1. ELEVAKTIV UNDERVISNING
GLU 5-10
06.09.10
Lisbet Karlsen

2. ELEVAKTIV UNDERVISNING
Et tema i didaktikk. Hva er
matematikkdidaktikk?
Utvikling i skolematematikken.
Undervisning i matematikk
Elevaktiv undervisning. Hva betyr det?
Hvorfor bør vi legge til rette for en
elevaktiv undervisning?
Hvordan gjøre opplegg elevaktive?

3. MATEMATIKKDIDAKTIKK
Begrepet fagdidaktikk /
matematikkdidaktikk kan ikke
forklares enkelt. Hele boka DELTA
handler om dette.
DELTA handler om undervisning i og
læring av matematikk.
Utstrakt praksisorientering.

4. DELTA – dobbelt målsetting
Utvikle innsikt i didaktisk teori i
forhold til matematikk
Teoriene skal gjøre det mulig å
undervise og agere annerledes i
matematikk

5. MATEMATIKKDIDAKTIKK
Nytt forskningsområde, fra ca 1960.
Mer forskning i klasserommet.
Finne svar på:
Hva er matematikk?
Hva er læring i matematikk?
Hva er undervisning i matematikk?

6. Skolematematikkens utvikling
Endring i skolematematikk kan beskrives
som en bevegelse fra et ensidig fokus på
fagets produkter (begreper og
ferdigheter) til å stadig legge større vekt
på fagets prosesser.
Se Aftenposten
(http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/skole/article2856854.ece) og
TIMSS (Trends in International Mathematics and Science
Study)
Fagets produkt og fagets prosess-side
(Eks: Bruke en algoritme, utvikle en
algoritme. Se LK06)
Fra rutine- til ikke-rutinepregede opplegg.

7. Eksempel fra TIMSS

8. Fra Alle Teller 10
10 % av guttene og 10 % av
jentene på skolen spiller fotball.
Hvor mange prosent av alle elevene
på skolen spiller fotball?
A: 5% B:10% C: 15% D: 20%
E: Kan ikke svare

9. Oppgave 55, 8. trinn,
Nasjonale prøver 2008
Skipper Andersen skal seile med
båten fra
Bodin til Seines. Avstanden på kartet
er 3,7 cm.
1 cm på kartet er 2 000 m i
virkeligheten.
Hvor mange km er det fra Bodin
til Seines med båt?
Svar: ____________km

10. Hva sier LK06 om prosess?
Kompetansemål etter 2. trinn:
utvikle og bruke varierte
reknestrategiar for addisjon og
subtraksjon av tosifra tal
Kompetansemål etter 10. trinn:
utvikle, bruke og gjere greie for
metodar i hovudrekning,
overslagsrekning og skriftleg
rekning med dei fire rekneartane

11. En bred matematisk kompetanse
Å omgås språk og
redskaper i
matematikk
TANKEGANGS- REPRESENTASJONS-
KOMPETANSE KOMPETANSE
PROBLEM-
BEHANDLINGS- SYMBOL- OG
KOMPETANSE FORMALISME-
KOMPETANSE
MODELLERINGS- KOMMUNIKASJONS-
KOMPETANSE KOMPETANSE
Å spørre og
svare i, med
og om
matematikk RESONNEMENTS- HJELPEMIDDEL-
KOMPETANSE KOMPETANSE

12. Undervisning i matematikk (kap 5)
”Facilitering av læring”
Legge til rette for at elevene skal
lære best mulig
Skape grunnlag for elevers
tilegnelse av faglig innhold
Skape grunnlag for involvering i et
faglig fellesskap
Læreren må kunne lytte, kunne
utfordre, kunne engasjere elevene i
åpen kommunikasjon

13. Hvor stor brøkdel er hver del?

14. NAJONALE PRØVER 2008, 8. TRINN
Oppgave 18 (tall) Kommentar Andel av
elevene
Trude skal lage 2/6 kg Multipliserer 6%
eplegrøt. nevneren
Til 4 personer skal med 2
det
være 2/3 kg epler.
4/6 kg Utvider 60 %
brøken med 2
Hvor mange kg
epler ¾ kg Multipliserer 7%
trenger Trude til telleren med
8 personer? 2 og snur
brøken
A 2/6 kg 1 1/3 kg Riktig svar 24 %
B 4/6 kg
C ¾ kg Andre svar og ubesvart 3%
D 1 1/3 kg

