1. Ïðîåêòèðîâàíèå è àíàëèç ðàñïèñàíèÿ äâèæåíèÿ
ïîåçäîâ íà îñíîâå ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû
(ðåôåðàò)
Êîæàíîâ Å.Ì., ãð.ÂÔÍ12-61
11 ìàÿ 2013 ã.
Ñîäåðæàíèå
1 Ââåäåíèå 1
2 Ñòàáèëüíîñòü ðàñïèñàíèÿ 3
3 Ìàêñ-ïëþñ àëãåáðà 3
4 Ïðèìåð ðàñ÷¼òà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé íà ãðàôå 4
5 Ìîäåëèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû 5
6 Àíàëèç êðèòè÷åñêîé çàêîëüöîâàííîñòè 12
7 Àíàëèç âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ñèñòåìû 16
8 Ðàñïðîñòðàíåíèå çàäåðæåê 17
9 Àíàëèç óðîâíÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñèñòåì äèñêðåòíûõ ñîáûòèé 19
10 Cèíõîíèçàöèÿ ðàñïèñàíèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ 20
1 Ââåäåíèå
J =
∂x
∂r
∂y
∂r
∂x
∂s
∂y
∂s
.
Ðåôåðàò ïîñâÿù¼í àíàëèçó ñòàáèëüíîñòè æåëåçíîäîðîæíîãî ðàñïè-
ñàíèÿ, èçëîæåííîãî â ðàáîòå [1]. Ðàññìîòðåíû òàêæå äðóãèå òðóäû, êàñà-
þùèåñÿïðèìåíåíèþðàññìîòðåííûõâðàáîòå[1]àëãåáðàè÷åñêèõìåòîäîâ
àíàëèçà ñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ ïî ðàñïèñàíèþ.
1

2. Äâèæåíèåïîåçäîââðåàëüíûõóñëîâèÿõâûçûâàåòíåîáõîäèìîñòüïðåäó-
ñìàòðèâàòü ðàñïèñàíèå ñ ðåçåðâàìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðè âîçìîæíûõ
ñáîÿõ äâèæåíèå ïî ðàñïèñàíèþ âîññòàíàâëèâàëîñü â íåîáõîäèìûå ñðî-
êè. Ïîä âîññòàíîâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîäðàçóìåâàåòñÿ îòñóòñòâèå ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ âëèÿíèÿ îäíîãî ñáîÿ íà ðåæèì ôóíêöèîíèðîâàíèÿ âñåé æå-
ëåçíîäîðîæíîéñåòè,àòàêæåîòñóòñòâèÿýôôåêòà"äîìèíî"(êîãäàñáîéâ
äâèæåíèè âñåõ ïîåçäîâ âîçíèêàåò èç-çà ñáîÿ â ðåæèìå äâèæåíèÿ îäíîãî
ïîåçäà). Ðàñïèñàíèå êàê â Åâðîïå òàê è â Ðîññèè ñòðîèòñÿ ïî ïðèíöèïó
óñòðàíåíèÿ êîíôëèêòîâ â äâèæåíèè ïîåçäîâ åù¼ íà ñòàäèè ïîñòðîåíèÿ
ðàñïèñàíèÿ.Ñöåëüþïîñòðîåíèÿòàêîãî"îòêàçîóñòîé÷èâîãî"ðàñïèñàíèÿ
è ïðåäóñìàòðèâàþòñÿ íåîáõîäèìûå ðåçåðâû.
Îñíîâíàÿ ÷åðòà îðãàíèçàöèè äâèæåíèÿ ïîåçäîâ ïî ãðàôèêó - ñèíõðî-
íèçàöèÿ ìàðøðóòîâ è âðåì¼í äâèæåíèÿ ïîåçäîâ íà ñòàíöèÿõ, à òàêæå
èíòåðâàëîâ ìåæäó ïîåçäàìè, ñëåäóþùèìè ïî êîíôëèêòíûì äðóã äðó-
ãó ìàðøðóòàì. Êàê ïðàâèëî, ïîäîáíûå èíòåðâàëû âðåìåíè îïðåäåëÿþò-
ñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïóò¼ì èçìåðåíèÿ âðåìåíè íà íåîáõîäèìûå îïåðà-
öèè ñ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ îïåðàöèé ñ ïîåçäîì, ìàðøðóò êîòîðîãî ÿâ-
ëÿåòñÿ êîíôëèêòíûì ïî îòíîøåíèþ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ïîåçäó. Â ðå-
çóëüòàòå ìû èìååì ñèñòåìó ñ ðàçãðàíè÷åíèåì âðåìåíåì, êîòîðàÿ ìîæåò
áûòü ýôôåêòèâíî ñìîäåëèðîâàíà ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé ìàêñ-ïëþñ
((max,+), àíãë. max-plus) àëãåáðû. Â ðåçóëüòàòå òàêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
ïàðàìåòðû ðàñïèñàíèÿ çíà÷èòåëüíî óëó÷øàþòñÿ, ñòàáèëüíîñòü ãðàôèêà
îïðåäåëÿåòñÿ ïóò¼ì âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ñîñòîÿ-
íèé,êîòîðàÿîïèñûâàåòðàñïèñàíèåäâèæåíèÿâìàêñ-ïëþñàëãåáðå.Êðî-
ìå òîãî, ïîëó÷åííûé îòâåò ãîâîðèò íå òîëüêî î òîì ñ÷èòàåòñÿ ëè ðàñïè-
ñàíèå ñòàáèëüíûì èëè íåò, íî è óêàçûâàåò íà óçêèå ìåñòà òðàíñïîðòíîé
ñåòè. Âçàèìîâëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ÷àñòåé òðàíñïîðòíîé ñåòè, ýôôåêò ïå-
ðåðûâîâ äâèæåíèÿ â ðàñïèñàíèè ñòàíîâÿòñÿ âèäíû â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå
ïóòåì ðàñ÷¼òà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé, îïèñûâàåìûõ ñ ïîìîùüþ îãðàíè÷å-
íèé ïðèîðèòåòà ïîåçäîâ.
Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [2] òàêæå óêàçûâàåòñÿ íà âîçìîæíîñòü àíàëè-
çà "ñèñòåì äèñêðåòíûõ ñîáûòèé"(discrete event systems - DES), ê êîòî-
ðûì ìîæíî îòíåñòè è ðàññìàòðèâàåìóþ íàìè ñèñòåìó æåëåçíîäîðîæíî-
ãî ðàñïèñàíèÿ, ñ ïîìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû. Â äàííîé ðàáîòå ïîìè-
ìî ðàññìîòðåííûõ â [1] âîïðîñîâ òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëèç óðîâíÿ
ïðîèçâîäèòåëüíîñòè DES-ñèñòåìû. Ìû ðàññìîòðèì åãî â ïàðàãðàôå 9.
 ðàáîòå [3] ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñèíõîíèçàöèè ðàñïèñàíèé ïàññàæèð-
ñêèõ ïîåçäîâ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ áåñïðåïÿòñâåííîé ïåðåñàäêè ïàññàæèðîâ
ìåæäó ïîåçäàìè (íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíà òàêàÿ ñèñòåìà â Ãåðìàíèè,).
Êðàòêîå èçëîæåíèå äàííîãî àíàëèçà áóäåò ïðèâåäåíî â ïàðàãðàôå 10.
ÂäèññåðòàöèèÌèëîâàÄ.Ñ.[4]ðàññìàòðèâàåòñÿàíàëèçñåòåéñî÷åðå-
äÿìè, ÷òî íåñêîëüêî íå ïîäõîäèò äëÿ àíàëèçà æåëåçíîäîðîæíîãî ðàñïè-
ñàíèÿ,åñëèòîëüêîíåðàññìàòðèâàòüïîåçäà,ñòîÿùèåïîäîáãîíîì/ñêðåùåíèåì
íà ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàíöèÿõ, êàê î÷åðåäü. Îäíàêî äàííàÿ èíòåðïðåòà-
2

3. öèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé è â äàííîì ðåôåðàòå ðàññìàòðè-
âàòüñÿ íå áóäåò.
2 Ñòàáèëüíîñòü ðàñïèñàíèÿ
Ñòàáèëüíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê ñïîñîáíîñòü ê âîññòàíîâëåíèþ íîðìàëü-
íîãî ðåæèìà ïîñëå ñáîÿ â ðàñïèñàíèè. Ñòàáèëüíîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ â
äâóõ ñìûñëàõ: ñòàáèëüíîñòü îòêðûòûõ ñèñòåì (äëÿ ÷àñòè òðàíñïîðòíîé
ñåòè) è ñòàáèëüíîñòü çàêðûòûõ ñèñòåì (äëÿ òðàíñïîðòíîé ñåòè â öåëîì).
Ïðè ýòîì îòêðûòàÿ ñèñòåìà ñ÷èòàåòñÿ ñòàáèëüíîé, åñëè îòêëîíåíèå îò
ðàñïèñàíèÿ âûõîäÿùèõ ñ ïîëèãîíà ïîåçäîâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îòêëî-
íåíèé âõîäÿùèõ íà ïîëèãîí ïîåçäîâ. Çàêðûòàÿ ñèñòåìà æå ñ÷èòàåòñÿ
ñòàáèëüíîé â òîì ñëó÷àå, êîãäà îòêëîíåíèå â ðàñïèñàíèè áóäåò óñòðàíå-
íî çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ. Ñòàáèëüíîñòü ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíà
ïóòåì èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ âíóòðåííèõ çàâèñèìîñòåé â ðàñïèñàíèè. Ñ ïî-
ìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû îïåðàöèè â ðàñïèñàíèè ìîãóò áûòü ñìîäåëè-
ðîâàíû è ïðîàíàëèçèðîâàíû êàê ëèíåéíàÿ ñèñòåìà.
3 Ìàêñ-ïëþñ àëãåáðà
Ìàêñ-ïëþñ àëãåáðà - ÷àñòíûé ñëó÷àé èäåìïîòåíòíîãî ïîëóêîëüöà. Îíà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àëãåáðàè÷åñêóþ ñòðóêòóðó èç äåéñòâèòåëüíûõ ÷è-
ñåë, à òàêæå -∞, ñ àääèòèâíîé è ìóëüòèïëèêàòèâíîé îïåðàöèÿìè (îáî-
çíà÷àåìûìè ñèìâîëàìè ⊕ è ⊗ ), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ êàê
a ⊕ b = max(a, b)
a ⊗ b = a + b
Àääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ ïðè ýòîì êîììóòàòèâíà, àññîöèàòèâíà, èäåì-
ïîòåíòíà (a⊕a = a), èìååò íóëåâîé ýëåìåíò (ε = −∞); ìóëüòèïëèêàòèâ-
íàÿ îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà, èìååò "åäèíèöó"(0), à òàêæå ìóëüòèïëèêà-
òèâíàÿ îïåðàöèÿ äèñòðèáóòèâíà ïî àääèòèâíîé îïåðàöèè. Êðîìå òîãî,
íóëåâîé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ïîãëîùàþùèì (a ⊗ ε = ε ⊗ a = ε). Ñðàâíèâàÿ
ñ òðàäèöèîííîé àëãåáðîé, ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ îïåðàöèÿ òàêæå ìîæåò
áûòü ïðîñòî çàïèñàíà êàê ab âìåñòî a ⊗ b.
Ñêàëÿðíûå îïåðàöèè â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå ìîãóò áûòü ðàñøèðåíû íà
ìàòðèöû êàê è â òðàäèöèîííîé àëãåáðå. Òàê, ïóñòü A = (aij) è B = (bij)
- äâå êâàäðàòíûå ìàòðèöû ðàçìåðîì n×n, ñîäåðæàùèå äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà è ýëåìåíò ε = −∞, òîãäà
(A ⊕ B)ij = aij ⊕ bij = max(aij, bij)
(A ⊗ B)ij = ⊕n
k=1(aik ⊗ bkj) = max
k=1,...,n
(aik + bkj)
Ìíîæåñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö ñ îïðåäåë¼ííûìè òàêèì îáðàçîì îïå-
ðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå èäåìïîòåíòíûì ïîëó-
êîëüöîì. Íóëåâàÿ ìàòðèöà - ìàòðèöà, â êîòîðîé âñå çàïèñè ýêâèâàëåíò-
íû ε, â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü å¼ ïðîñòî ε. Åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà
3

4. E = (eij) îïðåäåëÿåòñÿ êàê äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ äèàãîíàëüíûìè ýëå-
ìåíòàìè 0, ò.å. eii = 0 è eij = ε äëÿ j = i. Ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ìàêñ-
ïëþñîâîé ìàòðèöû A ïîêîìïîíåíòíî, ò.å. (c⊗A)ij = c⊗aij = c+aij äëÿ
âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ c è ε.
 ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü çàâèñèìîñòü ìåæäó ñòå-
ïåíÿìè ìàòðèö ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû è "êðèòè÷åñêèõ"(ìàêñèìàëüíûõ) ïó-
òåé â îðãðàôàõ (îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ). Äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû
A ñòåïåíü ìàòðèöû A⊗l îïðåäåëÿåòñÿ ðåêóðñèâíî ÷åðåç A⊗0 = E è
A⊗l = A⊗l−1 ⊗ A äëÿ âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ l. Ñèìâîë ⊗ äîáàâëÿåòñÿ â
ïîêàçàòåëü ñòåïåíè äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñòåïåíü ìàòðèöû â ïîíè-
ìàíèè ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû îò "îáû÷íîé"ñòåïåíè ìàòðèöû. Êàæäàÿ êâàä-
ðàòíàÿ n × n ìàòðèöà A ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðîâàííîìó ãðàôó G(A) ñ
n óçëàìè îò 1 äî n è äóãàìè arc(i, j) ñ âåñàìè aij(aij = ε), íàçûâàåìî-
ìó òàêæå ãðàôîì ïðèîðèòåòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, A - ìàòðèöà èç ÿ÷ååê,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò äóãå ãðàôà G(A). Ïóòü - ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü äóã â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå, âåñ ïóòè - ñóììà âåñîâ äóã,
âõîäÿùèõ â ïóòü. A⊗2 îïðåäåëÿåòñÿ êàê
(A⊗2)ij = ⊕n
k=1(aik ⊗ akj) = max
k=1,...,n
(aik + akj)
êîòîðûéÿâëÿåòñÿìàêñèìàëüíûìïîâåñóïóò¼ìñðåäèâñåõïóòåéãðà-
ôà ñ ðîâíî äâóìÿ äóãàìè èç óçëà j ÷åðåç ëþáîé óçåë k â óçåë i. A⊗l ÿâëÿ-
åòñÿ ìàòðèöåé ïóòåé ñ ìàêñèìàëüíûì âåñîì è ðîâíî l äóãàìè. Ìàòðèöà
êðèòè÷åñêîãî ïóòè - ìàòðèöà âåñîâ êðèòè÷åñêîãî ïóòè, ò.å. ìàêñèìàëü-
íûåâåñàñðåäèâñåõïóòåéëþáîéäëèíû,êîòîðûåìîãóòáûòüîïðåäåëåíû
êàê
A+ = ⊕∞
l=1A⊗l = A ⊕ A⊗2 ⊕ ...
Åñëè ãðàô G(A) èìååò öèêëû îòðèöàòåëüíîãî âåñà, òî ëþáîé êðèòè-
÷åñêèé ïóòü â ãðàôå èç n óçëîâ ñîäåðæèò áîëüøå n äóã è òàêèì îáðà-
çîì ìàòðèöà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé îïèñûâàåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé ïåðâûõ
n ñòåïåíåé ìàòðèöû: A+ = ⊕n
l=1A⊗l.  àöèêëè÷åñêèõ ãðàôàõ èç n óçëîâ
êðèòè÷åñêèé ïóòü èìååò äëèíó íå áîëåå n − 1, è òîãäà A+ = ⊕n−1
l=1 A⊗l.
4 Ïðèìåð ðàñ÷¼òà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé íà ãðàôå
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîêàçàòü ñâÿçü ìåæäó ñòåïåíÿìè ìàòðèöû è êðèòè÷å-
ñêèìè ïóòÿìè â ãðàôå ðàññìîòðèì àöèêëè÷åñêèé ãðàô (ðèñ.1), îïèñû-
âàåìûé ìàòðèöåé
A =





ε ε ε ε
4 ε 2 ε
3 ε ε ε
ε 5 4 ε





4

5. Ðèñ. 1. Ãðàô äëÿ ïðèìåðà ïîèñêà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé.
Ñòåïåíè ìàòðèöû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû òàê: A⊗2 =





ε ε ε ε
5 ε ε ε
ε ε ε ε
9 ε 7 ε





,
A⊗3 =





ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
10 ε ε ε





, A⊗l =





ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε





äëÿ âñåõ l ≥ 4.
Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò äâà ïóòè èç äâóõ äóã èç óçëà 1 â óçåë 4
ñ âåñîì 7 (÷åðåç óçåë 3) è âåñîì 9 (÷åðåç óçåë 2) ñîîòâåòñòâåííî. Ìàê-
ñèìàëüíûé âåñ 9 ñîîòâåòñòâóåò A⊕2
41 = g. Èç òð¼õ äóã ñóùåñòâóåò òîëüêî
îäèí ïóòü ÷åðåç óçëû 1 − 3 − 2 − 4 ñ âåñîì 10; èç áîëåå ÷åì òð¼õ äóã -
íåò ïóòåé. Ìàòðèöà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
A+ = ⊕3
l=1A⊗l =





ε ε ε ε
5 ε 2 ε
3 ε ε ε
10 5 7 ε





.
Ìàòðèöà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé - âàæíûé ýëåìåíò â òåîðèè ìàêñ-ïëþñ
àëãåáðû ëèíåéíûõ ñèñòåì, à òàêæå â ïðàêòèêå âû÷èñëåíèé ýôôåêòèâ-
íîñòè àëãîðèòìîâ íà ãðàôàõ. Âåñà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé â àöèêëè÷åñêîì
îðãðàôå G(A) ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû çà ëèíåéíîå âðåìÿ O(m) ñ èñïîëü-
çîâàíèåìàëãîðèòìàòîïîëîãè÷åñêîéñîðòèðîâêè(m -êîëè÷åñòâîâåðøèí
ãðàôà G(A)).
5 Ìîäåëèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû
Àíàëèç ñòàáèëüíîñòè ðàñïèñàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû
îñíîâûâàåòñÿ íà ìàêðîìîäåëèðîâàíèè òðàíñïîðòíîé ñèñòåìû, äåéñòâó-
þùåé ïî ðàñïèñàíèþ. Èíòåðåñóþùèå íàñ ïåðåìåííûå - âðåìåíà ñîâåðøå-
íèÿ ñîáûòèé ñ ïîåçäàìè íà ñòàíöèÿõ, êîòîðûå ñâÿçàíû îãðàíè÷åíèÿìè
ïðèîðèòåòà ïðîïóñêà ïîåçäîâ.  îñíîâíîì, ñîáûòèÿ ñ ïîåçäàìè âêëþ÷à-
þòâñåáÿïðèáûòèå,îòïðàâëåíèåèñîáûòèåîêîí÷àíèÿìàðøðóòà.Âðåìå-
íà ñëåäîâàíèÿ ìåæäó ñòàíöèÿìè ñòðîãî îïðåäåëåíû, âðåìåíà ïðèáûòèÿ
ìîãóò áûòü îïåðåäåëåíû ÷åðåç ìîìåíòû îòïðàâëåíèÿ è âðåìåíà ñëåäî-
âàíèÿ, ïîýòîìó íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî âðåìåíà îòïðàâëåíèÿ ñî
ñòàíöèé. Ïîä ïåðèîäè÷íîñòüþ ðàñïèñàíèÿ ïîíèìàåòñÿ ïîâòîðåíèå ìî-
5

