Geometria delle masse

APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino

GEOMETRIA DELLE MASSE

1


I CORPI RIGIDI ED ESTESI

Ogni corpo, di qualsiasi forma e dimensione, fermo o in movimento, in moto rettilineo, curvilineo o
rotatorio, è composto da un sistema di masse, di solito, ma non necessariamente, collegate tra loro.
Il corpo può essere composto completamente dello stesso materiale e allora si definisce omogeneo,
oppure da materiali differenti tra loro e quindi non omogeneo, inoltre all’interno del corpo possono
essere presenti zone in cui la materia è assente e allora si definisce discontinuo.
Il corpo è quindi assimilato ad un agglomerato di masse ed è definito “corpo esteso” per
distinguerlo dall’ipotetico e teorico “corpo puntiforme” che è stato utilizzato, ad esempio, per lo
studio del moto rettilineo.
Di solito, per le applicazioni normali della fisica, il corpo esteso ha una massa invariabile nel
tempo, ma non sono infrequenti i casi in cui si deve considerare anche la variabilità (come ad
esempio quando si considerano gli urti anelatici o i sistemi a massa variabile).

Il concetto di massa è poi sempre accompagnato dal concetto di volume, forma, densità, peso
specifico, peso, inerzia e stato.
Di particolare importanza il peso e l’inerzia per quanto riguarda la statica, la cinematica e la
dinamica.
Per quanto riguarda poi la definizione di corpo rigido, si parte dalla considerazione che il corpo sia
costituito da materia allo stato solido aggregata in particelle, collegate e unite tra loro, da forze
interne intermolecolari.
Tali forze interne sono le forze di coesione e la loro intensità dipende del tipo di materiale che
costituisce il corpo.
Esse possono essere assimilate, in modo analogico ed ideale, a molle elastiche deformabili per
effetto di forze esterne applicate al corpo (elasticità dei materiali), la cui robustezza sarà indicata dal
valore della “costante elastica caratteristica” K el .
La presenza di forze di coesione interne dovute all’elasticità dei materiali ci permetterà di definire
l’importante concetto di “Reazione vincolare” senza la quale non si potrà affrontare lo studio della
statica e della dinamica.
Il concetto di elasticità (legge di Hooke) sarà poi di fondamentale rilevanza per lo studio delle
deformazioni e delle conseguenti sollecitazioni interne strutturali sulle quali si basano le principali
teorie della Scienza delle Costruzioni applicate a tutti i manufatti siano essi fermi che in
movimento.

Rimandando ad altri momenti l’approfondimento dei concetti elencati, si vogliono ora prendere in
esame alcune caratteristiche fondamentali, tipiche di tutti i corpi o sistemi di corpi estesi, legate
principalmente alla forma geometrica della distribuzione delle masse e, di conseguenza, all’aspetto
esterno della massa.
Per questo motivo l’argomento che si affronta è “ LA GEOMETRIA DELLE MASSE” cioè la
distribuzione geometrica delle masse costituenti il corpo rigido ed esteso.
Si prenderanno in esame i corpi omogenei, costituiti perciò dallo stesso tipo di materia, sia continui
che discontinui.
Alcune volte, se non in contrasto con la teoria, sarà anche possibile scambiare tra loro due concetti
fisici assolutamente diversi quali la massa, ovvero la quantità di materia, e il peso, ovvero la forza
di attrazione esercitata dal campo gravitazionale terrestre (o di altro campo) sulla massa stessa.
Ciò è possibile, anche se non consigliabile, solo a condizione di aver appreso in modo definitivo la
differenza sostanziale tra le due grandezze, di utilizzare il chilogrammo come unità di misura del
peso, di far riferimento a ciò che accade sulla Terra e di utilizzare quel tanto di “leggerezza” che
può distinguere le scienze fisiche da quelle matematiche o chimiche.

2


IL MOMENTO STATICO DI UNA MASSA RISPETTO AD UN’ASSE
Siamo partiti ammettendo la presenza di un corpo rigido ed esteso avente dimensioni tali da
impedirci la possibilità di poterlo pensare puntiforme.
Come sappiamo il punto è definito come entità puramente geometrica, priva di qualsiasi dimensione
spaziale e da utilizzarsi esclusivamente come rappresentazione ideale per i fenomeni in cui la
traiettoria o la posizione sono di fondamentale importanza.
A ben pensare, la traiettoria o la posizione, nulla hanno a che fare con le dimensioni fisiche reali del
corpo che invece la percorre o la occupa.

E’ però impossibile immaginare un corpo, anche se pensato piccolissimo, completamente privo di
dimensioni spaziali quali la larghezza, lunghezza e spessore che, alla fine, ci consentono di
individuarne la forma.
Di solito, il passaggio dal concetto di punto geometrico a punto materiale, avviene spontaneamente
trasformando il “punto geometrico” in una sua visualizzazione tridimensionale ingrandita che è poi
riconosciuta come una “sfera”.
Di raggio piccolo a piacere ma pur sempre una sfera.
Per chi pensa che la sfera possa comunque comportare problematiche non semplici da risolvere
esiste sempre la possibilità di scegliere forme più geometriche come ad esempio un cubo.
Di lato piccolo a piacere ma pur sempre un cubo.
Le due scelte comportano vantaggi e svantaggi: il cubo ha il vantaggio di non avere superfici curve
ma solo piane consentendoci, in questo modo, di visualizzare due dimensioni contemporaneamente
senza doverci sforzare al pensiero di cosa capita alla terza; il cubo ha il vantaggio di aver solo sei
facce laterali che, tra l’altro, sono parallele a due a due, inoltre gli spigoli formati dall’incontro dei
piani delle facce del cubo ci indicano, di solito, le direzioni, tra loro perpendicolari, della terna
d’assi cartesiani che usiamo come sistema di riferimento.
Certamente la sfera ha una forma più accattivante, perfettamente tonda, senza spigoli e poi, cosa
dire del fatto che tutti i punti giacenti sulla sua superficie hanno la stessa distanza dal punto
centrale?
La sfera sembrerebbe perfetta ma il suo volume e la sua superficie ci complicherebbero
notevolmente la vita non fosse altro che per la presenza di quel  che non finisce mai con i
decimali!
Certo che la natura si presenta sempre in forma sferica piuttosto che cubica e sappiamo anche il
perché, ma nessuno osa confrontarsi con la natura.
La conclusione è che utilizzeremo ora la sfera ora il cubo secondo le necessità e il nostro stato
d’animo.