15. Mathematical knowledge for teaching
Undervisningskunnskap i
matematikk
Delaney 2010

16. ELEVAKTIV UNDERVISNING
HVA ER DET?
Kreative, selvstendige tankeprosesser, ikke
bare imitasjon
Problemløsing uten innblanding fra lærer
Konstruksjon av begreper og algoritmer
Utforsking
Kommunikasjon
Refleksjon
Framstilling og diskusjon av hypoteser
Bruk av feil og misoppfatninger til videre
utvikling

17. Problemløsing
Tre rektangler og ett kvadrat settes
sammen til ett nytt kvadrat
Omkrets av de fire figurene er i alt 96cm.
Hva er arealet av den sammensatte figuren?

18. Problemløsing, multiplikasjon
Regn ut:
37037*3=
37037*6=
37037*9=
Prøv videre (Gjett først, sjekk etterpå)
37037*____=555555
37037*____=777777
37037*____=666666
37037*____=888888
37037*____=999999

19. Problemløsing, multiplikasjon
forts
Vi har et annet tall, 15873:
15873*7=
15873*14=
15873*21=
Kan du si hva som skjer hvis du
multipliserer med
28?
35?

20. Fra Standards 2000 (Delta s. 32)
om hypoteser
De (elevene) oppstiller og undersøker
med lærerens hjelp formodninger -
”conjectures” (hypoteser) – på bakgrunn
av erfaringer og ved bruk av
resonnementer
Det er en visjon om aktivt undersøkende
og utforskende elever, som kommer fram
til viktig matematikk med lærerens hjelp

21. Elevaktiv undervisning
Oppgaver og aktiviteter (opplegg)
Stein m.fl.:
Beskriver oppleggets kognitive krav
til eleven (cognitive demand). Den
type tenkning som opplegget
inviterer til.
Fire nivåer av krav.

22. Stein m.fl.: Kognitive krav til tenkning
Lavnivå (huske, vite at og vite hvordan):
Å skulle huske resultater (memorization)
Å kunne gjennomføre prosedyrer uten å
forbinde dem med resonnementer eller med
inngående begreper (procedures without
connections).
Høynivå (forstå, vite hvorfor):
Å kunne forbinde eventuelle prosedyrer med
mening og med relaterte begreper
(procedures with connections).
Å engasjere seg i egentlig matematisk
tenkning (doing matemathics)

23. Kognitive krav til tenkning
Eksempler
Lavnivå 1a)
Hva er 3*4?
Hvor mye er 10% av 560?
Lavnivå 1b)
Hvor mye er 36% av 3145?
Hvor mye er
3 2
⋅ ?
4 5

24. Kognitive krav til tenkning
Eksempler
Høynivå 2a)
Forklar hvorfor
1 1
1 : =6
2 4
Høynivå 2b)
Finn en ny måte å regne ut 145-28
på.

25. HVORFOR LEGGE TIL RETTE FOR
ELEVAKTIVITET?
Elevene forstår mer matematikk i det lange
løp ved en slik undervisning
Elevene nyter mer av å lære matematikk
på denne måten. (Læreren også!)
En slik undervisning gir større
overføringsverdi
Elevaktivitet er et viktig element i i L06.
Det gir et skjevt bilde av hva matematikk
er, å kun jobbe med ferdighetstrening

26. Å arbeide med opplegg til elevaktivitet
Forskjellige typer opplegg til elevaktivitet
gir forskjellige muligheter for læring.
Forskjellige opplegg krever forskjellige
typer lærerrespons.
Noen betingelser for et elevaktivt
opplegg:
Valg av oppgaver eller problemer, slik at
elevene engasjeres til undersøkende aktivitet
Klasseromsnormer
Sammenheng mellom individuelt arbeid,
gruppearbeid og undervisning i full klasse.

27. Å arbeide med opplegg til elevaktivitet
Forfatternes målsetting:
Skjelne mellom forskjellige opplegg alt
etter hvor store kognitive krav de stiller
elevene overfor.
Skjelne mellom åpne og lukkede opplegg,
og skjelne mellom forskjellige måter som
opplegg kan være åpne på.
Analysere opplegg til elevaktivitet og
bearbeide dem med henblikk på
forskjellige læringsmål.

