tổng hợp các câu hỏi tuyển dụng của microsoft

1. L m sao dàch chuyºn nói Phó S¾?
Microsoft's Cult of Puzzle
DongPhD
DongPhD TranslateSeries
o`:1
Available at http://dongphd.blogspot.com
Tâm t­t nëi dung
Ph¦n lîn c¡c c¥u è d÷îi ¥y l c¡c c¥u häi tuyºn döng cõa Mi-crosoft
xu§t hi»n trong cuèn s¡ch How Would You Move Mount
Fuji?1 (L m sao dàch chuyºn nói Phó S¾) cõa William Poundstone. Hy
vång nâ s³ húu ½ch cho måi ng÷íi.
CC C…U È V€ LÍI GIƒI
The man with a hammer sees every problem
as a nail. - An old saying
C¥u häi 1. Tr¶n mët tam gi¡c ·u ð ba ¿nh câ ba con ki¸n. Méi con
b­t ¦u di chuyºn th¯ng theo mët h÷îng b§t ký theo c¤nh cõa tam gi¡c
¸n mët gâc kh¡c. X¡c su§t cõa bi¸n cè khæng câ con ki¸n n o öng
nhau l bao nhi¶u?
1Copyright
c 2003 by William Poundstone
1

2. DongPhD 2
Tr£ líi. Ch¿ câ hai c¡ch di chuyºn º c¡c con ki¸n khæng g°p nhau l
t§t c£ chóng di chuyºn ng÷ñc chi·u ho°c còng chi·u kim áng hç. N¸u
khæng vi»c chóng ch¤m v o nhau l khæng thº tr¡nh khäi.
B¤n h¢y chån mët con ki¸n b§t ký v °t t¶n nâ l DongPhD2.
Khi DongPhD di chuyºn theo h÷îng n o th¼ nhúng con ki¸n kh¡c ph£i
chuyºn ëng theo h÷îng â º khæng öng nhau. V¼ c¡c con ki¸n lüa
chån h÷îng i ng¨u nhi¶n v ch¿ câ hai kh£ n«ng x£y ra n¶n x¡c su§t
º con ki¸n thù hai s³ di chuyºn còng chi·u vîi DongPhD l 1
2 v x¡c
su§t º con ki¸n thù ba di chuyºn còng chi·u vîi DongPhD l 12
. Nh÷
vªy x¡c su§t c¦n t¼m l 1
4
C¥u häi 2. B¤n câ 26 h¬ng sè l¦n l÷ñt ÷ñc k½ hi»u tø A ¸n Z.
Cho A = 1. H¬ng sè ti¸p theo ÷ñc t½nh b¬ng cæng thùc l§y sè thù
tü cõa nâ trong b£ng chú c¡i mô h¬ng sè ùng tr÷îc nâ. Ch¯ng h¤n
B = 2A = 21 = 2, C = 3B = 32 = 9. . . . T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc
(X A)(X B) : : : (X Y )(X Z):
Tr£ líi. Trong ti¸ng Anh, b¤n åc tø tr¡i sang ph£i n¶n b¤n ¢ rìi
v o c¡i b¨y m b i to¡n cè þ s­p °t khi b¤n b­t ¦u h nh tr¼nh i
t¼m líi gi£ tø c¡c sè b¶n tr¡i. H¬ng sè X b¬ng bao nhi¶u?
X l chú c¡i thù 24 trong b£ng chú c¡i ti¸ng Anh n¶n nâ b¬ng 24W.
V¼ W l chú c¡i thù 23 n¶n nâ b¬ng 23V , V = 22U, U = 21T . . .
T§t c£ i·u n y câ ngh¾a l 3
googol = 10100 googolplex = 1010100
X = 242322
...
21
tùc l , X l sè væ còng lîn.
Trang web t¼m ki¸m Google ÷ñc °t t¶n theo tø googol, con sè vîi
10100. Cán sè lîn hìn núa gåi l googolplex l sè câ 1 chú sè 1 ùng
¦u v ph½a sau nâ l googol chú sè 0. C£ googol v googolplex ·u
khæng câ ùng döng thüc t¸ n o chóng ch¿ º chùng tä r¬ng câ nhúng
2B£n ti¸ng Anh l Bill
3Thanks to Mr. Tr¦n Mªu Quþ
http://dongphd.blogspot.com

3. DongPhD 3
sè lîn kinh khõng. Trong vô trö khæng câ mët èi t÷ñng n o câ thº
t¤o th nh googol cán googolplex th¼ lîn ¸n mùc khæng thº vi¸t ÷ñc
to n bë sè sè 0 cõa nâ.
Googolplex so vîi X v¨n l mët con sè nhä hìn. Tªp o n Intel
ch÷a s£n xu§t õ l÷ñng vi m¤ch º t½nh ÷ñc gi¡ trà cõa X. Thªm
ch½ n¸u ành luªt Moore4 luæn óng vîi thíi gian v b¤n l§p ¦u vô
trö b¬ng c¡c con chip i»n tû Super-Hyper-Pentium th¼ b¤n ch÷a t½nh
֖c X.
i·u n y gñi cho b¤n mët i·u b§t th÷íng trong biºu thùc n y. C¥u
tr£ líi óng l 0. Trong 26 thøa sè câ mët thøa sè b¬ng (X X) = 0.
Do â gi¡ trà cõa c¡c thøa sè kh¡c khæng cán l v§n · quan trång.
C¥u häi n y gióp ng÷íi phäng v§n bi¸t ÷ñc ùng vi¶n câ xem x²t
v§n · to n cöc tr÷îc khi ¦u t÷ thíi gian cæng sùc º l m mët vi»c
º l m mët vi»c câ thº l væ ngh¾a khæng. Nh÷ng èi vîi nhi·u ng÷íi,
v§n · to n cöc â ch½nh l vi»c hå ð trong mët cuëc phäng v§n ¦y
¡p lüc trong â méi sü lóng tóng ·u ÷ñc t½nh iºm. Thªm ch½ trong
tr÷íng hñp hå quen xem x²t v§n · to n cöc v kº c£ hå nghi ngí
câ i·u g¼ ©n d§u th¼ r§t nhi·u ng÷íi v¨n b­t tay v o vi»c thüc hi»n
c¡c ph²p t½nh ¤i sè mët c¡ch væ thùc. H¦u nh÷ hå s³ l m tø b¶n tr¡i
sang. Hå câ thº i theo con ÷íng sai â mët thíi gian tr÷îc khi nhªn
th§y c¡ch ìn gi£n.
C¥u häi 3. X¥y düng h» ¸m cì sè 2
Tr£ líi. Y¶u c¦u ngèc ngh¸ch n y ÷ñc sû döng tø l¥u trong c¡c cuëc
phäng v§n cõa Microsoft. Thüc sü l khæng tçn t¤i h» ¸m cì sè -2.
Nâ công gièng nh÷ y¶u c¦u vi¸t v i c¥u trong ngæn ngú Klingon.5
Tuy nhi¶n ta câ thº ph¡t minh ra h» ¸m cì sè -2 mët c¡ch câ lþ.
¥y l i·u b¤n ÷ñc y¶u c¦u.
Thæng th÷íng chóng ta sû döng cì sè 10 º vi¸t c¡c sè. Tùc l ta
t¡ch c¡c sè â th nh chuéi lôy thøa cì sè 10. Ch¯ng h¤n, sè 176 b¬ng
1102+7101+6100. (Quy ÷îc, sè n o lôy thøa 0 ·u b¬ng 1).
Mët t½nh ch§t quan trång l h» ¸m cì sè 10 sû döng 10 chú sè (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 v 9).
4Gordon Moore, cofounder of Intel
5Ngæn ngú cõa ng÷íi ngo i h nh tinh trong phim Star Trek
http://dongphd.blogspot.com

4. DongPhD 4
M¡y t½nh sû döng h» ¸m cì sè 2, hay l h» nhà ph¥n. Nâ ch¿ dòng
hai chú sè (0 v 1). Trong sè câ nhi·u chú sè (ch¯ng h¤n 10010), méi
và tr½ ¤i di»n cho mët lôy thøa li¶n ti¸p cõa 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32 ... Sè
nhà ph¥n 10010 câ ngh¾a l 124 + 023 + 022 + 121 + 020.
Trong h» thªp ph¥n nâ ùng vîi sè 18.
Nâi chung, b§t k¼ cì sè n o ÷ñc x¥y düng gièng nh÷ c¡c táa nh
h¼nh khèi vîi c¡c k½ch cï kh¡c nhau. Trong cac Trong cì sè 10, c¡c
khèi câ k½ch cï l 1, 10, 100, 1000, vv. Trong cì sè 2, c¡c khèi câ k½ch
cï l¦n l÷ñt l 1, 2, 4, 8, 16, v.v. Vi»c k¸t nèi c¡c h¼nh khèi theo c¡c
k½ch cï ti¶u chu©n n y t¤o n¶n b§t k¼ sè n o ta muèn.
èi vîi cì sè 2 th¼ sao?
Tr÷îc h¸t, c¡c sè trong h» ¸m cì sè -2 s³ ÷ñc biºu di¹n th nh
têng c¡c lôy thøa cõa -2. C¡c lôy thøa li¶n ti¸p cõa -2 l 1, -2, 4,
-8, 16, -32. . . º þ lôy thøa bªc l´ l sè ¥m6 (2 2 = +4, nh÷ng
2 2 2 = 8). Do â b¤n ph£i biºu di¹n c¡c sè theo tªp c¡c
sè ¥m v d÷ìng cè ành n y.
B¤n câ thº nghi ngí l câ thº biºu di¹n t§t c£ c¡c sè ÷ñc khæng?
Câ thº. B¤n câ thº biºu di¹n t§t c£ c¡c sè ¥m v d÷ìng theo c¡ch n y
(khæng c¦n sû döng ¸n d§u ¥m l¶n c¡c gi¡ trà nh÷ vi»c biºu di¹n c¡c
sè ¥m trong c¡c cì sè thæng th÷íng). Cì sè -2 nâi chung y¶u c¦ nhi·u
chú sè hìn h» nhà ph¥n thæng th÷íng.
Tr÷îc khi b­t ¦u t½nh, ta c¦n gi£i quy¸t v§n · sau. C¡c chú sè
dòng trong cì sè -2 l g¼? l 0 v 1 hay 0 v -1? Hay l to n bë chóng?
Vîi c¡c cì sè thæng th÷íng, sè chú sè b¬ng óng gi¡ trà cì sè. Trong
cì sè 10 câ 10 chú sè. Trong cì sè 2 l 2 chú sè. Theo quy t­c n y h»
cì sè -2 c¦n -2 chú sè v nâ ½t hìn 0 chú sè.
Quy t­c n y ph£i ÷ñc thay êi. Tuy nhi¶n câ sü thay êi hñp lþ
v sü thay êi khæng hñp lþ. B¤n c¦n ph£i giú ÷ñc tinh th¦n cõa h»
¸m trong khi chuyºn nâ sang l¾nh vüc mîi cõa c¡c sè ¥m. Quy t­c sè
chú sè b¬ng cì sè khæng thº chuyºn sang cho cì sè ¥m.
C¡ch ti¸p cªn hiºn nhi¶n nh§t l sû döng sè 0 v sè 1. Chóng ¢
÷ñc dòng trong h» nhà ph¥n thæng th÷íng. Mët c¡ch kh¡c câ v´ hñp
lþ hìn l sû döng 0 v -1, v hiºu chóng nh÷ l c¡c k½ hi»u dìn thu¦n.
M°c dò, câ v´ phùc t¤p hìn. Ta n¶n chån c¡ch c ng ìn gi£n c ng tèt.
H¢y dòng 0 v 1.
Sè 1 ÷ñc vi¸t mët c¡ch ìn gi£n l 1 [tùc l 1 (20)].
6º ti»n t½nh to¡n v· sau
http://dongphd.blogspot.com

5. DongPhD 5
Sè 2 th¼ khâ hìn. Và tr½ ti¸p theo t½nh tø ph£i sang tr¡i l -2. Tùc
l 10 (trong cì sè -2) s³ l 1 (2)1 + 0 (2)0 = 2 + 0 = 2.
X²t 111. â l 1(2)2+1(2)1+1(2)0 = 4+(2)+1 = 3:
OK, thay 1 bði 0 ð và tr½ tªn còng b¶n ph£i : 110 l 4 + (-2) + 0 = 2.
Vªy 110 l 2 trong h» ¸m cì sè -2.
Tr¶n ¥y ta ¢ ch¿ ra sè 3 trong h» thªp ph¥n l 111 trong h» -2.
Sè 4 công d¹. Và tr½ thù ba l 4, nh÷ h» nhà ph¥n thæng th÷íng. Bèn
l 100. Th¶m 1 v o và tr½ tªn còng b¶n ph£i ta ÷ñc sè 5 trong h» -2,
tùc l 101. º biºu di¹n 6, ta khæng n¶n °t sè 1 v o và tr½ thù hai
ho°c thù t÷ tø b¶n ph£i v¼ s³ câ hai sè ¥m t÷ìng ùng l -2 v -87. Ta
ph£i nh£y câc tîi và tr½ thù n«m, ùng vîi 16. Vªy 10000 l 16. Nâ qu¡
lîn. Nh÷ng 11000 b¬ng 16+(-8)=8. Trø i 2, tùc l th¶m sè 1 v o và
tr½ thù hai tø ph£i sang 11010 chóng ta câ phi¶n b£n cõa sè 6 trong
h» cì sè -2.
Cång th¶m 1 cho ta sè 7(11011)
Sè 8 ta ¢ bi¸t ð tr¶n l 11000.
Th¶m 1 ta ÷ñc 9 (11001).
èi vîi sè 10, công hìi r­c rèi. B­t ¦u vîi 8 (11000). Cång 4 v o
nâ b¬ng c¡ch °t sè 1 v o và tr½ thù 3(11100). Sau â trø i b¬ng c¡ch
°t 1 v o và tr½ sè 2 (11110). â l 10.
M÷íi chú sè ¦u ti¶n trong h» ¸m cì sè -2 l : 1, 110, 111, 100,
101, 11010, 11011, 11000, 11001 v 11110.
C¥u häi 4. N«m t¶n c÷îp biºn tr¶n mët hán £o câ 100 çng ti·n
v ng º chia nhau. Chóng chia cõa c£i c÷îp ÷ñc nh÷ sau: T¶n t÷îng
c÷îp ÷a ra quy t­c chia sau â c¡c t¶n cán l¤i bä phi¸u. N¸u ½t nh§t
mët nûa sè t¶n c÷îp çng þ th¼ chóng s³ chia v ng theo c¡ch â. N¸u
khæng t¶n t÷îng c÷îp s³ bà gi¸t v b­t ¦u l¤i. T¶n câ àa và cao nh§t
(trong sè cán sèng sât) ÷a ra quy t­c cõa m¼nh v b¦u l¤i theo quy
t­c cô v ho°c l chia cõa c£i ho°c gi¸t t¶n c¦m ¦u. Qu¡ tr¼nh n y
ti¸p töc cho ¸n khi quy t­c ÷ñc ch§p nhªn. Gi£ sû b¤n l t÷îng c÷îp
b¤n s³ ua ra c¡ch chia th¸ n o? (Gi£ sû c¡c t¶n c÷îp ·u cüc k¼ logic,
tham lam v ·u muèn sèng)
7i·u n y l m cho sè nhä i
http://dongphd.blogspot.com

