本文件介绍了数学世界的多种概念，如函数、参数式和极坐标等，强调数学在学习和实际应用中的重要性。它还探讨了怎样利用工具和指令来解答数学问题，并提供一些关于函数的动态演示和图形输出的方法。最后，文件提及了数学与人类情感的关联，通过故事传达了数学的深刻内涵。

1. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
數學的 世界
用 玩數學
蔡炎龍
政治大學應用數學系
中山女中
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數學 世界
簡介
來玩玩函數
參數式和極座標
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數列其實很厲害
轉換的世界
指令與自訂工具
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數學 世界
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企業在找尋什麼
在廣告看板上寫了一個數學題目，邀請大
家來解謎，然而這個測驗的重點並不是找到數學天
才，而是找到充滿好奇心的人。
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5. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
美國十大職業
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企業找尋的人才
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解決問題三步曲
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8. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
演講
http://goo.gl/CfGROo
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9. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
學數學做什麼
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10. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
簡介
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背景介紹
創始人為 教授。
得過歐美許多大獎。
已翻成包括正體中文在內的 種文字。
跨平台 甚至平板也有。
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12. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
的特色
免費。
界面簡潔、易於使用。
功能非常符合數學學習與教學。
不斷更新 且更新皆十分切中要點。
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13. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
下載
https://www.geogebra.org
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來玩玩函數
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把圖輸出
有很方便的圖型輸出功能 可以先把視窗調到你要
的大小 再選擇「檔案」 「匯出」 「匯出圖檔」
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16. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
把圖輸出
出現這個對話框 可決定解析度 印出來可用 或
在電腦上看可用 。 檔可以讓背景透明
你可以自己決定要不要使用。
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17. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
為函數上妝
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為函數上妝
利用屬性工具列改變物件的顏色、粗細等等。
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換成用數學為函數化妝
假設我有個函數 f(x) 我怎麼讓它變化呢
a · f(x + b) + c
每一個「化妝」 會讓函數有什麼不一樣呢
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數值滑桿
使用「數值滑桿」功能 讓 a 可在內定 −5 到 5 滑動。
在命令區打入 g(x)=a*f(x)。
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數值滑桿 動畫
可對著數值滑桿按滑鼠右鍵 選「開始動畫」 sin 函數就動
起來了 使用數值滑桿做動畫是 的「傳統」手法。
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挑戰 函數的變化
想一想 怎麼做出像這樣的函數
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動畫輸出
還可以輸出成 動畫 一樣先把視窗調到你要
的大小 再選擇「檔案」 「匯出」 「動態 檔」
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動畫輸出
出現這個對話框 會請你選要用哪個數值滑桿做動畫 每一
格要間隔多少毫秒 0.001 秒 還有是不是要讓這個動畫一
直重覆。
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25. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
顫抖的 sin
我們再繼續挑戰 這個「顫抖的 sin」做得出來嗎
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26. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
關於「函數感」
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函數的定義
定義 函數
一個函數 f 從一個集合 X 到另一個集合 Y 的對應關係。
如果一個 x 對應到 y 我們記為 f(x) = y。這種對應關係要
符合兩個條件。
每一個在 X 集合裡的元素 x 都必需有一個 Y 裡的元
素 y 與之對應。
如果有兩個在 X 裡的元素 x1, x2 x1 = x2 則我們有
f(x1) = f(x2)。
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28. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
這麼抽象是在說啥
你可能沒有認真想過 但函數其實是一個
解答本
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29. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
分段定義的函數
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分段定義函數
現在我們想畫出一個分段定義函數
f(x) =
⎧
⎨
⎩
x, 若 x < 0
x2
, 若 x ≥ 0。
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分段定義函數
可以使用 if 指令 語法如下
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分段定義函數
我們的例子可以用下面的指令畫出來
If[x<0,x,x^2]
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參數式和極座標
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34. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
參數式的繪圖
起始值 終止值
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參數式的繪圖
現在我們想畫
(cos(8t) cos(t), cos(8t) sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π,
可以打入
Curve[cos(8t)cos(t),cos(8t)sin(t),t,0,2pi]
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極座標
極座標 (r, θ) 換算成平常的直角座標系統是
⎧
⎨
⎩
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
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37. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
笛卡兒的愛情故事是真的嗎
傳說窮困潦倒的笛卡兒到了瑞典擔任公主克里斯汀娜的數
學老師 後來因相戀觸怒了瑞典國王 將笛卡兒放逐回法國。
不幸的笛卡兒不久染上黑死病 在病榻上寫給公主很多封情
書 但每一封都被國王擋了下來。直到第十三封 上面只有
一行數學式子
r = a(1 − cos(θ))
國王覺得這是數學沒什麼關係 所以就交給了公主。公主看
到馬上明白 流下了淚水
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38. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
笛卡兒的愛情故事是真的嗎
