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Informe de centros de masa
- 1. 1 Ing. Diego Proaño Molina UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE SEDE LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS GUÍA DE PRÁCTICA DE LABORATORIO CARRERA CÓDIGO DE LA ASIGNATURA NOMBRE DE LA ASIGNATURA AUTOMOTRIZ______ ELECTROMECÁNICA__ ELECTRÓNICA_______ PETROQUÍMICA______ MECATRÓNICA_______ SOFTWARE___x______ EXCT- MVU-50 EXCT- MVU-53 EXCT- MVU -52 EXCT- MVU- 51 EXCT- A001 Física I 4173 NRC:______________ PRÁCTICA N° LABORATORIO DE: LABORATORIO DE FÍSICA DURACIÓN (HORAS) 1 TEMA: Centros de Masa 2 1 OBJETIVO Objetivo General: Investigar atreves de experimentos de física como ocurre el equilibrio de los cuerpos. Objetivos Específicos: Determinar experimentalmente el centro de gravedad de algunos cuerpos. Poder demostrar el centro de gravedad en los cuerpos. Comprobar el centro de gravedad según su fórmula. Determinar experimentalmente el centro de gravedad de algunos cuerpos y comparar este resultado con el obtenido mediante las formulas del centro de gravedad. 2 INSTRUCCIONES: PRÉSTAMO DE MATERIALES Y EQUIPAMIENTO A. El Jefe del Laboratorio es el responsable del préstamo de equipos, B. El docente es el responsable de la supervisión en el Laboratorio y guiado de los alumnos en el uso de ciertos equipos o instrumentos. C. El material del Laboratorio sólo podrá ser utilizado por los usuarios inscritos en los cursos asociados al Laboratorio. D. El material del Laboratorio sólo podrá ser utilizado en el Laboratorio. E. El usuario deberá entregar su credencial de alumno para el préstamo de materiales y firmar la hoja de préstamo. DAÑOS A LOS MATERIALES Y EQUIPAMIENTO A. El daño o pérdida del material en préstamo es de entera responsabilidad de los usuarios (alumnos y/o investigadores) que hayan solicitado el material prestado. B. Los usuarios deberán pagar la reposición del material que solicitaron en caso que éste sea perdido o dañado
- 2. 2 Ing. Diego Proaño Molina RECOMENDACIONES DE SEGURIDAD: A. Revisar todos los equipos y materiales entregados para evitar malos entendidos por pérdidas o daños causados. B. Adecúe su puesto de trabajo, retirando y ordenando todos los elementos que no sean utilizados o estorben en el lugar. C. Revise que los equipos de medición no estén averiados y se puedan encerar. D. Evite golpear o dejar caer los elementos ya que sufrirán daños y deberán ser reemplazados por quien lo haya averiado. E. Controle su zona de trabajo para que no afecte su labor o la de sus compañeros. A. EQUIPO Y MATERIALES NECESARIOS Tabla 1. Equipos y materiales de la práctica Cartón Características Cantidad Código a.- aguja 1 S/N b.- Plastilina 10 S/N c.- Hojas de papel milimetrado 5 S/N d.- jabones 3 S/N e.- regla 1 S/N f.- esfero 1 S/N g.- Graduador 1 S/N h.- borrador 1 S/N i.- Pega 2 S/N Figura N° 1
