Ley de composición interna algebra ii

ÁLGEBRA
ESTUDIANTE: ACHARTE PRADO WILBER
CICLO: QUINTO
MATEMÁTICA COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA

AL
2021- BICENTENARIO -PERU
SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
2021-UNH

AL
PRÁCTICA CALIFICADA N° 01 LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
1. Estudiar sus propiedades de la ley de composición interna, mediante las siguientes
operaciones en ⋇:
a. a⋇b = ab + 1; ∀a,b ∈ℤ
SOLUCION:
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION:
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(ab + 1)*c=a*( bc + 1)………por definición
(ab + 1).c+1=a.(bc+1) +1……por definición
abc + c + 1 ≠ abc + a + 1…por distributiva multiplicativa con respecto a la adición
• * NO ES ASOCIATIVO EN Z
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝐷𝐸𝑀𝑂𝑆𝑇𝑅𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎𝑏 + 1 = 𝑏𝑎 +1 …………por definición
* ES CONMUTATIVO EN Z
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍∃! 𝑒 ∈ 𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝐷𝐸𝑀𝑂𝑆𝑇𝑅𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁:
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
Por definición
ae+1=a ea+1=ae+1 ea+1=a
ae=a-1 0=0 e=a-1/a
e=
𝑎−1
𝑎
*NO TIENE UN ELEMENTO NEUTRO EN Z

AL
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑍∃! 𝑎′
∈ 𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
b. a⋇b = a + b – 1; ∀a,b ∈ℤ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 − 1) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 − 1) … … … … 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
(𝑎 + 𝑏 − 1) + 𝑐 − 1 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 1) − 1 … … … … … … … . 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2
* ES ASCIATIVO EN Z
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑏 − 1 = 𝑏 + 𝑎 − 1 ……………por definición
∗ 𝐸𝑆 𝐶𝑂𝑁𝑀𝑈𝑇𝐴𝑇𝐼𝑉𝑂 𝐸𝑁 𝑍
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍∃! 𝑒 ∈ 𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑒 − 1 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 − 1 = 𝑎 𝑎 + 𝑒 − 1 = 𝑒 + 𝑎 − 1
𝑒 = 1 𝑒 = 1 =
𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑁𝐷𝑂 𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑁𝐷𝑂 𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑁𝐷𝑂
𝑎 + 1 − 1 = 𝑎 1 + 𝑎 − 1 = 𝑎 𝑎 + 1 − 1 = 1 + 𝑎 − 1
𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎
* TIENE UN ELEMENTO NEUTRO EN Z

AL
ELEMENTO SIMETRICO
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
𝑎 + 𝑎′
− 1 = 1 𝑎′
+ 𝑎 − 1 = 1 𝑎 + 𝑎′
− 1 = 𝑎′
+ 𝑎 − 1
𝑎´ = 2 − 𝑎 𝑎′
= 2 − 𝑎
Reemplazando 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑎 + (2 − 𝑎) − 1 = 1 2 − 𝑎 + 𝑎 − 1 = 1 𝑎 + 2 − 𝑎 − 1 = 2 − 𝑎 + 𝑎 − 1
1 = 1 1 = 1 1 = 1
• * TIENE UN SIMETRICO EN Z
c. a⋇b = (ab) / 2; ∀a,b ∈ℚ+
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑄+
/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
𝑎𝑏
2
∗ 𝑐 = 𝑎 ∗
𝑏𝑐
2
…………..por definición.
𝑎𝑏
2
.𝑐
2
=
𝑏𝑐
2
.𝑎
2
……………….por definición.
𝑎𝑏𝑐
4
=
𝑏𝑐𝑎
4
ES ASOCIATIVO EN 𝑄+
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍∃! 𝑒 ∈ 𝑄+
/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎𝑒
2
= 𝑎
𝑒𝑎
2
=
𝑎𝑒
2
𝑒𝑎
2
= 𝑎
𝑒 =
2𝑎
𝑎
𝑒 =
2𝑎
𝑎
𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑁𝐷𝑂 𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑁𝐷𝑂 𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝑂𝑆
𝑎(
2𝑎
𝑎
)
2
= 𝑎
(
2𝑎
𝑎
)𝑎
2
=
𝑎(
2𝑎
𝑎
)
2
(
2𝑎
𝑎
𝑎
2
= 𝑎
2𝑎
2
= 𝑎
2𝑎
2
=
2𝑎
2
2𝑎
2
= 𝑎
𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎
* TIENE NEUTRO EN 𝑄+
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑄+
/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎𝑏
2
=
𝑏𝑎
2
* ES CONMUTATIVO EN 𝑄+

AL
ELEMENTO SIMETRICO
DEMOSTRACION
∀𝑎𝜖𝑄+
∃! 𝑎′
∈ 𝑄+
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
𝑎𝑎′
2
=
2𝑎
𝑎
𝑎′𝑎
2
=
2𝑎
𝑎
𝑎.𝑎′
2
=
𝑎′.𝑎
2
𝑎𝑎′
=
2𝑎
𝑎
. 2 𝑎′
𝑎 =
2𝑎
𝑎
. 2 𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝑂𝑆
𝑎′ =
2𝑎
𝑎
.2
𝑎
𝑎′
=
2𝑎
𝑎
𝑎
.2
𝑎.(
4
𝑎
)
2
=
(
4
𝑎
).𝑎
2
𝑎′
=
4𝑎
𝑎
𝑎
=
4
𝑎
𝑎′
=
4
𝑎
4
2
=
4
2
𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝑂𝑆 𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝑂𝑆 2 = 2
𝑎(
4
𝑎
)
2
=
2𝑎
𝑎
=
4
2
= 2
(
4
𝑎
)𝑎
2
=
2𝑎
𝑎
=
4
2
= 2
2 = 2 2 = 2
* ES SIMETRICO EN 𝑄+
d. a⋇b = (ab) / (a+b); ∀a,b ∈ℝ+
ASOCIATIVA
DEMOSTRACION
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑅+
/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎𝑏)
𝑎+𝑏
∗ 𝐶 = 𝑎 ∗
(𝑏𝑐)
𝑏+𝑐
…………………… por definición
(𝑎𝑏)
𝑎+𝑏
.𝐶
(𝑎𝑏)
𝑎+𝑏
+𝐶
=
𝑎.
(𝑏𝑐)
𝑏+𝑐
𝑎+
(𝑏𝑐)
𝑏+𝑐
…………………………… por definición
𝑎𝑏𝑐
𝑎+𝑏
(𝑎𝑏)+(𝑎+𝑏)𝑐
𝑎+𝑏
=
𝑎𝑏𝑐
𝑏+𝑐
𝑎(𝑏+𝑐)+(𝑏𝑐)
𝑏+𝑐
𝑎𝑏𝑐
𝑎+𝑏
(𝑎𝑏)+(𝑎𝑐+𝑏𝑐)
𝑎+𝑏
=
𝑎𝑏𝑐
𝑏+𝑐
(𝑎𝑏+𝑎𝑐)+(𝑏𝑐)
𝑏+𝑐
𝑎2𝑏𝑐+𝑎𝑏2𝑐
𝑎2𝑏+𝑎2𝑐+2(𝑎𝑏𝑐)+𝑎𝑏2+𝑏2𝑐
≠
𝑎2𝑏𝑐+𝑎𝑏2𝑐
𝑎𝑏2+2(𝑎𝑏𝑐)+𝑏2𝑐+𝑎𝑐2+𝑏𝑐2
* NO ES ASOCIATIVO EN 𝑅+

AL
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅+
/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
(𝑎𝑏)
𝑎+𝑏
=
(𝑏𝑎)
𝑏+𝑎
* ES CONMUTATIVO EN 𝑅+
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑅+
∃! 𝑒 ∈ 𝑅+
/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
(𝑎𝑒)
𝑎+𝑒
= 𝑎
(𝑒𝑎)
𝑒+𝑎
=
(𝑎𝑒)
𝑎+𝑒
(𝑒𝑎)
𝑒+𝑎
= 𝑎
𝑎𝑒 = 𝑎(𝑎 + 𝑒) 𝑒𝑎 = 𝑎(𝑒 + 𝑎)
𝑎𝑒 = 𝑎2
+ 𝑎𝑒 𝑒𝑎 = 𝑎𝑒 + 𝑎2
𝑒 =
𝑎2+𝑎𝑒
𝑎
𝑒 =
𝑎𝑒+𝑎2
𝑎
𝑒 = 𝑎 + 𝑒 𝑒 = 𝑒 + 𝑎
0 = 𝑎…no es cierto 0 = 𝑎 … 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜
* NO TIENE ELEMENTO NEUTRO EN 𝑅+
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑅+
∃! 𝑎′
∈ 𝑅+
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
• * TAMPOCO TIENE SIMETRIA EN 𝑅+
e. a ⋇ b = a + ba2; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑅 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏𝑎2) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑎 + 𝑏𝑎2) ………………………por definición.
(𝑎 + 𝑏𝑎2) + (𝑐(𝑎 + 𝑏𝑎2)2
) = 𝑎 + ((𝑎 + 𝑏𝑎2)𝑎2
) ………por definición
(𝑎 + 𝑏𝑎2) + (𝑐(𝑎2
+ 2(𝑎)(𝑏𝑎2) + ( 𝑏𝑎2
)2
) ≠ 𝑎 + 𝑎3
+ 𝑏𝑎4
∗ 𝑁𝑂 𝐸𝑆 𝐴𝑆𝑂𝐶𝐼𝐴𝑇𝐼𝑉𝑂 𝐸𝑁 𝑅

AL
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
(𝑎 + 𝑏𝑎2) ≠ (𝑏 + 𝑎𝑏2) ………
• * NO ES CONMUTATIVO EN R
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑅∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
(𝑎 + 𝑒𝑎2) = 𝑎
𝑒 2
= 𝑎 − 𝑎
𝑒𝑎2
= 0 …
∗ 𝑁𝑂 𝐸𝑆 𝑁𝐸𝑈𝑇𝑅𝑂 𝐸𝑁 𝑅
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑅∃! 𝑎′
∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
• TAMPOCO ES SIMETRICO EN R
f. a⋇b = a + b – 3; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑅 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 − 3) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 − 3) … … … … ………por definición
(𝑎 + 𝑏 − 3) + 𝑐 − 3 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 3) − 3 ……….por definición
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 6 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 6
✓ ES ASOCIATIVO EN R.
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
(𝑎 + 𝑏 − 3) = (𝑏 + 𝑎 − 3)
✓ ES CONMUTATIVO EN R

