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# 複雑ネットワーク 第４章 古典的なグラフ

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### 複雑ネットワーク 第４章 古典的なグラフ

1. 1. 第３回  複雑ネットワーク読書会 第４章  古典的なグラフ Shintaro  TAKEMURA   d.hatena.ne.jp/taos     twi9er.com/stakemura   facebook.com/shintaro.takemura
2. 2. 4.1  完全グラフ•  完全グラフ(Complete  Graph)   A –  全ての頂点対が隣隣接 •  L=1, C=1 B •  <k>=N-1 E –  スモールワールド・ネット L ワークとは⾔言えない •  枝が多すぎる •  M=N*(N-1)/2 –  ネットワークを無視したもの k が、平均場近似 スモールワールド・ネッ トワークなら、平均次数 とともに平均最短経路路⻑⾧長 が急速に減少する
3. 3. 4.1  完全グラフ•  部分グラフ(Subgraph)   A –  頂点と枝がGのサブセットの C グラフを、Gの部分グラフと B 呼ぶ E•  クリーク(Clique)   F –  部分グラフかつ完全グラフ D = Complete subgraph –  右のグラフでいうABE
4. 4. 4.2  空間に埋めこまれた格⼦子•  ２次元格⼦子   –  平⾯面状に規則的に並べられた点からなるグラフ –  碁盤⽬目上に並んだモデルを正⽅方格⼦子と呼ぶ A B •  Z2と書かれる –  スモールワールドではない（Lが⼤大きい） C D •  L ∝ √N –  対称性改善のため周期的境界条件を課すことも –  正⽅方格⼦子の近傍をノイマン近傍と呼ぶ –  斜めの点を含んだものがムーア近傍
5. 5. 4.2  空間に埋めこまれた格⼦子•  １次元格⼦子とサイクル   –  １次元規則の無限グラフ A B E •  Z1と書かれる •  k=2, L ∝ N, C=0 –  周期的境界条件を課したものがサイクル A B •  CNと書くことも –  スモールワールドではない E •  L ≈ N/4 •  ⼤大きいNに対してL ∝ √Nより⼤大きい –  拡張１次元格⼦子・拡張サイクル A B E •  次数をkとなるよう拡張したもの •  L ≈ N/2k
6. 6. 4.2  空間に埋めこまれた格⼦子•  ⼀一般の次元の格⼦子   –  D次元の場合、超⽴立立⽅方格⼦子と呼ぶ •  ZDと書かれる –  周期的境界条件を課したものがトーラス –  スモールワールドではない •  L ∝ N1/D •  Dが⼤大きくなるほどLが⼩小さくなる •  が、⼤大きいNに対してL ∝ √Nより⼤大きい –  ３次元以上の格⼦子を扱うことはあまりない
7. 7. 4.3  ⽊木•  ⽊木(Tree)   –  ４章では各頂点の次数が同⼀一のものを扱う •  ケーリー・ツリー、ベーテ格⼦子とも呼ばれる –  クラスター性は低い N = 1 + k + k (k − 1) +  + k (k − 1) l −1 •  C=0 l 1 − (k − 1) l –  繰り返し数をlと定める = 1+ k ~ (k − 1) 1 − (k − 1) •  N ∝ (k-1)l •  l ∝ logN / log(k-1) log N ⎛ N → +∞ ⎞ l~ ⎜ ⎜ k : fixed ⎟ ⎟ –  lとLは、定数倍くらいの違い log(k − 1) ⎝ ⎠ •  L ∝ logN 1 •  Lは⼩小さい ln( k − 1) 1 k
8. 8. 4.4  ランダム・グラフ•  ランダム・グラフ    (Random  Graph)     p = 0.0 ; k = 0 N = 12 –  Erdős and Renyi (1959)•  ⽣生成⼿手順   1.  N個のノードを⽤用意する 2.  2個のノードを確率率率  p で p = 0.09 ; k = 1 ランダムに選択しリンク で結ぶ•  毎回異異なるグラフが⽣生成   –  典型的には •  k ≈ pN p = 1.0 ; k ≈ N •  M ≈ pN(N-1)/2
9. 9. 4.4  ランダム・グラフ •  最⼤大連結成分(Largest  Component)   –  相転移の説明のための補⾜足資料料 p = 0.0 ; <k> = 0 p = 0.045 ; <k> = 0.5 p = 0.09 ; <k> = 1 p = 1.0 ; <k> ≈ ½N2最⼤大連結成分⼤大きさ(Size  of  largest  component) 1 5 11 12最⼤大連結成分の直径(Diameter  of  largest  component) 0 4 7 1平均最短経路路⻑⾧長(Average  path  length  between  nodes) 0.0 2.0 4.2 1.0
10. 10. 4.4  ランダム・グラフ•  相転移(Phase  Transi<on)   –  pを操作することで、ネットワークに定性的な変化 •  最も頂点数の多い連結成分の⼤大きさに影響 –  p < 1/N 最⼤大連結成分の直径 •  ⼤大多数の点が孤⽴立立 –  p = 1/N （相転移点） 1.0 •  最⼤大連結成分が出現 –  p > 1/N ノード内の連 結成分の割合 •  連結成分が多く占める –  p > logN/N •  全体が連結 0 1/N p •  連結性における相転移点 相転移点
11. 11. 4.4  ランダム・グラフ•  ランダム・グラフの次数分布   –  ⺟母関数による導出例例 kp= k N − k −1 N −1 ⎛ N − 1⎞ k N − k −1 ⎛ N − 1⎞⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞ N −1 p(k ) = ⎜ ⎜ k ⎟ p (1 − p ) ⎟ ⎜ k ⎟⎜ N − 1 ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ N − 1 ⎟ k ≡ ∑ kp(k ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k =0 N −1 母関数 lim G (x ) = exp( k (x − 1))G (x ) = ∑ P(k )x k N → +∞ k =0 k N − k −1 +∞ − k ⎛ k k ⎞ k ⎛ N − 1⎞⎛ k ⎞ N −1 ⎛ k ⎞ = ∑e ⎜ ⎟ x = ∑ ⎜ ⎜ k ⎟⎜ N − 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ N − 1 ⎟ xk k =0 ⎜ k! ⎟ k = 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ N −1 ⎧ k ⎫ N = 200 = ⎨1 + (x − 1)⎬ 2項分布 Poisson ⎩ N − 1 ⎭ k =4 分布へ k 近づく ⎡ ∂ ⎤ k − k p(k ) = ⎢ k lim G (x )⎥ = e ⎣ ∂x N →+∞ ⎦ k!
12. 12. 4.5  複雑ネットワークに向けて•  ４章のグラフはスモールワールド性を満たさない   –  ⼩小さい  L –  ⼤大きい  C （ランダムグラフは⼩小さいC） –  ⼤大きすぎる  <k>•  ５章でスモールワールド性をもつモデルを紹介   –  ⼩小さい  <k>•  ６章でスケールフリー性をもつモデルを紹介   –  次数分布がべぎ則