- 3. 3 Ing. Diego Proaño Molina Figura 2 centros de masa B. TRABAJO PREPARATORIO: Centro de masa El centro de masa es el punto de un sistema de partículas o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida. Consideremos un sistema de partículas como el de la Figura 1. Si G (𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 ,𝑧𝐺 ) son las coordenadas del centro de masa, los momentos estáticos del sistema (conocidos como momentos de primer orden), 𝑀𝑦𝑧 , 𝑀𝑥𝑧 y 𝑀𝑥𝑦 , se obtienen a partir de las ecuaciones: (hibbeler,2010) 𝑀𝑦𝑧 = 𝑀𝑋𝐺 = ∫ 𝑥𝑑𝑚 𝑀 (1) 𝑀𝑥𝑧 = 𝑀𝑦𝐺 = ∫ 𝑦𝑑𝑚 𝑀 (2) 𝑀𝑥𝑦 = 𝑀𝑧𝐺 = ∫ 𝑧𝑑𝑚 𝑀 (3) Donde M es la masa total del sistema 𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 𝑁 𝑖=1 (4) De modo que las coordenadas del centro de masa G viene dada por las ecuaciones: 𝑥𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑀 (5) 𝑦𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑀 (6)
- 4. 4 Ing. Diego Proaño Molina 𝑧𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑀 (7) Figura 1 Coordenadas centros de masas(Hibbeler,2010) Para un cuerpo continuo (Figura 2) las masas se sustituyen por integrales extendidas a toda la masa del cuerpo. Figura 2 cuerpos continuos(Mario,2016) En este caso, los momentos estáticos del sistema (momentos de primer orden), 𝑀𝑦𝑧 , 𝑀𝑥𝑧 y 𝑀𝑥𝑦 , se obtienen a partir de las ecuaciones: 𝑀𝑦𝑧 = 𝑀𝑋𝐺 = ∫ 𝑥𝑑𝑚 𝑀 (8) 𝑀𝑥𝑧 = 𝑀𝑦𝐺 = ∫ 𝑦𝑑𝑚 𝑀 (9) 𝑀𝑥𝑦 = 𝑀𝑧𝐺 = ∫ 𝑧𝑑𝑚 𝑀 (10) donde M es la masa total del sistema: 𝑀 = ∫ 𝑑𝑚 𝑀 (11) de modo que las coordenadas del centro de masa G vienen dadas por las ecuaciones: 𝑥𝐺 = ∫ 𝑥𝑑𝑚 𝑀 𝑀 (12) 𝑦𝐺 = ∫ 𝑦𝑑𝑚 𝑀 𝑀 (13) 𝑧𝐺 = ∫ 𝑧𝑑𝑚 𝑀 𝑀 (14)
- 5. 5 Ing. Diego Proaño Molina En forma vectorial (Figura 3), el centro de gravedad G viene determinado por el vector: 𝑟 ⃗𝐺 = 1 𝑀 ∫ 𝑟 ⃗ 𝑀 𝑑𝑚 (15) Figura 3 centro de gravedad de forma vectorial (Ortega,2006) 𝑀 ⃗⃗⃗𝑜 = 𝑀𝑟 ⃗𝐺 = ∫ 𝑟 ⃗ 𝑀 𝑑𝑚 (16) 𝑟 ⃗𝑖 = 𝑥𝑖𝑖 ⃗+ 𝑦𝑖𝑗 ⃗+ 𝑧𝑖𝑘 ⃗⃗ (17) 𝑟 ⃗𝐺 = 𝑥𝐺𝑖 ⃗ + 𝑦𝐺𝑗 ⃗+ 𝑧𝐺𝑘 ⃗⃗ (18) 𝑟 ⃗𝐺 es el vector de posición del centro de masas respecto al origen O del sistema de coordenadas. Los sumatorios o las integrales (conocidas como momentos de primer orden(Ortega,2006) 𝑀𝑦𝑧 = ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 (19) 𝑀𝑥𝑧 = ∑ 𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑁 𝑖=1 (20) 𝑀𝑥𝑦 = ∑ 𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑁 𝑖=1 (21) 𝑀𝑦𝑧 = ∫ 𝑥𝑑𝑚 𝑀 (22) 𝑀𝑥𝑧 = ∫ 𝑦𝑑𝑚 𝑀 (23) 𝑀𝑥𝑦 = ∫ 𝑧𝑑𝑚 𝑀 (24) Son los momentos estáticos del sistema respecto a los planos x = 0, y = 0, z = 0, respectivamente. El momento estático respecto a un plano es nulo si la distribución de masa es simétrica respecto a dicho plano. Por tanto, si la distribución de masa presenta simetría respecto a un plano, el centro de masa está contenido en él. Si presenta simetría respecto a varios planos que se cortan en una recta, el centro
- 6. 6 Ing. Diego Proaño Molina de masa está situado en ella. Si presenta simetría respecto de varios planos que se cortan en un punto, éste es el centro de masa del cuerpo.(Meriam,2009) Figura 4 eje que contiene el centro de masa de G(Meriam.2009) Consideremos un sistema formado por varias partículas, m1, m2, m3... que está situado en el campo gravitatorio terrestre, que podemos considerar uniforme y paralelo al eje vertical Z, si el sistema no es muy extenso. Las fuerza que ejerce sobre cada una de las partículas (su peso) es Figura 5 posición centros de masa Zapata,2019) −𝑚𝑖 = 𝑔𝑘 ⃗⃗ (25) La resultante de las fuerzas del peso total es: ∑ −𝑚𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑔𝑘 ⃗⃗ = − (∑ 𝑚𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑔𝑘 ⃗⃗ (26) Siendo n el número de partículas. Las posiciones de las partículas respecto del Sistema de Referencia OXYZ son 𝑟 ⃗1, 𝑟 ⃗2, 𝑟 ⃗3.... El momento total del sistema de fuerzas paralelas respecto del origen O es ∑ 𝑟 ⃗𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥(−𝑚𝑖𝑔𝑘 ⃗⃗) = 𝑔 (∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖 ⃗ 𝑛 𝑖=1 ) 𝑥𝑘 ⃗⃗ (27) Figura 6 sistema de referencia xyz (Jumquera,2016)
- 7. 7 Ing. Diego Proaño Molina El centro de masas (c.m.) del sistema de partículas se define como un punto geométrico cuya posición es 𝑅 ⃗⃗ donde situamos la resultante del sistema de fuerzas paralelas (el peso total).Para determinar la posición del centro de masas, igualamos el momento de la resultante al momento total del sistema de fuerzas paralelas. (Kan Academy,2020) 𝑅 ⃗⃗x (− ∑ 𝑚𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑔𝑘 ⃗⃗ = −𝑔 (∑ 𝑚𝑖𝑟 ⃗𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑥𝑘 ⃗⃗ (28) (∑ 𝑚𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑅 ⃗⃗𝑥𝑘 ̂ = (∑ 𝑚𝑖𝑟 ⃗𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑥𝑘 ̂ (29) 𝑅 ⃗⃗ = ∑ 𝑚𝑖𝑟 ⃗𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑚𝑖 𝑛 𝑖=1 (30) Centro de masas de un sólido de forma cónica, de radio R y altura h Figura 7 centros de masa de un sólido de forma cónica(Perez,2014) Por simetría el centro de masas estará situado en el eje Z del cono a una altura zc de la base. Estará más cerca de la base que del vértice .Dividimos el cono en cilindros de radio x y de altura dz tal como se muestra en la figura. La masa de cada uno de los cilindros es dm=ρ·πx2 dz. Siendo ρ la densidad del sólido homogéneo .Dado que la posición del centro de masas de este cilindro de masa dm es z. El centro de masas zc del cono es (Perez,2014) 𝑧𝑐 = ∫ 𝑧𝑑𝑚 ℎ 0 ∫ 𝑑𝑚 ℎ 0 = ∫ 𝑧 ∗ 𝜌𝜋𝑥2 ℎ 0 ∫ 𝜌𝜋𝑥2 ℎ 0 𝑑𝑧 = 𝜌 ∫ 𝑧 ∗ 𝜋𝑥2 𝑑𝑧 ℎ 0 ∫ 𝜋𝑥2𝑑𝑧 ℎ 0 = ∫ 𝑧 ∗ 𝜋𝑥2 𝑑𝑧 ℎ 0 ∫ 𝜋𝑥2𝑑𝑧 ℎ 0 (31) Densidad de masa
- 8. 8 Ing. Diego Proaño Molina Si la masa M está localizada en una línea, una superficie o un volumen, se puede calcular el centro de masa mediante integrales de línea, superficie o volumen, respectivamente. Línea Densidad lineal de masa λ 𝜆 = 𝑑𝑚 𝑑𝐿 → 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝐿 (32) 𝑟 ⃗𝐺 = 1 𝑀 ∫ 𝜆𝑟 ⃗𝑑𝐿 𝐿 (33) Volumen Densidad volumétrica de masa ρ 𝜌 = 𝑑𝑚 𝑑𝑣 → 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 (34) 𝑟 ⃗𝐺 = 1 𝑀 ∫ 𝜌𝑟 ⃗𝑑𝑣 𝑣 (35) Centro de Gravedad El Centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas del mismo. Si el cuerpo es simétrico y homogéneo, la resultante de todas las fuerzas gravitatorias se localizará en el centro geométrico. El centro de gravedad está muy relacionado con lo que hemos llamado momento de las fuerzas. Cuanto menor es la distancia del centro de gravedad al centro de la estructura mucho más fácil será resistir la fuerza. Algo que puedes aplicar incluso en tu vida diaria, como en el ejemplo siguiente: Momento de inercia
- 9. 9 Ing. Diego Proaño Molina En el estudio de la dinámica del sólido rígido aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento del cuerpo por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento de segundo orden de la masa del elemento o, más concretamente, momento de inercia del elemento. El momento de inercia dI de un elemento de masa dm respecto a un eje OO se calcula mediante la expresión (Martin,2016) 𝑑𝑙 = 𝑟2 𝑑𝑚 (36) Figura 9 momento de inercia (Gardey,2011) El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es, por definición: 𝐼 = ∫ 𝑟2 𝑑𝑚 𝑀 (37) 3 ACTIVIDADES A DESARROLLAR PROCEDIMIENTO DE ARMADO IDENTIFICAR LOS CENTROS DE GRAVEDAD DE LAS FIGURAS 1. Diseñar bases de cartón de acuerdo a cada figura 2.- Con el papel milimetrado pegar en el cartón de acuerdo a la figura
