SlideShare a Scribd company logo

Luận văn: Tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô, HAY

•
•
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864

Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô và các kết quả liên quan, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1 of 69
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Trí MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
i MỤC LỤC MỞ ĐẦU...........................................................................................................1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:.........................................................................5 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: ...........................................5 1.1.1. Không gian tôpô: ..............................................................................5 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:................................................................6 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:......................................................................6 1.1.4. Không gian con tôpô:........................................................................6 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên:..............................................................7 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập:..............................................................7 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: ........................................7 1.1.8. Các tiên đề tách:................................................................................8 1.1.9. Các tiên đề đếm được: ......................................................................9 1.2. Không gian compact:..............................................................................9 1.2.1. Không gian compact:........................................................................9 1.2.2. Không gian compact đếm được:.....................................................10 1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian:........................10 1.2.4. Compact hóa: ..................................................................................10 1.2.5. Ánh xạ đầy đủ:................................................................................11 1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ:...............................................................11 1.2.7. Không gian giả compact:................................................................11 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: .........................................12 1.3.1. Không gian mêtric: .........................................................................12 1.3.2. Không gian mêtric hóa được: .........................................................12 1.4. Không gian paracompact: .....................................................................13 1.4.1. Không gian paracompact:...............................................................13 1.4.2. Không gian paracompact đếm được:..............................................13
ii 1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan:.............................................13 1.5.1. Nhóm tôpô: .....................................................................................13 1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô:.....................................................14 1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ:................................................................15 1.5.4. M-không gian, p-không gian: .........................................................15 Chương 2: Các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô:....................................17 2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô:..........................17 2.2. Chú ý:....................................................................................................21 2.3. Mệnh đề 2.3: ........................................................................................22 2.4. Mệnh đề 2.4: ........................................................................................23 2.5. Định lí 2.5: ...........................................................................................23 2.6. Hệ quả 2.6:............................................................................................26 2.7. Định lí 2.7: ............................................................................................26 2.8. Mệnh đề 2.8: .........................................................................................27 2.9. Mệnh đề 2.9: .........................................................................................27 2.10. Mệnh đề 2.10: .....................................................................................27 2.11. Mệnh đề 2.11: .....................................................................................28 2.12. Hệ quả 2.12:........................................................................................29 2.13. Hệ quả 2.13:........................................................................................29 2.14. Ví dụ:...................................................................................................29 Chương 3: Một số kết quả trên các nhóm tôpô...............................................31 3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: ..............................................31 3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: ................................................................................32 3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: ................................................................................32 3.1.3. Hệ quả 3.1.3:...................................................................................36 3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: .36 3.2.1. Bổ đề 3.2.1:.....................................................................................36 3.2.2. Bổ đề 3.2.2:.....................................................................................37
iii 3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 38 3.3.1. Định lí 3.3.1: ...................................................................................38 3.3.2. Định lí 3.3.2: ...................................................................................40 3.3.3. Định lí 3.3.3: ...................................................................................42 3.3.4. Hệ quả 3.3.4:...................................................................................42 3.3.5. Hệ quả 3.3.5:...................................................................................43 3.3.6. Hệ quả 3.3.6:...................................................................................43 3.3.7. Định lí 3.3.7: ...................................................................................44 3.3.8. Ví dụ: ..............................................................................................44 3.3.9. Chú ý:..............................................................................................44 3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire:.............45 3.4.1. Định lí 3.4.1: ...................................................................................45 3.4.2. Hệ quả 3.4.2:...................................................................................46 3.4.3. Hệ quả 3.4.3:...................................................................................47 3.4.4. Hệ quả 3.4.4:...................................................................................47 3.4.5. Hệ quả 3.4.5:...................................................................................47 3.4.6. Hệ quả 3.4.6:...................................................................................47 3.4.7. Hệ quả 3.4.7:...................................................................................47 3.4.8. Hệ quả 3.4.8:...................................................................................47 3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa tôpô: ......................................................................................................48 3.5.1. Định lí 3.5.1: ...................................................................................48 3.5.2. Bổ đề 3.5.2:.....................................................................................48 3.5.3. Định lí 3.5.3: ..................................................................................50 3.5.4. Ví dụ: ..............................................................................................51 3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm:.............................51 3.6.1. Bổ đề 3.6.1:.....................................................................................52 3.6.2. Định lí 3.6.2: ...................................................................................52
iv 3.6.3. Định lí 3.6.3: ...................................................................................54 3.6.4. Hệ quả 3.6.4:...................................................................................55 3.6.5. Ví dụ: ..............................................................................................55 3.6.6. Chú ý:..............................................................................................56 KẾT LUẬN.....................................................................................................57 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................60
1 MỞ ĐẦU Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân :m G G G× → là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân :m G G G× → là liên tục tách. Một nhóm nửa tôpô G mà phép toán nghịch đảo :In G G→ là liên tục thì được gọi là nhóm tựa tôpô. Việc nghiên cứu các tính chất trên các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, và nhóm nửa tôpô đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Sự liên quan của các nhóm nửa tôpô tách được, các nhóm nửa tôpô mêtric hóa được với các nhóm tôpô và paratôpô cũng rất được quan tâm bởi nhiều nhà toán học: Năm 1936, D.Montgomery đã chứng minh được rằng: - Mọi nhóm nửa tôpô tách được và mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một nhóm tôpô. - Mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một nhóm paratôpô. Năm 1957, R.Ellis đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô compact địa phương là một nhóm tôpô. Năm 1960, W. Zelazko đã kết luận rằng mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được đầy đủ là một nhóm tôpô. Năm 1982, N. Brand chứng minh được rằng mọi nhóm paratôpô Cech- đầy đủ là một nhóm tôpô.
2 Gần đây, một số phát triển theo các kết quả trên cũng đã được đưa ra bởi A.Bouziad (1996), P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. Moors (2001), A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko (2005). A. Bouziad đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô Cech-đầy đủ là một nhóm tôpô. A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko cũng đã chứng minh được rằng một nhóm paratôpô G là một nhóm tôpô nếu nó là một Gδ -không gian con của không gian giả compact nào đó. P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. B. Moors đã giới thiệu một lớp các không gian Baire mạnh và đã chứng minh được rằng một nhóm nửa tôpô Baire mạnh là một nhóm tôpô. Và một số mối liên hệ đáng chú ý giữa tính liên tục tách và liên tục nối cũng đã được xây dựng từ đó. Dựa trên các kết quả ở trên, luận văn này sẽ tiếp tục nghiên cứu một số phương pháp về các tính chất kiểu đầy đủ mà A. V. Arhangel’skii đã đưa ra và mở rộng các định lí của D. Montgomery và R. Eliss trên lớp rất rộng của các không gian quạt-đầy đủ. Lớp các không gian quạt-đầy đủ cũng khá lớn, nó có mối quan hệ với các không gian quen thuộc, chẳng hạn: - Tất cả các không gian compact, các không gian compact đếm được, và các không gian giả compact đều là không gian quạt-đầy đủ. - Mọi Gδ -không gian con trù mật của một không gian quạt-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ.
3 - Ảnh bất kì của một không gian quạt-đầy đủ qua các ánh xạ liên tục mở là không gian quạt-đầy đủ. - Một không gian quạt-đầy đủ địa phương bất kì là không gian quạt-đầy đủ. Quan tâm đến các mối quan hệ trên, luận văn của chúng tôi dành cho việc khảo sát các không gian quạt đầy đủ và các tính chất của chúng. Luận văn cũng dành cho việc nghiên cứu các không gian trên trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô cùng với một phép nhân tựa liên tục, các không gian giải tích với tính chất Baire,… Nội dung của luận văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp theo sau. Chương 2 giới thiệu các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô và các tính chất của chúng. Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục, trên các không gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động viên và giúp tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại, các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán. Sự động viên và sự hướng dẫn tận tình của thầy không những giúp tác giả trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác của cuộc sống xã hội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình
4 học và tôpô khóa 21 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm phục vụ cho các chương tiếp theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các không gian tôpô và các nhóm tôpô. Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp các phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [7], [17]. 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: 1.1.1. Không gian tôpô: Một không gian tôpô là một cặp ( ),X τ bao gồm một tập hợp X và một họ τ các tập con của X thỏa các điều kiện sau: ( 1τ ) τ∅∈ và X τ∈ . ( 2τ ) Nếu 1U τ∈ và 2U τ∈ thì 1 2U U τ∩ ∈ . ( 3τ ) Nếu τ⊂A thì τ∈A . Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các tập mở của X, họ τ các tập con mở của X được gọi là tôpô trên X.
6 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô: Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β τ⊂ gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( ),X τ nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Một họ σ τ⊂ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( ),X τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ . Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận: Cho X là không gian tôpô và x X∈ . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V∈ ⊂ . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x. Một họ xU các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận xU ∈U sao cho U V⊂ . 1.1.4. Không gian con tôpô: Cho ( ),X τ là một không gian tôpô và một tập A X⊂ . Khi đó, họ { }:A G A Aτ τ= ∩ ∈ là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X. Không gian ( ), AA τ gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô ( ),X τ .
7 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên: Cho không gian tôpô ( ),X τ và tập A X⊂ , phần trong o A của A là hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là o A A A∂ = − . Một tập A X⊂ gọi là trù mật nếu A X= , hay A trù mật nếu mọi tập con mở của X chứa một điểm của A. Tập A X⊂ gọi là không đâu trù mật nếu ( ) o A = ∅. 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập: Một điểm x X∈ là một điểm hội tụ của A X⊂ nếu { }x A x∈ . Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu d A . Điểm thuộc tập d A A gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập của không gian X khi và chỉ khi tập { }x là tập mở, tức là { } { } x X X x= hay { }x X x∉ . 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: Cho ( ),X τ và ( ), 'Y τ là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới Y gọi là liên tục tai x X∈ nếu mọi lân cận V của ( )f x trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho ( )f U V⊂ , nghĩa là, 1 ( )f V− là một lân cận của x. Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở (đóng) G trong X, ( )f G là tập mở (đóng) trong Y.
8 Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và 1 ,f f − đều là ánh xạ liên tục. 1.1.8. Các tiên đề tách: 0T -không gian: Không gian tôpô X là 0T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. 1T -không gian: Không gian tôpô X là 1T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. 2T -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là 2T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U V∩ =∅. 3T -không gian (Không gian chính quy): Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x X∈ , mọi tập con đóng  của X không chứa x , tồn tại các tập con mở ,U V sao cho , ,x U V U V⊂∈ ∩ =∅ . Tương đương mọi x X∈ , mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x U U V∈ ⊂ ⊂ . Không gian tôpô X là 3T -không gian nếu X là 1T -không gian và thỏa mãn điều kiện chính quy.
9 1 3 2 T -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian Tychonoff): Không gian tôpô X là 1 3 2 T -không gian nếu X là 1T -không gian và với mỗi x X∈ , mỗi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục : [0,1]f X → sao cho ( ) 0f x = và ( ) 1f F = . 4T -không gian (không gian chuẩn tắc): Không gian tôpô X là 4T -không gian nếu X là 1T -không gian và với hai tập con đóng ,A B bất kỳ không giao nhau trong X , tồn tại các tập mở rời nhau U và V sao cho ,A U B V⊂ ⊂ và U V∩ =∅. 1.1.9. Các tiên đề đếm được: Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x X∈ đều có một cơ sở lân cận đếm được. Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được. Không gian chính qui mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con đếm được thì gọi là không gian Lindeloff. Như vậy, một không gian chính qui thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindeloff. 1.2. Không gian compact: 1.2.1. Không gian compact: Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn,
10 nghĩa là mọi phủ mở { }s s S U ⊂ của không gian X tồn tại một tập hữu hạn { }1 2, ,..., ks s s S⊂ thỏa 1 2 ... ks s sX U U U= ∪ ∪ ∪ . 1.2.2. Không gian compact đếm được: Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có một phủ con hữu hạn. 1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian: Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa phương nếu với mọi x X∈ có một lân cận U của x thỏa U là một không gian con compact của X. Mọi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff. Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X là không gian Hausdorff và X là ảnh của một không gian compact địa phương qua ánh xạ thương. Nói cách khác, k-không gian là một không gian Hausdorff mà có thể được biểu diễn như là không gian thương của các không gian compact địa phương. 1.2.4. Compact hóa: Cho X là một không gian compact. Cặp ( ),Y c , với Y là một không gian compact và :c X Y→ là phép nhúng đồng phôi của X lên Y thỏa ( )c X Y= , được gọi là một compact hóa của không gian X.
11 Gọi ( )C X là họ tất cả compact hóa của X. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên họ ( )C X như sau: 2 1c X c X≤ nếu tồn tại một ánh xạ 1 2:f c X c X→ thỏa 1 2fc c= . Phần tử lớn nhất trong họ ( )C X của tất cả compact hóa của một không gian Tychonoff X được gọi là compact hóa Cech-Stone của X, kí hiệu là Xβ . 1.2.5. Ánh xạ đầy đủ: Ánh xạ liên tục :f X Y→ là đầy đủ nếu X là một không gian Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả các thớ ( )1 f y− là các tập con compact của X. Đơn ánh :f X Y→ xác định trên một không gian Hausdorff X là đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng đồng phôi và tập ( )f X đóng trong Y. 1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ: Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một Gδ -tập trong các compact hóa Hausdorff của nó. 1.2.7. Không gian giả compact: Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị chặn.
12 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: 1.3.1. Không gian mêtric: Một không gian mêtric là một cặp ( ),X ρ gồm một tập X và một hàm : X Xρ × →  thỏa mãn các điều kiện sau: (M1) ( ), 0x yρ = khi và chỉ khi x y= , (M2) ( ) ( ), ,x y y xρ ρ= với mọi ,x y X∈ , (M3) ( ) ( ) ( ), , ,x y y z x zρ ρ ρ+ ≥ với mọi , ,x y z X∈ . Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm ρ gọi là mêtric trên tập X và số ( ),x yρ được gọi là khoảng cách giữa x và y. Nếu hàm : X Xρ × →  thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện (M1’) ( , ) 0x xρ = với mọi x X∈ thì được gọi là một giả mêtric trên tập X. Với mọi không gian mêtric ( ),X ρ , họ các tập mở theo mêtric ρ là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric ρ . Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh mêtric. 1.3.2. Không gian mêtric hóa được: Không gian tôpô ( , )X τ gọi là không gian mêtric hóa được nếu X đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric ρ trên tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric ρ trùng với tôpô τ của X ( ρτ τ= ).
13 Không gian ( , )X τ mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô 'τ trên X sao cho 'τ τ⊂ và ( , ')X τ mêtric hóa được. 1.4. Không gian paracompact: 1.4.1. Không gian paracompact: Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu X là một không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc. 1.4.2. Không gian paracompact đếm được: Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc. 1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan: 1.5.1. Nhóm tôpô: Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và :f X Y Z× → là một hàm, ta nói: - f là liên tục nối tại ( )0 0 ,x y X Y∈ × nếu với mỗi lân cận W của ( )0 0 ,f x y tồn tại một tích của các tập mở U V X Y× ⊆ × chứa ( )0 0 ,x y thỏa ( )f U V W× ⊆ .
14 - f là liên tục tách trên X Y× nếu với mỗi 0 x X∈ và 0 y Y∈ , các hàm ( )0 ,y f x y và ( )0 ,x f x y là các hàm liên tục trên Y và X tương ứng. Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục tách. Cho một nhóm G, ánh xạ nghịch đảo :In G G→ được định nghĩa theo công thức ( ) 1 In x x− = , với mỗi x G∈ . Một nhóm nửa tôpô với ánh xạ nghịch đảo liên tục được gọi là nhóm tựa tôpô. Một nhóm tôpô G là một nhóm paratôpô G thỏa ánh xạ nghịch đảo :In G G→ là liên tục. Như vậy, G là một nhóm tôpô khi và chỉ khi ánh xạ từ G G G× → ,( ) 1 ,x y xy−  là liên tục. 1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô: Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tôpô có thể nhúng được vào một nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ. Mở rộng Raikov: Cho * G là một họ tất cả các lọc chính tắc trên G. Kí hiệu xB là một lọc chính tắc trên G, với mỗi x G∈ . Đặt ( ) xi x B= , với mỗi x G∈ . Từ đó, ta có đơn ánh * :i G G→ . Tiếp theo, ta định nghĩa một phép toán trên * G để cho * G biến thành một nhóm, sau đó ta xác định một tôpô trên * G để * G trở thành một nhóm tôpô, cuối cùng ta sẽ
15 kiểm tra rằng ánh xạ ( ) * :i G i G G→ ⊂ là một đẳng cấu tôpô. Khi đó, * G được gọi là mở rộng Raikov của G. 1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ: Nhóm tôpô Cech-đầy đủ là nhóm tôpô mà không gian cơ bản của nó là Cech-đầy đủ. 1.5.4. M-không gian, p-không gian: Cho X là một không gian. Với mỗi A X⊂ và U là họ các tập con của X, ta định nghĩa ( ) { }, :st A U U A= ∈ ∩ ≠ ∅U U . Với x X∈ , ta viết ( ),st x U thay cho { }( ),st x U . Cho X là một không gian, U là một phủ của X. Cho V là một phủ của X thỏa: { }, : ,x X U st x U∀ ∈ ∃ ∈ ⊆U V . Khi đó, ta nói V là một làm mịn hình sao của U. M-không gian: Một không gian X được gọi là một M-không gian nếu tồn tại một dãy ( )nξ các phủ mở của X thỏa: (i) Nếu ( ),n nx st x ξ∈ , với mỗi n ω∈ , thì { }:nx n ω∈ có một điểm hội tụ. (ii) Với mỗi n ω∈ , 1nξ + là một làm mịn hình sao của nξ . p-không gian: Một không gian hoàn toàn chính qui là một p-không gian nếu tồn tại một dãy ( )nU của họ các tập con mở của Xβ thỏa: (i) Mỗi nU là phủ của X.
16 (ii) Với mỗi ( ), ,n nx X st x X∈ ⊂ U Nếu ta có thêm (iii) ( ) ( ), ,n n n nst x st x= U U , thì X được gọi là một p-không gian ngặt.
17 Chương 2 CÁC KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiểu đầy đủ của các không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của chúng. 2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: Cho một dãy { }:nH n ω∈ các tập con của không gian X , { }lim :nH n ω∈ là tập hợp tất cả các điểm hội tụ của { }:nH n ω∈ . Nếu 1n nH H+ ⊆ ,với mọi n ω∈ , thì { } { }lim : :n X nH n cl H nω ω∈= ∈ . Một dãy { }:nU n ω∈ của các tập con mở trong không gian X được gọi là dãy dừng nếu nó thỏa các điều kiện sau: (S1) 1n nU U+∅ ≠ ⊆ , với mọi n ω∈ ; (S2) Mọi dãy { }:nV n ω∈ của các tập mở khác rỗng trong X thỏa n nV U⊆ , với mỗi n ω∈ , có một điểm hội tụ trong X, nghĩa là { }lim :nV n ω∈ ≠ ∅ . Một tập con L của không gian X là bị chặn nếu với mọi họ hữu hạn địa phương γ của các tập con mở trong X, tập { }:U U Lγ∈ ∩ ≠ ∅ là hữu hạn. Một không gian X là compact yếu nếu mọi họ hữu hạn địa phương của các tập con mở trong X là hữu hạn, nghĩa là X bị chặn trong X. Trong không gian Tychonoff, tính compact yếu tương đương với tính giả compact. Mọi
18 không gian compact đếm được là không gian compact yếu. Một tập con L của một không gian Tychonoff X bị chặn nếu và chỉ nếu mọi hàm liên tục trong X bị chặn trong L. Từ điều kiện (S1) và (S2) ta thấy { } { }: lim :X n nH cl U n U nω ω= ∈= ∈ là một tập con khác rỗng bị chặn trong X. Một không gian X được gọi là µ -đầy đủ nếu bao đóng của mỗi tập con bị chặn là compact. Cho Y là một không gian con trù mật của một không gian X, { }{ : }:n nU A nαγ γ α ω= = ∈ ∈ là một dãy các họ tập con mở của X, và cho { }1: :n n nA A nπ π ω+= → ∈ là một dãy các ánh xạ. Một dãy { }:n nα α ω= ∈ được gọi là một c-dãy nếu n nAα ∈ và 1( )n n nπ α α+ = với mọi n. Cho { }( ) ;n H U nαα ω= ∈ . Xét các điều kiện sau: (SC1): { }: nU Aβ β ∈ là một tập con trù mật của X với mỗi n ω∈ . (SC2): { }1 : ( )nUβ β π α− ∈ là một tập con trù mật của tập Uα với mọi nAα ∈ và n ω∈ . (SC3): { }1 : ( )nU Uα β β π α− = ∈ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . (SC4): { }1 : ( )X ncl U Uβ αβ π α− ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . (C1): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };n U nα ω∈ là dãy dừng.