6. DongPhD 6
Tr£ líi. Nh÷ ta bi¸t, c£ n«m t¶n c÷îp biºn ·u b¼nh ¯ng trong vi»c
y¶u c¦u nhªn c¡c çng ti·n v ng. C¡ch ìn gi£n nh§t l chia th nh
n«m ph¦n. Méi ph¦n 20 çng. Câ g¼ sai khæng? C¥u tr£ líi l khæng
sai nh÷ng câ thº l b¤n bà gi¸t. Sau khi b¤n ÷a ra c¡ch chia n y, bèn
t¶n c÷îp cán l¤i ngh¾ 20 çng l cæng b¬ng nh÷ng 25 çng v¨n ngon
hìn. â l sè ti·n chóng nhªn ÷ñc khi bä phi¸u chèng v gi¸t b¤n.
Khi â chóng s³ b­t ¦u chia l¤i 100 çng v ch¿ câ 4 t¶n.
B¤n câ thº tranh c¢i ¸n t½m m°t cho r¬ng c¡ch chia cõa b¤n l
cæng b¬ng nh§t. Ch¿ câ mët i·u l c¥u è khæng · cªp ¸n t½nh cæng
b¬ng cõa c¡c t¶n c÷îp biºn. Cæng b¬ng khæng ph£i l b£n ch§t cõa
chóng.
Khæng nhúng c¡ch chia cõa b¤n bà b¡c bä m nhúng c¡ch chia ti¸p
theo s³ bà ph£n èi n¸u cù theo c¡ch n y. Chia cho 3 v¨n tèt hìn chia
cho 4? Hai v¨n lñi hìn 3? C¥u chuy»n s³ k¸t thóc ð ¥u?
C¥u è tüa nh÷ trá chìi Survivor tr¶n truy·n h¼nh. 8 C¥u â n y l
mët v½ dö kh¡c trong lªp luªn hçi quy. Líi gi£ phö thuëc v o vi»c nhªn
ra t¼nh huèng vîi n t¶n c÷îp câ thº ph¥n t½ch düa theo t¼nh huèng
n 1 t¶n c÷îp v v¥n v¥n, cho ¸n khi b¤n v÷ìn tîi t¼nh huèng cì
sð , â l t½nh huèng hiºn nhi¶n óng.
T¼nh huèng cì sð ð ¥y l ch¿ cán mët t¶n sèng sât. Hiºn nhi¶n
mët m¼nh h­n s³ æm trån èng v ng.
N¸u câ hai t¶n c÷îp th¼ sao? T¶n c¦m ¦u ÷a ra c¡ch chia cõa
m¼nh. Theo gi£ thi¸t c¡ch chia s³ ÷ñc ch§p nhªn n¸u câ ½t nh§t mët
nûa t¡n th nh. Tùc l t¶n thõ l¾nh bä phi¸u cho ch½nh m¼nh th¼ l õ.
Do â, t¶n c¦m ¦u s³ ch£ng câ g¼ ph£i sñ v khæng c¦n º þ t¶n kia
ngh¾ g¼. H­n l mët con qu tham lam, h­n ÷a ra · nghà m¼nh ÷ñc
h÷ðng t§t c£ sè v ng. Mët phi¸u chèng v mët phi¸u thuªn v c¡ch
chia ÷ñc ti¸n h nh.
T¶n c¦m ¦u câ v´ luæn l§y måi thù. Nh÷ng khæng. Gi£ sû t¶n n y
công · nghà nh÷ vªy trong tr÷íng hñp câ 3 t¶n c÷îp. Ta ¡nh sè
chóng tø th§p l¶n cao (theo àa và): #1, #2, v #3. #3 ÷a ra c¡ch
chia. N¸u c¡ch chia l måi thù cho tæi v khæng câ g¼ cho c¡c anh
t¶n c÷îp ti¸p theo #2 s³ bä phi¸u chèng. T¶n c÷îp #2 bi¸t r¬ng h­n
s³ câ måi thù sau khi #3 bà ch²m. T¶n c÷îp #1 l ng÷íi quy¸t ành
t§t c£. H­n khæng câ g¼ trong tr÷íng hñp cán l¤i 2 t¶n. H­n khæng câ
lþ do g¼ º chån c¡ch n y hay c¡ch kh¡c.
8Bä qua mët o¤n
http://dongphd.blogspot.com

7. DongPhD 7
V¼ vªy n¸u thæng minh #3 s³ mua sü õng hë cõa #1. T¶n c÷îp #3
công r§t tham lam. H­n ch¿ muèn chi ra vøa õ m thæi. · nghà logic
cõa t¶n c÷îp#3l cho #1 mët çng, #2 khæng câ g¼ v h­n - ahem!
- câ 99 çng ti·n v ng. Theo logic #1 nhªn ra th câ cán hìn khæng
v õng hë t¶n c÷îp #3. #1 s³ bä phi¸u cho #3 (t§t nhi¶n #3 bä cho
m¼nh) v quy t­c ÷ñc thæng qua m°c cho #2 nguy·n rõa.
B¥y gií x²t tr÷íng hñp câ 4 t¶n c÷îp. Bèn l sè ch®n. Tùc l t¶n
c¦m ¦u ch¿ c¦n 1 phi¸u thuªn núa l c¡ch chia cõa h­n ÷ñc thæng
qua. C¥u häi cõa h­n l mua phi¸u cõa ai l r´ nh§t?.
Trong tr÷íng hñp câ 3 t¶n. T¶n c÷îp #2 l thi»t thái nh§t. V¼ vªy
k¸ ho¤ch cõa #4 l cho #2 mët ½t th¼ #2 s³ õng hë hanwns theo logic.
N¸u #2 õng hë th¼ t¶n c÷îp #4 khæng c¦n º þ
#1 v #3 ngh¾ g¼. K¸ ho¤ch cõa t¶n c÷îp #4 l khæng câ g¼ cho
#1, mët çng cho #2, khæng câ g¼ cho #3, v 99 çng cho h­n.
B¥y giwof th¼ ta ¢ th§y ÷ñc mæ h¼nh cõa b i to¡n. Trong méi
tr÷íng hñp, t¶n thõ l¾nh s³ mua sè phi¸u thuªn m¼nh c¦n vîi gi¡ r´
nh¥t câ thº. Sau â giú måi thù cán l¤i cho m¼nh.
p döng cho tr÷íng hñp 5 t¶n c÷îp ¢ cho trong c¥u è. B¤n t¶n l
#5. B¤n c¦n 3 phi¸u: phi¸u cõa m¼nh v 2 phi¸u kh¡c núa. Do â b¤n
ph£i cho hai t¶n c÷îp khæng câ g¼ khi #4 c¦m ¦u mët ½t x÷ìng.â
l #1 v #3. C£ hai s³ tr­ng tay n¸u b¤n bà gi¸t v #4 l m thõ l¾nh.
T§t nhi¶n chóng s³ õng hë b¤n n¸u câ ÷ñc chót ¿nh. B¤n n¶n ÷a
ra · nghà l Pirate #4: 0 çng, #3: 1 çng, #2: 0 çng, v 1 çng
cho #1. 98 çng cán l¤i l cõa b¤n9
Líi gi£i n y tr¡i vîi c¡ch ngh¾ thæng th÷íng v thuy¸t phöc ng÷íi
ta khæng c¦n c¡c c¥u è logic. N¸u nh÷ c¡c t¶n c÷îp t¤o ra mët li¶n
minh (gièng nh÷ game show kiºu Survivor) tr¶n cì sð t¼nh b¤n th¼
c¡c lªp luªn tr¶n khæng cán óng núa. Thªm ch½ khæng câ c¡c li¶n
minh, líi gi£ n y công c¦n xem x²t. Bån c÷îp biºn (hay bån buæn ma
tóy hay mafia hay nhúng k´ b¤n ngh¾ l ½ch k¿ thüc döng) s³ ngçi y¶n
khi b¤n câ 98 çng trong khi chóng ch¿ câ mët thªm ch½ khæng câ çng
n o? Bèn t¶n â s³ b­n b¤n ngay v sau â mîi suy luªn.
9N¸u l tæi s³ chia 1 çng cho c£ #1 v #3, tæi cán 99 çng.
http://dongphd.blogspot.com

8. DongPhD 8
C¥u häi 5. B¤n câ hai sñi d¥y ch¡y. Méi sñi s³ ch¡y h¸t sau óng mët
gií, nh÷ng th nh ph¦n cõa c£ hai khæng çng nh§t n¶n khæng ch¡y vîi
tèc ë khæng êi. Câ o¤n ch¡y nhanh v câ o¤n ch¡y chªm. L m th¸
n o º o 45 phót ch¿ dòng c¡c sñi d¥y v bªt lûa?
Tr£ líi. Mët phi¶n b£n ìn gi£n hìn cõa c¥u häi n y l l m th¸ n o
º o ÷ñc 30 phót nhí v o sñi o¤n d¥y tr¶n. V ta s³ b­t ¦u vîi
c¥u häi d¹.
Khæng câ nhi·u chån lüa. èt ch¡y c£ hai ta s³ khæng bi¸t thíi
gian ¢ træi qua bao l¥u cho ¸n khi chóng ch¡y h¸t: 60 phót. Khæng
tèt.
º þ r¬ng b¤n câ thº t¼m ÷ñc iºm giúa cõa sñi d¥y m khæng
dòng tîi th÷îc. Ch¿ vi»c g§p æi l¤i. Nh÷ng n¸u b¤n èt mët nûa công
khæng ÷ñc g¼. Bði v¼ d¥y ch¡y khæng ·u. Ch¯ng h¤n, nûa ph£i ch¡y
cüc nhanh v m§t 1 phót. Trong khi nûa tr¡i ch¡y cüc chªm v m§t
59 phót. i·u n y khæng gióp b¤n x¡c ành khi n o 30 hay 45 phót
træi qua.
Ta ¢ v²t h¸t kh£ n«ng ch÷a? Ch÷a. Mët c¡ch thæng minh l x¸p
hai d¥y theo h¼nh chú X. °t sao cho chóng c­t nhau t¤i iºm giúa.
Khi â n¸u b¤n èt mët ch¥n cõa chú X lûa ch¡y ¸n giao iºm v
lªp tùc ti¸p töc ch¡y theo 3 h÷îng.
T§t c£ i·u n y d¨n tîi vi»c èt c¡c sñi d¥y t¤i iºm giúa (vi»c ta
¢ l m nh÷ng væ ½ch) t¤i mët thíi iºm trong t÷ìng lai (m§t bao l¥u
mîi tîi iºm giao). ¢ h¸t kh£ n«ng ch÷a nh¿? Ch÷a, ta công câ thº
èt c£ hai ¦u.
Tèc ë ch¡y cõa hai ngån lûa khæng câ þ ngh¾a n o c£, v khæng câ
g¼ b£o £m hai ngån lûa s³ g°p nhau t¤i iºm giao. Hiºn nhi¶n, chóng
khæng g°p nhau. Khi i·u â x£y ra, hai ngån lûa ¢ i h¸t thíi gian
óng b¬ng nûa thíi gian 60 phót, tùc l 30 phót.
Thªt tuy»t! B i to¡n ìn gi£n hìn ¢ ÷ñc gi£i. Nâ ÷a ta tîi b i
to¡n 45 phót. B¬ng c¡ch èt tø hai ¦u ta o ÷ñc thíi gian 30 phót.
N¸u ta câ thº o ÷ñc15 phót vîi o¤n d¥y thù hai núa l xong.
N¸u ta câ sñi d¥y 30 phót th¼ ta ch¿ c¦n èt hai ¦u nâ v o lóc
ngån lûa ch¡y tø hai ¦u sñi d¥y 60 phót l xong. i·u n y s³ cho ta
15 phót núa v têng cång l 45 phót.
Ta khæng câ sñi d¥y 30 phót. Nh÷ng ta câ thº t¤o ra nâ b¬ng c¡ch
èt sñi d¥y thù hai tø mët ¦u trong khi ta o thíi gian 30 phót cõa
sñi d¥y thù nh§t.
http://dongphd.blogspot.com