Tornando al corpo rigido esteso e ammettendo che esso è sicuramente individuato dalle tre
dimensioni spaziali che definiamo X  Y  Z , ci torna in mente la fatica, subentra la pigrizia e
ci sforziamo di semplificare, ove possibile, il problema.
In fondo non sarebbe quella gran differenza se provassimo ad immaginare il corpo tagliato in tanti
strati, sottilissimi, da studiare ad uno ad uno e, da sommare a studio effettuato, ricostruendo il corpo
esteso.
Buona idea pensiamo: meno fatica per immaginare la profondità e, nel medesimo tempo, possiamo
individuare le superfici attraverso le quali si manifesteranno le probabili sollecitazioni dovute a
cause esterne o interne.
Ecco che, allora, il corpo si è trasformato in tante fettine ognuna delle quali è caratterizzata da solo
due dimensioni in evidenza, mentre la terza, ad esempio la profondità, possiamo ridurla quasi a
piacere.
La terza dimensione, piccola a piacere, confrontata con le altre due perde interesse e può quindi
essere trascurata.
E’ certamente una buona idea, sarà usata spesso e volentieri, ma con un certo criterio.

3


Ci troviamo ora alla presenza di un corpo la cui profondità, che di solito faremo coincidere con la
dimensione individuata dall’asse Z , è molto ridotta e quindi trascurabile.
Possiamo dire, a questo punto, che il corpo tridimensionale si è trasformato in un parallelepipedo i
cui spigoli X e Y sono notevolmente più grandi dello spigolo Z .
La massa complessiva del corpo potrà, a questo punto, essere pensata come somma delle masse di
tante piccole particelle a forma di cubo ognuna delle quali di lato uguale allo spessore Z .
La posizione, all’interno della massa totale, di ogni singola particella sarà nota tramite i valori delle
coordinate rispetto ad un sistema di riferimento bidimensionale con origine in un punto qualsiasi del
piano X  Y della posizione dei punti centrali dei quadrati ognuno dei quali, essendo piccoli a
piacere, può ancora essere considerato puntiforme.

Figura 1 – DISTRIBUZIONE DI MASSE m n
IN UNO STRATO RETTANGOLARE DI MASSA M
MOMENTO STATICO RISPETTO ALL’ASSE Y

Nella figura sovrastante è raffigurato un qualsiasi strato rettangolare di spessore  Z ricavato da un
parallelepipedo avente spigoli paralleli agli assi del sistema di riferimento cartesiano.
La massa complessiva è stata suddivisa in 112 elementi o particelle di massa m i .
Se lo strato è composto interamente dello stesso materiale, con la stessa densità volumetrica, le
particelle, essendo di volume uguale, saranno composte della stessa quantità di materia.
Ma ciò non è strettamente indispensabile.
Si definisce MOMENTO STATICO S Y delle masse m i rispetto all’asse Y , la sommatoria dei
prodotti di ciascuna massa per la rispettiva distanza X i dall’asse Y .
La distanza è, in questo caso, misurata perpendicolarmente all’asse, ma può anche essere misurata
non perpendicolarmente e inclinata di un angolo  .
4


Essendo il prodotto di una massa per una distanza, le unità di misura del momento statico rispetto
ad un’asse saranno:
SY →  kg  m 

Quindi il MOMENTO STATICO complessivo rispetto all’asse Y sarà espresso dalla seguente
formula:

n  112
SY   mi Xi
n 1

IL CENTRO DI MASSA O CENTRO DI GRAVITA’

Il CENTRO DI MASSA dell’intero sistema, che corrisponde al centro di gravità e anche al
baricentro geometrico della figura, a condizione che il corpo sia composto completamente dello
stesso materiale, è definito dal punto in cui può essere pensata concentrata la massa complessiva del
corpo.
Partendo da questo presupposto e riferendoci alla definizione di MOMENTO STATICO
precedente, è piuttosto ovvio che, pensando di concentrare tutta la massa nel centro di massa, e
calcolando il momento statico complessivo bisognerà tenere conto della distanza del centro di
massa dall’asse Y .
Se indichiamo la distanza del centro di massa con X C . d . M . , il momento statico complessivo di tutta
la massa rispetto all’asse Y sarà:


S Y  M  X C .d . M .

Evidentemente il momento statico calcolato con questo secondo sistema dovrà essere uguale a
quello calcolato tenendo conto di tutte le particelle.
Quindi:

SY  S Y

Da cui:
n  112
M  X C .d . M .   mi Xi
n 1

Da cui si ottiene la distanza X C . d . M . del Centro di massa dall’asse Y :
n  112

 mi Xi
n 1
X C .d . M .

M

Ora, con l’ipotesi che il corpo sia effettivamente costituito dello stesso materiale, e allo scopo di
semplificare il problema, consideriamo che il centro di massa corrisponda esattamente con il
BARICENTRO GEOMETRICO e anche con il CENTRO DI GRAVITA’.
D’ora in avanti il punto in cui può essere concentrata tutta la massa del corpo sarà definito
BARICENTRO e sarà indicato con la lettera G.
Per cui la formula precedente assumerà la forma:

5


n  112

 mi Xi
n 1
X G

M

Con essa potremo calcolare la distanza dall’asse Y del baricentro G .
Non abbiamo, però ancora risolto il problema in quanto esistono infiniti punti del piano X  Y che
sono distanti X G dall’asse Y .
Solo uno di essi è il baricentro reale e, per il suo posizionamento finale, occorre la seconda
coordinata Y G ovvero la sua distanza dall’asse X .
Per calcolarla definiamo, esattamente come prima, il MOMENTO STATICO delle masse rispetto
all’asse X .