- 10. 10 Ing. Diego Proaño Molina 3.-Cortar el cartón con la tijera cuando ya está pegado la figura Diseñar con el jabón tres figuras geométricas CONSTRUCCIÓN DE CADA UNA DE LAS DIFERENTES FIGURAS 1.- Cortamos el cartón cuando ya esté dado forma de la figura y este pegado el papel milimetrado 2.- con cada uno de los jabones con un estilete bien filo le damos forma a un cubo, un rectángulo, y con la plastilina le hacemos puente para que se quede pegado. 4 RESULTADOS OBTENIDOS DATOS PARA CÁLCULOS DE LAS GRAVEDADES DE CADA FIGURA Ejercicio Numero 1 Determine el centro de masa del centro tridimensional
- 11. 11 Ing. Diego Proaño Molina ANÁLISIS DE RESULTADOS Cálculos 𝑥̅ = 𝑥1𝑣1 + 𝑥2𝑣2 + 𝑥3𝑣3 + 𝑥4𝑣4 𝑦 ̅ = 𝑦1𝑣1 + 𝑦2𝑣2 + 𝑦3𝑣3 + 𝑦4𝑣4 𝑧̅ = 𝑧1𝑣1 + 𝑧2𝑣2 + 𝑧3𝑣3 + 𝑧4𝑣4 ℎ0 = 6𝑐𝑚 ℎ 3 = 3 3 = 1𝑐𝑚 𝑧1 = ℎ0 + ℎ 3 𝑧1 = 6 + 1 = 7𝑐𝑚 𝑥̅ = 5 ∗ 120𝑐𝑚3 + 5 ∗ 480𝑐𝑚3 + 5𝑐𝑚 ∗ 120𝑐𝑚3 + 2,5 ∗ 150𝑐𝑚3 870𝑐𝑚3 𝑥̅ = 4.5689𝑐𝑚 𝑦 ̅ = 2.66 ∗ 120 − 4 ∗ 480 − 2.66𝑐𝑚 ∗ 120𝑐𝑚3 + 5𝑐𝑚 ∗ 150𝑐𝑚3 870𝑐𝑚3 𝑦 ̅ = 2.2620𝑐𝑚 𝑧̅ = 7𝑐𝑚 ∗ 120𝑐𝑚3 + 3𝑐𝑚 ∗ 480𝑐𝑚3 − 1𝑐𝑚 ∗ 120𝑐𝑚3 − 1.5𝑐𝑚 ∗ 150𝑐𝑚3 870𝑐𝑚3 𝑧̅ = 2.2241𝑐𝑚 Ejercicio número 2 Determine el centro de masa de la siguiente figura
- 12. 12 Ing. Diego Proaño Molina 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 𝐴7 𝐴8 0.4,1.33 0.4,1.16 16,01 0.1,0.4 166,0.466 1.25,0.95 2.3,0.8 2.2,1.1 𝐶𝑀 = 12 208 (0.4𝑖 ⃗ + 1.33𝑗 ⃗) + 12 208 (0.4𝑖 ⃗+ 11.66𝑗 ⃗) + 40 208 (1.6𝑖 ⃗ + 0.1𝑗̅) + 16 208 (0.8𝑖̅ + 0.4𝑗̅) + 4 208 (1.66𝑖 ⃗ + 0.466𝑗 ⃗) + 91 208 (1.25𝑖 ⃗ + 0.95𝑗 ⃗) + 24 208 (2.3𝑖 ⃗+ 0.8𝑗 ⃗) + 9 208 (2.2𝑖 ⃗+ 1.2𝑗 ⃗) 𝐶𝑚 = (1.354𝑖 ⃗+ 0.78𝑗 ⃗) Ejercicio Numero 3 Determine el centro de masa de la siguiente figura curva 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝐴 𝐴𝑇 = 𝑥𝑒 𝐴𝑇 3 = ∑ 𝑦 ̅𝐴 𝐴𝑇 = 𝑦𝑒 𝐴𝑇 𝑥𝑒 = 𝑥(𝑑𝐴)
- 13. 13 Ing. Diego Proaño Molina 𝑌𝑒 = 𝑦(𝑑𝐴) 𝑑𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ ∫ 𝑑𝐴 𝐴𝑓 𝐴0 = ∫ (𝑦𝑠 − 𝑦𝑖) 𝑥𝑓 𝑥0 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥𝑒 𝑥𝑓 𝑥0 = 𝑥 ∫ (𝑦𝑠 − 𝑦𝑖) 𝑥𝑓 𝑥0 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦𝑒 𝑥𝑓 𝑥0 = 𝑦 ∫ (𝑦𝑠 − 𝑦𝑖)𝑑𝑥 𝑥𝑓 𝑥0 = (𝑦𝑠 + 𝑦𝑖) 2 ∫ (𝑦𝑠 − 𝑦𝑖)𝑑𝑥 𝑥𝑓 𝑥0 ∫ 𝑑𝐴 𝐴𝑓 𝐴0 = ∫ (𝑦𝑠 − 𝑦𝑖) 𝑥𝑓 𝑥0 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑒 𝑥𝑒𝑓 𝑥𝑒0 = ∫ 𝑥(𝑦𝑠 − 𝑦𝑖) 𝑥𝑓 𝑥0 𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑒 𝑥𝑒𝑓 𝑥𝑒0 = ∫ ( 𝑦𝑠 2 − 𝑦𝑖 2 2 ) 𝑥𝑓 𝑥0 (𝑦𝑠 − 𝑦𝑖)𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑒 𝑥𝑒𝑓 𝑥𝑒0 = ∫ (𝑦𝑠 2 − 𝑦𝑖 2) 2 𝑥𝑓 𝑥0 𝑑𝑥 𝑥̅ = ∫ 𝑥𝑒 𝑥𝑒𝑓 𝑥𝑒0 ∫ 𝑑𝐴 𝐴𝑓 𝐴0 3𝑥 + 5 = 𝑥2 + 5𝑥 − 2 𝑥1 = 1.8284 𝑥2 = −3 8384 𝑥𝑓 = 1.0204𝑐𝑚 𝑥0 = −3.8284𝑐𝑚 𝑦𝑓 =? 𝑦0 =?