9. DongPhD 9
Sau ¥y l to n bë quy tr¼nh cõa chóng ta: T¤i thíi iºm b­t ¦u,
èt hai ¦u cõa sñi d¥y A v mët ¦u cõa sñi d¥y B. C¡c sñi d¥y khæng
÷ñc ch¤m v o nhau. M§t 30 phót cho A º 2 ngån lûa g°p nhau. Khi
â, ta o ÷ñc 30 phót cõa B. Lªp tùc èt ¦u kia cõa B. Hai ngån
lûa cõa B s³ g°p nhau sau 15 phót, v ta câ thíi gian 45 phót c¦n t¼m.
C¥u häi 6. B¤n câ hai xæ 3 quart10 v 5 quart v mët nguçn cung c§p
n÷îc væ h¤n. B¤n l§y ra óng 4 quart b¬ng c¡ch n o?
Tr£ líi. Ta h¢y xem nhúng l÷ñng n÷îc n o.
Th£ c¡i xæ 3 quartxuèng c¡i gi¸ng væ h¤n v k²o nâ l¶n: ta câ 3
quart. Th£ c¡i xæ kh¡c ta ÷ñc 5quart. º o mët l÷ñng b§t ký, ta
c¦n khai th¡c c¡c gi£ thi¸t ph¡t biºu b i to¡n. C¡c ph²p to¡n n o cho
ph²p ta o mët c¡ch ch½nh x¡c mët l÷ñng n÷îc?
N¸u b¤n câ c¡i nh¼n si¶u ph m th¼ b¤n câ thº ÷îc l÷ñng b¬ng m­t,
rât ch½nh x¡c 1 quart tø c¡i xæ 5 quart. Th¸ l gi£i ÷ñc b i to¡n. Hiºn
nhi¶n, nh÷ th¸ cán g¼ l è.?
T§t nhi¶n b¤n ÷ñc ph²p cång hai l÷ñng l¤i. N¸u b¤n câ thº câ 2
quart trong xæ 3 quart v 2 quart trong xæ 5 quart, b¤n ê l÷ñng n÷îc
trong xæ 3 quart v o xæ 5 quart, nâ s³ cho b¤n 4 quart.
Nh÷ng khæng thº. B¤n thªm ch½ khæng thº câ 3 + 3 = 6 quart, v¼
xæ 5 quart khæng õ º chùa 6 quart. B¤n câ thº ngh¾ v· vi»c ê n÷îc
o ÷ñc v o bçn t­m, mët bº bìi trèng, mët c½a hç c¤n hay b§t k¼ ¥u.
Ng÷íi phäng v§n khæng cho ph²p i·u n y. B¤n ph£i t÷ðng t÷ñng b¤n
ang ð mët h nh tinh bao quanh l ¤i d÷ìng, v hai xæ n÷îc n y l
t i s£n duy nh§t trong th¸ giîi â.
V¼ vi»c cång l¤i khæng em l¤i k¸t qu£ n¶n b¤n thüc hi»n ph²p trø.
L§y ¦y xæ 5 quart v ê mët c¡ch c©n thªn sang xæ 3 quart cán trèng
cho ¸n khi nâ ¦y. Rçi døng l¤i! N¸u nh÷ n÷îc khæng v«ng ra ngo i
th¼ b¤n ¢ câ 2 quart trong xæ 5 quart. Bä qua 2 quart n y v b¤n
s³ ch£ng thº ti¸n xa hìn. C¡ch duy nh§t º ti¸n l¶n l º xæ 3 quart
trèng v cho 2 quart â v o trong xæ 3 quart. B¥y giwof t§t c£ nhúng
10U.S. quart is legally defined as 57.75 cubic inches and is equal to 0.946 litres. Imperial quart is
legally defined as 1.1365 litres.
http://dongphd.blogspot.com

10. DongPhD 10
g¼ b¤n c¦n l móc ¦y xæ 5 quart rçi ê c©n thªn sang xæ 3 quart ¢
câ 2 quart. Th¸ l b¤n câ 4 quart n÷îc.
Mët c¡ch kh¡c (ái häi nhi·u b÷îc hìn) l móc ¦y xæ 3 quart v
ê qua xæ 5 quart. Móc ¦y xæ 3 quart mët l¦n núa, rçi ê sang xæ
5 quart. Khi â trong xæ 3 quart cán l¤i 1 quart. ê h¸t n÷îc trong
xæ 5 quart i. ê 1 quart tø xæ 3 quart sang xæ 5 quart. Móc ¦y xæ
3 quart l¦n núa v cho h¸t sang xæ 5 quart câ s®n 1 quart, ta ÷ñc 4
quart.
W. W. Rouse Ball · cªp ¸n c¥u è n y trong cuèn Mathematical
Recreations and Essays (1892) cõa m¼nh, mët t¡c ph©m phê bi¸n thíi
Victoria. Ball tin r¬ng nâ câ tø thíi trung cê. Dò cho Lewis Terman
¢ dòng phi¶n b£n ìn gi£n hìn trong b i tr­c nghi»m IQ ¦u ti¶n
nh÷ng æng cho bi¸t 2
3 ng÷íi tr÷ðng th nh ¢ khæng gi£i ÷ñc b i n y
trong 5 phót.
Mët phi¶n b£n khâ hìn cõa Microsoft xu§t hi»n trong bë phim Die
Hard with a Vengeance (1995).
C¥u häi 7. B¤n câ hai c¡i lå v 100 vi¶n bi. 50 bi ä v 50 bi xanh.
Chån ng¨u nhi¶n mët lå; sau â l§y ra mët vi¶n bi b§t ký trong â.
L m th¸ n o º kh£ n«ng vi¶n bi ä ÷ñc chån l lîn nh¥t? (B¤n ph£i
bä c£ 100 vi¶n bi v o c¡c lå.) Kh£ n«ng lîn nh§t â l bao nhi¶u?
Tr£ líi. Nh¼n qua, câ v´ nh÷ kh£ n«ng chån ÷ñc ä hay xanh l nh÷
nhau. Sè l÷ñng bi ä v bi xanh b¬ng nhau. B¤n ph£i dòng t§t c£
chóng khæng ÷ñc bä sât vi¶n bi n o. Vi¶n bi ÷ñc chån ho n to n
ng¨u nhi¶n. Câ ph£i cì hëi l 50-50?
S³ ra sao khi b¤n cho 25 vi¶n bi còng m u v o méi lå. Thüc t¸ l
cì hëi l 50-50 khi trong méi lå câ 50 vi¶n khæng º þ c¡c m u trën
l¨n nh÷ th¸ n o? Ta cho t§t c£ bi ä v o lå A v t§t c£ bi xanh v o
lå B. Khi â kh£ n«ng l§y ra vi¶n bi ä l 50%, v¼ â l x¡c su§t lå A
÷ñc chån ( ch­c ch­n r¬ng l§y vi¶n bi n o công m u ä).
Ta câ gñi þ sau. Thªt ra b¤n khæng c¦n cho t§t c£ bi ä v o trong
lå A. Ch¿ c¦n 1 l õ. Trong tr÷íng hñp n y, x¡c su§t thòng A ÷ñc
chån v¨n l 50%, chùa ch¿ 1 vi¶n m u ä. Khi â vi¶n bi ä s³ ÷ñc
chån - khæng cán lüa chån n o kh¡c.
http://dongphd.blogspot.com

11. DongPhD 11
Suy ra x¡c xu§t chån ÷ñc bâng ä ð lå A l 50%. B¤n v¨n cán 49
vi¶n ä °t ð lå B. X²t bi¸n cè lå B ÷ñc chån, b¤n câ cì hëi l§y vi¶n
bi ä g¦n 50%. ( Thüc ra l 49
99.) Vªy cì hëi chån vi¶n bi ä trong t¼nh
2 cõa 49
99 g¦n b¬ng 74,74%).
huèng n y l ½t hìn 75% mët chót (50%+1
C¥u häi 8. Mët trong c¡c nh¥n vi¶n cõa b¤n ái tr£ l÷ìng h¬ng n y
b¬ng v ng. B¤n câ mët thäi v ng gi¡ trà cõa nâ b¬ng 7 ng y l÷ìng cho
ng÷íi n y. Thäi v ng ÷ñc chia l m 7 ph¦n b¬ng nhau. N¸u ch¿ ÷ñc
c­t hai l¦n v ph£i tr£ l÷ìng cho nh¥n vi¶n v o cuèi méi ng y, b¤n
t½nh sao?
Tr£ líi. B¤n c¦n 17
thäi v ng (sau ¥y ta gåi l 1 ìn và) º tr£ cho
nh¥n vi¶n v o cuèi méi ng y. Nhî l ta ch¿ câ hai l¦n c­t. H¢y thû vîi
ph÷ìng ¡n hiºn nhi¶n nh§t (v¨n câ quy·n thay êi). B¤n c­t ra mët
ìn và v ÷a cho nh¥n vi¶n.
V b¤n cán thäi v ng vîi 6 ìn và.
V o ng y thù hai, b¤n câ thº c­t th¶m mët dìn và núa. Nh÷ng
i·u n y s³ cho b¤n thäi v ng 5 ìn và v khæng l¦n c­t n o núa. B¤n
khæng câ g¼ º tr£ v o ng y thù ba.
Thay cho c¡ch tr¶n l b¤n c­t ra hai ìn và. Cuèi ng y thù hai,
b¤n ÷a 2 ìn và cho nh¥n vi¶n v l§y l¤i 1( B¤n hy vång nh¥n vi¶n
â s³ khæng ti¶u nâ.) B¤n cán thäi 4 ìn và v thäi 1 ìn và v khæng
câ l¦n c­t n o núa. V o ng y thù ba, b¤n l¤i ÷a cho nh¥n vi¶n §y
mët ìn và. ¸n ng y thù t÷, B¤n ÷a cho 4 ìn và v l§y l¤i hai ph¦n
nhä. Dòng chóng º tr£ l÷ìng cho ng y thù n«m, s¡u v b£y.11
C¥u häi 9. B¤n câ b c¡i hëp v n çng 1 æla. Bä ti·n v o c¡c hëp
sao cho khæng ph£i mð b§t k¼ hëp n o, b¤n châ thº ÷a cho nguwoif
náa â sè ti·n b§t k¼ tø 1 ¸n n æla. C¡c r ng buëc cho n v b l g¼?
11Chia thäi v ng lîn 7 ìn và th nh c¡c thäi 20; 21; 22
http://dongphd.blogspot.com

12. DongPhD 12
Tr£ líi. Þ t÷ðng cì b£n l gièng nh÷ c¥u è v· thäi v ng. B¤n dòng
h» nhà ph¥n. Cho v o hëp thù nh§t 1, hëp thù hai 2, hëp thù 3 laf4,
v vv. Mët sè ti·n b§t k¼ câ thº biºu i¹n th nh têng c¡c lôy thøa cõa
2.
kh¡c vîi c¥u è v· thäi v ng, phi¶n b£n n y kiºm tra k¾ n«ng lo¤i
trø cõa b¤n. Sü phùc t¤p ð ¥y l n khæng ch­c l têng c¡c lôy thøa
li¶n ti¸p cõa 2. B¤n s³ cán thøa mët sè ti·n sau khi biºu di¹n n th nh
têng c¡c lôy thøa cõa 2. Mët v§n · kh¡c l b¤n ch÷a ch­c câ õ sè
hëp.
Gi£ sû b¤n câ $100. c¡c hëp cõa b¤n s³ chùa $1, $2, $4, $8, $16,
$32 . . . v khi â khæng õ $64 cho v o hëp thù 7. S¡u hëp ¦u chùa 1
+ 2 + 4 + 8 + 16 +32 = 63 æla. Tùc l b¤n cán $37, thªm ch½ khæng
ph£i l lôy thøa cõa 2.
l m th¸ n o b¤n câ thº cung c§p sè ti·n y¶u c¦u tø $0 ¸n $100?
Dòng s¡u hëp ¦u b¤n câ thº l§y b§t k¼ l÷ñng ti·n n o tø $0 ¸n $63.
(Vîi $0 b¤n khæng l§y hëp n o c£!) N¸u b¤n muèn $64? ¦u ti¶n l§y
ra hëp thù 7 câ $37. Sau â l§y $64 trø i $37 ta ÷ñc $27. $27 câ thº
l§y tø 6 hëp ban ¦u. Trong tr÷íng hñp n y, b¤n dòng c¡c hëp $37,
$16, $2, and $1. Theo c¡ch t÷ìng tü b¤n câ thº l§y ra sè ti·n b§t k¼
cho tîi $100.
Khi häi v· c¡c r ng buëc cho b v n, ng÷íi phäng v§n câ þ l Vîi
c¡c gi¡ trà b v n cö thº n o th¼ c¡ch chia luæn óng? Ch¯ng h¤n, n¸u
b¤n câ $1000000 v ch¿ câ 1 c¡i hëp th¼ khæng thº ti¸n h nh ÷ñc. B¤n
khæng câ õ hëp cho sè ti·n lîn â. N¸u b¤n câ qu¡ nhi·u hëp nh÷ng
½t ti·n th¼ sao.
B¤n c¦n t¼m biºu thùc li¶n h» giúa b v n. Ta h¢y lªp mët b£ng v
thû vîi v i gi¡ trà ¦u ti¶n cõa b
b n
1 khæng qu¡ 1
2 khæng qu¡ 2+1=3
3 khæng qu¡ 4+2+1=7
4 khæng qu¡8+4+2+1=15
Li¸c qua c¥u tr£ líi, ta th§y méi hëp th¶m v o g¥n sè ti·n t«ng g¦n
g§p æi. Hai hëp th¼ sè ti·n lîn nh§t l $3 trong khi vîi 3 hëp l $7.
Mët c¡ch ch½nh x¡c, b hëp ùng vîi sè ti·n lîn nh§t l 2b 1 æla. º
http://dongphd.blogspot.com

