2
2x1 = 0:
Khi đó ta có Pn = n
p n
và Qn = n
+ n
, với n 0.
2 2
Định lý 1.5.2. Cho và là các nghiệm của phương trình đặc trưng
x2
6x + 1 = 0:
Khi đó ta có
un =
n
p
n
(1.8)
4 2
và
vn = n
+ n
;
với n 0.
Các công thức trên được gọi là công thức Binet cho các dãy
tương ứng. Đặt Bn là số cân bằng thứ n. Khi đó, theo tài liệu [1]
ta có số cân bằng tuân theo công thức truy hồi sau Bn+1 = 6Bn
Bn 1 và B0 = 1; B1 = 6. Do vậy, ta dễ dàng suy ra được
Bn = (3 +
p
p p
n
:
8)n
p (3 8)n
=
n
(1.9)
2 8 4 2
9
17. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Từ Định lý 1.5.1 và Định lý 1.5.2 ta dễ dàng thấy rằng Bn = un =
P
22n , Q2n = vn với n là số nguyên dương. Do đó, theo tài liệu [4]
ta có một số tính chất đã biết của (Pn); (Qn); (Bn) và (vn) sau đây:
Qn
2
8Pn
2
= 4( 1)n
; (1.10)
v2
32B2
= 4; (1.11)
n n
Bn
2
6BnBn 1 + Bn
2
1=1; (1.12)
Q2 = Q2n + 2( 1)n
; (1.13)
n
B2n = Bnvn; (1.14)
P2n = PnQn; (1.15)
vn
2
= v2n + 2; (1.16)
Pn+1 + Pn 1 = Qn: (1.17)
Để thấy rõ mối quan hệ mật thiết giữa số cân bằng và số tam
giác chính phương, chúng ta có thể nhắc lại định lý sau đây,
đặc trưng cho tất cả các số tam giác chính phương. Định lý này
được suy trực tiếp từ nhận xét 1.2.4.
Định lý 1.5.3. Một số tự nhiên x là một số tam giác chính
phương nếu và chỉ nếu x = Bn
2
với n là số tự nhiên.
Vì yn =
vn 2
nên suy ra
4
2 vn
2
4 1 (vn 2) (vn 2) yn(yn + 1)
B
n = = + 1 = :
32 2 4 4 2
10
18. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Do đó, có thể thấy x2 =
y(y + 1)
với x; y là các số nguyên dương
nếu 2
và chỉ nếu x = Bn và y = yn với n là số tự nhiên.
Bây giờ ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.5.4. Dãy số (yn) thỏa mãn hệ thức truy hồi
y
n+1
= 6y
n yn 1 + 2; với n 1;
trong đó y0 = 0 và y1 = 1.
vn 2
Chứng minh. Ta có yn = nên
4
v
n 2 v
n 1 2
6yn yn 1 + 2 = 6 + 2
4 4
=
6vn vn 1
2
4
=
v
n+1 2
4
= yn+1:
Một số phần tử đầu tiên của dãy (yn) là 0; 1; 8; 49; 288:::.
Với n = 1; 2; ::: ta ký hiệu bn là số đối cân bằng thứ n và (bn) là
dãy các số đối cân bằng. Ta thấy chuỗi các số đối cân bằng
thỏa mãn hệ thức truy hồi đưa ra trong Bổ đề 1.5.4. Tức là
bn+1 = 6bn bn 1 + 2; với n1;
trong đó b0 = 0 và b1 = 2. Một số phần tử đầu tiên của dãy số đối cân
bằng là 0; 2; 14; 84; 492; ::::. Mối quan hệ mật thiết giữa số đối cân
bằng, số cân bằng và dãy (yn) được thể hiện qua các bổ đề sau đây.
11
19. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Bổ đề 1.5.5. Với mọi số n 1; bn = yn + Bn và bn = yn+1 Bn+1.
Bổ đề 1.5.6. Với mọi số n 1; y2n = 8B2
và y2n+1 = 8BnBn+1 +
1. n
(v2
4)
(v
2n 2)
y
2n
Bn
2
=
n
= = :
32 32 8
Suy ra y2n = 8Bn
2
. Mặt khác, từ
yn+1 = 6yn yn 1 + 2
dễ dàng thấy yn =
y
n+1
+ y
n 12
. Sử dụng y2n = 8Bn
2
ta được
6
y
2n+1
=
(y
2n+2
+ y
2n 2)
6
=
(8Bn
2
+1 + 8Bn
2
2)
6
8(Bn
2
+1 + Bn
2
) 2
= :
6
Từ B2
+ B2
= 6BnBn 1 + 1 theo tính chất 1.12, ta có
n n 1
8(Bn
2
+1 + Bn
2
) 2
y
2n+1
=
6
8(6BnBn 1 + 1) 2
= 6
= 8BnBn+1 + 1:
Suy ra điều cần chứng minh.
Từ tính chất 1.13, ta dễ dàng thu được định lý sau đây.
Định lý 1.5.7. Nếu n là số tự nhiên lẻ thì yn =
Q2
n
. Nếu n là số tự
4
Q2
nhiên chẵn thì yn =
n
1.
4
12
20. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chứng minh. Ta có yn = vn 2 = Q2n 2 Theo tính chất 1.13 ta có: Nếu
4 4
n lẻ thì Q2n = Q2
+2, nếu n chẵn thì Q2n = Q2
2. Do đó, nếu n là số
n
Q2 n
Q2
tự nhiên lẻ thì yn =
n
, nếu n là số tự nhiên chẵn thì yn =
n
1.