AL
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑅∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑒 − 3 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 − 3 = 𝑎 𝑎 + 𝑒 − 3 = 𝑒 + 𝑎 − 3
𝑒 = 3 𝑒 = 3
Reemplazando Reemplazando Reemplazando
𝑎 + 3 − 3 = 𝑎 3 + 𝑎 − 3 = 𝑎 𝑎 + 3 − 3 = 3 + 𝑎 − 3
𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎
ELEMENTO SIMETRICO
∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
𝑎 + 𝑎′
− 3 = 3 𝑎′ + 𝑎 − 3 = 3 𝑎 + 𝑎′
− 3 = 𝑎′ + 𝑎 − 3
𝑎′
= 6 − 𝑎 𝑎′
= 6 − 𝑎
𝑎 + (6 − 𝑎) − 3 = 3 6 − 𝑎 + 𝑎 − 3 = 3 3 𝑎 + 6 − 𝑎 − 3 = 6 − 𝑎 + 𝑎 − 3
3 = 3 3 = 3 3 = 3
g. a⋇b = ab + 2; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑅 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
Demostración
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎𝑏 + 2) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏𝑐 + 2) ……por definición
(𝑎𝑏 + 2). 𝑐 + 2 = 𝑎. (𝑏𝑐 + 2) + 2 ……por definición
𝑎𝑏𝑐 + 2𝑐 + 2 ≠ 𝑎𝑏𝑐 + 2𝑎 + 2…………por distributiva multiplicativa con respeto a la adición
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝐷𝐸𝑀𝑂𝑆𝑅𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎𝑏 + 2 = 𝑏𝑎 + 2

AL
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑅∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎𝑒 + 2 = 𝑎 𝑒𝑎 + 2 = 𝑎 𝑎𝑒 + 2 = 𝑒𝑎 + 2
𝑒 = −1 𝑒 = −1
Reemplazando
𝑎𝑒 + 2 = 𝑎
𝑎(−1) + 2 = 𝑎
−𝑎 + 2 = 𝑎
2 = 𝑎 + 𝑎
2 ≠ 2𝑎 ………por lo tanto esta propiedad no cumple la ley de composición interna en R
ELEMENTO SIMETRICO
∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
Demostración
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = −1 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
𝑎𝑎′
+ 2 = −1 𝑎𝑎′
+ 2 = −1 𝑎𝑎′
+ 2 = 𝑎′
𝑎 + 2
𝑎𝑎′
= −1 − 2 𝑎′
= −
3
𝑎
𝑎′
=
−3
𝑎
Reemplazando a’=
−3
𝑎
reemplazando a’=
−3
𝑎
reemplazando a’=
−3
𝑎
𝑎𝑎′
+ 2 = −1 𝑎𝑎′
+ 2 = −1 𝑎𝑎′
+ 2 = 𝑎′
𝑎 + 2
𝑎(
−3
𝑎
) + 2 = −1 𝑎(−
3
𝑎
) + 2 = −1 𝑎 (−
3
𝑎
) + 2 = (−
3
𝑎
) 𝑎 + 2
−3𝑎
𝑎
= −3 −3 = −3 −3 + 2 = −3 + 2
−3 = −3 −1 = −1

AL
h. a⋇b = a + b + 3; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑅 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 + 3) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 + 3)
(𝑎 + 𝑏 + 3) + 𝑐 + 3 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 + 3) + 3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 6 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 6
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑏 + 3 = 𝑏 + 𝑎 + 3
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑅∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑒 + 3 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 + 3 = 𝑎 𝑎 + 𝑒 + 3 = 𝑒 + 𝑎 + 3
𝑒 = −3 𝑒 = −3
REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO REEMPLAZANDO
𝑎 + 𝑒 + 3 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 + 3 = 𝑎 𝑎 + 𝑒 + 3 = 𝑒 + 𝑎 + 3
𝑎 + (−3) + 3 = 𝑎 (−3) + 𝑎 + 3 = 𝑎 𝑎 + (−3) + 3 = (−3) + 𝑎 + 3
𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎

AL
ELEMENTO SIMETRICO
∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
𝑎 + 𝑎′
+ 3 = −3 𝑎′ + 𝑎 + 3 = −3 𝑎 + 𝑎′
+ 3 = 𝑎′ + 𝑎 + 3
𝑎′
= −6 − 𝑎 𝑎′
= −6 − 𝑎
𝑎′
= −6 − 𝑎
𝑎 + 𝑎′
+ 3 = −3 𝑎′ + 𝑎 + 3 = −3 𝑎 + 𝑎′
+ 3 = 𝑎′ + 𝑎 + 3
𝑎 + (−6 − 𝑎) + 3 = −3 −6 − 𝑎 + 𝑎 + 3 = −3 𝑎 + (−6 − 𝑎) + 3 = −6 − 𝑎 + 𝑎 + 3
𝑎 − 6 − 𝑎 + 3 = −3 −3 = −3 −3 = −3
−3 = −3
∃𝒂′
∈ 𝑹/ 𝒂′
= −𝟔 − 𝒂; ∀𝒂 ∈ 𝑹
i. a⋇b = a/b; ∀a,b ∈ℚ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑄/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
𝑎
𝑏
∗ 𝑐 = 𝑎 ∗
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏𝑐
≠
𝑎𝑐
𝑏
NO CUMPLE CON LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN LOS RACIONALES
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑄/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎
𝑏
≠
𝑏
𝑎
……..NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN Q

AL
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑄∃! 𝑒 ∈ 𝑄/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎
𝑒
= 𝑎
𝑒
𝑎
= 𝑎
𝑎 = 𝑎𝑒 𝑒 = 𝑎𝑎
𝑎
𝑎
= 𝑒 𝑒 = 𝑎2
1 = 𝑒
NO CUMPLE CON LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN Q
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑄∃! 𝑎′
∈ 𝑄/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
No cumple
j. a⋇b = a/b; ∀a,b ∈ℤ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
𝑎
𝑏
∗ 𝑐 = 𝑎 ∗
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
=
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏𝑐
≠
𝑎𝑐
𝑏
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎
𝑏
≠
𝑏
𝑎
…………NO CUMPLE LA LCI EN Z.

AL
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍, ∃! 𝑒 ∈ 𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎
𝑒
= 𝑎
𝑒
𝑎
= 𝑎
𝑎
𝑒
=
𝑒
𝑎
𝑎 = 𝑎𝑒 𝑒 = 𝑎2
𝑎
𝑎
= 𝑒
1 = 𝑒
NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA EN Z
ELEMENTO SIMETRICO
∈ 𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICION INTERNA.
k. a⋇b = a – b; ∀a,b ∈ℤ+
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍+
/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 − 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 − 𝑐)
(𝑎 − 𝑏) − 𝑐 = 𝑎 − (𝑏 − 𝑐)
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 ≠ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍+
/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 − 𝑏 ≠ 𝑏 − 𝑎
NO CUMPLE CON LA LEY DE COMPOSICION INTERNA
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍+
∃! 𝑒 ∈ 𝑍+
/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎 − 𝑒 = 𝑎
−𝑒 = 𝑎 − 𝑎
−𝑒 = 0
𝑒 = −0.......NO CUMPLE LA LEY DE COMPOSICION INTERNA EN 𝑍+

AL
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑍+
∃! 𝑎′
∈ 𝑍+
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑁𝑂 𝐶𝑈𝑀𝑃𝐿𝐼𝑅𝐼𝐴 𝐿𝐴 𝐿𝐸𝑌 𝐷𝐸 𝐶𝑂𝑀𝑃𝑂𝑆𝐼𝐶𝐼𝑂𝑁 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑁𝐴 𝐸𝑁 𝑍+
l. a⋇b = ab ; ∀a,b ∈ℤ+
ASOCIATIVA
/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
𝑎𝑏
∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏𝑐
(𝑎𝑏
)𝑐
≠ (𝑎)𝑏𝑐
𝑁𝑂 𝑆𝐸 𝐶𝑈𝑀𝑃𝐿𝐸 𝐿𝐴 𝐴𝑆𝑂𝐶𝐼𝐴𝑇𝐼𝑉𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐸𝑁 𝑍+
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎𝑏
≠ 𝑏𝑎
𝑁𝑂 𝑆𝐸 𝐶𝑈𝑀𝑃𝐿𝐼𝑅𝐼𝐴 𝐿𝐴 𝐶𝑂𝑁𝑀𝑈𝑇𝐴𝑇𝐼𝑉𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐸𝑁 𝑍+
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍+
∃! 𝑒 ∈ 𝑍+
/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎𝑒
= 𝑎 𝑒𝑎
= 𝑎
𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 e𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑜
𝑒 = 1
POR LO TANTO NO ESTA PROPIEDAD NO CUMPLE LA( LCI) EN 𝑍+
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑍+
∃! 𝑎′
∈ 𝑍+
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
TAMPOCO CUMPLIRIA LA LCI YA QUE NO ENCONTRAMOS UN ELEMENTO NEUTRO
“e”

AL
m. a⋇b = a – b; ∀a,b ∈ℝ
ASOCIATIVA
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑅 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 − 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 − 𝑐)
(𝑎 − 𝑏) − 𝑐 ≠ 𝑎 − (𝑏 − 𝑐) ..
𝑁𝑂 𝑆𝐸 𝐶𝑈𝑀𝑃𝐿𝐸 (𝐿𝐶𝐼) 𝐸𝑁 𝐿𝐴 𝑆𝑂𝐶𝐼𝑇𝐼𝑉𝐴 𝐸𝑁 (𝑅)
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑅∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎 − 𝑒 = 𝑎 𝑒 − 𝑎 = 𝑎
−𝑒 = 𝑎 − 𝑎 𝑒 = 𝑎 + 𝑎
𝑒 = −0 𝑒 = 2𝑎
ELEMENTO SIMETRICO
∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
TAMPOCO CUMPLIRIA PUESTO QUE NO SE HA ENCONTRADO UN ELEMENTO
NUTRO
n. En (ℤ+,⋇) se define a⋇b = c, donde c es el menor entero mayor que la suma de a y b.
Podemos apreciar lo siguiente:
𝑍+
𝑥 𝑍+
→ 𝑍+
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐
𝑐 > 𝑎 + 𝑏
Calculamos por el método de tanteo, para comprobar si es cierto.
𝑎 = 4 𝑐 > 4 + 5
𝑏 = 5 𝑐 > 9
El menor entero, mayor que la suma de a y b será: 10.
Entonces diremos que ∗ cumple LCI en 𝑍+

AL
o. En (ℤ+,⋇) se define a⋇b = c, donde c es el mayor entero menor que el producto de a y
b.
SOLUCION
𝑍+
𝑥 𝑍+
→ 𝑍+
𝐶 = 𝑎 ∗ 𝑏 > 𝑎. 𝑏
𝐶 < 𝑎. 𝑏
Calculamos esto, por el método del tanteo.
𝑎 = 2 𝐶 < 2.5
𝑎 = 5 𝐶 < 10
Entonces el mayor entero, menor que el producto e a y b es 9.
Por lo tanto ∗ cumple LCI en 𝑍+
p. En (ℤ+,⋇) se define a⋇b=c, donde c es al menos 5 unidades mayor que a+b
𝑍+
𝑥 𝑍+
→ 𝑍+
𝑎 ⋇ 𝑏 = 𝑐
𝑐 + 5 > 𝑎 + 𝑏
Calculamos por el método del tanteo
𝑎 = 7 𝑐 + 5 > 7 + 6
𝑎 = 6 𝑐 > 13
Entonces el numero c que al menos es cinco unidades mayores que a + b seria
18.
q. S es un conjunto de todas las funciones con valores reales en (ℝ, ⋇), definido por f⋇g
= h, donde h(x) = f(x) + g(x).
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ……definición.
𝐴𝑆𝑂𝐶𝐼𝐴𝑇𝐼𝑉𝐴
∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), 𝑚(𝑥) ∈ 𝑅 / (𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥))
DEMOSTRACION
(𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥))
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑔(𝑥) + 𝑚(𝑥))
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + 𝑚(𝑥))
∗ 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑅

AL
𝐶𝑂𝑁𝑀𝑈𝑇𝐴𝑇𝐼𝑉𝐴
∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅/ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
DEMOSTRACION
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)
∗ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑅
𝐸𝐿𝐸𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝑁𝐸𝑈𝑇𝑅𝑂
∀𝑓(𝑥) ∈ 𝑅, ∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑒(𝑥) = 𝑒(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
DEMOSTRACION
1. REEMPLAZANDO
𝑓(𝑥) ∗ 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) = 0
Necesariamente 𝑒(𝑥) ≠ 0
2.
𝑒(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) 0 + 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) = 0
3.
𝑓(𝑥) ∗ 𝑒(𝑥) = 𝑒(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) + 0 = 0 + 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
∗ 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑅
𝑬𝑳𝑬𝑴𝑬𝑵𝑻𝑶 𝑺𝑰𝑴𝑬𝑻𝑹𝑰𝑪𝑶
∗ 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜, 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜.