6. ìåíòîâ îòïðàâëåíèÿ ÷åðåç êàæäûå T ìèíóò (îò 60 äî 1440 ìèíóò â çàâè-
ñèìîñòè îò òèïà ðàñïèñàíèÿ). Â îäíîì ïåðèîäå èñïîëüçóåòñÿ îäèí íàáîð
ïåðåìåííûõ.
Ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü âûñøåãî ïîðÿäêà
Îáîçíà÷èì çà xi(k) k-îå âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ïîåçäà Li ñî ñòàíöèè Si. Íå
äîïóñêàåòñÿ îòïðàâëåíèå ïîåçäà ðàíåå âðåìåíè îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñà-
íèþ, èç ÷åãî ïîëó÷àåì îãðàíè÷åíèå ïî ðàñïèñàíèþ:
xi(k) ≥ di(k), (1)
ãäå di(k) - âðåìÿ k-îãî îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñàíèþ ïîåçäà Li ñî ñòàí-
öèè Si. Â ðàñïèñàíèè ñ ïåðèîäîì T âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñàíèþ
ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî êàê di(k) = di(0) + k ∗ T, ãäå di(0) - íà÷àëüíîå
âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ñîáûòèÿ i.
Ïåðåä òåì êàê ïîåçä áóäåò ãîòîâ ê îòïðàâëåíèþ îí äîëæåí ïðîéòè
ïðîâåðêè ïî îãðàíè÷åíèÿì ïðèîðèòåòà. Ïðåæäå âñåãî, äî ñâîåãî îòïðàâ-
ëåíèÿ ñ äàííîé ñòàíöèè ïîåçä äîëæåí ïðèáûòü ñ ïðåäûäóùåé ñòàíöèè, è
ïàññàæèðû äîëæíû èìåòü âðåìÿ íà ïîñàäêó-âûñàäêó ïàññàæèðîâ (èëè
âûïîëíåíèÿäðóãèõòåõíîëîãè÷åñêèõîïåðàöèéíàñòàíöèÿõ).Ýòîïîðîæ-
äàåò ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå:
xi(k) ≥ aij + xj(k − µij), (2)
ãäå aij - ñóììà âðåìåíè õîäà îò ïðåäûäóùåé ñòàíöèåé è ìèíèìàëü-
íîãî âðåìåíè ñòîÿíêè (âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé) íà ñòàíöèè Si,
xj(k − µij) - âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ñ ïðåäûäóùåé ñòàíöèè, êîòîðîå ðåà-
ëèçóåòñÿ â òîì æå ñàìîì ïåðèîäå èëè îäèí èëè áîëåå ïåðèîäîâ íàçàä. µij
-÷èñëîïðåäûäóùèõïåðèîäîâ.Åñëèïðåäûäóùååñîáûòèåj çàïëàíèðîâà-
íî â òîì æå ïåðèîäå k òàêæå êàê è ñîáûòèå i, òî µij = 0, åñëè j - â ïðåäû-
äóùåì ïåðèîäå, òî µij = 1 è ò.ä. Òàêæå äàííîå îãðàíè÷åíèå ïîçâîëÿåò
ó÷åñòü âðåìÿ íà âûñàäêó ïàññàæèðîâ, âðåìÿ íà ñìåíó ëîêîìîòèâíûõ
áðèãàä, ñìåíó ëîêîìîòèâîâ è ò.ï. Êîíôëèêò ìàðøðóòîâ ïîåçäîâ òàêæå
ìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ äàííîãî îãðàíè÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå j
- "íîìåð"îòïðàâëåíèÿ ïðåäûäóùåãî ïîåçäà íà êîíôëèêòíûé ìàðøðóò,
aij - ìèíèìàëüíûé ðåçåðâ ïîñëå ïðèáûòèÿ j ïåðåä òåì êàê êîíôëèêòíûé
ìàðøðóò áóäåò îñâîáîæä¼í äëÿ ïðèáûòèÿ i (ðèñ. 2). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî
òàêîå"èíôðàñòðóêòóðíîå"îãðàíè÷åíèå(ò.å.îãðàíè÷åíèå,îïðåäåëÿþùåå
çàíÿòîñòü ïóòåé ïîåçäàìè ñ êîíôëèêòíûìè ìàðøðóòàìè) îïèñûâàåò ïî-
ðÿäîê çàíÿòèÿ ïîåçäàìè êîíôëèêòíîãî ìàðøðóòà.
6

7. Ðèñ. 2. Ïðèìåð ìèíèìàëüíîãî ðåçåðâà îò ñîáûòèÿ j äî ñîáûòèÿ i.
Ïðèíèìàÿ, ÷òî ïîåçä îòïðàâëÿåòñÿ ñðàçó ïîñëå òîãî êàê âñå îãðàíè-
÷åíèÿ âûïîëíåíû, ìû ïîëó÷èì
xi(k) = max(max
j
(aij + xj(k − µij)), di(k)), (3)
ãäå j îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî i (ðèñ. 3).
Ðèñ. 3. Ïðèìåð ðàñ÷¼òà ìèíèìàëüíîãî ðåçåðâà îò ñîáûòèÿ j äî ñîáûòèÿ
i.
Òàêîå ðåêóðñèâíîå âûðàæåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ìàêñ-ïëþñ àë-
ãåáðå êàê
xi(k) = ⊕n
j=1(aij ⊗ xj(k − µij)) ⊕ di(k)), (4)
ãäå n - ñóììàðíîå êîë-âî ñîáûòèé è aij = ε äëÿ ëþáîé ïàðû (i, j),
äëÿêîòîðîéíåîïðåäåëåíîäàííîåîãðàíè÷åíèå.Äëÿòîãî÷òîáûçàïèñàòü
äàííîå îãðàíè÷åíèå â ìàòðè÷íîé ôîðìå, ñîáåðåì âñå âðåìåíà ñëåäîâà-
íèÿ a(i, j), êîòîðûå âõîäÿò â ïåðèîä l, â ìàòðèöó Al, ïðè÷åì (Al)ij = ε
åñëè äàííîãî îãðàíè÷åíèÿ ïî çàäåðæêå íå ñóùåñòâóåò. Ñ ó÷¼òîì âåêòî-
ðîâ x(k) = (x1(k), ..., xn(k)) è d(k) = (d1(k), ..., dn(k)) îãðàíè÷åíèå â
ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x(k) = ⊕p
l=0(Al ⊗ x(k − l)) ⊕ d(k), (5)
ãäå ìàêñèìàëüíûé ïåðèîä p íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñèñòåìû. Âåêòîð
ðàñïèñàíèÿ d(k) ìîæåò áûòü çàïèñàí â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå êàê
d(k) = d(0) ⊕ T⊗k
, (6)
ãäå ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå âåêòîðà îïðåäåëÿåòñÿ ïîêîìïîíåíòíî è k-
àÿ ñòåïåíü ñêàëÿðà îïðåäåëÿåòñÿ ïîâòîðåíèåì k ðàç, ò.å. T⊗k = k · T.
7

8. Ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ âûñøåãî ïîðÿäêà
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòîé îäíîïóòíûé ó÷àñòîê îò ñòàíöèè A äî ñòàíöèè
C ñ ïðîìåæóòî÷íîé ñòàíöèåé B, íà êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàçâÿçêà
ïîåçäîâ âñòðå÷íûõ íàïðàâëåíèé (ðèñ.2). Êàæäûé ÷àñ ïîåçäà ïðîòèâîïî-
ëîæíûõ íàïðàâëåíèé îòïðàâëÿþòñÿ ñî ñòàíöèé A è C ñîîòâåòñòâåííî è
ïðîñëåäóþò ÷åðåç ñòàíöèþ B. Âðåìÿ ñëåäîâàíèÿ ìåæäó ñòàíöèÿì A è
B ðàâíî 26 ìèíóòàì, ìåæäó B è C - 25 ìèíóòàì (â îáà íàïðàâëåíèÿ),
ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ñòîÿíêè íà ñòàíöèè B - îäíà ìèíóòà, íà ãðàíè÷íûõ
ñòàíöèÿõ A è C âðåìÿ íà ñìåíó íàïðàâëåíèÿ ñîñòàâëÿåò ïî 3 ìèíóòû,
ïîñëå ÷åãî ïîåçäà ãîòîâû ê îòïðàâëåíèþ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëå-
íèè. Áóäåì îïèñûâàòü ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ñ ÷åòûðåìè ñîáûòèÿìè îòïðàâ-
ëåíèÿ: x1 - îòïðàâëåíèå ñî ñòàíöèè A â íàïðàâëåíèè ñòàíöèè B, x2 - èç
Ñ íà B, x3 - èç B íà A, x4 - èç B íà C.
Ðèñ. 4. Ïðèìåð îäíîïóòíîãî ó÷àñòêà è ðàññìàòðèâàåìûõ íà í¼ì
ñîáûòèé.
Îòïðàâëåíèåx1(k) äîëæíîîæèäàòüïðåäûäóùåãîîòïðàâëåíèÿx3(k−
1) ñî ñòàíöèè B â ïðåäûäóùåì ïåðèîäå ïëþñ åù¼ 26 ìèíóò âðåìåíè õîäà
îò B äî A, à òàêæå 3 ìèíóòû íà ñòàíöèè A, ò.å. x1(k) ≥ 3⊗26⊗x3(k −1).
Òàêæå ó÷ò¼ì âðåìÿ ïî ðàñïèñàíèþ: d1(k) = 0 + k · 60, ÷òî ïðèâîäèò ê
ñëåäóþùåìó îãðàíè÷åíèþ:
x1(k) = 29 ⊗ x3(k − 1) ⊕ d1(k). (7)
Àíàëîãè÷íî, îòïðàâëåíèå x2(k) ñî ñòàíöèè C æä¼ò ïðåäûäóùåãî îò-
ïðàâëåíèÿ x4(k − 1) èç B, ïëþñ åù¼ 25 ìèíóò âðåìåíè õîäà è 3 ìèíóòû
íà ñìåíó íàïðàâëåíèÿ ñîñòàâà, à òàêæå ñ ó÷¼òîì âðåìåíè ðàñïèñàíèÿ
d2(k) = 0 + k · 60, ïîëó÷èì
x2(k) = 28 ⊗ x4(k − 1) ⊕ d2(k) (8)
8

