Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Γ' λυκείου 2015 |

ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 9
ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R
ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ
Ôï óýíïëï » ôùí öõóéêþí áñéèìþí åßíáé ôï { }0,1,2,3,...=» .
To óýíïëï » ôùí áêåñáßùí áñéèìþí åßíáé ôï { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...= − − −» .
Áí ðÜíù äåîéÜ ôïõ óõìâüëïõ ôïõ óõíüëïõ õðÜñ÷åé * óçìáßíåé üôé áðü ôï óýíïëï ôùí
áñéèìþí åîáéñåßôáé ôï 0 êáé ãñÜöïõìå ð.÷ { }* 1,2,3,...=» .
Ôï óýíïëï Q ôùí ñçôþí Þ óýììåôñùí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá üëïõò ôïõò áñéèìïýò ðïõ
ìðïñïýí íá ãñáöïýí ìå ôçí ìïñöÞ
α
,
β üðïõ α ∈» êáé β *∈»
×áñáêôçñéóôéêü ôùí Ñçôþí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé “ðåðåñá-
óìÝíïé” äåêáäéêïß Þ áðåéñïøÞöéïé áëëÜ ðåñéïäéêïß äåêáäéêïß áñéèìïß.
ð.÷.
4 1 1
2, 0,25, 0,333... ή 0, 3 κ.λ.π.
2 4 3
= = =
Ôï óýíïëï ¢ññçôùí Þ áóýììåôñùí áñéèìþí, äçëáäÞ ôùí áñéèìþí ðïõ äåí åßíáé ñçôïß.
×áñáêôçñéóôéêü ôùí ¢ññçôùí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé áðåéñïøÞöéïé ü÷é ðåñéïäéêïß
áñéèìïß. ð.÷. 2 1,41, 3 1,73, π 3,14 ê.ë.ð.
Ôï óýíïëï R ðñáãìáôéêþí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá ôïõò ñçôïýò êáé ôïõò
Üññçôïõò áñéèìïýò. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá
åíüò Üîïíá, ôïõ Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí.
Ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÁ.1
ÂáóéêÜ
óýíïëá
áñéèìþí
Ó÷Ýóåéò êáé
ðñÜîåéò óôï
óýíïëï R
Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “=” ôçò éóüôçôáò ùò åîÞò: α β α β 0= ⇔ − =
Ãéá ôçí éóüôçôá éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:
i. α α= ÁõôïðáèÞò Þ áíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá
ii. α β β α= ⇔ = ÓõììåôñéêÞ éäéüôçôá
iii. α β= êáé β γ τότε α γ= = ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá
Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “ ≤ ” äéÜôáîçò Þ áíéóüôçôáò ùò åîÞò:
α β α β 0≤ ⇔ − ≤ (Áíôßóôïé÷á α β α β 0≥ ⇔ − ≥ )
Ãéá ôçí äéÜôáîç éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò: i. α α≤ ÁõôïðáèÞò Þ ÁíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá
ii. α β≤ êáé β α τότε α β≤ = ÁíôéóõììåôñéêÞ éäéüôçôá
iii. α β≤ êáé β γ τότε α γ≤ ≤ ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá
ÁíÜëïãá ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç: α β α β 0< ⇔ − < , ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ìüíï ç ìåôáâáôéêÞ éäéüôçôá.
Óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ïñßæïíôáé ïé ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý.
Ç áöáßñåóç êáé ç äéáßñåóç ïñßæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý, ùò åîÞò:
( )α β α β− = + − êáé
α 1
α :β α , β 0
β β
= = ⋅ ≠

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 110
H ðñþôç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝ-
ãåôáé áíôéìåôáèåôéêÞ áöïý ìáò å-
ðéôñÝðåé íá áíôéìåôáèÝôïõìå ôïõò
üñïõò, äçëáäÞ íá áëëÜæïõìå ôç
óåéñÜ ôïõò.
Ç äåýôåñç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝ-
ãåôáé ðñïóåôáéñéóôéêÞ áöïý åðé-
ôñÝðåé óôï â íá ðñïóåôáéñßæåôáé,-
äçëáäÞ íá ðáßñíåé êïíôÜ ôïõ,åßôå
ôï á åßôå ôï ã ÷ùñßò íá áëëÜæåé ôï
áðïôÝëåóìá.
Óôçí ðñÜîç, ëüãù ôçò ðñïóåôáéñé-
óôéêÞò éäéüôçôáò, ìðïñïýìå íá êá-
ôáñãïýìå ôéò ðáñåíèÝóåéò.
( ) ( )α β γ α β γ α β γ+ + = + + = + + êáé
( ) ( )α β γ α β γ αβγ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Ç ðñïóåôáéñéóôéêÞ éäéüôçôá ãåíé-
êåýåé ôçí ðñÜîç ãéá ðåñéóóüôåñïõò
áðü äýï áñéèìïýò.
Áí åéäéêÜ ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ßóïé
ìåôáîý ôïõò, ôüôå ïñßæåôáé ôï ðïë-
ëáðëÜóéï åíüò áñéèìïý á ùò åîÞò:
ν φορές
να α α ... α, ν Ν*
−
= + + + ∈
êáé áíôßóôïé÷á ç äýíáìç
ν
ν φορές
α α α ... α, ν Ν*
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ∈
Áí ν 1= ôüôå ïñßæåôáé: 1 α α⋅ =
êáé 1
α α= .
1. α β α γ β γ≤ ⇔ + ≤ +
2. α β αγ βγ, γ 0≤ ⇔ ≤ >
3. α β αγ βγ, γ 0≤ ⇔ ≥ <
Êáíüíáò ôùí ðñïóÞìùí
i. ( )1 α α− = − ii. ( )α β αβ− = − iii. ( )( )α β αβ− − =
iv. ( )α α− − = v. ( )α β α β− + = − −
Éäéüôçôá äéáãñáöÞò
i. α β α γ β γ= ⇔ + = + ii. α β αγ βγ,γ 0= ⇔ = ≠
Ç i. åêöñÜæåé üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá
äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü.
Ç éäéüôçôá ii. åêöñÜæåé üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá
äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü.
Ç éäéüôçôá 1 åêöñÜæåé üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (áöáéñÝóïõìå) ôïí ßäéï
áñéèìü. Ïé éäéüôçôåò 2 êáé 3 åêöñÜæïõí üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå ìå)
ôïí ßäéï áñéèìü äéáôçñþíôáò ôç öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáéñÝóïõìå ìå èåôéêü êáé íá áëëÜîïõìå ôç
öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå) ìå áñíçôéêü áñéèìü.
ÐÑÏÓÈÅÓÇ ÐÏËËÁÐËÁÓÉÁÓÌÏÓ
ÁíôéìåôáèåôéêÞ
α β β α+ = + α β β α⋅ = ⋅
ÐñïóåôáéñéóôéêÞ
( ) ( )α β γ α β γ+ + = + + ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
ÅðéìåñéóôéêÞ
( )α β γ α β α γ⋅ + = ⋅ + ⋅
ÏõäÝôåñï óôïé÷åßï
α 0 α 0 α+ = = + α 1 α 1 α⋅ = = ⋅
Ôï 0 åßíáé ôï ïõäÝôåñï Ôï 1 åßíáé ôï ïõäÝôåñï óôïé-
óôïé÷åßï ôçò ðñüóèåóçò ÷åßï ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïõ
Óõììåôñéêü óôïé÷åßï
( ) ( )α α 0 α 0+ − = = − + α 1 α
α α
1 1
⋅ = = ⋅
Ï –á ëÝãåôáé áíôßèåôïò Ï
1
α
ëÝãåôáé áíôßóôñïöïò
ôïõ á ôïõ á

ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 11
ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R
ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ
4. i. α β= êáé γ δ τότε α γ β δ= + = + êáé ii. α β= êáé γ δ τότε αγ βδ= =
Ïé éäéüôçôåò i êáé ii åêöñÜæïõí üôé:
ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå éóüôçôåò êáôÜ ìÝëç.
iii. α β≤ êáé γ δ τότε α γ β δ≤ + ≤ + êáé iv. α β≤ êáé γ δ τότε αγ βδ≤ ≤ áí α,β,γ,δ 0>
Ïé éäéüôçôåò iii êáé v åêöñÜæïõí üôé:
ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò áí
Ý÷ïõí èåôéêïýò üñïõò.
ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ éó÷ýïõí áíôßóôñïöá.
ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ åðéôñÝðåôáé íá áöáéñïýìå Þ íá äéáéñïýìå áíéóüôçôåò êáôÜ ìÝëç.
5. i. α 0 0⋅ =
ii. αβ 0 α 0 ή β 0= ⇔ = =
iii. αβ 0 α 0 και β 0≠ ⇔ ≠ ≠
6. i. β α βα
γ γ γ
±
± = , γ αδ βγα
β δ βδ
±
± = ,β,γ,δ 0≠
ii.
γ αγα
β δ βδ
⋅ = , γα α δ αδ
:
β δ β γ βγ
= ⋅ = ,β,γ,δ 0≠
7. i. Áí α 0> êáé β 0 τότε α β 0> + >
ii. Áí α 0< êáé β 0 τότε α β 0< + <
8. i. Áí á, â ïìüóçìïé αβ 0⇔ > êáé
α
0
β
>
ii. Áí á, â åôåñüóçìïé αβ 0⇔ < êáé
α
0
β
<
9. i. Áí á, â ïìüóçìïé, ôüôå:
1 1
α β
α β
< ⇔ >
ii. Áí á, â åôåñüóçìïé, ôüôå:
1 1
α β
α β
< ⇔ <
10. Ãéá êÜèå α R∈ éó÷ýåé: 2
α 0≥
11. Áí α,β 0> êáé ν Ν*∈ éó÷ýåé:
i. ν ν
α β α β= ⇔ =
ii. ν ν
α β α β< ⇔ <
• Áíáëïãßá êáëåßôáé ç éóüôçôá äýï ëüãùí
êáé Ý÷åé ôç ìïñöÞ:¡
γα
β δ
= ìå β,δ 0≠ .
Ïé áñéèìïß á, ä ëÝãïíôáé Üêñïé üñïé êáé ïé
áñéèìïß â, ã ìÝóïé üñïé ôçò áíáëïãßáò.
Áí ç áíáëïãßá Ý÷åé ôç ìïñöÞ:
βα
β γ
=
ôüôå ï â ëÝãåôáé ìÝóç áíÜëïãïò Þ ãåùìå-
ôñéêüò ìÝóïò ôùí á, ã.
Éäéüôçôåò áíáëïãéþí
1.
γα
αδ βγ
β δ
= ⇔ =
2.
γ β γ βα α δ δ
β δ γ δ β α γ α
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
3.
γ α β γ δα
β δ β δ
± ±
= ⇔ =
4.
γ α β γ δα
β δ α β γ δ
± ±
= ⇔ =
∓ ∓
5.
ν 1 2 ν1 2
1 2 ν 1 2 ν
α α α ... αα α
...
β β β β β ... β
+ + +
= = = =
+ + +
Áíáëïãßåò

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 112
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A1. á) Áí á,â èåôéêïß áêÝñáéïé áñéèìïß ìå á
Üñôéï êáé â ðåñéôôü íá äåé÷èåß üôé:
i) α β+ ðåñéôôüò, ii) α β⋅ Üñôéïò
â) Áí á,â,ã äéáäï÷éêïß èåôéêïß áêÝñáéïé,
íá äåé÷èåß üôé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò åß-
íáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 3.
A2. Áí
x
3
y
= äåßîôå üôé
x 2y 1
3x y 8
−
=
−
.
A3. Aí
α β γ
β γ δ
= = äåßîôå üôé:
2 3
3
β δ γ δ δ
α γ
+ +
=
A4. Áí α γ< êáé 0 β δ< < íá äåé÷èåß üôé:
1 1
α γ
β δ
− < −
A5. á) Áí
3 2
x 2 τότε x 2x x 2> > − +
â) Áí x 1 y τότε xy 1 x y< < + < +
A6. ¸óôù ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,â,ã ìå
α β 0> > êáé γ 0> .
Íá äåßîåôå üôé:
α γ α
β γ β
+
<
+
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
3
2
Áí ï áñéèìüò ñ åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï
á åßíáé Üññçôïò, íá áðïäåßîåôå üôé ïé áñéèìïß
ρ α+ , ñá êáé
α
, ρ 0
ρ
≠ åßíáé Üññçôïé áñéèìïß.
Ëýóç
Áí ï áñéèìüò ρ α+ åßíáé ñçôüò áñéèìüò,Ýóôù ï ñ’,
ôüôå: ρ α ρ΄ α ρ΄ ρ+ = ⇔ = − Üôïðï, áöïý ρ΄ ρ−
åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï á Üññçôïò. Ïìïßùò, áí
ρα ρ΄= ñçôüò áñéèìüò, ôüôå
ρ΄
α
ρ
= Üôïðï áöïý
ï áñéèìüò
ρ΄
ρ
åßíáé ñçôüò êáé ï á Üññçôïò. ÔÝëïò
áí
α
ρ΄
ρ
= ñçôüò áñéèìüò, ôüôå α ρ ρ΄= ⋅ Üôïðï,
áöïý ρρ΄ ρητός= .
Áí åßíáé 0 α β 1< ≤ < íá áðïäåßîåôå üôé:
1 1
α β
α β
+ ≥ +
Ëýóç
1 1 1 1
α β α β
α β β α
+ ≥ + ⇔ − ≥ − ⇔
1
( )
( ) ( ) ( )( )
α β
α β αβ α β α β
αβ
αβ α β α β 0 α β αβ 1 0
−
⇔ − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔
⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥
¼ìùò áðü õðüèåóç α β α β 0≤ ⇔ − ≤ êáé
α 1, β 1< < ïðüôå αβ 1 αβ 1 0< ⇔ − < .
¢ñá ( )( )α β αβ 1 0− − ≥ .
Áí ê, ë åßíáé áêÝñáéïé èåôéêïß áñéèìïß,
ôüôå éó÷ýåé:
á. x 1> êáé κ λ> ôüôå κ λ
x x>
â. 0 x 1< < êáé κ λ> ôüôå κ λ
x x<
Ëýóç
á. ÅðåéäÞ ê > ë, åßíáé κ λ ν= + , ìå í öõóéêü.
Ôüôå:
( )λ ν λ λ ν λ λ ν
x x x x x 0 x x 1 0+
> ⇔ ⋅ − > ⇔ − >
ðïõ éó÷ýåé áöïý
λ
x 0 x 0> ⇔ >
êáé ν ν
x 1 x 1 x 1 0> ⇔ > ⇔ − >
â. Áðïäåéêíýåôáé üðùò ç (á).

13äõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü
ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ
ÁÊÅÑÁÉÏ ÁÑÉÈÌÏ
ÄõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìüÁ.2
¸óôù á ðñáãìáôéêüò áñéèìüò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ìå ν 2≥ . Ôüôå ïñß-
æïõìå:
ν
ν παράγοντες
α α α . . . α
−
= ⋅ , ν 2≥
êáé ãéá 1
ν 1 : α α= =
Áí åðéðëÝïí α 0≠ , ôüôå ïñßæïõìå 0
α 1= êáé ν
ν
1
α
α
−
=
Ðñïóï÷Þ: Áí α β= ôüôå ðÜíôá éó÷ýåé üôé êáé ν ν
α β= . Ôï áíôßóôñïöï üìùò
äåí éó÷ýåé áí á,â äåí åßíáé èåôéêïß áñéèìïß.
Ð.÷. ( )
2 2
3 3− = åíþ 3 3− ≠ .
Ìå ôïõò áíáãêáßïõò ðåñéïñéóìïýò éó÷ýïõí oé åðüìåíåò éäéüôçôåò:
i) ν µ ν µ
α α α +
⋅ = ii) ν µ ν µ
α : α α −
=
iii) ( )
µν ν µ
α α ⋅
= iv) ( )
νν ν
α β αβ⋅ =
v)
νν
ν
α α
ββ
 
=  
 
vi)
ν ν
α β
β α
−
   
=   
  
üðïõ í,ì áêÝñáéïé áñéèìïß
ÐáñáôçñÞóåéò:
Ïé éäéüôçôåò áõôÝò äåß÷íïõí ðùò êÜíïõìå ðïëëáðëëáóéáóìïýò êáé äéáéñÝóåéò ìå
äõíÜìåéò êáé ðþò õøþíïõìå äýíáìç óå äýíáìç.
Áðü ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò
ν
α ðñïêýðôïõí Üìåóá ôá åîÞò:
Ïé áñíçôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 êáé ç äýíáìç
0
0 äåí Ý÷ïõí íüçìá
Ïé èåôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 åßíáé ßóåò ìå ôï 0. ð.÷.
1960
0 0=
Ïé Üñôéåò äõíÜìåéò ôïõ α 0≠ åßíáé èåôéêïß áñéèìïß.
ð.÷. ( )
4
2− , ( )
4
3
−
− ,
4
7−
åßíáé èåôéêïß áñéèìïß,áöïý ïé åêèÝôåò åßíáé Üñôéïé.
Ïñéóìüò
Éäéüôçôåò
äõíÜìåùí

14 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2
A7. Íá õðïëïãéóôïýí ïé áêÝñáéïé áñéèìïß: x, y
ìå x 3, y 2> > áí éó÷ýåé: x 1 y 1
2 5 20− −
⋅ = .
A8. Áí ν Ν∈ (Öõóéêüò) íá äåé÷èåß üôé:
( ) ( ) ( ) ( )
ν ν 1 ν 2 ν 3
1 1 1 1 0
+ + +
− + − + − + − = .
A9. Íá ãñáöåß óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ ç ôéìÞ
ôçò ðáñÜóôáóçò:
( ) ( )
( )
1 22 6
1 1
2,5 5 2 0,4
Α
8 0,1
− −−
− −
⋅ ⋅ ⋅ −
=
− ⋅
A10. Áí ÷,y áêÝñáéïé áñéèìïß, íá âñåèïýí ïé
ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò
( ) ( )
x y3 5
Κ 2 1 1
2 2
= − − − + .
A11. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áêÝñáéï ÷ þóôå íá
éó÷ýåé:
i) ( )
100x 2
2 1
−
 − =
 
iii) ( )
4x 6
1 1
−
− =
ii) ( )
x 15
1 1
+
 − = −
 
iv) ( )
2x 10
1 1
+
− = −
A12. Aí *
α Ζ∈ êáé x, y,ω Ζ∈ ôüôå íá áðï-
äåé÷èåß üôé:
x y y ω ω xx y ω
y ω x
α α α
1
α α α
+ + +
     
⋅ ⋅ =     
     
A13. Áí α 0, x, y≠ áêÝñáéïé þóôå x
α αx=
êáé x y= − íá áðïäåé÷èåß üôé:
y
1
αy
α
 
= − 
 
A14. Áí 2
α α 1 0, α 0+ + = ≠ ôüôå íá áðïäåé÷-
èåß üôé:
i) 3
α 1=
ii) 2007 2007
α α 2−
+ =
2
Íá åöáñìüóåôå ôéò éäéüôçôåò ôùí äõ-
íÜìåùí óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò (ôá áðï-
ôåëÝóìáôá íá äïèïýí ìå èåôéêü åêèÝôç).
i)
( )
22 1 2
3 2 4
α β γ
α β γ
−
− −
− −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
ii)
3 4
2 2
λ 2λ
:
κ 5κ
− −
Ëýóç
i)
( )
22 1 2 4 2 4
7
3 2 4 3 2 4
α β γ α β γ
α
α β γ α β γ
−− − −
− − − −
⋅ ⋅
= =
ii)
3 4 3 2 3 2
2 2 2 4 2 4
λ 2λ λ 5κ λ 5κ 5λ
:
2κ 5κ κ 2λ κ 2λ
− − − −
− −
⋅
= ⋅ = =
1
Aí ( )
4
3 2
κ α β γ
−−
= êáé
( )
34 5
2 3 2
α βγ
λ
α β γ
−
−
=
íá âñåßôå ôçí ðáñÜóôáóç 3 2
κ : λ−
Ëýóç
( ) ( )
34 123 3 2 3 2 36 24 12
κ α β γ α β γ α β γ
− −− − − − = = = ⋅  
2 212 3 15 10 20
2
2 3 2 13 26
α β γ α α
λ
α β γ γ γ
− −− −
−
− −
   
= = =   
   
¢ñá
36 24 12 26
3 2 16 24 38
20
α β γ γ
κ : λ α β γ
α
− − −
− − −
−
= = ⋅

15ôáõôüôçôåò
ÔÁÕÔÏÔÇÔÅÓ
ÔáõôüôçôåòÁ.3
Ôáõôüôçôá åßíáé ìßá éóüôçôá ðïõ ðåñéÝ÷åé êÜðïéåò ìåôáâëçôÝò êáé éó÷ýåé ãéá
ïðïéåóäÞðïôå ôéìÝò ôùí ìåôáâëçôþí áõôþí. (Óå áíôßèåóç ìå ôçí åîßóùóç
ðïõ éó÷ýåé ãéá ïñéóìÝíåò ìüíï ôéìÝò).
Óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíáöÝñïíôáé ïé áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò.
( )
2 2 2
α β α 2αβ β+ = + +
( )
2 2 2
α β α 2αβ β− = − +
( )( ) 2 2
α β α β α β+ − = −
( )( ) ( )2
x α x β x α β x αβ+ + = + + +
( )
3 3 2 2 3
α β α 3α β 3αβ β+ = + + +
( )
3 3 2 2 3
α β α 3α β 3αβ β− = − + −
( )( )3 3 2 2
α β α β α αβ β+ = + − +
( )( )3 3 2 2
α β α β α αβ β− = − + +
êáé ãåíéêÜ:
( )( )ν ν ν 1 ν 2 ν 2 ν 1
α β α β α α β ... αβ β− − − −
− = − + + + +
×ñÞóéìåò åßíáé óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò êáé ïé ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:
Ôáõôüôçôá ôïõ Euller
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 23 3 3 1
α β γ 3αβγ α β γ α β β γ γ α
2
 + + − = + + − + − + −
 
ÅéäéêÜ: Áí α β γ 0+ + = Þ 3 3 3
α β γ α β γ 3αβγ= = ⇔ + + =
Ôáõôüôçôá ôïõ Lagrange
( )( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
α β γ δ αγ βδ αδ βγ+ + − + = −
üëåò ïé ôáõôüôçôåò áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ìå åêôÝëåóç ôùí ðñÜîåùí ðïõ
óçìåéþíïíôáé.
ÈÅÙÑÉÁ
Ïñéóìüò

A15. Ná êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:
i) ( ) ( )
2 2
4x 3α 3x 4α+ − −
ii) ( ) ( )
3 3
3α 2 3α 2+ − −
iii) ( )( ) ( )
2
2 4x 2 4x 4x 1+ − − −
iv) ( )( ) 2
x 1 x 1 x 5x− + − − − +
3
2
1 Áí αβγ 0≠ êáé α β γ αβγ+ + = ôüôå
α β β γ γ α
3 αβ βγ γα
γ α β
+ + +
+ + + = + +
Ëýóç
α β β γ γ α
3
γ α β
αβγ γ αβγ α αβγ β
3
γ α β
αβ 1 βγ 1 αγ 1 3 αβ βγ αγ
+ + +
+ + + =
− − −
= + + + =
= − + − + − + = + +
i) Ná äåßîåôå üôé:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 3 3
α β β γ γ α
3 α β β γ γ α
− + − + − =
= − − −
ii) Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( ) ( ) ( )
3 3 3
x 2 3x 4 6 4x 0− + − + − =
Ëýóç
i) EðåéäÞ ( ) ( ) ( )α β β γ γ α 0− + − + − = óýìöùíá
ìå ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Euller éó÷ýåé üôé:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 3 3
α β β γ γ α
3 α β β γ γ α
− + − + − =
= − − −
ii) Oìïßùò åðåéäÞ
( ) ( ) ( )x 2 3x 4 6 4x 0− + − + − = éó÷ýåé üôé:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 3 3
x 2 3x 4 6 4x
3 x 2 3x 4 6 4x
− + − + − =
= − − −
¢ñá ç áñ÷éêÞ åîßóùóç åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí:
( )( )( )3 x 2 3x 4 6 4x 0− − − = ⇔
x 2 0− = ή 3x 4 0− = ή 6 4x 0− =
x 2= Þ
4
x
3
= Þ
3
x
2
=
Áí ( )
2 2 2 2
α β γ α β γ+ + = + + êáé
αβγ 0≠ ôüôå
1 1 1
0
α β γ
+ + =
Ëýóç
Áðü ôç ãíùóôÞ ôáõôüôçôá
( ) ( )
2 2 2 2
α β γ α β γ 2 αβ βγ αγ+ + = + + + + + ,
ëüãù ôçò õðüèåóçò, ðñïêýðôåé üôé:
αβ βγ αγ 0+ + =
Ïðüôå äéáéñþíôáò ìå αβγ 0≠ Ý÷ïõìå:
1 1 1
0
α β γ
+ + =
A16. Ná áðïäåé÷ôïýí ïé ôáõôüôçôåò:
i) ( ) ( )
2 2
x y x y 4xy+ − − =
ii) ( ) ( ) ( )
2 2 22
α 2α 5 2α 3 α 4+ + − + = +
iii) ( )( ) ( )( )
3 4 4
α β α β α β 2αβ α β α β− + − + = + −
iv) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2 2 2
α β 4αβ α β α β 2αβ+ + − = − +

17ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí
ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùíÁ.4
Ðáñáãïíôïðïßçóç åßíáé ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá ìåôáôñÝðïõìå ìéá
áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç óå ãéíüìåíï üóï ôï äõíáôüí áðëïýóôåñùí ðáñáãü-
íôùí. Áõôü ãßíåôáé óõíÞèùò ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò, ôùí
ãíùóôþí ôáõôïôÞôùí Þ êáé ìå óõíäõáóìü áõôþí.
( )( )
παραγοντοποίηση2
επιµεριστική
x 1 x 1 x 1→− + −←
ð.÷. ( )2x 4 2 x 2− = − . ÊÜíáìå ðáñáãïíôïðïßçóç âãÜæïíôáò êïéíü ðáñÜ-
ãïíôá ôï 2.
ÐáñÜäåéãìá 1. Íá êÜíåôå ãéíüìåíá ôéò ðáñáóôÜóåéò
á. 3 2
xy 3xy 2x 6xy− + − â. 2 2
2x y 6xyω 8xy− +
Ëýóç:
á. Ðáñáôçñïýìå üôé åìöáíßæåôáé óå üëïõò ôïõò üñïõò ôï x.
Ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò Ý÷ïõìå:
( )3 2 3 2
xy 3xy 2x 6xy x y 3y 2 6y− + − = − + −
â. ¼ëïé ïé üñïé ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2xy.
Óõíåðþò:
( )2 2
2x y 6xyω 8xy 2xy x 3ω 4y− + = − +
ÐáñÜäåéãìá 2. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
á. xy 3x 2y 6− + − â. 3 2
3x x y 6x 2y− + −
Ëýóç
á. Ç ðáñÜóôáóç ÷ùñßæåôáé óå ïìÜäåò ðïõ Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá.
( ) ( ) ( )( )xy 3x 2y 6 x y 3 2 y 3 y 3 x 2− + − = − + − = − +
â. ( ) ( )3 2 3 2
3x x y 6x 2y 3x x y 6x 2y− + − = − + − =
( ) ( ) ( )( )2 2
x 3x y 2 3x y x 2 3x y= − + − = + −
3á. ÁíÜðôõãìá ôåôñáãþíïõ ( )
( )
2 2 2
2 2 2
α β α 2αβ β
α β α 2αβ β
+ = + +
− = − +
ÐáñÜäåéãìá 3á. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
i) 2 2
25x 20xy 4y− + ii) 2 2
9x 24xy 16y− +
iii) 2 2
16x 40xy 25y+ +
ÄéÜöïñåò
ìïñöÝò
ðáñáãïíôï-
ðïßçóçò
1ç ðåñßðôùóç:
Êïéíüò
ðáñÜãïíôáò
(áðü üëïõò
ôïõò üñïõò)
Ïìáäïðïßçóç
(Êïéíüò
ðáñÜãïíôáò
êáôÜ ïìÜäåò)
×ñÞóç
ôáõôïôÞôùí

( ) ( ) ( )
2 2 22 2
25x 20xy 4y 5x 2 5x 2y 2y 5x 2y− + = − ⋅ ⋅ + = −
ii) ( ) ( ) ( )
2 2 22 2
9x 24xy 16y 3x 2 3x 4y 4y 3x 4y− + = − ⋅ ⋅ + = −
iii) ( ) ( ) ( )
2 2 22 2
16x 40xy 25y 4x 2 4x 5y 5y 4x 5y+ + = + ⋅ ⋅ + = +
3â. ÄéáöïñÜ ôåôñáãþíùí ( )( )2 2
α β α β α β− = + −
ÐáñÜäåéãìá 3â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
i) 2 2
25x 4y− ii) 4 8
16x y−
Ëýóç
i) ( ) ( ) ( )( )
2 22 2
25x 4y 5x 2y 5x 2y 5x 2y− = − = − +
ii) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 24 8 2 4 2 4 2 4
222 4 2 2 4 2 2
16x y 4x y 4x y 4x y
4x y 2x y 4x y 2x y 2x y
− = − = + − =
 = + − = + + −
  
3ã. ¢èñïéóìá - ÄéáöïñÜ êýâùí ( )( )
( )( )
3 3 2 2
3 3 2 2
α β α β α αβ β
α β α β α αβ β
+ = + − +
− = − + +
ÐáñÜäåéãìá 3ã. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
i) 3
x 64− ii) 3
8x 27+
Ëýóç
i) ( )( ) ( )( )3 3 3 2 2 2
x 64 x 4 x 4 x 4x 4 x 4 x 4x 16− = − = − + + = − + +
ii) ( ) ( ) ( ) ( )( )33 3 2 2 2
8x 27 2x 3 2x 3 2x 2x 3 3 2x 3 4x 6x 9 + = + = + − ⋅ + = + − + 
3ä. Ôñéþíõìï 2ïõ
âáèìïý ( ) ( )( )2
x α β x αβ x α x β+ + + = + +
Èá ãíùñßóïõìå, áñãüôåñá, Ýíá ôñüðï ðéï ãåíéêü üôáí èÝëïõìå íá ðáñáãïíôïðïéÞóïõìå Ýíá
ôñéþíõìï 2ïõ
âáèìïý, äçëáäÞ ìßá ðáñÜóôáóç ôçò ìïñöÞò 2
αx βx γ, α 0+ + ≠ .
Ðñïò ôï ðáñüí ðåñéïñéæüìáóôå óå ôñéþíõìá ôçò ìïñöÞò: 2
x κx λ+ + , ïðüôå ìå ÷ñÞóç ôçò
ôáõôüôçôáò: ( ) ( )( )2
x α β x αβ x α x β+ + + = + + , áíáæçôïýìå äýï áñéèìïýò á,â ðïõ íá Ý÷ïõí Ü-
èñïéóìá ê êáé ãéíüìåíï ë.

19ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí
ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
ÐáñÜäåéãìá 3ä. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá
i) 2
x 5x 6− + ii) 2
x 4x 3+ + iii) 2
x x 2− −
Ëýóç
i) Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2, 3− − áöïý ( ) ( )2 3 5− + − = − êáé ( ) ( )2 3 6− ⋅ − = .
¢ñá ( )( )2
x 5x 6 x 2 x 3− + = − −
ii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 1,3 áöïý 1 3 4+ = êáé 1 3 3⋅ = .
¢ñá: ( )( )2
x 4x 3 x 1 x 3+ + = + +
iii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2,1− áöïý ( )2 1 1− + = − êáé ( )2 1 2− ⋅ = − .
¢ñá: ( )( )2
x x 2 x 2 x 1− − = − +
ÐáñÜäåéãìá 4. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò
i)
2
2x 18− ii) 2 2
x 2xy y 9− + − +
iii) 2 2
x y x 2xy y− + − + iv) 9 7 5 3
x x x x− − +
Ëýóç
i) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2
2x 18 2 x 9 2 x 3 2 x 3 x 3− = − = − = − +
ii) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2 2
x 2yx y 9 9 x 2xy y 9 x y 3 x y
3 x y 3 x y 3 x y 3 x y
− + − + = − − + = − − = − − =
= − − + − = + − ⋅ − +      
iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
22 2
x y x 2xy y x y x y x y 1 x y x y 1 x y− + − + = − + − = − + − = − + −  
iv) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
9 7 5 3 3 6 4 2 3 4 2 2
3 2 4 3 2 2 2
2 23 2
x x x x x x x x 1 x x x 1 x 1
x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1
x x 1 x 1 x 1
 − − + = − − + = − − − = 
= − − = − + − =
= − + +
ÐáñÜäåéãìá 4â (ÓðÜóéìï Þ Ðñïóèáöáßñåóç üñïõ)
Íá ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò
i) 2 2
x 2xy 3y+ − ii) 4 2
x 5x 9+ +
Ëýóç
i) ÓðÜìå ôï 2
3y− óå 2 2
y 4y−
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 22 2 2 2 2
x 2xy 3y x 2xy y 4y x y 2y x y 2y x y 2y
x 3y x y
+ − = + + − = + − = + + + − =
= + −
ii) Ðñïóèáöáéñïýìå ôï 2
x
Óõíäõáóìüò
ôùí
ðáñáðÜíù
ðåñéðôþóåùí

( )
( )( ) ( )( )
24 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2 2
x 5x 9 x 5x 9 x x x 6x 9 x x 3 x
x 3 x x 3 x x x 3 x x 3
+ + = + + + − = + + − = + − =
= + + + − = + + − +
A17. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) ( )4x x 2y x 2y− − +
ii) 2 2 2 2
5α βx γy γx 5α βy+ − −
iii) 2 2
36x 49y−
iv) 4 4
16x y−
v) 2
25x 20x 4− +
vi) 3 3
α β 27−
vii) 2
ω ω 2− −
viii) 2
y 6y 40+ −
ix) 4 2 2 4
x x y y+ +
x) 2 2
x 6xy 8y+ +
A18. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) 2 2
y 2x x 1+ − −
ii) 2
5x 10x 15+ −
iii) ( ) ( ) ( )( )
2 2
x 5 x 2 4 x x 5+ − + − +
iv) 5 2
x x+
v) ( )( ) ( )
2
2x 1 x 1 9 2x 1+ − − +
vi) ( ) ( ) ( )
23 2
α 1 2 α 1 α 1− − − − −
A19. Oìïßùò:
i) 2 1
λ λ
4
− +
ii) ( ) ( )
2 22 2 2 2
13x 5y 12x 4y− − +
iii) ( )4 2 2 2 2 2
γ 1 α β γ α β− + +
iv) 3 2
x 10x 9x− +
v) 7 4 3
x 8x x 8+ − −
vi) ( ) ( ) ( ) ( )
6 4 2 3
x 5 x 6 2 x 6 x 5+ + − − − +
A20. Ná ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðá-
ñáóôÜóåéò:
i) ( ) ( ) ( )α α 3y β x α x α 3y− + − − −
ii) 2 2 3
αβ 2α 2β 4αβ− + −
iii) 3
375x 3−
iv) ( ) ( )
3 3
x 2y 2x y+ − −
v) 3 2
x x xy x y 1− + + − −
vi) ( ) ( ) ( )
3 3 3
x y y z z x− + − + −
A21. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
x y z ω x y z ω
z z ω z z ω
− + − − − +
+ − − +
ii) 2 2 2 2 2 2
α β αβ β γ βγ γ α γα 2αβγ+ + + + + +
iii) 2 2 2 2 2 2
α β αβ β γ βγ γ α γα− + − + −
iv) ( )( )
22 2 2 2
x y x y x y+ + +

21êëÜóìá (ñçôÞ ðáñÜóôáóç)
ÊËÁÓÌÁ
(ÑÇÔÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ)
ÊëÜóìá (ÑçôÞ ÐáñÜóôáóç)Á.5
¸íá êëÜóìá
Α
Κ
Π
= , Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ìüíïí üôáí ï
ðáñïíïìáóôÞò åßíáé äéáöïñåôéêüò áðü ôï 0 . ( Π 0≠ )
ð.÷. ôï êëÜóìá
2x 1
x 1
−
+
ïñßæåôáé ìüíïí üôáí x 1 0+ ≠ äçë. x 1≠ − .
Ïé ôéìÝò ãéá ôéò ïðïßåò ïñßæåôáé Ýíá êëÜóìá áðïôåëïýí ôï ðåäßï (óýíïëï)
ïñéóìïý ôçò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò.
¼óïí áöïñÜ óôéò ðñÜîåéò êëáóìáôéêþí ðáñáóôÜóåùí éó÷ýåé üôé êáé óôéò
ðñÜîåéò ôùí áñéèìçôéêþí êëáóìÜôùí. Ãéá íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá áöáéñÝó-
ïõìå êëáóìáôéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðñÝðåé íá ôéò ìåôáôñÝøïõìå Ýôóé þóôå íá
Ý÷ïõí ôïí ßäéï ðáñïíïìáóôÞ (ïìþíõìåò). Áõôü ãßíåôáé áíáëýïíôáò ôïõò
ðáñïíïìáóôÝò óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí.Ôüôå ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí
åßíáé ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ðáñáãüíôùí (êïéíþí êáé ìç êïéíþí), ï êáèÝ-
íáò ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç ðïõ óçìåéþíåôáé.
ð.÷.
( ) ( ) ( )( )2
3 4 5 3 4 5
2x 2 3x 3 2 x 1 3 x 1 4 x 1 x 14x 4
+ + = + − =
+ − + − + −−
(Åäþ Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí åßíáé ( )( )12 x 1 x 1+ − )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
18 x 1 16 x 1 15
12 x 1 x 1 12 x 1 x 1 12 x 1 x 1
− +
= + − =
+ − + − + −
( ) ( )
( )( ) ( )( )
18 x 1 16 x 1 15 18x 18 16x 16 15
12 x 1 x 1 12 x 1 x 1
− + + − − + + −
= = =
+ − + −
( )( )
( )
( )( )
17 2x 134x 17
12 x 1 x 1 12 x 1 x 1
−−
= =
+ − + −
Ðñïóï÷Þ! Âñßóêïõìå ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò óôçí
áñ÷éêÞ ôçò ìïñöÞ, äçëáäÞ ðñéí áðü ïðïéáäÞðïôå ðéèáíÞ áðëïðïßçóç.
ð.÷. ãéá ôï êëÜóìá 2
2x 2
x 1
−
−
, ðåäßï ïñéóìïý åßíáé ôï { }R 1,1− − êáé ü÷é áõôü
ðïõ “öáßíåôáé” íá åßíáé ìåôÜ ôçí áðëïðïßçóç
( )
( )( )2
2 x 12x 2 2
x 1 x 1 x 1x 1
−−
= =
− + +−
, äçë. ôï { }R 1− − .
ÑçôÞ
ðáñÜóôáóç

A22. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:
i)
2
2 2
4x x 2y
,
3y 2x 3y 2x4x 9y
3
x y
2
+ +
− +−
≠ ±
iv)
x y
2
y x
, x, y 0 και x y
1 1
x y
+ +
≠ ≠ −
+
A23. Ná ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:
i)
2 2
2 2
x x x 5x 6
x 3x 2 x 3x
+ + +
⋅
+ + +
ii)
2 2
2 2 2
x 36 x 6x
:
α αy α y
− +
− −
1 Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ïñßæåôáé ç ðá-
ñÜóôáóç
( )
2
2x x 1
A
x 1 x x 2
+
= +
+ −
Ëýóç
H ðáñÜóôáóç Á Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéè-
ìïý üôáí
x 1 0+ ≠ êáé ( )x x 2 0− ≠ ⇔
x 1 0+ ≠ êáé x 0≠ êáé x 2 0− ≠ ⇔
x 1≠ − êáé x 0≠ êáé x 2≠ .
¢ñá ç ðáñÜóôáóç Á ïñßæåôáé ãéá êÜèå
{ }x R 1,0,2∈ − − Þ (ìå ÷ñÞóç äéáóôçìÜôùí)
( ) ( ) ( ) ( )x , 1 1,0 0,2 2,∈ −∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞ .
Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò
i)
2
2
x 6x 9
x 3x
+ +
+
ii)
2
2
ω 8ω 16
ω 16
− +
−
Ëýóç
i) ( )
( )
22
2
x 3x 6x 9 x 3
x x 3 xx 3x
++ + +
= =
++
ii) ( )
( )( )
22
2
ω 4ω 8ω 16 ω 4
ω 4 ω 4 ω 4ω 16
−− + −
= =
− + +−
A24. Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá
( ) ( )
( ) ( )
α 5α -9β + 2β α -3β
2β 4α -5β -3α 3β -α
A25. Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
α β γ
A = + +
α -β α - γ β - γ β -α γ -α γ -β
A26. Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:
2 2 2 2 2 2
α -β - 2βγ β - γ - 2αγ γ -α - 2αβ
Α = + + = 0
α +β β + γ α + γ
A27. Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:
4 4 4
3 3 3 3 3 3
α β γ
Α = + + = 0
β + γ -3αβγ γ + α -3αβγ α +β -3αβγ
2

23áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý
ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ
ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ
Áí ÷ åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ç áðüëõôç ôéìÞ ôïõ óõìâïëßæåôáé ìå x
êáé ïñßæåôáé ùò åîÞò:
x, αν x 0
x
x, αν x 0
≥
= 
− <
ð.÷.
1 1
3 3, , 0,4 0,4
2 2
= − = = ê.ë.ð.
Áðü ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò ðñïêýðôåé áìÝóùò üôé:
Áí x 0= ôüôå x 0= , åíþ áí x 0≠ ôüôå x 0> äçëáäÞ x 0≥ ãéá êÜèå
ðñáãìáôéêü áñéèìü.
ÃåùìåôñéêÜ, ç áðüëõôç ôéìÞ åíüò áñéèìïý á ðáñéóôÜíåé ôçí áðüóôáóç
ôçò åéêüíáò ôïõ ðïõ åßíáé óôïí Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí
áðü ôï 0 ôïõ Üîïíá.
Áðüóôáóç äýï áñéèìþí óôïí Üîïíá x x′
Åßíáé öáíåñü üôé ç áðüóôáóç äýï áñéèìþí ðÜíù óôïí Üîïíá x x′ åßíáé
ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü ôïí ìåãáëýôåñï.
¸ôóé ð.÷. ç áðüóôáóç ôùí áñéèìþí 4 êáé -1 åßíáé ßóç ìå ( )4 1 5− − = .
Ìå ôïí ßäéï ôñüðï âëÝðïõìå üôé ç áðüóôáóç d äýï ïðïéoíäÞðïôå áñéè-
ìþí á,â ðÜíù óôïí Üîïíá åßíáé ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü
ôïí ìåãáëýôåñï, äçëáäÞ åßíáé ßóç ìå á-â (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï á) Þ â-
á (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï â).
Ôï óõìðÝñáóìá áõôü óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé:
α β, αν α β α β, αν α β 0
d
β α, αν α β β α, αν α β 0
− ≥ − − ≥ 
= = 
− < − − < 
Áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïýÁ.6
ÈÅÙÑÉÁ
Ïñéóìüò
ÃåùìåôñéêÞ
åñìçíåßá

ÐáñáôçñÞóåéò
i) EðåéäÞ α 0≥ êáé β 0≥ , óõìðåñáßíïõìå üôé ç ó÷Ýóç: α β 0+ = , åðáëçèåýåôáé üôáí êáé
ìüíï üôáí α 0= êáé β 0= , äçëáäÞ éó÷ýåé: α β 0 α 0+ = ⇔ = êáé β 0= .
Áõôü öõóéêÜ óçìáßíåé üôé ç ðáñÜóôáóç α β+ åßíáé äéáöïñåôéêÞ áðü ôï ìçäÝí üôáí êáé
ìüíï üôáí ïé á êáé â äåí åßíáé ôáõôü÷ñïíá ßóïé ìå ôï ìçäÝí.
ii) Ãéá ôçí ôñéãùíéêÞ áíéóüôçôá éó÷ýåé: x y x y+ = + üôáí ïé áñéèìïß x,y åßíáé ïìüóçìïé,
êáé x y x y− = + üôáí ïé áñéèìïß åßíáé åôåñüóçìïé.
iii) Oé ó÷Ýóåéò x θ= êáé x θ≤ ìå θ 0< åßíáé áäýíáôåò, åíþ ç x θ≥ éó÷ýåé ãéá êÜèå
x R∈ .
Ðáñáôçñïýìå üôé, óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò, ï ôýðïò áõôüò ðáßñíåé ôç
ìïñöÞ:
d α β απόσταση των αριθµών α,β= − =
Éäéüôçôåò
Ãéá ôçí áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ïé ðéï êÜôù éäéüôçôåò.
1) x x , x R− = ∈ 2) x x x− ≤ ≤ 3)
2 2
x x=
4) x y x y , x, y R⋅ = ⋅ ∈ . ÃåíéêÜ: 1 2 ν 1 2 νx x ...x x x ... x⋅ = ⋅
5) *
xx
, x R, y R
y y
= ∈ ∈ 6)
κκ *
x x , κ Ζ= ∈
7) x y x y x y− ≤ + ≤ + (ÔñéãùíéêÞ áíéóüôçôá)
ÃåíéêÜ: 1 2 ν 1 2 νx x ... x x x ... x+ + + ≤ + + +
8) x θ, θ 0 x θ ή x θ= > ⇔ = − = 9) x θ, θ 0 θ x θ≤ > ⇔ − ≤ ≤
10) x θ, θ 0 x θ ή x θ≥ > ⇔ ≤ − ≥

25áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý
ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ
ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ
3
2
1 Íá áðïäåßîåôå ôçí éóïäõíáìßá:
α α α α α 0+ = − ⇔ =
Ëýóç
( )α α α α+ = − − åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α
áðü ôï -á
α α α α− = − åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α áðü
ôï á.
¢ñá ç éóüôçôá α α α α+ = − óçìáßíåé üôé ï
α éóáðÝ÷åé áðü ôï -á êáé ôï á, äçëáäÞ âñß-
óêåôáé óôï ìÝóï ôçò áðüóôáóçò ( )d α,α− êáé
óõíåðþò α 0 α 0= ⇔ = .
Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò
áðüëõôçò ôéìÞò ôéò ðáñáóôÜóåéò:
i) A 1 x x 1= − + − ii) B 2x 1 3x 1= − + −
Ëýóç
i) Aí 1 x 0 x 1− ≥ ⇔ ≤ ôüôå 1 x 1 x− = − êáé
A 1 x x 1 0= − + − =
Áí 1 x 0 x 1− < ⇔ > ôüôå 1 x 1 x− = − + êáé
A 1 x x 1 2x 2= − + + − = −
¢ñá
0 , αν x 1
A
2x 2, αν x 1
≤
= 
− >
ii) Aí
1
2x 1 0 x
2
− ≥ ⇔ ≥ ôüôå 2x 1 2x 1− = −
êáé B 2x 1 3x 1 5x 2= − + − = −
Áí
1
2x 1 0 x
2
− < ⇔ < ôüôå 2x 1 2x 1− = − +
êáé B 2x 1 3x 1 x= − + + − =
¢ñá
1
5x 2, αν x
2
B
1
x , αν x
2

− ≥
= 
 <

Áí
α 4
2
α 1
+
=
+
äåßîôå üôé α 2=
Ëýóç
α 4α 4
2 2 α 4 2 α 1
α 1 α 1
++
= ⇔ = ⇔ + = +
+ +
( )α 4 2 α 1+ = + Þ ( )α 4 2 α 1+ = − + ⇔
α 4 2α 2+ = + Þ α 4 2α 2+ = − − ⇔
α 2 ή α 2 α 2= = − ⇔ =
A28. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i)
1 x 4
A x
x 2 x 3
− −
= +
+ − −
, áí 1 x 0− ≤ ≤
ii)
2
2 2
x 2 x 2 x
B
x 4 x 4 x 4
+ −
= +
− − +
A29. Íá åîåôÜóåôå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ï-
ñßæåôáé êÜèå ðáñÜóôáóç êáé íá ôç ãñÜ-
øåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò áðüëõôçò
ôéìÞò.
i)
x 1
A
x 1 1
−
=
− −
ii)
1
B
x 2 3 x
=
− −
A30. Áí ( )d x, 2007 3> íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò
ôéìÝò ôïõ x.

Ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÁ.7
¸óôù α 0≥ . ÏíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå α , ôïí
ìç áñíçôéêü áñéèìü â, Ýôóé þóôå 2
β α= .
ÄçëáäÞ
2
α β β α, α,β 0= ⇔ = ≥
Ìðïñïýìå åðïìÝíùò íá ðïýìå üôé ç α , α 0≥ ðáñéóôÜíåé ôç ìÞ áñíçôéêÞ ëýóç
ôçò åîßóùóçò 2
x α= . Ãåíéêüôåñá:
Áí α 0≥ , ïíïìÜæïõìå íéïóôÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå ν
α , ôïí ìç áñíçôéêü áñéèìü â þóôå
ν
β α= , üðïõ í èåôéêüò áêÝñáéïò äçë. νν
α β β α, α,β 0= ⇔ = ≥ .
¼ðùò êáé ðñïçãïýìåíá, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç ν
α , α 0≥ ðáñéóôÜíåé ôç ìç áñíçôéêÞ ëýóç ôçò
åîßóùóçò ν
x α= . ÓõíÞèùò ãñÜöïõìå: 1 2
α α, α α= = , ð.÷. 3
0 0, 4 2, 27 3= = = ê.ë.ð.
Óôçí Üëãåâñá äåí áíáöåñüìáóôå ìüíï óå ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò áñéèìþí áëëÜ êáé áëãåâñéêþí ðáñáóôÜ-
óåùí. ÔÝôïéåò ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò åßíáé ð.÷. ïé: x 1+ ,
2
x 2
x 3
−
−
, x 2y 5− + ê.ë.ð. Óå êÜèå ðåñßð-
ôùóç, ãéá íá Ý÷åé íüçìá ç ôåôñáãùíéêÞ ñßæá, ðñÝðåé ç ðáñÜóôáóç ðïõ âñßóêåôáé ìÝóá óôï ñéæéêü (äçëáäÞ
ç õðüññéæç ðïóüôçôá) íá åßíáé ìåãáëýôåñç Þ ßóç áðü ôï ìçäÝí.
Éäéüôçôåò
1. Áí α 0≥ êáé *
ν Ν∈ ôüôå ( )
ν
ν
α α= êáé ν ν
α α= .
2. 2
α α , α R= ∈ . Ãåíéêüôåñá: 2ν 2ν
α α , α R= ∈ êáé 2ν 1 2ν 1
α α, α 0+ +
= ≥ .
3. Áí α,β 0≥ êáé *
ν Ν∈ ôüôå ννν βα β α ⋅⋅ = .
Áðü ôçí éäéüôçôá áõôÞ ðñïêýðôåé üôé: νν να β α β⋅ = ⋅ êáé ( )
κ
ν κ ν
α α= , *
k N∈ .
4. Áí α 0≥ , β 0> êáé *
ν Ν∈ ôüôå:
ν
ν
ν
α α
β β
= .
5. Áí α 0≥ êáé í, ì, ê *
Ν∈ ôüôå:
µ νµν
α α= êáé
νκ νµκ µ
α α= .
ÔåôñáãùíéêÞ
ñßæá
í-ïóôÞ
ñßæá
ÄõíÜìåéò ìå ñçôü åêèÝôç
Áí á > 0, ì åßíáé áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ïñßæïõìå:
µ
ν µν
α α=
Áí á = 0 ôüôå ãéá ì, í èåôéêïýò áêÝñáéïõò ïñßæïõìå
µ
ν
0 0= .

27ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí
ÑÉÆÅÓ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ
2
1 Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i.
2 2
x x 4x 4
Α
x x 2
+ +
= −
+
, áí 2 x 0− < <
ii. ( ) ( )2 44 2
B 5 x 2 3 x 3 10 x 2x 1= − − + + + + ,
áí 1 x 2− < <
Ëýóç
i.
( )2
x x 2 x x 2
A
x x 2 x x 2
+ +
= − = −
+ +
Áðü õðüèåóç üìùò x 0 x x< ⇔ = − êáé
x 2 x 2 0 x 2 x 2> − ⇔ + > ⇔ + = +
Üñá
x x 2
A 1 1 2
x x 2
− +
= − = − − = −
+
ii. B 5 x 2 3 x 3 10 x 1= − − + + +
Áðü õðüèåóç üìùò Ý÷ïõìå 1 x 2− < < .
Ìå ( )x 2 x 2 0 x 2 x 2< ⇔ − < ⇔ − = − −
Ìå x 1> − ôüôå:
x 3 x 3 0 x 3 x 3> − ⇔ + > ⇔ + = +
x 1 x 1 0 x 1 x 1> − ⇔ + > ⇔ + = +
¢ñá ( ) ( ) ( )B 5 x 2 3 x 3 10 x 1
5x 10 3x 9 10x 10 2x 11
= − − − + + + =
= − + − − + + = +
á. Íá ìåôáôñÝøåôå ôéò ðáñáêÜôù ðáñá-
óôÜóåéò óå éóïäýíáìåò ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:
i.
4
3
ii. 3
1
2
iii.
5
2 1−
iv.
3
3 2
−
+
â. Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò óôçí ðáñÜóôáóç:
4 5 3
3 2 1 3 2
+ −
− +
Ëýóç
á.i. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìç-
ôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå
ôï 3 âñßóêïõìå:
( )
2
4 4 3 4 3 4 3
33 3 3 3
= = =
⋅
ii. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìçôÞ
êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå ôï
3 2
2 âñßóêïõìå:
3 3 32 2 2
33 3 23 3
1 2 2 2
22 2 2 2
= = =
⋅
iii. Áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéè-
ìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå
ôï 2 1+ ôüôå èá ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞ-
óïõìå óôïí ðáñáíïìáóôÞ ôçí ôáõôüôçôá ôçò
äéáöïñÜò ôåôñáãþíùí. Âñßóêïõìå Ýôóé:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
5 5 2 1 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
5 2 1
5 2 1
2 1
+ +
= = =
− − ⋅ + −
+
= = +
−
.
Ç ðáñÜóôáóç 2 1+ , ðïõ åßíáé âïçèçôéêÞ óôçí
ìåôáôñïðÞ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ êëÜóìáôïò, ï-
íïìÜæåôáé óõæõãÞò ðáñÜóôáóç ôçò 2 1− .
ÐáñáôçñÞóôå üôé ïé äýï óõæõãåßò ðáñáóôÜóåéò
2 1+ êáé 2 1− äéáöÝñïõí ìüíï êáôÜ ôï
åíäéÜìåóï ðñüóçìï.
iv. Åäþ ç óõæçãÞò ðáñÜóôáóç ôïõ ðáñáíïìáóôÞ
åßíáé ç 3 2− . ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôïí á-
ñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò
ìå 3 2− âñßóêïõìå:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3 3 2
3 2 3 2 3 2
3 3 2 3 3 2
3 23 2
3 3 2
− − −
= =
+ + ⋅ −
− − − −
= = =
−−
= − −

â. ×ñçóéìïðïéþíôáò ôá ðáñáðÜíù âñßóêïõìå:
4 5 3
3 2 1 3 2
+ − =
− +
A31. Íá âñåßôå ðüôå ïñßæïíôáé ïé ðáñáêÜôù
ðáñáóôÜóåéò êáé íá ôéò áðëïðïéÞóåôå:
i. 16x 7 x 25x− +
ii. 2 2
4α β 6 α β 7α β+ −
iii. 2 2
x y x 4y 16x y− +
iv. 4 2
x 2x 1− +
A32. Íá áðïëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:
i. ( ) ( )
2 2
A 2 2 2 2= − + −
ii. ( ) ( )
2 2
B 3 2 3 2
− −
= − + +
A33. Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜ-
óôáóçò:
2 2
A x 4xy y= − + ãéá x 3 2= + êáé
y 2 3= −
A34. i. Õðïëïãßóôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:
( )
2
2 3 5+ êáé ( )
2
2 3 5−
ii. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
49 12 5 49 12 5− + +
A35. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:
i. 2 8 3 18 4 32 5 50 72− + − +
ii.
3 4 8 3
5 12 27 10
4 3 9 16
− + −
A36. Íá ãñÜøåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ìå ôç âïÞ-
èåéá ìéáò ìüíï ñßæáò:
i) 23
3β
4α , α,β 0
2α
> ii) 4 3
3 3
iii)
5 3
32 2 8 2
iv)
2 3
3 4
2 3
x y y
, x, y 0
y x x
⋅ ⋅ >
A37. Ná õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç:
A 18 27 3 3 3 3 3 3= + ⋅ + + ⋅ − +
A38. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) ( ) ( )
2 4 24
A 2 x 3 x 2 3 x 4x 4= + − + + − + ,
áí x 2≤
ii) { }
2
6 6x 2x 1
B 2 x , x R 1
x 1
− +
= − ∈ −
−
A39. Ná áðïäåßîåôå üôé:
i) 3
3 2 1 2+ > +
ii) Aí α 0> ôüôå 2 α 1 α 2 α+ > + +
iii) Aí x,y 0> ôüôå:
2 2
x y x y
2 2
+ +
≥
iv)
1
12 7 3 16 8 3 3 1
2
− + − = −
A40. Ná ìåôáôñÝøåôå ôá ðáñáêÜôù êëÜóìáôá
óå éóïäýíáìá ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:
i)
4
3 2
ii) 4
3 3
27
iii)
2
2 2 3−
iv)
1
3 2 1+ −
v)
3
33
6
3 2−
( ) ( )4 3
5 2 1 3 3 2
3
5
8 2 3 5
3
= + + − − =
= − +

29ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïßÁ.8
Ïñßæïõìå ùò ôüîï 1ï
(ìéáò ìïßñáò) ôï
1
360
ôïõ êýêëïõ êáé
áíôßóôïé÷á, ãùíßá 1ï
ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå
ôüîï 1ï
.
Ïñßæïõìå ôüîï 1 rad (åíüò áêôéíßïõ) ôï ôüîï ðïõ Ý÷åé
ìÞêïò ßóï ìå ôçí áêôßíá ôïõ êýêëïõ. Áíôßóôïé÷á ïñßæïõ-
ìå ãùíßá 1rad ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå
ôüîï 1rad.
Éó÷ýåé:
µα
π 180
= , üðïõ á: áêôßíéá, ì: ìïßñåò êáé π 3,14
(áëëÜ äåí ôï áíôéêáèéóôïýìå ðïôÝ).
Áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ åýêïëá ðñïêýðôåé üôé:
µ
α π
180
= êáé
α
µ 180
π
= ⋅
ð.÷. Ýíá ôüîï 300
åßíáé
30 π
α π
180 6
= = áêôßíéá, åíþ Ýíá ôüîï
π
4
áêôéíßùí åßíáé ßóï
ìå
π
4µ 180 45
π
= ⋅ = ìïßñåò.
¸óôù è ïîåßá ãùíßá ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ.
Ïñßæïõìå:
Çìßôïíï ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράςβ
ηµθ
α Μήκος της υποτείνουσας
= =
Óõíçìßôïíï ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράςγ
συνθ
α Μήκος της υποτείνουσας
= =
ÅöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράςβ
εφθ
γ Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράς
= =
ÓõíåöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράςγ
σφθ
β Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς
= =
ÌïíÜäåò
ìÝôñçóçò
ôüîùí -
ãùíéþí
Ç ó÷Ýóç ðïõ
óõíäÝåé
áêôßíéá êáé
ìïßñåò
Ôñéãùíïìåôñé-
êïß
áñéèìïß
ïîåßáò
ãùíßáò

