Matriks adjacency dan pelabelan super busur anti ajaib (a,d) berhubungan erat. Skew diagonal pada matriks adjacency menunjukkan bobot busur graf. Graf baru dapat dibangun dengan mengkontraksi subgraf atau menambah simpul.

1. Kolokium 25 November 2010

2. PENDAHULUAN
Definisi Graf
ISI
Matriks Adjacency
Pelabelan Graf
Isomorfik
Hasil yang diketahui

3. Himpunan simpul Himpunan busur
Himpunan pasangan tak terurut dari simpul-simpul
Contoh graf
Graf Lintasan P5
Graf Bintang S5 Graf Lingkaran C3

4. A = [aij] berukuran |V| x |V|
= 1, jika ada busur yang menghubungkan simpul vi dan vj
= 0, lainnya
Contoh
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 0 0 0
v2 v1 v2 v3 v4 v5
1 0 1 0 0
v3 0 1 0 1 0
v4 0 0 1 0 1
v5 0 0 0 1 0

5. v1 v1
v5 v2
v6
v3 v2
v4 v3
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 v2 v3
v1 0 0 0 0 0 1
v1 0 1 1
v2 0 0 0 0 0 1
v2 1 0 1
v3 0 0 0 0 0 1
v3 1 1 0
v4 0 0 0 0 0 1
v5 0 0 0 0 0 1
v6 1 1 1 1 1 0

6. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1
v1 0 0 0 0 0 1
0
1
v2 0 0 0 0 0 1 v2
v5
v3 0 0 0 0 0 1
v6
v4 0 0 0 0 0 1
v5 0 0 0 0 0 1 v4 v3
v6 0
1 1
1 1 1 1 0

7. f : V, E, atau V E  subhimpunan bilangan asli
f : V  {1, 2, …, |V|}

8. Jumlah dari label simpul yang dihubungkan.
i j
Bobot busur ij = i + j

9. Pelabelan simpul, sehingga
Himpunan bobot busur =
{a, a + d, a + 2d, …, a + (|E|-1) d}
Contoh graf SBAA-(a,d)
1 2 3 4 5
Bobot Busur : 3 5 7 9
a=3
d=2 PSBAA-(3, 2)

10. Graf Isomorfik
v1 ' v2 '
v2
v1 v3
v6 ' v3 '
v6 v4
v5
v5 ' v4 '
G = (V, E)
G’ = (V’, E’)
f : V → V’
f(v1) = v3’, f(v2) = v1’, f(v3) = v5’, f(v4) = v6’, f(v5) = v4’, f(v6)
= v2 ’
uv E f(u)f(v) E’
10

11. Pelabelan Isomorfik
G = (V, E) G’ = (V’, E’)
l:V→L l’ : V’ → L
f : V → V’
uv E f(u)f(v) E’
l(v) = l’(f(v))
Contoh pelabelan isomorfik:
v2
1 v1 '
1 112'
v
v1
8 v3
9
v3'
6 8 3'
v
v6
11 v4
3
v5
4 v5 '
9 v4 '
4 11

12. Pelabelan Isomorfik
G = (V, E) G’ = (V’, E’)
l:V→L l’ : V’ → L
f : V → V’
uv E f(u)f(v) E’
l(v) = l’(f(v))
Contoh pelabelan tidak isomorfik
2 1 2
1 3
6 3
6 4
12
5 5 4

13. • Sugeng dan Miller (2005) :
Hubungan antara matriks adjacency dan pelabelan simpul
busur antiajaib (a,d) untuk d = 1 serta pelabelan total super
busur anti ajaib (a,d).
• Cavalier (2009) :
Hubungan antara matriks adjacency dan pelabelan Graceful.

14. Permasalahan • Bagaimana kaitan antara matriks adjacency dan PSBAA-
(a,2)?
• Dapatkah dikonstruksi graf PSBAA-(a,2) yang baru
dengan memanfaatkan sifat-sifat matriks adjacency-nya?
Ruang Lingkup Dibatasi untuk graf sederhana berhingga tak berarah.
Metode Studi pustaka yang dikembangkan untuk menganalisa dan
mengkonstruksi teori baru.
Tujuan • Menemukan kaitan antara matriks adjacency dan
PSBAA-(a,2).
• Menemukan cara mengkonstruksi graf SBAA-(a,2) yang
baru dengan memanfaatkan sifat-sifat matriks adjacency-
nya.