4 4
Theo các bổ đề và định lý trên, ta có nhận xét sau.
Q2
Nhận xét 1.5.8. 1. Vì y2n+1 = 8BnBn+1 + 1 và y2n+1 =
2n+1
nên
4
BnBn+1 là số tam giác.
2. Theo bổ đề 1.5.6 thấy rằng yn là số lẻ nếu và chỉ nếu n là
số lẻ và yn là số chẵn nếu và chỉ nếu n là số chẵn.
1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli
Dựa vào các tính chất đã nêu ở mục trước, trong mục này, chúng tôi
trình bày một số tính chất mới của các số cân bằng và các số tam giác
chính phương mà Keskin và Karaatli đã tìm ra được trình bày trong tài
liệu [4]. Vấn đề quan tâm chính của các kết quả này là liệu tích của hai
số cân bằng lớn hơn 1 có phải là một số cân bằng không? Tích của hai
số tam giác chính phương lớn hơn 1 liệu có phải là một số tam giác
không? Ta sẽ thấy rằng câu trả lời là không. Tương tự, liệu tích của hai
số pronic có phải là một số pronic không? Ví dụ đơn giản: 2 và 6 là hai số
pronic. Tích của chúng 2 6 = 12 và 12 = 3(3 + 1) là một số pronic khác.
Tương tự 3 và 15 là hai số tam giác. Tích của chúng
9(9 + 1)
3 15 = 45 và 45 = là một số tam giác. Dễ dàng thấy tích
13
21. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
của hai số pronic liên tiếp là một số pronic vì
[(x 1)x][x(x + 1)] = (x2
1)x
2
:
Trước khi trình bày các kết quả chính của Keskin và Karaatli,
chúng ta nhắc lại một số tính chất sau đây cần thiết cho việc
chứng minh sau này.
Định lý 1.6.1. Cho n 2 N [ f0g và m; r 2 Z. Khi đó
P
2mn+r
(
1)(m+1)n
Pr(modQm); (1.18)
Q
2mn+r
(
1)(m+1)n
Qr(modQm); (1.19)
P
2mn+r
(
1)mn
Pr(modPm) (1.20)
và
Q
2mn+r
(
1)mn
Qr(modPm): (1.21)
Định lý 1.6.2. Cho n 2 N [ f0g và m; r 2 Z. Khi đó
B2mn+r Br(modBm); (1.22)
v2mn+r vr(modum); (1.23)
B
2mn+r
(
1)n
Br(modvm) (1.24)
và
v2mn+r ( 1)n
vr(modvm): (1.25)
Từ hai định lý trên, ta có thể chứng minh được các định lý sau đây.
14
22. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Định lý 1.6.3. Cho m; n 2 N và m 2. Khi đó Pm j Pn nếu và chỉ
nếu m j n.
Định lý 1.6.4. Cho m; n 2 N và m 2. Khi đó Qm j Qn nếu và chỉ
n
nếu m j n và m là số nguyên lẻ.
Định lý 1.6.5. Cho m; n 2 N và m 2. Khi đó Qm j Pn nếu và chỉ n
nếu m j n và m là số nguyên chẵn.
Vì Bn =
P
22n
và vn = Q2n nên từ các định lý trên và đẳng
thức 1.24 ta có các định lý sau.
Định lý 1.6.6. Cho m; n 2 N và m 2. Khi đó Bm j Bn nếu và chỉ
nếu m j n.
Định lý 1.6.7. Cho m; n 2 N và m 1. Khi đó vm j vn nếu và chỉ
nếu n
m j n và m là số nguyên lẻ.
Định lý 1.6.8. Cho m; n 2 N và m 1. Khi đó vm j un nếu và chỉ nếu
n
m j n và m là số nguyên chẵn.
Ta nhắc lại thêm hai định lý sau đây.
Định lý 1.6.9. Cho m 1 và n 1. Khi đó (Bm; Bn) = B(m;n).
uả 1.6.10. Cho m 1 và n 1. Khi đó (B
2
; B
2
) = B
2
. m n (m;n)
Định lý 1.6.9 nói rằng ước chung lớn nhất của hai số cân bằng bất
kỳ lại là một số cân bằng. Như một kết luận của định lý, Hệ quả 1.6.10
nói rằng ước chung lớn nhất của hai số tam giác chính phương bất kỳ
23. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
15
24. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
lại là một số tam giác chính phương. Bây giờ ta sẽ xem xét bội chung
nhỏ nhất của hai số cân bằng bất kỳ. Ta thấy bội chung nhỏ nhất của
hai số tam giác bất kỳ có thể là một số tam giác. Ví dụ 15 và 21 là hai
số tam giác và [15; 21] = 105 là một số tam giác. Chú ý rằng 15 - 21.
Tương tự bội chung nhỏ nhất của hai số pronic có thể là một số
pronic. Cho một ví dụ đơn giản, 6 và 15 là hai số pronic và [6; 15] = 30
lại là một số pronic. Nhưng điều đó chưa chắc đã đúng với hai số cân
bằng bất kỳ. Điều đó có thể thấy được từ định lý sau đây.
Định lý 1.6.11. Cho Bn > 1, Bm > 1 và Bn < Bm. Khi đó [Bm;
Bn] là một số cân bằng nếu và chỉ nếu Bn j Bm.