Ãéá ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ìéáò ïîåßáò ãùíßáò (êáé ü÷é ìüíï) áðïäåéêíýåôáé üôé éó÷ýïõí ïé
ðáñáêÜôù âáóéêïß ôýðïé:
á.
2 2
2 2
2 2
ηµ θ 1 συν θ
ηµ θ συν θ 1
συν θ 1 ηµ θ
 = −
+ = ⇔ 
= −
â.
1
εφθ
σφθ
εφθ σφθ 1
1
σφθ
εφθ

=
⋅ = ⇔ 
 =

ã.
ηµθ
εφθ
συνθ
= êáé
συνθ
σφθ
ηµθ
=
ä. 2
2
1
1 εφ θ
συν θ
+ = êáé 2
2
1
1 σφ θ
ηµ θ
+ =
Áðü ôïõò âáóéêïýò áõôïýò ôýðïõò (ôáõôüôçôåò) ðñïêýðôïõí åýêïëá ïé ðáñáêÜôù ôýðïé ðïõ åêöñÜ-
æïõí ôï çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ìéáò ãùíßáò, óõíáñôÞóåé ôçò åöáðôïìÝíçò êáé ôçò óõíåöáðôïìÝíçò.
i.
2
2
2
εφ θ
ηµ θ
1 εφ θ
=
+
ii. 2
2
1
συν θ
1 εφ θ
=
+
iii. 2
2
1
ηµ θ
1 σφ θ
=
+
iv.
2
2
2
σφ θ
συν θ
1 σφ θ
=
+
Áí óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ ìéá ïîåßá ãùíßá Â åß-
íáé 300
(ó÷. 1) ôüôå
α
β
2
= êáé áðü Ðõèáãüñåéï èåþ-
ñçìá
α 3
γ
2
= , åíþ áí 0
Β 45= (ó÷. 2) ôüôå
α 2
β γ
2
= = . Ïðüôå ìå ôç âïÞèåéá ôùí ïñéóìþí, õ-
ðïëïãßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôùí 300
, 450
êáé 600
. Ôá áðïôåëÝóìáôá
âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß ôùí
30ï
, 45ï
êáé 60ï

Ôñéãùíïìåôñéêü êýêëï ëÝìå ôïí ðñïóáíá-
ôïëéóìÝíï* êýêëï ìå êÝíôñï ôçí áñ÷Þ Ï ôùí
áîüíùí, áêôßíá ßóç ìå ôç ìïíÜäá êáé áñ÷Þ
ìÝôñçóçò ôùí ôüîùí ôï óçìåßï ( )Α 1, 0 .
Óçìåßùóç:
Ãéá ôïí ðñïóáíáôïëéóìü* ôïõ ôñéãùíïìåôñéêïý êý-
êëïõ, ùò èåôéêÞ öïñÜ ëáìâÜíåôáé ç áíôßèåôç ôçò
êßíçóçò ôùí äåiêôþí ôïõ ñïëïãéïý.
Ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï AΜ åßíáé ï äñüìïò
ðïõ äéáíýåé åðß ôïõ êýêëïõ êéíçôü, ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Á êéíåßôáé êáôÜ ôç
èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ öïñÜ êáé óôáìáôÜ óôï Ì (áöïý åíäå÷ïìÝíùò äéáãñÜøåé
ðñïçãïýìåíá Ýíáí áñéèìü ðåñéóôñïöþí).
ÔñéãùíïìåôñéêÞ ãùíßá ˆΑΟΜ åßíáé ç åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï
AΜ .
Áðü üëá ôá ôüîá AΜ (Üðåéñá) åðéëÝãïõìå óõíÞèùò ùò “åêðñüóùðï” ôçò åðßêåíôñçò ãùíßáò ôï
ìéêñüôåñï èåôéêü ôüîï AΜ (÷ùñßò íá åßíáé áðáñáßôçôï) ôï ïðïßï êáëïýìå ðñùôåýïí ôüîï
Áí ôï ðñùôåýïí AΜ Ý÷åé ìÝôñï á rad Þ ì ìïßñåò, ôüôå ôï ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ AΜ èá Ý÷åé
ôç ìïñöÞ:
2κπ α+ óå áêôßíéá Þ 0 0
360 κ µ+ óå ìïßñåò , üðïõ κ Ζ∈ .
ÄçëáäÞ áí è rad (óõíçèßæåôáé ùò ìïíÜäá ôï áêôßíéï) ôï ìÝôñï ôïõ ðñùôåýïíôïò AΜ êáé x ôï
ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ AΜ ôüôå:
x 2κπ θ, κ Ζ= + ∈
Äýï ôüîá ðïõ Ý÷ïõí ôï ßäéï ôÝëïò äéáöÝñïõí êáôÜ 2êð.
ÅöáñìïãÞ:
Íá âñåèïýí ôá ôüîá ðïõ ôåëåéþíïõí óôï
i. ( )Α 1, 0 ii. ( )Α' 1, 0− iii. ( )Β 0, 1 iv. ( )Β' 0, 1−
Ëýóç
i. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï 0, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ, κ Ζ∈ .
ii. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï ð, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ π, κ Ζ+ ∈ .
iii. Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:
π
2κπ , κ Ζ
2
+ ∈ êáé
3π
2κπ , κ Ζ
2
+ ∈ ãéá ôï iv.
Ãåíßêåõóç
ôçò Ýííïéáò
ôïõ ôüîïõ
(ãùíßáò)
Ôñéãùíïìå-
ôñéêüò
êýêëïò
* ¼ôáí ëÝìå ðñïóáíáôïëéóìÝíï åííïïýìå üôé Ý÷ïõìå êáèïñßóåé ìå ðïéÜ öïñÜ
ìåôñÜìå ôéò ãùíßåò(Þ ôá ôüîá).

ω (µοίρες)
ω (rad)
ηµω
συνω
εφω
σφω
o ο ο o o o o o
0 30 45 60 90 180 270 360
π π π π 3π
0 π 2π
6 4 3 2 2
1 2 3
0 1 0 1 0
2 2 2
3 2 1
1 0 1 0 1
2 2 2
3
0 1 3 0 0
3
3
3 1 0 0
3
−
−
− −
− − −
Óå üðïéï ôåôñáãùíÜêé õðÜñ÷åé “–” óçìáßíåé üôé ï ôñéãùíïìåôñéêüò áñéèìüò äåí ïñßæåôáé.
¸óôù ôüîï AΜ (áíôßóôïé÷á ãùíßá ˆΑΟΜ ) ìå ìÝôñï
è, üðïõ ( )Μ x, y . Áí ( )∆ x,0 ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí
x'x , ( )Γ 0, y ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí ( )y'y, E 1, τ ôï
óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò áêôßíáò ÏÌ ôÝìíåé
ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïõ êýêëïõ óôï ( )Α 1, 0
êáé ( )Ζ σ, 1 ôï óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò ÏÌ
ôÝìíåé ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïí êýêëï óôï óç-
ìåßï ( )Β 0, 1 , ôüôå ïñßæïõìå:
ηµθ y, συνθ x, εφθ τ και σφθ σ= = = =
(Ï ïñéóìüò áõôüò ãåíéêåýåôáé êáé ãéá ìç ïîåßåò ãùíßåò).
Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ðñïêýðôïõí :
ηµθ 1, συνθ 1, εφθ R, σφθ R≤ ≤ ∈ ∈
Ç εφθ ïñßæåôáé áí
π
θ κπ
2
≠ + êáé ç σφθ ãéá θ κπ≠ .
Ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí óå ó÷Ýóç ìå ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï âñßóêåôáé
ôï óçìåßï Ì, öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.
Ìðïñïýìå ôþñá íá åðåêôåßíïõìå ôïí ðßíáêá ôùí ôñéã. áñéèìþí ÷áñáêôçñéóôéêþí ôüîùí (ãùíéþí), ùò åîÞò:

¸óôù ôüîï è. Ôüîá ðïõ óõíäÝïíôáé ìå ôï è ìå áðëÞ ó÷Ýóç åßíáé ôá:
π π 3π 3π
θ, θ, θ, π θ, π θ, θ, θ, 2π θ, 2π θ, 2κπ θ
2 2 2 2
− − + − + − + − + ±
Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò áõôþí ôùí ôüîùí åöáñìü-
æïõìå ôïí åîÞò ðñáêôéêü êáíüíá:
×ùñßæïõìå ôá ôüîá óå äýï êáôçãïñßåò.
Êáôçãïñßá 1. 0 θ, π θ, 2π θ, 2κπ θ± ± ± ±
Êáôçãïñßá 2.
π 3π
θ, θ
2 2
± ±
Áí ôá ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 1 ôüôå ïé ôñéã. áñéèìïß äåí áëëÜæïõí. Áí ôá
ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 2 ôüôå ôï çìßôïíï ãßíåôáé óõíçìßôïíï (êáé áíôß-
óôñïöá), ç åöáðôïìÝíç ãßíåôáé óõíåöáðôïìÝíç (êáé áíôßóôñïöá).
ÔÝëïò ôï ðñüóçìï ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï ëÞãåé ôï ôüîï.
(âë. ðßíáêá óôçí ðñïçãïýìåíç óåëßäá).
¸óôù ð.÷. üôé Ý÷ïõìå ôï ( )ηµ π θ− . ÅðåéäÞ ôï π θ− áíÞêåé óôçí 1ç
Êáôçãïñßá ôï çìßôïíï èá
ðáñáìåßíåé êáé ôï ðñüóçìï åßíáé èåôéêü, áöïý ôï çìßôïíï óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï, óôï ïðïßï
ëÞãåé ôï ôüîï, åßíáé èåôéêü. (èåùñþíôáò ÷ùñßò âëÜâç üôé ç è åßíáé ïîåßá ãùíßá).
¸ôóé ( )ηµ π θ ηµθ− = . Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:
( )3π 3π π
συν θ ηµθ, εφ π θ εφθ, σφ θ εφθ, ηµ θ συνθ κ.λ.π.
2 2 2
     
− = − + = + = − + =     
     
ÁíåîÜñôçôá áðü ôïí êáíüíá ðïõ áíáöÝñáìå, êáëü åßíáé íá ãíùñßæïõìå ôïõò ôýðïõò óôéò ðéï óõíç-
èéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò, üðùò:
Ìå ôç âïÞèåéá ôùí ðñïçãïýìåíùí ìðïñïýìå ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ íá
ôïõò áíáãÜãïõìå óå ôñéãùíïìôñéêïýò áñéèìïýò ôüîïõ ôïõ ðñþôïõ ôåôáñôçìïñßïõ.
ð.÷.
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß ôüîùí
ðïõ
óõíäÝïíôáé
ìå áðëÞ
ó÷Ýóç.
ÁíáãùãÞ
óôï 1ï
ôåôáñôçìüñéï

Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß
äéðëÜóéïõ
ôüîïõ
ð.÷
1. ( ) ( )
2
0 0
0 0 0
0 0
3
1
εφ45 εφ30 3 3 3 33εφ75 εφ 45 30 2 3
9 31 εφ45 εφ30 3 3 3
1
3
+
+ + +
= + = = = = = +
−− −
−
⋅
2. Éó÷ýåé ç ôáõôüôçôá: ( ) ( ) 2 2
συν α β συν α β συν α ηµ β+ − = − , ãéá ïðïéáäÞðïôå ôüîá (ãùíßåò) á êáé
â, äéüôé:
( ) ( ) ( ) ( )συν α β συν α β συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ηµα ηµβ+ − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
συν α συν β ηµ α ηµ β συν α 1 ηµ β 1 συν α ηµ β= ⋅ − ⋅ = − − − =
2 2 2 2 2 2 2 2
συν α συν α ηµ β ηµ β συν α ηµ β συν α ηµ β= − ⋅ − + ⋅ = −
Áðü ôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò, èÝôïíôáò β α= , ðñïêýðôïõí ïé ôýðïé:
ηµ2α 2ηµα συνα= ⋅
2 2 2 2
συν2α συν α ηµ α 2συν α 1 1 2ηµ α= − = − = −
2
2εφα
εφ2α
1 εφ α
=
−
êáé
2
σφ α 1
σφ2α
2σφα
−
=
Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí
4
ηµα
5
= ìå
π
α π
2
< < èá õðïëïãßóïõìå ôï ηµ2α .
Ãéá ôï Üèñïéóìá α β+ êáé ôç äéáöïñÜ α β− äýï ôüîùí éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù
ôýðïé:
( )0 0 0 0 1
ηµ750 ηµ 2 360 30 ηµ30
2
17π 17π 16π π π π 2
συν συν συν συν 4π συν
4 4 4 4 4 4 2
13π 13π 12π π π π 3
εφ εφ εφ εφ 2π εφ κ.λ.π.
6 6 6 6 6 6 3
= ⋅ + = =
     
− = = + = + = =     
     
     
− = − = − + = − + = − = −     
     
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß
áèñïßóìáôïò
êáé äéáöïñÜò
äýï ôüîùí
συν(α + β) = συνασυνβ - ηµαηµβ συν(α - β) = συνασυνβ + ηµαηµβ
ηµ(α + β) = ηµασυνβ + συναηµβ ηµ(α - β) = ηµασυνβ - συναηµβ
εφα εφβ
εφ(α β)
1 εφαεφβ
+
+ =
−
εφα εφβ
εφ(α β)
1 εφαεφβ
−
− =
+
σφασφβ 1
σφ(α β)
σφα σφβ
−
+ =
+
σφασφβ 1
σφ(α β)
σφβ σφα
+
− =
−

Åßíáé 2 2
συν α 1 ηµ α= − , êáé åðåéäÞ óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï ôï óõíçìßôïíï åßíáé áñíçôéêü ðñïêýðôåé
2 16 3
συνα 1 ηµ α συνα 1
25 5
= − − ⇔ = − − = −
¢ñá
4 3 24
ηµ2α 2ηµα συνα 2
5 5 25
 
= ⋅ = ⋅ − = − 
 
Áðü ôï 2 2
συν2α 2συν α 1 1 2ηµ α= − = − , åýêïëá áðïäåéêíýïíôáé ïé ôýðïé:
2 1 συν2α
ηµ α
2
−
=
2 1 συν2α
εφ α
1 συν2α
−
=
+
2 1 συν2α
συν α
2
+
=
2 1 συν2α
σφ α
1 συν2α
+
=
−
Åðßóçò éó÷ýïõí ïé ôýðïé:
2
α
2εφ
2ηµα
α
1 εφ
2
=
+ 2
α
2εφ
2εφα
α
1 εφ
2
=
−
2
2
α
1 εφ
2συνα
α
1 εφ
2
−
=
+
2 α
1 εφ
2σφα
α
2εφ
2
−
=
ð.÷
i. Íá áðïäåé÷èåß üôé: 2 2π 3π
ηµ ηµ 1
8 8
+ = êáé
ii. Áí
1
εφα
2
= íá õðïëïãéóôåß ç ðáñÜóôáóç: ηµ2α συν2α+
Áðüäåéîç
i. 2 2
π 3π π π
1 συν 1 συν 2 συν συν
π 3π 4 4 4 4ηµ ηµ 1
8 8 2 2 2
− − − +
+ = + = =
ii.
2 2
2 2 2
1 1 7
2 1
2εφα 1 εφ α 2εφα 1 εφ α 72 4 4ηµ2α συν2α
1 5 51 εφ α 1 εφ α 1 εφ α 1
4 4
+ −
− + −
+ = + = = = =
+ + + +
Ôýðïé
áðïôåôñá-
ãùíéóìïý
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß
åíüò ôüîïõ
óõíáñôÞóåé
ôçò åöáðôïìÝ-
íçò ôïõ ìéóïý
ôüîïõ