Figura 2 - DISTRIBUZIONE DI MASSE m n
IN UNO STRATO RETTANGOLARE DI MASSA M
MOMENTO STATICO RISPETTO ALL’ASSE X

Il MOMENTO STATICO delle masse rispetto all’asse X sarà:

n  112
SX   m i  Yi
n 1

Mentre il momento statico della massa complessiva per la distanza Y G :


S X  M  YG

6


Da cui:

SX  S X

Infine:
n  112

 m i  Yi
n 1
YG 
M

E’ questa la seconda coordinata del Baricentro o Centro di massa che ci consente la reale
individuazione di G all’interno del sistema di riferimento cartesiano scelto.
Quindi, concludendo e generalizzando il problema, le coordinate del baricentro di un sistema di
masse disposte in un piano X  Y , qualunque sia il loro numero e posizionamento, sono ricavabili
dalle due formule:

n  qualsiasi

 mi Xi
n 1
XG 
M
n  qualsiasi

 m i  Yi
n 1
YG 
M

Se ripetiamo lo stesso ragionamento considerando il corpo disposto nello spazio, ricaviamo anche la
terza coordinata del baricentro:
n  qualsiasi

 mi Zi
n 1
ZG 
M

Per quanto riguarda lo strato di materia preso in considerazione nei disegni precedenti,
considerando che esso è un rettangolo, le coordinate del baricentro saranno tali da individuare il
punto mediano:

X  X1
X G
 2

2
Y 2  Y1
YG 
2
Le formule ricavate con il calcolo del momento statico sono valide per qualsiasi distribuzione di
masse sia essa continua che discontinua; di conseguenza le coordinate del centro di massa possono
essere caratterizzare sia un punto interno al sistema sia esterno.
Il centro di massa può cioè essere un punto appartenente fisicamente al corpo oppure un punto che,
fisicamente, non appartiene al corpo e che è, quindi, esterno.
Per il calcolo dei MOMENTI STATICI, relativamente al segno algebrico da assegnare alle distanze
dagli assi delle masse, si seguirà il seguente principio:

7


 Il momento statico di una massa rispetto ad un asse sarà considerato positivo se la distanza
della massa dall’asse di riferimento è dalla parte dei numeri positivi, negativo se il contrario.

Figura 3 – COORDINATE DEL CENTRO DI MASSA O BARICENTRO DEL RETTANGOLO.

LE CARATTERISTICHE DEL CENTRO DI MASSA O BARICENTRO

Per come è stato definito il centro di massa e per quanto è stato esposto precedentemente circa i
segni algebrici da assegnare alle distanze, è possibile concludere che:
Il MOMENTO STATICO delle masse costituenti un corpo rispetto ad un qualsiasi asse
passante per il baricentro è nullo
n  qualsiasi
SYG   mi Xi  0
n 1
n  qualsiasi
S XG   m i  Yi  0
n 1
Qualsiasi corpo, vincolato o appeso nel suo centro di massa e in condizioni di iniziale
quiete, mantiene il suo stato di quiete per un tempo infinito.
Le condizioni dinamiche del movimento causato da un sistema di forze che agisce sul corpo
non cambiano se lo stesso sistema di forze è applicato nel centro di massa.
Comunque sia complessa la traiettoria mantenuta dalle particelle costituenti un corpo in
movimento, il baricentro mantiene, invece, una traiettoria semplice.
Ogni corpo può essere scomposto in elementi più semplici come rettangolo, triangolo,
cerchio ed archi di circonferenza ecc. ecc.
Il centro di massa complessivo può essere pensato come centro di massa di tutte le masse
semplici ognuna delle quali, a sua volta, ha un centro di massa facilmente riconoscibile.

8


I momenti statici delle masse semplici costituenti il corpo nel suo complesso e pensate
concentrate nei rispettivi centri di massa sono uguali al momento statico di tutta la massa
pensata concentrata nel centro di massa unico.

BARICENTRI CARATTERISTICI DI SEZIONI O SUPERFICI SEMPLICI.

Come già detto in precedenza, ogni sezione complessa può essere scomposta in più sezioni di forma
semplice in cui la posizione del centro di massa risulta facilmente individuabile.
Le sezioni semplici notevoli sono le seguenti:
Rettangolo
Triangolo
Quadrilatero
Trapezio
Cerchio

RETTANGOLO
Il baricentro di un rettangolo è all’incrocio delle mediane ai lati o delle diagonali.

Figura 4 – BARICENTRO DI UN RETTANGOLO B  H

TRIANGOLO:
Per un triangolo qualsiasi la posizione del baricentro è individuata dal punto d’incrocio delle rette
mediane passanti nei rispettivi vertici opposti.
2 1
Inoltre il baricentro divide i tre segmenti mediani nel rapporto e .
3 3

9


Figura 5 – BARICENTRO DI UN TRIANGOLO.

QUADRILATERO:
Di solito il quadrilatero è diviso in due triangoli di area A 1 e A 2 e, per essi si riconosce la
posizione dei relativi baricentri G 1 e G 2 dall’incrocio delle mediane. Il baricentro G del
quadrilatero è collocato sul segmento che G 1G 2 ad una distanza da G1 pari alla distanza G 2H

oppure ad una distanza da G 2 pari a G 1H .

Figura 6 – BARICENTRO DI UN QUADRILATERO ABCD

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Figura 7 – BARICENTRO DI UN QUADRILATERO ABCD

TRAPEZIO:

Il baricentro del trapezio è collocato sul segmento che unisce i punti medi delle due basi all’incrocio
con la retta che si ottiene prolungando, da una parte, la base minore con un segmento pari alla base
maggiore e dall’altra la base maggiore con un segmento pari alla base minore.