Chứng minh. Giả sử Bn j Bm. Khi đó [Bn; Bm] = Bm là một số
cân bằng. Ngược lại, nếu ta có Bn > 1; Bm > 1 và Bn - Bm. Khi
đó theo Định lý 1.6.6, ta có n - m. Cho d = (m; n). Khi đó theo
Định lý 1.6.9, ta được (Bn; Bm) = Bd. Do đó
[Bn; Bm] = BnBm =
BnBm : (1.26)
(Bn; Bm)
B
d
Giả sử rằng [Bn; Bm] là số cân bằng. Ta có [Bn; Bm] = Br với r
là một số tự nhiên. Theo công thức (1.26) ta có
BnBm
= Br. Suy ra Bd
BnBm = BdBr. Do đó
Bn
Bm = Br nên Bm j Br. Suy ra r = mt với Bd
t là số tự nhiên theo Định lý 1.6.6. Giả sử t là một số nguyên lẻ.
Khi đó t = 4q 1, q 1. Do đó ta có
B
r
= B
mt
= B
4qm m
= B
2(2qm) m
B
m
(modB
2m
)
16
25. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
theo công thức (1.22). Điều đó cho thấy Br Bm(modB2m). Vì
B2m = Bmvm (theo công thức (1.14) nên
Bn
Bm = Br Bm(modBmvm):
Suy ra
Bn
1(modvm). Ta khẳng định Bn 6= Bd. Vì nếu ngược
lại, Bd
giả sử rằng Bn = Bd. Khi đó n = d và suy ra n j m (mẫu thuẫn với
giả thiết n - m). Từ
Bn
6= 1 và
Bn
1(modvm) suy ra
Bd Bd
vm
Bn
1
Bn
+ 1 Bn + 1:
Bd Bd
Vì Bn < Bm, ta được n < m. Điều đó cho thấy vn < vm Bn + 1. Mặt
khác, theo (1.11) ta được vn > 2Bn nên 2Bn < vn < Bn + 1 suy ra
Bn < 1. Nhưng điều này mâu thuẫn vì Bn > 1. Bây giờ giả sử rằng
t là số nguyên chẵn. Khi đó t = 2k và r = mt = 2mk. Do đó
Bn
Bm = Br = B2km = Bkm:vkm Bmvm:
B
d
Điều đó cho thấy
Bn
vm và do đó vm
Bn
Bn. Vì n < m, ta
Bd Bd
được vn < vm Bn. Do vậy vn < Bn (điều này không xảy ra theo
1.11 ).
Từ định lý trên, ta có hệ quả trực tiếp về bội chung nhỏ nhất
của hai số tam giác chính phương bất kỳ. Phần chứng minh
của hệ quả này sử dụng tính chất
a2
b2
a2
b2
ab 2
[a2
; b2
] = = [a; b]2
;
= =
(a2
; b2
) (a; b)2
(a; b)
26. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
trong đó a; b là các số nguyên dương.
17
27. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Hệ quả 1.6.12. Cho Bn > 1; Bm > 1 và Bn < Bm. Khi đó [Bn
2
;
Bm
2
] là một số tam giác khi và chỉ khi Bn
2
j Bm
2
.
Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi chính về tích của hai số cân bằng.
Định lý 1.6.13. Cho n > 1; m > 1 và m n. Khi đó không có số
nguyên r nào thỏa mãn BnBm = Br.
Chứng minh. Giả sử rằng m > 1; n > 1 và BnBm = Br với r > 1.
Khi đó Bm j Br và m j r (theo Định lý 1.6.6). Do đó r = mt với t là
số nguyên dương. Giả sử t là số nguyên chẵn. Khi đó t = 2k
nên suy ra r = mt = 2mk. Vì thế
B
n
B
m
= B
r
= B
2km
= B
km
v
km
theo công thức (1.14). Điều đó cho thấy Bn =
Bkm
vkm và suy ra Bm
vkm j Bn. Theo Định lý 1.6.8, ta được km j n và km
n
= 2s với s
là số nguyên. Khi đó n = 2kms. Vì n = 2kms và r = 2km nên suy
ra n = rs. Vì thế r j n. Mặt khác, vì BnBm = Br, suy ra Bn j Br và
n j r ( theo Định lý 1.6.6). Từ đó suy ra n = r và Bn = Br. Vì
BnBm = Br ta được Bm = 1 (điều này mâu thuẫn). Bây giờ ta giả
sử rằng t là số lẻ. Khi đó t = 4q 1 với q là số nguyên dương. Do
đó r = mt = 4qm m và đồng thời
B
r
= B
4qm m
= B
2(2qm) m
B
m
(modB
2m
)
theo (1.22). Điều đó cho thấy BmBn Bm(modB2m). Vì B2m =
Bmvm, ta được BmBn Bm(modBmvm). Suy ra Bn 1(modvm)
18
28. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
nên vm j Bn 1 và do đó vm Bn 1. Vì vn > 2Bn và m n ta được
Bn + 1 Bn 1 vm vn > 2Bn:
Suy ra Bn + 1 > 2Bn. Khi đó Bn < 1 (mâu thuẫn).
Vì số tam giác chính phương là bình phương của số cân bằng, định lý
trên nói rằng tích của hai số tam giác chính phương lớn hơn 1 không
phải là số tam giác. Say đây là hệ quả đơn giản của định lý trên.
Hệ quả 1.6.14. Chỉ có một nghiệm nguyên dương thỏa mãn hệ
phương trình Diophant 2u2
= x(x + 1); 2v2
= y(y + 1) và 2u2
v2
=
z(z + 1) là (x; y; u; v; z) = (1; 1; 1; 1; 1).
