На рынке систем автоматизированного управления производством появился новый игрок. В структуре Группы компаний «СИТЕК» создано ООО «Интента», которое сконцентрировало компетенции по проектированию, внедрению и обслуживанию MES-систем как в Беларуси, так и в России.
Вопрос модернизации промышленного комплекса в Беларуси сегодня стоит довольно остро. С учетом интеграции отечественных предприятий в промышленный комплекс Единого экономического пространства и намерения Беларуси в среднесрочной перспективе войти во Всемирную торговую организацию, на первый план выходит повышение конкурентоспособности производимой отечественными предприятиями продукции.
Как считает заместитель генерального директора Объединенного института проблем информатики НАН Беларуси Михаил Ковалев, сегодня большинство предприятий промышленности готовы к модернизации. На уровне правительства проводится ряд мероприятий по внедрению электронного документооборота как наиболее важного этапа в процессе модернизации промышленности. Далее предприятия должны перейти к полному описанию процессов, которые происходят при производстве изделий, и созданию разноуровневых систем управления производством.
На рынке систем автоматизированного управления производством появился новый игрок. В структуре Группы компаний «СИТЕК» создано ООО «Интента», которое сконцентрировало компетенции по проектированию, внедрению и обслуживанию MES-систем как в Беларуси, так и в России.
Вопрос модернизации промышленного комплекса в Беларуси сегодня стоит довольно остро. С учетом интеграции отечественных предприятий в промышленный комплекс Единого экономического пространства и намерения Беларуси в среднесрочной перспективе войти во Всемирную торговую организацию, на первый план выходит повышение конкурентоспособности производимой отечественными предприятиями продукции.
Как считает заместитель генерального директора Объединенного института проблем информатики НАН Беларуси Михаил Ковалев, сегодня большинство предприятий промышленности готовы к модернизации. На уровне правительства проводится ряд мероприятий по внедрению электронного документооборота как наиболее важного этапа в процессе модернизации промышленности. Далее предприятия должны перейти к полному описанию процессов, которые происходят при производстве изделий, и созданию разноуровневых систем управления производством.
5. Ïîíÿòèÿ «ñèíóñ», «êîñèíóñ» è «òàíãåíñ» îñòðîãî óãëà
âàì çíàêîìû èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà. Ðàñøèðèì ýòè
ïîíÿòèÿ äëÿ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°.
 âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ðàñ-
ñìîòðèì ïîëóîêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò,
ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 1 (ðèñ. 1). Òàêóþ ïîëóîêðóæíîñòü
íàçûâàþò åäèíè÷íîé.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óãëó α (0° m α m 180°) ñîîòâåòñòâóåò
òî÷êà M åäèíè÷íîé ïîëóîê-
ðóæíîñòè, åñëè ∠ MOA = α,
ãäå òî÷êè O è A èìåþò ñîîò-
âåòñòâåííî êîîðäèíàòû (0; 0)
è (1; 0) (ðèñ. 1). Íàïðèìåð, íà
ðèñóíêå 1 óãëó, ðàâíîìó 90°,
ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà C; óãëó,
ðàâíîìó 180°, — òî÷êà B;
óãëó, ðàâíîìó 0°, — òî÷êà A.
α m α m
Ðèñ. 1
6. Ïóñòü α — îñòðûé óãîë. Åìó ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ
òî÷êà M (x; y) äóãè AC (ðèñ. 2). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðå-
óãîëüíèêà OMN èìååì:
Ïîñêîëüêó OM = 1, ON = x, MN = y, òî
cosα = x, sinα = y.
Èòàê, êîñèíóñ è ñèíóñ îñòðîãî óãëà α — ýòî ñîîòâåòñòâåí-
íî àáñöèññà è îðäèíàòà òî÷êè M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæ-
íîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé óãëó α.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîäñêàçûâàåò, êàê îïðåäåëèòü
ñèíóñ è êîñèíóñ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ê î ñ è í ó ñ î ì è ñ è í ó ñ î ì óãëà α
(0° m α m 180°) íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî àáñöèññó x è îð-
äèíàòó y òî÷êè M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåò-
ñòâóþùåé óãëó α (ðèñ. 3).