Figura 8 – BARICENTRO DI TRAPEZIO

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ESEMPI DI CALCOLO

Esempio 1:
Date cinque masse di densità diverse, collocate in un piano X  Y come da disegno seguente,
calcolare le coordinate del loco centro di massa.
Ognuna delle masse ha uno spessore di 5 mm.
Le densità specifiche delle masse è:
 kg   kg   kg   kg   kg 
d1 = 20  3
 d2 = 3,0 
3
 d3 = 0 ,5 
3
 d4 = 8 ,5 
3
 d5 = 6 ,5 
3

 dm   dm   dm   dm   dm 

Figura 9 – BARICENTRO DI SISTEMA DI MASSE DISCONTINUO

Soluzione:
Calcolo della grandezza delle masse:
 kg 
M  d 1  V 1  20 , 0 
   20  dm   20 dm   0 , 05 dm   400  kg 
1 3 
 dm 
 kg 
M 2  d 2  V 2  3,0    10  dm   10 dm   0 , 05 dm   15  kg 
3
 dm 
 kg 
M 3  d 3  V 3  0 ,5    10  dm   30 dm   0 , 05 dm   7 , 5  kg 
3
 dm 

 kg 
M 4  d 4  V 4  8 ,5    20  dm   10 dm   0 , 05 dm   85  kg 
3
 dm 
 kg 
M 5  d 5  V 5  6 ,5    10  dm   10 dm   0 , 05 dm   32 , 5  kg 
3
 dm 

12


Calcolo della coordinata X G del baricentro complessivo:
i5

 M 1 X Gi
i1 SY
X G  
i5 M T
 M i
i1

M 1  X G1  M 2  X G 2  M 3  X G 3  M 4  X G 4  M 5  X G 5
XG 
M1  M 2  M3  M 4  M5
400  4  15    4 , 5   7 , 5    2 , 5   85    4   32 , 5   2 , 5 
X G 
540
1 . 255
X G   2 , 32  m 
540

Calcolo della coordinata YG del baricentro complessivo:
i5

 M 1  Y Gi
i1 SX
YG  
i5 MT
 Mi
i1

M 1  YG1  M 2  YG 2  M 3  YG 3  M 4  YG 4  M 5  YG 5
YG 
M1  M 2  M3  M 4  M5
400  4  15   6 , 5   7 , 5   2 , 5   85    2 , 5   32 , 5    2 , 5 
X G 
540
1 . 422
X G   2 , 63  m 
540

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Esempio 2:
Determinare il centro di massa di un corpo a forma di U avente le dimensioni riportate nel disegno
 g 
sottostante. Si suppone che il corpo sia omogeneo, di densità pari a d  8  e di spessore
3
 cm 
 Z  10  mm .

Figura 10 – BARICENTRO DI CORPO SCOMPONIBILE IN RETTANGOLI. SISTEMA CONTINUO.

Soluzione:
 g 
M 1  d  V1  8 , 0    60  cm   10 cm   1, 0 dm   4 . 800  g 
3
 cm 

 g 
M 2  d  V 2  8 ,0    50  cm   10  cm   1 , 0  cm  4 . 000  g 
3
 cm 

 g 
M 3  d  V 3  8 ,0    30  cm   10 cm   1, 0 cm   2 . 400  g 
3
 cm 

i3

 M 1 X Gi
i1 SY
X G  
i3 M T
 M i
i1

M 1  X G1  M 2  X G 2  M 3  X G 3
XG 
M1  M 2  M3
4 . 800  5  4 . 000  2 , 5  2 . 400  4 , 5
X G 
11 . 200
X G  4 dm 

14


i3

 M 1  Y Gi
i1 SX
YG  
i3 MT
 Mi
i1

M 1  YG1  M 2  YG 2  M 3  YG 3
YG 
M1  M 2  M3
4 . 800  6 , 5  4 . 000  3 , 5  2 . 400  1 , 5
X G 
11 . 200
48 . 800
X G   4 , 36   dm 
11 . 200

Esempio 3:
Determinare il centro di massa del sistema di masse omogenee illustrato in figura .
 g 
Si suppone che il corpo sia omogeneo, di densità pari a d  8  e di spessore  Z  10  mm .
3
 cm 

Figura 11 – BARICENTRO DI CORPO SCOMPONIBILE IN RETTANGOLI E CERCHI.
Soluzione:

Con l’ipotesi di corpo omogeneo e per il fatto che lo spessore con si modifica, le messe sono
evidentemente proporzionali alla superficie delle varie parti che compongono il corpo nel
suo complesso.

15


Per questo motivo si può procedere al calcolo determinando le superfici invece che le masse.
 2
S 1    R e  R i    20
2
  2
 15
2
  550 cm  2

S 2  10  4  6  1  34 cm  2

 30  10  300 cm 
2
S3

 45  20  900 cm 
2
S4

 43  4  172 cm 
2
S5

 47  4  188 cm 
2
S6

   30  2 . 826 cm 
2 2
S7

S TOTALE  4 . 970 cm  2

i7

 S i  X Gi
i1 SY
XG  
i3 ST
 Si
i1

S1  X G1  S2  X G2  S3  X G3  S4  X G4  S5  X G5  S6  X G6  S7  X G7
X G 
S TOTALE


550  50  34  35  300  14  900  10  172  15  188  7  2 . 826  45

 84 . 016 cm  3

cm 
X G
4 . 970 2
4 . 970

X G   16 , 90 cm   1, 69 dm 

i7

 S i  Y Gi
i1 SX
YG  
i 3 ST
 Si
i1

S1  YG1  S 2  YG 2  S 3  YG 3  S 4  YG 4  S 5  YG 5  S 6  YG 6  S 7  YG 7
YG 
S TOTALE


550  60  34  60  300  60  900  33  172  12  188  35  2 . 826  35

 24 . 814 cm  3

cm 
X G
4 . 970 2
4 . 970
X G   4 , 99 cm   0 , 499 dm 

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Esempio 4:
Determinare il centro di massa del sistema planetario Terra-Luna .
La massa della Terra è M T  5 , 976  10 24  kg  , la massa della Luna è M L  7 , 35  10
22
 kg  .
La distanza tra il centro di massa terrestre e lunare è di circa D  400 . 000  km 