19 (C2): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , mỗi dãy { };nny Y U nα ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong X. (C3): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };n U nα ω∈ là một cơ sở của các lân cận mở của tập ( )H α trong X. (C4): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , tập ( )H α là tập con compact khác rỗng của X. (C5): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , tập ( )H α là tập con compact đếm được khác rỗng của X. Dãy γ và π được gọi là ω A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3) và mỗi nγ là một phủ của X. Dãy γ và π được gọi là một A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3), (SC4) và mỗi nγ là một phủ của X. Dãy γ và π được gọi là một ω A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất (SC1), (SC2). Dãy γ và π được gọi là một A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất (SC1), (SC2), (SC4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và (C4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C4) khi Y=X.
20 Một không gian X được gọi là q-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2). Một không gian X được gọi là q-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C5) với Y=X. Một không gian X được gọi là quạt-đầy đủ trù mật nếu tồn tại một A- sàng trù mật trên X với tính chất (C1). Một không gian X được gọi là quạt- đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng trên X với tính chất (C1). Theo E.Michael ([27],[23]) : Một điểm x X∈ được gọi là một qD-điểm nếu tồn tại một không gian con trù mật Y của X và một dãy các lân cận { }:nU n ω∈ của x trong X thỏa nếu n n nx Y U∈ ∩ thì dãy { }:nx n ω∈ có một chùm điểm trong X. Nếu Y=X thì x là một q-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian trù mật nếu mỗi x X∈ là một qD-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian nếu mỗi x X∈ là một q-điểm. Mọi không gian q-đầy đủ đều là một q-không gian. Cho { }{ }1: , : :n n n n nU A A A nαγ α π ω+= ∈ → ∈ là một ω A-sàng trù mật với tính chất (C2) và 1X =  { ( ):H α α là một c-dãy}. Khi đó, mọi điểm 1x X∈ là một qD-điểm. Tập 1X là trù mật trong X. Một điểm x X∈ được gọi là một điểm của kiểu đếm được nếu tồn tại một tập con compact F với một cơ sở đếm được của các lân cận mở { }:nU n ω∈ trong X thỏa x F∈ . Một không gian X được gọi là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm nếu mỗi x X∈ là một điểm của kiểu đếm được.
21 2.2. Chú ý: a) Với mọi ω A-sàng { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ tồn tại một A-sàng { }{ }1: , : :n n n n nv V B q B B nβξ β ω+= = ∈ → ∈ và các ánh xạ { }: :n n nh B A n ω→ ∈ thỏa: 1. ( )nX qcl V Uβ β⊆ và 1n n n nh q hπ +=  với mỗi nBβ ∈ và n ω∈ bất kì. 2. Nếu u có tính chất (C1) thì v cũng có tính chất (C1). 3. Nếu u có tính chất (C2) và (C3) thì v cũng có tính chất (C2) và (C3). 4. Nếu u có tính chất (C2) và (C4) thì v cũng có tính chất (C2) và (C4). Hơn nữa, nếu Y là một không gian con trù mật của X và u là một ω A- sàng thì v là một A-sàng trù mật với các tính chất: - Họ nξ là rời nhau với mọi n ω∈ . - { }1 1( ) :n nq B v vµ ββ µ− +=∈ ⊆ với mỗi nBβ ∈ và mọi n ω∈ . - Nếu { }1,2,3,4,5k = và u có tính chất (Ck) thì v cũng có tính chất (Ck). b) Mọi không gian compact yếu là quạt-đầy đủ. Theo các định nghĩa ở trên ta thấy được tính di truyền của các kiểu không gian đầy đủ lên các không gian con đóng qua các phát biểu sau: - Mọi không gian Tychonoff là không gian con đóng của không gian giả compact nào đó, một không gian con đóng của một không gian quạt-đầy đủ không nhất thiết phải là không gian quạt-đầy đủ.
22 - Mọi không gian con đóng của một không gian sàng-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ. - Mọi không gian con đóng của một không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ. - Mọi không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ trù mật. - Mọi không gian sàng-đầy đủ là không gian q-đầy đủ, và mọi không gian q-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ. - Mọi không gian µ -đầy đủ, quạt-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ. - Một không gian X là quạt-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Đối với một không gian quạt-đầy đủ thì tính chất đầy đủ được bảo toàn trên các Gδ -không gian con. Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau: 2.3. Mệnh đề 2.3: Mọi Gδ -không gian con của một không gian quạt-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ. Đặc biệt, mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy đủ. Chứng minh: Cho { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ là một A-sàng với tính chất (C1) trên một không gian X, và cho { }:nY U n ω= ∈ với { }:nU n ω∈ là một dãy các tập con mở trong X. Khi đó, tồn tại một dãy { }{ }: :n nV B nβξ β ω= ∈ ∈ của họ các tập mở trong X, dãy các ánh xạ { }1: :n n nq B B n ω+ → ∈ và { }: :n n nh B A n ω→ ∈ thỏa:
23 - ( )nX n qcl V U Uβ β⊆ ∩ và 1n n n nh q hπ +=  với mỗi nBβ ∈ và với bất kì n ω∈ ; - { } { }1 1 : ( ) : ( )n X nV Y V Y q Y cl Uµ β ββ µ β π α− − ∩ =∪ ∩ ∈ =∪ ∩ ∈ với mọi nBµ ∈ và n ω∈ ; Khi đó { } 1W W : , : :n n n nY V B q B B nβ β β ω+= =∩ ∈ → ∈ là một A- sàng với tính chất (C1) trên Y. Mệnh đề sau cho ta thấy được mối quan hệ giữa không gian quạt-đầy đủ và không gian Baire: 2.4. Mệnh đề 2.4: Nếu một không gian X có chứa một không gian con quạt- đầy đủ trù mật thì X có tính chất Baire. Một không gian X là một M-không gian đầy đủ nếu tồn tại một ánh xạ đóng liên tục :f X Y→ vào một không gian mêtric hóa đầy đủ Y thỏa 1 ( )f y− là compact đếm được. Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f là một ánh xạ tựa đầy đủ. Mọi M-không gian đầy đủ là q-đầy đủ. Định lí sau đây cho thấy một số tính chất của các kiểu không gian đầy đủ qua một ánh xạ liên tục mở và qua một mở rộng liên tục của ánh xạ đó. 2.5. Định lí 2.5: Cho X là một không gian mêtric. Cho :f X Y→ là một ánh xạ liên tục mở của một không gian X vào một không gian Y, và 1X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của X. Khi đó tồn tại một không gian con quạt-đầy đủ trù mật 1Y của Y thỏa 1 1( )f X Y⊆ . Hơn nữa, nếu X, Y là các không gian Tychonoff và
24 :f X Yβ β β→ là mở rộng liên tục của f, thì tồn tại một Gδ -không gian con paracompact Z của Xβ thỏa: ( )S f Zβ= là một không gian con trù mật paracompact của Yβ ; :g f Z Z Sβ= → là một ánh xạ đầy đủ, 1S Y S= ∩ là mộtGδ -không gian con trù mật của 1Y và 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ))XZ f y X g y g y cl Z f yβ − − − − ∩ =∩ ⊆ = ∩ với mỗi 1y S∈ ; Nếu 1X là một không gian q-đầy đủ, 1Z Z X= ∩ và 1 1( )S f Z= , thì 1 1 1:h f Z Z S= → là một ánh xạ tựa đầy đủ, và 1Z là M-không gian đầy đủ; Nếu 1X là một không gian sàng-đầy đủ, thì Z X⊆ ; Nếu X hoặc 1X là µ -đầy đủ thì Z X⊆ . Chứng minh: Tồn tại một dãy { }: :n nU A nαγ α ω= ∈ ∈ của họ các tập con mở của X và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ các ánh xạ thỏa: (RC1) { }1 0:X U Aα α⊆ ∈ và { }1 1 : ( )nU X U Uα β αβ π α− ∩ ⊆ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ ; (RC2) với bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { }1 ;n X U nα ω∩ ∈ bị chặn trong 1X . Cho { }( ):n nV f U Aα αη α= = ∈ với bất kì { }, ( ) :n n X U nαω α ω∈ = ∈ và { }( ) :n Y V nαα ω= ∈ , với mọi c-dãy
25 { }:n nα α ω= ∈ . Chúng ta đặt 2 { ( ):X X α α=  là một c-dãy} và 1 { ( ):Y Y α α=  là một c-dãy}. Bằng cách xây dựng, ( ) 1 2( ) ( ),f X Y X Xα α⊆ ⊆ và 2 1( )f X Y⊆ . Hiển nhiên ta có { }1 0:Y V Aα α⊆ ∈ và { }1 1 : ( )nV Y V Vα β αβ π α− ∩ ⊆ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Cho { }:n nα α ω= ∈ là một c-dãy và { }:nV n ω∈ là một dãy các tập mở khác rỗng trong Y thỏa nnV Vα⊆ với bất kì n ω∈ . Chúng ta đặt 1 ( )nn nU U f Vα − =  . Khi đó, { }:nLim U n ω∈ ≠ ∅ và { }( ) { }: :n nf Lim U n Lim V nω ω∈ ⊆ ∈ . Do đó, 1Y là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của Y. Giả sử rằng X và Y là các không gian Tychonoff. Khi đó, có các họ rời rạc { }{ }: :n nH B nβξ β ω= ∈ ∈ các tập con mở của Xβ , các họ rời rạc { }{ }W : :n nB nβξ β ω= ∈ ∈ các tập con mở của Yβ , các ánh xạ { }: :n n nq A B n ω→ ∈ và các ánh xạ { }1: :n n np B B n ω+ → ∈ thỏa mãn: - { }:n nW W Bβ β= ∈ là một tập con trù mật mở của Yβ với mỗi n ω∈ ; - { }1 : ( )X ncl H p Hβ µ βµ β− ∈ ⊆ và { }1 : ( )Y ncl W p Wβ µ βµ β− ∈ ⊆ với mọi nBβ ∈ và n ω∈ ; - ( )npX H Uβ β∩ ⊆ và ( )f H Wβ ββ = với mọi nBβ ∈ và n ω∈ ; - 1 1n n n nq q pπ + +=  với mọi n ω∈ .
26 Đặt { }:n nH H Bβ β= ∈ , { }:nZ H n ω= ∈ và { }:nS W n ω= ∈ . Các không gian con Z, S và ánh xạ :g f Z Z Sβ= → thỏa các điều kiện của định lí. 2.6. Hệ quả 2.6: Nếu một không gian µ -đầy đủ X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật. Định lí tiếp theo thể hiện mối quan hệ của không gian quạt-đầy đủ với không gian Cech-đầy đủ: 2.7. Định lí 2.7: Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian Cech-đầy đủ. Chứng minh: Nếu X là một không gian quạt-đầy đủ paracompact, thì tồn tại một dãy { }{ }: :n nU A nαγ α ω= ∈ ∈ của các phủ hữu hạn địa phương mở và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ của các ánh xạ với các tính chất (C1), (C2) thỏa Uα là một Fσ -tập trong X với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Cố định các hàm liên tục không âm { }: ,ng A nα α ω∈ ∈ thỏa { }: 2 n ng Aβ β − ∈ =∑ và 1 (0) g X Uα α − = với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Khi đó, { }( , ) : ,nx y g A nαρ α ω= ∈ ∈∑ là một giả mêtric liên tục trên X. Do đó, tồn tại một không gian mêtric (Y,d) và một ánh xạ liên tục :f X Y→ vào Y thỏa ( , ) ( ( ), ( ))x y d f x f yρ = với mọi ,x y X∈ . Cố định b X∈ và một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ thoả { }:n b U nα ω∈ ∈ . Tồn tại một dãy { }( ):n nε ω∈ thỏa ( ) ( 1) 0n nε ε> + > và
27 { }X: ( , ) ( ) nnV y x y n Uαρ ε=∈ < ⊆ với bất kì n ω∈ . Từ { }1 ( ( )) :n f f b H U nα ω− ⊆= ∈ và H là một tập con bị chặn của không gian paracompact X, các tập 1 ( ( ))f f b− và Xcl H là compact, và f là một ánh xạ đầy đủ. Bây giờ ta dễ dàng kiểm tra được rằng (Y,d) là một không gian mêtric đầy đủ. 2.8. Mệnh đề 2.8: Cho X là một không gian thỏa: Với mọi tập con khác rỗng U, tồn tại một tập con mở khác rỗng V và một không gian con quạt-đầy đủ Z của X sao cho: XZ V U cl Z⊆ ⊆ ⊆ . Khi đó X chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 2.9. Mệnh đề 2.9: Bất kì không gian quạt-đầy đủ địa phương nào cũng đều là không gian quạt-đầy đủ. 2.10. Mệnh đề 2.10: Cho G là một nhóm nửa tôpô hoặc là một không gian thuần nhất, V là một tập con mở của G, Z là một không gian con quạt-đầy đủ, với XZ V cl Z⊆ ⊆ . Ta có: 1. G có chứa không gian con quạt-đầy đủ trù mật nào đó. 2. Nếu Z V= , thì G là không gian quạt-đầy đủ. Một tập Z là chuẩn tắc trong một không gian X nếu với bất kì tập con đóng F của không gian con Z và với mỗi tập con mở U của X chứa F tồn tại một tập con V của X thỏa XF V cl V U⊆ ⊆ ⊆ . Hiển nhiên, Z là một không gian con đóng chuẩn tắc của X.
28 2.11. Mệnh đề 2.11: Cho Y là một tập con trù mật của X và { }:nU n ω∈ là một dãy các tập con mở khác rỗng của X với các tính chất:  { }:nF U n ω= ∈ là tập con chuẩn tắc trong X;  1X n ncl U U+ ⊆ với mỗi n ω∈ ;  Mỗi dãy { }:n ny Y U n ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong X. Khi đó: 1. F là một không gian con đóng chuẩn tắc của không gian X. 2. Không gian con F là compact đếm được. 3. { }:nU n ω∈ là một cơ sở của F trong X. Chứng minh: 1. Hiển nhiên. 2. Cho { }:nL x F n ω= ∈ ∈ là một dãy rời rạc của không gian con F. Khi đó tồn tại một họ rời rạc{ }:nV n ω∈ các tập con mở của X thỏa n nx V∈ với bất kì n ω∈ . Tồn tại một tập con mở W của X thỏa { }:X nL W cl W V n ω⊆ ⊆ ⊆ ∈ . Chúng ta đặt n n nW W U V= ∩ ∩ . Khi đó { }:nW n ω∈ là một họ rời rạc các tập con mở của X, điều này dẫn đến mâu thuẩn. 3. Cho U và V là hai tập con mở của X và XF V cl V U⊆ ⊆ ⊆ . Khi đó { } :n n XH U cl V n ω= ∈ là một họ rời rạc các tập con mở của X. Do
29 đó mH = ∅ và nU U⊆ với một vài m ω∈ . Khẳng định 3 đã được chứng minh. 2.12. Hệ quả 2.12: Cho X là một không gian chuẩn tắc. Các khẳng định sau đây là tương đương: 1. Không gian X là q-đầy đủ trù mật. 2. Không gian X có chứa một không gian con q-đầy đủ trù mật. 3. Không gian X là quạt-đầy đủ trù mật. 4. Không gian X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 2.13. Hệ quả 2.13: Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. 2.14. Ví dụ: Cho 0W là tập tất cả các số thứ tự đếm được và 1ω là số thứ tự không đếm được đầu tiên. Trong tập 0 0 [0;1)V W= × xét thứ tự tuyến tính: ( ) ( ), ,u vα β< với α β< hoặc α β= và u < v. Không gian V0 với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính được gọi là đường thẳng dài. Không gian { }0 1V V ω= ∪ , trong đó 1x ω< với bất kì 0x V∈ . Với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính là compact hóa Stone-Cech của không gian 0V . Cho Y là tập tất cả các điểm ( ) 0,0 Vα ∈ , trong đó α là một số thứ tự không giới hạn. Hiển nhiên, không gian con 0 X V Y= của 0V là mêtric hóa địa phương và Cech-đầy đủ địa phương. Từ đó, X là một không gian sàng-đầy đủ. Chúng ta khẳng định rằng X không phải là một Gδ -không gian con của một vài không gian giả
30 compact. Thật vậy, giả sử rằng X là một không gian con của không gian giả compact Z và { }( ):nX Z F n ω= ∈  ,trong đó { }:nF n ω∈ là một dãy các tập con đóng của Z. Xét các ánh xạ liên tục : X Zϕ β β→ và : X Vψ β → , trong đó ( ) ( )x x xϕ ψ= = với bất kì x X∈ . Bằng cách xây dựng, ( )( )( )1 1 n Z ncl Fβϕ ψ ϕ− − Φ = là một tập con compact của Z Xβ . Chúng ta có thể giả sử rằng n nF Z= ∩ Φ . Không gian ( )1 1 1Z Xβ ψ ω− = là compact đếm được và compact địa phương. Nếu ( ),0 Yα ∈ và ( )( )1 ( ) ,0H α ϕ ψ α− = , thì ( ) H Z Xα β⊆ . Vì Z là giả compact nên ( )X H α∩ ≠ ∅. Do đó, ( )Z H α∩ ≠ ∅ và ( )( ) nH αα ⊆ Φ với một vài ( )n α ω∈ . Do đó, ( ) { }1 :nZ X nϕ ω⊆ Φ ∈ . Vậy, ( ){ }1 1 :nX Z nϕ ω− = Φ ∈ là một Gδ -tập con của không gian 1Z và X là Cech-đầy đủ, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Tồn tại một không gian giả compact 1X thỏa không gian các số hữu tỉ  là một không gian con đóng. Cho 2 1X X X= × . Bằng cách xây dựng, 2X là một không gian quạt-đầy đủ, mà không là không gian Cech-đầy đủ địa phương và không là một Gδ -không gian con của không gian giả compact nào đó.
31 Chương 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ TRÊN CÁC KHÔNG GIAN CỤ THỂ Trong chương này chúng tôi sẽ đề cập đến việc khảo sát các không gian đầy đủ và các tính chất của chúng trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục, các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, các không gian giải tích với tính chất Baire…. 3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: Một ánh xạ :f X Y Z× → từ không gian tích X Y× vào một không gian Z được gọi là tựa liên tục mạnh bên phải tại một điểm ( ),a b X Y∈ × nếu với mỗi lân cận mở W của ( ),f a b trong Z và mọi lân cận mở U của a trong X, tồn tại một tập con mở khác rỗng 1U trong X và một tập mở V trong Y thỏa 1 ,U U b V⊂ ∈ , và ( )1f U V W× ⊂ . Theo cách tương tự ta có thể định nghĩa ánh xạ tựa liên tục mạnh bên trái tại một điểm ( ),a b X Y∈ × . Một ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại một điểm ( ),a b X Y∈ × nếu nó là tựa liên tục mạnh bên phải và bên trái tại ( ),a b X Y∈ × . Một ánh xạ :f X Y→ từ một không gian X vào một không gian Y được gọi là tựa liên tục tại một điểm b X∈ nếu với mỗi lân cận mở V của f(b)
32 trong Y và mọi lân cận mở U của b trong X tồn tại một tập mở khác rỗng W trong X thỏa W U⊂ và ( )f W V⊂ . Nếu một ánh xạ :f X Y Z× → là tựa liên tục mạnh bên phải hoặc bên trái, thì f là tựa liên tục. 3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: Cho 1X là một không gian con trù mật của không gian X, 1Y là một không gian con trù mật của Y, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z, ( )1 1 1 1, ,g f X Y a X b Y= × ∈ ∈ . Khi đó: 1. Ánh xạ f là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại (a,b). 2. Ánh xạ f là tựa liên tục tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục tại (a,b). Chứng minh: Cho ( ),c f a b= và W là một lân cận của c trong Z. Cố định hai tập con mở W1 và W2 của Z thỏa 2 2 1 1Z Zc W cl W W cl W W∈ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Giả sử U là một tập con mở của X và V là một tập con mở của Y thỏa ( )1 1 2g U V W× ⊆ , trong đó 1 1U U X= ∩ và 1 1V V Y= ∩ . Với mọi 1x U∈ , ta có { }( )1 2 1Y Zf x cl V cl W W× ⊆ ⊆ do tính liên tục tách của f. Vì 1,XU cl U⊆ ta có ( ) 1Zf U V cl W W× ⊆ ⊆ . 3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: Giả sử rằng X là một không gian q-đầy đủ trù mật, a X∈ , b là một qD-điểm của một không gian Y và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z. Khi đó:
33 - f là tựa liên tục mạnh bên phải tại (a,b); - Nếu X và Y là các không gian thuần nhất, thì f là tựa liên tục mạnh bên phải tại mọi điểm của X Y× . Chứng minh: Cố định một không gian con trù mật 1X của X và một ω A-sàng trù mật { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ với tính chất (C2) trên không gian X. Chúng ta có thể giả sử rằng 1a X∈ . Ta cố định một không gian trù mật 1Y của Y và một dãy các lân cận { }:nH n ω∈ của điểm b trong Y thỏa nếu n ny Y H∈ ∩ thì dãy { }:ny n ω∈ có một chùm điểm trong Y. Chúng ta có thể giả sử rằng 1b Y∈ (ta lấy { }1Y b∪ trong 1Y , và ngược lại). Cho ( )1 1g f X Y= × . Đặt ( ),c f a b= . Giả sử rằng ánh xạ f không phải là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),a b . Theo mệnh đề 3.1.1, ánh xạ g không phải là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),a b . Khi đó tồn tại một lân cận 1W của c và một lân cận U của a thỏa với mỗi tập con mở khác rỗng 'U của U trong X và mỗi lân cận V của b trong Y ta có ( ) ( )( )1 1 1' f U V X Y W× ∩ × ≠ ∅. Vì Z là tập chính qui, ta có thể tìm được các lân cận mở 0W và W của c thỏa 0 1Z Zcl W W cl W W⊂ ⊂ ⊂ . Chúng ta xây dựng theo phương pháp qui nạp các dãy giảm chắc chắn của các tập mở { }:nU n ω∈ và { }:nV n ω∈ trong X và Y, tương ứng, một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ và các dãy { } 1:nx n Xω∈ ⊂ và { } 1:ny n Yω∈ ⊂ với các tính chất sau:
34 (i) ,nn n X nx U cl U U Uα∈ ⊆ ⊆ ∩ ,n n Y n ny V cl V H∈ ⊆ ⊆ 1 ,X n ncl U U+ ⊆ 1Y n ncl V V+ ⊆ , và ( ) ( ) 1, n n n n Zf x y f U V W Z cl W∈ × ⊆ với mỗi n ω∈ ; (ii) Nếu { }0 0: ( , )M x X f x b W=∈ ∈ , thì 0 0U M⊆ ; (iii) Nếu 1n ≥ , { }1 1: ( , ) n n n ZM x U f x y Z cl W− −=∈ ∈ và { }1 1 0: ( , )n n nL y V f x y W− −=∈ ∈ , thì X n ncl U M⊆ , và Y n ncl V L⊆ . Chúng ta tiếp tục như sau: Bước 0: Đặt { }0 0: ( , )M x X f x b W=∈ ∈ . Khi đó 0M là mở, theo tính liên tục tách của f, và 0a M∈ , vì 0( , )f a b M∈ . Cố định 0 0Aα ∈ và một tập con mở 0U của X thỏa 00 0 0Xa U cl U M U Uα∈ ⊆ ⊆ ∩ ∩ . Cho 0V là một tập con mở của Y thỏa 0 0b V H∈ ⊆ . Theo giả thiết, tập ( )0 0 0f U V W× là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 0 0 1x U X∈ ∩ và 0 0 1y V Y∈ ∩ thỏa ( )0 0 1, f x y Z W∈ . Bước 1: Đặt { }1 0 0: ( , ) ZM x U f x y Z cl W=∈ ∈ . Khi đó, 0 1x M∈ , và 1M là mở trong X, do tính liên tục tách của f. Cho 1 1 0 0( )α π α− ∈ và 1U là một lân cận mở của 0x trong X thỏa 11 0 1Xcl U U M Uα⊂ ∩ ∩ . Đặt { }1 0 0 0: ( , )L y V f x y W=∈ ∈ . Từ 1 0x U M∈ ⊂ suy ra 1b L∈ , và 1L là mở trong Y, do tính liên tục tách của f. Cho 1V là một lân cận mở của b trong Y thỏa 1 0 1 1Ycl V V L H⊂ ∩ ∩ . Theo giả thiết, tập ( )1 1 1f U V W× là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 1 1 1x U X∈ ∩ và 1 1 1y V Y∈ ∩ thỏa ( )1 1 1, f x y Z W∈ .
35 Bước n+1: Giả sử rằng chúng ta đã định nghĩa các tập mở nU và nV trong X và Y, tương ứng, một phần tử n nAα ∈ và các điểm n nx U∈ và n ny V∈ thỏa 0 ,nn nU M U b Vα⊂ ∩ ∈ , và ( ), n n Zf x y Z cl W∈ . Khi đó, chúng ta đặt ( ){ }1 : , n n n ZM x U f x y Z cl W+ =∈ ∈ . Rõ ràng, tập 1nM + là mở, và 1n nx M +∈ . Ta lấy 1 1 ( )n n nα π α− + ∈ , 1nU + là lân cận mở bất kì của nx trong X thỏa 11 1 nX n n ncl U M U Uα ++ +⊆ ∩ ∩ . Đặt ( ){ }1 0: ,n n nL y V f x y W+ =∈ ∈ . Rõ ràng, tập hợp này là mở và có chứa điểm b, vì 0n nx U M∈ ⊆ . Ta lấy 1nV + là lân cận mở bất kì của b trong Y thỏa 1 1 1Z n n n ncl V V H L+ + +⊆ ∩ ∩ . Lặp lại, theo giả thiết, tập ( )1 1 1n nf U V W+ +× là khác rỗng, và chúng ta có thể chọn các điểm 1 1 1n nx U X+ +∈ ∩ và 1 1 1n ny V Y+ +∈ ∩ thỏa ( )1 1 1, n nf x y Z W+ + ∈ . Bước n+1 đã hoàn tất. Cho { }:X nP cl U n ω=∩ ∈ và { }:Y nH cl V n ω=∩ ∈ . Bằng cách xây dựng, tồn tại một điểm hội tụ * x P∈ của dãy { }:nx n ω∈ trong X, và một điểm hội tụ * y H∈ của dãy { }:ny n ω∈ trong Y. Vì 1X n ncl U U+ ⊂ , nên điểm * x thuộc vào mỗi nU . Bây giờ, do * 1 1n nx U M+ +∈ ⊂ suy ra ( )* , n Zf x y Z cl W∈ với mỗi n ω∈ . Vì f là liên tục tách nên ta có ( )* * , f x y Z W∈ . Cố định n ω∈ . Khi đó, ( ){ }1 1 0: ,n n ny V y Y f x y W+ +∈ ⊂ ∈ ∈ . Do đó, ( ) 0,n mf x y W∈ với mỗi m > n. Do tính liên tục tách của f, ta có ( ) 0, *n Zf x y cl W∈ . Khi đó, cũng do tính liên tục tách của f, thì
36 ( ) 0*, * Zf x y cl W W∈ ⊂ , điều này dẫn tới mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.1.3. Hệ quả 3.1.3: Giả sử rằng X và Y là các không gian q-đầy đủ trù mật, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào không gian Z. Khi đó tồn tại một không gian con trù mật 1X của không gian X và một không gian con trù mật 1Y của không gian Y thỏa ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại mọi điểm của 1 1X Y× . Trong trường hợp đặc biệt, ánh xạ f là tựa liên tục. 3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: 3.2.1. Bổ đề 3.2.1: Cho U là một lân cận mở của phần tử trung hòa e trong một nhóm nửa tôpô G với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải :m G G G× → . Khi đó: - * Xe cl U∈ , với ( ) ( )( ){ }* 1 : .U x G x e Int m U− =∈ ∈ ; - Với mỗi điểm * a U∈ tồn tại một lân cận mở V của phần tử trung hòa thỏa 2 .aV U⊆ Chứng minh: Theo định nghĩa, {* :U W U U=∪ ⊆ mở trong G và .W V U⊆ với một vài lân cận V của phần tử trung hòa }e . Do đó, các phát biểu trên được suy ra từ tính tựa liên tục mạnh bên phải của phép nhân đã cho.
37 3.2.2. Bổ đề 3.2.2: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải, X là một không gian con trù mật của G, { }' :nH n ω∈ và { }" :nH n ω∈ là hai dãy các tập con mở của G, { }' :nH n ω∩ ∈ ≠ ∅ và { }" :nH n ω∩ ∈ ≠ ∅. Giả sử rằng mọi dãy ( ){ }' " . :n n nx X H H n ω∈ ∩ ∈ đều có một điểm hội tụ trong G. Khi đó G là một nhóm paratôpô. Chứng minh: Chúng ta có thể giả sử rằng ' " n n ne H H H∈ = = và 1G n ncl H H+ ⊆ với mỗi n ω∈ . Giả sử rằng phép nhân không là phải liên tục đồng thời. Khi đó tồn tại hai lân cận W và V của phần tử trung hòa thỏa Gcl V W⊆ và 2 GU cl W ≠ ∅ với mỗi lân cận U của phần tử trung hòa. Chúng ta đặt ( )( )1 H Int m V− = và ( ){ }* : . .V x G x e H=∈ ∈ Chúng ta định nghĩa bằng cách qui nạp hai dãy { }:nb X n ω∈ ∈ và { }:nc X n ω∈ ∈ của các điểm, và hai dãy { }:nV n ω∈ và { }:nW n ω∈ là các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:  * 1i ic V V X−∈ ∩ ∩ và . .i i ic W W V⊆ với mỗi n ω∈ ;  2 i i Gb W cl W∈ và . i i GV b G cl W⊆ với mỗi n ω∈ ;  1 1i i iW W H+ +⊆ ∩ và 1 1i i iV V W+ +⊆ ∩ với mỗi n ω∈ . Bước 0: Cố định * 0c X V∈ ∩ . Vì ( )0 ,c e H∈ , khi đó tồn tại một lân cận 0W của e thỏa 0 0W H⊆ và 2 0 0.c W V⊆ . Chọn một điểm
38 ( )2 0 0 Gb X W cl W∈ ∩ và một lân cận 0V của e thỏa 0 0V W⊆ và 0 0. GV b G cl W⊆ . Cuối cùng cố định một điểm 1 0c V X∈ ∩ . Bước n+1: Vì * 1n nc V V+ ∈ ∩ , khi đó tồn tại một lân cận 1nW + của e thỏa 1 1n n n nW H V W+ +⊆ ∩ ∩ và 2 1 1.n nc W V+ + ⊆ . Bây giờ, chọn một điểm ( )2 1 1 n n Gb X W cl W+ +∈ ∩ và một lân cận 1nV + của e thỏa 1 1n nV W+ +⊆ và 1 1. n n GV b G cl W+ + ⊆ . Cuối cùng, cố định một điểm 2 1n nc V X+ +∈ ∩ . Điều này hoàn thành phần chứng minh qui nạp. Cho b là một điểm hội tụ của dãy { }nb , và c là một điểm hội tụ của dãy { }nc . Giả sử rằng n k< . Khi đó 2 . . . .nk n n n n k n na c b c W W c W V= ∈ ⊆ ⊆ . Do đó, .n n Ga c b cl V= ∈ , và . Ga c b cl V W= ∈ ⊆ . Vì . . k n k n Gc b V b G cl W∈ ⊆ , ta có a G W∈ , dẫn tới mâu thuẫn. 3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 3.3.1. Định lí 3.3.1: Giả sử một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Khi đó G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Giả sử G không phải là nhóm tôpô. Khi đó, tồn tại một tập con mở U của G thỏa e U∈ và tập 1 U U− ∩ là không đâu trù mật trong G. Cho X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật trong G. Tồn tại một dãy { }{ }: :n nV A nαγ α ω= ∈ ∈ các họ của các tập con mở của không gian G và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ các ánh xạ thỏa:
39 (RC1) { }0:X V Aα α⊆ ∪ ∈ và ( ){ }1 : nV X V Vα β αβ π α− ∩ ⊆ ∪ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ ; (RC2) Với mọi c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };n X V nα ω∩ ∈ là dãy dừng trong X. Cố định 0 0Aβ ∈ và một tập con mở khác rỗng W của G thỏa e W∈ và 0 .Gcl W W U Vβ⊆ ∩ . Đặt ( )1 GO W cl U U − = ∩ . Khi đó, ( )GO W cl X O⊆ ⊆ ∩ và 1 U O− ∩ =∅. Chúng ta sẽ định nghĩa một dãy { }:nU n ω∈ các các tập con mở của G, một dãy { }:nx X n ω∈ ∈ các điểm, và một c-dãy { }:n nA nα ω∈ ∈ thỏa:  n nx X U∈ ∩ với mọi n ω∈ ;  1n n nx U x O+ ∈ ∩ với mọi n ω∈ ;  11 nG n ncl U U V Oα ++ ⊆ ∩ ∩ với mọi n ω∈ ;  0 0α β= và ( )1n n nπ α α+ = với mọi n ω∈ . Cho 0 0α β= , 0U O= và 0x X O∈ ∩ . Giả sử rằng n ω∈ và ,n nUα và nx đã được xây dựng sẵn. Vì Ge W cl O∈ ⊆ , ta có ( )n G n G nx cl x O cl X x O∈ = ∩ . Do đó, n nU x O X∩ ∩ ≠ ∅ . Lấy 1n n nx X U x O+ ∈ ∩ ∩ . Vì ( ){ }1 1 :nn n nx X V Vα β β π α− + ∈ ∩ ⊆ ∪ ∈ , tồn tại ( )1 1n n nα π α− + ∈ và một tập con mở 1nU + của G thỏa 11 1 1 nn n G n n nx U cl U U V x Oα ++ + +∈ ⊆ ⊆ ∩ ∩ .
40 Đặt { }:G nF cl U n ω=∩ ∈ . Hiển nhiên, { } { }: :n nF U n Lim U nω ω=∩ ∈ = ∈ và F ≠ ∅. Tập hợp .V F W= là mở trong G, và F V⊆ . Cho GP cl V= và ( ) ( ) G GH cl X P cl G P= = . Bằng cách xây dựng, P và H là các tập con đóng chính qui của G (một tập đóng chính qui là bao đóng của một tập mở). Vì F V⊆ và H V∩ =∅ , ta có : F H∩ =∅. Ta khẳng định rằng G kH cl U∩ =∅ với một vài k ω∈ . Thật vậy, giả sử ngược lại, nU H∩ ≠ ∅ với mọi n ω∈ . Điều này dẫn tới ( )n nW U G P= ∩ ≠ ∅ và nnW Vα⊆ , với mọi n ω∈ . Vì dãy { }:n V nα ω∈ là dừng trong G, ta có { };nLim W n ωΦ= ∈ ≠ ∅. Do đó, F HΦ ⊆ ∩ và F H∩ ≠ ∅, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy, G kH cl U∩ =∅ với một vài k ω∈ . Do đó, n G nU cl U V P⊆ ⊆ ⊆ , với mọi n k≥ . Vậy, nx V∈ với mọi k n≥ . Tuy nhiên, 2 1 1n n nF U x O x W+ + +⊆ ⊆ ⊆ với mọi k n≥ . Nên, 1k G k Gx cl V x cl WW+∈ ⊆ . Để ý rằng 1n kx x O+ ∈ , ta có .k k Gx x O cl WW∈ . Suy ra . .Ge O cl WW OU∈ ⊆ . Do đó, 1 O U− ∩ ≠ ∅ . Dẫn tới mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh. 3.3.2. Định lí 3.3.2: Giả sử rằng một nhóm nửa tôpô G là q-đầy đủ trù mật. Khi đó G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Cố định một không gian con trù mật X của G và một A-sàng trù mật { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ với tính chất (C2) trên