AL
r. S un conjunto de todas las funciones con valores reales en (ℝ, ⋇) definida por f ⋇ g =
h; h(x)= f(x). g(x)
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) ……definición.
ASOCIATIVA
∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), 𝑚(𝑥) ∈ 𝑅 / (𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥))
DEMOSTRACION
(𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥))
(𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)) ∗ 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑔(𝑥) . 𝑚(𝑥))
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥). 𝑚(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) . 𝑚(𝑥)
CONMUTATIVA
∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅/ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
DEMOSTRACION
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) . 𝑓(𝑥)
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑓(𝑥) ∈ 𝑅, ∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑒(𝑥) = 𝑒(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
DEMOSTRACION
1. REEMPLAZANDO
𝑓(𝑥) ∗ 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) . 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) . 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) . 1 = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) = 1
2. REEMPLAZANDO
𝑒(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) . 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) 1 . 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑒(𝑥) = 1
3.
𝑓(𝑥) ∗ 𝑒(𝑥) = 𝑒(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) . 𝑒(𝑥) = 𝑒(𝑥) . 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) . 1 = 1 . 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)

AL
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑓(𝑥) ∈ 𝑅, ∃! 𝑓(𝑥)′
/ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)′ = 𝑓(𝑥)′ ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑒(𝑥)
DEMOSTRACION
1. REEMPLAZANDO
𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)′
= 𝑒(𝑥) 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑥)′
= 1
𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑥)′
= 1 𝑓(𝑥) .
1
𝑓(𝑥)
= 1
𝑓(𝑥)′
=
1
𝑓(𝑥)
con 𝑓(𝑥) ≠ 0 1 = 1
2.
𝑓(𝑥)′ ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑒(𝑥) REEMPLAZANDO
𝑓(𝑥)′
. 𝑓(𝑥) = 1
1
𝑓(𝑥)
. 𝑓(𝑥) = 1
𝑓(𝑥)′
=
1
𝑓(𝑥)
con 𝑓(𝑥) ≠ 0 1 = 1
3.
𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)′ = 𝑓(𝑥)′ ∗ 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) .
1
𝑓(𝑥)
=
1
𝑓(𝑥)
. 𝑓(𝑥)
1 = 1
s. Sea S un conjunto formado por 10 personas, todas ellas con diferente estatura,
definida por a ⋇ b = c, donde c es la persona más alta de las 10 en S.
1p.
2p.
3p.
4p.
5p.
6p.
7p.
8p.
9p.
10p.
S
1p. =talla 1
2p.=talla 2
3p.=talla 3
4p.=talla 4
5p.=talla 5
6p.=talla 6
7p.=talla7
8p.=talla 8
9p.=talla 9
10p=talla 10

AL
2. Para toda operación binaria ⋇ definida a continuación, determínese cuál ⋇ es conmutativa y
cuál asociativo.
a. En ℤ, defínase ⋇ por a⋇b = a – b
ASOCIATIVO
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 − 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 − 𝑐)
(𝑎 − 𝑏) − 𝑐 ≠ 𝑎 − (𝑏 − 𝑐)
CONMUTATIVO
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 − 𝑏 ≠ 𝑏 − 𝑎
b. En ℚ, defínase ⋇ por a ⋇ b = ab + 1
ASOCIATIVO
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑄/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎𝑏 + 1) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏𝑐 + 1)
(𝑎𝑏 + 1). 𝑐 + 1 = 𝑎. (𝑏𝑐 + 1) + 1
𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 + 1 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎 + 1
CONMUTATIVO
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍/𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎𝑏 + 1 = 𝑏𝑎 + 1
c. En ℤ+, defínase ⋇ por a⋇b = 2 ab
ASOCIATIVO
/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
2𝑎𝑏
∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 2𝑏𝑐
2(2𝑎𝑏)𝑐
≠ 2𝑎(2𝑏𝑐)
SE CUMPLE LA
CONMUTATIVIDAD EN
ESTE OPERADOR

AL
CONMUTATIVO
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍/𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
2𝑎𝑏
= 2𝑏𝑎
d. En ℚ, defínase ⋇ por a⋇b = a + b – 1
ASOCIATIVO
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑄/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 − 1) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 − 1)
(𝑎 + 𝑏 − 1) + 𝑐 − 1 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 1) − 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2
CONMUTATIVO
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄/𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑏 − 1 = 𝑏 + 𝑎 − 1
3. ¿Falso o verdadero?
a. Si ⋇ es cualquier operación interna en cualquier conjunto S, entonces a⋇a = a; ∀a ∈S.
FALSO
b. Si ⋇ es cualquier operación interna conmutativa en cualquier conjunto S, entonces a⋇(b⋇c)
= (b⋇c) ⋇ a; ∀a,b,c ∈S
VERDADERO
c. Las únicas operaciones binarias importantes son aquellas definidas en conjuntos
numéricos.
VERDADERO
d. Una operación binaria ⋇ en un conjunto S es conmutativa si existe a,b ∈S, tal que a⋇b =
b⋇a
VERDABERO
e. Toda operación binaria definida en un conjunto de un solo elemento es conmutativo y
asociativo.
FALSO
• Se define, asociativa y
conmutativa en * por a*b=a+b-1

AL
f. Una operación binaria en un conjunto S asigna al menos un elemento de S a todo par
ordenado de elementos de S.
VERDADERO
g. Una operación binaria en un conjunto S asigna a lo más un elemento de S a todo par
VERDADERO
h. Una operación binaria en un conjunto S asigna exactamente un elemento de S a todo par
VERDADERO
i. Una operación binaria en un conjunto S puede asignar más de un elemento de S a algún
par ordenado de elementos de S.
FALSO
4. En ℤ, se define ⋇ por medio de a⋇b = 2(a+b). Estudiar sus propiedades.
ASOCIATIVO
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
2(𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 2(𝑏 + 𝑐)
2 ((2(𝑎 + 𝑏)) + 𝑐) = 2(𝑎 + (2(𝑏 + 𝑐)
2(2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐) = 2(𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐)
4𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 ≠ 2𝑎 + 4𝑏 + 4𝑐
✓ * no es asociativo en z
CONMUTATIVO
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
2(𝑎 + 𝑏) = 2(𝑏 + 𝑎)
2𝑎 + 2𝑏 = 2𝑏 + 2𝑎
✓ * es conmutativo en Z
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍∃! 𝑒 ∈ 𝑅/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
2(𝑎 + 𝑒) = 𝑎 2(𝑒 + 𝑎) = 𝑎 2(𝑎 + 𝑒) = 2(𝑒 + 𝑎)
2𝑎 + 2𝑒 = 𝑎 2𝑒 + 2𝑎 = 𝑎

AL
2𝑒 = 𝑎 − 2𝑎 2𝑒 = 𝑎 − 2𝑎
𝑒 =
𝑎−2𝑎
2
𝑒 =
𝑎−2𝑎
2
𝑒 = −
𝑎
2
𝑒 = −
𝑎
2
2𝑎 + 2𝑒 = 𝑎 2𝑒 + 2𝑎 = 𝑎 2(𝑎 + 𝑒) = 2(𝑒 + 𝑎)
2𝑎 + 2(−
𝑎
2
) = 𝑎 2(−
𝑎
2
) + 2𝑎 = 𝑎 2 (𝑎 + (−
𝑎
2
)) = 2 ((−
𝑎
2
) + 𝑎)
2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 −𝑎 + 2𝑎 = 𝑎 2𝑎 −
2𝑎
2
= −
2𝑎
2
+ 2𝑎
2𝑎 = 𝑎 + 𝑎 2𝑎 = 2𝑎 2𝑎 = 2𝑎
2𝑎 = 2𝑎
✓ * CUMPLE CON ELEMETO NEUTRO EN Z.
ELEMENTO SIMETRICO
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
2(𝑎 + 𝑎′) = −
𝑎
2
2(𝑎′
+ 𝑎) = −
𝑎
2
2(𝑎 + 𝑎′) = 2(𝑎′
+ 𝑎)
𝑎 + 𝑎′
= −
𝑎
4
𝑎′
+ 𝑎 = −
𝑎
4
𝑎′
= −
𝑎
4
− 𝑎 𝑎′
= −
𝑎
4
− 𝑎
2(𝑎 + 𝑎′) = −
𝑎
2
2(𝑎′
+ 𝑎) = −
𝑎
2
2(𝑎 + 𝑎′) = 2(𝑎′
+ 𝑎)
2 (𝑎 + (−
𝑎
4
− 𝑎)) = −
𝑎
2
2 ((−
𝑎
4
− 𝑎) + 𝑎) = −
𝑎
2
2(𝑎 + (−
𝑎
4
− 𝑎) = 2((−
𝑎
4
− 𝑎) + 𝑎)
2𝑎 −
2𝑎
4
− 2𝑎 = −
𝑎
2
−
2𝑎
4
− 2𝑎 + 2𝑎 = −
𝑎
2
2𝑎 −
2𝑎
4
− 2𝑎 = −
2𝑎
4
− 2𝑎 + 2𝑎
−
𝑎
2
= −
𝑎
2
−
𝑎
2
= −
𝑎
2
−
2𝑎
4
= −
2𝑎
4
= −
𝑎
2
= −
𝑎
2
✓ * TAMBIEN CUMPLE EN Z