9. Îòïðàâëåíèå x3(k) èç B èìååò òðè îãðàíè÷åíèÿ: âî-ïåðâûõ, îæèäà-
íèå ïðåäûäóùåãî ïðèáûòèÿ x2(k) èç C â òîì æå ïåðèîäå ïëþñ 25 ìèíóò
ïåðåãîííîãîâðåìåíèõîäàèîäíàìèíóòàñòîÿíêèíàñòàíöèèBäà¼òîãðà-
íè÷åíèå x3(k) ≥ 1 ⊗ 25 ⊗ x2(k); âî-âòîðûõ, ñ B âîçìîæíî îòïðàâëåíèå
òîëüêî åñëè ïîåçä ñ A óæå ïðèáûë íà B äà¼ò x3(k) ≥ 26⊗x1(k) (ïðè ýòîì
ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó ïðèáûòèåì îäíîãî ïîåçäà è îòïðàâëåíèåì
ïîåçäà ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì íóëþ); â-
òðåòüèõ, ïîåçä äîëæåí æäàòü ñâîåãî âðåìåíè îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñà-
íèþ: d3(k) = 27 + k · 60. Òàêèå òðè îãðàíè÷åíèÿ äàþò ñëåäóþùåå âûðà-
æåíèå â ìàêñ-ïëþñ çàïèñè:
x3(k) = 26 ⊗ x1(k) ⊕ 26 ⊗ x2(k) ⊕ d3(k). (9)
Àíàëîãè÷íî, îòïðàâëåíèå x4(k) èç B â íàïðàâëåíèè C òàêæå èìååò
òðè îãðàíè÷åíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ìàêñ-ïëþñ âûðàæåíèåì:
x4(k) ≥ 27 ⊗ x1(k) (10)
x4(k) ≥ 25 ⊗ x2(k)
d4(k) = 27 + k · 60
x4(k) = 27 ⊗ x1(k) ⊕ 25 ⊗ x2(k) ⊕ d4(k).
Âñå ýòè îãðàíè÷åíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
x(k) =





ε ε ε ε
ε ε ε ε
26 26 ε ε
27 25 ε ε





⊗ x(k) ⊕





ε ε 29 ε
ε ε ε 28
ε ε ε ε
ε ε ε ε





⊗ x(k − 1) ⊕ d(k), (11)
ïðè÷åì d(k) = (0, 0, 27, 27) ⊗ 60⊗k. Ýòî - ôîðìà ïîðÿäêà p = 1. Ýòîò
ïðèìåð áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì äëÿ èëëþñòðàöèè òåîðèè.
Ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ïåðâîãî ïîðÿäêà
Ëþáàÿ ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â
ìîäåëü ëèíåéíîé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà â ôîðìå:
x(k) = A ⊗ x(k − 1) ⊕ d(k), (12)
äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû A è âîçìîæíîãî ðàñøèðåííîãî âåêòîðà ñî-
ñòîÿíèé x(k). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî â äâà øàãà.
Âî-ïåðâûõ, âñå âûðàæåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà ôîðìû (2) ñ µij > 1 ìîãóò
9

10. áûòü ïðåîáðàçîâàíû â îãðàíè÷åíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ÷åðåç ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü íîâûõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå
x2(k) ≥ a21 ⊗ x1(k − 2).
Çàòåì îïðåäåëèì íîâîå òðåòüå ñîáûòèå, è çàïèøåì ðàññìàòðèâàåìîå
îãðàíè÷åíèå÷åðåçíîâûåäâà:x3(k) ≥ ˜a31⊗x1(k−1) èx2(k) ≥ ˜a23⊗x3(k−
1), ãäå ˜a23⊗˜a31 = a21, ˜a31 = T, ˜a23 = a21−T, d3(0) = ˜a31⊗d1(0). Ïðèìåíÿÿ
äàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ê îñòàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì, ó êîòîðûõ ïåðèîä
çàäåðæêè áîëüøå ÷åì îäèí ïåðèîä, ïîëó÷èì
x(k) = A0 ⊗ x(k) ⊕ A1 ⊗ x(k − 1) ⊕ d(k). (13)
Âòîðîé øàã - óäàëåíèå óñëîâèé íóëåâîãî ïîðÿäêà èç ïðåäûäóùåãî
îãðàíè÷åíèÿ.Ýòîìîæåòáûòüðåàëèçîâàíîïóòåìçàìåíû,ïðîäåìîíñòðè-
ðîâàííîé íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (11) óæå èìååò
ïåðâûé ïîðÿäîê è çàïèñàíà â ôîðìå (13).
Ïðèìåð
Âûðàæåíèÿ (7) è (8) óæå çàïèñàíû â ôîðìå ïåðâîãî ïîðÿäêà, íî âûðà-
æåíèå (9) - â ôîðìå íóëåâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óéòè îò ôîðìû
íóëåâîãî ïîðÿäêà, íåîáõîäèìî çàìåíèòü âûðàæåíèÿ (7) è (8) âíóòðè âû-
ðàæåíèÿ (9). Ïîëó÷àåì:
x3(k) = 26⊗x1(k)⊕26⊗x2(k)⊕d3(k) = 26⊗29⊗x3(k−1)⊕26⊗d1(k)⊕
26⊗28⊗x4(k−1)⊕26⊗d2(k)⊕d3(k) = 55⊗x3(k−1)⊕54⊗x4(k−1)⊕d3(k).
(14)
Îòìåòèì, ÷òî ïðàâèëî ðàñïèñàíèÿ äîìèíèðóåò ÷åðåç âðåìÿ d3(k), òî
åñòü 26 ⊗ d1(k) ⊕ 26 ⊗ d2(k) = 26 ⊗ 60⊗k = d3(k) è îòñþäà ìîæåò áûòü
óäàëåíî èç ôèíàëüíîãî âûðàæåíèÿ. Ðàñïèñàíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå äàí-
íîìóîãðàíè÷åíèþ,íàçîâ¼ìðåàëèçóåìûì.Àíàëîãè÷íî,óñëîâèåíóëåâîãî
óðîâíÿ â (10) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ÷åðåç çàìåíû (7) è (8):
x4(k) = 27⊗x1(k)⊕25⊗x2(k)⊕d4(k) = 27⊗29⊗x3(k−1)⊕27⊗d1(k)⊕
25⊗28⊗x4(k−1)⊕25⊗d2(k)⊕d4(k) = 56⊗x3(k−1)⊕53⊗x4(k−1)⊕d4(k).
(15)
 ìàòðè÷íîé çàïèñè çàïèøåì ôîðìó (12):
x(k) =





ε ε 29 ε
ε ε ε 28
ε ε 55 54
ε ε 56 53





⊗ x(k − 1) ⊕ x(k), (16)
Äàííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî âûðàæåíèå íóëåâîãî ïîðÿäêà ìîæåò
áûòü èñêëþ÷åíî çàìåíîé íà âûðàæåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ýòîò ïðîöåññ -
10

11. àëãåáðàè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ìàòðè÷íîé
ôîðìå. Ïðåîáðàçîâàíèå (13) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:
x(k) = A∗
0A1 ⊗ x(k − 1) ⊕ d(k), (17)
ãäå A∗
0 = E ⊕ A+
0 . Ýòî - ôîðìà (12) ñ
A = A∗
0A1 = (E ⊕ A0 ⊕ A⊗2
0 ⊕ ... ⊕ A⊗n−1
0 ) ⊗ A1 = (⊕n−1
l=0 A⊗l
0 ) ⊗ A1, (18)
ãäå ïðèìåì, ÷òî A0 àöèêëè÷íî, ò.å. íåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îò ñîáû-
òèÿ i íàçàä ê ñîáûòèþ i â íóëåâîé ïåðèîä çàäåðæêè. Ýòî ìîæåò äîêà-
çàòü, ÷òî ñâîéñòâî àöèêëè÷íîé A0 äîëæíî ïîäõîäèòü ïîä íàøó ìîäåëü
ðàñïèñàíèÿ. Åñëè îíî íå ïîäõîäèò, òî ñèñòåìà îïðåäåëÿåò áåñêîíå÷íî
çàöèêëåííóþ ñèòóàöèþ. Ìàòðèöà A+
0 ñîäåðæèò âåñà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé
âñåõ ïóòåé îðãðàôà G(A0), îïèñàííûõ óçëàìè 1, ..., n è äóãàìè arc(i, j) ñ
âåñàìè aij äëÿ âñåõ ïàð (i, j) ñ µij = 0, ïåðåñåêàþùååñÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè
ñ íóëåâûì ïåðèîäîì îïîçäàíèé.
Ïðèìåð
 ïðèìåðå ñèñòåìû (11), G(A0) ñîäåðæèò òîëüêî ïóòü èç îäíîé äóãè
(ðèñ. 5), ïîýòîìó A∗
0 âû÷èñëÿåòñÿ êàê
A∗
0 = E ⊕ A0 =





0 ε ε ε
ε 0 ε ε
ε ε 0 ε
ε ε ε 0





⊕





ε ε ε ε
ε ε ε ε
26 26 ε ε
27 25 ε ε





=





0 ε ε ε
ε 0 ε ε
26 26 0 ε
27 25 ε 0





. (19)
Ðèñ. 5. Ïðèîðèòåòíûé ãðàô G(A0) ñîáûòèé â íóëåâîé ïåðèîä
îïîçäàíèé ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì:
11

