calculo

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS –
“ESPE”
EXTENSIÓN LATACUNGA
NOMBRE. RICARDO MUÑOZ MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL DEBER: N° 12
NIVEL: I “A” CARRERA: SOFTWARE
SEMESTRE: OCTUBRE2014
FEBRERO 2015
TEMA: “INTEGRALES DEFINIDAS”
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ∫ (1 + √ 𝑦 )/𝑦2 𝑑𝑦
4
1
∫
1
𝑦2 +
√𝑦
𝑦2
4
1
𝑑𝑦
∫ (𝑦−2 + 𝑦−
3
2 )𝑑𝑦
4
1
(
𝑦−1
−1
+
𝑦−1
−
1
2
|
4
1
)
(−
1
4
− 1) − (−1 − 2) =
7
4
2. ∫
𝑑𝑥
√25−3𝑥
−3
0 u=25+3x
1
3
∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢
−3
0 du/3=dx
1
3
( 𝑢
1
2|
−3
0
)
(
2√25 − 3𝑥
3
) − (
2
3
√25) = −
2
3
3. ∫
𝑑𝑥
𝑥2−1
−3
−2
(
1
2
𝐼𝑛(
𝑥−1
𝑥+1
)|
−3
−2
)
(
1
2
𝐼𝑛 (
−4
−2
)) − (
1
2
𝐼𝑛 (
−3
−1
)) = −0.202
4. ∫
𝑥𝑑𝑥
𝑥2+3𝑥+2
1
0
∫
2
𝑥 + 2
−
1
𝑥 + 1
1
0

2. (2𝐼𝑛( 𝑥 + 2) − 𝐼𝑛( 𝑥 + 1)|
1
0
)
(2𝐼𝑛(3)− 𝐼𝑛(2)) − (2𝐼𝑛(2) − 𝐼𝑛(1)) = 0.11
5. ∫
𝑌5 𝑑𝑥
𝑌+2
1
0
∫ 𝑦4 − 2𝑦3 + 4𝑦2 − 8𝑦 + 16 −
−32
𝑌 + 2
𝑑𝑦
1
−1
(
𝑦
5
5
− 2
𝑦
4
4
+ 4
𝑦
3
3
− 8
𝑦2
2
+ 16𝑦 − 32𝐼𝑛(𝑦 + 2)𝑑𝑦|
1
−
)
((
1
5
1
−
1
2
1
+
4
3
1
− 4 + 16𝑦 − 32𝐼𝑛(3)) − (
1
5
1
−
1
2
1
+
4
3
1
− 4 + 16𝑦 − 32𝐼𝑛(1))) = −0.89
6. ∫
𝑑𝑥
𝑥2−3𝑥+2
4
3
∫
1
𝑥 − 2
−
1
𝑥 − 1
1
0
( 𝐼𝑛( 𝑥 − 2) − 𝐼𝑛( 𝑥− 1)|
4
3
)
( 𝐼𝑛(2)− 𝐼𝑛(3)) − ( 𝐼𝑛(1) − 𝐼𝑛(2)) = 0.28
7. ∫
𝑑𝑥
𝑥2+4𝑥+5
1
0
∫
𝑑𝑥
(𝑥+2)2+12
1
0
∫
𝑑𝑢
(𝑢)2 + 12
1
0
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢|
1
0
)
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2)) = 0.14
8. ∫
𝑧3 𝑑𝑧
𝑧8+1
1
0
∫
𝑧3 𝑑𝑧
(𝑧4)2+12
1
0
1
3
∫
𝑑𝑢
(𝑢)2 + 12
1
0
1
3
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢|
1
0
)
1
3
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)) =
1
16
𝜋
9. ∫ 𝑠𝑒𝑐 ∝2 𝑑 ∝
𝜋
4
𝜋
6
(𝑡𝑔 ∝ |
𝜋
4
𝜋
6
)
( 𝑡𝑔(45) − 𝑡𝑔(30)) = 1 −
√3
3
10. ∫ 𝑐𝑜𝑠 ∝2 𝑑 ∝
𝜋
4
0