41 không gian G. Chúng ta có thể giả sử rằng e X∈ và tồn tại một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ thỏa { }:n e U nα ω∈∩ ∈ . Theo mệnh đề 3.1.2, phép nhân :m G G G× → là tựa liên tục mạnh bên phải tại mọi điểm của G G× . Chúng ta sẽ định nghĩa bằng qui nạp một c-dãy { }:n nβ β ω= ∈ , một dãy của các điểm { }:nb X n ω∈ ∈ , một dãy { }:nH n ω∈ các tập mở, và một dãy { }:nV n ω∈ các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:  00 0 0 0.b b V H Uβ∈ ⊆ ⊆ và 0 00 0.H V U Uα β⊆ ∩ ;  .n n nb V H⊆ với mỗi n ω∈ ;  11 1 nn G n nV cl V V Uα ++ +⊆ ⊆ ∩ với mỗi n ω∈ ;  11 1 nn G n nH cl H H Uβ ++ +⊆ ⊆ ∩ với mỗi n ω∈ ;  11 1. nn n nH V U Hβ ++ + ⊆ ∩ với mỗi n ω∈ ; Bước 1: cho 0 0β α= . Vì phép nhân là tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),e e , tồn tại một lân cận 0W của e và một tập con mở khác rỗng 0H của 0 Uβ thỏa 00 0.H W Uα⊆ . Cố định một điểm 0 0b H∈ và một lân cận 0V của e thỏa 0 0Gcl V W⊆ và ( )0 0 0.Gcl b V H⊆ . Bước n+1: Cố định ( )1 1n nβ π β− + ∈ thỏa 1nnb Uβ + ∈ . Vì phép nhân là tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),nb e , tồn tại một lân cận 1nW + của e và một tập con mở khác rỗng 1nH + của 1n n nU b Vβ + ∩ thỏa ( ) 11 1. nG n n n ncl H W U b Vβ ++ + ⊆ ∩ . Cố định một điểm 1 1n nb H+ +∈ và một lân
42 cận mở 1nV + của e thỏa 1 1G n ncl V W+ +⊆ và ( )1 1 1.G n n ncl b V H+ + +⊆ . Điều này kết thúc việc qui nạp. Bằng cách xây dựng, ( ). nG n ncl H V Uβ⊆ và bất kì bất kì dãy ( ){ }. :n n nx X H V n ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong G. Bổ đề 4.2 chỉ ra rằng G là một nhóm paratôpô. Vì mọi không gian q-đầy đủ trù mật đều là không gian quạt-đầy đủ trù mật, và theo định lí 3.3.1, ta có G là một nhóm tôpô. 3.3.3. Định lí 3.3.3: Cho G là một nhóm nửa tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm. Nếu G là q-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Chứng minh: Theo định lí 3.3.2 thì G là một nhóm tôpô. Mọi nhóm tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm đều là paracompact. Theo quả 2.6 thì G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật X. Kí hiệu Gρ là sự bổ sung Raikov của nhóm tôpô G. Tồn tại một dãy { }:nU n ω∈ của các tập con mở trong Gρ thỏa { }:nX U n ω=∩ ∈ . Bằng cách xây dựng , nếu Y G Gρ⊆ là một không gian con trù mật trong Gρ , thì Y là của phạm trù thứ nhất. Giả sử rằng c G Gρ∈ . Khi đó, cX là không gian con Cech-đầy đủ trù mật của Gρ ,và cX X∩ =∅ , một điều mâu thuẫn. Do đó, G Gρ= , nghĩa là G là một nhóm Raikov đầy đủ. Suy ra G là Cech-đầy đủ. 3.3.4. Hệ quả 3.3.4: Với bất kì nhóm nửa tôpô G, các điều kiện sau là tương đương:
43 1. G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. 2. G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. 3. G là một không gian Tychonoff, và có chứa một mở rộng compact bG của G thỏa hiệu bG G là một tập của phạm trù thứ nhất trong bG . 4. G là một không gian Tychonoff, và với bất kì mở rộng compact bG của G, hiệu bG G là một tập của phạm trù thứ nhất trong bG . 5. G là một không gian q-đầy đủ trù mật của kiểu đếm được theo từng điểm. 6. G là một nhóm paratôpô của kiểu đếm được theo từng điểm, và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 7. G là một không gian µ -đầy đủ, và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3.3.5. Hệ quả 3.3.5: Giả sử rằng G là một nhóm paratôpô, và G là một không gian con trù mật của một không gian compact yếu ( hoặc giả compact) Z. Giả sử thêm rằng Z G là một tập của phạm trù thứ nhất trong Z. Khi đó, G là một nhóm tôpô. 3.3.6. Hệ quả 3.3.6: Cho H là một nhóm con Cech-đầy đủ của một nhóm tựa tôpô G. Khi đó H là đóng trong G. Chứng minh:
44 Cho GP cl H= . Ta có P là một nhóm con của G. Theo định lí 3.3.3 thì P là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Vì H là Raikov đầy đủ, ta có H P= . Suy ra H đóng trong P. 3.3.7. Định lí 3.3.7: Cho X là một không gian con trù mật chuẩn tắc của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là quạt-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Theo hệ quả 2.12, các không gian X và G là q-đầy đủ trù mật. Theo định lí 3.3.2 thì G là một nhóm tôpô. 3.3.8. Ví dụ: Theo ví dụ 1.4.17 (trong [7], trang 30), tồn tại một nhóm paratôpô đếm được đầu tiên không rời rạc G và một nhóm con đếm được rời rạc H sao cho H không đóng trong G. Cố định một điểm Gb cl H H∈ . Kí hiệu B là nhóm con của G được sinh bởi { }H b∪ . Khi đó B là một nhóm paratôpô mêtric hóa đếm được, và H là một nhóm con rời rạc không đóng. Hiển nhiên, B không phải là một nhóm tôpô. 3.3.9. Chú ý: A.V.Korovin đã xây dựng một nhóm Boolean giả compact tựa tôpô giao hoán, nhưng không phải là một nhóm tôpô. Do đó, một nhóm tựa tôpô quạt- đầy đủ không nhất thiết phải là một nhóm paratôpô. Đặc biệt, Định lí 3.3.1 không đúng với các nhóm tựa tôpô.
45 3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire: Cho J ω ω= là không gian các số vô tỉ, với tôpô thông thường. Nếu ( )0 1, ,...t t t= và n ω∈ , thì 0 1... nt n t t t= . Một họ { }: ,t n E t J n ω∈ ∈ các tập con của không gian X được gọi là một dãy sắp xếp của các tập con của X. Một không gian con Y của một không gian X là một A-FU-tập con của X nếu tồn tại một dãy sắp xếp { }: ,t n E t J n ω∈ ∈ của X thỏa { }{ }: :t n Y E n t Jω=∪ ∩ ∈ ∈ và với mọi t J∈ và n ω∈ tồn tại một tập con đóng F X⊆ và một tập con mở U của X thỏa t n E F U= ∩ . Một không gian Y là Cech-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian Cech-đầy đủ. Một không gian Y là q-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian q-đầy đủ. Một không gian Y là yếu-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian quạt-đầy đủ. 3.4.1. Định lí 3.4.1: Cho Y là một A-FU-tập con trù mật của một không gian X, và cho Y có tính chất Baire. Khi đó tồn tại một Gδ -tập con trù mật Z của X thỏa Z Y⊆ . Chứng minh: Cho { }{ }: :t n Y E n t Jω=∪ ∩ ∈ ∈ và t n t n t n E F U= ∩ , với t n U là mở trong X, t n F là đóng trong X, và Xt n t n F cl U⊆ . Khi đó
46 { }1 : ,X t n t n X X cl U U t J n ω= ∩ ∈ ∈ là một Gδ -tập con của X, và 1 1Y Y X= ∩ là trù mật trong X. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng các tập 1X X= và t n E là đóng trong X. Chúng ta đặt { }{ }0 1... 0 1: : , ...mt t t mt n Y E n t J t m t t tω=∪ ∩ ∈ ∈ = . Chúng ta có thể giả sử rằng Xt n t n F cl Y= . Ta có { }0 1 0 1... ... :m mt t t t t t nY Y n ω=∪ ∈ . Ta sẽ xây dựng các tập con mở t n V của X như sau: 1. Đặt { } :n n mV IntE E m n= ∪ < với mỗi n ω∈ . Tập { }0 :nW V n ω=∪ ∈ là mở và trù mật trong X. 2. Giả sử rằng 0n ≥ và các tập { }:t n V t J∈ đã được định nghĩa trước. Cố định 0 1, ,..., nt t t ω∈ . Ta đặt { }( )0 1 0 1 0 1 0 1... ... ... ... :n n n nt t t m t t t t t t m t t t kV V IntE E k m= ∩ ∪ < với mỗi m ω∈ . Họ { }: ,t n V n t Jω∈ ∈ được xây dựng. Họ { }:t n V t J∈ là rời rạc, và tập { }:n t n W V t J=∪ ∈ là mở và trù mật trong X, với mỗi n ω∈ . Bằng cách xây dựng, { }:nZ W n ω=∩ ∈ là mở và trù mật trong X, và Z Y⊆ . 3.4.2. Hệ quả 3.4.2: Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ -không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
47 3.4.3. Hệ quả 3.4.3: Mọi không gian q-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ -không gian con q-đầy đủ trù mật. 3.4.4. Hệ quả 3.4.4: Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ -không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3.4.5. Hệ quả 3.4.5: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một không gian con Cech-giải tích trù mật với tính chất Baire. Khi đó G là một nhóm tôpô Cech- đầy đủ. 3.4.6. Hệ quả 3.4.6: Cho X là một không gian con trù mật với tính chất Baire của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là một A-FU-tập con của không gian q-đầy đủ trù mật nào đó, thì G là một nhóm tôpô. 3.4.7. Hệ quả 3.4.7: Cho G là một nhóm paratôpô. Nếu G có chứa một không gian con yếu-giải tích trù mật với tính chất Baire, thì G là một nhóm tôpô. 3.4.8. Hệ quả 3.4.8: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một không gian con yếu-giải tích trù mật Y với tính chất Baire. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: 1. Không gian G là paracompact. 2. Không gian G là µ -đầy đủ. 3. Không gian G là Cech-đầy đủ. 4. G là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm.
48 3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa tôpô: Chúng ta ứng dụng một số kết quả đã thu được trong phần trên để nghiên cứu cấu trúc của các nhóm nửa tôpô G mà hiệu X bG G= ( với bG là compact hóa của G) có lưới đếm được. Sau đây là các kết quả chính: 3.5.1. Định lí 3.5.1: Nếu một nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có một compact hóa bG thỏa hiệu X bG G= có một lưới đếm được, thì G có π -cơ sở đếm được và là đếm được thứ nhất, và hiệu X có một không gian con mêtric hóa được và tách được trù mật. Để chứng minh định lí này, chúng ta cần bổ đề tổng quát trên cấu trúc của các không gian chính qui với một lưới đếm được. 3.5.2. Bổ đề 3.5.2: Giả sử rằng X là một không gian chính qui với một lưới đếm được S . Khi đó, X Y Z= ∪ , với Y là một không gian mêtric hóa được và tách được, và Z có một lưới đếm được P sao cho mọi phần tử của P là không đâu trù mật trong X. Chứng minh: Vì X là chính qui, ta có thể giả sử rằng mỗi phần tử của S là đóng trong X. Với mỗi M ∈ S đặt ( )MP M Int M= , với ( )Int M là phần trong của M trong X. Đặt { }:MP M ∈= SP . Rõ ràng, mỗi phần tử của họP là đóng và không đâu trù mật trong X. Cho Z là tập tất cả các điểm của X mà tại đó họ đếm được P là một lưới, và đặt Y X Z= . Đặt ( ){ }:Int M M= ∈ SB .
49 Khẳng định: Họ B là một cở sở của X tại mỗi điểm của Y. Thật vậy, lấy bất kì y Y∈ , và lấy ( )O y là một lân cận mở tùy ý của y trong X. Do đó, chúng ta có thể cố định một lân cận mở V của y trong X thỏa không phần tử nào của họ P chứa y và được chứa trong V. Rõ ràng, chúng ta có thể giả sử rằng ( )V O y⊂ . Do S là một lưới của X, tồn tại M ∈ S sao cho y M V∈ ⊂ . Khi đó, MP ∈P và MP V⊂ . Bây giờ từ việc chọn V mà My P∉ . Vì y M∈ , việc định nghĩa MP chỉ ra rằng ( )y Int M∈ . Chúng ta cũng có ( )Int M ∈B, và ( ) ( )Int M V O y⊂ ⊂ . Vậy khẳng định trên đã được chứng minh. Do đó, Y là một không gian chính qui với một cơ sở đếm được, nghĩa là, Y là mêtric hóa được và tách được. Chúng ta sẽ tiếp tục chứng minh Định lí 3.5.1: Theo bổ đề 3.5.2, X Y Z= ∪ , với Y là một không gian mêtric hóa được tách được, và Z có một lưới đếm được P thỏa mọi phần tử của P là không đâu trù mật trong X. Quan sát thấy rằng X là trù mật tốt trong bG, vì không gian G là không đâu compact địa phương. Trường hợp 1: Y là trù mật trong X. Khi đó, Y là trù mật trong bG, vì X là trù mật trong bG. Do Y có một cơ sở đếm được, suy ra bG có một π -cơ sở đếm được. Do đó, G có một π -cơ sở đếm được, vì G là trù mật trong bG.
50 Trường hợp 2: Y không trù mật trong X. Kí hiệu U là phần bù trong bG của bao đóng của Y trong bG. Khi đó, U là một không gian con mở khác rỗng của bG. Với một P∈P tùy ý, kí hiệu PF là bao đóng của P trong bG. Do P là không đâu trù mật trong X, suy ra PF là không đâu trù mật trong bG. Do đó, tập P PW U F= là một không gian con mở trù mật của U. Vì U là tự mở trong bG, và bG là compact, suy ra không gian con { }:PH W P=∩ ∈P của U là một không gian Cech-đầy đủ trù mật trong U. Bây giờ điều đó được suy ra từ một chứng minh chuẩn rằng G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. Do đó, G tự là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Nếu một nhóm tôpô G có một compact hóa thỏa hiệu có một lưới đếm được, thì G là một không gian mêtric hóa được tách được. Trong trường hợp này hiệu X là một Lindeloff p-không gian với một Gδ -chéo, và do đó, X là tách được và mêtric hóa được. Quan sát thấy rằng, G là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm, vì hiệu X là Lindeloff. Mặt khác, mọi nhóm nửa tôpô Tychonoff với một π -cơ sở đếm được có một Gδ -chéo. Do đó, G là đếm được thứ nhất. 3.5.3. Định lí 3.5.3: Nếu một nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có một hiệu mêtric hóa được tách được, thì G cũng là tách được và mêtric hóa được. Chứng minh: Từ định lí 3.5.1 suy ra rằng G có một π -cơ sở đếm được, nên G có một Gδ -chéo. Chúng ta cũng thấy rằng G là một p-không gian Lindeloff,
51 vì G là một hiệu của một không gian mêtric hóa được tách được. Nhớ lại rằng, mọi p-không gian Lindelof với một Gδ -chéo là tách được và mêtric hóa được. 3.5.4. Ví dụ: Cho A là tập con của tâp các số hữu tỉ  như là một không gian con của đường thẳng Sorgenfrey S. Khi đó: - A là một nhóm paratôpô mêtric hóa được; - A không phải là một nhóm tôpô; - A có một compact hóa mêtric hóa được. Nhóm paratôpô B trong ví dụ 3.3.8 có cùng các tính chất trên. Các không gian A, B, và  là đồng phôi, nhưng chúng không phải là đẳng cấu tôpô như các nhóm paratôpô. 3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm: Một điểm x X∈ được gọi là một điểm có tính giả compact của X nếu tồn tại một dãy dừng { }:nU n ω∈ của các tập con mở của X thỏa { }:nx U n ω∈ ∈ . Một không gian X được nói là giả compact từng điểm nếu mỗi điểm của X là một điểm có tính giả compact. Rõ ràng, mọi không gian quạt-đầy đủ là giả compact từng điểm. Hơn nữa, mọi q-không gian là giả compact từng điểm. Chúng ta nhắc lại Gδ -bao đóng Xcl Yω của một tập Y X⊆ trong một không gian là tập tất cả các điểm x X∈ thỏa mọi Gδ -tập H chứa x đều giao với Y. Tập { : ,X Xcl H cl A A H Aµ =∪ ⊆ là một tập con bị chặn của }X được gọi là µ -bao đóng của H trong X.
52 Không gian con * XX cl Xβµ µ= của compact hóa Stone-Cech Xβ của một không gian Tychonoff X được gọi là µ -bổ sung của X. Hiển nhiên, * Xµ là một không gian con của sự bổ sung Dieudonné Xµ của X. Cho Gρ là sự bổ sung Raikov của một nhóm tôpô G và Gωρ là Gδ -bao đóng của G trong Gρ . Rõ ràng, Gωρ là một nhóm con của Gρ . 3.6.1. Bổ đề 3.6.1: Cho P là một tập con đóng bị chặn của một nhóm tôpô G. Khi đó G Gcl P cl Pρ ρω = . Chứng minh: Cho G Gx cl P cl Pρ ρω∈ . Khi đó, tồn tại một dãy { }:nU n ω∈ của các tập con mở của Gρ thỏa { } { }: , :n nx U n P U nω ω∈ ∈ ∩ ∈ =∅  và 1G n ncl U Uρ + ⊆ với bất kì n ω∈ . Khi đó, { }:n nV G U n ω=∩ ∈ là một họ hữu hạn địa phương mở của các tập con của G và nP V∩ ≠ ∅ với bất kì n ω∈ . Một không gian X được gọi là một p-không gian paracompact nếu nó nhận một ánh xạ đầy đủ vào một không gian mêtric hóa được. Một nhóm feathered là một nhóm tôpô mà không gian cơ sở của nó là một p-không gian paracompact. Một nhóm tôpô là một nhóm feathered khi và chỉ khi nó là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm. 3.6.2. Định lí 3.6.2: Với bất kì nhóm tôpô G các điều kiện sau đây là tương đương: 1. G là một không gian quạt-đầy đủ. 2. G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
53 3. Gρω là một không gian paracompact Cech-đầy đủ. 4. G là Gδ -trù mật trong Gρ và Gρ là một không gian paracompact Cech-đầy đủ. 5. G là một Gδ -tập con của không gian giả compact ( )* Z G G Gβ µ= ∪ Chứng minh: Ta thấy 1 2,5 1,3 4 3→ → → → là hiển nhiên. Cho G là một nhóm tôpô giả compact theo từng điểm. Tồn tại một dãy dừng { }:nU n ω∈ của các tập con mở của G và một dãy [ ]{ }: 0,1 :nf G n ω→ ∈ các hàm liên tục thỏa 1 2 1 1 1n n G n ne U U cl U U− + + +∈ = ⊆ ⊆ , ( )1 1 0nU f − + ⊆ và ( )1 1nG U f − ⊆ , với bất kì n ω∈ . Khi đó { }:nH U n ω=∩ ∈ là một nhóm con đóng bị chặn của G. Bao đóng Φ của H trong Gρ là một nhóm con compact và ánh xạ chiếu : G Xϕ ρ → , với /X Gρ= Φ là một ánh xạ liên tục mở và đầy đủ vào một không gian mêtric hóa được X. Cố định một mêtric đầy đủ d trên không gian X. Ta có: ( )( )* 1 G G G Gωρ µ µ ϕ ρ− = = = . Suy ra Gωρ là một nhóm con của nhóm Gρ . Giả sử rằng G là Gδ -trù mật trong Gρ . Khi đó, * G G G Gωρ ρ µ µ= = = và G Gρ β⊆ . Cho ( )Z G G Gβ ρ= ∪ là một không gian con của Gβ . Bằng cách xây dựng, G là một Gδ -tập con của Z và Z G Zβ β β= = . Với mọi không gian Tychonoff X, không gian
54 ( )* X X X Xβ µ β∪ ⊆ là giả compact. Từ đó, Z là một không gian giả compact. Mệnh đề 2.3 chỉ ra rằng G là quạt-đầy đủ. Như vậy, 4 1→ và 4 5→ đã được chứng minh. Giả sử rằng Y là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của G. Theo định lí 2.5 và hệ quả 2.6, tồn tại một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật của Gωρ . Theo định lí 3.3.3, nhóm tôpô Gωρ là Cech-đầy đủ. Do đó, G Gωρ ρ= . Như vậy, 2 4→ được chứng minh. Vậy, định lí đã được chứng minh. Giả sử rằng một nhóm tôpô G là một q-không gian. Khi đó, trong phần chứng minh của định lí 3.6.2 chúng ta có thể giả sử rằng H là một tập con compact đếm được và { }:nU n ω∈ là một cơ sở của các lân cận của tập H trong G. Trong trường hợp này ánh xạ ( ):G G Y Gψ ϕ ϕ= →= là tựa đầy đủ, và G là một M-không gian đầy đủ. Hơn nữa, ánh xạ :Z Z Xβψ β→ là tựa đầy đủ, và Z là compact đếm được. Do đó, chúng ta đã chứng minh được định lí sau: 3.6.3. Định lí 3.6.3: Với bất kì nhóm tôpô G, các điều kiện sau đây là tương đương: 1. G là một M-không gian đầy đủ. 2. G là một q-không gian, và G có một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3. G là một q-không gian, và Gωρ là một không gian paracompact Cech-đầy đủ.
55 4. G là một q-không gian, G là Gδ -trù mật trong Gρ , và không gian Gρ là Cech-đầy đủ và paracompact. 5. G là một Gδ -tập con của không gian compact đếm được ( )* Z G G Gβ µ= ∪ . Cho X là một không gian chuẩn tắc. Nếu { }:nU n ω∈ là một dãy dừng của các tập con mở, thì mỗi dãy { }:n nx U n ω∈ ∈ có một chùm điểm { }:nU n ω∈ trong X. Đặc biệt, mỗi điểm giả compact là một q-điểm. Do đó, định lí 3.6.2 và hệ quả 2.12 cho ta kết quả sau: 3.6.4. Hệ quả 3.6.4: Giả sử rằng G là một nhóm nửa tôpô, và không gian G là chuẩn tắc và có một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Khi đó: 1. G là một M-không gian đầy đủ. 2. G là một nhóm tôpô. 3. G là một Gδ -tập con của không gian compact đếm được ( )* Z G G Gβ µ= ∪ . Ví dụ sau chỉ ra rằng một nhóm tôpô mêtric hóa được với tính chất Baire thì cần không phải là Cech-đầy đủ. 3.6.5. Ví dụ: Cho  là trường các số thực và  là trường con của các số hữu tỉ. Khi đó, tồn tại một nhóm con cộng G của thỏa: 1. G và S G=  là các không gian con trù mật với tính chất Baire. 2. Trong G và S mọi tập con compact là đếm được. 3. .G G= .
56 Một không gian con M của  là -môđun nếu M là một nhóm con cộng của  và .M M= . Nếu L ⊆ , thì chúng ta kí hiệu ( )m L là  - môđun đại số sinh bởi tập L. Cho { }: 2F c ω α α < = là họ tất cả các tập con đóng không đếm được của . Giả sử rằng [ ]0 1,2F = . Dùng phép đệ qui siêu hạng, chúng ta xây dựng các dãy { }:x cα α < và { }:y cα α < theo cách sau: Cố định 0 2x = và 0 0 y F∈ . Giả sử rằng 0 cα< < , và { }, :L x yα β β β α= < đã được định nghĩa sẵn. Vì ( )m L cα < , chúng ta có thể cố định ( )x F m Lα α α∈ . Cho { }M L xα α α= ∪ , và cố định ( )y F m Mα α α∈ . Bây giờ chúng ta đặt { } { }: , :X x c Y y cα αα α= < = < , và { }( ):G m xα β β α= ≤ , với mỗi cα < . Khi đó { }:G G cα α=∪ < là -môđun sinh bởi tập X. Chúng ta khẳng định rằng G Y∩ =∅. Do đó, G là -môđun ta muốn. 3.6.6. Chú ý: Tồn tại một không gian tuyến tính mêtric hóa được đầy đủ tách được L và một không gian con tuyến tính trù mật B của L thỏa: B và Y L B= là các không gian con trù mật của không gian L; B và Y không là các không gian mêtric hóa được đầy đủ. Thật vậy, lấy ξ βω ω∈ và { }X ξ ω= ∪ . Chúng ta đặt X L =  và ( )PB C X L= ⊆ . D.J.Lutzer và R.A.McCoy đã chứng minh rằng không gian B không phải là mêtric hóa được đầy đủ và có tính chất Baire. Vì không gian B không phải là Cech-đầy đủ, không gian con Y có tính chất Baire.
57 KẾT LUẬN Như vậy, luận văn đã giới thiệu một lớp rất rộng các kiểu không gian đầy đủ : µ -đầy đủ, sàng-đầy đủ trù mật, sàng-đầy đủ, q-đầy đủ trù mật, q-đầy đủ, quạt-đầy đủ trù mật, quạt-đầy đủ, cùng với các tính chất đặc trưng của chúng. Luận văn cũng đã đề cập được một số ứng dụng của các tính chất của các kiểu không gian đầy đủ đó trên các không gian khác. Chẳng hạn: 1. Nhóm tôpô với các tính chất đầy đủ: - Nếu một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô. - Nếu một nhóm nửa tôpô G là q-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô. - Cho X là một không gian con trù mật chuẩn tắc của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là quạt-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô. 2. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ với các tính chất đầy đủ: - Mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy đủ. - Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian Cech-đầy đủ. - Nếu một không gian µ -đầy đủ X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật. - Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
58 - Cho G là một nhóm nửa tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm. Nếu G là q-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. - G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một không gian q-đầy đủ trù mật của kiểu đếm được theo từng điểm. - G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một nhóm paratôpô của kiểu đếm được theo từng điểm và G có chứa một không gian con quạt đầy đủ trù mật. - G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một không gian µ -đầy đủ và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3. Các không gian giải tích với các tính chất đầy đủ: - Một không gian Y là q-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian q-đầy đủ. - Một không gian Y là yếu-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của không gian quạt-đầy đủ nào đó. - Cho X là một không gian con trù mật với tính chất Baire của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là một A-FU-tập con của không gian q-đầy đủ trù mật nào đó, thì G là một nhóm tôpô. - Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ - không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Bên cạnh đó, luận văn cũng đưa ra một số kết quả quan trọng nhằm giúp cho việc chứng minh một số kết quả của A. Bouziad, P. Kenderov, I. S. Kortezov, và W. B. Moors như:
59 - Mọi Gδ -không gian con của một không gian giả compact là không gian quạt-đầy đủ. - Nếu một nhóm nửa tôpô có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật thì nó là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. - Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ - không gian con Cech-đầy đủ trù mật. - Cho G là một nhóm nửa tôpô có chứa một không gian con Cech-giải tích trù mật với tính chất Baire. Khi đó, G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. - Cho G là một nhóm paratôpô. Nếu G có chứa một không gian con yếu- giải tích trù mật với tính chất Baire, thì G là một nhóm tôpô... Luận văn đã đưa ra được phần lớn các mối liên quan giữa các tính chất của các kiểu đầy đủ trên với một số không gian khác nhau. Với các kết quả đã đạt được, ta có thể tiếp tục mở rộng thêm nhiều mối quan hệ khác nữa giữa các tính chất của các kiểu đầy đủ trên với các không gian khác.
60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. V. Arhangel'skii, A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces, Matem. Sb. 67 (1965), 55-88 (English translation: Amer. Math. Soc. Transl. 92 (1970), 1-39). [2] A. V. Arhangel'skii, On ˇ Cech-complete topological spaces, Vestnik Moskov.Universiteta 2 (1961), 37-40. [3] A. V. Arhangel'skii, Bicompact sets and the topology of spaces, Trudy Mosk.Matem. Ob-va 13 (1965) 3-55 (English translation: Trans. Mosk. Math. Soc. 13 (1965), 1-62). [4] A. V. Arhangel'skii, Topological invariants in algebraic environment, In: Recent Progress in General Topology II, M. Hu_sek and J. van Mill, eds, North Holland, Amsterdam, 2002, pp. 1-57. [5] A. V. Arhangel'skii, Remainders in compactifications and generalized metrizability properties, Topology and Appl. 150 (2005), 79-90. [6] A. V. Arhangel'skii, The Baire property in remainders of topological groups and other results, Comment. Math. Univ. Carolinae. 50:2 (2009), 273-279. [7] A. V. Arhangelskii and M. G. Tkachenko, Topological groups and related structures, Atlantis Press. Amsterdam-Paris, 2008. [8] A. V. Arhangelskii and E. A. Reznichenko, Paratopological and semitopological groups versus topological groups, Topology and its Appl. 151 (2005),107-119. [9] A. Bouziad, The Ellis theorem and continuity in groups, Topology and its Appl. 50 (1993), 73-80.
61 [10] A. Bouziad, Every ˇ Cech-analytic Baire semitopological group is a topological group, Proceed. Amer. Math. Soc. 124:3 (1996), 953-959. [11] N. Brand, Another note on the continuity of the inverse, Arch. Math. 39 (1982), 241-245. [12] L. G. Brown, Topological complete groups, Proc. Amer. Math. Soc. 35 (1972), 593-600. [13] J. Chaber, M. M.Coban and K. Nagami, On monotonic generalizations of Moore spaces, ˇ Cech complete spaces and p-spaces, Fund. Math. 84 (1974), 107-119. [14] M. Choban, The open mappings and spaces, Suplimente ai Rendicanti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, numero 29 (1992), 51-104. [15] M. Coban and P. Kenderov, Dense Gateaux differentiability of the supnorm in C(T) and topological properties of T. Comptes Rendue Acad. Bulgare Sci. 38, no. 12 (1985), 1603-1604. [16] R. Ellis, A note on the continuity of the inverse, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 119-125. [17] R. Engelking, General Topology, PWN. Warszawa, 1977. [18] Z. Frolik, ˇ Cech analytic spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae. 28 (1984), 367-368. [19] R. V. Fuller, Relations among continuous and various non continuous functions,Pacific J. Math. 25 (1968), 495-509. [20] G. Hansel and J. P. Troallic, Quasicontinuity and Namioka’s Theorem, Topol. Appl. 46 (1992), 135-149. [21] M. Henriksen and J. R. Isbel, Some properties of compactifications, Duke Math. Jour. 25 (1958), 83-106. [22] S. Kempisty, Sur les fonctions quasicontinues, Fund. Math. 19 (1932), 184-197.
Luận văn: Tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô, HAY
Luận văn: Tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô, HAY

