4.1 Материалы модуля
4.2 k-перестановки из n элементов
4.3 Урновые схемы и схемы раскладки по ящикам.
4.4 Подсчет отображений конечных множеств
4.5 Рекуррентные соотношения
4.1 Материалы модуля
4.2 k-перестановки из n элементов
4.3 Урновые схемы и схемы раскладки по ящикам.
4.4 Подсчет отображений конечных множеств
4.5 Рекуррентные соотношения
El documento define la basura electrónica como cualquier dispositivo eléctrico al final de su vida útil, según la OCDE, o cualquier componente electrónico que ya no puede cumplir su función original, según la convención de Basilea. Los equipos electrónicos contienen cientos de materiales naturales y sintéticos, muchos de los cuales son tóxicos como el plomo, arsénico, cadmio y cromo cuando se liberan durante el reciclaje inadecuado, lo que representa un riesgo para la salud humana y el
La acidificación del océano amenaza la biodiversidad y seguridad alimentaria. El océano ha absorbido el 30% del CO2 emitido por humanos desde la revolución industrial, disminuyendo su pH. Esto causa cambios en ecosistemas marinos, afectando la estructura corporal, supervivencia y desarrollo de especies. Además, limita la capacidad del océano para absorber más CO2 y podría interrumpir procesos ecológicos con efectos en tierra. Para mitigar esto se deben reducir emisiones
El documento define la basura electrónica como cualquier dispositivo eléctrico al final de su vida útil, según la OCDE, o cualquier componente electrónico que ya no puede cumplir su función original, según la convención de Basilea. Los equipos electrónicos contienen cientos de materiales naturales y sintéticos, muchos de los cuales son tóxicos como el plomo, arsénico, cadmio y cromo cuando se liberan durante el reciclaje inadecuado, lo que representa un riesgo para la salud humana y el
La acidificación del océano amenaza la biodiversidad y seguridad alimentaria. El océano ha absorbido el 30% del CO2 emitido por humanos desde la revolución industrial, disminuyendo su pH. Esto causa cambios en ecosistemas marinos, afectando la estructura corporal, supervivencia y desarrollo de especies. Además, limita la capacidad del océano para absorber más CO2 y podría interrumpir procesos ecológicos con efectos en tierra. Para mitigar esto se deben reducir emisiones
2013 OVCN INNOVATION & ACTION! Conference
'Secrets From a Fundraising Consultant' workshop facilitated by Anne MacKay Consulting.
http://www.annemackayconsulting.org/
#OVCNaction
I have gathered ideas for filming locations from internet photos as I am filming my music video on holiday. Some potential locations include Market Street in Celebration, Florida for the beginning and end, two natural springs in Orlando for their freedom feel, and a beach pier in Bournemouth for time lapse shots. I also hope to film segments at Universal Studios, Aquatica, and my favorite ice cream shop in Celebration.
Moodle es un software de gestión de cursos y aprendizaje en línea desarrollado principalmente en Linux usando el framework LAMP. Puede descargarse como un paquete comprimido o a través de CVS y se instala colocando la carpeta de Moodle en el directorio web del servidor o copiando directamente los archivos en el directorio principal. Una vez instalado, se configura Moodle accediendo a la página de administración.
Ergonomics is a vastly discussed topic in all fields...right from day to day activities to highly skilled Professions like Dentistry.lets have a quick look at what all we need to be careful about, to lead a healthy dental career.
smile and make others smile ....;)
Las rutinas diarias son importantes para mantener la salud mental y el bienestar. Una maestra de inglés llamada Anabel Montes mantiene una rutina saludable al crear un álbum de fotografías cada día para documentar su vida y mantener recuerdos felices del presente.
Este manual del usuario proporciona instrucciones sobre el uso seguro y apropiado de una secadora, incluyendo advertencias sobre posibles riesgos eléctricos, de incendio y para la salud. También contiene información sobre la instalación correcta de la secadora, ya sea sola o montada sobre una lavadora, así como sobre el mantenimiento básico para garantizar un funcionamiento seguro.
AMIA Systems help plant managers to visualize, quantify and optimize the layout of their production site, MRO site or Warehouse using SIMOGGA.
AMIA Systems works for several industries such as transportation, maritime, automotive, aerospace and defense: i.e. DAF Trucks (Automotive), Twin Disc (Machinery), TD Williamson (Oil & Energy), SNCB/NMBS (transportation), Sonaca (Aviation & Aerospace), NLMK (Mining & Metals), Tale Me (Textiles), FN Herstal (Defense & Space)
Se realizó la práctica en arena en la cual se pudo visualizar los datos reunidos conforme a los trabajadores en la cual se muestra un proceso llevado a cabo para el inicio de la aplicación de préstamos.
Se introdujeron diferentes datos de acuerdo a los índices que nos mostraba la practica a realiza en primero lugar se realizó un diagrama en la cual consistía en agregar el inicio, el proceso, y si el proceso llamado completado este decidía si es aceptado o devuelto quedando la interfaz de la siguiente manera
The document discusses a rural community center located in Eveycyi village of Bangladesh. It provides various community services like adult education classes, agricultural training, and entertainment programs. Local government and non-government organizations use the center to provide services to local people. Farmers learn modern farming techniques through training at the center, which has helped increase their incomes and reduce poverty in the area over time.