15. PENDAHULUAN
Definisi Graf
Matriks Adjacency
Matriks Adjacency dan Skew Diagonal
Pelabelan Graf
Pelabelan Graf
MA dan PSBAA-(a,2)
Isomorfik
Konstruksi Graf Baru
MA dan PSBAA-(a,2) maksimal
Hasil yang diketahui
MA dan PSBAA-(a,2)
bobot busur ganjil/genap
ISI

16. v1
1
v1
1 v2
2 v3
3
v1
1 0 1 1
v2
2 1 0 1
v3
3 1 1 0 v3
3 v2
2
Bobot Busur = 1 + 2 = 3
Bobot Busur = 1 + 2 = 3

17. 1 2 |V|
1 0 a12 0 0 0 aij
a1v
.
.
.
a21 0 1 0 0 a2v
.
.
.
2
1 0 1 0 0
. . . . .
0
. 0
. 1 0
. 1
. 1
.
. . . . .
0 0 0 1 0 0 a(i+1)(j-1)
|V| av1 av2 0 1 0 0
.
.
.
a(i+2)(j-2)
Memiliki bobot busur
yang sama yaitu i+j.

18. 1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 0
S3
3
2 1 4
0
S4 1 0 0
55
S
3 0 1 0 1 0
4 0 0 1 0 1
S9
9
5 0 0 0 1 0
Skew
diagonal Sk

19. a11 S a12 a13 a14  a1( n 1) a1n
3
a21 a a23 a24  .a2( n 1) a2 n
S4 22
a31 a32 a33 a34  a3( n 1) a3n
a41 S5 a42 a43 a44  a4( n 1) a4 n
      
a( n 1)1 a( n 1)2 a( n 1)3 a( n 1)4  a( n 1)( n 1) a( n 1) n
S2n-1
an1 an 2 an 3 an 4  an ( n 1) ann

20. PENDAHULUAN
ISI
Matriks Adjacency dan Skew Diagonal
Pelabelan Graf
MA dan PSBAA-(a,2)
Konstruksi Graf Baru
MA dan PSBAA-(a,2) maksimal
MA dan PSBAA-(a,2)
bobot busur ganjil/genap

21. • Memiliki skew diagonal berisi entri “0 “seluruhnya
atau tepat dua entri “1”
• Setiap dua skew diagonal tidak nol yang berurutan
akan diselingi tepat satu skew diagonal nol.

22. Contoh
1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 0
S3 3 5 7 9
2 1 0 1 0 0
S5
3 0 1 0 1 0 1 2 3 4 5
S7
4 0 0 1 0 1 PSBAA-(3, 2)
S9
5 0 0 0 1 0

23. PENDAHULUAN
ISI
Matriks Adjacency dan Skew Diagonal
Pelabelan Graf
MA dan PSBAA-(a,2)
Konstruksi Graf Baru
MA dan PSBAA-(a,2) maksimal
MA dan PSBAA-(a,2)
bobot busur ganjil/genap

24. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
S3
2 1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0
S5
S4
3 0 1 0 1 0 3 1 0 0 0 1
S7 S6
4 0 0 1 0 1 4 0 0 0 0 0
S9 S7
5 0 0 0 1 0 5 1 0 1 0 0
Bobot Busur Ganjil Bobot Busur Genap

25. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
2 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0
S5
S4
3 0 1 0 1 0 3 1 0 0 0 1
S7 S6
4 0 0 1 0 1 4 0 0 0 0 0
S9 S7
5 0 0 0 1 0 5 1 0 1 0 0
Bobot Busur Ganjil Bobot Busur Genap
Tidak Maksimal

26. Observasi 1
(a) Banyaknya busur dari suatu graf PSBAA-(a,2)
bobot busur ganjil maksimal adalah |V|-1.
(b) Banyaknya busur dari suatu graf PSBAA-(a,2)
bobot busur genap maksimal adalah |V|-2.