- 14. 14 Ing. Diego Proaño Molina 𝑥̅ = ∫ 𝑥((3𝑥 + 5) − 𝑥2 + 5𝑥 − 2)𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 ∫ ((3𝑥 + 5) − (𝑥2 + 5𝑥 − 2)) 1.8284 −3.8284 𝑑𝑥 𝑥̅ = ∫ 𝑥(−𝑥3 − 2𝑥2 + 7𝑥)𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 ∫ (𝑥2 − 2𝑥 + 7) 1.8284 −3.8284 𝑑𝑥 𝑥̅ = [ 𝑥4 4 ] −3.8284− 1.8284 − 2 [ 𝑥3 3 ] −3.8284 1.8284 + 7 [ 𝑥2 2 ] −3.8284 1.8284 [ 𝑥3 3 ] −3.8284 1.8284 − 2 [ 𝑥2 2 ] −3.8284 1.8284 + 7[𝑥]−3.8284 1.8284 𝑥̅ = 2.2001 𝑦 ̅ = ∫ ((3𝑥 + 5) − (𝑥2 + 5𝑥 + 2))𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 ∫ ((3𝑥 + 5) − (𝑥3 + 5𝑥 − 2)) 1.8284 −3.8284 𝑑𝑥 𝑦 ̅ = 1 2 ∫ ((3𝑥 + 5)2 − (𝑥2 + 5𝑥 − 2)2)𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 ∫ ((3𝑥 + 5) − (𝑥2 + 5𝑥 − 2))𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 𝑦 ̅ = 1 2 ∫ ((9𝑥2 + 30𝑥 + 25) − (𝑥4 + 10𝑥3 + 21𝑥2 − 20𝑥 + 4))𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 ∫ (−𝑥2 − 2𝑥 + 7) 1.8284 −3.8284 𝑑𝑥 𝑦 ̅ = 1 2 ∫ (−𝑥4 − 10𝑥3 − 12𝑥2 + 50𝑥 + 21)𝑑𝑥 1.8284 −3.8284 ∫ (𝑥2 − 2𝑥 + 7) 1.8284 −3.8284 𝑑𝑥 𝑦 ̅ = 1 2 [ 𝑥5 5 ] −3.8284 1.8284 − 10 [ 𝑥4 4 ] −3.8284 1.8284 − 12 [ 𝑥3 3 ] −3.8284 1.8284 + 50 [ 𝑥2 2 ] −3.8284 1.8284 + 21[𝑥]−3.8284 1.8284 ∫ (−𝑥2 − 2𝑥 + 7) 1.8284 −3.8284 𝑑𝑥 𝑦 ̅ = 2.1409 Ejercicio Numero 4 Determine el centro de masa con respecto al eje horizontal y la curva
- 15. 15 Ing. Diego Proaño Molina −𝑥2 + 𝑥 + 5 = 0 𝑥1 = 2.79 𝑥2 = −1.791 𝐴 = ∫ (−𝑥2 + 𝑥 + 5)𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 2.79 −1.79 + 𝑥2 2 + 5𝑥−1.79 2.79 = 16.039 𝑀𝑚 = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑥4 4 2.79 −1.79 + 𝑥3 3 + 5𝑥2 2 −1.79 2.79 = 8.019 𝑀𝑐 = ∫ 𝑓2(𝑥) = ∫ (𝑥4 + 𝑥2 + 25 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 10𝑥) 2.79 −1.79 𝑑𝑥 = 𝑥5 5 + 𝑥4 4 + 25𝑥 − 𝑥4 4 − 10𝑥3 3 + 10𝑥2 2 = 67.36 𝑥 ⃗ = 𝑀𝑥 𝐴 = 8.019 16.039 = 0.4 𝑦 ⃗ = 𝑀𝑦 𝐴 = 67.36 16.36 = 4.2 Ejercicio Numero 5 Determine el centro de masa de la siguiente figura
- 16. 16 Ing. Diego Proaño Molina 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 0.266,0.4 0.266,0.83 0.45,0.6 0.8,1.05 0.8,0.15 1.45,1.2 𝐶𝑀 = 12 88 (0.266𝑖 ⃗ + 0.4𝑗 ⃗) + 14 88 (0.266𝑖 ⃗+ 0.83𝑗 ⃗) + 15 88 (0.45𝑖 ⃗ + 0.6𝑗 ⃗) + 30 88 (0.8𝑖 ⃗+ 1.05𝑗 ⃗) + 18 88 (0.8𝑖 ⃗+ 0.15𝑗 ⃗) + 14 88 (1.95𝑖 ⃗ + 1.2𝑗 ⃗) 𝐶𝑀 = (0.893𝑖 ⃗ + 0.855𝑗 ⃗) Preguntas 1) ¿Qué es el centro de masa? El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. 