Recommended

Đề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành An
Đề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành AnĐề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành An
Đề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành An
Dịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...
Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...
Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...
BeriDang
 
Đề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đ
Đề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đĐề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đ
Đề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đ
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0936 885 877
 
Quản lý quan hệ khách hàng
Quản lý quan hệ khách hàngQuản lý quan hệ khách hàng
Quản lý quan hệ khách hàngAn Nguyen
 
Đề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAY
Đề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAYĐề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAY
Đề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAY
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động
[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động
[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động
Trung Hiếu Trần
 
Kết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndex
Kết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndexKết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndex
Kết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndex
BeriDang
 
Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...
Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...
Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...
BeriDang
 

Recommended

Đề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành An
Đề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành AnĐề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành An
Đề tài: Xây dựng kế hoạch kinh doanh công ty Tư Vấn Thiết Kê Xây Dựng Thành An
Dịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...
Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...
Ứng dụng mô hình ARIMA – ARCH/GARCH để dự báo thanh khoản của 30 cổ phiếu có ...
BeriDang
 
Đề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đ
Đề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đĐề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đ
Đề tài: Kinh doanh bảo hiểm hỏa hoạn và các rủi ro đặc biệt, 9đ
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0936 885 877
 
Quản lý quan hệ khách hàng
Quản lý quan hệ khách hàngQuản lý quan hệ khách hàng
Quản lý quan hệ khách hàngAn Nguyen
 
Đề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAY
Đề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAYĐề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAY
Đề tài: Hệ thống quản lý ký túc xá đại học, HAY
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động
[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động
[Thực tập][GameLoft] Lập trình game đa nền tảng trên di động
Trung Hiếu Trần
 
Kết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndex
Kết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndexKết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndex
Kết hợp mô hình nhân quả, mô hình ARIMA, mô hình ARCH để dự báo chỉ số VNIndex
BeriDang
 
Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...
Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...
Ứng dụng mô hình ARIMA, ARCH và GARCH để dự báo chỉ số VNIndex trong ngắn hạn...
BeriDang
 
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Duc Dinh
 
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAYĐề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Tai lieu---hanh-vi-khach-hang
Tai lieu---hanh-vi-khach-hangTai lieu---hanh-vi-khach-hang
Tai lieu---hanh-vi-khach-hangkynguyenxam
 
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAYĐề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Duc Dinh
 
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Hướng dẫn sử dụng SugarCRMCE
Hướng dẫn sử dụng SugarCRMCEHướng dẫn sử dụng SugarCRMCE
Hướng dẫn sử dụng SugarCRMCEOnlineCRM - Phần mềm CRM chuyên sâu theo ngành
 
Ky thuat va_dung_cu_do_luong
Ky thuat va_dung_cu_do_luongKy thuat va_dung_cu_do_luong
Ky thuat va_dung_cu_do_luong
Tịnh Hà
 
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tếBáo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tếducnguyenhuu
 
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAYĐề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
Nguyễn Thái
 
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
nataliej4
 
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,DssLuận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAYLuận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệpLuận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Hỗ Trợ Viết Đề Tài luanvanpanda.com
 

More Related Content

What's hot

Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Duc Dinh
 
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAYĐề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Tai lieu---hanh-vi-khach-hang
Tai lieu---hanh-vi-khach-hangTai lieu---hanh-vi-khach-hang
Tai lieu---hanh-vi-khach-hangkynguyenxam
 
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAYĐề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Duc Dinh
 
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Ky thuat va_dung_cu_do_luong
Ky thuat va_dung_cu_do_luongKy thuat va_dung_cu_do_luong
Ky thuat va_dung_cu_do_luong
Tịnh Hà
 
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tếBáo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tếducnguyenhuu
 
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAYĐề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
Nguyễn Thái
 
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
nataliej4
 
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,DssLuận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAYLuận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệpLuận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 

What's hot (19)

Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
Báo cáo thực tập công ty TNHH Thành nghĩa khoa Hệ thống thông tin kinh tế & T...
 
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAYĐề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
Đề tài: Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY
 
Tai lieu---hanh-vi-khach-hang
Tai lieu---hanh-vi-khach-hangTai lieu---hanh-vi-khach-hang
Tai lieu---hanh-vi-khach-hang
 
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAYĐề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
Đề tài chương trình quản lý các lớp ngoại ngữ, HAY
 
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
Nghiên cứu hành vi mua sắm trực tuyến của người tiêu dùng, HAY - zalo=> 09092...
 
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Giải pháp nâng cao thị phần cung cấp dịch vụ thông tin di động, 9 ĐIỂM!
 
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
Đề tài: Nghiên cứu nhận thức của người tiêu dùng đối với an toàn thực phẩm tr...
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích thiết kế hệ thống thông tin quản lý ký túc xá ...
 
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
Đề tài: Nghiên cứu động cơ sử dụng dịch vụ lưu trú của khách du lịch, 9 ĐIỂM!
 
Hướng dẫn sử dụng SugarCRMCE
Hướng dẫn sử dụng SugarCRMCEHướng dẫn sử dụng SugarCRMCE
Hướng dẫn sử dụng SugarCRMCE
 
Ky thuat va_dung_cu_do_luong
Ky thuat va_dung_cu_do_luongKy thuat va_dung_cu_do_luong
Ky thuat va_dung_cu_do_luong
 
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tếBáo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
Báo cáo khóa luận tốt nghiệp triển khai CRM thực tế
 
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAYĐề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
Đề tài: Xây dựng ứng dụng lập lịch chương trình hội nghị, HAY
 
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
03 - LUANVAN_NopQuyen.pdf
 
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
Phân tích thực trạng và giải pháp phát triển ngành viễn thông thành phố Cần Thơ
 
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
Giải pháp phát triển dịch vụ thanh toán thẻ tại sở giao dịch ngân hàng liên d...
 
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,DssLuận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
Luận văn: Phương pháp tấn công chữ ký số: Rsa,Elgamal,Dss
 
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAYLuận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
Luận văn tốt nghiệp: Nhà máy rorze robotech số 3, HAY
 
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệpLuận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
Luận văn: Xây dựng quy trình bảo đảm thông tin cho doanh nghiệp
 

Similar to Luận văn: Tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô, HAY

Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Hỗ Trợ Viết Đề Tài luanvanpanda.com
 
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
TÀI LIỆU NGÀNH MAY
 
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
TÀI LIỆU NGÀNH MAY
 
Luận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân Viên
Luận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân ViênLuận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân Viên
Luận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân Viên
Hỗ Trợ Viết Đề Tài luanvanpanda.com
 
đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...
đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...
đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...
TÀI LIỆU NGÀNH MAY
 
Luận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAY
Luận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAYLuận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAY
Luận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAY
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Nghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdf
Nghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdfNghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdf
Nghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdf
HanaTiti
 
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
https://www.facebook.com/garmentspace
 
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
TÀI LIỆU NGÀNH MAY
 
Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...
Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...
Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...
Verdie Carter
 
Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...
Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...
Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...
Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...
Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...
Dịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
Đề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAY
Đề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAYĐề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAY
Đề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAY
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Luận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấn
Luận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấnLuận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấn
Luận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấn
Dịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
Đề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAY
Đề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAYĐề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAY
Đề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAY
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...
HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...
HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...
Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562
 
Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...
Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...
Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...
Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...
Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...
Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...
Dịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 

Similar to Luận văn: Tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô, HAY (20)

Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
 
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
Khảo sát bề dày vật liệu bằng phương pháp tán xạ ngược gamma sử dụng chương t...
 
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
Luận Văn Phát Triển Hoạt Động Chứng Khoán Phái Sinh Tại Công Ty Cổ Phần Chứng...
 
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
 
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
ứNg dụng công nghệ tin học và máy toàn đạc điện tử thực hiện công tác đo đạc ...
 
Luận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân Viên
Luận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân ViênLuận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân Viên
Luận Văn Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Sự Sáng Tạo Của Nhân Viên
 
đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...
đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...
đáNh giá hiện trạng môi trường không khí và đề xuất biện pháp giảm thiểu ô nh...
 
Luận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAY
Luận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAYLuận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAY
Luận văn: Tình huống gắn với thực tiễn trong dạy hóa học, HAY
 
Nghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdf
Nghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdfNghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdf
Nghiên cứu nâng cao hiệu năng hoạt động của mạng ngang hàng có cấu trúc.pdf
 
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
 
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
đề Tài áp dụng quy trình công nghệ và xây dựng bản đồ địa chính tỷ lệ lớn từ ...
 
Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...
Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...
Đồ án Thiết kế bộ chỉnh lưu hình cầu 1 pha kép để điều khiển tốc độ động cơ đ...
 
Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...
Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...
Hoàn thiện kế toán chi phí sản xuất và tính giá thành (TẢI FREE ZALO 0934 573...
 
Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...
Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...
Đề tài: Xây dựng kế hoạch sản xuất của Công Ty TNHH MTV MEKKI Việt Nam đến nă...
 
Đề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAY
Đề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAYĐề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAY
Đề tài: Hiệu quả sử dụng vốn tại Công ty may xuất khẩu, HAY
 
Luận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấn
Luận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấnLuận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấn
Luận án: Phát triển một số phương pháp xây dựng hệ tư vấn
 
Đề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAY
Đề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAYĐề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAY
Đề tài: Tổ chức kế toán vốn bằng tiền tại Công ty ô tô khách, HAY
 
HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...
HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...
HOÀN THIỆN CÔNG TÁC KẾ TOÁN VỐN BẰNG TIỀN TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN Ô TÔ KHÁCH - T...
 
Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...
Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...
Luận văn: Quản trị nguồn nhân lực tại công ty công trình đô thị Tân An thực t...
 
Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...
Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...
Luận án: Một số phương pháp ngẫu nhiên cho bài toán cực đại hóa xác suất hậu ...
 

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864

Yếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.doc
Yếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.docYếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.doc
Yếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Từ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.doc
Từ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.docTừ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.doc
Từ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Tác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.doc
Tác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.docTác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.doc
Tác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...
Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...
Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Song Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.doc
Song Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.docSong Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.doc
Song Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.docỨng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Vai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.doc
Vai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.docVai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.doc
Vai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Thu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.doc
Thu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.docThu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.doc
Thu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Tạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.doc
Tạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.docTạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.doc
Tạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.doc
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864 (20)

Yếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.doc
Yếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.docYếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.doc
Yếu Tố Tự Truyện Trong Truyện Ngắn Thạch Lam Và Thanh Tịnh.doc
 
Từ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.doc
Từ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.docTừ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.doc
Từ Ngữ Biểu Thị Tâm Lí – Tình Cảm Trong Ca Dao Người Việt.doc
 
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Môn Khoa Học Tự Nhiên Theo Chuẩn Kiến Thức Và K...
 
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...
Quản Lý Thu Thuế Giá Trị Gia Tăng Đối Với Doanh Nghiệp Ngoài Quốc Doanh Trên ...
 
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...
Thu Hút Nguồn Nhân Lực Trình Độ Cao Vào Các Cơ Quan Hành Chính Nhà Nước Tỉnh ...
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thương Mại ...
 
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...
Vaporisation Of Single And Binary Component Droplets In Heated Flowing Gas St...
 
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Các Trường Thpt Trên Địa Bàn Huyện Sơn Hà Tỉnh Quản...
 
Tác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.doc
Tác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.docTác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.doc
Tác Giả Hàm Ẩn Trong Tiểu Thuyết Nguyễn Việt Hà.doc
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Ngắn Hạn Tại Ngân Hàng Công Thƣơng Chi...
 
Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...
Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...
Quản Lý Nhà Nước Về Nuôi Trồng Thủy Sản Nước Ngọt Trên Địa Bàn Thành Phố Hải ...
 
Song Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.doc
Song Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.docSong Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.doc
Song Song Hóa Các Thuật Toán Trên Mạng Đồ Thị.doc
 
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.docỨng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
Ứng Dụng Số Phức Trong Các Bài Toán Sơ Cấp.doc
 
Vai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.doc
Vai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.docVai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.doc
Vai Trò Của Cái Bi Trong Giáo Dục Thẩm Mỹ.doc
 
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...
Quản Lý Hoạt Động Giáo Dục Ngoài Giờ Lên Lớp Ở Các Trường Thcs Huyện Chư Păh ...
 
Thu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.doc
Thu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.docThu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.doc
Thu Hút Vốn Đầu Tư Vào Lĩnh Vực Nông Nghiệp Trên Địa Bàn Tỉnh Gia Lai.doc
 
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...
Quản Lý Hoạt Động Dạy Học Ngoại Ngữ Tại Các Trung Tâm Ngoại Ngữ - Tin Học Trê...
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Doanh Nghiệp Tại Ngân Hàng Thƣơng Mại ...
 
Tạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.doc
Tạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.docTạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.doc
Tạo Việc Làm Cho Thanh Niên Trên Địa Bàn Quận Thanh Khê, Thành Phố Đà Nẵng.doc
 
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...
Quản Trị Rủi Ro Tín Dụng Trong Cho Vay Trung Và Dài Hạn Tại Ngân Hàng Thương ...
 

Recently uploaded

Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdfTừ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Man_Ebook
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang ThiềuBiểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
Khí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VN
Khí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VNKhí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VN
Khí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VN
ThaiTrinh16
 
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
NamNguynHi23
 
LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docx
LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docxLUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docx
LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docx
Luận Văn Uy Tín
 
Tai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docx
Tai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docxTai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docx
Tai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docx
NhNguynTQunh
 
Bài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docx
Bài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docxBài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docx
Bài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docx
gorse871
 
BÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docxBÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docx
HngL891608
 
bài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docx
bài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docxbài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docx
bài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docx
HiYnThTh
 
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdfCác bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
linhlevietdav
 
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdfTHONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
QucHHunhnh
 
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdfDANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
thanhluan21
 
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí MinhhhhhhhhhhhhhTóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
nnguyenthao204
 
trắc nhiệm ký sinh.docxddddddddddddddddd
trắc nhiệm ký sinh.docxdddddddddddddddddtrắc nhiệm ký sinh.docxddddddddddddddddd
trắc nhiệm ký sinh.docxddddddddddddddddd
my21xn0084
 
kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...
kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...
kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...
Luận Văn Uy Tín
 
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...
Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
SmartBiz
 
YHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủ
YHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủYHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủ
YHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủ
duyanh05052004
 

Recently uploaded (20)

Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdfTừ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 10 - SÁCH MỚI - FORM BÀI TẬP 2025 (DÙNG CHUNG ...
 
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang ThiềuBiểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
 
Khí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VN
Khí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VNKhí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VN
Khí huyết và tân dịch - Y học cổ truyền VN
 
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
 
LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docx
LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docxLUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docx
LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬT - Luận Văn Uy Tín.docx
 
Tai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docx
Tai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docxTai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docx
Tai-lieu-Boi-Duong-HSG-môn-Ngữ-Văn-THPT-Tập-1.docx
 
Bài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docx
Bài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docxBài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docx
Bài tập chương 5. Năng lượng phản ứng.docx
 
BÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docxBÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docx
BÁO CÁO CUỐI KỲ PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HƯỚNG ĐỐI TƯỢNG - NHÓM 7.docx
 
bài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docx
bài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docxbài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docx
bài dự thi chính luận 2024 đảng chọn lọc.docx
 
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdfCác bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
 
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdfTHONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
THONG BAO nop ho so xet tuyen TS6 24-25.pdf
 
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
 
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdfDANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
 
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí MinhhhhhhhhhhhhhTóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
 
trắc nhiệm ký sinh.docxddddddddddddddddd
trắc nhiệm ký sinh.docxdddddddddddddddddtrắc nhiệm ký sinh.docxddddddddddddddddd
trắc nhiệm ký sinh.docxddddddddddddddddd
 
kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...
kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...
kl_HOÀN THIỆN CÔNG TÁC ĐÁNH GIÁ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC TẠI CÔNG TY CỔ PHẦN ĐẦU T...
 
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...
Tuyển tập 9 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 5 cơ bản và nâng cao ôn thi vào lớp ...
 
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024june
 
YHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủ
YHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủYHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủ
YHocData.com-bộ-câu-hỏi-mô-phôi.pdf đầy đủ
 