Always choose the best SEO wordpress plugins with great care, whether it is SEO related or other. Plugins can enhance your website, but they can also add a greater load on it and reduce its loading speed. Worse, poor quality plugins can create all kinds of problems rather than helping your website. For more information, visit http://rapidboostmarketing.com/6-top-seo-wordpress-plugins/
This document discusses pre-legislative scrutiny in the House of Commons. It provides that pre-legislative scrutiny allows backbench MPs and the opposition to provide input on bills before they are finalized, making ministers more receptive to changes. It can open up the legislative process to outside perspectives and should lead to less time needed later on in the process and better quality legislation. The document outlines different committee structures that can conduct pre-legislative scrutiny and factors such as timeframes and evidence that committees consider in their approach. It emphasizes that thorough pre-legislative scrutiny improves government.
Dropbox es un software que sincroniza archivos entre computadoras mediante una carpeta en línea. Los usuarios pueden acceder y compartir archivos desde cualquier dispositivo a través de la aplicación Dropbox, el sitio web o las aplicaciones móviles. Dropbox ofrece 2GB de almacenamiento gratuito y permite transferir archivos fácilmente entre dispositivos sin necesidad de correos electrónicos o memorias USB.
Se realizó la práctica en arena en la cual se pudo visualizar los datos reunidos conforme a los trabajadores en la cual se muestra un proceso llevado a cabo para el inicio de la aplicación de préstamos.
Se introdujeron diferentes datos de acuerdo a los índices que nos mostraba la practica a realiza en primero lugar se realizó un diagrama en la cual consistía en agregar el inicio, el proceso, y si el proceso llamado completado este decidía si es aceptado o devuelto quedando la interfaz de la siguiente manera
This document provides examples and exercises for using adverbs of frequency such as always, sometimes, and never. It lists common activities and asks the student to add the appropriate adverb of frequency based on percentages provided in a key. Some examples include completing sentences like "I _________ eat salad" and adding adverbs to statements like "She does the homework." (0%).
1. The document discusses various corporate strategies including growth, harvest, divestment, and turnaround strategies.
2. It outlines the Ansoff Matrix and generic strategies of market penetration, market development, product development, and diversification. Risk profiles range from lowest for market penetration to highest for unrelated diversification.
3. A template is provided for a generic strategic plan that includes an overall mission and strategy statement, projected performance metrics, and product/market level details on the business definition, portfolio, competition, sales, leadership, and asset utilization.
Для чтения не требуется почти никаких предварительных знаний, по крайней мере, ничего выходящего за рамки школьной программы. Исключение составляет только последний раздел.
1. Расширенные лекции
МАТ. АНАЛИЗ
Параграф 2
Число e.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА e. ДРУГИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СХОДЯЩИЕСЯ
К e. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ. ЗАМЕЧАНИЯ ПО
НАХОЖДЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ, СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
На самом деле, есть не так много математических констант, знакомых всем
и каждому вне зависимости от основного рода деятельности. Собственно говоря,
их всего две: e и π. Впрочем, как бы иронично это не звучало, факт существования
такого числа - это единственный общеизвестный факт про число e. Фраза "ну, это
сумма ряда обратных факториалов..."моментально превращает вас в студента,
учителя или преподавателя (зависит от возраста). Поэтому не стоит рушить
стереотипы и все-таки разобраться, что же такое число e.
I.
Определение
Поскольку мы не ставим своей целью сыграть в игру "а мы ничего не самом деле не
знаем то перейдем сразу к определению:
Опр.
lim
n→∞
1+
n
1
n
(1)
= e.
Поэтому доказывать существование этого предела мы не будем (это не так сложно
провести, пользуясь теоремой Вейерштрасса). Более того, на лекциях вводилось две
1 n+1
1 n
. Для них доказывалось
последовательности: собственно en = 1 + n и yn = 1 + n
следующие утверждения:
(2)
lim en = lim yn = e
n→∞
1+
n→∞
n
1
n
<e<
1+
1
n
n+1
(3)
Опять же не будем усложнять наши итак не всегда очевидные доказательства.
Поэтому для первого равенства:
lim
n→∞
1
1+
n
n+1
= lim
n→∞
= lim
n→∞
1
1+
n
1
1+
n
n
× 1+
1
n
n
× lim
n→∞
1+
=
1
n
= e × 1 = e = lim
n→∞
1+
1
n
n
. (4)
Более того, на семинарах доказывалось то, что {yn } ↓. Также вполне очевидно, что
{en } ↑. Поэтому по теореме Вейерштрасса получаем sup en = e = inf yn , что означает
не только неравенство 3, но и более сильное высказывание:
∀ n, k ∈ N : en < e < yk .
II.
(5)
Число e как сумма ряда
Эта формула тоже доказывалась на семинарах, а именно:
Th
1
1
1
1
+ + + ... +
+ ... =
0! 1! 2!
n!