2) ¿Qué semejanza y diferencia existe entre centro de masa y centro de gravedad? El centro de masa es el punto donde debe aplicarse una fuerza para que el cuerpo adquiera un movimiento rectilíneo de traslación pura, sin rotaciones. El centro de gravedad es el punto donde está aplicado el peso del cuerpo. El centro de gravedad existe solamente en un lugar donde haya acciones gravitatorias. 3) ¿Cómo encontrar el centro de masa de un objeto? El centro de masa es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas. Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica en el centroide 4) ¿Cuáles son las propiedades del centro de masa?
- 17. 17 Ing. Diego Proaño Molina El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. 5) ¿Cuál es el centro de gravedad en la postura del pie? Es el punto donde se concentra y actúa el peso general del cuerpo y es clave en la postura y el equilibrio. Cuando estamos de pie, el centro de gravedad se localiza en la zona sacra, pero se desplaza con cada movimiento que realizamos. 6) ¿Cuál es el centro de gravedad del hombre y la mujer? En ambos sexos, el centro de gravedad se encuentra en la pelvis, pero en las mujeres está más abajo que en los hombres, y esto haría que les fuera más fácil completar el reto. 7) ¿Cómo influye la forma de un objeto en las masas? La forma de un objeto no influye en su masa. La masa es una medida de la cantidad de materia de un objeto. Si tienes el número de átomos y el tipo de átomos que conforman un objeto, puedes calcular su masa. Si el objeto es deformado, pero no pierde ni gana materia (átomos) en el proceso, entonces su masa no variará. 8) ¿Cuál es la relación entre el tamaño de un objeto y su masa? No hay relación directa entre el tamaño y la masa, ya que la masa de un cuerpo puede estar más o menos compactada y ocupar más o menos volumen. La relación entre la masa de un cuerpo y su volumen (tamaño) viene determinada por la densidad. 9) ¿Cuáles son las ecuaciones del centro de gravedad? 𝑥𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑀 𝑦𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑀 𝑧𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑀 10) ¿Qué es el equilibrio traslacional? Ocurre cuando no hay movimiento relativo de las coordenadas (posición) del centro de masa de un cuerpo.
