Dokumen tersebut membahas tentang Barisan Fibonacci, Rasio Emas, dan kemunculan Rasio Emas dalam alam semesta. Rasio Emas merupakan rasio antara dua bilangan dalam Barisan Fibonacci yang konvergen pada nilai 1,618. Rasio ini muncul dalam berbagai fenomena alam seperti pola bunga matahari dan proporsi tubuh manusia.

1. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
FILSAFAT SAINS
Golden Rasio
Rukmono Budi Utomo
February 25, 2016
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

2. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Barisan Fibonacci
1 1. Barisan Fibonacci
2 2. Golden Rasio
3 3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

3. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Barisan Fibonacci
Sejarah Penemuan Rasio Emas oleh Matematikawan asal Italia,
yakni Fibonacci berawal dari pengamatan atas bilangan Fibonacci
itu sendiri.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

4. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Barisan Fibonacci
Sejarah Penemuan Rasio Emas oleh Matematikawan asal Italia,
yakni Fibonacci berawal dari pengamatan atas bilangan Fibonacci
itu sendiri.
Rumusan Fibonacci
Fibonacci merumuskan bahwa suatu barisan bilangan
f0, f1, f2, f3, ..., fn−2, fn−1, fn dengan karakteristik bahwa untuk
f0 = 1 dan f1 = 1 , maka f2 = 1 yang merupakan jumlahan atas
dua suku sebelumnya, dengan kata lain f2 = f0 + f1. Begitu
seterusnya untuk f3 = f1 + f2 dst , dan fn = fn−2 + fn−1.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

5. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Dengan demikian barisan Fibonacci untuk n = 15 secara lengkap
dapat dituliskan sebagai berikut:
f0, f1, f2, f2, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12, f13, f14, f15
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

6. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Dengan demikian barisan Fibonacci untuk n = 15 secara lengkap
dapat dituliskan sebagai berikut:
f0, f1, f2, f2, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12, f13, f14, f15
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377
Terus Barisan Fibonacci itu untuk apa?
Pentingnya dimana?
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

7. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Dengan demikian barisan Fibonacci untuk n = 15 secara lengkap
dapat dituliskan sebagai berikut:
f0, f1, f2, f2, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12, f13, f14, f15
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377
Terus Barisan Fibonacci itu untuk apa?
Pentingnya dimana?
Berbagai fenomena alam diketahui merupakan representasi dari
barisan Fibonacci contohnya adalah bunga matahari.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

8. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Dengan demikian barisan Fibonacci untuk n = 15 secara lengkap
dapat dituliskan sebagai berikut:
f0, f1, f2, f2, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11, f12, f13, f14, f15
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377
Terus Barisan Fibonacci itu untuk apa?
Pentingnya dimana?
Berbagai fenomena alam diketahui merupakan representasi dari
barisan Fibonacci contohnya adalah bunga matahari.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

9. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Apabila dicermati Pola biji pada bunga matahari, biji dari titik
tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar mengikuti Barisan
Fibonacci.
kemudian bunga-bunga di sekeliling pekarangan kita seperti lili(ite
calla lily) , bunga Euorbipha dan bunga Trillium memiliki kelopak
bunga yang merupakan suku pada barisan Fibonacci
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

10. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Apabila dicermati Pola biji pada bunga matahari, biji dari titik
tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar mengikuti Barisan
Fibonacci.
kemudian bunga-bunga di sekeliling pekarangan kita seperti lili(ite
calla lily) , bunga Euorbipha dan bunga Trillium memiliki kelopak
bunga yang merupakan suku pada barisan Fibonacci
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

11. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Pada gambar diatas, bunga ite calla lily memiliki kelopak satu
yang merupakan sukupertama f1 dan f2 pada barisan Fibonacci,
begitu juga dengan bunga Euorbipha dan bunga Trillium masing
masing memiliki kelopak 2 dan 3 yang merupakan suku ke 3 (f3)
dan suku ke 4 (f4) pada barisan Fibonacci.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

12. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Pada gambar diatas, bunga ite calla lily memiliki kelopak satu
yang merupakan sukupertama f1 dan f2 pada barisan Fibonacci,
begitu juga dengan bunga Euorbipha dan bunga Trillium masing
masing memiliki kelopak 2 dan 3 yang merupakan suku ke 3 (f3)
dan suku ke 4 (f4) pada barisan Fibonacci.
Masih banyak bunga-bunga lain yang mengikuti barisan Fibonacci,
seperti bunga buttercup yang memiliki kelopak 5,
bungadelphiniums yang memiliki kelopak 8 dan bunga ragwort dan
bunga aster yang masing-masing memiliki kelopak 13 dan 21.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

13. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Rasio Emas
Rasio Emas φ = 1.618205... atau dalam angka pembulatan karena
pemotongan adalah π = 1.618 merupakan suatu nilai rasio (ratio
number) konvergen yang diperoleh apabla suku-suku diatas dua
belas pada barisan Fibonacci dibagi dengan satu suku sebelumnya
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

14. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Rasio Emas
Rasio Emas φ = 1.618205... atau dalam angka pembulatan karena
pemotongan adalah π = 1.618 merupakan suatu nilai rasio (ratio
number) konvergen yang diperoleh apabla suku-suku diatas dua
belas pada barisan Fibonacci dibagi dengan satu suku sebelumnya
Dalam barisan Fibonacci, f12 bernilai 89,f13 bernilai 144, f14
bernilai 233,dan f15 bernilai 377 . Apabila dilakukan perhitungan
dengan cara membagi suatu suku dalam deret Fibonacci dengan
suku sebelumnya, maka akan diperoleh suatu bilangan yang
menuju ke arah (Golden Ratio) atau rasio emas π = 1.618.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

15. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Pehitungannya sebagai berikut.
f13
f12
= 144
89 ≈ 1.6179775
f14
f13
= 233
144 ≈ 1.6180556
f15
f14
= 377
233 ≈ 1.6180258
...
dst
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

16. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Pehitungannya sebagai berikut.
f13
f12
= 144
89 ≈ 1.6179775
f14
f13
= 233
144 ≈ 1.6180556
f15
f14
= 377
233 ≈ 1.6180258
...
dst
Apabila suku-suku dalam barisan Fibonacci dilakukan perhitungan
pembagian seperti di atas, maka akan menghasilkan suatu niai
rasio π = 1.618.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

17. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Matematikawan Euclid memberikan defnisi tertulis pertama
mengenai apa yang disebut sebagai rasio emas. Menurut Euclid:
Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam rasio ekstrem dan
rata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang
adalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek. Euclid
menjelaskan cara memotong sebuah garis dalam apa yang ia sebut
sebagai ”rasio ekstrem dan rata-rata” yang kemudian familiar
dengan yaitu rasio emas
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

18. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Matematikawan Euclid memberikan defnisi tertulis pertama
mengenai apa yang disebut sebagai rasio emas. Menurut Euclid:
Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam rasio ekstrem dan
rata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang
adalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek. Euclid
menjelaskan cara memotong sebuah garis dalam apa yang ia sebut
sebagai ”rasio ekstrem dan rata-rata” yang kemudian familiar
dengan yaitu rasio emas
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

19. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Golden Rasio Dalam Dunia Nyata
Pada tangan manusia, diyakini bahawa perbandingan panjang
antara ujung tangan kesiku dengan siku kepangkal tangan
menghasilkan rasio emas. Begitu juga dengan rasio pembagian
atas panjang pangkal telapak tangan ke siku dengan ujung telapak
tangan ke pangkal telapak tangan juga menghasilkan rasio emas.
Gambar di ujung kanan juga menjelaskan bahwa perbandingan
antara panjang tangan manusia dengan panjang dari siku ke
pangkal tangan turut menghasilkan rasio emas.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

20. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
Golden Rasio Dalam Dunia Nyata
Pada tangan manusia, diyakini bahawa perbandingan panjang
antara ujung tangan kesiku dengan siku kepangkal tangan
menghasilkan rasio emas. Begitu juga dengan rasio pembagian
atas panjang pangkal telapak tangan ke siku dengan ujung telapak
tangan ke pangkal telapak tangan juga menghasilkan rasio emas.
Gambar di ujung kanan juga menjelaskan bahwa perbandingan
antara panjang tangan manusia dengan panjang dari siku ke
pangkal tangan turut menghasilkan rasio emas.
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio

21. 1. Barisan Fibonacci
2. Golden Rasio
3. Golden Rasio dalam Dunia Nyata
lanjutan
Rasio emas merupakan bilangan irasional dengan nilai
sesungguhnya yakni 1.61803398874989484820... yang digitnya
terus bertambah tanpa pola tertentu.
Masih banyak contoh dalam fenomena dunia nyata yang
menghasilkan rasio emas.
Rasio emas akan terus memberikan teka-teki pada manusia
dan membutuhkan penelitian yang sangat panjang untuk
mengetahui makna dari rasio emas tersebut, atau malah tidak
akan pernah terungkap.
referensi
makalahrasioemasmatematika.blogspot.co.id
http://majalah1000guru.net/2013/07/golden-ratio/
Rukmono Budi Utomo FILSAFAT SAINS Golden Rasio