27. PENDAHULUAN
ISI
Matriks Adjacency dan Skew Diagonal
Pelabelan Graf
MA dan PSBAA-(a,2)
Konstruksi Graf Baru
MA dan PSBAA-(a,2) maksimal
Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Setara Bobot Busur
MA dan PSBAA-(a,2)
bobot busur ganjil/genap
Mengkontraksi Suatu Subgraf SBAA-(a,2)
Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Lebih Besar

28. Himpunan bobot busur :
G1
1 2 3 4 5 {3, 5, 7, 9}
1 0 1 0 0
1 0 1
3
2 1 0 0 0 0 5 2
5
3 0 0 0 1 0
9
4 0
1 0 1 0 1
4 3
5 0 0 0 1 0
7
Himpunan bobot busur :
G2
{3, 5, 7, 9}
G1 dan G2 setara bobot busur

29. Himpunan
Sehingga, untuk |V|=5, didapat bobot busur
{3, 5, 7, 9}
1
3
1 5 2
3
5
5 2 9
5
9 4 3
7
4 3 1
1 3
7 3
5 2
5 2 7
7 5
5 9
9
4 3
4 3

30. Observasi 2

31. Graf PSBAA-(a,2) Bobot Busur Ganjil Maksimal yang
Setara Bobot Busur
Untuk graf dengan 5 simpul
1 2 1 2
1 2 3
3
1 2 3 4 5
4 5 3 4 5 4 5

32. Graf PSBAA-(a,2) Bobot Busur Ganjil Maksimal yang
Setara Bobot Busur
Untuk graf dengan 6 simpul
1 2 1 2 3 2
4 1
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 4 5 6 5 6 3
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3
5 6 3 4 1 2
4 5 6 5 6 4 5 6
4 1 2 1 2 3 4 1 2
4 1 2 5 6 3
5 6 3 4 5 6 5 6 3

33. PENDAHULUAN
ISI
Matriks Adjacency dan
Pelabelan Graf
Konstruksi Graf Baru
Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Setara Bobot Busur
Mengkontraksi Suatu Subgraf SBAA-(a,2)
Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Lebih Besar

34. 1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 0
2 1 0 1 0 0
3 0 1 0 1 0
4 0 0 1 0 1
5 0 0 0 1 0
1 2 3 4 5
3 5 7 9

35. Teorema 3.1
Setiap graf SBAA-(a,2) maksimal memiliki
subgraf SBAA-(a,2) nontrivial yang maksimal.
Bukti
a11 S3 a12  a1k a1(k 1)  a1n
a21 S4 a22  a2k a2(k 1)  a2n a11S3 a12 a13  a1k
       a21 a22 a23  a2 k
Sk S4
ak1 ak2  akk ak(k 1)  akn a31 a32 a33  a3k
a(k 1)1 a(k 1)2  a(k 1)k a(k 1)(k 1)  a(k 1)n S    S2k-1

k
 Si+j      S2n-1 ak1 ak 2 ak 3  akk
an1 an2  ank an(k 1)  ann
A’
A

36. PENDAHULUAN
ISI
Matriks Adjacency dan
Pelabelan Graf
Konstruksi Graf Baru
Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Setara Bobot Busur
Mengkontraksi Suatu Subgraf SBAA-(a,2)
Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Lebih Besar

37. Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Lebih Besar
Menambah Busur pada Graf Awal
Menggabungkan Dua atau Lebih Graf-graf SBAA-(a,2)
Menggabungkan Sekaligus Menambah Simpul dan Busur

38. Teorema 3.2
Sembarang graf SBAA-(a,2) yang tidak
maksimal dapat diperluas menjadi graf SBAA-
(a,2) yang maksimal.

39. Contoh
1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 0 1 2 3
3 5
2 1 0 1 0 1
0 7
3 0 1 0 0 0 4 5
9
4 0 0 0 0 1
0
5 0 1
0 0 1
0 0
1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 0 1 2 3
3 5
2 1 0 1 0 0 7
3 0 1 0 1
0 0 4 5
9
4 0 0 1
0 0 1
0
5 0 0 0 1
0 0

40. Membentuk Graf SBAA-(a,2) yang Lebih Besar
Menambah Busur pada Graf Awal
Menggabungkan Dua atau Lebih Graf-graf SBAA-(a,2)
Menggabungkan Sekaligus Menambah Simpul dan Busur

41. Teorema 3.3
Misalkan G1 dan G2 adalah graf SBAA-(a,2) maksimal
dengan jenis bobot busur yang sama (genap atau ganjil) masing-
masing berorder v dan w. Maka terdapat graf G3 yang merupakan
graf SBAA-(a,2) maksimal berorder v+w yang memuat G1 dan
G2 sebagai subgraf. G3 memiliki jenis bobot busur yang sama
dengan G1 dan G2 dengan tambahan satu busur untuk bobot
busur ganjil dan tambahan dua busur untuk bobot busur genap.