Chứng minh. Ở phần trước ta đã có nhận xét x2 =
y(y + 1)
với x;
y 2
là các số nguyên dương nếu và chỉ nếu x = Bn và y = yn với n
là số tự nhiên. Mặt khác, ta có 2u2
= x(x + 1); 2v2
= y(y + 1) và
2u2
v2
= z(z + 1) nên u = Bn; v = Bm và uv = Br. Suy ra BnBm =
Br. Theo định lý 1.6.13, nếu n > 1; m > 1 thì đẳng thức BnBm =
Br không thỏa mãn. Với m = n = 1 ta được u = v = B1 = 1. Khi
đó dễ dàng tìm được x = 1, y = 1, z = 1. Ta chỉ xét nghiệm
nguyên dương nên rõ ràng m = 0 hoặc n = 0 không thỏa mãn.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lý sau đưa ra một tính chất mới của dãy (yn). Nó nói về
tích của hai phần tử lớn hơn 1 của dãy yn.
19
29. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Định lý 1.6.15. Cho n > 1; m > 1. Khi đó không có số nguyên r
nào thỏa mãn ynym = yr.
Chứng minh. Giả sử ynym = yr. Vì yk là số lẻ khi và chỉ khi k là
số lẻ và yk là số chẵn khi và chỉ khi k là số chẵn, ta thấy m; n; r
đều là các số lẻ hoặc r và ít nhất một trong hai số m và n là số
chẵn. Giả sử rằng n; r là số chẵn. Khi đó n = 2k và r = 2t với k; t
là các số nguyên dương. Theo Bổ đề 1.5.6 ta có yn = y2k =
8Bk
2
và yr = y2t = 8Bt
2
. Từ đó, ta có
ym =
y
r =
8B
t
2
=
B
t
2
:
yn 8Bk
2
Bk
Nếu m là số chẵn thì m = 2l với l là số nguyên dương. Suy ra ym =
Bt
2
2
y2l = 8Bl và ta có = 8Bl2 . Điều này không thể xảy ra. Do vậy
Bk
Q2
m là số lẻ. Khi đó, theo Định lý 1.5.7, suy ra ym =
m
. Do đó ta được
4
Q
m
=
B
t
=P2t=2 =
P
2t
=
P
r
:
2 Bk P2k=2 P2k Pn
Suy ra 2Pr = PnQm. Vì n là số chẵn, Pn là số chẵn. Đồng thời
Pr = Pn
Q
2m
, ta thấy Pn j Pr và Qm j Pr. Theo Định lý 1.6.3 và
Định lý 1.6.5 ta được r = nu và r = 2ms với u; s là các số tự
nhiên. Vì 2Pr = PnQm ta có
PnQm = 2Pr = 2P2ms = 2PmsQms > PmsQms > PmsQm:
Do vậy Pn > Pms và suy ra n > ms. Khi đó 2n > 2ms nên 2n > r =
nu, suy ra u < 2 dẫn đến u = 1. Vì u = 1 ta được r = nu = n (điều này
không xảy ra). Giả sử m; n và r đều là số lẻ. Vì ynym = yr ta được
20
30. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Q2
Q2
Q2
n m
=
r
(theo Định lý 1.5.7). Suy ra QnQm = 2Qr. Từ đó ta có
4 4 4
Qn j Qr và Qm j Qr. Từ Định lý 1.6.4 suy ra r = nt và r = mk với t;
k là các số tự nhiên lẻ. Vì t là số lẻ nên t = 4q 1 với q 1. Do đó
Q
r
= Q
nt
= Q
4qn n
= Q
2(2qn) n
Q
n
(modQ
2n
)
theo công thức (1.19). Vậy ta có Qr Qn(modQ2n), suy ra 2Qr
2Qn(modQ2n) và do đó QnQm 2Qn(modQ2n). Vì Q2n = Q2
n + 2
khi n là số lẻ, theo công thức (1.13), ta được (Qn; Q2n) = 2. Khi
đó từ công thức
QnQm 2Qn(modQ2n)
suy ra
Q
2n
Qm 2
Q
2n
mod
Q
22n
:
31. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Điều này cho thấy Qm2 mod
Q
2n
. Vì m 2 ta được Qm > 2
2
và do đó
Q
2n
Qm 2, suy ra
2
Q2n2Qm 4 2Qm + 4:
Tương tự, sử dụng r = mk ta được Q2m 2Qn + 4. Từ đó suy ra
Q2n + Q2m 2Qm + 2Qn + 8.
Vì n và m là số lẻ, Q2n = Q2
n + 2 và Q2m = Q2
m + 2 theo
công thức (1.13) nên ta được
Q2
n + 2 + Q2
m + 2 2Qm + 2Qn + 8:
Suy ra
Q2
n + Q2
m2Qm + 2Qn + 4:
21
32. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Do đó
Q2
n + Q2
m2Qm 2Qn 4:
Khi đó ta được
Qn(Qn 2) + Qm(Qm 2) 4:
Nghĩa là Qn + Qm < 4. Điều này mâu thuẫn vì m > 1 và n > 1.
Ta có hệ quả trực tiếp sau.
Hệ quả 1.6.16. Chỉ có duy nhất một nghiệm nguyên dương thỏa mãn
hệ phương trình Diophant x(x + 1) = 2u2
; y(y + 1) = 2v2
và xy(xy +
1) = 2z2
là (x; y; u; v; z) = (1; 1; 1; 1; 1).
Chứng minh. Ở phần trước ta đã có nhận xét x2 =
y(y + 1)
với x;
y 2
là các số nguyên dương nếu và chỉ nếu x = Bn và y = yn với n
là số tự nhiên. Mặt khác, ta có x(x + 1) = 2u2
; y(y + 1) = 2v2
và
xy(xy + 1) = 2z2
nên x = yn; y = ym và xy = yr. Suy ra ynym = yr.