Luận văn: Tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa tôpô, HAY

  • 1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Trí MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
  • 2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
  • 3. i MỤC LỤC MỞ ĐẦU...........................................................................................................1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:.........................................................................5 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: ...........................................5 1.1.1. Không gian tôpô: ..............................................................................5 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:................................................................6 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:......................................................................6 1.1.4. Không gian con tôpô:........................................................................6 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên:..............................................................7 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập:..............................................................7 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: ........................................7 1.1.8. Các tiên đề tách:................................................................................8 1.1.9. Các tiên đề đếm được: ......................................................................9 1.2. Không gian compact:..............................................................................9 1.2.1. Không gian compact:........................................................................9 1.2.2. Không gian compact đếm được:.....................................................10 1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian:........................10 1.2.4. Compact hóa: ..................................................................................10 1.2.5. Ánh xạ đầy đủ:................................................................................11 1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ:...............................................................11 1.2.7. Không gian giả compact:................................................................11 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: .........................................12 1.3.1. Không gian mêtric: .........................................................................12 1.3.2. Không gian mêtric hóa được: .........................................................12 1.4. Không gian paracompact: .....................................................................13 1.4.1. Không gian paracompact:...............................................................13 1.4.2. Không gian paracompact đếm được:..............................................13
  • 4. ii 1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan:.............................................13 1.5.1. Nhóm tôpô: .....................................................................................13 1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô:.....................................................14 1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ:................................................................15 1.5.4. M-không gian, p-không gian: .........................................................15 Chương 2: Các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô:....................................17 2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô:..........................17 2.2. Chú ý:....................................................................................................21 2.3. Mệnh đề 2.3: ........................................................................................22 2.4. Mệnh đề 2.4: ........................................................................................23 2.5. Định lí 2.5: ...........................................................................................23 2.6. Hệ quả 2.6:............................................................................................26 2.7. Định lí 2.7: ............................................................................................26 2.8. Mệnh đề 2.8: .........................................................................................27 2.9. Mệnh đề 2.9: .........................................................................................27 2.10. Mệnh đề 2.10: .....................................................................................27 2.11. Mệnh đề 2.11: .....................................................................................28 2.12. Hệ quả 2.12:........................................................................................29 2.13. Hệ quả 2.13:........................................................................................29 2.14. Ví dụ:...................................................................................................29 Chương 3: Một số kết quả trên các nhóm tôpô...............................................31 3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: ..............................................31 3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: ................................................................................32 3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: ................................................................................32 3.1.3. Hệ quả 3.1.3:...................................................................................36 3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: .36 3.2.1. Bổ đề 3.2.1:.....................................................................................36 3.2.2. Bổ đề 3.2.2:.....................................................................................37
  • 5. iii 3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 38 3.3.1. Định lí 3.3.1: ...................................................................................38 3.3.2. Định lí 3.3.2: ...................................................................................40 3.3.3. Định lí 3.3.3: ...................................................................................42 3.3.4. Hệ quả 3.3.4:...................................................................................42 3.3.5. Hệ quả 3.3.5:...................................................................................43 3.3.6. Hệ quả 3.3.6:...................................................................................43 3.3.7. Định lí 3.3.7: ...................................................................................44 3.3.8. Ví dụ: ..............................................................................................44 3.3.9. Chú ý:..............................................................................................44 3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire:.............45 3.4.1. Định lí 3.4.1: ...................................................................................45 3.4.2. Hệ quả 3.4.2:...................................................................................46 3.4.3. Hệ quả 3.4.3:...................................................................................47 3.4.4. Hệ quả 3.4.4:...................................................................................47 3.4.5. Hệ quả 3.4.5:...................................................................................47 3.4.6. Hệ quả 3.4.6:...................................................................................47 3.4.7. Hệ quả 3.4.7:...................................................................................47 3.4.8. Hệ quả 3.4.8:...................................................................................47 3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa tôpô: ......................................................................................................48 3.5.1. Định lí 3.5.1: ...................................................................................48 3.5.2. Bổ đề 3.5.2:.....................................................................................48 3.5.3. Định lí 3.5.3: ..................................................................................50 3.5.4. Ví dụ: ..............................................................................................51 3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm:.............................51 3.6.1. Bổ đề 3.6.1:.....................................................................................52 3.6.2. Định lí 3.6.2: ...................................................................................52
  • 6. iv 3.6.3. Định lí 3.6.3: ...................................................................................54 3.6.4. Hệ quả 3.6.4:...................................................................................55 3.6.5. Ví dụ: ..............................................................................................55 3.6.6. Chú ý:..............................................................................................56 KẾT LUẬN.....................................................................................................57 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................60
  • 7. 1 MỞ ĐẦU Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân :m G G G× → là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân :m G G G× → là liên tục tách. Một nhóm nửa tôpô G mà phép toán nghịch đảo :In G G→ là liên tục thì được gọi là nhóm tựa tôpô. Việc nghiên cứu các tính chất trên các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, và nhóm nửa tôpô đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Sự liên quan của các nhóm nửa tôpô tách được, các nhóm nửa tôpô mêtric hóa được với các nhóm tôpô và paratôpô cũng rất được quan tâm bởi nhiều nhà toán học: Năm 1936, D.Montgomery đã chứng minh được rằng: - Mọi nhóm nửa tôpô tách được và mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một nhóm tôpô. - Mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một nhóm paratôpô. Năm 1957, R.Ellis đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô compact địa phương là một nhóm tôpô. Năm 1960, W. Zelazko đã kết luận rằng mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được đầy đủ là một nhóm tôpô. Năm 1982, N. Brand chứng minh được rằng mọi nhóm paratôpô Cech- đầy đủ là một nhóm tôpô.
  • 8. 2 Gần đây, một số phát triển theo các kết quả trên cũng đã được đưa ra bởi A.Bouziad (1996), P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. Moors (2001), A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko (2005). A. Bouziad đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô Cech-đầy đủ là một nhóm tôpô. A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko cũng đã chứng minh được rằng một nhóm paratôpô G là một nhóm tôpô nếu nó là một Gδ -không gian con của không gian giả compact nào đó. P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. B. Moors đã giới thiệu một lớp các không gian Baire mạnh và đã chứng minh được rằng một nhóm nửa tôpô Baire mạnh là một nhóm tôpô. Và một số mối liên hệ đáng chú ý giữa tính liên tục tách và liên tục nối cũng đã được xây dựng từ đó. Dựa trên các kết quả ở trên, luận văn này sẽ tiếp tục nghiên cứu một số phương pháp về các tính chất kiểu đầy đủ mà A. V. Arhangel’skii đã đưa ra và mở rộng các định lí của D. Montgomery và R. Eliss trên lớp rất rộng của các không gian quạt-đầy đủ. Lớp các không gian quạt-đầy đủ cũng khá lớn, nó có mối quan hệ với các không gian quen thuộc, chẳng hạn: - Tất cả các không gian compact, các không gian compact đếm được, và các không gian giả compact đều là không gian quạt-đầy đủ. - Mọi Gδ -không gian con trù mật của một không gian quạt-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ.
  • 9. 3 - Ảnh bất kì của một không gian quạt-đầy đủ qua các ánh xạ liên tục mở là không gian quạt-đầy đủ. - Một không gian quạt-đầy đủ địa phương bất kì là không gian quạt-đầy đủ. Quan tâm đến các mối quan hệ trên, luận văn của chúng tôi dành cho việc khảo sát các không gian quạt đầy đủ và các tính chất của chúng. Luận văn cũng dành cho việc nghiên cứu các không gian trên trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô cùng với một phép nhân tựa liên tục, các không gian giải tích với tính chất Baire,… Nội dung của luận văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp theo sau. Chương 2 giới thiệu các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô và các tính chất của chúng. Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục, trên các không gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động viên và giúp tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại, các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán. Sự động viên và sự hướng dẫn tận tình của thầy không những giúp tác giả trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác của cuộc sống xã hội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình
  • 10. 4 học và tôpô khóa 21 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
  • 11. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm phục vụ cho các chương tiếp theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các không gian tôpô và các nhóm tôpô. Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp các phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [7], [17]. 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: 1.1.1. Không gian tôpô: Một không gian tôpô là một cặp ( ),X τ bao gồm một tập hợp X và một họ τ các tập con của X thỏa các điều kiện sau: ( 1τ ) τ∅∈ và X τ∈ . ( 2τ ) Nếu 1U τ∈ và 2U τ∈ thì 1 2U U τ∩ ∈ . ( 3τ ) Nếu τ⊂A thì τ∈A . Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các tập mở của X, họ τ các tập con mở của X được gọi là tôpô trên X.
  • 12. 6 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô: Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β τ⊂ gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( ),X τ nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Một họ σ τ⊂ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( ),X τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ . Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận: Cho X là không gian tôpô và x X∈ . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V∈ ⊂ . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x. Một họ xU các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận xU ∈U sao cho U V⊂ . 1.1.4. Không gian con tôpô: Cho ( ),X τ là một không gian tôpô và một tập A X⊂ . Khi đó, họ { }:A G A Aτ τ= ∩ ∈ là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X. Không gian ( ), AA τ gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô ( ),X τ .
  • 13. 7 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên: Cho không gian tôpô ( ),X τ và tập A X⊂ , phần trong o A của A là hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là o A A A∂ = − . Một tập A X⊂ gọi là trù mật nếu A X= , hay A trù mật nếu mọi tập con mở của X chứa một điểm của A. Tập A X⊂ gọi là không đâu trù mật nếu ( ) o A = ∅. 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập: Một điểm x X∈ là một điểm hội tụ của A X⊂ nếu { }x A x∈ . Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu d A . Điểm thuộc tập d A A gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập của không gian X khi và chỉ khi tập { }x là tập mở, tức là { } { } x X X x= hay { }x X x∉ . 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: Cho ( ),X τ và ( ), 'Y τ là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới Y gọi là liên tục tai x X∈ nếu mọi lân cận V của ( )f x trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho ( )f U V⊂ , nghĩa là, 1 ( )f V− là một lân cận của x. Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở (đóng) G trong X, ( )f G là tập mở (đóng) trong Y.
  • 14. 8 Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và 1 ,f f − đều là ánh xạ liên tục. 1.1.8. Các tiên đề tách: 0T -không gian: Không gian tôpô X là 0T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. 1T -không gian: Không gian tôpô X là 1T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. 2T -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là 2T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U V∩ =∅. 3T -không gian (Không gian chính quy): Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x X∈ , mọi tập con đóng  của X không chứa x , tồn tại các tập con mở ,U V sao cho , ,x U V U V⊂∈ ∩ =∅ . Tương đương mọi x X∈ , mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x U U V∈ ⊂ ⊂ . Không gian tôpô X là 3T -không gian nếu X là 1T -không gian và thỏa mãn điều kiện chính quy.
  • 15. 9 1 3 2 T -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian Tychonoff): Không gian tôpô X là 1 3 2 T -không gian nếu X là 1T -không gian và với mỗi x X∈ , mỗi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục : [0,1]f X → sao cho ( ) 0f x = và ( ) 1f F = . 4T -không gian (không gian chuẩn tắc): Không gian tôpô X là 4T -không gian nếu X là 1T -không gian và với hai tập con đóng ,A B bất kỳ không giao nhau trong X , tồn tại các tập mở rời nhau U và V sao cho ,A U B V⊂ ⊂ và U V∩ =∅. 1.1.9. Các tiên đề đếm được: Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x X∈ đều có một cơ sở lân cận đếm được. Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được. Không gian chính qui mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con đếm được thì gọi là không gian Lindeloff. Như vậy, một không gian chính qui thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindeloff. 1.2. Không gian compact: 1.2.1. Không gian compact: Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn,
  • 16. 10 nghĩa là mọi phủ mở { }s s S U ⊂ của không gian X tồn tại một tập hữu hạn { }1 2, ,..., ks s s S⊂ thỏa 1 2 ... ks s sX U U U= ∪ ∪ ∪ . 1.2.2. Không gian compact đếm được: Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có một phủ con hữu hạn. 1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian: Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa phương nếu với mọi x X∈ có một lân cận U của x thỏa U là một không gian con compact của X. Mọi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff. Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X là không gian Hausdorff và X là ảnh của một không gian compact địa phương qua ánh xạ thương. Nói cách khác, k-không gian là một không gian Hausdorff mà có thể được biểu diễn như là không gian thương của các không gian compact địa phương. 1.2.4. Compact hóa: Cho X là một không gian compact. Cặp ( ),Y c , với Y là một không gian compact và :c X Y→ là phép nhúng đồng phôi của X lên Y thỏa ( )c X Y= , được gọi là một compact hóa của không gian X.
  • 17. 11 Gọi ( )C X là họ tất cả compact hóa của X. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên họ ( )C X như sau: 2 1c X c X≤ nếu tồn tại một ánh xạ 1 2:f c X c X→ thỏa 1 2fc c= . Phần tử lớn nhất trong họ ( )C X của tất cả compact hóa của một không gian Tychonoff X được gọi là compact hóa Cech-Stone của X, kí hiệu là Xβ . 1.2.5. Ánh xạ đầy đủ: Ánh xạ liên tục :f X Y→ là đầy đủ nếu X là một không gian Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả các thớ ( )1 f y− là các tập con compact của X. Đơn ánh :f X Y→ xác định trên một không gian Hausdorff X là đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng đồng phôi và tập ( )f X đóng trong Y. 1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ: Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một Gδ -tập trong các compact hóa Hausdorff của nó. 1.2.7. Không gian giả compact: Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị chặn.
  • 18. 12 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: 1.3.1. Không gian mêtric: Một không gian mêtric là một cặp ( ),X ρ gồm một tập X và một hàm : X Xρ × →  thỏa mãn các điều kiện sau: (M1) ( ), 0x yρ = khi và chỉ khi x y= , (M2) ( ) ( ), ,x y y xρ ρ= với mọi ,x y X∈ , (M3) ( ) ( ) ( ), , ,x y y z x zρ ρ ρ+ ≥ với mọi , ,x y z X∈ . Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm ρ gọi là mêtric trên tập X và số ( ),x yρ được gọi là khoảng cách giữa x và y. Nếu hàm : X Xρ × →  thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện (M1’) ( , ) 0x xρ = với mọi x X∈ thì được gọi là một giả mêtric trên tập X. Với mọi không gian mêtric ( ),X ρ , họ các tập mở theo mêtric ρ là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric ρ . Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh mêtric. 1.3.2. Không gian mêtric hóa được: Không gian tôpô ( , )X τ gọi là không gian mêtric hóa được nếu X đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric ρ trên tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric ρ trùng với tôpô τ của X ( ρτ τ= ).
  • 19. 13 Không gian ( , )X τ mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô 'τ trên X sao cho 'τ τ⊂ và ( , ')X τ mêtric hóa được. 1.4. Không gian paracompact: 1.4.1. Không gian paracompact: Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu X là một không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc. 1.4.2. Không gian paracompact đếm được: Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc. 1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan: 1.5.1. Nhóm tôpô: Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và :f X Y Z× → là một hàm, ta nói: - f là liên tục nối tại ( )0 0 ,x y X Y∈ × nếu với mỗi lân cận W của ( )0 0 ,f x y tồn tại một tích của các tập mở U V X Y× ⊆ × chứa ( )0 0 ,x y thỏa ( )f U V W× ⊆ .
  • 20. 14 - f là liên tục tách trên X Y× nếu với mỗi 0 x X∈ và 0 y Y∈ , các hàm ( )0 ,y f x y và ( )0 ,x f x y là các hàm liên tục trên Y và X tương ứng. Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục tách. Cho một nhóm G, ánh xạ nghịch đảo :In G G→ được định nghĩa theo công thức ( ) 1 In x x− = , với mỗi x G∈ . Một nhóm nửa tôpô với ánh xạ nghịch đảo liên tục được gọi là nhóm tựa tôpô. Một nhóm tôpô G là một nhóm paratôpô G thỏa ánh xạ nghịch đảo :In G G→ là liên tục. Như vậy, G là một nhóm tôpô khi và chỉ khi ánh xạ từ G G G× → ,( ) 1 ,x y xy−  là liên tục. 1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô: Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tôpô có thể nhúng được vào một nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ. Mở rộng Raikov: Cho * G là một họ tất cả các lọc chính tắc trên G. Kí hiệu xB là một lọc chính tắc trên G, với mỗi x G∈ . Đặt ( ) xi x B= , với mỗi x G∈ . Từ đó, ta có đơn ánh * :i G G→ . Tiếp theo, ta định nghĩa một phép toán trên * G để cho * G biến thành một nhóm, sau đó ta xác định một tôpô trên * G để * G trở thành một nhóm tôpô, cuối cùng ta sẽ
  • 21. 15 kiểm tra rằng ánh xạ ( ) * :i G i G G→ ⊂ là một đẳng cấu tôpô. Khi đó, * G được gọi là mở rộng Raikov của G. 1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ: Nhóm tôpô Cech-đầy đủ là nhóm tôpô mà không gian cơ bản của nó là Cech-đầy đủ. 1.5.4. M-không gian, p-không gian: Cho X là một không gian. Với mỗi A X⊂ và U là họ các tập con của X, ta định nghĩa ( ) { }, :st A U U A= ∈ ∩ ≠ ∅U U . Với x X∈ , ta viết ( ),st x U thay cho { }( ),st x U . Cho X là một không gian, U là một phủ của X. Cho V là một phủ của X thỏa: { }, : ,x X U st x U∀ ∈ ∃ ∈ ⊆U V . Khi đó, ta nói V là một làm mịn hình sao của U. M-không gian: Một không gian X được gọi là một M-không gian nếu tồn tại một dãy ( )nξ các phủ mở của X thỏa: (i) Nếu ( ),n nx st x ξ∈ , với mỗi n ω∈ , thì { }:nx n ω∈ có một điểm hội tụ. (ii) Với mỗi n ω∈ , 1nξ + là một làm mịn hình sao của nξ . p-không gian: Một không gian hoàn toàn chính qui là một p-không gian nếu tồn tại một dãy ( )nU của họ các tập con mở của Xβ thỏa: (i) Mỗi nU là phủ của X.
  • 22. 16 (ii) Với mỗi ( ), ,n nx X st x X∈ ⊂ U Nếu ta có thêm (iii) ( ) ( ), ,n n n nst x st x= U U , thì X được gọi là một p-không gian ngặt.
  • 23. 17 Chương 2 CÁC KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiểu đầy đủ của các không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của chúng. 2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: Cho một dãy { }:nH n ω∈ các tập con của không gian X , { }lim :nH n ω∈ là tập hợp tất cả các điểm hội tụ của { }:nH n ω∈ . Nếu 1n nH H+ ⊆ ,với mọi n ω∈ , thì { } { }lim : :n X nH n cl H nω ω∈= ∈ . Một dãy { }:nU n ω∈ của các tập con mở trong không gian X được gọi là dãy dừng nếu nó thỏa các điều kiện sau: (S1) 1n nU U+∅ ≠ ⊆ , với mọi n ω∈ ; (S2) Mọi dãy { }:nV n ω∈ của các tập mở khác rỗng trong X thỏa n nV U⊆ , với mỗi n ω∈ , có một điểm hội tụ trong X, nghĩa là { }lim :nV n ω∈ ≠ ∅ . Một tập con L của không gian X là bị chặn nếu với mọi họ hữu hạn địa phương γ của các tập con mở trong X, tập { }:U U Lγ∈ ∩ ≠ ∅ là hữu hạn. Một không gian X là compact yếu nếu mọi họ hữu hạn địa phương của các tập con mở trong X là hữu hạn, nghĩa là X bị chặn trong X. Trong không gian Tychonoff, tính compact yếu tương đương với tính giả compact. Mọi
  • 24. 18 không gian compact đếm được là không gian compact yếu. Một tập con L của một không gian Tychonoff X bị chặn nếu và chỉ nếu mọi hàm liên tục trong X bị chặn trong L. Từ điều kiện (S1) và (S2) ta thấy { } { }: lim :X n nH cl U n U nω ω= ∈= ∈ là một tập con khác rỗng bị chặn trong X. Một không gian X được gọi là µ -đầy đủ nếu bao đóng của mỗi tập con bị chặn là compact. Cho Y là một không gian con trù mật của một không gian X, { }{ : }:n nU A nαγ γ α ω= = ∈ ∈ là một dãy các họ tập con mở của X, và cho { }1: :n n nA A nπ π ω+= → ∈ là một dãy các ánh xạ. Một dãy { }:n nα α ω= ∈ được gọi là một c-dãy nếu n nAα ∈ và 1( )n n nπ α α+ = với mọi n. Cho { }( ) ;n H U nαα ω= ∈ . Xét các điều kiện sau: (SC1): { }: nU Aβ β ∈ là một tập con trù mật của X với mỗi n ω∈ . (SC2): { }1 : ( )nUβ β π α− ∈ là một tập con trù mật của tập Uα với mọi nAα ∈ và n ω∈ . (SC3): { }1 : ( )nU Uα β β π α− = ∈ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . (SC4): { }1 : ( )X ncl U Uβ αβ π α− ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . (C1): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };n U nα ω∈ là dãy dừng.