13. DongPhD 13
ph÷ìng ¡n thüc hi»n ÷ñc th¼
n 2b 1:
B i to¡n n y l mët d¤ng kh¡c cõa b i to¡n Bachet's weights
12 câ tø thíi Phöc H÷ng ÷ñc · cªp ¸n trong Probl²mes plaisan et
delectables13 cõa Claude Gaspar Bachet n«m 1612. Bachet häi v· sè
qu£ c¥n º c¥n b§t k¼ khèi l÷ñng n o tø 1 ¸n 40 pound. Mët phi¶n
b£n sîm hìn xu§t hi»n trong b i vi¸t v· o l÷íng cõa Nicol6 Tartaglia
(Venice, 1556). T§t nhi¶n c¥u tr£ líi l 1, 2, 4, 8, 16 v 32 pound.
C¥u häi 10. B¤n câ mët thòng ªu gçm ba m u - ä, löc, xanh da
tríi. h¢y nh­m m­t v l§y ra hai h¤t ªu còng m u? B¤n ph£i l§y ra
bao nhi¶u º ch­c ch­n chóng còng m u.
Tr£ líi. Bèn. N¸u ch¿ l§y 3 h¤t th¼ câ th´ méi h¤t câ mët m u v do
â khæng hñp lþ. Vîi 4 h¤t th¼ câ ½t nh§t hai h¤t còng m u.
Anh em sinh æi vîi c¥u häi n y cõa Microsoft l c¥u è cô hìn häi
v· ph£i l§y bao nhi¶u chi¸c t§t °t trong ng«n k²o tèi º ÷ñc mët æi
t§t Ch¯ng h¤n Bankers Trust ¢ dòng c¥u häi v· chi¸c t§t º phäng
v§n. Khi c¡c chi¸c t§t ch¿ câ hai m u th¼ c¥u tr£ líi l ba.
C¥u häi 11. N¸u b¤n câ thº bä mët bang b§t k¼ trong 50 bang cõa
n÷îc Mÿ, b¤n s³ bä bang n o?14
Tr£ líi. C¥u tr£ líi phê bi¸n: Alaska, Hawaii, North Dakota.
C¥u tr£ líi dð: Washington.
T» hìn: Bä t§t c£.
¥y l v½ dö nêi ti¸ng nh§t v· c¡c b i to¡n mªp mí cõa Microsoft.
Nâ khæng gièng vîi c¡c c¥u häi v· m u s­c y¶u th½ch cõa b¤n. Hå
12C¡c qu£ c¥n cõa Bachet
13ngh¾a ti¸ng Anh l Pleasant and Delectable Problems
14This is a silly question
http://dongphd.blogspot.com

14. DongPhD 14
muèn b¤n h¼nh dung l¤i c¥u häi º câ thº ÷a ra c¥u tr£ líi óng
b¬ng logic.
B¤n khæng ph£i n¶u t¶n bang tr÷îc. b¤n câ thº i quanh ng÷íi
phäng v§n b¬ng c¡c lªp luªn cõa m¼nh v quy¸t ành sau. Sau ¥y l
c¡c c¡ch ti¸p cªn ÷ñc ng÷íi phäng v§n ch§p nhªn: V§n · trung t¥m
l , chuy»n g¼ s³ x£y ra vîi ng÷íi d¥n sèng ð bang bà b¢i bä? Tr÷íng
hñp (a) l khi b¤n lo¤i bä mët bang , b¤n ti¶u di»t to n bë kº c£ d¥n
chóng tr¶n â. Khi â v§n · ¤o ùc khi¸n b¤n ph£i tèi tiºu hâa sè
n¤n nh¥n. Tr÷íng hñp (b) l d¥n c÷ cõa bang â ch¿ vi»c bi¸n m§t.
Hå thªt sü khæng bà t n s¡t m ch¿ bi¸n m§t. Câ thº l hå trð v· qu¡
khù v ¤p l¶n mët con b÷îm. . . sau â trð l¤i hi»n t¤i v th§y r¬ng
bang â v måi ng÷íi d¥n ð â khæng tçn t¤i nh÷ ch÷a bao gií câ
chuy»n â. T§t c£ c¡c l¡ cí ch¿ câ 49 ngæi sao, v nâ khæng ÷ñc ·
cªp trong b§t k¼ cuèn b¡ch khoa to n th÷ n o c£. Tr÷íng hñp (c) l
ch¿ câ b§t ång s£n bi¸n m§t. Con ng÷íi v¨n cán - c¡c ng÷íi tà n¤n
ngçi c¤nh mët c¡i hè tr¶n m°t §t v tü häi m¼nh ngõ ð ¥u tèi nay.
Hå c¦n ÷ñc t¡i ành c÷ nh÷ng v· chi ph½ ai s³ tr£ ( Microsoft? hay
ch½nh quy·n li¶n bang?) Tr÷íng hñp (d) d¥n chóng ÷ñc t¡i ành c÷
mët c¡ch k¼ l¤ khæng ai câ thi»t h¤i v· vªt ch§t v tinh th¦n. B§m nót,
v c¡c c÷ d¥n cô cõa ban cô câ nh v cæng vi»c (gi£ sû tr÷îc â hå
công câ i·u n y) ð ¥u â ð 49 bang cán l¤i v khæng thay th¸ ai ð
â.
Tr÷íng hñp (e) khæng câ g¼ bi¸n m§t. Sü b¢i bä n y thu¦n tóy
ch½nh trà. Bang n y trð th nh mët ph¦n cõa Canada hay Mexico. ho°c
l trð th nh mët quèc gia ëc lªp.
Tr÷íng hñp (a) l rã r ng. N¸u måi ng÷íi ·u bà gi¸t th¼ b¤n chån
bang câ d¥n sè ½t nh§t. Theo i·u tra d¥n sè n«m 2000, â l bang
Wyoming.
Tr÷íng hñp (b) th¼ khâ. Måi ng÷íi ch¿ vi»c bi¸n m§t trong mët
t¼nh huèng gi£ sû ho n to n khæng câ ti·n l» ¤o dùc n o tr÷îc â.
Hå v¨n sèng, thð cho ¸n khi b¤n b§m v o nót xâa bä làch sû. i·u
n y gièng nh÷ gi¸t hå. Mët l¦n núa bang Wyoming ÷ñc chån.
Tr÷íng hñp (c) th¼ ti¸n tho¡i l÷ïng nan l n¶n chån bang câ d¥n
sè lîn hìn bang Wyoming hay quan t¥m d¸n c¡c °c iºm tü nhi¶n.
Wyoming l bang lîn vîi th­ng c£nh µp v câ V÷ín Quèc gia Yel-lowstone.
º cùu t§t c£, b¤n s®n s ng chi tr£ º chån bang ong d¥n
hìn nh÷ng ½t th¡ng c£nh ho°c di»n t½ch nhä.
http://dongphd.blogspot.com

15. DongPhD 15
Theo i·u tra n«m 2000, n«m bang câ d¥n sè ½t nh§t l Wyoming,
Vermont, Alaska, North Dakota, v South Dakota. Vermont v Alaska
công câ nhi·u c£nh µp, v Alaska r§t lîn. South Dakota câ nói Rush-more.
North Dakota - tèt, North Dakota khæng câ Mount Rushmore.
Thªt khâ t÷ðng t÷ñng mët ai â ð bang kh¡c t¼nh nguy»n ¸n ngh¿ ð
¥y. ( Biºu t÷ñng cho North Dakota l cët i»n tho¤i - chuy»n vui thæi)
North Dakota câ kh½ hªu kh­c nghi»t v o mòa æng - kh­c nghi»t hìn
c£ nhúng trung t¥m d¥n c÷ cõa Alaska.
B¥y gií tr÷íng hñp (c), khæng ai bà gi¸t nh÷ng ph£i tèn chi ph½ t¡i
ành c÷. L ¡ng gi¡ dò chi ph½ câ cao hìn º b£o tçn ÷ñc Yellowstone,
hay c¡c khu resort ð Vermont, hay or t§t c£ cõa Alaska, hay Mount
Rushmore. North Dakota l hñp lþ.
Trong tr÷íng hñp (d), vi»c t¡i ành c÷ l l¤ lòng v khæng tèn k²m.
Lüa chån câ lþ v¨n l North Dakota.
Cuèi còng l tr÷íng hñp (e), ng÷íi v cõa ·u khæng bà m§t. Chóng
ta ch¿ v³ l¤i b£n á ch½nh trà. Câ thº · cªp ¸n Alaska hay Hawaii.
Chóng ð b¶n ngo i n÷îc löc àa Mÿ. Mët v i ng÷íi nâi r¬ng chóng l
h÷ìng và cõa chõ ngh¾a thüc d¥n. N¸u b¤n chõ y¸u quan t¥m tîi h¼nh
d¤ng cõa §t n÷îc tr¶n b£n ç th¼ n¶n lüa chån Alaska v Hawaii. Chó
þ: N¸u Quèc hëi ph£i xem x²t ph÷ìng ¡n n o th¼ và tr½ tr¶n b£n ç
khæng ¡ng. Alaska câ nhi·u d¦u v kho¡ng s£n. Hawaii l nìi ngh¿
m¡t cõa ng÷íi Mÿ ð löc àa. C£ hai ·u câ t¦m quan trång chi¸n l÷ñc.
Khæng thº nâi chuy»n bä chóng.
Vi»c th£o luªn s³ tªp trung v o, nh÷ trong (c) v (d), c¡c bang
câ d¥n sè v t i nguy¶n thi¶n nhi¶n ½t nh§t. Th¶m mët l¦n núa l¤i l
North Dakota, nâ n¬m g¦n bi¶n giîi Canada. Tra cho Canada. N¸u hå
khæng muèn th¼ h¢y º nâ trð th nh mët quèc gia.
C¥u häi 12. B¤n câ 8 vi¶n bi-a, mët trong chóng bà häng v n°ng hìn
nhúng vi¶n cán l¤i. B¤n h¢y cho bi¸t, ch¿ hai l¦n c¥n th¼ x¡c ành vi¶n
bà häng, dòng c¥n th«ng b¬ng?
Tr£ líi. C¡i c¥n dòng ð ¥y câ hai ¾a c¥n ìn gi£n, gièng nh÷ c¡i
m th¦n Cæng Lþ (Justice) c¦m. Nâ cho b¤n bi¸t b¶n n o n°ng hìn
nh÷ng khæng bi¸t l bao nhi¶u. Nâ công cho b¤n bi¸t kh½ hai b¶n câ
khèi l÷ñng b¬ng nhau.
http://dongphd.blogspot.com

16. DongPhD 16
C¡ch ti¸p cªn hiºn nhi¶n nh÷ng khæng hñp lþ. â l °t méi b¶n
4 vi¶n. B¶n n o n°ng hìn s³ x¡c ành ÷ñc vi¶n bà häng. Chia nhâm
â th nh hai, méi b¶n hai vi¶n. Mët l¦n núa b¶n n o n°ng hìn th¼ câ
vi¶n bà häng. B¤n l§y ra hai vi¶n â nh÷ng b¤n khæng bi¸t vi¶n n o
v b¤n khæng ÷ñc c¥n ti¸p.
Líi gi£i ph¿a c¦n dòng tîi t½nh ch§t l sü th«ng b¬ng cho b¤n bi¸t
hai b n c¥n b¬ng nhau. Khi chóng c¥n b¬ng b¤n câ thº k¸t luªn r¬ng
khæng câ vi¶n bi häng ð c£ hai b¶n.
Trong l¦n c¥n thù nh§t, b¤n l§y b§t ký 6 vi¶n bi chia 2, méi b¶n
ba vi¶n em ra c¥n. Câ hai kh£ n«ng x£y ra
N¸u chóng b¬ng nhau th¼ hai vi¶n cán l¤i s³ câ mët çng nhµ
hìn khi c¥n l¦n thù 2.
N¸u trong 6 vi¶n chia 2 ra º c¥n câ mët b¶n nhµ hìn th¼ læi
cê nâ ra. Trong 3 vi¶n n°ng hìn â khi c¥n s³ câ mët n°ng hìn.
L§y 2 vi¶n b§t ký trong 3 vi¶n n°ng hìn ra c¥n l¦n thù 2. N¸u
mët b¶n nhµ mët b¶n n°ng th¼ ta câ ngay k¸t qu£. N¸u hai b¶n
b¬ng nhau th¼ vi¶n bi häng l vi¶n cán l¤i
C¥u è n y ÷ñc bi¸t tr¶n to n th¸ giîi. Nâ ¢ xu§t hi»n, ch¯ng
h¤n, trong Mathematical Know-How (1956) cõa Boris Kordemsky ð
Li¶n Xæ.
C¥u häi 13. T¤i sao g÷ìng ph£n chi¸u tr¡i ph£i thay v¼ tr¶n d÷îi?
Tr£ líi. Câ hai c¡ch tr£ líi thæng döng l
(a) phõ ành g÷ìng ph£n chi¸u tr¡i v ph£i
(b) Kh¯ng ành g÷ìng câ ph£n chi¸u tr¶n d÷îi (ch¯ng h¤n khi g÷ìng
ð tr¶n tr¦n ho°c d÷îi s n nh )
B­t ¦u vîi (a). Khi b¤n c¦m trang b¡o tr÷îc g÷ìng sü ph£n chi¸u
l m £o ng÷ñc c¡c chú v trð n¶n r§t khâ åc. T÷ðng t÷ñng c¡c chú
÷ñc in tr¶n mët t§m plastic trong suèt. B¤n °t nâ èi di»n vîi g÷ìng
v th§y r¬ng c¡c chú tròng vîi £nh cõa nâ trong g÷ìng. i·u n y c ng
http://dongphd.blogspot.com

17. DongPhD 17
rã hìn kh½ b¤n n­m mët môi tr÷îc theo g÷ìng. Cho môi t¶n n¬m
ngang v h÷îng v· b¶n tr¡i. ƒnh cõa nâ công vªy.
C¥u häi 14. M°t tríi câ ph£i bao gií công måc ð h÷îng æng?
Tr£ líi. C¥u tr£ líi l khæng óng. Mët sè ùng vi¶n ÷a ra c¡c v½ dö
trong vô trö. Sao Kim v sao Thi¶n V÷ìng quay quanh tröc v câ
chi·u quay ng÷ñc vîi chi·u quay cõa tr¡i §t. N¸u chóng ta °t trong
khæng gian mët h nh tinh t÷ðng t÷ñng v khæng quay quanh qu¾ ¤o
th¼ ho n to n khæng câ hi»n t÷ñng m°t tríi måc v l°n. Ng÷íi phäng
v§n khæng ch§p nhªn nhúng c¥u tr£ líi t÷ìng tü nh÷ vªy v häi l¤i:
Câ ph£i tr¶n Tr¡i §t bao gií m°t tríi công måc ð h÷îng æng? C¥u
tr£ líi công khæng câ g¼ thay êi, v¨n l khæng. T¤i B­c cüc ho n to n
khæng câ h÷îng æng: t§t c£ c¡c h÷îng ·u ch¿ v· ph½a nam. Trong
s¡u th¡ng15, m°t tríi luæn måc v l°n tø h÷îng nam. Cán ð Nam cüc
th¼ ng÷ñc l¤i, ch¿ câ h÷îng b­c.
C¥u häi 15. Câ bao nhi¶u tr¤m x«ng ð n÷îc Mÿ?
Tr£ líi. C¥u häi n y qu£ l khâ nh÷ng khæng ph£i l khæng thº tr£
líi. ¡p sè cõa b i to¡n n y gióp º t½nh sè l÷ñng tr¤m x«ng ð Mÿ v
ð nhúng nìi kh¡c. Trung b¼nh méi ng÷íi d¥n Mÿ câ mët ætæ? Khæng
óng. Hai ng÷íi mët c¡i? Con sè n y ch­c g¦n óng hìn.
Vªy n¸u d¥n sè Mÿ l 300 tri»u, tùc n÷îc Mÿ câ kho£ng 150 tri»u
ætæ, trung b¼nh mët ætæ c¦n ph£i ê x«ng mët l¦n trong tu¦n. V¼ vªy,
trong mët tu¦n t§t c£ c¡c tr¤m x«ng ph£i phöc vö sè ætæ óng b¬ng
têng sè xe trong n÷îc. Sè gií trong mët tu¦n l 24 7, nh÷ng khæng
ph£i t§t c£ c¡c tr¤m x«ng ·u l m vi»c 24 gií trong tu¦n.
Gi£ sû trung b¼nh mët tr¤m x«ng l m vi»c 100 gií/tu¦n, n¸u ê
x«ng cho mët xe m§t 6 phót tùc méi m¡y bìm ð tr¤m x«ng trong mët
gií câ thº phöc vö 10 ætæ. Nhúng tr¤m x«ng lîn ð nhúng ché æng
15the six-month polar day
http://dongphd.blogspot.com