Theo định lý 1.6.15, nếu n > 1; m > 1 thì đẳng thức ynym = yr
không thỏa mãn. Với m = n = 1 ta được x = y = z = y1 = 1. Khi
đó dễ dàng tìm được u = 1, v = 1.Ta chỉ xét nghiệm nguyên
dương nên rõ ràng m = 0 hoặc n = 0 không thỏa mãn. Từ đó
suy ra điều phải chứng minh.
Vậy tổng của hai số tam giác có thể là một số tam giác, tổng của
hai số pronic có thể là một số pronic khác. Nhưng tổng của hai số tam
giác chính phương không phải là một số tam giác chính phương bởi vì
22
33. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Bn
2
+ Bm
2
= Br
2
không có nếu n 1; m 1. Không có số nguyên
dương r nào để Bn +Bm = Br và bn +bm = br với n 1; m 1. Mặt khác,
tích của hai số đối cân bằng lớn hơn 1 không là một số cân bằng
bởi vì không có số nguyên r nào để bnbm = br với n 1; m 1. Hơn
nữa, phương trình yn + ym = yr với n 1; m 1 không có nghiệm.
23
34. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chương 2
Một số phương trình Diophant liên
quan đến số cân bằng
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả của
Karaatli và Keskin [3] và của Dey và Rout [2] về một số phương
trình Diophant liên quan đến số cân bằng.
Trước tiên, chúng tôi trình bày các kết quả của Karaatli và Keskin
về nghiệm nguyên dương của một số phương trình Diophant như
(x + y 1)2
= 8xy;
(x + y + 1)2
= 8xy;
(x + y)2
= 4x(2y 1);
(x + y)2
= 2x(4y 1);
(x + y 1)2
= 8xy + 1;
x2
+ y2
6xy = 1;
x2
+ y2
6xy x = 0;
x2
+ y2
6xy 4x 1 = 0
và một số phương trình khác liên quan tới số tam giác chính phương
24
35. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
và số cân bằng.
2.1 Nghiệm nguyên dương của phương trình Pell
Trước tiên, ta nhắc lại định lý sau đã được trình bày trong tài
liệu [3].
Định lý 2.1.1. Cho [
p p
Z
p
2] = a + b 2
j
a; b
2
và = 1+ 2. Khi
Z p n
2] là f j n 2 Zg.
đó tập hợp các phần tử khả nghịch của vành Z[
Định lý sau đây cho ta biết về nghiệm của phương trình Pell.
Định lý 2.1.2. Tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình Pell
x2
2y2
= 1
Qn
được xác định bởi (x; y) = ; Pn với n 1.
2
Chứng minh. Giả sử x2
2y2
= 1. Khi đó
p p
(x 2y)(x + 2y) = 1
và điều này cho thấy x
p
2y là phần tử khả nghịch của Z[
p
2].
Hơn p
nữa, từ x > 0 và y > 0 ta có x + 2y > 1. Do đó, tồn tại số nguyên
dương n sao cho
p
x + 2y = n
= Pn + Pn 1
theo Định lý 2.1.1. Từ
p p
Pn + Pn 1 = (1 + 2)Pn + Pn 1 = Pn + Pn 1 + 2Pn
36. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
25
37. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
ta được (x; y) = (Pn + Pn 1; Pn). Do đó
x = Pn + Pn 1
1
= (2P
n
+ 2P
n 1
)
2
= (2P
n
+ P
n 1
+ P
n 1
)
2
=
2
(P
n+1
+ P
n 1
)
1
=
2
Q
n
theo tính chất (1.17). Điều đó cho thấy rằng x =
Q
2
n
; y = Pn. Ngược
Qn
lại, nếu (x; y) = ; Pn , với n 1, thì từ tính chất (1.10) ta có
2
x2
2y2
= 1.
Sử dụng tính chất (1.10) và Định lý 2.1.2 ta có các hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1.3. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell
x2
2y2
= 1 được xác định bởi (x; y) =
Q
2
2n
; P2n , với n 1. Hệ quả
2.1.4. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell
x2 2y2 = 1 được xác định bởi (x; y) = 22
; P2n+1 , với
Q
n+1
n 0.
2.2 Nghiệm nguyên dương của một số phương
trình Dio-phant
Trong phần này, ta xem xét các phương
trình (x + y 1)2
= 8xy;
38. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
26
39. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
(x + y + 1)2
= 8xy;
(x + y)2
= 4x(2y 1);
(x + y 1)2
= 8xy + 1;
x2
+ y2
6xy = 1;
x2
+ y2
6xy x = 0
và một số phương trình tương tự khác. Nghiệm của các phương trình
này liên quan đến số tam giác chính phương, số cân bằng, số đối cân
bằng và dãy số (yn), ở đây yn được xác định bởi Bn
2
= yn(yn+ 1) .
2
Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất của các dãy số này. Cho
n là số tự nhiên bất kỳ, ta có:
v
n+1
= 4P
2n+1
+ Q
2n+1
;
v
n
= 4P
2n+1
Q
2n+1
;
B
n+1
= Q
2n+1
+ 2P
2n+1
;
4
Bn =
Q
2n+1
2P
2n+1
;
4
bn = yn + Bn;
b
n
= y
n+1
B
n+1
:
Ngoài ra, Potter đã chỉ ra rằng (yn + yn+1 1)2
=
8ynyn+1.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Định lý 2.2.1. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y 1)2
= 8xy được xác định bởi
(x; y) = (yn; yn+1)
40. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
27
41. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
với n 1.