  • 25. 19 (C2): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , mỗi dãy { };nny Y U nα ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong X. (C3): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };n U nα ω∈ là một cơ sở của các lân cận mở của tập ( )H α trong X. (C4): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , tập ( )H α là tập con compact khác rỗng của X. (C5): Cho bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , tập ( )H α là tập con compact đếm được khác rỗng của X. Dãy γ và π được gọi là ω A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3) và mỗi nγ là một phủ của X. Dãy γ và π được gọi là một A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3), (SC4) và mỗi nγ là một phủ của X. Dãy γ và π được gọi là một ω A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất (SC1), (SC2). Dãy γ và π được gọi là một A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất (SC1), (SC2), (SC4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và (C4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C4) khi Y=X.
  • 26. 20 Một không gian X được gọi là q-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2). Một không gian X được gọi là q-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C5) với Y=X. Một không gian X được gọi là quạt-đầy đủ trù mật nếu tồn tại một A- sàng trù mật trên X với tính chất (C1). Một không gian X được gọi là quạt- đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng trên X với tính chất (C1). Theo E.Michael ([27],[23]) : Một điểm x X∈ được gọi là một qD-điểm nếu tồn tại một không gian con trù mật Y của X và một dãy các lân cận { }:nU n ω∈ của x trong X thỏa nếu n n nx Y U∈ ∩ thì dãy { }:nx n ω∈ có một chùm điểm trong X. Nếu Y=X thì x là một q-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian trù mật nếu mỗi x X∈ là một qD-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian nếu mỗi x X∈ là một q-điểm. Mọi không gian q-đầy đủ đều là một q-không gian. Cho { }{ }1: , : :n n n n nU A A A nαγ α π ω+= ∈ → ∈ là một ω A-sàng trù mật với tính chất (C2) và 1X =  { ( ):H α α là một c-dãy}. Khi đó, mọi điểm 1x X∈ là một qD-điểm. Tập 1X là trù mật trong X. Một điểm x X∈ được gọi là một điểm của kiểu đếm được nếu tồn tại một tập con compact F với một cơ sở đếm được của các lân cận mở { }:nU n ω∈ trong X thỏa x F∈ . Một không gian X được gọi là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm nếu mỗi x X∈ là một điểm của kiểu đếm được.
  • 27. 21 2.2. Chú ý: a) Với mọi ω A-sàng { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ tồn tại một A-sàng { }{ }1: , : :n n n n nv V B q B B nβξ β ω+= = ∈ → ∈ và các ánh xạ { }: :n n nh B A n ω→ ∈ thỏa: 1. ( )nX qcl V Uβ β⊆ và 1n n n nh q hπ +=  với mỗi nBβ ∈ và n ω∈ bất kì. 2. Nếu u có tính chất (C1) thì v cũng có tính chất (C1). 3. Nếu u có tính chất (C2) và (C3) thì v cũng có tính chất (C2) và (C3). 4. Nếu u có tính chất (C2) và (C4) thì v cũng có tính chất (C2) và (C4). Hơn nữa, nếu Y là một không gian con trù mật của X và u là một ω A- sàng thì v là một A-sàng trù mật với các tính chất: - Họ nξ là rời nhau với mọi n ω∈ . - { }1 1( ) :n nq B v vµ ββ µ− +=∈ ⊆ với mỗi nBβ ∈ và mọi n ω∈ . - Nếu { }1,2,3,4,5k = và u có tính chất (Ck) thì v cũng có tính chất (Ck). b) Mọi không gian compact yếu là quạt-đầy đủ. Theo các định nghĩa ở trên ta thấy được tính di truyền của các kiểu không gian đầy đủ lên các không gian con đóng qua các phát biểu sau: - Mọi không gian Tychonoff là không gian con đóng của không gian giả compact nào đó, một không gian con đóng của một không gian quạt-đầy đủ không nhất thiết phải là không gian quạt-đầy đủ.
  • 28. 22 - Mọi không gian con đóng của một không gian sàng-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ. - Mọi không gian con đóng của một không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ. - Mọi không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ trù mật. - Mọi không gian sàng-đầy đủ là không gian q-đầy đủ, và mọi không gian q-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ. - Mọi không gian µ -đầy đủ, quạt-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ. - Một không gian X là quạt-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Đối với một không gian quạt-đầy đủ thì tính chất đầy đủ được bảo toàn trên các Gδ -không gian con. Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau: 2.3. Mệnh đề 2.3: Mọi Gδ -không gian con của một không gian quạt-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ. Đặc biệt, mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy đủ. Chứng minh: Cho { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ là một A-sàng với tính chất (C1) trên một không gian X, và cho { }:nY U n ω= ∈ với { }:nU n ω∈ là một dãy các tập con mở trong X. Khi đó, tồn tại một dãy { }{ }: :n nV B nβξ β ω= ∈ ∈ của họ các tập mở trong X, dãy các ánh xạ { }1: :n n nq B B n ω+ → ∈ và { }: :n n nh B A n ω→ ∈ thỏa:
  • 29. 23 - ( )nX n qcl V U Uβ β⊆ ∩ và 1n n n nh q hπ +=  với mỗi nBβ ∈ và với bất kì n ω∈ ; - { } { }1 1 : ( ) : ( )n X nV Y V Y q Y cl Uµ β ββ µ β π α− − ∩ =∪ ∩ ∈ =∪ ∩ ∈ với mọi nBµ ∈ và n ω∈ ; Khi đó { } 1W W : , : :n n n nY V B q B B nβ β β ω+= =∩ ∈ → ∈ là một A- sàng với tính chất (C1) trên Y. Mệnh đề sau cho ta thấy được mối quan hệ giữa không gian quạt-đầy đủ và không gian Baire: 2.4. Mệnh đề 2.4: Nếu một không gian X có chứa một không gian con quạt- đầy đủ trù mật thì X có tính chất Baire. Một không gian X là một M-không gian đầy đủ nếu tồn tại một ánh xạ đóng liên tục :f X Y→ vào một không gian mêtric hóa đầy đủ Y thỏa 1 ( )f y− là compact đếm được. Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f là một ánh xạ tựa đầy đủ. Mọi M-không gian đầy đủ là q-đầy đủ. Định lí sau đây cho thấy một số tính chất của các kiểu không gian đầy đủ qua một ánh xạ liên tục mở và qua một mở rộng liên tục của ánh xạ đó. 2.5. Định lí 2.5: Cho X là một không gian mêtric. Cho :f X Y→ là một ánh xạ liên tục mở của một không gian X vào một không gian Y, và 1X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của X. Khi đó tồn tại một không gian con quạt-đầy đủ trù mật 1Y của Y thỏa 1 1( )f X Y⊆ . Hơn nữa, nếu X, Y là các không gian Tychonoff và
  • 30. 24 :f X Yβ β β→ là mở rộng liên tục của f, thì tồn tại một Gδ -không gian con paracompact Z của Xβ thỏa: ( )S f Zβ= là một không gian con trù mật paracompact của Yβ ; :g f Z Z Sβ= → là một ánh xạ đầy đủ, 1S Y S= ∩ là mộtGδ -không gian con trù mật của 1Y và 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ))XZ f y X g y g y cl Z f yβ − − − − ∩ =∩ ⊆ = ∩ với mỗi 1y S∈ ; Nếu 1X là một không gian q-đầy đủ, 1Z Z X= ∩ và 1 1( )S f Z= , thì 1 1 1:h f Z Z S= → là một ánh xạ tựa đầy đủ, và 1Z là M-không gian đầy đủ; Nếu 1X là một không gian sàng-đầy đủ, thì Z X⊆ ; Nếu X hoặc 1X là µ -đầy đủ thì Z X⊆ . Chứng minh: Tồn tại một dãy { }: :n nU A nαγ α ω= ∈ ∈ của họ các tập con mở của X và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ các ánh xạ thỏa: (RC1) { }1 0:X U Aα α⊆ ∈ và { }1 1 : ( )nU X U Uα β αβ π α− ∩ ⊆ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ ; (RC2) với bất kì c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { }1 ;n X U nα ω∩ ∈ bị chặn trong 1X . Cho { }( ):n nV f U Aα αη α= = ∈ với bất kì { }, ( ) :n n X U nαω α ω∈ = ∈ và { }( ) :n Y V nαα ω= ∈ , với mọi c-dãy
  • 31. 25 { }:n nα α ω= ∈ . Chúng ta đặt 2 { ( ):X X α α=  là một c-dãy} và 1 { ( ):Y Y α α=  là một c-dãy}. Bằng cách xây dựng, ( ) 1 2( ) ( ),f X Y X Xα α⊆ ⊆ và 2 1( )f X Y⊆ . Hiển nhiên ta có { }1 0:Y V Aα α⊆ ∈ và { }1 1 : ( )nV Y V Vα β αβ π α− ∩ ⊆ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Cho { }:n nα α ω= ∈ là một c-dãy và { }:nV n ω∈ là một dãy các tập mở khác rỗng trong Y thỏa nnV Vα⊆ với bất kì n ω∈ . Chúng ta đặt 1 ( )nn nU U f Vα − =  . Khi đó, { }:nLim U n ω∈ ≠ ∅ và { }( ) { }: :n nf Lim U n Lim V nω ω∈ ⊆ ∈ . Do đó, 1Y là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của Y. Giả sử rằng X và Y là các không gian Tychonoff. Khi đó, có các họ rời rạc { }{ }: :n nH B nβξ β ω= ∈ ∈ các tập con mở của Xβ , các họ rời rạc { }{ }W : :n nB nβξ β ω= ∈ ∈ các tập con mở của Yβ , các ánh xạ { }: :n n nq A B n ω→ ∈ và các ánh xạ { }1: :n n np B B n ω+ → ∈ thỏa mãn: - { }:n nW W Bβ β= ∈ là một tập con trù mật mở của Yβ với mỗi n ω∈ ; - { }1 : ( )X ncl H p Hβ µ βµ β− ∈ ⊆ và { }1 : ( )Y ncl W p Wβ µ βµ β− ∈ ⊆ với mọi nBβ ∈ và n ω∈ ; - ( )npX H Uβ β∩ ⊆ và ( )f H Wβ ββ = với mọi nBβ ∈ và n ω∈ ; - 1 1n n n nq q pπ + +=  với mọi n ω∈ .
  • 32. 26 Đặt { }:n nH H Bβ β= ∈ , { }:nZ H n ω= ∈ và { }:nS W n ω= ∈ . Các không gian con Z, S và ánh xạ :g f Z Z Sβ= → thỏa các điều kiện của định lí. 2.6. Hệ quả 2.6: Nếu một không gian µ -đầy đủ X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật. Định lí tiếp theo thể hiện mối quan hệ của không gian quạt-đầy đủ với không gian Cech-đầy đủ: 2.7. Định lí 2.7: Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian Cech-đầy đủ. Chứng minh: Nếu X là một không gian quạt-đầy đủ paracompact, thì tồn tại một dãy { }{ }: :n nU A nαγ α ω= ∈ ∈ của các phủ hữu hạn địa phương mở và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ của các ánh xạ với các tính chất (C1), (C2) thỏa Uα là một Fσ -tập trong X với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Cố định các hàm liên tục không âm { }: ,ng A nα α ω∈ ∈ thỏa { }: 2 n ng Aβ β − ∈ =∑ và 1 (0) g X Uα α − = với mọi nAα ∈ và n ω∈ . Khi đó, { }( , ) : ,nx y g A nαρ α ω= ∈ ∈∑ là một giả mêtric liên tục trên X. Do đó, tồn tại một không gian mêtric (Y,d) và một ánh xạ liên tục :f X Y→ vào Y thỏa ( , ) ( ( ), ( ))x y d f x f yρ = với mọi ,x y X∈ . Cố định b X∈ và một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ thoả { }:n b U nα ω∈ ∈ . Tồn tại một dãy { }( ):n nε ω∈ thỏa ( ) ( 1) 0n nε ε> + > và
  • 33. 27 { }X: ( , ) ( ) nnV y x y n Uαρ ε=∈ < ⊆ với bất kì n ω∈ . Từ { }1 ( ( )) :n f f b H U nα ω− ⊆= ∈ và H là một tập con bị chặn của không gian paracompact X, các tập 1 ( ( ))f f b− và Xcl H là compact, và f là một ánh xạ đầy đủ. Bây giờ ta dễ dàng kiểm tra được rằng (Y,d) là một không gian mêtric đầy đủ. 2.8. Mệnh đề 2.8: Cho X là một không gian thỏa: Với mọi tập con khác rỗng U, tồn tại một tập con mở khác rỗng V và một không gian con quạt-đầy đủ Z của X sao cho: XZ V U cl Z⊆ ⊆ ⊆ . Khi đó X chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 2.9. Mệnh đề 2.9: Bất kì không gian quạt-đầy đủ địa phương nào cũng đều là không gian quạt-đầy đủ. 2.10. Mệnh đề 2.10: Cho G là một nhóm nửa tôpô hoặc là một không gian thuần nhất, V là một tập con mở của G, Z là một không gian con quạt-đầy đủ, với XZ V cl Z⊆ ⊆ . Ta có: 1. G có chứa không gian con quạt-đầy đủ trù mật nào đó. 2. Nếu Z V= , thì G là không gian quạt-đầy đủ. Một tập Z là chuẩn tắc trong một không gian X nếu với bất kì tập con đóng F của không gian con Z và với mỗi tập con mở U của X chứa F tồn tại một tập con V của X thỏa XF V cl V U⊆ ⊆ ⊆ . Hiển nhiên, Z là một không gian con đóng chuẩn tắc của X.
  • 34. 28 2.11. Mệnh đề 2.11: Cho Y là một tập con trù mật của X và { }:nU n ω∈ là một dãy các tập con mở khác rỗng của X với các tính chất:  { }:nF U n ω= ∈ là tập con chuẩn tắc trong X;  1X n ncl U U+ ⊆ với mỗi n ω∈ ;  Mỗi dãy { }:n ny Y U n ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong X. Khi đó: 1. F là một không gian con đóng chuẩn tắc của không gian X. 2. Không gian con F là compact đếm được. 3. { }:nU n ω∈ là một cơ sở của F trong X. Chứng minh: 1. Hiển nhiên. 2. Cho { }:nL x F n ω= ∈ ∈ là một dãy rời rạc của không gian con F. Khi đó tồn tại một họ rời rạc{ }:nV n ω∈ các tập con mở của X thỏa n nx V∈ với bất kì n ω∈ . Tồn tại một tập con mở W của X thỏa { }:X nL W cl W V n ω⊆ ⊆ ⊆ ∈ . Chúng ta đặt n n nW W U V= ∩ ∩ . Khi đó { }:nW n ω∈ là một họ rời rạc các tập con mở của X, điều này dẫn đến mâu thuẩn. 3. Cho U và V là hai tập con mở của X và XF V cl V U⊆ ⊆ ⊆ . Khi đó { } :n n XH U cl V n ω= ∈ là một họ rời rạc các tập con mở của X. Do
  • 35. 29 đó mH = ∅ và nU U⊆ với một vài m ω∈ . Khẳng định 3 đã được chứng minh. 2.12. Hệ quả 2.12: Cho X là một không gian chuẩn tắc. Các khẳng định sau đây là tương đương: 1. Không gian X là q-đầy đủ trù mật. 2. Không gian X có chứa một không gian con q-đầy đủ trù mật. 3. Không gian X là quạt-đầy đủ trù mật. 4. Không gian X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 2.13. Hệ quả 2.13: Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. 2.14. Ví dụ: Cho 0W là tập tất cả các số thứ tự đếm được và 1ω là số thứ tự không đếm được đầu tiên. Trong tập 0 0 [0;1)V W= × xét thứ tự tuyến tính: ( ) ( ), ,u vα β< với α β< hoặc α β= và u < v. Không gian V0 với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính được gọi là đường thẳng dài. Không gian { }0 1V V ω= ∪ , trong đó 1x ω< với bất kì 0x V∈ . Với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính là compact hóa Stone-Cech của không gian 0V . Cho Y là tập tất cả các điểm ( ) 0,0 Vα ∈ , trong đó α là một số thứ tự không giới hạn. Hiển nhiên, không gian con 0 X V Y= của 0V là mêtric hóa địa phương và Cech-đầy đủ địa phương. Từ đó, X là một không gian sàng-đầy đủ. Chúng ta khẳng định rằng X không phải là một Gδ -không gian con của một vài không gian giả
  • 36. 30 compact. Thật vậy, giả sử rằng X là một không gian con của không gian giả compact Z và { }( ):nX Z F n ω= ∈  ,trong đó { }:nF n ω∈ là một dãy các tập con đóng của Z. Xét các ánh xạ liên tục : X Zϕ β β→ và : X Vψ β → , trong đó ( ) ( )x x xϕ ψ= = với bất kì x X∈ . Bằng cách xây dựng, ( )( )( )1 1 n Z ncl Fβϕ ψ ϕ− − Φ = là một tập con compact của Z Xβ . Chúng ta có thể giả sử rằng n nF Z= ∩ Φ . Không gian ( )1 1 1Z Xβ ψ ω− = là compact đếm được và compact địa phương. Nếu ( ),0 Yα ∈ và ( )( )1 ( ) ,0H α ϕ ψ α− = , thì ( ) H Z Xα β⊆ . Vì Z là giả compact nên ( )X H α∩ ≠ ∅. Do đó, ( )Z H α∩ ≠ ∅ và ( )( ) nH αα ⊆ Φ với một vài ( )n α ω∈ . Do đó, ( ) { }1 :nZ X nϕ ω⊆ Φ ∈ . Vậy, ( ){ }1 1 :nX Z nϕ ω− = Φ ∈ là một Gδ -tập con của không gian 1Z và X là Cech-đầy đủ, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Tồn tại một không gian giả compact 1X thỏa không gian các số hữu tỉ  là một không gian con đóng. Cho 2 1X X X= × . Bằng cách xây dựng, 2X là một không gian quạt-đầy đủ, mà không là không gian Cech-đầy đủ địa phương và không là một Gδ -không gian con của không gian giả compact nào đó.
  • 37. 31 Chương 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ TRÊN CÁC KHÔNG GIAN CỤ THỂ Trong chương này chúng tôi sẽ đề cập đến việc khảo sát các không gian đầy đủ và các tính chất của chúng trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục, các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, các không gian giải tích với tính chất Baire…. 3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: Một ánh xạ :f X Y Z× → từ không gian tích X Y× vào một không gian Z được gọi là tựa liên tục mạnh bên phải tại một điểm ( ),a b X Y∈ × nếu với mỗi lân cận mở W của ( ),f a b trong Z và mọi lân cận mở U của a trong X, tồn tại một tập con mở khác rỗng 1U trong X và một tập mở V trong Y thỏa 1 ,U U b V⊂ ∈ , và ( )1f U V W× ⊂ . Theo cách tương tự ta có thể định nghĩa ánh xạ tựa liên tục mạnh bên trái tại một điểm ( ),a b X Y∈ × . Một ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại một điểm ( ),a b X Y∈ × nếu nó là tựa liên tục mạnh bên phải và bên trái tại ( ),a b X Y∈ × . Một ánh xạ :f X Y→ từ một không gian X vào một không gian Y được gọi là tựa liên tục tại một điểm b X∈ nếu với mỗi lân cận mở V của f(b)
  • 38. 32 trong Y và mọi lân cận mở U của b trong X tồn tại một tập mở khác rỗng W trong X thỏa W U⊂ và ( )f W V⊂ . Nếu một ánh xạ :f X Y Z× → là tựa liên tục mạnh bên phải hoặc bên trái, thì f là tựa liên tục. 3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: Cho 1X là một không gian con trù mật của không gian X, 1Y là một không gian con trù mật của Y, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z, ( )1 1 1 1, ,g f X Y a X b Y= × ∈ ∈ . Khi đó: 1. Ánh xạ f là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại (a,b). 2. Ánh xạ f là tựa liên tục tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục tại (a,b). Chứng minh: Cho ( ),c f a b= và W là một lân cận của c trong Z. Cố định hai tập con mở W1 và W2 của Z thỏa 2 2 1 1Z Zc W cl W W cl W W∈ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Giả sử U là một tập con mở của X và V là một tập con mở của Y thỏa ( )1 1 2g U V W× ⊆ , trong đó 1 1U U X= ∩ và 1 1V V Y= ∩ . Với mọi 1x U∈ , ta có { }( )1 2 1Y Zf x cl V cl W W× ⊆ ⊆ do tính liên tục tách của f. Vì 1,XU cl U⊆ ta có ( ) 1Zf U V cl W W× ⊆ ⊆ . 3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: Giả sử rằng X là một không gian q-đầy đủ trù mật, a X∈ , b là một qD-điểm của một không gian Y và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z. Khi đó:
  • 39. 33 - f là tựa liên tục mạnh bên phải tại (a,b); - Nếu X và Y là các không gian thuần nhất, thì f là tựa liên tục mạnh bên phải tại mọi điểm của X Y× . Chứng minh: Cố định một không gian con trù mật 1X của X và một ω A-sàng trù mật { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ với tính chất (C2) trên không gian X. Chúng ta có thể giả sử rằng 1a X∈ . Ta cố định một không gian trù mật 1Y của Y và một dãy các lân cận { }:nH n ω∈ của điểm b trong Y thỏa nếu n ny Y H∈ ∩ thì dãy { }:ny n ω∈ có một chùm điểm trong Y. Chúng ta có thể giả sử rằng 1b Y∈ (ta lấy { }1Y b∪ trong 1Y , và ngược lại). Cho ( )1 1g f X Y= × . Đặt ( ),c f a b= . Giả sử rằng ánh xạ f không phải là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),a b . Theo mệnh đề 3.1.1, ánh xạ g không phải là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),a b . Khi đó tồn tại một lân cận 1W của c và một lân cận U của a thỏa với mỗi tập con mở khác rỗng 'U của U trong X và mỗi lân cận V của b trong Y ta có ( ) ( )( )1 1 1' f U V X Y W× ∩ × ≠ ∅. Vì Z là tập chính qui, ta có thể tìm được các lân cận mở 0W và W của c thỏa 0 1Z Zcl W W cl W W⊂ ⊂ ⊂ . Chúng ta xây dựng theo phương pháp qui nạp các dãy giảm chắc chắn của các tập mở { }:nU n ω∈ và { }:nV n ω∈ trong X và Y, tương ứng, một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ và các dãy { } 1:nx n Xω∈ ⊂ và { } 1:ny n Yω∈ ⊂ với các tính chất sau:
  • 40. 34 (i) ,nn n X nx U cl U U Uα∈ ⊆ ⊆ ∩ ,n n Y n ny V cl V H∈ ⊆ ⊆ 1 ,X n ncl U U+ ⊆ 1Y n ncl V V+ ⊆ , và ( ) ( ) 1, n n n n Zf x y f U V W Z cl W∈ × ⊆ với mỗi n ω∈ ; (ii) Nếu { }0 0: ( , )M x X f x b W=∈ ∈ , thì 0 0U M⊆ ; (iii) Nếu 1n ≥ , { }1 1: ( , ) n n n ZM x U f x y Z cl W− −=∈ ∈ và { }1 1 0: ( , )n n nL y V f x y W− −=∈ ∈ , thì X n ncl U M⊆ , và Y n ncl V L⊆ . Chúng ta tiếp tục như sau: Bước 0: Đặt { }0 0: ( , )M x X f x b W=∈ ∈ . Khi đó 0M là mở, theo tính liên tục tách của f, và 0a M∈ , vì 0( , )f a b M∈ . Cố định 0 0Aα ∈ và một tập con mở 0U của X thỏa 00 0 0Xa U cl U M U Uα∈ ⊆ ⊆ ∩ ∩ . Cho 0V là một tập con mở của Y thỏa 0 0b V H∈ ⊆ . Theo giả thiết, tập ( )0 0 0f U V W× là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 0 0 1x U X∈ ∩ và 0 0 1y V Y∈ ∩ thỏa ( )0 0 1, f x y Z W∈ . Bước 1: Đặt { }1 0 0: ( , ) ZM x U f x y Z cl W=∈ ∈ . Khi đó, 0 1x M∈ , và 1M là mở trong X, do tính liên tục tách của f. Cho 1 1 0 0( )α π α− ∈ và 1U là một lân cận mở của 0x trong X thỏa 11 0 1Xcl U U M Uα⊂ ∩ ∩ . Đặt { }1 0 0 0: ( , )L y V f x y W=∈ ∈ . Từ 1 0x U M∈ ⊂ suy ra 1b L∈ , và 1L là mở trong Y, do tính liên tục tách của f. Cho 1V là một lân cận mở của b trong Y thỏa 1 0 1 1Ycl V V L H⊂ ∩ ∩ . Theo giả thiết, tập ( )1 1 1f U V W× là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 1 1 1x U X∈ ∩ và 1 1 1y V Y∈ ∩ thỏa ( )1 1 1, f x y Z W∈ .
  • 41. 35 Bước n+1: Giả sử rằng chúng ta đã định nghĩa các tập mở nU và nV trong X và Y, tương ứng, một phần tử n nAα ∈ và các điểm n nx U∈ và n ny V∈ thỏa 0 ,nn nU M U b Vα⊂ ∩ ∈ , và ( ), n n Zf x y Z cl W∈ . Khi đó, chúng ta đặt ( ){ }1 : , n n n ZM x U f x y Z cl W+ =∈ ∈ . Rõ ràng, tập 1nM + là mở, và 1n nx M +∈ . Ta lấy 1 1 ( )n n nα π α− + ∈ , 1nU + là lân cận mở bất kì của nx trong X thỏa 11 1 nX n n ncl U M U Uα ++ +⊆ ∩ ∩ . Đặt ( ){ }1 0: ,n n nL y V f x y W+ =∈ ∈ . Rõ ràng, tập hợp này là mở và có chứa điểm b, vì 0n nx U M∈ ⊆ . Ta lấy 1nV + là lân cận mở bất kì của b trong Y thỏa 1 1 1Z n n n ncl V V H L+ + +⊆ ∩ ∩ . Lặp lại, theo giả thiết, tập ( )1 1 1n nf U V W+ +× là khác rỗng, và chúng ta có thể chọn các điểm 1 1 1n nx U X+ +∈ ∩ và 1 1 1n ny V Y+ +∈ ∩ thỏa ( )1 1 1, n nf x y Z W+ + ∈ . Bước n+1 đã hoàn tất. Cho { }:X nP cl U n ω=∩ ∈ và { }:Y nH cl V n ω=∩ ∈ . Bằng cách xây dựng, tồn tại một điểm hội tụ * x P∈ của dãy { }:nx n ω∈ trong X, và một điểm hội tụ * y H∈ của dãy { }:ny n ω∈ trong Y. Vì 1X n ncl U U+ ⊂ , nên điểm * x thuộc vào mỗi nU . Bây giờ, do * 1 1n nx U M+ +∈ ⊂ suy ra ( )* , n Zf x y Z cl W∈ với mỗi n ω∈ . Vì f là liên tục tách nên ta có ( )* * , f x y Z W∈ . Cố định n ω∈ . Khi đó, ( ){ }1 1 0: ,n n ny V y Y f x y W+ +∈ ⊂ ∈ ∈ . Do đó, ( ) 0,n mf x y W∈ với mỗi m > n. Do tính liên tục tách của f, ta có ( ) 0, *n Zf x y cl W∈ . Khi đó, cũng do tính liên tục tách của f, thì
  • 42. 36 ( ) 0*, * Zf x y cl W W∈ ⊂ , điều này dẫn tới mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.1.3. Hệ quả 3.1.3: Giả sử rằng X và Y là các không gian q-đầy đủ trù mật, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào không gian Z. Khi đó tồn tại một không gian con trù mật 1X của không gian X và một không gian con trù mật 1Y của không gian Y thỏa ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại mọi điểm của 1 1X Y× . Trong trường hợp đặc biệt, ánh xạ f là tựa liên tục. 3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: 3.2.1. Bổ đề 3.2.1: Cho U là một lân cận mở của phần tử trung hòa e trong một nhóm nửa tôpô G với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải :m G G G× → . Khi đó: - * Xe cl U∈ , với ( ) ( )( ){ }* 1 : .U x G x e Int m U− =∈ ∈ ; - Với mỗi điểm * a U∈ tồn tại một lân cận mở V của phần tử trung hòa thỏa 2 .aV U⊆ Chứng minh: Theo định nghĩa, {* :U W U U=∪ ⊆ mở trong G và .W V U⊆ với một vài lân cận V của phần tử trung hòa }e . Do đó, các phát biểu trên được suy ra từ tính tựa liên tục mạnh bên phải của phép nhân đã cho.
  • 43. 37 3.2.2. Bổ đề 3.2.2: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải, X là một không gian con trù mật của G, { }' :nH n ω∈ và { }" :nH n ω∈ là hai dãy các tập con mở của G, { }' :nH n ω∩ ∈ ≠ ∅ và { }" :nH n ω∩ ∈ ≠ ∅. Giả sử rằng mọi dãy ( ){ }' " . :n n nx X H H n ω∈ ∩ ∈ đều có một điểm hội tụ trong G. Khi đó G là một nhóm paratôpô. Chứng minh: Chúng ta có thể giả sử rằng ' " n n ne H H H∈ = = và 1G n ncl H H+ ⊆ với mỗi n ω∈ . Giả sử rằng phép nhân không là phải liên tục đồng thời. Khi đó tồn tại hai lân cận W và V của phần tử trung hòa thỏa Gcl V W⊆ và 2 GU cl W ≠ ∅ với mỗi lân cận U của phần tử trung hòa. Chúng ta đặt ( )( )1 H Int m V− = và ( ){ }* : . .V x G x e H=∈ ∈ Chúng ta định nghĩa bằng cách qui nạp hai dãy { }:nb X n ω∈ ∈ và { }:nc X n ω∈ ∈ của các điểm, và hai dãy { }:nV n ω∈ và { }:nW n ω∈ là các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:  * 1i ic V V X−∈ ∩ ∩ và . .i i ic W W V⊆ với mỗi n ω∈ ;  2 i i Gb W cl W∈ và . i i GV b G cl W⊆ với mỗi n ω∈ ;  1 1i i iW W H+ +⊆ ∩ và 1 1i i iV V W+ +⊆ ∩ với mỗi n ω∈ . Bước 0: Cố định * 0c X V∈ ∩ . Vì ( )0 ,c e H∈ , khi đó tồn tại một lân cận 0W của e thỏa 0 0W H⊆ và 2 0 0.c W V⊆ . Chọn một điểm
  • 44. 38 ( )2 0 0 Gb X W cl W∈ ∩ và một lân cận 0V của e thỏa 0 0V W⊆ và 0 0. GV b G cl W⊆ . Cuối cùng cố định một điểm 1 0c V X∈ ∩ . Bước n+1: Vì * 1n nc V V+ ∈ ∩ , khi đó tồn tại một lân cận 1nW + của e thỏa 1 1n n n nW H V W+ +⊆ ∩ ∩ và 2 1 1.n nc W V+ + ⊆ . Bây giờ, chọn một điểm ( )2 1 1 n n Gb X W cl W+ +∈ ∩ và một lân cận 1nV + của e thỏa 1 1n nV W+ +⊆ và 1 1. n n GV b G cl W+ + ⊆ . Cuối cùng, cố định một điểm 2 1n nc V X+ +∈ ∩ . Điều này hoàn thành phần chứng minh qui nạp. Cho b là một điểm hội tụ của dãy { }nb , và c là một điểm hội tụ của dãy { }nc . Giả sử rằng n k< . Khi đó 2 . . . .nk n n n n k n na c b c W W c W V= ∈ ⊆ ⊆ . Do đó, .n n Ga c b cl V= ∈ , và . Ga c b cl V W= ∈ ⊆ . Vì . . k n k n Gc b V b G cl W∈ ⊆ , ta có a G W∈ , dẫn tới mâu thuẫn. 3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 3.3.1. Định lí 3.3.1: Giả sử một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Khi đó G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Giả sử G không phải là nhóm tôpô. Khi đó, tồn tại một tập con mở U của G thỏa e U∈ và tập 1 U U− ∩ là không đâu trù mật trong G. Cho X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật trong G. Tồn tại một dãy { }{ }: :n nV A nαγ α ω= ∈ ∈ các họ của các tập con mở của không gian G và một dãy { }1: :n n nA A nπ ω+ → ∈ các ánh xạ thỏa:
  • 45. 39 (RC1) { }0:X V Aα α⊆ ∪ ∈ và ( ){ }1 : nV X V Vα β αβ π α− ∩ ⊆ ∪ ∈ ⊆ với mọi nAα ∈ và n ω∈ ; (RC2) Với mọi c-dãy { }:n nA nα α ω= ∈ ∈ , dãy { };n X V nα ω∩ ∈ là dãy dừng trong X. Cố định 0 0Aβ ∈ và một tập con mở khác rỗng W của G thỏa e W∈ và 0 .Gcl W W U Vβ⊆ ∩ . Đặt ( )1 GO W cl U U − = ∩ . Khi đó, ( )GO W cl X O⊆ ⊆ ∩ và 1 U O− ∩ =∅. Chúng ta sẽ định nghĩa một dãy { }:nU n ω∈ các các tập con mở của G, một dãy { }:nx X n ω∈ ∈ các điểm, và một c-dãy { }:n nA nα ω∈ ∈ thỏa:  n nx X U∈ ∩ với mọi n ω∈ ;  1n n nx U x O+ ∈ ∩ với mọi n ω∈ ;  11 nG n ncl U U V Oα ++ ⊆ ∩ ∩ với mọi n ω∈ ;  0 0α β= và ( )1n n nπ α α+ = với mọi n ω∈ . Cho 0 0α β= , 0U O= và 0x X O∈ ∩ . Giả sử rằng n ω∈ và ,n nUα và nx đã được xây dựng sẵn. Vì Ge W cl O∈ ⊆ , ta có ( )n G n G nx cl x O cl X x O∈ = ∩ . Do đó, n nU x O X∩ ∩ ≠ ∅ . Lấy 1n n nx X U x O+ ∈ ∩ ∩ . Vì ( ){ }1 1 :nn n nx X V Vα β β π α− + ∈ ∩ ⊆ ∪ ∈ , tồn tại ( )1 1n n nα π α− + ∈ và một tập con mở 1nU + của G thỏa 11 1 1 nn n G n n nx U cl U U V x Oα ++ + +∈ ⊆ ⊆ ∩ ∩ .
  • 46. 40 Đặt { }:G nF cl U n ω=∩ ∈ . Hiển nhiên, { } { }: :n nF U n Lim U nω ω=∩ ∈ = ∈ và F ≠ ∅. Tập hợp .V F W= là mở trong G, và F V⊆ . Cho GP cl V= và ( ) ( ) G GH cl X P cl G P= = . Bằng cách xây dựng, P và H là các tập con đóng chính qui của G (một tập đóng chính qui là bao đóng của một tập mở). Vì F V⊆ và H V∩ =∅ , ta có : F H∩ =∅. Ta khẳng định rằng G kH cl U∩ =∅ với một vài k ω∈ . Thật vậy, giả sử ngược lại, nU H∩ ≠ ∅ với mọi n ω∈ . Điều này dẫn tới ( )n nW U G P= ∩ ≠ ∅ và nnW Vα⊆ , với mọi n ω∈ . Vì dãy { }:n V nα ω∈ là dừng trong G, ta có { };nLim W n ωΦ= ∈ ≠ ∅. Do đó, F HΦ ⊆ ∩ và F H∩ ≠ ∅, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy, G kH cl U∩ =∅ với một vài k ω∈ . Do đó, n G nU cl U V P⊆ ⊆ ⊆ , với mọi n k≥ . Vậy, nx V∈ với mọi k n≥ . Tuy nhiên, 2 1 1n n nF U x O x W+ + +⊆ ⊆ ⊆ với mọi k n≥ . Nên, 1k G k Gx cl V x cl WW+∈ ⊆ . Để ý rằng 1n kx x O+ ∈ , ta có .k k Gx x O cl WW∈ . Suy ra . .Ge O cl WW OU∈ ⊆ . Do đó, 1 O U− ∩ ≠ ∅ . Dẫn tới mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh. 3.3.2. Định lí 3.3.2: Giả sử rằng một nhóm nửa tôpô G là q-đầy đủ trù mật. Khi đó G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Cố định một không gian con trù mật X của G và một A-sàng trù mật { }{ }1: , : :n n n n nu U A A A nαγ α π ω+= = ∈ → ∈ với tính chất (C2) trên