12. A = A∗
0A1 =





0 ε ε ε
ε 0 ε ε
26 26 0 ε
27 25 ε 0





⊗





ε ε 29 ε
ε ε ε 28
ε ε ε ε
ε ε ε ε





=





ε ε 29 ε
ε ε ε 28
ε ε 55 54
ε ε 56 53





. (20)
è ïî (17) ïîëó÷àåì ñèñòåìó ïåðâîãî ïîðÿäêà (16).
6 Àíàëèç êðèòè÷åñêîé çàêîëüöîâàííîñòè
 äàííîì ðàçäåëå îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåì ïîâåäåíèþ ëèíåéíûõ ñè-
ñòåì ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû, êîãäà âñå ñîáûòèÿ íàñòóïàþò íàñòîëüêî ðàíî
íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî ïî îòíîøåíèþ êî âñåì ïðåäûäóùèì îãðàíè÷å-
íèÿì, íî ñ ó÷¼òîì âåêòîðà ðàñïèñàíèÿ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó:
x(k) = A ⊗ x(k − 1), x(0) = x0, (21)
ãäå x0 - âåêòîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé (âðåì¼í ñîáûòèé). Òàê êàê, (12) -
ïðîñòîå ðåêóðñèâíîå âûðàæåíèå, ðåøåíèå xk ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî äëÿ
k ≥ 1 êàê ôóíêöèÿ îò ïåðâîíà÷àëüíûõ óñëîâèé ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðè k = 1 x(1) = Ax(0) = Ax0, ïðè k = 2 x(2) = Ax(1) = AAx(0) =
A⊗2x0, ÷òî â èòîãå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: x(k) = A⊗kx0.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåçàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé âûðàæåíèå äëÿ
x(k) ïîäõîäèò äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà, ò.å. xi(k +1)−xi(k) = λi äëÿ
âñåõ i è k ≥ K äëÿ íåêîòîðîãî ïåðèîäà K, ãäå λ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì
âðåìåíåì ñîáûòèÿ è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:
lim
k→∞
(xi(k)/k) = λi. (22)
Åñëè ãðàô ñòðîãî ñâÿçàí, òî åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü îò îäíîãî ñîáûòèÿ
i äî äðóãîãî ñîáûòèÿ j, òî âñå ñîáûòèÿ èìåþò òàêîå æå óíèêàëüíîå âðå-
ìÿ öèêëà λ. Åñëè íà ãðàôå ñóùåñòâóþò ñòðîãî ñâÿçíûå êîìïîíåíòû, òî
îí ìîæåò áûòü ðàçäåë¼í íà íåñêîëüêî ïîäãðàôîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ
áóäåò èìåòü óíèêàëüíîå âðåìÿ öèêëà. Äëÿ íàëèçà ñòàáèëüíîñòè ïîäãðàô
ñ ìàêñèìàëüíûì âðåìåíåì öèêëà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì.
Îñíîâíûå âîïðîñû àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè:
1. Êàêîâî çíà÷åíèå âðåìåíè öèêëà λ è êàê îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëå-
íî?
2. Êàêîâà êðèòè÷åñêàÿ íàãðóçêà íà ñåòü, îïðåäåëÿþùàÿ λ?
3. Êàê äàëåêî òî "ìèíèìàëüíîå äîñòèæèìîå âðåìÿ öèêëà"îò âðåìåíè
öèêëà T?
12

13. 4. Ñêîëüêî ïðîìåæóòî÷íûõ (íåñòàáèëüíûõ) ïåðèîäîâ èìååò ìåñòî ïå-
ðåä òåì êàê ñèñòåìà äîñòèãíåò ïåðèîäè÷åñêîãî ðèæèìà ôóíêöèî-
íèðîâàíèÿ?
Çà îòâåòàìè íà ýòè âîïðîñû îáðàòèìñÿ ê ìàêñ-ïëþñ ïðîáëåìå ïîèñ-
êà ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ: âðåìÿ öèêëà λ - óíèêàëüíîå ìàêñ-ïëþñ ñîá-
ñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A ñèñòåìû. Ýòî ìîæåò áûòü ïîêàçàíî ñëå-
äóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü λ - ìèíèìàëüíîå âðåìÿ öèêëà, â êîòîðîå âñå
ðåéñû ïîåçäîâ ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû ñ ñîîáëþäåíèåì âñåõ îãðàíè÷å-
íèé è äîïóùåíèåì, ÷òî v - âåêòîð ñàìûõ ðàííèõ âðåì¼í ñîáûòèé, ïðè÷åì
0 ≤ vi < λ äëÿ âñåõ ñîáûòèé i. Âñå ñîáûòèÿ ïîâòîðÿþòñÿ çà ìèíèìàëüíîå
âðåìÿ öèêëà λ îòêóäà åñëè x(0) = v, òî x(k) = λ⊗k ⊗ v äëÿ ëþáîãî k,
ãäå ïðîèçâåäåíèå ïîêîìïîíåíòíî, ò.å. xi(k) = vi + k · λ äëÿ âñåõ i. Êðîìå
òîãî, íà÷èíàÿ ñ âåêòîðà v íàèáîëåå ðàííå âîçìîæíîå âðåìÿ ñîáûòèÿ â
ñëåäóþùåì ïåðèîäå îïðåäåëÿåòñÿ êàê A ⊗ v è åñëè îíî ïåðèîäè÷íî, òî
ýêâèâàëåíòíî λ⊗v. Îòñþäà, ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ λ è âåêòîðà àññîöèà-
öèév ìîæåòáûòüçàïèñàíàêàêìàêñ-ïëþñïðîáëåìàïîèñêàñîáñòâåííîãî
çíà÷åíèÿ:
A ⊗ v = λ ⊗ v. (23)
 ñêàëÿðíîé ôîðìå ñòàíäàðòíîé àëãåáðû ýòî ìîæåò áûòü çàïèñàíî
êàê
max
j
(aij + vj) = λ + vi ∀1 ≤ i = n,
ãäå â âûðàæåíèè ìàêñèìóìà áåðóòñÿ âñå j, ïðåäûäóùèå ïî îòíîøå-
íèþ ê i (äëÿ ýòîãî ñèñòåìà è áûëà ïðèâåäåíà ê ïåðâîé íîðìàëüíîé ôîð-
ìå). Ïîëó÷åííîå λ íàçûâàþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, à v - ñîáñòâåííûì
âåêòîðîì, ñîîòâåòñòâóþùèì λ.
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå óòâåðæäàåò, ÷òî ñîá-
ñòâåííîå çíà÷åíèå λ ýêâèâàëåíòíî çíà÷åíèþ ìàêñèìàëüíîãî öèêëà:
λ = max
C
(w(C)/l(C)), (24)
ãäå w(C) = ⊗(j,i)∈Caij - öèêëè÷åñêèé âåñ, l(C) - öèêëè÷åñêàÿ äëèíà
(êîëè÷åñòâî äóã â öèêëå C), ìàêñèìóì áåð¼òñÿ ïî âñåì ýëåìåíòàðíûì
öèêëàì C ñèëüíî ñâÿçíîãî ãðàôà G(A). Îòìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå ïåðâîãî
ïîðÿäêà (21) l(C) - íîìåð ïåðèîäà, ïîêðûâàåìîãî öèêëîì C. Öèêë C,
íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì (24), íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì öèê-
ëîì. Îòñþäà, êðèòè÷åñêèé öèêë èìååò ñàìóþ áîëüøóþ ñóììó âðåì¼í
äëÿ äàííîãî íîìåðà ïåðèîäà â ñðàâíåíèè ñî âñåìè îñòàëüíûìè öèêëàìè.
Ýòî äà¼ò ïðÿìóþ èíòåðïðåòàöèþ êðèòåðèÿ ñòàáèëüíîñòè: λ âûñòóïàåò
íèæíåé ãðàíèöåé âðåìåíè öèêëà âñåõ ñîáûòèé.
Òåîðåìà 1. Ëèíåéíàÿ ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìà ðàñïèñàíèÿ (12) ñòàáèëüíà
ïðè λ < T, êðèòè÷íà ïðè λ = T è íåñòàáèëüíà ïðè λ > T.
13

14. Äàííàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ñïåöèàëüíîå âðåìÿ öèêëà T ðàñïè-
ñàíèÿ äîëæíî ïðåâûøàòü ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå, ïîä êîòîðûì èìååòñÿ
â âèäó ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Îòñþäà ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñëóæèò ïðî-
âåðêîé ñòàáèëüíîñòè: åñëè λ ïðåâûøàåò âðåìÿ öèêëà T ðàñïèñàíèÿ, òî
ñèñòåìà íåñòàáèëüíà. Íåñòàáèëüíîñòü çäåñü îçíà÷àåò, ÷òî íåò ðåçåðâîâ
íà êðèòè÷åñêîì öèêëå, êîòîðûå ñëóæàò äëÿ êîìïåíñàöèè ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ âîçíèêàþùèõ íà ýòîì öèêëå îïîçäàíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ïîåç-
äà íà êðèòè÷åñêîì öèêëå áóäóò çàäåðæàíû, âîçìîæíî ðàñïðîñòðàíåíèå
èõ îïîçäàíèé íà äðóãèå ïîåçäà ñåòè. Åñëè λ áëèçêî ê çíà÷åíèþ T > λ,
òî ñáîè íà êðèòè÷åñêîì öèêëå áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ èñêëþ÷èòåëüíî
ìåäëåííîèñèñòåìàñòàíåòíåñòàáèëüíîéâìîìåíòñâåðøåíèÿñóùåñòâåí-
íîãî îïîçäàíèÿ íà êðèòè÷åñêîì öèêëå. Íà ïðàêòèêå ðàñïèñàíèå áóäåò
ñ÷èòàòüñÿ ñòàáèëüíûì òîëüêî åñëè òàêæå áóäåò èìåòü ìåñòî äîñòàòî÷-
íîå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ íåáîëüøîé çàãðóçêè íà êðèòè÷åñêèõ öèêëàõ.
Òàêîå òðåáîâàíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ÷åðåç íåêîòîðóþ íîðìó λ < T −δ
èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïðåäûäóùåé çàïèñè: ρ = λ/T < λcrit = 1 − δ/T.
Îäíàêî, òàêàÿ íîðìà ñòàáèëüíîñòè îêàçûâàåòñÿ íåîïðåäåë¼ííîé è ìî-
æåò áûòü âåñüìà ðàçëè÷íîé äëÿ ðàçíûõ ñòðàí è äîðîã, âçàâèñèìîñòè îò
ðåàëüíîãî îòêëîíåíèÿ âðåì¼í õîäà ïîåçäîâ ìåæäó ñòàíöèÿìè.
Ñîáñòâåííûé âåêòîð ìîæåò áûòü ïîëó÷åí âûáîðîì ëþáîãî óçëà íà
êðèòè÷åñêîì öèêëå è âû÷èñëåíèåì âåñà êðèòè÷åñêîãî ïóòè èç ýòîãî óç-
ëà âî âñå îñòàëüíûå óçëû ïî ìîäóëþ λ. Ñîáñòâåííûé âåêòîð íå ÿâëÿåòñÿ
óíèêàëüíûì. Íàïðèìåð, åñëè v - ñîáñòâåííûé âåêòîð, òî òàêæå òàêî-
âûì ÿâëÿåòñÿ âåêòîð c ⊗ v, ãäå c - ëþáàÿ êîíñòàíòà. Îòìåòèì, ÷òî òàêîå
ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóåò "ñäâèæêå"ðàñïèñàíèÿ ïî êîíñòàíòå c.
Ðèñ. 6. Ãðàôèê äâèæåíèÿ ñ îòìåòêàìè âðåìåíè.
Ðèñ. 7. Ãðàô ïðèîðèòåòîâ ïðèìåðà ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìû.
14

15. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (16). Ãðàô ïðèîðèòåòîâ G(A) ïîêàçàí
íà ðèñóíêå 7 (íà ðèñ. 6 ïðåäñòàâëåí ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê äâèæå-
íèÿ ïîåçäîâ). Îí èìååò òðè ýëåìåíòàðíûõ öèêëà è ïî (24) ñîáñòâåííîå
çíà÷åíèå ðàâíî
λ = max(55/1, 53/1, (54 ⊗ 56)/2) = max(55, 53, 55) = 55.
Èìååì äâà êðèòè÷åñêèõ ïóòè: 3-4-3 è 3-3. Ïåðâàÿ êîððåñïîíäåíöèÿ
îòíîñèòñÿ ê ïîëíîìó öèêëó ïîåçäà: íà÷èíàåòñÿ öèêë â B, çàòåì ÷åðåç A
íàçàä â B è ÷åðåç C ñíîâà íàçàä â B. Âòîðîé êðèòè÷åñêèé öèêë îòíî-
ñèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ïóòè ìåæäó ñòàíöèÿìè A è B è âêëþ÷àåò âðåìÿ
îò B äî A, âðåìÿ íà ñìåíó íàïðàâëåíèÿ íà A, âðåìÿ îáðàòíî äî B è
ìèíèìàëüíîå âðåìÿ îæèäàíèÿ ïîåçäà ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ
íà B. Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî âåñàì êðèòè÷å-
ñêîãî ïóòè îò êðèòè÷åñêîãî óçëà 4 ïî ìîäóëþ 55 ïîëó÷àÿ (28,28,54,0)'.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñðàâíèòü ñîáñòâåííûé âåêòîð ñ àêòóàëüíûì ðàñïèñà-
íèåì ìû ìîæåì óìíîæèòü åãî ïî ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ λ òàê, ÷òîáû
ïåðâîå ñîáûòèå èìåëî ìåñòî â ðàñïèñàíèè âðåìÿ 0, èç ÷åãî âûòåêàåò
27 ⊗ (28, 28, 54, 0) mod55 = (0, 0, 26, 27) .
Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå - óíèêàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñîñòîÿíèÿ ìàò-
ðèöû A ëèíåéíîé ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìû, è ïîýòîìó çàâèñèò îò âñåõ (èëè
êðèòè÷åñêèõ) îãðàíè÷åíèé ïðèîðèòåòà, êîòîðûå îïèñûâàþò ñîñòîÿíèå
ìàòðèöû A. Îòñþäà, ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñëóæèò èíäèêàòîðîì ïðîèç-
âîäèòåëüíîñòè îïðåäåëåííîé ìîäåëè äâèæåíèÿ, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ðàñ-
ïèñàíèÿ æåëåçíîäîðîæíîé ñåòè, èñïîëüçóåìîãî ïîäâèæíîãî ñîñòàâà, ñè-
ñòåì ÑÖÁ è ñâÿçè, èíôðàñòðóêòóðû. Íàèáîëåå ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì
äëÿðåøåíèÿìàêñ-ïëþñïðîáëåìûñîáñòâåííîåçíà÷åíèå-ïðàâèëîèòåðà-
öèîííîãî àëãîðèòìà. Äàííûé àëãîðèòì òàêæå òàêæå íàõîäèò âàðèàíòû
ñèëüíî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò, ñîáñòâåííûé âåêòîð, êðèòè÷åñêèå àêòèâíî-
ñòè, ïîÿâëÿþùèåñÿ íà êðèòè÷åñêèõ öèêëàõ.
Äî ñèõ ïîð ìû îòâåòèëè íà ïåðâûå òðè âîïðîñà, îáîçíà÷åííûõ â íà-
÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà. Óêàçàííûå âîïðîñû îòíîñÿòñÿ ê êîëè÷åñòâó òðå-
áóåìûõ ïåðèîäîâ ïåðåä äîñòèæåíèåì ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà. Ïî âèäè-
ìîìó, åñëè ìû íà÷í¼ì ñ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, òî ìû òîò÷àñ ïîïàäàåì
â ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ïåðèî-
äè÷åñêîãî ðåæèìà ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíî áîëüøûì â çàâèñèìîñòè îò
íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Îäíàêî, â ñòàáèëüíîé ëèíåéíîé ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìå
áîëüøèé öèêë ðàñïèñàíèÿ T > λ äàåò äîïîëíèòåëüíîå çíà÷åíèå âðåìåíè
ðåçåðâà ∆ = T − λ íà êðèòè÷åñêèõ öèêëàõ. Åñëè ýòî ñòàáèëüíîå ðàâíî-
ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåçåðâà íà êðèòè÷åñêèå ìåñòà ãðàôèêà, òî ðàñïè-
ñàíèå ìîæåò áûòü ñîêðàùåíî íà ëþáóþ íà÷àëüíóþ "äåëüòó"â êàæäîì
ïåðèîäå.  îáùåì ñëó÷àå, îäíàêî, âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íà÷àëüíîãî
îïîçäàíèÿ çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ âðåì¼í õîäà ìåæäó ñòàíöèÿìè è
âðåìåíè ðåçåðâîâ â ðàñïèñàíèè, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþ-
ùèõ äâóõ ïàðàãðàôàõ.
15

16. 7 Àíàëèç âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ñèñòåìû
Ðàñïèñàíèå â îñíîâíîì ñîäåðæèò ðåçåðâû äëÿ ïîãàøåíèÿ ïðåäûäóùèõ
îïîçäàíèé. Âðåìÿ ðåçåðâà ìîæåò áûòü îáúåäèíåíî ñ ïðîöåññíûìè âðå-
ìåíàìè ðàñïèñàíèÿ (âðåìåíàìè õîäà ìåæäó ñòàíöèÿìè) èëè ìåæäó ìî-
ìåíòàìè ïåðåìåùåíèé ïîåçäîâ (âðåìåíà ðåçåðâîâ). Äëÿ ëþáîãî ïåðåìå-
ùåíèÿ (j, i) âðåìÿ ðåçåðâà íàõîäèòñÿ â ïðîìåæóòêå ìåæäó îêîí÷àíèåì
ïåðåìåùåíèÿ dj(k − µij) + aij è íà÷àëîì ïåðåìåùåíèÿ di(k).  ïåðèîäè-
÷åñêîì ðàñïèñàíèè ýòîò ðåçåðâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí êàê di(0) − dj(0) −
aij +µij ·T.Âðåàëüíîìðàñïèñàíèèâñåðåçåðâûíåîòðèöàòåëüíû.Îäíàêî,
êðèòè÷åñêîåâðåìÿðåçåðâàîòj äîi ìîæåòáûòüìåíüøåâðåìåíèðåçåðâà
ïåðåìåùåíèÿ (j, i) åñëè ñóùåñòâóåò äðóãîé ïóòü îò j äî i ñ ìåíüøèì âðå-
ìåíåì ðåçåðâà. Êðèòè÷åñêîå âðåìÿ ðåçåðâà ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè j è
i áóäåìíàçûâàòüâðåìåíåìíàâîññòàíîâëåíèåìåæäóíèìè.Âîáùåìñëó-
÷àå èíòåðåñíî óçíàòü ñêîëüêî âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ äîñòóïíî ìåæäó
ëþáûìèäâóìÿïàðàìèñîáûòèéâðàñïèñàíèè.Òàêèåâðåìåíàìîãóòáûòü
ïðåäñòàâëåíû â ìàòðèöå âîññòàíîâëåíèÿ, îòíîñÿùåéñÿ ê äàííîìó ðàñïè-
ñàíèþ. Ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî àëãîðèòìó
êðèòè÷åñêîãî ïóòè íà îðãðàôå, â êîòîðîì êàæäàÿ äóãà ñîîòâåòñòâóåò ïå-
ðåìåùåíèþ (j, i), âåñà äóã ïîêàçûâàþò êàêàÿ âåëè÷èíà çàäåðæêè ìîæåò
áûòü ïîãëàùåíà íà ýòàïå äàííîãî ïåðåìåùåíèÿ. Òàêîé ãðàô ÿâëÿåòñÿ
ïðèîðèòåòíûì ãðàôîì G(S) ñ ìàòðèöåé S = (sij), îïðåäåëÿåìîé êàê
sij = dj(0) − di(0) + aij − µij · T,
÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðèöàòåëüíîå âðåìÿ ðåçåðâà ïåðåìåùåíèÿ
(j, i). Ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê
R = −S+
(25)
Îòìåòèì,÷òîòàêàÿìàòðèöàâîññòàíîâëåíèÿñîäåðæèòìèíèìàëüíûé
ñóììàðíûé ðåçåðâ äëÿ ëþáîãî ïóòè ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè. Åñëè íå
ñóùåñòâóåò ïóòè ìåæäó ñîáûòèÿìè j è i, òî sij = ε è rij = ∞, ãäå ìû
èñïîëüçóåì ñîãëàøåíèå, ÷òî −ε = ∞.
Ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû âîññòàíîâëåíèÿ èìåþò ðàçëè÷íóþ èí-
òåðïðåòàöèþ.Òàê,i-ûéñòîëáåöìàòðèöûR äà¼òâðåìåíàâîññòàíîâëåíèÿ
îò ñîáûòèÿ i êî âñåì áîëåå ïîçäíèì ñîáûòèÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîëáöû
ìàòðèöû R ìîãóò ïîíèìàòüñÿ êàê âåêòîðà âëèÿíèÿ îïîçäàíèé: åñëè íà
ñîáûòèè i ñëó÷àåòñÿ îïîçäàíèå, òî âñå ÿ÷åéêè ñòîëáöà i ìåíüøèå îïîç-
äàíèÿ íå èìåþò íåîáõîäèìûõ ðåçåðâîâ è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáûòèÿ j
áóäóò çàäåðæàíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, i-àÿ ñòðîêà ìàòðèöû R ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ðåçåðâû îò âñåõ áîëåå ðàííèõ ñîáûòèé äî ñîáûòèÿ i. Ïîýòîìó
ñòðîêè ìîãóò ïîíèìàòüñÿ êàê âåêòîðà ÷óâñòâèòåëüíîñòè ê îïîçæàíèÿì:
åñëè íåêîå ñîáûòèå j èìååò îïîçäàíèå, è ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó ñîáû-
òèþ ýëåìåíò âõîäèò â ñòðîêó i, òî ñîáûòèå i áóäåò çàäåðæàíî. Íàêîíåö,
äèàãîíàëü ìàòðèöû R ñîîòâåòñòâóåò îòâåòíîé ðåàêöèè âðåìåíè âîññòà-
16