Ïîëüçóÿñü òàêèì îïðåäåëåíèåì, ìîæíî, íàïðèìåð,
çàïèñàòü: sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0,
sin180° = 0, cos180° = –1.
Ðèñ. 2 Ðèñ. 3
Åñëè M (x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà åäèíè÷íîé ïîëó-
îêðóæíîñòè, òî –1 m x m 1 è 0 m y m 1. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°, èìååì:
0 m sinα m 1,
–1 m cosα m 1.
Åñëè α — òóïîé óãîë, òî àáñöèññà òî÷êè åäèíè÷íîé ïî-
ëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîìó óãëó, îòðèöàòåëüíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, êîñèíóñ òóïîãî óãëà ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëü-
20. 58.
•
Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 8 ñì è 14 ñì,
à îäíà èç ñòîðîí íà 2 ñì áîëüøå äðóãîé. Íàéäèòå ñòîðîíû
ïàðàëëåëîãðàììà.
59.
•
Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 11 ñì è 23 ñì, à åãî
äèàãîíàëè îòíîñÿòñÿ êàê 2 : 3. Íàéäèòå äèàãîíàëè ïàðàë-
ëåëîãðàììà.
60.
••
 òðàïåöèè ABCD (AD C BC) èçâåñòíî, ÷òî AB = 5 ñì,
BC = 9 ñì, AD = 16 ñì, Íàéäèòå ñòîðîíó CD òðà-
ïåöèè.
61.
••
 òðàïåöèè ABCD (AD C BC) èçâåñòíî, ÷òî
ñì, BC = 6 ñì, ÑD = 4 ñì, AD = 11 ñì. Íàéäèòå
êîñèíóñ óãëà D òðàïåöèè.
62.
••
Íàéäèòå äèàãîíàëü AC ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD,
åñëè îêîëî íåãî ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, è AB = 3 ñì,
BC = 4 ñì, CD = 5 ñì, AD = 6 ñì.
63.
••
Ìîæíî ëè îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíè-
êà ABCD, åñëè AB = 4 ñì, AD = 3 ñì, BD = 6 ñì è ∠ C = 30°?
64.
••
Äîêàæèòå, ÷òî ïðîòèâ áîëüøåãî óãëà ïàðàëëåëîãðàì-
ìà ëåæèò áóëüøàÿ äèàãîíàëü. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå
îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
65.
••
Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì, 15 ñì è 18 ñì.
Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåð-
øèíû åãî íàèáîëüøåãî óãëà.
66.
••
Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî 5 ñì,
à áîêîâàÿ ñòîðîíà — 20 ñì. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëü-
íèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû óãëà ïðè åãî îñíîâàíèè.
67.
••
Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 16 ñì, 18 ñì è 26 ñì.
Íàéäèòå ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ ê åãî áîëüøåé
ñòîðîíå.
68.
••
Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî
ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê áîêîâîé ñòîðîíå, — 5 ñì.
Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
69.
••
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì è 14 ñì,
à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 7 ñì. Íàéäè-
òå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
70.
••
 òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = BC, ∠ ABC =
= 120°. Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà AB çà òî÷êó B îòìåòèëè
21. òî÷êó D òàê, ÷òî BD = 2AB. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê
ACD ðàâíîáåäðåííûé.
71.
••
Äîêàæèòå, ÷òî ãäå a, b è c —
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, mc
— ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà, ïðî-
âåäåííàÿ ê ñòîðîíå c.
72. Â îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äèàìåòð AC è õîðäà AB, ðàâ-
íàÿ ðàäèóñó îêðóæíîñòè. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC.