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39. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
隱函數
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隱函數
起 隱函數繪圖功能大大改善。例如我們想畫
x3
− 3xy + y3
= 0
只要打入 x^3-3xy+y^3=0 即可。
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41. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
數值滑桿
數值滑桿有第二種很方便的做法。現在我們想觀察 xy 項係
數變化時 函數會有什麼改變。於是我們先令 t=3。
然後打入 x^3-txy+y^3=0 自然會出現一樣的圖。
接著我們在「代數區」 找到 t 變數 將旁邊的「燈」點亮。
耶 數值滑桿出現了
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一家子的函數
然後我們當然照例留下曲線軌跡 把這「一家子」的曲線
畫出來。
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43. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
定義在某一區間的函數
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44. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
插入圖片
先選擇「插入圖片」工具 再在想插入圖片的地方點一下
選取要插入的圖片檔案。
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設定控制點
圖形可由一個點控制位置 圖形左下角 兩個點控制大小、
變形。請在圖形的「屬性」中之「位置」設定。
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46. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
設定控制點
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47. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
免費合法的圖片這樣來
https://openclipart.org
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48. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
跳舞的人
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49. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
使用「插入圖片」功能 放一個沒有手的人物圖片上去。
令一個 g(x) 函數。
設定 t 數值滑桿。
用 f(x)=Function[g(x+t),-4,4] 來讓 g(x) 只在某範圍出
現 並且會隨 t 而動。
g(x) 不要顯示 只顯示 f(x)。
加上「手」 並且在「進階」屬性中設好圖層 讓手出現
在身體後方。
變換不同的函數試試。
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50. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
凡走過必留痕跡
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51. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
切線也可以很美麗
隨便畫出一個函數 例如 f(x) = sin(x)。
在這個函數上放上一點 A。
用「切線工具」把 f(x) 在 A 點的切線畫出來。
對切線按住滑鼠右鍵 選 「顯示移動軌跡」。
重點來了 我們現在可以對 A 點按住滑鼠右鍵 選 「開
始動畫」。
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52. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
切線也可以很美麗
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53. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
消除軌跡
我們想消除軌跡 就用「檢視」 「清除所有痕跡」。常用
這個功能的話 也可以記一下快捷鍵 在 是 Ctrl-F
而在 上是 Command-F。
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54. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
直接用「輸入欄位」輸入函數
我們想換個函數玩玩 當然可以在指令區打入 f(x)=x^2 之
類的。另一個看起來更高級的方法是用「輸入欄位」工具
然使用者直接輸入自己要的函數
我們要使用的是「輸入欄位」工具。
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直接用「輸入欄位」輸入函數
接著在我們想讓使用者輸入的地方點一下 我們要填入
標籤 這是提示用的 比如我們可以打入 f(x)=。
關聯物件 這是我們要和什麼物件聯結 可拉選單找到
我們的 f(x)
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56. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
直接用「輸入欄位」輸入函數
然後我們就能直接輸入函數了
用同樣的方法 我們可以關聯到幾乎所有物件 可以改變變
數值、文字內容等等。
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57. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
在梯子上的貓
原題出自 http://www.malinc.se/math/geogebra/
circlesanddistancesen.php
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58. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
在梯子上的貓
把一個 當然固定長度 的梯子 線段 靠在牆上 軸
靠牆的位置 比如 點 是可以上下拉動的。
找出梯子的中點。
讓 移動 觀察這個中點的軌跡。
梯子上多加幾點 觀察有什麼變化。
事實上梯子本身的軌跡也有意思
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59. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
在梯子上的貓
「在梯子上的貓」中的梯子軌跡 也就是「星型線」。
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60. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
本輪均輪
阿波羅尼士（ ）解釋行星的「逆行
現象」。雖然這不是正確解釋 但我們用 做做看。
先用數值滑桿做出 R r 分別代表大圓 均輪 及小圓
本輪 半徑。
以 0 為圓心 R 為半徑 做一個大圓。
大圓上點一點 A 以此為圓心 r 為半徑 做出一個小圓。
在小圓上放一個點 代表火星 或其他行星 想辦法模
擬行星運動。
修改 R r 及運動速度 觀察火星軌跡的變化。
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61. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
拋物線的定義
定義
給定一個焦點 F 一條準線 L 由此焦點及準線決定的拋物
線為所有點 P(x, y) 的集合 其中 P(x, y) 到準線及焦點的
距離是一樣的。
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62. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
拋物線作圖示範
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63. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
橢圓的定義
定義
給定兩個焦點 F1 F2 及一個常數 K 則我們可以找出所有
的點 P(x, y) 使
PF1 + PF2 = K,
此圖形即為一橢圓形。
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64. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
橢圓作圖
練習
任意點上兩個點 設一個常數 K。試用橢圓定義作圖。
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65. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
數列其實很厲害
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66. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
標準的數列用法
我們假設要用 n 做為數列的檢索值 基本的 sequence 指令
用法如下。
以 n 為變數的物件 n 起始值 終止值
例如 Sequence[2*n,n,1,10] 為前十個偶數。
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67. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
做個網格出來