42. Bukti
G1  A1
G2  A2

43. Contoh untuk bobot busur ganjil
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
2 1 0 1 0 1
2 1 0 1 0
3 0 1 0 0 0
3 0 1 0 1
4 0 0 0 0 1
4 0 0 1 0
5 0 1 0 1 0
1 2 3
3 5 G2 1 2 3 4
3 5 7
7
G1 4 5
9

44. 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 3
3 5
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 7
0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 5
9
0 1 0 1 0 0 0 0 0 11
0 0 0 0 0 0 1 0 0
6 7 8 9
13 15 17
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 1 G3
0 0 0 0 0 0 0 1 0

45. Teorema 3.4

46. 0 1 0 0 0
1 0 1 0 1 1 2 3
3 5
0 1 0 0 0 7 G1
0 0 0 0 1 4 5
9
0 1 0 1 0 G2
11
0 1 0 0
6 7 8
13 15
1 0 1 0
0 1 0 1 G3
0 0 1 0

47. 0 1 0 0 0
1 0 1 0 1 1 2 3
3 5
G1
0 1 0 0 0 7
0 0 0 0 1 4 5
9
0 1 0 1 0 G2
11
0 1 0 0
6 7
13
1 0 1 0
0 1 0 1 G3
0 0 1 0

48. Teorema 3.5
Misalkan G1 dan G2 adalah dua graf SBAA-(a.2) bobot busur
ganjil dengan order masing-masing adalah v dan w. Maka terdapat
graf G3 yang merupakan graf SBAA-(a,2) bobot busur ganjil
berorder v+w-1 dan v+w-2 yang memuat G1 dan G2.
Teorema 3.6
Misalkan G1 dan G2 adalah dua graf SBAA-(a.2) bobot busur
genap dengan order masing-masing adalah v dan w. Maka terdapat
graf G3 yang merupakan graf SBAA-(a,2) bobot busur genap
berorder v+w-1 , v+w-2, dan v+w-3 yang memuat G1 dan G2.

49. Gi graf SBAA-(a,2) order vi
Ai , (i = 1, 2, …, p)
A1 0  0
0 A2  0
A
   
0 0  Ap

50. Teorema 3.7

51. Teorema 3.8

52. Akibat 3.1
Setiap graf SBAA-(a,2) memiliki suatu supergraf
SBAA-(a,2).

53. Gi graf SBAA-(a,2) order vi
Ai , (i = 1, 2, …, p)
A1 0  0
0 A2  0
A
   
0 0  Ap

54. Teorema 3.9

55. Bentuk umum :
1
Sebanyak k graf Sebanyak k graf
2kv+2
: Graf SBAA-(a,2) bobot busur ganjil

56. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
G1 4 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

57. 2 3 4 7 8 9
5 6 10 11
1 32
12 14 17 18 19
13
15 16 20 21
22 23 24 27 28 29
25 26 30 31

58. • Matriks adjacency suatu graf SBAA-(a,2) memiliki karakterisrik
khusus, yaitu merupakan matriks yang simetris dengan skew
diagonal - skew diagonal yang berisi elemen “0” seluruhnya atau
tepat dua elemen “1” dan setiap dua skew diagonal tidak nol yang
berurutan akan diselingi tepat satu skew diagonal nol.
• Matriks adjacency dapat digunakan untuk mengkonstruksi graf
SBAA-(a,2) yang baru dari graf SBAA-(a,2) yang sudah ada, yaitu
dengan membentuk :
1. Graf yang setara bobot busur dengan graf awal
2. Subgraf
3. Graf baru yang lebih besar.

59. K.A. Sugeng and M. Miller. 2005. Relationship between Adjacency
Matrices and Super (a,d)-Edge-Antimagic-Total Labeling of
Graphs. University of Ballarat, Australia.
Cavalier , Charles Michael. 2009. Graceful Labelings. University of
South Carolina, South Carolina.
Gallian, J. A. (2009). A Dynamic Survey of Graph Labeling. The
Electronic Journal of Combinatorics 5 , #DS6.
Rosen, K. H. (2003). Discrete Mathematics and Its Applictions (5
ed.). New York: McGraw-Hill
West, Douglas B. 1996. Introduction to Graph Theory. New Jersey :
Prentice-Hall.