Figura 12 – CENTRO DI MASSA SISTEMA TERRA-LUNA

Soluzione:
i 2

 M i  X Gi
i1 SY
XG  
i3 ST
 Mi
i1

M Terra  X G . TERRA  M Luna  X G . LUNA
XG 
M TERRA  M LUNA

   200 . 000     200 . 000 
24 24 24
5 , 976  10 0 , 0735  10 200 . 000  10  (  5 , 976  0 , 0735 )
X G  
 5 , 976  0 , 0735 
24 24 24
5 , 976  10  0 , 0735  10 10
24
 5 , 9025  200 . 000  10 5 , 9025  200 . 000
X G 
24
    195 . 140  km 
10  6 , 0495 6 , 0495

Quindi in centro di massa per il sistema Terra-Luna è posto a circa 4.860 km da centro di gravità
terrestre.
La Luna ha quindi un moto di rivoluzione attorno a tale punto e non al centro di gravità terrestre.
Nello stesso tempo anche la Terra ha un moto di rivoluzione attorno al centro di massa che dura
esattamente quanto il tempo impiegato dalla Luna.
Inoltre la Luna ruota su se stessa impiegando un tempo pari al periodo di rivoluzione attorno al
centro di massa (circa 27 giorni) e, per questo motivo, rivolge alla Terra sempre la stessa superficie.

17


Esempio 5:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di una struttura prefabbricata di copertura.

Figura 13 – COPPONE PREFABBRICATO DI COPERTURA.

Soluzione:

i 3

 M i  Y Gi
i1 SX
YG  
i 3 ST
 M i
i 1

4  6  8 4 
200  5  32 , 5  2    30   16 , 027    30   16 , 705
 2   2 
yG   27 , 24  cm 
4  6  8 4 
200  5  2    30     30 
 2   2 
Per ragioni di simmetria la coordinata X G è pari alla metà della larghezza complessiva.

18


Esempio 6:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di una trave prefabbricata a doppia pendenza.

Figura 14 – SEZIONE DI TRAVE PREFABBRICATA

Soluzione:

i 5

 M i  Y Gi
i 1 SX
YG  
i 3 ST
 M i
i 1

 40  12   20  12 
40  10  195    10   186    5   12  165  12  98  20  10  5
 2   2 
yG   110 , 39  cm 
 40  12   20  12 
40  10     10     5   165  12  20  10
 2   2 
Per ragioni di simmetria la coordinata X G è pari alla metà della larghezza complessiva.

19


Esempio 7:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di una trave da ponte tipo cassone.

Figura 15 – SEZIONE DI TRAVE A CASSONE.

Soluzione:

i 5

 M i  Y Gi
i 1 SX
YG  
i 3 ST
 M i
i 1

600  30  235  20  50  275  2  200  20  120  340  20  10
yG   163 , 70  cm 
600  30  20  50  2  200  20  340  20

Calcolo della coordinata XG del baricentro complessivo:

i 5

 M i
X Gi
i 1
SY
X  
G i 5
ST
 M i
i 1

20  50  290  200  20  230  200  20  90  340  20  70
X G    22 , 07  cm 
600  30  20  50  2  200  20  340  20

20


Esempio 7:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di un muro di contenimento terra con relativa
fondazione.

Figura 16 – MURO DI CONTENIMENTO CON FONDAZIONE.
Soluzione:

i 2

 M i  Y Gi
i1 SX
YG  
i3 ST
 M i
i1

 20  40 
300  40  20    400   218
 2 
yG   119 , 00  cm 
 20  40 
300  40    400 
 2 

Calcolo della coordinata XG del baricentro complessivo:

i5

 M i X Gi
i1 SY
X G  
i5 ST
 M i
i1

 20  40 
300  40  150    400   216
 2 
XG   183 , 00  cm 
 20  40 
300  40    400 
 2 

21


DETERMINAZIONE GRAFICA DELLE COORDINATE DEL BARICENTRO

Per la determinazione della posizione del centro di massa di un qualsiasi corpo omogeneo, continuo
o discontinuo, si possono anche utilizzare sistemi grafici.
Il metodo più utilizzato è quello di una doppia applicazione della regola del poligono funicolare in
cui le masse dei corpi semplici costituenti il corpo nel suo complesso sono sostituite con vettori
aventi modulo uguale al valore delle masse (o delle superfici se il corpo è omogeneo).
I vettori sono applicati nei centri di massa di ogni particella.
Il centro di massa generale del sistema è determinato dall’incrocio delle direzioni delle risultanti di
due poligoni funicolari uguali e inclinati di 90° uno rispetto l’altro.

Figura 17 – DETERMINAZIONE DEL CENTRO DI MASSA CON IL POLIGONO FUNICOLARE.

22


I MOMENTI DI SECONDO ORDINE

IL MOMENTO D’INERZIA ASSIALE

Sempre considerando un sistema di masse m 1 , m 2 , m 3 ,......... m n , contenute in un piano e
i n
costituenti un corpo di massa M   m i , si definisce MOMENTO D’INERZIA del sistema di
i1

masse rispetto ad un asse X appartenente al piano, la somma dei prodotti delle singole masse per il
quadrato delle rispettive distanze misurate perpendicolarmente all’asse X e quindi parallele
all’asse Y .

Figura 18 – MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO AD UN ASSE X QUALSIASI

Il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE, rispetto all’asse X è:

i n

JX   mi Y
2
i
i1

Le unità di misura del MOMENTO D’INERZIA ASSIALE sono:

i n

JX   m  kg   Y 2 i  m 2  J X  kg  m 
2
i
→
i1

23


Il più delle volte, considerando la proporzionalità della massa alla densità e al volume del corpo, si
preferisce sostituire con la grandezza superficie la massa; il momento d’inerzia risulterebbe così
espresso da:
i n

J X   S i m   Y m  m 
2 2 2 4
i → JX
i1

Allo stesso modo è definito il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto a un’asse Y qualsiasi:
i n

JY   mi X
2
i
i1

Solitamente, specialmente per i corpi che sono utilizzati per la realizzazione di costruzioni (travi in
acciaio, in legno, in cemento armato) e che sono caratterizzati da differenze sostanziali tra due
dimensioni spaziali e la terza, i momenti d’inerzia assiali J X e J Y hanno valori diversi tra loro.

