Download to read offline
Integral Parsial.pdf
- 1. TEKNIK PENGINTEGRALAN A. Substitusi B.“Khusus” C. Integral Parsial D. Substitusi Trigonometri Materi yang harus dikuasai sebelumnya: 1. Integral Tak Tentu 2. Sifat-Sifat Integral Tak Tentu 3. Derivatif Fungsi Trigonometri 4. Derivatif Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
- 2. !"#$%&'()*+"%,!)#&!%-"-.$#&! Rumus-Rumus : !sin 𝑎𝑥𝑑𝑥 = −1 𝑎 . cos 𝑎𝑥 + 𝑐 1) !cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 . sin 𝑎𝑥 + 𝑐 2) !sec! 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 . tan 𝑎𝑥 + 𝑐 3) !csc! 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −1 𝑎 . cot 𝑎𝑥 + 𝑐 4) !sec 𝑎𝑥 tan 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 1 𝑎 . sec 𝑎𝑥 + 𝑐 5) !csc 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −1 𝑎 . csc 𝑎𝑥 + 𝑐 6) 7a) !tan 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −1 𝑎 . ln(cos 𝑎𝑥) + 𝑐 7b) !tan 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 . ln(sec 𝑎𝑥) + 𝑐 8) !cot 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 . ln(sin 𝑎𝑥) + 𝑐 9) !sec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 . ln(sec 𝑎𝑥 + tan 𝑎𝑥) + 𝑐 10) !csc 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 . ln(csc 𝑎𝑥 − cot 𝑎𝑥) + 𝑐
- 3. Sebelum melanjutkan keslide berikutnya, sebaiknya kamu berkonsentrasi penuh yaaa J J J GENTLE WARNING !!! Fasten your seatbelt … the road will be a little bit rough J J J
- 4. C. Teknik PengintegralanParsial ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Contoh 1. ! 3𝑥 . sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 3 𝑣 = ! sin 2𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 . − 1 2 cos 2𝑥 𝑢 = 3𝑥 − ! − 1 2 cos 2𝑥 . 3𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 𝑣 = − 1 2 cos 2𝑥 = − 3 2 𝑥. cos 2𝑥 + ! 3 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = − 3 2 𝑥. cos 2𝑥 + 3 4 sin 2𝑥 + 𝑐
- 5. Contoh 2. !(2𝑥− 3) . cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 𝑣 = ! cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 (2𝑥 − 3) . 1 4 sin(4𝑥 + 1) 𝑢 = 2𝑥 − 3 − ! 1 4 sin(4𝑥 + 1) . 2𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑣 = 1 4 sin(4𝑥 + 1) = 2𝑥 − 3 . 1 4 sin 4𝑥 + 1 − ! 1 2 sin(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 3 . ! " sin 4𝑥 + 1 + ! # cos(4𝑥 + 1) + 𝑐
- 6. Contoh 3. !5𝑥$ . cos 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 10𝑥 𝑣 = ! cos 3𝑥 𝑑𝑥 5𝑥$. 1 3 sin 3𝑥 𝑢 = 5𝑥$ − ! 1 3 sin 3𝑥 . 10𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 10𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 1 3 sin 3𝑥 = 5 3 𝑥$. sin 3𝑥 − ! 10 3 𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 Masih berbentuk integral parsial Sehingga harus dilakukan kembali cara integral parsial Kita lanjutkan ke slide berikutnya J J ( * )