3. ∫
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2 ∝1 𝑑 ∝
𝜋
4
0
(
1
2
∝ −
1
4
𝑠𝑒𝑛2 ∝ |
𝜋
4
0
)
( 𝑡𝑔(45) − 𝑡𝑔(30)) = 1 −
√3
3
11. ∫
𝑦2 𝑑𝑦
√𝑦6+4
1
0
1
2
∫
1
√𝑢2+22
𝑑𝑢
1
0
1
2
( 𝐼𝑛(𝑦3 + √𝑦6 + 4)|
−3
0
)
1
2
( 𝐼𝑛(1 + √5)) − ( 𝐼𝑛(2)) = 0.24
12. ∫ 𝑠𝑒𝑛 ∝3 𝑑 ∝
𝜋
2
0
∫ (𝑠𝑒𝑛 ∝ −𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝2)𝑑 ∝
𝜋
2
0
(−𝑐𝑜𝑠 ∝ +
𝑐𝑜𝑠 ∝3
3
|
𝜋
4
0
)
((−𝑐𝑜𝑠90+
𝑐𝑜𝑠 903
3
) − (−𝑐𝑜𝑠0+
𝑐𝑜𝑠 03
3
)) =
2
3
13. ∫
𝑑𝑥
𝑥𝐼𝑛𝑥
𝑒2
𝑒
∫
𝑑𝑢
𝑢
𝑒2
𝑒
1
3
∫
𝑑𝑢
(𝑢)2 + 12
𝑒2
𝑒
( 𝐼𝑛(𝐼𝑛(𝑥))|
𝑒2
𝑒
)
( 𝐼𝑛(𝐼𝑛(𝑒2)) − 𝐼𝑛(𝐼𝑛(𝑒))) = 0.693
14. ∫
𝑠𝑒𝑛(𝐼𝑛𝑥)
𝑥
𝑑𝑥
𝑒
1
∫ (𝑠𝑒𝑛𝑢)𝑑𝑢
𝑒
1
(−cos(𝐼𝑛𝑥)|
𝑒
1
)
((−cos(𝐼𝑛𝑒)) − (−𝑐𝑜𝑠1)) = 1 + 𝑐𝑜𝑠1
15. ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
4
𝜋
−4
(In(𝑠𝑒𝑐𝑥)|
𝜋
4
−
𝜋
4
)
(( 𝐼𝑛(
1
cos(45)
)) − 𝐼𝑛 (
1
𝑐𝑜𝑠45
)) = 0

4. 16. ∫ 𝑐𝑡𝑔 ∝4 𝑑 ∝
𝜋
3
𝜋
6
∫ (𝑐𝑠𝑐 ∝2 𝑐𝑡𝑔 ∝2− 𝑐𝑡𝑔 ∝2)𝑑 ∝
𝜋
3
𝜋
6
(−𝑢𝑑𝑢 + 𝑐𝑠𝑐 ∝2 |
𝜋
3
𝜋
6
)
((−𝑐𝑠𝑐602
+ 𝑐𝑡𝑔60 +
𝜋
3
) − (−𝑐𝑠𝑐602
+ 𝑐𝑡𝑔60 +
𝜋
3
)) =
8
9√3
+ −𝑐𝑠𝑐602
+ 𝑐𝑡𝑔60 +
𝜋
6
17. ∫
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
1+𝑒2𝑥
−1
0
∫
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
1 + 𝑒 𝑥2
−1
0
∫
𝑑𝑢
12+𝑢2
−1
0
((𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒 𝑥))|
1
0
)
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒)) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒0)) = 24.80
18. ∫
𝑑𝑥
1+√𝑥
4
0
∫ 2 −
2𝑑𝑡
𝑡 + 1
4
0
((2√ 𝑥 − 2𝐼𝑛(√ 𝑥+ 1))|
4
0
)
(4 − 2𝐼𝑛(3) + 2𝐼𝑛(1)) = 1.80
19. ∫ √ 𝑒 𝑥 − 1𝑑𝑥
𝐼𝑛2
0
∫
𝑧
𝑧2+1
2𝑧𝑑𝑧
𝐼𝑛2
0
(2𝑧 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧)|
𝐼𝑛2
0
)
(2√ 𝑒 𝑥 − 1 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√ 𝑒 𝑥 − 1)|
𝐼𝑛2
0
)
(2√ 𝑒 𝐼𝑛2 − 1 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√ 𝑒 𝐼𝑛2 − 1)) − (2√ 𝑒0 − 1 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√ 𝑒0 − 1)) = 2 −
𝜋
2
20. ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝜋
2
0
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑 ∝
𝜋
2
0
( 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥|
𝜋
2
0
)
((
𝜋𝑠𝑒𝑛90
2
) − 𝑐𝑜𝑠90) =
𝜋
2
21. ∫ 𝐼𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑒
1