17. íîâëåíèÿ äëÿ áóäóùèõ ñâåðøåíèé ýòîãî æå ñîáûòèÿ. Ëþáûå îïîçäàíèÿ,
âåëè÷èíà êîòîðûõ áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äèàãîíàëè R ìî-
æåò ïðèâåñòè ê íåîæèäàííûì ðåçóëüòàòàì â òîì æå ñàìîì öèêëå ðàñïè-
ñàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ñòîëáöû (ñîîòâåòñòâåííî ñòðîêè) ìàòðèöû âîññòà-
íîâëåíèÿ ìîãóò òàêæå áûòü ïîëó÷åíû ïî îäíîìó ïóíêòó îòïðàâëåíèÿ
(íàçíà÷åíèÿ) àëãîðèòìó êðèòè÷åñêîãî ïóòè.
Ïðèìåð.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèñòåìó
S =





ε ε −4 ε
ε ε ε −5
−1 −1 ε ε
0 −2 ε ε





, R = −S+ =





5 5 4 10
5 7 9 5
1 1 5 6
0 2 4 7





.
Èç äàííîé ìàòðèöû âîññòàíîâëåíèÿ ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèå âû-
âîäû. Íóëåâîå âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ îçíà÷àåò íóëåâîé ðåçåðâ ìåæäó îò-
ïðàâëåíèåì ñî ñòàíöèè A è îòïðàâëåíèþ ñ B â íàïðàâëåíèè ñòàíöèè C.
Ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû R ïîêàçûâàåò âåêòîð âëèÿíèÿ íà îïîçäàíèÿ
äëÿ îòïðàâëåíèé ñî ñòàíöèè A: ëþáîå îïîçäàíèå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòü-
ñÿ íà ñîáûòèå 4 è çàäåðæèâàòü áîëåå ÷åì íà ìèíóòó ñîáûòèå 3. Ñ äðó-
ãîé ñòîðîíû, òàêîå îòïðàâëåíèå íå ÷óâñòâèòåëüíî ê îïîçäàíèÿì äðóãèõ
ñîáûòèé (êàê âèäíî èç ïåðâîé ñòðîêè): ëþáîå îïîçäàíèå äî 4-õ ìèíóò
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ äî ñîâåðøåíèÿ äàííîãî ñîáûòèÿ. Äèàãîíàëüíûå ýëå-
ìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîåçäà ìåæäó ñòàíöèÿìè A è B (ñîáûòèÿ 1 è 3)
èìåþò ìåíüøåå âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ ÷åì ìåæäó ñòàíöèÿìè B è Ñ (ñî-
áûòèÿ 2 è 4), êîòîðûå ñîãëàñóþòñÿ ñ êðèòè÷åñêèì öèêëîì îäíîïóòíîãî
ó÷àñòêà ìåæäó ñòàíöèÿìè A è B.
8 Ðàñïðîñòðàíåíèå çàäåðæåê
Ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ R = (rij) ñîäåðæèò ìàêñèìàëüíûå âåëè÷èíû
îïîçäàíèé, êîòîðûå ìîãóò áûòü âîññòàíîâëåíû äëÿ êàæäîé ïàðû ñîáû-
òèé òðàíñïîðòíîé ñåòè. Òàê, åñëè íà÷àëüíîå îïîçäàíèå ïîåçäà j ïðåâû-
øàåò âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ rij, òî îïîçäàíèå ðàñïðîñòðàíèòñÿ íà ïîåçä
i. Òåì íå ìåíåå, ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ íå ãîâîðèò î òîì, êîãäà ýòîò ïî-
åçä áóäåò çàäåðæàí è ðàñïðîñòðàíèòñÿ ëè äàííîå îïîçäàíèå öèêëè÷åñêè
èëè íà îïîçäàíèÿ âðåì¼í îòïðàâëåíèÿ äðóãèõ ïîåçäîâ. Äèíàìè÷åñêàÿ
ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìà (13) ìîæåò, îäíàêî, áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ äåòàëüíîãî âëèÿíèÿ îïîçäàíèé íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ñöåíàðèÿ
îïîçäàíèÿ.
Ïóñòü z0 - âåêòîð íà÷àëüíûõ îïîçäàíèé, êîòîðûé ìîæåò áûòü áåç ïî-
òåðè îáùíîñòè îòíåñ¼í ê ïåðèîäó k = 0. Çàòåì ðàñïðîñòðàíåíèå òàêèõ
íà÷àëüíûõ îïîçäàíèé ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî â äâà ýòàïà: íà ïåðâîì ýòà-
ïå âû÷èñëÿåòñÿ ðàñïðîñòðàíåíèå îïîçäàíèé ÷åðåç çàäåðæåííûå â ïåðèîä
0 ïîåçäà (êîòîðûå äàþò âåêòîð íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x(0)), à íà âòîðîì
- ðàñïðîñòðàíåíèå ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäîâ k ≥ 1 èñïîëüçóÿ
17

18. (12) äëÿ ïîëó÷åíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé x(0). Ïåðåäà÷à îïîçäàíèé ìåæäó
ñìåæíûìè ïåðèîäàìè ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà èç ìàêñ-ïëþñ ìîäåëè êàê
z(k) = x(k) − d(k) äëÿ k ≥ 1, ïåðåäà÷à îïîçäàíèé ðàíåå ñàìîãî ïåðâîãî
ïåðèîäà kS äà¼ò íàì z(kS) = 0, ÷òî ýêâèâàëåíòíî x(kS) = d(kS).
Íà÷àëüíûåóñëîâèÿìîãóòáûòüâû÷èñåíûñëåäóþùèìîáðàçîì.Îïðå-
äåëèì âåêòîð âðåì¼í íà÷àëüíûõ ñîáûòèé êàê x0 = z0 + d(0). Çàòåì
x(0) = A∗
0x0 = x0 ⊕ A+
0 x0. Ïåðâîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåê-
òîð ñ èçâåñòíûìè íà÷àëüíûìè îïîçäàíèÿìè, âî âòîðîì - âû÷èñëÿþòñÿ
âîçìîæíûå îïîçäàíèÿ âðåì¼í ñîáûòèé â îñòàëüíûõ ïåðèîäàõ. Îòìåòèì,
÷òî (A+
0 )ij - êðèòè÷åñêàÿ ñóììà âðåì¼í âñåõ ïóòåé â íóëåâîì ïåðèîäå
îïîçäàíèé îò j äî i. Îòñþäà xi(0) ≥ (A+
0 )ij ⊗ xi(0)∀j.
Àëãîðèòì ðàñïðîñòðàíåíèÿ îïîçäàíèé èñïîëüçóÿ (12) ñ A = A∗
0 ⊗ A1
ìîæíî òàêæå îáîáùèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âû÷èñëèì x0 = z0 + d(0) è
x(0) = A∗
0 ⊗ x0. Çàòåì èòåðèðóÿ ïî k ≥ 1 ïîëó÷èì