18. DongPhD 18
d¥n câ thº °t nhi·u m¡y bìm v ng÷ñc l¤i câ nhúng tr¤m x«ng r§t ½t
kh¡ch, gi£ sû trung b¼nh méi tr¤m x«ng mët gií phöc vö 10 ætæ. Vªy
trung b¼nh mët tu¦n, mët tr¤m phöc vö 100 10 l¦n, hay 1.000 ætæ.
Câ ngh¾a sè tr¤m x«ng ð n÷îc Mÿ b¬ng 150 tri»u/1.000 = 150.000.
Sè xe hìi v sè tr¤m x«ng ÷îc l÷ñng r§t g¦n vîi thüc t¸. Bë Giao
thæng Hoa Ký 16 cho bi¸t n«m 1997 t¤i Mÿ câ 129.748.704 ph÷ìng ti»n
vªn t£i ¢ «ng k½. Sè June 1998 cõa Journal of Petroleum Marketing
kh¯ng ành câ 187.097 àa iºm b¡n l´ x«ng d¦u cho motor ð Mÿ.
C¥u häi 16. Mike v Todd câ $21. Mike câ nhi·u hìn Todd $20. Méi
ng÷ì¼ câ bao nhi¶u? B¤n khæng ÷ñc dòng ph¥n sè trong c¥u tr£ líi.
Tr£ líi. C¥u häi d¹ n y ©n chùa mët th¡ch thùc n o â. B£n ch§t cõa
nâ l ìn gi£n. B¤n câ thº bà thu hót khi nâi Mike câ $21 v Todd câ
$1. Nh÷ng khæng, têng cõa chóng b¬ng $22. C¥u tr£ líi óng l Mike
câ $20.50 v Todd câ $0.50. N¸u b¤n khæng th§y nâ l hiºn nhi¶n th¼
h¢y vi¸t ra ph÷ìng tr¼nh v gi£i nâ. B¤n công câ thº chùng minh r¬ng
¥y l ¡p sè duy nh§t. Nh÷ng ng÷íi phäng v§n kh«ng kh«ng r¬ng
khæng ÷ñc dòng ph¥n sè trong c¥u tr£ líi. Ng÷íi phäng v§n sai (ho°c
l lí i sè cent khæng ph£i l ph¥n sè). B¤n cù ùng tr¶n lªp tr÷íng
cõa m¼nh v kh¯ng ành $20.5/$0.5. i·u n y c¦n thi¸t cho b¤n trong
mët tê chùc lîn.17
C¥u häi 17. B¤n câ 6 que di¶m. S­p x¸p chóng º câ 4 tam gi¡c ·u.
Tr£ líi. (a) S­p x¸p chóng th nh tù di»n ·u .
(b) S­p th nh hai tam gi¡c chçng l¶n nhau. S¡u ¿nh cõa ngæi sao
t¤o th nh sau tam gi¡c ·u nhä (cëng th¶m 2 tam gi¡c ·u lîn
têng cëng l 8). Ta câ thº l m l»ch mët que º câ óng 4 tam
gi¡c ·u (nhä).
16 U.S. Department of Transportation
17â l ch½nh ki¸n cõa b¤n.
http://dongphd.blogspot.com

19. DongPhD 19
C¥u häi 18. Kµo M M ÷ñc s£n xu§t nh÷ th¸ n o?
Tr£ líi. V§n · ch½nh: L m th¸ n o º câ thº s£n xu§t ÷ñc låai kµo
nh®n, nhi·u lîp câ h¼nh c¦u dµt vîi sè l÷ñng lîn v háan to n b¬ng
m¡y mâc tü ëng nh÷ vªy? ìn gi£n ch¿ nhóng chocolate v o ÷íng
nâng ch£y l mët quy¸t ành khæng câ g¼ °c s­c, v¼ b¤n c¦n câ ché °t
kµo º chí ÷íng ¡o æng cùng l¤i. N¸u l m nh÷ vªy s³ ch¿ câ mët m°t
kµo l nh®n, gièng nh÷ thanh chololate thæng th÷íng. Câ mët ph¡t
minh (nh÷ng l c¥u tr£ líi sai) nh÷ sau: Ng÷íi ta t¤o ra mët d£i
chocolate nâng, rçi l m l¤nh c¡c nh¥n l m tø h¤t h¤nh nh¥n hay h¤t
l¤§nu â phun chóng xuy¶n qua lîp chocolate nâng khi¸n chocolate
lªp tùc æng cùng l¤i quanh nh¥n th nh kµo tr÷îc khi rìi xuèng ¸n
b«ng chuy·n.
Trong thüc t¸, ph÷ìng ph¡p m h¢ng MM sû döng r§t ìn gi£n
v thæng minh. Nh÷ng ¡ng ti¸c, r§t khâ câ thº ngh¾ ra ÷ñc n¸u
b¤n khæng ph£i l mët chuy¶n gia v· cæng ngh» s£n xu§t kµo. Nh¥n
chocolate cõa kµo M M ¦u ti¶n ÷ñc ÷ñc ê ra nhúng c¡i khuæn
nhä. Sau â nhúng vi¶n chocolate h¼nh elip ÷ñc chùa trong mët c¡i
trèng xoay , gièng nh÷ c¡i m¡y trën b¶ tong. Khi kµo l­c trong c¡i
trèng, ÷íng nâng ch£y ÷ñc ê v o v æng l¤i b¡m xung quanh
http://dongphd.blogspot.com

20. DongPhD 20
vi¶n chocolate mët lîp mäng cùng m u tr­ng. V¼ nhúng vi¶n kµo luæn
chuyºn ëng n¶n ÷íng khæng bà d½nh l¤i th nh nhúng cöc nhä. Ngáai
ra, v¼ luæn chuyºn ëng va ªp v o nhau n¶n b· m°t kµo trð n¶n r§t
nh®n v ·u. Nguy¶n t­c trèng xoay n y công th÷íng ÷ñc sû döng
º l m nh¨n ¡ quþ.
Sau â ÷íng nâng ch£y nhuëm m u l¤i ÷ñc ê v o trong trèng,
ngo i lîp vä tr­ng l¤i th¶m mët lîp vä m u. Th¶m mët b½ quy¸t núa
º câ thº in h¼nh chú M tr¶n m°t kµo, hiºn nhi¶n khæng thº l m thõ
cæng. Chú M bao gií công n¬m ch½nh giúa ð mët ph½a cõa vi¶n kµo. Câ
ngh¾a d§u h¼nh chú M ÷ñc âng l¶n b· m°t tøng vi¶n kµo. B½ quy¸t
nh÷ sau, khi kµo ÷ñc chuyºn ¸n d¥y chuy·n, tr¶n â câ h ng ng n
lé câ k½ch th÷îc gièng nh÷ vi¶n kµo, vi¶n kµo s³ låt vøa kh½t trong lé,
sau â ÷ñc âng d§u mët c¡ch nhµ nh ng bði c¡c con d§u cao su câ
chú M vîi müc in thüc ph©m m u tr­ng.
C¥u häi n y ÷ñc sû döng câ v i l¦n trong phäng v§n b¥y gií,
ng÷íi ta câ thº sû döng nhúng c¥u häi tèt hìn. Ng÷íi °t c¥u häi công
khæng nh§t thi¸t ph£i bi¸t c¥u tr£ líi óng. B£n th¥n ng÷íi °t ra
c¤u häi n y công khæng bi¸t kµo M M ¢ ÷ñc l m th¸ n o. Khæng
nh§t thi¸t ph£i bi¸t i·u n y mîi ¡nh gi ÷ñc c¥u tr£ líi cõa ùng
vi¶n. Möc ½ch cõa c¥u häi n y công nh÷ ph¦n lîn c¡c c¥u häi kh¡c
º kiºm tra li»u ùng vi¶n câ thº nâi i·u g¼ v· v§n · n y mët c¡ch
thuy¸t phöc hay khæng, ng÷ñc l¤i, hå øng n¶n ÷a ra nhúng c¥u tr£
líi ngu ngèc.
C¥u häi 19. T¼m trång l÷ñng cõa 1 m¡y bay ph£n lüc m khæng c¦n
dung b n c¥n?
Tr£ líi. Ta ÷a m¡y bay xuèng 1 t u s¥n bay (ho°c h¤ c¡nh xuèng),
ho°c câ thº l 1 c¡i ph ho°c t u thõy õ lîn º câ thº chùa ÷ñc chi¸c
m¡y bay. Ti¸p â, tr¶n th nh t u b¤n ¡nh d§u müc n÷îc. Sau â b¤n
vªn chuyºn m¡y bay ra khäi con t u, con t u s³ nêi l¶n 1 kho£ng n o
â. B¥y gií b¤n l¤i chuyºn xuèng t u 1 l÷ñng h ng hâa câ khèi l÷ñng
õ lîn, ¸n khi con t u ch¼m xuèng óng vîi mùc ¢ ¡nh d§u lóc
tr÷îc th¼ b¤n câ thº x¡c ành ÷ñc trång l÷ñng cõa m¡y bay, v¼ trång
http://dongphd.blogspot.com

21. DongPhD 21
l÷ñng m¡y bay s³ t÷ìng ÷ìng vîi trång l÷ñng h ng hâa m b¤n vøa
chuyºn xuèng.
C¡ch kh¡c: Khæng c¦n ph£i chuyºn khèi h ng hâa câ trång l÷ñng
x¡c ành xuèng t u, m ch¿ c¦n t½nh thº t½ch ph¦n t u nêi l¶n sau khi
chuyºn chi¸c m¡y bay i v nh¥n vîi trång l÷ñng ri¶ng cõa n÷îc th¼
công ra trång l÷ñng m¡y bay. ái häi mët chót hiºu bi¸t v· Vªt lþ.
C¥u häi 20. T¤i mët l ng qu¶ câ 50 c°p vñ chçng, c¡c æng chçng ·u
ph£n bëi vñ. B§t cù ng÷íi phö nú n o trong l ng công lªp tùc bi¸t ngay
n¸u câ ai â trong sè c¡c æng chçng kh¡c ph£n bëi vñ m¼nh (b¤n bi¸t
§y, chuy»n çn ¤i lan i r§t nhanh ð c¡c thà tr§n nhä), nh÷ng l¤i
khæng bi¸t n¸u â l chçng m¼nh (k´ bà ph£n bëi th÷íng l ng÷íi cuèi
còng bi¸t v· néi au cõa m¼nh). Luªt cõa th nh phè buëc ng÷íi phö
nú, n¸u câ b¬ng chùng v· sü ph£n bëi cõa chçng, ph£i gi¸t anh ta ngay
ng y hæm â. Khæng ai câ thº tr¡i l»nh n y. Mët l¦n, câ nú háang vèn
nêi ti¸ng l ng÷íi khæng bao gií ph¡n o¡n sai ¸n th«m l ng n y. B
thæng b¡o vîi d¥n chóng r¬ng, câ ½t nh§t 1 ng÷íi n æng cõa th nh
phè ¢ ph£n bëi vñ. Chuy»n g¼ s³ x£y ra?
Tr£ líi. Chóng ta h¢y b­t ¦u tø t¼nh h¼nh thüc t¤i trong l ng tr÷îc
khi câ tuy¶n bè cõa nú ho ng. T§t c£ c¡c æng chçng ·u ph£n bëi vñ.
Nhúng ng÷íi phö nú bi¸t ch­c v· sü ph£n bëi cõa chçng ¢ còng ra
mët ¤o luªt l ph£i gi¸t ng÷íi chçng ph£n bëi â. Vªy t¤i sao hå v¨n
ch÷a l m i·u â?
V§n · n¬m ð ché, ch¿ câ ng÷íi vñ bà ph£n bëi câ tr¡ch nhi»m ph£i
gi¸t chçng m¼nh. B§t ký ng÷íi phö nú n o công bi¸t chuy»n ngo¤i
t¼nh cõa c¡c æng chçng cõa 49 ng÷íi phö nú cán l¤i, nh÷ng khæng bi¸t
chuy»n ngåai t¼nh cõa chçng m¼nh. Ph²p làch sü x¢ giao ¢ ng«n c£n
måi ng÷íi thæng b¡o cho ng÷íi vñ v· sü khæng chung thõy cõa chçng
cæ ta.
Chuy»n khâ hiºu nh÷ vªy khæng bao gií x£y ra tr¶n thüc t¸, nh÷ng
l¤i ÷ñc ch§p nhªn trong c¡c c¥u è. Sau â, câ mët l¦n nú háang ¸n
¥y v nâi r¬ng trong l ng câ ½t nh§t mët ng÷íi n æng ph£n bëi vñ.
Li»u nhúng líi nâi cõa b ta câ l m thay êi nhúng g¼ ang di¹n ra ð
¥y?
http://dongphd.blogspot.com