3
2
1 á. Íá áðïäåßîåôå üôé:
i. ⋅4 4 2 2
ηµ θ συν θ 1 2ηµ θ συν θ+ = −
ii. ⋅6 6 2 2
ηµ θ συν θ 1 3ηµ θ συν θ+ = −
â. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå ç ðáñÜóôáóç
( )6 6 4 4
Α ηµ θ συν θ λ ηµ θ συν θ= + + + íá åßíáé
áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x.
Áðüäåéîç
á. i. ( ) ( )
( )
224 4 2 2
22 2 2 2
2 2
ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ
ηµ θ συν θ 2ηµ θ συν θ
1 2ηµ θσυν θ
+ = + =
= + − ⋅ =
= −
ii. ( ) ( )
( )
( )
336 6 2 2
32 2 2
2 2 2 2 2
ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ
ηµ θ συν θ 3ηµ θ
συν θ ηµ θ συν θ 1 3ηµ θσυν θ
+ = + =
= + − ⋅
+ = −
â. ( )
( )
2 2 2 2
2 2
Α 1 3ηµ θσυν θ λ 1 2ηµ θ συν θ
λ 1 2λ 3 ηµ θ συν θ
= − + − ⋅ =
= + − + ⋅
¢ñá ãéá íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ è ðñÝðåé
3
2λ 3 0 λ
2
+ = ⇔ = − .
Íá áðïäåßîåôå üôé:
i. ( ) συνx 1
1 εφx 1 2
ηµx ηµxσυνx
 
+ + − = 
 
ii.
ηµx1 συνx 2
ηµx 1 συνx ηµx
+
+ =
+
Áðüäåéîç
i. ( ) συνx
1 εφx 1 2
ηµx
ηµx συνx
1 1 2
συνx ηµx
 
+ + − = 
 
  
= + + − =    
( )
2
συνx ηµx ηµx συνx
2
συνx ηµx
ηµx συνx
2
ηµx συνx
+ +
= ⋅ − =
+
= − =
⋅
2 2
ηµ x 2ηµx συνx συν x 2ηµx συνx
ηµx συνx
1
ηµx συνx
+ ⋅ + − ⋅
= =
⋅
=
⋅
ii.
( )
( )
( )
2 2
2 2
ηµx 1 συνx ηµ x1 συνx
ηµx 1 συνx ηµx 1 συνx
1 2συνx συν x ηµ x
ηµx 1 συνx
+ ++
+ = =
+ +
+ + +
= =
+
( )
( )
( )
2 2συνx 2 1 συνx 2
ηµx 1 συνx ηµx 1 συνx ηµx
+ +
= = =
+ +
Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
ο ο ο
ο ο ο ο
ηµ 180 x συν 180 x εφ x σφ 360 x
Α
συν 270 x εφ 90 x ηµ 810 x εφ 180 x
− + − −
=
− + − +
ii.
( )
( ) ( )
⋅ ⋅
⋅ ⋅
3π 7π
συν x εφ x π ηµ x
2 2Β
9π
σφ x ηµ x 4π συν x 3π
2
   
+ − −   
   =
 
− − − 
 
Ëýóç
i. ( )
( )
( )
( )
ο
ο
ο
ηµ 180 x ηµx
συν 180 x συνx
εφ x εφx
σφ 360 x σφx
− =
+ = −
− = −
− = −
¢ñá
( )( )( )
( )
ηµx συνx εφx σφx
Α 1
ηµx σφx συνx εφx
⋅ − − −
= = −
− − ⋅ ⋅
( )
( )
( )
( )
ο
ο
ο
0
συν 270 x ηµx
90 x σφxεφ
ηµ 810 x συνx
εφ 180 x εφx
− = −
+ = −
− =
+ =

ii.
( ) ( )
3π
συν x ηµx
2
εφ x π εφ π x εφx
7π 4π 3π
ηµ x ηµ x
2 2 2
3π 3π
ηµ 2π x ηµ x συνx
2 2
 
+ = 
 
− = − − =
   
− = + − =   
   
   
= + − = − = −   
   
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
9π 8π π
σφ x σφ x
2 2 2
π π
σφ 4π x σφ x εφx
2 2
ηµ x 4π ηµ 4π x
ηµ 2π 2π x ηµ 2π x ηµx
συν x 3π συν 3π x
συν 2π π x συν π x συνx
   
− = + − =   
   
   
= + − = − =   
   
− = − − =
= − + − = − − =
− = − =
= + − = − = −
¢ñá
( )
( )
ηµx εφx συνx
Β 1
εφx ηµx συνx
⋅ −
= =
⋅ −
Áí
π
0 α
2
< < êáé ηµα 3συνα 2+ =
ôüôå íá äåé÷èåß üôé
π
α
6
= .
Áðüäåéîç
π
ηµα 3 συνα 2 ηµα εφ συνα 2
3
π
ηµ
3ηµα συνα 2
π
συν
3
+ ⋅ = ⇔ + = ⇔
⇔ + = ⇔
π π π
ηµα συν ηµ συνα 2συν
3 3 3
π 1
ηµ α 2
3 2
⇔ ⋅ + = ⇔
 
⇔ + = ⋅ ⇔ 
 
π
0 α
2π π π π
ηµ α 1 α α
3 3 2 6
< <
 
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = 
 
4
A41. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç ðáñÜóôáóç:
( ) ( )6 6 4 4
A 2 ηµ x συν x 3 συν x ηµ x= + − +
Ý÷åé ìßá ôéìÞ áíåîÜñôçôç ôïõ ôüîïõ x.
A42. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
( ) ( )
( ) ( )
π
ηµ π α συν α εφ 7π α
2A
3π
συν 3π α ηµ α εφ 2π α
2
 
+ − + 
 =
 
− + + 
 
A43. Íá áðïäåé÷èåß üôé:
i) ( )( )
( )( )
ηµx εφx συνx σφx
1 ηµx 1 συνx
+ + =
= + +
ii) ( )( ) 2
2
εφx 2 2εφx 1 5εφx
συν x
+ + = +
iii)
2 2
2 2
2 2
συν x ηµ y
σφ x σφ y 1
ηµ x ηµ y
−
⋅ − =
⋅
i)
( )
( ) ( )
2ηµ α β
εφα εφβ
συν α β συν α β
+
= +
+ + −
ii) ( ) ( )ηµx ηµ 120 x ηµ 240 x 0+ ° + + ° + =
iii) ( ) ( )
( )
3 εφα εφ α 30
3 σφα εφα
− ⋅ + ° =
= + ⋅
i)
ηµ2α 1 συνα α
εφ
1 συν2α συνα 2
−
⋅ =
−
ii) 4 4 4 4π 3π 5π 7π 3
ηµ ηµ ηµ ηµ
8 8 8 8 2
+ + + =
A46. Áí ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ ÁÂÃ åðá-
ëçèåýïõí ôç ó÷Ýóç: 2 2 2
ηµ Α ηµ Β ηµ Γ= + ,
íá áðïäåé÷èåß üôé ôï ôñßãùíï áõôü åßíáé
ïñèïãþíéï.

Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìüÁ.9
Ïñéóìïß
Ôçí ãíùóôÞ Ýííïéá ôçò äýíáìçò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü åðåêôåßíïõìå êáé
óôç ðåñßðôùóç ðïõ ï åêèÝôçò åßíáé ñçôüò. Äßíïõìå, äçëáäÞ, íüçìá êáé óôï
åêèåôéêü óýìâïëï
µ
ν
α , üðïõ α 0> , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò, ôï
ïðïßï èá ïíïìÜæïõìå äýíáìç ìå ñçôü åêèÝôç.
Ãéá íá Ý÷åé íüçìá äýíáìçò ôï óýìâïëï
µ
ν
α èá ðñÝðåé íá åßíáé èåôéêüò áñéèìüò
(áöïý α 0> ) êáé åðéðëÝïí íá éêáíïðïéåß ôéò ãíùóôÝò éäéüôçôåò ôùí äõíÜìåùí
ð.÷.
νµ µ
ν
µν ν
α α α
⋅ 
= = 
 
Áõôü óçìáßíåé üôé
µ
ν
α åßíáé ç èåôéêÞ ñßæá ôçò åîßóùóçò ν µ
x α= ðïõ åßíáé ç
ν µ
α .
ÅðïìÝíùò: Áí α 0> , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ôüôå ïñßæïõìå
µ
ν µν
α α=
Áí åðéðëÝïí ì,í èåôéêïß áêÝñáéïé ïñßæïõìå
µ
ν
0 0= .
ð.÷.
3 1
4 3 3 14 2
1 1
16 16 2 8 4 4
4 2
−
−
= = = = = =
Ãåíéêüôåñá, ìå ôç âïÞèåéá ôçò äýíáìçò ìå ñçôü åêèÝôç, ïñßæïõìå ôï åêèåôéêü óýìâïëï x
α , α 0>
êáé x R∈ . (Ï áêñéâÞò ïñéóìüò îåöåýãåé áðü ôá üñéá áõôïý ôïõ âéâëßïõ).
¸ôóé, áí á,â èåôéêïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé x, y R∈ ôüôå:
i) x y x y
α α α +
⋅ = ii) x y x y
α : α α −
=
iii) ( )
yx x y
α α ⋅
= iv) ( )
x x x
α β α β⋅ = ⋅ v)
x x
x
α α
β β
 
= 
 
Óõíïøßæïíôáò ãéá ôï åêèåôéêü óýìâïëï B
A , Ý÷ïõìå:
üðïõ ρ ,ρ′ : ñçôïß áñéèìïß ðïõ ðñïóåããßæïõí ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ÷.
Áêüìá: 0
Α 1= ìå Α 0≠ , 1
Α Α= êáé 1
Α Α= ìå Α 0> .

39Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìü
ÄÕÍÁÌÅÉÓ
ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏ
4
3
2
1 Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:
( ) ( )
33 1 2
2 12 2 3
A α β αβ α
− − −
− − 
= ⋅ ⋅ 
 
ãéá êÜèå
2
α
2
= êáé 3
1
β
2
=
Ëýóç
3 32 43 1
23 32 2
6
6 43 2
4 6
4 4 2 4
4
Α α β α β α α β
1 1
β 22 2α β 1
α 2 22
22
−− −
−
   
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =   
   
 
 
 = ⋅ = = = = =
 
  
 
Íá áðïäåé÷èåß üôé:
i)
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
x y x x y y x y
  
+ − ⋅ + = +  
  
ii)
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
x y x x y y x y
  
− + ⋅ + = −  
  
üðïõ x,y 0>
Ëýóç
i)
( )( )
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
2 2
3 3 33 3 3
3 3
3 3
x y x x y y
x y x x y y
x y x y
  
+ − ⋅ + =  
  
= + − ⋅ + =
= + = +
ii)
( )( )
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
2 2
3 3 33 3 3
3 3
3 3
x y x x y y
x y x x y y
x y x y
  
− + ⋅ + =  
  
= − + ⋅ + =
= − = −
Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i)
5
2,56
27 3
−
⋅
ii) ( ) ( )
1 1
2 42 2
α 3α β 12α β , α,β 0+ >
iii) ( ) ( ) ( )
1 1 1
6 3 4 6 43 3 3
β 8α β 4α α β 125α β ,
α,β 0
+ −
>
iv)
11 1
1 9 32 2
2 2
3 1 3 3
8 12 3 2
4 2 4 16
    
+ − −    
    
Ëýóç
i)
5 5
6 6 65 5 15 156 2
6 0 6
27 3 27 3 3 3
3 1 1
−
− −
⋅ = ⋅ = ⋅ =
= = =
ii)
2 4 2 2
2
α 3α β 12α β α 3β 2α 3β
3α 3β
+ = + =
=
iii) 6 3 4 6 43 3 3
2 2 2 23 3 3 3
β 8α β 4α α β 125α β
2α β β 4α β β 5α β β α β β
+ − =
= + − =
iv)
3
2
3
3 1 3 3
12 3 28
4 2 4 16
8 3 3 2 3
3 3
2 4 4
9 3 9
4 3 3 3 3
4 2 4
+ − − =
= + − − =
= + − − =
Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò
i) 2 4 2 2 2 43 3
α α β β α β⋅ + ⋅ üðïõ α,β 0>
ii)
1 1
2 4
11
84
x 2x 1
x 2x 1
− +
− +
, x 0>

A47. Íá âñåèïýí ïé áñéèìïß:
i) ( )
2 31
23 52
x 27 4 3 32 0,25
−
= + − ⋅ +
ii) ( )
5
0,25 1 7 32
4 4 5 3 21
y 2 24 54 4 8 25
16
−
 
= + ⋅ − − + 
 
A48. Íá âñåèïýí ôá åîáãüìåíá
i) ( )
5
63
1
0,5
4
−
⋅
ii) 3 64 2
7 7 7−
⋅ ⋅
A49. Íá áðïëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i)
1 1 1 1
2 4 4 2
3 1 1 1 1
4 2 4 2 2
x y x y x y
Α
x x y x y
− + ⋅
= ⋅
+ ⋅ +
ii)
3 1 1 1 3
2 2 2 2 4 4
1 1
2 2
α α β 2α β 2β
B
α β
− − +
=
−
A50. Íá âñåèåß ïé ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:
i) ( )
62 21
3 32
Α x y y x
−
−
 
 = ⋅ ⋅  ,
áí 31
x και y 2
2
= =
ii) ( )
1
4 2
2 1 3
1 13 2
B x y x y− −
 
 =   ,
áí
6
1 1
x και y
8 3
 
= =  
 
A51. Íá äåé÷èåß üôé:
i) ( ) ( )
3
2
6 2 5 8 5 2− = −
ii) ( )( ) ( )1 1 1 1
2 2 2 2
αβ α β
α β α β
αβ
− − −
− + =
Ëýóç
i)
3 32 4 2 2 2 4
4 2 2 4
2 23 3 3 3
10 2 2 10
3 3 3 3
2 25 1 1 5
3 3 3 3
5 1 1 5
5 53 33 3 3 3
2 23 3
α α β β α β
α α β β α β
α β α β
α β α β
α β α β α β α β
α α β β αβ
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅ =
   
= ⋅ + ⋅ =   
   
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= +
ii)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
42 4
11 84
84
2
42
4 4
2 2
8 8 8
22 2 28 8 8
2 2
8 8
2
8
x 2x 1 x 2 x 1
x 2 x 1
x 2x 1
x 1x 2 x 1
x 2 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
− + − +
= =
− +
− +
−− +
= = =
− + −
− − +
= = =
− −
= +