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68. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
做個網格出來
參考答案 Sequence[Sequence[A+iC+jB,i,-20,20],j,-20,20]
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69. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
分段
做一個正整數數值滑桿 n、及一線段 AB。
拉動數值滑桿 AB 就自動分成 n 段。
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70. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
分段
這裡有意思的是 裡不一定要是數字 物件也可以
Sequence[A+(B-A)/nk,k,1,n-1]
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71. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
轉換的世界
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72. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
設定色彩
在 的物件 我們可以按滑鼠右鍵選「屬性」 「進
階」用輸入「紅」、「藍」、「綠」 三原色強度的方式設
定。強度的範圍是 0 到 1。例如
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73. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
動態色彩
更好的是 這裡 三原色強度可以用函數做「動態色
彩」。選用的函數值當然應該在 0 到 1 中間 但不在這範圍
時 會自動取其小數點部份。我們來試用一下
在繪圖區放上一個點 A 可以讓它大一點、並選擇「顯
示移動蹤跡」。
動態色彩設定
紅 x(A) A 點的 x 座標
綠 y(A) A 點的 y 座標
藍 不設定
這裡的範例可參考影片
http://www.youtube.com/watch?v=n08UMpJJ2es
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74. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
動態色彩
任意拖拉 A 點 看看色彩的變化。
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75. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
在 中的「轉換」 有很多有趣的應用
簡單的是要把一個物件依某個方式複製。
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76. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
我們準備放一個點 A 再加上另一個點為 B 為中心 射出三
條射線 每條射線各隔 120◦
。
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77. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
放一個點 A 大一點 畫圖用的 、設成「顯示移動蹤
跡」。
使用「射線 過兩點 」工具 以 B 為起點 做出一條射
線 應該會叫做 a。
再來我們用旋轉工具 以 B 為中心 讓 a 轉 120◦
這樣
會出現另一條射線 叫 a′
。
最後再用同樣方法做出第三條射線 a′′
。
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78. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
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79. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
接下來我們要用「線對稱」 把我們的 A 點 先依某個方向
如逆時針方向 對旁邊的射線做「線對稱」 得新點 A′
。
做好之後再依此由 A′
得 A′′
。都完成之後以反方向再做一
次 最後 A 會「生出」包括自己在內的六個點。
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80. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
做好之後如下圖 記得這六個點我們都要「顯示移動蹤跡」
「動態顏色」可自訂 不過或許可以試「紅色」x(A) 「綠色」
y(A) 「藍色」x(A)+y(A)。
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81. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來一點「轉換」
任意拉動 A 點 我們就可以「作畫」了。下面是一個例子。
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82. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
做一個摩天輪
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83. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
方塊轉換
此類的問題還有很多。比方我們可以畫一個圓 在圓上放一
點 C 以此為左下角 做一個正方型。然後我們把這個正方
型以圓心為旋轉中心 轉 90◦
再繼續以同樣方式造出共計四
個正方型。
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84. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
方塊轉換
四個正方型可上不同顏色 並設成「顯示移動蹤跡」 讓 C
「開始動畫」。
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85. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
指令與自訂工具
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86. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
看一個物件怎麼做的
所有物件其實都有自己相對應的指令 比如我們
想知道一個線段怎麼做出來 在「代數區」找到對應物件
滑鼠點兩下就出來了。
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87. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
找需要的指令
有些指令會做到不是工具做得出來的東西 這時可以按右下
角的「指令明」 找需要的指令及用法。
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88. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
網格
給定兩根線性獨立的向量 畫出這個根向量決定的網格。
提示 使用 sequence 指令
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89. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
看著你的眼睛
試做一隻眼睛 你拉著一個點跑的時候 眼珠會跟那個點轉。
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90. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
來做眼睛工具
我們想做好幾隻瞪著你的眼睛 但每次重覆有點麻煩 這時
可用「自訂工具」。
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91. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
自訂工具
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92. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
自訂工具
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93. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
自訂工具
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94. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
自訂工具
幾點補充明
指令名稱是在命令列時可以下的指令 比如 Eye[C,P]
就是以 C 為眼球中心 P 為控制點畫出眼球。
如果要自己做圖示 標準大小是 32 × 32 大小的圖。
你也可以把自己的工具存起來在不同的 檔使
用。方法是用「工具 管理自製工具」選擇「另存新
檔」 取個名字 會以結尾是 .ggt 的檔案存起
來。以後要用直接拉到工具列就好。
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95. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
畢氏定理與畢氏樹
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96. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具
畢氏定理與畢氏樹
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