AL
5. En ℤ, se define ⋇ por medio de a⋇b = a + b + 4. Estudiar sus propiedades.
ASOCIATIVO
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑍 / (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 + 4) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 + 4)
(𝑎 + 𝑏 + 4) + 𝑐 + 4 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 + 4) + 4
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 8 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 8
✓ * CUMPLE LA ASOCITIVIDAD EN Z
CONMUTATIVO
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑏 + 4 = 𝑏 + 𝑎 + 4
✓ * CUMPLE LA CONMUTATIVIDAD EN Z
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑍∃! 𝑒 ∈ 𝑍/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
𝑎 + 𝑒 + 4 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 + 4 = 𝑎 𝑎 + 𝑒 + 4 = 𝑒 + 𝑎 + 4
𝑒 = −4 𝑒 = −4
𝑎 + 𝑒 + 4 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 + 4 = 𝑎 𝑎 + 𝑒 + 4 = 𝑒 + 𝑎 + 4
𝑎 + (−4) + 4 = 𝑎 −4 + 𝑎 + 4 = 𝑎 𝑎 + (−4) + 4 = −4 + 𝑎 + 4
𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎
✓ * CUMPLE EL NEUTRO EN Z

AL
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑍+
∃! 𝑎′
/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑎′
∗ 𝑎
𝑎 + 𝑎′
+ 4 = −4 𝑎′
+ 𝑎 + 4 = −4 𝑎 + 𝑎′
+ 4 = 𝑎′
+ 𝑎 + 4
𝑎′
= −4 − 4 − 𝑎 𝑎′
= −4 − 4 − 𝑎
𝑎′
= −8 − 𝑎 𝑎′
= −8 − 𝑎
REEMPLAZANDO
𝑎 + 𝑎′
+ 4 = −4 𝑎′
+ 𝑎 + 4 = −4 𝑎 + 𝑎′
+ 4 = 𝑎′
+ 𝑎 + 4
𝑎 + (−8 − 𝑎) + 4 = −4 (−8 − 𝑎) + 𝑎 + 4 = −4 𝑎 + (−8 − 𝑎) + 4 = −8 − 𝑎 + 𝑎 + 4
𝑎 − 8 − 𝑎 + 4 = −4 −8 − 𝑎 + 𝑎 + 4 = −4 𝑎 − 8 − 𝑎 + 4 = −8 − 𝑎 + 𝑎 + 4
−4 = −4 −4 = −4 −4 = −4
✓ * CUMPLE LA SIMETRIA EN 𝑍+
6. Estudiar sus propiedades de ⨁: ℚ* x ℚ* → ℚ* / x⨁y= x + 1/y. Si ℚ* = ℚ - {0}
ASOCIATIVO
∀𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖 ℚ − {0}/ (𝑥⨁𝑦)⨁𝑧 = 𝑥⨁(𝑦⨁𝑧)
DEMOSTRACION
(𝑥⨁𝑦)⨁𝑧 ≠ 𝑥⨁(𝑦⨁𝑧)
(𝑥 +
1
𝑦
) ⨁ z ≠ z⨁(y +
1
z
)
(𝑥 +
1
𝑦
) +
1
𝑧
≠ 𝑧 +
1
(y+
1
z
)
✓ NO ES ASOCIATIVO Q
CONMUTATIVO
∀𝑥, 𝑦𝜖ℚ − {0}/ 𝑥⨁y = 𝑦⨁𝑥
DEMOSTRACION
𝑥⨁y ≠ 𝑦⨁𝑥
𝑥 +
1
𝑦
≠ 𝑦 +
1
𝑥
✓ NO ES CONMUTATIVO Q

AL
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑥𝜖𝑄 − {0}; ∃! 𝑒 ∈ 𝑄 − {0}/ 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥
𝑥 +
1
𝑒
= 𝑥
1
𝑒
= 0 …..no existe un elemento neutro.
ELEMENTO SIMETRICO
7. La función f: ℝ → ℝ es una ley de composición interna en ℝ definida por f(a,b) = a + b2. ¿Es
asociativo, conmutativo y/o admite?
(𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏)) = 𝑓(𝑎, 𝑏)
SOLUCION
ASOCIATIVA
∀𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑐)𝜖𝑅/ (𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏)) ∗ 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑎) ∗ (𝑓(𝑏) ∗ 𝑓(𝑐))
(𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏)) ∗ 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑎) ∗ (𝑓(𝑏) ∗ 𝑓(𝑐))
(𝑎 + 𝑏2) ∗ 𝑓(𝑐) ≠ 𝑓(𝑎) ∗ (𝑏 + 𝑐2
)
(𝑎 + 𝑏2) + 𝑐2
≠ 𝑎 + (𝑏 + 𝑐2
)2
∗ 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
CONMUTATIVO
solucion
∀𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏) ∈ 𝑅/𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑏) ∗ 𝑓(𝑎
DEMOSTACION
𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑏) ∗ 𝑓(𝑎)
𝑎 + 𝑏2
≠ 𝑏 + 𝑎2
∗ 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
8. En ℚ* se define ⋇ tal que a⋇b = 3ab. Verificar que ⋇ es asociativo, con elemento neutro,
conmutativo y además todos los elementos inversibles.
ASOCIATIVO
∀𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖𝑄 − {0}/ (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
DEMOSTRACION
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
3𝑎𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 3𝑏𝑐
3(3𝑎𝑏𝑐) = 3(𝑎3𝑏𝑐)
9𝑎𝑏𝑐 = 9𝑎𝑏𝑐
✓ Cumple con la
asociatividad Q-{0}

AL
CONMUTATIVA
∀𝑎, 𝑏𝜖𝑄 − {0}/ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
DEMOSTRACION
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
3𝑎𝑏 = 3𝑏𝑎
✓ SI CUMPLE LA CONMUTATIVA EN Q-{0}
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑎𝜖𝑄 − {0}, ∃! 𝑒 ∈ 𝑄 − {0}/ 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎
3𝑎𝑒 = 𝑎 3𝑒𝑎 = 𝑎 3𝑎𝑒 = 3𝑒𝑎
𝑒 =
1
3
𝑒 =
1
3
3𝑎(
1
3
) = 𝑎 3(
1
3
)𝑎 = 𝑎 3𝑎(
1
3
) = 3(
1
3
)𝑎
𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝑎
✓ Cumple con la propiedad del elemento neutro en 𝑄 − {0}
ELEMENTO SIMETRICO
∀𝑎𝜖𝑄 − {0}∃! 𝑎′
∈ 𝑄 − {0}/ 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎′
=𝑎′
∗ 𝑎
3𝑎𝑎′
=
1
3
3𝑎′
𝑎 =
1
3
𝑎′
=
1
9𝑎
𝑎′
=
1
9𝑎
Reemplazando
3𝑎(
1
9𝑎
) =
1
3
1
3
=
1
3
Por lo tanto tiene simetría en Q-{0}.

AL
9. En ℕ se definen las leyes de composición interna ⋇ y ⨁ mediante:
x ⋇ y = x
x ⨁ y = x + y Estudiar sus propiedades de ⋇
respecto de ⨁
SOLUCION
ASOCIATIVA
∀𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖𝑁 /(𝑥 ∗ 𝑦)⨁𝑧 = 𝑥⨁(𝑦 ∗ 𝑧)
Demostración
(𝑥 ∗ 𝑦)⨁𝑧 = 𝑥⨁(𝑦 ∗ 𝑧)
𝑥⨁z = x⨁y
𝑥 + 𝑧 ≠ 𝑥 + 𝑦
∗ → ⨁
𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
CONMUTATIVA
𝑥⨁y = y ⨁ 𝑥
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Si cumpliría la conmutatividad
10. Crear una tabla de composición de funciones del conjunto A = {1,2,3} en sí mismo.
SOLUCION
𝐴𝑥𝐴−> 𝐴
𝐴 = {1,2,3}
𝐴 = {1 ,2,3}
A x A 1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 ((3,1) (3,2) (3,3)
ELEMENTO NEUTRO
∀𝑥 ∈ 𝑁, ∃! 𝑒 ∈ 𝑁/ 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥
Demostración
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥
Reemplazando
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑥
NO es tiene elemento neutro , por lo que se
considera
Que tampoco existe un elemento simétrico.

AL
11. Crear una tabla de composición de funciones del conjunto A = {a,b} en sí mismo
°
F1 F2 F3 F4
F1 A A a A
F2 A A b B
F3 B B b A
F4 B b b B
12. Sea U un conjunto universal. Sea P(U) la familia de todos los conjuntos de U. ¿La intersección,
unión, diferencia de conjuntos y diferencia simétrica se hallan totalmente definidas? ¿Por qué?
✓ Si es unión porque es subconjunto a otro subconjunto
∀a, b, c ∈ P(u)/ AuB =C⇒ C ∈ P(u)
✓ Intersección ∀a, b, c ∈ P(u)/ A∩B =C⇒ C ∈ P(u)
✓ Diferencia ∀a, b, c ∈ P(u)/ A−B =C⇒ C ∈ P(u)
Entonces concluiremos diciendo que si están definidas.
13. ¿La adición y sustracción de ángulos son leyes de composición interna? ¿Por qué?
Rpta: La adición y sustracción son leyes de composición interna, porque al sumar o restar
dichos ángulos se obtiene otro ángulo.
14. Sea S un conjunto con exactamente un elemento ¿Cuántas operaciones binarias diferentes
pueden definirse en S? Respóndase a la pregunta si S tiene 2 elementos, si tiene 3 elementos,
si tiene “n” elementos.
SOLUCION:
Con un elemento 1 …….necesariamente tendría que haber un elemento mas para poder
operar
Con dos elementos 2 …..se podria operad de dos maneras distintas
Con tres elementos 3 ……se odria operar de tres formas distintas
Con n elementos…………..se operaria de n formas.
𝐴𝑥𝐴−> 𝐴
𝐴 = {𝑎, 𝑏}
𝐴 = {𝑎, 𝑏}
𝐴𝑥𝐴 = {(𝑎, 𝑎)(𝑎, 𝑏)(𝑏, 𝑎)(𝑏, 𝑏)}
𝐹1 = {(𝑎, 𝑎)(𝑏, 𝑎)}
𝐹2 = {(𝑎, 𝑎)(𝑏, 𝑏)}
𝐹3 = {(𝑎, 𝑏)(𝑏, 𝑎)}
𝐹4 = {(𝑎, 𝑏)(𝑏, 𝑏)}
Evaluando con respecto a “a”.