5. 𝑥𝐼𝑛𝑥− ∫ 𝑑𝑥
𝑒
1
( 𝑥𝐼𝑛𝑥 − 𝑥|
𝑒
1
)
(( 𝑒𝐼𝑛( 𝑒) − 𝑒) − (𝑒𝐼𝑛(1) + 1) = 1
Encontrar el valorde lafunciónysujetaa las condicionesdadas
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥 − 4 𝑦(−1) =
13
2
∫3𝑥 − 4
3𝑥2
2
− 4𝑥 + 𝑐
13
2
=
3(−1)2
2
+ 4 + 𝑐
𝑐 = 1
2. 𝑦′′ = −𝑥2 − 2𝑥 ; 𝑦′(1) = 0 ; 𝑦(1) = 1
∫−𝑥2 − 2𝑥
−
𝑥3
3
− 𝑥2 + 𝑐
𝑜 = −
1
3
− 1 + 𝑐
𝑐 =
4
3
∫−
𝑥3
3
− 𝑥2 +
4
3
−
𝑥4
12
−
𝑥3
3
+
4
3
𝑥
1 = −
1
12
−
1
3
+
4
3
+ 𝑐2
𝑐2 =
1
12
3. 𝑦′′ = −𝑥2 − 2𝑥 ; 𝑦′(1) = 0 ; 𝑦(1) = 1
∫−𝑥2 − 2𝑥
−
𝑥3
3
− 𝑥2 + 𝑐
𝑜 = −
1
3
− 1 + 𝑐
𝑐 =
4
3
∫−
𝑥3
3
− 𝑥2 +
4
3
−
𝑥4
12
−
𝑥3
3
+
4
3
𝑥
1 = −
1
12
−
1
3
+
4
3
+ 𝑐2
𝑐2 =
1
12
4. 𝑦′′′ = −27𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 12 ; 𝑦(0) = 4 ; 𝑦′(0) = −2 ; 𝑦′′(0) = 0
∫ −27𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 12
−27𝑠𝑒𝑛3𝑥/3 + 12 𝑥 + 𝑐
0 = −9𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 12 𝑥 + 𝑐
𝑐 = 0

6. ∫ −9𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 12 𝑥
−3𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 12 𝑥2 + 𝑐2
-2 = −3𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 12 𝑥2/2 + 𝑐2
𝑐2 = −
3
2
∫−3𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 6 𝑥2 −
3
2
−3𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 6𝑥3/3−
3
2
+ 𝑐3
4 = −3𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 6𝑥3/3 −
3
2
+ 𝑐3
𝑐3 = 3
5. 𝑦′′′ = 27𝑒3𝑥 + 6 ; 𝑦(0) = −9 ; 𝑦′(0) = −1 ; 𝑦′′(0) = 9
∫27𝑒3𝑥 + 6
9𝑒3𝑥 + 6𝑥 + 𝑐
0 = 9𝑒3𝑥 + 6𝑥 + 𝑐
𝑐 = 0
∫9𝑒3𝑥 + 6𝑥
3𝑒3𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑐2
-1= 3𝑒3𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑐2
𝑐2 = −2
∫3𝑒3𝑥 + 3 𝑥2 − 2
𝑒3𝑥 + 𝑥3 − 2x + 𝑐3
4 = 𝑒3𝑥 + 𝑥3 − 2x + 𝑐3
𝑐3 = −10
6. Si y satisface lascondicionesdadasencuentre y(x)parael valordadode x
𝑦(4) = 10 ; 𝑦′(0) =
4
√𝑥
x=9
∫
4
√𝑥
dx
∫4𝑢−
1
2 du
4𝑢
1
2
1
2
+ 𝑐 = 10
c = −6
y = 8√x − 6
y = 18
III.En lossiguientesproblemas encontrarel árealimitadaporlacurva, el eje x,ylas líneas
dadas.En cada caso realizarlagráficade laregióna calcular.
7. 𝑦 = 1 − 𝑥 − 𝑥3 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 0
∫ 1 − 𝑥 − 𝑥30
−2
( 𝑥 −
𝑥
2
2
−
𝑥
4
4
|
0
−2
)
𝐴 = 8𝑢2