73. Îäèí èç óãëîâ, îáðàçîâàâøèõñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè áèñ-
ñåêòðèñû óãëà ïàðàëëåëîãðàììà ñ åãî ñòîðîíîé, ðàâåí îäíîìó
èç óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà. Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
74. Â òðåóãîëüíèê ABC âïèñàí ïàðàëëåëîãðàìì ADEF
òàê, ÷òî óãîë A ó íèõ îáùèé, à òî÷êè D, E è F ïðèíàäëåæàò
ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì AB, BC è AC òðåóãîëüíèêà. Íàé-
äèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ADEF, åñëè AB = 8 ñì,
AC = 12 ñì, AD : AF = 2 : 3.
75. Íàéäèòå óãîë ADC (ðèñ. 11), åñëè ∠ ABC = 140°.
76. Íàéäèòå óãîë ABC (ðèñ. 12), åñëè ∠ ADC = 43°.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
C
Ðèñ. 11 Ðèñ. 12 Ðèñ. 13
77. Îòðåçîê AB — äèàìåòð îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé
ðàâåí R, ∠ ABC = α (ðèñ. 13). Íàéäèòå õîðäó AC.
Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 8 íà ñ. 247.
22. Èç âòîðîãî ïðèçíàêà ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò,
÷òî ñòîðîíà è äâà ïðèëåæàùèõ ê íåé óãëà îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿþò òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî óêàçàííûì
ýëåìåíòàì ìîæíî íàéòè äâå äðóãèå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.
Êàê ýòî ñäåëàòü, ïîäñêàçûâàåò òàêàÿ òåîðåìà.
Òå î ð å ì à 3.1 (ò å î ð å ì à ñ è í ó ñ î â). Ñòîðîíû òðå-
óãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ
óãëîâ.
Ë å ì ì à. Õîðäà îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äèà-
ìåòðà íà ñèíóñ ëþáîãî âïèñàííîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ
íà ýòó õîðäó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðè-
ñóíêå 14 îòðåçîê MN — õîðäà
îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå O.
Ïðîâåäåì äèàìåòð MP. Òîãäà
∠ MNP = 90° êàê âïèñàííûé,
îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð. Ïóñòü
âåëè÷èíà âïèñàííîãî óãëà MPN
ðàâíà α. Òîãäà èç ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà MPN ïîëó÷àåì
MN = MP sinα. (1)
Âñå âïèñàííûå óãëû, îïèðàþ-
ùèåñÿ íà õîðäó MN, ðàâíû α èëè 180° – α. Ñëåäîâàòåëüíî,
èõ ñèíóñû ðàâíû. Ïîýòîìó ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî (1) ñïðà-
âåäëèâî äëÿ âñåõ âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà õîð-
äó MN.
Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó ñèíóñîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñò-
íî, ÷òî AB = c, BC = a, CA = b. Äîêàæåì, ÷òî
Ïóñòü ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC
ðàâåí R. Òîãäà ïî ëåììå a = 2RsinA, b = 2RsinB,
c = 2R sinC. Îòñþäà
180° –
O
M N
P
Ðèñ. 14
23. Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëü-
íèêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
ãäå a — ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà, α — ïðîòèâîëåæàùèé
åé óãîë.
Ï ð è ì å ð 1. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ÀC =
ñì, BC = 1 ñì, ∠ B = 45°. Íàéäèòå óãîë A.
Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ
Òîãäà èìååì:
æ
Ïîñêîëüêó BC < AC, òî ∠ A < ∠ B. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ A —
îñòðûé. Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëó÷àåì ∠ A = 30°.
Î òâåò: 30°.
Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ÀC =
ñì, BC = 1 ñì, ∠ A = 30°. Íàéäèòå óãîë B.
Ðåøåíèå. Èìååì:
Òàê êàê BC < AC, òî ∠ A < ∠ B.
Òîãäà óãîë B ìîæåò áûòü êàê îñòðûì,
òàê è òóïûì. Îòñþäà ∠ B = 45° èëè
∠ B = 180° – 45° = 135°.
Î òâåò: 45° èëè 135°.
Ï ð è ì å ð 3. Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 15)
îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ BDC = γ, AD = m. Íàéäèòå BD,
åñëè ∠ A = α, ∠ B = β.