AL
15. Pruébese que si ⋇ es una operación interna en un conjunto A, asociativa y conmutativa,
entonces (a⋇b) ⋇ (c⋇d) = [(d⋇c) ⋇ a] ⋇ b; ∀a,b,c,d ∈A. Supóngase que la ley asociativa se
cumple, como en la definición, sólo para ternas, esto es, supóngase sólo (x⋇y) ⋇ z = x⋇(y⋇z);
∀x,y,z ∈A
(a ⋇ b) ⋇ (c ⋇ d) = [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b
(a ⋇ b) ⋇ (d ⋇ c) = [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b conmutando
(d ⋇ c) ⋇ (a ⋇ b) = [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b conmutando
[(d ⋇ c) ⋇ a ] ⋇ b= [(d ⋇ c) ⋇ a] ⋇ b asociativa
16.Sea ∗ una operación binaria interna definida en ℚ por: 𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎): Hallar el valor de
verdad de las siguientes afirmaciones:
a) ∗ Es Conmutativa=(v)
SOLUCIÓN.
∀𝒂, 𝒃 ∈ ℚ 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂
𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂
(𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎) = (𝑏2
− 𝑎)(𝑎2
− 𝑏)
Conmutativa multiplicativa en los Q.
(𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎) = (𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎)
➢ 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂.
b) ∃𝒌 ∈ ℚ (
𝟏
𝒌
) (𝒂 ∗ 𝒃) = (𝒌𝒂) ∗ 𝒃
SOLUCIÓN.
(
𝟏
𝒌
) (𝒂 ∗ 𝒃) = (𝒌𝒂) ∗ 𝒃 →(F)
(
1
𝑘
) (𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎) = ((𝑘𝑎)2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑘𝑎)
(
1
𝑘
) (𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎) = ((𝑘𝑎)2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑘𝑎)
(𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑎)
𝑘
= (𝑘2
𝑎2
− 𝑏)(𝑏2
− 𝑘𝑎)
➢ 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔.

AL
c) 4 ∗ (3 ∗ 1) = 32.252 = 𝑽
SOLUCIÓN:
4 ∗ ((32
− 1)(12
− 3))= 32.252
4 ∗ ((8)(−2))= 32.252
4 ∗−16 = 32.252
(42
− (−16))((−16)2
− 4) = 32.252
(16 + 16)(256 − 4) = 32.252
𝟑𝟐. 𝟐𝟓𝟐 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟓𝟐
➢ 𝑬𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐
17.En ℚse define la operación ∗ por:a ∗ b = ab + a − b. Hallar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
a) ∀𝒂, 𝒃, ∈ ℚ; (𝒂 ∗ 𝒃) ∈ ℚ
SOLUCIÓN:
(𝒂 ∗ 𝒃) ∈ ℚ
𝒂𝒃 + 𝒂 − 𝒃 ∈ ℚ
(𝒂𝒃 − 𝒃) + 𝒂 ∈ ℚ
𝒃(𝒂 − 𝟏) + 𝒂 ∈ ℚ
𝐋𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐩𝐞𝐫𝐭𝐞𝐧𝐞𝐜𝐞 𝐚 𝐥𝐨𝐬 ℚ
➢ 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐.
b) ∗ 𝐞𝐬 𝐚𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚.
SOLUCIÓN:
∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℚ (𝒂 ∗ 𝒃) ∗ 𝒄 = 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄).
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑐)
(𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏)𝑐 + (𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏) − 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑐) + 𝑎 − (𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑐)
𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑎 − 𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑐
𝒂𝒄 − 𝒃 = −𝒂𝒄 + 𝒃
𝑬𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐, 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂.

AL
c) ∃! 𝒆 ∈ ℚ, 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐧𝐞𝐮𝐭𝐫𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
SOLUCIÓN:
∀𝒂, ∈ ℚ, ∃! 𝒆 ∈ ℚ 𝒂 ∗ 𝒆 = 𝒆 ∗ 𝒂 = 𝒂.
SOLUCIÓN:
𝒊) 𝒂 ∗ 𝒆 = 𝒂
𝑎𝑒 + 𝑎 − 𝑒 = 𝑎
𝑒(𝑎 − 1) = 1
𝒆 =
𝟏
(𝒂 − 𝟏)
∉ ℚ
𝒊𝒊) 𝒆 ∗ 𝒂 = 𝒂
𝑒𝑎 + 𝑒 − 𝑎 = 𝑎
𝑒(𝑎 + 1) = 2𝑎
𝒆 =
𝟐𝒂
𝒂 + 𝟏
∉ ℚ
𝒊𝒊𝒊) 𝒂 ∗ 𝒆 = 𝒆 ∗ 𝒂
𝑎𝑒 + 𝑎 − 𝑒 = 𝑒𝑎 + 𝑒 − 𝑎
𝒂 − 𝒆 ≠ 𝒆 − 𝒂
𝐍𝐨 𝐡𝐚𝐲 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐧𝐞𝐮𝐭𝐫𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
➢ 𝑬𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐.
d) 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒙 ∈ ℚ − {𝟏} 𝐩𝐨𝐬𝐞𝐞 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
∀𝒙, ∈ ℚ, ∃! 𝒙′ ∈ ℚ 𝒙 ∗ 𝒙′ = 𝒙′ ∗ 𝒙 = 𝒆.
SOLUCIÓN:
𝒊) 𝒙 ∗ 𝒙′ = 𝒆
𝑥𝑥′
+ 𝑥 − 𝑥′ =
1
(𝑥 − 1)
𝑥′(𝑥 − 1) =
1
(𝑥 − 1)
− 𝑥
𝑥′(𝑥 − 1) =
1
(𝑥 − 1)
− 𝑥(𝑥 − 1)
𝑥′(𝑥 − 1) =
1 − 𝑥2
+ 1
(𝑥 − 1)
𝒙′
=
𝟐 − 𝒙𝟐
(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
∈ ℚ − {𝟏}
➢ 𝐩𝐨𝐬𝐞𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
𝒊𝒊) 𝒙′
∗ 𝒙 = 𝒆
𝑥′
∗ 𝑥 = 𝑒

AL
𝑥′
𝑥 + 𝑥′
− 𝑥 =
2𝑥
𝑥 + 1
𝑥′(𝑥 + 1) =
2𝑥
(𝑥 + 1)
+ 𝑥
𝑥′(𝑥 + 1) =
2𝑥
(𝑥 + 1)
+ 𝑥(𝑥 + 1)
𝑥′
=
2𝑥 + 𝑥2
+ 1
(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
𝑥′
=
𝑥2
+ 2𝑥 + 1
(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
𝑥′
=
(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
𝒙′
= 𝟏 ∉ ℚ − {𝟏}
➢ 𝐍𝐨 𝐩𝐨𝐬𝐞𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
𝒊𝒊𝒊) 𝒙′
∗ 𝒙 = 𝒙 ∗ 𝒙′
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
∗ 𝑥 = 𝑥 ∗
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)2
𝑥 +
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)2
− 𝑥 = 𝑥
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)2
+ 𝑥 − (
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)2
)
2𝑥 − 𝑥3
(𝑥 − 1)2
+
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)2
− 𝑥 =
2𝑥 − 𝑥3
(𝑥 − 1)2
+ 𝑥 − (
2 − 𝑥2
(𝑥 − 1)2
)
𝟐 − 𝒙𝟐
(𝒙 − 𝟏)𝟐
− 𝒙 = 𝒙 − (
𝟐 − 𝒙𝟐
(𝒙 − 𝟏)𝟐
) ∈ ℚ − {𝟏}
➢ 𝐏𝐨𝐬𝐞𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
18.En el conjunto A = {1;2;3;4} se define una operación ⋇ por medio de una tabla tal que,
los elementos de cada columna y cada fila son diferentes, tiene a 4 como elemento neutro
y cada elemento es su propio inverso. Determinar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
SOLUCIÓN:
⋇ 1 2 3 4
1 4 3 2 1
2 3 4 1 2
3 2 1 4 3
4 1 2 3 4

AL
a) (𝟐 ⋇ 𝟑) ⋇ (𝟐 ⋇ 𝟒) = 𝟐
SOLUCIÓN:
(𝟐 ⋇ 𝟑) ⋇ (𝟐 ⋇ 𝟒) = 𝟐
1 ⋇ 2 = 2
𝟑 ≠ 𝟐
➢ 𝐄𝐬 𝐟𝐚𝐥𝐬𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∗
b) ⋇ 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐
SOLUCIÓN:
➢ 𝐄𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚, 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨
c) (𝟑 ⋇ 𝟐’ ) ⋇ 𝟑’ = 𝟐
SOLUCIÓN:
Calculemos la inversa.
𝟐 ⋇ 𝟐′
= 𝟒
𝟐 ⋇ 𝟐 = 𝟒
𝟑 ⋇ 𝟑′
= 𝟒
𝟑 ⋇ 𝟑 = 𝟒
(𝟑 ⋇ 𝟐’ ) ⋇ 𝟑’ = 𝟐
(𝟏 ) ⋇ 𝟑’ = 𝟐
(𝟏 ) ⋇ 𝟑’ = 𝟐
𝟐 = 𝟐
➢ 𝐄𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨
⋇ 1 2 3 4
1 4 3 2 1
2 3 4 1 2
3 2 1 4 3
4 1 2 3 4

AL
19.Sea ℚ* en donde se define la operación ⋇ por: a⋇b = 1/a + 1/b ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
a) Si a ⋇ (2/3) = 5 ⟶ ab = – 15/7
SOLUCIÓN:
a ⋇ (
2
3
) = 5
1
𝑎
+
1
(
2
3)
= 5
1
𝑎
+
3
2
= 5
2 + 3𝑎
2𝑎
= 5
2 + 3𝑎 = 10𝑎
2 = 7𝑎
2
7
= 𝑎
𝐏𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨:
𝐚𝐛 = –
𝟏𝟓
𝟕
.
b) ∀a,b ∈ℚ* / a⋇(b⋇c) = (a⋇b)⋇c
SOLUCIÓN:
𝑎 ⋇ (𝑏 ⋇ 𝑐) = (𝑎 ⋇ 𝑏) ⋇ 𝑐
𝑎 ⋇ (
1
𝑏
+
1
𝑐
) = (
1
𝑎
+
1
𝑏
) ⋇ 𝑐
𝑎 ⋇ (
𝑐 + 𝑏
𝑏𝑐
) = (
𝑏 + 𝑎
𝑎𝑏
) ⋇ 𝑐
1
𝑎
+
1
(
𝑐 + 𝑏
𝑏𝑐
)
=
1
(
𝑏 + 𝑎
𝑎𝑏
)
+
1
𝑐
1
𝑎
+
𝑏𝑐
𝑐 + 𝑏
=
𝑎𝑏
𝑏 + 𝑎
+
1
𝑐
1
𝑎
+
𝑏𝑐
𝑐 + 𝑏
=
𝑎𝑏
𝑏 + 𝑎
+
1
𝑐
𝑐 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐
𝑎 (𝑐 + 𝑏)
=
𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑎
(𝑏 + 𝑎)𝑐
2
7
. b = – 15/7
2
7
. b = –
15
7
b = –
15
2
𝐏𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨:
𝐚𝐛 = – 𝟏𝟓/𝟕
2
7
. –
15
2
= – 15/7
–
15
7
= –
15
7
𝐏𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨

AL
𝑐 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑐 + 𝑎𝑏
=
𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑎
𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
(𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)(𝑐 + 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐) = (𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑎)(𝑎𝑐 + 𝑎𝑏)
𝑏𝑐𝑐 + 𝑏𝑐𝑏 + 𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑐𝑐 + 𝑎𝑐𝑏 + 𝑎𝑐𝑎𝑏 = 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑐 + 𝑏𝑎𝑐 + 𝑎𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏 + 𝑏𝑎𝑏 + 𝑎𝑎𝑏
𝑏𝑐𝑐 + 𝑏𝑐𝑏 + 𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏 + 𝑏𝑎𝑏 + 𝑎𝑎𝑏
𝒃𝒄𝟐
+ 𝒃𝟐
𝒄 + 𝒂𝒃𝟐
𝒄𝟐
= 𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝒄 + 𝒂𝒃𝟐
+ 𝒂𝟐
𝒃
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐.
c) 𝒂 ⋇ 𝒂 = 𝒂 ⟷ 𝒂𝟐
= 𝟐
SOLUCIÓN:
𝑎 ⋇ 𝑎 = 𝑎
1
𝑎
+
1
𝑎
= 𝑎
𝑎 + 𝑎
𝑎2
= 𝑎
2𝑎
𝑎2
= 𝑎
2 = 𝑎2
2 = 2
20.Sean ⊠ y ⊗ operaciones definidas en ℤ por: 𝑎 ⊠ 𝑏 = (𝑏 – 𝑎) /2; 𝑎 ⊗ 𝑏 = (𝑎 +
𝑏) /2. Resolver la ecuación: 2 ⊠ (3 ⊗ 𝑥) = (𝑥 ⊗ 11) ⊠ 6
SOLUCIÓN:
2 ⊠ (3 ⊗ 𝑥) = (𝑥 ⊗ 11) ⊠ 6
2 ⊠
(3 + 𝑥)
2
=
(𝑥 + 11)
2
⊠ 6
(3 + 𝑥)
2
−
2
1
2
=
6
1
−
(𝑥 + 11)
2
2
(3 + 𝑥) − 4
2
2
=
12 − (𝑥 + 11)
2
2
(3 + 𝑥) − 4
4
=
12 − (𝑥 + 11)
4
(3 + 𝑥) − 4 = 12 − (𝑥
+ 11)
𝑥 − 1 = 1 − 𝑥
𝟐𝒙 = 𝟐
𝒙 = 𝟏

AL
21.En el conjunto ℚ, definimos las siguientes operaciones: 𝑎 ⊠ 𝑏 = (1/2)𝑎 + 3𝑏; 𝑎 ⊗
𝑏 = 3𝑎 + (3/2)𝑏; 𝑎 ⊛ 𝑏 = 5𝑎 – 3𝑏. 𝑺𝒊 𝒙 ⊠ 𝒙 = 𝟗, 𝒚 ⊗ 𝒚 = 𝟐𝟏. Hallar el valor
de 𝒙 ⊛ 𝒚.
SOLUCIÓN:
a) 𝒙 ⊠ 𝒙 = 𝟗
(
1
2
) 𝑥 + 3𝑥 = 9
𝑥
2
+ 3𝑥 = 9
𝑥 + 6𝑥
2
= 9
𝑥 + 6𝑥
2
= 9
𝑥 + 6𝑥 = 18
𝑥 =
18
7
22. Se define la operación ⊛ en ℚ por: 𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 – 𝑎𝑏. Hallar el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones:
a. El cero es el elemento neutro en ⊛
SOLUCIÓN
∀𝒂, ∈ ℚ, ∃! 𝒆 ∈ ℚ 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒆 ⊛ 𝒂 = 𝒂.
i) 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒂
𝑎 + 𝑒 − 𝑎𝑒 = 𝑎
𝑒 =
0
(1 − 𝑎)
𝑒 =
0
(1 − 𝑎)
ℚ 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒂 ≠ 𝟏
𝑒 = 0
𝑬𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐, 𝒑𝒆𝒓𝒐 "𝒂" 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝟏
𝒆⊛𝒂=𝒂
𝑒 + 𝑎 − 𝑒𝑎 = 𝑎
𝑒 =
0
(1 − 𝑎)
∉ ℚ 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒂 ≠ 𝟏
𝑒 = 0
𝑬𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐, 𝒑𝒆𝒓𝒐 "𝒂" 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝟏
𝒃). 𝒚 ⊗ 𝒚 = 𝟐𝟏.
3𝑦 + (
3
2
) 𝑦 = 21
3𝑦 +
3𝑦
2
= 21
6𝑦 + 3𝑦
2
= 21
6𝑦 + 3𝑦 = 42
9𝑦 = 42
𝑦 =
42
9
𝒄). 𝒙 ⊛ 𝒚.
5𝑥 – 3𝑦
5 (
18
7
) – 3 (
42
9
)
90
7
– 14
90
7
– 14
90 − 98
7
−𝟖
𝟕

AL
ii) 𝒂⊛𝒆=𝒆⊛𝒂
𝑎 + 𝑒 − 𝑎𝑒 = 𝑒 + 𝑎 − 𝑒𝑎
0 = 0
𝑬𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐
b. (𝒂 + 𝒃) ⊛ (𝒂 – 𝒃) = 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂 – 𝟐𝒃𝟐
SOLUCIÓN
(𝒂 + 𝒃) ⊛ (𝒂 – 𝒃) = 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂 – 𝟐𝒃𝟐
(𝑎 + 𝑏) + (𝑎 – 𝑏) − (𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂 – 𝟐𝒃𝟐
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − (𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂 – 𝟐𝒃𝟐
2𝑎 − (𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2
) = 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂 – 𝟐𝒃𝟐
−𝑎2
+ 2𝑎 + 𝑏2
≠ 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂 – 𝟐𝒃𝟐
𝐏𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐟𝐚𝐥𝐬𝐨
c. 𝑺𝒊 𝒙 ⊛ 𝟑 = 𝟔 ⟶ 𝒙 = – 𝟑/𝟐
SOLUCIÓN
𝒙 ⊛ 𝟑 = 𝟔
𝑥 + 3 − 𝑥3 = 6
𝑥 − 3𝑥 = 6 − 3
−2𝑥 = 6 − 3
𝑥 = −3/2
d. ⊛ es conmutativa
SOLUCIÓN
∀𝒂, 𝒃, ∈ ℚ 𝒂 ⊛ 𝒃 = 𝒃 ⊛ 𝒂
𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 – 𝑏𝑎
𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏 – 𝑎𝑏
0 = 0
𝐄𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚, 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨.

AL
23. Si en ℚ definimos la operación ⊛ por: 𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑎(1 – 2𝑏) + 𝑏. Se afirman:
a. ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℚ, 𝒂 ⊛ 𝒃 = 𝒃 ⊛ 𝒂
SOLUCIÓN
𝒂 ⊛ 𝒃 = 𝒃 ⊛ 𝒂
𝑎(1 – 2𝑏) + 𝑏 = 𝑏(1 − 2𝑎) + 𝑎
𝑎 – 2𝑏𝑎 + 𝑏 = 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑎
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
𝐄𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚, 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨.
b. 0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 ⊛ 𝑦 ∀𝑎 ∈ ℚ
SOLUCIÓN
∀𝒂, ∈ ℚ, ∃! 𝒆 ∈ ℚ 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒆 ⊛ 𝒂 = 𝒂
i) 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒂
𝑎(1 – 2𝑒) + 𝑒 = 𝑎
𝑎 – 2𝑒𝑎 + 𝑒 = 𝑎
– 2𝑒𝑎 + 𝑒 = 0
𝑒(– 2𝑎 + 1) = 0
𝑒 =
0
(– 2𝑎 + 1)
∉ ℚ
ii) 𝒆 ⊛ 𝒂 = 𝒂
𝑒(1 – 2𝑎) + 𝑎 = 𝑎
𝑒 – 2𝑎𝑒 + 𝑎 = 𝑎
– 2𝑒𝑎 + 𝑒 = 0
𝑒(– 2𝑎 + 1) = 0
𝑒 =
0
(– 2𝑎 + 1)
∉ ℚ
iii) 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒆 ⊛ 𝒂
𝑎(1 – 2𝑒) + 𝑒 = 𝑒(1 – 2𝑎) + 𝑎
𝑎 – 2𝑒𝑎 + 𝑒 = 𝑒 – 2𝑎𝑒 + 𝑎
0=0
𝟎 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒂𝒓𝒂 ⊛, ∀𝒂 ∈ ℚ

AL
c. (1’ ⊛ 2)’ =
1
3
SOLUCIÓN
1(1 – 2.2 )′ + 2 =
1
3
1(−3)′ + 2 =
1
3
−1
3
+ 2 =
1
3
−1 + 6
3
=
1
3
5
3
≠
1
3
¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? ¿Por qué?
a. Es verdadero, porque cumple la propiedad conmutativa.
b. No es verdadero porque, no cumple el elemento neutro en los Q
c. No es verdadero, porque no se cumple la igualdad.
24.En ℚ definimos la operación ⊛ por: 𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + (1/5)𝑎𝑏. ¿Cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas?
a. La operación ⊛ es conmutativa
SOLUCIÓN
∀𝒂, 𝒃 ∈ ℚ, 𝒂 ⊛ 𝒃 = 𝒃 ⊛ 𝒂
𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑏 ⊛ 𝑎
𝑎 + 𝑏 + (
1
5
) 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 + (
1
5
) 𝑏𝑎
𝑎 + 𝑏 +
𝑎𝑏
5
= 𝑏 + 𝑎 +
𝑏𝑎
5
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
𝑺𝒊 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂,
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐.
b. La operación ⊛ es asociativa
SOLUCIÓN
∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℚ (𝒂 ⊛ 𝒃) ⊛ 𝒄 = 𝒂 ⊛ (𝒃 ⊛ 𝒄).
(𝑎 ⊛ 𝑏) ⊛ 𝑐 = 𝑎 ⊛ (𝑏 ⊛ 𝑐)