  • 47. 41 không gian G. Chúng ta có thể giả sử rằng e X∈ và tồn tại một c-dãy { }:n nα α ω= ∈ thỏa { }:n e U nα ω∈∩ ∈ . Theo mệnh đề 3.1.2, phép nhân :m G G G× → là tựa liên tục mạnh bên phải tại mọi điểm của G G× . Chúng ta sẽ định nghĩa bằng qui nạp một c-dãy { }:n nβ β ω= ∈ , một dãy của các điểm { }:nb X n ω∈ ∈ , một dãy { }:nH n ω∈ các tập mở, và một dãy { }:nV n ω∈ các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:  00 0 0 0.b b V H Uβ∈ ⊆ ⊆ và 0 00 0.H V U Uα β⊆ ∩ ;  .n n nb V H⊆ với mỗi n ω∈ ;  11 1 nn G n nV cl V V Uα ++ +⊆ ⊆ ∩ với mỗi n ω∈ ;  11 1 nn G n nH cl H H Uβ ++ +⊆ ⊆ ∩ với mỗi n ω∈ ;  11 1. nn n nH V U Hβ ++ + ⊆ ∩ với mỗi n ω∈ ; Bước 1: cho 0 0β α= . Vì phép nhân là tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),e e , tồn tại một lân cận 0W của e và một tập con mở khác rỗng 0H của 0 Uβ thỏa 00 0.H W Uα⊆ . Cố định một điểm 0 0b H∈ và một lân cận 0V của e thỏa 0 0Gcl V W⊆ và ( )0 0 0.Gcl b V H⊆ . Bước n+1: Cố định ( )1 1n nβ π β− + ∈ thỏa 1nnb Uβ + ∈ . Vì phép nhân là tựa liên tục mạnh bên phải tại ( ),nb e , tồn tại một lân cận 1nW + của e và một tập con mở khác rỗng 1nH + của 1n n nU b Vβ + ∩ thỏa ( ) 11 1. nG n n n ncl H W U b Vβ ++ + ⊆ ∩ . Cố định một điểm 1 1n nb H+ +∈ và một lân
  • 48. 42 cận mở 1nV + của e thỏa 1 1G n ncl V W+ +⊆ và ( )1 1 1.G n n ncl b V H+ + +⊆ . Điều này kết thúc việc qui nạp. Bằng cách xây dựng, ( ). nG n ncl H V Uβ⊆ và bất kì bất kì dãy ( ){ }. :n n nx X H V n ω∈ ∩ ∈ có một điểm hội tụ trong G. Bổ đề 4.2 chỉ ra rằng G là một nhóm paratôpô. Vì mọi không gian q-đầy đủ trù mật đều là không gian quạt-đầy đủ trù mật, và theo định lí 3.3.1, ta có G là một nhóm tôpô. 3.3.3. Định lí 3.3.3: Cho G là một nhóm nửa tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm. Nếu G là q-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Chứng minh: Theo định lí 3.3.2 thì G là một nhóm tôpô. Mọi nhóm tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm đều là paracompact. Theo quả 2.6 thì G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật X. Kí hiệu Gρ là sự bổ sung Raikov của nhóm tôpô G. Tồn tại một dãy { }:nU n ω∈ của các tập con mở trong Gρ thỏa { }:nX U n ω=∩ ∈ . Bằng cách xây dựng , nếu Y G Gρ⊆ là một không gian con trù mật trong Gρ , thì Y là của phạm trù thứ nhất. Giả sử rằng c G Gρ∈ . Khi đó, cX là không gian con Cech-đầy đủ trù mật của Gρ ,và cX X∩ =∅ , một điều mâu thuẫn. Do đó, G Gρ= , nghĩa là G là một nhóm Raikov đầy đủ. Suy ra G là Cech-đầy đủ. 3.3.4. Hệ quả 3.3.4: Với bất kì nhóm nửa tôpô G, các điều kiện sau là tương đương:
  • 49. 43 1. G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. 2. G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. 3. G là một không gian Tychonoff, và có chứa một mở rộng compact bG của G thỏa hiệu bG G là một tập của phạm trù thứ nhất trong bG . 4. G là một không gian Tychonoff, và với bất kì mở rộng compact bG của G, hiệu bG G là một tập của phạm trù thứ nhất trong bG . 5. G là một không gian q-đầy đủ trù mật của kiểu đếm được theo từng điểm. 6. G là một nhóm paratôpô của kiểu đếm được theo từng điểm, và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 7. G là một không gian µ -đầy đủ, và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3.3.5. Hệ quả 3.3.5: Giả sử rằng G là một nhóm paratôpô, và G là một không gian con trù mật của một không gian compact yếu ( hoặc giả compact) Z. Giả sử thêm rằng Z G là một tập của phạm trù thứ nhất trong Z. Khi đó, G là một nhóm tôpô. 3.3.6. Hệ quả 3.3.6: Cho H là một nhóm con Cech-đầy đủ của một nhóm tựa tôpô G. Khi đó H là đóng trong G. Chứng minh:
  • 50. 44 Cho GP cl H= . Ta có P là một nhóm con của G. Theo định lí 3.3.3 thì P là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Vì H là Raikov đầy đủ, ta có H P= . Suy ra H đóng trong P. 3.3.7. Định lí 3.3.7: Cho X là một không gian con trù mật chuẩn tắc của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là quạt-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô. Chứng minh: Theo hệ quả 2.12, các không gian X và G là q-đầy đủ trù mật. Theo định lí 3.3.2 thì G là một nhóm tôpô. 3.3.8. Ví dụ: Theo ví dụ 1.4.17 (trong [7], trang 30), tồn tại một nhóm paratôpô đếm được đầu tiên không rời rạc G và một nhóm con đếm được rời rạc H sao cho H không đóng trong G. Cố định một điểm Gb cl H H∈ . Kí hiệu B là nhóm con của G được sinh bởi { }H b∪ . Khi đó B là một nhóm paratôpô mêtric hóa đếm được, và H là một nhóm con rời rạc không đóng. Hiển nhiên, B không phải là một nhóm tôpô. 3.3.9. Chú ý: A.V.Korovin đã xây dựng một nhóm Boolean giả compact tựa tôpô giao hoán, nhưng không phải là một nhóm tôpô. Do đó, một nhóm tựa tôpô quạt- đầy đủ không nhất thiết phải là một nhóm paratôpô. Đặc biệt, Định lí 3.3.1 không đúng với các nhóm tựa tôpô.
  • 51. 45 3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire: Cho J ω ω= là không gian các số vô tỉ, với tôpô thông thường. Nếu ( )0 1, ,...t t t= và n ω∈ , thì 0 1... nt n t t t= . Một họ { }: ,t n E t J n ω∈ ∈ các tập con của không gian X được gọi là một dãy sắp xếp của các tập con của X. Một không gian con Y của một không gian X là một A-FU-tập con của X nếu tồn tại một dãy sắp xếp { }: ,t n E t J n ω∈ ∈ của X thỏa { }{ }: :t n Y E n t Jω=∪ ∩ ∈ ∈ và với mọi t J∈ và n ω∈ tồn tại một tập con đóng F X⊆ và một tập con mở U của X thỏa t n E F U= ∩ . Một không gian Y là Cech-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian Cech-đầy đủ. Một không gian Y là q-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian q-đầy đủ. Một không gian Y là yếu-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian quạt-đầy đủ. 3.4.1. Định lí 3.4.1: Cho Y là một A-FU-tập con trù mật của một không gian X, và cho Y có tính chất Baire. Khi đó tồn tại một Gδ -tập con trù mật Z của X thỏa Z Y⊆ . Chứng minh: Cho { }{ }: :t n Y E n t Jω=∪ ∩ ∈ ∈ và t n t n t n E F U= ∩ , với t n U là mở trong X, t n F là đóng trong X, và Xt n t n F cl U⊆ . Khi đó
  • 52. 46 { }1 : ,X t n t n X X cl U U t J n ω= ∩ ∈ ∈ là một Gδ -tập con của X, và 1 1Y Y X= ∩ là trù mật trong X. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng các tập 1X X= và t n E là đóng trong X. Chúng ta đặt { }{ }0 1... 0 1: : , ...mt t t mt n Y E n t J t m t t tω=∪ ∩ ∈ ∈ = . Chúng ta có thể giả sử rằng Xt n t n F cl Y= . Ta có { }0 1 0 1... ... :m mt t t t t t nY Y n ω=∪ ∈ . Ta sẽ xây dựng các tập con mở t n V của X như sau: 1. Đặt { } :n n mV IntE E m n= ∪ < với mỗi n ω∈ . Tập { }0 :nW V n ω=∪ ∈ là mở và trù mật trong X. 2. Giả sử rằng 0n ≥ và các tập { }:t n V t J∈ đã được định nghĩa trước. Cố định 0 1, ,..., nt t t ω∈ . Ta đặt { }( )0 1 0 1 0 1 0 1... ... ... ... :n n n nt t t m t t t t t t m t t t kV V IntE E k m= ∩ ∪ < với mỗi m ω∈ . Họ { }: ,t n V n t Jω∈ ∈ được xây dựng. Họ { }:t n V t J∈ là rời rạc, và tập { }:n t n W V t J=∪ ∈ là mở và trù mật trong X, với mỗi n ω∈ . Bằng cách xây dựng, { }:nZ W n ω=∩ ∈ là mở và trù mật trong X, và Z Y⊆ . 3.4.2. Hệ quả 3.4.2: Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ -không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
  • 53. 47 3.4.3. Hệ quả 3.4.3: Mọi không gian q-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ -không gian con q-đầy đủ trù mật. 3.4.4. Hệ quả 3.4.4: Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ -không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3.4.5. Hệ quả 3.4.5: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một không gian con Cech-giải tích trù mật với tính chất Baire. Khi đó G là một nhóm tôpô Cech- đầy đủ. 3.4.6. Hệ quả 3.4.6: Cho X là một không gian con trù mật với tính chất Baire của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là một A-FU-tập con của không gian q-đầy đủ trù mật nào đó, thì G là một nhóm tôpô. 3.4.7. Hệ quả 3.4.7: Cho G là một nhóm paratôpô. Nếu G có chứa một không gian con yếu-giải tích trù mật với tính chất Baire, thì G là một nhóm tôpô. 3.4.8. Hệ quả 3.4.8: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một không gian con yếu-giải tích trù mật Y với tính chất Baire. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: 1. Không gian G là paracompact. 2. Không gian G là µ -đầy đủ. 3. Không gian G là Cech-đầy đủ. 4. G là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm.
  • 54. 48 3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa tôpô: Chúng ta ứng dụng một số kết quả đã thu được trong phần trên để nghiên cứu cấu trúc của các nhóm nửa tôpô G mà hiệu X bG G= ( với bG là compact hóa của G) có lưới đếm được. Sau đây là các kết quả chính: 3.5.1. Định lí 3.5.1: Nếu một nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có một compact hóa bG thỏa hiệu X bG G= có một lưới đếm được, thì G có π -cơ sở đếm được và là đếm được thứ nhất, và hiệu X có một không gian con mêtric hóa được và tách được trù mật. Để chứng minh định lí này, chúng ta cần bổ đề tổng quát trên cấu trúc của các không gian chính qui với một lưới đếm được. 3.5.2. Bổ đề 3.5.2: Giả sử rằng X là một không gian chính qui với một lưới đếm được S . Khi đó, X Y Z= ∪ , với Y là một không gian mêtric hóa được và tách được, và Z có một lưới đếm được P sao cho mọi phần tử của P là không đâu trù mật trong X. Chứng minh: Vì X là chính qui, ta có thể giả sử rằng mỗi phần tử của S là đóng trong X. Với mỗi M ∈ S đặt ( )MP M Int M= , với ( )Int M là phần trong của M trong X. Đặt { }:MP M ∈= SP . Rõ ràng, mỗi phần tử của họP là đóng và không đâu trù mật trong X. Cho Z là tập tất cả các điểm của X mà tại đó họ đếm được P là một lưới, và đặt Y X Z= . Đặt ( ){ }:Int M M= ∈ SB .
  • 55. 49 Khẳng định: Họ B là một cở sở của X tại mỗi điểm của Y. Thật vậy, lấy bất kì y Y∈ , và lấy ( )O y là một lân cận mở tùy ý của y trong X. Do đó, chúng ta có thể cố định một lân cận mở V của y trong X thỏa không phần tử nào của họ P chứa y và được chứa trong V. Rõ ràng, chúng ta có thể giả sử rằng ( )V O y⊂ . Do S là một lưới của X, tồn tại M ∈ S sao cho y M V∈ ⊂ . Khi đó, MP ∈P và MP V⊂ . Bây giờ từ việc chọn V mà My P∉ . Vì y M∈ , việc định nghĩa MP chỉ ra rằng ( )y Int M∈ . Chúng ta cũng có ( )Int M ∈B, và ( ) ( )Int M V O y⊂ ⊂ . Vậy khẳng định trên đã được chứng minh. Do đó, Y là một không gian chính qui với một cơ sở đếm được, nghĩa là, Y là mêtric hóa được và tách được. Chúng ta sẽ tiếp tục chứng minh Định lí 3.5.1: Theo bổ đề 3.5.2, X Y Z= ∪ , với Y là một không gian mêtric hóa được tách được, và Z có một lưới đếm được P thỏa mọi phần tử của P là không đâu trù mật trong X. Quan sát thấy rằng X là trù mật tốt trong bG, vì không gian G là không đâu compact địa phương. Trường hợp 1: Y là trù mật trong X. Khi đó, Y là trù mật trong bG, vì X là trù mật trong bG. Do Y có một cơ sở đếm được, suy ra bG có một π -cơ sở đếm được. Do đó, G có một π -cơ sở đếm được, vì G là trù mật trong bG.
  • 56. 50 Trường hợp 2: Y không trù mật trong X. Kí hiệu U là phần bù trong bG của bao đóng của Y trong bG. Khi đó, U là một không gian con mở khác rỗng của bG. Với một P∈P tùy ý, kí hiệu PF là bao đóng của P trong bG. Do P là không đâu trù mật trong X, suy ra PF là không đâu trù mật trong bG. Do đó, tập P PW U F= là một không gian con mở trù mật của U. Vì U là tự mở trong bG, và bG là compact, suy ra không gian con { }:PH W P=∩ ∈P của U là một không gian Cech-đầy đủ trù mật trong U. Bây giờ điều đó được suy ra từ một chứng minh chuẩn rằng G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật. Do đó, G tự là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Nếu một nhóm tôpô G có một compact hóa thỏa hiệu có một lưới đếm được, thì G là một không gian mêtric hóa được tách được. Trong trường hợp này hiệu X là một Lindeloff p-không gian với một Gδ -chéo, và do đó, X là tách được và mêtric hóa được. Quan sát thấy rằng, G là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm, vì hiệu X là Lindeloff. Mặt khác, mọi nhóm nửa tôpô Tychonoff với một π -cơ sở đếm được có một Gδ -chéo. Do đó, G là đếm được thứ nhất. 3.5.3. Định lí 3.5.3: Nếu một nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có một hiệu mêtric hóa được tách được, thì G cũng là tách được và mêtric hóa được. Chứng minh: Từ định lí 3.5.1 suy ra rằng G có một π -cơ sở đếm được, nên G có một Gδ -chéo. Chúng ta cũng thấy rằng G là một p-không gian Lindeloff,
  • 57. 51 vì G là một hiệu của một không gian mêtric hóa được tách được. Nhớ lại rằng, mọi p-không gian Lindelof với một Gδ -chéo là tách được và mêtric hóa được. 3.5.4. Ví dụ: Cho A là tập con của tâp các số hữu tỉ  như là một không gian con của đường thẳng Sorgenfrey S. Khi đó: - A là một nhóm paratôpô mêtric hóa được; - A không phải là một nhóm tôpô; - A có một compact hóa mêtric hóa được. Nhóm paratôpô B trong ví dụ 3.3.8 có cùng các tính chất trên. Các không gian A, B, và  là đồng phôi, nhưng chúng không phải là đẳng cấu tôpô như các nhóm paratôpô. 3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm: Một điểm x X∈ được gọi là một điểm có tính giả compact của X nếu tồn tại một dãy dừng { }:nU n ω∈ của các tập con mở của X thỏa { }:nx U n ω∈ ∈ . Một không gian X được nói là giả compact từng điểm nếu mỗi điểm của X là một điểm có tính giả compact. Rõ ràng, mọi không gian quạt-đầy đủ là giả compact từng điểm. Hơn nữa, mọi q-không gian là giả compact từng điểm. Chúng ta nhắc lại Gδ -bao đóng Xcl Yω của một tập Y X⊆ trong một không gian là tập tất cả các điểm x X∈ thỏa mọi Gδ -tập H chứa x đều giao với Y. Tập { : ,X Xcl H cl A A H Aµ =∪ ⊆ là một tập con bị chặn của }X được gọi là µ -bao đóng của H trong X.
  • 58. 52 Không gian con * XX cl Xβµ µ= của compact hóa Stone-Cech Xβ của một không gian Tychonoff X được gọi là µ -bổ sung của X. Hiển nhiên, * Xµ là một không gian con của sự bổ sung Dieudonné Xµ của X. Cho Gρ là sự bổ sung Raikov của một nhóm tôpô G và Gωρ là Gδ -bao đóng của G trong Gρ . Rõ ràng, Gωρ là một nhóm con của Gρ . 3.6.1. Bổ đề 3.6.1: Cho P là một tập con đóng bị chặn của một nhóm tôpô G. Khi đó G Gcl P cl Pρ ρω = . Chứng minh: Cho G Gx cl P cl Pρ ρω∈ . Khi đó, tồn tại một dãy { }:nU n ω∈ của các tập con mở của Gρ thỏa { } { }: , :n nx U n P U nω ω∈ ∈ ∩ ∈ =∅  và 1G n ncl U Uρ + ⊆ với bất kì n ω∈ . Khi đó, { }:n nV G U n ω=∩ ∈ là một họ hữu hạn địa phương mở của các tập con của G và nP V∩ ≠ ∅ với bất kì n ω∈ . Một không gian X được gọi là một p-không gian paracompact nếu nó nhận một ánh xạ đầy đủ vào một không gian mêtric hóa được. Một nhóm feathered là một nhóm tôpô mà không gian cơ sở của nó là một p-không gian paracompact. Một nhóm tôpô là một nhóm feathered khi và chỉ khi nó là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm. 3.6.2. Định lí 3.6.2: Với bất kì nhóm tôpô G các điều kiện sau đây là tương đương: 1. G là một không gian quạt-đầy đủ. 2. G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
  • 59. 53 3. Gρω là một không gian paracompact Cech-đầy đủ. 4. G là Gδ -trù mật trong Gρ và Gρ là một không gian paracompact Cech-đầy đủ. 5. G là một Gδ -tập con của không gian giả compact ( )* Z G G Gβ µ= ∪ Chứng minh: Ta thấy 1 2,5 1,3 4 3→ → → → là hiển nhiên. Cho G là một nhóm tôpô giả compact theo từng điểm. Tồn tại một dãy dừng { }:nU n ω∈ của các tập con mở của G và một dãy [ ]{ }: 0,1 :nf G n ω→ ∈ các hàm liên tục thỏa 1 2 1 1 1n n G n ne U U cl U U− + + +∈ = ⊆ ⊆ , ( )1 1 0nU f − + ⊆ và ( )1 1nG U f − ⊆ , với bất kì n ω∈ . Khi đó { }:nH U n ω=∩ ∈ là một nhóm con đóng bị chặn của G. Bao đóng Φ của H trong Gρ là một nhóm con compact và ánh xạ chiếu : G Xϕ ρ → , với /X Gρ= Φ là một ánh xạ liên tục mở và đầy đủ vào một không gian mêtric hóa được X. Cố định một mêtric đầy đủ d trên không gian X. Ta có: ( )( )* 1 G G G Gωρ µ µ ϕ ρ− = = = . Suy ra Gωρ là một nhóm con của nhóm Gρ . Giả sử rằng G là Gδ -trù mật trong Gρ . Khi đó, * G G G Gωρ ρ µ µ= = = và G Gρ β⊆ . Cho ( )Z G G Gβ ρ= ∪ là một không gian con của Gβ . Bằng cách xây dựng, G là một Gδ -tập con của Z và Z G Zβ β β= = . Với mọi không gian Tychonoff X, không gian
  • 60. 54 ( )* X X X Xβ µ β∪ ⊆ là giả compact. Từ đó, Z là một không gian giả compact. Mệnh đề 2.3 chỉ ra rằng G là quạt-đầy đủ. Như vậy, 4 1→ và 4 5→ đã được chứng minh. Giả sử rằng Y là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của G. Theo định lí 2.5 và hệ quả 2.6, tồn tại một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật của Gωρ . Theo định lí 3.3.3, nhóm tôpô Gωρ là Cech-đầy đủ. Do đó, G Gωρ ρ= . Như vậy, 2 4→ được chứng minh. Vậy, định lí đã được chứng minh. Giả sử rằng một nhóm tôpô G là một q-không gian. Khi đó, trong phần chứng minh của định lí 3.6.2 chúng ta có thể giả sử rằng H là một tập con compact đếm được và { }:nU n ω∈ là một cơ sở của các lân cận của tập H trong G. Trong trường hợp này ánh xạ ( ):G G Y Gψ ϕ ϕ= →= là tựa đầy đủ, và G là một M-không gian đầy đủ. Hơn nữa, ánh xạ :Z Z Xβψ β→ là tựa đầy đủ, và Z là compact đếm được. Do đó, chúng ta đã chứng minh được định lí sau: 3.6.3. Định lí 3.6.3: Với bất kì nhóm tôpô G, các điều kiện sau đây là tương đương: 1. G là một M-không gian đầy đủ. 2. G là một q-không gian, và G có một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3. G là một q-không gian, và Gωρ là một không gian paracompact Cech-đầy đủ.
  • 61. 55 4. G là một q-không gian, G là Gδ -trù mật trong Gρ , và không gian Gρ là Cech-đầy đủ và paracompact. 5. G là một Gδ -tập con của không gian compact đếm được ( )* Z G G Gβ µ= ∪ . Cho X là một không gian chuẩn tắc. Nếu { }:nU n ω∈ là một dãy dừng của các tập con mở, thì mỗi dãy { }:n nx U n ω∈ ∈ có một chùm điểm { }:nU n ω∈ trong X. Đặc biệt, mỗi điểm giả compact là một q-điểm. Do đó, định lí 3.6.2 và hệ quả 2.12 cho ta kết quả sau: 3.6.4. Hệ quả 3.6.4: Giả sử rằng G là một nhóm nửa tôpô, và không gian G là chuẩn tắc và có một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Khi đó: 1. G là một M-không gian đầy đủ. 2. G là một nhóm tôpô. 3. G là một Gδ -tập con của không gian compact đếm được ( )* Z G G Gβ µ= ∪ . Ví dụ sau chỉ ra rằng một nhóm tôpô mêtric hóa được với tính chất Baire thì cần không phải là Cech-đầy đủ. 3.6.5. Ví dụ: Cho  là trường các số thực và  là trường con của các số hữu tỉ. Khi đó, tồn tại một nhóm con cộng G của thỏa: 1. G và S G=  là các không gian con trù mật với tính chất Baire. 2. Trong G và S mọi tập con compact là đếm được. 3. .G G= .
  • 62. 56 Một không gian con M của  là -môđun nếu M là một nhóm con cộng của  và .M M= . Nếu L ⊆ , thì chúng ta kí hiệu ( )m L là  - môđun đại số sinh bởi tập L. Cho { }: 2F c ω α α < = là họ tất cả các tập con đóng không đếm được của . Giả sử rằng [ ]0 1,2F = . Dùng phép đệ qui siêu hạng, chúng ta xây dựng các dãy { }:x cα α < và { }:y cα α < theo cách sau: Cố định 0 2x = và 0 0 y F∈ . Giả sử rằng 0 cα< < , và { }, :L x yα β β β α= < đã được định nghĩa sẵn. Vì ( )m L cα < , chúng ta có thể cố định ( )x F m Lα α α∈ . Cho { }M L xα α α= ∪ , và cố định ( )y F m Mα α α∈ . Bây giờ chúng ta đặt { } { }: , :X x c Y y cα αα α= < = < , và { }( ):G m xα β β α= ≤ , với mỗi cα < . Khi đó { }:G G cα α=∪ < là -môđun sinh bởi tập X. Chúng ta khẳng định rằng G Y∩ =∅. Do đó, G là -môđun ta muốn. 3.6.6. Chú ý: Tồn tại một không gian tuyến tính mêtric hóa được đầy đủ tách được L và một không gian con tuyến tính trù mật B của L thỏa: B và Y L B= là các không gian con trù mật của không gian L; B và Y không là các không gian mêtric hóa được đầy đủ. Thật vậy, lấy ξ βω ω∈ và { }X ξ ω= ∪ . Chúng ta đặt X L =  và ( )PB C X L= ⊆ . D.J.Lutzer và R.A.McCoy đã chứng minh rằng không gian B không phải là mêtric hóa được đầy đủ và có tính chất Baire. Vì không gian B không phải là Cech-đầy đủ, không gian con Y có tính chất Baire.
  • 63. 57 KẾT LUẬN Như vậy, luận văn đã giới thiệu một lớp rất rộng các kiểu không gian đầy đủ : µ -đầy đủ, sàng-đầy đủ trù mật, sàng-đầy đủ, q-đầy đủ trù mật, q-đầy đủ, quạt-đầy đủ trù mật, quạt-đầy đủ, cùng với các tính chất đặc trưng của chúng. Luận văn cũng đã đề cập được một số ứng dụng của các tính chất của các kiểu không gian đầy đủ đó trên các không gian khác. Chẳng hạn: 1. Nhóm tôpô với các tính chất đầy đủ: - Nếu một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô. - Nếu một nhóm nửa tôpô G là q-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô. - Cho X là một không gian con trù mật chuẩn tắc của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là quạt-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô. 2. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ với các tính chất đầy đủ: - Mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy đủ. - Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian Cech-đầy đủ. - Nếu một không gian µ -đầy đủ X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù mật. - Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
  • 64. 58 - Cho G là một nhóm nửa tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm. Nếu G là q-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. - G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một không gian q-đầy đủ trù mật của kiểu đếm được theo từng điểm. - G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một nhóm paratôpô của kiểu đếm được theo từng điểm và G có chứa một không gian con quạt đầy đủ trù mật. - G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một không gian µ -đầy đủ và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. 3. Các không gian giải tích với các tính chất đầy đủ: - Một không gian Y là q-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài không gian q-đầy đủ. - Một không gian Y là yếu-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của không gian quạt-đầy đủ nào đó. - Cho X là một không gian con trù mật với tính chất Baire của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là một A-FU-tập con của không gian q-đầy đủ trù mật nào đó, thì G là một nhóm tôpô. - Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ - không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Bên cạnh đó, luận văn cũng đưa ra một số kết quả quan trọng nhằm giúp cho việc chứng minh một số kết quả của A. Bouziad, P. Kenderov, I. S. Kortezov, và W. B. Moors như:
  • 65. 59 - Mọi Gδ -không gian con của một không gian giả compact là không gian quạt-đầy đủ. - Nếu một nhóm nửa tôpô có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật thì nó là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. - Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ - không gian con Cech-đầy đủ trù mật. - Cho G là một nhóm nửa tôpô có chứa một không gian con Cech-giải tích trù mật với tính chất Baire. Khi đó, G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. - Cho G là một nhóm paratôpô. Nếu G có chứa một không gian con yếu- giải tích trù mật với tính chất Baire, thì G là một nhóm tôpô... Luận văn đã đưa ra được phần lớn các mối liên quan giữa các tính chất của các kiểu đầy đủ trên với một số không gian khác nhau. Với các kết quả đã đạt được, ta có thể tiếp tục mở rộng thêm nhiều mối quan hệ khác nữa giữa các tính chất của các kiểu đầy đủ trên với các không gian khác.
  • 66. 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. V. Arhangel'skii, A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces, Matem. Sb. 67 (1965), 55-88 (English translation: Amer. Math. Soc. Transl. 92 (1970), 1-39). [2] A. V. Arhangel'skii, On ˇ Cech-complete topological spaces, Vestnik Moskov.Universiteta 2 (1961), 37-40. [3] A. V. Arhangel'skii, Bicompact sets and the topology of spaces, Trudy Mosk.Matem. Ob-va 13 (1965) 3-55 (English translation: Trans. Mosk. Math. Soc. 13 (1965), 1-62). [4] A. V. Arhangel'skii, Topological invariants in algebraic environment, In: Recent Progress in General Topology II, M. Hu_sek and J. van Mill, eds, North Holland, Amsterdam, 2002, pp. 1-57. [5] A. V. Arhangel'skii, Remainders in compactifications and generalized metrizability properties, Topology and Appl. 150 (2005), 79-90. [6] A. V. Arhangel'skii, The Baire property in remainders of topological groups and other results, Comment. Math. Univ. Carolinae. 50:2 (2009), 273-279. [7] A. V. Arhangelskii and M. G. Tkachenko, Topological groups and related structures, Atlantis Press. Amsterdam-Paris, 2008. [8] A. V. Arhangelskii and E. A. Reznichenko, Paratopological and semitopological groups versus topological groups, Topology and its Appl. 151 (2005),107-119. [9] A. Bouziad, The Ellis theorem and continuity in groups, Topology and its Appl. 50 (1993), 73-80.
  • 67. 61 [10] A. Bouziad, Every ˇ Cech-analytic Baire semitopological group is a topological group, Proceed. Amer. Math. Soc. 124:3 (1996), 953-959. [11] N. Brand, Another note on the continuity of the inverse, Arch. Math. 39 (1982), 241-245. [12] L. G. Brown, Topological complete groups, Proc. Amer. Math. Soc. 35 (1972), 593-600. [13] J. Chaber, M. M.Coban and K. Nagami, On monotonic generalizations of Moore spaces, ˇ Cech complete spaces and p-spaces, Fund. Math. 84 (1974), 107-119. [14] M. Choban, The open mappings and spaces, Suplimente ai Rendicanti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, numero 29 (1992), 51-104. [15] M. Coban and P. Kenderov, Dense Gateaux differentiability of the supnorm in C(T) and topological properties of T. Comptes Rendue Acad. Bulgare Sci. 38, no. 12 (1985), 1603-1604. [16] R. Ellis, A note on the continuity of the inverse, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 119-125. [17] R. Engelking, General Topology, PWN. Warszawa, 1977. [18] Z. Frolik, ˇ Cech analytic spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae. 28 (1984), 367-368. [19] R. V. Fuller, Relations among continuous and various non continuous functions,Pacific J. Math. 25 (1968), 495-509. [20] G. Hansel and J. P. Troallic, Quasicontinuity and Namioka’s Theorem, Topol. Appl. 46 (1992), 135-149. [21] M. Henriksen and J. R. Isbel, Some properties of compactifications, Duke Math. Jour. 25 (1958), 83-106. [22] S. Kempisty, Sur les fonctions quasicontinues, Fund. Math. 19 (1932), 184-197.