1
∞
n=0
1
= e.
n!
(6)
2. Расширенные лекции
МАТ. АНАЛИЗ
Параграф 2
Докажем, пользуясь леммой о двух миллиционерах и предельным переходом в
неравенствах.
За основу примем нашу ранее введенную последовательность en . Прежде всего,
пользуясь биномом Ньютона раскроем в ней скобки:
1
1+
n
n
n
n−k
=
1
·
k=0
1
n
k
n
1
n
=1+
· +
·
1
n
2
1
n
2
+ ... +
n
·
n
1
n
=
n 1 n · (n − 1) 1
1
n · (n − 1) . . . · 2 · 1 1
1
· +
· 2 + ... +
· n < 2 + + ... +
(7)
1 n
2!
n
n!
n
2!
n!
∞
1
Это значит, что en <
n=0 n! = tn . С другой стороны, оборвем разложение по
биному Ньютона на k-ом слагаемом и назовем эту сумму sk . Поскольку мы оборвали
сумму, равную en , то sk < en . Если перейти к пределу n → ∞, то lim sk = lim tk , а
n→∞
n→∞
lim en = e. Отсюда по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем, что
n→∞
sk < e ⇐⇒ tn < e. В итоге, e < tn < e ⇒ по лемме о двух миллиционерах:
=1+
∞
n=0
1
= e.
n!
(8)
Итак, сходимость ряда доказана. Приведенное доказательство является классическим и может быть найдено в любой книге по математическому анализу. Для этой
теоремы есть сущетсвенное расширение, полезное в некоторых случаях:
1
1
1
θ
1
+ + + ... +
+
= e, где 0 < θ < 1
(9)
0! 1! 2!
n! n · n!
(Доказать этот факт очень просто. На самом деле, с учетом монотонности ряда это
1
1
1
1
1
утверждение равносильно такому неравенству: 0! + 1! + 2! + . . . + n! > e − n·n! , доказываемущемуся по индукции).
III.
Методы подсчета и приближения
Поскольку мы привели уже два метода получения числа e, хотелось бы узнать какой
метод приближения лучше (в частности, это интересно в плане вычисления константы
на компьютере). Итак, есть метод вычисления через предел и через сумму ряда. Оказывается, что ряд сходится к e гораздо быстрее, чем предел (красивая картинка по
этому поводу есть в листике номер 5 лектора).
В то же время, как и для любого другого ирационального числа, для числа e
существует приближение, приводимое через цепные дроби, например:
1
e=2+
(10)
1
1+
2
2+
3+
3
...
или, что сходится быстрее:
e+1
=2+
e−1
1
(11)
1
6+
10 +
1
14 +
2
1
...
3. Расширенные лекции
МАТ. АНАЛИЗ
Параграф 2
Впрочем, здесь важно упомянуть следующий факт: мера ирациональности числа e
равна 2, что значит, что оно хорошо приближаемо рациональными числами (если
это предложение вам ничего не сказало, не расстраивайтесь, это отдельный огромный разговор, который, в частности, очень здорово приведен в книге "Математический
дивертисмент").
IV.
Особенности подсчета пределов, связанных с e
В этом пункте докажем следующие утверждения:
n
1
1+
n+α
lim
n→∞
lim
n→∞
1+
= e, где α ∈ R
(12)
n
k
n
= ek , где k ∈ N0
(13)
Докажем первое утверждение. Пусть α ∈ N0 . Обозначим t = n + α. Тогда:
lim
n→∞
1
1+
n+α
n
= lim
t→∞
t−α
1
1+
t
1 t
t
1+
= lim
1
1+
t
t→∞
=
1
· ... · 1 +
t
α раз
t
+1
t
1
1
= lim 1 +
t→∞ 1 · 1 · . . . · 1
t→∞
t
= lim
t
= e (14)
α раз
n
n
1
< 1 + n+α < 1 +
Теперь, пусть α ∈ R. Заметим, что 1 + n+1 α
лемме о двух миллиционерах означает то, что требуется доказать.
Для второго утверждения:
lim
n→∞
1+
1
n
n
= e ⇒ lim
n→∞
1+
1
n
n·k
= ek ⇔ lim
n→∞
1+
k
k·n
1
n+ α
n
, что по
n·k
= ek
(15)
m
k
= ek , что является как раз
Обозначим n · k = m. Тогда мы получили: lim 1 + m
m→∞
тем, что нужно доказать.
Заметим, что число k в нашей формуле является именно натуральным, хотя доказательство не так сложно расширить на множество целых чисел. Для этого найдем
следующий предел:
lim
n→∞
1
1−
n
n
= lim
n→∞
n−1
n
n
= lim
n→∞
n
1
n
n−1
=
= lim
n→∞
1
lim 1 +
n→∞
1
1+
n
1
n−1
n
1
n−1
=
=
1
lim 1 +
n→∞
1 n
n
=
1
(16)
e
Собственно говоря, это все, что хотелось бы рассказать о числе e в плане пределов
последовательностей.
ВСЕХ НЕ ПЕРЕРЕШАЕШЬ!
3