AL
(𝑎 + 𝑏 + (
1
5
) 𝑎𝑏) ⊛ 𝑐 = 𝑎 ⊛ (𝑏 + 𝑐 + (
1
5
) 𝑏𝑐)
(𝑎 + 𝑏 +
𝑎𝑏
5
) ⊛ 𝑐 = 𝑎 ⊛ (𝑏 + 𝑐 +
𝑏𝑐
5
)
(
5𝑎 + 5𝑏 + 𝑎𝑏
5
) + 𝑐 + (
1
5
) (
5𝑎 + 5𝑏 + 𝑎𝑏
5
) 𝑐 = 𝑎 + (
5𝑏 + 5𝑐 + 𝑏𝑐
5
) + (
1
5
) 𝑎 (
5𝑏 + 5𝑐 + 𝑏𝑐
5
)
5𝑎 + 5𝑏 + 𝑎𝑏
5
+ 𝑐 + (
5𝑎𝑐 + 5𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
25
) = 𝑎 +
5𝑏 + 5𝑐 + 𝑏𝑐
5
+ (
5𝑏𝑎 + 5𝑐𝑎 + 𝑎𝑏𝑐
25
)
5𝑎 + 5𝑏 + 𝑎𝑏 + 5𝑐
5
+ (
5𝑎𝑐 + 5𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
25
) =
5𝑎 + 5𝑏 + 5𝑐 + 𝑏𝑐
5
+ (
5𝑏𝑎 + 5𝑐𝑎 + 𝑎𝑏𝑐
25
)
5(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 𝑎𝑏
5
+ (
5(𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) + 𝑎𝑏𝑐
25
) =
5(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 𝑏𝑐
5
+ (
5(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐) + 𝑎𝑏𝑐
25
)
𝑁𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.
c. 0 es el elemento neutro identidad
SOLUCIÓN
∀𝒂, ∈ ℚ, ∃! 𝒆 ∈ ℚ 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒆 ⊛ 𝒂 = 𝒂
SOLUCIÓN
i) 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒂
𝑎 + 𝑒 + (
1
5
) 𝑎𝑒 = 𝑎
𝑎 + 𝑒 +
𝑎𝑒
5
= 𝑎
5𝑎 + 5𝑒 + 𝑎𝑒
5
= 𝑎
5𝑎 + 5𝑒 + 𝑎𝑒 = 5𝑎
𝑒(5 + 𝑎) = 0
𝑒 =
0
(5 + 𝑎)
∉ ℚ, 𝒂 ≠ −𝟓
ii) 𝒆 ⊛ 𝒂 = 𝒂
𝑒 + 𝑎 + (
1
5
) 𝑒𝑎 = 𝑎
𝑒 + 𝑎 +
𝑒𝑎
5
= 𝑎
5𝑒 + 5𝑎 + 𝑒𝑎
5
= 𝑎
5𝑒 + 5𝑎 + 𝑒𝑎 = 5𝑎
𝑒(5 + 𝑎) = 0

AL
𝑒 =
0
(5 + 𝑎)
∉ ℚ, 𝒂 ≠ −𝟓
iii) 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒆 ⊛ 𝒂
𝑎 + 𝑒 + (
1
5
) 𝑎𝑒 = 𝑒 + 𝑎 + (
1
5
) 𝑒𝑎
𝑎 + 𝑒 +
𝑎𝑒
5
= 𝑒 + 𝑎 +
𝑒𝑎
5
0 = 0
𝑵𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒂𝒓𝒂 ⊛
d. ∀𝒂 ∈ ℚ, ∃𝒂’ ∈ ℚ
∀𝒂, ∈ ℚ, ∃! 𝒂′ ∈ ℚ 𝒂 ⊛ 𝒂′ = 𝒂′ ⊛ 𝒂 = 𝒆
SOLUCIÓN
i) 𝒂 ⊛ 𝒂′ = 𝒆
𝑎 + 𝑎′ + (
1
5
) 𝑎𝑎′ =
0
(5 + 𝑎)
𝑎 + 𝑎′ +
𝑎𝑎′
5
=
0
(5 + 𝑎)
5𝑎 + 5𝑎′
+ 𝑎𝑎′
5
=
0
(5 + 𝑎)
𝑎′
(5 + 𝑎) =
0
(5 + 𝑎)
− 5𝑎
𝑎′
=
0
(5 + 𝑎)2
− 5𝑎, ∉ ℚ, 𝒂 ≠ −𝟓
ii) 𝒂′ ⊛ 𝒂 = 𝒆
𝑎′
+ 𝑎 + (
1
5
) 𝑎′𝑎 =
0
(5 + 𝑎)
𝑎′
+ 𝑎 +
𝑎′𝑎
5
=
0
(5 + 𝑎)
5𝑎′
+ 5𝑎 + 𝑎𝑎′
5
=
0
(5 + 𝑎)
𝑎′
(5 + 𝑎) =
0
(5 + 𝑎)
− 5𝑎

AL
𝑎′
=
0
(5 + 𝑎)2
− 5𝑎, ∉ ℚ, 𝒂 ≠ −𝟓
iii) 𝒂 ⊛ 𝒂′ = 𝒂′ ⊛ 𝒂
𝑎 + 𝑎′
+ (
1
5
) 𝑎𝑎′
= 𝑎′
+ 𝑎 + (
1
5
) 𝑎′𝑎
𝑎 + 𝑎′
+
𝑎𝑎′
5
= 𝑎′
+ 𝑎 +
𝑎′𝑎
5
0 = 0
𝑵𝒐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 ⊛
25.En el conjunto A = {1;2;3;4} definimos la operación ⊛ tal que 3 es la identidad, cada
elemento es su propio inverso y los elementos (dé los resultados en una tabla) de cada
fila y cada columna son diferentes. Si a es la solución de la ecuación (x⊛3)’ = (2⊛4’)’
; hallar el valor de: [(a⊛2)’ ⊛ (a’ ⊛ 3’)] ’
SOLUCIÓN
⊛ 1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 3 2 1
3 1 2 3 4
4 2 1 4 3
(𝒙 ⊛ 𝟑)’ = (𝟐 ⊛ 𝟒’)′
(𝑥 ⊛ 3)’ = (2 ⊛ 4)′
(𝑥 ⊛ 3)’ = (1)′
(𝑥 ⊛ 3)’ = 3
Cuando “x”=3
(3 ⊛ 3)’ = 3
(3)’ = 3
3 = 3
hallar el valor de: [(𝑎 ⊛ 2)’ ⊛ (𝑎’ ⊛ 3’)] ’
reemplazamos “3” en a
[(3 ⊛ 2)’ ⊛ (3′ ⊛ 3′)] ’
[(2)’ ⊛ (3 ⊛ 3)] ’
[(2) ⊛ (3)] ’
[2] ’
2.

AL
Por lo tanto, x=3
26.Si en ℚ definimos la operación ⊛ por: 𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑎(1 – 2𝑏) + 𝑏. ¿Cuáles de las
a. 2’ ⊛ 1’ = 1/3
SOLUCIÓN
2’ ⊛ 1’ =
1
3
1
2
⊛ 1 =
1
3
1
2
(1 − 2.1) + 1 =
1
3
1
2
(1 − 2) + 1 =
1
3
b. ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℚ; (𝒂 ⊛ 𝒃) ⊛ 𝒄 = 𝒂 ⊛ (𝒃 ⊛ 𝒄)
SOLUCIÓN
(𝒂 ⊛ 𝒃) ⊛ 𝒄 = 𝒂 ⊛ (𝒃 ⊛ 𝒄)
( 𝑎(1 – 2𝑏) + 𝑏) ⊛ 𝑐 = 𝑎 ⊛ ( 𝑏(1 – 2𝑐) + 𝑐)
( 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏) ⊛ 𝑐 = 𝑎 ⊛ ( 𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐)
( 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏)(1 − 2𝑐) + 𝑐 = 𝑎 (1 − 2(𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐 ) + ( 𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐))
( 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏)(1 − 2𝑐) + 𝑐 = 𝑎 (1 − 2𝑏 + 4𝑏𝑐 − 2𝑐 ) + ( 𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐))
( 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏)(1 − 2𝑐) + 𝑐 = 𝑎 (1 − 2𝑏 + 4𝑏𝑐 − 2𝑐 ) + ( 𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐))
𝑎 − 2𝑎𝑐 − 2𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐 = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏𝑐 − 2𝑎𝑐 + 𝑏 − 2𝑏𝑐 + 𝑐
𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑏𝑐
𝑬𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐.
c. (𝟐𝒙) ⊛ 𝟑 = 𝟐 ⊛ (𝟑𝒙) ⟶ 𝒙 = 𝟏
SOLUCIÓN
2𝑥(1 – 2.3) + 3 = 2(1 – 2.3𝑥) + 3𝑥
2𝑥(1 – 6) + 3 = 2(1 – 6𝑥) + 3𝑥
2𝑥 − 12 + 3 = 2 − 12𝑥 + 3𝑥
2𝑥 − 9 = 2 − 9𝑥
11𝑥 = 11
𝑥 = 1
𝑬𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐.
−1
2
+ 1 =
1
3
−1 + 2
2
=
1
3
1
2
≠
1
3
𝑬𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐

AL
27.Sea ⊛una operación en ℚ. Si (2a+1)⊛(b – 2) = 2a + b + 1, hallar (- 3)’ ⊛ 4 .
SOLUCIÓN
(𝟐𝒂 + 𝟏) ⊛ (𝒃 – 𝟐) = 𝟐𝒂 + 𝒃 + 𝟏
❖ 𝑥 = 2𝑎 + 1
𝑥 − 1
2
= 𝑎
➢ 𝑦 = 𝑏 – 2
𝑦 + 2 = 𝑏
𝑥 ⊛ 𝑦 = 2𝑎 + 𝑏 + 1
𝑥 ⊛ 𝑦 = 2 (
𝑥 − 1
2
) + 𝑦 + 2 + 1
𝑥 ⊛ 𝑦 = 2 (
𝑥 − 1
2
) + 𝑦 + 2 + 1
𝑥 ⊛ 𝑦 = 𝑥 − 1 + 𝑦 + 2 + 1
𝑥 ⊛ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 2
i) 𝒙 ⊛ 𝒆 = 𝒆 ⊛ 𝒙
SOLUCIÓN
𝑥 + 𝑒 + 2 = 𝑒 + 𝑥 + 2
0 = 0
ii) 𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐 𝒅𝒆 (−𝟑): 𝒂 ⊛ 𝒂′ = 𝒆
−3 ⊛ −3′ = −2
−3 + −3′
+ 2 = −2
−3 + −3′
= −4
−3′
= −1
(− 3)’ ⊛ 4
−1 ⊛ 4
−1 + 4 + 2
𝟓
Desarrollamos el inverso a
través de:
∀𝒙, ∈ ℚ, ∃! 𝒆 ∈ ℚ/ 𝒙 ⊛ 𝒆
= 𝒆 ⊛ 𝒙 = 𝒙
i) 𝒙 ⊛ 𝒆 = 𝒙
SOLUCIÓN
𝑥 + 𝑒 + 2 = 𝑥
𝑒 = −2
ii) 𝒆 ⊛ 𝒙 = 𝒙
SOLUCIÓN
𝑒 + 𝑥 + 2 = 𝑥
𝑒 = −2