22. DongPhD 22
Khæng câ thay êi n o c£. t nh§t câ mët ng÷íi? C¡c b vñ ch­c
h¯n ang ngh¾ r¬ng khæng bi¸t ai trong sè 49 ng÷íi n æng kia ang
«n vöng m l¤i lo¤i trø chçng m¼nh ra khäi sè sè â. Tuy¶n bè cõa
nú ho ng khæng ph£i l i·u mîi m´ èi vîi b§t cù ai trong l ng.
¥y ch½nh l iºm l m r§t nhi·u ùng vi¶n lung tóng v¼ b¸ t­c khæng
t¼m ra h÷îng gi£i ti¸p theo. N¸u tuy¶n bè cõa nú ho ng khæng chùa
üng thæng tin g¼ câ gi¡ trà vªy th¼ cán i·u g¼ º nâi núa? Khæng câ
ng÷íi phö nú n o v¼ i·u n y m l¤i i gi¸t chçng m¼nh c£. Khæng câ
g¼ x£y ra.V óng l khæng câ g¼ x£y ra cho ¸n cuèi ng y hæm nú
ho ng ÷a ra tuy¶n bè cõa m¼nh. Khæng câ g¼ x£y ra trong ng y hæm
sau. Ng y ti¸p theo công vªy.
Chóng ta h¢y xem chuy»n g¼ x£y ra trong ng y thù 49. Thû chån
mët ng÷íi phö nú, Edna ch¯ng h¤n. Edna bi¸t v· sü ph£n bëi cõa
49 æng chçng cán l¤i, trong â câ Max, chçng ng÷íi b¤n g¡i Monica
cõa Edna. V¼ trong l ng, chuy»n c¡c æng chçng ph£n bëi vñ lan i r§t
nhanh, n¶n Edna suy ra r¬ng Monica bi¸t v· sü ph£n bëi cõa (½t nh§t)
48 ng÷íi n æng. â l 49 ng÷íi m Edna bi¸t, trø i Max. Khæng ai
câ õ can £m º thæng b¡o cho Monica bi¸t r¬ng Max ¢ ph£n bëi
cæ.
Ch¼a khâa gi£i b i to¡n n¬m ð ché, sang ng y thù 49, Edna s³ i
¸n k¸t luªn r¬ng Monica ph£i o¡n ra r¬ng chçng cæ ta l k´ ph£n
bëi (theo c¡ch lªp luªn cõa Edna), v¼ khæng câ ai bà gi¸t trong nhúng
ng y tr÷îc â.
N¸u nh÷ trong l ng ch¿ câ mët ng÷íi n æng ph£n bëi vñ th¼ câ l³
ng÷íi vñ ¢ gi¸t chçng m¼nh ngay trong ng y nú ho ng nâi ra nhúng
líi kia (h¢y coi ¥y l ng y thù nh§t), bði v¼ khi â, t§t c£ c¡c phö nú
·u bi¸t v· sü ph£n bëi n y, trø vñ anh ta. Ng÷íi vñ l ng÷íi duy nh§t
trong l ng khæng bi¸t g¼ v· sü ph£n bëi cõa chçng m¼nh. Ch½nh v¼ vªy,
tuy¶n bè cõa nú háang s³ nh÷ ti¸ng s²t èi vîi ng÷íi phö nú n y. V¼
cæ ta bi¸t r¬ng ch¯ng câ ai trong 49 ng÷íi chçng cán l¤i l k´ ph£n bëi
(n¸u câ ai ph£n bëi th¼ ch­c ch­n cæ ta ¢ ph£i bi¸t), v¼ vªy tçn t¤i ½t
nh§t mët ng÷íi n æng â ch½nh l chçng cæ ta. Ng÷íi phö nú n y
s³ ph£i gi¸t chçng m¼nh ng y hæm â theo óng luªt ành. T§t nhi¶n,
¥y l trong tr÷íng hñp trong l ng ch¿ câ duy nh§t mët ng÷íi chçng
ph£n bëi vñ.
Nh÷ng thay v o â, sang ng y thù 2 v¨n ch÷a câ æng chçng n o
bà gi¸t. i·u n y l m cho c¡c c÷ d¥n trong l ng bi¸t r¬ng sè ng÷íi
http://dongphd.blogspot.com

23. DongPhD 23
n æng ph£n bëi vñ nhi·u hìn mët ng÷íi. Do â, cëng vîi líi nâi cõa
nú ho ng, trong l ng câ ½t nh§t 2 ng÷íi chçng ph£n bëi vñ v n¸u ch¿
óng l 2 th¼ hå s³ bà c¡c b vñ gi¸t v o ng y thù 2. T÷ìng tü, n¸u l
3 th¼ hå s³ bà vñ gi¸t v o ng y thù 3. . . . N¸u nh÷ con sè n y l 48 th¼
48 ng÷íi vñ s³ gi¸t hå v o ng y thù 48.
Vªy m hæm nay ¢ l ng y thù 49 v Monica, ng÷íi bi¸t v· sü
ph£n bëi cõa 48 æng chçng, ch­c s³ ph£i ng¤c nhi¶n t¤i sao trong nhúng
ng y tr÷îc khæng x£y ra h ng lo¤t vö gi¸t ng÷íi. Líi gi£i th½ch duy
nh§t ch¿ câ thº l (t§t c£ nhúng i·u n y v¨n n¬m trong sü suy luªn
cõa Edna) chçng Monica s³ l ng÷íi n æng ngo¤i t¼nh thù 49.
B¬ng c¡ch n y, Edna i ¸n k¸t luªn r¬ng Monica vîi suy ngh¾
logic tuy»t èi cõa m¼nh s³ ph£i gi¸t Max lóc nûa ¶m ng y thù 49.
Edna công rót ra k¸t luªn nh÷ vªy èi vîi t§t c£ phö nú kh¡c trong
l ng. óng th¸, Edna ngh¾, sang ng y thù 49, s³ câ vö t n s¡t ¨m
m¡u.
Ng y thù 50 ¢ ¸n m v¨n ch÷a câ g¼ x£y ra. i·u duy nh§t câ
thº gi£i th½ch ÷ñc t¼nh tr¤ng n y l Monica (công nh÷ t§t c£ c¡c phö
nú kh¡c) ¢ nhªn ra ng÷íi chçng ph£n bëi thù 49 l ai. â khæng ph£i
l Max, vªy th¼ ch¿ cán l¤i 1 ng÷íi n æng núa, â l chçng cõa ch½nh
Edna, l Edgar!
Vªy sang ng y thù 50, Edna ¢ câ thº k¸t luªn r¬ng chçng m¼nh l
k´ ph£n bëi. T§t c£ nhúng ng÷íi vñ cán l¤i công ph£i i ¸n k¸t luªn
t÷ìng tü.
C¥u tr£ líi cõa b i to¡n l khæng câ g¼ x£y ra trong 49 ng y ¦u,
nh÷ng sang ng y thù 50 th¼ t§t c£ nhúng ng÷íi vñ ·u gi¸t chçng
m¼nh.
¥y ÷ñc coi l mët ki»t t¡c trong sè nhúng c¥u è logic. Tuy
nhi¶n, khæng thº kh¯ng ành ch­c ch­n r¬ng nâ l cæng cö tèt nh§t
dung º phäng v§n ùng vi¶n. L¦n ¦u ti¶n b i tâan ÷ñc nh­c ¸n
trong cuèn s¡ch Puzzle Math (1958) cõa nh vªt lþ Geogre Gamow
v nh to¡n håc Marvon Stern. Phi¶n b£n cõa hå nâi v· nhúng ng÷íi
vñ ph£n bëi chçng. Tø â ¸n nay, b i to¡n n y xu§t hi¸n kh­p nìi
v ÷ñc sû döng rëng r¢i. ¸n n«m 1980, n¤n nh¥n ÷ñc thay b¬ng
nhúng æng chçng ngo¤i t¼nh v b i to¡n trð th nh · t i nghi¶n cùu
cõa mët trong nhúng pháng th½ nghi»m khoa håc ð Cæng ty IBM.
Trong cuèn s¡ch Once Upon a Number (1998), John Allen Paulos ÷a
ra mët phi¶n b£n b i to¡n g¦n gièng vîi d¤ng ÷ñc Microsoft sû döng,
câ thº do c¡c t¡c gi£ còng s÷u t¦m nâ tø mët nguçn chung.
http://dongphd.blogspot.com

24. DongPhD 24
Ph£n ùng chung cõa c¡c ëc gi£ b¼nh th÷íng sau khi åc c¥u è l
ng÷íi n y s³ suy ngh¾ mët lóc (tæi công vªy) m khæng t¼m ÷ñc h÷îng
gi£i n o c£, rçi sau â lªt xem ph¦n líi gi£i (L m sao dàch chuyºn nói
Phó S¾). Ch , c¥u è n y thªt tuy»t!. Sau khi xem xong, ch­c ng÷íi
n y s³ em c¥u è i è v i ng÷íi b¤n cõa m¼nh, nhúng ng÷íi n y
công khæng gi£i ÷ñc, nh÷ng khi bi¸t líi gi£i ·u ngh¾ r¬ng b i to¡n
r§t hay. Sü nêi ti¸ng cõa mët c¥u è khæng h· phö thuëc v o chuy»n
ng÷íi ta câ gi£i ÷ñc nâ hay khæng.
C¥u häi 21. T¤i sao h¦u h¸t c¡c n­p cèng tr¶n ÷íng câ h¼nh trán
m khæng ph£i l h¼nh vuæng?
Tr£ líi. C¥u tr£ líi ÷ñc c¡c phäng v§n vi¶n ¡nh gi¡ cao nh§t : n­p
cèng h¼nh vuæng câ thº rìi ng÷ñc v o trong cèng g¥y th÷ìng t½ch nhúng
cæng nh¥n l m vi»c ph½a d÷îi ho°c ch¼m p
m§t. Vi»c n y câ thº x£y ra
v¼ ÷íng ch²o cõa h¼nh vuæng lîn g§p
2 tùc b¬ng 1.414. . . l¦n c¡c
c¤nh cõa nâ. Khi nh§c n­p h¼nh vuæng l¶n theo chi·u th¯ng ùng ch¿
c¦n n­p hìi xoay i mët chót v· h÷îng ÷íng ch²o th¼ nâ câ thº rìi
xuèng s¥u ph½a d÷îi. Cán èi vîi nhúng c¡i n­p h¼nh trán, ÷íng k½nh
theo t§t c£ c¡c h÷îng l b¬ng nhau, cëng vîi vi»c ph½a tr¶n m°t n­p
bao gií công lîn hìn mët chót so vîi ph½a d÷îi n¶n n­p cèng khæng
bao gií câ thº rìi xuèng long cèng, cho dò b¤n câ giú nâ ð và tr½ n o
i núa.
Mët trong sè nhúng c¥u tr£ líi híi hñt hìn (m°c dò nhúng c¥u häi
gièng nh÷ th¸ n y công khâ m ÷ñc nh¼n nhªn mët c¡ch nghi¶m tóc)
- óng rçi, v¼ h¼nh d¤ng cõa ÷íng thæng xuèng cèng l h¼nh trö.
Nh÷ng câ thº, c¥u tr£ líi n y khæng bà coi l híi hñt núa, n¸u b¤n nâi
th¶m: Ch­c æng/ b công º þ th§y, ÷íng thæng xuèng cèng th÷íng
h¼nh trö, v¼ h» thèng thâat n÷îc h¼nh trö bao gií công d¹ o hìn
h¼nh vuæng.
Cán câ thº tr£ líi nh÷ sau: khæng c¦n ph£i n¥ng n­p cèng h¼nh
trö l¶n khi di chuyºn m câ thº l«n. º vªn chuyºn n­p h¼nh vuæng
ph£i c¦n ¸n hai ho°c nhi·u ng÷íi hìi núa. Th¶m mët lþ do núa, m­c
dò khæng quan trång l­m, n­p h¼nh trán khæng c¦n ph£i lüa chi·u khi
ªy cèng nh÷ n­p h¼nh vuæng.
http://dongphd.blogspot.com

25. DongPhD 25
¥y câ l³ l mët trong sè nhúng c¥u häi nêi ti¸ng nh§t cõa Microsoft
v công ch½nh v¼ sü phê bi¸n cõa nâ m Microsoft n y ¢ ngøng sû
döng. C¥u häi tr¶n ÷ñc chån l m th½ dö cho nhúng b i b¡o º chùng
minh Microsoft ¢ câ nhúng c¥u häi væ ngh¾a ¸n mùc n o khi phäng
v§n tuyºn nh¥n sü. Ùng vi¶n b÷îc v o pháng h²t l¶n: º cho chóng
khäi rìi xuèng láng cèng tr÷îc khi phäng v§n vi¶n häi c¥u â, Adam
David Barr kº l¤i.
Khi c¥u häi v· n­p cèng h¼nh trán ÷ñc Martin Gardner «ng trong
t¤p ch½ Scientific American, ëc gi£ John Bush tø Brooklyn ¢ vi¸t
th÷ ¸n to såan vîi nhúng nhªn x²t r¬ng: Mët sè n­p cèng cõa h¢ng
Consolidated Edison câ h¼nh vuæng. Khæng l¥u tr÷îc â, mët vö nê
x£y ra ¢ n¥ng bêng mët trong nhúng c¡i n­p cèng n y l¶n cao v måi
ng÷íi câ thº o¡n ra sau â nâ ÷ñc t¼m th§y ð ¥u khæng? Ch½nh
x¡c. D÷îi ¡y cõa ch½nh c¡i cèng n nâ ¢ bà nh§c bêng l¶n. V o n«m
2000, t¡c gi£ cõa c¡c ch÷ìng tr¼nh v b¼nh luªn vi¶n nêi ti¸ng cõa i
NPR Andrei Codrescu ¢ câ b i ph¡t biºu ð tªp o n Microsoft. Khi
tr£ líi c¡c c¥u häi cõa ëc gi£, æng nhªn ÷ñc c¥u häi t¤i sao n­p cèng
l¤i h¼nh trán. i·u n y r§t d¹ hiºu, Codrescu tr£ líi. Trong c¡c trªn
¡nh th¼ c¡i mëc (tüa nh÷ c¡i khi¶n) ch­n h¼nh trán ti»n hìn h¼nh
vuæng. Hìn núa, h¼nh trán cán t÷ñng tr÷ng cho væ cüc, ch½nh v¼ vªy
nh thí th÷íng câ m¡i trán. Nguy¶n t­c trán ¦y cán nh­c nhð nhúng
ng÷íi qua ÷íng r¬ng hå ang sèng trong mët th¸ giîi ÷ñc c¡c th¦n
th¡nh t¤o n¶n.
C¥u häi 22. L m th¸ n o º ch¿ vîi mët nh¡t c­t th¯ng b¤n câ thº
c­t mët chi¸c b¡nh h¼nh chú nhªt l m hai ph¦n b¬ng nhau khi ¢ bà ai
â bà kho²t m§t mët mi¸ng b¶n trong công h¼nh chú nhªt (ð mët ché
b§t ký vîi ë lîn v h÷îng b§t ký)?
Tr£ líi.
C¡ch 1: C­t theo chi·u ngang cõa b¡nh.
C¡ch 2: C­t theo ÷íng th¯ng nèi t¥m cõa chi¸c b¡nh v t¥m
cõa h¼nh chú nhªt bà kho²t.
http://dongphd.blogspot.com