d(k) = T ⊗ d(k − 1)
x(k) = A ⊗ x(k − 1) ⊕ d(k)
z(k) = x(k) − d(k)
ïîêà z(k) = 0, â ýòîì ñëó÷àå óñòàíîâèì ks = k.
Ôîðìàëüíî, ëèíåéíàÿ ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìà ñ ðàñïèñàíèåì (12) ÿâëÿ-
åòñÿ ãëîáàëüíî ñòàáèëüíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x(0) > d(0) ñóùåñòâóåò êî-
íå÷íîå K > 0 òàêîå ÷òî x(k) = d(k) äëÿ âñåõ k ≥ K. Íà ïðàêòèêå ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ i îïîçäàíèå zi(k0) = xi(ko) − di(k0) â
íåêîòîðîì ïåðèîäå k0 äîëæíî áûòü ÷àñòè÷íî ïîãëîùåíî ïåðåä âîçâðà-
ùåíèåì ê ñëåäóþùåé ðåàëèçàöèè äàííîãî ñîáûòèÿ xi(k) ñ k > k0. Òàêèì
îáðàçîì, æåëåçíîäîðîæíîå ðàñïèñàíèå ñòàáèëüíî åñëè êàæäûé öèêë â
àññîöèèðîâàííîì ïðèîðèòåòíîì ãðàôå ñîäåðæèò íåêîòîðîå âðåìÿ ðåçåð-
âà äëÿ êîìïåíñàöèè îïîçäàíèé èëè óìåíüøåíèè âëèÿíèÿ îïîçäàíèé. Ýòî
óñëîâèå èäåíòè÷íî ïðîâåðêå λ < T èç Òåîðåìû 1. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
ñèñòåìà ôîðìàëüíî ñòàáèëüíà, ò.å. λ < T, òî ëþáûå íà÷àëüíûå îïîçäà-
íèÿ çàòóõàþò ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðèîäîâ kS, è àëãîðèòì ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ îïîçäàíèé çàêàí÷èâàåòñÿ.
Àëãîðèòì ðàñïðîñòðàíåíèÿ îïîçäàíèé îïèñûâàåò âûøåóïîìÿíóòûå
âû÷èñëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ ïóòåé âðåìåííûõ ðåçåðâîâ íåêîòîðûõ ïîñëåäî-
âàòåëüíûõ ïåðèîäîâ êàê òðåáóåìûé äëÿ ðàçðåøåíèÿ íà÷àëüíûé âåêòîð
îïîçäàíèé. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè ðàñïèñàíèÿ îñíîâ-
íîé èíòåðåñ - îïðåäåëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàäåðæåê íà ïðîòÿæåíèè
ïåðèîäà âîññòàíîâëåíèÿ ðàñïèñàíèÿ äëÿ îöåíêè êàê õîðîøî äàííîå ðàñ-
ïèñàíèå ìîæåò ðàçðåøàòü âîçíèêàþùèå îïîçäàíèÿ. Äëÿ áîëüøèõ îïîç-
äàíèé íà ïðàêòèêå ìåíÿþò ïîðÿäîê ïîåçäîâ èëè ñîêðàùàþò âðåìÿ íà
ïîñàäêó-âûñàäêó ïàññàæèðîâ äëÿ áîëåå áûòðîãî ëèêâèäèðîâàíèÿ çàäåð-
æåê. Ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ìîæåò áûòü îòðåãóëèðîâàíà òàê, ÷òî äèñïåò-
÷åðñêàÿ ñòðàòåãèÿ ìîæåò áûòü ïðèíÿòà âî âíèìàíèå, à òàêæå âñòðîåíà
18

19. â àëãîðèòì îïòèìèçàöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîé äèñïåò÷åðñêîé
ñòðàòåãèè.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ñèñòåìû (11) è ïðèìåì, ÷òî íà÷àëüíîå
îòïðàâëåíèå ñî ñòàíöèé A è C èìååò 10-ìèíóòíîå îïîçäàíèå. Òîãäà x0 =
(10, 10, 0, 0) + (0, 0, 27, 27) = (10, 10, 27, 27) . Îòêóäà:
x(0) = A∗
0x0 =





0 ε ε ε
ε 0 ε ε
26 26 0 ε
27 25 ε 0





⊗





10
10
27
27





=





10
10
36
37





, z(0) =





10
10
36
37





−





0
0
27
27





=





10
10
9
10





.
Îòìåòèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ïåðèîä ñîáûòèÿ 3 è 4 áûëè òàêæå çà-
äåðæàíû. Òåïåðü îïîçäàíèÿ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïî (16), âêëþ÷àÿ
ìîìåíòû óãàñàíèÿ èõ ðàñïðîñòðàíåíèé:
x(1) =





ε ε 29 ε
ε ε ε 28
ε ε 55 54
ε ε 56 53





⊗





10
10
36
37





⊕





60
60
87
87





=





65
65
91
92





, z(1) =





65
65
91
92





−





60
60
87
87





=





5
5
4
5





,
x(2) =





ε ε 29 ε
ε ε ε 28
ε ε 55 54
ε ε 56 53





⊗





65
65
91
92





⊕





120
120
147
147





=





120
120
147
147





, z(2) =





120
120
147
147





−





120
120
147
147





=





0
0
0
0





.
Ïåðèîä óêàñàíèÿ âëèÿíèÿ îïîçäàíèé kS = 2.
9 Àíàëèç óðîâíÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñèñòåì äèñêðåò-
íûõ ñîáûòèé
Êðàòêîðàññìîòðèìàíàëèçóðîâíÿïðîèçâîäèòåëüíîñòè"ñèñòåìäèñêðåò-
íûõ ñîáûòèé"(discrete event systems - DES), èçëîæåííûé â [2].
DES-ñèñòåìà ñ íåîáõîäèìîñòüþ ñèíõðîíèçàöèè è áåç âîçìîæíîñòè
ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
ñëåäóþùåé ìàêñ-ïëþñ ìîäåëè:
x(k) = A ⊗ x(k − 1) ⊕ B ⊗ u(k) (26)
y(k) = C ⊗ x(k) (27)
ãäå x(k) - âåêòîð ñîñòîÿíèé, u(k) - âåêòîð âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ, y(k)
- âåêòîð âûõîäíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, A ∈ Rn×n
ε , B ∈ Rn×m
ε , C ∈ Rl×n
ε ,
m - ÷èñëî âõîäîâ, l - ÷èñëî âûõîäîâ ñèñòåìû (ïðèìåð - íà ðèñ.8).
19

20. Ðèñ. 8. Ïðèìåð âõîäîâ è âûõîäîâ ñèñòåìû.
 äàííîì ïðèìåðå ïîä t ïîíèìàþòñÿ âðåìåíà ïåðåìåùåíèé ïîåçäîâ,
à ïîä d - âðåìåíà îáðàáîòêè ïîåçäîâ íà ñòàíöèÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ñ ïî-
ìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû ìîæíî ïî íà÷àëüíîé ïîåçäíîé ñèòóàöèè ìû
ìîæåì ïîëó÷èòü âðåìåíà ïðèáûòèé ïîåçäîâ íà ñòàíöèÿõ èõ íàçíà÷åíèÿ
â êîíöå ïåðèîäà ïëàíèðîâàíèÿ. Ðåøåíèå ïðîáëåìû ïîèñêà ñîáñòâåííîãî
çíà÷åíèÿ â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå (A ⊗ v = λ ⊗ v) äà¼ò ñîáñòâåííîå çíà÷å-
íèå λ, êîòîðîå îïðåäåëÿåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ïåðèîäà ãðàôèêà äâèæåíèÿ
ïîåçäîâ. Ñîîòâåòñòâåííî "ïðîèçâîäèòåëüíîñòü"(ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü
ó÷àñòêà) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà íà îñíîâå äàííîãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ
(êàê îòíîøåíèå λ ê ÷èñëó ïîåçäîâ â äàííîì ïåðèîäå).
10 Cèíõîíèçàöèÿ ðàñïèñàíèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû äëÿ ñèíõîíèçàöèè ðàñïèñà-
íèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ (äëÿ îáåñïå÷åíèÿ áåñïðåïÿòñâåííîé ïåðåñàä-
êè ïàññàæèðîâ ìåæäó ïîåçäàìè) [3]. Ïðèìåð ïðîñòîé æåëåçíîäîðîæíîé
ñåòè, íà êîòîðîé âîçìîæíî îñóùåñòâëåíèå äâóõ ïåðåñàäîê ïàññàæèðîâ,
ïðèâåä¼í íà ðèñ. 9.
Ðèñ. 9. Ïðèìåð ñèíõðîíèçàöèè ðàñïèñàíèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ
Ââîäÿòñÿñëåäóþùèåîãðàíè÷åíèÿ:ïîåçäíåìîæåòïîêèíóòüñòàíöèþ
ïîêà íå ïðèáûë ñîñåäíèé ïîåçä, à òàêæå ïîçäà äîëæíû ïðîñòîÿòü "áîê
î áîê"äëÿ îáåïå÷åíèÿ ïåðåñàäêè ìåæäó ïîåçäàìè. Äàííûå îãðàíè÷åíèÿ
ìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
xL(k + 1) ≥ max xL(k) + aLL + δ, xR(k) + aRL + δ
xR(k + 1) ≥ max xR(k) + aRR + δ, xL(k) + aLR + δ,
ãäå aSS - âðåìÿ ñëåäîâàíèÿ îò ñòàíöèè S äî ñòàíöèè S (â ïðèìåðå
ðàññìàòðèâàþòñÿ ñòàíöèè R è L), δ - ìèíèìàëüíîå âðåìÿ íà ïåðåñàäêó
20

21. ïàññàæèðîâ, xS(k) - ìîìåíò îòïðàâëåíèÿ ñî ñòàíöèè S â ïåðèîä k. Â
ìàòðè÷íîé ôîðìå:
x(k + 1) = A ⊗ x(k).
Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðèìåðà:
5 2
3 3
⊗
1 − h
h
= 4 ⊗
1 − h
h
ñëåäóåò, ÷òî 4 ïðè ëþáîì h ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàò-
ðèöû òðàíçèòíîãî âðåìåíè A (v = [1, 0]T - ñîáñòâåííûé âåêòîð). Ñîá-
ñòâåííûé âåêòîð âûñòóïàåò â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîé ðàçíèöû ìåæäó îò-
ïðàâëåíèÿìè ïîåçäîâ ñî ñòàíöèé L è R ñîîòâåòñòâåííî. Ñîîòâåòñòâåííî,
ãðàôèê äâèæåíèÿ ïðèãîðîäíûõ ïîåçäîâ äîëæåí ïðîåêòèðîâàòüñÿ ñ ó÷¼-
òîì çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.
Ëèòåðàòóðà
1. RailwayTimetable&Trac(Analysis.Modelling.Simulation)//Editors:
Ingo Arne Hansen, Jorn Pachl. Eurailpress, 2008.
2. B. De Schutter and T. van den Boom. Max-plus algebra and max-
plus linear discrete event systems: An introduction // Technical report
08-007
3. JamesCase.Max-PlusAlgebra:FromDiscrete-eventSystemstoContinuous
Optimal Control Problems // SIAM News, Volume 43, Number 8,
October 2010.
4. Ìèëîâ Ä.Ñ. Ìåòîäû èäåìïîòåíòíîé àëãåáðû è àíàëèçà ïðè èñ-
ñëåäîâàíèè ñåòåé ñ î÷åðåäÿìè // äèññ. ê.ô-ì.í., Ñàíêò-Ïåòåðáóðã,
2000.
5. Bernd Heidergott, Geert Jan Olsder, Jacob van der Woude. Max
Plus at Work // Princeton University Press, 2005
21