Chứng minh. Ta biết rằng (yn +yn+1 1)
2
= 8ynyn+1. Do đó (x; y) =
(yn; yn+1) là một nghiệm của phương trình (x + y 1)
2
= 8xy. Giờ,
giả sử (x + y 1)
2
= 8xy với x; y 2 Z và x; y > 0. Dễ dàng thấy
x 6= y. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử rằng y > x. Nếu ta
thay thế u = x + y và v = y x thì ta được (u 1)2
= 2(u2
v2
) và
do đó
u2
2u + 1 = 2u2
2v2
:
Suy ra, v2
u + 1 2
1. Khi đó theo Hệ quả 2.1.4, ta có
u + 1
=
= v;
2 2
42. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Q
2n+1
; P2n+1 với n 0. Do vậy, u = 2P2n+1 1; v =
Q
2n+1
. Từ
2 2
u = x + y; v = y x ta được x = u v; y = u + v . Điều này cho
2 2
thấy
4P
2n+1
Q
2n+1 2
4P
2n+1
+ Q
2n+1 2
x = ; y = :
4 4
Sử dụng tính chất (2.1) và (2.2), ta được x =
v
n 2 v
n+1 2
.
; y =
4 4
Suy ra x = yn và y = yn+1.
Bằng cách sử dụng Định lý 2.2.1, ta có thể đưa ra ba định lý
sau theo cách tương tự.
Định lý 2.2.2. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y 2)2
= 8xy được xác định bởi
(x; y) = (2yn; 2yn+1)
với n 1.
28
43. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Định lý 2.2.3. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y + 1)2
= 8xy được xác định bởi
(x; y) = (yn + 1; yn+1 + 1)
với n 0.
Chứng minh. Giả sử (x + y + 1)2
= 8xy với x; y là các số nguyên
dương. Ta thay thế u = x 1; v = y 1. Ta được (u + v + 3)2
= 8(u
+ 1)(v + 1). Biến đổi phương trình ta được (u + v 1)2
= 8uv. Khi
đó làm theo cách chứng minh của Định lý 2.3 ta được điều phải
chứng minh. Ngược lại, nếu (x; y) = (yn + 1; yn+1 + 1), biến đổi
tính toán đơn giản ta được (x + y + 1)2
= 8xy.
Định lý 2.2.4. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y + 2)2
= 8xy được xác định bởi
(x; y) = (2yn + 2; 2yn+1 + 2)
với n 0.
Giờ, ta có thể đưa ra các định lý sau, giống như ý nghĩa của
các định lý trước đó, nghiệm của chúng có liên quan đến số tam
giác chính phương, các số cân bằng, đối cân bằng và chuỗi (yn).
Định lý 2.2.5. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y)2
= 4x(2y + 1) được xác định bởi
(x; y) = (4Bn
2
; 4BnBn+1)
29
44. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
hoặc
(x; y) = (4Bn
2
+1; 4BnBn+1)
với n 1.
Chứng minh. Giả sử (x + y)2
= 4x(2y + 1) với x; y là các số nguyên
dương. Khi đó (2x + 2y)2
= 16x(2y + 1), suy ra (2x + 2y + 1 1)2
=
8:2x(2y + 1). Theo Định lý 2.3, ta có (2x; 2y + 1) = (yn; yn+1) hoặc
(2x; 2y + 1) = (yn+1; yn) với n 1. Trước hết, giả sử (2x; 2y + 1) = (yn;
yn+1) với n 1. Từ yn là số chẵn, ta có n cũng là số chẵn. Đặt
n = 2k; k 1, ta được x =
y
2k
và y =
y
2k+1 1
. Sử dụng bổ đề
2 2
1.5.6, ta có x = 4Bk
2
và y = 4BkBk+1. Tương tự, nếu (2x; 2y +
1) = (yn+1; yn) với n 1, ta thấy rằng x = 4Bk
2
+1 và y = 4BkBk+1.
Ngược lại, nếu (x; y) = (4Bn
2
; 4BnBn+1) hoặc (x; y) = (4Bn
2
+1;
4BnBn+1) thì với cách tính toán đơn giản bằng cách sử dụng
tính chất (1.17) ta được (x + y)2
= 4x(2y + 1).
Từ định lý 2.2.5 ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.6. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình x2
+ y2
6xy 2x = 0 được xác định bởi
(x; y) = (2Bn
2
; 2BnBn+1)
hoặc
(x; y) = (2Bn
2
+1; 2BnBn+1)
với n 1.
30
45. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chứng minh. Ta có x2
+y2
6xy 2x = 0 tương đương với (x+y)2
= 2x(4y + 1) và tương đương với (2x + 2y)2
= 4:2x(4y + 1). Do
đó, kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.5.
Vì phần chứng minh của định lý sau đây tương tự như Định
lý 2.2.5 nên ta bỏ qua nó.
Định lý 2.2.7. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y)2
= 4x(2y 1) được xác định bởi
(x; y) = (4BnBn+1 + 1; 4Bn
2
+ 1)
hoặc
(x; y) = (4BnBn+1 + 1; 4Bn
2
+1 + 1)
với n 1.
Từ định lý 2.2.7, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.8. Phương trình x2
+ y2
6xy + 2x = 0 không có
nghiệm
nguyên dương.
Định lý 2.2.9. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Dio-phant (x + y + 1)2
= 8xy + 1 được xác định bởi (x; y) =
(1; 1) hoặc (x; y) = (bn + 1; bn 1 + 1) với n 1.