41ëïãÜñéèìïé
ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ
ËïãÜñéèìïéÁ.10
¸óôù èåôéêüò áñéèìüò á, äéÜöïñïò ôïõ 1 êáé θ 0> . Ôüôå ç åîßóùóç x
α θ=
áðïäåéêíýåôáé üôé Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç. Ôç ëýóç áõôÞ óõìâïëßæïõìå ìå αlog θ
êáé êáëïýìå:
ëïãÜñéèìï ôïõ è ìå âÜóç ôï á
¢ñá, áí α 0, α 1> ≠ êáé θ 0> ôüôå: x
αlog θ x α θ= ⇔ =
Ç éóïäõíáìßá áõôÞ óõíäÝåé ôï åêèåôéêü êáé ëáãáñéèìéêü óýìâïëï.
¸ôóé, ð.÷. 2log 8 3= áöïý 3
32 8, log 9 2= = áöïý 2
3 9= ê.ë.ð.
Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ðñïêýðôïõí Üìåóá ïé ðéï êÜôù âáóéêÝò ó÷Ý-
óåéò:¡
i) αlog θ
θ α= ii) x
αlog α x=
iii) αlog α 1= iv) αlog 1 0=
Áí ç âÜóç åßíáé α 10= ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ 10log θ ÷ñçóéìïðïéïýìå
ôï óýìâïëï logθ ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå äåêáäéêü ëïãÜñéèìï ôïõ è.
äçë. x
logθ x 10 θ= ⇔ = . ð.÷. log100 2, log0,1 1= = − ê.ë.ð.
Áí ç âÜóç åßíáé α e= , üðïõ e 2,71, ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ elog θ
÷ñçóéìïðïéïýìå ôï óýìâïëï nθ ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå öõóéêü (Þ íå-
ðÝñéï) ëïãÜñéèìï ôïõ è.
äçë.
x
nθ x e θ= ⇔ = . ð.÷. 3 1
ne 3, n 1
e
= = − ê.ë.ð.
Ãéá 1 2α,β 0, α,β 1, θ,θ ,θ 0> ≠ > êáé κ R∈ éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù éóü-
ôçôåò (éäéüôçôåò ëïãáñßèìùí):
1) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ θ log θ log θ⋅ = +
2) 1
α 1 α 2
2
θ
log log θ log θ
θ
= −
3) κ
α αlog θ κ log θ= ⋅
4)
β
α
β
log θ
log θ
log α
= (Ôýðïò áëëáãÞò âÜóçò)
ÈÅÙÑÉÁ
Ïñéóìüò
Äåêáäéêïß
Öõóéêïß
ËïãÜñéèìïé
Éäéüôçôåò
Ëïãáñßèìïõ

ÅöáñìïãÝò: Íá áðïäåé÷èåß üôé
i) ν
α α
1
log θ log θ, ν Ν, ν 2
ν
= ∈ ≥
ii) α α
1
log log θ
θ
= −
iii) β αlog α log β 1⋅ =
iv) α α
logθ nθ
log θ , log θ
logα nα
= =
Áðüäåéîç
i)
1
ν ν
α α α
1
log θ log θ log θ
ν
= =
ii) α α α α α
1
log log 1 log θ 0 log θ log θ
θ
= − = − = −
iii) α
β β β α
α α
log α 1
log α log α log α log β 1
log β log β
= ⇔ = ⇔ ⋅ =
iv) Ðñïêýðôïõí áðü ôïí ôýðï áëëáãÞò âÜóçò ãéá β 10= êáé β e= áíôßóôïé÷á.

3
21
Íá õðïëïãéóôïýí ïé ëïãÜñéèìïé:
á. 4log 32 â. 0,1log 100 ã. 8
2
log
4
ä. 3
1
9
log 3 å. 0,2log 625 óô. log 10 10
Ëýóç
á. ¸óôù 4log 32 x= .
Ôüôå x 2x 5 5
4 32 2 2 2x 5 x
2
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
â. ¸óôù 0,1log 100 x= . Ôüôå
( ) ( )
xx 1 x 2
0,1 100 10 100 10 10
x 2 x 2
− −
= ⇔ = ⇔ = ⇔
⇔ − = ⇔ = −
ã. ¸óôù 8
2
log x
4
= . Ôüôå
1 3
x 3x 2 3x2 2
2
8 2 2 2 2 2
4
3 1
3x x
2 2
−
= ⇔ = : ⇔ = ⇔
− −
⇔ = ⇔ =
ä. ¸óôù 3
1
9
log 3 x= . Ôüôå
x 1
2x3 3
1 1 1
3 3 3 2x x
9 3 6
− 
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − 
 
å. ¸óôù 0,2log 625 x= . Ôüôå
( )
x x
2
x 4
2 1
0,2 625 625
10 5
625 5 5 x 4 x 4−
   
= ⇔ = ⇔ =   
   
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
óô. ¸óôù log 10 10 x= . Ôüôå
x 2x 4x
2 4x 3
10 10 10 10 10 10 10
3
10 10 10 10 4x 3 x
4
= ⇔ = ⇔ =
= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Áí 3log 2 α= íá õðïëïãßóåôå ôïí
8log 12 .
Ëýóç
Áöïý 3log 2 α= èá åßíáé α
3 2= .
¸óôù 8log 12 x= . Ôüôå
( )
( )
3xx 3x 2 α
2α 3αx 2α 1
α 0
8 12 2 2 3 3
3 3 3 3
2α 1
3αx 2α 1 x
3α
+
≠
= ⇔ = ⋅ ⇔ =
= ⋅ ⇔ = ⇔
+
⇔ = + ⇔ =
Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ÷ áí:
á. xlog 1000 6= − â. x
2
log 16
3
=
ã. x
16
log 4
81
=
Ëýóç
á.
6
x
6
6 33
x 1000
log 1000 6
0 x 1
111 x1010
x 10x
0 x 1 0 x 10 x 1
−
 =
= − ⇔ ⇔
< ≠
   ===   ⇔ ⇔ ⇔   
  < ≠ < ≠< ≠  
¢ñá
10
x
10
= .
â.
2 3
3 2
x
2 x 16x 16log 16
3 0 x 10 x 1
   === ⇔ ⇔ ⇔ 
  < ≠< ≠ 
( )
31
2
x 16
0 x 1

 =⇔ 
 < ≠
. ¢ñá x 64= .

Aí 1 2x ,x ïé ñßæåò
ôïõ ôñéùíýìïõ
( ) = + +2
φ x ax βx γ
ôüôå:
−
= + =1 2
β
S x x
α
êáé = ⋅ =1 2
γ
Ρ x x
α
5
4
ã.
4
4 4
x
16 2
x16 x
log 4 81 3
81
0 x 1 0 x 1
  = =   = ⇔ ⇔   
 < ≠ < ≠ 
¢ñá
2
x
3
= .
Íá âñåèåß ï áêÝñáéïò ÷ Ýôóé þóôå íá
Ý÷ïõí Ýííïéá óôï R ôá óýìâïëá:
á. ( )xlog 3 x− â. x
1 x
log
5 x
+
−
Ëýóç
á.
3 x 0 x 3
0 x 1 0 x 1
3 x 3 0 x 3
0 x 1 x 1
 − >  <
⇔ ⇔ 
< ≠ < ≠ 
− < < < < 
⇔ ⇔ 
< ≠ ≠ 
¢ñá x 2= (äéüôé x Z∈ ).
â.
( )( )
( )( )
1 x
0 1 x 5 x 0
5 x
0 x 1
0 x 1
1 x 5x 1 x 5 0
0 x 10 x 1
0 x 5
x 1
+
>  + − >
⇔ ⇔− 
< ≠ < ≠
− < < + − < 
⇔ ⇔ ⇔ 
< ≠< ≠ 
< <
⇔ 
≠
¢ñá x 2 ή x 3 ή x 4= = = (äéüôé x Z∈ ).
á. 3 3 33log 2 2log 6 log 32 2+ − =
â. 5 5 52 3log 2 2log 10 log 2+ − =
Ëýóç
á.
( )
3 3 3
3 2
3 3 3
3 2
3 3
3 3
3log 2 2log 6 log 32
log 2 log 6 log 32
log 2 6 log 32
8 36
log log 9 2
32
+ − =
= + − =
= ⋅ − =
⋅
= = =
2ïò ôñüðïò
( )
3 3 3
5
3 3 3
3log 2 2log 6 log 32
3log 2 2log 2 3 log 2
+ − =
= + ⋅ − =
3 3 3 3
3
3log 2 2log 2 2log 3 5log 2
2log 3 2 1 2
= + + − =
= ⋅ = ⋅ =
â.
( )
5 5
2 3 2
5 5 5
2 3 2
5 5
5 5
2 3log 2 2log 10
log 5 log 2 log 10
log 5 2 log 10
25 8
log log 2
100
+ − =
= + − =
= ⋅ − =
⋅
= =
2ïò ôñüðïò
( )
5 5
5 5
2 3log 2 2log 10
2 3log 2 2log 2 5
+ − =
= + − ⋅ =
5 5 5
5 5
2 3log 2 2log 2 2log 5
2 log 2 2 1 log 2
= + − − =
= + − ⋅ =
Áí log2 log5 α=⋅ íá áðïäåßîåôå üôé
ïé áñéèìïß log 2 êáé log5 åßíáé ïé ñßæåò
ôçò åîßóùóçò 2
x x α 0− + = .
Ëýóç
Ðáñáôçñïýìå üôé:
( )log 2 log5 log 2 5 log10 1+ = ⋅ = =
Áöïý ëïéðüí
log 2 log5 1+ =
êáé log 2 log5 α⋅ =
ïé áñéèìïß log 2 êáé log5
èá åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò
2
x x α 0− + = .
á.
1
logα
α 10= â. logβ logα
α β=
Ëýóç
Áðü ôïí ïñéóìü,
ç éóüôçôá
=alog x y
Ý÷åé Ýííïéá ãéá:
> < ≠x 0, 0 a 1
êáé ∈y R
6
7

10
9
8
á. Åßíáé
1
logα 1
logα logα 1
logα
= ⋅ = .
¢ñá
1
log α
α 10= .
â. Ï ëïãÜñéèìïò ìå âÜóç â ôïõ áñéèìïý logβ
α
åßíáé:
logβ
β β
logα
log α logβ log α logβ logα
logβ
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
Áöïý logβ
βlog α logα= áðü ôïí ïñéóìü ôïõ
ëïãáñßèìïõ ðñïêýðôåé: logβ log α
α β= .
Ná õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜ-
óôáóçò:
( )2 3 6
2 3
log 5 log 5 log 5
Κ
log 5 log 5
+ ⋅
=
⋅
Ëýóç
Óýìöùíá ìå ôçí åöáñìïãÞ (iii) Ý÷ïõìå:
5 5 5
5 5
5 5
5 5 5
5 5
5 5 5
5 5
1 1 1
log 2 log 3 log 6
K
1 1
log 2 log 3
log 3 log 2 1
log 2 log 3 log 6
1
log 2 log 3
log 3 log 2 log 6
1
log 6 log 6
 
+ ⋅ 
 = =
⋅
+
⋅
⋅
= =
⋅
+
= = =
Áí log2 0,3 íá õðïëïãßóåôå ôçí
ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:
( )
( ) ( )
1 1
A log 2 log 2 2
2 2
1 1
log 2 2 2 log 2 2 2
2 2
= + + +
+ + + − +
Ëýóç
( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
1
A log 2 log 2 2
2
log 2 2 2 2 2 2
1
log 2 log 2 2 log 4 2 2
2
1
log 2 log 2 2 log 2 2
2
1
log 2 log 2 2 2 2
2
1
log 2 log 4 2
2
1 1
log 2 log 2 2log 2 log 2 0,3
2 2
= + + +

+ + − + =

= + + + − + = 
 = + + + − =
 
 = + + − =
 
= + − =  
= + = =
Áí α 1, β 1> > êáé 2 2
α β 7αβ+ = , íá
áðïäåßîåôå üôé:
( )
α β 1
log logα logβ logα logβ
3 2
+
= + ≥ ⋅
Ëýóç
( )
2 2 2 2
2
2
α β 7αβ α β 2αβ 9αβ
α β
α β 9αβ αβ
3
+ = ⇔ + + = ⇔
+ 
⇔ + = ⇔ = 
 
ïðüôå êáé
( )
( )
2
α β
log log αβ
3
α β
2log logα logβ
3
α β 1
log logα logβ
3 2
+ 
= ⇔ 
 
+
⇔ = + ⇔
+
⇔ = +
.
ÅîÜëëïõ:
( )
1
logα logβ logα logβ
2
logα logβ 2 logα logβ
+ ≥ ⋅ ⇔
⇔ + ≥ ⋅ ⇔
( )
( )
2
2
logα logβ 4logαlogβ
logα logβ 0
+ ≥ ⇔
⇔ − ≥ ðïõ éó÷ýåé.

A52. Íá âñåèåß ï x áðü ôéò ðáñáêÜôù ó÷Ý-
óåéò:
á. 3
1
9
log 3 x= â. 5
0,1log 100 x=
ã. x
3
log 27
2
= ä. x
2
log 4
3
= −
å. 8
1
log x
3
= − óô. ( )4 x
3
log log 25
2
=
A53. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x R∈ Ý÷åé íüçìá ï
2x
x 1
log
3 x
+
−
.
A54. Áí log 2 α= êáé log3 β= , íá âñåèïýí
ïé ëïãÜñéèìïé ôùí áñéèìþí:
4, 5, 6, 12, 15, 30, 36,
72
50
.
A55. Íá áðïäåßîåôå üôé:
á.
5 3 40 105
2log log log log 0
2 11 77 32
+ − − =
â. 2 2 2
75 5 32
log 2log log 1
16 9 243
− + =
á. ( ) ( )
( )
7
log 3 2 2 4log 2 1
16
25
log 2 1
8
+ − + =
= −
â. 3 2log 2 log 3 2+ >
ã.
log 125 log 27 log 8 3
log15 log2 2
+ −
=
−
á.
1
3log 2 log 2
10 4
−
+
=
â.
1
1 log 25
4
100 20
−
=
A58. á. Ãéá êÜèå *
α,β R , α 1∈ ≠ êáé
*
ρ R∈
íá äåé÷èåß üôé: ρ αα
1
log β log β
ρ
= .
â. Íá õðïëïãéóèåß ï áñéèìüò 325log 17
4 .
á. 2 23 log log 2
 
= −  
 
â. 2 2
ν ριζικά
ν log log ... 2
−
 
 = −
 
 
A60. Áí α 1> êáé β 1> , íá õðïëïãéóèåß ç
ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
Α log α 1 log β 1 log αβ 1 α β = − + − − + − +
 
A61. Áí *
α,β,γ R∈ ìå β 1≠ êáé αβ 1≠ íá
áðïäåßîåôå üôé:
β
αβ
β
log γ
log γ
1 log α
=
+