A
C
Bm D
Ðèñ. 15
28. 106.
••
Îòðåçîê CD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC,
â êîòîðîì ∠ A = α, ∠ B = β. ×åðåç òî÷êó D ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ,
ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå BC è ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AC â òî÷-
êå E, ïðè÷åì AE = a. Íàéäèòå CE.
107.
••
Ìåäèàíà AM òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà m è îáðàçó-
åò ñî ñòîðîíàìè AB è AC óãëû α è β ñîîòâåòñòâåííî. Íàé-
äèòå ñòîðîíû AB è AC.
108.
••
Ìåäèàíà CD òðåóãîëüíèêà ABC îáðàçóåò ñî ñòîðî-
íàìè AC è BC óãëû α è β ñîîòâåòñòâåííî, BC = a. Íàéäèòå
ìåäèàíó CD.
109.
••
Âûñîòû îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ïåðå-
ñåêàþòñÿ â òî÷êå H. Äîêàæèòå, ÷òî ðàäèóñû îêðóæíîñòåé,
îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ AHB, BHC, AHC è ABC,
ðàâíû.
110.
••
Äîðîãè, ñîåäèíÿþùèå ñåëà A, B è C (ðèñ. 22), îá-
ðàçóþò òðåóãîëüíèê, ïðè÷åì äîðîãà èç ñåëà A â ñåëî C çà-
àñôàëüòèðîâàíà, à äîðîãè èç ñåëà A â ñåëî B è èç ñåëà B
â ñåëî C — ãðóíòîâûå. Äîðîãè, âåäóùèå èç ñåëà A â ñåëà B
è C, îáðàçóþò óãîë â 15°, à äîðîãè, âåäóùèå èç ñåëà B â ñåëà
A è C, — óãîë â 5°. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ ïî àñ-
ôàëüòèðîâàííîé äîðîãå â 2 ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè åãî äâè-
æåíèÿ ïî ãðóíòîâîé. Êàêîé ïóòü âûáðàòü âîäèòåëþ àâòî-
ìîáèëÿ, ÷òîáû êàê ìîæíî ñêîðåå äîáðàòüñÿ èç ñåëà A
â ñåëî B?
B
C
A
Ðèñ. 22
111.
••
Äîðîãè èç ñåë A è B ñõîäÿòñÿ ó ðàçâèëêè C
(ðèñ. 23). Äîðîãà èç ñåëà A äî ðàçâèëêè îáðàçóåò ñ äîðîãîé
â ñåëî B óãîë â 30°, à äîðîãà èç ñåëà B ñ äîðîãîé â ñåëî A —
óãîë â 70°. Îäíîâðåìåííî èç ñåëà A â íàïðàâëåíèè ðàçâèë-
29. êè âûåõàë àâòîìîáèëü ñî ñêîðîñòüþ 90 êì/÷, à èç ñåëà B —
àâòîáóñ ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷. Êòî èç íèõ ïåðâûì äîåäåò
äî ðàçâèëêè?
B
C
A
Ðèñ. 23
112. Áèññåêòðèñû óãëîâ B è C ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD
ïåðåñåêàþò ñòîðîíó AD â òî÷êàõ M è K ñîîòâåòñòâåííî.
Äîêàæèòå, ÷òî BM = CK.
113. Íà ðèñóíêå 24 DE C AC, FK C AB.
Óêàæèòå, êàêèå òðåóãîëüíèêè íà ýòîì
ðèñóíêå ïîäîáíû.
114. Íà ñòîðîíå AB êâàäðàòà ABCD
îòìåòèëè òî÷êó K, à íà ñòîðîíå CD —
òî÷êó M òàê, ÷òî AK : KB = 1 : 2,
DM : MC = 3 : 1. Íàéäèòå ñòîðîíó êâà-
äðàòà, åñëè MK = 13 ñì.