Chứng minh. Giả sử (x + y + 1)2
= 8xy + 1 với x; y là các số nguyên
dương. Cho x = y, rõ ràng (x; y) = (1; 1) là một nghiệm của phương
trình (x + y + 1)2
= 8xy + 1. Do đó giả sử rằng x 6= y. Khi đó không
46. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
31
47. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng x > y. Đặt u = x + y và
v = x y. Khi đó x =
u +
2
v
và y =
u
2
v
. Từ (x+y +1)2
= 8xy
+1, ta được (u + 1)2 = 8
u2 v2
+ 1. Suy ra (u 1)2 2v2 = 1. Theo
4
Hệ quả 2.1.3 ta được (u 1; v) =
v
2n
; 2Bn với n 1. Do đó, u =
v
2n
+ 1 và v = 2Bn. Từ đó ta được
x = u + v
vn
2
+ 1 + 2Bn
=
2
2
=
vn + 4Bn + 2
4
=
vn 2 + 4Bn + 4
4
= yn + Bn + 1
và
y =
u v
vn
2
+ 1 2Bn
= 2
2
v
n 4Bn + 2
= 4
vn 2 4Bn + 4
= 4
= yn Bn + 1:
Vậy x = yn + Bn + 1 và y = yn Bn + 1. Theo các tính chất (2.5) và
(2.6), ta có x = bn + 1 và y = bn 1 + 1. Ngược lai, nếu x = bn + 1 và y
= bn 1 + 1, tính toán đơn giản ta thấy (bn + bn 1 + 3)2
= 8(bn 1 +
32
48. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
1)(bn + 1) + 1. Suy ra x; y là nghiệm của phương trình (x + y + 1)2
=
8xy + 1.
Vì cách chứng minh định lý sau đây tương tự định lý 2.2.9
nên ta bỏ qua phần chứng minh.
Định lý 2.2.10. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Diophant (x+y 1)2
= 8xy +1 được xác định bởi (x; y) = (bn;
bn 1) với n 2.
Định lý 2.2.11. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Diophant x2
+ y2
6xy = 1 được xác định bởi (x; y) = (Bn+1;
Bn) với n 1.
Chứng minh. Giả sử x
2
+y
2
6xy = 1 với x; y là các số nguyên
dương. Khi đó (x y)
2
4xy = 1 và do đó x 6= y. Không làm mất tính
tổng quát, ta có thể giả sử rằng x > y. Thay thế u = x + y; v = x y
ta được x = u + v và y = u v. Từ (x y)2
4xy = 1, ta được
2
2 Q
2n+1
v2
(u2
v2
) = 1 tương đương với u2
2v2
= 1. Do đó, u =
2
và v = P2n+1. Vì x = u + v và y = u v nên x =
Q
2n+1
+ 2P
2n+1
2
2 4
và y =
Q
2n+1
2P
2n+1 . Theo các tính chất (2.3) và (2.4) ta được
4
x = Bn+1 và y = Bn. Ngược lại, nếu (x; y) = (Bn+1; Bn), theo tính
chất (1.12), ta có x2
+ y2
6xy = 1. Định lý 2.2.12. Phương
trình x2
+ y2
6xy = 1 không có nghiệm nguyên dương.
33
49. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chứng minh. Giả sử rằng x2
+ y2
6xy = 1 tương đương với (x
y)2
4xy = 1 và do dó x y là một số nguyên lẻ. Đặt u = x+y; v = x
y. Khi đó ta có thể thấy rằng u2
2v2
= 1. Vì v là một số nguyên
lẻ nên u2
= 2v2
+ 1 3(mod8) (mâu thuẫn). Đó là điều cần chứng
minh.
Định lý 2.2.13. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Diophant x2
+ y2
6xy x = 0 được xác định bởi
(x; y) = (Bk
2
; BkBk+1)
hoặc
(x; y) = (Bk
2
+1; BkBk+1)
với k 1.
Chứng minh. Giả sử x2
+ y2
6xy x = 0 với x; y là các số nguyên
dương. Do đó (4x)2
+ (4y)2
6(4x)(4y) 4(4x) = 0. Đặt a = 4x
và b = 4y. Khi đó ta có thể thấy rằng a
2
+ b
2
6ab 4a = 0. Suy ra,
(a + b)
2
= 4a(2b + 1). Vì vậy, theo Định lý 2.2.5, tồn tại k 1 sao
cho (a; b) = (4Bk
2
; 4BkBk+1) hoặc (a; b) = (4Bk
2
+1; 4BkBk+1). Do
vậy, a = 4Bk
2
; b = 4BkBk+1 hoặc a = 4Bk
2
+1; b = 4BkBk+1. Vì
a = 4x; b = 4y nên ta được x = Bk
2
; y = BkBk+1 hoặc x = Bk
2
+1;
y = BkBk+1. Ngược lại, nếu
(x; y) = (Bk
2
; BkBk+1)
hoặc
(x; y) = (Bk
2
+1; BkBk+1);
34
50. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
với k 1, thì đễ dàng thấy rằng x2
+ y2
6xy x = 0.
Định lý 2.2.14. Phương trình x2
+ y2
6xy + x = 0 không có nghiệm
nguyên dương.
Chứng minh. Giả sử rằng x2
+ y2
6xy + x = 0 với x; y là các số
nguyên dương nào đó. Khi đó (4x)2
+ (4y)2
6(4x)(4y) + 4(4x) =
0. Do đó, theo Định lý 2.2.7, tồn tại k 1 sao cho (4x; 4y) =
(4BkBk+1 + 1; 4Bk
2
+ 1) hoặc (4x; 4y) = (4BkBk+1 + 1; 4Bk
2
+1
+ 1) (điều này không thể xảy ra). Đó là điều cần chứng minh.