Considerando che le masse costituenti il sistema non possono, evidentemente, assumere valore
nullo e che il quadrato di un numero negativo è, comunque, un numero positivo, si può dedurre che
il momento d’inerzia assiale è sempre POSITIVO o NULLO, cioè sempre maggiore o uguale a
zero:

JX  0
JY  0

CASI PARTICOLARI:

Il MOMENTO D’INERZIA J X
oJ Y
ha un valore nullo solo nel caso in cui tutte le masse
m i costituenti il sistema siano collocate rispettivamente, esattamente sull’asse X o
sull’asse Y di riferimento.

I MOMENTI D’INERZIA J XG e J YG calcolati rispetto a due assi perpendicolari X e
Y passanti nel centro di massa o baricentro, sono, tra tutti i possibili momenti d’inerzia
calcolati rispetto ad assi non baricentrici, quelli che hanno valore minimo.

24


IL MOMENTO D’INERZIA ASSIALE COME MOMENTO STATICO DEI
MOMENTI STATICI
La formulazione del MOMENTO D’INERZIA ASSIALE così come precedentemente vista può
essere scritta anche in un altro modo:
i n i n

JX   mi Y   m i  Y i   Y i
2
i
i1 i 1
i n

J X   m i  Y i   Y i
i1
Dunque, paragonando la relazione con quella che fornisce il valore del momento statico delle masse
rispetto ad un asse X , si riconosce che il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE è anche il momento
statico dei momenti statici dei valori m i  Y i pensati al posto di m i .
Ora, se la coordinata Y G del centro di massa rappresentava la distanza alla quale porre tutta la
massa M del corpo per ottenere lo stesso valore di MOMENTO STATICO S X , è possibile
estendere tale concetto anche al MOMENTO D’INERZIA ASSIALE:
La radice quadrata del rapporto tra il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE J X e la massa
complessiva M è definito RAGGIO D’INERZIA rispetto all’asse X :
i n

JX
 m i  Yi   Yi
i1
  
2
x
i n
=
M
 mi
i1
In cui:
 x  (ro) RAGGIO D’INERZIA (m) rispetto all’asse X

Il significato fisico del raggio d’inerzia (raggio giratorio) è il seguente:
 Il raggio d’inerzia  X
è la distanza, misurata perpendicolarmente all’asse X , in cui
concentrare tutta la massa M del corpo per ottenere lo stesso valore del momento d’inerzia
JX.
 Cioè:
i n

JX    mi   M
2 2
X X
i1

Tutto quanto detto vale anche per il momento d’inerzia rispetto all’altro asse, per cui si ottiene:
i n i n

JY   mi X   m i  X  X i
2
i i
i 1 i 1
i n

J Y   m i  X i
 X i
i 1

25


i n

 m i  X i   X i
JY i1
  
2
Y
i n
M
mi
i1

 Y  (roY) RAGGIO D’INERZIA (m) rispetto all’asse Y
i n

JY    m   M
2 2
Y i Y
i1

Esempio 1:
Dato un sistema di masse puntiformi collocate nel piano X  Y come da figura, determinare i
momenti d’inerzia J X e J Y del sistema rispetto agli assi cartesiani e i relativi raggi giratori
d’inerzia  X e  Y .
Le masse sono rispettivamente:
M 1 = 3 kg M 2 = 2 kg M 3 = 3 kg M 4 = 5 kg M 5 = 2 kg

 





Figura 19 – DETERMINAZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI J E DEI RAGGI GIRATORI  .
SOLUZIONE:
Calcolo del momento d’inerzia rispetto all’asse X :
i5


2 2 2 2 2 2
JX  mi Y i = m1  Y 1  m2 Y 2  m3 Y 3  m4 Y 4  m5 Y 5 
i 1

J X  3  400
2
 2  650
2
 3  250
2

 5   250
2
  2   250 2 
J X  1 . 950 . 000 kg  cm 2 

2
X 
JX

1 . 950 . 000
 130 . 000 cm 2 
 m i 15

26


X  130 . 000 cm  2
  350 ,55  cm   3 ,5  m 

Calcolo del momento d’inerzia rispetto all’asse Y :
i5


2 2 2 2 2 2
JY  mi X i = m1  X 1  m2 X 2  m3 X 3  m4 X 4  m5 X 5 
i1

J Y  3  400
2
 2  (  450
2
)  3  (  250
2

)  5   400
2
  2   250 2 
J Y  1 . 997 . 500 kg  cm 2 

2
Y 
JY

1 . 997 . 500
 133 . 166 cm 2 
 m i 15

X  133 . 166 cm  2
  364 , 92  cm   3 , 65 m 

Esempio 2 :
Dato un sistema continuo di masse collocate nel piano X  Y a formare un rettangolo di base B
ed altezza H, determinare i momenti d’inerzia J X , J Y e i relativi raggi giratori d’inerzia  X e
 Y del sistema, rispetto agli assi cartesiani passanti nel centro di massa del rettangolo e paralleli
rispettivamente alla base e all’altezza.

Y

Y

Figura 20 – MOMENTO D’INERZIA BARICENTRICO DI UNA MASSA RETTANGOLARE CONTINUA.

SOLUZIONE:
Il calcolo dei momenti d’inerzia assiali baricentrici risulterebbe abbastanza agevole con l’uso delle
regole d’integrazione che, in questo ambito non risultano ancora acquisite.
E’ però possibile al calcolo utilizzando alcuni e semplici accorgimenti:

27


 La massa del corpo rettangolare è evidentemente distribuita in modo uniforme in base allo
spessore del corpo e alla sua densità specifica.
 La massa è quindi proporzionale alla superficie che si considera
 Possiamo quindi sostituire la grandezza massa con la grandezza superficie.
 Il rettangolo può essere scomposto in strisce parallele all’asse X per il calcolo del
momento d’inerzia J X e in strisce parallele all’asse Y per il calcolo del momento d’inerzia
JY .
 Supponiamo di suddividere la metà dell’altezza H in un numero di strisce pari a N , per il
calcolo del momento d’inerzia J X
 Maggiore è il numero di strisce migliore è il risultato.
 Ogni striscia, di larghezza pari alla base B del rettangolo, avrà quindi un’altezza pari a:
H
Y 
2N
 La superficie di ogni striscia, parallela all’asse X , sarà dunque data da:
H
Si  B  Y  B 
2N
 Se il numero N è sufficientemente grande, l’altezza  Y di ogni striscia è sufficientemente
piccola per poterla considerare una superficie (o massa) puntiforme con baricentro collocato
nel punto mediamo dell’altezza  Y .
 La distanza del baricentro, misurata perpendicolarmente dall’asse X , cambierà in funzione
della striscia considerata secondo la semplice relazione:
Y
Y i  n  1   Y 
2
O anche:
H H
Y i  n  1  
2N 2 N 2
H  1 H  2n  2 1 H
Yi  n  1        2  n  1 
2N   2 2N  2  4N
 Per ogni striscia, parallela all’asse X , situata dalla parte positiva dei valori di Y , sarà
presente, dalla parte negativa, un’uguale striscia posta alla stessa distanza. Il contributo di
ogni striscia – considerata solo dalla parte positiva – per il calcolo del momento d’inerzia
J X dovrà quindi essere considerato doppio.

Utilizzando queste ipotesi e precisazioni calcoliamo ora il momento d’inerzia della sezione
rettangolare rispetto all’asse X baricentrico.
Si tenga presente che il risultato finale sarà espresso in cm  a condizione di utilizzare i  cm 
4

come unità di misura delle dimensioni geometriche.
Per riportare alle giuste dimensioni il valore del momento d’inerzia sarà sufficiente moltiplicare il
 kg 
risultato per il valore dello spessore  cm  e per il valore della densità  3 
.
 cm 
Il valore del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X può essere calcolato con la formula
generale:

28


i N


2
JX  2mi Y i
i1

Che è però proporzionale alla:
i N


2
JX  2 Si  Y i
i1

La sommatoria è estesa a tutte le superfici (o masse) delle strisce in cui si è suddiviso il corpo che
risulta essere il doppio di N (N è il numero di strisce componenti la metà del rettangolo).
Possiamo quindi raddoppiare il contributo di ogni striscia tenendo conto che, ad ogni modo, il
quadrato di un numero negativo è comunque positivo.
Sostituendo, all’interno della sommatoria, i valori di S i e Y i come da ipotesi, si ottiene:
2
nN
 H   H 
JX   2  B    2  n  1 
2 N  4 N 
n 1  
La sommatoria è estesa a tutte le N superfici S i che hanno valore costante e che, quindi, in ogni
caso si potranno raccogliere a fattore comune anche all’esterno della sommatoria:
2
nN
H  H 
JX  2 B     2  n  1 
2N 4 N 
n 1  
Da cui:
2
nN nN 2
H  H  H H
 2  n  1   2  n  1 
2
JX  B    4 N 
 B   2
N n 1   N n 1 16  N

Da cui:
2 i N
H H
 2  n  1
2
JX  B   2

N 16  N i1
3 i N
H
 2  n  1
2
JX  B  3

16  N i1

Come si può notare il Momento d’inerzia è essenzialmente composto:
Valore fisso dipendente dalle dimensioni geometriche della sezione:
3
H
B
16
Valore variabile costituito dalla sommatoria estesa a tutti gli N elementi dei valori:
nN
1 4
 2  n  1 
2 3
3
 N
N n 1 3

Ad esempio, se la metà del rettangolo è stato suddiviso in 10 elementi - N  10 :
nN

 2  n
2

 1   1  3  5  7  9  11
2 2 2 2 2 2
 13
2
 15
2
 17
2
 19
2
  1.330
n 1
nN
4
 2  n  1
2 3
 N
n 1 3

29


Di conseguenza, unendo i componenti si ottiene, in modo approssimato:
3 i N
H
 2  n  1
2
JX  B  3

16  N i1
3
H 4 3
JX  B  3
 N
16  N 3
Da cui, concludendo:
3 3
H BH
JX  B  
12 12
Che rappresenta, alla fine, il valore del momento d’inerzia assiale baricentrico rispetto all’asse X
Ripetendo lo stesso ragionamento, frazionando cioè il rettangolo in N strisce parallele all’asse Y , si
può, allo stesso modo, calcolare il valore del momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse Y
che è espresso dalla seguente relazione:
3
H B
JY 
12
Per il calcolo dei raggi giratori d’inerzia si utilizzano poi i valori calcolati dei momenti d’inerzia
baricentrici, ottenendo:
3
BH
2
JX 12 H 1 H
X     H    0 , 288  H
S TOTALE BH 12 12 12
3
B H
2
JY 12 B 1 B
Y     B   0 , 288  B
           

     

     

Figura 21 – POSIZIONE DEI RAGGI D’INERZIA PER ASSI PARALLELI AI LATI E BARICENTRICI

30


Esempio 3:
Dati due parallelepipedi di uguale spessore  Z = 10 mm e di uguale superficie frontale
2
S  400 cm , uno con base B=10 cm ed altezza H=40 cm, l’altro con base B= 4 cm ed altezza
 g 
H=100 cm, realizzati in materiale avente densità d  5  3  , determinare i momenti d’inerzia
 cm 
assiali baricentrici principali e i rispettivi raggi giratori d’inerzia.

         

     

         

     
     

     

Figura 22 –

SOLUZIONE:
Primo rettangolo:
B  10  cm 
H  40  cm 
3 3
BH 10  40
J XG    53 . 333 cm   1  cm   5 
4

g
3

  266 , 665 kg  cm  2

12 12  cm 
3 3
H B 40  10
J YG    3 . 333 cm   1  cm   5 
4

g
3

  16 , 665 kg  cm  2

12 12  cm 

J XG 53 . 333
 XG    11 , 54  cm   0 , 288  H  11 , 52  cm 
S 400

J YG 3 . 333
 YG    2 , 88  cm  0 , 288  B  2 , 88  cm 
S 400

31


Secondo rettangolo:
B  4  cm 
H  100  cm 
3 3
BH 4  100
J XG    333 . 333 cm   1  cm   5 
4

g
3


  1 . 666 kg  cm
2

12 12  cm 
3 3
H B 100  4
J YG    533 cm   1  cm   5 
4

g
3


  2 , 665 kg  cm
2

12 12  cm 

J XG 333 . 333
 XG    28 , 68  cm   0 , 288  H  28 , 80  cm 
S 400

J YG 533
 YG    1 ,15  cm  0 , 288  B  1 ,152  cm 
S 400

Esempio 4:
Determinare le regole per il calcolo dei momenti d’inerzia assiali per un rettangolo di base B ed
altezza H rispetto agli assi X e Y rispettivamente passanti per la base e per l’altezza.
Si suppone che il rettangolo sia omogeneo e si conoscono le coordinate del baricentro G .