26. DongPhD 26
C¥u häi 23. B¤n câ 5 lå thuèc. Trong mët lå, t§t c£ c¡c vi¶n thuèc
·u bà häng. Ch¿ câ b¬ng c¡ch sû döng b n c¥n, b¤n mîi câ thº x¡c
ành ÷ñc ¥u l vi¶n thuèc b¼nh th÷íng, ¥u l vi¶n häng. T§t c£
nhúng vi¶n b¼nh th÷íng ·u n°ng 10 g méi vi¶n, trong khi méi vi¶n
hängch¿ câ trång l÷ñng 9 g. L m th¸ n o sau ch¿ mët l¦n c¥n b¤n câ
thº x¡c ành ÷ñc ¥u l lå thuèc häng?
Tr£ líi. L§y lå 1 ra 1 vi¶n, lå 2 ra 2 vi¶n...lå 5 ra 5 vi¶n. Têng cëng 15
vi¶n, ph£i n°ng 150g. Sau â em c¥n.V½ dö têng trång l÷ñng l 146g,
ngh¾a l thi¸u 4g, do â lå 4 h÷.
C¥u häi 24. B¤n câ 3 giä hoa qu£. Giä thù nh§t ch¿ to n t¡o, giä thù
hai ch¿ to n cam, giä thù ba l¨n lën cam v t¡o. B¤n khæng nh¼n th§y
trong méi giä câ lo¤i qu£ g¼. Méi giä ·u câ mët nh¢n hi»u nh÷ng c¡c
nh¢n hi»u ·u ghi sai. B¤n ÷ñc ph²p nh­m m­t thá tay v o mët giä
b§t ký º l§y ra mët qu£ v mð m­t nh¼n qu£ â. L m th¸ n o câ thº
x¡c ành ÷ñc trong méi giä chùa lo¤i qu£ n o?
http://dongphd.blogspot.com

27. DongPhD 27
Tr£ líi. Gi£ sû giä 1 ghi t¡o; giä 2 ghi cam v giä 3 ghi t¡o cam. Rã
r ng giä cam l ð giä 1 ho°c 3. L§y 1 qu£ ä giä ghi t¡o v c¤m. N¸u
÷ñc cam th¼ giä 3 chùa cam, giä 1 chùa t¡o v cam, giä 2 chùa t¡o.
N¸u l t¡o th¼ giä 3 chùa t¡o, giä 1 chùa cam v giä 2 chùa t¡o v
cam.
C¥u häi 25. T¤i sao lon bia th­t l¤i ð ph½a tr¶n n­p v d÷îi ¡y?
Tr£ líi. N¸u ph¡n o¡n cõa b¤n l : nh÷ th¸ s³ l m cho lon bia ch­c
ch­n hìn, th¼ nâi chung l óng. Hai ¦u th­t l¤i li¶n quan ¸n k¸t
c§u cõa to n bë vªt thº. Lon bia, công nh÷ nhúng chi¸c c¦u treo, l
mët c§u tróc têng thº, ngh¾a l r§t khâ º gi£i th½ch t¤i sao bë phªn
cö thº n o â l¤i câ c§u tróc nh÷ vªy.
Tr÷îc ¥y, ng÷íi s£n xu§t khæng ành sû döng c§u tróc n y º l m
cho lon bia ch­c ch­n hìn. Nhúng c¡i lon tr÷îc ¥y ¢ qu¡ ch­c ch­n
º chùa bia b¶n trong m khæng ph£i ngh¾ ¸n chuy»n c£i ti¸n. B¤n
câ thº häi i·u g¼ v· nhúng lon bia núa? Sü th­t l¤i l mët y¸u tè cho
ph²p gi£m bît l÷ñng nguy»n li»u c¦n thi¸t. ¥y câ v´ khæng ph£i l
mët ph¡t ki¸n lîn, nh÷ng nâ s³ câ þ ngh¾a n¸u t½nh ¸n sè l÷ñng lon
bia ÷ñc s£n xu§t v t¡i s£n xu§t h ng n«m.
¢ câ thíi bia v c¡c låai ç uèng câ gas ÷ñc üng trong c¡c hëp
th²p r§t n°ng, câ thi¸t di»n g¦n nh÷ l h¼nh chú nhªt. Th²p ph£i õ
d y º câ thº chàu ÷ñc lüc ²p cõa kh½ gas. Nhúng c¡i lon n y ÷ñc
c§u t¤o gçm 3 ph¦n, tùc l ph¦n n­p v ¡y ÷ñc g­n v o mët åan
èng h¼nh trö ð giúa nhí m¡y ²p.
Khi c¡c h¢ng s£n xu§t vä hëp buëc ph£i quan t¥m nhi·u hìn ¸n
vi»c gi£m gi¡ th nh v b£o v» mæi tr÷íng, hå chuyºn sang s£n xu§t
nhúng c¡i hëp mäng b¬ng nhæm. Nhæm mäng th¼ câ ë b·n k²m hìn
th²p. Gièng nh÷ vä trùng, nhúng chi¸c lon ÷ñc c¡n thªt mäng m
v¨n £m b£o chùa ÷ñc ch§t läng b¶n trong. i·u n y buëc ph£i sû
döng ¸n thõ thuªt ki¸n tróc, i·u câ thº bä qua khi s£n xu§t hëp
bia b¬ng th²p.
Ph¦n mäng nh§t v vúng nh§t cõa lon bia l ph¦n n­p v ÷ñc
g­n hìi thöt xuèng. N­p ph£i õ b·n vúng º chàu ÷ñc lüc t¡c ëng
khi mð lon. V¼ kim lo¤i ð ph¦n n y mäng n¶n nh s£n xu§t quan t¥m
l m sao º ÷íng k½nh cõa c¡i n­p nhä ¸n mùc câ thº, do â ÷íng
http://dongphd.blogspot.com

28. DongPhD 28
k½nh cõa ph¦n n y ph£i nhä hìn mët chót so vîi ph¦n th¥n v º nèi
chóng l¤i vîi nhau th¼ lon ph£i th­t v o ð ph½a tr¶n (khæng thº l m
nhä ÷íng k½nh cõa to n bë lon, v¼ nh÷ vªy s³ chùa ÷ñc ½t bia hìn).
Vªy khi ¢ th­t l¤i ð ph¦n tr¶n th¼ công ph£i l m nh÷ th¸ vîi ¡y lon
º chóng câ thº x¸p chçng l¶n nhau.
Ngo i ra, cán câ mët nguy¶n nh¥n núa gi£i th½ch t¤i sao lon bia
th­t l¤i ð ph½a ¡y. Ph¦n ¡y v ph¦n th¥n lon ÷ñc ²p b¬ng mët t§m
nhæm mäng º tr¡nh c¡c thao t¡c thøa khi g­n th¶m ph¦n ¡y. º
vi»c n y ÷ñc d¹ d ng hìn th¼ tèt nh§t l th­t d¦n v o chù khæng ph£i
b´ gªp mët gâc 90 ë. Sü th­t n y l m cho ¡y lon hìi cong l¶n.
Ng÷íi phäng v§n s³ häi: Vªy t¤i sao ¡y lon Coca-Cola l¤i lãm?.
C¥u tr£ líi l kim lo¤i ð ph¦n ¡y r§t mäng, v¼ vªy n¸u l m ph¯ng ,
¡y lon r§t d¹ bà bi¸n d¤ng. Kim lo¤i cong s³ vúng ch­c hìn ph¯ng,
công gièng nh÷ vä trùng lçi ·u s³ ch­c hìn l mët qu£ trùng h¼nh
lªp ph÷ìng. ë b·n vúng khæng phö thuëc v o sü lãm v o hay lçi ra,
nh÷ng n¸u câ ¡y lçi th¼ c¡c lon n y khæng th¸ x¸p chçng l¶n nhau
֖c.
C¥u häi 26. C¦n bao nhi¶u thíi gian º dàch chuyºn nói Phó S¾?
Tr£ líi. Cæng ty t÷ v§n Booz, Allen v Hamilton câ l³ l t¡c gi£ cõa
c¥u häi ëc ¡o n y. Câ hai c¡ch º ti¸p cªn v§n · n y. N¸u b¤n l¶n
k¸ håach s³ dàch chuyºn nguy¶n vµn c£ nói Phó S¾ theo c¡ch c¡c quèc
v÷ìng Ch¥u …u b­t c¡c k¾ s÷ chuyºn nguy¶n c¡c t÷ñng i Ai Cªp v·
thõ æ cõa m¼nh - chóc may m­n. N¸u khæng dòng nâ, b¤n câ thº ¡p
döng c¡ch ÷îc l÷ñng cõa Fermi. ¦u ti¶n, b¤n ph£i t½nh xem, li»u vi»c
dàch chuyºn ngån nói sang ché mîi ph£i m§t bao nhi¶u cæng o §t
thæng th÷íng. B¤n c¦n ph£i ¡nh gi¡ khèi l÷ñng cõa nói Phó S¾ b¬ng
ìn và xe t£i.
Xu§t ph¡t iºm º t½nh to¡n câ l³ l h¼nh d¤ng quen thuëc cõa
nói Phó S¾. a sè ng÷íi Mÿ cho r¬ng nói Phó S¾ câ h¼nh nân vîi chi·u
rëng ¡y lîn g§p 5 l¦n chi·u cao. Måi ng÷íi v¨n ch¿ câ kh¡i ni»m r§t
mì hç v· chi·u cao cõa ngån nói. Phó S¾ khæng ÷ñc x¸p v o nhâm
nhúng ngån nói cao nh§t th¸ giîi (Everest cao 29000 feet18 ), nh÷ng
18kho£ng 8848m
http://dongphd.blogspot.com

29. DongPhD 29
ch­c ch­n ë cao cõa nâ kho£ng v i ngh¼n feet. Vªy chóng ta h¢y døng
l¤i ð con sè 10.000 feet (¥y l dü o¡n t÷ìng èi óng, theo sè li»u
ch½nh x¡c, ë cao cõa nói Phó S¾ l 12387 feet so vîi m°t n÷îc biºn.
Nh÷ vªy, chóng ta câ chi·u cao h¼nh nân l 10.000 feet v ÷íng k½nh
¡y l 50.000 feet.
N¸u nói Phó S¾ khæng ph£i h¼nh nân m l h¼nh trö th¼ thº t½ch cõa
4
nâ s³ b¬ng di»n t½ch ¡y nh¥n vîi chi·u cao. ¥y l mët h¼nh trán câ
÷íng k½nh 50.000 feet. H¼nh vuæng câ c¤nh l 50.000 feet s³ câ di»n
t½ch l 50 000x 50 000. Tùc l b¬ng 2,5 t feet vuæng. Nh÷ng di»n t½ch
h¼nh trán ti»m cªn trong h¼nh vuæng â s³ nhä hìn (ch½nh x¡c ho°c
79%), v o kho£ng 2 t feet vuæng.
Nh¥n con sè n y vîi 10.000 feet chi·u cao, chóng ta câ k¸t qu£
20.000 t feet khèi. ¥y l thº t½ch h¼nh trö câ còng ¡y v chi·u cao
vîi nói Phó S¾ theo ph²p t½nh l m trán cõa chóng ta.
Tuy nhi¶n, nói Phó S¾ l¤i gièng h¼nh nân. N¸u b¤n cán nhî r¬ng
thº t½ch h¼nh nân b¬ng 1/3 thº t½ch h¼nh trö câ còng ¡y v chi·u cao,
th¼ b¤n s³ câ lñi th¸ lîn. Nh÷ng thªm ch½ n¸u b¤n khæng nhî ra quy
t­c â, th¼ b¤n công nhªn th§y r¬ng thº t½ch h¼nh nân ÷ìng nhi¶n
nhä hìn thº t½ch h¼nh trö câ chi·u cao v ¡y t÷ìng ùng. V¼ chóng ta
r§t th½ch c¡c con sè trán tr¾nh n¶n chóng ta s³ rót gån 20 000 t feet
khèi th nh 10 000 t feet khèi, sau â coi ¥y l thº t½ch cõa nói Phó
S¾: ngån nói lûa câ thº t½ch 10 000 t feet khèi.
Th¸ th¼ c¦n bao nhi¶u chuy¸n xe t£i? Méi xe t£i câ thº vªn chuyºn
÷ñc t£ng ¡ nói lûa câ k½ch th÷îc 10feet 10feet 10feet = 1000
feet khèi. Vªy º vªn chuyºn nói Phó S¾ c¦n 10 t chuy¸n xe t£i.
B i to¡n n y cán bä qua r§t nhi·u thæng sè. Chóng ta ch÷a bi¸t
chuyºn nói Phó S¾ i ¥u. B¤n h¢y thû häi ng÷íi phäng v§n v· thæng
tin n y. Chóng ta công ch¯ng bi¸t nói Phó S¾ câ bao nhi¶u ph¦n §t
thê nh÷ïng câ thº xóc b¬ng m¡y xóc, bao nhi¶u ph¦n ¡ nham th¤ch
cùng c¦n ph£i dòng thuèc nê º ph¡.
Trong tr÷íng hñp tèi ÷u, vi»c xóc §t ¡ v vªn chuyºn b¬ng xe t£i
công c¦n mët ng y cæng l m vi»c. N¸u chóng ta t½nh r¬ng mët chi¸c
xe t£i t÷ìng ÷ìng vîi mët ng y l m vi»c th¼ º vªn chuyºn nói Phó
S¾ c¦n 10 t ng y cæng lao ëng.
Thíi gian thüc hi»n dü ¡n phö thuëc v o vi»c câ bao nhi¶u ng÷íi
l m vi»c méi ng y. Trong tr÷íng hñp gi£ ành ch­c ch­n khæng thº x£y
ra l khèi l÷ñng n y ch¿ do mët ng÷íi l m (måi ng÷íi thay phi¶n nhau,
http://dongphd.blogspot.com