115. Ðåøèòå ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê:
1) ïî äâóì êàòåòàì a = 7 ñì è b = 35 ñì;
2) ïî ãèïîòåíóçå c = 17 ñì è êàòåòó a = 8 ñì;
3) ïî ãèïîòåíóçå c = 4 ñì è îñòðîìó óãëó α = 50°;
4) ïî êàòåòó a = 8 ñì è ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó α = 42°.
Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 15 íà ñ. 249–250.
KA C
B
D E
F
M
Ðèñ. 24
36. Â Åâðîïå ïåðâûé òðàêòàò ïî òðèãîíîìåòðèè «Ïÿòü êíèã
î òðåóãîëüíèêàõ âñåõ âèäîâ», àâòîðîì êîòîðîãî áûë íåìåö-
êèé ó÷åíûé Ðåãèîìîíòàí (1436–1476), áûë îïóáëèêîâàí
â 1533 ã. Ýòîò æå ó÷åíûé îòêðûë è òåîðåìó òàíãåí-
ñîâ:
ãäå a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, α, β è γ — óãëû
òðåóãîëüíèêà, ïðîòèâîëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì a,
b è c.
Ñîâðåìåííûé âèä òðèãîíîìåòðèÿ ïðèîáðåëà â ðàáîòàõ
âûäàþùåãîñÿ ìàòåìàòèêà Ëåîíàðäà Ýéëåðà (1707–1783).
Èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëàì
ãäå a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ha
, hb
, hc
— âûñîòû,
ïðîâåäåííûå ê ýòèì ñòîðîíàì ñîîòâåòñòâåííî.
Ëåîíàðä Ýéëåð
(1707–1783)
Âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê, ôèçèê,
ìåõàíèê, àñòðîíîì
37. Òåïåðü ó íàñ ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü åùå
íåñêîëüêî ôîðìóë äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëü-
íèêà.
Ò å î ð å ì à 5.1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå
ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ åãî ñòîðîí è ñèíóñà óãëà ìåæäó
íèìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ïëîùàäü S òðå-
óãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
ãäå a è b — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, γ — óãîë ìåæäó íèìè.
Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ:
1) óãîë γ — îñòðûé (ðèñ. 30);
2) óãîë γ — òóïîé (ðèñ. 31);
3) óãîë γ — ïðÿìîé.
Íà ðèñóíêàõ 30 è 31 ïðîâåäåì âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà
ABC. Òîãäà æ æ
DA C
B
a
b
180°–
DA C
B
a
b
Ðèñ. 30 Ðèñ. 31
Èç œ BDC â ïåðâîì ñëó÷àå BD = a sinγ, à âî âòîðîì BD =
= a sin(180° – γ) = a sinγ. Îòñþäà äëÿ äâóõ ïåðâûõ ñëó÷àåâ
èìååì
Åñëè óãîë C — ïðÿìîé, òî sinγ = 1. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ABC ñ êàòåòàìè a è b èìååì:
38. Ò å î ð å ì à 5.2 (ô î ð ì ó ë à Ã å ð î í à1
). Ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
S p p a p b p c( )( )( )
ãäå a, b, c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, p — åãî ïîëóïåðè-
ìåòð.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
Îòñþäà
Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ c2
= a2
+ b2
– 2ab cosγ.
Îòñþäà
Òàê êàê sin2
γ = 1 – cos2
γ = (1 – cosγ) (1 + cosγ), òî èìååì:
æ æ
æ æ æ
æ æ æ
æ æ æ
Îòñþäà
1
à å ðîí Àëåêñàíäðèéñêèé — äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé, æèâøèé
â ² â. í. ý.
39. Ò å î ð å ì à 5.3. Ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ABC ìîæíî
âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
ãäå a, b, c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, R — ðàäèóñ îïèñàí-
íîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
Èç ëåììû ïóíêòà 3 ñëåäóåò, ÷òî Òîãäà
æ
Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü
ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ïî ôîðìóëå
Ò å î ð å ì à 5.4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèç-
âåäåíèþ åãî ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðè-
ñóíêå 32 èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê
ABC, â êîòîðûé âïèñàíà îêðóæ-
íîñòü ðàäèóñà r. Äîêàæåì, ÷òî
S = pr,
ãäå S — ïëîùàäü äàííîãî òðå-
óãîëüíèêà, p — åãî ïîëóïåðèìåòð.