- 7. ∫ 𝑢 𝑑𝑣= 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ! 10 3 𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 10 3 𝑣 = ! sin 3𝑥 𝑑𝑥 10 3 𝑥 . − 1 3 cos 3𝑥 𝑢 = 10 3 𝑥 − ! − 1 3 cos 3𝑥 . 10 3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 10 3 𝑑𝑥 𝑣 = − 1 3 cos 3𝑥 = − 10 9 𝑥. cos 3𝑥 + ! 10 9 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = − 10 9 𝑥. cos 3𝑥 + 10 27 sin 3𝑥 ! 10 3 𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 = − 10 9 𝑥. cos 3𝑥 + 10 27 sin 3𝑥 ( ** )
- 8. ! 5𝑥$ .cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 5 4 𝑥$. sin 3𝑥 − ! 10 3 𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 ( * ) ! 10 3 𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 = − 10 9 𝑥. cos 3𝑥 + 10 27 sin 3𝑥 ( ** ) Jika kita substitusikan persamaan ( ** ) ke persamaan ( * ), maka diperoleh ! 5𝑥$ . cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 5 4 𝑥$. sin 3𝑥 − − 10 9 𝑥. cos 3𝑥 + 10 27 sin 3𝑥 = 5 4 𝑥$. sin 3𝑥 + 10 9 𝑥. cos 3𝑥 − 10 27 sin 3𝑥
- 9. Contoh 4. !15𝑥$ . 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 30𝑥 𝑣 = ! 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 15𝑥$. 1 3 (2𝑥 + 3) % $ 𝑢 = 15𝑥$ − ! 1 3 (2𝑥 + 3) % $. 30𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 30𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = ! % (2𝑥 + 3) ! " = 5𝑥$. (2𝑥 + 3) % $− ! 10𝑥 . (2𝑥 + 3) % $𝑑𝑥 Masih berbentuk integral parsial Sehingga harus dilakukan kembali cara integral parsial Kita lanjutkan ke slide berikutnya J J ( * ) 𝑤 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑤 𝑑𝑥 = 2 1 2 𝑑𝑤 = 𝑑𝑥 𝑣 = ! 𝑤 " ! . 1 2 𝑑𝑤
- 10. ∫ 𝑢 𝑑𝑣= 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ! 10𝑥 . (2𝑥 + 3) % $𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 10 𝑣 = !(2𝑥 + 3) # ! 𝑑𝑥 10𝑥 . ! . (2𝑥 + 3) # " 𝑢 = 10𝑥 − ! 1 5 (2𝑥 + 3) . $. 10𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 10 𝑑𝑥 𝑣 = 1 5 (2𝑥 + 3) . $ = 2𝑥. (2𝑥 + 3) . $ − ! 2. (2𝑥 + 3) . $ 𝑑𝑥 𝑤 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑤 𝑑𝑥 = 2 1 2 𝑑𝑤 = 𝑑𝑥 𝑣 = ! 𝑤 # !. 1 2 𝑑𝑤 𝑤 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑤 𝑑𝑥 = 2 1 2 𝑑𝑤 = 𝑑𝑥 = 2 7 (2𝑥 + 3) / $ = ! 2. 𝑤 $ !. 1 2 𝑑𝑤
- 11. ! 10𝑥 .(2𝑥 + 3) # ! 𝑑𝑥 = ( ** ) 2𝑥. (2𝑥 + 3) . $ − 2 7 (2𝑥 + 3) / $ Jika kita substitusikan persamaan ( ** ) ke persamaan ( * ), maka diperoleh Di slide 8, kita mendapatkan persamaan ( * ), yaitu ∫ 15𝑥$ . 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 5𝑥$. (2𝑥 + 3) ! " − ∫ 10𝑥 . (2𝑥 + 3) ! "𝑑𝑥 ! 15𝑥$ . 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 5𝑥$. (2𝑥 + 3) % $ − 2𝑥. (2𝑥 + 3) . $ − 2 7 (2𝑥 + 3) / $ = 5𝑥$. (2𝑥 + 3) % $ − 2𝑥. 2𝑥 + 3 . $ + 2 7 (2𝑥 + 3) / $
- 12. LATIHAN ! 4𝑥 .𝑠𝑒𝑐$ 3𝑥 𝑑𝑥 ! 10𝑥$ . sin 5𝑥 𝑑𝑥 1) 2)