30. DongPhD 30
nh÷ kiºu nhúng ng÷íi g¡c h£i «ng thay nhau trüc trong suèt nhi·u
th¸ k nay), º k¸t thóc cæng vi»c c¦n 10 t ng y, tùc v o kho£ng 30
tri»u n«m. (Nói Phó S¾ câ l³ khæng nhi·u tuêi ¸n th¸, v khâ câ thº
tçn t¤i vîi h¼nh d¤ng b¥y gií l¥u ÷ñc ¸n nh÷ vªy. Ngån nói s³ bi¸n
m§t tr÷îc khi câ ai câ thº dàch chuyºn nâ).
N¸u chóng ta thû nghi»m ph÷ìng ph¡p khæng k²m ph¦n thi¸u thüc
t¸, l huy ëng 6 t ng÷íi sèng tr¶n Tr¡i §t còng tham gia (v cung
c§p cho hå õ döng cö v s­p x¸p sao cho måi ng÷íi khæng c£n trð
cæng vi»c cõa nhau), th¼ b¤n câ thº dàch chuyºn nói Phó S¾ trong 2
ng y!
Cù cho l ch½nh phõ Nhªt quy¸t ành dàch chuyºn nói Phó S¾ v
huy ëng ÷ñc mët nguçn lüc to lîn º thüc hi»n nhi»m vö n y. 10.000
nh¥n cæng, t÷ìng ÷ìng vîi sè nh¥n vi¶n trong mët tªp o n lîn, câ
thº l sè l÷ñng th½ch hñp. Hå c¦n ph£i thüc hi»n nhi»m vö n y trong
mët tri»u ng y, hay kho£ng 3000 n«m.
C¥u häi 27. Câ 3 cæng t­c i»n ð h nh lang. 1 c¡i trong â dung bªt
±n c«n pháng ð cuèi h nh lang. Cûa pháng â âng k½n t§t nhi¶n b¤n
khæng thº nh¼n th§y ±n trong pháng ang bªt hay t­t. B¤n c¦n ph£i
x¡c ành c¡i n o trong 3 cæng t­c â dòng º bªt ±n pháng n y. L m
c¡ch n o b¤n câ thº tin ch­c v o sü suy o¡n cõa m¼nh n¸u ch¿ ÷ñc
v o pháng â 1 l¦n?
Tr£ líi. Gåi c¡c cæng t­c l 1, 2, 3. Bªt cæng t­c 1 v t­t c¡c cæng t­c
2 v 3. Chí 10 phót. Sau â t­t cæng t­c 1 v bªt cæng t­t 2. Lªp tùc
i v o pháng. N¸u bâng n o s¡ng th¼ nâ ùng vîi cæng t­c 2. Bâng n o
sí v o th§y §m ùng vîi cæng t­c 1. Bâng ±n khæng ä v l¤nh ùng
vîi cæng t­c 3.
C¥u häi 28. Câ bao nhi¶u iºm tr¶n tr¡i §t m b¤n i mët d°m v·
h÷îng nam, mët d°m v· h÷îng æng v mët d°m v· h÷îng b­c, b¤n s³
trð v· iºm xu§t ph¡t?
http://dongphd.blogspot.com

31. DongPhD 31
Tr£ líi. Ta b­t ¦u b¬ng vi»c ph¡c th£o mët b£n ç t÷ðng t÷ñng: mët
d°m sang h÷îng nam, mët d°m sang h÷îng æng v mët d°m sang
h÷îng b­c t¤o th nh ba c¤nh cõa mët h¼nh vuæng. B¤n s³ k¸t thóc
t¤i iºm l»ch v· ph½a æng 1 d°m so vîi iºm xu§t ph¡t. B¤n ngh¾ l
khæng câ iºm n o.
Thû l¤i. L÷u þ tr¡i §t h¼nh c¦u. T¤i cüc b­c, måi h÷îng ·u l
h÷îng nam. N¸u b¤n b­t ¦u ch½nh x¡c t¤i cüc b­c, b¤n câ thº i v·
b§t k¼ h÷îng n o. Khi â mët d°m v· h÷îng æng s³ ð tr¶n ÷íng trán
t¥m l cüc b­c. Rçi i ti¸p mët d°m v· h÷îng b­c th¼ trð l¤i cüc b­c.
Vªy cüc b­c l mët ph÷ìng ¡n. L÷u þ cüc nam th¼ khæng. T¤i â,
måi h÷îng ·u l h÷îng b­c.
B¤n k¸t luªn l ch¿ câ mët iºm. B¤n sai rçi. Sai v¼ ta câ thº ti¸n
h nh t¤i mët iºm g¦n cüc nam. T÷ðng t÷ñng ta b­t ¦u tø mët iºm
c¡ch cüc nam hìn mët d°m. B¤n i mët d°m v· h÷îng nam, rçi v·
h÷îng æng v i mët váng trán câ chu vi mët d°m câ t¥m l cüc nam
- v mët d°m v· h÷îng b­c l trð l¤i iºm ban ¦u.
Câ væ h¤n iºm nh÷ vªy. B¤n xu§t ph¡t tø mët iºm b§t k¼ vîi
kho£ng c¡ch tîi cüc nam th½ch hñp. â l ÷íng trán câ t¥m l cüc
nam. Kho£ng c¡ch th½ch hñp l bao nhi¶u? ÷íng trán chu vi mët
d°m câ b¡n k½nh l 1
2 d°m. iºm xu§t ph¡t cõa h nh tr¼nh ph£i xa
hìn iºm cüc th¶m mët d°m núa, hay 1+ 1
2 d°m, kho£ng 1.159 d°m.
Chóng ta v¨n ch÷a gi£i xong. Gi£ sû b¤n b­t ¦u ð iºm g¦n cüc
nam hìn núa. B¤n i v· h÷îng nam mët d°m, sau â ti¸p töc theo
h÷îng æng tr¶n mët váng trán nhä hìn câ chu vi 1
2 d°m. B¤n i trán
hai váng. Rçi i v· h÷îng b­c. Câ væ sè iºm nh÷ vªy, chóng cüc nam
1 + 1
4 d°m.
B¤n công câ thº i·u ch¿nh h nh tr¼nh sao cho b¤n di chuyºn tr¶n
÷íng trán câ t¥m l cüc nam 3 l¦n, 4 l¦n hay n l¦n vîi n l sè tü
nhi¶n.Méi ÷íng trán mîi cõa iºm khði ¦u c¡ch cüc 1 + 1
2n d°m.
C¥u häi 29. Trong mët ng y kim phót v kim gií chçng l¶n nhau bao
nhi¶u l¦n?
Tr£ líi. V o nûa ¶m, kim gií v kim phót tròng nhau. M§t mët gií
º kim phót i h¸t mët váng. Vîi thíi gian â, kim gií i ÷ñc 1
12
http://dongphd.blogspot.com

32. DongPhD 32
váng tîi sè 1. Tèn th¶m 5 phót º kim phót ¸n sè 1, trong lóc â kim
gií ¢ ti¸n l¶n mët o¤n. Ta th§y º kim phót v kim gií g°p nhau
l¦n núa m§t hìn 65 phót. Ta x²t kho£ng thíi gian tø 12 gií ¶m ¸n
12 gií tr÷a. Trong kho£ng thíi gian â, chóng khæng thº g°p nhau 12
l¦n v¼ n¸u i·u n y x£y ra kho£ng c¡ch giúa hai l¦n g°p óng b¬ng
12
12. Khæng, ch¿ 11 l¦n thæi. Tùc l kho£ng c¡ch giúa hai l¦n g°p nhau
kho£ng 12
11 g¦n b¬ng 65,64 phót. ¥y l kho£ng thíi gian m ta ch÷a
t½nh to¡n cö thº ÷ñc.
G§p æi 11 cho ta 22 l¦n trong 24 gií. 22 l c¥u tr£ líi - trø khi
b¤n muèn t¡ch c°n k³. N¸u b¤n t½nh sü tròng l°p v o lóc nûa ¶m l
b­t ¦u mët ng y, v công v o lóc â k¸t thóc mët ng y th¼ c¥u tr£
líi l 23.
C¥u häi 30. B¤n ang ð tr¶n thuy·n t¤i t¥m cõa mët c¡i hç trán mët
c¡ch ho n h£o. Câ mët con y¶u qu¡i tr¶n bí hç. Y¶u qu¡i n y ành l m
chuy»n x§u èi vîi b¤n. Nâ khæng thº bìi v khæng câ thuy·n. Gi£ sû
b¤n câ thº l¶n bí v nâ khæng ð â º b­t b¤n - b¤n câ thº tho¡t th¥n.
B i to¡n °t ra l : Con y¶u qu¡i câ thº ch¤y nhanh g§p 4 l¦n tèc
ë tèi a cõa chi¸c thuy·n. Nâ câ c°p m­t ho n h£o, khæng bao gií
ngõ v cüc ký logic. Nâ s³ l m måi vi»c trong kh£ n«ng º b­t b¤n.
B¤n tho¡t th¥n b¬ng c¡ch n o?
Tr£ líi. Sau ¥y l gñi þ. B¤n h¢y tü häi ÷íng trán lîn nh§t, çng
t¥m vîi c¡i hç, tæi câ thº i, sao cho con y¶u qu¡i b­t kàp l g¼? â l
÷íng trán ð â b¤n i 14o¤n ÷íng m con y¶u qu¡i i. â l ÷íng
trán b¡n k½nh r4
. Di chuyºn theo chi·u kim çng hç tr¶n ÷íng trán
r4
n y, v con y¶u qu¡i s³ ch¤y vîi tèc ë tèi a theo chi·u kim çng hç,
ch¿ º duy tr¼ kho£ng c¡ch vîi b¤n. Di chuyºn theo chi·u ng÷ñc kim
çng hç, th¼ nâ công ph£i ch¤y theo chi·u â. B¤n n¶n di chuyºn tr¶n
÷íng trán b¡n k½nh nhä hìn , con y¶u qu¡i s³ khæng thº uêi kàp
b¤n. Nâ s³ bà bä l¤i ph½a sau.
i·u â câ ngh¾a l b¤n câ thº xoay sð sao cho b¤n c¡ch con y¶u
qu¡i 5r
4 . Mët c¡ch l m i·u n y l i theo ÷íng xo­n èc tø t¥m, ti¸p
cªn d¦n ¸n ÷íng trán r4
. N¸u b¤n ð trong ÷íng trán ph²p thuªt
http://dongphd.blogspot.com

33. DongPhD 33
n y, y¶u qu¡i s³ khæng thº uêi kàp b¤n. B¤n giú cho ¸n khi nâ rìi
v o và tr½ 180 ë ph½a sau b¤n.
i·u n y gióp b¤n tho¡t khäi nâ. Lóc â b¤n døng l¤i v i th¯ng ¸n
bí b¶n kia. Qu¢ng ÷íng b¤n ph£i i l lîn hìn 3r
4 mët chót. Y¶u qu¡i
ph£i v÷ñt qua r. Tùc l g§p 4
3 ÷íng i cõa b¤n v v¼ nâ ch¤y nhanh
g§p 4 l¦n b¤n n¶n nâ s³ i h¸t trong 3
thíi gian cõa b¤n. 3
lîn hìn 1
mët chót (1.047...). L m måi vi»c theo k¸ ho¤ch, v b¤n s³ cªp b¸n v
ch¤y tho¡t tr÷îc khi con y¶u qu¡i ¸n â.
i·u n y câ thüc sü gi£i b i to¡n? N¸u con y¶u qu¡i thæng minh
v ¢ nghe k¸ ho¤ch n y th¼ sao? Nâ khæng theo b¤n quanh hç khi nâ
nhªn ra b¤n dü ành l m g¼?
V¥ng, nh÷ng thªm ch½ khi nâ bi¸t ch½nh x¡c b¤n ành l m g¼, nâ
khæng thº l m g¼ tèt hìn. B¤n l§y mët c¡i loa v thæng b¡o N y, y¶u
qu¡i kia! ¥y ch½nh l i·u ta s³ l m. Ta ch¤y quanh ÷íng trán nhä
http://dongphd.blogspot.com

34. DongPhD 34
vîi b¡n k½nh nhä hìn r4
mët chót nay. Ng÷ìi t½nh i! Ngay khi ta ð
và tr½ 180 ë so vîi ng÷ìi, ta s³ i v o bí v s³ tho¡t th¥n ð â. B¥y
gií chóng ta l m i·u n y b¬ng c¡ch d¹, c¡ch khâ , hay l c¡ch ngèc
ngh¸ch. C¡ch d¹ l cho ng÷ìi l nhªn ra m¼nh thua cuëc. óng y¶n v
º ta l¶n bí. C¡ch khâ cho ng÷ìi l uêi theo ta. i·u n y v§t v£ cho
c£ hai. Nh÷ng k¸t qu£ v¨n vªy. Cuèi còng l c¡ch ngèc ngh¸ch. Ng÷ìi
câ giú chi¸n l÷ñc ph£n cæng - ch¯ng h¤n uêi theo vîi tèc ë tèi a,
uêi theo nhúng h÷îng kh¡c nhau v¥n v¥n - nhúng i·u â ch¿ l m
cho ta ¸n và tr½ dü ành d¹ hìn.
http://dongphd.blogspot.com