7. 8. 𝑦 = √2𝑥 + 1 ; 𝑥 = 1 ; 𝑥 = 5
∫ √2𝑥 + 1
5
1
1
2
∫ 𝑢
1
2
5
1
1
2
(√(2𝑥 − 2)3|
5
1
)
𝐴 = 8.67𝑢2

8. 9. 𝑦 = 𝑒 𝑥 ; 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 2
∫ 𝑒 𝑥2
0
( 𝑒2− 𝑒0|
2
0
)
𝐴 = 8.67𝑢2
10. 𝑦 = 𝑥 +
2
𝑥
; 𝑥 = 1 ; 𝑥 = 2
∫ 𝑥 +
2
𝑥
2
1
(
𝑥2
2
+ 2𝐼𝑛𝑥+ 𝑐|
2
1
)
((
22
2
+ 2𝐼𝑛2) − (
12
2
+ 2𝐼𝑛1)|
2
1
)
𝐴 = 2.88𝑢2

9. 11. 𝑦 = 6𝑥 + 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 ;
𝑥2 − 2𝑥 = 6𝑥 + 𝑥2
𝑥 = 0 x=4
𝑃1(0,0)
𝑃2(4,8)
∫ 6𝑥 + 𝑥2 − (𝑥2 − 2𝑥)
2
1
(2𝑋2|
4
8
)
𝐴 = 21.33𝑢2
12. 𝑦 = 𝑥2 + 2; 𝑦 = 8 ;
∫ 𝑥2 + 2
2
1
(
𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝑐|
8
0
)
((
82
2
+ 16) − (
02
2
0)|
8
0
)
𝐴 = 23.88𝑢2

10. 13. 𝑦 = 4 − 𝑥2; 𝑦 = −3𝑋 ;
4 − 𝑥2 = −3𝑋
𝑥 = 1 x=4
𝑃1(1, −3)
𝑃2(4, −12)
∫ 4 − 𝑥2 − (−3𝑥)
2
1
(4𝑋 −
𝑋3
3
+
3𝑋2
2
|
4
8
)
𝐴 = 20.83𝑢2
14. 2𝑦 = 4𝑋 − 𝑥2; 2𝑦 = 𝑋 − 2 ;
4𝑋 − 𝑥2 = 𝑋 − 2
𝑥 = 1 x=2
𝑃1(1, −3/2)
𝑃2(2,2)
∫ 4𝑋 − 𝑥2 − (𝑥 − 2)
2
1
(4𝑋 −
𝑋3
3
+
3𝑋2
2
|
2
1
)
𝐴 = 0.40𝑢2

11. 15. 𝑋 = 𝑌2; 3𝑋 − 2𝑦 = 1 ;
3𝑌2 − 2𝑌 − 1 = 0
𝑥 = 1 x=2
𝑃1(1/9,1|/3)
𝑃2(1,1)
∫ 3𝑌2 − 2𝑌 − 1
2
1
(4𝑋 −
𝑋3
3
+
3𝑋2
2
|
2
1
)
𝐴 = 21.40𝑢2
16. 4𝑌 + 4𝑋 + 17 = 0; 𝑦 = 1/𝑋 ;
4𝑋2 − 17𝑋 + 4 = 0
𝑥 = 1 /4 x=-4
𝑃1(1/4,4)
𝑃2(−4, −1/4)
∫ 4𝑋2 − 17𝑋 + 4
2
1
𝐴 = 21.40𝑢2

12. 17. 2𝑦 = 4𝑋 − 𝑥2; 2𝑦 = 𝑋 − 2 ;
4𝑋 − 𝑥2 = 𝑋 − 2
𝑥 = 1 x=2
𝑃1(1, −3/2)
𝑃2(2,2)
∫ 4𝑋 − 𝑥2 − (𝑥 − 2)
2
1
(4𝑋 −
𝑋3
3
+
3𝑋2
2
|
2
1
)
𝐴 = 0.40𝑢2
18. 𝑦 = 6𝑥 + 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 ;
𝑥2 − 2𝑥 = 6𝑥 + 𝑥2
𝑥 = 0 x=4
𝑃1(0,0)
𝑃2(4,8)
∫ 6𝑥 + 𝑥2 − (𝑥2 − 2𝑥)
2
1
(2𝑋2|
4
8
)
𝐴 = 21.33𝑢2