AL
28.Si definimos la operación ⊛ en ℚ por: 𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 – 𝑎𝑏 y si a’ es el inverso de a,
entonces hallar 2’ ⊛ 3’.
SOLUCIÓN
2’ ⊛ 3’
1
2
+
1
3
−
1
2
∗
1
3
3 + 2
6
−
1
6
5
6
−
1
6
𝟐
𝟑
Elemento Simetría.
i) 𝒂′ ⊛ 𝒂 = 𝒆
2 ⊛ 2′
=
0
(1– 𝑎)
∉ ℚ,𝑎 ≠ 1
2 + 2′
− 2.2′ =
0
(1– 𝑎)
2′
(1 − 2) =
0
(1– 𝑎)
− 2
2′(−1) = −2
2′
= 2
ii) 𝒂′ ⊛ 𝒂 = 𝒆
3 ⊛ 3′
=
0
(1– 𝑎)
∉ ℚ,𝑎 ≠ 1
3 + 3′
− 3.3′ =
0
(1– 𝑎)
3′
(1 − 3) =
0
(1– 𝑎)
− 3
3′(−2) = −3
𝟑′
=
𝟑
𝟐
Elemento Neutro.
i) 𝒂 ⊛ 𝒆 = 𝒂
𝑎 + 𝑒 – 𝑎𝑒 = 𝑎
𝑒 (1– 𝑎) = 0
𝑒 =
0
(1– 𝑎)
∉ ℚ, 𝑎 ≠ 1
REEMPLAZANDO:
2’ ⊛ 3’
2 +
3
2
− 2 ∗
3
2
2 +
3
2
− 3
7 − 6
2
𝑹𝑬𝑺𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑨:
𝟏
𝟐

AL
29. Sea A = {a;b;c;d} y ⊛ la operación definida en A mediante la tabla adjunta. Hallar:
x = [(d⊛a’ )’ ⊛ b’ ]’
Si es conmutativa ⊛
30.Si A = {p;q;r;s}, se define la operación ⋇ mediante la tabla adjunta. ¿Cuántas de las siguientes
a. ⋇ es conmutativa.
⊛ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
⋇ q r s p
q p s r q
r s p q r
s r p q s
p q r s p
➢ Primero para poder resolver este ejercicio
tenemos que identificar tres cosa:
1) conmutativa
2) elemento neutro e=a
3) a⊛a’=e
a⊛a=a
b⊛b =a
c⊛ c=a
d⊛ d=a
a’=a
b’=b
c’=c
d’=d
𝑝 ∗ 𝑞 = 𝑞 ∗ 𝑝
𝑞 = 𝑞………son iguales
𝑞 ∗ 𝑟 = 𝑟 ∗ 𝑞
𝑠 = 𝑠..……son iguales
𝑟 ∗ 𝑠 = 𝑠 ∗ 𝑟
𝑝 = 𝑞….no son iguales
𝑝 ⊛ 𝑞 = 𝑞 ⊛ 𝑝
𝑏 = 𝑏……….son iguales
𝑏 ⊛ c = 𝑐 ⊛ b
𝑑 = 𝑑..……son iguales
𝑐 ⊛ 𝑑 = 𝑑 ⊛ c
𝑏 = 𝑏……. son iguales
x = [(d⊛a’)’ ⊛ b’ ]’
x= [(d⊛a)’ ⊛ b’ ]’
x= [d’ ⊛ b’ ]’
x= [d ⊛ b ]’
x= c’
x=c

AL
No es conmutativa ⋇
b. Existe un elemento neutro identidad para ⋇
• El elemento neutro de ⋇ es p
c. Todo elemento de A tiene un inverso respecto de ⋇
d. Si (p⋇q) ⋇ x = s ⟶ x = r
⋇ q r s p
q p s r q
r s p q r
s r p q s
p q r s p
(p⋇q) ⋇ x = s ⟶ x = r
(p⋇q) ⋇s
q⋇s
r
x=r……….. esta afirmación es verdadera
El inverso:
q’ = q
r’= r
s’ = r
p’ = p

AL
31.Sea A = {a;b;c;d;e} y ⋇ una operación binaria asociativa definida en A según el cuadro adjunto.
Dado el sistema de ecuaciones: x⋇y = b, x⋇y’ = d.
Hallar el par ordenado: (x⋇d;y⋇c)
SOLUCION
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑏
𝑥 ∗ 𝑦′
= 𝑑
Si tenemos lo siguiente
𝒙 ∗ 𝒅; 𝒚 ∗ 𝒄
Diremos que
𝒙 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆
𝒚 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆
𝒄 ∗ 𝒅; 𝒆 ∗ 𝒄
Si buscamos en el cuadro
(𝒄 ∗ 𝒅; 𝒆 ∗ 𝒄)
(𝒂; 𝒃) ………este seria el par que se estaría buscando.
⋇ a b c d e
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
e e a b c d
----------------------------------------------------------------
Se puede observar que en el cuadro se cumple la
conmutativa
Y se tiene como elemento neutro a:
e = a
-------------------------------------------------------------------------
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒
𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎
𝑏 ∗ 𝑒 = 𝑎
𝑑 ∗ 𝑐 = 𝑎
𝑒 ∗ 𝑏 = 𝑎
𝑎′ = 𝑒
𝑏′ = 𝑒
𝑐′
= 𝑑
𝑑′ = 𝑐
𝑒′ = 𝑏
𝑋 = 𝑐
𝑌 = 𝑒

AL
32.En el conjunto A = {p;q;r;s;t}, sea la operación definida en A, según lo indica el cuadro
adjunto. Si (p x’)’ (t q’) = t’.
Hallar el valor de: x r
SOLUCION
𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑒
𝑝 ∗ 𝑞 = 𝑠
𝑟 ∗ 𝑡 = 𝑠
𝑠 ∗ 𝑠 = 𝑠
𝑡 ∗ 𝑟 = 𝑠
33.Completar la siguiente tabla, de manera que se defina una operación binaria conmutativa en
S = {a,b,c,d}
p q r s t
p r s t p q
q s t p q r
r t p q r s
s p q r s t
t q r s t p
a b c d
a a b c d
b b d a c
c c a d b
d d c b a
𝑏 ⋇ 𝑐 = 𝑐 ⋇ 𝑏
𝑎 = 𝑎 … … . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝑐 ⋇ 𝑑 = 𝑑 ⋇ 𝑐
𝑏 = 𝑏 … … . . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
𝑏 ⋇ 𝑑 = 𝑑 ⋇ 𝑏
𝑐 = 𝑐 … … … . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
Podemos decir de que el operador * es
conmutativo y su elemento neutro es :
e= s
Entonces
. 𝑆𝑖 (𝑝 𝑥’)’ (𝑡 𝑞’) = 𝑡’
(𝑝 ∗ 𝑥′)′
∗ (𝑡 ∗ 𝑞′) = 𝑡′
(𝑝 ∗ 𝑥′) ∗ (𝑡 ∗ 𝑝) = 𝑟
(𝑝 ∗ 𝑥′) ∗ 𝑞 = 𝑟
Reemplazando
((𝑝 ∗ 𝑞′)´ ∗= 𝑟
(𝑝 ∗ 𝑝)′ ∗ 𝑞 = 𝑟
(𝑟)′
∗ 𝑞 = 𝑟
𝑡 ∗ 𝑞 = 𝑟
𝑟 = 𝑟
Si nos fijamos en la tabla
r con r resulta q
por lo que podemos decir que
x=q
AHORA REEMPLAZANDO
EN x r
q r esta operación nos da p.
entonces el valor que
buscamos es P.

AL
34.En la siguiente tabla completar, de tal manera la operación binaria es asociativo en S =
{a,b,c,d} Supóngase que esto es posible.
35. Sea la operación ⋇ definida en S = {a, b, c, d, e}, mediante la tabla que se muestra. Encontrar:
⋇ a b c d e
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
e e a b c d
1. 𝑏 ⋇ 𝑎 = 𝑏
2. 𝑑 ⋇ 𝑑 = 𝑒
3. 𝑐 ⋇ 𝑐 = 𝑒
4. 𝑒 ⋇ 𝑐 = 𝑏
5. 𝑎 ⋇ 𝑏 = 𝑏
6. 𝑏 ⋇ 𝑏 = 𝑐
7. 𝑏 ⋇ 𝑒 = 𝑎
8. [(𝑎 ⋇ 𝑐) ⋇ 𝑒] ⋇ 𝑎
a b c d
a a b c d
b b a c d
c c d c d
d d c c d
(𝑑 ⋇ 𝑎) ⋇ 𝑏 = 𝑑 ⋇ (𝑎 ⋇ 𝑏)
𝑑 ⋇ 𝑏 = 𝑑 ⋇ 𝑏
𝑐 = 𝑐 … … . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
(𝑏 ⋇ 𝑑) ⋇ 𝑐 = 𝑏 ⋇ (𝑑 ⋇ 𝑐)
𝑑 ⋇ 𝑐 = 𝑏 ⋇ 𝑐
𝑐 = 𝑐 … … . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
(𝑐 ⋇ 𝑏) ⋇ 𝑎 = 𝑐 ⋇ (𝑏 ⋇ 𝑎)
𝑑 ⋇ 𝑎 = 𝑐 ⋇ 𝑏
𝑑 = 𝑑 … … . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
(𝑐 ⋇ 𝑏) ⋇ 𝑑 = 𝑐 ⋇ (𝑏 ⋇ 𝑑)
𝑑 ⋇ 𝑑 = 𝑐 ⋇ 𝑑
𝑑 = 𝑑 … … . 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
[(𝑎 ⋇ 𝑐) ⋇ 𝑒] ⋇ 𝑎 = [𝑐 ⋇ 𝑒] ⋇ 𝑎 = 𝑏 ⋇ 𝑎 = 𝑏 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏
9. (𝑎 ⋇ 𝑏) ⋇ 𝑐 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
(𝑎 ⋇ 𝑏) ⋇ 𝑐 = 𝑏 ⋇ 𝑐 = 𝑑 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑
10. 𝑎 ⋇ (𝑏 ⋇ 𝑐) 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 ⋇ (𝑏 ⋇ 𝑐) = 𝑎 ⋇ 𝑑 = 𝑑 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑
11. ¿ 𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 (9 𝑦
10) 𝑞𝑢𝑒 ⋇ 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜?
𝐸𝑠 𝐴𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑎 ⋇ 𝑏) ⋇ 𝑐 = 𝑎 ⋇ (𝑏 ⋇ 𝑐) 𝑏 ⋇ 𝑐 = 𝑎 ⋇ 𝑑
𝑑 = 𝑑
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
12. (𝑏 ⋇ 𝑑) ⋇ 𝑐
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
(𝑏 ⋇ 𝑑) ⋇ 𝑐 = 𝑒 ⋇ 𝑐 = 𝑏
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏
13. 𝑏 ⋇ (𝑑 ⋇ 𝑐) 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑏 ⋇ (𝑑 ⋇ 𝑐) = 𝑏 ⋇ 𝑎 = 𝑏 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏
14. ¿ 𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 (12 𝑦 13), 𝑞𝑢𝑒
⋇ 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜?
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
(𝑏 ⋇ 𝑑) ⋇ 𝑐 = 𝑏 ⋇ (𝑑 ⋇ 𝑐) 𝑒 ⋇ 𝑐 = 𝑏 ⋇ 𝑎
𝑏 = 𝑏
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
15. ¿ 𝐴𝑐𝑎𝑠𝑜 ⋇ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜? ¿ 𝑃𝑜𝑟 𝑞𝑢é?
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠.

AL
GRACIAS

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