28. ”Problem posing”
Bearbeide opplegg som i
utgangspunktet er ganske lukkede.
(Mange av oppgavene i lærebøkene
er lukkede. Krever kun et svar. Få
krav om begrunnelser)
Problem posing dreier seg ikke om
å løse problemer, men å formulere
slike.

29. Bearbeide og videreutvikle opplegg til
elevaktivitet ved å
stille ”Hva nå hvis..”-/”Hva nå hvis
ikke”-spørsmål og
- fjerne noe informasjon
- endre noe informasjon / erstatte
noe informasjon med andre
opplysninger
- tilføye informasjon
starte med svaret
oppfordre elever til selv å stille
spørsmål.

30. Åpne elevopplegg – hva kan det være?
Elevene har mulighet til å arbeide med
oppgavene på ulike måter.
Oppgaven kan løses ved å bruke ulike
representasjoner (tabeller, tegninger,
materiell, formler)
Oppgaven kan gi ulike svar avhengig av
hvilke forutsetninger man setter
Opplegget legger opp til at elevene selv
stiller spørsmål

31. Undersøke om opplegg kan åpnes slik
at det blir
flere mulige måter å arbeide på
flere forskjellige svarmuligheter
mulighet for ulike representasjoner
mulighet for at elever selv kan
formulere mer presise oppgaver

32. Eksempel på åpen oppgave
Stian kjøper en hel sekk med gamle tegneserier
på et loppemarked. Han betaler 430kr for hele
sekken. Han planlegger å selge bladene videre
med fortjeneste.
Når han kommer hjem ser han at det er 158
blader i sekken. 16 av bladene mangler noen
sider. 75 av bladene ser nesten helt ubrukte ut.
Testen av bladene er hele, men de er godt
brukte.
Lag et forslag til priser på tegneseriene slik at han
kan tjene penger på salget.
(Mona Røsseland)

33. Starte med svaret. Eksempel.
Volumet er 216. Hva kan oppgaven
være? Løs oppgaven.
Finnes det andre muligheter?
Kari vil ha et akvarium på 300l.
Hvordan kan det se ut?

34. Fjerne informasjon (Eks fra
Grunntall)
6.130:
En påleggsboks er formet som et
rett prisme. Lengden på boksen er
12,5cm, bredden 10,2cm og høyden
4,0cm. Regn ut volumet av boksen.
Alternativ:
Hva nå hvis vi ikke vet høyden på
boksen?

35. Endre informasjon (Eks fra
Grunntall)
En vanntank har form som et rett,
firkantet prisme. Tanken rommer
120liter. Lengden av tanken er
60cm, og høyden er 50cm.
Hvor bred er tanken?
Alternativ:
Hva nå hvis tanken hadde form som
en sylinder? Hvordan kunne den se
utfor å ha samme volum?

36. Tilføye informasjon (Eks fra
Grunntall)
6.185
Kesim tok seg en treningstur. Han
løp med en gjennomsnittsfart på
4m/s i 23min og 40sek.
Hvor langt løp han?
Tilleggsinformasjon:
Hva nå hvis han i løpet av denne
tida hadde en drikkepause? Hva
hvis han spurtet den siste
kilometeren med en fart på 6m/s?

37. Bearbeide og videreutvikle opplegg til
elevaktivitet ved å
skape og bygge sammenhenger for
eksempel mellom begrepslig
forståelse og prosedyremessig
ferdigheter.

38. Litteratur
Delaney, S. (2010). Knowing What Counts. Irish
Primary Teachers’ Mathematical Knowledge for
Teaching. Dublin: Coláiste Mhuire, Marino Institute
of Education.
Rockström, B. (2000) Skriftlig huvudräkning :
metodbok. Stockholm, Bonnier Utbildning.
Skott, J. m.fl. (2008). Matematik for
lærerstuderende. Delta. Forlaget Samfundslitteratur
Vinje-Christensen, P. og Karlsen, L. (2009).
Elevaktiv matematikkundervising. Hvordan omsette
didaktisk teori til praksis? I W. Aagre (red).
Lærerutdanning for ungdomstrinnet. Oslo:
Gyldendal Akademisk