Trên đây, ta đã trình bày một số phương trình được suy ra từ kết
quả của Potter là (yn + yn+1 1)2
= 8ynyn+1. Giờ ta sẽ đưa ra
một số phương trình tương tự mà nghiệm của chúng cũng liên
quan đến các số cân bằng và đối cân bằng. Khi chứng minh
các phương trình này, ta lại sử dụng phương trình Pell.
Định lý 2.2.15. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Diophant (x + y 1)2
= 8xy + 4 được xác định bởi
(x; y) = (Bn + bn; Bn bn 1 1)
với n 1.
Chứng minh. Giả sử rằng (x + y 1)
2
= 8xy + 4 với x; y là các số
nguyên dương. Ta có x 6= y. Không làm mất tính tổng quát, giả sử
x > y. Đặt u = x + y; v = x y, ta được, (u 1)2
= 2(u2
v2
) + 4.
u + 1 2
Biến đổi phương trình ta được v2 2 = 1. Vì vậy, theo Hệ
2
35
51. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
u + 1 Q
quả 2.1.3, tồn tại n 1 sao cho v; =
2n
; P2n . Do đó,
2 2
v = Q2n và u = 2P2n 1. Vì
Q
2n
=
v
2n
và P2n = 2Bn nên ta có thể
2
v2n 2 2
viết v = và u = 4Bn 1. Mặt khác, vì u = x +y và v = x y nên
2
u + v u v vn 2 + 8Bn
ta có x = ; y = . Thay vào trên ta được x =
2 4
2
8Bn 4 (vn 2)
và y = . Theo các tính chất (2.5) và (2.6) và công
4
thức yn =
vn 2
, ta được x = Bn + bn và y = Bn
b
n 1 1. Ngược
4
1) với n 1 thì theo các tính
lại, nếu (x; y) = (Bn + bn; Bn
b
n 1
chất (2.5), (2.6) và Bổ đề 1.5.6, ta được (x + y 1)2
= 8xy + 4.
Bằng cách tương tự, ta có định lý sau.
Định lý 2.2.16. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Diophant (x + y + 1)2
= 8xy + 4 được xác định bởi
(x; y) = (Bn + bn + 1; Bn bn 1)
với n 1.
Hai định lý sau đây cho ta những phương trình mà nghiệm
của chúng rất thú vị.
Định lý 2.2.17. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương
trình Diophant x2
6xy + y2
+ 4x 1 = 0 được xác định bởi
(x; y) =
với n 1.
8 ( n 2n ; n 2 )
> B + b + 1 B b
n 1 + 1
(Bn + bn 1 ; B n + bn + 2)
<
> 2 2
:
nếu n là số lẻ;
nếu n là số chẵn;
36
52. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Chứng minh. Giả sử rằng x2
6xy + y2
+ 4x 1 = 0. Do x2
6xy +
y2
+ 4x 1 = 0 tương đương với (x + y)2
= 4x(2y 1) + 1 với x; y
là các số tự nhiên. Sau đó, nhân cả hai vế của phương trình (x + y)2 =
4x(2y 1) + 1 với 4 ta được (2x + 2y 1 + 1)2
= 8:2x(2y 1)+4.
Đặt u = 2x và v = 2y 1 ta được (u + v + 1)2
= 8uv + 4. Theo
Định lý 2.2.16 ta có (u; v) = (Bn + bn + 1; Bn bn 1) hoặc (u; v) =
(Bn bn 1; Bn + bn + 1). Do đó, u = Bn + bn + 1 và v = Bn
b
n 1
hoặc u = Bn bn 1 và v = Bn + bn + 1. Thay thế x; y vào u; v ta
Bn + bn + 1 Bn bn 1 + 1 Bn
b
n 1
được x = và y = hoặc x =
2 2 2
và y = Bn + bn + 2 . Ta đã biết rằng Bn là số chẵn nếu và chỉ nếu n là
2
số chẵn và bn luôn là số chẵn. Do vậy ta có
(x; y) = 8 ( n 2n ; n 2 ) nếu n là số lẻ;
> B + b + 1 B b
n 1 + 1
(Bn+ b n 1 ; B n + bn + 2) nếu n là số chẵ n:
<
> 2 2
Ngược lại,
nếu
:
(x; y) = 8 ( n 2n ; n 2 ) khi n là số lẻ;
> B + b + 1 B bn 1 + 1
( Bn+ b n 1 ; B n + bn + 2) khi n là s ố ch ẵn;
<
> 2 2
bằng cách sử
:
dụng các tính chất (2.5), (2.6) và Bổ đề 1.5.6, ta được
x2 6xy + y2
+ 4x 1 = 0.
Tương tự, ta có định lý sau đây.
Định lý 2.2.18. Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
37
53. Dịch vụ viết thuê đề tài – KB Zalo/Tele 0917.193.864 – luanvantrust.com
Kham thảo miễn phí – Kết bạn Zalo/Tele mình 0917.193.864
Diophant x2
(x; y) =
với n 2.
8
6xy + y2
4x 1 = 0 được xác định bởi
( n 2 ; n 2n ) nếu n là số lẻ;
> B b
n 1 1 B + b 1
( Bn + bn ; Bn bn 1 2) nếu n là số chẵ n;
<
> 2 2
:
2.3 Lũy thừa trong dãy các số cân bằng và các số
Lucas cân bằng