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 47
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ
ÂÁÈÌÏÕ
Ç åîßóùóç αx β 0+ =
Åßíáé åýêïëï íá äïýìå üôé:
• Áí α 0≠ ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç, ôçí
β
x
α
= − ,äéüôé:
β
αx β 0 αx β x
α
+ = ⇔ = − ⇔ = −
• Áí α 0= êáé β 0≠ ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = åßíáé áäýíáôç, äçëáäÞ äåí
åðáëçèåýåôáé ãéá êáíÝíá x,äéüôé ãñÜöåôáé:
αx β 0 0x β 0+ = ⇔ = − ≠
• Áí α 0= êáé β 0= ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ åðáëç-
èåýåôáé ãéá ïðïéïäÞðïôå x,äéüôé ãñÜöåôáé:
αx β 0 0x 0+ = ⇔ =
Ôá ðáñáðÜíù óõìðåñÜóìáôá âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:
α 0≠ á=0
ÌïíáäéêÞ β 0≠ β 0=
ëýóç
β
x
α
= − Áäýíáôç Ôáõôüôçôá
1 Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:
á. ( )( ) ( )( )2x-7 6x + 5 = 4x- 3 3x +1
â. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x 1 x 2 2x 1 3 2x+ − + = + − −
Ëýóç
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-
ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ = â
á. Åßíáé: ( )( ) ( )( )2x 7 6x 5 4x 3 3x 1− + = − + ⇔
2 2
12x 10x 42x 35 12x 4x 9x 3⇔ + − − = + − − ⇔
32x 35 5x 3 27x 32 0⇔ − − = − − ⇔ + = ⇔
32
27x 32 x
27
⇔ = − ⇔ = −
â. ¸÷ïõìå:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
x 1 x 2 2x 1 3 2x+ − + = + − − ⇔
( )2 2
x 2x 1 x 4x 4⇔ + + − + + =
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïýÂ.1
A2
A3
ÅðßëõóçÅðßëõóçÅðßëõóçÅðßëõóçÅðßëõóç
êáéêáéêáéêáéêáé
äéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóç
åîßóùóçòåîßóùóçòåîßóùóçòåîßóùóçòåîßóùóçò
1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ
âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 148
5
4
3
2
( )2 2
4x 4x 1 9 12x 4x= + + − − +
2 2
x 2x 1 x 4x 4⇔ + + − − − =
2 2
4x 4x 1 9 12x 4x= + + − + −
18
5
x5x18
83x16x28x163x2
=⇔−=−⇔
−=−−⇔−=−−⇔
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
x + 2 2x +1 2x - 3
- = - x
3 2 6
Ëýóç
ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéÜ-
æïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç.
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞãïõ-
ìå óôç ìïñöÞ á÷ = â
x 2 2x 1 2x 3
x
3 2 6
x 2 2x 1 2x 3
6 6 6 6x
3 2 6
+ + −
− = − ⇔
+ + −
− = − ⇔
( ) ( )2 x 2 3 2x 1 2x 3 6x
2x 4 6x 3 2x 3 6x 0x 4
+ − + = − − ⇔
+ − − = − − ⇔ =
åßíáé áäýíáôç.
( )( )( )4x 5 x 2 1 x 0− − − =
Ëýóç
αβγ 0
α 0 ή β 0 ή γ 0
= ⇔
= = =
( )( )( )4x 5 x 2 1 x 0− − − = ⇔
4x 5 0 5
x
ή 4
x 2 0 x 2
ή x 1
1 x 0
− = 
=  ⇔ − = ⇔ = 
  =
− =
( ) ( ) ( )3 33
1 x 2x 3 x 2 0− + − + − + =
Ëýóç
Áí α β γ 0,+ + = ôüôå:
3 3 3
α β γ 3αβγ+ + =
Áí αβ 0 α 0 ή β 0= ⇔ = =
ÅðåéäÞ ( ) ( ) ( )1 x 2x 3 x 2 0− + − + − + =
éó÷ýåé: ( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 33
1 x 2x 3 x 2
3 1 x 2x 3 x 2
− + − + − + =
− − − +
¢ñá ( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 33
1 x 2x 3 x 2 0
3 1 x 2x 3 x 2 0
1 x 0 ή 2x 3 0 ή x 2 0
3
x 1 ή x ή x 2
2
− + − + − + = ⇔
− − − + = ⇔
− = − = − + =
= = =
2
x 2 2 4
2x 2 x x 2x
−
= +
− −
Ëýóç
Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ Þ êëáóìáôéêÞ åÜí
Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ.
Ãéá íá ëýóù ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç êÜíù ôá
åîÞò:
Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò
ðáñáãïíôïðïéÞóù) êáé ôï èÝôù äéÜöïñï ôïõ ìç-
äåíüò.
ÐïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå
ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìá-
óôþí .
Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ
êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò.
Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò
êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãïíôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí
ìåãáëýôåñï åêèÝôç.
A2
A3
A5

ÂÁÈÌÏÕ
Å.Ê.Ð. ( )
x 0
: 2x x 2 0 και
x 2 0 x 2
≠

− ≠ ⇔ 
 − ≠ ⇔ ≠
( )
( )
( )
2
x 2 2 4
2x 2 x x 2x
x 2 2 4
2x 2 x x x 2
x 2 2 4
1
2x x 2 x x 2
−
= + ⇔
− −
−
= + ⇔
− −
−
= − +
− −
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
x 2
1 2x x 2
2x
2 4
2x x 2 2x x 2
x 2 x x 2
x 2 x 2 4x 8
−
⇔ − =
− − + − ⇔
− −
− − = − + ⇔
( )2 2
2
x 2 4x 8 x 4x 4 4x 8
x 4x 4 4x 8 0
⇔ − = − + ⇔ − + = − + ⇔
⇔ − + + − = ⇔
( )( )2
x 4 0 x 2 x 2 0
x 2 0 x 2 απορρίπτεται
ή
x 2 0 x 2 δεκτή
⇔ − = ⇔ − + = ⇔
− = ⇔ =

⇔ 
 + = ⇔ = −
Â1. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( ) ( )2 2
3x 5 - 9x - 25 6x 10 0+ + + =
â.
x 3 2x 3
x 4 -
3 3
+ +
+ =
á. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x -1 - x - 2 1- 2x - 3- 2x=
â.
( ) ( ) ( )( )
2 2
x -1 x 3 x - 2 x -1
3 6 2
+
+ =
á.
19 2x 7x 11
4x - 15-
5 4
+ +
=
â. ( ) ( ) ( )
2 22
x - 4 - x 2 5x 4 0+ + =
á. 2
x 3
1-
x 3 9 x
=
− −
â.
2
2
x 6 4
1
x 2 x 2x 4
+ = +
+ −−
á.
x 3 x 2
2
x 2 x 1
− −
+ =
− −
â.
1 1
x 2 x 5
=
+ +
á.
x x 4
x 3 x 5
+
=
− −
â. 2 2 2
x 1 x 4
x 4 x 2x x 2x
−
− =
− − +
Á2
Á3
Á5

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 150
6 Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( )− = 2
λ 1 x λ -1 â. ( ) 2
λ 2 x λ 2− = +
ã. 2
λ x – 2 4x λ= +
Ëýóç
á. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå
)1λ, β1λ(α 2
–=−= , ïðüôå Ý÷ïõìå:
1ç ðåñßðôùóç
Áí 1λ01λ ≠⇔≠− , ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíá-
äéêÞ ëýóç:
ÐáñáìåôñéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç, ðïõ ïé óõíôåëåóôÝò ôùí á-
ãíþóôùí Þ ï óôáèåñüò üñïò åêöñÜæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ãñáììÜôùí êáé ü÷é
óõãêåêñéìÝíùí áñéèìþí.
Ãéá ðáñÜäåéãìá, ïé åîéóþóåéò
( ) 1xβα,1µ-7x4,71λx3 =+==+
åßíáé ðáñáìåôñéêÝò.
Ôá ãñÜììáôá (á, â, ë, ì ...) ïíïìÜæïíôáé ðáñÜìåôñïé ôçò åîßóùóçò.
ÊáôÜ ôç äéåñåýíçóç ìéáò ðáñáìåôñéêÞò åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αx β 0+ = , ðñï-
óðáèïýìå íá äéáêñßíïõìå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ç åîßóùóç Ý÷åé ìï-
íáäéêÞ ëýóç, ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé áäýíáôç êáé ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé ôáõôüôçôá.
¸ôóé, äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:
• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0≠ . Ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò ç
åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç.
• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0 και β 0= ≠ . Ãéá ôéò ôéìÝò
áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.
• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0 και β 0= = . Ãéá ôéò ôéìÝò
áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá.
1λx
1λ
)1)(λ1(λ–
x
1λ–
1–λ
x
2
+=⇔
−
+
=⇔=
Áí 1λ01λ =⇔=− , êÜíïíôáò áíôéêáôÜóôá-
óç óôçí åîßóùóç,ðñïêýðôåé:
( ) 0x01-1x11 2
=⇔=⋅−
ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé
Üðåéñåò ëýóåéò.
â. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå
2
(α λ 2, β λ 2)= − = + ïðüôå Ý÷ïõìå:
Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-
êÝòêÝòêÝòêÝòêÝò
åîéóþóåéòåîéóþóåéòåîéóþóåéòåîéóþóåéòåîéóþóåéò
1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý

ÂÁÈÌÏÕ
Â7. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá á êáé â Ýôóé þóôå ïé
ðáñáêÜôù åîéóþóåéò íá åßíáé áäýíáôåò Þ
áüñéóôåò.
á. ( ) 2
α 1 x α 1− = − â. ( )α β x β 1+ = −
Â8. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò:
á. ( )3 2
λ 4λ x λ 2λ− = −
â. ( )2
λ λ x 3λx 5λ 6− = − −
ã. ( ) ( )2
λ x 1 µ λx µ− = +
ä. ( ) ( )λ λx 2 6 µ λx 1− + = +
Â9. Íá ëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:
á.
x x
1 1
α 1 α 1
− = +
− +
â.
x x
2
α β α β
+ =
− +
Â10. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç
( )2 2
λ x 3λ 2 λx -1 λ 8x+ + = + ,
ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.
Â11. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò:
á. ( )2 2
λ -9 x λ 3λ= +
â. ( ) ( )3 λ 1 x 4 2x 5 λ 1+ + = + +
ã. ( ) ( )( )2
λ -1 x λ λ 1 λ 2= + +
ä. ( ) ( ) ( )2
λ 2 x 4 2λ 1 λ 4 x -1+ + + = +
Â12. Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:
á. ( ) ( )2
λ 3x λ 7 - 2λ λ 3 1 κx+ + = + +
â. ( )2 2
µ - 4 x µ - 2µ=
ã.
( )x µ 99x x
-1 -µ
20µ 20 20
+
+ =
Â13. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ë êáé ì ç åîßóùóç
λx -µ x
3x - λ
3 2
+ =
i. åßíáé áäýíáôç, ii. åßíáé áüñéóôç
Áí 2λ02λ ≠⇔≠− , ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé
ìïíáäéêÞ ëýóç:
2
λ 2
x
λ 2
+
=
−
Áí 2λ02λ =⇔=− , ôüôå ìå áíôéêáôÜóôá-
óç óôçí åîßóùóç ðñïêýðôåé:
6x022x0 2
=⇔+=
ðïõ åßíáé áäýíáôç.
ã. Ç åîßóùóç äåí åßíáé ôçò ìïñöÞò áx = â, ãé’áõ-
ôü ëïéðüí êÜíïõìå ðñÜîåéò êáé ðñïóðáèïýìå
íá ôç öÝñïõìå óôçí ðéï ðÜíù ìïñöÞ.
⇔+=− λx42xλ2
βα
2
2λx)2)(λ2(λ2λx4x–λ +=+−⇔+= (1)
Áí ( ) ( )λ 2 λ 2 0 λ 2 0 και
λ 2 0 λ 2 και λ 2
− ⋅ + ≠ ⇔ − ≠
+ ≠ ⇔ ≠ ≠ −
Ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç:
2λ
1
)2)(λ2(λ
2λ
x
−
=
+
+
=
–
Áí (λ 2) (λ 2) 0 λ 2 ή λ -2− ⋅ + = ⇔ = = , Ý÷ïõ-
ìå:
i. Ãéá ë = 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñïêýðôåé:
4x022x0 =⇔+=
ðïõ åßíáé áäýíáôç.
ii. Ãéá ë = – 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñï-
êýðôåé:
0x022x0 =⇔+−=
ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé
Üðåéñåò ëýóåéò.
Á2
Á3
Á5

52 ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2
ÅðßëõóçÅðßëõóçÅðßëõóçÅðßëõóçÅðßëõóç
êáéêáéêáéêáéêáé
äéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóç
áíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçò
1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ
âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý
¼ôáí óôéò áíéóþóåéò αx β 0, αx β 0+ > + < ôá á, â äåí åßíáé óõãêåêñéìÝíïé
áñéèìïß ôüôå ïé áíéóþóåéò áõôÝò ïíïìÜæïíôáé ðáñáìåôñéêÝò.
Ç äéáäéêáóßá ðñïóäéïñéóìïý ôùí ëýóåùí ìéáò ðáñáìåôñéêÞò áíßóùóçò ïíï-
ìÜæåôáé äéåñåýíçóç.
Áðü ôç äéåñåýíçóç ôçò áíßóùóçò αx β 0,+ > üðïõ á, â åßíáé ðáñÜìåôñïé,
ðñïêýðôïõí ôá åîÞò:
• Áí á > 0 ôüôå
β
αx β 0 αx β x
α
+ > ⇔ > − ⇔ > −
äçëáäÞ ç áíßóùóç αx β 0+ > Ý÷åé ôéò ëýóåéò
β
x
α
> − .
• Áí á < 0 ôüôå
β
αx β 0 αx β x
α
+ > ⇔ > − ⇔ < −
äçëáäÞ ç áíßóùóç αx β 0+ > Ý÷åé ôéò ëýóåéò
β
x
α
< − .
• Áí á = 0 êáé â > 0 ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:
0 x β 0 β 0⋅ + > ⇔ >
ðïõ éó÷ýåé. ¢ñá ç áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x.
• Áí á = 0 êáé β 0≤ ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:
0 x β 0 β 0⋅ + > ⇔ >
ðïõ åßíáé áäýíáôç. ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.
á > 0 á < 0 á=0
β 0> β 0≤
Áäýíáôç
Åðáëç-
èåýåôáé
ãéá êáèå x
Åðáëçèåýåôáé
ãéá
β
x
α
< −
ãéá
β
x
α
> −
Ëýóåéò ôçò áíßóùóçò áx+â<0
á > 0 á < 0 á=0
β 0≥ β 0<
Áäýíáôç
Åðáëç-
èåýåôáé
ãéá êáèå x
ãéá
β
x
α
> −
ãéá
β
x
α
< −
Ìå ôïí ßäéï ôñüðï äéåñåõ-
íïýìå ôçí áíßóùóç
αx β 0+ < . Ðñïêýðôåé Ýôóé ï
åðüìåíïò ðßíáêáò.
Ìå üìïéï ôñüðï ãßíåôáé ç
äéåñåýíçóç ôùí áíéóþóåùí
αx β 0+ ≥ êáé αx β 0+ ≤ .
Áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïýÂ.2
Ôá óõìðåñÜóìáôá áõôÜ óõíïøßæïíôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.

Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Γ' λυκείου 2015 |

Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Γ' λυκείου 2015 |

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοήθημα μαθηματικών Γ' λυκείου 2015 |