- 18. 18 Ing. Diego Proaño Molina 5 CONCLUSIONES En conclusión el centro de gravedad es el punto, en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es el punto. En el que actúa el peso siempre que la aceleración de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masa. Después de haber estudiado y analizado diferentes ejemplos reales de equilibrio llego a la conclusión de que en todo cuerpo y todo momento y en cada momento está interactuando diferentes tipos de fuerzas las cuales ayudan a los cuerpos al realizar determinados movimientos o mantenerse en estado de equilibrio ya sea estático o dinámico Llegue a la conclusión de que el centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura para un objeto o figura limitada o región finita del grupo de isometría no incluye traslación y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial sus simetrías pueden determinar el centroide Los resultados obtenidos en la parctica sirve para poder comprobar los datos teóricos con los prácticos porque a simple vista se observa los errores que se cometen al realizar una práctica. 6 RECOMENDACIONES Se recomienda que antes de realizar cualquier calculo o escrito hay que tener todos los materiales que se van a utilizar ya que con ellos se tomaran datos y se procederá a realizar el experimento Se recomienda tomar bien las medidas para cada figura para no tener erros al momento de realizar los cálculos matemáticos Al realizar los cálculos matemáticos es de suma importancia que todos los datos estén en las mismas unidades para no tener dificultades al momento de dar respuestas 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DE LA WEB
- 19. 19 Ing. Diego Proaño Molina Libros Marion, Jerry. 2011.Dinamica clasica. Reverte Hibbeler, Russel.(2010). Dinamica ingenieria mecanica. Person Ortega, M.(2006). Lecciones de Fisica. Person Tipler.T(200). Fisica para la ciencia y la tecnologia. Reverte Baker, Joanne.2013. Introduccion ala fisica. Person. Sitios Web Junquera, Javier(2016).Teoria centros de graveada. https://personales.unican.es/junquera/javier Junquera files/fisica-1/teoria centros de gravedad. consultado. 27 de 03 de 2021. Martin, Teresa.(2016).Centros de masa.https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsis/cdm.html. consultado. 27 de 03 de 2021. Meriam, Javier.(2009).Mecanica Para ingenieria https://pavisva.files.wordpres.com. consultado. 27 de 03 de 2021. Zapata, Francisco.(2019).centros de gravedad https://www.lifeder.com/centro-gravedad/. consultado 27 de 03 de 2021. Gardey, Ana. 2014.Centroides e Inercia.Https://www.significados.com/dinamica/.consultado 27 -03-de 2021. Muños, Ricardo. 2012 apuntes de mecanica.https://dgf.uchile.cl/- muños/docs/apuntesFI2012rmm201002.pdf. s.f. consultado 27-03 de 2021. Gonzales, Guillermo. 2017.Geometria de masa https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/97688/1/Tema-3-Geometria-de-masas.pdf.consultado 27-03 de 2021. Garces, Santiago. 2014.Centro de gravedad.http://www.grupoalava.com/ingenieros/actualidad/medida- de-centro-de-gravedad-momento-de-inercia/f. consultado 27-03 de 2021. Mena, Nurka.2014.Centro de graveda. https.//www.diario motor posicion centro de gravedad.com/. Consultado 27-03 de 2021. Juan, Perez. 2014.centro de gravedad.https://www.edu.xunta.gal/espasoAbalar/sites/. s.f.consultado 27 de Marzo de 2021. Academy, Kan. https://es.kahanacademy.org/science/physics/linear-momentum/center-of-masa/a/html. 2020. 27 de 3 de 2021. Garcia, Andres. posicion centro de gravedad.https://www.diario.com/ecnovial/aprocimacion-tecnica/. consultado 27 de Marzo de 2021.
- 20. 20 Ing. Diego Proaño Molina Monica, Castillo. deeeeefinicion centro de masa.2016.https://definicion.de/centro-de-graveda/. consultado 27 de Marzo de 2021. Perez, Julian.2011 definicion centro de gravedad..https://definicion.de/centro-de-gravedad. Consultado Requema, Bernat. centro de gravedad.2020.https://www.centroides.universosformulas.com/matematicas/geometria/centroide/ . consultado 27 de Marzo de 2021. Victor, Juarez. 2017.centro de masa.https://eso4fyq.cevallavinacia.org/temas/losmovimientos posicion.com. consultado 27 de Marzo de 2021. Latacunga, 18 de febrero de 2021 Elaborado por: Aprobado por: Jefe de Laboratorio