Ïóñòü òî÷êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ
êàñàåòñÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êàõ M, N è P. Ïëî-
ùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåóãîëüíè-
êîâ AOB, BOC, COA. Ýòî óäîáíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå:
S = SAOB
+ SBOC
+ SCOA
.
Ïðîâåäåì ðàäèóñû â òî÷êè êàñàíèÿ. Ïîëó÷àåì: OM ⊥ AB,
ON ⊥ BC, OP ⊥ CA. Îòñþäà:
A
B
O
M
P C
N
Ðèñ. 32
40. æ æ
æ æ
æ æ
Ñëåäîâàòåëüíî,
æ æ æ æ
Âûøåñêàçàííîå îáîáùàåò òàêàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 5.5. Ïëîùàäü îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè.
Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî
(ðèñ. 33).
Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà 5.5 ïîçâîëÿåò íàõî-
äèòü ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ìíîãî-
óãîëüíèêà ïî ôîðìóëå
Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü S ïàðàëëåëî-
ãðàììà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
S = ab sinα,
ãäå a è b — ñîñåäíèå ñòîðîíû ïà-
ðàëëåëîãðàììà, α — óãîë ìåæäó
íèìè.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïàðàëëå-
ëîãðàìì ABCD, â êîòîðîì AB = a,
AD = b, ∠ BAD = α (ðèñ. 34). Ïðî-
âåäåì äèàãîíàëü BD. Ïîñêîëüêó
œ ABD = œ CBD, òî çàïèøåì:
æ
A b
a
B C
D
Ðèñ. 34
Ðèñ. 33
41. Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî ïëî-
ùàäü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâ-
íà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíà-
ëåé è ñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè.
Ðåøåíèå. Ïóñòü óãîë ìåæäó äèàãî-
íàëÿìè AC è BD ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD ðàâåí ϕ. Íà ðèñóíêå 35 ∠ AOB =
= ϕ. Òîãäà ∠ BOC = ∠ AOD = 180° – ϕ
è ∠ COD = ϕ. Èìååì:
SABCD
= SAOB
+ SBOC
+ SCOD
+ SDOA
=
æ æ æ æ
æ æ æ æ
æ æ
æ æ æ æ
æ æ æ
Ï ð è ì å ð. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 17 ñì, 65 ñì
è 80 ñì. Íàéäèòå íàèìåíüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà, ðà-
äèóñû åãî âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.
Ðåøåíèå. Ïóñòü a = 17 ñì, b = 65 ñì, c = 80 ñì.
Ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà (ñì), åãî
ïëîùàäü
æ æ æ æ (ñì2
).
Íàèìåíüøåé âûñîòîé òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ âûñîòà h,
ïðîâåäåííàÿ ê åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíå c.
Òàê êàê òî
æ
(ñì).
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè (ñì).
A
B
C
D
O
Ðèñ. 35
42. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè
æ æ
æ
æ æ
æ
(ñì).
Îòâåò: 7,2 ñì, ñì, ñì.
?
132.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè:
1) AB = 12 ñì, AC = 9 ñì, ∠ A = 30°;
2) AC = 3 ñì, ñì, ∠ C = 135°.
133.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà DEF, åñëè:
1) DE = 7 ñì, DF = 8 ñì, ∠ D = 60°;
2) DE = 10 ñì, EF = 6 ñì, ∠ E = 150°.
134.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MKN ðàâíà 75 ñì2
. Íàéäè-
òå ñòîðîíó MK, åñëè KN = 15 ñì, ∠ K = 30°.
135.° Íàéäèòå óãîë ìåæäó äàííûìè ñòîðîíàìè òðåóãîëü-
íèêà ABC, åñëè:
1) AB = 12 ñì, BC = 10 ñì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ñì2
;
2) AB = 14 ñì, AC = 8 ñì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
56 ñì2
.