Figura 23 – CALCOLO MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO AD UN ASSE X 0
PASSANTE PER LA

BASE B

32


Soluzione:
Il calcolo dei momenti d’inerzia assiali NON BARICENTRICI risulterebbe abbastanza agevole con
l’uso delle regole d’integrazione che, in questo ambito non risultano ancora acquisite.
E’ però possibile al calcolo utilizzando alcuni e semplici accorgimenti:
 La massa del corpo rettangolare è evidentemente distribuita in modo uniforme in base allo
spessore del corpo e alla sua densità specifica.
 La massa è quindi proporzionale alla superficie che si considera
 Possiamo quindi sostituire la grandezza massa con la grandezza superficie.
 Il rettangolo può essere scomposto in strisce parallele all’asse X per il calcolo del
momento d’inerzia J X 0 e in strisce parallele all’asse Y per il calcolo del momento
d’inerzia J Y 0 .
 Supponiamo di suddividere l’altezza H in un numero di strisce pari a N , per il calcolo del
momento d’inerzia J X 0
 Maggiore è il numero di strisce migliore è il risultato.
 Ogni striscia, di larghezza pari alla base B del rettangolo, avrà quindi un’altezza pari a:
H
Y 
N
 La superficie di ogni striscia, parallela all’asse X 0 , sarà dunque data da:
H
Si  B  Y  B 
N
 Se il numero N è sufficientemente grande, l’altezza  Y di ogni striscia è sufficientemente
piccola per poterla considerare una superficie (o massa) puntiforme con baricentro collocato
nel punto mediamo dell’altezza  Y .
 La distanza del baricentro, misurata perpendicolarmente dall’asse X , cambierà in funzione
della striscia considerata secondo la semplice relazione:
Y
Y i  n  1   Y 
2
O anche:
H H
Y i  n  1  
N 2N
H  1 H  2 n  2  1 H
Yi  n  1       2  n  1 
N   2 N  2  2N
 Per ogni striscia, parallela all’asse X , è, questa volta solo dalla parte positiva dell’asse Y e
contribuisce con la sua distanza e la sua superficie, al calcolo del momento d’inerzia J X

Utilizzando queste ipotesi e precisazioni calcoliamo ora il momento d’inerzia della sezione
rettangolare rispetto all’asse X 0 passante, questa volta, sulla base B .
Si tenga presente che il risultato finale sarà espresso in cm  a condizione di utilizzare i  cm 
4

come unità di misura delle dimensioni geometriche.

33


Per riportare alle giuste dimensioni il valore del momento d’inerzia sarà sufficiente moltiplicare il
 kg 
risultato per il valore dello spessore  cm  e per il valore della densità  3 
.
 cm 
Il valore del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X può essere calcolato con la formula
generale:
i N

JX0   m i  Y
2
i
i1
Che è però proporzionale alla:
i N

JX0   Si  Y
2
i
i1
La sommatoria è estesa a tutte le superfici (o masse) delle strisce in cui si è suddiviso il corpo che
risulta essere N (N è il numero di strisce componenti tutta l’altezza del rettangolo).
Sostituendo, all’interno della sommatoria, i valori di S i e Y i come da ipotesi, si ottiene:
2
nN
 H   H 
JX0    B    2  n  1 
n 1 N  2  N 

La sommatoria è estesa a tutte le N superfici S i che hanno valore costante e che, quindi, in ogni
caso si potranno raccogliere a fattore comune anche all’esterno della sommatoria:
2
nN
H  H 
JX0  B     2  n  1 
2  N 
N n 1  
Da cui:
2 2
nN
H  H  H nN H
 2  n  1   B   2  n  1 
2
JX0  B     
2  N  N n 1 4  N
2
N n 1  

Da cui:
2 i N
H H
  2  n  1 
2
JX0  B  
4N
2
N i1
3 i N
H
  2  n  1 
2
JX0  B 
4N
3
i1

Come si può notare il Momento d’inerzia è essenzialmente composto:
Valore fisso dipendente dalle dimensioni geometriche della sezione:
3
H
B
4
Valore variabile costituito dalla sommatoria estesa a tutti gli N elementi dei valori:
nN
1 4
 2  n  1 
2 3
3
 N
N n 1 3

Ad esempio, se il rettangolo è stato suddiviso in 10 elementi - N  10 :

34


nN

 2  n
2

 1   1  3  5  7  9  11
2 2 2 2 2 2
 13
2
 15
2
 17
2
 19
2
  1.330
n 1
nN
4
 2  n  1
2 3
 N
n 1 3

Di conseguenza, unendo i componenti si ottiene, in modo approssimato:
3 nN
H
  2  n  1 
2
JX0  B 
4N
3
n 1
3
H 4
JX0  B   N
3

4N
3
3
Da cui, concludendo:

BH
3 3
H
JX0  B  
3 3

Che rappresenta, alla fine, il valore del momento d’inerzia assiale rispetto ad un asse X 0
passante
sul lato B.

Ripetendo lo stesso ragionamento, frazionando cioè il rettangolo in N strisce parallele all’asse Y 0 ,
si può, allo stesso modo, calcolare il valore del momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse
Y 0 , passante sul lato H che è espresso dalla seguente relazione:

H B
3

JY0 
3

Per il calcolo dei raggi giratori d’inerzia si utilizzano le formule generali, ottenendo:

BH
3

2
JX 3 H 1 H
X0     H    0 , 577  H

B H
3

2
JY 3 B 1 B
Y0     B   0 , 577  B

35

Geometria delle masse

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